ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΙ & ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΒΑΣΙΜΕΝΑ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΓΙΑ ΤΟ ΘΕΜΑ Α

Transcript

1 ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΙ & ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΒΑΣΙΜΕΝΑ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΓΙΑ ΤΟ ΘΕΜΑ Α 1. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό : «Αν δυο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως και ορίζονται οι g o, g τότε υποχρεωτικά ισχύει g o o g». o g και β. Έστω οι συναρτήσεις ln x και g( x. Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το D (, ), ενώ η g το Dg [, ). Για να ορίζεται η παράσταση ( g o )( g( ) πρέπει : x D και Dg ή, ισοδύναμα, x x ln x και είναι : x x 1 x 1 ( go )( g( ) g(ln ln x, [ 1, ), δηλαδή πρέπει x 1. Επομένως, ορίζεται η g o Dg o Για να ορίζεται η παράσταση ( o g)( ( g( ) πρέπει : x Dg και g( D ή, ισοδύναμα, x g( και είναι : go og. x x x x x, δηλαδή πρέπει x. Επομένως, ορίζεται η o g ( og)( ( g( ) ln x, (, ). Τελικά παρατηρούμε ότι D o g

2 2. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό : «Έστω τρεις συναρτήσεις. Αν ορίζεται η h o ( g o ), τότε υποχρεωτικά ισχύει h o ( g o ) ( g o ) o h»., g, h β. Είναι ψευδής καθώς στην σύνθεση δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα όπως εξηγήθηκε στο 1. αλλά η προσεταιριστική ιδιότητα h o ( g o ) ( h o g) o. 3. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό : «Αν είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα σύνολο Α και 1-1 τότε είναι και γνησίως μονότονη στο Α». β. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1-1 αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες, όπως για παράδειγμα η συνάρτηση x, x gx ( ) 1, x x της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται στο παρακάτω σχήμα:

3 4. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό : «Κάθε συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο αυτό». x τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο β. Έστω η συνάρτηση x. Η είναι συνεχής στο αυτό, αφού x, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ lim x () x lim x x x 1 ενώ, lim x () x lim x x x 1 Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια συνάρτηση μπορεί να είναι συνεχής σ ένα σημείο είναι παραγωγίσιμη σ αυτό. x χωρίς να 5. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό : «Για κάθε συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα (, x ) (x, ) με: συνεχής στο Δ και ( για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ».

4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ β. Ο παραπάνω ισχυρισμός ισχύει όταν η είναι ορισμένη σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση 1 1,, x x Παρατηρούμε ότι, αν και σταθερή στο ) (,) (,. x (, ) (, για κάθε ), εντούτοις η δεν είναι 6. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό : «Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ τότε υποχρεωτικά ισχύει ( σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ». β. Αν η είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ. Για παράδειγμα, η συνάρτηση παράγωγο ( 3 x, αν και είναι γνησίως αύξουσα στο, εντούτοις έχει 2 η οποία δεν είναι θετική σε όλο το, αφού ( ) 3x για κάθε x.. Ισχύει όμως

5 7. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό : «Ένα τοπικό μέγιστο δεν μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο». β. Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο. Για παράδειγμα, στο παρακάτω σχήμα παρατηρούμε ότι το τοπικό μέγιστο στη θέση είναι μικρότερο από το τοπικό ελάχιστο στη θέση x 4. x 1 y x 1 x 2 x 3 x 4 O x (a) 8. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό : «Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα μιας συνάρτησης είναι πάντοτε το μέγιστο αυτής». β. Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε μέγιστο αυτής. Αυτό επιβεβαιώνεται στο παρακάτω σχήμα από το οποίο παρατηρούμε ότι στη θέση x 3, αν και έχουμε το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, δεν είναι το μέγιστο της συνάρτησης αφού lim ( x.

6 y x 1 x 2 x 3 x 4 O x (a) 9. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό : «Για κάθε συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη στο, αν για κάποιο (x ) τότε το x είναι υποχρεωτικά θέση τοπικού ακρότατου της». x ισχύει β. Για παράδειγμα, η συνάρτηση παράγωγο 3 x, η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με 2 ( ) 3. Η ρίζα της παραγώγου είναι το, δηλαδή () x x όπως φαίνεται στο σχήμα το σημείο δεν είναι θέση τοπικού ακρότατου της.. Εντούτοις,

7 1. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό : «Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Για κάθε συνάρτηση κυρτή στο Δ ισχύει για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ». (x ) β. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση στο, η ( ). x 4 x 4 Επειδή η είναι κυρτή στο. Εντούτοις, η ( 4x 3 είναι γνησίως αύξουσα δεν είναι θετική στο, αφού