ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga. Misalkan terdapat N buah besaran A µ dalam sistem koordinat {x µ } dan N

Transcript

1 Lampiran 1 Tensor dan Operasinya Skalar,Vektor dan Tensor Misalkan terdapat N buah besaran A µ dalam sistem koordinat {x µ } dan N buah besaran A µ dalam sistem koordinat lain {x µ } dengan µ = 1, 2, 3..., N. Jikan kedua besaran itu memenuhi hubungan A µ = N ν=1 x µ x ν Aν (1) maka A ν disebut sebagai komponen vektor kontravarian atau vektor kontravarian saja. jika (µν, 1, 2, 3) maka dapat digunakan sumasi Einstein untuk menyederhanakan persamaan tersebut menjadi A µ = x µ x ν Aν (2) Misalkan terdapat N buah besaran A µ dalam sistem koordinat {x µ } dan N buah besaran {A µ} dalam sistem koordinat lain {x µ } dengan µ, 1, 2, 3. Jikan kedua besaran itu memenuhi hubungan maka A ν disebut sebagai vektor kovarian. A µ = x ν x µ A ν (3) Perbedaan antara vektor kovarian dan kontravarian diberikan oleh Gambar(1). dari gambar tampak bahwa A = A µ e µ (4) dan A µ = A e µ (5) maka untuk koordinat kartesian berlaku A µ = A µ (6) Artinya, tidak relevan berbicara vektor kovarian dan kontravarian dalam sis-

2 tem koordinat ortoghonal Cartesian.[Purwanto, 2009] Gambar 1: Koordinat Tidak Ortogonal Tensor rank dua kontravarian A µν, kovarian A µν dan campuran A µ ν didefinisikan oleh sifat transformasi komponennya A µν A µν = x µ x α x ν x β Aαβ (7) A µν A µν = xα x, µ x β x ν A αβ (8) A µ ν A µ ν = x µ x β x α x ν Aα β (9) Terlihat bahwa rank menunjuk pada turunan parsial dalam definisi, nol untuk skalar, satu untuk vektor dan dua untuk tensor rank kedua. [Purwanto, 2009] Operasi Tensor Operasi yang berlaku pada tensor antara lain 1. Penjumlahan dan Pengurangan Jumlah dari dua buah atau lebih tensor yang rank dan jumlah indeks kontravarian serta kovariannya sama adalah juga sebuah tensor dengan rank dan jumlah indeks kontravarian serta kovarian yang sama dengan tensor-tensor yang dijumlahkan. Hal yang serupa berlaku juga untuk pengurangan tensor.

3 2. Perkalian Luar Perkalian luar dua buah tensor menghasilkan sebuah tensor yang ranknya sama dengan jumlah rank dari kedua buah tensor yang dioperasikan. Perkalian luar dari tensor A m n dan B ij akan memberikan tensor Cnij m = A m n B ij yang merupakan tensor campuran rank empat. 3. Kontraksi Kontraksi adalah operasi menyamakan sepasang atau lebih indeks kontravarian dan kovarian sehingga hasil yang diperoleh adalah penjumlahan yang sesuai dengan kaidah penjumlahan Einstein. Hasil penjumlahan ini adalah suatu tensor yang ranknya dua lebih rendah daripada rank tensor semula. Misalkan diketahui tensor campuran rank empat A l mnp. Dengan mengambil l = m maka akan diperoleh tensor kovarian rank kedua A np. 4. Perkalian Dalam Perkalian dalam merupakan operasi perkalian luar yang diikuti oleh operasi kontraksi. Misalkan diketahui tensor-tensor A mn l tensor ini dinyatakan oleh C mns lk = A mn l Bk s dan Bk s, hasil perkalian kedua. Dengan mengambil l = s maka akan diperoleh hasil perkalian dalam yang dinyatakan sebagai C mn k 5. Hukum Hasil Bagi = A mn s B s k. Andaikan tidak diketahui apakah sebuah besaran X adalah sebuah tensor atau tidak. Apabila hasil-kali dalam dari X dengan sembarang tensor adalah sebuah tensor, maka X adalah juga sebuah tensor. Aturan ini disebut hukum hasilbagi.

4 Lampiran 2 Tensor Simetri dan Antisimetri Tensor kovarian rank dua A µ ν disebut tensor simetri jika komponennya memenuhi A µν = A νµ (10) dan disebut antisimetri jika A µν = A νµ (11) analog dengan persamaan tersebut, tensor kontravarian A µν jika disebut simetri A µν = A νµ (12) dan disebut anti simetri jika [Dalarson, 2005] A µν = A νµ (13)

5 Lampiran 3 Turunan Kovarian Turunan kovarian suatu tensor kontravarian A µν diberikan oleh DA µν Dx β = Aµν x β + Γν αβa µα + Γ µ αβ Aαν (14) atau bisa ditulis D β A µν = β A µν + Γ ν αβa µα + Γ µ αβ Aαν (15) dan A µν ;β = Aµν,β + Γν αβa µα + Γ µ αβ Aαν (16) dan turunan kovarian untuk A µν A µν;β = A µν,β Γ α µβa αν Γ α νβa µβ (17) sedangkan turunan kovarian untuk tensor campuran A µ ν A µ ν;β = Aµ ν,β + Γµ αβ Aβ ν Γ β νβ Aµ ν (18)

6 Lampiran 4 Analisis Vektor Hukum Aljabar Vektor Jika A, B dan C adalah vektor dan m,n adalah skalar serta θ adalah sudut yang dibentuk oleh A dan B, maka (1) A + B = B + A (2) A + (B + C) = (A + B) + A (3) (m + n)a = ma + na (4) m(a + B) = ma + mb (5) A B = AB cos θ (6) A B = AB sin θ (7) A B = B A (8) A B = B A (19) Gradien, Divergensi dan Curl Operator vektor yang disefinisikan sebagai berikut = i x + j y + k z (20) Kemudian jika φ(x, y, z) dan A(x, y, z) mempunyai turunan pertama yang kontinu pada suatu daerah, maka dapat didefinisikan hal berikut φ = φ x i + φ y j + φ z k (21) A = A 1 x + A 2 y + A 3 z (22) A = ( A3 y A ) 2 i + z ( A2 + x A 1 y ( A1 z A ) 3 j x ) k (23)

7 dengan φ adalah gradien dari φ, A adalah Divergensi dari A dan A adalah Curl dari A. Rumus-Rumus yang Mengandung Jika turunan parsial dari A, B, U dan V ada maka: (U + V ) = U + V (A + B) = A + B (A + B) = A + B (UA) = ( U) A + U( A) (UA) = ( U) A + U( A) (A B) = B ( A) A ( B) ( U) = 2 U 2 U x + 2 U 2 y + 2 U 2 z 2 ( U) ( A) = ( A) 2 A (24) dengan 2 dinamakan operator Laplace.

8 Lampiran 5 Solusi Schwarzchild Didekat obyek masif M ruang-waktu yang melengkung, garis dunia ds dari partikel dan berkas cahaya adalah geodesik, untuk mendapatkannya perlu diketahui tensor metrik g µν di dalam koordinat yang dipilih. dalam koordinat bola x 0 = t, x 1 = r, x 2 = θ, x 3 = φ dengan M sebagai titik pusatnya. jika M nol maka rumus jarak ds 2 = c 2 dt 2 + dr 2 + (r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2 ) (25) Jika massa M dinyalakan maka akan terjadi dua hal, ruang posisi akan melengkung sehingga lingkaran r tidak secara tepat berada pada jarak r dari pusat lingkaran, dan jam pada setiap permukaan r tidak teramati dari permukaan r yang lain. Efek ini dapat dituliskan dalam elemen jarak ds 2 = e 2ν c 2 dt 2 + e 2λ dr 2 + (r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2 ) (26) dengan ν = ν(r), λ = λ(r). Persamaan 26 memberi elemen tensor metrik g 00 = e 2ν, g 11 = e 2λ, g 22 = r 2, g 33 = r 2 sin 2 θ (27) atau dapat ditulis g µν = e 2ν e 2λ r r 2 sin 2 θ (28)

9 inversnya g µν = e 2ν e 2 λ r r 2 sin 2 θ (29) Selanjutnya untuk semua komponen simbol Cristoffelnya akan berlaku Γ µ,υρ = 1 2 ( gµυ x + g ρµ ρ x g ) υρ υ x µ (30) Γ 0,00 = 1 2 ( 0g g 00 0 g 00 ) Γ 0,01 = Γ 0,10 = 1 2 ( 1g g 00 0 g 00 ) = 1 ( ) ( e 2ν ) 2 r = ν e 2ν Γ 0,02 = Γ 0,20 = 1 2 ( 2g g 00 0 g 00 ) Γ 0,03 = Γ 0,30 = 1 2 ( 3g g 00 0 g 00 ) Γ 0,11 = 1 2 ( 1g g 10 0 g 11 ) = 1 ( ) 2 Γ 0,12 = Γ 0,21 = 1 2 ( 2g g 20 0 g 12 ) = 1 ( ) 2 Γ 0,13 = Γ 0,31 = 1 2 ( 3g g 30 0 g 13 ) = 1 ( ) 2

10 Γ 0,22 = 1 2 ( 2g g 20 0 g 22 ) Γ 0,23 = Γ 0,32 = 1 2 ( 3g g 03 0 g 23 ) Γ 0,33 = 1 2 ( 3g g 30 0 g 33 ) Γ 1,00 = 1 2 ( 0g g 01 1 g 00 ) = 1 ( ) ( e2ν ) 2 r = ν e 2ν Γ 1,01 = Γ 1,10 = 1 2 ( 1g g 11 1 g 01 ) Γ 1,02 = Γ 1,20 = 1 2 ( 2g g 21 1 g 02 ) Γ 1,03 = Γ 1,30 = 1 2 ( 3g g 31 1 g 03 ) Γ 1,11 = 1 2 ( 1g g 11 1 g 11 ) = 1 ( 2λ e 2λ) 2 = λ e 2λ Γ 1,12 = Γ 1,21 = 1 2 ( 2g g 21 1 g 12 ) Γ 1,13 = Γ 1,31 = 1 2 ( 3g g 31 1 g 13 )

11 Γ 1,22 = 1 2 ( 2g g 21 1 g 22 ) = 1 (0 + 0 (2r)) 2 = r Γ 1,23 = Γ 1,32 = 1 2 ( 3g g 31 1 g 23 ) Γ 1,33 = 1 2 ( 3g g 31 1 g 33 ) = 1 ( ( r sin 2 θ )) 2 = r sin 2 θ Γ 2,00 = 1 2 ( 0g g 02 2 g 00 ) = 1 ( ) 2 Γ 2,01 = Γ 2,10 = 1 2 ( 1g g 12 2 g 01 ) Γ 2,02 = Γ 2,20 = 1 2 ( 2g g 22 2 g 02 ) = 1 ( ) 2 Γ 2,12 = Γ 2,21 = 1 2 ( 2g g 22 2 g 12 ) = 1 (0 + (2r) 0) 2 = r Γ 2,13 = Γ 2,31 = 1 2 ( 3g g 32 2 g 13 ) Γ 2,22 = Γ 2,21 = 1 2 ( 2g g 22 2 g 22 ) = 1 2 (0) Γ 2,23 = Γ 2,32 = 1 2 ( 3g g 32 2 g 23 )

12 Γ 2,33 = 1 2 ( 3g g 32 2 g 33 ) = 1 ( ( r 2. sin θ. cos θ )) 2 = r 2. sin θ. cos θ Γ 3,00 = 1 2 ( 0g g 03 3 g 00 ) Γ 3,01 = Γ 3,10 = 1 2 ( 1g g 13 3 g 01 ) Γ 3,02 = Γ 3,20 = 1 2 ( 2g g 23 3 g 02 ) Γ 3,03 = Γ 3,30 = 1 2 ( 3g g 33 3 g 03 ) Γ 3,11 = 1 2 ( 1g g 13 3 g 11 ) Γ 3,12 = Γ 3,21 = 1 2 ( 2g g 23 3 g 12 ) Γ 3,13 = Γ 3,31 = 1 2 ( 3g g 33 3 g 13 ) = 1 ( ( 0 + 2r sin 2 θ ) 0 ) 2 = r sin 2 θ Γ 3,22 = 1 2 ( 2g g 23 3 g 22 ) Γ 3,23 = Γ 3,32 = 1 2 ( 3g g 33 3 g 23 ) = 1 ( ( 0 + r 2. sin θ cos θ ) 0 ) 2 = r 2 sin θ cos θ Γ 3,33 = 1 2 ( 3g g 33 3 g 33 ) Γ µ υρ = g µτ Γ τ,υρ

13 Γ 0 00 = g 00 Γ 0,00 Γ 0 01 = Γ 0 10 = g 0τ Γ τ,01 = g 00 Γ 0,01 = e ( 2ν). ( ν e (2ν)) = ν = g 01 Γ 1,01 = g 02 Γ 2,01 = g 03 Γ 3,01 Γ 0 02 = Γ 0 20 = g 0τ Γ τ,20 = g 00 Γ 0,20 Γ 0 03 = Γ 0 30 = g 0τ Γ τ,30 = g 00 Γ 0,30 Γ 0 11 = g 0τ Γ τ,11 = g 00 Γ 0,11 Γ 0 12 = Γ 0 21 = g 0τ Γ τ,12 = g 00 Γ 0,12 Γ 0 13 = Γ 0 31 = g 0τ Γ τ,13 = g 00 Γ 0,13 Γ 0 22 = g 0τ Γ τ,22 = g 00 Γ 0,22 Γ 0 23 = Γ 0 32 = g 0τ Γ τ,23 = g 00 Γ 0,23 Γ 0 33 = g 0τ Γ τ,33 = g 00 Γ 0,33

14 Γ 1 00 = g 1τ Γ τ,00 = g 11 Γ 1,00 = e ( 2λ). ( ν e (2ν)) = ν e (2ν 2λ) Γ 1 01 = Γ 1 10 = g 1τ Γ τ,01 = g 11 Γ 1,01 Γ 1 02 = Γ 1 20 = g 1τ Γ τ,02 = g 11 Γ 1,02 Γ 1 03 = Γ 1 30 = g 1τ Γ τ,03 = g 11 Γ 1,03 Γ 1 11 = g 1τ Γ τ,11 = g 11 Γ 1,11 = e ( 2λ). ( λ e (2λ)) = λ Γ 1 12 = Γ 1 21 = g 1τ Γ τ,12 = g 11 Γ 1,12 Γ 1 13 = Γ 1 31 = g 1τ Γ τ,13 = g 11 Γ 1,13 Γ 1 22 = g 1τ Γ τ,22 = g 11 Γ 1,22 = e ( 2λ). ( r) = re ( 2λ) Γ 1 23 = Γ 1 32 = g 1τ Γ τ,23 = g 11 Γ 1,23

15 Γ 1 33 = g 1τ Γ τ,33 = g 11 Γ 1,33 = e ( 2λ). ( r sin 2 θ ) = r sin 2 θe ( 2λ) Γ 2 00 = g 1τ Γ τ,00 = g 22 Γ 2,00 Γ 2 01 = Γ 2 10 = g 2τ Γ τ,01 = g 22 Γ 2,01 Γ 2 02 = Γ 2 20 = g 2τ Γ τ,02 = g 22 Γ 2,02 Γ 2 03 = Γ 2 30 = g 2τ Γ τ,03 = g 22 Γ 2,03 Γ 2 11 = g 22 Γ 2,11 Γ 2 12 = Γ 2 21 = g 2τ Γ τ,12 = g 22 Γ 2,12 = (r) 2. (r) = 1 r Γ 2 13 = Γ 2 31 = g 22 Γ 2,13 Γ 2 22 = Γ 2 22 = g 22 Γ 2,22 Γ 2 23 = Γ 2 32 = g 22 Γ 2,23 Γ 2 33 = Γ 2 33 = g 22 Γ 2,33 = (r) 2. ( r 2 sin θ cos θ ) = sin θ cos θ Γ 3 00 = g 33 Γ 3,00

16 Γ 3 01 = Γ 3 10 = g 33 Γ 3,01 Γ 3 02 = Γ 3 20 = g 33 Γ 3,02 Γ 3 03 = Γ 3 10 = g 33 Γ 3,03 Γ 3 11 = g 33 Γ 3,11 Γ 3 12 = Γ 3 21 = g 33 Γ 3,12 Γ 3 13 = Γ 3 31 = g 33 Γ 3,13 = r 2 sin 2 θ. ( r sin 2 θ ) = 1 r Γ 3 23 = Γ 3 32 = g 33 Γ 3,23 = r 2 sin 2 θ. ( r 2 sin θ. cos θ ) = sin θ cos θ = cot θ Γ 3 33 = g 33 Γ 3,33 Tensor Riccinya R τυ = υγ γ τγ γγ γ τυ + Γ ρ τγγ γ ρυ Γ ρ τυγ γ ργ (31) maka untuk komponen Ricci diagonalnya R ττ = τγ γ τγ γγ γ ττ + Γ ρ τγγ γ ρτ Γ ρ ττγ γ ργ

17 R 00 = 0 Γ γ 0γ γγ γ 00 + Γ ρ 0γΓ γ ρ0 Γ ρ 00Γ γ ργ 1 Γ ( Γ 0 0γΓ γ 00 + Γ 1 0γΓ01) γ Γ 1 00 Γ γ 1γ = 1 Γ ( ( ) Γ 0 0γΓ γ 00 + Γ 1 0γΓ γ 01 Γ 1 00 ν + λ + 2 ) r ( = r ν e (2ν 2λ) + 2ν 2 e (2ν 2λ)) ( ν e (2ν 2λ) ν + λ + 1 ) r = ν e (2ν 2λ) ν (2ν 2λ ) e (2ν 2λ) + 2ν e (2ν 2λ) ( ν + λ + 2 ) ν e (2ν 2λ) r } = { ν ν.2ν + ν.2λ + 2ν 2 ν 2 + ν λ + 2ν e (2ν 2λ) r } = { ν + ν λ ν 2 2ν e (2ν 2λ) r R 11 = 1 Γ γ 1γ γ Γ γ 11 + Γ ρ 1γΓ γ ρ1 Γ ρ 11Γ γ ργ ( ( ) = 1 Γ Γ Γ Γ13) 3 0 Γ Γ Γ Γ { } Γ 0 1γΓ γ 01 + Γ 1 1γΓ γ 11 + Γ 2 1γ + Γ γ 21 + Γ 3 1γΓ γ 31 ( ( ) Γ 1 11 Γ Γ Γ13) 3 Γ 2 11 Γ Γ Γ 3 23 ( ( ) Γ 3 11 Γ Γ Γ33) 3 Γ 0 11 Γ Γ Γ 3 03 ( ( ) = 1 Γ Γ Γ Γ13) 3 0 Γ Γ Γ Γ 3 11 Γ 0 11Γ Γ 0 12Γ Γ 0 13Γ Γ 0 10Γ 0 01 Γ 1 10Γ Γ 1 11Γ Γ 1 12Γ Γ 1 13Γ 3 11 Γ 2 10Γ Γ 2 11Γ Γ 2 12Γ Γ 3 13Γ 3 21 Γ 3 10Γ Γ 3 11Γ Γ 3 12Γ Γ 3 13Γ 3 31 ( ( ) Γ 1 11 Γ Γ Γ Γ10) 0 Γ 2 11 Γ Γ Γ 3 23 ( ( ) Γ 3 11 Γ Γ Γ33) 3 Γ 0 11 Γ Γ Γ 3 03

18 R 11 = 1 ( Γ Γ Γ Γ 3 13) 1 Γ ( ( Γ 0 10Γ Γ 1 11Γ Γ 2 12Γ Γ13) 3 Γ 1 11 Γ Γ Γ Γ 0 0 ( = ν + λ + ( 1r ) + ( 1r )) λ [ 2 2 ( ) 2 ( ) ] 2 ( + (ν ) 2 + (λ ) λ ν + λ + 1 r r r + 1 ) r = ν + λ 2 r 2 λ + (ν ) 2 + (λ ) ( r 2 λ ν + λ + 2 ) r ) R 11 = ν + (ν ) 2 λ ν 2λ r (32) R 22 = 2 Γ γ 2γ γ Γ γ 22 + Γ ρ 2γΓ γ ρ2 Γ ρ 22Γ γ ργ ( ( ) = 2 Γ Γ Γ Γ23) 3 1 Γ Γ Γ Γ { } Γ 0 2γΓ γ 02 + Γ 1 2γΓ γ 12 + Γ 2 2γΓ γ 22 + Γ 3 2γΓ γ 32 { } Γ 0 22Γ γ 0γ + Γ 1 22Γ γ 1γ + Γ 2 22Γ γ 2γ + Γ 3 22Γ γ 3γ ( ( ) = 2 Γ Γ Γ Γ23) 3 1 Γ Γ Γ Γ 0 22 Γ 0 20Γ Γ 0 21Γ Γ 0 22Γ Γ 0 23Γ 3 02 Γ 1 20Γ 0γ 12 + Γ 1 21Γ Γ 1 22Γ Γ 1 23Γ 3 12 Γ 2 20Γ Γ 2 21Γ Γ 2 22Γ Γ 2 23Γ 3 22 Γ 3 20Γ Γ 3 21Γ Γ 3 22Γ Γ 3 23Γ 3 23 [ ( )] Γ 1 22 Γ Γ Γ Γ 3 13 R 22 = csc 2 θ + e ( 2λ) 2rλ e ( 2λ) 2e ( ( 2λ) +re ( 2λ) ν + λ + 2 ) + cot 2 θ r = (1 2rλ 2 + rν + rλ + 2) e ( 2λ) csc 2 θ + cot 2 θ = (1 + rν rλ ) e ( 2λ) 1 (33)

19 R 33 = 3 Γ γ 3γ γ Γ γ 33 + Γ ρ 3γΓ γ ρ3 Γ ρ 33Γ γ ργ ( ( = 3 Γ Γ Γ Γ33) 3 0 Γ Γ Γ Γ { } Γ 0 3γΓ γ 03 + Γ 1 3γΓ γ 13 + Γ 2 3γΓ γ 23 + Γ 3 3γΓ γ 33 { } Γ 0 33Γ γ 0γ + Γ 1 33Γ γ 1γ + Γ 2 33Γ γ 2γ + Γ 3 33Γ γ 3γ = 1 Γ Γ 2 33 Γ 0 30Γ Γ 0 31Γ Γ 0 32Γ Γ 0 33Γ 3 03 Γ 1 30Γ Γ 1 31Γ Γ 1 32Γ Γ 1 33Γ 3 13 Γ 2 30Γ Γ 2 31Γ Γ 2 32Γ Γ 2 33Γ 3 23 Γ 3 30Γ Γ 3 31Γ Γ 3 32Γ Γ 3 33Γ 3 33 ( ) Γ 1 33 Γ Γ Γ Γ 3 13 ( ) Γ 2 33 Γ Γ Γ Γ 3 23 = sin 2 θe ( 2λ) 2rλ sin 2 θe ( 2λ) ( cos 2 θ + sin 2 θ ) ( +2 r sin 2 θe ( 2λ) 1 ) ( + 2 sin θ cos θ. cos θ ) r sin θ ( ( r sin 2 θe ( 2λ) ν + λ + 2 )) { sin θ cos θ. cos θ } r sin θ = sin 2 θ (1 2rλ 2 + rν + rλ + 2) e ( 2λ) + ( cos 2 θ sin 2 θ 2 cos 2 θ + cos 2 θ ) R 33 = sin 2 θ [ (1 + rν rλ ) e ( 2λ) 1 ] ) Untuk komponen-komponen non-diagonalnya R 10 = R 01 = 0 Γ γ 1γ γ Γ γ 01 + Γ ρ 0γΓ γ ρ1 Γ ρ 01Γ γ ργ = 0 Γ γ 1γ ( ) 0 Γ Γ Γ Γ 3 01 Γ ρ 00Γ 0 ρ1 + Γ ρ 01Γ 1 ρ1 + Γ ρ 02Γ 2 ρ1 + Γ ρ 03Γ 3 ρ1 ( ) Γ 0 01Γ γ 0γ + Γ 1 01Γ γ 1γ + Γ 2 01Γ γ 2γ + Γ 3 01Γ γ 3γ = ( ) Γ 0 00Γ Γ 1 00Γ Γ 2 00Γ Γ 3 00Γ 0 31 Γ 0 01Γ Γ 1 01Γ Γ 2 01Γ Γ 3 01Γ 1 31 Γ 0 02Γ Γ 1 02Γ Γ 2 02Γ Γ 3 02Γ 2 31 Γ 0 03Γ Γ 1 03Γ Γ 2 03Γ Γ 3 03Γ 3 31 ( ) Γ 0 01 Γ Γ Γ Γ 3 03

20 R 20 = R 02 = 0 Γ γ 2γ γ Γ γ 02 + Γ ρ 0γΓ γ ρ2 Γ ρ 02Γ γ ργ = 0 Γ γ 2γ ( ) 0 Γ Γ Γ Γ 3 02 Γ ρ 00Γ 0 ρ2 + Γ ρ 01Γ 1 ρ2 + Γ ρ 02Γ 2 ρ2 + Γ ρ 03Γ 3 ρ2 ( ) Γ 0 02Γ γ 0γ + Γ 1 02Γ γ 1γ + Γ 2 02Γ γ 2γ + Γ 3 02Γ γ 3γ = ( ) Γ 0 00Γ Γ 1 00Γ Γ 2 00Γ Γ 3 00Γ 0 32 Γ 0 01Γ Γ 1 01Γ Γ 2 01Γ Γ 3 01Γ 1 32 Γ 0 02Γ Γ 1 02Γ Γ 2 02Γ Γ 3 02Γ 2 32 Γ 0 03Γ Γ 1 03Γ Γ 2 03Γ Γ 3 03Γ 3 32 R 30 = R 03 = 0 Γ γ 3γ γ Γ γ 03 + Γ ρ 0γΓ γ ρ3 Γ ρ 03Γ γ ργ = 0 Γ γ 3γ ( ) 0 Γ Γ Γ Γ 3 03 Γ ρ 00Γ 0 ρ3 + Γ ρ 01Γ 1 ρ3 + Γ ρ 02Γ 2 ρ3 + Γ ρ 03Γ 3 ρ3 ( ) Γ 0 03Γ γ 0γ + Γ 1 03Γ γ 1γ + Γ 2 03Γ γ 2γ + Γ 3 03Γ γ 3γ = ( ) Γ 0 00Γ Γ 1 00Γ Γ 2 00Γ Γ 3 00Γ 0 33 Γ 0 01Γ Γ 1 01Γ Γ 2 01Γ Γ 3 01Γ 1 33 Γ 0 02Γ Γ 1 02Γ Γ 2 02Γ Γ 3 02Γ 2 33 Γ 0 03Γ Γ 1 03Γ Γ 2 03Γ Γ 3 03Γ 3 33

21 R a0 = R 0a dengan a = 1, 2, 3 R 12 = R 21 = 1 Γ γ 2γ γ Γ γ 12 + Γ ρ 1γΓ γ ρ2 Γ ρ 12Γ γ ργ = ( ) 1 Γ Γ Γ Γ 3 23 ( ) 0 Γ Γ Γ Γ 3 12 Γ 0 1γΓ γ 02 + Γ 1 1γΓ γ 12 + Γ 2 1γΓ γ 22 + Γ 3 1γΓ γ 32 ( ) Γ 0 12Γ γ 0γ + Γ 1 12Γ γ 1γ + Γ 2 12Γ γ 2γ + Γ 3 12Γ γ 3γ = ( ) Γ 0 10Γ Γ 0 11Γ Γ 0 12Γ Γ 0 13Γ 3 02 Γ 1 10Γ Γ 1 11Γ Γ 1 12Γ Γ 1 13Γ 3 12 Γ 2 10Γ Γ 2 11Γ Γ 2 12Γ Γ 2 13Γ 3 22 Γ 3 10Γ Γ 3 11Γ Γ 3 12Γ Γ 3 13Γ 3 32 ( ) Γ 2 12 Γ Γ Γ Γ 3 23 = Γ 3 13Γ 3 32 Γ 2 12Γ 3 23 = 1 r cot θ 1 r cot θ R 13 = R 31 = 1 Γ γ 3γ γ Γ γ 13 + Γ ρ 1γΓ γ ρ3 Γ ρ 13Γ γ ργ = ( ) 1 Γ Γ Γ Γ 3 33 ( ) 0 Γ Γ Γ Γ 3 13 Γ 0 1γΓ γ 03 + Γ 1 1γΓ γ 13 + Γ 2 1γΓ γ 23 + Γ 3 1γΓ γ 33 ( ) Γ 0 13Γ γ 0γ + Γ 1 13Γ γ 1γ + Γ 2 13Γ γ 2γ + Γ 3 13Γ γ 3γ = ( ) Γ 0 10Γ Γ 0 11Γ Γ 0 12Γ Γ 0 13Γ 3 03 Γ 1 10Γ Γ 1 11Γ Γ 1 12Γ Γ 1 13Γ 3 13 Γ 2 10Γ Γ 2 11Γ Γ 2 12Γ Γ 2 13Γ 3 23 Γ 3 10Γ Γ 3 11Γ Γ 3 12Γ Γ 3 13Γ 3 33 ( ) Γ 3 13 Γ Γ Γ Γ 3 33

22 R 23 = R 32 = 2 Γ γ 3γ γ Γ γ 23 + Γ ρ 2γΓ γ ρ3 Γ ρ 23Γ γ ργ = ( ) 2 Γ Γ Γ Γ 3 33 ( ) 0 Γ Γ Γ Γ 3 23 Γ 0 2γΓ γ 03 + Γ 1 2γΓ γ 13 + Γ 2 2γΓ γ 23 + Γ 3 2γΓ γ 33 ( ) Γ 0 23Γ γ 0γ + Γ 1 23Γ γ 1γ + Γ 2 23Γ γ 2γ + Γ 3 23Γ γ 3γ = ( ) Γ 0 20Γ Γ 0 21Γ Γ 0 22Γ Γ 0 23Γ 3 03 Γ 1 20Γ Γ 1 21Γ Γ 1 22Γ Γ 1 23Γ 3 13 Γ 2 20Γ Γ 2 21Γ Γ 2 22Γ Γ 2 23Γ 3 23 Γ 3 20Γ Γ 3 21Γ Γ 3 22Γ Γ 3 23Γ 3 33 ( ) Γ 3 23 Γ Γ Γ Γ 3 33 R 23 = R 32 R ab = R ba 0, dengan a, b = 1, 2, 3 Pada medan gravitasi yang vakum, R τυ. Maka persamaan (8) dan (9) menjadi ν + ν λ ν 2 2 r ν (34) ν ν λ + ν 2 2 r λ (35) (1 + rν rλ ) e ( 2λ) = 1 (36) dengan menjumlahkan (10) dan (11) atau 2 r (ν + λ ) (ν + λ ) Sehingga ν + λ =konstan, dengan batas r, ν dan λ 0. maka ν + λ ν = λ (37)

23 dengan memasukkan (13) ke (12) (1 + 2rν ) e (2ν) = d dr [ re (2ν) ] = 1 dengan mengintegralkan persamaan sebelumnya d [ re (2ν)] = dr re (2ν) = r 2m (38) 2m merupakan konstanta integrasi radius gravitasi g 00 = e ( (2ν) = 1 2m r ) (39) g 11 = e (2λ) = e ( ( 2ν) = 1 2m r ) 1 (40) g 00 = η 00 + h GM = c 2 r c Φ 2 Φ = GM r 2m = 2GM c 2 (41) Persamaan (2) menjadi ( ds 2 = 1 2m r ) ( c 2 (dt) m r ) 1 (dr) 2 + r 2 { (dθ) 2 + sin 2 θ (dϕ) 2} Persamaan tersebut merupakan metrik Schwarzschild.

24 Lampiran 6 Metrik Kerr Bentuk Edington dari Solusi Schwarzchild Solusi Schwarzchild diubah menjadi bentuk Edington dengan memakai transformasi koordinat waktu baru ( ) r 2m x 0 = x 0 + 2m ln (42) 2m maka akan didapatkan bentuk elemen garis baru ds 2 = (d x) 2 + (dr) 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ) + 2m r (d x2 + dr) 2 (43) bentuk Edington ini bila diubah ke koordinat kartesian ds 2 = (d x 0 ) 2 + (dx) 2 + 2m r ( d x 0 + x dx ) r (44) (dx) 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2, r = (x x) = (x 2 + y 2 + z 2 ) bentuk metrik dari persamaan tersebut g µν = η µν + 2ml µ l ν, l µ = 1 ( 1, x ) r r (45) dimana η µν adalah matrik Minkowski η µν = dan l µ l ν η µν.

25 Bentuk-Bentuk Metrik dari g µν l µ l ν η µν = η µν + 2ml µ l ν, dengan Dengan mendefinisikan l µ = η µν l ν (46) maka invers dari g µν adalah g µν = η µν 2ml µ l ν (47) ini bisa dibuktikan sebagai berikut g µσ g σν = (η µσ 2ml µ l σ )(η σν + 2ml σ l ν ) = η µσ η σν 2mη µσ l σ l ν + 2mη σν l µ l σ (2m) 2 l µ l σ l σ l ν = δ ν µ 2mη µσ η σµ l µ l ν + 2mη σν η σν l ν l µ = δ ν µ 2mδ µl µ µ l ν + 2mδνl ν µ l ν = δ ν µ 2ml µ l ν + 2ml µ l ν = δ ν µ. (48) jika l σ l σ = η ασ l α l σ = η 00 l 0 l 0 + η 11 l 1 l 1 + η 22 l 2 l 2 η 33 l 3 l 3 = 2m r + 2m x 2 r r + 2m y 2 2 r r + 2m z 2 ( 2 ) r r 2 x 2 + y 2 + z 2 = 2m r + 2m r = 2m r + 2m r r 2 ( x x r 2 ) = 2m r + 2m r (49) maka g µν l ν = (η µν 2ml µ l ν ) l ν = η µν l ν 2ml µ l ν l ν = η µν l ν = l µ (50)

26 l µ l µ,ν = l µ ν lµ = η µσ l σ ν l µ = l σ ν l σ = l σ l σ,ν (51) l µ l µ,ν = 1 2 (ηµν l µ l ν ),τ (52) l µ l ν Γ σ µν = l µ l ν { 1 2 α ν(l σ l µ ) + µ (l σ l µ ) η στ τ (l µ l ν ) α2 l σ l τ τ (l µ l ν )} = l µ l ν { 1 2 α[lσ ν l µ + l µ ν l σ + l σ µ l ν + l ν µ l σ η στ (l µ τ l ν + l ν τ l µ )] α2 l σ l τ (l µ τ l ν + l ν τ l µ )} = l µ l ν { 1 2 αlσ ν l µ }. (53) Karena determinan (g µν ) = 1, maka Γ ν νµ = x ln g µ = x ln 1 µ. (54) Tensor Riccinya R µν = R σ µσν = Γ σ µν,σ Γ σ µσ,ν + Γ σ στγ τ νµ Γ σ ντγ τ σµ = Γ σ µν,σ Γ σ ντγ τ σµ (55) jika kita menuliskan ulang l µ menulisnya g µν = η µν + α2ml µ l ν, g µν = η µν α2ml µ l ν, (56) dengan α adalah konstanta sembarang lalu dengan memisalkan 2m = 1, maka Γ µνσ = 1 2 α[(l µl ν ),σ + (l µ l σ ),ν (l ν l σ ),µ ] (57)

27 Γ µ νσ = 1 2 α(ηµτ αl µ l ν )[(l τ l ν ),σ + (l τ l σ ),ν (l ν l σ ),τ ] = 1 2 α{ηµτ (l τ l ν ),σ + η µτ (l τ l σ ),ν η µτ (l ν l σ ),τ αl µ l ν (l τ l ν ),σ αl µ l τ (l τ l σ ),ν + αl µ l τ (l ν l σ ),τ } = 1 2 α{(lµ l ν ),σ + (l µ l σ ),ν η µτ (l ν l σ ),τ +αl µ l τ (l ν l σ ),τ } = 1 2 α[(lµ l ν ),σ + (l µ l σ ),ν η µτ (l ν l σ ),τ ] α2 l µ l τ (l ν l σ ),τ (58) R µν = Γ σ µν,σ Γ σ ντγ τ σµ = 1 2 α{[(lσ l µ ),ν + (l σ l ν ),µ η στ (l µ l ν ),τ ] αlσ l τ (l ν l µ ),τ },σ { 1 2 α[(lσ l τ ),µ + (l σ l µ ),τ η σρ (l τ l µ ),ρ ] α2 l σ l ρ (l ν l σ ),τ }{ 1 2 α[(lτ l σ ),ν + (l τ l ν ),σ η τλ (l σ l ν ),λ ] α2 l τ l λ (l σ l ν ),λ } = 1 2 α{(lσ l µ ),σν + (l σ l ν ),σµ η στ (l µ l ν ),στ } α2 {(l σ l τ ),σ (l ν l µ ),τ + l µ l τ (l ν l σ ),στ 1 2 (lσ l τ ),µ (l τ l σ ),ν 1 2 (lσ l τ ),µ (l τ l ν ),σ ητλ (l σ l τ ),µ (l σ l ν ),λ 1 2 (lσ l µ ),τ (l τ l σ ),ν 1 2 (lσ ),τ (l τ l ν ),σ ητλ (l σ l µ ),τ (l σ l ν ),λ ησρ (l τ l σ ),ν (l τ l µ ),ρ ησρ (l τ l µ ),ρ (l τ l ν ),σ 1 2 ησρ η τλ (l τ l µ ),ρ (l σ l ν ),λ } 1 4 α3 {l τ l λ (l σ l τ ),µ (l σ l ν ),λ +l τ l λ (l σ l µ ),τ (l σ l ν ),λ η σρ l τ l λ (l τ l µ ) ρ (l σ l ν ),λ +l σ l ρ (l τ l µ ),ρ (l τ l σ ),ν + l σ l ρ (l τ l µ ),ρ (l τ l ν ),σ η τλ l σ l ρ (l τ l µ ),ρ (l σ l ν ),λ } 1 4 α4 {l σ l ρ l τ l λ (l τ l µ ),ρ (l σ l λ ),λ }

28 = 1 2 α{(lσ l µ ),σν + (l σ l ν ),σµ η στ (l µ l ν ),στ } α2 {(l σ l τ ),σ (l ν l µ ),τ + l µ l τ (l ν l σ ),στ 1 2 (lσ l τ,µ + l τ l σ,µ)(l τ l σ,ν + l σ l τ,ν) 1 2 (lσ l τ,µ + l τ l σ,µ)(l τ l ν,σ + l ν l τ,σ) ητλ (l σ l τ,µ + l τ l σ,µ)(l σ l ν,λ + l ν l σ,λ ) 1 2 (lσ l µ,τ + l µ l σ,τ)(l τ l σ,ν + l σ l τ,ν) 1 2 (lσ l µ,τ + l µ l σ,τ)(l τ l ν,σ + l ν l τ,σ) ητλ (l σ l µ,τ + l µ l σ,τ)(l σ l ν,λ + l ν l σ,λ ) ησρ (l τ l σ,ν + l σ l τ,ν)(l τ l µ,ρ + l µ l τ,ρ ) ησρ (l τ l µ,ρ + l µ l τ,ρ )(l τ l ν,σ + l ν l τ,σ) 1 2 ησρ η τσ (l τ l µ,ρ + l µ l τ,ρ )(l σ l ν,λ + l ν l σ,λ )} 1 4 α3 {l τ l λ (l τ l σ,µ + l σ l τ,µ )(l σ l ν,λ + l ν l σ,λ ) +l τ l λ (l σ l µ,τ + l µ l σ,τ)(l σ l ν,λ + l ν l σ,λ ) η σρ l τ l λ (l τ l µ,ρ + l µ l τ,ρ )(l σ l ν,λ + l ν l σ,λ ) +l σ l ρ (l τ l µ,ρ + l µ l τ,ρ )(l τ l σ,ν + l σ l τ,ν) +l σ l ρ (l τ l µ,ρ + l µ l τ,ρ )(l τ l ν,σ + l ν l τ,σ) η τλ l σ l ρ (l τ l µ,ρ + l µ l τ,ρ )(l σ l ν,λ + l ν l σ,λ )} 1 2 α4 {l σ l ρ l τ l λ (l τ l µ,ρ + l µ l τ,ρ )(l σ l λ,λ + l λ l σ,λ )}

29 = 1 2 α{(lσ l µ ),σν + (l σ l ν ),σµ η στ (l µ l ν ),στ } α2 {(l σ l τ ),σ (l ν l µ ),τ + l µ l τ (l ν l σ ),στ 1 2 lσ l ν l τ,µ l τ,σ ητλ l τ l ν l σ,µl σ,λ 1 2 l µl τ l σ,τl σ,ν 1 2 (lσ l µ,τ + l µ l σ,τ)(l τ l ν,σ + l ν l τ,σ) ητλ l µ l ν l σ,τl σ,λ ησρ l σ l µ l τ,νl τ,ρ ησρ l µ l ν l τ,ρ l τ,σ 1 2 (lρ l λ l µ,ρ l ν,λ + l λ l ν l µ,ρ l ρ,λ + lρ l µ l λ,ρl ν,λ + l µ l ν l λ,ρl ρ,λ )} 1 4 α3 {l τλ l µ l σ,τl ν l σ,λ + l σ l ρ l µ l τ,ρ l ν l τ,σ} = 1 2 α{(lσ l µ ),σν + (l σ l ν ),σµ η στ (l µ l ν ),στ } α2 {(l σ l τ ),σ (l ν l µ ),τ + l µ l τ (l ν l σ ),στ 1 2 lσ l ν l τ,µ l τ,σ lλ l ν l σ,µl σ,λ 1 2 l µl τ l σ,τl σ,ν 1 2 (lσ l µ ),τ (l τ l ν ),σ ητλ l µ l ν l σ,τl σ,λ lρ l µ l τ,νl τ,ρ ησρ l µ l ν l τ,ρ l τ,σ 1 2 (lλ l µ ),ρ (l ρ l ν ),λ } 1 4 α3 {l τλ l µ l σ,τl ν l σ,λ + l σ l ρ l µ l τ,ρ l ν l τ,σ} (59) Pada ruang waktu kosong, R µν, dan selama α adalah konstanta sembarang maka setiap suku dari ketiga suku α haruslah bernilai nol. Jika l µ 0, maka suku ketiga memberikan a 2, (60) dimana a µ = l ν l µ,ν (61) akan didapatkan juga a l,maka dapat dituliskan untuk sebuah operator skalar A a µ = Al µ (62)

30 lalu untuk a µ a µ = g µν a ν = η µν l β l ν,β = l β l µ,β. (63) Bila didefinisikan B = l µ,µ, maka suku pertama η στ (l µ l ν ),στ = (l σ l µ ),σν + (l σ l ν ),σµ = (l σ,σl µ + l σ l µ,σ ),ν + (l σ,σl ν + l σ l ν,σ ),µ = (Bl µ + Al µ ),ν + (Bl ν + Al ν ),µ (l µ l ν ) = [(A + B)l µ ],ν + [(A + B)l ν ],µ (64) dimana η µν 2 x µ x ν (Persamaan D Alembert) (65) kemudian dengan mengkontraksikan persamaan (64) denagn η µν dan membaginya dengan 2 η µν (l µ l ν ) = η µν {(Bl µ + Al µ ),ν + (Bl ν + Al ν ),µ } (l ν l ν ) = [(A + B)l ν ],ν + [(A + B)l µ ],µ 0 = 2[(A + B)l µ ],µ 0 = [(A + B)l µ ],µ (66) lalu untuk bagian suku keduanya akan bernilai nol jika pada suku pertama dan ketiga berlaku (l σ l τ ),σ (l µ l ν ),τ = (l σ,σl τ + l σ l τ,σ)(l µ,τ l ν + l µ l ν,τ ) = (Bl τ + Al τ )(l µ,τ l ν + l µ l ν,τ ) = (A + B)(Al µ l ν + Al µ l ν ) = (A + B)2Al µ l ν (67)

31 l σ l τ (l µ l ν ),στ = l σ l τ (l µ l ν,στ + l ν l µ,στ + l µ,σ l ν,τ + l µ,τ l ν,σ ) = l σ l µ l τ l ν,στ + l ν l σ l τ l µ,στ + l σ l µ,σ l τ l ν,τ +l τ l µ,τ l σ l ν,σ = l σ [l τ (l µ l ν ),τ ],σ l σ l τ,σ(l µ l ν ),τ +l σ [l τ (l ν l µ ),τ ],σ l σ l τ,σ(l ν l µ ),τ +l σ l µ,σ l τ l ν,τ + l τ l µ,τ l σ l ν,σ = l σ [A(l µ l ν )],σ Al τ (l µ l ν ),τ +l σ [A(l ν l µ )],σ Al τ (l ν l µ ),τ + 2A 2 (l µ l ν ) = l σ A,σ l µ l ν + l σ A(l µ l ν ),σ Al τ (l µ l ν ),τ l σ A,σ l ν l µ + l σ A(l ν l µ ),σ Al τ (l ν l µ ),τ +2A 2 (l µ l ν ) = l σ A,σ l µ l ν + A 2 (l µ l ν ) A 2 (l µ l ν ) +l σ A,σ l ν l µ + A 2 (l µ l ν ) A 2 (l µ l ν ) +2A 2 (l µ l ν ) = 2(l σ A,σ + A 2 )l µ l ν (68) (l σ l µ ),τ (l τ l ν ),σ = (l µ l σ,τ + l σ l µ,τ )(l ν l τ,σ + l τ l ν,σ ) = l µ l σ,τl ν l τ,σ + l µ l σ,τl τ l ν,σ +l σ l µ,τ l ν l τ,σ + l σ l µ,τ l τ l ν,σ = l µ l ν [(l σ,τl τ ),σ l σ,τσl τ ] + 3A 2 l µ l ν = l µ l ν [(Al σ ),σ B,τ l τ + 3A 2 ] (69) kembali mengambil persamaan (64) (l µ l ν ) = [(A + B)l µ ],ν + [(A + B)l ν ],µ l µ l ν + l ν l µ + 2η στ l µ,σ l ν,τ = l µ (A + B),ν + l ν (A + B),µ +(A + B)(l µ,ν + l ν,µ ) kemudian dengan mengalikan persamaan tersebut dengan l µ lalu membaginya

32 dengan l ν akan didapat l µ l µ = l µ (A + B),µ + A(A + B) = [l µ (A + B)],µ B(A + B) + A(A + B) = B(A + B) + A(A + B) = A 2 B 2 (70) tapi 0 = (l µ l ν ) = l µ l µ + l µ l µ + η στ l µ,σl µ,τ +η στ l µ,τl µ,σ = 2(l µ l µ + η στ l µ,τl µ,σ ) = 2(A 2 B 2 + η στ l µ,τl µ,σ ) B 2 A 2 = η στ l µ,τl µ,σ (71) maka η τσ l σ,τl µ l σ,λ l ν = l µ l ν (B 2 A 2 ) (72) dengan menghapus faktor α 2 /2 dari suku α 2 akan didapat = 2A(A + B)l µ l ν + 2(l σ A,σ + A 2 )l µ l ν 1 2 l µl ν [(Al σ ),σ B,τ l τ + 3A 2 ] l µl ν (B 2 A 2 ) l νl µ (B 2 A 2 )2A(A + B)l µ l ν + 2(l σ A,σ + A 2 )l µ l ν 1 2 Alτ l ν l τ.µ Al σl σ,µl ν 1 2 Alσ l µ l σ,ν 1 2 l µl ν [(Al σ ),σ B,τ l τ + 3A 2 ] l µl ν (B 2 A 2 ) Al τl τ,νl µ l νl µ (B 2 A 2 ) 1 2 l µl ν [(Al σ ),σ B,τ l τ + 3A 2 ] 1 2 l µl ν [(Al σ ),σ B,τ l τ + 3A 2 ]

33 = 2A(A + B)l µ l ν + 2(l σ A,σ + A 2 )l µ l ν 1 2 l µl ν [(Al σ ),σ B,τ l τ + 3A 2 ] l µl ν (B 2 A 2 ) l νl µ (B 2 A 2 ) 1 2 l µl ν [(Al σ ),σ B,τ l τ + 3A 2 ] = 2A(A + B) + 2(l σ A,σ + A 2 ) 1 2 [(Alσ ),σ B,τ l τ + 3A 2 ] (B2 A 2 ) (B2 A 2 ) 1 2 [(Alσ ),σ B,τ l τ + 3A 2 ] = 2A(A + B) + 2(l σ A,σ + A 2 ) (Al σ ),σ + B,σ l σ 3A 2 +B 2 A 2 = 2A 2 + 2AB + 2l σ A,σ + 2A 2 (Al σ ),σ + B,σ l σ 4A 2 + B 2 = 2l σ A,σ (Al σ ),σ + 2AB + B 2 + B,σ l σ = 2l σ A,σ (Al σ ),σ + 2A,σ l σ + Bl σ,σ + B,σ l σ = 2(Al σ ),σ (Al σ ),σ + (Bl σ ),σ = (Al σ ),σ + (Bl σ ),σ 0 = [(A + B)l σ ],σ (73) Seperti halnya pernyataan diawal. selanjutnya kita set α = 1. Keadaan Stasioner Sekarang diasumsikan l µ takbergantung terhadap koordinat x 0. Dapat ditulis l µ = l(1, λ 1, λ 2, λ 3 ), dengan l µ adalah null λ j adalah vektor-tiga, maka persamaan (l µ l ν ) = [(A + B)l µ ],ν + [(A + B)l ν ],µ dapat dibentuk ulang 2 (l 0 l 0 ) = [(A + B)l 0 ],0 + [(A + B)l 0 ],0 2 (l 2 ) (74) 2 (l 2 λ i ) = [(A + B)l 0 ],0 + [(A + B)l 0 ],i = [(A + B)l],i (75) 2 (l 2 λ i λ j ) = [(A + B)lλ i ],j + [(A + B)lλ j ],i (76)

34 persamaan-persamaan tersebut akan memberikan 2 l 2 λ i = (l 2 λ i ),kk = (l 2,kλ i + l 2 λ i,k ),k = l 2,kkλ i + l 2,kλ i,k + l 2 λ i,kk + λ i,k l 2,k l 2 λ i,kk + 2(l 2 ),k λ i,k = [(A + B)l],i 2 (l 2 λ i λ j ) = (l 2 λ i λ j ),kk = (l 2 λ i,k λ j + l 2 λ j,k λ i + l 2 kλ i λ j ),k = l 2,kλ i,k λ j + l 2 λ i,kk λ j + l 2 λ i,k λ j,k +l 2,kλ j,k λ i + l 2 λ j,kk λ i + l 2 λ j,k λ i,k +l 2,kkλ i λ j + l 2,kλ i,k λ j + l 2,kλ i λ j,k [(A + B)lλ i ],j + [(A + B)lλ j ],i = l 2 λ i,kk λ j + l 2 λ i λ j,kk +2l 2 λ i,k λ j,k + 2l 2,kλ i,k λ j +2l 2,kλ i λ j,k 0 = l 2 λ i,kk λ j + l 2 λ i λ j,kk + 2l 2 λ i,k λ j,k + 2l 2,kλ i,k λ j +2l 2,kλ i λ j,k [(A + B)lλ i ],j [(A + B)lλ j ],i = l 2 λ i,kk λ j + l 2 λ i λ j,kk + 2l 2 λ i,k λ j,k + 2l 2,kλ i,k λ j +2l 2,kλ i λ j,k [(A + B)l],j λ i [(A + B)l],i λ i,j [(A + B)l] i λ j [(A + B)l]λ j,i = l 2 λ i,kk λ j + l 2 λ i λ j,kk + 2l 2 λ i,k λ j,k + 2l 2,kλ i,k λ j +2l 2,kλ i λ j,k [(A + B)l],j λ i [(A + B)l],i λ i,j (A + B)l(λ i,j + λ j,i ) = 2l 2 λ i,k λ j,k (A + B)l(λ i,j λ j,i ) 2l 2 λ i,k λ j,k = (A + B)l(λ i,j λ j,i ) atau bisa ditulis λ i,k λ j,k = (A + B) (λ i,j + λ j,i ) (77) 2l

35 jika kita definisikan (A + B) 2l = p (78) λ i,k = M maka persamaan (77) bisa ditulis M + M T 1 p MMT. (79) denagn λ 2 = 1, maka (λ j λ j ),i = λ j,i λ j + λ j λ j,i = 2λ j λ j,i λ j λ j,i = 1 2 (λ jλ j ),i M T λ (80) disini λ berada dalam ruang null dari M T. Bila pada persamaan (61) µ maka Al µ = l ν l µ,ν Al = l n ul,ν = lλ i l,i Alλ i = l ν (lλ i ),ν = lλ j l,j λ i + lλ j l i,j = Alλ i + l 2 λ j λ i,j l 2 λ j λ i,j λ j λ i,j Mλ (81)

36 maka λ juga berada dalam ruang null dari M. Dengan memakai suatu matrik orthogonal baru R yang bila dioperasikan pada λ akan menghasilkan Rλ = λ (82) λ = 1 0 (83) 0 jika λ berada dalam ruang null dari M dan M T, maka λ juga berada dalam ruang null dari M dan M T, dimana M = RMR T (84) M T = RM T R T (85) Dari bentuk λ dan karena ia merupakan ruang null dari M dan M T bentuk M haruslah M = 0 N 11 N 12 maka (86) 0 N 21 N 22 Selama matrik tersebut tidak berubah terhadap perotasian, maka bentuk metrik N dan M juga memenuhi bentuk persamaan (79) N + N T 1 p N N T (87) (I 1p N ) (I 1p N T ) (N + N T 1p NNT ) = I 1 p = I (88) yang mengimplikasikan bahwa I N /p adalah matrik orthogonal 2 2, oleh karenanya I N p = cos θ sin θ sin θ cos θ

37 atau I N p = cos θ sin θ sin θ cos θ untuk sembarang θ. Dengan memilih kemungkinan pertama akan didapat N = p 1 cos θ sin θ (89) sin θ 1 cos θ maka kita dapatkan untuk nilai M M = p 0 1 cos θ sin θ 0 sin θ 1 cos θ (90) Kemudian untuk mengembalikan kebentuk M dapat kita pakai M = R T M R M ik = R T ilm ljr jk M ik = R li M ljr jk = R 2i M 22R 2k + R 2i M 23R 3k + R 3i M 32R 2k + R 3i M 33R 3k = p(1 cos θ)r 2i R 2k + p sin θr 2i R 3k p sin θr 3i R 2k +p(1 cos θ)r 3i R 3k = p(1 cos θ)(r 2i R 2k + R 3i R 3k ) +p sin θ(r 2i R 3k R 3i R 2k ) (91) Karena R adalah matrik rotasi orthogonal kolom dan baris, maka matrik R akan memenuhi R 1i R 1k + R 2i R 2k + R 3i R 3k = δ ik R 2i R 3k R 3i R 2k = ɛ ikl R 1l jika R 1i R i maka persamaan (A.46) akan menjadi M ik = p(1 cos θ)(δ ik R i R k ) + P sin θɛ ikl R l (92)

38 dengan kembali melihat bentuk λ maka akan kita dapatkan R λ = 1 (93) dimana R disini menunjukkan vektor R 1i = R i. Disini akan didapat bahwa R i = λ i. Maka akan kita dapatkan bentuk M ik = λ i,k = p(1 cos θ)(δ ik λ i λ k ) + p sin θɛ ikl λ l = α(δ ik λ i λ k ) + βɛ ikl λ l (94) dengan α = p(1 cos θ), β = p sin θ. Dengan memakai i = k pada persamaan (94) dan menjumlahkannya λ 1,1 + λ 2,2 + λ 3,3 = α(δ 11 λ 1 λ 1 + δ 22 λ 2 λ 2 + δ 33 λ 3 λ 3 ) = α(3 1) λ = 2α. (95) Dengan mengalikan persamaan (A.49) dengan ɛ jki lalu menjumlakannya di i dan k ɛ 312 λ 2,1 + ɛ 321 λ 1,2 + ɛ 213 λ 3,1 + ɛ 231 λ 1,3 + ɛ 123 λ 3,2 + ɛ 132 λ 2,3 = α{ɛ 312 λ 2 λ 1 + ɛ 321 λ 1 λ 2 + ɛ 213 λ 3 λ 1 + ɛ 231 λ 1 λ 3 + ɛ 123 λ 3 λ 2 +ɛ 132 λ 2 λ 3 } + β{ɛ 312 ɛ 213 λ 3 + ɛ 321 ɛ 123 λ 3 + ɛ 213 ɛ 321 λ 2 +ɛ 231 ɛ 132 λ 2 + ɛ 123 ɛ 321 λ 1 + ɛ 132 ɛ 231 λ 1 } λ 2,1 λ 1,2 λ 3,1 + λ 1,3 + λ 3,2 λ 2,3 = α{λ 1 λ 2 λ 2 λ 1 λ 3 λ 1 + λ 1 λ 3 + λ 3 λ 2 λ 2 λ 3 } β2{λ 1 + λ 2 + λ 3 } λ = 2βλ (96)

39 Laplasian dari λ dapat diperoleh dengan dua cara. Pertama dengan menurunkan persamaan (94) terhadap x k λ i,kk = [α(δ ik λ i λ k )],k + (βɛ ikl λ l ),k = α,k (δ ik λ i λ k ) αλ i,k λ k αλ i λ k,k + ɛ ikl (βλ l ),k = α,k δ ik α,k λ i λ k α[α(δ ik λ i λ k ) + βɛ ikl λ l ]λ k αλ λ + ɛ ikl β,k λ l + ɛ ikl βλ l,k = α λ( α λ) α(2αλ 2αλ) 2α 2 λ + β λ + β λ = α λ( α λ) 2α 2 λ + β λ + ( 2βλ) 2 λ = α λ( α λ) 2(α 2 + β 2 )λ + β λ (97) Dan cara kedua dengan identitas vektor ( λ) = ( λ) 2 λ 2 (βλ) = 2 λ 2 λ 2 λ = 2λα + 2 (βλ) = 2λα + 2 β λ + 2β λ = 2λα 2λ β + 2β( 2βλ) = 2λα 2λ β 4β 2 λ (98) dengan menjumlahkan persamaan (97) dengan persamaan (98) akan didapat α = λ β λ(λ α) 2(α 2 β 2 )λ (99) dari bentuk tersebut akan didapat α = λ β λ(β 2 α 2 ) 2(α 2 β 2 )λ = λ β λ(α 2 β 2 ) = λ(β 2 α 2 ) β λ (100)

40 dengan α λ = (λ β) λ (λ α) 2(α 2 β 2 ) = (λ α) 2(α 2 β 2 ) 2 α λ = 2(α 2 β 2 ) α λ = β 2 α 2 (101) ( β λ) λ = (β,2 λ 3 β,3 λ 2 + β,3 λ 1 β,1 λ 3 + β,1 λ 2 β,2 λ 1 ) λ = β,2 λ 3 λ 1 β,3 λ 2 λ 1 + β,3 λ 1 λ 1 β,1 λ 3 λ 1 +β,1 λ 2 λ 1 β,2 λ 1 λ 1 (102) dari persamaan (96), divergensi dari βλ adalah nol, maka βλ = β( λ) + β λ ( λ ) = β( λ) + β λ 2 0 = β( λ) + β λ β λ = β( λ) = 2αβ (103) mengalikan silang λ dengan persamaan (100) akan menghasilkan λ α = λ (β 2 α 2 )λ λ ( β λ) = λ ( β λ) = λ (λ β) = λ(λ β) λ 2 β β = λ(λ β) + ( α λ) = 2αβλ + ( α λ) (104)

41 dengan memakai simbol baru γ α + iβ: γ λ = ( α + i β) = λ α + iλ β = β 2 α 2 2iαβ = γ 2 (105) γ = α + i β = (β 2 α 2 )λ + λ β 2iαβλ i(λ α) = (β 2 α 2 2iαβ)λ + λ ( β i α) = γ 2 λ i(λ γ) (106) dan akan didapat, ( γ) = (γ 2 λ) (iλ γ) 2 γ = 2γ( γ λ) γ 2 ( λ) i{ γ ( λ) + λ ( γ)} = 2γ( γ λ) γ 2 ( λ) i{ γ ( λ)} = 2γ( γ 2 ) γ(2α) 2iβγ 2 = 2γ 2 (γ α iβ) (107) ( γ) 2 = [ γ 2 λ i(λ γ)] 2 = γ 4 + 2iγλ (λ γ) (λ γ) 2 = γ 4 (λ γ) 2 = γ 4 {( γ) 2 (λ γ) 2 } = γ 4 {( γ) 2 γ 4 } = γ 4 (108)

42 jika kita definisikan konstanta baru ω = 1/γ, maka ω = γ γ 2 = γ2 λ + iλ γ γ 2 = γ 2 λ + iλ γ γ 2 = γ 2 λ + iλ ω (109) λ ω = λ γ γ 2 = 1 (110) ( ω) 2 = ( γ)2 γ 4 = 1 (111) ω ω = (λ iλ ω) (λ + iλ ω ) = λ λ + λ (iλ ω ) + λ (iλ ω) +(λ ω) = iλ ( ω λ) iλ 2 ω + iλ ( ω λ) iλ 2 ω +λ λ + (λ ω) (λ ω ) = i ω i ω +Hλ = i( ω + ω ) + Hλ (112) dengan H adalah representasi dari semua fungsi yang berhubungan dengan λ. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, persamaan tersebut dilakukan perkalian titik dengan ω ω ( ω ω ) = i ω ( ω + ω ) + ω Hλ 0 = i(1 + ω ω ) + H H = i(1 + ω ω ) (113)

43 sehingga akan diadaptkan ω ω = i( ω + ω ) + i(1 + ω ω )λ i ω ω = ( ω + ω ) (1 + ω ω )λ (1 + ω ω )λ = i ω ω +( ω + ω ) λ = ω + ω i ω ω 1 + ω ω (114) Persamaan tersebut dapat memberikan l hanya dalam fungsi γ. Karena l haruslah memenuhi pers.(74),(75), maka l 2 = α. Persamaan (107) menunjukkan bahwa α harmonik sehingga pers.(74) haruslah lenyap. Untuk menunjukkan bahwa l 2 = α adalah solusi dari pers.(75), maka 2 (αλ j ) = (αλ j ) kk = (α,k λ j + αλ j,k ),k = α kk λ j + α,k λ j,k + α,k λ j,k + αλ j,kk = 2 αλ j + 2α,k λ j,k + α 2 λ j = α 2 λ j + 2α,k λ j,k (115) dengan memakai pers.(94),(98),(100),dan (104) akan didapat 2 (αλ j ) = 2α α + 2α( β λ) 4αβ 2 λ +2α,k (α(δ jk λ j λ k ) + βε jkl λ l ) = 2α α + 2α( β λ) 4αβ 2 λ + 2α α 2α( β λ) + 2β( α λ) = 4α α 4αβ 2 λ + 2β( α λ) = 4α α 4αβ 2 λ + 2β( 2αβλ + β) = 2α α + 2β β = (α 2 + β 2 ) (116) dari definisi α dan β akan didapat α 2 + β 2 = (p[1 cos θ]) 2 + (p sin θ) 2 = p 2 2p 2 cos θ + p 2 cos 2 θ + p 2 sin 2 θ = 2p 2 (1 cosθ) = 2αp (117)

44 dari definisi pers.(78) akan didapat A + B = l α (α2 + β 2 ) (118) lalu jika l 2 = α, sisi kanan pers.(75) menjadi [(A + B)l],j = (α 2 + β 2 ),j. (119) Persamaan t sesuai dengan pers.(116), maka terbukti bahwa l 2 = α. Pada kasus ini γ = 1 (x + ia) 2 (120) atau untuk ω ω = (x + ia) 2 (121) dengan memisahkan bagian real dan imajinernya ω = ρ + iσ, ω 2 = ρ 2 σ 2 + 2iρσ = x 2 a 2 + 2ia x dengan r = x 2, a = a 2 maka ρ 2 σ 2 = r 2 a 2, ρσ = a x, ρ 2 + σ 2 = ρ 2 + (a x)2 ρ 2 = ρ4 + (a x) 2 ρ 2 (122)

45 α = ρ ρ 2 + σ 2 = ρ 3 ρ 4 + (a x) 2 β = σ ρ 2 + σ 2 = (a x)ρ ρ 2 + (a x) 2 ω = 1 ω (x + ia), ω = 1 (x ia) ω (x + ia) (x + ia) 1 + ω ω = 1 + ωω = 1 + r2 + a 2 ρ 2 + σ 2 = 2(ρ2 + α 2 ) ρ 2 + σ 2 (123) ω + ω i ω ω = = = = = = ( 1 ω + 1 ) ( 1 x + ω ω 1 ) a ω i (x + ia) (x ia) ( ωω ) ( ) ω + ω ω ω x + i a ωω ωω + 1 2(a x) ωω 1 [(ω + ω )x i(ω ω )a + 2(a x)] ωω 1 [2ρx i(2iσ)a + 2(a x)] ρ 2 + σ2 2 [ρx + σa + (a x)] ρ 2 σ2 2ρ (a x)a [x (a x)] (124) ρ 2 + σ2 ρ 2 ρ sehingga akan didapatkan λ = = ω + ω i ω ω 1 + ω ω ρ [x + 1ρ ρ 2 + α (a x)a + 1ρ ] (a x) 2 2 (125)

46 Dengan memilih a = (0, 0, a) dan x = (x, y, z). Lalu a x = az, a x = ( ay, ax, 0), (126) λ = = ( x ay ρ ρ 2 + α ( 2 ρx ay ρy + ax, ρ 2 + a2 ρ 2 + a, z 2 ρ ρ, y + ax ) ρ, z + a2 z ρ ) 2 (127) (l µ dx µ ) 2 = l 2 (dx 0 + λ dx) 2 ( = α dx 0 ρx ay ρy + ax + dx + ρ 2 + a2 ( = dx 0 + ρ 3 ρ 4 + a 2 z 2 dari pers.(56), didapatkan ds 2 = g µν dx µ dx ν = η µν dx µ dx ν + 2m(l µ dx µ ) 2 = (dx 0 ) 2 + (dx) 2 + 2mρ3 ρ 4 + a 2 z 2 ( dx 0 + ρ 2 + a dy + z ) 2 2 ρ dz ρx ay ρy + ax dx + ρ 2 + a2 ρ 2 + a dy + z 2 ρ dz ρx ay ρy + ax dx + ρ 2 + a2 ρ 2 + a dy + z 2 ρ dz ) 2 ) 2 (128) Metrik tersebut adalah metrik Kerr. Metrik tersebut akan kembali menjadi metrik Schwarzschild dalam bentuk Edington jika a. Dengan memilih koordinat lain yaitu t, ρ, θ dan φ sebagaimana cos θ = z ρ, (ρ + ia)eiφ sin θ = x + iy (129) dz = d(ρ cos θ) = cos θdρ ρ sin θdθ, 1 ρ zdz = cos2 θdρ ρ sin θ cos θdθ, dz 2 = cos 2 θdρ 2 + ρ 2 sin 2 θdθ 2 2ρ sin θ cos θdρdρ,

47 dx 2 + dy 2 = d(x + iy) 2 = d[(ρ + ia)e iφ sin θ] 2 = e iφ sin θdρ + (ρ + ia)e iφ cos θdθ + i(ρ + ia)e iφ sin θdφ 2 = sin θ cos φdρ + ρ cos θ cos φdθ a cos θ sin φdθ ρ sin θ sin φdφ a cos φ sin θdφ + i(sin θ sin φdρ +ρ sin φ cos θdθ + a cos φ cos θdθ + ρ cos φ sin θdφ a sin φ sin θdφ) 2 = (sinθ cos φdρ + ρ cos θ cos φdθ a cos θ sin φdθ ρ sin θ sin φdφ a cos φ sin θdφ) 2 + (sin θ sin φdρ +ρ sin φ cos θdθ + a cos φ cos θdθ + ρ cos φ sin θdφ) 2 = sin 2 θdρ 2 + 2ρ sin θ cos θdρdθ 2a sin 2 θdρdφ +ρ 2 cos 2 θdθ 2 2aρ sin θ cos θdθdφ + a 2 cos 2 θdθ 2 +2aρ sin θ cos θdθdφ + ρ 2 sin 2 dφ 2 + a 2 sin 2 θdφ 2 dx 2 = dz 2 + dx 2 + dy 2 = cos 2 θdρ 2 + ρ 2 sin 2 θdθ 2 2ρ sin θ cos θdρdρ + sin 2 θdρ 2 + 2ρ sin θ cos θdρdθ 2a sin 2 θdρdφ +ρ 2 cos 2 θdθ 2 + a 2 cos 2 θdθ 2 + ρ 2 sin 2 dφ 2 + a 2 sin 2 θdφ 2 = (cos 2 θ + sin 2 θ)dρ 2 + ρ 2 (sin 2 θ + cos 2 θ)dθ 2 +a 2 cos 2 θdθ 2 2a sin 2 θdρdφ + ρ 2 sin 2 θdφ 2 +a 2 sin 2 θdφ 2 = dρ 2 + (ρ 2 + a 2 cos 2 θ)dθ 2 + (ρ 2 + a 2 ) sin 2 θdφ 2 2a sin 2 θdρdφ. d x + iy 2 = d(x 2 + y 2 ) = 2(xdx + ydy) xdx + ydy = 1 d x + iy 2 2 = 1 2 d[(ρ2 + a 2 ) sin 2 θ] = ρ sin 2 θdρ + sin θ(ρ 2 + a 2 ) cos θdθ

48 xdy ydx = I[(x iy)d(x + iy)] = I{(ρ ia)e iφ sin θ[e iφ sin θdρ + (ρ + ia)e iφ cos θdθ +i(ρ + ia)e iφ sin θdφ]} = I[(ρ ia) sin 2 θdρ + (ρ 2 + a 2 ) sin θ cos θdθ + i(ρ 2 + a 2 ) sin 2 θdφ] = a sin 2 θdρ + (ρ 2 + a 2 ) sin 2 θdφ maka elemen garis pers.(128) dapat menjadi ds 2 = d(x 0 ) 2 + ρ 2 + (ρ 2 + a 2 cos 2 θ)dθ 2 + (ρ 2 + a 2 ) sin 2 θdφ 2 [ 2a sin 2 θdρdφ + dx 0 ρ + 2mρ ρ 2 + a 2 cos 2 θ ρ 2 + a 2 (ρ sin 2 θdρ + sin θ(ρ 2 + a 2 a ) cos θdθ) + ρ 2 + a 2 ( a sin 2 θdρ + (ρ 2 + a 2 ) sin 2 θdφ) + cos 2 θdρ ρ sin θ cos θdθ ] 2 = d(x 0 ) 2 + ρ 2 + (ρ 2 + a 2 cos 2 θ)dθ 2 + (ρ 2 + a 2 ) sin 2 θdφ 2 2a sin 2 2mρ θdρdφ + [dx 0 + ρ2 ρ 2 + a 2 cos 2 θ ρ 2 + a 2 sin2 θdρ +ρ sin θ cos θdθ a2 ρ 2 + a 2 sin2 θdρ + a sin 2 θdφ +a sin 2 θdφ + cos 2 θdρ ρ sin θ cos θdθ = d(x 0 ) 2 + +ρ 2 + (ρ 2 + a 2 cos 2 θ)dθ 2 + (ρ 2 + a 2 ) sin 2 θdφ 2 [ 2a sin 2 2mρ θdρdφ + dx 0 + a sin 2 θdφ ρ 2 + a 2 cos 2 θ ] + ρ2 + a 2 cos 2 2 θ dρ + a sin 2 θdφ (130) ρ 2 + a 2 dengan mengenalkan suatu bentuk variabel baru x 0 = x 0 2mρ + ρ 2 + a 2 2mρ dρ, ( ) 2a φ = φ + ρ 2 + a a dρ 2 ρ 2 + a 2 2mρ ] 2

49 maka pers.(130) menjadi ( ) 2 ds 2 = dx 0 2mρ + + dρ 2 + (ρ 2 + a 2 cos 2 θ)dθ 2 ρ 2 + a 2 2mρ [ ( ) ] 2 2a +(ρ 2 + a 2 ) sin 2 θ dφ + ρ 2 + a a dρ 2 ρ 2 + a 2 2mρ [ ( ) ] 2a 2a sin 2 θdρ dφ + ρ 2 + a a dρ 2 ρ 2 + a 2 2mρ [ ( 2mρ + dx 0 2mρ + ρ 2 + a 2 cos 2 θ ρ 2 + a 2 2mρ + ρ2 a 2 ρ 2 + a 2 sin2 θ ) + cos 2 θ + 2a2 a 2 ρ 2 + a 2 sin2 θ ρ 2 + a 2 2mρ sin2 θ dρ ] 2 +a sin 2 θdφ ( ) 2mρ = 1 (dx 0 ) 2 + ρ2 + a 2 cos 2 θ ρ 2 + a 2 cos 2 θ ρ 2 + a 2 2mρ dρ2 ( ) +(ρ 2 + a 2 cos 2 θ)dθ 2 + ρ 2 + a 2 + 2a2 mρ sin 2 θ ρ 2 + a 2 cos 2 θ sin2 θ dφ 2 + 4amρ sin2 θ ρ 2 + a 2 cos 2 θ dx0 dφ. (131)