Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară
|
|
- Γεννάδιος Τομαραίοι
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z = x (y z), ( )x, y, z G; (G2) (Element neutru) ( )e G astfel încât x e = e x = x ( )x G; (G3) (Inversabilitate) ( )x G( )x 1 G astfel încât x x 1 = x 1 x = e. Dacă în plus are loc: (G4) (Comutativitate) x y = y x, ( )x, y G, spunem că G este abelian sau comutativ. Exemplul II (i) (Z, +) şi (Z n, +) sunt grupuri abeliene. (ii) (Z, ) şi (Z n, ) sunt doar monoizi. Dar pentru orice monoid M, mulţimea elementelor inversabile formează un grup, notat U(M). În particular, avem: U(Z) = { 1, 1}, grup multiplicativ cu 2 elemente, U(Z n ) = {ˆk Z n (k, n) = 1} grup cu φ(n) elemente. Merită reamintită aici metoda de determinare al inversului unui element ˆk U(Z n ). Acesta se bazează pe următoarele observaţii: fiind date două numere întregi a, b Z, cel mai mare divizor comun al acestora este (a, b) = d ( )k, l Z, ak + bl = d. De asemenea, (a, b) = (a, b a). De exemplu, să determinăm inversul lui ˆ3 în U(Z 47 ). Avem (3, 47) = 1, obţinut prin algoritmul lui Euclid astfel: 47 = =
2 CC-Matematică 2 2 de unde rezultă că 1 = = 3 ( ) 1 = = Trecând la clase de resturi modulo 47, obţinem Deci (ˆ3) 1 = ˆ16. ˆ1 = ˆ3 ˆ16 ˆ0 ˆ1 = ˆ3 ˆ16 (iii) (M n (R), +) este grup abelian, dar (M n, (R), ) este doar monoid. De fapt, U(M n (R)) = {A M n (R) deta 0} (şi se notează de obicei cu GL n, grupul general liniar de ordin n). (iv) Fie X o mulţime şi (X X, ) monoidul funcţiilor definite pe X cu valori tot în mulţimea X. Atunci U(X X ) = {f : X X f bijecţie }. Acest grup se mai notează şi cu S X. Reamintim că o funcţie bijectivă se mai numeşte şi permutare. Avem deci (S X,, 1 X ) grupul permutărilor mulţimii X (grup necomutativ dacă X > 2). Dacă X este finită, X = n, atunci S X se mai notează şi S n şi S n = n!. Cazul n = 3: putem considera X = {1, ( 2, 3}; vom reprezenta ) o funcţie bijectivă f : X X printr-un tabel. Se obţine f(1) f(2) f(3) astfel { (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } S 3 =,,,,, ( ) ( ) ( ) Notând 1 =, f = şi g =, atunci ( 2 ) 1 3 ( ) avem: f 2 = g 3 = 1, g 2 =, fg = g f =, gf = ( ) fg 2 = (v) Grupul diedral D n (grupul simetriilor poligonului regulat cu n laturi). Vom prezenta doar cazul n = 4: considerăm un pătrat împărţit în 4 părţi egale: Asupra acestui pătrat vom efectua următoarele transformări:
3 CC-Matematică 2 3 Rotaţii în sens trigonometric în jurul centrului pătratului: 2 1 R 0 : 3 4, R : 2 3, R : 1 2, R : 4 1. Reflexii faţă de axele de simetrie: 1 2 S : 4 3, S 3 4 : 2 1, S 4 1 / : 3 2, S 2 3 \ : 1 4 Fie D 4 = {R 0, R 90, R 180, R 270, S, S, S /, S \ }. Atunci mulţimea D 4 este închisă la operaţia de compunere a funcţiilor (exerciţiu: scrieţi tabla!). De exemplu, R 90 S = S \, S R 90 = S /. Cum operaţia de compunere a transformărilor (funcţiilor) este asociativă şi fiecare transformare este inversabilă (de exemplu, fiecare simetrie este propria sa inversă), rezultă că D 4 este un grup necomutativ cu elementul neutru R 0. Definiţia II O submulţime H a unui grup G se numeşte subgrup dacă: (SG1) ( )x, y H x y H (SG2) e H (SG3) ( )x H x 1 H (condiţia (SG2) nu e necesară; rezultă din (SG1) şi (SG3)). În particular, orice subgrup H este grup cu operaţia indusă, cu acelaşi element neutru. Exemplul II (i) {0} este subgrup în (Z, +). La rândul său, Z este subgrup de exemplu în (Q, +). (ii) Subgrupurile lui S 3 : S 3 {1, f} {1, fg} {1, gf} {1, g, g 2 } {1}
4 CC-Matematică 2 4 (iii) Subgrupurile grupurilor (Z 12, +) şi (U(Z 12 ), +) (unde U(Z 12 = {ˆ1, ˆ5, ˆ7, ˆ11}): Z 12 {ˆ0, ˆ2, ˆ4, ˆ6, ˆ8, ˆ10} {ˆ0, ˆ3, ˆ6, ˆ9} {ˆ0, ˆ4, ˆ8} {ˆ0, ˆ6} {ˆ0} U(Z 12 ) {ˆ1, ˆ5} {ˆ1, ˆ7} {ˆ1, ˆ11} {ˆ1} Ordinul unui grup G este numărul de elemente al mulţimii G (posibil ). Ordinul unui element x G este cel mai mic număr natural n astfel încât x n = e (sau dacă nu există asemenea n ). Dacă x G, atunci < x >= {e, x, x 2, x 3,...} este subgrup (numit subgrupul ciclic generat de x) de ordin n egal cu ordinul lui x. Teorema II (Lagrange) Fie G un grup finit şi H G un subgrup. Atunci H G. Corolarul II Fie G un grup finit de ordin G = n şi x G. Atunci x n = e. Exemplul II Fie p un număr prim. Atunci U(Z p ) = {ˆ1, ˆ2,..., p ˆ 1} şi din Corolar rezultă ˆk p 1 = ˆ1, ˆk U(Z p ). În particular, pentru orice x Z prim cu p, avem x p 1 1(mod p) (teorema lui Fermat). Aplicaţie: test parţial pentru detectarea numerelor prime: Alegem x număr natural nedivizibil cu p; Dacă x p 1 (mod p), atunci p nu e prim. Testăm p = 35. Alegem x = 2. Avem (mod 35), deci p nu e prim. Testăm acum p = 341 = Alegem x = 2. Atunci (mod 341), deci rezultatul nu este suficient. Alegem şi x = 3. Atunci (mod 341), deci 341 nu e prim. II.3.2 Grupuri ciclice în criptografie. Protocolul Diffie- Hellman (1976) Este o metodă prin care două părţi pot comunica prin mesaje secrete pe un canal public de comunicaţie, fără să fie nevoie de o terţă parte sau schimb off-line; se bazează pe conceptul de cheie publică privată:
5 CC-Matematică 2 5 (i) Se fac publice următoarele elemente: un număr prim mare p şi un număr g primitiv modulo p (adică mulţimea resturilor modulo p ale numerelor g, g 2,..., g p 1 coincide cu {1, 2, 3,..., p 1}). (ii) Utilizatorii Alice şi Bob doresc să stabilească o cheie secretă. (iii) Alice alege o valoare aleatoare x Z p, calculează a g x (mod p) şi trimite rezultatul lui Bob pe canalul public. (iv) Analog Bob alege y Z p, calculează b g y (mod p) şi trimite rezultatul lui Alice. (v) Alice calculează b x (g y ) x (g x ) y a y (mod p). (vi) Bob obţine acelaşi rezultat. (vii) K = b x = a y este cheia privată care o vor utiliza în viitor. Dacă un al treilea utilizator Eve urmăreşte comunicarea, atunci află p, g, a, b, deci are de rezolvat sistemul g x a(mod p) g y b(mod p) pentru a descoperi cheia privată k = a y = b x. foarte dificil. În practică, aceast lucru este Exemplul II Fie p = 7, g = 3. Alice alege cheia x = 1, iar Bob alege y = 2. Alice calculează cheia sa publică a g x (mod p), a = 3 şi o trimite lui Bob. Bob calculează cheia sa publică b g y (mod p), b = 2 şi o trimite lui Alice. Alice calculează K b x (mod p), K = 2 Bob calculează k a y (mod p), K = 2 Deci K = 2 este cheia secretăpe care o vor folosi în viitor pentru a comunica mesaje private.
6 CC-Matematică 2 6 II.4 II.4.1 Inele. Corpuri Definiţie. Exemple Definiţia II Un inel R este o mulţime, împreună cu două operaţii binare, notate + : R R R, : R R R, astfel încât: (R1) (R, +) este grup abelian. (R2) (R, ) este monoid. (R3) (Distributivitate) x (y + z) = x y + x z, ( )x, y, z R, (x + y) z = x z + y z, ( )x, y, z R Proprietaţi suplimentare (i) Inel comutativ: x y = y x, ( )x, y R. (ii) Inel boolean: x x = x, ( )x R. (iii) Inel integru: ( )x, y R \ {0}, x y 0 (avem voie să simplificăm la dreapta sau la stânga). (iv) Corp: ( )x R \ {0}, x este inversabil în raport cu operaţia. Exemplul II (i) (Z, +, ) este un inel comutativ integru. (ii) (M n (R), +, ) este un inel necomutativ şi cu divizori ai lui zero. (iii) (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ), (Z p, +, ) (p prim) sunt corpuri comutative. (iv) Există şi corpuri necomutative: corpul cuaternionilor H ( după numele matematicianului W.R. Hamilton), având drept elemente tupluri de forma q = (a, b, c, d) cu a, b, c, d R, cu operaţia aditivă - adunarea pe componente. Pentru operaţia multiplicativă, notăm 1 = (1, 0, 0, 0), i = (0, 1, 0, 0), j = (0, 0, 1, 0), k = (0, 0, 0, 1). Atunci orice q H, q = (a, b, c, d) se mai scrie q = a 1 + b i + c j + d k. Definim operaţia multiplicativă prin: 1 1 = 1 1 i = i 1 = i 1 j = j 1 = j 1 k = k 1 = k i 2 = j 2 = k 2 = 1 i j = j i = k j k = k j = i k i = i k = j
7 CC-Matematică 2 7 şi extindem prin liniaritate la toate elementele lui H. Se obţine astfel pe H o structură de inel necomutativ, în care orice element q H \ {0} este inversabil, cu inversul: q 1 1 = (a 1 b i c j d k), a 2 +b 2 +c 2 +d 2 deci un corp necomutativ. Teorema II Orice corp finit k este comutativ şi există p, n N cu p prim astfel încât k = p n. Mai mult, oricare două corpuri finite cu acelaşi număr de elemente sunt izomorfe (izomorfism de corpuri: bijecţie care păstrează cele două operaţii, elementele simetrizabile şi inversabilitatea în raport cu operaţiile). Un corp finit cu p n elemente se mai numeste şi corp Galois şi se notează GF (p n ) sau F p n. Construcţia unui corp Galois cu p n elemente: fie P Z p [X] un polinom ireductibil de grad n; atunci mulţimea resturilor la împărţirea cu P formează corpul dorit în raport cu adunarea şi înmulţirea polinoamelor modulo P. Pentru p = 2, asociind fiecărui polinom a 0 +a 1 X +...+a n 1 X n 1 Z 2 [X] secvenţa coeficienţilor săi (a 0, a 1,..., a n 1 ) (Z 2 ) n, obţinem o structură de corp pe mulţimea stringurilor binare de lungime n. Exemplul II Corpul GF (2 3 ) (realizat pe mulţimea (Z 2 ) 3 ). Căutăm un polinom de grad 3 ireductibil din Z 2 [X]; din cele 8 polinoame existente, se verifică uşor că doar X 3 +X +1 şi X 3 +X 2 +1 sunt ireductibile. Alegem de exemplu P = X 3 + X + 1. Atunci resturile la împărţirea cu P sunt: X 010 X X X X 2 + X 110 X 2 + X Pentru adunarea şi multiplicarea modulo P, avem de exemplu şi (X 2 + 1) + (X 2 + X + 1) = 2X 2 + X + 2 = X(mod P ) (X 2 + 1)(X 2 + X + 1) = X 4 + X 3 + X 2 + X 2 + X + 1 = X 4 + 2X 2 = X 4 = X 2 + X(mod P )
8 CC-Matematică 2 8 Exerciţiul II Scrieţi tabla înmulţirii în (Z 2 ) 3 folosind corespondenţa de mai sus şi verificaţi că orice string diferit de 000 este inversabil. Fie acum Bbbk un corp şi k[x] = {a 0 + a 1 X a n X n a 0, a 1, a n k, n N} inelul polinoamelor cu coeficienţi în k. Proprietăţi: (i) k[x] inel integru. (ii) (Teorema împărţirii cu rest) ( )P, Q k[x], Q 0, există în mod unic două polinoame C, R k[x], astfel încât gradr < gradq şi P = Q C + R. (iii) (Teorema lui Bezout) Fie P k[x], a k. X a P. Atunci P (a) = 0 (iv) P k[x], gradp = n = P are cel mult n rădăcini. Consecinţa II Orice funcţie f : k k, unde k este un corp finit, este polinomială (soluţie: polinomul de interpolare Lagrange). II.4.2 Aplicaţie în criptografie. Secret Sharing Este metoda de a distribui un secret la un grup de participanţi, fiecărui participant fiindu-i atribuită câte o parte a secretului 1. Secretul poate fi reconstituit doar prin combinarea a cel puţin un număr fixat de participanţi. Ideea: aşa cum două puncte din plan determină în mod unic o dreaptă( deci o funcţie de gradul I), 3 puncte determină o parabolă(o funcţie de gradul II), etc., k puncte în plan vor determina în mod unic un polinom de grad k 1. Fie n numărul participanţilor, k < n şi S mesajul secret(un element dintr-un corp finit k). Alegem la întâmplare k 1 elemente a 1, a 2, a 3,..., a k 1 k şi luăm a 0 = S. Construim polinomul P (X) = a 0 + a 1 X a k 1 X k 1 şi calculăm (i, P (i)) pentru i = 1, n (deci corpul k va avea mai mult de n elemente). Fiecărui participant i se atribuie o pereche (i, P (i)) de elemente din corpul k (cunoscut de toţi). Fiind dat orice grup de k participanţi se poate reconstitui polinomul şi afla mesajul secret S = a 0. Exemplul II Fie n = 5, k = 3, P = ˆ2X 2 + ˆ7X + ˆ10 k = Z 11. Secretul este S = ˆ10. Mesajele participanţilor sunt: P (ˆ1) = ˆ8, P (ˆ2) = ˆ10, 1 A. Shamir, 1979.
9 CC-Matematică 2 9 P (ˆ3) = ˆ5, f(ˆ4) = ˆ4, P (ˆ7) = ˆ7. Alegem grupul de participanţi (1, 2, 4). Atunci polinomul reconstruit este: P (X) = ˆ8 (X ˆ2)(X ˆ4) (ˆ1 ˆ2)(ˆ1 ˆ4) + ˆ10 (X ˆ1)(X ˆ4) (ˆ2 ˆ1)(ˆ2 ˆ4) + ˆ4 (X ˆ1)(X ˆ2) (ˆ4 ˆ1)(ˆ4 ˆ1) şi S = P (0) = ˆ8 ˆ2 ˆ4 ˆ10 1 ˆ8 1 + ˆ10 ˆ1 ˆ4 ˆ1 1 ˆ9 1 + ˆ4 ˆ1 ˆ2 ˆ3 1 ˆ2 1 = ˆ8 ˆ2 ˆ4 ˆ10 ˆ7 + ˆ10 ˆ1 ˆ4 ˆ1 ˆ5 + ˆ4 ˆ1 ˆ2 ˆ4 ˆ6 = ˆ3 + ˆ2 + ˆ5 = ˆ10 II.5 Latici şi algebre Booleene II.5.1 Latici Laticile pot fi definite în două moduri: fie ca mulţimi cu anumite structuri de ordine, fie ca algebre (mulţimi cu operaţii), însă cele două definiţii sunt echivalente: Definiţia II O latice este un poset (L, ) cu proprietatea că pentru orice x, y L, există sup{x, y} şi inf{x, y}. Reamintim că pentru o submulţime X L se defineşte marginea sa superioară - sau supremum - prin: { ( )x X, x a a = supx ( )b L astfel încât x b, ( )x X = a b Analog definim marginea inferioara sau infimum: { ( )x X, a x a = infx ( )b L astfel încât b x, ( )x X = b a Definiţia II O latice este o mulţime L împreună cu două operaţii binare : L L L, : L L L astfel încât (L1) (Asociativitate) x (y z) = (x y) z, x (y z) = (x y) z ( )x, y, z L
10 CC-Matematică 2 10 (L2) (Comutativitate) x y = y x, x y = y x ( )x, y L (L3) (Idempotenţă) x x = x, x x = x ( )x L (L4) (Absorbţie) x (x z) = x, x (x z) = x ( )x, z L Propoziţia II Cele două definiţii sunt echivalente. Demonstraţie. Def.II Def.II.5.1.2: notăm x y = sup{x, y} şi x y = inf{x, y}, ( )x, y L. Def.II Def.II.5.1.1: relaţia de ordine este x y x y = x ( )x, y L Exemplul II (i) (P(X),, ) este o latice. (ii) Fie X o mulţime. Atunci mulţimile fuzzy peste X formează o latice (reamintim că o mulţime fuzzy peste X este dată printr-o funcţie f : X [0, 1]). Pe mulţimea F uzzy X = {f : X [0, 1]} punem relaţia de ordine f g ( )x X, f(x) g(x). Atunci sup{f, g}(x) = max(f(x), g(x)) şi inf{f, g}(x) = min(f(x), g(x)), ( )x X. (iii) Fie G un grup abelian cu operaţia notată aditiv. Atunci mulţimea subgrupurilor sale formează o latice în raport cu incluziunea, cu inf{h 1, H 2 } = H 1 H 2 şi sup{h 1, H 2 } = H 1 + H 2 = {h 1 + h 2 h 1 H 1, h 2 H 2 } (iv) Nu orice poset este o latice: fie de exemplu, mulţimea {1, 2, 3, 12, 18, 36} ordonată prin divizibilitate. Atunci perechea (2, 3) nu are margine superioară, iar perechea (12, 18) nu are margine inferioară. (v) Mulţimea numerelor întregi (Z) cu x y = cmmdc(x, y) şi x y = cmmmc(x, y) este o latice. sunt (sin- (vi) Exemple de latici finite: gurele!) latici cu 5 elemente. şi
11 CC-Matematică 2 11 II.5.2 Algebre Boole Definiţia II O algebră Boole este o mulţime B împreună cu: două operaţii binare : B B B, : B B B, o operaţia unară ( ) : B B B şi două constante ( operaţii nulare ) notate 0, 1 B, astfel încât: (B1) (Asociativitate) x (y z) = (x y) z, x (y z) = (x y) z ( )x, y, z B (B2) (Comutativitate) x y = y x, x y = y x ( )x, y B (B3) (Idempotenţă) x x = x, x x = x ( )x B (B4) (Absorbţie) x (x z) = x, x (x z) = x ( )x, z B (B5) (Distributivitate) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z) ( )x, y, z B (B6) (Top şi bottom)(primul şi ultimul element) x 1 = 1, x 1 = x, x 0 = x, x 0 = 0( )x B (B7) (Complementaritate) x x = 0, x x = 1( )x B Deci o algebră Boole este o latice cu proprietăţi suplimentare. Dar atenţie: nu orice latice este şi algebră Boole. Fie de exemplu F uzzy X mulţimea mulţimilor fuzzy peste X, ca mai devreme, cu 0 funcţia constantă X [0, 1], x 0 şi 1 funcţia constantă X [0, 1], x 1 şi complementarea dată de f (x) = 1 f(x) (atenţie: nu este vorba despre derivata funcţiei f!). Atunci F uzzy X nu este o algebră Boole, căci de exemplu relaţia f f = 1 este falsă ( max(f(x), 1 f(x)) nu este întotdeauna egal cu 1 pentru oricare x). Corolarul II În orice algebră Boole au loc relaţiiile: (i) (x ) = x (ii) (x y) = x y (iii) (x y) = x y
12 CC-Matematică 2 12 Demonstraţie. (i) Să remarcăm mai întâi că x e unicul element cu proprietatea (B7): dacă există x 1 şi x 2, atunci x 1 = x 1 1 = x 1 (x x 2) = (x 1 x) (x 1 x 2) = 0 (x 1 x 2) = x 1 x 2 şi analog x 2 = x 1 x 2, deci x 1 = x 2. Acum afirmaţia (i) rezultă imediat. (ii) Este suficient să arătăm că (x y ) (x y) = 1 şi (x y ) (x y) = 0. Dar (x y ) (x y) = [(x y ) x] y şi analog (x y ) (x y) = 0. (iii) La fel. = [(x x) (y x)] y = [0 (y x)] y = (y x) y = (y y) x = 1 x = 1 Exemplul II (i) (P(X),,, ( ) c,, X) este o algebră booleană. (ii) ({true, f alse}, or, and, not, f alse, true) este o algebră booleană (se obţine din exemplul precedent pentru X o mulţime cu un singur element). Observaţia II Orice algebră booleană este şi inel boolean şi reciproc: dacă (B,,, ( ), 0, 1) e algebră booleană, atunci x + y = (x y ) (x y) şi x y = x y determină (B, +, ) inel boolean (+ este echivalentul diferenţei simetrice sau XOR); reciproc, dacă (B, +, ) este inel boolean, atunci x y = x + y + x y şi x y = x y conduc la o algebra booleană cu x = 1 x. Teorema II (M. Stone) Fie B o algebră booleană finită. Atunci există o mulţime X astfel încât B = P(X) (izomorfism de algebre Boole: bijecţie care păstrează,, 0, 1 (rezultă că păstrează şi ( ) )).
Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară
Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II.3.1.1. Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z =
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότερα1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.
Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότερα1 Corpuri finite. 1.1 Introducere. Reamintim mai intai
1 Corpuri finite. 1.1 Introducere Reamintim mai intai Definiţie 1 Se numeşte corp un inel comutativ (K,+, ) cu proprietatea ca orice element nenul x din k este inversabil, i.e. există x 1 k astfel încât
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCurs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate
Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCapitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor
Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραMatematici în Criptografie. Adrian Atanasiu
Matematici în Criptografie Adrian Atanasiu 3 Prefaţă În era digitală cum este şi firesc criptografia este omniprezentă. Tehnicile criptografice sunt folosite pentru a securiza comunicaţiile derulate prin
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραAritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs
Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραSpaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.
Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραCURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n
CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραTIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1. Bucureşti, 2006
1 TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1 Bucureşti, 2006 2 Profesorului meu NICOLAE RADU 3 PREFAŢĂ Lucrarea se adresează studenţilor din anul I de la facultăţile de matematică şi informatică din universităţi. În
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότερα(Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013)
ALGEBRĂ (Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013) CUPRINS Pentru specializările Matematică şi Matematică informatică: 1 Introducere 1 2 Grupuri,
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 21.2 - Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Scurt istoric
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότερα1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n
1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραRădăcini primitive modulo n
Universitatea Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Rădăcini primitive modulo n Îndrumător ştiinţific: Prof. Dr. Victor Alexandru 2010 Rezumat Tema lucrarii este studiul radacinilor primitive.
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραPOLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică
POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE Andrei Mărcuş Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică 6 martie 2015 Cuprins 1 Ecuaţii algebrice 1 1.1 Ecuaţii binome. Grupul rădăcinilor de ordin
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 3
Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραVarietăţi algebrice. 1.1 Definiţia spaţiului proiectiv şi primele proprietăţi
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Varietăţi algebrice 1 Spaţiul proiectiv 1.1 Definiţia spaţiului proiectiv şi primele proprietăţi Fie n N şi E un spaţiu vectorial de dimensiune
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραAritmetică. 1 Mulţimea numerelor naturale
Aritmetică. 1 Mulţimea numerelor naturale Calitatea unei propoziţii matematice de a fi adevărată (sau falsă) se demonstrează (numim atunci propoziţia respectivă teoremă, lemă, propoziţie, corolar, etc)
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραModulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII
Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse
Διαβάστε περισσότεραContract POSDRU/86/1.2/S/ POSDRU ID * Bucureşti 2012
Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Algebră Liniară POSDRU ID 62485 * Bucureşti 212 Prefaţă Algebra liniară şi geometria analitică stau la baza pregătirii matematice universitare, oferind modelări bazate pe
Διαβάστε περισσότεραProf. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL
Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri
Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut
Διαβάστε περισσότεραNicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI
Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază
Διαβάστε περισσότεραIntroducere 3. I. Algebră şi Geometrie 4. 1 Structuri algebrice: monoizi, grupuri, inele, corpuri 5. 2 Polinoame 44
Cuprins Prefaţă 1 Introducere 3 I. Algebră şi Geometrie 4 1 Structuri algebrice: monoizi, grupuri, inele, corpuri 5 2 Polinoame 44 3 Matrice. Matrice cu blocuri. Forme canonice 85 4 Spaţii vectoriale şi
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a XII-a. Volumul I: ALGEBRĂ. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Dana euberger Coordonator DANA EUBERGER Vasile Pop MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a XII-a Volumul I: ALGEBRĂ Cuvânt-înainte Colecţia Matematică de excelenţă
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραINTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Διαβάστε περισσότερα3.1. Ecuaţii de gradul întâi Inecua tii de gradul întâi Modul unui număr real... 9
Cuprins 1 Operaţii cu numere reale 1 11 Radicali, puteri 1 111 Puteri 1 112 Radicali 1 12 Identităţi 2 13 Inegalităţi 3 2 Funcţii 4 21 Noţiunea de funcţii 4 22 Funcţii injective, surjective, bijective
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραDEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0
DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 1
Algebră liniară CAPITOLUL SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE. Definiţia spaţiilor vectoriale Pentru a introduce noţiunea de spaţiu vectorial avem nevoie de noţiunea de corp comutativ de caracteristică
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραDemonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X
Prelegerea 13 Coduri Reed - Solomon 13.1 Definirea codurilor RS O clasă foarte interesantă de coduri ciclice a fost definită în 1960 de Reed şi Solomon. Numite în articolul iniţial coduri polinomiale,
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότερα