MA5283 STATISTIKA Bab 2 Peluang

Transcript

1 MA5283 STATISTIKA Bab 2 Peluang Orang Cerdas Belajar Statistika

2 Silabus Silabus dan Tujuan Ruang sampel dan kejadian, konsep peluang, peluang bersyarat, Teorema Bayes.

3 Tujuan Silabus dan Tujuan 1 Mendefinisikan ruang sampel dan kejadian 2 Menghitung peluang suatu kejadian 3 Menghitung peluang bersyarat suatu kejadian 4 Memanfaatkan Teorema Bayes untuk menghitung peluang suatu kejadian

4 Silabus dan Tujuan -1. Tanti baru saja mengikuti tes mata. Ia masih teringat beberapa huruf yang muncul: A-E-M-R-S. Kini, Tanti mencoba menyusun kata-kata yang mungkin dari huruf-huruf tersebut.

5 -2. Hanin bermaksud menyumbangkan darahnya di suatu tempat donor. Hanin terlebih dahulu harus dicek golongan darahnya. Golongan darah yang mungkin untuk Hanin adalah... Rupanya Hanin tidak sendirian. Ada Hana dan Hanan disana yang memiliki maksud yang sama dengan Hanin. Jika seorang diantara mereka dipilih secara acak menjadi pendonor, berapa peluang orang yang terpilih adalah Hana? Jika, diantara mereka bertiga, Hanan terpilih menjadi pendonor, berapa peluang golongan darah Hanan adalah B?

6 -3. B dan G pergi berburu dengan cara menembak. Pada waktu yang disepakati, B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari tembakan B) mengenai sasaran adalah 0.4. Berapa peluang sebuah tembakan mengenai sasaran? Berapa peluang sasaran tertembak?

7 -4. Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku kawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak pula dengan ayah tiriku

8 Silabus dan Tujuan Aksioma dan Sifat Peluang Ruang sampel, S, adalah himpunan semua hasil mungkin dari suatu percobaan. Kejadian, E, adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Peluang suatu kejadian, P(E), adalah rasio dari banyaknya titik kejadian dan ruang sampel, atau P(E) = n(e) n(s), dimana n(e) dan n(s), berturut-turut, adalah banyaknya titik kejadian dan ruang sampel.

9 Aksioma dan Sifat Peluang Aksioma dan Sifat-sifat peluang: 1 0 P(E) 1 2 P({}) = 0 3 P(S) = 1 4 Untuk kejadian A dan B, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 5 Jika kejadian A dan B saling asing maka P(A B) = 0 6 Kejadian A dan kejadian B dikatakan saling bebas jika P(A B) = P(A) P(B)

10 Aksioma dan Sifat Peluang peluang yang lain merujuk pada frekuensi relatif. Misalkan suatu percobaan dengan ruang sampel S diulang-ulang. Misalkan n(e) banyaknya kejadian E yang terjadi selama n pengulangan. Peluang kejadian E adalah P(E) = lim n n(e) n

11 Silabus dan Tujuan Aksioma dan Sifat Peluang LATIHAN: Kerjakan ilustrasi-ilustrasi diatas.

12 Solusi: -1 Silabus dan Tujuan Aksioma dan Sifat Peluang SERAM( ), MERAS(X ), SEMAR(X ), RAMES( ), MESRA( ), REMAS( ),...

13 Solusi: -3 Silabus dan Tujuan Aksioma dan Sifat Peluang Misalkan B kejadian B menembak sasaran Misalkan G kejadian G menembak sasaran Misalkan T kejadian sebuah tembakan mengenai sasaran Misalkan S kejadian sasaran tertembak P(T ) = P(G B c ) + P(B G c ) = (0.4)(0.3) + (0.7)(0.6) P(S) = 1 P(G c B c ) = 1 (0.6)(0.3)

14 Latihan Silabus dan Tujuan Aksioma dan Sifat Peluang 1. Lima orang siswa meletakkan tasnya masing-masing ketika memasuki perpustakaan. Kemudian, ketika mereka keluar dari perpustakaan mereka mengambil tasnya secara acak tanpa memperhatikan apakah tas yang diambil adalah benar-benar miliknya. Apakah ruang sampel percobaan diatas?

15 Aksioma dan Sifat Peluang Solusi: S = MiTj, i, j = 1, 2, 3, 4, 5, mahasiswa (M) ke-i mengambil tas (T) milik mahasiswa ke-j, n(s)=25), atau Solusi: S = ijklm, i, j, k, l, m = 1, 2, 3, 4, 5

16 Aksioma dan Sifat Peluang 2. Dalam suatu rapat yang terdiri dari 20 orang, setiap orang berjabatan tangan dengan orang lain diakhir rapat. Ada berapa banyak jumlah salaman yang terjadi?

17 Aksioma dan Sifat Peluang Solusi: C 20 2 = 190

18 Aksioma dan Sifat Peluang 3. Sebuah lift bergerak dari lantai dasar berisi 8 orang (tidak termasuk operator lift) dan orang-orang tersebut akan keluar hingga lift mencapai lantai paling tinggi yaitu lantai 6. Dalam berapa cara sang operator dapat mengenali orang-orang yang keluar dari lift jika semuanya nampak mirip bagi sang operator? Bagaimana jika 8 orang tersebut terdiri atas 5 pria dan 3 wanita dan sang operator membedakan pria dan wanita?

19 Aksioma dan Sifat Peluang Solusi: C 13 5 ; C 10 5 C 8 5

20 Aksioma dan Sifat Peluang 4. Setiap pagi Swarna meninggalkan rumahnya untuk berlari pagi. Swarna pergi lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah Swarna memakai sepatu olah raga atau bertelanjang kaki jika sepatu tidak tersedia di depan pintu yang dia lewati. Ketika pulang, Swarna akan masuk lewat pintu atau belakang dan meletakkan sepatunya dengan pelung sama. Jika dia memiliki 4 pasang sepatu olah raga, akan dihitung berapa peluang Swarna akan sering berolah raga dengan bertelanjang kaki. Pertanyaan awal, tentukan ruang sampelnya!

21 Aksioma dan Sifat Peluang Solusi: S = (i, e), i = 0,, 4; e = 4,, 0, i=banyak sepatu di pintu depan, e=banyak sepatu di pintu belakang

22 Aksioma dan Sifat Peluang 5. Bapak Kepala Sekolah mengundang guru-guru yang memiliki setidaknya satu anak laki-laki (L) ke acara syukuran. Seorang guru yang bernama Pak Jaim memiliki dua anak. Kita akan menghitung peluang bahwa kedua anak Pak Jaim adalah laki-laki, diberikan bahwa Pak Jaim diundang ke acara syukuran tersebut. Pertanyaan awal adalah apa ruang sampel percobaan diatas?

23 Aksioma dan Sifat Peluang Solusi: S = {LL, LP, PL, PP}

24 Sudoku KOMPAS 10/02/2012 Aksioma dan Sifat Peluang

25 Distribusi Frekuensi versus Peluang Aksioma dan Sifat Peluang Pandang distribusi frekuensi tentang Daerah Asal Peserta Lomba IMO: Daerah Asal Jumlah Peserta Prosentase Sumatera 20 Jawa Barat dan DKI 35 Jawa Timur dan Bali 27 Kalimantan dan Sulawesi 14 Papua 4 Apa yang dapat Anda katakan tentang PELUANG?

26 Silabus dan Tujuan Teorema Bayes -1. Pandang -3 diatas. Jika sebuah tembakan mengenai sasaran, berapa peluang bahwa itu tembakan G? Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, kedua tembakan mengenai sasaran? Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, tembakan G mengenai sasaran?

27 Teorema Bayes -2. Seorang praktikan, Ega, tahu bahwa sebuah lembar kerja praktikum akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat lab yang ada. Misalkan p i adalah peluang bahwa Ega akan menemukan lembar kerja praktikum setelah mengecek kotak surat lab i dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat lab i, i = 1, 2, 3. Misalkan Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat. Berapa peluang hal itu akan terjadi? Jika diketahui Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat, berapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1?

28 Silabus dan Tujuan Teorema Bayes Peluang kejadian A, apabila kejadian B telah terjadi, adalah peluang bersyarat P(A B) yaitu: P(A B) = P(A B, P(B) asalkan P(B) > 0. Jelas bahwa jika kejadian A dan B saling bebas maka P(A B) = P(A).

29 Teorema Bayes Peluang total: P(B) = P(B A)P(A) + P(B A c )P(A c )

30 Latihan Silabus dan Tujuan Teorema Bayes 1. Laila memiliki 2 buah koin; satu koin baik (memiliki sisi M dan B) dan satu koin tidak baik (memiliki dua sisi M). Sebuah koin dipilih secara acak, kemudian dilantunkan. Berapa peluang muncul M?

31 Teorema Bayes Solusi: Misalkan K 1 koin baik, K 2 koin tidak baik. P(M) = P(M K 1 ) + P(M K 2 ) = P(M K 1 )P(K 1 ) + P(M K 2 )P(K 2 ) = (1/2)(1/2) + (1)(1/2) = 3/4

32 Latihan Silabus dan Tujuan Teorema Bayes 2. Laila memiliki 2 buah koin; satu koin baik (memiliki sisi M dan B) dan satu koin tidak baik (memiliki dua sisi M). Sebuah koin dipilih secara acak, kemudian dilantunkan. Muncul M. Berapa peluang bahwa koin yang dilantunkan adalah koin baik?

33 Teorema Bayes Solusi: P(K 1 M) = P(K 1 M)/P(M) = P(M K 1 )P(K 1 )/P(M) = (1/4)/(3/4) = 1/3

34 Teorema Bayes Silabus dan Tujuan Teorema Bayes TEOREMA BAYES: Misalkan {B 1, B 2,..., B n } adalah partisi dari ruang sampel dan misalkan A adalah kejadian yang terobservasi. Peluang kejadian B j diberikan A adalah P(B j A) = P(A B j) P(A) P(A B j ) P(B j ) = n i=1 P(A B i) P(B i )

35 Latihan Silabus dan Tujuan Teorema Bayes 1 Kerjakan ilustrasi-ilustrasi diatas 2 Tes darah di suatu laboratorium akan 95% efektif dalam mendeteksi suatu penyakit tertentu jika penyakit itu ada. Namun demikian, tes tersebut juga memberikan hasil positif yang salah pada 1% orang sehat yang dites. Jika 0.5% dari populasi mengidap penyakit tertentu tersebut, tentukan peluang bahwa seseorang menderita penyakit itu jika hasil tes positif?

36 Solusi: -1 Silabus dan Tujuan Teorema Bayes Misalkan B kejadian B menembak sasaran Misalkan G kejadian G menembak sasaran Misalkan T kejadian sebuah tembakan mengenai sasaran Misalkan S kejadian sasaran tertembak P(G T ) = P(G T ) P(T ) P(G B c ) = P(G B c ) + P(B G c ) (0.4)(0.3) = (0.4)(0.3) + (0.7)(0.6)

37 Teorema Bayes P(G S) P(B S) P(G B S) = P(S) = P(G)P(B) 1 P(G c B c ) = (0.4)(0.7) 1 (0.6)(0.3) P(G S) P(G S) = P(S) P(G S) = 1 P(G c B c ) 0.4 = 1 (0.6)(0.3)

38 Solusi: -2 Silabus dan Tujuan Teorema Bayes Misalkan K i, i = 1, 2, 3 adalah kejadian lembar kerja praktikum berada di kotak surat lab i. Misalkan T kejadian mengecek kotak surat lab 1 tidak mendapatkan lembar kerja praktikum. Peluang hal itu akan terjadi adalah P(T ) = P(T K 1 )P(K 1 ) + P(T K 2 )P(K 2 ) + P(T K 3 )P(K 3 ) = (1 p 1 )(1/3) + 1/3 + 1/3

39 Teorema Bayes Jika diketahui Ega mengecek kotak surat lab 1 dan tidak menemukan surat, maka peluang bahwa lembar kerja praktikum itu ada di kotak surat lab 1 adalah P(T K 1 )P(K 1 ) P(K 1 T ) = P(T K 1 )P(K 1 ) + P(T K 2 )P(K 2 ) + P(T K 3 )P(K 3 ) (1 p 1 )(1/3) = (1 p 1 )(1/3) + 1/3 + 1/3

40 -1 Silabus dan Tujuan Peubah Acak Distribusi Binomial Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang?

41 Ilustras-2 Silabus dan Tujuan Peubah Acak Distribusi Binomial Pasien di IGD adalah orang-orang yang dianggap dekat dengan kematian. Kesembuhan dari penyakit yang dideritanya bagi mereka adalah seperti mimpi. Untuk bisa bertahan hidup dari hari ke hari sudahlah merupakan mukjizat. Asumsikan bahwa setiap orang memiliki peluang sama untuk dapat bertahan hidup sampai hari esok sebesar α. Jika jumlah pasien IGD pada suatu hari adalah 5 orang, berapa peluang besok hanya akan ada 2 orang saja yang masih hidup?

42 Peubah Acak Silabus dan Tujuan Peubah Acak Distribusi Binomial Peubah acak tidaklah acak dan bukanlah peubah Peubah acak adalah fungsi yang memetakan anggota S ke bilangan real R

43 P.A. Diskrit Silabus dan Tujuan Peubah Acak Distribusi Binomial Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {a i, i = 1, 2,... } sedemikian hingga P ( {X = a i } ) = i i P(X = a i ) = 1 Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit.

44 Peubah Acak Distribusi Binomial F X disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung {a i, i = 1, 2,... } dari bilangan real dan barisan {p i, i = 1, 2,... } dari bilangan positif yang bersesuaian sedemikian hingga p i = 1 dan i F X (x) = a i x p i

45 Peubah Acak Distribusi Binomial Jika diberikan himpunan terhitung {a i, i = 1, 2,... } dan bilangan positif {p i, i = 1, 2,... } sdh i p i = 1, fungsi peluang p X (x) adalah p X (x) = p i = P(X = a i ), dengan x = a i

46 Peubah Acak Distribusi Binomial Fungsi distribusi (kumulatif): Sifat-sifat: (a) F fungsi tidak turun (b) lim x F (x) = 1 (c) lim x F (x) = 0 (d) F fungsi kontinu kanan F (x) = P(X x)

47 Peubah Acak Distribusi Binomial Catatan: P(a < X b) = F (b) F (a) P(X b) P(X < b) P(X < b) = P ( { 1 }) lim X b n n = lim P( X b 1 ) n n = lim F ( b 1 ) n n

48 Latihan Silabus dan Tujuan Peubah Acak Distribusi Binomial 1. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x < 3.1 3/5, 3.1 x < 0 F (x) = 7/10, 0 x < 1 1, 1 x

49 Peubah Acak Distribusi Binomial 2. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x < x 5, 0 x < 1 F (x) = 3 5, 1 x < , 2 x < 3 1, x 3

50 Peubah Acak Distribusi Binomial 3. Diketahui fungsi peluang sebagai berikut: p, x = , x = , x = 20p f (x) = p, x = 3 4p, x = 4 0, x yang lain Hitung P( 1.9 X 3), F (2), F (F (3.1))

51 Distribusi Binomial Peubah Acak Distribusi Binomial Misalkan S = {sukses, gagal} adalah ruang sampel yang menotasikan sukses atau gagal dari suatu percobaan. kan X (sukses) = 1 dan X (gagal) = 0 dan p X (1) = P(X = 1) = p p X (0) = P(X = 0) = 1 p dimana 0 p 1 adalah peluang diperoleh sukses. X dikatakan peubah acak Bernoulli dengan parameter p.

52 Peubah Acak Distribusi Binomial Jika dilakukan n percobaan independen dan jika X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh maka X dikatakan sebagai peubah acak Binomial dengan parameter (n, p), dimana p X (k) = B(k; n, p) = C n k pk (1 p) n k

53 Latihan Silabus dan Tujuan Peubah Acak Distribusi Binomial 1. Misalkan X B(5, 0.2). Hitung: (a) P(0 < X 1) (b) P(X 1)

54 Peubah Acak Distribusi Binomial Solusi: P(0 < X 1) = P(X = 1) = 0.41 P(X 1) = 1 P(X = 0) = = 0.672

55 Peubah Acak Distribusi Binomial 2. Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang?

56 Peubah Acak Distribusi Binomial Solusi: Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya orang yang tidak datang dengan peluang sukses (tidak datang) X B(52, 0.05). P(X 2) = 1 [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 (0.05) 0 (0.95) 52 52(0.05) 1 (0.95) 51 = 0.74

57 1 Misalkan X peubah acak Binomial yang menyatakan banyak orang yang datang ke toko dan membeli barang. Diketahui nilai parameter sukses adalah 0.6. Jika 10 orang masuk toko, berapa peluang terjadinya maksimal sebuah sukses?

58 Solusi: P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1(0.6) 0 (0.4) (0.6) 1 (0.4) 9 = = 0.002

59 1 Laila memiliki sebuah koin yang memiliki sisi MUKA dan BELAKANG dan sebuah koin lain yang ternyata memiliki dua sisi MUKA. Laila memilih sebuah koin secara acak dan melantunkannya. Muncul MUKA. Misalkan Laila melantunkan koin untuk keduakalinya dan muncul MUKA. Berapa peluang bahwa koin yang dilantunkan adalah koin bersisi MUKA dan BELAKANG?

60 Solusi: Misalkan K 1 adalah koin yang memiliki sisi MUKA dan BELAKANG, K 2 koin yang memiliki dua sisi MUKA. P(K 1 MM) = P(K 1 MM) P(MM) P(MM K 1 )P(K 1 ) = P(MM K 1 )P(K 1 ) + P(MM K 2 )P(K 2 ) (1/4)(1/2) = (1/4)(1/2) + (1)(1/2) = 1/5