ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE STAVEBNÁ FAKULTA. Katedra geodézie GEODÉZIA III GEODETICKÉ BODOVÉ POLIA

Transcript

1 ŽILINSKÁ UNIVERZI V ŽILINE SVEBNÁ FKUL Katedra eodéze GEODÉZI III GEODEICKÉ BODOVÉ POLI Učebý tet pre študeto bakalárkeho štúda odboru eodéza dae Prof I Ladla Btterer PhD 5

2 OBSH Predhoor MERČSKÉ VÝPOČOVÉ PRÁCE N URČENIE MERNÝCH VODOROVNÝCH SMEROV UHLOV Ooa mero meraá kupách Vroae úplých kupí 7 Stredé chb Výpočet hodot 5 Vroae eúplých kupí CENRÁCI OSNOVY MERNÝCH SMEROV Odmerae cetračých prko ceľa Výpočet cetračých zme ecetrckého ceľa Výpočet cetračých zme a ecetrckom taoku Redukca oo mero a cetrum 5 Redukca oo mero a ceľ 7 Vžadoaá preoť meraa cetračých prko 8 ORIENÁCI OSNOVY SMEROV ZÁKLDNÉ RIGONOMERICKÉ ÚLOHY Proram a ýpočet meríka a dĺžk tra Výpočet meríka bez tetoaa kadratu Pretíae apred meríkm Iteračý ýpočet pretíaa apred 5 5 Caho rešee pretíaa azad Haeoa úloha a určee eprítupej zdaleot 9 5 VÝPOČY V RIGONOMERICKEJ SIEI S VYROVNNÍM MEÓDOU NJMENŠÍCH ŠVORCOV 5 Pretíae apred meríkm 5 Vroae bodu určeého dĺžkam 5 5 Vroae úradíc bodu pretíaím apred účate určeým meríkm a dĺžkam 5 5 Vroae pretíaa azad 59 SREDNÁ ELIPS CHÝB 7 ROJUHOLNÍKOVÉ (RIGONOMERICKÉ) SIEE 7 7 Výpočet trojuholíkoých reťazco polóoou metódou 7 7 Výpočet trojuholíkoých reťazco potupým pretíaím 7 7 Vroae trojuholíkoého reťazca MNŠ ktorý je určeý doma základcam 7 7 Vroae trojuholíkoej ete odmeraej šetkým uhlam a dĺžkam 8 8 VYROVNNIE OBOJSRNNE PRIPOJENÉHO ORIENOVNÉHO POLYGÓNU MNŠ 89 9 VÝŠKOVÉ SIEE 95 9 Vroae ýškoej ete podľa podmekoých meraí 95 9 Vroae ýškoej ete podľa protredkujúh meraí RNSFORMÁCI SÚRDNÍC Použtá lteratúra

3 Predhoor Učebý tet Geodéza III Geodetcké bodoé pola je určeý študetom bakalárkeho štúda odboru eodéza a kartorafa Obahuje základé metód teretrckého zhuťoaa polohoého a ýškoého bodoého poľa jedoduchým roaím a roaím metódou ajmeších štorco (MNŠ) Obah tetu a aže a publkácu Btterer L: Vroáací počet ktorého aparát roaí MNŠ je uádzaý bez hlbšeho etlea a dôkazo zťaho ktoré ú použté pr ýpočtoch roaí a aalýze preot odmeraých a roáaých elčí Druhé dae učebého tetu om prepracoal a dopll o príklad roaím MNŠ Vchádzam pr tom z predpokladu že študet pozajú matcoé operáce a eda ch rešť použtím hodého matematckého ýpočtoého proramu Geodéza III je už udomáceý predmet učebých pláooch bakalárkeho štúda odboru eodéza a kartorafa a Staebej fakulte po zjedoteí učebých pláo a SU Bratlae a ŽU Žle Na hlbše študoae zhuťoaa polohoého bodoého poľa teretrckým metódam odporúčam učebcu beloč J a kol: Merae eodetckých eťach Učebý tet dooľujem oľe kopíroať a rozmožoať Ladla Btterer V Žle 5 5

4 MERSKÉ VÝPOOVÉ PRÁCE N URENIE MERNÝCH VODOROVNÝCH SMEROV UHLOV Polohoo teretrck zhuteá e bodoého poa je zameraá o zahu k okoltým bodom troometrckej ete a má tar ploše alebo líoo rozmeteej ete Je ureá úradcam daých troometrckých bodo (zažých bodo) odmeraým merm uhlam džkam a ato aj ch zájomou kombácou Pr zhuoaí bodoého poa kaltatíe poroáme odmeraé uhl a mer a prpraýme ch a zaradee do roaa a do ýpoto Vhodo meraa mero a uhlo Základá odpoe a otázku je hodé mera mer alebo uhl je daá úelom budoaej ete a požadakou a jej preo Pre lokálu e je SR merakým predpm taoeá metóda meraa mero kupách Pr ároých požadakách a preo ektorých úeloých etí a edá zaobí bez použta ektorej z metód meraa uhlo ktorej základom je merae uhlo laboratórej jedotke Rozdel medz meraím uhlo a meraím mero Vodoroý uhol je uhloá odahlo doch zlých roí preložeých taokom a ceoým bodm ureým praou a aou zámerou Jedotlé odmeraé uhl ú áhodé ezálé el Smer ú uroaé od ýchodkoého potaea lmbu teodoltu pr ktorom je ítací de prblže ataeý a ítae Jedotlé mer ú zálým áhodým elam Merae uhlo je zláštm prípadom meraa mero Pr rešeí otázok merakej preot a otázok úah roaím metódou ajmeších štorco (MNŠ) je uté rozlšoa obda pôob meraa Bohatá eodetcká lteratúra 9 toroa edí o záujme eoaom rozdelu meraa uhlo a mero utorm láko ú BESSEL SRUVE SCHREIBER Výledkom bolo odporuee mera základých each uhl lebo - ú meej opleé chbam plýajúcm z epeého potaea prítroja a zo zme atmofér zálých a ae - umožujú acáobé ataee a ce a kráta aoé trat plýajúce z obluh prítroja a zdroja oetlea - dooujú me preo meraých elí potom opakoaých meraí Vhode zotaeým proramom meraa jedotlého uhla môžeme docel elmácu koštate pôobah chýb ( metóda meraa uhlo laboratórej jedotke) - ú hodé pr ýkte zámer ktorých merae je z rôzch prí obtaže a je potrebé ch zamera o ajkratšom ae Preto a už 9 toroí zaal použía základých each a each šších rado metód meraa uhlo ale each žších rado a použíal rýchlejše metód meraa mero Pr meraí uhlo použíame teto metód: Schreberoú ektoroú fracúzku (metóda meraa uhlo od základého meru) rcholoú (ekoloeká metóda) merae uhlo laboratórej jedotke (autor I Koák) Pr meraí mero použíame metódu meraa mero kupách (tj úplých kupách) a eúplých kupách Poroae preot meraých mero a uhlo Uhol je rozdelom praého a aého meru (obr )

5 ω χ Obr Merae mero k pozáme základú tredú chbu meraého meru m potom je tredá chba jedekrát od m m m ureá zákoom meraého uhla ω pr roakej preot meraa mero ( ) o hromadeí tredých chýb m m m () ω m ω m m k je p áha meru a p ω áha jedekrát od meraého uhla potom je ch pomer ureý p ω : p : : () m m Jedoduché merae uhlo má poloú áhu poroaí jedoduchým meraím mero Opakoaým meraím a zäší áha dojté merae uhlo (tz merae jedej kup doch polohách alekohadu) Stredá chba odmeraého uhla m ω m ω m má tú tú tredú chbu a áhu ako jedoduché merae mero V dôledku toho a dá ur zálo preej chb dp a koc úek džk a chbe meraí mero d dp td / ρ () 5

6 Napr pr možot mera mer preoou 5 a požadake ab bola prea chba a koc meraa džk meša ako cm je možé mera troometrckej et mamálm džkam 5 km tj 5 km t 5 cm ( treda preot meraa) Nepreot pr meraí mero majú oj pôod celom rade chýb pôobeých prítrojom oobým latoam meraa a atmoférou Mohé z ch odtraujeme korekcam ektoré a šak edajú úple odtrá a oplujú ýledok meraa b bol meraké ýledk kalté je potrebé a rad ektorým záadam Merae a má rob za tablých poeterotých podmeok pr dobrej dteot ceoé zak (ál) môžu le mere broa Najhodejše obdoba a meraa ú de: - hod po ýchode a - hod pred západom Slka Najlepše ýledk je možé oakáa za chladého poaa pr zatahutej oblohe merom etre a pr zámerách ktoré a eprblžujú k zemkému porchu ac ež a m Vem dôležtá je rýchlo meraa Požaduje a ab mera eprekrol dobu mút a merae jedého meru kupe (t z zamera 5 mero kupách za 5 mút) k a kte prebehu meraa akákoek prekážka ktorá poruší roomero aoého ledu úkoo je uté merae preruš a opakoa Geodet V J SRUVE ked apíal že eodéz roako ako aj atroóm platí záada že oká preo a edoahe ekým potom meej preých meraí ale kôr malým potom meraí urobeých detaloch rýchlo a pree áto záada zšuje kaltu meraa a šetrí a Ooa mero meraá kupách Pr budoaí lokálch etí a použía hlae metóda meraa mero kupách Ooa mero a mera doch radoch líšah a polohou alekohadu zmlom otáaa aldád a lmbu prípade mkrometroým kladom Poet mero tejto oo emá preýš poet 8 až Prítroj a zhorzotuje cetruje a potaí do prej poloh alekohadu pr ktorej je ýškoý kruh ao od okuláru alekohadu ítae a prý mer (tz zaatok oo mero) a olí blízko ul tak ab ítae bolo äše ako dopredu zteá kolmaá chba prítroja Pr meraí a potupuje mere íloaa lmbu teodoltu Odmera a prý druhý až -tý mer oo Poledým merom oo je prý poatoý mer Súbor odmeraých hodôt prého až -tého meru ureý prej polohe alekohadu a olá prá rada Na odmerae aledujúcej druhej rad a pretoí alekohad prítroja do druhej poloh (ýškoý kruh je prao a ítae od okuláru alekohadu a prý mer je blízke ) Opaým potupom tj prot meru íloaa lmbu a odmera -tý (-) (-) mer a merae druhej rad a zoa ukoí ítaím a prý mer oo Obe rad torí celok tz prú kupu Druhá kupa a zaía opä meraím prej polohe a zmle íloaa lmbu ašak a poatoé ítae prého meru a ataí a hodotu kde je poet kupí a je rozah tupce optckého mkrometra (tupcoého mkrokopu) (Pozámka: k a použje a zamerae lokálej ete dojekudoý teodolt olí a pre bežé práce pre práce zýšeej preot alebo pr použtí meej preého teodoltu a olí ) alší potup druhej kupe a otatých kupách je podobý potupu meraa prej kupe Pr prácach šším árokm a preo meraa mero je potrebé dodrža aledujúce záad: a) Je potrebé tarotlo zol poatoý mer Muí b otro alzoaý dobre oetleý eme plýa tmaým pozadím poatok emá b bodom zameraaej lokálej ete môže b bodom o ezámch úradcach (emuí b eodetckým bodom) Najlepše pa požadak poatoého meru zdaleý bod ktorý a premeta a eerej trae oprot obrazu obloh Je pochopteé že takýchto bodo a dá áj le malý poet

7 b) Mera muí b zaceý tak ab jedotlé dele úko robl plulo roakých aoých teraloch a dotatoe rýchlo Ne je možé prput ab prebehu latého merakého úkou le hadáal ál zameraaých bodo Mera a te pod leíkom c) Bod oo mero majú b zoleé tak ab bol roomere rozložeé po horzote a ab pr meraí emuelo dochádza k ýrazému preotroau alekohadu táto záada má b dodržaá hlae pr preých prácach d) Odporúa a pred meraím každej kup prekotroloa a prípade potreb opra cetrácu a horzotácu prítroja Vroae úplých kupí Potup roaa ukážeme a jedoduchom príklade zaeom a obr Z bodu P bol odmeraé mer a bod P P P P troch kupách Na uree zájomej poloh mero taí jeda kupa (jede rad) otaté pozoroaa ú adbtoé Máme úlohu šetk meraa roa tak ab úet štorco oprá jedotlých odmeraých mero bol mmál ko ezáme máme tr uhl ktoré jadrujú zájomú polohu štroch mero Meraé mer ú protredkujúcou elou Preto pr roaí budeme potupoa poda metód roaa protredkujúh meraí Pr roaí chádzame zo šeobecého predpokladu že urea hod meraých mero Meraé hodot ítae a kruhu ozame ( ) uhl ozame poda obr Nula deleého kruhu ech leží ubooom mere apríklad mere P Zotame tz urujúce roce Medz L a L (preé hodot) plata poda obrázka teto zah Ψ L L Ψ L L () Ψ L L Obr Ooa mero Nameto preých hodôt uhlo Ψ zaedeme roaé uhl a meraé uhl opraíme o opra ab roce () bol pleé 7

8 8 ( ) ( ) (5) ( ) Hodota pre uloý mer PP a ktuje každej roc Ozame ju ako alšu ezámu z z () Redukcou premeru kup pr tredeí zápíka docelme tak Pre jedotlé meraa dotaeme potom roce oprá z - z - z - (7) z - oto platí pre prú kupu Pre druhú kupu dotaeme alše štr roce ktorých budú roaké ezáme ašak z bude é lebo poloha kruhu bola pr meraí druhej kupe pozmeeá Podobe pre tretu kupu máme štr roce alšou ezámou z Spolu roíc o ezámm b me mohl rozlíš jedotlé el ozame ch poda kupí ozaeých I II III deom Potom môžeme zota pre šetk kup teto tém roíc oprá: I I I I z z z z kupa II II II II z z z z 7 5 kupa (8) III III III III z z z z 9 8 kupa Roce oprá môžeme zapía matcoom tare ( ) ( ) ( ) ( ) (9) kde ( ) je poet mero ( ) je poet kupí Matca a ektor majú le

9 9 ( ) ( ) z z z ( ) III III III III II II II II I I I I Fukcu roaa metódou ajmeších štorco (MNŠ) formulujeme zahom m P P () Váh položíme a daoále matce P Fukca roaa MNŠ má tar ( )( ) () Vektor ezámch dotaeme derácou fukce poda premeej ktorú položíme roú ule () Rocu zapíšeme a predelíme doma / () Po doadeí roce oprá (9) do roce () a po úprae dotaeme ( ) () Normále roce matcoom tare N (5) a ektor ezámch je -N - () rapooaá matca má tar ( )

10 Výledkom úu matíc ú koefcet ormálch roíc ( ) ( ) ( ) N Na príklade ukážeme prcíp áobea matíc a a c c c a a c c c a a c c c b b b b b b b a b a b a c b a c le matíc roc (5) ú N z z z z z z z z z z z z III II I Normále roce (5) majú tar z z z z III II I z z z z z z z z (7) Smbol Σ I zameá úet šetkých I prej kupe Σ II zameá úet šetkých II druhej kupe a pod Smbol Σ zameá úet mero I až III kupe Z prých troch roíc uríme ezáme z

11 z z z I ( ) II ( ) III ( ) Z toho po poítaí roíc dotaeme (8) z z z ( ) (9) I II III Položl me (poítae hodot po tpcoch rocach (8) k rocu (9) doadíme do druhých troch roíc (7) dotaeme () Ke položíme (poítaé hodot mero radkoch) po poítaí roíc () a úprae bude () 9 Použl me úprau a pod Prpoítajme rocu () potupe k prej druhej a tretej roc () a dotaeme ezáme z toho () Poda predu uedeého ozaea zameá úet šetkých meraí I až III Skupe pre prý mer roako a je úet šetkých meraí pre druhý a tretí mer Nakoko máme tr kup máme aj tr hodot pre tr hodot pre at Roce () poda toho jadrujú že roaú hodotu jedého meru ktorého zájomá poloha zhadom a otaté mer je ureá uhlaloým hodotam dotaeme tredeím šetkých meraí prlúchajúh tomuto meru eto pozatok možo rozšír a mero Všmme akú lato majú opra Pre prú kupu máme poda roce (5)

12 z z () z I I z I Z toho po doadeí ( ) I z z roce (8) je I I I ( ) I ( ) I Podobe pre druhú a tretu rocu bude II ( ) II () III ( ) III Roce () poítame ( ) Vpredu me už ukázal že I II III potom bude ( ) Roce () poítame a po úprae dotaeme I II ( ) III (5) Vdíme že úet šetkých oprá po roaí a roá ule K tomuto pozatku b me došl aj z podmek mma Prá deráca ýrazu m poda premeých muí a roa ule Pr praktckom rešeí roaa mero tredíme šetk mer poda roce () a potom jedotlé kup pootoíme tak ab úet oprá a každej kup praktck roal ule I

13 Ztíme to tak že zo poítaých roíc () kupe poítame toee I z kde je poet mero ktoré doadíme apä do roce () Vted už íleé opra pajú podmeku I Podobe potupujeme aj a kupe Z oprá poítame tredú chbu meraého meru jedej kupe m (jedotkoú tredú chbu apoteróru ktorú ozaujeme tež σ ) a tredú chbu roaého meru kupách m Príklad Výpoet tredej chb meru meraého jedej kupe m a tredej chb roaého meru b 5 I Rad kupa II 5 I II 5 I II 55 I II 5 I II Premer kupa Premer kupa Premer Redukca Redukca Redukca abuka Premer z k Výpoet tredých chýb abuka b kupa kupa kupa δ δ δ δ δ I δ / - ( )( ) I m m m 5 II δ / 5 II - III δ / 8 III

14 Výpoet pootoeých mero poda roíc (8) abuka b kupa I kupa II kupa III Premer δ I - δ II - δ III - δ V príklade me ukázal že tredeé hodot mero a pootoeím praktck ezmel Stredé chb Stredú chbu jedého meru meraého jedej kupe (pre jedotkoú áhu) poítame zo zahu m () N ν N ν kde N - ν je poet adbtoých meraí k máme kupí a každej máme mero potom poet šetkých N je Nezáme ú uhlo a okrem toho každej kupe je ezáma oretaá ela z polu Potom ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N ν (7) Za áhu jedého meru me položl Potom áha roaého meru z kupí bude p a jeho tredá chba bude m m ± (8) Výpoet hodot Rozdel δ medz premerom kupí a ýtredeým hodotam kupe δ (9) e ú opra poda defíce roáaceho potu lebo prom mere a ktorý je každá kupa oretoaá môže b chba Preto pre jedotlé mer kutoé opra ú δ c ()

15 kde c zameá chbu prom mere Spoítaím šetkých pre mero dotaeme: δ c () o opraách ako o odchýlkach od artmetckého premeru platí Potom z roce () dotaeme δ c a jedotlé opra z roíc () budú δ δ δ δ () δ δ () δ Kotrola δ poítame z roíc () k a chceme hú ýpotu jedotlých oprá môžeme úet poíta z roce () Pre prú kupu bude δ δ δ c c c δδ δ c () a z toho zhadom a rocu () máme δ δ ( δ ) ( δ ) ( δ ) (5) Podobe b me ododl ýraz pre alše kup Potom hadaý úet pre šetk kup bude () 5

16 5 Vroae eúplých kupí Pre eodetcké práce u ktorých e ú kladeé oké požadak a preo eked užíame aj eúplú oou mero V eúplej ooe mero z rôzch dôodo ebolo možé odmera šetk mer ektorej zo kupí Pre emeraé mer emôžeme zota rocu oprá Neúplú oou mero je možé roa zotaeím roíc oprá (8) ašak matca roc (9) ebude ma pradelý tar Vektor ezámch poítame z roce () Pr praktckom rešeí roáme hadaé uhl prblžou metódou roaa Majme mero ktoré ú odmeraé kupách Smer I kupe ozame I I I I II II II II II kupe at Vtredeím zápíka dotaeme pre mer každej kupe Poda roíc () pr zohadeí potu meraých kupí pre každý mer poítame roaú hodotu meru Rozdel medz roaým merom I I apr δ Pre jedotlé mer môžeme apía zah a meraým merom ozame δ ( ) I II II δ δ I II II δ δ I δ δ I δ δ (7) I I II δ II δ δ δ Súet δ ako úet odchýlok od artmetckého premeru pr jedom mere ( radkoch) a bude roa ule Po oprae mero o hodot δ ebudú mer roaé pretože δ rozdel e ú opra o ktorých má zmle roáaceho potu plat m Jedotlé kup muíme pooto o chbu c oretác každej kup δ c (8) Rozdel δ I až -tej kupe poítame a dotaeme I II δ u δ u δ u δ (9) Hadaé pootoee kup pr meroch je budú jedotlé oretaé opra u Pretože poet mero kupách je rôz u u u c c c () p q r prom p q r je poet mero prílušej kupe oo mero Skupe äším potom meraých mero a prúd podel mešej opra meším potom meraých mero podel äšej opra V hodote c oretáce kup je tým zahrutá rôza áha zohadeá potom mero prílušej kupe O hodotu c pootoíme prílušú kupu Opraeé mer budú II c c c I I II c c c () I II c c c Z takto opraeého tému mero poítame poda roíc () roaé mer tup roaa Z opraeých mero () a roaých mero

17 poítame rozdel δ a odchýlk u (9) Z odchýlok Smer opraíme a poítame roaé mer u poítame opra a c c c ím dotaeme tupe roaa V príklade šmeme že roaé mer a azájom le em málo mea ale úet δ kleá a blíž a k mmu tj k Pr praktckom roaí eúplej oo mero koíme prým prípade druhým tupom roaa Príklad Vroae eúplých kupí abuka I kupa II kupa IIIkupa IVkupa V kupa Súet Premer b I II III b Σ Rozdel δ [ ] u c IV V Σ δ abuka 5 δ δ 8 9 abuka Opraeé mer c Premer I II III IV V c c c c c5 Σ Σ

18 b Rozdel δ [ ] δ u - - abuka 7 ( δ ) 5 c abuka 8 Opraeé mer c Premer I c II c III c IV c V c 5 Σ Σ b Rozdel δ [ ] δ u abuka 9 ( δ ) 88 c Výpot je hodé prekúša Chbé roae zehodotí odmeraé hodot Prekúšae ýpoto I kupe bude I u 8

19 a podobe alej alej at Opraeé mer tup roaa oeríme I I c 5 95 l Ke potupe poroáame út štorco rozdelo δ ( δ ) 88 hodot ( δ ) ( δ ) tup ked môžeme prja δ 5 Stredá chba jedého meru poda roce () je 5 m 9 N ν 9 ( 5 ) ( 5 5) Stredé chb tredeých mero ú 5 m m m m m δ 8 ( ) Vroae je možé uko už pr δ 5 9

20 CENRÁCI OSNOVY MERNÝCH SMEROV Pr meraí oo mero a táa že merame a ceľoú začku ktorá je potaeá ecetrck zhľadom k tablzoaému bodu lebo merame a ecetrckom taoku o zťahu k úradcoo určeému bodu Môže a tež ktúť že mer ú opleé ecetrctam oboch druho tj ecetrctou taoka ceľa V eodetckých eťach ecetrckým ceľm rep ecetrckým taokam emôžeme počítať uhloé uzáer bez cetráce oo mero Redukčé hodot ktoré elmujú pl ecetrct taoka rep ceľa azýame cetračé zme V tejto kaptole budeme použíať pojm a mbol: - cetrum C je tablzoaá poloha polohoého eodetckého bodu a ktorú a zťahujú úradce Ozačíme ho štorcom ( ) - taoko je bodoo defoaé meto a ktorého zlc a achádza preečík oí VHZ teodoltu Môže bť cetrcké ak je totožé cetrom alebo ecetrcké Ozačíme ho krúžkom ( ) - ceľoá začka E (ceľ) je meračká začka ktorá lúž a alzácu ceľa Ozačíme ju bodkou () Cetrum taoko a ceľ môžu bť totožé ale zdaleé od eba eked ekoľko metro Ceľ je alzoaý tabou (trojboká štorboká pramída) Ceľ je možé premetuť do ro tablzáce cetra a álede určť jeho cetračé prk Odmerae cetračých prko ceľa Obr Cetračé prk Polohu taoka meraa rep ceľa zhľadom k cetru určujeme cetračým prkam Sú to ecetrcká zdaleoť e taoka rep ceľa od cetra C a cetračý uhol ε Cetračý uhol ε merame a bode E od úradcoo zámeho bodu po cetrum C (ε) alebo a bode C (ε )

21 Polohu ecetrckého ceľa určíme tak že teodoltom hode zdaleým od meračkej eže doch a eba prblže kolmých meroch (lepše troch odtupom a 5 ) premeteme do úroe tablzáce cetra ceľoú začku (špčku) meračkej tab (pramíd) (obr ) Premetuté mer zatíme a dojcach kolíko začkam (klčekm) Premet ecetrckého ceľa predtauje preečík pojíc protľahlých začek a kolíkoch Potom odmerame dĺžku ecetrct a cetračý uhol ε Odmerae cetračého uhla ε pr malých ecetrctách (e < m ajkratša zdaleoť zaotrea teodoltu) je obtaže Vted potupujeme tak že apr looou šúrkou prblže predĺžme pojcu CE a tablzujeme bodom S V bode S (obr ) potaíme prítroj pokue do takej poloh ab bod E a C a achádzal a pojc Smer ES rep CS užjeme a odmerae cetračého uhla ε rep ε Výpočet cetračých zme ecetrckého ceľa Obr Cetračá zmea δ Bod P má ecetrcký ceľ E ktorý o zťahu k bodu C môže bť štroch kadratoch Polohu ceľa E určujú cetračé prk e a ε rep ε Napr z obr deť že ameto uhla ω a cetrckú polohu bodu P odmerame uhol ω ω δ Cetračú zmeu počítame z roce e δ arc ε () Pre malé hodot uhla δ platí δ δ /ρ δ ρ a cetračú zmeu jadríme π e ρ ε ()

22 Cetračé zme δ môžu bť kladé aj záporé Zameko cetračej zme plýa zo zájomej poloh cetra C a ceľa E Cetračý uhol ε bode E merame žd od meru EP po mer EC (EC a obr) Cetračý uhol ε bode C merame od meru C P po mer C E ( ) (obr ) k ε je opraeý uhol o cetračú zmeu ω ω δ k ε je opraeý uhol o cetračú zmeu ω ω δ Všeobece platý alebracký zťah a ýpočet cetračej zme uhla z ecetra a ceter je ω ω δ () ktorom je rešpektoaé zameko δ počítaé zo zťahu () Uhol ω predtauje uhloú odľahloť zámer medz bodm P a P Vpočítaá hodota uhla bude tým poľahlejša čím preejše odmerame cetračé prk Požadak a žadoaú preoť meraa cetračých prko ú kap Keď bol ameto cetračého uhla ε odmeraý uhol ε cetračý uhol δ počítame z roce ( ε ) e δ ρ k e < až m môžeme položť () Uhol δ podľa obr rešpektoaím zameok fukcí a co a zťahu () počítame z roce q δ arct p (5) kde q e ε alebo p e co ε δ ρ e ε () e coε Príklad : Výpočet cetračej zme ecetrckého ceľa a) V bode P (obr ) bol odmeraý uhol ω 55 zdaleoť PP 58 m Cetračé prk ceľa ú: e 5 m ε 575 e 5m δ ρ ε π 58m ω ω δ b) Cetračé prk ceľa ú: e 5 m ε 575 Cetračý uhol počítame podľa zťahu (5) e ε 5 m m arct arct δ arct 5 eco 58m 5 mco m ε ω 595

23 Výpočet cetračých zme a ecetrckom taoku Na ecetrckom taoku E bol odmeraý uhol ω ameto uhla ω ktorý ebolo možé odmerať a bode C Na určee cetračých zme δ a δ je potrebé odmerať ecetrctu e a cetračé uhl ε a ε Vzťah medz uhlam ω a ω je ω ω δ δ ω ω δ δ (7) Obr Ecetrcké taoko Podľa roce () je δ δ e (8) ρ ε e ρ ε Uhol ω je podľa obr ε ε ω ω ρ e (9) Redukca oo mero a cetrum Obr a obr predtaujú určee cetračých zme pr ecetrcte taoka le pr jedom mere rep jedom uhle V troometrckej et a môže ktúť moho mero opleých ecetrctou oboch druho ako to ukazuje obr Poloha bodu je tu začeá štorcom poloha ceľa bodom Ceľ je ecetrcký a bodoch Na bode 5 máme ecetrcké taoko teodoltu začeé krúžkom Na bode a ú ceľ a taoko teodoltu cetrcké Na obr máme šetk prípad ktoré môžu atať medz bodom (cetrom) a taokom teodoltu

24 Z obr je deť že pred ýpočtom cetračých zme môžeme prekúšať uzáer trojuholíko ba prípade keď taoko teodoltu je pod ceľom áto možoť a ktuje pr trojuholíkoch Naprot tomu e je možé týmto pôobom oerť uzáer uhlo trojuholíkoch a -5 - Obr Ooa mero ecetrckým ceľm a taokom meraa Úlohou je počítať cetrckú oou mero z oo mero odraej ecetrck tj máme redukoať ecetrckú oou mero a cetrum Za príklad zoľme oou a taoku Podľa obr 5 predpokladajme že ceľ a bode je cetrcký Jedotlé mer ozačme Nulu deleého kruhu ozačme ecetrcké taoko je E a cetrum je totožý troometrckým bodom C Z oo odmeraých mero me ododl cetračé uhl od meru EC po prílušé meraé bod k preueme oou do cetra C oretáca oo (mer oo ) otae ezmeeá zmea a uhl o cetračé uhl δ Smer oo redukoaej do cetra ozačme potom podľa obr 5 platí δ () δ δ Je potrebé počítať cetračé zme δ Z trojuholíka CE a ďalších trojuholíko máme e δ ( c ) e δ ( c ) () e δ ( c )

25 c zameá mer a cetrum Rozdel ( ) Môžeme položť ε c c zameá podľa obrázka cetračý uhol ε ε c () ε c Obr 5 Redukca oo mero a cetrum úto úprau oo azýame oretácou a mer EC Nakoľko cetračé zme δ ú malé môžeme δ ahradť uhlom δ /ρ podľa roce () Potom ýledé zťah a ýpočet cetračých zme δ budú: δ δ δ e ρ ε e () ρ ε e ρ ε Príklad : Redukca oo mero a cetrum Na ecetrckom taoku E (obr 5) bol odmeraé mer a cetrum C a a bod a Ecetrcta je m Oou mero redukujeme a cetrum použtím zťahu () 5

26 Čílo bodu ε abuľka č C e δ ρ ε δ C 958 e m m m m Doteraz me predpokladal že bod cetra C je určeý úradcam z ktorých môžeme počítať dĺžku eto predpoklad ebude žd pleý k merame ecetrckú oou mero pr určoaom bode ktorého epozáme úradce dĺžk emôžeme počítať V takomto prípade z eredukoaých uhlo počítame úradce ecetrckého taoka a z ch dĺžk k e je malé položíme a cetračé zme δ počítame podľa roíc () k je ecetrcta e eľká (e m) počítame δ potupou apromácou Podľa obrázka 5 máme apr daé e ε počítame cetračú zmeu δ ( ( ε δ )) e δ ktorá a praej trae roce je ezáma preto I apromáca je () I e δ ε (5) Vpočítame I δ a potom II ďalše apromáce ú ( ( ε δ I ) II δ e ( ( ε δ ) II III δ e atď akto potupujeme pokaľ zme hodote δ apr 5 ekleú pod žadoaú hodot preot Cetračé zme môžeme určť aj tak že počítame úradce bodu E a z ch úradce bodu C z ktorých potom počítame tra Príklad : Redukca oo mero a cetrum pr ezámch úradcach bodu C Na ecetrckom taoku E bol odmeraé mer a cetrum C 958 a a bod 5779 Pozáme dĺžku 99 m Ecetrcta je m Vpočítame redukcu meru a cetrum teračým potupom I teráca: I e δ ρ ε II e I II teráca: ρ ( ( ε δ ) δ 5

27 je Rozdel II I δ δ II δ 5 II δ poažujeme za ýledý cetračý uhol Cetroaý mer 5 Redukca oo mero a ceľ Na bode ecetrckým ceľom je ooa mero meraá cetrck Prípad je azačeý a obr Na taoku cetra C ú odmeraé mer a bod a Oou mero redukujeme a ceľ Odmeraé mer pr redukc a zmea cetračé uhl δ Na bode C je odmeraá ecetrcta álu e a jej mer c Pre opra δ platí e δ E e δ E e δ E ( ) ( ) ( ) () Obr Redukca oo mero a ceľ Za δ položíme δ /ρ a podľa roce () zaedeme uhl 7

28 ε E ε E (7) ε E Potom e δ ρ ε e δ ρ ε (8) e δ ρ ε Redukoaá ooa mero a ceľ potom bude δ (9) δ δ môžeme položť ktoré počítame zo úradíc Pr eľkom e počítame zme podľa roíc (5) alebo apromácou () ktorá je šak epohodlá Z toho plýa že prípade ecetrckého álu podľa možot žd totožíme taoko teodoltu o álom ým a zjedoduší ýpočet cetračých zme Okrem toho merae uhlo a čatoče aj ch redukcu môžeme prekúšať uzáerom trojuholíko Stra epozáme k je e malé ( e m) Príklad : Redukca oo mero a ceľ Na taoku cetra C bol odmeraé mer a ceľ e m Oou mero redukujeme a ceľ Čílo bodu ε E δ E a a bod a Ecetrcta je abuľka č δ E 958 e m m m m 59 Vžadoaá preoť meraa cetračých prko Preoť cetračej zme δ meraého ω je zálá od preot odmeraa ecetrct e cetračého uhla ε a dĺžk Dferecujeme rocu δ dδ e ρ ε () de e e ρ ε ρ ε d ρ coε dε 8

29 Za jedotlé premeé elč e ε a budeme doadzoať rôze hodot ab me ztl ako plýajú a cetračú zmeu k chba cetračej zme emá prekročť pr tredých pomeroch e < m > 5 m je potrebé merať ecetrctu e a mm cetračý uhol ε a dĺžk a m k e < m a > m pre uedeé žadoaé preot meraa e ε a cetračá zmea bude určeá preoťou 9

30 ORIENÁCI OSNOVY SMEROV Pr troometrckých úlohách a pr polárej metóde ktorých ú urujúcm prkam merík oretujeme oou mero do úradcoého tému ktorom poítame úradce bodo Vted oretoaé mer predtaujú meraé merík Bol odmeraé mer a bod P P P a P (obr ) Pre mer (t ) okrem odmeraej hodot pozáme aj merík σ S Úlohou je poíta roaý meraý merík σ S Poda (obr ) je potrebé ku každému meru prpoíta uhol z Uhol z je pou oretáce oo mero Vpoítame ho z roce z σ S z σ S z () σ S zt σ St t Obr Oretáca oo mero Z týchto t hodôt poítame artmetckým premerom pou oretáce oo mero z z z () t Vpoítame oou odmeraých meríko medz ktorým je roaý meraý merík σ S α z S α z () S α z S

31 Pre šetk mer t me položl roakú áhu k tredú chbu jedého meru ozaíme m tredá chba hodot z je tredá chba artmetckého premeru m z m t Stredá chba odmeraého meríka poda zákoa o hromadeí tredých chýb bude m t mα m mz m m () t t Poda šeobecého zahu pre áhu m c p (5) m m môžeme aplkoa t m α pα m pα m p m () t kde p je koštata ktorú jadríme hodotou p Váhu odmeraého meríka poítame zo zahu t p α (7) t Zo zahu (7) plýa že ím äší poet mero o zámm meríkm použjeme a oretácu oo mero tým je äša áha odmeraých (oretoaých) meríko Príklad Na taoku 8 bola odmeraá ooa mero a bod 7 5 a Je potrebé ur hodotu odmeraého meríka σ 8 ak pozáme merík z bodu 8 a bod 7 5 a σ 8 z σ 8 8 σ z z z ílo bodu [ ] [ ] z 95 [ ] Odmeraý merík σ a jeho tredá chba je 9 t mσ 7 Váha odmeraého meríka je p 8 t 5 σ

32 ZÁKLDNÉ RIGONOMERICKÉ ÚLOHY Podproram a ýpoet meríka a džk tra jazku fortra Podproram je zotaeý a ýpoet dojtej preot (DOUBLE PRECISION) C C PODPROGRM SMERNI (VYPOCE SMERNIK DLZKY SRNY) C SUBROUINE SMERNI (DYDX SIGMS) DOUBLE PRECISION FIRDINDYDXSIGMS NCR NLP RDIN/597 FIDN(DYD - /(DXD-))*RDIN IF(FIL)GO O IF(DYL) GO O SIGMFI GO O SIGMFI GO O IF(DYG)GO O SIGMFI GO O SIGMFI CONINUE SDSQR(DY*DYDX*DX) REURN END Kde DY Y Y DX X X RDIN /π Podproram je jazku H Fortra Výpoet meríka bez tetoaa kadratu Podproram môžeme zapía ako jedopríkazoú fukcu SIGM DN ((DY D - )/(DXD - ))*RDIN(-5*DSIGN(DY)- 5*DSIGN(DY)*DSIGN(DX))* () Platí apr: DSIGN(DY) DSIGN(-DY - ()

33 Výraz zátorkách fukcou DSIGN ú jedotlých kadratoch: I kadrat (-5-5 ) σ ϕ II kadrat (-5 5 ) σ -ϕ III kadrat (5 5 ) σ ϕ () IV kadrat (5 5 ) σ -ϕ Pretíae apred meríkm Noý bod je ureý meríkm z doch daých bodo (obr ) Daé ú úradce bodo P P P P 5 a uhl ω ω Vpoítame úradce bodu P Pre merík σ σ môžeme pía teto roce: ( ) t σ ( ) t σ () Druhú rocu () odítame od prej a pre dotaeme ( ) tσ ( ) σ ( ) tσ tσ t (5) tσ tσ Obr Výpoet pretíaa apred meríkm Od roce (5) a oboch traách odpoítame a po úprae dotaeme ( ) ( ) tσ () tσ tσ Od roce (5) a oboch traách odpoítame a po úprae dotaeme ( ) ( ) tσ (7) tσ tσ Poítaé úradce bodu P ú: tσ t σ (8)

34 Dojtým zhodým ýledkom je ýpoet kotroloaý poíajúc rocou (5) Smerík a ch taet e ú rocam (8) kotroloaé j pr chbých meríkoch dotaeme zhodé ýledk Preto muíme merík poahlo poíta V ašom prípade poda obr je: σ σ 5 ω σ (9) σ ω kde merík σ σ poítame zo úradíc prílušých bodo ω 5 ω ú odmeraé uhl Pr proramoom ýpote je hodé fukce tσ zadáa zahom σ/coσ Príklad : Máme daé úradce bodo 8 a merík σ 8 σ σ Pretíaím apred meríkm poítame úradce bodu (obr ) (Pozámka: Spoahlé rešee žaduje použ ajmeej de hodé kombáce pretíaa apred Príklad predtauje jedu z kombác) Daé údaje abuka ílo bodu σ [m] [] Pr ýpote redukujeme úradce o hodotu m a o hodotu 8 m ( ) 8 tσ 8 tσ 8 8 t tσ 9 5 ( 7 ) 9 ( 7 ) m m m ( ) tσ 8 9 m ( 99)( 7 ) 8 9 tσ 5 m ( ) ( ) t 55 ( ) tσ 8 tσ 899 m ( ) ( ) t 55 ( 87 7 ) tσ 8 tσ 899 m m m Súradce bodu z trojuholíka 8 ú 8 9 m 95 m

35 Iteraý ýpoet pretíaa apred Obr Pretíae apred meríkm Máme daé úradce bodo P a P a merík σ σ (obr ) Obr Iteraý ýpoet pretíaa apred Súradce bodu P poítame teraým potupom proramoého ýpotu metódou zhuoaa teralu ýpotu Zolíme mer teraého ýpotu apr a trae a budeme poíta úradce bodu P poka α < ε () kde ε je zoleá preo ýpotu (apr ε ( - ) ) α α α α σ σ () α σ σ a) Zolíme ýchodkoé podmek ýpotu: 5

36 - zaatoú polohu bodu P a pojc P P Môžeme polož P P alebo P umetme do ubooej zdaleot od bodu P (apr ) - ýchodkoý teral teráce (apr m) b) elo cklu obahuje: - ýpoet úradíc mere σ o zdaleot - ýpoet uhla α σ σ a () - rozdelu uhlo α α α () - uree meru teraého prblžoaa a k bodu V poda zameka a ( α ) () - tet ukoea ýpotu rep oé podmek aledujúcom teraom ckle k α < ε ýpoet je ukoeý potom (5) a Od druhej teráce ak α ε () a ( α ) a potom položíme pokraujeme oom ckle k ( α ) a rátme a k predchádzajúcemu kroku - zhutíme teral a poítame oú zdaleo (7) alej pokraujeme alšom ckle teraého ýpotu Iteraý potup ýpotu pretíaa apred (Btterer 99) aplkujeme pr uhloch α akéto ýpot pretíaa apred a ktujú pr aaltckom projektoaí opra koaje 5 Caho rešee pretíaa azad oto rešee a zakladá a eometrckej koštrukc uroaého bodu pochádzajúce od Caho (r 7) Kružce k k zotrojíme pomocou obodoých uhlo ω ω ad tetam Bod P leží a preeíku kružíc Premer kružíc k a k z bodu P pretíajú kružce bodoch B Ich pojca prechádza bodom P a je a mer P P kolmá Z obr je de že uhl P P a P P B ú praé a uhol P B je pram Koštrukca doouje ur bod P ako preeík kružíc alebo ako preeík pramok altck je ýhodé rešee preeíka pramok Nezáme uhl ϕ a máme aj pr bodoch a B Daé ú úradce bodo P P P a uhl ω ω V trojuholíku BP jadríme uhl ϕ a

37 ϕ ϕ (8) kde Obr Caho rešee pretíaa azad Od roíc (8) odítame a oboch traách a prpoítame Roce podelíme a upraíme ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ - ϕ t cot ϕ - ϕ t t ϕ γ σ σ a tra : ω ( ω ω γ ) Z roce (9) poítame ϕ ϕ arct t ϕ ϕ co ϕ ϕ co (9) () () ω () Spoítaím a odítaím roíc () a () dotaeme uhl ϕ a Kotrolou je 7

38 ω ω ϕ γ () ýmto me úlohu preedl a pretíae apred b me a hl ežadúcm komplkácám o ýpotoch je potrebé dodrža ozaee uedeé a (obr ) Kotrola celého ýpotu je ýpoet meríko σ σ σ zo úradíc uroaého bodu Z ch poítame uhl ω ω ktoré a mua zhodoa ýmkou odchýlok etlteých zaokrúhoaím íel uhlam ω ω zaedeým do ýpotu Príklad : Máme daé úradce bodo 8 a uhl ω a ω odmeraé a taoku (obr 5) Obr 5 Výpoet pretíaa azad Caho rešeím Daé údaje abuka ílo bodu ω [m] [] [m] ω ω Výpoet uhlo ϕ a τ : γ σ σ ϕ τ ( ω ω γ ) ( ) 7 5 8

39 589 m 7 m ω m m ω ϕ ϕ τ arct t 5 8 arct t ϕ 77 γ γ 975 γ γ γ ω ω ϕ τ γ Výpoet džok: γ m 9 8 ω m 77 8 ϕ ω m 8 τ ω 58 9 m m 978 γ m 59 8 ω 978 m Výpoet meríko: σ ϕ σ σ σ γ σ 8 γ σ σ 8 9 Výpoet úradíc: 8 8 σ σ σ 8 89 m 89 m 899 m 8 8 coσ coσ coσ 8 95 m 95 m 95 m Výledé úradce bodu ú 89m 95 m Haeoa úloha a uree eprítupej zdaleot Pr Haeoej úlohe ú daé úradce eprítupých bodo P a P a uhl ω až ω (obr ) Máme ur úradce bodo P a P Pr opaej úlohe z odmeraej tra a uhlo ω až ω máme ur trau eprítupú zdaleo V oboch prípadoch de o rešee štoruholíka ureého jedou traou a štrm uhlam preto obe úloh môžeme poj 9

40 Obr Haeoa úloha Vzájomá poloha daých a uroaých bodo môže b rôza ako je to de z obr 7 Dôležté je ozaee uhlo Uhl ϕ a mua leža jedom trojuholíku Pomer ϕ : zotaíme z pomero trá alebo pomocou šeobecej et íuoej Obr 7 Kofuráce obrazco rešea Haeoej úloh ko pr pretíaí azad potrebujeme tu poíta ajpr uhl ϕ a Máme pre e de roce: ϕ a zo íuoej et ( ω ) ϕ ( ω ω ) ( ( ω ω ω )) ( ω ( ω ω ω ) ) () ke aé a praé tra poledých doch roíc azájom áobíme a po úprae dotaeme druhú rocu: ( ( ω ω ω )) ω ( ω ω ) ( ( ω ω ω ) tµ ϕ () Z roce () ako pr pretíaí azad dotaeme: ( µ ) ϕ ϕ t t cot 5 (5) Z roce (5) máme odítaím ϕ a z roce () ϕ Spoítaím roíc dotaeme ϕ a

41 Výpotom uhlo ϕ a preedeme úlohu a pretíae apred alší potup je už zám k úlohe de o ýpoet eprítupej zdaleot poítame po íleí roíc () a (5) tra a a z ch dojmo zdaleo Spoahlo urea úradíc bodo P a P záí od pomeru trá kofurác obrazca Haeoej úloh Ideál pomer trá je : Spoahlé ýledk dotaeme do pomeru : : Príklad : Daé ú úradce bodo a uhl ω ω ω a ω Súradce bodo 8 a poítame rešeím Haeoej úloh (obr 8) Daé údaje abuka ílo bodu ω [m] [] ω ω 98 m ω 997 σ 5 7 ω 8 Vpoítame uhl ε a ε ( ω ω ) ε ω 7 8 Poda roce cot µ bude: ϕ τ t µ ε ω Obr 8 Výpoet Haeoej úloh ( ω ω ) ε ω 95 8 ( ω ω ) ε

42 µ arct Výpoet uhlo ϕ a : ϕ 8 ( ω ) ϕ ϕ arct t cot ϕ ( 5 µ ) arct[ ] 8 Džk zo zažých bodo a uroaé bod 8 ú: ( ε ) ω ω 9578 ( ε ϕ) 97 m ω 8 ϕ m ω 9578 Výpoet úradíc bodo: m m ( σ ϕ ε ) 8 9m 59 m m ( σ ε ) 8 9 m 77 8 m m co co co co ( σ ϕ ε ) 9 5 m 59 m m ( σ ε ) 99 m 77 8 m 89 8 m ( σ ϕ ) 8 9m m m ( σ ) 8 9 m 58 m m ( σ ϕ ) 9 5 m m m ( σ ) 99 m 58 m 58 9 m 8 Výledé úradce bodo 8 a abuka ílo bodu [m] Pozámka k ýpotu: Pr ýpotoch cm potaí džk poíta a mm rumet fukcí aplkujeme a deatých met

43 5 VÝPOY V RIGONOMERICKEJ SIEI S VYROVNNÍM MEÓDOU NJMENŠÍCH ŠVORCOV Kaptola obahuje problematku zhuoaa bodoého poa äzbou a daé (zažé) bod o zámch úradcach ( ) Vzah a ýpoet meríka hlaej polo tredej elp chýb a zah a ýpoet ekot polo a b tredej chb elp ú uedeé kap 5 Pretíae apred meríkm Noý bod P( ) je ureý pretíaím apred z bodo P P P tak ako je zaeé a obr 5 Na daých bodoch ú odmeraé oo mero a aceré bod ktorých úradce ú záme a do oo je zaradeý aj mer a uroaý bod Oo tredíme a tred a ce a oretujeme Výledkom ú odmeraé merík a daých bodoch P α α α α ktorým urujeme polohu oého bodu P a ch áh p p p p Smerík α eura polohu bodu jedozae Pretú a o acerých preeíkoch a tora odchýlkoý obrazec Úlohou je ur roaú polohu bodu P Obr 5 Pretíae apred meríkm Nezámm elam ú úradce bodu P Smerík α ú protredkujúcou elou ktorú merame Súradce bodu P uríme roaím protredkujúcej el meríka - α Urujúca roca pre roaý merík σ je σ arct f ( ) (5) Opraeé odmeraé merík a opra ú: α arct f ( ) arct α (5)

44 Vroaé úradce roc (5) epozáme Nahradíme ch prblžým úradcam ktoré poítame z eopraeých meríko Vzah medz roaým úradcam a prblžým úradcam jadrujú roce d d (5) Roce (5) doadíme do fukce f() ktorú learzujeme rozojom do aloroho radu Za predpokladu že doplk d a d ú malé môžeme druhé deráce echa f ( ) f ( d d) f ( ) ( ) f ( ) f d d Parcále deráce fukcí f ( ) ú: f f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) coϕ ϕ k ozaíme prblžý merík poítaý z prblžých úradíc ( ) ϕ f arct (5) prejde roca (5) po learzác a tar coϕ ϕ d d ϕ α (55) ým me ahradl rocach oprá roaý merík prblžým meríkom V roc (55) ú ezáme ba d a d Ozame a coϕ b ϕ ϕ α (5) Opra meríko ú uhloej mere Koefcet a b poítame džkam mlmetroch Koefcet a b preedeme do uhloej mer preáobeím ρ ρ π coϕ ϕ t j a ρ b ρ Potom šeobecý tar podmekoých roíc bude a d b d (57) Je to dôležtý tar roíc oprá Vktuje a em ato alších roaach Smbol a b ú meroí útela (koefcet) a le je rozdel prblžý merík míu meraý merík k rocam (57) prdáme áh dotaeme tém roíc: ϕ

45 a d a d b d a d b d b d p p p (58) Váh uríme poda zahu (7) t p t kde t je poet mero použtých a ýpoet odmeraého meríka (oretácu oo mero) b bola pleá podmeka roaa MNŠ P m (59) muí b P z Rocu (58) zapíšeme matcoom tare ( ) ( ) ( ) z ( ) (5) ab d kde ( ) ( ) z ( ) ( ) d p p P ( ) ( ) p a a b b Podmeku mma roc (59) plíme ak ju zderujeme a položíme roú P z z P P (5) Po doadeí roce oprá (5) do roce (5) a po úprae dotaeme P ( z ) Normále roce matcoom tare P z P (5) a ektor oprá prblžých úradíc je ( P) P z N P (5) Vroaé úradce bodu P ú d a d (5) 5

46 Vroaé merík ú σ α σ α (55) σ α Stredé chb úradíc m a m poítame z jedotkoej tredej chb (apoterórej) P σ (5) k kde je poet meraých meríko a k je poet ezámch (ezáme ú t z k ) m σ Q m σ Q (57) Váhoé koefcet Q a Q ú matc áhoých koefceto Q Q Q ( ) ( N ) Q Q Výpoet kotrolujeme íleím moých kúšok I a III medz ktorým plata zah I III Pr matcoom potupe ýpotu d a d moá kúška II a euplatuje Smoé kúšk poítame zo zaho [] I p a d p b d p Pz P III P (58) Smoé kúšk I III kotrolujú: - práo zotaea koefceto ormálch roíc a ílee p - ýpoet oprá P Stredá elpa chýb Smerík hlaej polo tredej elp chýb poítame poda roce (5) ab Q arct arct bb - aa Q Q Veko polo tredej elp chýb poítame poda roíc (7) σ a Q ( ) Q Q Q Q σ ( ) b Q Q Q Q Q Geometrcký ýzam koefceto a b Rocu (55) môžeme odod aj eometrck Vzhadom a roce (55) rocu (55) prepíšeme a tar coϕ ϕ σ ϕ dϕ d d (59)

47 kde dϕ zameá rozdel roaého meríka míu prblžého meríka Na obr 5 ú zaeé obda merík a k ím prílušé bod P( ) a P( ) Poda obr 5 môžeme pía IP IO Obr 5 Geometrcký ýzam koefceto a b OB O σ ϕ d ϕ (5) OB d ϕ O d coϕ ϕ coϕ dϕ d d (5) Príklad 5: Pretíaím apred meríkm poítame roaé úradce bodu (obr 5) Daé ú úradce zažých bodo P ( ) kde ( ) odmeraé merík α zo zažých bodo a uroaý bod a poet mero t použtých a ýpoet odmeraého meríka Daé údaje abuka 5 ílo bodu α t [m] []

48 Obr 5 Vroae úradíc bodu pretíaím meríkm Na ýpoet koefceto pretoreých (learzoaých) roíc oprá a b použjeme prblžé úradce bodu ktoré me poítal príklade 8 9 m 95 m Vpoítaé hodot ϕ (5) džk a koefcet a b ú tabuke 5 abuka 5 ílo bodu ϕ coϕ ϕ ϕ α t a ρ b ρ p [] [m] t [] Matce a P majú tar ( ) ()

49 8 P ( ) Vektor oprá prblžých úradíc bodu je : ( P) P z d mm d 5 mm Vroaé úradce bodu ú: d 8 9 m m 8 9 m Opra poítame z roce (5) d 95 m 95 m ( ) z P 8775 Jedotkoá tredá chba je σ 7 mm Matca kofaktoro je Q N - ( P) - Q Q Stredé chb úradíc ú: m σ Q 85 9 mm m σ Q 8 mm Q Q 85 8 Smoé kúšk: P I Pz P III P Smerík hlaej polo tredej elp chýb poda roce (5) je: Q ( ) arct arct 5 Q Q 8 85 Keže zameko Q je záporé hlaá polo prechádza a kadratom Veko polo tredej elp chýb poítame poda roce (7) 9

50 a σ Q Q ( Q Q ) Q 85 8 ( 8 85) a 7 mm b σ Q Q b 7 mm Stredá elpa chýb je zobrazeá a obr 5 ( Q Q ) Q ( 8 85) 5 Vroae bodu ureého džkam Daé ú úradce bodo P P P ktorých bod P( ) je ureý džkam Úlohou je poíta roaé úradce bodu P( ) (obr 5) Ozame roaé tra S a meraé Pre roaé úradce bodu P( ) a tra plata roce S ( ) ( ) (5) eto roce mua b pleé pre opraeé meraa ( ) ( ) ) f ( ) (5) Z toho dotaeme roce oprá ( ) ( ) ) Zaedeím prblžých úradíc Obr 5 Pretíae apred džkam (5) d d (55) prejde roca (5) do taru ( d d) f (5) 5

51 5 Kadratckú zálo ezámch zmeíme learzácou a to rozojom do aloroho radu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d f d f f d d f f kde je ( ) f ( ) ( ) je prblžá džka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) co f ϕ le rozoja doadíme do roce (5) d d (57) k koefcet ( metroch) ozaíme b a (prblžá džka meraá džka) (58) dotaeme tém roíc oprá d b d a d b d a d b d a p p p (59) Jedotlé meraa môže ma rôzu áhu k prúdme džke m apr áhu p potom áha p džk bude p (5) Pr meraí džok kalbroaým elektrockým teodoltom preo odmeraých džok je praktck roaká bez ohadu a odmeraú zdaleo ak < m Vted zaedeme áhu Opra ílme jedekrát z roíc (59) a druhý krát z roíc (5) d b d a d b d a S S kde S je džka poítaá z roaých úradíc a je odmeraá džka Kotrolu ýpotu koáme moým kúškam I a III o ktorých platí I III (57) V alšom potupe roaa potupujeme ako pr pretíaí apred meríkm Zotaíme roce oprá (5) a poítame ektor ezámch z (5) Vroaé úradce budú ako roc (5) Stredá chba pre jedotkoú áhu (džku m) bude ( metroch) P σ (5)

52 Stredé chb roaých úradíc poítame poda roíc (5) Urujúce prk tredej elp chýb poítame poda zaho () a (7) Príklad 5: Pretíaím apred džkam poítame roaé úradce bodu (obr 55) Daé ú úradce zažých bodo P ( ) kde ( ) odmeraé džk medz zažým bodm a uroaým bodom Na ýpoet koefceto pretoreých roíc oprá a b použjeme prblžé úradce bodu ktoré me poítal príklade Vpoítaé hodot o koefcet a b a áhoé koefcet p ú tabuke 5 Obr 55 Vroae úradíc bodu pretíaím z džok abuka 5 b ϕ ϕ b coϕ [] [m] a [mm] p Matce a P majú tar 5

53 ( ) () ( ) P Vektor oprá prblžých úradíc bodu je ( P) P z d 9 d 8 Opra poítame z roce (59) ( ) z 8 mm mm 5 mm 57 mm -5 mm 89 mm P 98 Jedotkoá tredá chba je σ 5 7 mm Vroaé úradce bodu ú: d 8 9 m 8 9 m d 95 m 95 m Matca kofaktoro je Q Q Q 7 8 ( P) N Q Stredé chb úradíc ú: Q 8 m σ Q mm m σ Q mm 599 Smoé kúšk: P 5

54 I Pz P III P 98 Smerík hlaej polo tredej elp chýb poda roce (5) je: Q ( 8) arct arct 8 Q Q Keže zameko Q je kladé hlaá polo prechádza a kadratom Veko polo tredej elp chýb poítame poda roce (7) a σ Q Q ( Q Q ) Q ( 599 7) 8 a 8 mm b σ Q Q 7 8 b mm Stredá elpa chýb je zobrazeá a obr 55 5 ( Q Q ) Q ( 599 7) 8 5 Vroae úradíc bodu pretíaím apred úate ureým meríkm a džkam Noý bod P( ) je ureý pretíaím apred z bodo P P P pomocou odmeraých meríko α α α a odmeraých džok (obr 5) Obr 5 Pretíae apred meríkm a džkam Fuký zah medz úradcam bodu P a bodu P jadrujú roce arct fσ σ 5

55 ( ) ( ) ) f S Roce oprá budú ma tar ( d d) α σ fσ ( d d) f (5) (5) V rocach (5) a ú úradce uroaého bodu P α je odmeraý merík a je odmeraá džka d a d ú roaé úradcoé príratk bodu P ktoré uríme roaím Za predpokladu že úradcoé príratk d a d budú malé fukce f σ a f rozeme do aloroho radu o zaedbaím parcálch derácí ššeho tupa σ fσ f V roc (5) ú fσ fσ ( ) d d α ( ) d d f f (5) fσ coϕ fσ ( ) arct ϕ ρ fσ f f ( ) ( ) ( ) ϕ f ϕ ρ (55) coϕ Po doadeí rozoja aloroho radu (55) do roíc oprá (5) dotaeme pretoreé roce oprá coϕ ϕ σ ρ d σ d α d coϕ d ( ϕ ) ad bd ( ) cd dd k ϕ V matcoom zápe σ σ z σ σ z (5) (57) Meraé merík α bol poítaé zo meríko a úradcoo záme bod a z odmeraých odoroých uhlo Váhoé koefcet bol poítaé zo zaho: c m p E( ) m σ m σ p σ c (58) ( m / ρ ) Podmeku roaa metódou ajmeších štorco jadríme fukcou P P m (59) Rocu (59) derujeme a upraíme σ 55

56 δ σ δ P P (5) δz δz d Vektor ezámch úradcoých príratko z ( ) poítame z roce d ( P P ) z ( P σ P ) ( * P * *) * P * * (5) Opra meríko a džok poítame z roíc (57) V roc (5) majú ektor a matce prk: σ σ σ ( ) σ ( ) σ ( ) P σ ( ) σ σ a a a b b b p σ p p σ k ( ) ( ) ( ) P ( ) c c c d d d k k p p p (5) Preo úradíc uroaého bodu P( ) jadrujú tredé chb: m σ P σ σ P Q (5) m σ P σ σ P kde Q a Q leža a hlaej uhlopreke matce Q Q ( P P ) N σ σ (5) Spráo ýpotu kotrolujeme moým kúškam I a III (57) Urujúce prk tredej elp chýb poítame poda zaho () a (7) Príklad 5: Spoloým pretíaím apred meríkm a džkam poítame roaé úradce bodu (obr 57) Daé ú úradce zažých bodo P ( ) kde ( ) odmeraé merík zo zažých bodo a uroaý bod α poet mero t použtých a ýpoet odmeraého meríka tredá chba odmeraého meru prítrojom C 7 Leca m odmeraé džk medz zažým bodm a uroaým bodom Na ýpoet koefceto pretoreých roíc oprá aσ bσ σ a b použjeme prblžé úradce bodu ktoré me poítal príklade Koefcet pretoreých roíc oprá aσ bσ σ preezmeme z príkladu 5 tab 5 a a áhoé koefcet p z príkladu 5 tab 5 Stredé chb odmeraých meríko poítame poda zahu () t mα m kde t je t 5

57 poet odmeraých mero o zámch meríkoch Váhoé koefcet pre džk a merík poítame poda zaho (57) pre c Obr 57 Výpoet úradíc bodu poloým pretíaím zo meríko a džok Výpoet áhoých koefceto abuka 5 ílo bodu t mα t m t [ ] ( m / ρ ) mm α p σ ( m / ρ ) α m ( ppm) p m Matce a zotaíme z pretoreých koefceto roíc oprá (5) ktoré me už poítal príkladoch 5 a 5 Váhoé koefcet me poítal tab 5 57

58 58 ( ) ( ) ( ) P Vektor oprá prblžých úradíc bodu je z - ( ) * P * P * * * * mm mm d d Opra poítame z roce z * * mm 5 mm -5 mm mm mm - 87 mm Jedotkoá tredá chba je

59 P 87 σ 8 mm Vroaé úradce bodu ú: d 8 9 m m 8 9 m d 95 m 95 m Matca kofaktoro je Q 87 ( * P * *) N Stredé chb úradíc ú: 8 m σ mm Q 8 m σ mm Q Smoé kúšk: P 7 5 I * P**z * P** III P 87 Smerík hlaej polo tredej elp chýb poda roce (5) je: ( 87) Q arct arct 8 Q Q 5 Keže zameko Q je kladé hlaá polo prechádza a kadratom Veko polo tredej elp chýb poítame poda roce (7) a σ Q Q ( Q Q ) Q 5 ( 5 ) 87 a 7 7 mm b σ Q Q 9 b 8 mm Stredá elpa chýb je zobrazeá a obr 57 8 ( Q Q ) Q 5 ( 5 ) 87 5 Vroae pretíaa azad Daé ú úradce bodo P až P a ooa mero až meraá a bode P( ) ktorého úradce máme roa (obr 58) 59

60 Potup ýpotu je podobý ako pr pretíaí apred Na rozdel od eho a kte pr tomto roaí ako treta ezáma oretaý pou z Zotaíme roce oprá Pre roaý merík máme urujúce rocu σ arct f ( ) (55) Opraeý pozoroaý merík bude z arct (5) Nezáme z môžeme ahrad prblžým hodotam d d z z dz (57) Po doadeí je ( d d) σ z dz f (58) Obr 58 Pretíae azad Fukcu f ( ) learzujeme rozojom do aloroho radu podobe ako pr pretíaí apred (kap 5) f ( d d) f ( ) ( ) f ( ) d f d (59) Jedotlé le ú: f f f je prblžý merík ( ) arct ϕ ( ) ( ) coϕ ( ) ϕ

61 Roca (58) prejde do taru coϕ ϕ z dz ϕ ρ d ρ d (55) Prblžý merík ϕ dotaeme z prblžých úradíc bodu P eto poítame z troch dobre a pretíajúh mero Poroaím ϕ odmeraým dotaeme hodôt pre oretaý pou z ϕ z z ϕ ϕ z z ϕ ϕ z (55) Vtredeím z dotaeme ba prblžý oretaý pou z a rozdel od oretáce pr pretíaí apred lebo z je poítaé ba z prblžých meríko Pomocou z oretujeme teraz oou mero a dotaeme odmeraé merík α (55) z Roca (58) bude ma tar α dz σ (55) Zaedeme ozaea a coϕ ρ b ρ ϕ a prblžý merík (míu) odmeraý merík ϕ α (55) Potom dotaeme roce oprá dz a d b d (555) Nezáma dz a ktuje o šetkých rocach oprá Môžeme ju lú Spoítame roce (555) dz a d b d (55) Pre mer a taoku je V dôledku oho môžeme pía dz a d b d (557) Odítaím roce (557) od roce (555) elmujeme ezámu dz Potom a b a d b d (558)

62 Odchýlk od artmetckého premeru ozaíme a potom a b a b b (559) a b (5) V prípade pretíaa azad platí už pre abolúte le Dokážeme to po poítaí roíc (55) a (55) ϕ ϕ α z k doadíme em z roce (55) roc (55) z ϕ bude zah Noé koefcet a b azýame redukoaé S týmto ozaeím dotaeme tém roíc oprá zámom tare (58) z pretíaa apred a d a b d a d b d d b d p (5) Nakoko ú šetk mer poažoaé za roako preé dáame šetkým roakú áhu p alej potupujeme ako pr roaí pretíaa apred Z roíc oprá zotaíme ormále roce matcoom tare: z (5) a poítame ektor ezámch z N (5) Z roaých úradíc d d poítame roaé merík σ Potom aleduje ýpoet oprá z oboch témo roíc dz a d dz dz a d a d σ b d b d σ α dz b d σ α dz σ α dz α dz (5) (55) Nezámu dz uríme z roíc (55) a (557) Pre roaú oou meríko a taoku platí preto ezáma dz je

63 [ σ α] dz (5) Vroaý merík σ poítame z roaých úradíc (57) Druhú preejšu hodotu dz dotaeme z roce (557) a b dz d d (57) k obda tém oprá úhlaa ílme a kotrolu moé kúšk (57) I z III Za použjeme hodot z roce (559) Stredá chba odmeraého meríka jedotkoou áhou je σ (58) Stredé chb úradíc ú: σ m σ Q m Q Urujúce prk tredej elp chýb poítame poda zaho () a (7) Príklad 5: Na taoku bola odmeraá ooa mero a zažé bod (obr 59) Súradce zažých bodo ú uedeé príklade 5 V príklade z kombáce bodo 8 bol poítaé pretíaím azad predbežé úradce bodu 8 9 m 95 m Ooa odmeraých mero je tab 55 Obr 59 Vroae úradíc bodu pretíaím azad

64 Vpoítame predbežé merík ϕ a džk ( ) prblžý oretaý pou z (55) odmeraé merík a koefcet pretoreých roíc oprá a b c (tab 55) abuka 55 ílo bodu ϕ z ϕ α z a coϕ ρ b ϕ ρ ϕ α a a a b b b p [] [mm] [mm] [] [mm] z z Matce a majú tar: ( ) () Vektor oprá prblžých úradíc bodu je z - ( ) mm 9 mm Vroaé úradce bodu ú: 77 7 d 8 9 m m 8 9 m d 95 m m 9 m Opra odmeraých meríko poítame z roíc (5) z Oprau k prblžému oretaému pouu poítame zo zahu (57)

65 a b dz d d 89 Smoé kúšk: I z III 9579 Jedotkoá tredá chba je σ mm Matca kofaktoro je Q Q Q Q 8 7 ( ) Q Stredé chb úradíc ú: Q m σ mm Q m σ mm 8 Smerík hlaej polo tredej elp chýb poda roce (5) je: Q ( ) arct arct 8 Q Q 8 8 ( 595) ( ) Keže zameko Q je záporé hlaá polo prechádza a kadratom Veko polo tredej elp chýb poítame poda roce (7) a σ Q Q ( Q Q ) Q 8 8 ( 8 8 ) ( ) a 9 mm b σ Q Q ( Q Q ) Q 8 8 ( 8 8 ) ( ) b mm Stredá elpa chýb je zobrazeá a obr 59 5