Εισαγωγή στην Θεωρία της Πολυπλοκότητας και στα Πολύπλοκα Συστήματα

Transcript

1 ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Αν. Κθ. Γεώργιος Π. Πύλος Δρ. Μιχήλ Αθνσίου Εισγωγή στην Θεωρί της Πολυπλοκότητς κι στ Πολύπλοκ Συστήμτ ΞΑΝΘΗ 00

2 Περιεχόμεν Εισγωγή ΚΕΦ 1 Ο : Η πολυπλοκότητ στη φύση ΚΕΦ Ο : Μθημτικά κι πολυπλοκότητ ΚΕΦ 3 Ο : Ντετερμινιστική περιγρφή της πολυπλοκότητς ΚΕΦ 4 Ο : Στοχστική περιγρφή της πολυπλοκότητς 1

3 Εισγωγή Η θεωρί πολυπλοκότητς ποτελεί την 3 η επνάστση στον χώρο της σύγχρονης επιστήμης μετά την θεωρί της σχετικότητς κι τη θεωρί των κβντικών, με μεγάλες συνέπειες στην σύγχρονη τεχνολογί. Η νθρώπινη τεχνολογί εξελίχθη ρχικά ως τεχνολογί ύλης (πό την προϊστορί μέχρι σήμερ, ως τεχνολογί ενέργεις κυρίως πό την νγέννηση κι τον διφωτισμό μέχρι σήμερ), ενώ στον 0 ο ιών έχουμε λμτώδη εξέλιξη στην τεχνολογί της πληροφορίς. Η ύλη δικρίνετι σε στερεά κτάστση σε υγρή, σε έρι κι σε πλάσμ (ιονισμένη ύλη). Οι τρεις πρώτες κτστάσεις πρτηρούντι σε σχετικά χμηλές θερμοκρσίες (θερμοκρσίες πλνητών) ενώ το πλάσμ πρτηρείτι σε υψηλές θερμοκρσίες (θερμοκρσίες στέρων, σε πυρηνικούς ντιδρστήρες κλπ). Ακόμη η ύλη δικρίνετι σε άψυχη ή έμβιο (έμψυχη). Στην άψυχη ύλη πουσιάζουν οι λειτουργίες της ζωής όπως η νπργωγή, η προσρμογή, η κτνάλωση ύλης κι ενέργεις, υτοσυντήρηση (πρόσληψη τροφής, νπνοή, κλπ.), επεξεργσί πληροφορίς (μνήμη, γνώση, πρόβλεψη κλπ.) κι η συνείδηση-υτοσυνείδηση. Η ενέργει ρχικά δικρίνετι σε Μηχνική, Ηλεκτρική, Φωτεινή, Χημική κλπ. Ενώ σε μι κριβέστερη περιγρφή δικρίνετι σε κινητική, ηλεκτρομγνητική κι πυρηνική, διότι κάθε άλλη μορφή ενέργεις νάγετι σε υτές. Η πληροφορί είνι ρνητική εντροπί κι μετρά την ποσότητ τάξης που περιέχει μι κτάστση ύλης ή ενέργεις. Η φυσική θεωρί ποτελεί την βάση πάνω στην οποί στηρίζετι κι νπτύσσετι η τεχνολογί κι επιλύοντι τ τεχνικά προβλήμτ. Η θεωρί της πολυπλοκότητς ποτελεί τη βάση πολλών σημντικών τεχνολογικών εφρμογών σε όλες τις περιοχές της σύγχρονης τεχνολογίς (ύλης, ενέργεις, πληροφορίς) ιδιίτερ δε εκεί που η μοντελοποίηση της πργμτικότητς είνι δύσκολη ή δύντη μέσω της προηγούμενης φυσικής θεωρίς. Η μοντελοποίηση (modelig) ποτελεί βσική έκφρση κι μέθοδος της επιστήμης κι της τεχνολογίς διότι η επιστημονική ερμηνεί ή η Τεχνολογική εφρμογή στηρίζοντι στην δημιουργί μοντέλων κυρίως μθημτικών κι ποσοτικών. Ακόμη η θεωρί της πολυπλοκότητς (θεωρί πολύπλοκων συστημάτων προσπθεί ν κτνοήσει φινόμεν ολιστικά όπως η υτοοργάνωση κι η υθόρμητη δημιουργί τάξης, τ οποί δυντεί ν κτνοήσει η κλσσική φυσική θεωρί.

4 Στο πρώτο κεφάλιο περιγράφουμε φινόμεν που φορούν τ πολύπλοκ συστήμτ. Στο δεύτερο κεφάλιο εισάγουμε βσικές μθημτικές εύνοιες που πιτούντι γι την ποσοτική περιγρφή-μοντελοποίηση των Πολύπλοκων Συστημάτων. Στο τρίτο κεφάλιο εισάγουμε την ντετερμινιστική περιγρφή των πολύπλοκων συστημάτων. Στο τέτρτο κεφάλιο εισάγουμε την στοχστική περιγρφή των πολύπλοκων συστημάτων. Τέλος στο πέμπτο κεφάλιο εισάγουμε μεθόδους μη γρμμικής νάλυσης σημάτων σε σχέση με τ πολύπλοκ συστήμτ. 3

5 4

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Η ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ ΣΤΗ ΦΥΣΗ Στο κεφάλιο υτό θ εισγάγουμε μερικά κίρι φινόμεν πολυπλοκότητς τ οποί δείχνουν τ νέ χρκτηριστικά των πολύπλοκων συστημάτων κι της θεωρίς της πολυπλοκότητς. 1.1 Κοσμολογί κι μικροφυσική Σήμερ κτλβίνουμε ότι ολόκληρο το γνωστό σύμπν είνι έν πολύπλοκο σύστημ που περιλμβάνει μί τελείωτη λληλουχί πολυπλόκων φινομένων πό το μικροσκοπικό έως το μκροσκοπικό επίπεδο. Αρχικά θεωρήσμε ότι κάθε πολύπλοκο σύστημ νλύετι σε πλά συσττικά (σωμτίδι) κι πλές μορφές δύνμης (βρύτητ, πυρηνικές-ηλεκτρομγνητικές δυνάμεις) κι ότι κάθε φινόμενο στον μικρόκοσμο ή τον μκρόκοσμο είνι ποτέλεσμ λληλεπίδρσης των στοιχειωδών σωμτιδίων μέσω των θεμελιωδών δυνάμεων. Το βσικό χρκτηριστικό της πολυπλοκότητς είνι το γεγονός ότι έν πολύπλοκο σύστημ ενώ φίνετι ν ποτελείτι πό πολλά «νεξάρτητ» υποσυστήμτ τυτόχρον διτηρεί ένν ολιστικό χρκτήρ κι φνερώνει μι διάσπστη ενότητ των μερών. Στη σύγχρονη φυσική ο χώρος όχι μόνο δεν είνι κενός λλά είνι μί δυνμική πολύπλοκη πργμτικότητ ικνή ν διστέλλετι κι ικνή ν πράγει ή ν πορροφά υλικά σωμάτι. Τ δε στοιχειώδη σωμτίδι στο επίπεδο των κουάρκς κι πιο κάτω φνερώνοντι ως πολύπλοκ νημάτι (υπερχορδές) με εσωτερική δομή κι κίνηση. Ακόμη δύο στοιχειώδη σωμάτι όπου προήλθν πό τη διάσπση ενός ρχικού σωμάτιου όσο κι ν πομκρυνθούν μετξύ τους διτηρούν μί τοπική επικοινωνί χωρίς την μετφορά ύλης-ενέργεις. Επίσης σύμφων με την ρχή δυϊσμού τ στοιχειώδη σωμτίδι δεν είνι κθόλου πλά φού άλλοτε εμφνίζουν τοπικό-σωμτιδικό χρκτήρ κι άλλοτε μη τοπικο-κυμτικό χρκτήρ. Τέλος, κίρις σημσίς φινόμεν είνι η μονόπλευρη ροή του χρόνου πό το πρελθόν στο μέλλον όπως κι η μονόπλευρη ύξηση της εντροπίς (μόνο ύξηση) ή η μονόπλευρη ροή θερμότητς πό υψηλές σε χμηλές θερμοκρσίες. 5

7 1. Ρευστά Έν ρευστό που θ βρεθεί μκριά πό θερμοδυνμική ισορροπί με έντονες διφορές (βθμίδες) στην θερμοκρσί, στην τχύτητ, κ.λ.π. εμφνίζει εντυπωσικά φινόμεν πολυπλοκότητς κι υτοοργάνωσης όπως είνι η τύρβη ή οι μκροσκοπικές ρμονικές τλντώσεις-περιοδικότητες. Στο κόλουθο σχήμ δείχνουμε την περίπτωση ενός υγρού στρώμτος με διφορά θερμοκρσίς (θερμόμετρο κάτω). Ότν η διφορά της θερμοκρσίς υπερβεί έν κτώφλι τότε το ρχικό μικροσκοπικό χάος άτκτης κι τυχίς κίνησης των σωμτιδίων του μετσχημτίζετι σε ομοιόμορφη μκροσκοπική κυκλική κίνηση, έτσι ώστε τ δισεκτομμύρι-δισεκτομμυρίων των σωμτιδίων του ρχίζουν ν περιστρέφοντι ομοιόμορφ με την ίδι συχνότητ ως ένς όρτος «μέστρος» ν τ συντονίζει τυτόχρον σε όλο τον χώρο. Άλλ ντίστοιχ φινόμεν στ ρευστά πρτηρούντι στην κτάστση τύρβης είτε σε περιπτώσεις διφορικής περιστροφής ενός ρευστού. 1.3 Χημεί Μέσ σε χημικούς ντιδρστήρες όπου μπορούν ν λμβάνουν χώρ πολύπλοκες χημικές ντιδράσεις πρτηρούντι φινόμεν υτοργάνωσης ντίστοιχ με υτά των ρευστών, ρκεί το σύστημ των χημικών ενώσεων ν μένει μκριά πό θερμοδυνμική ισορροπί, μέσω διρκούς ροής χημικών ενώσεων κι νκίνησης του ντιδρστήρ. Σε μί πλοποιημένη μορφή τ φινόμεν χημικής υτοοργάνωσης πράγουν συντονισμούς ώστε την ίδι στιγμή σε όλο τον χώρο του ντιδρστήρ ν λμβάνει χώρ η ίδι χημική ντίδρση ενώ μετά πό λίγο λλάζουν τ πράγμτ κι λμβάνει πντού χώρ μί άλλη χημική ντίδρση. Έτσι είνι δυντόν ν έχουν περιοδική λλγή του χρώμτος π.χ. πό μπλε σε κόκκινο πάλι μπλε μετά κόκκινο κι ούτω κθεξής. Το φινόμενο υτό είνι γνωστό ως χημικό ρολόι. Γι ν ντιληφθούμε τη σημσί του φινομένου υτού ρκεί ν σκεφθούμε ότι μέσ στον ντιδρστήρ ο τρόπος ντίδρσης των χημικών μορίων της ύλης στο έν σημείο του ντιδρστήρ κνονικά είνι νεξάρτητος πό τον τρόπο χημικής ντίδρσης στ άλλ σημεί του ντιδρστήρ, διότι μί χημική ντίδρση δύο μορίων γι ν συνθέσουν νέ μόρι είνι τυχίο φινόμενο των μικροσκοπικών συγκρούσεων. Πάλι εδώ έχουμε ένν κτνόητο πράγοντ που 6

8 συντονίζει όλες υτές τις χημικές ντιδράσεις μέσ σε όλο τον όγκο του ντιδρστήρ πό τυχί συμβάντ ν ποκτούν κθολική τάξη έτσι ώστε πντού ν έχουμε πργωγή του ιδίου τύπου νέων μορίων κι υτό ν γίνετι με συντονισμένο περιοδικό τρόπο ώστε η λλγή του προϊόντος της χημικής ντίδρσης ν γίνετι τυτόχρον σε όλο τον ντιδρστήρ. Αντίθετ εάν το σύστημ δεν ευρίσκετι ρκετά μκριά πό την κτάστση της θερμοδυνμικής ισορροπίς τότε έχουμε τυχίες χημικές ντιδράσεις πργωγής διφορετικών κάθε στιγμή προϊόντων μέσ στον όγκο του χημικού ντιδρστήρ. Μάλιστ πιο εξελιγμέν φινόμεν χημικής υτοοργάνωσης οδηγούν πέρν του χρονικού συντονισμού σε χωρικούς συντονισμούς έτσι ώστε ν δημιουργούντι δομές τάξης στον χώρο γνωστές ως χημικά κύμτ. Έτσι μπορούμε τώρ την ίδι χρονική στιγμή ν πρτηρούμε περιοδική μετβολή του χρώμτος κτά μήκος του ντιδρστήρ ενώ συγχρόνως έχουμε κι χρονικές μετβολές. Η χημική λοιπόν υτοοργάνωση των πολυπλόκων συστημάτων πράγει χημικές δομές στον χώρο κι τον χρόνο ωσάν πάλι κάποιος όρτος μέστρος ν συντονίζει κάθε στιγμή τον τρόπο ντίδρσης των πρκτικά άπειρων χημικών μορίων μέσ στον όγκο του χημικού ντιδρστήρ Βιολογί Τ χημικά ρολόγι κι τ χημικά κύμτ που πράγει η χημική υτοοργάνωση είνι η ρχή κτνόησης της βιολογικής υτοοργάνωσης που πρτηρείτι πό τ πλά πρωτόζω μέχρι τους νεπτυγμένους πολύπλοκους βιολογικούς οργνισμούς. Ο βιολογικός κόσμος ποτελείτι πό πληθώρ ζώντων οργνισμών πό το επίπεδο των πλών μονοκύττρων οργνισμών μέχρι το επίπεδο των φυτών κι των ζώων που είνι πλήρως νεπτυγμένοι οργνισμοί. Το πιο πλό έμβιο ον είνι το κύττρο. Ήδη εδώ μέσ στο κύττρο συμβίνουν χιλιάδες ή εκτομμύρι χημικές ή φυσικές λειτουργίες πλήρως συντονισμένες μετξύ τους ώστε το κύττρο ν μπορεί ν τρέφετι κι ν νπράγετι. Εκεί δε που κτυπά η κρδιά του κυττάρου είνι ο πυρήνς του που περιέχει το DNA δηλδή τον γενετικό κώδικ της ζωής. Κάθε διφορετικό είδος ζώντος οργνισμού περιέχει διφορετική μορφή του DNA. Το DNA μπορεί ν ντιγράφει τον ευτό του κι έτσι τ έμβι όντ ντιγράφουννπργάγουν τον ευτόν τους. Η πορεί της φύσης πό πλά χημικά μόρι σε πολύπλοκ μκρομόρι (DNA, RNA, κ.λ.π.) κι πό εκεί σε πολύπλοκ κύττρ κι πολύπλοκους οργνισμούς ποτελεί έν θύμ υτοοργάνωσης που δύσκολ 7

9 εξηγείτι με όσ γνωρίζουμε μέχρι σήμερ. Το πλέον εντυπωσικό φινόμενο είνι ν βλέπει κνείς μί ομοιόμορφη σφίρ χιλιάδων ή εκτομμυρίων κυττάρων ν ρχίζει βθμιί ν διφοροποιείτι έτσι ώστε άλλ κύττρ ν γίνοντι δέρμ, άλλ νεύρ, άλλ οστά, άλλ κρδιά, χέρι, πόδι, κεφάλι, κ.ο.κ. Εδώ έχουμε έν σύλληπτο φινόμενο υτοοργάνωσης κι δημιουργίς τάξης μέσ πό διρκή σπσίμτ της ρχικής συμμετρίς κι ομοιομορφίς. 1.5 Οικοσυστήμτ Το γήινο οικοσύστημ περιλμβάνει το φυσικοχημικό περιβάλλον: ξηρά, θάλσσ, τμόσφιρ κι όλο το βιολογικό περιβάλλον φυτά κι ζώ που ζουν κι νπτύσσοντι μέσ σε υτό. Αν φέρουμε στο μυλό μς την ιστορική λληλουχί που οδήγησε μέσ σε τέσσερ (4) περίπου δισεκτομμύρι χρόνι την άμορφη θερμή μάζ της γης στην σημερινή πολύπλοκη μορφή του γήινου φυσικοχημικού κι βιολογικού περιβάλλοντος τότε ντιλμβνόμστε τη λειτουργί της υτοοργάνωσης σε επίπεδο πλνητικό. Μέσ σε υτό το πλνητικό πολύπλοκο σύστημ εμφνίζοντι όλο κι πιο πολύπλοκες φυσικοχημικές κι βιολογικές μορφές ενώ τυτόχρον όλο υτό το περιβάλλον μοιάζει με έν πλνητικό γήινο ζωντνό οργνισμό. 1.6 Άνθρωπος Στο επίπεδο του νθρώπου η φυσική πολυπλοκότητ κι η λειτουργί της υτοοργάνωσης ποκτά τελείως άλλο βάθος κι ύψος κι οδηγεί στην εμφάνιση όλων των νθρώπινων λειτουργιών: γλώσσ, λογική (λόγος), συνείδηση κι υτοσυνείδηση. Εδώ έχουμε την εμφάνιση του νθρώπινου εγκεφάλου του πλέον πολύπλοκου συστήμτος μέσ στο σύμπν. Ο νθρώπινος εγκέφλος μπορεί ν πίρνει πληροφορί πό το περιβάλλον κι ν γεννά νέ πληροφορί μέσ στον κόσμο. Στο επίπεδο του νθρώπου εμφνίζοντι όλες εκείνες οι ψυχοσωμτικές λειτουργίες που φίνετι ν υπερβίνουν κάθε πλή επιστημονική εξήγηση. Ο νθρώπινος νους περιγράφει όλο τον κόσμο που βλέπει λλά δυντεί ν κτνοήσει τον ευτόν του. Η νθρώπινη δηλδή σκέψη περιγράφει όλ τ άλλ λλά στέκετι νίκνη ν κτνοήσει τον ευτόν της. Ο άνθρωπος ζει μέσ στον κόσμο, τον περιγράφει, λλά συγχρόνως νζητά το πέρν του κόσμου, νζητά το νόημ του 8

10 κόσμου, τον λόγο ύπρξης του κόσμου. Ο άνθρωπος χίρετι ή λυπάτι κι νζητά τ ίτι της λύπης ή της χράς. Τέλος ο άνθρωπος νζητά τ ίτι της τάξης κι της υτοοργάνωσης του κόσμου σε όλ τ επίπεδ. 9

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Τ μθημτικά που θ χρησιμοποιήσουμε γι την μελέτη των πολύπλοκων συστημάτων δικρίνοντι σε δύο βσικές κτηγορίες: ντετερμινιστικές περιγρφές στοχστικές περιγρφές. Στις πρώτες μιλάμε γι βεβιότητες ενώ στις δεύτερες γι πιθνότητες..1. Μθημτική περιγρφή των δυνμικών συστημάτων Έν φυσικό σύστημ περιγράφετι πό έν σύνολο μετβλητών 1,,., N,. τ οποί γι κάθε χρονική στιγμή έχουν ορισμένη τιμή. Έν φυσικό μέγεθος μπορεί ν μετβάλλετι στον χρόνο όπως η τχύτητ, η θερμοκρσί κλπ. ή κι ν μείνει στθερό όπως π.χ. η διτήρηση της ολικής ενέργεις, της ολικής ορμής, φορτίου κλπ. Εν γένει τ φυσικά μεγέθη είνι συνρτήσεις του χρόνου : (t) ή = f(t) όπου Χ φυσικό μέγεθος, κι t χρόνος. Έν φυσικό μέγεθος μπορεί ν πίρνει συνεχείς τιμές ή δικριτές. Συνεχές μέγεθος : R, όπου οι ριθμητικές τιμές του μεγέθους κι R το σύνολο των πργμτικών ριθμών. Δικριτό μέγεθος : i R, i = 1,,3, όπου i οι τιμές ενός δικριτού μεγέθους κι i υποσύνολο των φυσικών ριθμών. Πράδειγμ συνεχούς μεγέθους: η θέση κι η τχύτητ ενός σώμτος στο χώρο, θερμοκρσί ενός σώμτος, κλπ. Πράδειγμ δικριτού μεγέθους: ηλεκτρικό φορτίο, η ενέργει ενός κβντικού συστήμτος, κλπ. d 1 ν Συνεχές μέγεθος Δικριτό μέγεθος Σχήμ.1 10

12 Στο συνεχές μέγεθος οι μετβολές d μπορούν ν είνι οσοδήποτε μικρές. Το δικριτό μέγεθος πίρνει δικριτές τιμές κι οι μετβολές είνι πεπερσμένες. Η κτάστση ενός δυνμικού συστήμτος περιγράφετι πό πεπερσμένο πλήθος μετβλητών : φ 1, φ,..., φ Ν ή πό άπειρο πλήθος μετβλητών : φ χ φ(χ) όπου φ το μέγεθος κι χ ένς δείκτης που πίρνει άπειρες τιμές συνεχείς ή δικριτές. Πράδειγμ γι την πρώτη περίπτωση είνι η κτάστση ενός σωμτιδίου που κινείτι σε ευθεί γρμμή: Η περίπτωση πεδίου (άπειρο πλήθος μεγεθών) περιγράφετι στ επόμεν. 0 t υ(t) K(t) = {(t), v(t)} (t) Σχήμ. Στην περίπτωση υτή η κτάστση του σώμτος περιγράφετι κάθε στιγμή πό τη θέση κι τη στιγμιί τχύτητ υ του σωμτιδίου. Ως γνωστόν η τχύτητ ορίζετι ως η πράγωγος της θέσης: v(t) or Δt0 Δ Δt ή v(t) d dt Αντίστοιχ γι έν σωμτίδιο στο χώρο η κτάστσή του περιγράφετι πό 6 μετβλητές: 3 μετβλητές θέσης ή συντετγμένες θέσης κι 3 συνιστώσες τχύτητς. z υ (t) r(t) y Κ(t) = { r(t),v(t)} Κ(t) = { (t), y(t),(t), v (t),v y (t),v z (t)} Σχήμ.3 11

13 Εν γένει το σύνολο των επρκών φυσικών μετβλητών που περιγράφουν έν δυνμικό σύστημ ποτελούν τον φσικό χώρο του συστήμτος ή χώρο κτάστσης. Έτσι γι την περίπτωση ενός σωμτιδίου που κινείτι σε ευθεί (σχήμ ) ο φσικός χώρος είνι το επίπεδο (, v) θέσης - τχύτητς του σωμτιδίου. υ υ τροχιά στον χώρο φάσεων υ(t) Σχήμ.4 (t) Η χρονική εξέλιξη της κτάστσης ντιστοιχεί σε μι συνεχή τροχιά στο φσικό ή κτσττικό χώρο Το πλήθος των επρκών νεξάρτητων φυσικών μετβλητών που περιγράφουν το δυνμικό σύστημ ποτελεί τους βθμούς ελευθερίς του συστήμτος. Έτσι γι έν σωμτίδιο που κινείτι στην ευθεί έχουμε δυο βθμούς ελευθερίς (θέση, τχύτητ) ενώ γι έν σωμτίδιο που κινείτι στον χώρο έχουμε 6 βθμούς ελευθερίς, τρεις συνιστώσες θέσης κι 3 συνιστώσες τχύτητς ή ορμής. Έτσι, δυο σωμτίδι περιγράφοντι πό 6 = 1 βθμούς ελευθερίς κι Ν σωμτίδι πό 6Ν = βθμούς ελευθερίς. Μθημτικά ένς κτσττικός χώρος -βθμών ελευθερίς περιγράφετι πό κάθετους άξονες. 3 4 (t) Κ(t) = { 1 (t), 1 (t),, (t)} X K(t) X = κτσττικό διάνυσμ Οι συνιστώσες i στις συνιστώσες θέσης κι στις συνιστώσες τχύτητς Χώρος διστάσεων 1 Σχήμ.5 1

14 Τ νεξάρτητ φυσικά μεγέθη που περιγράφουν την κτάστση δυνμικού συστήμτος ορίζουν έν -διάσττο κτσττικό διάνυσμ του Κ(t) X { 1 (t), (t),, (t)} όπου 1 (t), 1 (t),, (t)} οι προβολές του κτσττικού δινύσμτος στους - κάθετους άξονες που περιγράφουν τον φσικό ή κτσττικό χώρο. Αντίστοιχ η χρονική εξέλιξη της κτάστσης του δυνμικού συστήμτος περιγράφετι πό μι συνεχή κμπύλη γρμμής στον -διάσττο φσικό χώρο που ποτελεί την τροχιά της δυνμικής του συστήμτος. 3 4 (t) t Τροχιά στο χώρο φάσεων 1 Σχήμ.6 Η τροχιά στον φσικό χώρο ενώνει όλες τις διδοχικές κτστάσεις πό τις οποίες διέρχετι το σύστημ εξελισσόμενο στον χρόνο. Εάν το σύστημ περιγράφετι πό ντετερμινιστική δυνμική τότε γνωρίζοντς την ρχική κτάστση του συστήμτος μπορούμε ν γνωρίζουμε όλες τις επόμενες ή προηγούμενες κτστάσεις του. Ο κτσττικός (φσικός) χώρος περιλμβάνει πολλές k(t 0 -τ) k(t 0 ) k(t 0 +τ) δυντές ντετερμινιστικές τροχιές. Από κάθε κτάστση διέρχετι μι τροχιά Φσικός χώρος Κ(t 0 -τ) Κ(t 0 ) Κ(t 0 +τ) Σχήμ.7 13

15 Εάν το σύστημ περιγράφετι στοχστικά τότε μπορούμε ν γνωρίσουμε μόνο την πιθνότητ ν κολουθήσει την μι ή την άλλη τροχιά. Στην στοχστική περιγρφή η πργμτική τροχιά κι η πργμτική κτάστση επιλέγοντι πρόβλεπτ (ελεύθερ) μέσ πό έν σύνολο πιθνών ή δυντών κτστάσεων κι τροχιών. t 1 σ t t 3 σ = {K(t 1 ), K(t ),, K(t )} Στοχστική δυνμική στον φσικό χώρο Σχήμ.8 Στ στοχστικά συστήμτ η πρτηρούμενη τροχιά πργμτοποιείτι πιθνοκρτικά επιλεγόμενη μέσ πό το πλήθος πολλών δυντών τροχιών Η πρτηρούμενη τροχιά γι μι χρονική περίοδο (t, t τ ) κι η πρτηρούμενη κτάστση μι ορισμένη στιγμή (t) επιλέγοντι πό την στοχστική δυνμική έτσι ώστε ν συγκρίνουμε μόνον τη πιθνότητ ν πρτηρηθούν η κτάστση K(t) ή έν σύνολο διδοχικών κτστάσεων που ποτελούν την τροχιά (σ). σ t t β a P(σ) = Πιθνότητ γι την τροχιά σ Γι κάθε δυντή τροχιά ντιστοιχεί μι ορισμένη πιθνότητ. Αντίστοιχ στις στοχστικές διδικσίες γι κάθε κτάστση K(t) ντιστοιχεί ορισμένη πιθνότητ πργμτοποιήσεως της κτστάσεως Κ(t) P[K(t)] Τ ίδι πράγμτ ισχύουν γι δυνμικά συστήμτ που περιγράφοντι πό άπειρες δυνμικές (φυσικές) μετβλητές, δηλδή έχουμε άπειρους βθμούς ελευθερίς, όπως συμβίνει με τ πεδί, τ οποί περιγράφοντι πό μι ή περισσότερες μετβλητές σε κάθε σημείο του χώρου κι επειδή τ σημεί του χώρου είνι άπειρ έχουμε άπειρους βθμούς ελευθερίς. 14

16 . Φυσικός χώρος πεπερσμένης διάστσης Όλοι γνωρίζουμε ότι ο φυσικός χώρος είνι 3-διάσττος Τρισδιάσττος φσικός χώρος k r(t) Σ Σ X ΟΣ X i + y j + z k ή X 1 i + j + 3 k ή X 1 e 1 + e + 3 e 3 i j Σχήμ.9 ή ή X (, y, z) X ( 1,, 3 ) Κάθε σημείο του χώρου περιγράφετι πό το διάνυσμ θέσης το οποίο νλύετι σε τρεις συνιστώσες (, y, z) X i + y j + z k Μονδιί δινύσμτ στους τρεις κάθετους (κρτεσινούς) άξονες του χώρου, είνι τ i, j, k. Πράξεις δινυσμάτων Οι βσικές πράξεις δινυσμάτων είνι η πρόσθεση δύο ή περισσότερων δινυσμάτων, ο πολλπλσισμός δινύσμτος με ριθμό, το εσωτερικό κι το εξωτερικό γινόμενο δινυσμάτων. Πρόσθεση a b c c a b, cy a c c i c j c k y z y b y, c z a z b z 15

17 Πολλπλσισμός λa b b λa, b y λa,b z λa Εσωτερικό γινόμενο δινύσμτος a b a b a b a b y y z z Εξωτερικό γινόμενο i j k c ab a a a c b b y y b z z a b y y a b z z a i b z z a b a j b a b y y k Όπου είνι το σύμβολο της ορίζουσς Το εσωτερικό γινόμενο a b δύο δινυσμάτων είνι βθμωτό (ριθμός) κι ντιστοιχεί στην προβολή ενός δινύσμτος στο άλλο. Ο Β Α Α Σχήμ.10 Β OA ΟΒ b OA συνθ OB b συνθ b b συνθ Το εξωτερικό γινόμενο είνι διάνυσμ κι ντιστοιχεί στο εμβδόν του πρλληλόγρμμου που ορίζουν τ δινύσμτ. c c ab b c = a b ημφ Σχήμ.11 16

18 Το εμβδόν επιφάνεις περιγράφετι με διάνυσμ κάθετο στην επιφάνει μέτρο ίσο με το εμβδόν της επιφάνεις κι φοράς δεξιόστροφης ή ριστερόστροφης νλόγως πως περιφερόμστε στην επιφάνει. ΔS ΔS ΔS Σχήμ.1 ΔS Κμπύλη Εφπτόμενη κμπύλης Κάθε συνεχής γρμμή ορίζετι πό έν υποσύνολο σημείων μέσ στον φυσικό χώρο κι περιγράφετι πό μι δινυσμτική συνάρτηση μις βθμωτής μετβλητής (λ). 3 Σ(λ) d/dλ 0 (λ ) =Δινυσμτική συνάρτηση λ Σ Σ ΟΣ(λ) (λ ) = 1 (λ) e 1 + (λ) e + 3 (λ) e 3 1 Σχήμ.13 Σε κάθε σημείο Σ μις γρμμής ντιστοιχούμε τον ριθμό (πράμετροι, κμπύλης), π.χ. το μήκος της κμπύλης ΟΣ πό έν σημείο νφοράς. Στην περίπτωση που η κμπύλη ντιστοιχεί στην τροχιά ενός σώμτος στο χώρο η πράμετρος λ τυτίζετι με τον χρόνο. Η εφπτομένη της κμπύλης σε κάθε της σημείο ορίζετι πό την πράγωγο της δινυσμτικής συνάρτησης: 17

19 d/dλ e 3 d dλ d dλ d dλ d dλ 1 3 e1 e e3 e 1 e Σχήμ.14 Σ έν χώρο -διστάσεων έχουμε γενίκευση όλων των νωτέρων εννοιών : (t) Σ Τροχιά στο χώρο φάσεων Σχήμ.15 d /dλ Λ ΟΣ = X (λ ) d d d e1 e dλ dλ dλ d dλ 1... e όπου X = 1 (λ) e 1 + (λ) e + + (λ) e X + Y =( 1 +y 1 ) e 1 +( +y ) e + +( + y ) e X Y = 1 y 1 e 1 + y e + + y e Συνρτήσεις μις ή πολλών μετβλητών Στην περιγρφή της φυσικής πργμτικότητς χρησιμοποιούμε την έννοι της συνάρτησης ότν οι τιμές ενός μεγέθους εξρτώντι πό τις τιμές ενός άλλου μεγέθους. Συνάρτηση μις μετβλητής έχουμε ότν έν μέγεθος εξρτάτι πό έν άλλο βθμωτό μέγεθος X Y = f(x) 18

20 Το μέγεθος πίρνει τιμές στο πεδίο των πργμτικών. Το μέγεθος μπορεί ν είνι βθμωτό ή δινυσμτικό μέγεθος. Συνάρτηση πολλών μετβλητών έχουμε ότν οι τιμές ενός μεγέθους y (βθμωτού ή δινυσμτικού) εξρτώντι πό τις τιμές πολλών άλλων βθμωτών μεγεθών 1,,, ( 1,,, ) y = f( 1,,, ) Γι συνάρτηση μις ή πολλών μετβλητών ορίζουμε την πράγωγο ως τον ρυθμό μετβολής του y ως προς την μετβολή της μις μετβλητής ότν οι άλλες μένουν στθερές. y = f() y = f( 1,,, ) df d f or Δ0 i Δf Δ or Δ0 or Δ0 1 Δy Δ f(,..., i or Δ0 Δi,..., Δ f( Δ) - f() Δ i ) - f(,,..., ) 1 Αντίστοιχ ορίζουμε το ολοκλήρωμ γι συνάρτηση μις μετβλητής Ορισμένο ολοκλήρωμ y = f() 1 f()d or N N i1 f( ) Δ i i Αόριστο ολοκλήρωμ df f() F() = d f()d F() = όριστο ολοκλήρωμ της συνάρτησης f() Γι συνάρτηση μις μετβλητής, ή γι συνάρτηση πολλών μετβλητών, γενικεύοντς έχουμε f(, y)ddy f(i,y j)δ (i) Δ(y j) διπλό ολοκλήρωμ i j f(, y,z)ddydz f(i,y j,zk ) Δ(i ) Δ(y j) Δ(zk ) τριπλό ολοκλήρωμ i j k f(,,..., )d1d,...,d o ολοκλήρωμ i j k i j k 1 f(i,,..., ) Δ(i ) Δ( ) Δ( ) i j k Το πλό, διπλό κι τριπλό ολοκλήρωμ περιγράφετι στις κόλουθες εικόνες: 19

21 f( i ) f( i,y i ) f( i,y i, z i, ) d i dz i dy i dy i d i i d i Σχήμ.16 Απλό ολοκλήρωμ Διπλό ολοκλήρωμ Τριπλό ολοκλήρωμ f( i ) = τιμή της f f( i, y j ) = τιμή της f f( i, y j, z k ) = τιμή της f στο σημείο i στο σημείο ( i, y j ) στο σημείο ( i, y j, z k ).3. Βθμωτά Δινυσμτικά πεδί Έν πεδίο ορίζετι σε κάθε σημείο μις περιοχής του φυσικού χώρου ή σε όλο τον χώρο μέσω ενός βθμωτού μεγέθους (βθμωτό πεδίο) ή δινυσμτικού μεγέθους (δινυσμτικό πεδίο). z Φ( ) F( ) Σ k i j y Βθμωτό πεδίο: Σ Φ(Σ) = Φ( ) Φ(Σ) = Φ(,y,z) Δινυσμτικό πεδίο: Σ F(Σ ) F() F() F 1()i F ()j F 3()k F 1, F, F 3 = συνιστώσες του δινύσμτος F( ) Σχήμ.17 Γι το βθμωτό πεδίο Φ ορίζουμε επικμπύλιο επιφνεικό ή κυβικό ολοκλήρωμ θροίζοντς τ γινόμεν του επί το στοιχειώδες μήκος (επικμπύλιο ολοκλήρωμ), επί το εμβδόν (επιφνεικό ολοκλήρωμ), επί τον όγκο (κυβικό ολοκλήρωμ) πάνω σε μι κμπύλη, σε μι επιφάνει κι σε ένν όγκο ντιστοίχως : 0

22 d Φ(Σ) ds Φ dv Φ c Φd ΦΔ ΦdS ΦΔS ΦdV S Σχήμ.18 V ΦΔV Τ ολοκληρώμτ υτά ποκτούν φυσικό νόημ ν θεωρήσουμε την συνάρτηση Φ ν ισούτι με κάποι φυσική ποσότητ (φορτίο, μάζ κλπ.) κτνεμημένη πάνω σε μι κμπύλη επιφάνει ή μέσ σε όγκο. Γι το δινυσμτικό πεδίο F ορίζουμε επικμπύλιο κι επιφνεικό ολοκλήρωμ ως το άθροισμ των εσωτερικών γινομένων του πεδίου με τ στοιχειώδη μήκη d ή εμβδά ds επί της κμπύλης ή της επιφάνεις. Η κμπύλη c διμερίζετι σε άπειρ στοιχειώδη δινύσμτ { d }. Γι κλειστή κμπύλη το επικμπύλιο ολοκλήρωμ συμβολίζετι με c. F Fd c c d Επικμπύλιο ολοκλήρωμ FΔ, όπου c είνι νοικτή κμπύλη F d, όπου c είνι κλειστή κμπύλη Σχήμ.19 Η επιφάνει διμερίζετι σε άπειρ στοιχειώδη εμβδά το επιφνεικό ολοκλήρωμ συμβολίζετι με S ds. Γι κλειστή επιφάνει ds F FdS FΔS S Σχήμ.0 1

23 Γεωμετρική πεικόνιση δινυσμτικού πεδίου Κάθε δινυσμτικό πεδίο περιγράφετι με δυνμικές γρμμές στο χώρο. Από κάθε σημείο του χώρου διέρχετι μόνο μι δυνμική γρμμή. Το πεδίο εφάπτετι της δυνμικής γρμμής σε κάθε σημείο του χώρου, ενώ το πλήθος των δυνμικών γρμμών ντιστοιχεί στο μέτρο (έντση) του δινυσμτικού πεδίου. Ασθενή πεδίο Ισχυρό πεδίο Άλλος τρόπος πράστσης του πεδίου είνι η πεικόνιση των δινυσμάτων σε κάθε σημείο του χώρου Σχήμ.1 Ροή δινυσμτικού πεδίου Σχήμ. Ορίζουμε ροή δινυσμτικού πεδίου F μέσ με επιφάνει S που έχει όριο την κμπύλη C το πλήθος των δυνμικών γρμμών που διέρχοντι πό την C κι την S. S S F ds = ροή πό την επιφάνει S που έχει όριο την κμπύλη c C Σχήμ.3

24 Γι ν υπολογίσουμε την ολική ροή θροίζουμε τις στοιχειώδεις ροές πό κάθε στοιχειώδη επιφάνει ΔS επί της S. Σε έν σημείο του χώρου είνι δυντόν ν γεννιούντι ή ν χάνοντι δυνμικές γρμμές. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε πηγές δυνμικών γρμμών κι στην δεύτερη κτβόθρες δυνμικών γρμμών. Σ Σ F ds 0 F ds 0 Πηγή δυνμικών γρμμών Κτβόθρ δυνμικών γρμμών Σχήμ.4 Γι την περίπτωση πηγής δυνμικών γρμμών έχουμε θετική ροή του F πάνω σε μι κλειστή επιφάνει γύρω πό το Σ. Ενώ στην περίπτωση κτβόθρ έχουμε ρνητική ροή. Στροβιλισμός δινυσμτικού πεδίου Γύρω πό έν σημείο είνι δυντόν ν έχουμε στροβιλισμό των δυνμικών γρμμών οπότε μιλάμε γι δινυσμτικές πηγές (πηγές στροβιλισμού). Σ Σ Στροβιλισμός του F στο Σ Απουσί στροβιλισμού του F στο Σ Σχήμ.5 3

25 Τελεστές Πεδίων,,, Η βθμίδ είνι ένς τελεστής που πργωγίζει έν βθμωτό ή έν δινυσμτικό πεδίο, κι ορίζετι ως κολούθως i j k y z Ακολούθως θ κρτήσουμε μόνο τον συμβολισμό, y, z γι τους άξονες του χώρου κι i, j, k γι τ μονδιί τους δινύσμτ. Βθμίδ Η βθμίδ ενός βθμωτού πεδίου ορίζετι ως κολούθως Φ Φ Φ Φ() i j k y z όπου Φ( ) Φ Φ Φ Φ(, y, z) το βθμωτό πεδίο κι,, οι μερικές πράγωγοι y z Η βθμίδ ενός βθμωτού πεδίου ορίζετι σε κάθε σημείο του χώρου που υπάρχει το πεδίο κι είνι διάνυσμ που δείχνει την κτεύθυνση μέγιστης μετβολής της μετβολής του πεδίου σύμφων με τη σχέση Φ Φ Φ dφ = Φ() d d dy dz y z όπου d di dyj dzk μι στοιχειώδης μεττόπιση στο χώρο πό το σημείο Σ στο γειτονικό σημείο z k Φ(Σ) Φ( Σ ) Σ Σ dφ =Φ(Σ)-Φ(Σ) dφ = Φd d di dyj dzk i j y Σχήμ.6 4

26 5 Απόκλιση F Η πόκλιση F στο σημείο Σ ενός δινυσμτικού πεδίου είνι βθμωτό μέγεθος κι ορίζετι πό την κόλουθη σχέση z F y F F F k j F i F k z j y i () F z y z y = Η πόκλιση F ενός δινυσμτικού πεδίου περιγράφει την ροή του πεδίου F πό την επιφάνει ενός στοιχειώδους όγκου σύμφων με το θεώρημ Gauss. Η πόκλιση στο Σ ντιστοιχεί στο πλήθος των δυνμικών γρμμών που βγίνουν πό το Σ. H πόκλιση στο σημείο ντιστοιχεί στην ύπρξη πηγής ή κτβόθρς δυνμικών γρμμών νλόγως ν η τιμή της είνι θετική ή ρνητική στο σημείο υτό Στροφή Η στροφή F ενός δινυσμτικού πεδίου είνι διάνυσμ σύμφων με την σχέση k y F F j F z F i z F y F F F F k j i F y z y z z y z y Η στροφή ενός δινυσμτικού πεδίου ντιστοιχεί στην ύπρξη δινυσμτικών πηγών που προκλούν στροβιλισμό των δυνμικών γρμμών σύμφων με το θεώρημ stokes. FdV FdS Θεώρημ Gauss γι πειροστή επιφάνει F Σ Σχήμ.7

27 ds d Σχήμ.8 F F c Fd FdS Θεώρημ Stokes γι πειροστή επιφάνει Αν σε έν σημείο Σ του χώρου η πόκλιση F του πεδίου F είνι θετική ή ρνητική τότε σε υτό το σημείο υπάρχει πηγή ή κτβόθρ δυνμικών γρμμών, ν είνι μηδέν τότε δεν υπάρχει πηγή ή κτβόθρ δυνμικών γρμμών. Σ Σ F 0 F 0 F = 0 Πηγή Κτβόθρ Απουσί δυνμικών γρμμών δυνμικών γρμμών Πηγής ή Κτβόθρς Αν σε έν σημείο του χώρου η στροφή Σχήμ.9 F του πεδίου F είνι διάφορη του μηδενός τότε οι δυνμικές γρμμές στροβιλίζοντι, ενώ ν είνι μηδέν τότε το πεδίο F είνι στρόβιλο. Σ Σ F 0 F = 0 Στροβιλό πεδίο Σχήμ.30 Αστρόβιλο πεδίο 6

28 Γι πεπερσμένο όγκο κι πεπερσμένη επιφάνει τ θεωρήμτ Gauss κι Stokes πίρνουν τη μορφή S V S FdS V FdV Θεώρημ Gauss γι κλειστή επιφάνει (S) S c Fd S FdS Θεώρημ Stokes γι κλειστή κμπύλη ( c ) c Σχήμ.31 Με την βοήθει των θεωρημάτων υτών ποδεικνύοντι οι τυτότητες ( F) 0 (η πόκλιση της στροφής είνι μηδέν) ( Φ) 0 (η στροφή της βθμίδς είνι μηδέν) Βάσει των τυτοτήτων υτών συμπερίνουμε ότι εάν η πόκλιση ενός δινυσμτικού πεδίου B είνι μηδέν πντού ( B 0 ) τότε το B ισούτι με την στροφή ενός άλλου δινυσμτικού πεδίου B = 0 B = A κι ν η στροφή ενός πεδίου F είνι μηδέν σε κάθε σημείο του χώρου τότε υτό ισούτι με την βθμίδ ενός δινυσμτικού πεδίου F 0 F = Φ O Τελεστής του Ντάλμπερτ ορίζετι ως το εσωτερικό γινόμενο της βθμίδος με τον ευτόν της κι είνι βθμωτός τελεστής που δρ σε βθμωτά ή δινυσμτικά πεδί. y z = = 7

29 y z F F F F F i F j F y z y z = k.4 Διφορικές Εξισώσεις Εξισώσεις Διφορών Η έννοι της διφορικής εξίσωσης συνδέετι άμεσ με την περιγρφή των ντετερμινιστικών φυσικών φινομένων κι της φυσικής νομοτέλεις. Η δυνμική εξέλιξη της κτάστσης ενός δυνμικού συστήμτος στον φσικό του χώρο περιγράφετι πό διφορικές εξισώσεις ή εξισώσεις διφορών. Οι διφορικές εξισώσεις είνι: Συνήθεις Διφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) ή Διφορικές Εξισώσεις με Μερικές Πργώγους (ΔΕΜΠ). Μί άλλη διάκριση είνι : Γρμμικές κι Μη Γρμμικές διφορικές εξισώσεις ή εξισώσεις διφορών. Το μεγάλο πλήθος των πολυπλόκων συστημάτων περιγράφετι μέσω μη γρμμικών διφορικών εξισώσεων ή εξισώσεων διφορών. Οι μη γρμμικές εξισώσεις σχεδόν δεν επιλύοντι νλυτικά (δεν έχουν νλυτικές λύσεις) πρά μόνο ριθμητικές. Επιλύοντι δηλδή ριθμητικά στον υπολογιστή. Συνεχή στο χρόνο δυνμικά συστήμτ Τροχιά d/dt Φσικός χώρος Σχήμ.3 8

30 Εάν έχουμε έν δυνμικό σύστημ με βθμούς ελευθερίς η κτάστσή του Κ(t) κάθε στιγμή (t) περιγράφετι πό το κτστστικό διάνυσμ X (t) = { 1 (t), 1 (t),, (t)} Η εφπτόμενη στην τροχιά της δυνμικής δίδετι πό την χρονική πράγωγο της κτάστσης X (t) dx d1 d d,,..., dt dt dt dt Η πράγωγος dx /dt ντιστοιχεί στο ρυθμό μετβολής της κτάστσης ως προς τον χρόνο. Ο ρυθμός υτός ονομάζετι κι τχύτητ ροής της κτάστσης στον φσικό χώρο. Εάν γι κάθε συγκεκριμένη κτάστση μέσ στον φσικό χώρο γνωρίζουμε την τχύτητ ροής dx /dt τότε η δυνμική του συστήμτος είνι ντετερμινιστική, σύμφων με την εξίσωση X dx (t) F(X, λ) dt όπου λ= πράμετρος της δυνμικής. Η εξίσωση υτή μς επιτρέπει ν υπολογίζουμε όλες τις διδοχικές κτστάσεις πό τις οποίες διέρχετι το σύστημ ρκεί ν γνωρίζουμε την ρχική κτάστση (t ) βάση των σχέσεων X 0 Αφού ως γνωστόν X (t) = (t ) X 0 t + t 0 F (X, λ)dt X (t)- X(t 0 ) = d X F dt Η τελευτί σχέση ποτελεί την ολοκληρωτική λύση της εξίσωσης. Η εξίσωση υτή ντιστοιχεί σε έν σύστημ πλών διφορικών εξισώσεων της μορφή dx dt 1 F (, 1 1,...,... dx dt F (,,..., ) 1 ) 9

31 κι F(Χ,λ) F(,,...,, λ) όπου F(X,λ) F (Χ,λ),F (Χ,λ),...,F (Χ,λ) 1 i i 1 Οι εξισώσεις υτές ποτελούν έν σύστημ συνήθων διφορικών εξισώσεων. Γρμμικές εξισώσεις έχουμε ότν ισχύει η συνθήκη ( b ) F( ) bf( ) F 1 1 Αν δεν ισχύει η συνθήκη γρμμικότητς τότε έχουμε μη γρμμικές διφορικές εξισώσεις. Βάσει των προηγουμένων, εάν οι βθμοί ελευθερίς είνι πεπερσμένοι τότε κι οι μετβλητές (δυνμικά μεγέθη) που περιγράφουν την φυσική κτάστση είνι πεπερσμένες. -βθμοί ελευθερίς (1,,...,) X - δυνμικά μεγέθη Οι δυνμικές μετβλητές X i, i 1,,.., είνι συνεχείς συνρτήσεις του χρόνου (t) Xi X i(t),i 1,,.., X X(t) ( (t), (t),..., (t) 1 dx Η εξίσωση F(X, λ) ποτελεί τον φυσικό ή δυνμικό νόμο εξέλιξης της dt κτάστσης του συστήμτος που περιγράφετι κάθε στιγμή t πό το κτσττικό διάνυσμ X (t). Η δυνμική που περιγράφετι πό την εξίσωση είνι ντετερμινιστική διότι δεδομένης της ρχικής κτάστσης X(t ) είνι κθορισμένες όλες οι μελλοντικές κτστάσεις κτάστση διέρχετι μι μόνο δυνμική τροχιά. X0 0 του συστήμτος. Αυτό σημίνει ότι πό κάθε ρχικά d ( dt 0 0 ) d t () dt Πεδίο ροής της δυνμικής dx F(X,λ) dt Σχήμ.33 30

32 Δικριτά στο χώρο δυνμικά συστήμτ. Γι πολλά δυνμικά συστήμτ η κτάστση X ορίζετι μόνο σε ορισμένες χρονικές στιγμές t 0, t 0 +τ, t 0 +τ,, t =t 0 +τ όπου τ είνι βήμ του χρόνου. Αυτά τ δυνμικά συστήμτ περιγράφουν π.χ. την εξέλιξη ενός ή περισσοτέρων πληθυσμών οι οποίοι κτμετρούντι νά μέρ, νά μήν, νά χρόνο, δηλδή σε δικριτές χρονικές στιγμές. Στην περίπτωση υτή δυνμική εξέλιξη στον χώρο κτστάσεων περιγράφετι πό εξισώσεις διφορών ή πεικονίσεις της μορφής όπου X X(t ), t =t 0 +τ X 1 F(X,λ) X(t -1 ) X(t ) X(t 1 ) Δικριτές κτστάσεις στο φσικό χώρο Σχήμ.34 Στην περίπτωση υτή ντί συνεχών τροχιών έχουμε δικριτά σημεί στο χώρο κτστάσεων που περιγράφουν την δυνμική εξέλιξη του συστήμτος. Συνεχή κτνεμημέν στον χώρο δυνμικά συστήμτ. Τ συνεχή κτνεμημέν στον χώρο δυνμικά συστήμτ είνι γνωστά ως πεδί υλικά ή ενεργεικά. Τ πεδί όλων των ειδών περιγράφοντι μέσω δυνμικών μετβλητών, οι οποίες είνι συνρτήσεις του χρόνου κι του χώρου άρ είνι συνρτήσεις πολλών μετβλητών. Έστω έν πεδίο u (Σ,t) το οποίο γι κάθε σημείο του χώρου Σ κι γι κάθε στιγμή t έχει την τιμή u 31

33 z u (Σ,t) Το πεδίο ορίζετι σε ευρεί περιοχή του χώρου u( X,t) u(σ,t) X (, y,z) u (Σ,t) (, y,z,t) y Σχήμ.35 Το πεδίο u (Σ,t) μπορεί ν είνι βθμωτό ή δινυσμτικό. Το πεδίο κτνέμετι συνεχώς σε κάθε σημείο πεπερσμένου χώρου V. Γι ν γνωρίζουμε το πεδίο στον χώρο V πρέπει ν το γνωρίζουμε κάθε χρονική στιγμή σε κάθε σημείο Σ του V κι επειδή έχουμε άπειρ σημεί στον V θ έχουμε κάθε στιγμή άπειρο πλήθος μεγεθών. (Σ, t) (t, X ) u(x, t) Επομένως ο φσικός χώρος ενός πεδίου που κτνέμετι συνεχώς στο χώρο είνι πειροδιάσττος φού γι κάθε σημείο του χώρου, έχουμε έν δυνμικό μέγεθος έτσι ώστε οι βθμοί ελευθερίς του πεδίου ν είνι άπειροι. Σχημτικά η κτάστση ενός πεδίου είνι z u (Σ,t) {u (Σ,t)} y Απειροδιάσττος φσικός χώρος K (t) {u (t),u u Σ Σ (t),u Σ (t),... u(,t) χώρο V Σχήμ.36 3

34 Η χρονική εξέλιξη της κτάστσης του πεδίου στον χώρο κτστάσεων περιγράφετι μέσω εξισώσεων της μορφής u u u u u Fu,,,..., t όπου τ u,,,..., συμβολίζουν τις μερικές πργώγους του u, ως προς τις μετβλητές (, y, z). Συγκεκριμένες περιπτώσεις πεδίων θ περιγράψουμε στ επόμεν κεφάλι..5 Ανάλυση Fourier Η νάλυση Fourier είνι βσικό εργλείο μελέτης των φυσικών φινομένων κθόσον μς επιτρέπει ν νλύσουμε κάθε συνάρτηση σε άπειρο άθροισμ πλών περιοδικών συνρτήσεων. Συνοψίζοντς έχουμε τ κόλουθ : διάστημ Κάθε συνάρτηση μις μετβλητής 0 L γράφετι A f() ππ Aσυν L 0 1 f() που ορίζετι στο πεπερσμένο Β ημ ππ L Ή χρησιμοποιώντς το θεώρημ των μιγδικών ριθμών: e iθ συνθ i η μ θ f() e iπ L όπου a 1 L L 0 f()e iπ L d Εάν το διάστημ (0,L) επεκτθεί στο (0, ), δηλδή το L τότε το νωτέρω θεώρημ πίρνει την μορφή: f() g(y) 1 π 1 π - - g(y)e iy dy f(y)e -iy dy 33

35 Γι συνρτήσεις πολλών μετβλητών το θεώρημ Fourier πίρνει την μορφή: 1 f() ( ) 3/ 1 φ(k) ( ) 3/ φ(k)e ik φ()e dk dk dk dk dk, y z d, d ddydz -ik όπου f( ) = f(,y,z) η ρχική συνάρτηση, φ( k ) = φ(k, k y, k z ) ο μετσχημτισμός Fourier της f( ) κι k = k +k y y+k z z..6 Χρονοσειρές Χρονοσειρά ονομάζουμε κάθε χρονική λληλουχί μετρήσεων ενός σήμτος (t) που ντιστοιχεί σε κάποιο μετρούμενο φυσικό μέγεθος. (t) Σήμ πό έν μετρούμενο φυσικό μέγεθος υπό μορφή χρονοσειράς t Σχήμ.37 Βάσει του θεωρήμτος Fourier εάν η χρονοσειρά (t) είνι περιοδική συνάρτηση του χρόνου με περίοδο Τ τότε το (t) γράφετι ως άθροισμ περιοδικών συνρτήσεων της μορφής: T (t) iwt L c e i t L 1 c (t)e dt = πλάτη Fourier T 0 όπου (t+t) = (t) κι ω = ω 0 = π π, ω 0 Τ Τ Τ c ονομάζοντι πλάτη Fourier κι τ ω συχνότητες Fourier. Το τετράγωνο των πλτών Fourier c ονομάζετι φάσμ ισχύος του σήμτος (t). Το φάσμ ισχύος γι περιοδικές συνρτήσεις (περιοδικά σήμτ) είνι δικριτό κι γι μη περιοδικά σήμτ είνι συνεχές. Η συσχέτιση C(τ) ενός σήμτος ορίζετι πό την σχέση: 34

36 T 1 C(τ) = or (t)(t τ)dt T T 0 Η συσχέτιση C(τ) μετρά την συσχέτιση της τιμής ενός σήμτος τη στιγμή t κι της τιμής του μετά πό χρόνο t δηλδή τη στιγμή t+τ. Γι τ περιοδικά σήμτ έχουμε υψηλή συσχέτιση ενώ γι τ μη περιοδικά η συσχέτιση μηδενίζετι γρήγορ. (t) C(τ) t τ (t) C(τ) t τ Σχήμ.38 Το φάσμ ισχύος Ρ(ω) ενός σήμτος ποδεικνύετι ότι ποτελεί τον μετσχημτισμό Fourier της συσχέτισησης, σύμφων με την σχέση: - 1 -i ω t P(ω ) C(τ ) e dτ = c w = τετράγωνο του πλάτους Fourier π Έν σήμ μπορεί ν χρκτηρίζετι πό πολλές νεξάρτητες μετξύ τις περιόδους T 1, T,..., T κι συχνότητες ω 1 π, T 1 ω π,...,ω T Αυτό συμβίνει ότν τ ω 1, ω,..., ω δεν συνδέοντι μετξύ των με ρητές σχέσεις, δηλδή δεν υπάρχει μι θεμελιώδη συχνότητ πολλπλάσι της οποίς είνι τ ω i. Τότε το σήμ είνι ημιπεριοδικό κι εμφνίζει πολλές κι νεξάρτητες περιοδικότητες σύμφων με την σχέση π T (ω 1 t+π, ω t+π,..., ω t+π) = (ω 1 t, ω t,..., ω t) 35

37 .7 Στοχστικές διδικσίες. Εάν έν σήμ είνι περιοδικό δηλδή μετά πό χρόνο Τ ξνπίρνει ίδιες τιμές, (t+t) = (t) τότε το σήμ είνι ντετερμινιστικό κι η μετβλητή (t) είνι κάθε στιγμή μί βεβί μετβλητή. Αντίθετ έν σήμ (t) μη περιοδικό (Τ=) δεν επνλμβάνει ποτέ τον ευτό του με ποτέλεσμ ν μην είνι δυντόν με όση γνώση κι ν έχουμε γι τις προηγούμενες τιμές του ν γνωρίζουμε τις μελλοντικές του τιμές. Στην περίπτωση υτή γι κάθε στιγμή t το σήμ ντιστοιχεί σε μί τυχί μετβλητή Χ(t) κι η χρονική εξέλιξη σήμτος είνι μί στοχστική διδικσί. Μι τυχί μετβλητή Χ περιγράφει την κτάστση εκείνη όπου οι τιμές της Χ λμβάνοντι πό μι περιοχή τιμών με τυχίο τρόπο όπως π.χ. το ποτέλεσμ ενός ζριού προκύπτει με τυχίο (πρόβλεπτο) τρόπο. Πριν δηλδή τη ρίψη του ζριού είνι δύντον ν γνωρίζουμε το ποτέλεσμ της ρίψης του. Έτσι γι μι τυχί μετβλητή πριν την μέτρησή της δεν μπορούμε ν γνωρίζουμε το ποτέλεσμ της μέτρησής της. Στις περιπτώσεις των τυχίων μετβλητών μπορούμε ν γνωρίζουμε μόνον την πιθνότητ Ρ() ν πρτηρήσουμε την τιμή μέσ πό το σύνολο των δυντών πιθνών τιμών της Χ. Εάν το διάστημ τιμών της τυχίς μετβλητής είνι δικριτό Τυχί μετβλητή δικριτό πεδίο τιμών Χ Χ 1, Χ,, Χ k Τότε ορίζετι η πιθνότητ P( i ) κάθε τιμής i της τυχίς μετβλητής Χ Τιμή i της τυχίς μετβλητής P( i ) = πιθνότητ Εάν τ πεδίο τιμών είνι συνεχές : Τυχί μετβλητή συνεχές πεδίο τιμών Χ [, b] R Τότε ορίζουμε την πυκνότητ πιθνότητς Ρ() έτσι ώστε Πιθνότητ η Χ ν πάρει τιμές στο διάστημ [, +d] = P()d Στην πρώτη περίπτωση δικριτών τιμών ισχύει P P( ) 1 i i 36

38 Κι στην δεύτερη (συνεχείς τιμές) ισχύει P()d 1 Η μέση τιμή X μις τυχίς μετβλητής ορίζετι πό τη σχέση : X b a P()d Η δικύμνση (variace) V της τυχίς μετβλητής Χ ορίζετι ως η μέση τιμή του τετργώνου της διφοράς πό την μέση τιμή της Χ. Var(X) Η δικύμνση ικνοποιεί τη σχέση X X X X P()d Var(X) X X Η Τυπική πόκλιση SD της τυχίς μετβλητής Χ δίδετι πό τη σχέση SD(X) Var(X) Μι συνήθης περίπτωση τυχίς μετβλητής είνι εκείνη της οποίς η πυκνότητ πιθνότητς δίδετι πό την σχέση γνωστή ως Γκουσινή κτνομή. 1 P() (π (m) e 1/ ) P() P() = N(m, ) X = m Var(X) = m- m m+ Σχήμ.39 Μί στοχστική διδικσί ντιστοιχεί σε έν φυσικό φινόμενο (στοχστικό δυνμικό σύστημ) το οποίο κάθε στιγμή περιγράφετι πό μί τυχί μετβλητή X(t), ή πό έν σύνολο τυχίων μετβλητών: X Χ 1 (t), Χ (t),, Χ k (t) 37

39 Γι ευκολί κολούθως θεωρούμε συστήμτ με μι μόνο τυχί μετβλητή. Η τυχί μετβλητή Χ(t) ορίζει την κτάστση του συστήμτος την στιγμή t, έτσι ώστε γι κάθε στιγμή t η κτάστση του στοχστικού συστήμτος περιγράφετι πό την πυκνότητ πιθνότητς που ντιστοιχεί στην τυχί μετβλητή X(t). Κτάστση στοχστικού συστήμτος X(t) P(, t) Μί κτηγορί στοχστικών διδικσιών με μεγάλη εφρμογή είνι οι Μρκοβινές στοχστικές διδικσίες. Στοχστικές διδικσίες Markov Μι στοχστική διδικσί περιγράφετι εν γένει πό την πυκνότητ πιθνότητς ν έχουμε την στιγμή t την τιμή Χ δεδομένου ότι είχμε την τιμή X τη στιγμή t. Εάν η πιθνότητ υτή δεν εξρτάτι πό χρονικές στιγμές πριν την t, τότε έχουμε Μρκοβινή στοχστική διδικσί. Στην περίπτωση υτή η πυκνότητ πιθνότητς της τυχίς μετβλητής X(t) δίδετι πό την σχέση P(, t) w(, t/,t)p(,t)d.8 Αυτόμτ, φράκτλ κι πολυπλοκότητ Συστήμτ Ο κόσμος που πρτηρούμε γύρω μς είνι ένς κόσμος μορφών σε όλ τ επίπεδ πό το μικροσκοπικό μέχρι το μκροσκοπικό. Στοιχειώδη σωμτίδι, άτομ, μόρι, μκρομόρι, κύττρ, οργνισμοί (συστήμτ) κυττάρων, φυτά, ζώ, οικοσυστήμτ ποτελούμεν πό φυτικούς κι ζωικούς οργνισμούς, πλνήτες, άστρ, γλξίες κ.ο.κ. Οι κοσμικές μορφές δεν είνι σττικές λλά δυνμικές εξελισσόμενες με τον χρόνο, ενώ όλες οι μορφές πργμάτων που περιέχοντι στην φυσική πργμτικότητ συνποτελούν έν όλο, το σύμπν, το οποίο ποτελεί το πλέον πολύπλοκο σύστημ. Το σύμπν είνι μι δυνμική πργμτικότητ με πολύπλοκο πλέγμ δισυνδέσεων κι συσχετίσεων σε όλ τ επίπεδ. Έν πολύπλοκο σύστημ σ περιέχει επιμέρους στοιχεί σ 1, σ,...,σ Ν. 38

40 σ = σ 1 σ,, σ Ν. Με την σειρά του κάθε υποσύστημ σ i του ρχικού συστήμτος σ ποτελεί έν νέο πολύπλοκο σύστημ ποτελούμενο πό νέ στοιχεί σ i1, σ i,...,σ in κ.οκ. σ σ,..., σι 1 Τ επιμέρους στοιχεί ενός πολύπλοκου συστήμτος λληλεπιδρούν μετξύ τους, έτσι ώστε η κτάστση του ρχικού συστήμτος ν κθορίζετι κάθε στιγμή πό την διρκή λληλεπίδρση των μερών του. Η νγωγική επιστήμη που κυριρχούσε πλιότερ υποστήριζε ότι κάθε πολύπλοκο σύστημ νλύετι τελικώς σε θεμελιώδη συσττικά (στοιχεί) κι θεμελιώδεις λληλεπίδρσεις μετξύ των θεμελιωδών στοιχείων που περιγράφοντι μθημτικά μέσω θεμελιωδών εξισώσεων. Σήμερ η επιστήμη της πολυπλοκότητς έχει πομκρυνθεί πό υτή την πλoϊκή νγωγική ντίληψη. Ο πλιός νγωγισμός του σύνθετου στο πλό έχει ντικτστθεί πό την θεμελιώδη ρχή της υτοοργάνωσης ενός πολύπλοκου συστήμτος. Σύμφων με την ρχή υτή έν σύνολο στοιχείων μπορεί ν συντονίζετι κι ν υτοοργνώνετι πράγοντς μι τάξη δομή κι ν νπτύσσει πολλπλά είδη συσχετίσεων κι συντονισμών. Επίσης, έν επίπεδο υτοοργάνωσης δεν μπορεί ν νχθεί σε έν χμηλότερο επίπεδο το οποίο περιέχει. Δηλδή εάν έν σύστημ {σ i } που περιέχει τ υποσυστήμτ σ 1, σ,...,σ Ν υπόκειτι σε συντονισμό κι συσχετίσεις των μερών του, τότε η υτοοργάνωση των στοιχείων σ i δεν εξηγείτι πό λειτουργίες υτοοργάνωσης στο κτώτερο επίπεδο που λμβάνουν χώρ σε κάθε υποσύστημ σ i. Σύμφων με τ νωτέρω κάθε σύστημ σ που περιέχει ως μέρη του τ υποσυστήμτ σ 1, σ,...,σ Ν εκτός πό τ υποσυστήμτ περιέχει κι έν σχέδιο που κθορίζει τις λληλεπιδράσεις των υποσυστημάτων του. Το σχέδιο υτό μολονότι κθορίζει τις λληλεπιδράσεις κι τους συντονισμούς των υποσυστημάτων μέσ στο ρχικό σύστημ σ, δεν πορρέει πό τ υποσυστήμτ σ 1, σ,...σ Ν λλά ποτελεί το επιπλέον το οποίο εισάγετι με την λειτουργί υτοοργάνωσης των υποσυστημάτων μέσ στο ρχικό σύστημ σ. Βάση υτών συμπιρένουμε ότι το σύστημ σ δεν είνι πλώς το άθροισμ των μερών του κθώς κι ότι τ υποσυστήμτ που είνι μέρη του ρχικού ποτελούν άλλη πργμτικότητ μέσ στο σύστημ κι διφορετική πργμτικότητ ότν είνι πομονωμέν εκτός του συστήμτος. Αυτό σημίνει πλήρης ντροπή του νγωγικού τρόπου ερμηνείς της φυσικής πργμτικότητς που είχε επικρτήσει στο πρελθόν. σ 39

41 Αυτόμτ Η θεωρί υτομάτων είνι μι ευρεί μθημτική θεωρί που μς επιτρέπει ν μοντελοποιούμε την λειτουργί των πολύπλοκων συστημάτων νεξάρτητ πό το επίπεδο υτοοργάνωσής των. Ο προηγούμενος τρόπος μοντελοποίησης ενός πολύπλοκου συστήμτος στηριζότν στην έννοι του δικριτού σωμτιδίου ή του συνεχούς μέσου κι στην ξιοποίηση των συνήθων διφορικών εξισώσεων ή εξισώσεων με μερικές πργώγους. Η μοντελοποίηση της πολυπλοκότητς μέσω υτομάτων είνι ένς ευρύτερος μθημτικός τρόπος που μπορεί ν συμπεριλάβει πολύ περισσότερ φινόμεν. Η έννοι του υτομάτου ξεκινά με έν οποιοδήποτε σύστημ το οποίο μπορεί ν ευρεθεί σε έν σύνολο δικριτών κτστάσεων 1,,... είτε πεπερσμένων είτε πείρων. Ν Ν Αυτόμτο με δικριτό φάσμ κτστάσεων Σχήμ.40 Στο πρπάνω σχεδιάγρμμ προυσιάζουμε συμβολικά έν υτόμτο το οποίο περιέχει Ν δικριτές κτστάσεις που περιγράφοντι με κέριους ριθμούς. Το υτόμτο μπορεί πό στιγμή σε στιγμή ν μετβάλει τις εσωτερικές του κτστάσεις είτε με τρόπο ντετερμινιστικό ή με στοχστικό τρόπο. Αν υποθέσουμε ότι σε δικριτές χρονικές στιγμές: t 1 = dt, t = dt,..., t N = Ndt, το υτόμτο βρίσκετι κάθε φορά σε μί πό τις δυντές κτστάσεις του τότε γι το ντετερμινιστικό υτόμτο ισχύει η σχέση +1 = F( ), = (t ), +1 = (t +1 ), όπου είνι η κτάστση του υτομάτου την χρονική στιγμή t κι F( ) μι συνάρτηση που συνδέει την επόμενη πό την προηγούμενη κτάστση. Εδώ θεωρούμε ότι το υτόμτο δεν έχει μνήμη ώστε η τωρινή του κτάστση ν εξρτάτι μόνο πό την προηγούμενη κτάστση. Αντίστοιχ γι έν υτόμτο με μνήμη θ ισχύει 40

42 +1 = F(, -1, -, ) Σε έν υτόμτο μπορούμε ν έχουμε ντί δικριτό συνεχές φάσμ κτάστσης. Αυτόμτο με συνεχές φάσμ κτστάσεων Σχήμ.41 Στην περίπτωση υτή θεωρούμε ότι οι κτστάσεις του υτομάτου είνι τόσο πυκνές ώστε ν περιγράφοντι με έν υποσύνολο των πργμτικών ριθμών. Η δυνμική εξέλιξη ενός συνεχούς υτομάτου περιγράφετι πάλι πό την εξίσωση : +1 = F( ) όπου R Εάν το βήμ του χρόνου Δt είνι πολύ μικρό η δυνμική του υτομάτου πίρνει την μορφή συνήθους διφορικής εξίσωσης πό την οποί προκύπτει: (t +δt) = (t) + f[(t)]δt + d f( (t)) ή f( ) dt Η κτάστση ενός υτομάτου είνι δυντόν ν περιγράφετι με περισσότερες πό μις μετβλητές ( 1,,.., m ) που ποτελούν το διάνυσμ κτάστσης: ( 1,,.., m ) Αντίστοιχ η δυνμική του υτομάτου περιγράφετι πό τη δινυσμτική σχέση: ( 1) F(()) που συνδέει τις επόμενες με τις προηγούμενες κτστάσεις. Αντίστοιχ γι υτόμτο με συνεχές φάσμ κτστάσεων κι συνεχή χρόνο η δυνμική περιγράφετι πό τη σχέση: 41

43 d f( ) dt Γι ν ξιοποιήσουμε την θεωρί υτομάτων στην μοντελοποίηση της πολυπλοκότητς εισάγουμε την έννοι του δικτύου υτομάτων. Έν δίκτυο υτομάτων περιλμβάνει έν πλήθος υτομάτων που ριθμούντι με κάποιο δείκτη j=1,, ή στην περίπτωση συνεχούς κτνομής των υτομάτων έχουμε συνεχή δείκτη r. Η δυνμική του δικτύου περιγράφετι πό την εξίσωση: ( 1) G[ (),{ ()}] με () (t ) j j j j όπου j το j στοιχείο του δικτύου κι j το πλήθος των γειτονικών στο j στοιχείων (υτομάτων). Εάν το δίκτυο του υτομάτου έχει συνεχή κτνομή κι το βήμ Δt του χρόνου είνι πειροστό τότε η δυνμική του δικτύου πίρνει την μορφή διφορικών εξισώσεων με μερικές πργώγους: G[ (r1,t), (r 1,t),...,] t όπου ( r 1, t) η συνεχής κτνομή του δικτύου κι r ο συνεχής δείκτης που περιγράφει την κτνομή. Τ υτόμτ μπορούν ν πράγουν υτόμτες μορφές φράκτλ με κλσμτική διάστση, όπως κριβώς οι δομές που πρτηρούμε στον πργμτικό κόσμο. j.9 Φράκτλ Ο Madlebrot έλεγε: «ο κόσμος δεν ποτελείτι πό σημεί, σφίρες κι τετράγων». Στην Ευκλείδει Γεωμετρί όλ τ σχήμτ νάγοντι σε σημεί που είνι πλά χωρίς όγκο. Έν σημείο που κινείτι στο χώρο δημιουργεί μι γρμμή, μι γρμμή που κινείτι στο χώρο δημιουργεί μι επιφάνει κι μι επιφάνει κινούμενη στον χώρο δημιουργεί έν στερεό. Έτσι όλ τ φυσικά ντικείμεν μπορούμε ν τ θεωρήσουμε πως κτσκευάζοντι πό πλά συσττικά που είνι τ σημεί, οι γρμμές, οι επιφάνειες κι τ στερεά. Το σημείο έχει διάστση μηδέν, η γρμμή έχει διάστση έν, η επιφάνει διάστση δύο, το στερεό διάστση τρί. Ο Madlebrot δημιούργησε την φράκτλ γεωμετρί στην οποί περιγράφοντι ντικείμεν με κλσμτική διάστση. Έτσι έν σύνολο σημείων που δεν γεμίζει επρκώς μι γρμμή έχει διάστση μικρότερη πό έν ή έν σύνολο σημείων που δεν γεμίζει επρκώς μι επιφάνει έχει διάστση μικρότερη πό δύο ή μικρότερη πό 4

44 τρί εάν δεν γεμίζει επρκώς έν στερεό. Επιπλέον τ φράκτλ ντικείμεν συχνά έχουν το χρκτηριστικό της υτοομοιότητος σύμφων με την οποί μεγενθύνοντς έν μέρος του φράκτλ ντικειμένου νκλύπτουμε μι πολύπλοκη δομή που ομοιάζει με το ρχικό ντικείμενο. Έτσι, κτλβίνουμε ότι τ φράκτλ ντικείμεν δεν ποτελούντι πό πλά σημεί λλά πό πολύπλοκες δομές μέσ σε δομές. Τ φράκτλ ντικείμεν μπορούν ν πρχθούν πό κτνεμημέν υτόμτ. Όπως θ δούμε στ επόμεν κεφάλι, η δυνμική ενός κτνεμημένου υτομάτου προσομειώνει φυσικές λειτουργίες, όπως είνι η μετφορά ύλης ή ενέργεις, δημιουργί ή κτστροφή μορίων ή χημικών ενώσεων ή η γένεση ή κτστροφή πολύπλοκων οργνισμών μέσ σε έν πολύπλοκο οικοσύστημ. Σε όλες υτές τις περιπτώσεις συνντούμε δομές φράκτλ που πράγοντι πό φυσικές λειτουργίες που προσομειώνουν τ υτόμτ. 43

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3.1. Γενικές έννοιες Στο κεφάλιο υτό θ εισάγουμε την ντετερμινιστική περιγρφή των πολύπλοκων συστημάτων. Ο νθρώπινος νους ντιλμβάνετι ποιότητες κι ποσότητες. Οι ποιότητες είνι το λευκό ή το μύρο, το θερμό ή το ψυχρό, το όμορφο ή το άσχημο, το κλό ή το κκό. Ποσότητ είνι ό,τι μπορεί ν γίνετι μεγλύτερο ή μικρότερο, περισσότερο ή λιγότερο. Ποσότητ είνι το μήκος, το εμβδόν, ο όγκος, η μάζ, η θερμοκρσί, το πλήθος μις ομάδς ομοειδών πργμάτων κ.λ.π. Οι ποσότητες περιγράφοντι με τους κερίους, τους ρητούς, τους άρρητους κι τους πργμτικούς. Οι ποσότητες περιγράφοντι πό τ φυσικά μεγέθη που είνι δικριτά: όσ ποτελούντι πό ξεχωριστές μονάδες κι δεν μπορούν ν ελττωθούν ή ν υξηθούν λιγότερο πό μί μονάδ κι τ συνεχή μεγέθη που μπορούν ν ελττώνοντι ή ν υξάνοντι κτά οσοδήποτε μικρές (πειροστές) ποσότητες (d). Έν σύνολο διφορετικών μεγεθών κάτω πό ορισμένες συνθήκες μπορεί ν ποτελεί έν διάνυσμ. Τ 1,,..., ( 1,,..., ονομάζοντι συνιστώσες του δινύσμτος. Οι συνιστώσες ενός δινύσμτος μπορεί ν είνι πεπερσμένες ή άπειρες, όπως π.χ. τ δινύσμτ ket ενός συνρτησικού χώρου. = ( 1,,..,, ) ) Ακόμη είνι δυντόν πολλά πλά μεγέθη ν ποτελούν ένν πίνκ ή ένν τνυστή. A m ,,, 1,...,,...,,..., 1m m m Ο πίνκς m A έχει m γρμμές κι στήλες. 44

46 Ο τνυστής είνι κόμ πιο σύνθετο μέγεθος. m,,k T T T T Εάν έν μέγεθος y εξρτάτι πό έν άλλο μέγεθος τότε έχουμε συνάρτηση μις μετβλητής y= f() Το y μπορεί ν είνι πλό (βθμωτό) μέγεθος, διάνυσμ ή τνυστής. Αν έν μέγεθος εξρτάτι πό πολλές μετβλητές τότε έχουμε συνάρτηση πολλών μετβλητών. y= f( 1,,.., ) Τ μεγέθη μπορούν ν υπόκειντι σε πράξεις πρόσθεσης, φίρεσης, πολλπλσισμού, διίρεσης (+,-,,/) έτσι ώστε πό έν, δύο ή περισσότερ μεγέθη ν πράγοντι νέ μεγέθη ομοειδή ή ετεροειδή. Έν συνεχές μέγεθος μπορεί ν θεωρείτι άθροισμ (ολοκλήρωμ) πειροστών μεγεθών. d Σχήμ 3.1 = d Στην περίπτωση που έν μέγεθος εξρτάτι πό άλλο μέγεθος τότε ορίζετι ο ρυθμός μετβολής (πράγωγος) του πρώτου ως προς το δεύτερο κι ποτελεί νέο μέγεθος. dy y= f() f() d Η πράγωγος ορίζετι σε κάθε τιμή της νεξάρτητης μετβλητής. Η πράγωγος κι το ολοκλήρωμ συνδέοντι άμεσ ως εξής yd F() fd όριστο ολοκλήρωμ df f(), f()d F( ) F(1) d ορισμένο ολοκλήρωμ 1 45

47 Δηλδή η πράγωγος του ορίστου ολοκληρώμτος (F) μίς συνάρτησης ισούτι με την συνάρτηση υτή, κι το ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνάρτησης ισούτι με την διφορά του ορίστου ολοκληρώμτος στ όρι ολοκλήρωσης. Έν ξεχωριστό φυσικό μέγεθος το οποίο διρκώς υξάνετι χωρίς ν μπορεί ποτέ ν ελττωθεί (ντιστρφεί) είνι ο χρόνος (t). Η φύση κι τ φυσικά συστήμτ εξελίσσοντι στον χρόνο. Έτσι τ φυσικά μεγέθη εν γένει μετβάλλοντι με τον χρόνο κι ποτελούν συνρτήσεις του χρόνου. Μετβλητά στον χρόνο μεγέθη π.χ. είνι το δινυόμενο μήκος κι η θέση ενός κινούμενου στον χώρο σώμτος, η πυκνότητ ενός ρευστού, η θερμοκρσί, κ.λ.π. Τ φυσικά μεγέθη μονόμετρ, δινυσμτικά ή ό,τι άλλο, μετβλλόμεν με τον χρόνο ικνοποιούν μί μθημτική συνάρτηση y=f(t) ή y = y(t) y = φυσικό μέγεθος t = χρόνος Στην περίπτωση δινυσμτικού μεγέθους κάθε συνιστώσ του θ είνι συνάρτηση ως προς τον χρόνο: X (1,,..., ) X X(t) ( (t), (t),..., (t)) 1 Έν πολύπλοκο σύστημ όπως είδμε στο προηγούμενο κεφάλιο μπορεί ν μετβάλλει στον χρόνο την φυσική του κτάστση. Γι ν περιγράψουμε την εξέλιξη του συστήμτος χρησιμοποιούμε τον ρυθμό μετβολής της κτάστσής του, dx d1 d d,,..., dt dt dt dt διότι εάν γνωρίζουμε τον ρυθμό μετβολής της κτάστσης ως προς τον χρόνο τότε μπορούμε ν υπολογίσουμε το μέλλον πό το πρελθόν μέσω ολοκλήρωσης: Χ dx Fdt X(t) X(t ) Δ 0 ή X(t) X(t0) t t o Fdt ή X i(t) X i(t0) t t o Fdt, i i 1,,..., Στο κτωτέρω σχήμ προυσιάζουμε σε γενική μορφή την ντετερμινιστική μοντελοποίηση ενός πολύπλοκου συστήμτος 46

48 Περιβάλλον u (t) X (t),λ y (t) Έξοδος ή επίδρση στο περιβάλλον Δυνμικό σύστημ X = εσωτερική κτάστση Σχήμ 3. Το σύστημ περιγράφετι πό την δυνμική της εσωτερικής του κτάστσης (t) ενώ δέχετι μί επίδρση u(t) πό το περιβάλλον. Η επίδρση u του περιβάλλοντος μπορεί ν οφείλετι σε εξωτερικές δυνάμεις ή σε ροή ύλης-ενέργεις πό το περιβάλλον. Η έξοδος y(t) μπορεί ν ντιστοιχεί ντίστοιχ σε ροή ύλης-ενέργεις ή ν ντιστοιχεί σε κάποιο πρτηρούμενο ποτέλεσμ επί του συστήμτος. Γενικά η μθημτική μοντελοποίηση δίδετι πό τις σχέσεις: dx F(X, u,λ) dt Υ f(x,,λ) Εάν ο χρόνος θεωρηθεί δικριτός τότε η μοντελοποίηση του πολύπλοκου συστήμτος πίρνει την μορφή: X Υ 1 1 u F(X, f(x, όπου t 1, t,,t = Δt οι χρόνοι πρτήρησης. Το νωτέρω πολύπλοκο σύστημ μπορεί ν περιγράφει έν σύστημ φυσικό (σύνολο υλικών σωμτιδίων), έν χημικό σύστημ (σύνολο χημικών μορίων), έν σύνολο κυττάρων-οργάνων (όργν ή ζωντνός οργνισμός), έν μέρος του οικοσυστήμτος (πληθυσμός έμβιων όντων), το νευρικό σύστημ (σύνολο νευρώνων), του εγκεφάλου, έν οικονομικό σύστημ (σύνολο γορών), έν κοινωνικό σύστημ (σύνολο πολιτών ή οργνισμών), έν τεχνικό σύστημ (νθρώπινες κτσκευές), κ.ο.κ. u u,λ),λ) 47

49 3. Η σωμτιδική μοντελοποίηση της πολυπλοκότητς Η σωμτιδική μοντελοποίηση της πργμτικότητς κι πολυπλοκότητς προσπθεί ν νάγει όλ τ πρτηρούμεν φινόμεν κι τις μκροσκοπικές ιδιότητες ενός πολύπλοκου συστήμτος σε πλές μηχνικές ιδιότητες των σωμάτωνσωμτιδίων που ποτελούν ή περιέχοντι στο σύστημ. Έτσι έν στερεό κομμάτι ύλης ποτελείτι πό άπειρο πλήθος μικρών υλικών σωμτιδίων. Τ άτομ-μόρι συγκρτούντι μετξύ τους με ηλεκτρικές δυνάμεις που σκούντι μετξύ των ηλεκτρικών κτνομών στ νέφη ηλεκτρονίων γύρω πό τ άτομ κι τ μόρι. Οι συνεκτικές υτές δυνάμεις είνι σθενέστερες στ υγρά ή σχεδόν νύπρκτες στ έρι. Στ στερεά, τ υλικά σωμτίδι που περιέχοντι εκτελούν τοπικές τλντώσεις. Στ υγρά, εκτός των τοπικών τλντώσεων τ μόρι του υγρού μπορούν συγχρόνως ν ρέουν μέσ στον χώρο. Στ έρι, τ μόρι ή τ άτομ κινούντι ελεύθερ στον χώρο εκτός των στιγμών εκείνων που συγκρούοντι μετξύ των κι λλάζουν φορά κίνησης. Στ υγρά, βσικό ρόλο εκτός των εσωτερικών συγκρούσεων πίζει κι η εξωτερική δύνμη της βρύτητς, κθορίζοντς την ροή του υγρού κι δημιουργώντς εσωτερική πίεση στ υγρά. Πρόμοι συμβίνει κι με τ πυκνά έρι. Αντίθετ στ ριά έρι η εσωτερική πίεση οφείλετι κυρίως στην κινητική ενέργει των μορίων του ερίου. Όσον φορά την περιγρφή των ιδιοτήτων των στερεών, των υγρών, των ερίων κι των ντίστοιχων φινομένων μς ρκεί ν χρησιμοποιήσουμε δυνάμεις εξ ποστάσεως βρύτητς, κι ηλεκτρικές δυνάμεις Κουλόμπ οι οποίες μκροσκοπικά εμφνίζοντι ως δυνάμεις τριβής, ντίστσης, ελστικές τάσεις κ.λ.π. Συχνά υτές οι μκροσκοπικές μηχνικές δυνάμεις χρκτηρίζοντι ως δυνάμεις επφής επειδή μκροσκοπικά τ σωμτίδι της ύλης είνι τόσο πυκνά κι φίνετι ν έχουν επφή το έν με το άλλο. Μικροσκοπικά όμως γνωρίζουμε πως κάτι τέτοιο δεν είνι δυντόν ν συμβεί φού τ ηλεκτρόνι των εξωτερικών στιβάδων σκούν μετξύ τους ισχυρές πωστικές δυνάμεις κρτώντς τ άτομ σε πόστση μετξύ τους. Τόσο οι δυνάμεις βρύτητς όσο κι οι δυνάμεις Κουλόμπ είνι συντηρητικές δυνάμεις κι γράφοντι ως η βθμίδ της ντίστοιχης δυνμικής ενέργεις: 48