Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί

Transcript

1 Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί Ορισμός σημείου στον Ευκλείδιο χώρο: p=[ p, p,z p ] T, όπου p, p, z p πραγματικοί αριθμοί. Εστω Ε 3 το σύνολο των p. Ενας γεωμετρικός μετασχηματισμός Τ(π), με διάνυσμα παραμέτρων π, ορίζεται ως:t:ε 3 --> Ε 3 Οι μετασχηματισμοί σε D αποτελoύν υποπερίπτωση των 3D. Παραδείγματα: Μεταφορά (translation), περιστροφή (rotation), αλλαγή κλίμακας (scaling), γενικευμένος συσχετισμένος μετασχηματισμός (affine).

2 Η έννοια των συσχετισμένων (Affine) μετασχηματισμών Συσχετισμένος συνδυασμός σημείων: N p = a p E 3, όπου p E 3 i= i Συσχετισμένος γεωμετρικός μετασχηματισμός: T i N 3 ( p) a T ( p ) E = i= i Κάθε συσχετισμένος μετασχηματισμός Τ, αναπαρίσταται ως: ( p ) = Ap t T i + όπου Α, πίνακας 33 και t διάνυσμα 3. Απόδειξη i i

3 Μετατώπιση (Translation): P ' = I. P + d Περιστροφή (Rotation): = I ( ) T ( θ ) sin ( θ ) ( θ ) cos( θ ) cos R( θ ) = sin d = d d R( θ ) P P ' =. d z

4 Αλλαγή κλίμακας ( )P s s s S P z.,, '= s = z s s S Στρέβλωση ( ) P d c b a SH P.,,, '= b = d c b a SH

5 Μετασχηματισμοί D Περιστροφή (Rotation) γύρω από τον άξονα των z, ως προς την αρχή των αξόνων: 5 4 R ( θ ) cos( θ) sin ( θ) = sin ( θ ) cos( θ )

6 Μετατόπιση στο επίπεδο -: d ' Αλλαγή κλίμακας (ανεξάρτητα + = d d ' Αλλαγή κλίμακας (ανεξάρτητα σε κάθε διάσταση) = s ' ' s '

7 Στρέβλωση Χ = a ' ' = ' ' a Στρέβλωση Υ = b ' ' b '

8 Ομογενείς συντεταγμένες Σύνθεση μετασχηματισμών Ακολουθία μετασχηματισμών εκφράζεται σαν γινόμενο των αντίστοιχων πινάκων, με τον πίνακα του ου μετασχηματισμού αριστερά Η μετατόπιση είναι ο μόνος μετασχηματισμός ο οποίος απαιτεί πρόσθεση Ομογενείς συντεταγμένες: για κάθε σημείο P(,), εισάγουμε μία επιπλέον συντεταγμένη w, P(w) P(,,w ), Το σημείο P (/w, /w, ) αποτελεί την αναπαράσταση ομογενών συντεταγμένων στο επίπεδο w=w Συνήθως χρησιμοποιείται η βασική αναπαράσταση με w =

9 Μετατώπιση (Translation): T ( d ) d d = Αλλαγή κλίμακας (ανεξάρτητα T ( s s ) = s σε κάθε διάσταση) Περιστροφή (Rotation) γύρω από τον άξονα των z, ως προς R( θ ) την αρχή των αξόνων: s, ( θ ) sin( θ ) ( θ ) cos( θ ) cos = sin

10 Ερωτήσεις Ποιος ο αντίστροφος Τ - (d) Υπολογίστε τον συνολικό μετασχηματισμό Τ(d ) Τ(d ) Ποιος ο αντίστροφος Τ - (s,s ) Υπολογίστε τον συνολικό μετασχηματισμό Τ(s,s ) Τ(s,s ) Επιβεβαιώστε ότι ο R(θ) είναι ορθογώνιος. Υπολογίστε τον R - (θ) χρησιμοποιώντας: Την ιδιότητα της ορθογωνιότητας Τον υπολογισμό του R(-θ) Έστω αντικείμενο με κέντρο μάζας CM. Υπολογίστε τον πίνακα περιστροφής στο επίπεδο XY γύρω από το CM.

11 Υπολογίστε τον πίνακα μετασχηματισμού Rf για ανάκλαση σημείου από την κύρια διαγώνιο (=) π θ (, θ = Rf = R ( ) S(, ) R ( θ ) =

12 Μετασχηματισμός παράστασης σε D Υπολογίστε τον πίνακα του μετασχηματισμού, ο οποίος απεικονίζει ένα παράθυρο του χώρου (επίπεδο ΧΥ) που ορίζεται από την κάτω αριστερή γωνία ως ( min, min ) και την πάνω δεξιά γωνία ως ( ma, ma ) σε ένα παράθυρο της οθόνης (πεδίο παράστασης UV) ) που ορίζεται ρζ από την κάτω αριστερή γωνία ως (u min,v min ) και την πάνω δεξιά γωνία ως (u ma,v ma ) στις εξής περιπτώσεις: Μη διατηρώντας το λόγο διαστάσεων (aspect ratio) Διατηρώντας το λόγο διαστάσεων (aspect ratio)

13 Μετατόπιση ώστε η κάτω αριστερή ρήγωνία ως (u min,v min ) του παραθύρου να έρθει στην αρχή των αξόνων, Aλλαγή κλίμακας ώστε οι συντεταγμένες των σημείων του αρχικού σχήματος να χωράνε στο πεδίο παράστασης, u min A = v min s A = s u s u, s u = u = ma min ma min ma min ma min μετατόπιση ώστε η ελάχιστη και συντεταγμένη των σημείων του αρχικού vmin σχήματος να έρθει στην κάτω αριστερή A3 = v min γωνία του παραθύρου παράστασης ο τελικός πίνακας του μετασχηματισμού δίνεται από τη σχέση Αν διατηρείται ο λόγος διαστάσεων, τότε s umin s A = AAA = v s min 3 min min if s > s s = s else s = s

14 Απλός αλγόριθμος περιστροφή εικόνας: μη ενδεικνυόμενος Βήμα ο: Προσδιορίζουμε τη προβολή (απεικόνιση) του κέντρου του κάθε piel της αρχικής εικόνας στη νέα εικόνα Βήμα ο: Βρίσκουμε το piel της νέας εικόνας του οποίου το κέντρο βρίσκεται πιο κοντά στο σημείο της προβολής Βήμα 3ο: Θέτουμε τη φωτεινότητα του ζητούμενου piel της τελικής εικόνας ίση με τη φωτεινότητα του piel, από το βήμα, της αρχικής εικόνας. Α=T(-CM)R(θ)T(CM) for i=:56 for j=:56 [i,j] T =A*[i,j] T if i>56 i=56; if i<= i=; if j>56 j=56; if j<= j=; IM(round(i),round(j))=IM(i,j); IM(i,j); end; end;

15 Παράδειγμα περιστροφής εικόνας με χρήση του Παράδειγμα περιστροφής εικόνας με χρήση του προηγούμενου αλγόριθμου

16 Αλγόριθμος περιστροφής εικόνας για διόρθωση artifact, βάσει του κοντινότερου γείτονα Α=T(-CM)R(θ)T(CM) for i=:56 for j=:56 end; [i,j] T =(A^-)*[i,j] T if i>56 i=56; if i<= i=; if j>56 j=56; if j<= j=; IM(i,j)= IM(round(i),round(j)); end; Βήμα ο: Προσδιορίζουμε τη προβολή (απεικόνιση) του κέντρου του κάθε piel της νέας εικόνας στην αρχική εικόνα. Βήμα ο: Βρίσκουμε το piel της αρχικής εικόνας του οποίου το κέντρο βρίσκεται πιο κοντά στο σημείο της προβολής. Βήμα 3ο: Θέτουμε τη φωτεινότητα του ζητούμενου piel της τελικής εικόνας ίση με τη φωτεινότητα του piel, από το βήμα, της αρχικής εικόνας.

17 Παράδειγμα περιστροφής εικόνας χωρίς artifacts με Παράδειγμα περιστροφής εικόνας χωρίς artifacts με χρήση του προηγούμενου αλγόριθμου

18 Αλγόριθμος περιστροφής εικόνας για διόρθωση artifact, βάσει διγραμμικής παρεμβολής Βήμα ο : Για κάθε piel της τελικής εικόνας, προσδιορίζουμε την προβολή του κέντρου του στην αρχική εικόνα σύμφωνα με τον αντίστροφο πίνακα του μετασχηματισμού Βήμα ο: Βρίσκουμε τα τέσσερα piel της αρχικής εικόνας, των οποίων τα κέντρα βρίσκονται πιο κοντά στο σημείο της προβολής. Tο ο (i,j) είναι και το πλησιέστερο piel στην προβολή και ανάλογα σε ποιο τεταρτημόριο του (i,j) βρίσκεται προσδιορίζουμε και τα άλλα τρία piel. Βήμα 3ο: Προσδιορίζουμε τις οριζόντιες και κάθετες αποστάσεις της προβολής από τα κέντρα των τεσσάρων πλησιέστερων piel.

19 Υπολογίζουμε την τιμή της φωτεινότητας σύμφωνα με τη σχέση: ( ) = ( )( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) f a b f a b f a bf abf 3 4 ή ισοδύναμα: ( ) ( ) ( ) ( ) f f b f ( ) = [ a, b] f 3 f 4 a

20 Οι προηγούμενες δύο μέθοδοι ισχύουν για κάθε συσχετισμένο (Affine) μετασχηματισμό. Μέθοδος του κοντινότερου γείτονα: Πολύ απλή τεχνική Πολύ γρήγορη τεχνική Εύκολα υλοποιήσιμη σε H/W Καθόλου καλά οπτικά αποτελέσματα, εμφάνιση ψηφιδωτού (block effect) Μέθοδος διγραμμικής παρεμβολής Διατηρεί τα χαρακτηριστικά μιας απλής τεχνικής Σχετικά γρήγορη τεχνική Εύκολα υλοποιήσιμη σε H/W Αποτελεί την πλέον χρησιμοποιούμενη μέθοδο Παρατηρείται ένα «θόλωμα» στην τελική εικόνα

21 Χωρική ταύτιση εικόνων: Καθορισμός του πίνακα συσχετισμένου μετασχηματισμού βάσει ομόλογων σημείων Το πρόβλημα της χωρικής ταύτισης θεωρεί ότι υπάρχουν εικόνες Ι, Ι του ίδιου αντικειμένου, που έχουν συλλεχθεί υπό διαφορετική γεωμετρία. Εστω ότι υπάρχει ένας αριθμός από ζεύγη ομόλογων σημείων μεταξύ δύο εικόνων Ι, Ι: {p ia } στην Ι και {p ib } στην Ι. Ζητείται ο πίνακας του μετασχηματισμού που μετασχηματίζει γεωμετρικά την Ι στην Ι, έτσι ώστε τα μετασχηματισμένα σημεία {p ia } να συμπίπτουν με τα σημεία {p ib }. Λέμε τότε ότι οι δύο εικόνες ταυτίζονται χωρικά (spatial registration). Τα ζεύγη ομόλογων σημείων {p ia } στην Ι και {p ib } στην Ι, i=,,νν>3, ορίζονται είτε από το χρήστη είτε από κάποια αυτόματη μέθοδο. Ομόλογα είναι δύο σημεία όταν έχουν τοποθετηθεί πάνω στα ίδια αντικείμενα στις δύο διαφορετικές εικόνες. Προφανώς, επειδή οι δύο εικόνες δεν ταυτίζονται χωρικά,, οι συντεταγμένες δύο ομόλογων σημείων δεν θα είναι ίδιες (πχ η μύτη του ασθενή στην Ι δεν βρίσκεται στα piel στα οποία βρίσκεται η μύτη του ίδιου ασθενή στην Ι). Κ. Δελήμπασης

22 Transformed I Παράδειγμα δύο εικόνων Ι και Ι του ιδίου αντικειμένου (MRI εγκεφάλου) με 5 ζεύγη ομολόγων σημείων που έχουν τοποθετηθεί σε κοινές ανατομικές δομές από τον χρήστη. Κ. Δελήμπασης

23 Για να καθορίσουμε τον μετασχηματισμό Affine χρειαζόμαστε τον πίνακα του μετασχηματισμού ο οποίος έχει 6 αγνώστους: a, a, a, a, a, a Οι 3 άγνωστοι α, α, α υπολογίζονται από τις Χ συντεταγμένες των ζευγών ομολόγων σημείων και οι 3 άγνωστοι α, α, α υπολογίζονται από τις Υ συντεταγμένες. Αν το πλήθος των ζευγών σημείων Ν=3 πρέπει να επιλυθούν γραμμικά συστήματα 33. Αν Ν>3 (συνήθης περίπτωση) ) τότε τα γραμμικά συστήματα είναι υπερκαθορισμένα (για το κάθε ένα υπάρχουν 3 άγνωστοι και Ν>3 γραμμικές εξισώσεις). Κ. Δελήμπασης

24 Κατασκευάστε τον πίνακα Εστω A A A A A = A A N T (,, ), (,, ) T = = T T B B B B B B = (,,..., N ), b = (,,..., N ) p a a a q a a a b Πρέπει να επιλυθούν τα γραμμικά συστήματα Ap Aq = b = b Θυμηθείτε ότι ο Α είναι διαστάσεων N3 ενώ τα p,q είναι διαστάσεων 3 και τα b,b είναι δαστάσεων Ν. Ο ευκολότερος τρόπος είναι να χρησιμοποιηθεί ο τελεστής «\» του Matlab: p=a\b και q=a\b. Η παραπάνω λύση ισοδυναμεί με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, σύμφωνα με την οποία τα δύο συστήματα επιλύονται ως εξής: T T ( A A) p = A b T T ( A A ) q = A b Κ. Δελήμπασης

25 Η απόλυτη τιμή της διαφοράς των εικόνων, πριν και μετά την χωρική ταύτιση

26 Ελαστικοί γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Ο πιο γνωστός ελαστικός γεωμετρικός μετασχηματισμός είναι το μοντέλο TPS (Thin Plate Splines) (Bookstein 989).

27 Ελαστικοί γεωμετρικοί μετασχηματισμοί: το μοντέλο TPS (Thin Plate Splines) Εστω ότι έχουμε επιλέξει σύνολα ομόλογων σημείων { i, i }, { i, i } Κατασκευάζουμε τους πίνακες P, Y Ορίζουμε την συνάρτηση U(r)=r logr :R + R + και κατασκευάζουμε Ορίζουμε την συνάρτηση U(r)=r logr : R + R + και κατασκευάζουμε τον πίνακα Κ, όπου r ij η απόσταση των σημείων i, j.

28 Κατασκευάζουμε τοn πίνακα L Κατασκευάζουμε τον πίνακα Υ Υπολογίζουμε για κάθε σημείο (,) τις νέες του συντεταγμένες βάσει της ακόλουθης διανυσματικής συνάρτησης:

29

30

31 Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ομογενών σε 3 διαστάσεις (3D) Μετατώπιση Αντίστροφος μετασχηματισμός ( d ) T T d d = d d ( ) z Προφανώς T = ( d ) T ( d ) I

32 Αλλαγή κλίμακας: ( ) =,, z s s s s s s T z s Αντίστροφος μετασχηματισμός ( ),, z s s s T Προφανώς ( ) ( ) I s s s T s s s T z z =,,,,

33 Περιστροφή γύρω από τους 3 άξονες Αλλαγή κλίμακας: Αντίστροφος μετασχηματισμός ( ) Προφανώς R (θ ) R (-θ )=I cos( θ ) sin( θ ) R R ( ) = θ (-θ ) sin( θ ) cos( ) θ R ( θ ) ( θ ) ( θ ) cos sin = sin ( θ) cos( θ) ( θz) ( θz) ( θ ) ( θ ) cos sin sin z cos z θ = ( ) R z z

34 Ασκήσεις Αποδείξτε τη σχέση R (θ ) R (-θ )=I Αποδείξτε ότι για δύο διαφορετικές γωνίες R (θ ) R (θ )=R (θ +θ )

35 Υπολογίστε τον πίνακα του μετασχηματισμού που ευθυγραμμίζει διάνυσμα v=(a,b,c) με τον θετικό άξονα των z ( θ ) V = ( a,, b c ) R θ + c θ θ b α

36 Περιστροφή γύρω από τον άξονα Χ κατά γωνία θ, ώστε το διάνυσμα v=(a,b,c) να βρεθεί στο επίπεδο ΧΖ. b sin ( ) = cos( ) ( ) sin R ( ), b + c sin( ) cos( ) θ θ θ θ = θ c θ cos( θ) = b + c Περιστροφή γύρω από τον άξονα Υ κατά γωνία θ, ώστε το νέο διάνυσμα v να βρεθεί στον άξονα Ζ. R ( θ ) cos = sin θ ( θ ) sin( θ ) ( ) cos( θ ), sin cos ( θ ) ( θ ) = = a a a + b + c b + c + b + c

37 Ο πίνακας του μετασχηματισμού προκύπτει ως εξής: ( ) = ( θ ) ( θ ) Av R R λ v = a v ab λ v λ c b v ac λ v b c c v ( ), A v λ =, b + c Ο αντίστροφος πίνακας ταυτίζει το μοναδιαίο διάνυσμα Ζ με δεδομένο τυχαίο διάνυσμα v: ( θ θ ) ( θ) ( θ) ( ) ( ) ( ) Av = R R = R R

38 Περιστροφή γύρω από δεδομένο διάνυσμα Υπολογίστε τον μετασχηματισμό ο οποίος εκτελεί περιστροφή γύρω από δεδομένο διάνυσμα (a,b,c). η προσέγγιση: με χρήση του πίνακα ταύτισης τυχαίου διανύσματος με τον άξονα Ζ R V ( ) ( ) θ = A V R ( θ ) A( V ) z

39 η προσέγγιση: με χρήση διανυσμάτων Εστω ότι περιστρέφουμε το P γύρω από το A ώστε να παραχθεί το P. Ορισμός ορθοκανονικής βάσης (Α, Β, Β ) B = A P B = B A = A P A = A z A P P A(a,b,c) θ Β cosθ+b sinθ B B dr P B

40 cos cos( θ ) sin ( θ ) ( θ) sin ( θ) ( θ ) P = B + B + dr = B + B + P B = ( cos ) sin ( θ ) P + A A P + A P Έκφραση του P με διανύσματα To εξωτερικό γινόμενο μπορεί να εκφραστεί με τη βοήθεια συμμετρικού πίνακα: c b P A P = c a P b a P z [ ~ A] Με απλή αντικατάσταση και λαμβάνοντας υπόψη μοναδιαίο Α, παίρνουμε: ( ) [ A] ( θ) ( θ ) ( θ) ( ( θ) ) b b ( θ ) ( ( θ )) ( ) ( ( ))( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) [ A] ( θ) P = P + ~ P cos + ~ P sin P ( )( ) ( ) ( ) + + cos a zsin + cos ab bsin + cos ac = csin ( θ) + cos( θ) a + + cos θ b sin θ + cos θ bc P bsin ( θ ) + cos( θ) ac asin θ + cos θ bc + ( cos θ )( c )

41 κξη

42 To εξωτερικό γινόμενο μπορεί να εκφραστεί με τη βοήθεια συμμετρικού πίνακα: c b r n r = c a r b a r z [ ~ A] r ( ( ) )( ) ( ) ( ) θ θ ( θ ) ( θ ) ( ( θ ) ) ( ) ( ( ))( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) + + cos a z sin + cos ab b sin + cos ac = Rr csin ( θ) + cos( θ) a + + cos θ b sin θ + cos θ bc P b sin ( θ ) + cos ( θ ) ac a sin θ + cos θ bc + ( cos θ )( c )

43 Προσέγγιση με χρήση Quaternions Η χρήση των γωνιών Euler έχει προβλήματα: Δεν διευκολύνει την παρεμβολή της περιστροφής Διαδοχικές εφαρμογές μπορούν να εξαφανίσουν ένα άξονα περιστροφής Δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένη (πχ υπάρχουν πολλές τριάδες γωνιών (θ θ θ z ) που επιτυγχάνουν τη ίδια περιστροφή. Τα Quaternions εισήχθηκαν το 85 από τον R Hamilton για να λύσουν αυτά τα προβλήματα. Ορίζονται σαν ένα ζεύγος ενός πραγματικού και ενός διανύσματος: q=(s,v)

44 Μαθηματικοί ορισμοί και ιδιότητες ( ) ( ( )) ( ) ( ) Ορισμός: q = s, v = s,,, z = s, i+ j+ kz i = j = ijk =, ij= k, ji = k Μοναδιαίο Quartenion: =, ( v) * ( ) Μέτρο: q = q q, s, = s + v v * ( s v) = ( s v) Συζηγής:,, ( ) * q Αντίστροφος: q =, q = q q ( s v) + ( s v) = ( s+ s v+ v) = ( s v) + ( s v) μς ( s, v )( s, v ) = ( s s v v, s v + s v + v v ) ( s, v )( s, v ) ( ) = ( ) Πρόσθεση:,,,,, Πολλαπλασιασμός:,,,,, Προσεταιριστικότητα: qq q q q q 3 3

45 Σχέση quaternion και περιστροφής στις 3 διαστάσεις Εστω quaternion q=[cosθ,nsin θ] και διάνυσμα r=(,,z). Ορίζουμε το quaternion p=[,r]. Το quaternion p που προκεύπτει από τον παλλαπλασιασμό qpq- περιέχει το r περιεστραμένο γύρω από το n κατά γωνία θ.

46 Περιστροφή ρ γύρω γρ από τυχαίο διάνυσμα: εναλλακτική προσέγγιση Εστω ότι θέλουμε να περιστρέψουμε το σημείο P(z)κατά P(,,z) γωνία θ γύρω από το μοναδιαίο διάνυσμα n που διέρχεται από το σημείο Β(B,B,B z ). n C u θ P ( ) = + v ( ) P () C B P B. n n () (3) u= P C v = n u (4) r = P C= ucos θ + vsin θ (5) P = C+ r Β

47 φδγξλκ ( C C Cz) ( B B Bz) ( n n znz Bn)( n n nz) (),, =,, ,, = = = C B n n n zn nz Bn. n C B nn n znnz Bn. n Cz Bz nnz n znz Bn. nz ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u = B + n n n znn + Bn. n z () u, u, u =,, z + C + C + C u = B n n + n zn n + Bn. n z z z v = n u n u (3) v = n u n u v = n u n u z z z z z u = B n n + n n + zn Bn. n z z z z z z

48 ( ) r = ucosθ + nuz nzu sinθ (4) r = ucosθ + ( nzu nuz) sinθ rz = uzcosθ + ( nu nu) sinθ = C + r = ( B + n nn znnz + Bnn) θ + ( + + Bn ) θ ( + ( ) + Bn ) ( ) ( ) ( ) 5. cos n B n n n n zn. n sin n B n n n zn n. n sinθ z z z z z z z + ( + ) ( ) ( ) + ( ) + + ( + ) ( ) ( ) + ( ) + + ( + ) n n nz cosθ nn cosθ nz sinθ nnz cosθ n sinθ T nn cosθ nz sinθ n n nz cosθ nn z cosθ n sinθ T nn z cosθ n sinθ nn z cosθ n sinθ nz n n cosθ T 3 T = B n Bn. cosθ + n B n B ( )( ) ( Bn)( θ ) ( B n)( θ ) z z T = B n. cos + n B n B z z T3 = B n. cos + n B n B z z

49 Προβολές 3D D Ορίζουμε επίπεδο προβολής (άξονας προβολής ο κάθετος στο επίπεδο) και προβάλουμε κάθε σημείο επί του επιπέδου Προοπτική ή κεντρική προβολή: η απόσταση του κέντρου προβολής από το επίπεδο προβολής είναι πεπερασμένη Παράλληλη προβολή: η απόσταση του κέντρου προβολής από το επίπεδο προβολής είναι άπειρη Κάθετα Ορθογραφική προβολή Ορθογώνια προβολή : παράλληλα σε ένας από τους 3 κύριους άξονες Αξονομετρική προβολή : προβολή παράλληλα σε τυχαίο άξονα Ισομετρική: προβολή παράλληλα στην κύρια διαγώνιο Υπό συγκεκριμένη γωνία Πλάγια παράλληλη προβολή. Παραδείγματα η προβολή Cavalier και Cabinet.

50 Μετασχηματισμός 3D D Προβολικός μετασχηματισμός Παράλληλη προβολή A B B Επίπεδο προβολής A Κεντρική προβολή Πιο ρεαλιστική απεικόνιση Κέντρο Δε διατηρεί μήκη και γωνίεςπροβολής A B A Επίπεδο προβολής B

51 Πίνακες ορθογώνιων προβολών στο επίπεδο, z, και z σδφσφ Π = Π z = Π z = z P(,,z)

52 Θέα από πάνω Θέα από πλάι Θέα από εμπρός

53 Ισομετρική προβολή Το επίπεδο προβολής προσανατολίζεται έτσι ώστε το κάθετο διάνυσμα Ν να συμπέσει με τον άξονα Ζ Στη συνέχεια εφαρμόζεται ο πίνακας αξονομετρικής προβολής στο XY. Η θέση του επιπέδου προβολής δεν έχει σημασία στην παράλληλη προβολή z Ν P(,,z)

54 Ισομετρική προβολή: απόδειξη με πίνακες και ισοδύναμα αναλυτική γεωμετρία Επίπεδο προβολής: διέρχεται από (,,). λ ab ac Κάθετο διάνυσμα: Ν=(,,) v λ v λ v (,, ) εξίσωση: ++z+δ= Α(Ν): Πίνακας ταύτισης Νμε άξονα Ζ Pziso=Πίνακας ς αξονομετρικής προβολής στο επίπεδο XY () A v A λ b = = c c a b c.5774 v v v Pziso = ( N ) P A( N ) ziso =

55 Ισομετρική προβολή: Αναλυτική Γεωμετρία Εξίσωση ευθείας από P(,,z), παράλληλη στο Ν: Τομή με το επίπεδο ++z+δ=, δ=: Πίνακας μετασχηματισμού: + at = + t z = = = t z 3-3 Π = at = + at = z + t + t + + z =

56 Πλαγιες παράλληλες προβολές Η πλάγια παράλληλη προβολή καθορίζεται από δύο γωνίες: τη γωνία πρόσπτωσης α και τη γωνία φ που σχηματίζει η ευθεία μεταξύ της πλάγιας και της κάθετης προβολής με τον άξονα. z P(,,z) ' α φ P (,,) ' = + L cos ϕ ' = + Lsinϕ z L = tan ( a) z ' = + cosϕ tan a z ' = + sinϕ tan a cosϕ tan a sinϕ P = tan a

57 Ειδικές περιπτώσεις πλάγιας παράλληλης προβολής: α=45: προβολή Cavalier: δεν εμφανίζει σμίκρυνση ευθειών που είναι κάθετες στο επίπεδο προβολής α=63, φ=3: προβολή Cabinet σμίκρυνση των ευθειών που είναι κάθετες στο επίπεδο προβολής κατά /. P CAVALIER =

58 Να βρεθεί η εξίσωση παράλληλης προβολής στο επίπεδο XY, με διεύθυνση προβολής το διάνυσμα (a,b,c). Εστω ότι το P(,,z) προβάλλεται στο P (,,z ). Τότε: V = ( abc,, ) ' = ma PP ' = m V ' = mb z' z = mc z z' = m= c Ο πίνακας του μετασχηματισμού γράφεται ως: a c b P = c

59 Να βρεθεί ο πίνακας μετασχηματισμού της παράλληλης προβολής με διεύθυνση V=(a,b,c) σε επίπεδο που διέρχεται από το R και είναι κάθετο στο διάνυσμα n=(n,n,n3).. Μεταφορά του R στην αρχή των αξόνων: Τ(-R). Ευθυγράμμιση του Ν με τον άξονα Ζ: Α(Ν) 3. Υπολογισμός του νέου διανύσματος V = Α(Ν) ( ) V 4. Εφαρμογή του πίνακα του προηγούμενου παραδείγματος για V. 5. Επαναφορά του Ν 6. Επαναφορά του R.

60 Ασκηση Εστω παρατηρητής στο σημείο αρχής του 3Δ καρτεσιανού συστήματος και μία παραλληλόγραμμη τέντα με κορυφές: Α(,,3), Β(,,3), Γ(,3,), Δ(,3,). Θεωρήστε ότι ο ήλιος βρίσκεται στην προέκταση του διανύσματος V=(,-,). Υπολογίστε: Το εμβαδό της σκιάς της τέντας επί του εδάφους (επίπεδο ΧΥ). Το εμβαδό της σκιάς της τέντας επί τείχου παράλληλου στο επίπεδο ΧΖ.

61 Θεωρούμε την σκιά λόγω του ήλιου ως πλάγια παράλληλη προβολή. Ζ Το επίπεδο προβολής είναι το ΧΥ. Πίνακας προβολής: Α Β Δ Γ = Α Β 3 3 Χ Δ Γ A' B' Γ' Δ' Πίνακας προβολής A B Γ Δ Υ

62 Προοπτική προβολή στο επίπεδο XY (z=) ),, ( z d z z z z p p p + = = = z ),, ( p p d z z + d z ),, ( d d p d ),, ( d Κέντρο προβολής = z d d w z p p Επίπεδο προβολής d w

63 Προοπτική προβολή σε τυχαίο επίπεδο,, με κέντρο το (,,) Εστω επίπεδο που ορίζεται από το σημείο P =(,,z ) και το κάθετο z διάνυσμα n=(n,n,n 3 ). Να βρεθεί ο πίνακας προβολής. n = (,, ) P z ( n, n, n ) 3 ( z ) P ' ', ', ' P ( z,, ) 3 Η παραπάνω εξίσωση εκφράζεται σαν πίνακας ως εξής d d Π = d n n n3 ' = a OP ' = aop ' = a z' = az n. PP ' = ( n, n, n3).(( ' ),( ' ),( z ' z) ) = n ' n + n' n + nz 3 ' nz 3 = a ( n + n + n 3 z ) = d, d = n + n + n 3 z d a = n+ n + nz