Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Γνική Φυσική (Ηλκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα: Μηχανικών Ηλκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής

2 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Σύνοψη Στο δέκατο τούτο κφάλαιο παρουσιάζται το φαινόμνο της ηλκτρομαγνητικής παγωγής το οποίο πριγράφται από τον νόμο το Faraday. Επξηγίται ο κανόνας του Lenz και πως αυτός καθορίζι την ξέλιξη των παγωγικών φαινομένων. Επίσης πριγράφται το παγόμνο ηλκτρικό πδίο και κάποις φαρμογές του Εισαγωγικά Την δκατία του 1830 ο Michael Faraday ( ) στην Αγγλία και ο Joseph Henry ( ) στις ΗΠΑ, ανξάρτητα ο ένας από τον άλλον, έκαναν πολλά πιράματα πάνω σ μαγνητικά πδία και ηλκτρικά ρύματα. Αποτέλσμα αυτών των πιραμάτων ήταν να παρατηρηθί ότι όταν μταβάλλται η μαγνητική ροή Φ που διαρρέι έναν αγώγιμο βρόχο ή ένα πηνίο, τότ παρατηρίται η δημιουργία ρύματος στον αγωγό το οποίο ονομάζται παγωγικό ρύμα και διαρκί όσο χρονικό διάστημα διαρκί η μταβολή της μαγνητικής ροής. Το παγωγικό ρύμα σ αντιστοιχία μ το σύνηθς ρύμα που παράγται από μια πηγή ΗΕΔ, σχτίζται μ την δημιουργία μιας ηλκτρργτικής δύναμης ή αλλιώς ηλκτργτικής τάσης που αναπτύσσται στον βρόχο ή το πηνίο η οποία ονομάζται ηλκτρομαγνητική παγωγή ή παγόμνη ΗΕΔ. Αυτή η παγόμνη τάση ίναι η αιτία της ύπαρξης του παγωγικού ηλκτρικού ρύματος. Η παγωγική τάση διαφέρι από την έννοια της τάσης δηλαδή της διαφοράς δυναμικού που παρέχι μια μπαταρία ή γννήτρια, διότι δν μπορούμ να ορίσουμ αρνητικό και θτικό πόλο. Γι αυτόν τον λόγο θα προτιμούμ στο παρών σύγγραμμα τον όρο παγωγική ΗΕΔ αντί παγωγική τάση. Όπως προαναφέραμ ίναι σημαντικό να τονίσουμ ότι το ηλκτρικό ρύμα διαρρέι το κύκλωμα του πηνίου ή του βρόχου μόνο το Joseph Henry χρονικό διάστημα κατά το οποίο συμβαίνι μταβολή της μαγνητικής ροής. ( ) Για σταθρή γωμτρία του κυκλώματος η μταβολή της μαγνητικής ροής συμβαίνι μόνο για μταβολή του μαγνητικού πδίου. Μια διάταξη ανάπτυξης παγωγικού ρύματος φαίνται στο σχ. 10.1, όπου ένας μαγνήτης κινίται σ σχέση ως προς έναν αγώγιμο βρόχο. Καθώς ο βόριος μαγνήτης πλησιάζι τον βρόχο πρισσότρς μαγνητικές δυναμικές γραμμές του πδίου διαπρνούν την πιφάνια του βρόχου και πομένως η μαγνητική ροή διαμέσου του βρόχου αυξάνται δημιουργώντας παγωγικό ρύμα Ι στον βρόχο (σχ. 10.1α). Αντιθέτως άν ο μαγνήτης απομακρύνται από τον βρόχο (σχ. 10.1β), τότ όλο και λιγότρς δυναμικές γραμμές του πδίου διαπρνούν την πιφάνια του βρόχου, και πομένως η μαγνητική ροή μιώνται δημιουργώντας παγωγικό ρύμα Ι στον βρόχο αντίθτης φοράς από αυτό της πρώτης πρίπτωσης. Πιο κάτω, στο δάφιο 10.3, θα ξηγήσουμ πως η φορά του ρύματος ξαρτάται από την μταβολή της μαγνητικής ροής, και πως αυτή καθορίζται αναλόγως την κίνηση του μαγνήτη. 10. Ο νόμος του Faraday Ν S Ν S (α) Σχήμα 10.1 Κίνηση μαγνήτη α) προς κλιστό βρόχο αυξάνοντας την μαγνητική ροή και δημιουργώντας παγωγικό ρύμα Ι, και β) απομάκρυνση του μαγνήτη μιώνοντας την μαγνητική ροή και δημιουργώντας παγωγικό ρύμα Ι αντίθτης φοράς. (β)

3 Ας θωρήσουμ την μαγνητική ροή που πρνά από μια στοιχιώδη πιφάνια da. Η μαγνητική ροή ορίζται μ ανάλογο τρόπο όπως η ηλκτρική, δηλαδή αντί για το ηλκτρικό πδίο έχουμ μαγνητικό πδίο (βλέπ δάφιο 8.4). Επομένως η στοιχιώδης μαγνητική ροή dφ ίναι dφ.da dacos (10.1) όπου φ η γωνία μταξύ των και da=da ˆn, όπως φαίνται στο σχ Η συνολική μαγνητική ροή ίναι το ολοκλήρωμα της ξ σ όλη την πιφάνια Α Φ dφ dacos (10.) Για ομογνές πδίο σ κάθ σημίο της πιφάνιας Α έχουμ Φ Acos (10.3) Ο νόμος του Faraday ορίζι ότι η παγόμνη σ ένα κύκλωμα ΗΕΔ, ισούται μ τον αρνητικό ρυθμό μταβολής της μαγνητικής ροής που διαπρνά το κύκλωμα και μαθηματικά κφράζται ως dφ d( Acos ) (10.4) Το Φ μπορί να αλλάξι μ τρις τρόπους: Μ μταβολή α) του, β) του μβαδού Α και γ) της γωνίας φ μταξύ των και Α. Για κυκλικό βρόχο ισχύι η ξ νώ για πηνίο μ Ν σπίρς ισχύι dφ N (10.5) H σημασία του αρνητικού πρόσημου ξηγίται μ τον κανόνα τουlenz και σχτίζται μ την φορά που έχι το παγωγικό ρύμα που δημιουργίται λόγω της παγωγικής ΗΕΔ. Θα αναφρθούμ σ S αυτόν τον κανόνα πιο διξοδικά παρακάτω. (t) Παράδιγμα 10.1 Επαγωγικό ρύμα από ηλκτρομαγνήτη Το μαγνητικό πδίο ηλκτρομαγνήτη αυξάνι μ ρυθμό d 0.00T/s. Η πιφάνια του βρόχου ίναι Α=10 cm και ίναι N G κάθτη στο πδίο όπως φαίνται στο σχ. 10.3, νώ η ολική αντίσταση του κυκλώματος μαζί μ το γαλβανόμτρο G (οργάνο μέτρησης πολύ χαμηλών ρυμάτων) και του αντιστάτη ίναι =5 Ω. Πόσο ίναι το παγόμνο ρύμα που μτράι το γαλβανόμτρο; Σχήμα 10.3 Επαγωγικό ρύμα Ι Λύση δημιουργίται σ κλιστό βρόχο από Σύμφωνα μ τον νόμο του Faraday η μταβολή της χρονικά μταβαλλόμνο μαγνητικό πδίο μαγνητικής ροής ίναι ίση μ την παγόμνη τάση που αναπτύσσται ηλκτρομαγνήτη (παράδιγμα 10.1). στα άκρα του αγωγού. Δηλαδή dφ d d 4 4 Acos A 0.00T/s cm.4 10 V 0.4mV Αυτή η παγόμνη τάση δημιουργί ένα παγόμνο ρύμα Ι όπου V mΑ 5 Παράδιγμα 10. Επαγωγικό ρύμα σ κυκλικό βρόχο Ομογνές μαγνητικό πδίο μταβάλλται κατά μέτρο μ σταθρό ρυθμό d/. Δίνται χαλκός μάζας m ο οποίος πρόκιται να γίνι σύρμα διαμέτρου d και μήκους l. Το σύρμα τλικά θα σχηματίσι κυκλικό βρόχο ακτίνας r. Δίξτ ότι το παγωγικό ρύμα στο βρόχο δν ξαρτάται από το μέγθος του σύρματος ή του βρόχου και θωρώντας ότι το ίναι κάθτο στο βρόχο, το ρύμα δίδται από την σχέση m d i, όπου ρ και δ ίναι η ιδική αντίσταση και η πυκνότητα του χαλκού αντίστοιχα. Υπόδιξη: Για 4 dα Α ˆn φ Σχήμα 10. Μαγνητικό πδίο διαρρέι στοιχιώδη πιφάνια da υπό γωνία φ, δημιουργώντας μαγνητική ροή dφ. Το ίδιο πδίο διαρρέι ομοιογνώς μγαλύτρη πιφάνια Α.

4 3 την αντίσταση του σύρματος ισχύι αντίστοιχα. Λύση Από τον νόμο του Faraday ισχύι dφ d( S) d S (1) Όμως ισχύι S r () Η ξ. στην 1 δίνι d r (3) l, όπου l και Α ίναι το μήκος και η διατομή του σύρματος A Το ρύμα που διαρρέι το βρόχο ίναι i (4) Η ξ. 4 λόγω της 3 δίνι r d i (5) l l 4l Για την αντίσταση του σύρματος ισχύι A d (6) ( ) d Η ξ. 5 λόγω της 6 δίνι i r d i d r d 4l 4 l d m 4m Η μάζα του σύρματος ίναι m V r l l l d ( ) d H ξ. 8 στην 7 δίνι 3 4 d r d i 16m (9) Επίσης το μήκος του σύρματος ίναι (8) l 4m l r r r d (10) Τλικά η ξ. 10 στην 9 δίνι 3 4 d 16 i d i m d m 4 d 4 Παράδιγμα 10.3 Πηνίο μ ακτίνα r=0 cm, αντίσταση =500 Ω και μ Ν=500 σπίρς ίναι τοποθτημένο σ χρονικά μταβαλλόμνο μαγνητικό πδίο =at+ct 3 όπου a= T/s και c= T/s 3. Το πηνίο ίναι κάθτο στο μαγνητικό πδίο. α) Να υρθί η απόλυτη τιμή της παγόμνης ΗΕΔ στο πηνίο συναρτήσι του χρόνου. β) Πόσο ρύμα διαπρνά τον αγωγό την χρονική στιγμή t=10 s; Λύση α) Το συνολικό μβαδόν του πηνίου ίναι S και πομένως η συνολική μαγνητική ροή ορίζται ως (1) o Φ S cos0 Φ N r () N r (1) Η μαγνητική ροή Φ μταβάλλται μ τον χρόνο διότι μταβάλλται το μαγνητικό πδίο. Έτσι σύμφωνα μ τον νόμο του Faraday έχουμ dφ () d ( N 3 ) ( ) r N r d N r d at +ct N r ( a 3 ct ) Η απόλυτη τιμή της συναρτήσι του χρόνου ίναι

5 () t ( 10 m) 500 [1 10 T/s (3 10 T/s ) t ] () t m T/s + ( m T/s ) t β) Το ρύμα την χρονική στιγμή 10 s ίναι (10s) m T/s + ( m T/s ) 100s A ΗΕΔ σ αγωγό που κινίται μέσα σ μαγνητικό πδίο Κανόνας του Lenz Έστω ότι μια αγώγιμη ράβδος μήκους L κινίται μ σταθρή ταχύτητα υ μέσα σ ένα ομογνές μαγνητικό πδίο όπως δίχνι το σχ Η κατύθυνση της ταχύτητας υ ίναι κάθτη σ αυτήν του. Λόγω της ταχύτητας της ράβδου τα φορτία της (λύθρα ηλκτρόνια) έχουν πίσης ταχύτητα υ και πομένως θα ασκηθί πάνω τους μαγνητική δύναμη F qυ (10.6) μαγν Συγκκριμένα τα λύθρα ηλκτρόνια θα κινηθούν προς τα -e υ υ κάτω λόγω της δύναμης L _ F ηλ Fμαγν eυ Fμαγν e (10.7) F μαγν Η κίνηση αυτή των ηλκτρονίων αφήνι το πάνω μέρος της -e -_ ράβδου θτικά φορτισμένο. Έτσι το αποτέλσμα ίναι η ράβδος να αποκτήσι προοδυτικά θτικό δυναμικό στο F μαγν πάνω άκρο και αρνητικό στο κάτω μ συνέπια να αναπτυχθί στο σωτρικό της και κατά μήκος της, ένα ηλκτρικό πδίο μ δυναμικές ηλκτρικές γραμμές από πάνω Σχήμα 10.4 Αγώγιμη ράβδος μήκους L κινίται προς τα κάτω. Όσο πληθαίνουν τα φορτία στα άκρα της μ σταθρή ταχύτητα υ μέσα σ ένα ομογνές ράβδου τόσο μγαλώνι η διαφορά δυναμικού, το ηλκτρικό μαγνητικό πδίο. Η μαγνητική δύναμη πάνω πδίο Ε και συνπώς και η ηλκτρική δύναμη μταξύ των τρόσημων φορτίων των δυο άκρων της ράβδου. Η ηλκτρική δύναμη έχι αντίθτη κατύθυνση αυτή της στα φορτία της ράβδου έχι ως αποτέλσμα την πόλωση των άκρων της ράβδου και την δημιουργία ηλκτρικού πδίου κατά μήκος της. μαγνητικής και καθώς σταδιακά μγαλώνι (φόσον μγαλώνι το ηλκτρικό πδίο), τλικά γίνται αντίθτη της μαγνητικής. Τότ ισχύι F F F F ee e E (10.8) ηλ μαγν ηλ μαγν και η μτατόπιση των φορτίων προς τα άκρα παύι, μιας και η ηλκτροστατική έλξη μταξύ των ηλκτρονίων και των θτικών οπών αναιρί την μαγνητική δύναμη που τα ωθί στα δυο άκρα. Η διαφορά δυναμικού V που δημιουργί το ηλκτρικό πδίο Ε ίναι L V EL V L (10.9) F μαγ Σχήμα 10.5 Αγώγιμη ράβδος μήκους L κινίται μ σταθρή ταχύτητα υ μέσα σ ένα ομογνές μαγνητικό πδίο σχηματίζοντας κλιστό κύκλωμα μ αγωγό σχήματος. Η μαγνητική δύναμη F μαγν πάνω στη ράβδο που διαρρέται από ρύμα Ι, αναιρίται από ξωτρική δύναμη F που κινί την ράβδο. υ F Έστω τώρα ότι η ράβδος του σχ κινίται μ σταθρή ταχύτητα υ κατά μήκος ακίνητου αγωγού σχήματος και αντίστασης, δημιουργώντας κλιστό ορθογώνιο βρόχο όπως φαίνται στο σχ Εφόσον κινίται μ ταχύτητα υ το μβαδόν του ορθογωνίου βρόχου αυξάνται και πομένως μγαλώνι η μαγνητική ροή Φ η οποία ορίζται ως Φ Lx (10.10) μ συνέπια να αναπτύσσται παγωγική ΗΕΔ στα άκρα του αγωγού ίση μ dφ d( Lx) L (10.11) Το (-) δηλώνι ότι το παγωγικό ρύμα Ι που αναπτύσσται από την παγωγική ΗΕΔ στο βρόχο, έχι τέτοια φορά ώστ να δημιουργί μαγνητικό πδίο αντίθτο του ούτως ώστ να αναιρί την αύξηση της μαγνητικής ροής που προκαλίται μ την κίνηση της ράβδου προς τα δξιά. Η +

6 5 δημιουργία ρύματος μιας τέτοιας κατύθυνσης ίναι απόρροια του κανόνα του Lenz, που διατυπώθηκ από τον Γρμανό φυσικό Heinrich Lenz ( ) και που λέι ότι κάθ παγωγικό φαινόμνο τίνι να αντισταθί και να αναιρέσι το αίτιο που το προκάλσ. Έτσι για κάθ αύξηση (μίωση) της μαγνητικ ής ροής που προκαλίται σ ένα σύστημα από ξωτρικό αίτιο, η παγωγική ΗΕΔ δημιουργί τέτοιας κατύθυνσης παγωγικό ρύμα, ούτως ώστ το μαγνητικό του πδίο να μιώνι (αυξάνι) την μαγνητική ροή, μ αποτέλσμα να τίνι να αναιρθί η μταβολή της μαγνητικής ροής που προκαλίται από το ξωτρικό αίτιο. Τώρα μπορί ύκολα να ξηγηθί η φορά των παγωγικών ρυμάτων στα σχήματα 10.1 και Λόγω της παγωγικής ΗΕΔ στο ορθογώνιο βρόχο του σχήματος 10.5, το παγωγικό ρύμα που δημιουργίται ίναι L (10.1) Εφόσον όμως η ράβδος διαρρέται από ρύμα και βρίσκται μέσα σ μαγνητικό πδίο, θα ασκίται πάνω της μαγνητική δύναμη ίση μ F l F L (10.13) μαγν μαγν και η κατύθυνσή της ίναι τέτοια ώστ να αντιστέκται στην κίνηση της ράβδου προς τα δξιά (σχ. 10.5). Όμως για να κινίται μ σταθρή ταχύτητα ο αγωγός, πρέπι να ασκίται πάνω του ξωτρική δύναμη F, ώστ να αντισταθμίζται η δράση της μαγνητικής δύναμης F μαγν. Δηλαδή πρέπι να ισχύι F =-F (10.14) μαγν Heinrich Lenz ( ) Στην πραγματικότητα η F ίναι το ξωτρικό αίτιο που τα προκαλί όλα όπως, την μταβολή της Φ, την παγωγική τάση, το ρύμα Ι και τλικά την δύναμη F μαγν. Φανταστίτ το ρύμα Ι να ίχ αντίθτη φορά από αυτή που προστάζι ο κανόνας του Lenz. Τότ η μαγνητική δύναμη θα ήταν ομόρροπη μ την ξωτρική δύναμη F και η ράβδος θα πιταχυνόνταν ανξέλγκτα, μ την νέργια της ράβδου να αυξάνται απριόριστα. Μ άλλα λόγια, για ένα συγκκριμένο έργο δηλαδή ποσό νέργιας που προσδίδουμ μίς στη ράβδο ξωτρικά, η ράβδος θα αποκτούσ ένα πολύ μγαλύτρο ποσό νέργιας που μάλιστα συνχώς θα αυξάνονταν, γγονός που αντιβαίνι στον νόμο διατήρησης της νέργιας. Αυτή ίναι και η φυσική σημασία του κανόνα του Lenz, δηλαδή η διατήρηση της νέργιας. Από τις ξ και 14, συμπραίνουμ ότι η ξωτρική δύναμη που κινί την ράβδο ώστ τλικά αυτή να κινίται μ σταθρή ταχύτητα υ ίναι (10.1) L F L F (10.15) Η μηχανική ισχύ P μηχ που παράγται πάνω στη ράβδο από την δύναμη F ίναι (10.15) L Pμηχ F Pμηχ (10.16) Επιπλέον, η ηλκτρική ισχύς που καταναλώνται στην αντίσταση λόγω του ρύματος που διαρρέι τη ράβδο και γνικότρα το κύκλωμα ίναι (10.1) L Pηλ Pηλ (10.17) Συγκρίνοντας τις ξισώσις και 17, συμπραίνουμ ότι η μηχανική ισχύς ίναι ίση μ την ηλκτρική ισχύ που παράγται στο κύκλωμα της ράβδου μ τον αγωγό σχήματος. Επίσης φόσον η ράβδος κινίται μ σταθρή ταχύτητα, το παραγόμνο έργο της δύναμης F πρέπι να ισούται μ την απώλια ηλκτρικής νέργιας, η οποία τλικά μτατρέπται σ θρμότητα στην αντίσταση του κυκλώματος. Παράδιγμα 10.4 Επαγωγική ΗΕΔ και ρύμα σ κυκλικό βρόχο. Μαγνητικό πδίο φθίνι κθτικά μ τον χρόνο = o e -at. Το πδίο ίναι κάθτο στο πίπδο συρμάτινου κυκλικού βρόχου μ μβαδόν Α. Να ύρτ την παγωγική τάση που αναπτύσσται στον βρόχο και να σχδιάστ γραφικά την =f(t). Επίσης φαρμόζοντας τον κανόνα του Lenz να ύρτ την κατύθυνση του ρύματος στο βρόχο. Λύση Η μαγνητική ροή που διαρρέι τον βρόχο στην χρονική στιγμή t ίναι

7 6 at Φ oe A Επομένως από τον νόμο του Faraday η παγωγική ΗΕΔ ίναι at at dφ d( oe A) de at oa aoae Δηλαδή η παγωγική ΗΕΔ στον βρόχο φθίνι κθτικά όπως και το πδίο. Η γραφική παράσταση =f(t), φαίνται στο σχ. 10.6α. Στο σχ. 10.6β φαίνται η φορά του παγωγικού ρύματος που δημιουργίται στον κυκλικό βρόχο λόγω της λάττωσης του πδίου. Το ρύμα έχι τέτοια φορά ώστ να δημιουργί τέτοιο ώστ να αναπληρώνι την λάττωση. a o A (α) Σχήμα 10.6 α) Η μταβολή της παγωγικής τάσης μ τον χρόνο, και β) η κατύθυνση του παγωγικού ρύματος Ι που δημιουργίται στον κυκλικό βρόχο, στον οποίο ένα κάθτο μαγνητικό πδίο φθίνι μ τον χρόνο (παράδιγμα 10.4). t α) Το ρύμα που διαρρέι την ράβδο ίναι (β) Παράδιγμα 10.5 Μια αγώγιμη ράβδο Α ίναι σ παφή μ τις μταλλικές γραμμές AD και C που απέχουν απόσταση l=50 cm και βρίσκονται μέσα σ μαγνητικό πδίο =1 W/m, όπως φαίνται στο σχήμα. Η ολική αντίσταση ράβδου και γραμμών θωρίται συνχώς σταθρή =0.4 Ω. α) Ποιο ίναι το ρύμα Ι που διαρρέι την ράβδο και ποια η φορά του, άν αυτή κινίται προς τα αριστρά μ σταθρή ταχύτητα υ=6 m/s, όπως φαίνται στο σχ. 10.7; β) Ποιο ίναι το μέτρο και η κατύθυνση της δύναμης F που χριάζται να ασκήσουμ στη ράβδο για να συνχίζι να κινίται προς τα αριστρά μ την ίδια σταθρή ταχύτητα υ; Λύση (1) όπου ίναι η παγωγική τάση στο κύκλωμα ΑCD λόγω του νόμου του Faraday, διότι το μβαδόν του βρόχου ACD μγαλώνι μ τον χρόνο. Επομένως ισχύι dφ d ( S ) ds d ( xl ) l dx l () Η ξ. στην 1 δίνι l 1W/m 0.5m 6m/s Το μίον δηλώνι ότι το ρύμα έχι τέτοια φορά ώστ να ναντιώνται στο αίτιο που το προκαλί δηλαδή την τάση και πομένως την ταχύτητα υ. Άρα το ρύμα θα έχι τέτοια φορά ώστ στον ρυματοφόρο αγωγό Α που βρίσκται μέσα στο πδίο να ασκίται μαγνητική δύναμη αντίθτης φοράς της υ. Επομένως η δύναμη πάνω στην ράβδο Α ίναι F l 1W/m 0.5m 6m/s F 3.75Ν Άρα για να συνχίσι να κινίται η ράβδος μ ταχύτητα υ προς τα αριστρά όπως φαίνται στο σχ. 10.7, πρέπι να ασκήσουμ πάνω της μια δύναμη F (δν σημιώνται στο σχ. 10.7). υ Α Σχήμα 10.7 Αγώγιμη ράβδος Α υρίσκται σ παφή μ τις παράλληλς μταλλικές γραμμές AD και C, και κινίται μ σταθρή ταχύτητα προς τα αριστρά κάθτη σ μαγνητικό πδίο (παράδιγμα 10.5). F x C D l 10.4 Επαγόμνο ηλκτρικό πδίο Γνωρίζουμ από τον νόμο του Faraday ότι όταν σ έναν αγώγιμο βρόχο μταβληθί η μαγνητική ροή που πρνά μέσα απ αυτόν, τότ παρατηρούμ την δημιουργία μιας παγωγικής ΗΕΔ και συνπώς νός παγωγικού ρύματος στον βρόχο. Η δημιουργία ηλκτρικού ρύματος σημαίνι την ύπαρξη ηλκτρικού πδίου στο σωτρικό του αγώγιμου βρόχου. Το ηλκτρικό πδίο που παράγται παγωγικά ονομάζται

8 7 Ι παγόμνο ηλκτρικό πδίο και έχι (όπως θα δούμ παρακάτω) διαφορτικές ιδιότητς από το ηλκτρικό πδίο, το οποίο δημιουργίται από ακίνητα ηλκτρικά φορτία δηλαδή το ηλκτροστατικό πδίο. Το παγόμνο ηλκτρικό πδίο υπάρχι στο χώρο ακόμα και όταν δν υπάρχι ο αγώγιμος βρόχος. Υπάρχι παντού φόσον υπάρχι μταβολή του μαγνητικού πδίου. Ας ξτάσουμ όμως ένα παράδιγμα δημιουργίας παγόμνου ρύματος για να καταλάβουμ καλύτρα την ιδιαιτρότητά του. Έστω ένας κυκλικός αγωγός ακτίνας r ο οποίος ίναι κάθτος σ μταβαλλόμνο μαγνητικό πδίο, το οποίο παράγται από ένα πηνίο έτσι όπως δίχνι το σχ. 10.8α. Το μαγνητικό πδίο του πηνίου δίνται από την σχέση οn (10.18) όπου n οι σπίρς ανά μονάδα μήκους του πηνίου, (N/L, βλέπ δάφιο 9.6). Όταν το ρύμα Ι του πηνίου μταβάλλται μ τον χρόνο, τότ και το μαγνητικό πδίο μταβάλλται ως d d οn (10.19) Όταν όμως μταβάλλται το μταβάλλται και η μαγνητική ροή Φ διαμέσου του κυκλικού βρόχου μβαδού A r (10.0) μ αποτέλσμα λόγω του νόμου του Faraday να πάγται παγωγική ΗΕΔ, η οποία από τις ξισώσις και 0 γίνται dφ d( A) d d d A A οn r οn (10.1) Η παγωγική ΗΕΔ δημιουργί ένα μταβαλλόμνο παγωγικό ρύμα i π στον κυκλικό βρόχο, ο οποίος λόγω του κανόνα του Lenz προσπαθί να ακυρώσι την μταβολή της Φ, δημιουργώντας ένα αντίθτης ή ιδίας φοράς μαγνητικό πδίο απ αυτό του πηνίου, αναλόγως άν η μαγνητική ροή Φ αυξάνται ή μιώνται αντίστοιχα. Εάν ίναι η αντίσταση του βρόχου, τότ το ρύμα i π ίναι (10.1) r ο i π n d iπ (10.) Όπως βλέπουμ το παγόμνο ηλκτρικό ρύμα δημιουργίται πάντα από χρονικά μταβαλλόμνο ρύμα. Το ρώτημα που γννιέται ίναι: Ποια δύναμη κινί τα φορτία στον βρόχο και παράγται το παγόμνο ρύμα i π ; Ένα φορτίο όπως γνωρίζουμ μπορί να κινηθί ίτ μ μια ηλκτρική δύναμη ίτ μ μια μαγνητική. Θα πρέπι να αποκλίσουμ την μαγνητική δύναμη μιας και ο βρόχος δν κινίται μέσα σ μαγνητικό πδίο οπότ η δημιουργία μιας δύναμης Lorenz δν ίναι φικτή. Επομένως ένα ηλκτρικό πδίο πρέπι να δημιουργίται παγωγικά στο σωτρικό του κυκλικού βρόχου και να κινί τα φορτία. Το πδίο αυτό που φαίνται στο σχ. 10.8β, δημιουργίται από την μταβολή της μαγνητικής ροής και πομένως από την μταβολή του μαγνητικού πδίου. Δηλαδή ένα ηλκτρικό πδίο κτός από την ύπαρξη στατικών φορτίων, μπορί να δημιουργηθί και από την μταβολή νός μαγνητικού πδίου, και ονομάζται παγόμνο ηλκτρικό πδίο ή μη ηλκτροστατικό ηλκτρικό πδίο. Έτσι λόγω του παγόμνου ηλκτρικού πδίου μια ηλκτρική δύναμη F qe ασκίται στα φορτία του αγώγιμου βρόχου. Το παραγόμνο έργο από το παγόμνο πδίο Ε σ μια πλήρη πριστροφή νός φορτίου ίναι W Fl W qe r (10.3) q r i π (α) Σχήμα 10.8 α) Επαγωγικό ρύμα i π σ κυκλικό βρόχο ακτίνας r όπου στο κέντρο του υπάρχι κάθτο μταβαλλόμνο μαγνητικό πδίο που παράγται από πηνίο N σπιρών διαρρόμνο από ρύμα. β) Κάθτη άποψη της ίδιας διάταξης. Η φορά του παγωγικού ρύματος i π έχι σχδιαστί για την πρίπτωση που το Ι αυξάνται μ τον χρόνο. q Ι Ε Ε Ι i π (β) r Ε Ε Το έργο του μη ηλκτροστατικού ηλκτρικού πδίου σ μια κλιστή διαδρομή ίναι διάφορο του μηδνός, γγονός αντίθτο για το έργο του ηλκτροστατικού πδίου το οποίο ίναι μηδέν (βλέπ δάφιο 4.). Άρα μία ιδιαιτρότητα του παγόμνου ηλκτρικού πδίου και σημαντική διαφορά από το ηλκτροστατικό ίναι ότι

9 8 ίναι μη διατηρητικό πδίο. Μια άλλη διαφορά ίναι ότι το ηλκτροστατικό ηλκτρικό πδίο πριγράφται από δυναμικές γραμμές οι οποίς ξκινούν από θτικά φορτία και καταλήγουν σ αρνητικά. Δηλαδή οι δυναμικές γραμμές του ηλκτροστατικού πδίου έχουν πάντα αρχή και τέλος. Αντιθέτως οι δυναμικές γραμμές του παγόμνου ηλκτρικού πδίου σχηματίζουν κλιστούς βρόχους χωρίς αρχή και τέλος (σχ. 10.8β). (ΕΔΩ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΔΗΜΙΟΥΡΓΗΘΕΙ ΑΛΛΟ ΚΑΤΑΛΛΗΛΟΤΕΡΟ ΣΧΗΜΑ) Το έργο του παγόμνου πδίου ίναι ίσο μ την ηλκτρική δυναμική νέργια του κινούμνου φορτίου η οποία ίναι U q (10.4) Εξισώνοντας τις σχέσις 10.3 και 4 παίρνουμ U W q qe r E r (10.5) q Η ξ λόγω του νόμου του Faraday δίνι dφ 1 dφ E r E (10.6) r η οποία πριγράφι το παγόμνο ηλκτρικό πδίο Ε κατά μήκος μιας κλιστής κυκλικής διαδρομής ακτίνας r (σχ. 10.8β). Το μέτρο λόγω αξονικής συμμτρίας από το κέντρο του πηνίου δν μταβάλλται και παραμένι σταθρό. Έτσι η ξ παριστάνι το πικαμπύλιο ολοκλήρωμα ώστ να ισχύι E. dl E r (10.7) Η ξ σ συνδυασμό μ την 10.6 δίνι dφ E. dl (10.8) η οποία ίναι μια διαφορτική μορφή γραφής του νόμου του Faraday. Ισχύι για κάθ κλιστή διαδρομή οποιασδήποτ γωμτρίας. Παράδιγμα 10.6 Ένα μακρύ σωληνοιδές έχι n σ =00 σπίρς/cm και διαρρέται από ρύμα Ι σ =1.5 A. Στο κέντρο του σωληνοιδούς τοποθτίται βραχύ πηνίο Ν=100 σπιρών μ διάμτρο d π = cm η κάθ μια (όπως φαίνται στο σχ. 10.9). Το πηνίο τοποθτίται έτσι που το στο κέντρο του σωληνοιδούς να ίναι παράλληλο προς τον άξονα συμμτρίας του. Το ρύμα στο σωληνοιδές μιώνται στο μηδέν μ σταθρό ρυθμό σ χρόνο sec. α) Ποια η ξ παγωγής ΗΕΔ που μφανίζται στο πηνίο κατά την μταβολή του ρύματος; β) Ποιο ίναι το παγόμνο ρύμα i π που δημιουργίται στο πηνίο, αν η αντίστασή του ίναι 5 Ω; Δίνται μ ο =4π 10-7 W/A.m. Ι σ Λύση i π Η παγωγή στο κέντρο του σωληνοιδούς δίνται ως οnσ σ (1) Το μβαδόν του πηνίου S π ίναι π σ dπ dπ Sπ N rπ N ( ) Sπ N () 4 Η μταβολή της ροής στο πηνίο ίναι dφ d( Sπ ) d Σχήμα 10.9 Κάθτη τομή πηνίου στο Sπ (3) σωτρικό σωληνοιδούς. Επαγόμνο Η ξ. 3 λόγω των 1 και γίνται ρύμα i π παράγται στο πηνίο λόγω μταβολής του ρύματος στο σωληνοιδές i σ dπ d( οnσ σ) dπ dσ N N οnσ (4) (παράδιγμα 10.6). 4 4 Η μταβολή του ρύματος Ι σ στο σωληνοιδές ίναι ΔΙ σ =0-1.5 Α=-1.5 Α σ χρονικό διάστημα s. Αντικαθιστώντας τις τιμές στην ξ. 4 παίρνουμ ( 10 m) 7 W 1.5A m V 4 A.m 0.050s Το παγόμνο ρύμα στο κύκλωμα του πηνίου ίναι V 7 iπ iπ iπ A 5

10 9 Η φορά του ρύματος i π ίναι τέτοια ώστ να δημιουργί στο σωτρικό του πηνίου ένα αντίθτο μαγνητικό πδίο κίνου του σωληνοιδούς Εφαρμογές των παγόμνων ηλκτρικών πδίων Γννήτρια ηλκτρικού ρύματος Τα παγωγικά ρύματα και κατά πέκταση ο νόμος του Faraday παρουσιάζουν σημαντικές φαρμογές στην τχνολογία όπως οι ηλκτρικές γννήτρις, οι μτασχηματιστές ηλκτρικού ρύματος, οι ανιχνυτές μτάλλων κ.α. Ας δούμ για παράδιγμα πως λιτουργί μια γννήτρια ναλλασσομένου ρύματος, η οποία μτατρέπι την μηχανική νέργια σ ηλκτρική. Έστω ένα πριστρφόμνο αγώγιμο πλαίσιο μέσα σ ένα ομογνές μαγνητικό πδίο όπως φαίνται στο σχ Εφόσον το πλαίσιο πριστρέφται μ σταθρή γωνιακή ταχύτητα ω η μαγνητική ροή μταβάλλται μ τον χρόνο μιας και ο προσανατολισμός του πλαισίου ως προς το μαγνητικό πδίο αλλάζι. Ισχύι δηλαδή Φ.A = Acosφ (10.8) όπου φ= ωt (10.9) Έτσι έχουμ την παγωγική τάση στα άκρα του πλαισίου dφ d( Acos t) d(cos t) A A( )sin t A sin t (10.30) Η ξ μας δίχνι ότι η τάση μταβάλλται αρμονικά παίρνοντας τιμές λόγω του ημιτόνου από Αω έως Αω, όπως φαίνται στο σχ Επιδή η τάση ναλλάσσται ως προς το πρόσημο αρμονικά μ τον χρόνο, αρμονικά ναλλάσσται και το παγόμνο ηλκτρικό ρύμα που δημιουργίται στο πλαίσιο αλλά και στο ξωτρικό κύκλωμα όπου υπάρχι ο λαμπτήρας (σχ ). Γι αυτόν τον λόγο το πριστρφόμνο πλαίσιο μέσα σ ομογνές μαγνητικό πδίο ονομάζται γννήτρια ναλλασσόμνου ρύματος μιας και ω Ν Ι π Ι π Ι π Σχήμα Γννήτρια ναλλασσόμνου παγωγικού ρύματος Ι π S ηλκτρική νέργια. Μ την ίδια αρχή λιτουργούν και οι ανμογννήτρις όπου μτατρέπουν την αιολική νέργια (νέργια του ανέμου) σ ηλκτρική. Επίσης άλλς μορφές νέργιας όπως η πυρηνική νέργια μπορί να θρμάνι νρό και από τους ατμούς να κινηθούν κατάλληλοι ρότορς για την παραγωγή παγωγικής ηλκτρικής νέργιας. Μ ανάλογο τρόπο η καύση γαιανθράκων (λιγνίτη, πτρλαίου κ.α) μπορούν να παράγουν ηλκτρική νέργια από την παραγωγή θρμότητας μέσω της αρχής της παγωγής (θρμοηλκτρικά ργοστάσια). Στην Ευρώπη η συχνότητα ναλλασσόμνου ρύματος ίναι 50Hz (50 κύκλοι ανά δυτρόλπτο) νώ στην Αμρική και στον Καναδά ίναι 60Hz. Το πλάτος της ναλλασσόμνης τάσης στην Ευρώπη ίναι 0V νώ στην Αμρική, Καναδά και ρτανία ίναι 110V. μτατρέπι την μηχανική νέργια (πριστροφική νέργια του πηνίου) σ ηλκτρική νέργια (ηλκτρικό ρύμα στο κύκλωμα και λιτουργία του λαμπτήρα). Η τάση που παράγται παγωγικά στα άκρα του πριστρφόμνου πλαισίου και τροφοδοτί το ξωτρικό ηλκτρικό κύκλωμα ονομάζται ναλλασσόμνη τάση. Η τροφοδοσία του ξωτρικού κυκλώματος γίνται από τα πριστρφόμνα άκρα του πλαισίου (ρότορας) μέσω δυο πριστρφόμνων μονωμένων δακτυλίων που βρίσκονται σ διαρκή ωμική παφή μ ακίνητς ψύκτρς (καρβουνάκια). Μ γννήτρις ναλλασσομένου ρύματος λιτουργούν τα υδροηλκτρικά ργοστάσια όπου η μηχανική νέργια του προσπίπτοντος νρού που πριστρέφι τον ρότορα, μτατρέπται σ Παράδιγμα 10.7 Πηνίο μ Ν σπίρς ορθογώνιου σχήματος διαστάσων μήκους α και πλάτους b στρέφται μ γωνιακή συχνότητα ω μέσα σ ομογνές μαγνητικό πδίο παγωγής. Το πριστρφόμνο πηνίο ίναι Σχήμα Εναλλασσόμνη παγωγική τάση από πριστρφόμνο πλαίσιο μέσα σ ομογνές μαγνητικό πδίο (βλέπ σχ.10.10). t

11 10 συνδδμένο σ σιρά μ αντίσταση. Να υρθί η ναλλασσόμνη παγωγική ΗΕΔ, που αναπτύσσται στο κύκλωμα του πριστρφόμνου πηνίου, το παγωγικό ρύμα στο κύκλωμα βρόχου-αντίστασης και ηισχύς που καταναλώνται σ αυτό. Λύση Το μβαδόν κάθ ορθογώνιας σπίρας του πηνίου ίναι Α=ab. Εφόσον το πηνίο διαθέτι Ν σπίρς το συνολικό μβαδόν ίναι S NA S Nab Από τον νόμο του Faraday η παγωγική τάση του πριστρφόμνου πηνίου ίναι dφ d( S cos t) d( Nab cos t) d(cos t) Nab Nab( )sin t Nab sin t Η παγωγική τάση ίναι ναλλασσόμνη όπως και το ρύμα που διαρρέι την αντίσταση. Έτσι ισχύι Nab sin t Η ηλκτρική ισχύς που καταναλώνται στο κύκλωμα ίναι ( Nab sin t) P P ΠΡΟΛΗΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΛΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 10 Π10.1 Ομογνές πδίο παγωγής ίναι κάθτο προς το πίπδο κυκλικού δακτυλίου μ διάμτρο 0cm που αποτλίται από χάλκινο σύρμα αντίστασης Ω. Υπολογίστ μ ποιο ρυθμό πρέπι να μταβάλλται το για να μφανιστί στο δακτύλιο ρύμα έντασης 0.1Α. Απάντηση: 6.37Τ/s. Π10. Ένας ττράγωνος μταλλικός βρόχος μ πλυρά a =0 cm έχι ωμική αντίσταση =0.1Ω. Ένα μταβαλλόμνο μαγνητικό πδίο ίναι κάθτο στο πίπδο του βρόχου και δίνται συναρτήσι του χρόνου ως (t)=4t-t, όπου το ίναι σ tesla και το t σ seconds. Προσδιορίστ την παγωγική τάση και το παγωγικό ρύμα στο βρόχο για t =0.5s. Απάντηση: 0.08V και 0.8Α. (Ιούνιος 01). Π10.3 Ορθογώνιο πλαίσιο μβαδού Α τοποθτίται σ μια πριοχή όπου το μαγνητικό πδίο ίναι κάθτο στο πίπδο του πλαισίου. Το μέτρο του μαγνητικού πδίου αρχίζι να μταβάλλται ως προς το χρόνο σύμφωνα μ τη σχέση = ο e -t/τ, όπου ο και τ ίναι σταθρές. Χρησιμοποιίστ το νόμο του Faraday για να βρίτ την ΗΕΔ ξ παγωγής που αναπτύσσται στο πλαίσιο ως συνάρτηση του χρόνου. Ποια ίναι η μέγιστη τιμή της ΗΕΔ και ποια χρονική στιγμή λαμβάνι αυτή την τιμή; (Σπτέμβριος 009). Π10.4 Ττραγωνικός βρόχος πλυράς 8 cm έχι αντίσταση 0.10 Ω και βρίσκται μέσα σ μαγνητικό πδίο το οποίο ίναι κάθτο στο πίπδο του βρόχου όπως φαίνται στο σχήμα. Ο βρόχος διαρρέται από ρύμα 0.150Α. α) ρίτ την α υ b μταβολή του μαγνητικού πδίου μ τον χρόνο. β) Λαμβάνοντας υπόψη την φορά του ρύματος και μ βάση τον κανόνα του Lentz, απαντήστ αν το αυξάνται ή λαττώνται. Απάντηση:.34Τ/s. (Σπτέμβριος 01). Π10.5 Μια αγώγιμη ράβδος μ μήκος L=0.150m κινίται μέσα σ ομογνές μαγνητικό πδίο το οποίο έχι κατύθυνση κάθτη προς το πίπδο του σχήματος και μέτρο =0.500Τ. Η ράβδος κινίται μ ταχύτητα υ=6.00m/s στην κατύθυνση που δίχνι το σχήμα. α) Πόση

12 11 ίναι η τλική διαφορά δυναμικού μταξύ των άκρων α και b και ποιο άκρο της ράβδου βρίσκται σ υψηλότρο δυναμικό; Απάντηση: 0.435V (Ιούνιος 009). Π10.6 Θωρίστ ότι έχουμ τη διάταξη του σχήματος όπου =6Ω η αντίσταση του συστήματος, l=1.m το μήκος της ράβδου και =.5Τ το ομογνές μαγνητικό πδίο μέσα στο οποίο κινίται η ράβδος. Μ ποια ταχύτητα πρέπι να κινίται η ράβδος ώστ να παράγι παγόμνο ρύμα Ι=0.5 Α στην αντίσταση ; Αγνοίστ την μάζα της ράβδου και τυχόν τριβές κατά την κίνησή της. Απάντηση: 1m/s. (Σπτέμβριος 010). υ x l Π10.7 Πηνίο μ Ν=300 κυκλικές σπίρς ακτίνας r=0.3m ίναι τοποθτημένο σ χρονικά μταβαλλόμνο μαγνητικό πδίο =αt 3 +bt όπου α=0.1 T/s 3 και b=0.3t/s. Το πηνίο ίναι συνδμένο μ αντίσταση =00Ω και το πίπδό του ίναι κάθτο στο μαγνητικό πδίο. Υπολογίστ το ρύμα που διαρρέι την αντίσταση για χρόνο t=5s. Απάντηση: 4.45Α. (Φβρουάριος 008, πτυχιακή). Π10.8 Ένα μγάλου μήκους σωληνοιδές έχι n=400 σπίρς ανά μέτρο και διαρρέται από ρύμα Ι=Ι ο (1-e - at ) μ Ι ο =0Α και a=1.8s -1. Στο σωτρικό του σωληνοιδούς και ομοαξονικά μ αυτό υπάρχι ένας βρόχος ακτίνας =5cm, που έχι συνολικά Ν=300 σπίρς λπτού σύρματος. Ποια ίναι η παγόμνη ΗΕΔ στον βρόχο λόγω της μταβολής του ρύματος; Απάντηση: 0.043Ve -1.8t (Ιούλιος 007). Π10.9 Ένα ττραγωνικό πλαίσιο μβαδού S=0.1m πριστρέφται μ συχνότητα f=60hz (στροφές ανά δυτρόλπτο) και μ τον άξονα πριστροφής κάθτο σ μαγνητικό πδίο =0.Τ όπως φαίνται στο διπλανό σχήμα. Εάν το πλαίσιο αποτλίται από Ν=1000 ττραγωνικές σπίρς, α) ποια ίναι η έκφραση για την ναλλασσόμνη τάση ξ παγωγής που αναπτύσσται στο πλαίσιο και β) ποιο ίναι το πλάτος της τάσης (μέγιστη τάση); Απάντηση: α)7,536vsinωt και β) 539V. (Ιανουάριος 013). ω

13 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

14 Χρηματοδότηση Το παρόν κπαιδυτικό υλικό έχι αναπτυχθί στα πλαίσια του κπαιδυτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανπιστήμιο Ιωαννίνων» έχι χρηματοδοτήσι μόνο τη αναδιαμόρφωση του κπαιδυτικού υλικού. Το έργο υλοποιίται στο πλαίσιο του Επιχιρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδυση και Δια ίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτίται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμίο) και από θνικούς πόρους. Σημιώματα Σημίωμα Αναφοράς Copyright Πανπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής. «Γνική Φυσική (Ηλκτρομαγνητισμός). ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διύθυνση: Σημίωμα Αδιοδότησης Το παρόν υλικό διατίθται μ τους όρους της άδιας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μταγνέστρη. [1]