Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor"

Transcript

1 Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute axiomele: i) operaţia " " este asociativă, ii) operaţia " " admite element neutru, iii) orice element din G este simetrizabil faţă de operaţia " ". Dacă, în plus, este satisfăcută axioma: iv) operaţia " " este comutativă, atunci spunem că grupul (G, ) este comutativ (abelian). Cel mai adesea vom nota operaţia unui grup sub formă multiplicativă, elementul său neutru cu e, iar inversul unui element x cu x -1. Propoziţia 1. Pentru un semigrup (G, ), următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) (G, ) este grup. ii) Pentru orice a, b G, ecuaţiile ax = b şi ya = b admit soluţii în G. iii)a)există e d G (respectiv e s G) astfel încât xe d = x (respectiv e s x = x), pentru orice x G. 1

2 b)pentru orice x G există ' x d G (respectiv ' x s G) astfel încât x x = e d (respectiv ' d ' xs x = e s ). Definiţia 2. O submulţime nevidă H a unui grup (G, ) se numeşte subgrup al lui G (şi notăm acest fapt prin H G), dacă îndeplineşte următoarele condiţii: i) H este parte stabilă a lui G. ii) H înzestrată cu operaţia indusă este grup. Propoziţia 2. Pentru o submultime nevidă H a unui grup (G, ), următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) H este subgrup al lui G. ii) a)pentru orice x, y H rezultă xy H. b)pentru orice x H rezultă xx -1 H. iii) Pentru orice x, y H rezultă xy -1 H. Observaţie. Dacă (G, ) este un grup, atunci {e} şi G sunt subgrupuri ale lui G numite improprii; orice alt subgrup al lui G va fi numit propriu. Propoziţia 3. Dacă (G, ) este un grup şi (H i ) i I este o familie de subgrupuri ale lui G, atunci i I H i este subgrup al lui G. Definiţia 3. Fie (G, ) un subgrup şi S o submulţime a lui G. Intersecţia tuturor subgrupurilor lui G care conţin mulţimea S (această intersecţie fiind un subgrup, conform propoziţiei precedente) se numeşte subgrupul generat de S în G şi se notează cu [S]. 2

3 Dacă H este un subgrup al lui G şi H = [S], atunci spunem că S este un sistem de generatori al lui H sau că S generează pe H. Dacă, în plus, S este finit, atunci spunem că H este finit generat sau de tip finit. Un subgrup H al lui G care admite un sistem de generatori format dintr-un singur element s se numeşte subgrup ciclic generat de s şi se notează cu [s]. Propoziţia 4. Dacă (G, ) este un grup şi S este o submulţime a lui G, atunci subgrupul [S] al lui G generat de S este format din toate produsele finite de elemente din S şi de inverse ale acestora. Observaţie. Dacă (G, ) este un grup, L(G) = {H H G} şi introducem următoarele operaţii binare pe L(G): i) " " : L(G) L(G) L(G), (H 1, H 2 ) H 1 H 2 = H 1 H 2, ii) " " : L(G) L(G) L(G), (H 1, H 2 ) H 1 H 2 = [H 1 H 2 ], atunci (L(G),, ) este o latice completă, numită laticea subgrupurilor grupului G. Fie, în cele ce urmează, un grup G şi H un subgrup al lui G. Considerăm pe G relaţiile binare R s şi R d definite prin: x R s z, dacă x -1 y H, x R d y, dacă xy -1 H. R s şi R d sunt relaţii de echivalenţă pe G, numite relaţiile de congruenţă la stânga, respectiv la dreapta modulo H. Clasa de echivalenţă a unui element x G relativ la R s (respectiv R d ) este xh = {xh h H} (respectiv Hx = {hx h H}). 3

4 xh G/ R s d Propoziţia 5. Aplicaţia ϕ : G/ R G/ R, ϕ(xh) = Hx -1, oricare ar fi s este o bijecţie. s d În particular, dacă una din mulţimile factor G/ R sau G/ R este finită, atunci şi cealaltă este finită şi ele au acelaşi număr de elemente. Spunem în acest s d caz că H are indice finit în G, iar numărul G/ R = G/ R se numeşte indicele lui H în G şi se notează cu [G : H]. Definiţia 4. Dacă G este un grup finit, atunci numărul elementelor sale se numeşte ordinul lui G şi se notează cu ordg. Propoziţia 6. (teorema lui Lagrange) Dacă G este un grup finit şi H un subgrup al său, atunci : ordg = [G : H] ordh. Propoziţia 7. Fie (G, ) un grup şi H un subgrup al lui G. Următoarele condiţii sunt echivalente: i) Relaţiile de congruenţă la stânga şi la dreapta modulo H coincid. ii) Pentru orice x G, avem xh = Hx. iii) Pentru orice x G, avem xhx -1 H. Definiţia 5. Spunem că subgrupul H este divizor normal sau subgrup normal al grupului G (şi notăm aceasta prin H G), dacă îndeplineşte condiţiile echivalente ale propoziţiei anterioare. Spunem că G este grup simplu, dacă nu admite divizori normali proprii. 4

5 Observaţie. Dacă (G, ) este un grup, H un divizor normal al lui G şi s d introducem pe mulţimea factor G/ H = G/ R = G/ R (unde R s şi R d sunt relaţiile de congruenţă modulo H) operaţia algebrică (xh) (yh) = xyh, x, y G, atunci (G / H, ) este grup. Elementul său neutru este eh = H, iar inversul unui element xh G / H este x -1 H. Numim grupul (G / H, ) grupul factor (cât) al lui G în raport cu divizorul normal H. Observaţie. Fie (G 1, ) şi (G 2, ) două grupuri şi G 1 G 2 = {(x 1, x 2 ) x 1 G 1 şi x 2 G 2 } produsul lor cartezian. Pe G 1 G 2 definim următoarea operaţie algebrică: (x 1, x 2 ) ( x, x ) = (x 1 ' 1 ' 2 ' x 1, x 2 ' x 2 ). Atunci (G 1 G 2, ) este un grup, în care elementul neutru este perechea (e 1, e 2 ), iar inversul unui element (x 1, x 2 ) este perechea ( x, x ) (unde am notat prin e i elementul neutru al grupului G i şi prin x i -1 simetricul elementului x i în grupul G i, i = = 1, 2). Grupul (G 1 G 2, ) se numeşte produsul direct (extern) al grupurilor G 1 şi G Propoziţia 8. Fie (G, ) un grup şi H 1, H 2 două subgrupuri ale sale. Următoarele condiţii sunt echivalente: i) a) H 1 G, H 2 G. b)g = H 1 H 2. c)h 1 H 2 = {e}. ii) a)orice element x G se scrie în mod unic sub forma x = x 1 x 2, cu x 1 H 1 şi x 2 H 2. b)pentru orice pereche (x 1, x 2 ) H 1 H 2, avem x 1 x 2 = x 2 x 1. 5

6 În acest caz spunem că G este produsul direct (intern) al subgrupurilor H 1 şi H 2. II.2. Ordinul unui element; grupuri ciclice Fie (G, ) un grup, a G şi k Z. Notăm a k = a a a a, pentru k > 0, k ori e, pentru k = 0, a a a, pentru k < 0. ( k ) ori Definiţia 1. Spunem că a are ordin infinit dacă a k e, pentru orice k Z *. Spunem că a are ordin finit dacă există k 0 Z * astfel încât a k 0 = e.în acest caz avem {k N* a k = e}, iar numărul natural nenul inf{k N* a k = e} se numeşte ordinul lui a şi se notează cu ord(a). Propoziţia 1. (proprietăţi ale ordinului) Fie (G, ) un grup. Au loc: i) Un element a G are ordin finit, dacă şi numai dacă există k 1, k 2 k 2 Z, k 1 k 2 astfel încât 1 k a = a. ii) Un element a G are ordin infinit, dacă şi numai dacă, pentru orice k 2 k 1, k 2 Z, k 1 k 2, avem 1 k a a. iii) Pentru un element a de ordin n, avem a k = e (k Z), dacă şi numai dacă n / k. iv) ord(a) = ord(a -1 ), pentru orice a G. v) ord(ab) = ord(ba), pentru orice a, b G. 6

7 vi) ord(xax -1 )= ord(a), pentru orice a, x G. Propoziţia 2. Dacă (G, ) este un grup finit, atunci orice element al său are ordin finit şi ordinul oricărui element este divizor al ordinului grupului. Definiţia 2. Spunem că grupul (G, ) este ciclic dacă există a G astfel încât G coincide cu subgrupul ciclic [a] generat de a. În acest caz spunem că a este generator al grupului ciclic G. Propoziţia 3. Fie (G, ) un grup, a G şi [a] grupul ciclic generat de a. Atunci: i) [a] este infinit, dacă şi numai dacă generatorul a are ordin infinit. ii) [a] este finit şi ord[a] = n, dacă şi numai dacă generatorul a are ordin finit şi ord(a) = n. În prima situaţie avem [a] = {, a -1, a -1, e, a 1, a 2, } (şi îl notăm prin [a] ), iar în cea de-a doua avem [a] = {e, a, a 2,, a n-1 } (şi îl notăm prin [a] n ). Propoziţia 4. i)orice grup ciclic este comutativ. ii)orice subgrup şi orice grup factor ale unui grup ciclic sunt ciclice. Observaţie. Mai multe proprietăţi ale ordinului unui element şi ale grupurilor ciclice vor fi prezentate sub formă de probleme. 7

8 II.3. Morfisme de grupuri; teoreme de izomorfism Definiţia 1. Fie (G 1, ) şi (G 2, ) două grupuri. O aplicaţie f : G 1 G 2 se numeşte morfism de grupuri dacă : f(x y) = f(x) f(y), pentru orice x, y G 1. Dacă, în plus, f este aplicaţie injectivă (respectiv surjectivă, respectiv bijectivă), atunci morfismul f va fi numit monomorfism (respectiv epimorfism, respectiv izomorfism) de grupuri. În situaţia în care f este izomorfism, spunem că grupurile (G 1, ) şi (G 2, ) sunt izomorfe şi notăm acest fapt prin G 1 G 2. Dacă G este un grup, atunci un morfism (respectiv un izomorfism) de grupuri f : G G va fi numit endomorfism (respectiv automorfism) al grupului G. Exemple. Fie (G, ) un grup şi H un subgrup al său. 1)Aplicaţia u : H G, u(h) = h, pentru orice h H, este un monomorfism de grupuri, numit incluziunea canonică. 2)Dacă, în plus, H G, atunci aplicaţia p : G G/H, p(x) = xh, pentru orice x G este un epimorfism de grupuri, numit proiecţia canonică. 3)Aplicaţia identică 1 G : G G, 1 G (x) = x, pentru orice x G, este un automorfism al grupului G. Definiţia 2. Fie (G 1, ) şi (G 2, ) două grupuri şi f : G 1 G 2 un morfism de grupuri. Atunci mulţimile: Kerf = {x G 1 f(x) = e 2 }, Imf = {y G 2 există x G 1 astfel încât f(x) = y}, sunt numite nucleul, respectiv imaginea morfismului f. 8

9 Propoziţia 1. Considerând (G 1, ) şi (G 2, ) două grupuri, f : G 1 G 2 un morfism de grupuri şi notând cu e 1, e 2 elementele neutre din G 1, G 2, respectiv cu x, x simetricele elementelor x 1 G 1, x 2 G 2, avem: i) f(e 1 ) = e 2. ii) f( x ) = [f(x 1 )] -1, pentru orice x 1 G iii) Imf G 2, Kerf G 1. iv) f este monomorfism, dacă şi numai dacă Kerf = {e 1 }. v) f este epimorfism, dacă şi numai dacă Imf = G 2. vi) f este izomorfism, dacă şi numai dacă există un morfism de grupuri g : G 2 G 1 astfel încât f g = 1G 2 şi g f = 1G 1. Propoziţia 2. Fie f : G 1 G 2 un morfism de grupuri şi H 1 G 1, H 2 G 2. Atunci: i) a) f -1 (H 2 ) G 1. b) Dacă, în plus, H 2 G 2, avem f -1 (H 2 ) G 1. ii) a) f(h 1 ) G 2. b) Dacă, în plus, H 1 G 1 şi f este epimorfism, avem f(h 1 ) G 2. Propoziţia 3. (teorema 1 de izomorfism pentru grupuri) Dacă f : G 1 G 2 este un morfism de grupuri, atunci există un izomorfism canonic de grupuri ϕ : G 1 / Kerf Imf, ϕ(x Kerf) = f(x), pentru orice x G 1. Propoziţia 4. (teorema 2 de izomorfism pentru grupuri) Fie f : G 1 G 2 un morfism de grupuri. Au loc: 9

10 i) Dacă H 2 G 2 şi H 1 = f -1 (H 2 ) atunci există un monomorfism canonic de grupuri f : G1/ H1 G2 / H2, f (xh 1 ) = f(x)h 2, pentru orice x G 1. ii) Dacă, în plus, f este epimorfism, atunci: a) Există o corespondenţă biunivocă între mulţimea subgrupurilor H 1 ale lui G 1 ce conţin Kerf şi mulţimea subgrupurilor H 2 ale lui G 2 (anume H 1 f(h 1 )). b) f este izomorfism. Corolar. Fie G un grup, H G şi p : G G / H proiecţia canonică. Atunci: i)există o corespondenţă biunivocă între mulţimea subgrupurilor K ale lui G ce conţin pe H şi mulţimea subgrupurilor K ale lui G / H (K p(k) = K / H). ii)dacă K G astfel încât H K,atunci K / H G / H şi există un izomorfism canonic ϕ : G / K (G / H) / (K / H). Propoziţia 5. (teorema 3 de izomorfism pentru grupuri) Dacă G este un grup, H G şi K G, atunci există un izomorfism canonic de grupuri Ψ : K / K H (KH) / H. Propoziţia 6. Orice grup ciclic este izomorf fie cu grupul (Z, +) (în cazul în care este infinit), fie cu grupul (Z n, +) (în cazul în care este finit de ordin n). 10

11 Observaţie. Fie G un grup. Atunci mulţimea AutG ={f : G G f = =automorfism} împreună cu operaţia de compunere a funcţiilor este un grup, numit grupul automorfismelor grupului G. II.4. Grupuri de permutări Observaţie. Fie M o mulţime nevidă. Atunci mulţimea S(M) = {f : M M f = bijectivă}, împreună cu operaţia de compunere a funcţiilor, este un grup, numit grupul permutărilor mulţimii M (sau grupul simetric asociat mulţimii M). Dacă N este o mulţime având proprietatea că există o bijecţie între N şi M, atunci grupurile S(N) şi S(M) sunt izomorfe. Definiţia 1. Fie n N, n 2. Grupul permutărilor mulţimii {1, 2,, n} se numeşte grupul permutărilor (substituţiilor) de grad n (sau grupul simetric de grad n) şi se notează cu S n. O permutare α S n va fi notată α = 1 2 n, iar α(1) α(2) α( n) permutarea identică a lui S n cu e. Observaţie. 1)ordS n = n!. 2)S n este grup necomutativ, pentru n 3. Definiţia 2. Fie I = {i 1, i 2,, i r } {1, 2,, n} (unde r n). O permutare σ S n se numeşte permutare ciclică (ciclu) de lungime r determinată de mulţimea I, dacă: 11

12 i) σ(i 1 ) = i 2, σ(i 2 ) = i 3,, σ(i r ) = i 1 ; ii) σ(i) = i, pentru orice i {1, 2,, n} \ I. Notăm σ = (i 1, i 2,, i r ). Observaţie. 1) Pentru orice k {1, 2,, r}, avem : (i 1 i 2 i r ) = (i k i k+1 i r i 1 i k-2 i k-1 ). 2) Au loc: i)σ h (i k ) = i h+k, dacă 1 h + k r, ii)σ h (i k ) = i h+k-r, dacă r < h + k 2r. 3) ord(σ) = r. 4) Dacă r = 1, atunci σ = e. Definiţia 3. Doi cicli σ = (i 1 i 2 i r ) şi τ = (j 1 j 2 j s ) se numesc disjuncţi, dacă {i 1, i 2,, i r } {j 1, j 2,, j s } =. Propoziţia 1. Orice doi cicli disjuncţi comută. Propoziţia 2. Orice permutare din S n se scrie în mod unic ca un produs finit de cicli disjuncţi, abstracţie făcând de ordinea factorilor şi de ciclii de lungime 1. Propoziţia 3. Dacă α S n este descompusă în produs de cicli disjuncţi α = σ 1 σ 2 σ k, atunci ord(α) = c.m.m.m.c.{ord(σ 1 ), ord(σ 2 ),, ord(σ k )}. Definiţia 4. Un ciclu de lungime 2 se numeşte transpoziţie. 12

13 Propoziţia 4. Orice permutare din S n se scrie ca un produs finit de transpoziţii; scrierea nu este unică, dar, pentru orice scriere a unei permutări ca produs de transpoziţii, paritatea numărului factorilor este aceeaşi. 1 2 n Observaţie. Fie α = S n. O pereche (i, j) se α(1) α(2) α( n) numeşte inversiune a permutării α, dacă i < j şi α(i) > α(j). Notăm cu inv(α) numărul inversiunilor permutării α. Definim, de asemenea, aplicaţia ε : S n {-1, 1}, εα ( ) = ε(α) poartă numele de semnul (signatura) permutării α. Avem ε (α) = (-1) inv(α), pentru orice α S n. α( j) α( i). j i 1 < i j n Definiţia 5. O permutare α S n se numeşte pară, dacă ε(α) = +1 şi se numeşte impară, dacă ε(α) = -1. Observaţie. Considerăm transpoziţia σ = (i j) S n. Dacă presupunem i < j, atunci inv(σ) = 2(j 1) 1. Avem ε(α) = -1, deci σ este o permutare impară. Cum avem şi ε(e) = (-1) inv(e) = (-1) 0 = 1, obţinem că aplicaţia ε este surjectivă. Propoziţia 5. Aplicaţia ε : S n {-1, 1} este un morfism surjectiv de grupuri între grupul S n al permutărilor de grad n şi grupul multiplicativ {-1, 1}. 13

14 Observaţie. Notăm cu A n nucleul morfismului şi îl numim grupul altern de grad n. Conform teoremei 1 de izomorfism a grupurilor, avem avem izomorfismul de grupuri: deci [S n : A n ] = 2 şi orda n = S n / A n {-1, 1}, n!. 2 de grad n. În concluzie, există n! n! permutări pare de grad n şi 2 2 permutări impare Propoziţia 6. (teorema lui Cayley) Orice grup este izomorf cu un grup de permutări. În particular, orice grup finit de ordin n este izomorf cu un subgrup al lui S n. II.5. Acţiuni ale grupurilor pe mulţimi ; p grupuri ; teoremele lui Sylow Fie (G, ) un grup şi M o mulţime nevidă. Definiţia 1. Spunem că G acţionează la stânga pe mulţimea M (sau că M este o G mulţime la stânga) dacă avem o aplicaţie α : G M M, α(g, x) = = g x, oricare ar fi g G şi x M, ce verifică următoarele relaţii: i) e x = x, oricare ar fi x M; ii) g 1 (g 2 x) = (g 1 g 2 ) x, oricare ar fi g 1, g 2 G şi x M. α se numeşte acţiune la stânga a lui G pe M. 14

15 Observaţii. 1) Notăm cu (M M, ) monoidul funcţiilor de la M în M (relativ la compunere). Avem o bijecţie între mulţimea acţiunilor lui G pe M şi mulţimea morfismelor de monoizi de la (G, ) în (M M, ) : ϕ : α ϕ α, ϕ α (g)(x) = α(g, x) = g x, oricare ar fi g G şi x M. Acţiunea α a lui G pe M se numeşte fidelă dacă morfismul de monoizi ϕ α asociat este injectiv. S(M). 2) Dacă Ψ : (G, ) (M M, ) este un morfism de monoizi atunci Im Ψ Un morfism de grupuri Ψ : (G, ) (S(M),) se numeşte reprezentare a grupului G prin permutări ale mulţimii M. A da o acţiune la stânga a grupului G pe mulţimea M este echivalent cu a da o reprezentare a lui G prin permutări ale lui M. echivalenţă " 3) Dacă M este o G mulţime la stânga, atunci pe M avem relaţia de " definită prin: G x y, dacă şi numai dacă există g G astfel încât y = g x. G Notăm cu O x clasa de echivalenţă a unui element x M modulo numeşte orbita elementului x. ; O x se G Pentru orice x M, mulţimea Stab G (x) = {g G g x = x} este un subgrup al lui G numit stabilizatorul lui x (sau subgrupul de izotropie al lui x) relativ la acţiunea lui G pe M. O acţiune a lui G pe M se numeşte tranzitivă, dacă M are o singură orbită relativ la relaţia de echivalenţă există g G astfel încât g x = y). (adică, pentru orice x, y M, G 15

16 Propoziţia 1. Fie M o G mulţime. Atunci: i) Pentru orice x M, există o bijecţie între mulţimea claselor de echivalenţă la stânga ale lui G modulo Stab G (x) şi mulţimea O x. ii) Dacă, în plus, G şi O x sunt mulţimi finite, atunci avem O x / ordg şi O x = [G : Stab G (x)]. Observaţii. Fie M o G mulţime. 1) Dacă M este finită şi S M este un sistem complet şi independent de reprezentanţi al lui M modulo, atunci avem relaţia: G (*) M = [ G: StabG ( x)], x S numită formula descompunerii în orbite. 2) O orbită O x se numeşte trivială, dacă O x = 1. Avem echivalenţele: O x = trivială O x = {x} Stab G (x) = G. Mulţimea Fix M (G) = {x M O x = trivială} se numeşte submulţimea punctelor fixe ale G mulţimii M. Exemple de acţiuni. 1) Dacă (G, ) este un grup, atunci G acţionează pe G prin translaţii la stânga: α 1 : G G G, α 1 (g, x) = gx, pentru orice g, x G. α 1 este o acţiune fidelă şi tranzitivă. 16

17 2) Dacă (G, ) este un grup, H un subgrup al său şi G / R s mulţimea claselor de echivalenţă la stânga ale lui G modulo H, atunci G acţionează pe G / R s prin translaţii la stânga: α 2 : G G / R s G / R s, α 2 (g, xh) = (gx)h, pentru orice g, x G. α 2 este o acţiune tranzitivă. 3) Dacă (G, ) este un grup şi H un divizor normal al său, atunci G acţionează pe H prin conjugare: α 3 : G H H, α 3 (g, x) = g x g -1, pentru orice (g, x) G H. În particular, putem considera acţiunea prin conjugare a lui G pe G. Atunci, pentru un element x G, i) O x ={g x g -1 g G} se numeşte clasa de conjugare a lui x. ii) Stab G (x) = {g G g x g -1 = x} se numeşte centralizatorul lui x în G şi se notează cu C G (x). O x este trivială, dacă şi numai dacă x Z(G) (centrul grupului G (a se vedea problema 32, III.1)). Dacă G este finit şi S este un sistem de reprezentanţi distincţi pentru clasele de conjugare ce au măcar două elemente, atunci, din formula descompunerii în orbite deducem egalitatea: numită ecuaţia claselor grupului G. (**) G = Z(G) + [ G: C ( x)], x S 4) Dacă (G, ) este un grup şi L(G) mulţimea tuturor subgrupurilor lui G, atunci G acţionează la stânga pe L(G) prin conjugare: pentru orice (g, H) G L(G). α 4 : G L(G) L(G), α 4 (g, H) = ghg -1, Două subgrupuri H 1 şi H 2 ale lui G se numesc conjugate dacă avem H 1 H 2 (adică există g G astfel încât H 2 = gh 1 g -1 ). G G 17

18 Dacă H L(G), atunci Stab G (H) = {g G ghg -1 = H} se numeşte normalizatorul lui H în G şi se notează cu N G (H). Propoziţia 2. (teorema lui Cauchy) Dacă G este un grup finit şi p un divizor prim al ordinului lui G, atunci G conţine cel puţin un element de ordin p. Propoziţia 3. Dacă G este un grup finit şi p un număr prim, atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) Orice element al lui G are ordinul o putere a lui p. ii) Există n N astfel încât ordg = p n. Definiţia 2. Un grup finit G ce verifică condiţiile echivalente ale propoziţiei anterioare se numeşte p-grup. Propoziţia 4. Dacă G este un p-grup netrivial, atunci Z(G) {e}. În cele ce urmează, considerăm G un grup finit cu ordg = p n m, unde p este un număr prim, n N, m N* şi p ł m. Definiţia 3. Un subgrup al lui G se numeşte p-subgrup Sylow, dacă ordinul său este p n. Un subgrup al lui G se numeşte subgrup Sylow, dacă este p-subgrup Sylow pentru un anumit număr prim p. 18

19 Observaţii. 1) {e} este p-subgrup Sylow al lui G, dacă şi numai dacă p ł ordg. 2) Un subgrup H al lui G este p-subgrup Sylow, dacă şi numai dacă p ł [G : H]. Propoziţia 5. (teoremele lui Sylow) Fie G un grup finit cu ordg = p n m, unde p este un număr prim, n N, m N* şi p ł m. i) Pentru orice k {0, 1,, n}, G conţine cel puţin un subgrup de ordin p k. În particular, G conţine cel puţin un p-subgrup Sylow. ii) Dacă P este un p-subgrup Sylow al lui G şi H este un p-subgrup oarecare al lui G, atunci există x G astfel încât H xpx -1. În particular, orice două p-subgrupuri Sylow ale lui G sunt conjugate. iii) Numărul n p al p-subgrupurilor Sylow ale lui G are următoarele proprietăţi: a) n p 1 (mod p). b) n p / m. c) n p = [G : N G (P)], unde P este un p-subgrup Sylow arbitrar al lui G. În încheierea părţii introductive prezentăm toate tipurile de grupuri finite de ordin 10: 1) (de ordin 1) grupul cu un element {e}; 2) (de ordinul 2) grupul ciclic (Z 2, +); 3) (de ordinul 3) grupul ciclic (Z 3, +); 4) (de ordinul 4) grupul ciclic (Z 4, +) şi grupul lui Klein (Z 2 Z 2, +); 5) (de ordinul 5) grupul ciclic (Z 5, +); 19

20 6) (de ordinul 6) grupul ciclic (Z 6, +) şi grupul simetric de grad 3 (S 3, ); 7) (de ordinul 7) grupul ciclic (Z 7, +); 8) (de ordin 8) Grupul ciclic (Z 8, +), grupul (Z 4 Z 2, +), grupul (Z 2 Z 2 Z 2, +), grupul diedral D 4 şi grupul cuaternionilor C; 9) (de ordin 9) grupul ciclic (Z 9, +) şi grupul (Z 3 Z 3, +); 10) (de ordinul 10) grupul ciclic (Z 10, +) şi grupul diedral D 5. Reamintim cititorului că grupul diedral de grad n D n este grupul cu 2n elemente definit prin generatorii a, b şi relaţiile a n =b 2 = e, ba = a n-1 b, iar grupul cuaternionilor C este grupul cu 8 elemente definit prin generatorii a, b şi relaţiile a 4 = e, a 2 =b 2, ba = a 3 b. Probleme. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor abelian. 1. Arătaţi că, dacă A este o mulţime nevidă, atunci (P(A), Δ) este un grup Indicaţie. Se utilizează proprietăţile diferenţei simetrice, prezentate în capitolul "Mulţimi. Relaţii. Funcţii". 2. Fie f : R R o funcţie bijectivă cu f(1) = 0. Pe R definim următoarea lege de compoziţie: 20

21 a b = f(f -1 (a) + f -1 (b) 1), pentru orice a, b R. Arătaţi că (R, ) este grup abelian. 3. Fie H o submulţime a lui M n (R) având proprietăţile: i)a, B H implică A + B H, ii)a, B H implică AB H, iii)a H, α R implică αa H, iv)i n H. Considerăm mulţimea G = {A H A = inversabilă}. Arătaţi că (G, ) este grup. Indicaţie. Se verifică axiomele grupului. Vom arăta doar că are loc implicaţia : "A G A -1 G". Fie ϕ A = det(xi n A) = X n - α 1 X n (-1) n deta polinomul caracteristic asociat matricii A. Conform teormei Hamilton Cayley, avem ϕ A (A) = A n - α 1 A n (-1) n (deta)i n = O n Astfel, dacă A G (adică A H şi A inversabilă), atunci avem A -1 G, deoarece A -1 H şi A -1 este inversabilă. 1- x 0 x 4. Fie G = { A(x) = x 0 1-x x R \ { 2 1 }}. i) Arătaţi că mulţimea G, în raport cu înmulţirea matricelor, este un grup abelian. ii) Pentru x fixat, calculaţi (A(x)) n, n N*. 21

22 5. Fie (G, ) un semigrup. Pentru fiecare a G, construim aplicaţiile f a, g a : : G G, f a (x) = ax, g a (x) = xa, pentru orice x G. i)arătaţi că (G, ) este grup, dacă şi numai dacă, pentru orice a G, aplicaţiile f a şi g a sunt surjective. ii)dacă, în plus, G este finit, atunci (G, ) este grup, dacă şi numai dacă, pentru orice a G, aplicaţiile f a şi g a sunt injective. Deduceţi de aici că orice semigrup finit cu simplificare este grup. grup abelian. 6. Arătaţi că, pe oricare mulţime nevidă finită se poate defini o structură de Indicaţie. Fie G = {x 0, x 1,, x n-1 }, unde n N*. Avem funcţia bijectivă f : Z n G, f( kˆ ) = x k, oricare ar fi k {0, 1,, n-1}. Definim pe G operaţia " " prin x i x j = x i j, unde " " simbolizează adunarea modulo n. (G, ) este grup abelian. 7. Fie G un grup şi a, b G satisfăcând a 2 = e şi aba -1 = b n, cu n N şi n 2. Arătaţi că b = e. Generalizare. n 2 1 Avem b 2n = (b n ) 2 = (aba -1 )(aba -1 ) = ab 2 a -1 şi, inductiv, b kn = ab k a -1, oricare ar fi k N. Atunci n 2 b 1 = ab n a -1 b -1 = a(aba -1 )a -1 b -1 = a 2 ba -2 b -1 = bb -1 = e. Ca generalizare, se poare arăta că, dacă a, b G satisfac a m = e şi aba -1 = =b n, cu m N*, n N, n 2, atunci n m 1 b = e. 22

23 8. Fie (G, ) un grup. Arătaţi că fiecare din următoarele condiţii este suficientă pentru ca G să fie abelian: i) (xy) 2 = x 2 y 2, oricare ar fi x, y G. ii) x 2 = e, oricare ar fi x G. iii) xy comută cu toate elementele lui G, oricare ar fi x, y G. iv) Printre oricare 3 elemente distincte ale lui G, există două care comută. v) Există a G astfel încât x 3 = axa, oricare ar fi x G. vi) În G are loc implicaţia "xy 2 = z 2 x y = z" vii) (xy) 2 = (yx) 2, oricare ar fi x, y G şi z 2 e, oricare ar fi z G \ {e}. viii) Există α, β Z* cu (α, β) = 1 astfel încât (xy) α =(yx) α şi (xy) β =(yx) β, oricare ar fi x, y G. ix) Există α, β Z* cu (α, β) = 1 astfel încât xy α = y α x şi xy β = y β x, oricare ar fi x, y G. x) Există α, β Z* cu (α, β) = 1 astfel încât x α y α = y α x α şi x β y β = y β x β, oricare ar fi x, y G. xi) Există k Z astfel încât (xy) i = x i y i, pentru i = k-1, k, k + 1, oricare ar fi x, y G. xii) Există k Z astfel încât (xy) i = x i y i, pentru i = k, k + 2, k + 4, oricare ar fi x, y G. xiii) Există k Z astfel încât (xy) i = x i y i, pentru i = k + 1, 2k + 1, 3k + 2, oricare ar fi x, y G. xiv) Există k Z astfel încât (xy) i = x i y i, pentru i = k + 1, 2k + 1, 4k 1, oricare ar fi x, y G. xv) Există α, β N*, cel puţin unul din ele fiind par, astfel încât x α y β = =xy, oricare ar fi x, y G. 23

24 xvi) Există α, β Z cu ( α( α 1, ) β( β 1) ) ( xy) α α α x y = şi ( xy) β β β Care din aceste condiţii este şi necesară? = 2 astfel încât = x y, oricare ar fi x, y G. iv) Fie x, y G \ {e} şi G x,y = {x, y, xy}. Din ipoteză avem că x şi y comută, sau x şi xy comută, sau y şi xy comută. Dacă x xy = xy x, atunci xy = yx, iar dacă y xy = xy y, atunci xy = yx. Prin urmare, x şi y comută. v) Punând în relaţia din ipoteză ax în loc de x, obţinem (ax) 3 = ax ax ax= = aaxa, de unde rezultă x(axa) = axa. Prin urmare, avem x 5 = x 3, sau, echivalent, x 2 = e, oricare ar fi x G. În particular, G este abelian. vi) Fie x, y G. Avem x -1 (xy) 2 = x -1 xyxy = yxy = yxyxx -1 = (yx) 2 x -1, de unde obţinem xy = yx. vii) Fie x, y G. Se verifică că elementul z = (yx) -1 (xy) are proprietatea că z 2 = e. Prin urmare, y = e, deci xy = yx. viii) Cum (α,β) = 1, există p, q Z astfel încât pα + qβ = 1. Atunci xy = (xy) 1 = (xy) pα +qβ = [(xy) α ] p [(xy) β ] q = [(yx) α ] p [(yx) β ] q = (yx) pα +qβ = yx. ix), x) Similar cu viii). xi) Din cea de a doua relaţie, avem (xy) k = x(yx) k - 1 y = x k y k, de unde obţinem (yx) k - 1 = x k - 1 y k - 1 ; folosind şi prima relaţie obţinem (yx) k - 1 = (xy) k - 1 sau, echivalent, (yx) 1 - k = (xy) 1 - k. Procedând analog, din ultimele două relaţii, rezultă (yx) k = (xy) k. Atunci yx = = (yx) 1 = (yx) 1 k + k = (yx) 1 - k (yx) k = (xy) 1 - k (xy) k = (xy) 1 = xy. xii), xiii), xiv) Similar cu xi). xv) Din ipoteză, obţinem xy = y α x β = x αβ y αβ, oricare ar fi x, y G. (1) 24

25 Putem presupune β = 2k şi α > β, celelalte cazuri studiindu-se analog. Punând succesiv în relaţia din ipoteză y = x, y = x 2,..., y = x α +β - 1, obţinem x α + β = x 2, x α + 2β = x 3,..., x α + (α + β - 1)β = x α +β = x 2. De asemenea, schimbând elementele x şi y între ele şi procedând similar, obţinem x β + α x 2, x β + 2α = x 3,..., x β + (α + β - 1) α = x β + α = x 2. Avem : ( ) x αβ = x α +(β - 1)α = x β + (β - 1)α x α - β = x β x α - β = x α, oricare ar fi x G. (2) 2 2 αk Pe de altă parte, ( ) ( ) αβ αk α + β αk αβ k+ α 2 k x = x = x = x = x = αβ k α 2 k α k+ α 2 k β + α 2 k α k β α k+ 1 α k β 2 α k β + 1 αβ β + 1 = x x = x = x x = x x = x = x, de unde x e β 1 =, oricare ar fi x G. Se obţine imediat şi G. Avem astfel abelian. αβ β+ ( α 1) β β = =, oricare ar fi x G. (3) x x x x e α 1 =, oricare ar fi x αβ αβ α β Din relaţiile (1), (2) şi (3), rezultă xy = x y = x y = yx, deci G este xvi) Din ( xy) α α α = x y şi ( xy) α 1 α 1 β 1 β 1 β 1 = y x şi ( xy) y x ( α ) vβ( β ) β β β 1 = x y obţinem ( xy) α = =. Fie u, v Z astfel încât uα = 2. Se obţin succesiv următoarele relaţii: x α y α y α x α x β y β y β = = x β şi, ( xy) αα ( 1) ( yx) αα ( 1) ( xy) β( β 1) ( yx) β( β = = 1) de unde obţinem ( ) ( ) şi, ( ) α( α ) + β( β ) α( α ) + β( β ) ( ) 2 u 1 v 1 u 1 v 1 2 xy = xy = yx = yx. Se verifică că x αα ( 1) β( β 1), x Z(G), oricare ar fi x G. Atunci u u + v u v 1 ( ) ( ) ( ) α( α ) β( β ) α α β( β ) α α β β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xy = xy = xy xy = xy xy = v 25

26 2 = x 1 y 1 x 1 y 1 = x y = x y, deci u v α( α ) α( α ) β( β ) β( β ) uα α vβ β uα α vβ β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xy = yx, oricare ar fi x, y G. Condiţiile i), iii), iv), viii), ix), x), xi), xii), xiii), xiv), xvi) sunt necesare, în timp ce condiţiile ii), v), vi), vii), xv) nu sunt necesare pentru ca G să fie abelian. 9. Fie f : R R o funcţie având proprietatea că mulţimea T f = {t R * f(x + t) = f(x), pentru orice x R } este nevidă. i) Arătaţi că T f este subgrup al grupului (R, +). ii) Determinaţi acest subgrup în următoarele situaţii: a) f(x) = sin2πx, pentru orice x R. 1, x Q b) f(x) = 0, x R \ Q. Indicaţie. i) Verificare directă. ii) Pentru cazul a) se obţine T f = (Z, +), iar pentru cazul b) se obţine T f = (Q, +). 10. Arătaţi că grupul U n al rădăcinilor de grad n N* ale unităţii complexe este unicul subgrup de ordin n al grupului (C*, ). Fie H un subgrup de ordin n al grupului (C*, ). Utilizând propoziţia 2, III.2, obţinem că z n = 1, oricare ar fi z H, deci H U n. Cum ordh = ordu n = n, rezultă că H = U n. 26

27 11. Fie (Z, +) grupul aditiv al numerelor întregi. Arătaţi că: i) Pentru orice n N, nz este subgrup al lui Z. ii) Orice subgrup al lui Z este de tipul nz, pentru un anumit n N. iii) Pentru orice m, n N, avem egalităţile: mz + mz = (m, n)z; mz nz = [m, n]z. i) Verificare directă. ii) Fie H Z. Dacă H = {0}, atunci avem H = 0Z. Dacă H {0}, atunci H conţine cel puţin un număr întreg strict pozitiv. Astfel A = { a H a 1}. Cum A este o submulţime a lui N*, deducem că există cel mai mic element a 0 A. Arătăm că H = a 0 Z. Cum a 0 H, avem a 0 Z H. (1) Reciproc, fie a H. Aplicând teorema împărţirii cu rest în Z, obţinem a = = a 0 q + r, unde q Z, r N, 0 r < a 0. Din incluziunea (1), deducem că a 0 q H. Atunci r = a a 0 q H şi, având în vedere minimalitatea lui a 0, obţinem r = 0. Prin urmare, a = a 0 q a 0 Z, deci H a 0 Z. (1) Relaţiile (1) şi (2) ne dau egalitatea H = a 0 Z. iii) Se ţine cont de modul de definire a celui mai mare divizor comun, respectiv a celui mai mic multiplu comun a două numere naturale. 12. Fie G un grup având proprietatea că există a G astfel încât G \ {a} este subgrup al lui G. Arătaţi că ordg = 2. 27

28 Presupunem că G are cel puţin 3 elemente distincte e, a, b. Ecuaţia bx = a are în G o soluţie unică x 0. Avem x 0 e (în caz contrar obţinem a = b) şi x 0 a (în caz contrar obţinem b = e). Astfel elementele b, x 0 G \ {a} satisfac bx 0 = a G \ {a}. Rezultă ordg 2. Cum cazul ordg = 1 este exclus prin ipoteză, avem ordg = Fie (G, ) un grup, H, K două subgrupuri ale lui G şi mulţimea HK = ={hk h H, k K}. Arătaţi că HK este subgrup al lui G, dacă şi numai dacă HK= = KH. Presupunem HK G. Fie hk HK. Cum HK G rezultă că există h 1 H şi k 1 K astfel încât (hk) -1 = h 1 k 1 HK. Atunci hk = (h 1 k 1 ) -1 KH, deci HK KH. Fie acum kh KH. Avem h -1 k -1 HK, de unde obţinem kh = (h -1 k -1 ) -1 HK, deci KH HK. Reciproc, presupunem că avem HK = KH. Fie h 1 k 1 şi h 2 k 2 două elemente din HK. Atunci (h 1 k 1 )(h 2 k 2 ) -1 = h 1 k 1 k -1 2 h Cum k -1 2 h -1 2 KH şi KH = HK, rezultă că există h 3 k 3 HK astfel încât k h 2 = h 3 k 3. De asemenea, cum k 1 h 3 KH şi KH = HK, rezultă că există h 4 k 4 HK astfel încât k 1 h 3 = h 4 k 4. Atunci (h 1 k 1 )(h 2 k 2 ) -1 = h 1 k 1 k -1 2 h -1 2 = h 1 k 1 h 3 k 3 = h 1 h 4 k 4 k 3 HK şi prin urmare HK G. 14. Fie (G, ) un grup abelian, H un subgrup al său şi n N, n 2. Notăm n H = {x G x n H}. Arătaţi că: 28

29 i) n H este subgrup al lui G ce conţine pe H : în plus, pentru orice i, j N, i, j 2, avem i j H ij = H. ii) Dacă ordh = m <, atunci H m {} e. iii) Dacă (K, +, ) este un corp comutativ, G 1 = (K *, ) şi H 1 G 1, ordh 1 = m1 =m 1 2, atunci H 1 = {1}. iv)dacă G 2 = (C*, ) şi H 2 = p {1}, atunci, pentru fiecare r N, r 2, p 2 avem r H2 = H2. Indicaţie. Afirmaţiile i) şi ii) sunt imediate. m1 iii) Din ii), avem H 1 {1 }. (1) m1 {1 } = {x K* x m m1 = 1}. În corpul K, polinomul X 1 are cel mult m1 m 1 rădăcini, deci ord {1 } m 1. (2) Ţinând cont de (1), (2) şi de faptul că ordh = m 1, obţinem egalitatea dorită. iv) Mai avem de arătat doar r H 2 H 2. Fie x r H 2. Atunci x r H 2, deci există s N, s 2 astfel încât x r s 1} {. Deducem relaţia x {} 1 {} 1 rs. Dar rs {} 1 H 2, de unde x H 2. r s, care, conform punctului i), se rescrie x 15. Fie (G, ) un grup finit. Arătaţi că: 29

30 i) Dacă G este abelian şi x 2 = e pentru mai mult de jumătate din elementele x ale lui G atunci x 2 = e pentru orice x G. ii) Dacă în G mai mult de jumătate din elementele sale comută cu toate elementele grupului, atunci G este abelian. iii) Dacă ordg este impar şi mai mult de o treime din elementele sale comută cu toate elementele grupului, atunci G este abelian. i) Fie H = {x G x 2 = e}. H este subgrup al lui G. Din teorema lui Lagrange avem ordh / ordg, iar din ipoteză ordh > 1 2 ordg. Prin urmare ordh = ordg, deci H = G. ii) Se demonstrează analog cu i). iii) Avem ordz(g) / ordg şi ordz(g) > 1 3 ordg. Cum ordg este impar, rezultă ordz(g) = ordg, deci Z(G) = G. 16. Fie (G, ) un grup cu proprietatea că există o submulţime nevidă finită A a sa astfel încât G \ A este subgrup al lui G. Arătaţi că: i) G este finit şi ordg 2 A. ii) Dacă A este număr prim, atunci ordg = A + 1 sau ordg = 2 A. i) Fie H = G \ A şi a A un element fixat. Pentru fiecare h H, ecuaţia hx = a are o soluţie unică x A. Avem H {ax -1 x A}, deci H este finit şi ordh A. Atunci ordg = ordh + A 2 A. 30

31 ii) Fie A = p şi ordg = n. Din teorema lui Lagrange,avem existenţa unui q N* astfel încât ordg = qordh. Egalitatea ordg = ordh + A devine n = n q + p, sau, echivalent, n(q 1) = qp. Rezultă (q -1) / qp şi, cum (q-1, q) = 1, obţinem (q-1) / /p ; prin urmare q - 1 {1, p}. Dacă q - 1 = 1, atunci q = 2, deci n = 2p. Dacă q - 1 = p, atunci q = p + 1, deci n = p Fie A, B, C trei subgrupuri ale grupului finit G. Arătaţi că: i) AB A B = A B. ii) Dacă A B, atunci [C B : C A] [B : A]. iii) [G : A B] [G : A][G : B]. iv) [A : A B] [[A B] : B]. v) Dacă ([G : A], [G : B]) = 1, atunci [G : A B] =[G : A][G : B] şi G = = AB. i) Pe produsul cartezian A B definim relaţia binară "~" prin: (a, b) ~ (a', b'), dacă şi numai dacă ab = a'b'. Se verifică că "~" este o relaţie de echivalenţă şi că, pentru fiecare element (a, b) A B, clasa sa de echivalenţă ( ab, ) A B/ ~ are A B elemente. Aplicaţia f : A B / ~ AB, f(( ab)), = ab, oricare ar fi ab, A B / ~, este o bijecţie. Atunci AB = A B / ~ = A B A B = A B A B. 31

32 ii) Deoarece A B, avem CA CB. Ţinând cont de i), obţinem C A C B C B B, sau, echivalent,. C A C B C A A Din această ultimă inegalitate rezultă [C B : C A] [B : A]. iii) Avem AB G, de unde, folosind i), deducem A B A B G. Rezultă [G : A][G : B]. G G G adică [G : A B] A B A B iv) Raţionăm similar ca la iii), plecând de la AB [A B]. v) Avem [G : A] = [G : AB] [AB : A] şi [G : B] = [G : AB] [AB : B]. Obţinem [G : AB] / ([G : A],[G : B]), de unde avem [G : AB] = 1, adică G = AB. Atunci, din i), deducem egalitatea [G: A B] = [G: A][G : B]. 18. Fie (G, ) un grup având proprietatea că, pentru orice x, y G cu x z, există H 1, H 2 două subgrupuri ale lui G astfel încât x H 1, y H 2 şi H 1 H 2 = = {e}. i) Arătaţi că G este abelian. ii) Pentru n N* şi a G fixate, rezolvaţi în G ecuaţia x n = a. i) Fie x G \ {e}. Atunci x 2 x, deci există H 1, H 2 G astfel încât x H 1, x 2 H 2 şi H 1 H 2 = {e}. Cum x H 1, avem x 2 H 1 şi, prin urmare, x 2 H 1 H 2. Obţinem x 2 = e. În concluzie, G are proprietatea că x 2 = e, oricare ar fi x G, deci este abelian. 32

33 e, n - par ii)avem x n =, oricare ar fi x G. x, n - impar Dacă n este par, ecuaţia nu are nici o soluţie pentru a e şi are ca soluţie oricare element al lui G pentru a = e. Dacă n este impar, ecuaţia are soluţie unică x = a. 19. Fie (G, ) un grup abelian cu proprietatea că, pentru orice n N*, ecuaţia x n = e are exact n soluţii (distincte) în grupul G; notăm cu G n mulţimea acestor soluţii. Arătaţi că: i) G n este subgrup al lui G. ii) Dacă H este un subgrup finit al lui G, atunci există n N* astfel încât H = G n. iii) G n G m, dacă şi numai dacă n / m. iv) G n G m = G d, unde d = (n, m). i) Pentru orice x, y G n, avem (xy -1 ) n = x n (y n ) -1 = e, deci xy -1 G n. ii) Fie H G cu ordh = n. Atunci, pentru orice x H, avem x n = e. Rezultă H G n. Cum ambele mulţimi au câte n elemente, avem H = G n. iii) Dacă G n G m, atunci G n este subgrup al lui G m şi, conform teoremei lui Lagrange, avem n / m. Dacă n / m, atunci există k N* astfel încât m = nk. Atunci, pentru orice x G n, obţinem x m = x nk = e k = e, deci x G m. Prin urmare, G n G m. iv) Cum G n şi G m sunt subgrupuri ale lui G, rezultă că 33

34 G n G m G. Conform cu ii), există d N* astfel încât G n G m = G d. Avem G d G n şi G d G m, deci d / n şi d / m. Fie d' N* astfel încât d' / n şi d' / m. Din iii), deducem G d' G n şi G d' G m. Rezultă G d' G n G m = G d, de unde obţinem d' / d. Din cele arătate, avem d = (n, m). 20. Daţi exemplu de grup finit (G, ) şi de un număr natural n 2 pentru care ecuaţia x n = e are în grupul G mai mult de n soluţii. În grupul lui Klein, pentru n = 2, ecuaţia x 2 = e are 4 soluţii, adică toate elementele grupului. 21. Fie G un grup şi H G, H G. Arătaţi că [G \ H] = G. Avem [G \ H] = P P G GH \ P. Fixăm un element a G \ H. Fie P G, cu G \ H P şi h H. Ecuaţia hx = a are o soluţie unică x G \ H. Atunci x -1 G \ H şi h = ax -1 P. Prin urmare, avem H P. Rezultă G = = (G \ H) H P, deci P = G. 22. Fie G un grup şi H un subgrup propriu al său. Arătaţi că nu există o parte stabilă proprie a lui G care să conţină pe G \ H. Indicaţie. A se vedea problema precedentă. 34

35 23. Fie (G, ) un grup şi H 1, H 2 două subgrupuri proprii ale sale astfel încât H 1 H 2 = {e} şi există a H 1 H 2 cu a 2 e. Arătaţi că mulţimea (G \ (H 1 H 2 )) {e} nu este parte stabilă a lui G. Indicaţie. Presupunem a H 1. Fie b H 2 \ {e} şi x = ab, y = b -1 a. Se verifică că x, y G \ (H 1 H 2 ) şi xy (H 1 H 2 ) \ {e}. 24. Arătaţi că: i) Dacă G este un grup şi H 1, H 2 sunt două subgrupuri ale sale, atunci H 1 H 2 este subgrup al lui G, dacă şi numai dacă H 1 H 2 sau H 2 H 1. ii) Un grup nu se poate scrie ca reuniunea a două subgrupuri proprii ale sale. i)dacă H 1 H 2 sau H 2 H 1, atunci H 1 H 2 = H 2 sau H 1 H 2 = H 1, deci H 1 H 2 este subgrup al lui G. Reciproc presupunem H 1 H 2 G şi H 1 H 2, H 2 H 1. Atunci există x H 1 \ H 2 şi y H 2 \ H 1.Cum x,y H 1 H 2 avem xy H 1 H 2, adică xy H 1 sau xy H 2. Insă, xy H 1 implică y H 1 şi xy H 2 implică x H 2 ; contradicţie. ii)dacă G este un grup şi H 1, H 2 sunt două grupuri ale sale astfel încât G = =H 1 H 2, atunci avem H 1 H 2 G. Folosind punctul i), obţinem H 1 H 2, sau H 2 H 1, deci G = H 2 sau G = H 1. 35

36 25. Arătaţi că nu există grupuri care să se poată scrie ca reuniunea a 3 subgrupuri proprii, dintre care două au câte 3 elemente. Fie G un grup astfel încât G = H 1 H 2 H 3, unde H i, i = 1,2,3 sunt subgrupuri proprii ale lui G cu ordh 1 = ordh 2 = 3. Atunci H 1 şi H 2 sunt ciclice. Fie H 1 = {e, a 1, a 1 2 } şi H 2 = {e, a 2, a 2 2 }. Avem a 1 a 2 (în caz contrar, G s-ar scrie ca reuniunea a două subgrupuri proprii ale sale). De asemenea, avem H i H j = {e}, pentru orice i, j {1, 2, 3}, i j. Fie x = a 1 a 2 şi y = a 1 2 a 2. Obţinem x, y H 3. Cum x H 3 şi a 1 H 1, rezultă y = a 1 x H 2, deci y H 2 H 3. Rezultă y = e. Din a 1 2 a 2 = e, deducem a 2 = ea 2 = 3 aa 1 2 = a 1 y = a 1 ; contradicţie. 26. Fie G un grup şi H 1, H 2, H 3 trei subgrupuri proprii ale sale astfel încât G = H 1 H 2 H 3. Arătaţi că x 2 H 1 H 2 H 3, pentru orice x G. Avem H 1 \ (H 2 H 3 ), H 2 \ (H 3 H 1 ), H 3 \ (H 1 H 2 ) (dacă, spre exemplu, H 1 H 2 H 3, atunci G = H 2 H 3, ceea ce contrazice afirmaţia ii) a problemei 24). Fie un element arbitrar x G. Dacă x H 1 H 2 H 3, atunci x 2 H 1 H 2 H 3. Dacă x H 1 H 2 H 3, atunci: 36

37 a) Presupunem x H 1 şi x H 2 H 3. Considerăm y H 1 \ (H 2 H 3 ) şi z = yx. Obţinem z H 1 H 2 H 3 = G. b) Presupunem x H 1 H 2 şi x H 3. Considerăm y H 1 \ (H 2 H 3 ) şi z = yx. Obţinem z H 2. Fie t = zx = yx 2. Avem t H 2 (în caz contrar, x H 2 ) şi t H 3 (în caz contrar, z H 3 ); prin urmare t H 1. Cum y H 1 rezultă x 2 = y -1 t H 1 ; în mod similar deducem că x 2 H 2. De asemenea, faptul că x H 3 implică x 2 H 3, deci x 2 H 1 H 2 H 3. Din motive de simetrie, celelalte situaţii se analizează similar. 27. Arătaţi că fiecare dintre următoarele grupuri se poate scrie ca reuniunea a 3 subgrupuri proprii ale sale: i) grupul lui Klein, K. ii) grupul diedral, D 4. i) K = {e, a, b, c}, unde a 2 = b 2 = c 2 = e, ab = ba = c, ac = ca = b, bc = cb = a. Fie H 1 = {e, a}, H 2 = {e, b}, H 3 = {e, c}. Avem H 1, H 2, H 3 subgrupuri proprii ale K şi K = H 1 H 2 H 3. ii) D 4 = {e, ϕ, ϕ 2, ϕ 3, ε, ϕσ, ϕ 2 ε, ϕ 3 }, unde ϕ 4 = ε 2 = e şi εϕ = ϕ 3 ε.. Oricare subgrup al lui D 4 are ordin 2 sau 4. Subgrupurile de ordin 2 ale lui D 4 sunt: H 1 = {e, ϕ 2 }, H 2 = {e, ε}, H 3 = {e, ϕε}, H 4 = {e, ϕ 2 ε}, H 5 = {e, ϕ 3 ε}. Subgrupurile de ordin 4 ale lui D 4 sunt: H 6 = {e, ϕ, ϕ 2, ϕ 3 }, H 7 = {e, ϕ 2, ε, ϕ 2 ε}, H 8 = {e, ϕ 2, ϕε, ϕ 3 ε}. Observăm că D 4 = H 6 H 7 H 8. 37

38 28. Fie (G, ) un grup, n 3 un număr natural şi H 1, H 2,, H n subgrupuri ale lui G ce satisfac: i)g = n i= 1 H ii)h i H j i i j, pentru orice i = 1, n Arătaţi că pentru fiecare x G, există k N* cu k (n 1)! astfel încât x k n Hi. i= 1 Fie x G. Arătăm că pentru oricare t N, 1 t n 1, dacă x se găseşte în t din subgrupurile H 1, H 2,, H n, atunci există k {1, 2,, n l} astfel încât x k să se găsească în t + 1 din subgrupuriile H 1, H 2,, H n. Presupunem x t Hi. Fie h G \ i= 1 t i= 1 H i. Atunci, pentru oricare m N*, x m h t i= 1 H i, deci x m h n H. j j=+ t 1 Prin urmare, există m N* cu t + 1 m n şi există k 1, k 2 {1, 2,, n 2 t + 1} astfel încât { k i k x hx, h } H m. Notăm k = k 2 k 1. Avem x k k2 k1 1 = ( x h)( x h) H m. t Dar x k Hi, deci x k ( Hi ) H m. i= 1 t i= 1 38

39 Din cele arătate anterior, obţinem existenţa numerelor naturale k 1, k 2,, k n-2 cu k i n i, pentru orice i = 1, n -2 astfel încât, notând k = n 2 i= 1 k i, să avem x k n H. i i= Pentru un număr natural n 2 următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) n este prim. ii) Orice grup cu n elemente are exact două subgrupuri. i) ii) Fie G un grup cu ordg = n şi H un subgrup al său. Conform teoremei lui Lagrange, avem ordh / n şi, cum n este prim, obţinem ordh {1, n}. Rezultă H {{e}, G}. ii) i) Presupunem, prin absurd, că n nu este prim. Fie p un divizor prim al lui n şi q N astfel încât n = qp. În aceste condiţii grupul aditiv Z n are cel puţin 3 subgrupuri distincte: { } 0, Z n, q ; contradicţie. 30. Fie G un grup cu n elemente, n 4 şi p N, 1 < p < n. Arătaţi că, dacă G conţine p 1 C n 1 subgrupuri cu p elemente, atunci p = 2 şi x2 = e, pentru orice x G. Considerăm toate submulţimile lui G cu proprietatea că fiecare dintre ele conţine elementul neutru e şi încă p 1 elemente din G \ {e}.numărul 39

40 acestora este C p 1 n 1, deci familia lor coincide cu familia subgrupurilor cu p elemente ale lui G. Presupunem, prin absurd, că p > 2 şi alegem x, y G \ {e}, x y. Cum n 3 p 2 1, putem alege p 2 elemente din mulţimea G \ {e, x, y}. Fie acestea a 1, a 2,, a p-2 şi H 1 = {e, x, a 1,, a p-2 }, H 2 = { e, y, a 1,, a p-2 }. Avem că H 1 şi 1 H 2 sunt subgrupuri ale lui G. Atunci xa 1 H 1, însă xa 1 e (în caz contrar, x = H 2 ), xa 1 x (în caz contrar, a 1 = e) şi xa 1 a i, pentru orice i = 1, n. (în caz contrar, x = a i a -1 1 H 2 ); contradicţie. a Fie (G. ) un grup finit având proprietatea că orice două subgrupuri distincte ale sale au ordine diferite. Arătaţi că orice subgrup al lui G este divizor normal. Fie H un subgrup al lui G şi x G. Atunci xhx -1 = {xhx -1 h H} este subgrup al lui G, iar aplicaţia f : H xhx -1, f(h) = xhx -1, pentru orice h H, este bijectivă. Prin urmare avem ordh = ord(xhx -1 ). Ţinând cont de ipoteză, deducem că H = xhx -1. Cum egalitatea anterioară are loc pentru orice x G, rezultă H G. 32. Arătaţi că: i) Dacă (G, ) este un grup, atunci orice subgrup de indice 2 al lui G este divizor normal. ii) Dacă (G, ) este un grup, atunci Z(G) = {x G xy = yx, pentru orice y G} este divizor normal al lui G (numit centrul grupului G). iii) Dacă (G, ) este un grup şi, pentru orice x, y G, notăm [x, y] = 40

41 = xyx -1 y -1 (numit comutatorul elementelor x şi y), atunci subgrupul D(G) generat de mulţimea tuturor comutatorilor elementelor lui G este divizor normal al lui G (numit subgrupul comutator al lui G). În plus, D(G) are proprietăţile: a)grupul factor G / D(G) este abelian (notat cu G ab şă numit abelianizatul grupului G). b)dacă H este un divizor normal al lui G, atunci grupul factor G / H este abelian, dacă şi numai dacă D(G) H. iv) Dacă K este un corp comutativ, n N* şi GL n (K) este grupul multiplicativ al matricelor pătratice nesingulare de ordin n peste K (numit grupul liniar de ordin n peste K), atunci mulţimea SL n (K) = ={A GL n (K) deta = 1} este un divizor normal al lui GL n (K) (numit grupul liniar special de ordin n peste K). Dacă, în plus, K este corp finit, determinaţi ordinele grupurilor GL n (K) şi SL n (K). 33. Un grup abelian (G, ) se numeşte divizibil, dacă pentru orice a G şi orice n Z* există x G astfel încât nx = a. Arătaţi că orice grup divizibil este infinit. Deduceţi că orice subgrup al grupului (Q, +) diferit de Q, are indice infinit. Presupunem, prin absurd, că G este finit. Fie n = ordg şi a un element nenul arbitrar al lui G. Atunci, pentru orice x G avem nx = 0 a; contradicţie. Fie H Q, H Q. Din faptul că (Q, +) este divizibil deducem că grupul factor Q / H este divizibil. Atunci Q / H este infinit, deci [Q : H] este infinit. 41

42 II.2. Ordinul unui element; grupuri ciclice 1. Fie (G, ) un grup. Arătaţi că: i) Dacă x, y G satisfac condiţiile: xy = yx, ord(x) = m <, ord(y) = = n < şi (n, m) = 1, atunci ord(xy) = mn. ii) Dacă x G având ord(x) = mn, m, n N*, (m, n) = 1, atunci există şi sunt unice elementele y, z G astfel încât x = yz = zy şi ord(y) = m, ord(z) = n. i) Avem (xy) mn = x mn y mn = (x m ) n (y n ) m = e n e m = e. (1) Fie k Z astfel încât (xy) k = e. Atunci x k y k = e sau, echivalent, x k = y -k. Ridicând la puterea n, obţinem x kn = y -kn = (y n ) -k = e. Rezultă m / kn, şi cum (m, n) = 1, deducem m / k. În mod similar, se obţine n / k. Cum (m, n) = 1, rezultă mn / k. (2) Relaţiile (1) şi (2) arată că ord(xy) = mn. ii) Fie α, β Z astfel încât αm + βn = 1 şi y = x βn, z = x αm. Avem x = x 1 = =x αm+βn = x αm x βn = x βn x αm. De asemenea, y m = x βmn = (x mn ) β = e β = e, iar dacă k Z astfel încât y k = e, atunci x βnk = e, de unde obţinem m / k; prin urmare, ord(y) = = m. În mod similar se arată că ord(z) = n. Fie y 1, z 1 G astfel încât x = y 1 z 1 = z 1 y 1 şi ord(y 1 ) = m, ord(z 1 ) = n. Atunci y = x βn = (y 1 z 1 ) βn = y βn βn n 1 z 1 = y β 1 = 1 y αm 1 = y 1 y 1 -αm = y 1 şi z = x αm = (y 1 z 1 ) αm = =y 1 αm z 1 αm = z 1 αm = z 1 1-βn = z 1 z 1 -βn = z 1. 42

43 n = ( mn, ) 2. Fie (G, ) un grup şi x G cu ord(x) = n <. Arătaţi că ord(x m ) =, pentru orice m N*. Fie d = (m, n) şi m 1, n 1 N* astfel încât m = dm 1, n = dn 1. Avem 1 m n n ( ) ( ) 1 mn1 dm1n nm m 1 1 m1 x = x = x = x = x = e = e. (1) Fie k Z astfel încât (x m ) k = e. Atunci x mk = e, deci n / mk. Obţinem n 1 / m 1 k şi, cum (n 1, m 1 ) = 1, deducem n 1 / k. (2) n Relaţiile (1) şi (2) arată că ord(x m ) = n 1 = ( mn., ) 3. Fie (G, ) un grup şi x un element de ordin finit al său. Arătaţi că, dacă există m, n N cu (m, n) = 1 astfel încât ord(x m ) = n şi ord(x n ) = m, atunci ord x = = mn. Avem x mn = (x m ) n = e. (1). Fie k Z astfel încât x K = e. Atunci (x m ) k = x mk = (x k ) m = e, de unde obţinem n / k şi (x n ) k = x nk = (x k ) n = = e, de unde obţinem m / k. Cum m şi n sunt relativ prime, rezultă mn / k. (2) Relaţiile (1) şi (2) arată că ord(x) = mn. O altă variantă de rezolvare a problemei este următoarea : Fie k = ord(x). Folosind problema anterioară, obţinem egalităţile: m k n k n = ord x =, m = ord x =, ( km, ) ( kn, ) 43

44 de unde deducem k = n(k, m) = m(k, n). Rezultă n / m(k, n) şi m / n(k, m); cum m şi n sunt relativ prime, rezultă n / (k, n) şi m / (k, m), deci n = (k, n) şi m = (k, m). Prin urmare, n / k şi m / k, ceea ce implică mn / k. Avem însă şi k / mn, aşadar k = mn. 4. Fie (G, ) un grup finit de ordin n şi k N* astfel încât n ± 1 (mod k). Arătaţi că, pentru orice a G, ecuaţia x k = a admite o soluţie unică în G. Presupunând n -1 (mod k), n = α k 1, α N*. Atunci e = a n = a αk - 1 = = a αk a -1, deci (a α ) k = a. Prin urmare, a α este o soluţie a ecuaţiei considerate. Fie b G o altă solţie a acesteia. Avem b k = a, de unde obţinem b = be = = bb n = bb αk - 1 = b αk = (b k ) α = a α. Cazul n +1 (mod k) se tratează analog. 5. Arătaţi că un grup (G, ) în care are loc implicaţia: este abelian. "a, b G, a b ord(a) ord(b)" Pentru orice a, b G, avem ord(ab) = ord(ba). Ţinând cont de ipoteză, obţinem ab = ba. 6. Dacă (G, ) este un grup finit de ordin n, atunci orice element a al lui G are ordin finit şi ord(a) / n. Indicaţie. Considerând subgrupul ciclic generat de a şi aplicând teorema lui Lagrange se obţine concluzia problemei. 44

45 7. Fie (G, ) un grup abelian finit şi x 0 un element de ordin maxim n al său. Arătaţi că x n = e, pentru orice x G. 8. Arătaţi că mulţimea elementelor de ordin impar dintr-un grup ciclic finit formează un subgrup de ordin egal cu cel mai mare divizor impar al ordinului grupului. Indicaţie. Fie G un grup ciclic de ordin 2 k p cu k N, p 1 (mod 2), γ un generator al său şi H = [ γ ]. Atunci avem H = {x G ord(x) 1 (mod 2)} şi ordh = p. 2 k 9. Fie (G, ) un grup ciclic, a un generator al său şi k Z. Arătaţi că: i) Dacă G este finit şi ordg = n, atunci a k este generator al lui G, dacă şi numai dacă (n, k) = 1. Determinaţi în această situaţie numărul generatorilor lui G. Caz particular : G = (Z 24, +). ii) Dacă G este infinit, atunci a k este generator al lui G, dacă şi numai dacă k {-1, 1}. i) Avem G = [a] n = {e, a,, a n-1 }. " " Dacă a k este generator al lui G, atunci G = [a k ]. Rezultă a [a k ], deci a = a αk, pentru un α Z. Urmează a kα - 1 = e, de unde obţinem n / (kα - 1). Atunci există β Z astfel încât kα - 1 = nβ.. Ultima egalitate arată că (n, k) = 1. 45

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II.3.1.1. Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z =

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II.3.1.1. Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z =

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1. Bucureşti, 2006

TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1. Bucureşti, 2006 1 TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1 Bucureşti, 2006 2 Profesorului meu NICOLAE RADU 3 PREFAŢĂ Lucrarea se adresează studenţilor din anul I de la facultăţile de matematică şi informatică din universităţi. În

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Matematici în Criptografie. Adrian Atanasiu

Matematici în Criptografie. Adrian Atanasiu Matematici în Criptografie Adrian Atanasiu 3 Prefaţă În era digitală cum este şi firesc criptografia este omniprezentă. Tehnicile criptografice sunt folosite pentru a securiza comunicaţiile derulate prin

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Introducere 3. I. Algebră şi Geometrie 4. 1 Structuri algebrice: monoizi, grupuri, inele, corpuri 5. 2 Polinoame 44

Introducere 3. I. Algebră şi Geometrie 4. 1 Structuri algebrice: monoizi, grupuri, inele, corpuri 5. 2 Polinoame 44 Cuprins Prefaţă 1 Introducere 3 I. Algebră şi Geometrie 4 1 Structuri algebrice: monoizi, grupuri, inele, corpuri 5 2 Polinoame 44 3 Matrice. Matrice cu blocuri. Forme canonice 85 4 Spaţii vectoriale şi

Διαβάστε περισσότερα

Rădăcini primitive modulo n

Rădăcini primitive modulo n Universitatea Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Rădăcini primitive modulo n Îndrumător ştiinţific: Prof. Dr. Victor Alexandru 2010 Rezumat Tema lucrarii este studiul radacinilor primitive.

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

1 Corpuri finite. 1.1 Introducere. Reamintim mai intai

1 Corpuri finite. 1.1 Introducere. Reamintim mai intai 1 Corpuri finite. 1.1 Introducere Reamintim mai intai Definiţie 1 Se numeşte corp un inel comutativ (K,+, ) cu proprietatea ca orice element nenul x din k este inversabil, i.e. există x 1 k astfel încât

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică. 1 Mulţimea numerelor naturale

Aritmetică. 1 Mulţimea numerelor naturale Aritmetică. 1 Mulţimea numerelor naturale Calitatea unei propoziţii matematice de a fi adevărată (sau falsă) se demonstrează (numim atunci propoziţia respectivă teoremă, lemă, propoziţie, corolar, etc)

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea

Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 13 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 24 Proiecţii

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ecuaţii de gradul întâi Inecua tii de gradul întâi Modul unui număr real... 9

3.1. Ecuaţii de gradul întâi Inecua tii de gradul întâi Modul unui număr real... 9 Cuprins 1 Operaţii cu numere reale 1 11 Radicali, puteri 1 111 Puteri 1 112 Radicali 1 12 Identităţi 2 13 Inegalităţi 3 2 Funcţii 4 21 Noţiunea de funcţii 4 22 Funcţii injective, surjective, bijective

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura

Διαβάστε περισσότερα

Algebră liniară CAPITOLUL 3

Algebră liniară CAPITOLUL 3 Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare

Διαβάστε περισσότερα

(Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013)

(Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013) ALGEBRĂ (Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013) CUPRINS Pentru specializările Matematică şi Matematică informatică: 1 Introducere 1 2 Grupuri,

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Contract POSDRU/86/1.2/S/ POSDRU ID * Bucureşti 2012

Contract POSDRU/86/1.2/S/ POSDRU ID * Bucureşti 2012 Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Algebră Liniară POSDRU ID 62485 * Bucureşti 212 Prefaţă Algebra liniară şi geometria analitică stau la baza pregătirii matematice universitare, oferind modelări bazate pe

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0 INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

GRADUL II n α+1 1

GRADUL II n α+1 1 GRADUL II 2007 BUCUREŞTI 1. Fie A un inel cu unitate. Notăm cu Z(A) = {a A ( )x A,ax = xa}. Să se arate că: a) Z(A) este un subinel comutativ al lui A (numit centrul inelului A). b) Dacă B este un alt

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare

Διαβάστε περισσότερα

Vladimir BALAN. Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială. Student Web Copy. = Bucureşti 2011 =

Vladimir BALAN. Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială. Student Web Copy. = Bucureşti 2011 = Vladimir BALAN Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială = Bucureşti 2011 = Prefaţă Acest material include noţiunile, rezultatele teoretice de bază, precum şi probleme

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Varietăţi algebrice. 1.1 Definiţia spaţiului proiectiv şi primele proprietăţi

Varietăţi algebrice. 1.1 Definiţia spaţiului proiectiv şi primele proprietăţi Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Varietăţi algebrice 1 Spaţiul proiectiv 1.1 Definiţia spaţiului proiectiv şi primele proprietăţi Fie n N şi E un spaţiu vectorial de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα