ALGORITMA DEUTSCH-JOZSA PADA KUANTUM KOMPUTER SISTEM NMR (Nuclear Magnetic Resonance) 4 QUBIT

Transcript

1 TUGAS AKHIR - SF ALGORITMA DEUTSCH-JOZSA PADA KUANTUM KOMPUTER SISTEM NMR (Nuclear Magnetic Resonance) 4 QUBIT Bayu Dwi Hatmoko NRP Dosen Pembimbing Agus Purwanto, D.Sc Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 017

2 TUGAS AKHIR - SF ALGORITMA DEUTSCH-JOZSA PADA KOMPUTER KUANTUM SISTEM NMR (Nuclear Magnetic Resonance) 4 QUBIT Bayu Dwi Hatmoko NRP Dosen Pembimbing Agus Purwanto, D.Sc Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 017 ii

3 FINAL PROJECT - SF DEUTSCH-JOZSA ALGORITHM IN QANTUM COMPUTER WITH NMR (Nuclear Magnetic Resonance) 4 QUBITS SYSTEM Bayu Dwi Hatmoko NRP Advisor Agus Purwanto,D.Sc Department of Physics Faculty of Mathematics and Natural Sciences Institute of Technology Sepuluh Nopember Surabaya 017 iii

4 Scanned by CamScanner

5 ALGORITMA DEUTSCH-JOZSA PADA KOMPUTER KUANTUM SISTEM NMR (Nuclear Magnetic Resonance) 4 QUBIT Nama : Bayu Dwi Hatmoko NRP : Jurusan : Fisika, FMIPA-ITS Pembimbing : Agus Purwanto, D.Sc Abstrak Gagasan tentang komputer kuantum dikenalkan oleh Yuri Marin pada tahun 1980, kemudian disusul ilmuan Paul Benioff pada tahun 1981 dan disusul lagi oleh Richard feynman pada tahun 198, komputer kuantum sendiri merupakan teknologi masa depan komputasi yang dapat menggantikan komputer saat ini. Komputer merupakan piranti yang dapat menghitung berdasarkan logika analitis yang dimiliki oleh rangkaian-rangkaian transistor logika. Menurut hukum Moore jumlah transistor pada mikroprosesor terus meningkat dua kali lipat setiap dua tahun. Berdasarkan hal itu para ahli memperkirakan akan menemukan sirkuit pada mikroprosesor yang diukur pada skala atom, dari sinilah kemudian munculah gagasan yang memanfaatkan kuantitas atom dan molekul untuk melakukan pengolahan data dan memori, yang kemudian disebut sebagai komputer kuantum. Kemudian Deutsc membuat rancangan algoritma kuantum yaitu algoritma Deutsch pada sistem dua qubit. (Deustch, 1985).Komputer kuantum saat ini masih dalam prototype 10 qubit, namun dalam Tugas akhir ini akan di bahas secara matematis untuk NMR 4 qubit. Kata kunci : Algoritma Deutsch-Jozsa, Kuantum Komputer, NMR, qubit v

6 Halaman ini sengaja dikosongkan vi

7 DEUTSCH-JOZSA ALGORITHM IN QUANTUM COMPUTER WITH NMR (Nuclear Magnetic Resonance) 4 QUBITS SYSTEM Name : Bayu Dwi Hatmoko NRP : Major : Physics, FMIPA-ITS Advisor : Agus Purwanto, D.Sc Abstrak The idea of a quantum computer introduced by Yuri Marin in 1980, scientist Paul Benioff followed in 1981 and was followed again by Richard Feynman in 198, quantum computer is the future of computing technology that can replace today's computers. The computer is a tool that can calculate based on the analytical logic used by transistor logic circuits. According to Moore's law continues the number of transistors on a microprocessor has doubled every two years. Based on that scientist predict will find circuits on a microprocessor measured on the atomic scale, from here then comes the idea of utilizing the quantity of atoms and molecules to perform memory and data processing, which is then referred to as quantum computers. Then Deutsch make an Algorithm that is Deutsch quantum algorithm which is an algorithm on a two qubit system. (Deustch, 1985). A quantum computer is still in the prototype 10 qubits, but the final project will be discussed mathematically for NMR four qubits. Keywords : Deutsch-Jozsa algorithm, NMR, Quantum Computers, qubit vii

8 Halaman ini sengaja dikosongkan viii

9 KATA PENGANTAR Alhamdulillah, beribu-ribu katapun tak akan mampu mewakili rasa syukur penulis atas selesainya laporan tugas akhir ini. Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang, penulis panjatkan puja dan puji syukur atas kehadirat-nya, yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan inayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan laporan tugas akhir yang berjudul: Algoritma Deutsch-Jozsa pada NMR (Nuclear Magnetic Resonance) 4 Qubit. Laporan tugas akhir ini penulis persembahkan kepada mayarakat Indonesia sebagai implementai kebermanfaatan bagi bangsa Indoneia dalam bidang yang penulis dalami, yaitu fisika bidang teori. Penulisan laporan tugas akhir ini telah penulis susun dengan maksimal dan mendapat bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan laporan tugas akhir ini. Untuk itu penulis menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi, baik dukungan moril, materiil dan pengertiannya dalam pembuatan laporan tugas akhir ini: 1. Kedua orang tua tercinta, Bapak Yadi Jayadi dan Ibu Imas Hidayah yang telah memberikan segala yang terbaik bagi penulis, baik doa, dukungan moril dan materiil, serta pengertian yang tak pernah putus kepada penulis.. Bapak Prof. Dr. Suminar Pratapa, Ph.D sebagai dosen wali yang selalu memberikan bimbingan dan arahan yang membangun bagi penulis selama berkuliah di ITS Surabaya. 3. Bapak Agus Purwanto, D.Sc (Pak Pur) sebagai dosen pembimbing Tugas Akhir yang telah membagi pengalaman, wawasan, dan memberikan bimbingan terbaiknya, sehingga ix

10 penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan baik, dan beliau adalah ayah saya di jurusan Fisika FMIPA ITS. 4. Bapak Dr.rer.nat Bintoro Anang Subagyo, Bapak I Nengah Artawan dan Bapak Heru Sukamto yang telah banyak memebantu dalam hal referensi. 5. Bapak Dr. Yono Hadi P, M. Eng. dan Bapak Eko Minarto selaku Ketua Jurusan dan Sekretaris Jurusan Fisika FMIPA ITS yang telah memberikan kemudahan sarana kepada penulis selama kuliah sampai terselesaikannya Tugas Akhir ini. 6. Teman-teman seperjuangan yang membantu dalam penulisan Muhammad Rizki Maulana Yusuf dan Naufal Aulia Adam 7. Teman-teman laboratorium Fisika Teori dan Filsafat Alam, Mas Yohanes, Mas Usykur, Avif dan adam yang telah banyak membantu dan memberikan dorongan kepada penulis. 8. Kepada keluarga Fisika ITS 01 (FBI 01) yang telah menjadi angkatan terbaik dan keluarga penulis selama di Fisika FMIPA ITS, sukses adalah keharusan bagi kita. 9. Adik-adik Fisika angkatan 013, 014, 015, dan 016 yang telah memberikan dukungannya kepada penulis, semoga tetap menjaga keharmonisannya di Fisika ITS. 10. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Penulis menyadari dalam penyusunan laporan Tugas Akhir ini masih terdapat kesalahan. Mohon kritik dan saran pembaca guna menyempurnakan laporan ini. Akhir kata semoga laporan Tugas Akhir ini bermanfaat bagi semua pihak, baik pihak terkait penelitian, maupun khalayak umum khususnya masyarakat Indonesia. Amiin, Aamiin Ya Rabbal Alamiin. Surabaya, Januari 017 Penulis x

11 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i COVER PAGE... ii LEMBAR PENGESAHAN... iii ABSTRAK... iv ABSTRACT... vi KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... x DAFTAR TABEL... xii DAFTAR GAMBAR... xiv BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan... BAB II TINJAUAN PUSTAKA Komputer Klasik Bilangan Biner Gerbang Klasik Komputer Kuantum Qubit Gerbang Kuantum Gerbang Qubit Tunggal Gerbang Qubit Sistem Dua Keadaan x

12 .4 NMR (Nuclear Magnetic Resonance) Presisi Larmor di dalam Medan Magnet Konstan Teknik Rabi BAB III ALGORITMA DEUTSCH DAN DEUTSCH JOSZA Register Register Qubit Tunggal Register Qubit Jamak a Register Qubit b Register 3 Qubit c Register 4 Qubit Algoritma Deutsch Algoritma Deutch Josza pada sistem Qubit Algoritma Deutsch Josza pada sistem 3 Qubit Algoritma Deutsch Josza pada sistem 4 Qubit BAB IV SISTEM N-QUBIT Sistem 1,,dan 3 qubit Sistem 4 Qubit BAB V PENERAPAN ALGORITMA DEUTSCH- JOSZA DALAM SISTEM 4 QUBIT BAB VI KESIMPULAN... 5 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN PROFIL PENULIS xi

13 DAFTAR TABEL Tabel.1 Bilangan biner... 3 Tabel. Gerbang computer klasik... 4 Tabel.3 Realisasi fisis kuantum komputer... 1 Tabel 3.1 Kemungkinan fungsi fungsi kotak hitam qubit... 3 Tabel 3. Kemungkinan fungsi fungsi kotak hitam pada sistem 3 qubit xii

14 Halaman ini sengaja dikosongkan xiii

15 DAFTAR GAMBAR Gambar.1 Gerbang Z... 6 Gambar. Gerbang Hadamard... 7 Gambar.3 Gerbang UCNOT Gambar.4 Presisi Larmor Gambar.4a Probabilitas untuk ω 0 ω 1 ω... 4 Gambar.4b Probabilitas untuk ω = ω Gambar. 4c Probabilitas untuk ω 0 ω 1 ω... 4 Gambar 3.1 Paralelisme kuantum... 6 Gambar 3. Skema algoritma Deutsch... 8 Gambar 3.3 Algoritma Deutsch-Josza qubit... 3 Gambar 3.4 Algoritma Deutsch-Josza 3 qubit Gambar 3.5 Algoritma Deutsch-Josza 4 qubit xiv

16 Halaman ini sengaja dikosongkan xv

17 1.1 Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN Gagasan tentang komputer kuantum dikenalkan oleh Yuri Marin pada tahun 1980, kemudian disusul ilmuan Paul Benioff pada tahun 1981 dan disusul lagi oleh Richard feynman pada tahun 198, komputer kuantum sendiri merupakan teknologi masa depan komputasi yang dapat menggantikan komputer saat ini. Komputer merupakan piranti yang dapat menghitung berdasarkan logika analitis yang dimiliki oleh rangkaian-rangkaian transistor logika. Menurut hukum Moore jumlah transistor pada mikroprosesor terus meningkat dua kali lipat setiap dua tahun. Berdasarkan hal itu para ahli memperkirakan akan menemukan sirkuit pada mikroprosesor yang diukur pada skala atom, dari sinilah kemudian munculah gagasan yang memenafaatkan kuantitas atom dan molekul untuk melakukan pengolahan data dan memori, yang kemudian disebut sebagai komputer kuantum. Kemudian pada tahun 1985, David Deutsch menyatakan bahwa setiap komputer secara umum dapat meniru setiap sistem, sehingga permodelan komputasi yang lebih umum sangat diharapkan untuk menggambarkan komputer umum. Akhirnya Deutsch mengambil sistem-sistem fisika yaitu permasalahan fisika kuantum untuk membuat permodelan komputer kuantum yang diharapkan mampu menyelesaikan persoalan-persoalan komputasi secara efisien dimana belum memiliki penyelesaian yang efisien di komputer klasik. Kemudian Deutsc membuat rancangan algoritma kuantum yaitu algoritma Deutsch pada sistem dua qubit. (Deustch, 1985). NMR (Nuclear Magnetic Resonance) merupakan sistem 1

18 kantum dua keadaan yang mampu menerapkan algoritma Deutsch, algorima Deutsch-Jozsa dan beberapa algoritma kuntum yang laian. NMR memiliki teori yang paling mapan dari realisasi fisis yang berkaitan dengan komputer kuantum. Qubit pada realisasi sistem ini merupakan inti yang berspin 1/. Molekul yang berisi beberapa inti disebut sebagai Quantum Register dimana sistem NMR dibuat dari jumlah molekul makroskopik dalam keadaan kesetimbangan termal. Komputer kuantum saat ini masih dalam prototype 10 qubit, namun dalam jurnal-jurnal belum menerangkan perhitungan matematis secara terperinci. Sehubungan dengan hal tersebut, maka ada peluang yang besar untuk mengkaji lebih mendalam dari perhitungan matematis yang lebih terperinci untuk sistem kuantum NMR ini. 1. Perumusan Masalah Dalam tugas akhir ini permasalahan yang akan dibahas adalah bagaimana pengaplikasian algoritma Deutsch-Josza 4 qubit secara matematis. 1.3 Batasan Masalah Pada tugas akhir ini permasalahan hanya dibatasi pada sistem fisis NMR. 1.4 Tujuan Dalam Tugas Akhir ini bertujuan untuk menganalisa grafik hasil penerapan Algoritma Deutsch-Josza pada Kuantum komputer sistem NMR 4 qubit.

19 BAB II TINTJAUAN PUSTAKA.1 Komputer Klasik.1.1 Bilangan Biner Bilangan biner adalah bilangna yang berbasis keadaan yaitu 0 dan 1, maka dengan demikian apabila dipandang sebagai bilangan desimal, bilangan biner adalah bilangan yang berbasis n, jadi untuk mengkonversikan bilangan biner ke bilangan desimal atau sebaliknya maka dapat dibuat jumlahan deret,sebagai berikut: Misalkan kita memiliki angka biner Tabel.1 Bilangan biner Basis Biner Desimal maka bilangan biner merupakan representasi bilangan desimal 38, begitu seterusnya, apabila kita meninjau alat pengukur jarak odometer yang berbasis lima digit maka kita dapatkan.1. Gerbang Klasik Komputer bekerja berdasarkan gerbang-gerbang logika yang telah disusun sedemikian rupa dalam transistor-transistor logika, berikut adalah gerbang-gerbang logika dalam komputer klasik: Tabel. Gerbang Komputer klasik 3

20 . Komputer kuantum..1 Qubit Didalam logika komputer klasik dikenal istilah ketukan, ketukan ini berkaitan dengan kemampuan hitung komputer, ketukan dalam proses perhitungan ini disebut sebagai bit, untuk saat ini komputer klasik sudah mencapai 64 bit artinya dalam satu kali hitung komputer dapat menghitung 64 masukan yang berbeda. Namun bit dalam istilah komputer kuantum disebut sebagai qubit (quantum bit) yang dinyatakan dalam basis keadaan berikut: [ ] 1 0 (1) 0 4

21 untukkeadaan spin up, sedangkanuntukkeadaan spin down dinyatakan dengan ket berikut: [ ] 0 1 () 1 dan untuk keadaan yang menyatakan solusi secara lengkap (mengkombinasikan kedua keadaan spin up dan spin down) dinyatakan sebagai berikut: ψ = α β (3) dimana koefisien alfa dan beta merupakan koefisien kompleks yang memenuhi orthonormalitas berikut: ψ ψ = α β = 1 (4) sedangkan dan merupakan vektor basis orthonormal dari keadaan ψ.. Gerbang Kuantum Dalam komputer klasik untuk meproses suatu data maka diperlukan gerbang-gerbang logika seperti gerbang AND, OR, NOT dan lain sebagaianya, begitu juga dalam komputer kuantum, komputer kuantum memiliki gerbang logika yang disebut sebagai gerbang kuantum. Gerbang kuantum ini digunakan untuk memproses data kuantum agar dapat membuat informasi yang utuh. Apabila gerbang kuantum dikenai operator uniter maka gerbang kuantum tersebut berevolusi sesuai persamaan berikut: ψ ψ = U ψ (5) 5

22 berdasarkan jumlah qubitnya gerbang kuantum dibagi menjadi yaitu gerbang qubit tunggal dan gerbang qubit, berikut adalah uraian dari masing-masing gerbang:...1 Gerbang Qubit Tunggal Ada beberapa gerbang logika dalam gerbang qubit tunggal yaitu sebagai berikut: gerbang Z, gerbang NOT dan operator Hadamard. Berikut adalah penjelasan dari masing-masing gerbang: Gerbang Z Gerbang Z bekerja dalam logika persamaan berikut: Z = Z = (6) dikarenakan psi = α β, maka Z ψ = αz βz = α ψ β (7) maka dengan demikian operator Z merupakan operator uniter yaitu sebagai berikut: [ ] Z Z Z = = 1 [ ] 1 0 (8) Z Z 0 1 6

23 Gambar.1 Gerbang Z Gerbang NOT Gerbang logika NOT memiliki simbol X, yang bekerja sesuai dengan persamaan: X = X = (9) dikarenakan ψ = α β, maka X ψ = αx βx = α β (10) maka dengan demikian operator X merupakan operator uniter yaitu sebagai berikut: [ ] [ ] X X 0 1 X = = (11) X X 1 0 Operator Hadamard Operator Hadamard memiliki simbol H yang bekerja sesuai dengan persamaan berikut: Gambar. Gerbang hadamard 7

24 H = 1 ( ) H = 1 ( ) (1) dikarenakan ψ = α β, maka H ψ = αh βh = α[ 1 ( )] β[ 1 ( )] = 1 [α β] 1 β[α β] (13) maka dengan demikan operator H merupakan operator uniter yaitu sebagai berikut: [ ] H H X = = 1 [ ] 0 1 (14) H XH Gerbang Qubit Ada beberapa operator yang bekerja pada sistem kuantum qubit salah satunya adalah SWAP (exchange) dan operator CNOT. Berikut adalah penjelasan dari masing-masing gerbang: Operator SWAP Operator SWAP berfungsi untuk menukarkan keadaan qubit ke-0 dengan keadaan qubit ke-1 dengan memenuhi persamaan berikut: S xy = yx (15) 8

25 maka didapatkan keadaan lengkapnya sebagai berikut: S 00 = 00 S 01 = 01 S 10 = 10 S 11 = 11 (16) yang memiliki operator uniter berikut 00 S S S S 11 S = 01 S S S S S S S S S S S S = (17) Operator CNOT (Controlled NOT) Berikut adalah diagram operator CNOT: Gambar.3 Gerbang UCNOT 9

26 Operator CNOT disimbolkan dengna huruf C, yang bekerja sesuai dengan persamaan berikut: C 10 xy = xy x (18) C = 00 C = 01 C = 10 C = 11 C 01 xy = xy x (19) C = 00 C = 11 C = 10 C = 01 sehingga didapatkan operator uniternya sebagain berikut: 00 C C C C C 10 = 01 C C C C C C C C C C C C = (0) C C C C C 01 = 01 C C C C C C C C C C C C

27 = (1) Sitem Dua Keadaan Komputer klasik menggunakan komponen terpadu (IC) yang terdiri dari ribuan transistor yang berfungsi sebagai saklar logika dengan dua keadaan, yaitu saklar terbuka atau saklar tertutup, maka dengan demikian komputer klasik memang sudah dirancang untuk bekerja dalam prinsip dua keadaan. Didalam memori komputer terdapat magnetik yang berisi ribuan register yang bekerja atas dasar dua keadaan yaitu fluks magnetik yang searah dengan jarum jam memiliki register (0) dan yang berlawanan dengan arah jarum jam memiliki register (1), sedangkan saklar elektronik yang bekerja dalam komputer juga berdasarkan dua keadaan yaitu saklar terbuka (0) dan saklar tertutup (1). Setiap sistem kuantum dua keadaan disebut sebagai qubit. Berikut adalah penerapan fisis dari qubit yang telah berhasil : 11

28 Tabel.3 Realiasi Fisis Kuantum Komputer No Sistem Fisis Sistem dua keadaan keadaan NMR spin inti atom up down trapped ion, atom netral dalam potensial optik, rongga QED dengan atom-atom keadaan ion atau atom Keadaan dasar Keadaan terkesitasi 3 elektron spin elektron up down Banyak elektron Tidak ada elektron ada elektron Tunggal 4 keadaan koheren cahaya squeezed light amplitude phase squeezed squeezed light light 5 kisi optik spin atom up down 6 josephson junction Qubit bermuatan superkonduktoatan Tidak bermu- bermuatan Qubit fluks superkonduktor Arus searah Arus berlawanan jarum jam arah jarum jam Qubit fase superkonduktor Keadaan dasar Keadaan eksitasi pertama 7 Pasangan kuantum Lokalisasi elektron Elektron disebelah Elektron disebe- dot bermuatan tunggal kiri dot lah kanan dot 8 quantum dot dot spin down up 9 foton Pengkodean polarisasi horizontal vertikal Jumlah foton vakum Keadaan tunggal time-bin encoding Lebih cepat Lebih lambat 1

29 .4 NMR (Nuclear Magnetic Resonance).4.1 Presesi Larmor di dalam Medan Magnet Konstan Apabila ada momen magnetik yang ditempatkan dalam ruang dimana terdapat medan magnet luar yang konstan yang telah ditentukan sebagai arahsumbu-z, susuai dengan gambar.1 yaitu sebagai berikut: Gambar.4 Presesi Larmor maka momen magnetik tersebut akan mengalami interaksi dengan medan magnet luar sehingga mengalami presesi larmor. Dimana besarnya medan magnet luar sebesar: B = B 0ˆk () Energi interaksi momen magnetik dengan medan luar dinyatakan oleh hamiltonian sebagai berikut: H = µ B = (µ 0 σ z k) = µ0 σ 0 B 0 (3) dimana σ z merupakan matriks Pauli. Berikut adalah matriks Pauli: [ ] 0 1 σ x = (4)

30 apabila ditentukan bahwa µ 0 B 0 = ω 0 maka hamiltoniannya dapat dinyatakan sebagai barikut: (5) H = ω 0 σ z (6) kemudian apabila hamiltonian bekerja pada vektor keadaan ± H ± = ω 0 σ z ± = ± ω 0 ± (7) maka didapatkan bahwa medan luar yang konstan menyebabkan adanya dua tingkat energi pada sistem dengan kondisi awal dari vektor keadaan dinyatakan sebagai berikut: ψ(0) = α β (8) dengan α dan β merupakan koefisien kompleks yang memenuhi kaidah α β = 1 yang berevolusi terhadap waktu menjadi : ψ(t) = αe iω 0 t βe iω 0 t (9) maka didapatkan nilai ekspektasi momen magnetik sebagai berikut: µ = µ 0 ψ(t) (σ x î σ y ĵ σ zˆk) ψ(t) (30) dimana σ = σ x î σ y ĵ σ zˆk, maka didapatkan µ = µ 0 ψ(t) σ x î σ y ĵ σ zˆk ψ(t) (31) maka nilai ekspektasi momen magnetik setiap sumbu adalah sebagai berikut: µ 0 = µ 0 ψ(t) σ x ψ(t) = µ 0 ( α e iω 0 t β e iω 0 t )σx (α e iω 0 t β e iω 0 t ) 14

31 mengingat bahwa σ x ± =, maka didapatkan bahwa = µ 0 ( α e iω 0 t β e iω 0 t )(α e iω 0 t β e iω 0 t ) = µ 0 (α α α βe iω 0t β αe iω 0t β β ) = µ 0 (α βe iω 0t β αe iω 0t kemudian kita misalkan bahwa α = r 0 eiθ 0, β = r 1 eiθ 1, ψ = θ 1 = θ, maka didapatkan µ x = µ 0 r 0 r 1 cos(ω 0 t ψ) (3) kemudian komponen ekspektasi nilai momen magnetik terhadap sumbu-y adalah sebagai berikut: µ y = µ 0 ψ(t) σ y ψ(t) = µ 0 ( α e iω 0 t β e iω 0 t )σ y (α e iω 0 t β e iω 0 t ) mengingat bahwa σ y ± = ±i, maka didapatkan bahwa = iµ 0 ( α e iω 0 t β e iω 0 t )(α e iω 0 t β e iω 0 t ) = iµ 0 (α α α βe iω 0t β αe iω 0t β β ) = iµ 0 ( α βe iω 0t β αe iω 0t kemudian kita misalkan bahwa α = r 0 e iθ 0, β = r 1 e iθ 1, ψ = θ 1 = θ, maka didapatkan µ x = µ 0 r 0 r 1 sin(ω 0 t ψ) (33) kemudian komponen ekspektasi nilai momen magnetik terhadap sumbu-z adalah sebagai berikut: µ z = µ 0 ψ(t) σ z ψ(t) 15

32 = µ 0 ( α e iω 0 t β e iω 0 t )σ z (α e iω 0 t β e iω 0 t ) mengingat bahwa σ z ± = ± ±, maka didapatkan bahwa = µ 0 ( α e iω 0 t β e iω 0 t )(α e iω 0 t β e iω 0 t ) = µ 0 (α α β β ) = µ 0 ( α β ) maka didapatkan.4. Teknik Rabi µ z = µ 0 ( α β ) (34) Apabila sistem momen magnetik dipengaruhi oleh medan magnet bergantung waktu yang tegak lurus dengan medan magnet statis, katakanlah medan magnet yang bergantung waktu adalah sebidang dengan bidang-xy, yang besarnya : B 1 = B 1 cos ωt î B 1 sin ωt ĵ (35) maka besar medan magnet total adalah sebagai berikut: B 1 = B 1 cos ωt î B 1 sin ωt ĵ B 0ˆk (36) dengan demikian hamiltonian interaksinya adalah sebagai berikut: H = µ B H = µ 0 (σ x î σ y ĵ σ zˆk) (B1 cos ωt î B 1 sin ωt ĵ B 0ˆk) maka didapatkan: H = µ 0 B 1 cos ωt σ x B 1 µ 0 sin ωt σ y µ 0 B 0 σ z (37) 16

33 dalam keadaan sembarang setiap keadaan diberikan oleh bentuk umum ψ(t) = α(t) β(t) (38) persamaan schrodinger untuk keadaan tersebut adalah i d ψ(t) = H ψ(t) (39) dt maka dapat kita selesaikan terlebih dahulu secara terpisah yaitu ruas kiri diselesaikan dulu kemudian ruas kanan kita selesaikan, berikut adalah penyelesaian ruas kiri: i d dt ψ(t) = i α(t) i β(t) (40) dan berikut dalah penyelesaian ruas kanannya H ψ(t) = ( µ 0 B 1 cos ωt σ x B 1 µ 0 sin ωt σ y µ 0 B 0 σ z )(α(t) β(t) ) = µ 0 B 1 cos ωt σ x (α(t) β(t) ) B 1 µ 0 sin ωt σ y (α(t) β(t) ) µ 0 B 0 σ z (α(t) β(t) ) = µ 0 B 1 cos ωt (α(t) β(t) ) ib 1 µ 0 sin ωt (α(t) β(t) ) µ 0 B 0 (α(t) β(t) ) = ( µ 0 B 1 cos ωt α(t) ib 1 µ 0 sin ωt α(t) µ 0 B 0 ) ( µ 0 B 1 cos ωt β(t) ib 1 µ 0 sin ωt β(t) µ 0 B 0 ) = µ 0 (B 1 α(t)e iωt B 0 ) µ 0 (B 1 (t)e iωt B 0 ) (41) maka ketika kita samakan antara persamaan.19 (ruas kiri) dengan.0 (ruas kanan) maka didapatkan bahwa koefisien masing-masing keadaan. 17

34 untuk keadaan i α(t) = µ 0 (B 1 β(t)e iωt µ 0 B 0 α(t)) i α(t) = µ 0B 1 β(t)e iωt µ 0B 0 α(t) kita ingat kembali persamaan.4, maka kita dapatkan bahwa untuk keadaan i α(t) = ω 1 β(t)e iωt ω 0 α(t) (4) i β(t) = µ 0 (β 1 α(t)e ωt µ 0 B 0 β(t)) i β(t) = µ 0B 1 α(t)e iωt µ 0B 0 β(t) kita ingat kembali persamaan.4, maka kita dapatkan bahwa iβ(t) = ω 1 α(t)e iωt ω 0 β(t) (43) untuk mempermudah perhitungan maka dilakukan perubahan koefisien kompleks yaitu sebagai berikut: α(t) = α(t)e iωt iωt β(t) = β(t)e maka apabila kita turunkan koefisien tersebut satu kali terhadap waktu diperoleh α(t) = α(t)e iωt iω iωt α(t)e β(t) = iωt β(t)e iω iωt β(t)e (44) 18

35 kemudian kita subtitusikan persamaan.1 dan. ke persamaan.3, maka didapatkan hasil sebagai berikut: α(t) = ω 1 i β(t) ω 0 ω α(t) i β(t) = ω 1 i α(t) ω 0 ω β(t) (45) i maka kita dapatkan hamiltonian dalam bentuk matriks yaitu sebagai berikut: H ψ(t) = i d dt ψ(t) [ ] α(t) = i β(t) [ ω1 = i β(t) ] ω 0 ω α(t) i i ω 1 α(t) ω 0 ω β(t) i i = i [ ] [ ] ω0 ω ω 1 α(t) i ω 1 (ω 0 ω) β(t) sehingga diperoleh bentuk hamiltonian sebagai berikut: H = [ ] ω0 ω ω 1 ω 1 (ω 0 ω) = [ ] ω0 ω 0 [ ] 0 ω1 0 (ω 0 ω) ω 1 0 sehingga diperoleh H = (ω 0 ω) σ z ω 1σ x (46) kemudian kita turunkan koefisien kompleks α dan β satu kali lagi terhadap waktu maka kita dapatkan α(t) = ω 1 i β(t) ω 0 ω α(t) i 19

36 β(t) = ω 1 i α(t) ω 0 ω β(t) (47) i kemudian apabila kita subtitusikan persamaan.4 ke persamaan.6 maka kita dapatkan α(t) = 1 4 [(ω 0 ω) ω 1]α(t) β(t) = 1 4 [(ω 0 ω) ω 1]β(t) (48) kita definisikan bahwa ω = [(ω 0 ω) ω 1], maka diperoleh α(t) ( ω ) α(t) = 0 β(t) ( ω ) β(t) = 0 (49) sebagaimana kita tahu bahwa solusi dari persamaan.8 merupakan kombinasi sin dan cos, yaitu sebagai berikut: α(t) = A 1 sin ωt A sin ωt β(t) = A 3 sin ωt A 4 sin ωt (50) dimana A 1, A, A 3, A 4 merupakan konstanta, misalkan dalam keadaan spin up memiliki kondisi sebagai berikut: maka kita dapatkan α(0) = 1 dan β(0) = 0 α(0) = A 1 sin 0.t A cos 0.t 1 = A 1 sin 0 A cos 0 1 = A 0

37 dan β(0) = A 3 sin 0.t A 4 cos 0.t 1 = A 3 sin 0 A 4 cos 0 1 = A 4 sehingga persamaan.9 menjadi berikut α(t) = A 1 sin ωt cos ωt β(t) = A 3 sin ωt (51) untuk mendapatkan A 1 dan A 3 maka dipakai syarat orthonormalitas yaitu sebagai berikut: 1 = ψ(t) ψ(t) 1 = ( α (t)e i ω 0 t β (t)e i ω 0 t )(α(t)e i ω 0 t β(t)e i ω 0 t ) 1 = α (t)α(t) β (t)β(t) 1 = (A 1 sin ωt 1 = ( A 1 A 3 )sin Ωt ωt cos )(A 1 sin Ωt Ωt cos ) A 3 A 3 sin Ωt Ωt cos (A 1 A 1 ) sin Ωt Ωt cos maka dapat kita selesaikan terlebih dahulu yang bagian tidak konstan harus dibuat nol, yaitu sebagai berikut: sehingga (A 1 A 1 ) sin Ωt cos Ωt = 0A 1 A 1 = 0 A 1 = A 1 1

38 hal ini dapat terpenuhi jika A 1 merupakan perkalian bilangan imajiner dengan bagian imajiner suatu bilangan kompleks yang bagian rielnya berinilai nol (imaginer murni). A 1 = ia 5 (5) Kemudian yang bagian konstan dapat kita selesaikan, yaitu sebagai berikut 1 = ( A 1 A 3 )sin Ωt Ωt cos maka kita dapat menggunakan kaidah sin θcos = 1, maka dengan nilai dari A 1 A 3 = 1 (53) persamaan.3 dapat dinyatakan dalam bentuk ( ω ω 0 ( ω 1 Ω ) dan dipenuhi oleh A 1 dan A 3 yaitu A 1 = i ω ω 0 Ω Ω ) A 3 = i ω 1 (54) Ω berdasarkan persamaan.31 dengan.3 maka didapatkan keadaan awal spin adalah sebagai berikut: α(t) = i ω ω 0 Ω Ωt Ωt sin cos t Ωt sin β(t) = i ω 1 (55) Ω maka dengan demikian diperoleh set lengkap keadaan adalah sebagai berikut: ψ = i ω ω 0 Ω i ω 1 Ω Ωt Ωt sin cos t 0 sin Ωt 1 (56)

39 apabila kita ingin mengukur spin dari keadaan negatif 1 maka 1 ψ = i ω 1 Ω sin Ωt (57) dan apabila dihitung probabilitas spin flip dari keadaan up ke keadaan down maka diperoleh : P = 1 ψ ( ω1 ) = sin Ωt Ω (58) berdasarkan pers. (58) maka dapat diambil suatu keadaan khusus yaitu sebagai berikut: 1. apabila ω 0 ω 1 >> ω maka didapatkan spin flip dari keadaan up ke keadaan down memiliki probabilitas yang kecil, artinya sebagian besar masih tetap pada keadaan semula. (gambar a). apabila ω = ω 0 maka pada waktu tertentu nilai probabilitas spin flip dari keadaan up ke keadaan down dapat bernilai 1, berikut adalah fungsi waktu untuk spin flip keadaan up ke keadaan down t n = (n 1)π ω 1 (59) dengan n=0,1,,.. (gambar b) 3. apabila ω o ω 1 ω maka spin flip dari keadaan up ke keadaan down memiliki probabilitas kurang dari 0.5 (gamabr c) berikut adalah grafik probabilitas spin flip dari keadaan up ke keadaan down dari kondisi-kondisi diatas: 3

40 Gambar.4a Probabilitas untuk ω 0 ω 1 >> ω Gambar.4b Probabilitas untuk ω = ω 0 Gambar.4c Probabilitas untuk ω o ω 1 ω 4

41 BAB III ALGORITMA DEUTSCH DAN DUETSCH JOSZA sebelum membahas tentang algoritma Deutsch dan Algoritma Deutsch-Josza diperlukan untuk membahas terlebih dahulu tentang register, yaitu sebagai berikut: 3.1 Register Register Qubit Tunggal Pada algortima Deutsch register yang diperlukan adalah register qubit tunggal dikarenakan Algortima Deutsch berfungsi untuk memetakan input qubit tunggal ke output qubit tunggal. Maka registernya adalah sebagai berikut: 0 dan 1 sedangkan set lengkap dari keadaan adalah sebagai berikut: 3.1. Register Qubit Jamak ψ = a 0 b 1 (60) Sebelum membahas tentang register pada qubit jamak maka diperlukan terlbeih dahulu pemahaman tentang keadaan terbelit dan paralelisme kuantum. Keadaan terbelit dan Paralelisme Kuantum Keadaan Terbelit keadaan terbelit kuantum adalah fungsi keadaan yang tidak dapat di pisah menjadi perkalian direct product: ψ ψ 1 ψ (61) contoh ψ = 1 [ ] (6) 5

42 Paralelisme Kuantum Diberikan suatu fungsi f(x) yang membangun suatu sirkuit kuantum U f c N yang bekerja sesuai dengan persamaan berikut: xy xy f(x) (63) berikut adalah beberapa contoh keadaan paralelisme kuantum: Gambar 3.1 Paralelisme Kuantum berdasarkan gambar diagram diatas maka dapat diketahui bahwa sirkuit memiliki masukan x dan y dan memiliki keluaran xy f(x) (gambar a), untuk (gambar b) masukan y = 0 maka sirkuit akan meiliki keluaran xf(x) sedangkan pada (gambar c) sirkuit memiliki kedua masukan 0 namun salah satunya melewati gerbang hadamar sehingga keluaran sirkuit adalah 1 ( 0f(0) 1f(1) ) 6

43 3.1.a Register Qubit dalam register qubit masukan merupakan superposisi keadaan yaitu berupa direct product: 1 00 = 0 0 = 0 0 (64) 0 sedangakn dalam qubit berikut adalah kemungkinan keadaan yang terjadi 00, 01, 10, 11, secara lengkap dapat dituliskan dalam bentuk ψ = a 0 00 a 1 01 a 3 10 a 4 11 (65) 3.1.b Register 3 Qubit Register 3 qubit masukan keadaan berupa 000, 0001,..., 111 maka secara lengkap set keadaan dapat dituliskan sebagai berikut: ψ = a a a 010 a a a a a c Register 4 Qubit (66) Register 4 qubit juga terdiri dari 4 direct produc t dari keadaan yaitu sebagai berikut 0000, 0001,..., 1111 dengan demikian set lengkap dari fungsi keadaan untuk 4 qubit dapat ditulis sebagai berikut: ψ = a a a 0010 a a a a a a a a a a a a a (67) 7

44 3. Alogaritma Deutsch Algoritma Deutsch merupakan algoritma kuantum yang pertama yang mana algoritma ini jauh lebih efisien daripada algoritma pada perhitungan klasik, Untuk memudahkan pemahaman maka kita misalakan f : (0, 1) (0, 1) adalah fungsi biner maka fungsi tersebut hanya memiliki 4 kemungkinan yaitu : f 1 : 0 0, 1 0 f : 0 1, 1 1 (68) f 3 : 0 0, 1 1 f 4 : 0 0, 1 0 fungsi f 1 dan f merupakan fungsi tetapan sedangkan f 3 dan f 4 merupakan fungsi setimbang. maka perlu dilakukan dua evaluasi untuk mengetahui bahwa fungsi f merupakan fungsi klasik atau fungsi setimbang. Gambar 3. Skema Algoritma Deutsch Algoritma kuantum yang paling sederhana untuk mengevaluasi fungsi f adalah algoritma Deutsch, sehingga dapat menentukan fungsi f merupakan tetapan atau setimbang, Evaluasi dapat dimulai dengan memasukkan qubit 01 Katakanlah ψ in = 01 merupakan keadaan masukan yang dikenai dengan operator Hadamard menghasilkan keadaan yang lain 8

45 katakanlah ψ 1 Maka Nilainya adalah ψ 1 = H H 01 = H 0 H 1 = 1 ( 0 1 ) 1 ( 0 1 ) = 1 ( ) (69) kemudian kita dapat menerapkan operasi f pada keadaan ψ 1 dalam suku operator uniter U f maka operasi mendapatkan hasil ψ = U f ψ 1 U f xy = xy f(x) (70) = 1 U f( ) ψ = 1 ( 0 f(0) 0 f(0) 1 1 f(1) 1 f(1) ) (71) dimana f(x) bukan merupakan f(x) 9

46 selanjutnya kita terapkan gerbang hadamard pada qubit perrtama dan gerbang identitas pada qubit kedua ψ 3 = H I ψ = 1 H I( 0 f(0) 0 f(1) 1 f(1) 1 f(1) = 1 (H 0 I f(0) H 0 I f(0) ) 1 (H 1 I f(1) H 1 I f(1) ) = 1 [( 0 1 ) f(0) ( 0 1 ) f(0) ] 1 [( 0 1 ) f(1) ( 0 1 ) f(1) ] (7) = [( 0 1 ) ( f(0) f(0) )] 4 1 [( 0 1 ) ( f(1) f(1) )] ψ 3 merupakan output yang dapat mengetahui fungsi f itu konstan atau setimbang. misalkan f(0) = f(1) maka f konstan, sehingga: ψ 3 = [( 0 1 ) ( f(0) f(0) )] 4 [( 0 1 ) ( f(1) f(1) )] 4 = ( ) ( f(0) f(0) ) 4 = 0 ( f(0) f(0) ) 4 = 1 0 ( f(0) f(0) ) (73) 30

47 sedangkan untuk f merupakan fungsi setimbang dimana f(0) = f(1) dapat diuraikan sebagai berikut: ψ 3 = [( 0 1 ) ( f(0) f(0) )] 4 [( 0 1 ) ( f(1) f(1) )] 4 = ( 0 1 ( 0 1 )) ( f(0) f(0) ) (74) 4 = 1 ( f(0) f(0) ) 4 = 1 ( f(0) f(0) ) berikut adalah rincian luaran untuk setiap f: untuk f 1 (0) = 0 ψ out = 1 0 ( 0 1 ) = 1 (75) ( ) untuk f (0) = 1 ψ out = 1 1 ( 0 0 ) = 1 ( ) (76) maka didapatkan bahwa f = f 1 kemudian untuk fungsi yang setimbang didapatkan rincian sebagai berikut: untuk f 3 (0) = 0 ψ out = 1 1 ( 0 1 ) = 1 ( ) (77) 31

48 untuk f 4 (0) = 1 ψ out = 1 1 ( 1 0 ) = 1 ( ) (78) maka didapatkan bahwa f 4 = f Algoritma Deutsch Josza pada sistem qubit algoritma Deutsch-josza merupakan perluasan daripada algoritma Deutsch, yaitu dengan masukan n-qubit untuk memetakanpada qubit tungal. misalkan kita memiliki suatiu kotak hitam untuk qubit maka kita mendapat masukan: ψ = x 1 x 0 = dari masukan tersebut dapat dibuta tabel kemungkinan untuk fungsi-fungsi konstan dan setimbang yakni sebagai berikut: fungsi f k f k f s f s f s f s f s f s berikut adalah diagram algoritma Deutsch-Josza qubit : 3

49 Gambar 3.3 Algoritma Deutsch-Josza qubit kemudian kemungkinan-kemungkinan fungsi konstan dan setimbang diatas di evaluasi sebagai berikut: maka kita definisikan terlebih dahulu untuk masukan, dengan syarat bahwa dalam algoritma Deutsc-jozsa diberikan qubit tambahan dengan keadaan 1 maka dengan demikian didapatkan : ψ in = = 001 (79) kemudian diaplikasikan transformasi walsh-hadamard didapatkan: ψ 1 = H H H ψ in = H 0 H 0 H 1 = 1 3 = ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) [ ] [ ] (80) 33

50 kemudian diterapakan u f pada ψ 1 daan didapatkan: ψ = U f ψ 1 = = = = [U 000 U 001 U 010 U 011 ] [U 100 U 101 U 110 U 111 ] ( 000 f(00) 001 f(00) ) ( 010 f(01) 011 f(01) ) ( 100 f(10) 101 f(10) ) ( 110 f(11) 111 f(11) ) 00 ( 0 f(00) 1 f(00) ) 01 ( 0 f(01) 1 f(01) ) 10 ( 0 f(10) 1 f(10) ) 11 ( 0 f(11) 1 f(11) ) 00 ( f(00) f(00) ) 01 ( f(01) f(01) ) 10 ( f(10) f(10) ) 11 ( f(11) f(11) ) (81) 34

51 kemudian diterapkan kembali transformasi walsh hadamard maka diperoleh: ψ 3 = (H H I) ψ = 1 H 0 H 0 I ( f(00) f(00) ) 3 1 H 0 H 1 I ( f(01) f(01) ) 3 1 H 1 H 0 I ( f(10) f(10) ) = = H 1 I ( f(11) f(11) ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( f(00) f(00) ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( f(01) f(01) ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( f(10) f(10) ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( f(11) f(11) ) ( ) ( f(00) f(00) ) ( ) ( f(01) f(01) ) ( ) ( f(10) f(10) ) ( ) ( f(11) f(11) ) 35

52 = ( 00 [ f(00) f(00) f(01) f(01) ]) ( 00 [ f(10) f(10) f(11) f(11) ]) ( 01 [ f(00) f(00) f(01) f(01) ]) ( 01 [ f(10) f(10) f(11) f(11) ]) ( 10 [ f(00) f(00) f(01) f(01) ]) ( 10 [ f(10) f(10) f(11) f(11) ]) ( 11 [ f(00) f(00) f(01) f(01) ]) ( 10 [ f(10) f(10) f(11) f(11) ]) (8) kemudian dievaluasi untuk setiap fungsi konstan dan setimbangnya. untuk fungsi setimbang maka kita dapat mengambil bahwa f(00) = f(01) = f(10) = f(11) maka dengan demikian didapatkan persamaan ψ 3 untuk fungsi setimbang sebagai 36

53 berikut: ψ 3 = ( 00 [ f(00) f(00) f(00) f(00) ]) ( 00 [ f(00) f(00) f(00) f(00) ]) ( 01 [ f(00) f(00) f(00) f(00) ]) ( 01 [ f(00) f(00) f(00) f(00) ]) ( 10 [ f(00) f(00) f(00) f(00) ]) ( 10 [ f(00) f(00) f(00) f(00) ]) ( 11 [ f(00) f(00) f(00) f(00) ]) ( 11 [ f(00) f(00) f(00) f(00) ]) = 1 4 ( 00 [ f(00) f(00) ] ) 5 = 1 ( 00 [ f(00) f(00) ]) untuk fungsi konstan f 1 (00) = 0, kita dapatkan (83) ψ 3 = 1 00 [ 0 1 ] = 1 [ ] (84) 37

54 sedangkan untuk fungsi setimbang f (00) = 1 maka didapatkan: ψ 3 = 1 00 [ 1 0 ] = 1 [ ] (85) maka dengan demikian didapatkan bahwa ψ out = ψ out1. untuk fungsi setimbang, diambil contoh evaluasi untuk f 8 danf 11, yaitu sebagai berikut: untuk f 8 diketahui dari tabel bahwa f 8 (00 = f 8 (10) = 1 dan f 8 (01) = f 8 (11), maka dengan demikian didapatkan: ψ 3 = ( 00 [ ]) ( 01 [ ]) ( 10 [ ]) ( 11 [ ]) = ( 1 0 ) 5 = 1 ( ) sedangkan untuk fugnsi setimbang f 11 diketahui bahwa f 11 (00) = f 11 (10) = 0 dan f 11 (01) = f 11 (11) = 1, sehingga didapatkan (86) 38

55 sebagai berikut: ψ 3 = ( 00 [ ]) ( 01 [ ]) ( 10 [ ]) (87) ( 11 [ ]) = ( 0 1 ) 5 = 1 ( ) maka dengan demikian diperoleh bahwa ψ out11 = ψ out8. untuk selanjutnya juga dilakukan evaluasi terhadap fungsifungsi setimbang yang lain dan di dapatkan bahwa ψ out = { [ ] 0 1 [ ] 0 1 [ ] 0 1 [ ] 0 1 [ ] 0 1 [ ] 0 1 [ ] 0 1 [ ] 0 1 untukf k0 untukf k1 untukf s1 untukf s untukf s3 untukf s4 untukf s5 untukf s6 konstan0 konstan1 setimbang setimbang setimbang setimbang setimbang setimbang (88) 39

56 3.4 Algoritma Deutsch-Jozsa pada sistem 3 qubit inti daripada algoritma Deutsch-jozsa adalah memetakan qubit banyak ke qubit tunggal. Dalama sisttem 3 qubit kotak hitam memiliki masukan keadaan: ψ = x x 1 x 0 = (89) berdasarkan masukan tersebut maka dapat dibuat tabel kemungkinankemungkinan fungsi konstan dan setimbang dalam sistem 3 qubit yaitu sebagai berikut: Tabel 3. Kemungkinan Fungsi-Fungsi Kotak Hitam Pada sistem 3 qubit x x 1 x 0 f k0 f k0 f k1 f s f s3 f s4 f s5 f s6 f s7 f s8 f s berikut adalah diagram algoritma Deutsch-Josza 3 qubit : Gambar 3.4 Algoritma Deutsch-Josza 3 qubit 40

57 misalkan qubit masukan memiliki keadaan ψ in = = 0001 (90) dari qubit masukan tersebut diaplikasikan transformasi Walsh- Hadamard dan didapatkan : ψ 1 = (H H H H) ψ in = H 0 H 0 H 0 H 1 = 1 [( 0 1 ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( 0 1 )] 4 = 1 [ ] 4 1 [ ] 4 (91) 1 [ ] 4 1 [ ] 4 pada ψ 1 sehingga di- kemudian diaplikasikan operator u f dapatkan: ψ = 1 [U 0000 U 0001 U 0010 U 0011 ] 4 1 [U 0100 U 0101 U 0110 U 0111 ] 4 1 [U 1000 U 1001 U 1010 U 1011 ] 4 1 [U 1100 U 1101 U 1110 U 1111 ] 4 41

58 = 1 [ 0000 f(000) 0001 f(000) ] 4 1 [ 0010 f(001) 0011 f(001) ] 4 1 [ 0100 f(010) 0101 f(101) ] 4 1 [ 0110 f(011) 0111 f(011) ] 4 1 [ 1000 f(100) 1001 f(100) ] 4 1 [ 1010 f(101) 1011 f(101) ] 4 1 [ 1100 f(110) 1101 f(110) ] 4 1 [ 1110 f(111) 1111 f(111) ] 4 = 1 [ 000 ( 0 f(000) 1 f(000) )] 4 1 [ 001 ( 0 f(001) 1 f(001) )] 4 1 [ 010 ( 0 f(010) 1 f(010) )] 4 1 [ 011 ( 0 f(011) 1 f(011) )] 4 1 [ 100 ( 0 f(100) 1 f(100) )] 4 1 [ 101 ( 0 f(101) 1 f(101) )] 4 1 [ 110 ( 0 f(110) 1 f(110) )] 4 1 [ 111 ( 0 f(111) 1 f(111) )] 4 4

59 = 1 [ 000 ( f(000) f(000) )] 4 1 [ 001 ( f(001) f(001) )] 4 1 [ 010 ( f(010) f(010) )] 4 1 [ 011 ( f(011) f(011) )] 4 1 [ 100 ( f(100) f(100) )] 4 (9) 1 [ 101 ( f(101) f(101) )] 4 1 [ 110 ( f(110) f(110) )] 4 1 [ 111 ( f(111) f(111) )] 4 43

60 kemudian diaplikasin transformasi walsh-hadamard lagi sehingga didapatkan ψ 3, yaitu sebagai berikut: ψ 3 = (H H H I) ψ = 1 [H 0 H 0 H 0 I ( f(000) f(000) )] 4 1 [H 0 H 0 H 1 I ( f(001) f(001) )] 4 1 [H 0 H 1 H 0 I ( f(010) f(010) )] 4 1 [H 0 H 1 H 1 I ( f(011) f(011) )] 4 1 [H 1 H 0 H 0 I ( f(100) f(100) )] 4 1 [H 1 H 0 H 1 I ( f(101) f(101) )] 4 1 [H 1 H 1 H 0 I ( f(110) f(110) )] 4 1 [H 1 H 1 H 1 I ( f(111) f(111) )] 4 44

61 = [( 0 1 ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( f(000) f(000) )] [( 0 1 ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( f(001) f(001) )] [( 0 1 ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( f(010) f(010) )] [( 0 1 ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( f(011) f(011) )] [( 0 1 ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( f(100) f(100) )] [( 0 1 ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( f(101) f(101) )] [( 0 1 ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( f(110) f(110) )] [( 0 1 ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( f(111) f(111) )] 45

62 46 = [( ) ( f(000) f(000) )] [( ) ( f(001) f(001) )] [( ) ( f(010) f(010) )] [( ) ( f(011) f(011) )] [( ) ( f(100) f(100) )] [( ) ( f(101) f(101) )] [( ) ( f(110) f(110) )] [( ) ( f(111) f(111) )]

63 = [ 000 ( f(000) f(000) f(001) f(001) )] [ 000 ( f(010) f(010) f(011) f(011) )] [ 000 ( f(100) f(100) f(101) f(101) )] [ 000 ( f(110) f(110) f(111) f(111) )] [ 001 ( f(000) f(000) f(001) f(001) )] [ 001 ( f(010) f(010) f(011) f(011) )] [ 001 ( f(100) f(100) f(101) f(101) )] [ 001 ( f(110) f(110) f(111) f(111) )] [ 010 ( f(000) f(000) f(001) f(001) )] [ 010 ( f(010) f(010) f(011) f(011) )] [ 010 ( f(100) f(100) f(101) f(101) )] [ 010 ( f(110) f(110) f(111) f(111) )] [ 011 ( f(000) f(000) f(001) f(001) )] 47

64 [ 011 ( f(010) f(010) f(011) f(011) )] [ 011 ( f(100) f(100) f(101) f(101) )] [ 011 ( f(110) f(110) f(111) f(111) )] [ 100 ( f(000) f(000) f(001) f(001) )] [ 100 ( f(010) f(010) f(011) f(011) )] [ 100 ( f(100) f(100) f(101) f(101) )] [ 100 ( f(110) f(110) f(111) f(111) )] [ 101 ( f(000) f(000) f(001) f(001) )] [ 101 ( f(010) f(010) f(011) f(011) )] [ 101 ( f(100) f(100) f(101) f(101) )] [ 101 ( f(110) f(110) f(111) f(111) )] [ 110 ( f(000) f(000) f(001) f(001) )] [ 110 ( f(010) f(010) f(011) f(011) )] [ 110 ( f(100) f(100) f(101) f(101) )] [ 110 ( f(110) f(110) f(111) f(111) )] 48

65 [ 111 ( f(000) f(000) f(001) f(001) )] [ 111 ( f(010) f(010) f(011) f(011) )] [ 111 ( f(100) f(100) f(101) f(101) )] [ 111 ( f(110) f(110) f(111) f(111) )] apabila f merupakan fungsi konstsan maka f(000) = f(001) = f(010) = f(011) = f(100) = f(101) = f(110) = f(111) sehingga didapatkan: ψ out = 1 7 [ ( f(000) f(000) ) = [ f(000) f(000) ] 7 = [ f(000) f(000) ] apabila f merupakan fungsi konstan f k 0 = f(000) = 0 maka didapatkan: ψ out = [ 0 1 ] (94) dan apabila fungsi f merupakan fungsi konstan f k1 = f(0000) = 1 maka didapatkan : ψ out = [ 0 1 ] (95) maka dengan demikian didapatkan keluaran ψ out1 = ψ out0 kemudian apabila fungsi f merupakan fungsi yang setimbang kita misalkan untuk f 3 dimana f 3 (000) = f 3 (001) = f 3 (010) = f 3 (011) = 0 dan f 3 (100) = f 3 (101) = f 3 (110) = f 3 (111) = 1 maka : 49

66 50 ψ out = 1 [ 000 ( )] sehingga didapatkan [ 001 ( )] [ 010 ( )] [ 011 ( )] (96) [ 100 ( )] [ 101 ( )] [ 110 ( )] [ 111 ( )] ψ out3 = [ 0 1 ] = [ 0 1 ] (97)

67 3.5 Algoritma Deutsch-Josza Pada sistem 4 qubit Dalam aplikasi algoritma 4 qubit maka langkah yang harus kita cari pertama kali adalah kemungkinan -kemungkinan fungsi konstan dan fungsi setimbang, yaitu sebagai berikut: sebelumnya kita definisikan bahwa qubit masukan ψ = x 3 x x 1 x 0 (98) maka dapat kita ambil beberapa kemungkinan untuk fungsi konstan dan fungsi setimbang yaitu sebagai berikut: f k0 = 0 f k1 = 1 f s0 = x 3 f s1 = x 1 x 0 f s = x x 1 x 1 f s3 = x 3 x x 1 x 1 f s4 = x x 1 x 0 (konstan0) (konstan1) (setimbang0) (setimbang1) (setimbang) (setimbang3) (setimbang4) (99) maka dapat kita buat tabel untuk contoh fungsi-fungsi kotak hitam di atas, yaitu sebagai berikut: 51

68 x 3 x x 1 x 0 f k0 f k1 f s0 f s1 f s f s3 f s total kemungkinan kemudian dikarenakan operator unitary memenuhi: U k = U f I U f = ( 1) f (x) ψ (100) maka dengan demikian operator unitary untuk fungsi kotak hitam dapat di tuliskan sebagai berikut: U k0 = I I I I U k1 = I I I I U s0 = I I I σ z U s1 = I I σ z σ z (101) U s = I σ z σ z σ z U s3 = σ z σ z σ z σ z U s4 = I ([I σ z ] [σ z σ z ]) 5

69 berikut adalah diagram algoritma Deutsch-Josza 4 qubit : Gambar 3.5 algoritma Deutsch-Josza 4 qubit berdasarkan diagram diatas maka dapat diketahui bahwa fungsi keadaan input yaitu ψ in = kemudian diaplikasikan transformasi walsh-hadamard pada fungsi keadaan 53

70 input tersebut dihasilkan sebagai berikut: ψ 1 = H H H H H ( ) 5 1 = ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( 0 1 ) ( ) 5 1 = ( ) ( 1 ) 5 ( ) ( ) 5 1 ( ) ( ) 5 (10) 1 ( ) ( 1 ) 5 ( ) ( 1 ) 5 ( ) ( 1 ) 5 ( ) ( 1 ) 5 ( ) 54

71 kemudian diaplikasikan u f pada ψ 1 menurut persamaan U f : xy xy f(x) didapatkan ψ sebagai berikut: ( ) 1 5 ψ = ( f(0000) f(0000) ) ( ) 1 5 ( f(0001) f(0001) ) ( ) 1 5 ( f(0010) f(0010) ) ( ) 1 5 ( f(0011) f(0011) ) ( ) 1 5 ( f(0100) f(0100) ) ( ) 1 5 ( f(0101) f(0101) ) ( ) 1 5 ( f(0110) f(0110) ) ( ) 1 5 ( f(0111) f(0111) ) ( ) 1 5 ( f(1000) f(1000) ) (103) ( ) 1 5 ( f(1001) f(1001) ) ( ) 1 5 ( f(1010) f(1010) ) ( ) 1 5 ( f(1011) f(1011) ) ( ) 1 5 ( f(1100) f(1100) ) ( ) 1 5 ( f(1101) f(1101) ) ( ) 1 5 ( f(1110) f(1110) ) ( ) 1 5 ( f(1111) f(1111) ) 55

72 ( ) 1 5 = 0000 ( f(0000) f(0000) ) ( ) ( f(0001) f(0001) ) ( ) ( f(0010) f(0010) ) ( ) ( f(0011) f(0011) ) ( ) ( f(0100) f(0100) ) ( ) ( f(0101) f(0101) ) ( ) ( f(0110) f(0110) ) ( ) ( f(0111) f(0111) ) ( ) ( f(1000) f(1000) ) (104) ( ) ( f(1001) f(1001) ) ( ) ( f(1010) f(1010) ) ( ) ( f(1011) f(1011) ) ( ) ( f(1100) f(1100) ) ( ) ( f(1101) f(1101) ) ( ) ( f(1110) f(1110) ) ( ) ( f(1111) f(1111) ) berdasarkan diagram diatas setelah mendapatkan ψ dioperasikan dengan transformasi Walsh-Hadamard lagi, diper- 56

73 oleh ψ 3 yaitu sebagai berikut: ψ 3 = ( 1 ) 4 H H H H I ψ = A B C D E F G H I J K L M N O P (105) dimana A=suku 0000, B=suku 0001, C=suku 0010, D=suku 0011, E=suku 0100, F=suku 0101, G=suku 0110, H=suku 0111, I=suku 1000, J=suku 1001, K=suku 1010, L=suku 1011, M=suku 1100, N=suku 1101, O=suku 1110, P=suku 1111 maka dapat diuraikan hasil operasi dari masing-masing suku yaitu sebagai berikut: 57

74 58 untuk A= suku 0000 = ( 1 ) ( f(0000) f(0000) f(0001) f(0001) ) ( 1 ) ( f(0010) f(0010) f(0011) f(0011) ) ( 1 ) ( f(0100) f(0100) f(0101) f(0101) ) ( 1 ) ( f(0110) f(0110) f(0111) f(0111) ) ( 1 ) ( f(1000) f(1000) f(1001) f(1001) ) ( 1 ) ( f(1010) f(1010) f(1011) f(1011) ) ( 1 ) ( f(1100) f(1100) f(1101) f(1101) ) ( 1 ) ( f(1110) f(1110) f(1111) f(1111) ) (106)

75 59 untuk B= suku 0001 = ( 1 ) ( f(0001) f(0000) f(0001) f(0001) ) ( 1 ) ( f(0010) f(0010) f(0011) f(0011) ) ( 1 ) ( f(0100) f(0100) f(0101) f(0101) ) ( 1 ) ( f(0110) f(0110) f(0111) f(0111) ) ( 1 ) ( f(1000) f(1000) f(1001) f(1001) ) ( 1 ) ( f(1010) f(1010) f(1011) f(1011) ) ( 1 ) ( f(1100) f(1100) f(1101) f(1101) ) ( 1 ) ( f(1110) f(1110) f(1111) f(1111) ) (107)

76 60 untuk C= suku 0010 = ( 1 ) ( f(0000) f(0000) f(0001) f(0001) ) ( 1 ) ( f(0010) f(0010) f(0011) f(0011) ) ( 1 ) ( f(0100) f(0100) f(0101) f(0101) ) ( 1 ) ( f(0110) f(0110) f(0111) f(0111) ) ( 1 ) ( f(1000) f(1000) f(1001) f(1001) ) ( 1 ) ( f(1010) f(1010) f(1011) f(1011) ) ( 1 ) ( f(1100) f(1100) f(1101) f(1101) ) ( 1 ) ( f(1110) f(1110) f(1111) f(1111) ) (108)

77 61 untuk D=suku 0011 = ( 1 ) ( f(0000) f(0000) f(0001) f(0001) ) ( 1 ) ( f(0010) f(0010) f(0011) f(0011) ) ( 1 ) ( f(0100) f(0100) f(0101) f(0101) ) ( 1 ) ( f(0110) f(0110) f(0111) f(0111) ) ( 1 ) ( f(1000) f(1000) f(1001) f(1001) ) ( 1 ) ( f(1010) f(1010) f(1011) f(1011) ) ( 1 ) ( f(1100) f(1100) f(1101) f(1101) ) ( 1 ) ( f(1110) f(1110) f(1111) f(1111) ) (109)

78 6 untuk E=suku 0100 = ( 1 ) ( f(0000) f(0000) f(0001) f(0001) ) ( 1 ) ( f(0010) f(0010) f(0011) f(0011) ) ( 1 ) ( f(0100) f(0100) f(0101) f(0101) ) ( 1 ) ( f(0110) f(0110) f(0111) f(0111) ) ( 1 ) ( f(1000) f(1000) f(1001) f(1001) ) ( 1 ) ( f(1010) f(1010) f(1011) f(1011) ) ( 1 ) ( f(1100) f(1100) f(1101) f(1101) ) ( 1 ) ( f(1110) f(1110) f(1111) f(1111) ) (110)

79 63 untuk F=suku 0101 = ( 1 ) ( f(0000) f(0000) f(0001) f(0001) ) ( 1 ) ( f(0010) f(0010) f(0011) f(0011) ) ( 1 ) ( f(0100) f(0100) f(0101) f(0101) ) ( 1 ) ( f(0110) f(0110) f(0111) f(0111) ) ( 1 ) ( f(1000) f(1000) f(1001) f(1001) ) ( 1 ) ( f(1010) f(1010) f(1011) f(1011) ) ( 1 ) ( f(1100) f(1100) f(1101) f(1101) ) ( 1 ) ( f(1110) f(1110) f(1111) f(1111) ) (111)

80 64 untuk G=suku 0110 = ( 1 ) ( f(0000) f(0000) f(0001) f(0001) ) ( 1 ) ( f(0010) f(0010) f(0011) f(0011) ) ( 1 ) ( f(0100) f(0100) f(0101) f(0101) ) ( 1 ) ( f(0110) f(0110) f(0111) f(0111) ) ( 1 ) ( f(1000) f(1000) f(1001) f(1001) ) ( 1 ) ( f(1010) f(1010) f(1011) f(1011) ) ( 1 ) ( f(1100) f(1100) f(1101) f(1101) ) ( 1 ) ( f(1110) f(1110) f(1111) f(1111) ) (11)

81 65 untuk H=suku 0111 = ( 1 ) ( f(0000) f(0000) f(0001) f(0001) ) ( 1 ) ( f(0010) f(0010) f(0011) f(0011) ) ( 1 ) ( f(0100) f(0100) f(0101) f(0101) ) ( 1 ) ( f(0110) f(0110) f(0111) f(0111) ) ( 1 ) ( f(1000) f(1000) f(1001) f(1001) ) ( 1 ) ( f(1010) f(1010) f(1011) f(1011) ) ( 1 ) ( f(1100) f(1100) f(1101) f(1101) ) ( 1 ) ( f(1110) f(1110) f(1111) f(1111) ) (113)

82 66 untuk I=suku 1000 = ( 1 ) ( f(0000) f(0000) f(0001) f(0001) ) ( 1 ) ( f(0010) f(0010) f(0011) f(0011) ) ( 1 ) ( f(0100) f(0100) f(0101) f(0101) ) ( 1 ) ( f(0110) f(0110) f(0111) f(0111) ) ( 1 ) ( f(1000) f(1000) f(1001) f(1001) ) ( 1 ) ( f(1010) f(1010) f(1011) f(1011) ) ( 1 ) ( f(1100) f(1100) f(1101) f(1101) ) ( 1 ) ( f(1110) f(1110) f(1111) f(1111) ) (114)

83 67 untuk J= suku 1001 = ( 1 ) ( f(0000) f(0000) f(0001) f(0001) ) ( 1 ) ( f(0010) f(0010) f(0011) f(0011) ) ( 1 ) ( f(0100) f(0100) f(0101) f(0101) ) ( 1 ) ( f(0110) f(0110) f(0111) f(0111) ) ( 1 ) ( f(1000) f(1000) f(1001) f(1001) ) ( 1 ) ( f(1010) f(1010) f(1011) f(1011) ) ( 1 ) ( f(1100) f(1100) f(1101) f(1101) ) ( 1 ) ( f(1110) f(1110) f(1111) f(1111) ) (115)

84 68 untuk K= suku 1010 = ( 1 ) ( f(0000) f(0000) f(0001) f(0001) ) ( 1 ) ( f(0010) f(0010) f(0011) f(0011) ) ( 1 ) ( f(0100) f(0100) f(0101) f(0101) ) ( 1 ) ( f(0110) f(0110) f(0111) f(0111) ) ( 1 ) ( f(1000) f(1000) f(1001) f(1001) ) ( 1 ) ( f(1010) f(1010) f(1011) f(1011) ) ( 1 ) ( f(1100) f(1100) f(1101) f(1101) ) ( 1 ) ( f(1110) f(1110) f(1111) f(1111) ) (116)

85 69 untuk L= suku 1011 = ( 1 ) ( f(0000) f(0000) f(0001) f(0001) ) ( 1 ) ( f(0010) f(0010) f(0011) f(0011) ) ( 1 ) ( f(0100) f(0100) f(0101) f(0101) ) ( 1 ) ( f(0110) f(0110) f(0111) f(0111) ) ( 1 ) ( f(1000) f(1000) f(1001) f(1001) ) ( 1 ) ( f(1010) f(1010) f(1011) f(1011) ) ( 1 ) ( f(1100) f(1100) f(1101) f(1101) ) ( 1 ) ( f(1110) f(1110) f(1111) f(1111) ) (117)

86 70 untuk M= suku 1100 = ( 1 ) ( f(0000) f(0000) f(0001) f(0001) ) ( 1 ) ( f(0010) f(0010) f(0011) f(0011) ) ( 1 ) ( f(0100) f(0100) f(0101) f(0101) ) ( 1 ) ( f(0110) f(0110) f(0111) f(0111) ) ( 1 ) ( f(1000) f(1000) f(1001) f(1001) ) ( 1 ) ( f(1010) f(1010) f(1011) f(1011) ) ( 1 ) ( f(1100) f(1100) f(1101) f(1101) ) ( 1 ) ( f(1110) f(1110) f(1111) f(1111) ) (118)

87 71 untuk N= suku 1101 = ( 1 ) ( f(0000) f(0000) f(0001) f(0001) ) ( 1 ) ( f(0010) f(0010) f(0011) f(0011) ) ( 1 ) ( f(0100) f(0100) f(0101) f(0101) ) ( 1 ) ( f(0110) f(0110) f(0111) f(0111) ) ( 1 ) ( f(1000) f(1000) f(1001) f(1001) ) ( 1 ) ( f(1010) f(1010) f(1011) f(1011) ) ( 1 ) ( f(1100) f(1100) f(1101) f(1101) ) ( 1 ) ( f(1110) f(1110) f(1111) f(1111) ) (119)

88 7 untuk O=suku 1110 = ( 1 ) ( f(0000) f(0000) f(0001) f(0001) ) ( 1 ) ( f(0010) f(0010) f(0011) f(0011) ) ( 1 ) ( f(0100) f(0100) f(0101) f(0101) ) ( 1 ) ( f(0110) f(0110) f(0111) f(0111) ) ( 1 ) ( f(1000) f(1000) f(1001) f(1001) ) ( 1 ) ( f(1010) f(1010) f(1011) f(1011) ) ( 1 ) ( f(1100) f(1100) f(1101) f(1101) ) ( 1 ) ( f(1110) f(1110) f(1111) f(1111) ) (10)

89 73 untuk P= suku 1111 ( ) 9 1 = 1111 ( f(0000) f(0000) f(0001) f(0001) ) ( 1 ) ( f(0010) f(0010) f(0011) f(0011) ) ( 1 ) ( f(0100) f(0100) f(0101) f(0101) ) ( 1 ) ( f(0110) f(0110) f(0111) f(0111) ) ( 1 ) ( f(1000) f(1000) f(1001) f(1001) ) ( 1 ) ( f(1010) f(1010) f(1011) f(1011) ) ( 1 ) ( f(1100) f(1100) f(1101) f(1101) ) ( 1 ) ( f(1110) f(1110) f(1111) f(1111) ) (11)

90 untuk fungsi konstan f(0000) = f(0001) = f(0010) = f(0011) = f(0100) = f(0101) = f(0110) = f(0111) = f(1000) = f(1001) = f(1010) = f(1011) = f(1100) = f(1101) = f(1110) = f(1111) = 0 didapatkan : ψ k0 = [ 0 1 ] (1) untuk fungsi konstan f(0000) = f(0001) = f(0010) = f(0011) = f(0100) = f(0101) = f(0110) = f(0111) = f(1000) = f(1001) = f(1010) = f(1011) = f(1100) = f(1101) = f(1110) = f(1111) = 1 didapatkan : ψ k1 = [ 0 1 ] (13) untuk fungsi setimbang f(0000) = f(0001) = f(0010) = f(0011) = f(0100) = f(0101) = f(0110) = 0 dan f(0111) = f(1000) = f(1001) = f(1010) = f(1011) = f(1100) = f(1101) = f(1110) = f(1111) = 1 didapatkan ψ s0 = [ 0 1 ] (14) untuk fungsi setimbang s 1 f(0000) = 0, f(0001) = f(0010) = 1, f(0011) = f(0100) = 0, f(0101) = f(0110) = 1, f(0111) = f(1000) = 0, f(1001) = f(1010) = 1, f(1011) = f(1100) = 0, f(1101) = f(1110) = 1, f(1111) = 0 ψ s1 = [ 0 1 ] (15) untuk fungsi setimbang s f(0000) = 0, f(0001) = f(0010) = 1, f(0011) = 0, f(0100) = 1, f(0101) = f(0110) = 0, f(0111) = 1, f(1000) = 0, f(1001) = f(1010) = 1, f(1011) = 0, f(1100) = 1, f(1101) = f(1110) = 1, f(1111) = 0 didapatkan : ψ s = [ 0 1 ] (16) 74

91 untuk fungsi setimbang s 3 f(0000) = f(0001) = f(0010) = f(0011) = f(0100) = f(0101) = f(0110) = f(0111) = f(1000) = f(1001) = f(1010) = f(1011) = f(1100) = f(1101) = f(1110) = f(1111) = 0 didapatkan : ψ s3 = [ 0 1 ] (17) 75

92 Halaman ini sengaja dikosongkan 76

93 BAB IV SISTEM N-QUBIT Sebelum membahas permasalahan dalam sistem N-qubit maka harus dibahas terlebih dahulu untuk sistem 1-qubit, qubit, 3 qubit dan 4 qubit untuk mendapatkan pola dari pada masing-masing sistem, sehingga dapat diketahui apabila sistem memiliki pola atau hanya perluasan saja tanpa pola umum 4.1 Sistem 1, dan 3 qubit Pada sistem 1 qubit. Level energi dihasilkan oleh 1 partikel, dimana hamiltonian untuk presesi bebas qubit tunggal adalah: H 0 = γb 0 I z = ω 0 I z (18) dimana ω 0 = γb 0 dan ω 0 merupakan frekuensi sudut larmor dan γ merupakan rasio giromagnetik. kemudian diambil = 1 sehingga didapatkan: H 0 = ω 0 I z (19) untuk spin tunggal masukan keadaannya adalah: ψ = α 0 β 1 (130) 77

94 maka dengan demikian kita dapat mengoperasikan hamiltonian pada keadaan tersebut dan diperoleh sebagai berikut: H 0 ψ = ω 0 Iz ( 0 1 ) = ω 0 (I z 0 I z 1 ) ( ( ) ( ) = ω [ ( ) 1 1 = ω 0 1 ( )] ( 1 = ω ) 1 = 1 ω 0 ( 0 1 ) ( ) ( 0 1 maka dengan demikian diperoleh dua nilai level energi yaitu sebagai berikut: )) (131) E a = mω 0 = { E 0 = 1ω 0 untuk a = 0 dan m = 1 E 1 = 1ω 0 untuk a = 1 dan m = 1 (13) Pada sistem NMR qubit interaksi yang terjadi diasumsikan sebagai interaksi heisenberg yaitu interaksi yang diperanguri oleh atom tetangga yang terdekat sehingga hamiltonian sistem adalah sebagai brikut: H = ω 0 I I z ω 1 I z I πj10i z I z (133) dimana ω 0 dan ω 1 merupakan frekuensi sudut larmor untuk qubit ke 0 dan qubit ke 1, sedangkan J 10 merupakan kopling skalar yang melibatkan qubit-0 dan qubit-1. kemudian vektor keadaan untuk sistem qubit adalah sebagai berikut: ψ = c 0 00 c 1 01 c 10 c 3 11 (134) 78

95 dengan c 0, c 1, c, c 3 meruapakan koefisien kompleks. apabila H bekerja pada vektor keadaan maka diperoleh: H ψ = (ω 0 I I z ω 1 I z I πj10i z I z ) ψ = ω 0 I I z (c 0 00 c 1 01 c 10 c 3 11 ) ω 1 I z I (c 0 00 c 1 01 c 10 c 3 11 ) πj10i z I z (c 0 00 c 1 01 c 10 c 3 11 ) = ω 0 (c 0 I 0 I z 0 c 1 I 0 I z 1 c I 1 I z 0 c 3 I 1 I z 1 ) ω 1 (c 0 I z 0 I 0 c 1 I z 0 I 1 c I z 1 I 0 c 3 I z 1 I 1 ) πj 10 (c 0 I z 0 I z 0 c 1 I z 0 I z 1 c I z 1 I z 0 ) πj 10 (c 3 I z 1 I z 1 ) 79

96 = ω 0 (c ( 0 c 1 0 ) ω 0 (c 3 1 ( 1 ω 1 c 0 ω 1 ( c 3 ( 1 πj 10 ( c 0 1 ( 1 ) c c ) ) 1 1 πj 10 ( c 3 ( ( 0 c ) ( 1 1 ) ) 1 ) 1 c ) ( 1 ) ) 1 0 ) ( 1 c 1 ) 1 1 ) 0 [ 1 = ω 0 C C C 10 1 ] C 3 11 [ 1 ω 1 C C 1 01 dac 10 1 ] C 3 11 [ 1 πj 10 4 C C C 10 1 ] 4 C 3 11 = 1 (ω 0 ω 1 πj 10 ) c ( ω 0 ω 1 πj 10 ) c (ω 0 ω 1 πj 10 ) c 10 1 ( ω 0 ω 1 πj 10 ) c 3 11 maka dengan demikian diperoleh bentuk H ψ = E,0 c 0 00 E,1 c 1 01 E, c 10 E,3 c 3 11 (136) sehingga dapat dibuat tabel level-level energi untuk sistem qubit yaitu sebagai berikut: (135) 80

97 n E,n 1 0 (ω 0 ω 1 πj 10 ) 1 1 ( ω 0 ω 1 πj 10 ) 1 (ω 0 ω 1 πj 10 ) 1 3 ( ω 0 ω 1 πj 10 ) Level Energi pada sistem 3 qubit ditentukan oleh energi 3 partikel dan interaksinya. untuk cataan bahwa interaksi yang terjadi adalah interaksi heisenberg yakni interaksi yang hanya dipengruhi oleh atom tetangga terdekat. Bentuk Hamiltonian utnuk sistem 3 qubit adalah sebagai betikut: H = ω 0 I I I z ω 1 I I z I ω I z I I πj 10 I I z I z πj 0 I z I I z πj 1 I z I z I (137) sedangkan untuk vektor keadan 3 qubit adalah sebagai berikut: ψ = c c c 010 c c c c c (138) dengan c 1, c,..., c 7 merupakan koefisien kompleks. utnuk mendapatkan nilai level energi dari keadaan 3 qubit maka dioperasikan hamiltonian pada vektor keadaannya yaitu se- 81

98 bagai berikut: H ψ = (ω 0 I I I z ω 1 I I z I ω I z I I) ψ (πj 10 I I z I z πj 0 I z I I z πj 1 I z I z I) ψ = ω 0 I I I z (c c c 010 c ) ω 0 I I I z (c c c c ) ω 1 I I z I (c c c 010 c ) ω 1 I I z I (c c c c ) ω I z I I (c c c 010 c ) ω I z I I (c c c c ) πj 10 I I z I z (c c c 010 c ) πj 10 I I z I z (c c c c ) πj 0 I z I I z (c c c 010 c ) πj 0 I z I I z (c c c c ) πj 1 I z I z I (c c c 010 c ) πj 1 I z I z I (c c c c ) = ω 0 (c 0 I 0 I 0 I z 0 c 1 I 0 I 0 I z 1 c I 0 I 1 I z 0 ) ω 0 (c 3 I 0 I 1 I z 1 c 4 I 1 I 0 I z 0 c 5 I 1 I 0 I z 1 ) ω 0 (c 6 I 1 I 1 I z 0 c 7 I 1 I 1 I z 1 ) ω 1 (c 0 I 0 I z 0 I 0 c 1 I 0 I z 0 I 1 c I 0 I z 1 I 0 ) ω 1 (c 3 I 0 I z 1 I 1 c 4 I 1 I z 0 I 0 c 5 I 1 I z 0 I 1 ) ω 1 (c 6 I 1 I z 1 I 0 c 7 I 1 I z 1 I 1 ) ω (c 0 I z 0 I 0 I 0 c 1 I z 0 I 0 I 1 c I z 0 I 1 I 0 ) ω 1 (c 3 I z 0 I 1 I 1 c 4 I z 1 I 0 I 0 c 5 I z 1 I 0 I 1 ) ω 1 (c 6 I z 1 I 1 I 0 c 7 I z 1 I 1 I 1 ) πj 10 (c 0 I 0 I z 0 I z 0 c 1 I 0 I z 0 I z 1 ) πj 10 (c I 0 I z 1 I z 0 c 3 I 0 I z 1 I z 1 ) πj 10 (c 4 I 1 I z 0 I z 0 c 5 I 1 I z 0 I z 1 ) πj 10 (c 6 I 1 I z 1 I z 0 c 7 I 1 I z 1 I z 1 ) 8

99 πj 0 (c 0 I z 0 I 0 I z 0 c 1 I z 0 I 0 I z 1 c I z 0 I 1 I z 0 ) πj 0 (c 3 I z 0 I 1 I z 1 c 4 I z 1 I 0 I z 0 c 5 I z 1 I 0 I z 1 ) πj 0 (c 6 I z 1 I 1 I z 0 c 7 I z 1 I 1 I z 1 ) πj 1 (c 0 I z 0 I z 0 I 0 c 1 I z 0 I z 0 I 1 c I z 0 I z 1 I 0 ) πj 1 (c 3 I z 0 I z 1 I z 1 c 4 I z 1 I z 0 I 0 c 5 I z 1 I z 0 I 1 ) πj 1 (c 6 I z 1 I z 1 I 0 c 7 I z 1 I z 1 I 1 ) = ω 0 (c ( 0 c ) 1 c ) ( ω 0 (c ) 1 c ( 0 c ) ) 1 ω 0 (c ( 0 c ) ) 1 ω 1 (c c ( 0 1 c 0 1 ) ) 1 0 ( ω 1 (c ) 1 1 c c ) 0 1 ( ω 1 (c ) ( 1 0 c ) ) 1 1 ω ( c 0 1 ω ( c 3 1 ω ( c 6 ( c c 1 ( c 4 1 ) c 7 ( 1 ) ) c 5 ( 1 ) ) ) ) ( πj 10 c c ( 0 1 ) ( 1 c 0 1 ) 1 1 ) 0 ( πj 10 (c ) ( 1 1 ) 1 c c ( 0 1 ) ) 1 ( πj 10 (c ) 1 1 ( 0 c ) ( 1 1 ) ) c 1 1 ( ( 1 πj 0 c ( ( πj 0 c 6 1 πj 0 ( c 0 1 πj 1 ( c 0 1 πj 1 ( c πj 1 ( c 6 ( 1 ( ) 1 1 c ) 1 c 4 ( 1 ) c 5 ) ( 0 c 7 1 ) ( ) ) ) 0 ( c ( 0 1 c ) ) 1 0 ( 1 ) ( 1 1 c 4 1 ) c 5 ) ( 1 1 ) ( 1 0 c 7 1 ) ( 1 1 ) ) 1 1 ) ( ) ) 1 ( 1 ) 1 1 )

100 = ω 0 (c c c 010 c ) ω 0 (c c c c ) ω 1 (c c c 010 c ) ω 1 (c c c c ) ω (c c c 010 c ) ω ( c c c c ) πj 10 πj 10 πj 0 πj 0 πj 1 πj 1 (c c c 010 c ) (c c c c ) (c c c 010 c ) ( c c c c ) (c c c 010 c ) ( c c c c ) = ω 0 ω 1 ω πj 10 πj 0 πj 1 c ω 0 ω 1 ω πj 10 πj 0 πj 1 c ω 0 ω 1 ω πj 10 πj 0 πj 1 c 010 ω 0 ω 1 ω πj 10 πj 0 πj 1 c ω 0 ω 1 ω πj 10 πj 0 πj 1 c ω 0 ω 1 ω πj 10 πj 0 πj 1 c ω 0 ω 1 ω πj 10 πj 0 πj 1 c ω 0 ω 1 ω πj 10 πj 0 πj 1 c (139) maka dengan demikian bentuk diatas sama dengan bentuk H ψ = E 3,0 c E 3,1 c E 3, c 010 E 3,3 c E 3,4 c E 3,5 c E 3,6 c E 3,7 c (140) sehingga dapat dibuat tabel level energi sebagai berikut: 84

101 n E 3,n Sistem 4 qubit ω 0 ω 1 ω πj 10 πj 0 πj 1 ω 0 ω 1 ω πj 10 πj 0 πj 1 ω 0 ω 1 ω πj 10 πj 0 πj 1 ω 0 ω 1 ω πj 10 πj 0 πj 1 ω 0 ω 1 ω πj 10 πj 0 πj 1 ω 0 ω 1 ω πj 10 πj 0 πj 1 ω 0 ω 1 ω πj 10 πj 0 πj 1 ω 0 ω 1 ω πj 10 πj 0 πj 1 pada sistem 4 qubit, level energi dihasilkan dari interaksi 4 partikel, dimana bentuk hamiltonian dari sistem 4 qubit adalah sebagai beriktu: H = ω 0 I I I I z ω 1 I I I z I ω I I z I I ω 3 I z I I I πj 10 I I I z I z πj 0 I I z I I z πj 30 I z I I z πj 1 I I z I z I πj 31 I z I I z I πj 3 I z I z I I (141) sedangkan vektor keadaan untuk 4 qubit adalah sebagai berikut: ψ = c c c 0010 c c c c c c c c c c c c c (14) 85

102 kemudian dilakukan operasi berikut: H ψ = ω 0 I I I I z ψ ω 1 I I I z I ψ ω I I z I I ψ ω 3 I z I I I ψ πj 10 I I I z I z ψ πj 0 I I z I I z ψ πj 30 I z I I z ψ πj 1 I I z I z I ψ πj 31 I z I I z I ψ πj 3 I z I z I I ψ = ω 0 (c 0 I 0 I 0 I 0 I z 0 c 1 I 0 I 0 I 0 I z 1 ) ω 0 (c I 0 I 0 I 1 I z 0 c 3 I 0 I 0 I 1 I z 1 ) ω 0 (c 4 I 0 I 1 I 0 I z 0 c 5 I 0 I 1 I 1 I z 1 ) ω 0 (c 6 I 0 I 1 I 1 I z 1 c 7 I 1 I 0 I 0 I z 0 ) ω 0 (c 8 I 1 I 0 I 0 I z 1 c 9 I 1 I 0 I 1 I z 0 ) ω 0 (c 10 I 1 I 0 I 1 I z 1 c 11 I 1 I 1 I 0 I z 0 ) ω 0 (c 1 I 1 I 1 I 0 I z 1 c 13 I 1 I 1 I 0 I z 1 ) ω 0 (c 14 I 1 I 1 I 1 I z 0 c 15 I 1 I 1 I 1 I z 1 ) ω 1 (c 0 I 0 I 0 I z 0 I 0 c 1 I 0 I 0 I z 0 I 1 ) ω 1 (c I 0 I 0 I z 1 I 0 c 3 I 0 I 0 I z 1 I 1 ) ω 1 (c 4 I 0 I 1 I z 0 I 0 c 5 I 0 I 1 I z 1 I 1 ) ω 1 (c 6 I 0 I 1 I z 1 I 1 c 7 I 1 I 0 I z 0 I 0 ) ω 1 (c 8 I 1 I 0 I z 0 I 1 c 9 I 1 I 0 I z 1 I 0 ) ω 1 (c 10 I 1 I 0 I z 1 I 1 c 11 I 1 I 1 I z 0 I 0 ) ω 1 (c 1 I 1 I 1 I z 0 I 1 c 13 I 1 I 1 I z 0 I 1 ) ω 1 (c 14 I 1 I 1 I 1 I 0 c 15 I 1 I 1 I z 1 I 1 ) 86

103 ω (c 0 I 0 I z 0 I 0 I 0 c 1 I 0 I z 0 I 0 I 1 ) ω (c I 0 I z 0 I 1 I 0 c 3 I 0 I z 0 I 1 I 1 ) ω (c 4 I 0 I z 1 I 0 I 0 c 5 I 0 I z 1 I 1 I 1 ) ω (c 6 I 0 I z 1 I 1 I 1 c 7 I 1 I z 0 I 0 I 0 ) ω (c 8 I 1 I z 0 I 0 I 1 c 9 I 1 I z 0 I 1 I 0 ) ω (c 10 I 1 I z 0 I 1 I 1 c 11 I 1 I z 1 I 0 I 0 ) ω (c 1 I 1 I z 1 I 0 I 1 c 13 I 1 I z 1 I 0 I 1 ) ω (c 14 I 1 I z 1 I 1 I 0 c 15 I 1 I z 1 I 1 I 1 ) ω 3 (c 0 I z 0 I 0 I 0 I 0 c 1 I z 0 I 0 I 0 I 1 ) ω 3 (c I z 0 I 0 I 1 I 0 c 3 I z 0 I 0 I 1 I 1 ) ω 3 (c 4 I z 0 I 1 I 0 I 0 c 5 I z 0 I 1 I 1 I 1 ) ω 3 (c 6 I z 0 I 1 I 1 I 1 c 7 I z 1 I 0 I 0 I 0 ) ω 3 (c 8 I z 1 I 0 I 0 I 1 c 9 I z 1 I 0 I 1 I 0 ) ω 3 (c 10 I z 1 I 0 I 1 I 1 c 11 I z 1 I 1 I 0 I 0 ) ω 1 (c 1 I z 1 I 1 I 0 I 1 c 13 I z 1 I 1 I 0 I z 1 ) ω 3 (c 14 I z 1 I 1 I 1 I 0 c 15 I z 1 I 1 I 1 I 1 ) πj 10 (c 0 I 0 I 0 I z 0 I z 0 c 1 I 0 I 0 I z 0 I z 1 ) πj 10 (c I 0 I 0 I z 1 I z 0 c 3 I 0 I 0 I z 1 I z 1 ) πj 10 (c 4 I 0 I 1 I z 0 I z 0 c 5 I 0 I 1 I z 1 I z 1 ) πj 10 (c 6 I 0 I 1 I z 1 I z 1 c 7 I 1 I 0 I z 0 I z 0 ) πj 10 (c 8 I 1 I 0 I z 0 I z 1 c 9 I 1 I 0 I z 1 I z 0 ) πj 10 (c 10 I 1 I 0 I z 1 I z 1 c 11 I 1 I 1 I z 0 I z 0 ) πj 10 (c 1 I 1 I 1 I z 0 I z 1 c 13 I 1 I 1 I z 0 I z 1 ) πj 10 (c 14 I 1 I 1 I z 1 I z 0 c 15 I 1 I 1 I 1 I 1 ) 87

104 πj 0 (c 0 I 0 I z 0 I 0 I z 0 c 1 I 0 I z 0 I 0 I z 1 ) πj 0 (c I 0 I z 0 I 1 I z 0 c 3 I 0 I z 0 I 1 I z 1 ) πj 0 (c 4 I 0 I z 1 I 0 I z 0 c 5 I 0 I z 1 I 1 I z 1 ) πj 0 (c 6 I 0 I z 1 I 1 I z 1 c 7 I 1 I z 0 I 0 I z 0 ) πj 0 (c 8 I 1 I z 0 I 0 I z 1 c 9 I 1 I z 0 I 1 I z 0 ) πj 0 (c 10 I 1 I z 0 I 1 I z 1 c 11 I 1 I z 1 I 0 I z 0 ) πj 0 (c 1 I 1 I z 1 I 0 I z 1 c 13 I 1 I z 1 I 0 I z 1 ) πj 0 (c 14 I 1 I z 1 I 1 I z 0 c 15 I 1 I z 1 I 1 I z 1 ) πj 30 (c 0 I z 0 I 0 I 0 I z 0 c 1 I z 0 I 0 I 0 I z 1 ) πj 30 (c I z 0 I 0 I 1 I z 0 c 3 I z 0 I 0 I 1 I z 1 ) πj 30 (c 4 I z 0 I 1 I 0 I z 0 c 5 I z 0 I 1 I 1 I z 1 ) πj 30 (c 6 I z 0 I 1 I 1 I z 1 c 7 I z 1 I 0 I 0 I z 0 ) πj 30 (c 8 I z 1 I 0 I 0 I z 1 c 9 I z 1 I 0 I 1 I z 0 ) πj 30 (c 10 I z 1 I 0 I 1 I z 1 c 11 I z 1 I 1 I 0 I z 0 ) πj 30 (c 1 I z 1 I 1 I 0 I z 1 c 13 I z 1 I 1 I 0 I z 1 ) πj 30 (c 14 I z 1 I 1 I 1 I z 0 c 15 I z 1 I 1 I 1 I z 1 ) πj 1 (c 0 I 0 I z 0 I z 0 I 0 c 1 I 0 I z 0 I z 0 I 1 ) πj 1 (c I 0 I z 0 I z 1 I 0 c 3 I 0 I z 0 I z 1 I 1 ) πj 1 (c 4 I 0 I z 1 I z 0 I 0 c 5 I 0 I 1 I 1 I 1 ) πj 1 (c 6 I 0 I z 1 I z 1 I 1 c 7 I 1 I z 0 I z 0 I 0 ) πj 1 (c 8 I 1 I z 0 I z 0 I 1 c 9 I 1 I z 0 I z 1 I 0 ) πj 1 (c 10 I 1 I 0 I z 1 I z 1 c 11 I 1 I z 1 I z 0 I 0 ) πj 1 (c 1 I 1 I z 1 I z 0 I 1 c 13 I 1 I z 1 I 0 I z 1 ) πj 1 (c 14 I 1 I 1 I 1 I 0 c 15 I 1 I z 1 I z 1 I 1 ) 88

105 πj 31 (c 0 I z 0 I 0 I z 0 I 0 c 1 I z 0 I 0 I z 0 I 1 ) πj 31 (c I z 0 I 0 I z 1 I 0 c 3 I z 0 I 0 I z 1 I 1 ) πj 31 (c 4 I z 0 I 1 I z 0 I 0 c 5 I z 0 I 1 I z 1 I 1 ) πj 31 (c 6 I z 0 I 1 I z 1 I 1 c 7 I z 1 I 0 I z 0 I 0 ) πj 31 (c 8 I z 1 I 0 I z 0 I 1 c 9 I z 1 I 0 I z 1 I 0 ) πj 31 (c 10 I z 1 I 0 I z 1 I 1 c 11 I z 1 I 1 I z 0 I 0 ) πj 31 (c 1 I z 1 I 1 I z 0 I 1 c 13 I z 1 I 1 I z 0 I 1 ) πj 31 (c 14 I z 1 I 1 I z 1 I 0 c 15 I z 1 I 1 I z 1 I 1 ) πj 3 (c 0 I z 0 I z 0 I 0 I 0 c 1 I z 0 I z 0 I 0 I 1 ) πj 3 (c I z 0 I z 0 I 1 I 0 c 3 I z 0 I z 0 I 1 I 1 ) πj 3 (c 4 I z 0 I z 1 I 0 I 0 c 5 I z 0 I z 1 I 1 I 1 ) πj 3 (c 6 I z 0 I z 1 I 1 I 1 c 7 I z 1 I z 0 I 0 I 0 ) πj 3 (c 8 I z 1 I z 0 I 0 I 1 c 9 I z 1 I z 0 I 1 I 0 ) πj 3 (c 10 I z 1 I z 0 I 1 I 1 c 11 I z 1 I z 1 I 0 I 0 ) πj 3 (c 1 I z 1 I z 1 I 0 I 1 c 13 I z 1 I z 1 I 0 I 1 ) πj 3 (c 14 I z 1 I 1 I z 1 I 0 c 15 I z 1 I z 1 I 1 I 1 ) 89

106 = ω 0 (c ( 0 c ) 1 c ) 0 ( ω 0 (c ) 1 c ( 0 c ) ) 1 ω 0 (c ( 0 c ) 1 c ) 0 ( ω 0 (c ) 1 c ( 0 c ) ) 1 ω 0 (c ( 0 c ) 1 c ) 0 ( ω 0 (c ) ) 1 ω 1 (c c ( 0 1 c ) ) 1 0 ( ω 1 (c ) 1 1 c c ) 0 1 ( ω 1 (c ) ( 1 0 c ) 1 1 c ) 0 0 ω 1 (c ( 0 1 c ) ( 1 0 c ) ) 1 1 ω 1 (c c ( 0 1 c ) ) 1 0 ( ω 1 (c ) ) 1 1 ( ω c c c 0 1 ) ω (c c c ( 1 ) ( ω (c ) c 7 0 ( ω c c c ) ) c ) ( ω (c ) ( c ) ( c ) ) ( ω (c ) ) ( 1 1 ω 3 c 0 ω 3 ( c 3 1 ω 3 ( c 6 1 ω 3 ( c 9 ( c c c c c c 8 ) ( c 10 1 ) ) ( 1 ) ) ) c 11 ( 1 ) )

107 ( ( ω 3 c 1 1 ) ( c 13 1 ) ( c 14 1 ) ) ( ( ω 3 c 15 1 ) ) ( πj 10 c c ( 0 1 ) ( 1 c ) 1 1 ) 0 ( πj 10 c ( 1 1 ) 1 c c ( 0 1 ) ) 1 ( πj 10 (c ) 1 1 ( 0 c ) ( 1 1 ) 1 c ) 0 ( πj 10 c ( 0 1 ) ( 1 c ) 1 1 ( 0 c ) ( 1 1 ) ) 1 ( πj 10 c c ( 0 1 ) ( 1 c ) 1 1 ) 0 ( πj 10 (c ) ( 1 1 ) ) 1 ( πj 0 c c ( ) 1 c ) 0 ( πj 0 c ( ) ( 1 c ) ( 0 c ) ( ) ) 1 ( πj 0 (c ) ( 0 c ) ( ) 1 c ) 0 ( πj 0 c ( ) 1 c c ( ) ) 1 ( πj 0 (c ) ( 0 c ) ( ) ( 1 c ) ) 0 ( πj 0 (c ) ( ) ) 1 ( 1 πj 30 c ( 0 c ) 1 1 c ( ( 1 πj 30 c ) 1 1 c c ( 1 πj 30 c ( 0 c ) ( 1 c 8 1 πj 30 ( c 9 ( 1 ) ( 1 ) 1 c 10 ( ) 0 ( 1 ) ) 1 ) ) ) ( 0 c 11 1 ) ( ) ) 1 ( ( πj 30 c 1 1 ) ( 0 c 13 1 ) ( ) ( 1 c 14 1 ) ) 0 ( ( πj 30 c 15 1 ) ( ) ) 1 ( πj 1 c c c 0 1 ( 0 1 ) ) 1 0 ( πj 1 c ( 0 1 ) ( 1 1 c ) 1 1 ( 0 0 c ) ( ) ) 1 91

108 ( πj 1 (c ) ( 1 1 ) ( 1 0 c ) ( 1 1 ) ) 1 1 ( πj 1 c c ) 0 1 ( πj 1 c ( 0 1 ) 1 0 c ( 0 1 ) ) 1 1 ( πj 31 (c ) 1 1 ( 0 0 c ) 1 1 ) 0 1 ( πj 31 (c ) 1 1 ( 0 c ) ( 1 1 ) ) 1 1 ( 1 πj 31 c c ( ( 1 πj 31 c ) c ( 1 πj 31 c c ( ( 1 πj 31 c ) c πj 31 ( c 8 ( 1 ) c 9 ( 1 ) 0 1 ( 1 ) ) 1 1 ) 0 1 ( 1 ) ) 1 1 ) ) ( ( πj 31 c 10 1 ) ( ) ( 1 0 c 11 1 ) ( ) ) 1 1 ( ( πj 31 c 1 1 ) ( 0 0 c 13 1 ) ) 0 1 ( ( πj 31 c 14 1 ) ( ) ( 1 0 c 15 1 ) ( ) ) 1 1 πj 3 ( c 0 1 πj 3 ( c c c ( c ) c 5 0 ( 1 ) c 7 0 ) ( 1 ) ) ( ( 1 πj 3 c ) ( c 8 1 ) 1 1 ) ( ( πj 3 c 9 1 ) 1 1 ( c 10 1 ) 1 1 ( c 11 1 ) 1 1 ) ( ( πj 3 c 1 1 ) ( 1 1 ) ( c 13 1 ) ( 1 1 ) ( c 14 1 ) ( 1 1 ) ) ( ( πj 3 c 15 1 ) ( 1 1 ) ) = ω 0 (c c c 0010 ) (14 9

109 ω 0 ( c c c ) ω 0 (c c c ) ω 0 ( c c c ) ω 0 (c c c ) ω 0 c ω 1 (c c c 0010 ) ω 1 ( c c c ) ω 1 ( c c c ) ω 1 (c c c ) ω 1 (c c c ) ω 1 c ω (c c c 0010 ) ω (c c c ) ω ( c c c ) ω (c c c ) ω ( c c c ) 93

110 ω c ω 3 (c c c 0010 ) ω 3 (c c c ) ω 3 (c c c ) ω 3 ( c c c ) ω 3 ( c c c ) ω 3 c πj 10 (c c c 0010 ) πj 10 (c c c ) πj 10 ( c c c ) πj 10 ( c c c ) πj 10 (c c c ) πj 10 c πj 0 (c c c 0010 ) πj 0 ( c c c ) πj 0 ( c c c ) 94

111 πj 0 ( c c c ) πj 0 ( c c c ) πj 0 c πj 30 (c c c 0010 ) πj 30 ( c c c ) πj 30 (c c c ) πj 30 (c c c ) πj 30 ( c c c ) πj 30 c πj 1 (c c c 0010 ) πj 1 ( c c c ) πj 1 (c c c ) πj 1 (c c c ) πj 1 ( c c c ) πj 1 c

112 πj 31 (c c c 0010 ) πj 31 ( c c c ) πj 31 ( c c c ) πj 31 ( c c c ) πj 31 ( c c c ) πj 31 c πj 3 (c c c 0010 ) πj 3 (c c c ) πj 3 ( c c c ) πj 3 ( c c c ) πj 3 (c c c ) πj 3 c

113 = ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 c ) ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 c ) ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 c 0010 ) ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 c ) ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 c ) ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 c ) ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 c ) ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 c ) ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 c ) ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 c ) ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 c ) ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 c ) ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 c ) ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 c ) ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 c ) ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 c ) (144) maka dengan demikian dapat leel energi dalam 4 qubit dapat di buat dalam bentuk tabel berrikut: 97

114 n E 4,n ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 c 8 ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 maka dengan demikian berdasarkan tabel energi daripada sistem 1 qubit, qubit, 3 qubit didapatkan pola umun untuk sistem level energi untuk N-qubit, yaitu sebagai berikut: E N,n = N 1 i=1 dengan k l ( 1 ) xi ω i π N 1 k=1 N i=0 ( 1 ) xi x k J kl (145) 98

115 BAB V PENERAPAN ALGORITMA DEUTSCH-JOZSA DALAM SISTEM 4 QUBIT Dalam aplikasi algoritma 4 qubit maka langkah yang harus kita cari pertama kali adalah kemungkinan -kemungkinan fungsi konstan dan fungsi setimbang, yaitu sebagai berikut: sebelumnya kita definisikan bahwa qubit masukan ψ = x 3 x x 1 x 0 (146) maka dapat kita ambil beberapa kemungkinan untuk fungsi konstan dan fungsi setimbang yaitu sebagai berikut: f k0 = 0 f k1 = 1 f s0 = x 3 f s1 = x 1 x 0 f s = x x 1 x 1 f s3 = x 3 x x 1 x 1 f s4 = x x 1 x 0 (konstan0) (konstan1) (setimbang0) (setimbang1) (setimbang) (setimbang3) (setimbang4) (147) maka dapat kita buat tabel untuk contoh fungsi-fungsi kotak hitam di atas, yaitu sebagai berikut: 99

116 x 3 x x 1 x 0 f k0 f k1 f s0 f s1 f s f s3 f s total kemungkinan kemudian dikarenakan operator unitary memenuhi: U k = U f I U f = ( 1) f (x) ψ (148) maka dengan demikian operator unitary untuk fungsi kotak hitam dapat di tuliskan sebagai berikut: U k0 = I I I I U k1 = I I I I U s0 = I I I σ z U s1 = I I σ z σ z (149) U s = I σ z σ z σ z U s3 = σ z σ z σ z σ z U s4 = I ([I σ z ] [σ z σ z ]) 100

117 di dalam algoritma Deutsh josza untuk 4 qubit dilakukan beberapa operasi terhadap operator, berikut adalah diagram daripada operator-operator tersebut: berdasarkan diagram Figure 1: Diagram Blok NMR 4 qubit diatas maka dapat kita tuliskan bahwa ψ = 0000 = = (150) 101

118 dan untuk operator densitasnya yaitu: ρ 0 = = ( ) 10

119 = (151) 103

120 maka matrik ρ 0 diatas dapat di pecah kembali dalam direct product matriks berikut: [ ] [ ] [ ] [ ] ρ 0 = [ [ ] = 1 [ ]] [ [ ] [ ]] [ [ ] [ ]] [ [ ] [ ]] ( ) ( ) ( ) ( ) = I I z I I z I I z I I z = 1 [ I I I I 1 ] (I I I I z I I I z I) 1 [ ] 1 4 (I I z I I I z I I I) 1 4 [I I I z I z I I z I I z I I z I z I] 1 4 [I z I I I z I 3z I I z I] (15) 1 4 [I zi z I I (I I z I z I z I z I I z I z )] 1 4 [ (I z I z I I z I z I z I z I)] I z I z I z I z = 1 [ I 1 ] (I 0z I 1z I z I 3z ) I 1z I 0z 1 4 [I zi 0z I z I 1z I 3z I 0z I 3z I 1z ] 1 4 [I 3zI z (I z I 1z I 0z I 3z I 1z I 0z I 3z I z I 0z I 3z I z I 1z )] 1 4 [4I 3zI z I 1z I 0z ] 104

121 maka dalam keadaan kesetimbangan termal ρ 0 dapat didekati dengan : 105 ρ 0 I 3z I z I 1z I 0z I z I I I I I I z I I I z I I I z I I I

122

123

124

125 109 =

126 = selain itu dari diagram di atas dapat juga diketahui bahwa operator uniter total dalam algoritma deutsch-josza adalah sebagai berikut: dimana ( π U 1 = R y = 1 4 U tot = U 5 U 4 U 3 U U 1 (154) ) ( ) ( ) ( ) π π π R y R y R y (153)

127 U = U f (fungsi kotak hitam) ( ) ( ) ( ) ( ) π π π π U 3 = R y R y R y R y ( π ) ( π ) ( π ) ( π ) (155) U 4 = R y R y R y R y U 5 = e iht maka dari perkalian operator uniter tersebut dapat dilakukan perkalian terlebih dahulu antara U 4 U 3, yaitu sebagai berikut: [ ( π ) ( π ) ( π ) ( π )] U 4 U 3 = R y R y R y R y [ ( ) ( ) ( π π π R y R y R y = R y ( π R y ( π ) ( π R y ) R y ( π = I I I I ) ( π R y ) ) R y ( π ) ( π R y ) R y ( π )] ) R y ( π sehingga hal ini membuat operator uniter totalnya menjadi U tot = U 5 (I I I I) U U 1 = U 5 U U 1 (157) langkah selanjutnya adalah menentukan U 5, dimana bentuk hamiltonian dalam sistem 4 qubit adalah sebagai berikut: ) (156) 111

128 H = ω 0 I I I I z ω 1 I I I z I ω I I z I I ω 3 I z I I I πj 10 I I I z I z πj 0 I I z I I z πj 30 I z I I I z πj 1 I I z I z I πj 31 I z I I z I πj 3 I z I z I I (158) maka didapatkan U 5 = exp [ i (ω 0 I I I I z ω 1 I I I z I ω I I z I I ω 3 I z I I I) t] exp [ i (πj 10 I I I z I z πj 0 I I z I I z πj 30 I z I I I z) t] (159) exp [ i (πj 1 I I z I z I πj 31 I z I I z I πj 3 I z I z I I) t] = R (ω 0 t) R (ω 1 t) R (ω t) R (ω 3 t) R (πj 10 t) R (πj 0 t) R (πj 30 t) R (πj 1 t) R (πj 31 t) R (πj 3 t) kita definisikan bahwa θ 0 = ω 0t θ 1 = ω 1t θ = ω t θ 3 = ω 3t θ 4 = πj 10 t θ 5 = πj 0 t θ 6 = πj 30 t θ 7 = πj 1 t θ 8 = πj 31 t θ 9 = πj 3 t (160) 11

129 maka pers. 14 dapat dituliskan sebagai berikut: U 5 = R (θ 0 ) R (θ 1 ) R (θ ) R (θ 3 ) R (4θ 4 ) R (4θ 5 ) R (4θ 6 ) (161) R (4θ 7 ) R (4θ 8 ) R (4θ 9 ) dimana 113

130 R (θ 0 ) = e iω 0I I I I zt = e iω 3 t I I I σ z = cos θ 0 I I I I i sin θ 0 I I I σ z = cos θ

131 i sin θ

132 116 = e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ 0 (16)

133 R (θ 1 ) = e iω 1I I I z It = e iω 1 t I I σ z I = cos θ 1 I I I I i sin θ 1 I I σ z I = cos θ

134 i sin θ

136 R (θ ) = e iω I I I z It = e iω t I σ z I I = cos θ I I I I i sin θ 1 I σ z I I = cos θ

137 i sin θ

138 1 = e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ (164)

139 R (θ 3 ) = e iω 3I z I I It = e iω 3 t σ z I I I = cos θ 3 I I I I i sin θ 3 σ z I I I = cos θ

140 i sin θ

142 R (4θ 4 ) = e iπj 10I I I z I zt = e i πj 10 t I I σ z σ z = cos θ 4 I I I I i sin θ 4 I I σ z σ z = cos θ

143 i sin θ

145 R (4θ 5 ) = e iπj 0I I z I I zt = e i πj 0 t I σ z I σ z = cos θ 5 I I I I i sin θ 5 I σ z I σ z = cos θ

146 i sin θ

148 R (4θ 6 ) = e iπj 30I z I I I zt = e i πj 30 t σ z I I σ z = cos θ 6 I I I I i sin θ 6 σ z I I σ z = cos θ

149 i sin θ

151 R (4θ 7 ) = e iπj 1I I z I z It = e i πj 1 t I σ z σ z I = cos θ 7 I I I I i sin θ 7 I σ z σ z I = cos θ

152 i sin θ

154 R (4θ 8 ) = e iπj 31I z I I z It = e i πj 31 t σ z I σ z I = cos θ 8 I I I I i sin θ 8 σ z I σ z I = cos θ

155 i sin θ

157 R (4θ 9 ) = e iπj 3I z I z I It = e i πj 3 t σ z σ z I I = cos θ 9 I I I I i sin θ 9 σ z σ z I I = cos θ

158 i sin θ

160 144 maka dengan demikian didapatkan untuk operator U 5 adalah e β e β e β e β e β e β e β U 5 = e β e β e β e β e β e β e β e β e β 15 (17)

161 dengan β 0 = ie 4,0 t β = ie 4, t β 4 = ie 4,4 t β 6 = ie 4,6 t β 8 = ie 4,8 t β 1 0 = ie 4,10 t β 1 = ie 4,1 t β 1 4 = ie 4,14 t β 1 = ie 4,1 t β 3 = ie 4,3 t β 5 = ie 4,5 t β 7 = ie 4,7 t β 9 = ie 4,9 t β 1 1 = ie 4,11 t β 1 3 = ie 4,13 t β 1 5 = ie 4,15 t (173) dan E 0 = 1 [ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ] E 1 = 1 [ ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ] E = 1 [ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ] E 3 = 1 [ ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ] E 4 = 1 [ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ] E 5 = 1 [ ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ] E 6 = 1 [ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ] E 7 = 1 [ ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 = πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ] E 8 = 1 (174) [ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ] E 9 = 1 [ ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ] E 1 0 = 1 [ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ] E 1 1 = 1 [ ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ] E 1 = 1 [ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ] E 1 3 = 1 [ ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ] E 1 4 = 1 [ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ] E 1 5 = 1 [ ω 0 ω 1 ω ω 3 πj 10 πj 0 πj 30 πj 1 πj 31 πj 3 ] 145

162 apabila kita mengambil kasus untuk U = U k0 = I I I I maka operator unitary totalnya menjadi 146 U = U 5 (I I I I) U 1 = U 5 U 1 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 = 1 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 4 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 (175)

163 147 dan U = 1 4 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 (176)

164 maka dengan demikian kita dapatkan untuk nilai ρ 5 adalah 148 ρ 5 = Uρ 0 U e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 = 1 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 4 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15

165

166 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15

167 151 = ρ 0,1 8ρ 0, 0 8ρ 0, ρ 0, ρ 1, ρ 1,3 0 8ρ 1, ρ 1, ρ, ρ, ρ, ρ, ρ 3,1 8ρ 3, ρ 3, ρ 3, ρ ρ 4,5 8ρ 4, ρ 4, ρ 4, ρ 5, ρ 5, ρ 5, ρ 6, 0 8ρ 6, ρ 6, ρ 6, ρ 7,3 0 8ρ 7,5 8ρ 7, ρ 7,15 8ρ 8, ρ 8,9 8ρ 8,10 0 8ρ 8, ρ 9, ρ 9, ρ 9,11 0 8ρ 9, ρ 10, ρ 10, ρ 10, ρ 10, ρ 11, ρ 11,9 8ρ 11, ρ 11, ρ 1, ρ 1, ρ 1,13 8ρ 1, ρ 13, ρ 13, ρ 13, ρ 13, ρ 14, ρ 14,10 0 8ρ 14, ρ 14, ρ 15, ρ 15,11 0 8ρ15, 13 8ρ 15,14 0 (177)

168 15 = 1 0 ρ 0,1 ρ 0, 0 ρ 0, ρ 0, ρ 1,0 0 0 ρ 1,3 0 ρ 1, ρ 1, ρ,0 0 0 ρ,3 0 0 ρ, ρ, ρ 3,1 ρ 3, ρ 3,7 0 0 ρ 3, ρ ρ 4,5 ρ 4, ρ 4, ρ 4,1 0 0 ρ 5,4 0 0 ρ 5, ρ 5, ρ 6, 0 ρ 6,4 0 0 ρ 6, ρ 6, ρ 7,3 0 ρ 7,5 ρ 7, ρ 7,15 ρ 8, ρ 8,9 ρ 8,10 0 ρ 8, ρ 9, ρ 9,8 0 0 ρ 9,11 0 ρ 9, ρ 10, ρ 10,8 0 0 ρ 10, ρ 10, ρ 11, ρ 11,9 ρ 11, ρ 11, ρ 1, ρ 1, ρ 1,13 ρ 1, ρ 13, ρ 13,9 0 0 ρ 13,1 0 0 ρ 13, ρ 14, ρ 14,10 0 ρ 14,1 0 0 ρ 14, ρ 15, ρ 15,11 0 ρ15, 13 ρ 15,14 0 (178)

169 dengan ρ 0,1 = ρ 1,0 = e β 0 β 1 ρ 6,7 = ρ 7,6 = e β 6 β 7 ρ 0, = ρ,0 = e β 0 β ρ 6,14 = ρ 14,6 = e β 6 β 1 4 ρ 0,8 = ρ 8,0 = e β 8 β 1 ρ 8,9 = ρ 9,8 = e β 8 β 9 ρ 1,3 = ρ 3,1 = e β 1 β 3 ρ 8,10 = ρ 10,8 = e β 8 β 10 ρ 1,5 = ρ 5,1 = e β 1 β 5 ρ 8,1 = ρ 1,8 = e β 8 β 1 ρ 1,9 = ρ 9,1 = e β 1 β 9 ρ 9,11 = ρ 11,9 = e β 9 β 11 ρ,3 = ρ 3, = e β β 3 ρ 9,13 = ρ 13,9 = e β 9 β 13 ρ,6 = ρ 6, = e β β 6 ρ 10,11 = ρ 11,10 = e β 10 β 11 ρ,10 = ρ 10, = e β β 1 0 ρ 10,14 = ρ 14,10 = e β 10 β 14 ρ 3,7 = ρ 7,3 = e β 3 β 7 ρ 1,13 = ρ 13,1 = e β 1 β 13 ρ 3,11 = ρ 11,3 = e β 3 β 1 1 ρ 1,14 = ρ 14,1 = e β 1 β 14 ρ 4,5 = ρ 5,4 = e β 4 β 5 ρ 11,15 = ρ 15,11 = e β 11 β 15 ρ 4,6 = ρ 6,4 = e β 4 β 6 ρ 13,15 = ρ 15,13 = e β 13 β 15 ρ 4,1 = ρ 1,4 = e β 4 β 1 ρ 14,15 = ρ 14,15 = e β 14 β 15 ρ 5,7 = ρ 7,5 = e β 5 β 7 ρ 15,7 = ρ 7,15 = e β 7 β 15 ρ 5,13 = ρ 13,5 = e β 5 β 1 3 ρ 0,4 = ρ 4,0 = e β 0 β 4 (179) 153

170 dan β 0 β 1 = i (E 4,0 E 4,1 ) t β 0 β 4 = i (E 4,0 E 4,4 ) t β 1 β 3 = i (E 4,1 E 4,3 ) t β 1 β 9 = i (E 4,1 E 4,9 ) t β β 6 = i (E 4, E 4,6 ) t β 3 β 7 = i (E 4,3 E 4,7 ) t β 4 β 5 = i (E 4,4 E 4,5 ) t β 4 β 1 = i (E 4,4 E 4,1 ) t β 5 β 13 = i (E 4,5 E 4,13 ) t β 6 β 14 = i (E 4,6 E 4,14 ) t β 8 β 10 = i (E 4,8 E 4,10 ) t β 9 β 11 = i (E 4,9 E 4,11 ) t β 10 β 11 = i (E 4,10 E 4,11 ) t β 1 β 13 = i (E 4,1 E 4,13 ) t β 11 β 15 = i (E 4,11 E 4,15 ) t β 14 β 15 = i (E 4,14 E 4,15 ) t β 0 β = i (E 4,0 E 4, ) t β 0 β 8 = i (E 4,0 E 4,8 ) t β 1 β 5 = i (E 4,1 E 4,5 ) t β β 3 = i (E 4, E 4,3 ) t β β 10 = i (E 4, E 4,10 ) t β 3 β 11 = i (E 4,3 E 4,11 ) t β 4 β 6 = i (E 4,4 E 4,6 ) t β 5 β 7 = i (E 4,5 E 4,7 ) t (180) β 6 β 7 = i (E 4,6 E 4,7 ) t β 8 β 9 = i (E 4,8 E 4,9 ) t β 8 β 1 = i (E 4,8 E 4,1 ) t β 9 β 13 = i (E 4,9 E 4,13 ) t β 10 β 14 = i (E 4,10 E 4,14 ) t β 1 β 14 = i (E 4,1 E 4,14 ) t β 13 β 15 = i (E 4,13 E 4,15 ) t β 15 β 7 = i (E 4,15 E 4,7 ) t 154

171 155 dan E 4,0 E4, 1 = ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 E 4,0 E4, = ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 E 4,0 E4, 4 = ω πj 0 πj 1 πj 3 E 4,0 E4, 8 = ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 E 4,1 E4, 3 = ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 E 4,1 E4, 5 = ω πj 0 πj 1 πj 3 E 4,1 E4, 9 = ω 3 πj 30 πj 310 πj 3 E 4, E4, 3 = ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 E 4, E4, 6 = ω πj 0 πj 1 πj 3 E 4, E4, 10 = ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 E 4,3 E4, 7 = ω πj 0 πj 1 πj 3 E 4,3 E4, 11 = ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 E 4,4 E4, 5 = ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 E 4,4 E4, 6 = ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 E 4,4 E4, 1 = ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 E 4,5 E4, 7 = ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 E 4,5 E4, 13 = ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 E 4,6 E4, 7 = ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 E 4,6 E4, 14 = ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 E 4,8 E4, 9 = ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 E 4,8 E4, 10 = ω 1 πj 1 πj 31 πj 30 E 4,8 E4, 1 = ω πj 0 πj 1 πj 3 E 4,9 E4, 11 = ω 1 πj 10 πj 1 πj 3 E 4,10 E4, 11 = ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 E 4,10 E4, 14 = ω πj 0 πj 1 πj 3 E 4,1 E4, 13 = ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 E 4,1 E4, 14 = ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 E 4,11 E4, 15 = ω πj 0 πj 1 πj 3 E 4,13 E4, 15 = ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 E 4,14 E4, 15 = ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 E 4,9 E4, 13 = ω πj 0 πj 1 πj 3 E 4,15 E4, 7 = ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 (181)

172 maka dengan demikian suku-suku tidak nol dari matriks ρ 5 menjadi: ρ 0,1 = ρ 1,0 = e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t ρ 0, = ρ,0 = e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t ρ 0,4 = ρ 4,0 = e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t ρ 0,8 = ρ 8,0 = e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t ρ 1,3 = ρ 3,1 = e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t ρ 1,5 = ρ 5,1 = e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t ρ 1,9 = ρ 9,1 = e i(ω 3 πj 30 πj 310 πj 3 )t ρ,3 = ρ 3, = e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t ρ,6 = ρ 6, = e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t ρ,10 = ρ 10, = e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t ρ 3,7 = ρ 7,3 = e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t ρ 3,11 = ρ 11,3 = e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t ρ 4,5 = ρ 5,4 = e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t ρ 4,6 = ρ 6,4 = e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t ρ 4,1 = ρ 1,4 = e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t ρ 5,7 = ρ 7,5 = e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t ρ 5,13 = ρ 13,5 = e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t ρ 6,7 = ρ 7,6 = e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t ρ 6,14 = ρ 14,6 = e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t ρ 8,9 = ρ 9,8 = e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t ρ 8,10 = ρ 10,8 = e i(ω 1πJ 1 πj 31 πj 30 )t ρ 8,1 = ρ 1,8 = e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t (18) 156

173 ρ 9,11 = ρ 11,9 = e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 3 )t ρ 10,11 = ρ 11,10 = e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t ρ 10,14 = ρ 14,10 = e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t ρ 1,13 = ρ 13,1 = e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t ρ 1,14 = ρ 14,1 = e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t ρ 11,15 = ρ 15,11 = e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t ρ 7,15 = ρ 15,7 = e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t ρ 13,15 = ρ 15,13 = e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t ρ 14,15 = ρ 15,14 = e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t ρ 9,13 = ρ 13,9 = e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t (183) 157

174 setelah di dapatkan matriks densitas ρ 5 maka dapat diukur nilai magetisasi dari sistem M, untuk mengukur nilai magnetisasi sebelumnya harus ditentukan terlebih dahulu representasi matriks daripada operator penaik dari masing-masing qubit : yaitu sebagai berikut: I 0 = I I I (I x ii y ( ) ( ) = = ( ) ( ) (184) 158

175 I 1 = I I (I x ii y ) I ( ) ( ) = = ( ) ( ) (185) 159

176 I = I (I x ii y ) I I ( ) ( ) = = ( ) ( ) (186) 160

177 I 3 = (I x ii y I I I ( ) ( ) = = ( ) ( maka dapat ditentukan nilai magnetisasi dari masingmasing qubitnya yaitu sebagai berikut: ) (187) 161

178 (I 3 ρ 5 ) =

179 ρ 0,1 ρ 0, 0 ρ 0, ρ 0, ρ 1,0 0 0 ρ 1,3 0 ρ 1, ρ 1, ρ,0 0 0 ρ,3 0 0 ρ, ρ, ρ 3,1 ρ 3, ρ 3,7 0 0 ρ 3, ρ ρ 4,5 ρ 4, ρ 4, ρ 5,1 0 0 ρ 5,4 0 0 ρ 5, ρ 5, ρ 6, 0 ρ 6,4 0 0 ρ 6, ρ 6, ρ 7,3 0 ρ 7,5 ρ 7, ρ 7,15 ρ 8, ρ 8,9 ρ 8,10 0 ρ 8, ρ 9, ρ 9,8 0 0 ρ 9,11 0 ρ 9, ρ 10, ρ 10,8 0 0 ρ 10, ρ 10, ρ 11, ρ 11,9 ρ 11, ρ 11, ρ 1, ρ 1, ρ 1,13 ρ 1, ρ 13, ρ 13,9 0 0 ρ 13,1 0 0 ρ 13, ρ 14, ρ 14,10 0 ρ 14,1 0 0 ρ 14, ρ 15, ρ 15,11 0 ρ15, 13 ρ 15,14 0

180 164 = 1 ρ 8, ρ 8,9 ρ 8,10 0 ρ 8, ρ 9, ρ 9,8 0 0 ρ 9,11 0 ρ 9, ρ 10, ρ 10,8 0 0 ρ 10, ρ 10, ρ 11, ρ 11,9 ρ 11, ρ 11, ρ 1, ρ 1, ρ 1,13 ρ 1, ρ 13, ρ 13,9 0 0 ρ 13,1 0 0 ρ 13, ρ 14, ρ 14,10 0 ρ 14,1 0 0 ρ 14, ρ 15, ρ 15,11 0 ρ 15,13 ρ 15,14 0

181 M 3 = I 3 = tr (I 3 ρ 5 ) = ρ 8,0 ρ 9,1 ρ 10, ρ 11,3 ρ 1,4 ρ 13,5 ρ 14,6 ρ 15,7 (188) dan (I ρ 5 ) =

183 167 = 1 ρ 4, ρ 4,5 ρ 4, ρ 4, ρ 5,1 0 0 ρ 5,4 0 0 ρ 5, ρ 5, ρ 6, 0 ρ 6,4 0 0 ρ 6, ρ 6, ρ 7,3 0 ρ 7,5 ρ 7, ρ 7, ρ 1, ρ 1, ρ 1,13 ρ 1, ρ 13, ρ 13,9 0 0 ρ 13,1 0 0 ρ 13, ρ 14, ρ 14,10 0 ρ 14,1 0 0 ρ 14, ρ 15, ρ 15,11 0 ρ15, 13 ρ 15,14 0 (189)

184 M = I = tr (I ρ 5 ) = ρ 4,0 ρ 5,1 ρ 6, ρ 7,3 ρ 1,8 ρ 13,9 ρ 14,10 ρ 15,11 (190) dan (I 1 ρ 5 ) =

186 170 = 1 ρ,0 0 0 ρ,3 0 0 ρ, ρ, ρ 3,1 ρ 3, ρ 3,7 0 0 ρ 3, ρ 6, 0 ρ 6,4 0 0 ρ 6, ρ 6, ρ 7,3 0 ρ 7,5 ρ 7, ρ 7, ρ 10, ρ 10,8 0 0 ρ 10, ρ 10, ρ 11, ρ 11,9 ρ 11, ρ 11, ρ 14, ρ 14,10 0 ρ 14,1 0 0 ρ 14, ρ 15, ρ 15,11 0 ρ15, 13 ρ 15,14 0 (191)

187 M 1 = I 1 = tr (I 1 ρ 5 ) = ρ,0 ρ 3,1 ρ 6,4 ρ 7,5 ρ 10,8 ρ 11,9 ρ 14,1 ρ 15,13 (19) dan (I 0 ρ 5 ) =

189 173 = 1 ρ 1,0 0 0 ρ 1,3 0 ρ 1, ρ 1, ρ 3,1 ρ 3, ρ 3,7 0 0 ρ 3, ρ 5,1 0 0 ρ 5,4 0 0 ρ 5, ρ 5, ρ 7,3 0 ρ 7,5 ρ 7, ρ 7,15 0 ρ 9, ρ 9,8 0 0 ρ 9,11 0 ρ 9, ρ 11, ρ 11,9 ρ 11, ρ 11, ρ 13, ρ 13,9 0 0 ρ 13,1 0 0 ρ 13, ρ 15, ρ 15,11 0 ρ15, 13 ρ 15,14 0 (193)

190 M 0 = I 0 = tr (I 0 ρ 5 ) = ρ 1,0 ρ 3, ρ 5, ρ 7,6 ρ 9,8 ρ 11,10 ρ 13,1 ρ 15,14 (194) maka dengan demikian nilai magnetisasi total dari sistem adalah sebagai berikut: M tot = M 3 M M 1 M 0 = ρ 8,0 ρ 9,1 ρ 10, ρ 11,3 ρ 1,4 ρ 13,5 ρ 14,6 ρ 15,7 ρ 4,0 ρ 5,1 ρ 6, ρ 7,3 ρ 1,8 ρ 13,9 ρ 14,10 ρ 15,11 ρ,0 ρ 3,1 ρ 6,4 ρ 7,5 ρ 10,8 ρ 11,9 ρ 14,1 ρ 15,13 ρ 1,0 ρ 3, ρ 5,4 ρ 7,6 ρ 9,8 ρ 11,10 ρ 13,1 ρ 15,14 = e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1πJ 1 πj 31 πj 30 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 3 )t e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t 174 (195)

191 kemudian didapatkan juga untuk sinyal FID sebagai berikut: S = M tot e R t = e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t (196) e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 πj 1 πj 31 πj 30 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t dimana R = 1 T 175

192 kemudian dapat di cari terlebih dahulu untuk perkalian antara S (t) e iωt yaitu sebagi berikut: S (t) e iωt = e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t 176

193 e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ωπj 1 πj 31 πj 30 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t (197) 177

194 Transformasi Fourirer dari sinyal FiD adalah sebagai berikut: S (ω) = S (t) e iωt dt 0 e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t = (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) 178

195 e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t (R (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) e i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) e (R i(ω 1 ωπj 1 πj 31 πj 30 ))t (R i (ω 1 ω πj 1 πj 31 πj 30 )) e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) (R e i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) (R e i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 ))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 )) (R e i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) (R e i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) (R e i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) (R e i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) (R e i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) 179

196 1 = (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) 1 (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) 1 (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) 1 (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) 1 (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) 1 (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) 1 (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) 1 (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) 1 (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) 1 (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) 1 (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) 1 (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) 1 (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) 1 (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) 1 (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) 1 (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) 1 (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) 1 (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) 1 (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) 1 (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) 1 (R i (ω 1 ω πj 1 πj 31 πj 30 )) 1 (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 )) 1 (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) 1 (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) 1 (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) 1 (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) 1 (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) 1 (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) 1 (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) 1 (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) 1 (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) 1 (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) 180

197 = R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R i (ω 1 ω πj 1 πj 31 πj 30 ) R (ω 1 ω πj 1 πj 31 πj 30 ) R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 ) R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) 181

198 maka dengan demikian diperoleh : R A (ω) = R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) (198) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R R (ω 1 ω πj 1 πj 31 πj 30 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) 18

199 dan diperoleh juga: D (ω) = i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) i (ω 1 ω πj 1 πj 31 πj 30 ) R (ω 1 ω πj 1 πj 31 πj 30 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) kita telah memperoleh persamaan (16) yang menggambarkan nilai magnetisasi pada sumbu-x. Berikut adalah grafik daripada persamaan (16), diamana data yang dipakai untuk masing-masing qubit adalah sebesar ω 3 = 500MHz, ω = 300MHz, ω 1 = 0MHz, ω 0 = 16MHz, J 3 = 1, J 31 = 183 (199)

200 11, J 1 = 10, J 30 = 9, J 0 = 8; J 10 = 7, R = 7 spektrum Figure : Grafik untuk Uko yang terbentuk menggambarkan 4 buah puncak tertinggi dari doblet dimana setiap spektrum berisi puncak tertinggi, secara berturut-turut multiplet dari kiri ke kanan merepresentasikan dari qubit-3, qubit-, qubit-1, qubit-0. masingmasing multiplet terdiri dari puncak yang mengarah keatas hal ini mengindikiasikan bahwa setiap qubit adalah dalam keadaan spin up, atau keadaan 0, jadi pembacaan hasil algoritma berupa 000. Kedua puncak yang mengarah keatas dari setiap qubit menunjukkan bahwa tidak muncul keadaan terbelit dalam sistem 4 qubit apabila U = Uk0. 184

201 apabila diambil kasus untuk U = σ z I I I maka diperoleh untuk bentuk operator uniter totalnya adalah sebagai berikut: U = U 5 U U = U 5 (σ z I I I) U 1 e β e β e β e β e β e β e β = e β e β e β e β e β e β e β e β e β 15

202

203

204 188 = 1 4 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 (00)

205 189 U = e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 (01)

207

209 193 = ρ 0,1 8ρ 0, 0 8ρ 0, ρ 0, ρ 1, ρ 1,3 0 8ρ 1, ρ 1, ρ, ρ, ρ, ρ, ρ 3,1 8ρ 3, ρ 3, ρ 3, ρ ρ 4,5 8ρ 4, ρ 4, ρ 4, ρ 5, ρ 5, ρ 5, ρ 6, 0 8ρ 6, ρ 6, ρ 6, ρ 7,3 0 8ρ 7,5 8ρ 7, ρ 7,15 8ρ 8, ρ 8,9 8ρ 8,10 0 8ρ 8, ρ 9, ρ 9, ρ 9,11 0 8ρ 9, ρ 10, ρ 10, ρ 10, ρ 10, ρ 11, ρ 11,9 8ρ 11, ρ 11, ρ 1, ρ 1, ρ 1,13 8ρ 1, ρ 13, ρ 13, ρ 13, ρ 13, ρ 14, ρ 14,10 0 8ρ 14, ρ 14, ρ 15, ρ 15,11 0 8ρ15, 13 8ρ 15,14 0 (0)

210 194 = 1 0 ρ 0,1 ρ 0, 0 ρ 0, ρ 0, ρ 1,0 0 0 ρ 1,3 0 ρ 1, ρ 1, ρ,0 0 0 ρ,3 0 0 ρ, ρ, ρ 3,1 ρ 3, ρ 3, ρ 3, ρ ρ 4,5 ρ 4, ρ 4, ρ 4,1 0 0 ρ 5,4 0 0 ρ 5, ρ 5, ρ 6, 0 ρ 6,4 0 0 ρ 6, ρ 6, ρ 7,3 0 ρ 7,5 ρ 7, ρ 7,15 ρ 8, ρ 8,9 ρ 8,10 0 ρ 8, ρ 9, ρ 9,8 0 0 ρ 9,11 0 ρ 9, ρ 10, ρ 10,8 0 0 ρ 10, ρ 10, ρ 11, ρ 11,9 ρ 11, ρ 11, ρ 1, ρ 1, ρ 1,13 ρ 1, ρ 13, ρ 13,9 0 0 ρ 13,1 0 0 ρ 13, ρ 14, ρ 14,10 0 ρ 14,1 0 0 ρ 14, ρ 15, ρ 15,11 0 ρ15, 13 ρ 15,14 0 (03)

214 maka dengan demikian suku-suku tidak nol dari matriks ρ 5 menjadi: i(ω ρ 0,1 = ρ 1,0 = e 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t i(ω ρ 0, = ρ,0 = e 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t i(ω ρ 0,4 = ρ 4,0 = e πj 0 πj 1 πj 3 )t i(ω ρ 0,8 = ρ 8,0 = e 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t i(ω ρ 1,3 = ρ 3,1 = e 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t i(ω ρ 1,5 = ρ 5,1 = e πj 0 πj 1 πj 3 )t i(ω ρ 1,9 = ρ 9,1 = e 3 πj 30 πj 310 πj 3 )t i(ω ρ,3 = ρ 3, = e 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t i(ω ρ,6 = ρ 6, = e πj 0 πj 1 πj 3 )t i(ω ρ,10 = ρ 10, = e 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t i(ω ρ 3,7 = ρ 7,3 = e πj 0 πj 1 πj 3 )t i(ω ρ 3,11 = ρ 11,3 = e 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t i(ω ρ 4,5 = ρ 5,4 = e 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t i(ω ρ 4,6 = ρ 6,4 = e 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t i(ω ρ 4,1 = ρ 1,4 = e 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t i(ω ρ 5,7 = ρ 7,5 = e 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t i(ω ρ 5,13 = ρ 13,5 = e 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t i(ω ρ 6,7 = ρ 7,6 = e 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t i(ω ρ 6,14 = ρ 14,6 = e 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t i(ω ρ 8,9 = ρ 9,8 = e 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t i(ω ρ 8,10 = ρ 10,8 = e 1 πj 1 πj 31 πj 30 )t i(ω ρ 8,1 = ρ 1,8 = e πj 0 πj 1 πj 3 )t i(ω ρ 9,11 = ρ 11,9 = e 1 πj 10 πj 1 πj 3 )t i(ω ρ 10,11 = ρ 11,10 = e 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t i(ω ρ 10,14 = ρ 14,10 = e πj 0 πj 1 πj 3 )t i(ω ρ 1,13 = ρ 13,1 = e 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t i(ω ρ 1,14 = ρ 14,1 = e 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t i(ω ρ 11,15 = ρ 15,11 = e πj 0 πj 1 πj 3 )t i(ω ρ 7,15 = ρ 15,7 = e 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t i(ω ρ 13,15 = ρ 15,13 = e 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t i(ω ρ 14,15 = ρ 15,14 = e 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t i(ω ρ 9,13 = ρ 13,9 = e πj 0 πj 1 πj 3 )t (07) maka dapat ditentukan nilai magnetisasi dari masing-masing qubitnya yaitu sebagai berikut: 198

215 (I 3 ρ 5 ) =

218 M 3 = I 3 = tr (I 3 ρ 5 ) = (ρ 8,0 ρ 9,1 ρ 10, ρ 11,3 ρ 1,4 ρ 13,5 ρ 14,6 ρ 15,7 ) (08) dan (I ρ 5 ) =

224 M 1 = I = tr (I ρ 5 ) = ρ,0 ρ 3,1 ρ 6,4 ρ 7,5 ρ 10,8 ρ 11,9 ρ 14,1 ρ 15,13 (1) dan (I 0 ρ 5 ) =

227 M 0 = I 0 = tr (I 0 ρ 5 ) = ρ 1,0 ρ 3, ρ 5, ρ 7,6 ρ 9,8 ρ 11,10 ρ 13,1 ρ 15,14 (14) maka dengan demikian nilai magnetisasi total dari sistem adalah sebagai berikut: M tot = M 3 M M 1 M 0 = ρ 8,0 ρ 9,1 ρ 10, ρ 11,3 ρ 1,4 ρ 13,5 ρ 14,6 ρ 15,7 ρ 4,0 ρ 5,1 ρ 6, ρ 7,3 ρ 1,8 ρ 13,9 ρ 14,10 ρ 15,11 ρ,0 ρ 3,1 ρ 6,4 ρ 7,5 ρ 10,8 ρ 11,9 ρ 14,1 ρ 15,13 ρ 1,0 ρ 3, ρ 5,4 ρ 7,6 ρ 9,8 ρ 11,10 ρ 13,1 ρ 15,14 = e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1πJ 1 πj 31 πj 30 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 3 )t e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t (15) 11

229 kemudian dapat di cari terlebih dahulu untuk perkalian antara S (t) e iωt yaitu sebagi berikut: S (t) e iωt = e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ωπj 1 πj 31 πj 30 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t (17) 13

230 Transformasi Fourirer dari sinyal FiD adalah sebagai berikut: S (ω) = S (t) e iωt dt = 0 e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω3 ω πj30πj31πj3))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω3 ω πj30 πj31πj3))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω3 ω πj30πj31 πj3))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω3 ω πj30 πj31 πj3))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ω πj0πj1πj3))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ω πj0 πj1πj3))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ω πj0πj1 πj3))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ω πj0 πj1 πj3))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) e (R i(ω1 ω πj10πj1πj31))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) e (R i(ω1 ω πj10 πj1πj31))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) e (R i(ω 1 ωπj 1 πj 31 πj 30 ))t (R i (ω 1 ω πj 1 πj 31 πj 30 )) e (R i(ω1 ω πj10πj1 πj3))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) e (R i(ω1 ω πj10 πj1 πj31))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) e (R i(ω0 ω πj10πj0πj30))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) e (R i(ω0 ω πj10 πj0πj30))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) e (R i(ω0 ω πj10πj0 πj30))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) e (R i(ω0 ω πj10 πj0 πj30))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) 14

233 maka dengan demikian diperoleh : R A (ω) = R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) (18) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R R (ω 1 ω πj 1 πj 31 πj 30 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) 17

234 dan diperoleh juga: i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) D (ω) = R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) i (ω 1 ω πj 1 πj 31 πj 30 ) R (ω 1 ω πj 1 πj 31 πj 30 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) berdasarkan persamaan (18) maka didapatkan grafik sebagai berikut: (19) 18

235 Figure 3: Grafik untuk Us0 data yang dipakai untuk masing-masing qubit adalah sebesar ω 3 = 500MHz, ω = 300MHz, ω 1 = 0MHz, ω 0 = 16MHz, J 3 = 1, J 31 = 11, J 1 = 10, J 30 = 9, J 0 = 8, J 10 = 7, R = 7. untuku = U s0 = σ z I I I berdasarkan grafik Mx untuk U s0 maka didapatkan ada 3 multiplet mengarah keatas dan 1 multiplet mengarah ke bahwa dan dapat diketahui bahwa multiplet yang mengrah keatas adalah qubit- 3, qubit-, dan qubit-1 sedangkan multiplet yang mengarah ke bawah adalah qubit-0, sehingga hal ini mengindikasikan keadaan down-up-up-up atau berdasarkan grafik tersebut diketahui bahwa puncak mengarah mengikuti arah 4 puncak multiplet sehingga tidak terjadi keadaan terbelit untuk U = U s0 Dengan cara yang serupa dihasilkan komponen magnetisasi terhadap sumbu-x utnuk fungsi-fungsi lainnya, berikut 19

236 adalah grafik-grafiknya: Figure 4: Grafik untuk Us1 untuk u = U s1 = I I σ z σ z dapat diketahui berdasarkan grafik diatas bahwa ada multiplet yang mengarah keatas dan yang lain mengarah kebawah. Sehingga didapatkan keadaan up-up-down-down, secara berturut-turut berikut adalah qubit yang mengalami keadaan tersebut yaitu: qubit-3(up), qubit-(up), qubit-1(down) dan qubit-0 (down), sehingga keadaan dari sistem tersebut adalah Berdasarkan arah puncak pada masing-masing multiplet menunjukkan keadaan terbelit juga belum terjadi untuk U = U s1 0

237 Figure 5: Grafik untuk Us berdasarkan Grafik Mx utuk U s maka dapat diketahui bahwa ada 1 buah qubit dalam keadaan up dan 3 qubit yang lainnya dalam keadaan down, sehingga secara berturut-turut qubit-qubit tersebut adalah qubit-3(up), qubit-(down), qubit- 1(down), qubit-0(down). Maka dengan demikian grafik tersebut menunjukkan sistem dengan keadaan 0111, Selain itu bersdasarkan arah puncak dalam masing-masing multipletnya menunjukkan arah yang sama dengan arah puncak multipletnya, maka diketahui belum terjadi keadaan terbelit untuk sistem u = U s = I σ z σ z σ z 1

238 Figure 6: Grafik untuk Us3 berdasarkan Grafik Mx utuk U s3 dapat diketahui bahwa keempat puncak multiblet berada di bawah nol, hal ini menunjukkan bahwa semua qubit mengalami keadaan down, sehingga sistem ini menunjukkan keadaan 1111, dan berdasrakan arah puncak dari masing-masing multipletnya mengikuti arah puncak multiplet sehingga tidak terjadi keadaan terbelit untuk keadaan u = U s3 = σ z σ z σ z σ z

239 Figure 7: Grafik untuk Us4 berdasarkan Grafik Mx utuk U s4 dapat diketahui bahwa 1 buah qubit dalam keadan up, buah qubit dalam keadaan yang tercampur, dan 1 buah qubit dalam keadaan down. untuk buah qubit yang dalam keadaan campuran adalah qubit- dan qubit-1, sehingga keadaan terbelit sudah terjadi untuk sistem dengan U s4 = I ([I σ z ] [σ z σ z ]) 3

240 Halaman ini sengaja dikosongkan 4

241 BAB VI KESIMPULAN Berdasarkan Analisa Penerapan Algoritma Deutsch-Jozsa dalam sistem 4 qubit diperoleh kesimpulan sebgai berikut: 1. Didapatkan spektrum dlam sistem 4 qubit terdiri dari 4 puncak. setiap puncak menggambarkan keadaan dari masingmasing qubit, dari kiri ke kanan secara berurutan merupakan puncak qubit ke 3,,1 dan karakterisasi puncak up dan down menggambarkan keadaan spin up dan spin down. 4. berdasarkan Grafik Mx untuk U ko, U s1, U s, U s3, U s4 menggambarkan keadaan dari ψ out dari masing-masing fungsi yaitu sebagai berikut: ψ k0 = [ 0 1 ] ψ s0 = [ 0 1 ] ψ s1 = [ 0 1 ] ψ s = [ 0 1 ] (0) ψ s3 = [ 0 1 ] 5

242 6

243 DAFTAR PUSTAKA [1] Gasorowicsz, S., 003. Quantum Physics. Minneapolis: John Wiley and sons. Cahn, S.B., Mahan, G.D., Nad Gorny, N.E.,1997. A Guide to physicss problem part. New York: kluwer Academic Publisher. [] Griffiths, D.J.,1995. Introduction to Quantum Mechanics. London: Prentice Hall. [3] Haken H., 197. Quantum Field Theory of Solids an Introduction. Philipines: W.A Benjamin, Inc. [4 ] Marinescu Dan C., Marinescu Gabriella M., Lectures On Quantum Computing. Florida: University of Central Florida. [5] Nakahara Mikio., Ohmi Tetsuo., 008. Quantum Computing. CRC Press Taylor & Francis Group. [6] Purwanto A., 006. Fisika Kuantum, Yogyakarta : Penerbit Gava Media [7] Sakurai J.J, Advanced Quantum Mechanics. Chichago. Illinois. [8] Saputra, Y.D. Tugas Akhir Algoritma Deutsch-Josza 3 Qubit. Surabaya, ITS

244 lampiran 7.1 Penerapan Algoritma Deutsch jozsa 4 qubit untuk U = Us1 apabila diambil kasus untuk U = I I σ z σ z maka diperoleh untuk bentuk operator uniter totalnya adalah sebagai berikut: U = U 5 U U 1 7 = U 5 (σ z I I I) U 1 e β e β e β e β e β e β e β = e β e β e β e β e β e β e β e β e β 15

245

246

248 31 U = e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 e β 0 e β 1 e β e β 3 e β 4 e β 5 e β 6 e β 7 e β 8 e β 9 e β 10 e β 11 e β 1 e β 13 e β 14 e β 15 ()

250

252 35 = ρ 0,1 8ρ 0, 0 8ρ 0, ρ 0, ρ 1, ρ 1,3 0 8ρ 1, ρ 1, ρ, ρ, ρ, ρ, ρ 3,1 8ρ 3, ρ 3, ρ 3, ρ ρ 4,5 8ρ 4, ρ 4, ρ 4, ρ 5, ρ 5, ρ 5, ρ 6, 0 8ρ 6, ρ 6, ρ 6, ρ 7,3 0 8ρ 7,5 8ρ 7, ρ 7,15 8ρ 8, ρ 8,9 8ρ 8,10 0 8ρ 8, ρ 9, ρ 9, ρ 9,11 0 8ρ 9, ρ 10, ρ 10, ρ 10, ρ 10, ρ 11, ρ 11,9 8ρ 11, ρ 11, ρ 1, ρ 1, ρ 1,13 8ρ 1, ρ 13, ρ 13, ρ 13, ρ 13, ρ 14, ρ 14,10 0 8ρ 14, ρ 14, ρ 15, ρ 15,11 0 8ρ15, 13 8ρ 15,14 0 (3

253 36 = 1 0 ρ 0,1 ρ 0, 0 ρ 0, ρ 0, ρ 1,0 0 0 ρ 1,3 0 ρ 1, ρ 1, ρ,0 0 0 ρ,3 0 0 ρ, ρ, ρ 3,1 ρ 3, ρ 3, ρ 3, ρ ρ 4,5 ρ 4, ρ 4, ρ 4,1 0 0 ρ 5,4 0 0 ρ 5, ρ 5, ρ 6, 0 ρ 6,4 0 0 ρ 6, ρ 6, ρ 7,3 0 ρ 7,5 ρ 7, ρ 7,15 ρ 8, ρ 8,9 ρ 8,10 0 ρ 8, ρ 9, ρ 9,8 0 0 ρ 9,11 0 ρ 9, ρ 10, ρ 10,8 0 0 ρ 10, ρ 10, ρ 11, ρ 11,9 ρ 11, ρ 11, ρ 1, ρ 1, ρ 1,13 ρ 1, ρ 13, ρ 13,9 0 0 ρ 13,1 0 0 ρ 13, ρ 14, ρ 14,10 0 ρ 14,1 0 0 ρ 14, ρ 15, ρ 15,11 0 ρ15, 13 ρ 15,14 0 (4)

255 dan β 0 β 1 = i (E 4,0 E 4,1 ) t β 0 β 4 = i (E 4,0 E 4,4 ) t β 1 β 3 = i (E 4,1 E 4,3 ) t β 1 β 9 = i (E 4,1 E 4,9 ) t β β 6 = i (E 4, E 4,6 ) t β 3 β 7 = i (E 4,3 E 4,7 ) t β 4 β 5 = i (E 4,4 E 4,5 ) t β 4 β 1 = i (E 4,4 E 4,1 ) t β 5 β 13 = i (E 4,5 E 4,13 ) t β 6 β 14 = i (E 4,6 E 4,14 ) t β 8 β 10 = i (E 4,8 E 4,10 ) t β 9 β 11 = i (E 4,9 E 4,11 ) t β 10 β 11 = i (E 4,10 E 4,11 ) t β 1 β 13 = i (E 4,1 E 4,13 ) t β 11 β 15 = i (E 4,11 E 4,15 ) t β 14 β 15 = i (E 4,14 E 4,15 ) t β 0 β = i (E 4,0 E 4, ) t β 0 β 8 = i (E 4,0 E 4,8 ) t β 1 β 5 = i (E 4,1 E 4,5 ) t β β 3 = i (E 4, E 4,3 ) t β β 10 = i (E 4, E 4,10 ) t β 3 β 11 = i (E 4,3 E 4,11 ) t β 4 β 6 = i (E 4,4 E 4,6 ) t β 5 β 7 = i (E 4,5 E 4,7 ) t (6) β 6 β 7 = i (E 4,6 E 4,7 ) t β 8 β 9 = i (E 4,8 E 4,9 ) t β 8 β 1 = i (E 4,8 E 4,1 ) t β 9 β 13 = i (E 4,9 E 4,13 ) t β 10 β 14 = i (E 4,10 E 4,14 ) t β 1 β 14 = i (E 4,1 E 4,14 ) t β 13 β 15 = i (E 4,13 E 4,15 ) t β 15 β 7 = i (E 4,15 E 4,7 ) t dan 38

256 39 E 4,0 E4, 1 = ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 E 4,0 E4, = ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 E 4,0 E4, 4 = ω πj 0 πj 1 πj 3 E 4,0 E4, 8 = ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 E 4,1 E4, 3 = ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 E 4,1 E4, 5 = ω πj 0 πj 1 πj 3 E 4,1 E4, 9 = ω 3 πj 30 πj 310 πj 3 E 4, E4, 3 = ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 E 4, E4, 6 = ω πj 0 πj 1 πj 3 E 4, E4, 10 = ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 E 4,3 E4, 7 = ω πj 0 πj 1 πj 3 E 4,3 E4, 11 = ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 E 4,4 E4, 5 = ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 E 4,4 E4, 6 = ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 E 4,4 E4, 1 = ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 E 4,5 E4, 7 = ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 E 4,5 E4, 13 = ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 E 4,6 E4, 7 = ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 E 4,6 E4, 14 = ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 E 4,8 E4, 9 = ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 E 4,8 E4, 10 = ω 1 πj 1 πj 31 πj 30 E 4,8 E4, 1 = ω πj 0 πj 1 πj 3 E 4,9 E4, 11 = ω 1 πj 10 πj 1 πj 3 E 4,10 E4, 11 = ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 E 4,10 E4, 14 = ω πj 0 πj 1 πj 3 E 4,1 E4, 13 = ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 E 4,1 E4, 14 = ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 E 4,11 E4, 15 = ω πj 0 πj 1 πj 3 E 4,13 E4, 15 = ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 E 4,14 E4, 15 = ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 E 4,9 E4, 13 = ω πj 0 πj 1 πj 3 E 4,15 E4, 7 = ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 (7)

257 maka dapat ditentukan nilai magnetisasi dari masingmasing qubitnya yaitu sebagai berikut: (I 3 ρ 5 ) =

258 ρ 0,1 ρ 0, 0 ρ 0, ρ 0, ρ 1,0 0 0 ρ 1,3 0 ρ 1, ρ 1, ρ,0 0 0 ρ,3 0 0 ρ, ρ, ρ 3,1 ρ 3, ρ 3, ρ 3, ρ ρ 4,5 ρ 4, ρ 4, ρ 4,1 0 0 ρ 5,4 0 0 ρ 5, ρ 5, ρ 6, 0 ρ 6,4 0 0 ρ 6, ρ 6, ρ 7,3 0 ρ 7,5 ρ 7, ρ 7,15 ρ 8, ρ 8,9 ρ 8,10 0 ρ 8, ρ 9, ρ 9,8 0 0 ρ 9,11 0 ρ 9, ρ 10, ρ 10,8 0 0 ρ 10, ρ 10, ρ 11, ρ 11,9 ρ 11, ρ 11, ρ 1, ρ 1, ρ 1,13 ρ 1, ρ 13, ρ 13,9 0 0 ρ 13,1 0 0 ρ 13, ρ 14, ρ 14,10 0 ρ 14,1 0 0 ρ 14, ρ 15, ρ 15,11 0 ρ15, 13 ρ 15,14 0

266 M 1 = I 1 = tr (I 1 ρ 5 ) = (ρ,0 ρ 3,1 ρ 6,4 ρ 7,5 ρ 10,8 ρ 11,9 ρ 14,1 ρ 15,13 ) (3) dan (I 0 ρ 5 ) =

269 M 0 = I 0 = tr (I 0 ρ 5 ) = (ρ 1,0 ρ 3, ρ 5, ρ 7,6 ρ 9,8 ρ 11,10 ρ 13,1 ρ 15,14 ) (34) maka dengan demikian nilai magnetisasi total dari sistem adalah sebagai berikut: M tot = M 3 M M 1 M 0 = ρ 8,0 ρ 9,1 ρ 10, ρ 11,3 ρ 1,4 ρ 13,5 ρ 14,6 ρ 15,7 ρ 4,0 ρ 5,1 ρ 6, ρ 7,3 ρ 1,8 ρ 13,9 ρ 14,10 ρ 15,11 (ρ,0 ρ 3,1 ρ 6,4 ρ 7,5 ρ 10,8 ρ 11,9 ρ 14,1 ρ 15,13 ) (ρ 1,0 ρ 3, ρ 5,4 ρ 7,6 ρ 9,8 ρ 11,10 ρ 13,1 ρ 15,14 ) = e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1πJ 1 πj 31 πj 30 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 3 )t e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t 5 (35)

270 kemudian didapatkan juga untuk sinyal FID sebagai berikut: S = M tote R t = e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 πj 1 πj 31 πj 30 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t (36) dimana R = 1 T 53

271 kemudian dapat di cari terlebih dahulu untuk perkalian antara S (t) e iωt yaitu sebagi berikut: S (t) e iωt = e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t (37) e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ωπj 1 πj 31 πj 30 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t 54

275 maka dengan demikian diperoleh : A (ω) = R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R R (ω 1 ω πj 1 πj 31 πj 30 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) (38) 58

276 dan diperoleh juga: D (ω) = i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) R (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) R (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) i (ω 1 ω πj 1 πj 31 πj 30 ) R (ω 1 ω πj 1 πj 31 πj 30 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) R (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) R (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ) (39) 59

277 7. Penerapan Algoritma Deutsch jozsa 4 qubit untuk U = Us apabila diambil kasus untuk U = I σ z σ z σ z maka diperoleh untuk bentuk operator uniter totalnya adalah sebagai berikut: U = U 5 U U 1 60 = U 5 (σ z I I I) U 1 e β e β e β e β e β e β e β e = β e β e β e β e β e β e β e β e β 15

278

279

283

285 68 = ρ 0,1 8ρ 0, 0 8ρ 0, ρ 0, ρ 1, ρ 1,3 0 8ρ 1, ρ 1, ρ, ρ, ρ, ρ, ρ 3,1 8ρ 3, ρ 3, ρ 3, ρ 4, ρ 4,5 8ρ 4, ρ 4, ρ 4, ρ 5, ρ 5, ρ 5, ρ 6, 0 8ρ 6, ρ 6, ρ 6, ρ 7,3 0 8ρ 7,5 8ρ 7, ρ 7,15 8ρ 8, ρ 8,9 8ρ 8,10 0 8ρ 8, ρ 9, ρ 9, ρ 9,11 0 8ρ 9, ρ 10, ρ 10, ρ 10, ρ 10, ρ 11, ρ 11,9 8ρ 11, ρ 11, ρ 1, ρ 1, ρ 1,13 8ρ 1, ρ 13, ρ 13, ρ 13, ρ 13, ρ 14, ρ 14,10 0 8ρ 14, ρ 14, ρ 15, ρ 15,11 0 8ρ15, 13 8ρ 15,14 0 (4)

286 69 = 1 0 ρ 0,1 ρ 0, 0 ρ 0, ρ 0, ρ 1,0 0 0 ρ 1,3 0 ρ 1, ρ 1, ρ,0 0 0 ρ,3 0 0 ρ, ρ, ρ 3,1 ρ 3, ρ 3, ρ 3, ρ 4, ρ 4,5 ρ 4, ρ 4, ρ 4,1 0 0 ρ 5,4 0 0 ρ 5, ρ 5, ρ 6, 0 ρ 6,4 0 0 ρ 6, ρ 6, ρ 7,3 0 ρ 7,5 ρ 7, ρ 7,15 ρ 8, ρ 8,9 ρ 8,10 0 ρ 8, ρ 9, ρ 9,8 0 0 ρ 9,11 0 ρ 9, ρ 10, ρ 10,8 0 0 ρ 10, ρ 10, ρ 11, ρ 11,9 ρ 11, ρ 11, ρ 1, ρ 1, ρ 1,13 ρ 1, ρ 13, ρ 13,9 0 0 ρ 13,1 0 0 ρ 13, ρ 14, ρ 14,10 0 ρ 14,1 0 0 ρ 14, ρ 15, ρ 15,11 0 ρ15, 13 ρ 15,14 0 (43)

291 ρ 0,1 ρ 0, 0 ρ 0, ρ 0, ρ 1,0 0 0 ρ 1,3 0 ρ 1, ρ 1, ρ,0 0 0 ρ,3 0 0 ρ, ρ, ρ 3,1 ρ 3, ρ 3, ρ 3, ρ 4, ρ 4,5 ρ 4, ρ 4, ρ 4,1 0 0 ρ 5,4 0 0 ρ 5, ρ 5, ρ 6, 0 ρ 6,4 0 0 ρ 6, ρ 6, ρ 7,3 0 ρ 7,5 ρ 7, ρ 7,15 ρ 8, ρ 8,9 ρ 8,10 0 ρ 8, ρ 9, ρ 9,8 0 0 ρ 9,11 0 ρ 9, ρ 10, ρ 10,8 0 0 ρ 10, ρ 10, ρ 11, ρ 11,9 ρ 11, ρ 11, ρ 1, ρ 1, ρ 1,13 ρ 1, ρ 13, ρ 13,9 0 0 ρ 13,1 0 0 ρ 13, ρ 14, ρ 14,10 0 ρ 14,1 0 0 ρ 14, ρ 15, ρ 15,11 0 ρ15, 13 ρ 15,14 0

296 M = I = tr (I ρ 5 ) = (ρ 4,0 ρ 5,1 ρ 6, ρ 7,3 ρ 1,8 ρ 13,9 ρ 14,10 ρ 15,11 ) (49) dan (I 1 ρ 5 ) =

298 81 = 1 ρ,0 0 0 ρ,3 0 0 ρ, ρ, ρ 3,1 ρ 3, ρ 3, ρ 3, ρ 6, 0 ρ 6,4 0 0 ρ 6, ρ 6, ρ 7,3 0 ρ 7,5 ρ 7, ρ 7, ρ 10, ρ 10,8 0 0 ρ 10, ρ 10, ρ 11, ρ 11,9 ρ 11, ρ 11, ρ 14, ρ 14,10 0 ρ 14,1 0 0 ρ 14, ρ 15, ρ 15,11 0 ρ 15,13 ρ 15,14 0 (50)

302 M 0 = I 0 = tr (I 0 ρ 5 ) = (ρ 1,0 ρ 3, ρ 5, ρ 7,6 ρ 9,8 ρ 11,10 ρ 13,1 ρ 15,14 ) (53) maka dengan demikian nilai magnetisasi total dari sistem adalah sebagai berikut: M tot = M 3 M M 1 M 0 = ρ 8,0 ρ 9,1 ρ 10, ρ 11,3 ρ 1,4 ρ 13,5 ρ 14,6 ρ 15,7 ρ 4,0 ρ 5,1 ρ 6, ρ 7,3 ρ 1,8 ρ 13,9 ρ 14,10 ρ 15,11 (ρ,0 ρ 3,1 ρ 6,4 ρ 7,5 ρ 10,8 ρ 11,9 ρ 14,1 ρ 15,13 ) (ρ 1,0 ρ 3, ρ 5,4 ρ 7,6 ρ 9,8 ρ 11,10 ρ 13,1 ρ 15,14 ) = e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1πJ 1 πj 31 πj 30 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 3 )t e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t 85 (54)

303 kemudian didapatkan juga untuk sinyal FID sebagai berikut: S = M tote R t = e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 π e (R i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 πj 1 πj 31 πj 30 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 πj 10 πj 0 π dimana R = 1 T 86

304 kemudian dapat di cari terlebih dahulu untuk perkalian antara S (t) e iωt yaitu sebagi berikut: S (t) e iωt = e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t (56) e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ωπj 1 πj 31 πj 30 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t 87

310 7.3 Penerapan Algoritma Deutsch jozsa 4 qubit untuk U = Us3 apabila diambil kasus untuk U = σ z σ z σ z σ z maka diperoleh untuk bentuk operator uniter totalnya adalah sebagai berikut: U = U 5 U U 1 93 = U 5 (σ z I I I) U 1 e β e β e β e β e β e β e β e = β e β e β e β e β e β e β e β e β 15

311

312

316

318 301 = ρ 0,1 8ρ 0, 0 8ρ 0, ρ 0, ρ 1, ρ 1,3 0 8ρ 1, ρ 1, ρ, ρ, ρ, ρ, ρ 3,1 8ρ 3, ρ 3, ρ 3, ρ 4, ρ 4,5 8ρ 4, ρ 4, ρ 4, ρ 5, ρ 5, ρ 5, ρ 6, 0 8ρ 6, ρ 6, ρ 6, ρ 7,3 0 8ρ 7,5 8ρ 7, ρ 7,15 8ρ 8, ρ 8,9 8ρ 8,10 0 8ρ 8, ρ 9, ρ 9, ρ 9,11 0 8ρ 9, ρ 10, ρ 10, ρ 10, ρ 10, ρ 11, ρ 11,9 8ρ 11, ρ 11, ρ 1, ρ 1, ρ 1,13 8ρ 1, ρ 13, ρ 13, ρ 13, ρ 13, ρ 14, ρ 14,10 0 8ρ 14, ρ 14, ρ 15, ρ 15,11 0 8ρ15, 13 8ρ 15,14 0 (61

326 M 3 = I 3 = tr (I 3 ρ 5 ) = (ρ 8,0 ρ 9,1 ρ 10, ρ 11,3 ρ 1,4 ρ 13,5 ρ 14,6 ρ 15,7 ) (66) dan (I ρ 5 ) =

329 M = I = tr (I ρ 5 ) = (ρ 4,0 ρ 5,1 ρ 6, ρ 7,3 ρ 1,8 ρ 13,9 ρ 14,10 ρ 15,11 ) (68) dan (I 1 ρ 5 ) =

335 M 0 = I 0 = tr (I 0 ρ 5 ) = (ρ 1,0 ρ 3, ρ 5, ρ 7,6 ρ 9,8 ρ 11,10 ρ 13,1 ρ 15,14 ) (7) maka dengan demikian nilai magnetisasi total dari sistem adalah sebagai berikut: M tot = M 3 M M 1 M 0 = (ρ 8,0 ρ 9,1 ρ 10, ρ 11,3 ρ 1,4 ρ 13,5 ρ 14,6 ρ 15,7 ) ρ 4,0 ρ 5,1 ρ 6, ρ 7,3 ρ 1,8 ρ 13,9 ρ 14,10 ρ 15,11 (ρ,0 ρ 3,1 ρ 6,4 ρ 7,5 ρ 10,8 ρ 11,9 ρ 14,1 ρ 15,13 ) (ρ 1,0 ρ 3, ρ 5,4 ρ 7,6 ρ 9,8 ρ 11,10 ρ 13,1 ρ 15,14 ) = e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1πJ 1 πj 31 πj 30 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 3 )t e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t 318 (73)

337 kemudian dapat di cari terlebih dahulu untuk perkalian antara S (t) e iωt yaitu sebagi berikut: S (t) e iωt = e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ωπj 1 πj 31 πj 30 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t (75) 30

343 7.4 Penerapan Algoritma Deutsch jozsa 4 qubit untuk U = Us4 apabila diambil kasus untuk U = I ([I σ z ] [σ z σ z ]) maka diperoleh untuk bentuk operator uniter totalnya adalah sebagai berikut: U = U 5 U U 1 36 = U 5 (σ z I I I) U 1 e β e β e β e β e β e β e β = e β e β e β e β e β e β e β e β e β 15

344

345 (78)

346 39 = 1 4 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 0 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 3 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 4 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 5 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 6 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 7 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 8 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 9 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 10 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 11 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 1 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 13 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 14 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15 e β 15

349

351 334 = ρ 0,1 8ρ 0, 0 8ρ 0, ρ 0, ρ 1, ρ 1,3 0 8ρ 1, ρ 1, ρ, ρ, ρ, ρ, ρ 3,1 8ρ 3, ρ 3, ρ 3, ρ 4, ρ 4,5 8ρ 4, ρ 4, ρ 5, ρ 5, ρ 5, ρ 5, ρ 6, 0 8ρ 6, ρ 6, ρ 6, ρ 7,3 0 8ρ 7,5 8ρ 7, ρ 7,15 8ρ 8, ρ 8,9 8ρ 8,10 0 8ρ 8, ρ 9, ρ 9, ρ 9,11 0 8ρ 9, ρ 10, ρ 10, ρ 10, ρ 10, ρ 11, ρ 11,9 8ρ 11, ρ 11, ρ 1, ρ 1, ρ 1,13 8ρ 1, ρ 13, ρ 13, ρ 13, ρ 13, ρ 14, ρ 14,10 0 8ρ 14, ρ 14, ρ 15, ρ 15,11 0 8ρ15, 13 8ρ 15,14 0 (80)

365 M 1 = I 1 = tr (I 1 ρ 5 ) = ρ,0 ρ 3,1 ρ 6,4 ρ 7,5 ρ 10,8 ρ 11,9 ρ 14,1 ρ 15,13 (89) dan (I 0 ρ 5 ) =

368 M 0 = I 0 = tr (I 0 ρ 5 ) = (ρ 1,0 ρ 3, ρ 5, ρ 7,6 ρ 9,8 ρ 11,10 ρ 13,1 ρ 15,14 ) (91) maka dengan demikian nilai magnetisasi total dari sistem adalah sebagai berikut: M tot = M 3 M M 1 M 0 = ρ 8,0 ρ 9,1 ρ 10, ρ 11,3 ρ 1,4 ρ 13,5 ρ 14,6 ρ 15,7 ρ 4,0 ρ 5,1 ρ 6, ρ 7,3 ρ 1,8 ρ 13,9 ρ 14,10 ρ 15,11 ρ,0 ρ 3,1 ρ 6,4 ρ 7,5 ρ 10,8 ρ 11,9 ρ 14,1 ρ 15,13 (ρ 1,0 ρ 3, ρ 5,4 ρ 7,6 ρ 9,8 ρ 11,10 ρ 13,1 ρ 15,14 ) = e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3πJ 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω 3 πj 30 πj 31 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω πj 0 πj 1 πj 3 )t e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1πJ 1 πj 31 πj 30 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 3 )t e i(ω 1πJ 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 1 πj 10 πj 1 πj 31 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0πJ 10 πj 0 πj 30 )t e i(ω 0 πj 10 πj 0 πj 30 )t 351 (9)

370 kemudian dapat di cari terlebih dahulu untuk perkalian antara S (t) e iωt yaitu sebagai berikut: S (t) e iωt = e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω ω πj 0 πj 1 πj 3 ))t (94) e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ωπj 1 πj 31 πj 30 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 ))t e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t e (R i(ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 ))t 353

371 Transformasi Fourirer dari sinyal FID adalah sebagai berikut: S (ω) = S (t) e iωt dt = 0 e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω3 ω πj30πj31πj3))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω3 ω πj30 πj31πj3))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 ))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω3 ω πj30πj31 πj3))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω 3 ωπj 30 πj 31 πj 3 ))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω3 ω πj30 πj31 πj3))t (R i (ω 3 ω πj 30 πj 31 πj 3 )) e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ω πj0πj1πj3))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ω πj0 πj1πj3))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ω πj0πj1 πj3))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ωπj 0 πj 1 πj 3 ))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω ω πj0 πj1 πj3))t (R i (ω ω πj 0 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) e (R i(ω1 ω πj10πj1πj31))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) e (R i(ω1 ω πj10 πj1πj31))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) e (R i(ω 1 ωπj 1 πj 31 πj 30 ))t (R i (ω 1 ω πj 1 πj 31 πj 30 )) e (R i(ω1 ω πj10πj1 πj3))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 3 )) e (R i(ω 1 ωπj 10 πj 1 πj 31 ))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) e (R i(ω1 ω πj10 πj1 πj31))t (R i (ω 1 ω πj 10 πj 1 πj 31 )) e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) e (R i(ω0 ω πj10πj0πj30))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) e (R i(ω0 ω πj10 πj0πj30))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) e (R i(ω0 ω πj10πj0 πj30))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) e (R i(ω 0 ωπj 10 πj 0 πj 30 ))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) e (R i(ω0 ω πj10 πj0 πj30))t (R i (ω 0 ω πj 10 πj 0 πj 30 )) 354

376 Profil Penulis Bayu Dwi Hatmoko atau yang lebih akrab dipanggil Bayu dilahirkan di Kota Bojonegoro pada April Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara dari pasangan Bapak Sadiman dan Ibu Yukeshi Y.K. Penulis mengawali pendidikan formal di TK Dharma Wanita Jatiblimbing yang kemudian melanjutkan ke SDN Jatiblimbing II. Penulis menamatkan pendidikan menengah pertama di SMPN 3 Bojonegoro dan melanjutkan di SMAN 4 Bojonegoro. Pada tahun 01 penulis diterima di jurusan Fisika ITS melalui jalur SNMPTN Tulis yang terdaftar dengan NRP Penulis menggeluti bidang minat Fisika Teori selama berkuliah di Fisika ITS. Sejak SMA hingga masa perkuliahan, penulis aktif dalam kegiatan Karya Ilmiah dan ikut aktif berpartisipasi dalam kompetisi karya ilmiah. Selain itu, penulis juga aktif sebagai asisten dosen Fisika dasar dan asisten labolatorium Fisika Modern dan Gelombang. Harapan

Δείτε περισσότερα