ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΕΘΝΗ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ» ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΥΣΙΔΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΤΩΝ ΗΠΑ Διπλωματική Εργασία του Γεωργίου Ν. Μούκου (ΑΕΜ:4054) Εξεταστική Επιτροπή Επιβλέπων: Π.Φουσέκης Μέλη: Κ. Κατρακυλίδης Ι. Κυρίτσης ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΙΟΥΛΙΟΣ 2014

2 Αφιερωμένη: στη μητέρα μου που ήθελε να με δει οικονομολόγο, στον πατέρα μου που θέλει να με δει μηχανικό (σε 5 χρόνια), στον παππού μου Θεολόγη και στη γιαγιά μου Σοφία που καταλαβαίνουν το ένα δέκατο από ό,τι κάνω και παρ όλα αυτά με στηρίζουν επί χίλια. Χωρίς αυτούς δε θα συνέβαινε τίποτα από όλα αυτά.

3 Περίληψη Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται και αναλύονται οι σχέσεις μεταβλητότητας τιμών των κυρίων ειδών κρέατος στην αγορά της Αμερικής. Οι τιμές αυτές περιλαμβάνουν την χονδρική και λιανική τιμή του μοσχαρίσιου, χοιρινού και κρέατος πουλερικών καθώς και τη τιμή φάρμας για το μοσχάρι και το χοιρινό. Οι σχέσεις αυτές μας δείχνουν πως αντιδράει η τιμή του ενός κρέατος σε σχέση με το άλλο στη πορεία του χρόνου και μας βοηθάει να εκτιμήσουμε το ρίσκο που διατρέχει το κλάδο αυτό. Τα αποτελέσματα δείχνουν μία ισχυρή συσχέτιση της τιμής φάρμας με τη χονδρική τιμή για το χοιρινό και το μοσχαρίσιο κρέας αλλά μία όχι τόσο μεγάλη για τη χονδρική και τη λιανική τιμή. Οι μεθοδολογία που υιοθετήθηκε για την εξαγωγή συμπερασμάτων ήταν αυτή του μοντέλου γενικευμένης αυτοπαλινδρόμησης δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας (GARCH) και της δυναμικής δεσμευμένης συσχέτισης (DCC) τα οποία έβγαλαν σχεδόν ταυτόσημα αποτελέσματα για όλα τα ζευγάρια τιμών μας. Στο πρώτο κεφάλαιο δίνεται ένα θεωρητικό πλαίσιο μέσα στο οποίο ορίζονται οι κυριότερες έννοιες της διπλωματικής, όπως η μεταβλητότητα και τα αγροτικά προϊόντα. Στο δεύτερο παρουσιάζονται οι μαθηματικές σχέσεις που διέπουν τα μοντέλα που χρησιμοποιήσαμε για την επεξεργασία των δεδομένων. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται παρουσίαση και συζήτηση των δεδομένων αυτών και στο τέταρτο παραθέτουμε τα συμπεράσματα στα οποία μας οδήγησε η έρευνά μας. Λέξεις κλειδιά: Μεταβλητότητα, Γεωργικά προϊόντα, Τιμές κρέατος, GARCH, BEKK, DCC, Δεσμευμένη συνδιακύμανση, Δεσμευμένη συσχέτιση i

4 Abstract In this thesis we present and analyze the relationship of price volatility among the main types of meat in the U.S.A. market. For the beef and pork meat we use farm, wholesale and retail price and for poultry we use wholesale and retail price. The relationships show how a certain price affects another type of price through time and help us estimate the risk in this market. The results give us a strong correlation between farm and wholesale price and weaker correlation between wholesale and retail price for pork and beef. In order to produce our results we used the univariate General Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH) model and two types of multivariate GARCH model, the diagonal BEKK and the Dynamic Conditional Correlation (DCC) model. Both of those models gave similar results for every type o meat. In the first chapter of our thesis we give the definitions of the key concepts used, e.g. volatility and agricultural commodities. In the second chapter we present the mathematical framework of the models used and in the third chapter we give the results those models yielded. In the fourth and last chapter of our analysis we discuss those results and give our conclusions. Keywords: Volatility, Agricultural commodities, Meat prices, GARCH, BEKK, DCC, Conditional Covariance, Conditional Correlation, ii

5 Υπεύθυνη Δήλωση Δηλώνω ότι είμαι συγγραφέας αυτής της εργασίας και ότι κάθε βοήθεια την οποία είχα για την προετοιμασία της, είναι πλήρως αναγνωρισμένη και αναφέρεται στην εργασία. Επίσης, έχω κάνει σαφής αναφορές (συντάκτη, χρονολογία, εργασία, σελίδα) τις όποιες πηγές από τις οποίες έκανα χρήση δεδομένων, προτάσεων, ιδεών ή λέξεων, είτε αυτές αναφέρονται ακριβώς είτε είναι παραφρασμένες. Καταλαβαίνω ότι η αποτυχία να γίνει αυτό ανέρχεται σε λογοκλοπή και θα θεωρηθεί λόγος αποτυχίας σε αυτήν την διπλωματική και του συνολικού βαθμού της. Ακόμα δηλώνω ότι αυτή η γραπτή εργασία προετοιμάστηκε από εμένα προσωπικά και αποκλειστικά και ότι θα αναλάβω πλήρως τις συνέπειες εάν η εργασία αυτή αποδειχθεί ότι δεν μου ανήκει. Όνομα : ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ν. ΜΟΥΚΟΣ Υπογεγραμμένος:... Ημερομηνία:... iii

6 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου, τους πολύ καλούς μου φίλους Κλήτο, Άντα και Βαγγέλη για τη συνεχή στήριξη και αγάπη που μου έδειξαν και συνεχίζουν να μου δείχνουν, τη Λία για την εμψύχωση και τα υπέροχα διαλείμματα κάθε φορά που τα χρειαζόμουν καθώς και για τη βοήθεια στην διόρθωση της διπλωματικής και της παρουσίασής της, τους υπέροχους συμφοιτητές μου που έκαναν το μεταπτυχιακό μία αξέχαστη εμπειρία και τον επιβλέποντά μου κ. Φουσέκη για την υπομονή που έδειξε. iv

7 Περιεχόμενα Περίληψη Abstract Υπεύθυνη Δήλωση Ευχαριστίες Περιεχόμενα i ii iii iv v Κατάλογος Εικόνων... v Κατάλογος Πινάκων.... vii 1.Εισαγωγή 1 2. Επισκόπηση Βιβλιογραφίας Ορισμοί βασικών όρων Παρουσίαση Υποδειγμάτων πρόβλεψης της μεταβλητότητας ARMA Το μονομεταβλητό GARCH Το πολυμεταβλητό GARCH DCC-GARCH BEKK GARCH Έλεγχοι αξιολόγησης των μοντέλων Επεξεργασία Δεδομένων Περιγραφή των δεδομένων Μονομεταβλητά GARCH Πολυμεταβλητό Διαγώνιο ΒΕΚΚ Dynamic Conditional Correlation (DCC) Συζήτηση & Συμπεράσματα 75 Παράρτημα Α 77 Βιβλιογραφία/Πηγές 91 v

8 Κατάλογος Εικόνων 0 Είδη ασυμμετρίας Είδη κύρτωσης Γραφήματα για τη τιμή φάρμας του χοιρινού κρέατος Γραφήματα για τη χονδρική τιμή του χοιρινού κρέατος Γραφήματα για τη λιανική τιμή του χοιρινού κρέατος Γραφήματα για τη τιμή φάρμας του μοσχαρίσιου κρέατος Γραφήματα για τη χονδρική τιμή του μοσχαρίσιου κρέατος Γραφήματα για τη λιανική τιμή του μοσχαρίσιου κρέατος Γραφήματα για τη χονδρική τιμή του κρέατος των πουλερικών Γραφήματα για τη λιανική τιμή του κρέατος των πουλερικών Η τιμή φάρμας και η χονδρική τιμή του χοιρινού κρέατος λογαριθμημένες Κανονικοποιημένα κατάλοιπα της τιμής φάρμας και της χονδρικής τιμής Δεσμευμένες κυμάνσεις (conditional variances) για την τιμή φάρμας και τη χονδρική τιμή 53 του χοιρινού κρέατος.. 13 Δεσμευμένη συνδιακύμανση (conditional covariance) για την τιμή φάρμας και τη χονδρική τιμή του χοιρινού κρέατος.. 14 Δεσμευμένη συσχέτιση (conditional correlation) για την τιμή φάρμας και τη χονδρική τιμή του χοιρινού κρέατος.. 15 Λογαριθμημένη χονδρική και λιανική τιμή του χοιρινού κρέατος Κανονικοποιημένα κατάλοιπα για τη χονδρική και λιανική τιμή του χοιρινού κρέατος Δεσμευμένες κυμάνσεις (conditional variances) για την χονδρική και τη λιανική τιμή του 57 χοιρινού κρέατος Δεσμευμένη συνδιακύμανση (conditional covariance) για την χονδρική και τη λιανική τιμή του χοιρινού κρέατος 19 Δεσμευμένη συσχέτιση (conditional correlation) για την χονδρική και τη λιανική τιμή του χοιρινού κρέατος Λογαριθμημένες τιμές της τιμής φάρμας και της χονδρικής τιμής του μοσχαρίσιου κρέατος Κανονικοποιημένα κατάλοιπα για τη τιμή φάρμας και τη χονδρικής τιμής του μοσχαρίσιου 61 κρέατος 22 Δεσμευμένες διακυμάνσεις (conditional variances) για τη τιμή φάρμας και τη χονδρικής τιμής του μοσχαρίσιου κρέατος 23 Δεσμευμένη συνδιακύμανση (conditional covariance) για τη τιμή φάρμας και τη χονδρικής τιμής του μοσχαρίσιου κρέατος 24 Δεσμευμένη συσχέτιση (conditional correlation) για τη τιμή φάρμας και τη χονδρικής τιμής του μοσχαρίσιου κρέατος 25 Λογαριθμημένες τιμές της χονδρικής και λιανικής τιμής του μοσχαρίσιου κρέατος Κανονικοποιημένα κατάλοιπα για τις τιμές της χονδρικής και λιανικής τιμής του 65 μοσχαρίσιου κρέατος Δεσμευμένες διακυμάνσεις (conditional variances) για την χονδρική και λιανική τιμή του μοσχαρίσιου κρέατος 28 Δεσμευμένη συνδιακύμανση (conditional covariance) για την χονδρική και λιανική τιμή του μοσχαρίσιου κρέατος. 29 Δεσμευμένη συσχέτιση (conditional correlation) για την χονδρική και λιανική τιμή του μοσχαρίσιου κρέατος 30 Λογαριθμημένες τιμές χονδρικής και λιανικής τιμής για το κρέας πουλερικών Κανονικοποιημένα κατάλοιπα για τις τιμές χονδρικής και λιανικής του κρέατος 69 πουλερικών 32 Δεσμευμένες διακυμάνσεις (conditional variances) για τις τιμές χονδρικής και λιανικής του κρέατος πουλερικών.. 33 Δεσμευμένη συνδιακύμανση (conditional covariance) για τις τιμές χονδρικής και λιανικής του κρέατος πουλερικών v

9 34 Δεσμευμένη συσχέτιση (conditional correlation) για τις τιμές χονδρικής και λιανικής του κρέατος πουλερικών... Α1 Δεσμευμένες διακυμάνσεις (conditional variances) για τις τιμές φάρμας και χονδρικής του χοιρινού κρέατος.. Α2 Δεσμευμένη συνδιακύμανση (conditional covariance) για τις τιμές φάρμας και χονδρικής του χοιρινού κρέατος.. Α3 Δεσμευμένη συσχέτιση (conditional correlation) για τις τιμές φάρμας και χονδρικής του χοιρινού κρέατος Α4 Δεσμευμένη συνδιακύμανση (conditional covariance) για τις τιμές χονδρικής και λιανικής του χοιρινού κρέατος.. Α5 Δεσμευμένη συσχέτιση (conditional correlation) για τις τιμές χονδρικής και λιανικής του χοιρινού κρέατος Α6 Δεσμευμένες διακυμάνσεις (conditional variances) για τις τιμές φάρμας και χονδρικής του μοσχαρίσιου κρέατος... Α7 Δεσμευμένη συνδιακύμανση (conditional covariance) για τις τιμές φάρμας και χονδρικής του μοσχαρίσιου κρέατος... Α8 Δεσμευμένη συσχέτιση (conditional correlation) για τις τιμές φάρμας και χονδρικής του μοσχαρίσιου κρέατος. Α9 Δεσμευμένες διακυμάνσεις (conditional variances) για τις τιμές χονδρικής και λιανικής του μοσχαρίσιου κρέατος.. Α10 Δεσμευμένη συνδιακύμανση (conditional covariance) για τις τιμές χονδρικής και λιανικής του μοσχαρίσιου κρέατος Α11 Δεσμευμένη συσχέτιση (conditional correlation) για τις τιμές χονδρικής και λιανικής του μοσχαρίσιου κρέατος. Α12 Δεσμευμένες διακυμάνσεις (conditional variances) για τις τιμές χονδρικής και λιανικής του κρέατος πουλερικών Α13 Δεσμευμένη συνδιακύμανση (conditional covariance) για τις τιμές χονδρικής και λιανικής του κρέατος πουλερικών. Α14 Δεσμευμένη συσχέτιση (conditional correlation) για τις τιμές χονδρικής και λιανικής του κρέατος πουλερικών vi

10 Κατάλογος Πινάκων 1 Πληροφορίες για το μοντέλο της τιμής φάρμας του χοιρινού κρέατος 31 2 Πληροφορίες για το μοντέλο της χονδρικής τιμής του χοιρινού κρέατος Πληροφορίες για το μοντέλο της λιανικής τιμής του χοιρινού κρέατος Πληροφορίες για το μοντέλο της τιμής φάρμας του μοσχαρίσιου κρέατος 37 5 Πληροφορίες για το μοντέλο της χονδρικής τιμής του μοσχαρίσιου κρέατος 40 6 Πληροφορίες για το μοντέλο της λιανικής τιμής του μοσχαρίσιου κρέατος Πληροφορίες για το μοντέλο της χονδρικής τιμής του κρέατος πουλερικών Πληροφορίες για το μοντέλο της λιανικής τιμής του κρέατος πουλερικών 47 9 Τιμές και σημαντικότητα των μεταβλητών του μοντέλου για τις τιμές φάρμας και 50 χονδρικής του χοιρινού κρέατος Κριτήρια πληροφοριών, τεστ κανονικότητας και Q τεστ για το μοντέλο της τιμής φάρμας και χονδρικής του χοιρινού κρέατος Τιμές και σημαντικότητα των μεταβλητών του μοντέλου για τη χονδρική και τη λιανική τιμή του χοιρινού κρέατος Κριτήρια πληροφοριών, τεστ κανονικότητας και Q τεστ για το μοντέλο της χονδρικής και λιανικής τιμής του χοιρινού κρέατος 13 Τιμές και σημαντικότητα των μεταβλητών του μοντέλου για τη τιμή φάρμας και τη χονδρική τιμή του μοσχαρίσιου κρέατος Κριτήρια πληροφοριών, τεστ κανονικότητας και Q τεστ για το μοντέλο τιμής φάρμας και χονδρικής τιμής του μοσχαρίσιου κρέατος Τιμές και σημαντικότητα των μεταβλητών του μοντέλου για τη χονδρική και τη λιανική τιμή του μοσχαρίσιου κρέατος Κριτήρια πληροφοριών, τεστ κανονικότητας και Q τεστ για το μοντέλο χονδρικής και λιανικής τιμής του μοσχαρίσιου κρέατος Τιμές και σημαντικότητα των μεταβλητών του μοντέλου για τη χονδρική και τη λιανική τιμή του κρέατος πουλερικών.. 18 Κριτήρια πληροφοριών, τεστ κανονικότητας και Q τεστ για το μοντέλο χονδρικής και λιανικής τιμής του κρέατος πουλερικών... Α1 Τιμές και σημαντικότητα των όρων α και β για τη τιμή φάρμας και τη χονδρική τιμή του χοιρινού κρέατος. Κριτήρια πληροφοριών για το μοντέλο, τεστ κανονικότητας και Q τεστ για κάθε μία σειρά ξεχωριστά... Α2 Τιμές και σημαντικότητα των όρων α και β για τη χονδρική και τη λιανική τιμή του χοιρινού κρέατος. Κριτήρια πληροφοριών για το μοντέλο, τεστ κανονικότητας και Q τεστ για κάθε μία σειρά ξεχωριστά... Α3 Τιμές και σημαντικότητα των όρων α και β για τη τιμή φάρμας και τη χονδρική τιμή του μοσχαρίσιου κρέατος. Κριτήρια πληροφοριών για το μοντέλο, τεστ κανονικότητας και Q τεστ για κάθε μία σειρά ξεχωριστά... Α4 Τιμές και σημαντικότητα των όρων α και β για τη χονδρική και τη λιανική τιμή του μοσχαρίσιου κρέατος. Κριτήρια πληροφοριών για το μοντέλο, τεστ κανονικότητας και Q τεστ για κάθε μία σειρά ξεχωριστά.. Α5 Τιμές και σημαντικότητα των όρων α και β για τη χονδρική και τη λιανική τιμή του κρέατος πουλερικών. Κριτήρια πληροφοριών για το μοντέλο, τεστ κανονικότητας και Q τεστ για κάθε μία σειρά ξεχωριστά vii

11 1. Εισαγωγή Όταν κάποιος θέλει να δημιουργήσει μία καινούργια επιχείρηση σε ένα τομέα πρέπει να έχει γνώση για τη μεταβλητότητα των τιμών στον τομέα αυτόν μιας και η μεταβλητότητα είναι το μέτρο του ρίσκου. Αν κάποιος που έχει ήδη επιχείρηση σε κάποιο τομέα έρθει αντιμέτωπος με την απόφαση να επενδύσει ή όχι σε ένα κλάδο της βιομηχανίας τα μελλοντικά προγνωστικά πρέπει να είναι πολύ ευαίσθητα στην επιλογή του μοντέλου της μεταβλητότητας. Η μεταβλητότητα, ουσιαστικά, αναφέρεται στη μεταβολή οικονομικών μεταβλητών με τον χρόνο. Εδώ εξετάζουμε αυστηρά τις μεταβολές στις αγροτικές τιμές με το χρόνο. Δεν είναι προβληματικές όλες οι μεταβολές τις τιμής. Παραδείγματος χάριν όταν οι τιμές ακολουθούν μία ομαλή πορεία ακολουθώντας μία εδραιωμένη τάση που αντικατοπτρίζει τις βασικές αρχές της αγοράς ή επιδεικνύουν ένα γνωστό εποχιακό πρότυπο δεν αντιμετωπίζουμε κανένα πρόβλημα. Οι μεταβολές στις τιμές που γίνονται προβληματικές είναι όταν είναι μεγάλες και αναπάντεχες και σαν αποτέλεσμα έχουν τη δημιουργία ενός επιπέδου αβεβαιότητας που αυξάνει το ρίσκο για τους παραγωγούς, τους εμπόρους, τους καταναλωτές και τις κυβερνήσεις και μπορεί να οδηγήσουν σε λάθος αποφάσεις. Μεταβολές στις τιμές που δεν αντικατοπτρίζουν τις βασικές αρχές της αγοράς είναι επίσης προβληματικές και οδηγούν σε λάθος αποφάσεις (Fao& Unctad, 2011). Πολύ συχνά στην αγορά αγροτικών εμπορευμάτων οι τιμές και οι ποσότητες είναι μεταβλητές. Αυτό εισάγει μεγάλη ποσότητα ρίσκου και αβεβαιότητας στη διαδικασία δημιουργίας μοντέλου για την αγορά και στην ακριβή πρόβλεψη της συμπεριφοράς της. Η αβεβαιότητα περιγράφει μία κατάσταση στην οποία πολλά πιθανά αποτελέσματα συσχετίζονται με ένα γεγονός αλλά δεν είναι δυνατή η αντιστοίχιση πιθανότητας σε διαφορετικά αποτελέσματα από αυτά. Το ρίσκο επιτρέπει τέτοια αντιστοίχιση πιθανότητας σε διάφορα αποτελέσματα. Η μεταβλητότητα συνδέεται με - 1 -

12 το ρίσκο γιατί παρέχει μέτρο στη πιθανή μεταβολή ή κίνηση σε μια συγκεκριμένη οικονομική μεταβλητή ή σε μία συνάρτηση αυτής της μεταβλητής (Piot-Lepetit and M Barek, 2011). Δεδομένου ότι η μεταβλητότητα δεν είναι άμεσα παρατηρήσιμη,η ανάγκη για ένα καλό μοντέλο πρόβλεψης της μεταβλητότητας είναι επιτακτική. Ένα μοντέλο που έχει παρουσιάσει μεγάλη επιτυχία στο να ενσωματώνει τις συσσωρεύσεις που κάνει η μεταβλητότητα και να προβλέπει μελλοντικές μεταβλητότητες είναι το μονομεταβλητό GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) που εισήχθη από τον Bollerslev το Στη παρούσα εργασία χρησιμοποιήσαμε το μοντέλο αυτό σε συνδυασμό με το αυτοπαλίνδρομο μοντέλο κινητού μέσου (ARMA) για κάθε μία μεταβλητή μας για να δούμε πως κυμαίνεται η μεταβλητότητά της. Έπειτα εφαρμόσαμε διαγώνιο ΒΕΚΚ, που είναι ένα μοντέλο πίνακα δεσμευμένης διακύμανσης και είναι μία υποκατηγορία πολυμεταβλητού GARCH, και το μοντέλο δυναμικής εξαρτημένης συσχέτισης (Dynamic Conditional Correlation, DCC) GARCH,που ανήκει στα μοντέλα δεσμευμένων συνδιακυμάνσεων και συσχετίσεων, για να δούμε πως επηρεάζει η μεταβλητότητα της μίας τιμής κάποια άλλη. Τα αποτελέσματά μας δείχνουν πως υπάρχει ισχυρή συσχέτιση μεταξύ των τιμών φάρμας και χονδρικής για το μοσχαρίσιο και το χοιρινό κρέας αλλά όχι τόσο ισχυρή μεταξύ χονδρικής και λιανικής τιμής για τα ίδια κρέατα, αποτέλεσμα που επιβεβαιώνεται και από το BEKK και από το DCC. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση του κρέατος των πουλερικών για το οποίο το διαγώνιο ΒΕΚΚ δίνει πως, κάποιες χρονικές περιόδους, αύξηση της μίας τιμής (π.χ. χονδρικής τιμής) ή της μεταβλητότητας μίας τιμής θα οδηγήσει σε μείωση της άλλης (π.χ. λιανικής). Το DCC μας δείχνει επίσης πως όλες οι τιμές επηρεάζονται ισχυρότατα από τις παλαιότερες τιμές τους δείχνοντας μεγάλη εμμονή σε κάποιο σοκ που μπορεί να προκύψει και σχεδόν καμία δεν επηρεάζεται από τις καινοτομίες που προκύπτουν στον - 2 -

13 κλάδο. Τέλος παρατηρούμε στα αποτελέσματά μας μία μείωση της συσχέτισης και της συνδιακύμανσης της χονδρικής και της λιανικής τιμής του χοιρινού και του μοσχαρίσιου κρέατος από το 1980 και μετά, με το φαινόμενο να γίνεται ακόμα πιο έντονο από το 1990 και έπειτα

14 2. Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 2.1 Ορισμοί βασικών όρων Μεταβλητότητα Η μεταβλητότητα αντιπροσωπεύει ένα σημαντικό παράγοντα ρίσκου της προσφοράς, ιδιαίτερα στα γεωργικά προϊόντα. Οι τιμές των γεωργικών προϊόντων τείνουν να είναι πιο μεταβλητές εξαιτίας της εποχικότητας, της ανελαστικής ζήτησης και της αβεβαιότητας παραγωγής (Schnepf, 2005) καθώς επίσης και επειδή πολλά γεωργικά προϊόντα όπως τα φρούτα, τα λαχανικά και το κρέας αλλοιώνονται μετά από κάποιο χρονικό διάστημα. Οι διακυμάνσεις στις τιμές μεταφράζονται σε ένα πολύ σημαντικό ρίσκο. Μία αύξηση στη μεταβλητότητα της τιμής συνεπάγεται μεγαλύτερη αβεβαιότητα για τις μελλοντικές τιμές. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό της απόκρισης προσφοράς κρέατος για το χοιρινό και το βόειο είναι η πιθανότητα μιας αρνητικής βραχυπρόθεσμης ελαστικότητας τιμής παραγωγού. Αυτό ισχύει γιατί το κοπάδι εντάσσεται και σαν κεφάλαιο και σαν προϊόν κατανάλωσης. Ο Jarvis (1974) έδειξε ότι αν η τιμή του βοδινού αυξηθεί και οι παραγωγοί περιμένουν αυτή η αύξηση να είναι μόνιμη για αρκετό χρονικό διάστημα μπορεί να αποφασίσουν να διατηρήσουν μεγαλύτερο αριθμό θηλυκών στο κοπάδι αντί να τα σφάξουν τη δεδομένη χρονική στιγμή. Τα ίδια φαινόμενα ισχύουν και για την απόκριση προσφοράς χοιρινού. Άρα μία αύξηση στη μεταβλητότητα της τιμής συνεπάγεται υψηλότερη αβεβαιότητα για τις μελλοντικές τιμές κάτι που μπορεί να επηρεάσει τη μελλοντική απόκριση προσφοράς κρέατος και το εισόδημα των παραγωγών (Piot-Lepetit, 2011). Η ανάλυση της προσφοράς αποτελεί τομέα ενδιαφέροντος εδώ και καιρό στα αγροτικά οικονομικά. Πολλοί συγγραφείς αξιολόγησαν την επίδραση της αβεβαιότητας της τιμής στην αγροτική παραγωγή (παραδείγματος χαριν, Antonovitz και Roe, 1986; - 4 -

15 Antonovitz και Green, 1990; Seale και Shonkwiler, 1987; Goodwin και Sheffrin, 1982; Hutzinger, 1979; Chavas, 1999). Οι Aradhyula και Holt (1989) καθώς και οι Holt και Aradhyula, (1990, 1998) συμπεριέλαβαν την αβεβαιότητα της τιμής και τη μεταβλητότητα στο μοντέλο της προσφοράς και της ζήτησης χρησιμοποιώντας ένα μοντέλο γενικευμένης αυτοπαλινδρόμησης δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας (generalised autoregressive conditional heteroskedasticity,garch). Οι Ρεζίτης και Σταυρόπουλος (2009) εξέτασαν πολλούς τύπους GARCH μοντέλου για να χαρακτηρίσουν τη μεταβλητή σε σχέση με το χρόνο μεταβλητότητα στην αναμενόμενη τιμή για τους παραγωγούς και τη μεταβλητότητα της τιμής του χοιρινού στη προσφορά χοιρινού στην Ελλάδα (Piot-Lepetit, 2011). Ιδιαιτερότητες των γεωργικών προϊόντων Οι τιμές των γεωργικών προϊόντων διαφέρουν από τις περισσότερες οικονομικές σειρές επειδή το επίπεδο παραγωγής αυτών των εμπορευμάτων σε συνδυασμό μαζί με το επίπεδο των αποθεμάτων είναι πιθανό να είναι σημαντικός παράγοντας στο προσδιορισμό τις τιμής τους στην αγορά και στη μεταβλητότητα αυτών των τιμών σε μια δεδομένη στιγμή. Γενικώς, οι τιμές των αγροτικών προϊόντων ανταποκρίνονται γρήγορα και αναμένουν αλλαγές στις συνθήκες προσφοράς και ζήτησης. Παρ όλα αυτά συγκεκριμένα χαρακτηριστικά των αγροτικών προϊόντων τα διαχωρίζουν από άλλα αγαθά και υπηρεσίες που παρουσιάζουν και αυτά μεταβλητότητα τιμής. Τρία αξιομνημόνευτα χαρακτηριστικά των αγροτικών προϊόντων είναι η εποχικότητα της παραγωγής, η παράγωγος ζήτησης (derived demand) τους και η ανελαστικότητα των συναρτήσεων ζήτησης και προσφοράς ως προς την τιμή. (Schnepf, 2005; Piot-Lepetit and M Barek, 2011)

16 i. Εποχικότητα Το γεγονός ότι τα γεωργικά προϊόντα προέρχονται άμεσα και αμέσως από ζωντανούς οργανισμούς παίζει πολύ σημαντικό ρολό στη συμπεριφορά της τιμής τους. Αγρονομικές συνθήκες όπως ο καιρός και ο τύπος του εδάφους μπορούν να επηρεάσουν το είδος της καλλιέργειας και του κοπαδιού. Οι παραγωγοί παίρνουν τις αποφάσεις τους βασισμένοι μερικώς στα μελλοντικά οφέλη, κάτι που απαιτεί τη γνώση των τιμών εισροών και εκροών για να υπολογιστούν αυτά τα οφέλη, και μερικώς στα κυβερνητικά προγράμματα στήριξης για εναλλακτικές δραστηριότητες παραγωγής (Piot-Lepetit and M Barek, 2011). ii. Παράγωγος ζήτηση Ως παράγωγος ή έμμεση ζήτηση ορίζεται η ζήτηση ενός αγαθού ή μιας υπηρεσίας που προκύπτει από τις αλλαγές στην τιμή ενός άλλου, σχετικού όμως, αγαθού ή υπηρεσίας. Η ζήτηση για αγροτικά προϊόντα προέρχεται από καταναλωτές που χρησιμοποιούν τα διάφορα τρόφιμα και βιομηχανικά προϊόντα που παράγονται από ωμά ή μη επεξεργασμένα αγροτικά εμπορεύματα. Τα δημητριακά και άλλων ειδών τρόφιμα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως ζωοτροφές είναι σημαντικές εισροές στη κτηνοτροφική βιομηχανία. Η αυξανόμενη ζήτηση δημητριακών είτε για ζωοτροφές είτε για βιοκαύσιμα ή από τις συνεχώς αναπτυσσόμενες βιομηχανίες χοιρινού κρέατος και πουλερικών ενισχύει περαιτέρω την γενική ανελαστικότητα τιμής της ζήτησης για πολλά αγροτικά εμπορεύματα (Piot-Lepetit and M Barek, 2011). iii. Ζήτηση και προσφορά ανελαστικές ως προς την τιμή Γενικά η προσφορά και η ζήτηση γεωργικών προϊόντων είναι σχετικά ανελαστικές ως προς την τιμή, φερ ειπείν οι ποσότητες που προσφέρονται και ζητούνται μεταβάλλονται ανάλογα λιγότερο από ότι οι τιμές. Αυτό σημαίνει πως ακόμα και μικρές αλλαγές στην προσφορά μπορεί να έχουν ως αποτέλεσμα μεγάλες μεταβολές - 6 -

17 στην τιμή. Ξαφνικά νέα για την αγορά μπορούν να δημιουργήσουν μεγάλες μεταβολές στις τιμές των προϊόντων και στα εισοδήματα. Από τη μία, η βραχυπρόθεσμη απόκριση της προσφοράς σε μία αύξηση της τιμής μπορεί να είναι πολύ περιορισμένη σε περιόδους διατήρησης χαμηλού αποθεματικού, αλλά μακροπρόθεσμα αύξηση της καλλιεργήσιμης έκτασης και εντατικοποίηση της καλλιέργειας θα αυξήσει την προσφορά. Από την άλλη όταν οι τιμές πέφτουν οι παραγωγοί μπορεί να έχουν την τάση να κρατήσουν το εμπόρευμα τους από την αγορά. Το αν η αποθήκευση του προϊόντος είναι εφικτή εξαρτάται από πολλούς παράγοντες, όπως το κόστος αποθήκευσης, το χρονικό περιθώριο που αναμένεται άνοδος των τιμών σε επιθυμητό επίπεδο, η ρευστότητα του παραγωγού κ.α.. Σε περίπτωση που δεν διαφαίνεται άνοδος των τιμών σε σύντομο χρονικό διάστημα η αποθήκευση, είναι πιθανό, να μην είναι εφικτή οπότε η επιπλέον προσφορά εμπορεύματος στην αγορά θα ενισχύσει την καθοδική τάση των τιμών. Γενικότερα, η ανελαστική απόκριση της προσφοράς και της ζήτησης χαρακτηρίζει τα περισσότερα γεωργικά προϊόντα ακόμα και αν αυτά διαφέρουν πολύ στον τρόπο που ανταποκρίνονται σε τέτοιες μεταβολές (Piot-Lepetit and M Barek, 2011)

18 2.2 Παρουσίαση Υποδειγμάτων πρόβλεψης της μεταβλητότητας Μεγάλος αριθμός υποδειγμάτων έχει χρησιμοποιηθεί από τους οικονομολόγους για να μοντελοποιήσουν το υπόδειγμα των τιμών αγροτικών προϊόντων σε σχέση με τον χρόνο. Εξαιτίας των συγκεκριμένων χαρακτηριστικών της αγοράς που αναφέραμε παραπάνω και των επιπτώσεων πολιτικών, η μεταβλητότητα τιμής αγροτικών προϊόντων δεν μπορεί να αναλυθεί όπως η οικονομική μεταβλητότητα. Από τις προσεγγίσεις αυτές το μοντέλο κινητού μέσου όρου (ΜΑ), το μοντέλο αυτοπαλινδρόμησης (AR) ή το μοντέλο αυτοπαλινδρόμησης κινητού μέσου όρου (ARMA) χρησιμοποιούνταν συχνότερα για να αναγνωρίσουν την δομή μιας χρονοσειράς (Box και Jenkins, 1970). Πρόσφατα πολυπλοκότερα μοντέλα αναπτύχθηκαν όπως το μοντέλο αυτοπαλινδρόμησης δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας (ARCH) και το γενικευμένο μοντέλο ARCH (GARCH) (Bollersley, 1986). Το μοντέλο ARCH επιτρέπει τα σοκ από πρόσφατες περιόδους να επηρεάζουν τη μεταβλητότητα θετικά ενώ το GARCH απαιτεί όχι μόνο προηγούμενα σοκ, αλλά και προηγούμενες μεταβλητότητες να επηρεάζουν την τρέχουσα μεταβλητότητα

19 2.2.1 ARMA Τα μοντέλα αυτοπαλινδρόμησης κινητού μέσου (autoregressive-moving-average, ARMA) είναι μαθηματικά μοντέλα επιμονής ή αυτοσυσχέτισης των χρονικών σειρών. Τα μοντέλα ARMA χρησιμοποιούνται ευρέως στην υδρολογία, την δενδροχρονολόγηση, την οικονομετρία και σε άλλα πεδία. Η μοντελοποίηση μπορεί να συνεισφέρει στην κατανόηση του φυσικού συστήματος με το να αποκαλύψει κάτι σχετικό με τη φυσική διαδικασία που δημιουργεί επιμονή προς μία κατεύθυνση στη σειρά. Τα μοντέλα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να προβλέψουν τη συμπεριφορά των χρονοσειρών από παλαιότερες τιμές. Μια τέτοια πρόβλεψη μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν βασικό μέτρο για την αξιολόγηση της σημαντικότητας των άλλων μεταβλητών στο σύστημα. Γι αυτό το λόγο τα μοντέλα αυτά χρησιμοποιούνται σε οικονομικές και βιομηχανικές χρονοσειρές. Τα μοντέλα ARMA μπορούν να περιγραφούν με μία σειρά από εξισώσεις. Οι εξισώσεις αυτές είναι ευκολότερες αν από κάθε στοιχείο των χρονοσειρών αφαιρεθεί το μέσος του δείγματος, όπως φαίνεται παρακάτω: y t =Y t -, t=1,.n (1) όπου Y t είναι η χρονοσειρά, είναι ο μέσος του δείγματος και y t είναι η κανονικοποιημένη με βάση τον μέσο σειρά. Ένα υποσύνολο των μοντέλων ARMA είναι τα αυτοπαλίνδρομα ή AR μοντέλα. Τα τελευταία εκφράζουν μία χρονοσειρά σαν γραμμική συνάρτηση παλαιότερων τιμών της. Η τάξη του AR μοντέλου μας λέει πόσες υστερήσεις παλαιότερων τιμών συμπεριλαμβάνονται. Το απλούστερο μοντέλο είναι πρώτης τάξης ή AR(1): y t +α 1 y t-1 =e t (2) - 9 -

20 όπου y t είναι η κανονικοποιημένη με βάση τον μέσο σειρά το χρόνο t, y t-1 είναι η σειρά τον προηγούμενο χρόνο, α, είναι ένας συντελεστής αυτοπαλινδρόμησης lag-1 και το e t είναι θόρυβος. Ο τελευταίος όρος λέγεται επίσης και σφάλμα, τυχαίο σοκ και κατάλοιπο. Τα κατάλοιπα, λοιπόν, e t υποθέτουμε πως δεν έχουν σχέση με το χρόνο (δεν παρουσιάζουν αυτοσυσχέτιση) και έχουν κανονική κατανομή. Ξαναγράφοντας την παραπάνω εξίσωση ως εξής: y t = -α 1 y t-1 +e t (3) παρατηρούμε πως το μοντέλο AR(1) έχει τη μορφή μοντέλου παλινδρόμησης στο οποίο η y t παλινδρομείται στην προηγούμενη τιμή της. Σε αυτή τη μορφή το α 1 είναι ανάλογο του συντελεστή παλινδρόμησης και το e t των καταλοίπων της παλινδρόμησης. Τα μοντέλα κινητού μέσου όρου (moving average, MA) είναι μία μορφή των μοντέλων ARMA στην οποία η χρονοσειρά θεωρείται σαν κινητός μέσος όρος (άνισα κατανεμημένος) μιας σειράς τυχαίων σοκ e t. Το μοντέλο κινητού μέσου όρου πρώτης τάξης, ή MA(1), δίνεται από την παρακάτω εξίσωση : y t = e t +c 1 e t-1 (4) όπου τα e t, e t-1 είναι τα κατάλοιπα τις στιγμές t, t-1 και c 1 είναι ο συντελεστής πρώτης τάξης κινητού μέσου όρου

21 2.2.2 Το μονομεταβλητό GARCH Ο αμερικανός οικονομολόγος R. F. Engle ανέπτυξε το μοντέλο ARCH το Το μοντέλο συλλαμβάνει την τάση των τιμών των μετοχών και άλλων οικονομικών μεταβλητών να μετακινούνται μεταξύ υψηλής και χαμηλής μεταβλητότητας. Προηγούμενες έρευνες υπέθεταν είτε τη μεταβλητότητα να είναι σταθερή είτε χρησιμοποιούσαν απλούς τρόπους για να την προσεγγίσουν. Υπήρχε η ανάγκη για ένα καλύτερο μοντέλο υπολογισμού του κινδύνου, για παράδειγμα στις επιλογές τιμολόγησης (pricing options) και στα χρηματοοικονομικά παράγωγα. Το μοντέλο ARCH έγινε ένα σημαντικό εργαλείο για τη σύγχρονη τιμολόγηση εργαλείων στη θεωρία και στη πράξη. ΤΟ 2003 ο Engle πήρε το νόμπελ οικονομικών για τη δουλειά του στην ανάλυση χρονοσειρών με μεταβλητότητα με το χρόνο. Το μοντέλο GARCH Το μοντέλο GARCH(q, p) ορίζεται ώς εξής: r t =μ t +a t (5) α t =h 1/2 t z t (6) h t =α 0 +α 1 α 2 t-1+ + α q α 2 t-q+β 1 h t β p h t-p (7) όπου r t : είναι οι λογαριθμικές αποδόσεις ενός προϊόντος σε χρόνο t. a t : είναι η μέση διορθωμένη επιστροφή ενός προϊόντος σε χρόνο t. μ t : είναι η αναμενόμενη τιμή του όρου r t. h t : είναι το τετράγωνο της μεταβλητότητας, η υπό συνθήκη διακύμανση σε χρόνο t εξαρτώμενη από τη ιστορία. {z t }: είναι μία αλληλουχία εξαρτημένων και ταυτόσημα διανεμημένων κανονικοποιημένων μεταβλητών, όπως E[zt ]=0 και Var[zt ]=1. α 0,α 1,...α q,β 1,,β p : είναι παράμετροι του μοντέλου

22 p, q: είναι η τάξη του μοντέλου GARCH Στην (5) το μ t μπορεί να μοντελοποιηθεί σαν χρονική σειρά π.χ. ως ένα μοντέλο ARMA ή σαν σταθερά. Η μεταβλητότητα στην (7) μπορεί να γραφεί ως : (8) Από την (7) βλέπουμε πως η συνδιακύμανση, h t μεταβάλλεται με το χρόνο εξαρτώμενο από τις τελευταίες επιστροφές στο τετράγωνο. Αν μια μεγάλη μετατόπιση συνέβη εχθές, προχθές ή ακόμα και μέχρι q μέρες πριν, η επίδραση αυτής της μετατόπισης θα μεταφραστεί σε αύξηση της μεταβλητότητας. Συνεπώς το a t θα τείνει να είναι μεγάλο. Αυτό σημαίνει ότι ένα μεγάλο σοκ έχει την τάση να ακολουθείται από ένα άλλο μεγάλο σοκ. Όταν η μεταβλητότητα είναι γραμμικά εξαρτημένη, οι χρονικές σειρές θα έχουν περιόδους υψηλής μεταβλητότητας να ακολουθούνται από περιόδους χαμηλής μεταβλητότητας. Αυτή η περιοδική εξάρτηση της μεταβλητότητας λέγεται ομαδοποίηση της μεταβλητότητας. Το α t είναι σειριακά ασυσχέτιστο αν και εξαρτάται από προηγούμενες παρατηρήσεις,δηλαδή η εξάρτηση δεν είναι γραμμική. Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε πως παρόλο που η μεταβλητότητα είναι μεγάλη αυτό δεν σημαίνει απαραιτήτως πως το α t πρέπει να είναι μεγάλο, σημαίνει απλώς ότι η πιθανότητα να πάρουμε μία μεγάλη τιμή του α t γίνεται μεγάλη. Μία σημαντική αδυναμία του μοντέλου GARCH είναι ότι δε μπορεί να κάνει διαχωρισμό μεταξύ αρνητικών και θετικών κινήσεων στην αγορά. Αυτό συμβαίνει γιατί οι αποδόσεις είναι στο τετράγωνο (Orskaug, E. 2009)

23 Υπολογισμός των παραμέτρων Ο υπολογισμός των παραμέτρων του μοντέλου GARCH γίνεται με μέγιστη πιθανοφάνεια. Η έκφραση της πιθανοφάνειας είναι: L(α,β α 1,,α n )=f(α 1,,α n α, β)= =f(α n F n-1, α, β) f(α n-1 F n-2, α, β) f(α m+1 F m, α, β) f(α 1,,α m α, β) (9) Όπου n είναι το μέγεθος του δείγματος, m=max(p,q), α=(α 0,α 1,,α q ) T, β=(β 1,,β p ) Τα και f(α 1,,α n α, β) είναι η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των α 1,,α m. Επειδή η ακριβής μορφή της f(α 1,,α m α) είναι περίπλοκη, συνήθως χρησιμοποιείται η συνάρτηση δεσμευμένης πιθανοφάνειας η οποία δίνεται: L(α,β α m+1,,α n )= f(α m+1,. α n α, β, α 1,,α m ) (10) Για να προσδιορίσουμε τη f(α m+1,. α n α, β, α 1,,α m ) πρέπει να αποφασίσουμε στο τι μοντέλο θα χρησιμοποιήσουμε για το z t. Το συνηθέστερο είναι να υποθέσουμε πως το z t ακολουθεί τη γκαουσσιανή κατανομή (Orskaug, E. 2009). Προβλήματα στον υπολογισμό Μερικές φορές παρουσιάζεται πρόβλημα στη σύγκλιση γιατί η συνάρτηση πιθανοφάνειας γίνεται επίπεδη όταν ο αριθμός των παραμέτρων γίνεται πολύ μεγάλος. Μπορεί να πετυχαίνεται μόνο ένα τοπικό μέγιστο και σε αυτή τη περίπτωση οι αρχικές τιμές των παραμέτρων γίνονται πολύ σημαντικές. Θα πρέπει, λοιπόν, να πάρω διαφορετικές εκτιμήσεις για διαφορετικές αρχικές τιμές για να εξασφαλίσω πως πήρα το ολικό μέγιστο Γενικότερα πάντως τα περισσότερα μονομεταβλητά μοντέλα θα αντιμετωπίσουν λίγα προβλήματα σύγκλισης αν το μοντέλο είναι καλά καθορισμένο για τα δεδομένα και ειδικά αν ο αριθμός των παραμέτρων είναι μικρός (Orskaug, E. 2009)

24 Πρόβλεψη της μεταβλητότητας Η κύρια χρήση του GARCH μοντέλου είναι να προβλέψει μελλοντικές μεταβλητότητες. Πιο συγκεκριμένα κάποιος θέλει να προβλέψει την μελλοντική μεταβλητότητα k- βήματα μπροστά, δηλαδή h t+k. Ας υποθέσουμε ένα GARCH(p,q) μοντέλο. Τότε έχουμε: Ε[h t+k F t ]=Var[α t+k F t ]= =E[α 2 t+k F t ]= =E[E{ h t+k z 2 t+k F t+k-1 } F t ]= =E[h t+k F t ]= =E[α 0 +α 1 α 2 t+k-1+ + α q α 2 t+k-q+β 1 h t+k β p h t+k-p F t ]= (11) = α 0 +α 1 E[α 2 t+k-1 F t ]+ + α q E[α 2 t+k-q F t ]+ β 1 E[h t+k-1 F t ]+ + β p E[ht +k-p F t ]= = α 0 +α 1 E[h t+k-1 ]+ + α q E[h t+k-q ]+ β 1 E[h t+k-1 ]+ + β p E[ht +k-p ]= Όπου για k<0 (12) Η δεσμευμένη διακύμανση k-βήματα μπροστά μπορεί να υπολογιστεί από αυτό το τύπο υπολογίζοντας πρώτα το Ε[h t+1 F t ], μετά το Ε[h t+2 F t ] μέχρι το Ε[h t+k F t ]. Αν ο το k τείνει στο άπειρο είναι λογικό να υποθέσουμε ότι η πρόβλεψη της μεταβλητότητας θα συγκλίνει με την αδέσμευτη διακύμανση (Orskaug, E. 2009)

25 2.2.3 Πολυμεταβλητό GARCH Στην οικονομετρία και στο μάνατζμεντ η κατανόηση και η πρόβλεψη της εξάρτησης των κινήσεων των επιστροφών των αγαθών είναι σημαντική. Για παράδειγμα η τιμολόγηση των προϊόντων εξαρτάται από την συνδιακύμανση των προϊόντων σε ένα πορτφόλιο. Άρα είναι σημαντικό να λάβουμε υπόψη τις κινήσεις στο πορτφόλιο αυτό. Οι οικονομικές μεταβλητότητες μετακινούνται μαζί για τα προϊόντα και τις αγορές είτε περισσότερο κοντά είτε λιγότερο. Η αναγνώριση αυτής της ιδιότητας μέσω ενός πολυμεταβλητού μοντέλου θα οδηγήσει σε ένα καλύτερο εμπειρικό μοντέλο από ότι αν δουλεύαμε με ξεχωριστό μονομεταβλητά μοντέλα. Τα πολυμεταβλητά GARCH μοντέλα Τα πολυμεταβλητά GARCH μοντέλα μπορούν να ορισθούν ως εξής: r t =μ t +α t (13) α t =H 1/2 t z t (14) όπου r t : n x 1 διάνυσμα λογαριθμικών αποδόσεων n ακινήτων σε χρόνο t. α t : n x 1 διάνυσμα των μέσων διορθωμένων επιστροφών n κεφαλαίων σε χρόνο t,όπως Ε[α t ]=0, Cov[α t ]=H t μ t : n x 1 διάνυσμα της αναμενόμενης τιμής της εξαρτημένης r t. H t : n x n πίνακας των εξαρτημένων διακυμάνσεων του α t σε χρόνο t. H 1/2 t: Οποιοσδήποτε n x n πίνακας σε χρόνο t τέτοιος ώστε το H t να είναι ο πίνακας εξαρτημένης διακύμανσης του α t. z t : n x 1 διάνυσμα ανεξάρτητων και όμοιων μεταβλητών όπως Ε[z t ]=0 και Ε[z t z Τ t]=ι. Όπως και στη περίπτωση του μονομεταβλητού μοντέλου το α t είναι ασυσχέτιστο με τον χρόνο. Αυτό όμως δεν σημαίνει πως δεν υπάρχει εξάρτηση, απλώς η εξάρτηση δεν είναι γραμμική

26 Αυτό που απομένει να προσδιοριστεί είναι ο πίνακας εξαρτημένης διακύμανσης H t. Υπάρχουν πολλές πιθανές εξειδικεύσεις του πίνακα. Οι παράμετροι στο πίνακα αυτό αυξάνονται ραγδαία καθώς η διάσταση του α t αυξάνεται. Εφόσον το H t εξαρτάται από τον χρόνο, πρέπει σε κάθε επανάληψη να αντιστρέφεται, κάτι που κάνει τον υπολογισμό του απαιτητικό εκτός και αν το n (οι διαστάσεις του πίνακα) είναι μικρό. Αυτό δημιουργεί δυσκολίες στον υπολογισμό των μοντέλων, οπότε σημαντικός στόχος είναι να κατασκευάσουμε ένα πολυμεταβλητό GARCH μοντέλο που είναι αρκετά μικρό αλλά που θα διατηρεί την ευελιξία του. Μία ακόμα πλευρά είναι να διασφαλιστεί ότι ο πίνακας των εξαρτημένων διακυμάνσεων είναι θετικά ορισμένος. Οι διαφορετικές εξειδικεύσεις των πολυμεταβλητών GARCH μοντέλων μπορούν να χωριστούν σε τέσσερις κατηγορίες όπως προτείνονται από τους Silvennoinen Teräsvirta (2007) : 1) Μοντέλα πίνακα δεσμευμένης διακύμανσης Σε αυτή τη κατηγορία ο πίνακας εξαρτημένης διακύμανσης μοντελοποιείται ευθέως. Τα μοντέλα που περιλαμβάνονται εδώ είναι το VEC και το ΒΕΚΚ. Αυτά τα μοντέλα ήταν από τα πρώτα παραμετρικα πολυμεταβλητά GARCH μοντέλα. 2) Παραγοντικά μοντέλα Η ιδέα πίσω από αυτά τα μοντέλα έρχεται από την οικονομική θεωρία. Οι πίνακες εξαρτημένων διακυμάνσεων διακρίνονται από περιορισμένο αριθμό μεταβλητών. Η διαδικασία α t υποθέτεται να παράγεται από ένα μικρό αριθμό μη παρατηρήσιμων ετεροσκεδαστικών παραγόντων, εξ ου και το όνομα των μοντέλων. Αυτοί οι παράγοντες μπορούν να μελετηθούν και να γίνουν υποθέσεις πως κάποια χαρακτηριστικά των δεδομένων περιγράφονται. Το πλεονέκτημα αυτή της προσέγγισης είναι ότι μειώνει τις διαστάσεις του προβλήματος όταν ο αριθμός των παραγόντων σε σχέση με τη διάσταση του διανύσματος α t είναι μικρός

27 3) Μοντέλα δεσμευμένων μεταβολών και συσχετίσεων Τα μοντέλα αυτή της κατηγορίας χτίστηκαν πάνω στην ιδέα της μοντελοποίησης των δεσμευμένων μεταβολών και συσχετίσεων αντί της ευθέως μοντελοποίησης του πίνακα. 4) Μη παραμετρικές και ήμι-παραμετρικές προσεγγίσεις Τα μοντέλα αυτά είναι μία εναλλακτική στον παραμετρικό υπολογισμού της εξαρτημένης διακύμανσης. Το πλεονέκτημα αυτών των μοντέλων είναι ότι δεν επιβάλλουν συγκεκριμένη δομή στα δεδομένα. Μοντέλα δεσμευμένων μεταβολών και συσχετίσεων Τα μοντέλα αυτής της κατηγορίας δημιουργούνται για να μοντελοποιήσουν τις δεσμευμένες μεταβολές και συσχετίσεις αντί για την απευθείας μοντελοποίηση του πίνακα δεσμευμένων συνδιακυμάνσεων. Ο πίνακας αυτός αναλύεται στους πίνακες εξαρτημένων τυπικών αποκλίσεων και συσχετίσεων ως εξής: H t = D t R t D t (15) Όπου D t =diag(h 1/2 1t,,h 1/2 nt ) είναι η δεσμευμένη τυπική απόκλιση, και R t είναι ο πίνακας συσχετίσεων. Τα μοντέλα αυτής της κατηγορίας μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες, αυτά με σταθερό πίνακα συσχετίσεων και αυτά στα οποία ο πίνακας συσχετίσεων μεταβάλλεται με τον χρόνο. Όταν ο πίνακας συσχετίσεων R t μεταβάλλεται με τον χρόνο ο H t ορίζεται θετικά αν ο R t είναι θετικά ορισμένος σε κάθε σημείο του χρόνου και οι εξαρτημένες συνδιακυμάνσεις h it,i=1,...,n είναι καλά ορισμένες. Σε σχέση με τα μοντέλα με σταθερό πίνακα δεν έχουν το πλεονέκτημα του απλού υπολογισμού μιας και πρέπει σε κάθε επανάληψη να αντιστρέφεται ο πίνακας για κάθε t (Orskaug, E. 2009)

28 2.2.4 DCC-GARCH Η βασική ιδέα Το μοντέλο δυναμικής εξαρτημένης συσχέτισης (Dynamic Conditional Correlation, DCC) GARCH προτάθηκε από τους Engle και Sheppard to Ανήκει στα μοντέλα δεσμευμένων συνδιακυμάνσεων και συσχετίσεων όπως περιγράφτηκαν παραπάνω και συγκεκριμένα σε αυτό το μοντέλο και ο πίνακας D t και ο R t είναι εξαρτώμενοι από το χρόνο. Το μοντέλο DCC-GARCH Αν υποθέσουμε πως έχουμε αποδόσεις α t, από n ακίνητα με αναμενόμενη αξία 0 και πίνακα συνδιακυμάνσεων H t. Το μοντέλο DCC-GARCH τότε ορίζεται ως εξής: r t = μ t + α t (16) α t = H 1/2 t z t (17) H t = D t R t D t (18) Όπου: r t : είναι ένα n x 1 διάνυσμα λογαριθμικών αποδόσεων n ακινήτων σε χρόνο t. α t : είναι ένα n x 1 διάνυσμα των μέσων διορθωμένων αποδόσεων n ακινήτων σε χρόνο t,όπως Ε[α t ]=0, Cov[α t ]=H t μ t : είναι ένα n x 1 διάνυσμα της αναμενόμενης τιμής της εξαρτημένης r t. H t : είναι ένας n x n πίνακας των εξαρτημένων διακυμάνσεων του α t σε χρόνο t. H 1/2 t: είναι οποιοσδήποτε n x n πίνακας σε χρόνο t τέτοιος ώστε το H t να είναι ο πίνακας εξαρτημένης διακύμανσης του α t. D t : είναι ένας n x n διαγώνιος πίνακας των εξαρτημένων τυπικών αποκλίσεων του α t σε χρόνο t. R t : είναι ένας n x n πίνακας εξαρτημένων συσχετίσεων του α t σε χρόνο t. z t : είναι ένα n x 1 διάνυσμα ανεξάρτητων και όμοιων μεταβλητών όπως Ε[z t ]=0 και Ε[z t z Τ t]=ι

29 Τα στοιχεία στο διαγώνιο πίνακα D t είναι τυπικές αποκλίσεις από μονομεταβλητά GARCH μοντέλα. (19) Όπου (20) Προσέξτε ότι τα μονομεταβλητά μοντέλα GARCH μπορούν να είναι διαφορετικής τάξης. Συχνότερα το πιο απλό μοντέλο GARCH(1,1) είναι αρκετό. Η εξειδίκευση των μονομεταβλητών μοντέλων δεν περιορίζεται στο τυπικό μονομεταβλητό GARCH(p,q) που αναφέρθηκε παραπάνω αλλά μπορεί να συμπεριλάβει διαδικασίες με Γκαουσσιανή κατανομή σφαλμάτων που ικανοποιεί κατάλληλες συνθήκες στασιμότητας που εξασφαλίζουν την ύπαρξη της ανεξάρτητης διακύμανσης. Ο R t είναι ο πίνακας εξαρτημένων συσχετίσεων των κανονικοποιημένων διαταράξεων ε t: Εφόσον ο R t είναι πίνακας συσχετίσεων θα είναι συμμετρικός (21) (22) Τα στοιχεία του H t = D t R t D t είναι: Όπου =1. (23)

30 Κατά τη διευκρίνιση της μορφής του R t πρέπει να έχουμε υπ όψιν δύο προϋποθέσεις: 1) Ο H t πίνακας πρέπει να είναι θετικά ορισμένος γιατί είναι πίνακας συνδιακύμανσης. Για να διασφαλίσουμε ότι ο H t είναι θετικά ορισμένος ο R t πρέπει και αυτός να είναι θετικά ορισμένος (ο D t είναι θετικά ορισμένος εφόσον όλα τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του είναι θετικά). 2) Όλα τα στοιχεία του πίνακα συσχετίσεων R t πρέπει να είναι ίσα ή μικρότερα της μονάδας ενός εξορισμού. Για την διασφάλιση των προϋποθέσεων το μοντέλο DCC-GARCH αναλύεται σε: (24) (25) Όπου είναι ο πίνακας ανεξάρτητης διακύμανσης των κανονικοποιημένων σφαλμάτων. Το μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: (26) Οι παράμετροι a,b είναι βαθμωτά μεγέθη, και ο είναι ένας διαγώνιος πίνακας με τη τετραγωνική ρίζα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του στη διαγώνιο: (27) O αλλάζει τις τιμές των στοιχείων στον για να διασφαλιστεί η δεύτερη προϋπόθεση,. Επιπλέον ο πρέπει να είναι θετικά ορισμένος για να διασφαλιστεί πως είναι θετικά ορισμένος και ο. Επιβάλλονται επίσης κάποιες προϋποθέσεις στις παραμέτρους α και b για να είναι ο H t θετικά ορισμένος (Orskaug, E. 2009)

31 Υπολογισμός του DCC-GARCH Εδώ θα περιγράψουμε πως καθορίζονται οι παράμετροι του DCC-GARCH μοντέλου θεωρώντας για τα κανονικοποιημένα σφάλματα z t ότι ακολουθούν την πολυμεταβλητή γκαουσσιανή κατανομή. Όταν τα κανονικοποιημένα σφάλματα z t ότι ακολουθούν την πολυμεταβλητή γκαουσσιανή κατανομή η από κοινού κατανομή των z 0,, z t είναι: (28) εφόσον Ε[z t ]=0 και Ε[z t ]=Ι. Εδώ t=1,,t είναι η χρονική περίοδος που χρησιμοποιήθηκε για να υπολογιστεί το μοντέλο. Η συνάρτηση πιθανοφάνειας για το α t = H t 1/2 z t είναι: (29) όπου το θ συμβολίζει της παραμέτρους του μοντέλου. Ας χωρίσουμε τις παραμέτρους,θ, σε δύο ομάδες, (φ,ψ)=(φ 1,,φ n,ψ), όπου φ i =(α 0i, α 1i,, α qi, β 1i,, β pi ) είναι οι παράμετροι του μονομεταβλητού GARCH μοντέλου για την i οστη σειρά κεφαλαίων, i=1,,n. ψ=(α,b) είναι οι παράμετροι από τη σχέση (25). Λογαριθμώντας τη σχέση (29) και αντικαθιστώντας H t = D t R t D t παίρνουμε το λογάριθμο της πιθανοφάνειας: (30)

32 Η εκτίμηση της σωστά προσδιορισμένης λογαριθμικής πιθανοφάνειας είναι δύσκολη και γι αυτό το λόγο το DCC-GARCH μοντέλο σχεδιάστηκε για να επιτρέπει τον υπολογισμό σε δύο βήματα. Στο πρώτο βήμα η παράμετρος φ του μονομεταβλητού μοντέλου GARCH υπολογίζεται για κάθε σειρά κεφαλαίου. Η πιθανοφάνεια που χρησιμοποιείται στο πρώτο στάδιο καταλήγει να παίρνει τη θέση του R t από τον ταυτοτικό πίνακα I n. Στο δεύτερο στάδιο η παράμετρος ψ υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τη σωστά προσδιορισμένη λογαριθμική πιθανοφάνεια από την (30),δεδομένης της παραμέτρου φ. Βήμα 1 ο Στο πρώτο βήμα ο R t αντικαθίσταται από τον ταυτοτικό πίνακα I n στην (30) πράγμα που οδηγεί σε συνάρτηση ψεύδο-πιθανοφάνειας: (31) Συγκρίνοντας την (31) με τη λογαριθμική πιθανοφάνεια στο μονομεταβλητό μοντέλο μπορούμε να δούμε ότι η λογαριθμική πιθανοφάνεια της (31) είναι το άθροισμα των λογαριθμικών πιθανοφανειών στο μονομεταβλητό GARCH, που σημαίνει ότι οι παράμετροι των διαφορετικών μονομεταβλητών μοντέλων μπορούν να καθοριστούν ξεχωριστά. Από το πρώτο βήμα υπολογίζεται το σετ παραμέτρων φ. Όταν υπολογίζεται το φ υπολογίζεται και η δεσμευμένη διακύμανση h it για κάθε i=1,,n και τα

33 και μπορούν να υπολογισθούν.μετά το πρώτο βήμα μόνο οι παράμετροι α και b είναι άγνωστοι και υπολογίζονται στο δεύτερο βήμα. Βήμα 2 ο Στο δεύτερο βήμα υπολογίζεται το ψ=(α,b) χρησιμοποιώντας τη σωστά προσδιορισμένη λογαριθμική πιθανοφάνεια δεδομένων των υπολογισμένων παραμέτρων από το πρώτο βήμα. Η συνάρτηση ψεύδο-πιθανοφάνειας του δεύτερου βήματος είναι: (32) Εφόσον το είναι σταθερό μπορούμε να μην συμπεριλάβουμε τους σταθερούς όρους και να μεγιστοποιήσουμε: (33)

34 2.2.5 BEKK GARCH Οι περισσότερες οικονομικές εφαρμογές είναι από τη φύση τους πολυμεταβλητές με προβλέψεις από πίνακες δεσμευμένων συνδιακυμάνσεων σαν σημαντικά στοιχεία τους. Τέτοιες προβλέψεις μπορεί να βασίζονται σε εκτιμήσεις των μοντέλων των πολυμεταβλητών δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας (GARCH) όπως το ΒΕΚΚ που προτάθηκε από τους Engle και Kroner (1995) (π.χ. Bauwens, Laurent, και Rombouts 2006; Laurent, Rombouts και Violante 2012). Αυτό είναι ένα πολύ γνωστό και πολυεφαρμοζόμενο GARCH μοντέλο. Παρά το γεγονός ότι το μοντέλο ΒΕΚΚ είναι μία πολύ απλή επέκταση του δημοφιλούς μονομεταβλητου GARCH (Bollerslev, 1987) ο μεγαλύτερος περιορισμός του είναι ότι περιέχει μεγάλο αριθμό παραμέτρων, ακόμα και σε σειρές μικρών αριθμών. Αυτό σημαίνει πως είναι πάρα πολύ δύσκολο, αν όχι αδύνατο, να εκτιμήσουμε το μοντέλο μέσω της κλασικής διαδικασίας του υπολογισμού πιθανότητας ψεύδο-μέγιστης πιθανοφάνειας. Την ίδια ώρα πρόσφατες εξελίξεις στις οικονομικές εφαρμογές προκαλούν αυξανόμενο ενδιαφέρον πάνω στις δεσμευμένες συνδιακυμάνσεις και συσχετίσεις βασιζόμενες πάνω σε τεράστια ή μεγάλων διαστάσεων μοντέλα. Με αυτά σαν δεδομένα, κάποιος μπορεί να παραμετροποιήσει ή να τροποποιήσει το μοντέλο ΒΕΚΚ για να χρησιμοποιήσει λιγότερες παραμέτρους, ενώ την ίδια στιγμή κάποιος μπορεί να στραφεί σε άλλες μεθόδους υπολογισμού. Παραδείγματα μείωσης των αριθμών των μεταβλητών παραμέτρων στη διαδικασία της βελτιστοποίησης για το μοντέλο ΒΕΚΚ είναι το διαγώνιο-βεκκ (diagonal-bekk) στο οποίο υποθέτουμε ότι οι πίνακες είναι διαγώνιοι και το βαθμωτό-βεκκ (scalar-bekk), που είναι η πιο περιορισμένη μορφή του διαγώνιου-βεκκ, στο οποίο ισχύει =αι και =bι όπου τα α,b είναι τα βαθμωτά μεγέθη (Bauwens, Laurent, και Rombouts, 2006)

35 Η εξίσωση που το περιγράφει είναι η παρακάτω: (34) Όπου : Κάτω τριγωνικός πίνακας. : n x n πίνακες παραμέτρων. Για παράδειγμα στη περίπτωση του διμεταβλητού μοντέλου όπου Κ=1, p=1,q=0 η δεσμευμένη διακύμανση του μπορεί να γραφεί ως: (35) και η δεσμευμένη συνδιακύμανση μπορεί να γραφτεί ως: (36) Το μοντέλο ΒΕΚΚ εγγυάται με ασθενείς υποθέσεις ότι ο H t είναι θετικά ορισμένος. Ικανή συνθήκη για να είναι θετικά ορισμένος είναι πως πρέπει τουλάχιστον ένας από τους πίνακες ή να είναι πλήρους τάξης (τάξη ενός πίνακα Α λέγεται ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών (ή γραμμών) του Α). Ένας m n πίνακας πλήρους τάξης είναι ένας πίνακας ο οποίος έχει τη μέγιστη δυνατή τάξη. Αυτό σημαίνει ότι ένας πίνακας πλήρους τάξης με m n πρέπει να έχει n γραμμικά ανεξάρτητες στήλες) και οι πίνακες H 0,..., H 1-p να είναι θετικά ορισμένοι. Το μοντέλο αυτό επιτρέπει την εξάρτηση των δεσμευμένων διακυμάνσεων μιας μεταβλητής από τις τιμές μιας άλλης μεταβλητής που έχουν χρονική υστέρηση, έτσι ώστε να μοντελοποιηθούν οι αιτιότητες στις διακυμάνσεις

36 2.3 Έλεγχοι αξιολόγησης των μοντέλων Γιαν να κρίνουμε κατά πόσο ένα μοντέλο περιγράφει ικανοποιητικά τα δεδομένα μας εφαρμόζουμε κάποιους ελέγχους. Στη παρούσα διπλωματική οι έλεγχοι που χρησιμοποιήθηκαν και παρουσιάζονται παρακάτω είναι : Το Ljung-Box Q-test, το ARCH τεστ του Engle, η εξέταση της λοξότητας και της κυρτότητας των σειρών, το Jarque Bera, ο έλεγχος του Akaike, του Schwartz, των Hannan-Quinn και του Shibata. Έλεγχος Ljung-Box Το Ljung-Box Q-test είναι ένας ποσοτικός τρόπος να εξετάσουμε την αυτοσυσχέτιση σε πολλαπλές υστερήσεις ( Lag) από κοινού (Ljung and Box, 1978). Η μηδενική υπόθεση είναι για αυτό το τεστ ότι οι πρώτες m αυτοσυσχετίσεις είναι όλες μηδέν, (37) Η επιλογή του m επηρεάζει την απόδοση του τεστ. Αν είναι Ν το μήκος των παρατηρούμενων χρονοσειρών, προτείνεται να επιλέξουμε m=ln(n) (Tsay, 2010). Το τεστ μπορεί να γίνει με πολλές τιμές του m. Αν είναι δυνατή η εποχιακή αυτοσυσχέτιση μπορούμε να δοκιμάσουμε το τεστ για μεγαλύτερες τιμές του m όπως 10 ή 15. Η στατιστική του τεστ Ljung-Box δίνεται από την εξίσωση: Ουσιαστικά είναι μία τροποποίηση της στατιστικής Box-Pierce Portmanteau "Q" (Box,and Pierce, 1970). Σύμφωνα με τη μηδενική υπόθεση το Q(m) ακολουθεί την (38) κατανομή. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το τεστ Ljung-Box Q για να εκτιμήσουμε την αυτοσυσχέτιση σε κάθε σειρά με σταθερό μέσο. Αυτό σημαίνει πως μπορεί να εφαρμοστεί και σε σειρές καταλοίπων που μπορούν να εξεταστούν για αυτοσυσχέτιση κατά τη διάρκεια των διαγνωστικών ελέγχων του μοντέλου. Είναι

37 φανερό ότι στα υποδείγματα που εκτιμάμε επιθυμούμε τα κατάλοιπα μετά την εκτίμηση να μην έχουν αυτοσυσχέτιση και ετεροσκεδαστικότητα, δηλαδή να είναι «λευκός θόρυβος». Έτσι εξασφαλίζουμε ότι η συγκεκριμένη εξειδίκευση που έχει επιλεγεί έχει χρησιμοποιήσει το σύνολο της πληροφόρησης που υπάρχει στα δεδομένα μας. Η αποδοχή λοιπόν της μηδενικής υπόθεσης σε αυτό τον έλεγχο είναι ένα στοιχείο που συνεισφέρει στη διαδικασία επιλογής του κατάλληλου υποδείγματος. Τα ίδια πράγματα ισχύουν και για τη συνάρτηση δεσμευμένης διακύμανσης. Έλεγχος ARCH του Engle Το ARCH τεστ του Engle εκτιμά την μηδενική υπόθεση ότι μία σειρά καταλοίπων (r t ) δεν επιδεικνύει δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα (ARCH effects), με την εναλλακτική υπόθεση να είναι ότι ένα ARCH(L) μοντέλο περιγράφει τη σειρά. Το μοντέλο ARCH(L) έχει την ακόλουθη μορφή: (39) όπου υπάρχει τουλάχιστον ένα a j 0, j = 0,..,L. Η στατιστική του τεστ είναι αυτή του πολλαπλασιαστή Lagrange TR 2, όπου: -Τ είναι το μέγεθος του δείγματος -R 2 είναι ο συντελεστής προσδιορισμού από τη περιγραφή ενός μοντέλου ARCH(L) για αριθμό υστερήσεων (L) μέσω παλινδρόμησης. Σύμφωνα με τη μηδενική υπόθεση, η ασυμπτωτική κατανομή της στατιστικής του τεστ είναι χ 2 με L βαθμούς ελευθερίας. Ασυμμετρία ή λοξότητα (skewness) Μας δείχνει πόσο και προς ποια κατεύθυνση αποκλίνει η κατανομή από την πλήρη συμμετρία (skewness=0). Τα είδη ασυμμετρίας είναι: -Θετική: Εξόγκωση προς τα αριστερά και μεγάλη ουρά προς τα δεξιά (skewness >0)

38 -Αρνητική: Εξόγκωση προς τα δεξιά και μεγάλη ουρά προς τα αριστερα (skewness<0) Εικόνα 0: Είδη ασυμμετρίας. Αριστερά είναι η κανονική κατανομή, στο κέντρο παρουσιάζεται η θετική και στα δεξιά η αρνητική ασυμμετρία Κύρτωση (Kurtosis) Η κύρτωση μας είναι το μέτρο της οξύτητας της κορυφής μιας κατανομής. Υπάρχουν τρείς κατηγορίες: -Λεπτόκυρτη (Kurtosis>3) - Πλατύκυρτη (Kurtosis<3) - Μεσόκυρτη (Kurtosis=3) Εικόνα 1: Είδη κύρτωσης. Αριστερά είναι η μεσόκυρτη καμπύλη, στο κέντρο παρουσιάζεται η λεπτόκυρτη και στα δεξιά η πλατύκυρτη Ο έλεγχος Jarque Bera Ο έλεγχος Jarque Bera δείχνει κατά πόσο τα δεδομένα του δείγματος έχουν την κύρτωση και την λοξότητα της κανονικής κατανομής. Ο έλεγχος ορίζεται από: (40)

39 όπου n είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων (ή οι βαθμοί ελευθερίας γενικά), S είναι η λοξότητα του δείγματος και K η κύρτωσή του. Η μηδενική υπόθεση είναι μία από κοινού υπόθεση ότι και η λοξότητα και η υπερβολική κύρτωση (excess kurtosis) είναι μηδέν. Τα δείγματα που προέρχονται από κανονική κατανομή έχουν λοξότητα μηδέν και υπερβολική κύρτωση μηδέν (κάτι που είναι ίδιο με το να είχαν κύρτωση 3) (Jarque&Bera1980). Κριτήρια πληροφορίας (Information Criteria) -Έλεγχος Akaike: μας δείχνει το πόσο καλά (goodness-of-fit, likelihood) περιγράφει το μοντέλο τα δεδομένα μας (Javed & Mantalos,2013). -Έλεγχος Schwartz: χρησιμοποιείται για μοντέλα που χρησιμοποιούν μέθοδο μέγιστης πιθανοφάνειας και με το κριτήριο ότι το μέγεθος του δείγματος είναι επαρκώς μεγάλο (Javed & Mantalos,2013). -Έλεγχος Hannan-Quinn: Προτάθηκε από τους Hannan-Quinn (1979) και Hannan (1980) σαν ένα ακόμα συνεπές κριτήριο για την τάξη ενός αυτοσυσχετιζόμενου μοντέλου (Javed & Mantalos,2013). -Έλεγχος Shibata: Προβλέπει την τάξη ενός μοντέλου βασιζόμενο στην ταύτιση (fitting) της τάξης διανυσματικών αυτοσυσχετιζόμενων μοντέλων διαφόρων τάξεων σε μία σειρά (Kadılar& Erdemir, 2002). Οι εξισώσεις των παραπάνω ελέγχων είναι: (0)