a) Para determinar a velocidade orbital temos en conta os datos do problema: T= 12 h 2 min= s R= 1, m

Transcript

1 GAVIACIÓN. OBAS. O SSNG é unha misión espaial non tripulada da NASA, lanzada rumbo a erurio en Aosto de 004 e que entrou en órbita arredor dese planeta en arzo de 0. No seu perorrido enviou datos que permiten oñeer diferentes parámetros sobre erurio. Así, en Abril de 0, atopándose a unha distania de 0 4 km do entro de erurio, o período de essener foi de horas e minutos. Con estes datos: a) Calula a veloidade orbital a que se estaría movendo essener. b) Determina a masa de erurio. ) Determina os valores da enerxía inétia e potenial da sonda espaial nese intre, tendo en onta que a masa da sonda espaial é de 485 k. Dato: Constante de Gravitaión G =,7 0 - N m k - a) ara determinar a veloidade orbital temos en onta os datos do problema: = h min= 4 0 s =, m 7,04 0 v v,48 0 m s 40 b) A forza entrípeta neesaria para que essener poida desribir a órbita é proporionada pola forza de atraión entre essener e erurio. m a m mv v G G ) Cálulo das enerxías inétia e potenial mv 485 (48) 8 5, 0 J Gm,7 0, ,04 0 J 7,04 0 mer merurio G v merurio,7 0 k

2 . O satélite ANCK forma parte da primeira misión europea dediada ao estudo da orixe do Universo. O satélite ANCK, unha masa de 800 k, foi lanzado en Abril de 009 para situarse nunha órbita a,5 millóns de kilómetros do entro da erra. Supoñendo que a órbita que desribe é irular, alula: a) A veloidade orbital do satélite e o tempo, en días, que tardará en dar unha volta entorno á erra. b) A enerxía inétia, potenial e meánia do satélite na órbita. ) A veloidade on que hearía á erra, se por alunha irunstania o satélite perde a súa veloidade orbital. Considerar desprezable a friión ao entrar en ontato oa atmosfera Datos: adio da erra:,7 0 m. asa da erra: 5, k. G =,7 0 - N m k -. a) ara determinar a veloidade orbital temos en onta que: m mv m a G G v 4 G,7 0 5,98 0 v 5 m s 9,5.0 A determinaión do período faise a partir da veloidade orbital: 9,5 0 7 v,8 0 s días v 5 b) Cálulo das enerxías inétia e potenial m mv 800 (5) 8,4 0 J Gm,7 0 5,98 0 9, ,8 0 J 8 8 8,4 0 ( 4,8 0 ),4 0 J 4 ) Apliamos o prinipio de onservaión da enerxía, supoñendo que a enerxía inétia orbital é aora nula. ( ) ( ) órbita erra mv 8 0 ( 4,8 0 ) ( ) mv,7 0 5, , ,8 0, 0 v,.0 m s 4 m G

3 . n 0, a Universidade de Vio e o Instituto Naional de énia Aeroespaial, en olaboraión oa SA (Axenia spaial uropea) puxeron en órbita o primeiro satélite aleo, o XACOBO, para fins eduativos. ste satélite, unha masa de aproximadamente k, orbita a unha altura máxima (apoxeo) de 500 km da superfiie terrestre, e a unha mínima (perixeo) de 00 km. Determina: a) A veloidade media orbital, supoñendo que o radio medio orbital e a semisuma do perixeo e apoxeo. b) A enerxía meánia do satélite no apoxeo. ) Xustifiar ómo variará a veloidade areolar no seu perorrido orbital. Datos: adio da erra:,7 0 m; asa da erra: 5, k. G =,7 0 - N m k -. a) ara determinar a veloidade media orbital temos en onta que: m mv m. a G G v (500 00) 740 adio orbital 770km 7, 7 0 m 4 G,7 0 5,98 0 v 7407m s 7, 7 0 b) A enerxía meánia onsérvase, polo que: or tratarse dun ampo de forzas entrais, tamén se onserva o momento anular: esolvendo o sistema heamos a: ; pódese alular a enerxía meánia total, que resulta: ) A seunda lei de Kepler dinos que no movemento dun satélite respeto do seu planeta, a veloidade areolar é onstante. v da areolar dt m or tratarse dun ampo de forzas entrais ( e son vetores paralelos), o momento da forza será nulo, o que o momento anular permanee onstante. or este motivo, a veloidade areolar non ambia. rx 0 d 0 te dt da vareolar te dt m

4 4. Un satélite de masa 00 k sitúase nunha órbita irular sobre o euador terrestre, de tal forma que se axusta o radio da órbita para que dea unha volta á erra ada 4 horas. Así onséuese que sempre se atope sobre o mesmo punto respeto da erra (satélite xeoestaionario). a) Cal debe ser o radio da súa órbita? b) Canta enerxía se preisa para situalo na órbita? ) Cal é a veloidade que se lle debería omuniar dende a erra para faer que esape da atraión ravitatoria? Datos: G =,7 0 - N m k - ; asa da erra: 5, k; adio da erra:,7 0 m a) ara determinar o radio da órbita temos en onta que o período = 4 h= s : m. a m mv G ( ) G G v G 4, 0 4 b) A enerxía neesaria para poñelo en órbita ( ) ( ) erra órbita m m ( G ) G m m G G Gm 0, 0 J 4 ( ),7 0 5, ( ) 7,7 0 8, m ) A veloidade de esape dende a superfiie da erra defínese omo a veloidade mínima que debemos omuniar a un orpo para hear ó infinito, e determínase por apliaión do prinipio de onservaión da enerxía G m mve erra 0 0 v esape 4 G,7 0 5,98 0, 0 m s,7 0

5 5. O onxunto de satélites GS (Global ositionin System) desriben órbitas irulares arredor da erra permitindo que poidamos determinar a posiión onde nos atopamos unha ran preisión. odos os satélites GS están a mesma altura e dan dúas voltas á erra ada 4 horas. Calular: a) A altura da súa órbita sobre a superfiie da erra e a veloidade anular dun dos satélites. b) A enerxía meánia e a veloidade lineal que tería un destes satélites na súa órbita. ) A nova veloidade e o tempo que tardaría en dar unha volta á erra se o faemos orbitar ao dobre de altura. Datos: G =,7 0 - N m k - ; asa da erra: 5, k; adio da erra:,7 0 m; asa do satélite: 50 k. a) ara determinar o radio da órbita temos en onta que o período = h= 4 00 s m. a m mv G h G,0.0 7 m v G ( ) G 4, 0 7 m A veloidade anular:, s b) A enerxía meánia na órbita é a suma das súas enerxías inétia e potenial Gm,7.0 5,98 0 7, , 0 9 J A veloidade lineal obtense a partires da veloidade anular v,45 0 4, 0 7,8 0 ms v ) ara o álulo da veloidade orbital: m a G m mv G,7 0 ( G 5,98 0 h) 4 v 90m s O tempo que tardaría en dar unha volta sería v s v 5, h

6 . A NASA lanzou en 00 un satélite xeoestaionario (que xira oa mesma veloidade anular que a erra), o GOS- (Geostationary Operational nvironmental Satellite), que suministrará diariamente informaión de tipo meteorolóxio e dará onta de atividades solares que poden afetar ao ambiente terrestre. GOS- ten una masa de, 0 k e desribe una órbita irular de 4, 0 7 m de radio. Con estes datos: a) Calula a veloidade areolar do satélite. b) Supoñendo que o satélite desribe a súa órbita no plano euatorial da erra, determinar o módulo do momento anular respeto dos polos da erra. ) India os valores da enerxía inétia e potenial do satélite na órbita. Datos: eríodo de rotaión terrestre= 4 h. adio medio terrestre 70 km; asa da erra: 5, k; G =,7 0 - N m k -. a) ara determinar a veloidade areolar temos en onta que o vetor de posiión é perpendiular á veloidade, polo que: da mv v vareolar dt m m ( ). 7.. (4, 0 ) 0 v areolar,48 0 m s 8400 b) ara determinar o valor do momento anular: 7 7 r (4, 0 ) (,7 0 ) 4, 7 0 m v G,07 0 m s G p mv m, 0, ,5 0 k ms r p r m v sen r mv ) Cálulo das enerxías inétia e potenial na órbita 7 4 4, 7 0 9,5 0 4, 0 0 k m s mv, 0 (,07 0 ) 0,4 0 J 4 Gm,7 0 5,98 0, 0 7 4, 0,9 0 0 J

7 7. A 70 km da superfiie terrestre orbita, dende 009, o satélite frano-español SOS (Soil oisture and Oean Salinity), que forma parte dunha misión da Axenia spaial uropea (SA) para reoller informaión sobre o planeta. A masa do satélite é de 8 k. a) Calular a enerxía inétia do satélite e a súa enerxía meánia total. b) Calular o módulo do momento anular do satélite respeto do entro da erra. ) Xustifiar por qué a veloidade areolar do satélite permanee onstante. Datos: adio medio terrestre:,7 0 m. asa da erra: 5, k. G =,7 0 - N m k -. a) Cálulo da enerxía inétia e da enerxía total 4 G,7 0 5,98 0 v 7,48 0 m s 7, 0 mv ,9 0 J 4 Gm,7 0 5, (,7 0 0,7 0 ) 0,9 0 J b) Cálulo do módulo do momento anular:,7 0 0,7 0 7, 0 m v 7,48.0 m s p mv 8 7, , 0 k m s 0,8 0 J r p r m v sen r m v 7, 0 5, 0,4 0 k m s ) A seunda lei de Kepler dinos que no movemento dun satélite respeto do seu planeta, a veloidade areolar é onstante. or tratarse dun ampo de forzas entrais ( e son vetores paralelos), o momento da forza será nulo, o que o momento anular permanee onstante. or este motivo, a veloidade areolar non ambia. rx 0 d 0 te; dt da vareolar te dt m

8 8. Sabendo que o período de revoluión lunar é de 7, días e que o radio da órbita da úa é, m, alular: a) A onstante de ravitaión universal, G. b) A enerxía inétia e potenial da úa respeto da erra. ) Se un satélite se sitúa entre a erra e a úa a unha distania do entro da erra de 5. Cal é a relaión entre as forzas que exeren a erra e a úa sobre el?. Datos: adio medio terrestre:,7 0 m. asa da erra: 5, k. adio da úa:,74 0 m. asa da úa: 7,5 0 k. Dato: 7, días=, 0 s a) Cálulo da onstante de Gravitaión Universal 8,84 0 v.,.0 v G G 5,98 0 8, G G,7 0 N m k 8,84 0 5,98 0, 0,84 0 b) Cálulo da enerxía inétia e potenial 4 G,7 0 5,98 0 v,0 0 m s 8,84.0 mv 7, ,84 0 J 4 Gm,7 0 5,98 0 7,5 0 8, ,8 0 J ) elaión de orzas G m G m r 5 G m G m r 5 G m ,98 0,84 0 5, G m. 5 7,5 0 5,74 0,

9 9. obos é un satélite de arte que xira nunha órbita irular de 9 80 km de radio, respeto ao entro do planeta, un periodo de revoluión de 7,5 horas. Outro satélite de arte, Deimos, xira nunha órbita de 40 km de radio. Determine: a) A masa de arte e o período de revoluión do satélite Deimos. b) A enerxía meánia do satélite Deimos. ) O módulo do momento anular de Deimos respeto ao entro de arte. Datos: G =,7 0 - N m k - ; asa de Deimos =,4 0 5 k a) Cálulo da masa de arte. G v. 4 G 4 G 4 (9,8 0 ),7 0 (7540),44 0 k Cálulo do período de Deimos G v. 7 4 G 4 4 (,4 0 ) G, 7 0, , s 0, h b) Cálulo da enerxía meánia de Deimos mv G Gm Gm,7 0,44 0,4 0,4 0 5,0 0 J ) Cálulo do módulo do momento anular:, 4 0 m G,7 0, 44 0 v 5 m s, 4 0 p mv, 4.0 5, 0 k m s 5 8 r p r m v sen r m v, 4 0, 0 7,5 0 k m s 8 5

10 0. Nun planeta esfério oa mesma densidade media que a erra e un radio que é a metade do terrestre: a) Cal é a aeleraión da ravidade na superfiie? b) Cal sería o período dun satélite que se move nunha órbita irular a unha altura de 400 km respeto da superfiie do planeta? ) Cómo sería a variaión do seu ampo ravitatorio en profundidade? Datos: adio da erra = 70 km. Aeleraión da ravidade na superfiie da erra =9,8 m s - a) Cálulo da aeleraión da ravidade densidade planeta 4 V 4 ( ) densidade erra 4 V 4 4 ( ) 8 G G 8 G 9,8-4,9m s ( ) b) Cálulo do período da órbita dun satélite a 400 km da superfiie. G v 4 G 4 4 G G G. 8 9,8,7 0 ( 4 0 ) 9,8 (,7 0 ) 5 4,57 0 s 4, h ) Variaión de en profundidade Si onsideramos o planeta omo unha esfera homoxénea de densidade onstante, podemos deduir que o valor de varía proporionalmente on r, polo que o máximo valor será na superfiie. d V 4 r G G' r r ' 4 r Gr ' Gr r. 0 r

11 . A partir dos seuintes datos do Sistema Solar lanetas Distania media al Sol (UA) eríodo orbital (anos) planeta/ asa/ erurio 0,87 0,40 8 0,8 0,055 Venus 0,7 0,5 0,949 0,85 erra,00,00,00,00 arte,5,88 0,5 0,07 Xúpiter 5,0,8, 8 Saturno 9,54 9,45 9,45 95 Urano 9, 84,0 4,0 4 Neptuno 0, 4,8,88 7 a) Calular o valor da onstante da tereira lei de Kepler para arte, Saturno e Neptuno. b) Calula a masa do Sol ) Calula a aeleraión da ravidade na superfiie de Venus. Datos: UA=,49 0 m; G =,7 0 - N m k -.Campo ravitatorio na superfiie da ierra: 9,8 N K - a) ª ei de Kepler: α G v 4 G 4 te G,88 arte,0075 anos UA,5-9,45 Saturno 0,9989 anos UA 9,54-4,8 Neptuno 0,9959 anos UA 0, - Calulamos o valor medio da onstante:,0008 anos UA,97 0 s m 9 b) Cálulo da masa do Sol 4 9 te,97 0 s m G 4 0 Sol,99 0 k 9 G,97 0 ) Aeleraión da ravidade en Venus G G 0,85 G 0,905 9,8 0,905 8,9 ms Venus Venus (0,949 )

12 . A ISS (International Spae Station) é o resultado da olaboraión internaional para onstruír e manter unha plataforma de investiaión on presenza humana de lara duraión no espazo. Se a masa da ISS é de,7 0 5 k e desribe unha órbita irular arredor da erra a unha distania de, m da súa superfiie, alular: a) A veloidade orbital da ISS e o tempo que tarda en dar unha volta arredor da erra. b) A enerxía meánia da ISS. ) A forza ravitatoria sobre un astronauta de 80 k de masa que se atope na ISS. Datos: Constante de Gravitaión Universal G =,7 0 - N m k - asa da erra = 5, k;adio da erra = 70 km a) Cálulo da veloidade orbital e do período. m mv m. a G G v 4 G,7 0 5,98 0 v 7700 m s 5 (,7 0,59 0 ) 5 (,7 0,59 0 ) v s,5 h v 7700 b) Cálulo da enerxía meánia mv G Gm 4 5 Gm,7.0.5,98.0,7.0.,79.0,09.0 J ) orza ravitatoria 4 G,7 0 5,98 0 m. m N (,79 0 )

13 . Un ometa de masa 0 k ahéase ó Sol dende un punto moi afastado do sistema solar, podéndose onsiderar que a súa veloidade iniial é nula. a) Calula-la súa veloidade no perihelio (situado a unha distania aproximada de en millóns de quilómetros do Sol) b) Calula-la enerxía potenial ando rue a órbita da erra (a unha distania r=,5 0 8 km). ) Calula o valor do módulo do momento anular no perihelio. Datos: asa do Sol: 0 0 k; G='7 0 - N m k - a) Se o luar de onde provén o ometa está moi afastado do sistema solar, podemos onsiderar que a distania é infinita, e, polo tanto, a enerxía potenial será nula, o mesmo que a enerxía total, pois a veloidade iniial era ero. No perihelio, ten unha enerxía potenial neativa que imos alular, e que ten que ser ontrarrestada, en base ó prinipio de onservaión da enerxía, pola enerxía inétia, positiva. A partir desta, alulámo-la veloidade: mv G Gm Gm mv G 0; 0; v 5, 0 m s 4 b) ara a enerxía potenial ó ruzar a órbita da erra, é indiferente de onde proeda o ometa, tendo que restableer só a euaión orrespondente: Gm ntón, só nos resta substituí-los datos da masa do Sol, a do ometa e a distania ó Sol ando ruza a órbita da erra, xunto oa onstante de ravitaión universal: Gm 0 8,9 0 J ) O módulo do momento anular no perihelio sería r m v 0 0 5, 0 5, 0 k m s 4 7

14 4. Nun planeta un radio que é a metade do radio terrestre, a aeleraión da ravidade na súa superfiie vale 5 m s -. Calular: a) A relaión entre as masas do planeta e da erra. b) A veloidade de esape para un orpo situado nese planeta ( = 70 km) ) A altura a que é neesario deixar aer un obxeto no planeta, para que heue á súa superfiie oa mesma veloidade oa que o fai na erra, ando ae dende unha altura de 00 m. (Na erra: =0 m s - ) G a) A intensidade do ampo ravitatorio vén dada pola expresión: a ravidade na superfiie do planeta é : p = 5 m s - a ravidade na superfiie da erra é: = 0 m s - Despexando as masas do planeta e a erra nestas expresións queda: b) v ( ) 5 5 G G 0 esape G G mv G G 0,5 G m 0 G 0,5 ( ). 0 0,5 5,4 0 ) A veloidade oa que hea ó han un orpo que ae dende una altura " h", sen veloidade iniial, na que a intensidade do ampo ravitatorio poida onsiderarse onstante, vén dada pola expresión v h ,7 m s No planeta para que heue on esa veloidade terá que aer dende a altura seuinte: v h;44,7 5 h; h 00 m 5 4 G 0 G 0,5 m s -

15 5. Un satélite de omuniaións de t desribe órbitas irulares arredor da erra un período de 90 minutos. Calular: a) A altura á que se atopa sobre a erra. b) A veloidade orbital ) A enerxía total. Datos: = 400 km; =5, k; G=,7 0 - N m k - a) A forza entrípeta que fai varia-la direión da veloidade do satélite é a forza ravitatoria que exere a erra sobre o satélite a esa distania do seu entro: m a m mv G v G or outro lado sabemos que : v. de onde G G ( ) ; 4 Substituíndo nesta expresión os datos que temos en unidades do Sistema Internaional obtémos valor de G 4 4,47 0 m; h; h,47 0 m b) A veloidade orbital pode alularse omo: m a m mv G 7,7 0 m s G v G v Ou ben omo:, 45 0 v 7,7 0 m s 5400 ) A enerxía total do satélite é a suma das súas enerxías inétia e potenial mv G Gm Gm,7 0 5,98 0, ,08 0 J

16 . Un orpo de masa 000 k xira a 00 km por enriba da superfiie da erra. a) Cal é a aeleraión da ravidade a esa altura? b) Cal é o valor do potenial ravitatorio a esa altura? ) Cal é o valor da enerxía total? Datos: 0= 9,8 m s - ; = 70 km a) ara determinar o valor de a esa altura m a m m G m G (,70 0 ) G. 9,8 9, m s 0 (,570 0 ) b) O potenial ravitatorio: 0 9,8 (,70 0 ) V G,0 0 J k, ) A enerxía total será : mv G Gm ; Gm Gm 0 m. 9,8 000 (,70 0 ) 0,0.0 J.,570 0 A enerxía total será neativa por tratarse dun ampo atrativo e onsiderar o valor de referenia 0 para a enerxía no infinito. 7. Sabendo que o planeta Venus tarda 4,7 días en dar unha volta ompleta arredor do Sol e que a distania de Neptuno ó Sol é 4, km así omo que a erra invirte 5,5 días en dar unha volta ompleta arredor do Sol e que a súa distania a este é, km. Calular: a) Distania de Venus ó Sol. b) Duraión dunha revoluión ompleta de Neptuno arredor do Sol. ) Veloidade orbital de Neptuno arredor do Sol. a) A ª lei de Kepler dinos que é proporional a sendo o período de revoluión do planeta e o radio da súa órbita. Apliando esto á erra e a Venus teremos te ; te V V V V V V V 08,4 0 km 9 b) aendo o mesmo oa erra e Neptuno obteremos N N 5, 0 s 5 anos ) Cálulo da veloidade orbital: 4,504 0 v 5, 0 9 5,4 0 m s 9

17 8. Un satélite artifiial de 00 k desribe unha órbita irular a 400 km de altura sobre a superfiie terrestre. Calula: a) O valor da ravidade a esa altura b) nerxía meánia. ) A veloidade que se lle omuniou na superfiie da erra para oloalo nesa órbita. Datos: G =,7 0 - N m k - ; = 5, k ; = 70 km a) O valor da ravidade : m a m m G m G 8,70 m s b) A enerxía meánia é a suma da enerxía inétia e a potenial mv G Gm Gm 9 5,89 0 J ) Apliando o prinipio de onservaión da enerxía ó momento do lanzamento: mvsaída G m 9 m 5,89 0 J v saída 8,4 0 m s

18 9. Un satélite unha masa de 00 k móvese nunha órbita irular a m por enriba da superfiie terrestre. a) Cal é a forza da ravidade sobre o satélite?. b) Cal é o período do satélite? ) Cal é a enerxía meánia do satélite na órbita? Datos: 0= 9,8 m s - ; = 70 km a) Calulamos o valor do módulo da forza de atraión ravitatoria: m G m 0 m G 7,8N b) ara o satélite que orbita a forza entrípeta é iual á forza ravitatoria antes alulada. m a mv v 57 m s m v s v 4, 0 7 h ) nerxía meánia mv G Gm Gm Gm 0m.,0 0 9 J

19 0. Un astronauta de 75 k xira nun satélite artifiial onde a súa órbita dista h da superfiie da erra. Calular: a) O período de dito satélite. b) A forza ravitatoria sobre dito astronauta. ) A nerxía meánia do astronauta Datos: 0= 9,8 m s - ; h= = 70 km a) O período do satélite alulase a partir da veloidade orbital: m a. m mv G G v G v ms. v s v b) Cálulo da forza sufrida: m a mv ,74 0 4,4 0 4 h 84N ) nerxía meánia mv G Gm Gm Gm 0m.,8 0 9 J

20 . Quérese poñer nunha órbita de radio r= 5/ un satélite artifiial de masa 0 k, sendo = 70 km. Calular: a) A veloidade de lanzamento. b) A enerxía total do mesmo. ) A veloidade de esape dende a erra. Dato: 0= 9,8 m s - a) A enerxía meánia é a suma da enerxía inétia e a potenial Gm Gm 0m. Apliando o prinipio de onservaión da enerxía, esta será a mesma que no momento de ser lanzado: [na órbita]= C + [no lanzamento] 0m. Gm mv v 9,7 0 m s b) A enerxía total será omo xa vimos m. 0 0m 8,88 0 J 5 ) A veloidade de esape obténse: mv Gm 0 0 v esape G, 0 m s 4

21 . Se o radio da úa é unha uarta parte do da erra, a) Calula a súa masa. b) Calula o radio da órbita arredor da erra. ) Calula a veloidade orbital da úa Datos: =,7 m s - ; = 9,8 m s - ; = 5, k; = 70 km; eríodo da úa arredor da erra =, 0 s a) A intensidade do ampo ravitatorio nas superfiies da úa e a erra é: m m a m G m G 9,8 m s G,7 m s dividindo unha pola outra e substituíndo a masa da erra teremos G G 9,8,4 0,7 4 k b) A forza entrípeta que fai varia-la direión da veloidade do satélite é a forza ravitatoria que exere a erra sobre o satélite a esa distania do seu entro: m a m G mv v G or outro lado sabemos que : G v ; G ; 4 Substituíndo nesta expresión os datos que temos en unidades do Sistema Internaional obtémos o valor de G ,8 0 m ) Cálulo da veloidade orbital m a m m v. G v G v G 0,0 0 m s

22 . Calular: a) A enerxía inétia que debería ter unha persoa de 70k para orbitar arredor da erra a unha altura 0. b) Canta enerxía sería neesaria para elevala a unha órbita estable a 70 km de altura? ) Cal sería o valor da ravidade a esa altura Datos: : 70 km;g=,7 0 - N m K - ; =5, k. a) ara que dera voltas sen aer tería que sueder que a súa forza entrípeta fose iual á ravitatoria m a m mv G v G A súa enerxía inétia sería: mv Gm 9,9 0 J b) Cando está na órbita a 70 km da superfiie da erra terá unha enerxía total: Gm 9,0 0 J ista enerxía será iual á suma da enerxía potenial na superfiie da erra e da enerxía inétia que lle temos que omuniar para poñela en órbita Gm Gm C órbita 9 9 9,0 0 4,8 0,8 0 J ) A ravidade nese punto será: m m a m G m G,4 m s

23 4. Calular: a) A veloidade que leva na súa órbita un satélite xeoestaionario. b) A distania da erra a que se atopa. ) Se fora lanzado un anon dende a erra, desprezando o rozamento atmosfério, alular a veloidade de lanzamento neesaria. Datos: G =,7 0 - N m k - ; = 5, k ; = 70 km a) Xeoestaionario sinifia que está sempre sobre o mesmo punto, o al implia que o seu período de rotaión ten que ser iual ó da erra e o plano da súa órbita perpendiular á superfiie no uador. v v 8400 v m a m m v G G v G v v 8400 G G v 8400 b) A distania á que se atopa G 7 4, 0 m v v,07 0 m s ) A enerxía meánia do satélite estaionario será: Gm m 4,7 0 J ara efetuar o lanzamento dende a erra: Gm Gm C órbita m 4,7 0 m, 0 C m v m 7 5,79 0 J m5,79 0 v,08 0 m s 7 4 7

24 5. Unha masa de 8 k está situada na orixe de oordenadas. Calular: a) A intensidade e o potenial do ampo ravitatorio no punto (,) (S.I). b) A forza on que atraería a unha masa de k. ) O traballo realizado pola forza ravitatoria ao trasladar a masa de k dende o infinito ata o punto (,). Dato: G =,7 0 - N m k -. a) Intensidade en (,) 8 i j 8 i j G u,7 0,7 0 r r ( 9 4) 9 4, 4 0 i, 7 0 j(n k ) 4,09.0 (N k ) V otenial ravitatorio en (,) 8 G, 7 0, 48 0 J k r 0 b) orza sobre unha masa de k 0 m (,4 0 i,7 0,8 0 i 4,54 0 j(n) 8,8 0 (N) j) ) raballo para trasladar a masa dende o infinito ata o punto (,) 0 0 W V m ( V V) m V m (,480 ),90 J O traballo é positivo, o que representa que son as forzas do ampo ravitatorio as que realizan o traballo.

25 . Dúas partíulas de masas e = 9 están separadas unha distania d = m. No punto, situado entre elas, o ampo ravitatorio total reado por estas partíulas é nulo. a) Calula a distania x entre y. b) Calula o valor do potenial ravitatorio no punto en funión de. ) xplia o onepto de intensidade de ampo ravitatorio reado por unha ou varias partíulas. Dato: G =,7 0 - N m k -. a) Distania entre y. G r, u r x ( x) 0 G u 0 r r i,7 0 x 9 ( x) x ; ; x 0,75m ( x) ( i ) 0 b) otenial en 9 V V V G ( G ) G G r r 0,75, 5 0,7 0,5 0 (J k ) ) Intensidade de ampo ravitatorio reado por unha ou varias partíulas. A intensidade de ampo ravitatorio representa a forza ravitatoria exerida por unha masa sobre a unidade de masa oloada nese punto. G u r N k m r Onde u r representa un vetor unitario on direión radial e sentido dende o entro da masa que rea o ampo,, ara o punto. O sino neativo representa o aráter atrativo do ampo ravitatorio. Cando son varias as partíulas que están produindo un ampo de atraión ravitatorio en, o ampo resultante, por apliaión do prinipio de superposiión, será a suma vetorial de ada un dos ampos individuais reados en ese punto por ada unha das masas. G u n n i... n i (N k ) r i i ri

26 7. Un obxeto de masa m está situado na orixe de oordenadas, e un seundo obxeto está no punto oordenadas (5, 0) m. Considerando uniamente a interaión ravitatoria e supoñendo que son masas puntuais, alula: a) A relaión entre as masas m /m se o ampo ravitatorio no punto (, 0) m é nulo. b) O módulo, direión e sentido do momento anular da masa m on respeto da orixe de oordenadas se m = 00 k e a súa veloidade é (0, 00) ms -. ) O valor do potenial ravitatorio no punto (, ). Dato: G =,7 0 - N m k -. a) elaión entre masas. G r, u r 0 G u 0 r r i,7 0 ( i ) ( ) 0 b) omento anular p v j j r 5im (k m s ) r p i j k 50 k m s (k m s ) 4 ) otenial ravitatorio en (, ) 44, 4 00 V V V G G r r 8 V,90 0 J k 9 ( ),7 0 (,7 0 )

27 8. Sitúanse atro masas puntuais idéntias, de 5 k nos vérties dun adrado de lado m. Calular: a) O ampo ravitatorio reado polas atro masas no entro de ada lado do adrado. b) O ampo ravitatorio reado polas atro masas no entro do adrado. ) O traballo neesario para levar a unidade de masa dende o entro do adrado ata un punto onde non existise atraión ravitatoria. xplia o sinifiado físio deste resultado Dato: G =,7 0 - N m k -. a) Cálulo do ampo ravitatorio no entro dun lado. Daordo o esquema da fiura, os ampos ravitatorios reados polas masas e 4 anúlanse por ser de sentido ontrario. 4 G u r G u r r r 5 i 0,5 j 5 i 0,5 j,7 0 (,7 0 ( 0,5 ) 0,5 ( 0,5 ) 0,5 0 0,8 0 ( i 0,5 j i 0,5 j) 4,77 0 i (N k ) 4,77 0 N k 0 b) Cálulo do ampo ravitatorio no entro do adrado. Dado que todas as masas son iuais e están a mesma distania, o ampo no entro do adrado é nulo. 0 O O O O 4O ) raballo para levar a unidade de masa dende O ata o infinito W V m ( V V ) m V m O O O 4 VO V O VO V O V4O G G G G 4 G r O r O r O r 4O V O W 5 4,7 0,88 0 J k 0, O VO m,88 0,88 0 J 5 0,5 0,5 O traballo é neativo, o que representa que é un traballo realizado polas forzas externas.

28 9. Unha masa m ( 000 k) móvese no ampo ravitatorio reado por duas masas iuais, e ( = =,0 0 4 k), situadas nos puntos (-4, 0) e (4, 0) (oordenadas no S.I). Cando m se atopa no punto (0, 5) m ten unha veloidade de -00 ms -. Calular: a) O módulo, direión e sentido da forza que atúa sobre m en. b) O módulo da veloidade de m ando pasa polo punto B (0, 0). Dato: Constante de Gravitaión Universal G=,7 0 - N m k -. m. a) Cálulo da forza en. m( ) G u r G u r r r 4,0 0 4i 5 j,0 0,7 0 (,7 0 ( 4 5 ) ,54 0 (4i 5 j 4i 5 j),54 0 j(n k ) (,54 0 j),54 0 j(n) 4 4i 5 j ) 4 5 b) Veloidade en B. Apliando o prinipio de onservaión da enerxía: ( ) ( ) B m vp m m m vb m m G G ( G G ) B B,0 0 k; m 000k; 4; 4 4 B B , m vb, ,7 0, v 5,0 0 m s,080 v B B,50

29 0. n tres dos atro vérties dun adrado de 0 m de lado olóanse outras tantas masas de 0 k. Calular: a) O ampo ravitatorio no uarto vértie do adrado. b) O potenial ravitatorio no punto anterior ) O traballo realizado polo ampo para levar unha masa de 0 k dende dito vértie ata o entro do adrado. Dato: G=,7 0 - N m k -. a) Supoñendo as masas situadas nos vérties (0,0), (0,0), (0,0) o vetor no (0,0) obteráse a partir da suma vetorial das intensidades readas por ada unha das masas situadas nos outros vérties. 0 0i 0 j 5 0 j 5 0i,7 0,7 0,7 0 ( 00) 0 0 ( 00) 0 ( 00) 0 i j 9,0 0 9,0 0 (N k ), 7 0 N k b) V G G G V (0,0),7 0 0 ( ) r r r (0,0),80 J k 0 ) O traballo para levar a masa de 0 k desde o vértie (0, 0) ata o punto (5, 5) alularase pola variaión da enerxía potenial que posúe a masa de 0 k neses dous puntos W V (5,5) (0,0) (0,0),7 0 0 ( ), V(5,5) G G G,7 0 0 ( r' r' r' V W (5,5) (5,5) (0,0) G r,8 0 ( V (5,5) V m ( V G r 0 V J k (0,0) G r (5,5) V ) m,0 0 (0,0) 0 ) m 0 0,0 0 J k 50 9 J 5 ) 50 Que representa un traballo realizado polo ampo

30 GAVIACIÓN. CUSIONS. Un planeta xira arredor do Sol nunha traxetoria elíptia. Cal das seuintes manitudes é maior no perihelio (distania mais próxima ao Sol) que no afelio: a) O momento anular; b) O momento lineal; ) A enerxía meánia. SO. b Apliando a seunda lei de Kepler (veloidade areolar onstante), un planeta barre áreas iuais en tempos iuais, polo que a veloidade no perihelio debe ser maior que no afelio. or esta razón, o momento lineal ( será maior no perihelio. anto a enerxía meánia omo o momento anular son onstantes.. Sabendo que a aeleraión da ravedade nun movemento de aída libre na superfiie da úa é / da aeleraión da ravedade na superfiie da erra e que o radio da úa é aproximadamente 0, 7, a relaión entre as densidades medias da úa e da erra será: a) d /d = 50/8; b) d /d = 8/00; ) d /d = / SO. A G d ; V 4 G 4 d (0,7 ) d 4 ; 0,7 G G (0,7 ) 0,7 0,7 (0,7 ) Sabendo que a aeleraión da ravedade nun movemento de aída libre na superfiie de arte é 0,8 vees a ravedade na superfiie da erra e que o radio de arte é aproximadamente 0,5, a relaión entre as veloidades de esape dun obxeto dende as súas respetivas superfiies será: a) v e/v e= 4,9; b) v e/v e=,; ) v e/v e= 0,45 SO. b endo en onta a expresión da veloidade de esape. G ve 0 v v e e...0,8 0,5,

31 4. Os ometas desriben órbitas elíptias moi alonadas arredor do Sol, de maneira que a distania ao Sol varía moito. Cal das seuintes manitudes é maior no punto mais alonxado ao Sol: a) nerxía inétia; b) nerxía potenial; ) omento anular. SO. b A enerxía potenial ( ) aumenta oa distania xa que é neativa, e anto máis rande sexa r máis se aproxima a 0. Aínda que o seu valor absoluto é menor, por estar afetada polo aráter neativo, a enerxía potenial é maior nos puntos mais alonxados. Así, no punto B a enerxía potenial ravitatoria é maior que en A. 5. A seuinte táboa relaiona período e radio das órbitas de tres satélites xirando arredor do mesmo astro. Sabemos que hai un dato inorreto. A al orresponde? Satélite A B C (anos) 0,44,00,8 ( 0 5 km) 0,88,08,74 a)n A; b) en B; ) en C SO. b Apliando a ª lei de Kepler, débese manter unha relaión de proporionalidade entre e. Así, esta relaión é de 0,84 (en anos /(0 5 km) ) para A e de 0,85 para C. n ambio, esta relaión é de 0, para B, polo que os seus datos deben ser inorretos.. Onde se atopará o punto no que se anulan os ampos ravitatorio da úa e da erra? a) No punto medio entre erra e úa; b) áis era da erra; ) áis era da úa. SO. endo en onta que nese punto o valor do ampo ravitatorio ( debe anularse. O ampo ravitatorio terrestre debe ser iual ao da úa. Como a masa da erra é moito maior que a da úa, este punto estará máis aheadó á úa que da erra. 7. Se a úa reduise a súa masa á metade, a úa hea veríase: a)con mais freuenia que aora; b) Con menos freuenia; ) Coa mesma freuenia. SO. A partir da tereira lei de Kepler podemos hear a unha expresión que relaiona e. A expresión é: O período non depende da masa da úa. an só dependería da masa da erra, polo que o non modifiarse o período, tampouo o fai a freuenia. A úa hea seuiríase vendo oa mesma freuenia. 8. Cómo inflúe a direión en que se lanza un obxeto na súa veloidade de esape? a)non inflúe; b) A veloidade de esape é maior anto maior sexa ánulo de lanzamento; ) A veloidade de esape é menor anto menor sexa o ánulo de lanzamento. SO. a Na veloidade de esape: v non inflúe a direión, polo que será a mesma independentemente do ánulo de lanzamento.

32 9. A qué distania fóra da superfiie da erra o valor do ampo ravitatorio é iual ó seu valor nun punto do interior da erra equidistante do entro e da superfiie? (tomar = 400 km) a) 400 km; b) km; )8 00 km. SO. b Calulando "" nun punto equidistante entre o entro da erra e a superfiie (r= 00 km); e omparando o valor pedido no exterior resultará. G ext 0 int int 0 ext km ext int int 0 0 ext ext 0. A qué altitude, o peso dun astronauta se redue a metade?. a) Se h= 0,5 ; b) Se h= ; ) Se h= 0,4 SO. endo en onta a expresión para o ampo ravitatorio terrestre en puntos alonxados da súa superfiie: G m m ( h) G 0 m0 m G m 0 G ; m ( h) h h 0,4 ( h) ext. Xustifiar al das seuintes afirmaións e verdadeira. a) Un satélite de masa m ten o doble de veloidade de esape que outro de masa m. b) Dous planetas de radios diferentes, oa mesma densidade, posúen a mesma veloidade de esape. ) Un satélite terá a metade da veloidade de esape nun planeta de radio 4 que noutro de radio e a mesma masa. SO. A partir da euaión da veloidade de esape: v de esape será a metade que no planeta de radio r=. pódese deduir que si r=4, a veloidade. Como varía o profundizar ara o interior da erra? a) Aumenta; b) Diminúe; )Non varía. SO. b Se supoñemos que a erra é unha esfera maiza de densidade onstante, podemos alula-la masa (') que nun punto do seu interior é ausante da atraión ravitatoria:

33 d ' V V' 4 G G' ' 4 G ' G 0 Obténse unha variaión lineal de on. A medida que diminúe (ó ir ara o interior da erra) tamén diminúe. O valor máximo de obtense ando =.. As órbitas planetarias son planas porque: a) Os planetas teñen ineria; b) Non varía o momento anular ó ser unha forza entral; ) Non varía o momento de ineria dos planetas no seu perorrido. SO. b Se temos en onta que o ampo ravitatorio é un ampo de forzas entrais no que e r son vetores paralelos, esto suporá que o momento da forza será 0 e polo tanto: d/dt =0. O momento inétio debe ser onstante en módulo e en direión e sentido. Dado que a direión é onstante, as órbitas deben ser planas. 4. Unha partíula móvese dentro dun ampo de forzas entrais. O seu momento anular respeto do entro de forzas: a)aumenta indefinidadamente; b) É ero; ) ermanee onstante. SO. Nun ampo de forzas entrais, a forza é de tipo radial, é diir, os vetores e r teñen a mesma direión, polo que o seu produto vetorial será nulo (vetores paralelos). Así pois, por tratarse dun ampo de forzas entrais (r e son vetores paralelos), o momento da forza será nulo e estamos en ondiións de aplia-lo prinipio de onservaión do momento anular. Se o momento da forza é nulo, o momento anular permaneerá onstante. rx 0 d 0 te dt olo tanto será onstante 5. Se por unha ausa interna, a erra sufrira un olapso ravitatorio e reduira o seu radio mantendo onstante a súa masa. Cómo sería o período de revoluión arredor do Sol? a) Iual; b) enor; ) aior SO. a Daordo oa tereira lei de Kepler, e proporional a, resultando independente da distribuión das masas durante a rotaión, polo que dito período non se verá modifiado. m a m G mv v. G G v v G G 4 4 G

34 . A veloidade que se debe omuniar a un orpo na superfiie da erra para que esape da ravidade terrestre e se afaste para sempre debe ser: a) aior que ( 0 ) / ; b) enor que ( 0 ) / ; ) Iual que ( 0 ) /. SO. a ara onseuir que un orpo "esape" da atraión ravitatoria, deberemos omuniarlle unha enerxía que permita situalo nun punto no que non estea sometido a dita atraión. sto oorre a unha distania "infinita" do entro da erra e na que se umpre que =0. Apliando o prinipio de onservaión da enerxía meánia a ambos puntos (odia terrestre e infinito) a veloidade que hai que omuniar será maior que 7. A forza ravitatoria é proporional á masa do orpo. n ausenia de rozamento, que orpos aen máis rápido?: a) Os de maior masa; b) Os de menor masa; ) odos iual. SO. odos aerían iual, porque aínda que a forza ravitatoria depende da atraión das masas, a intensidade do ampo ravitatorio () medida omo /m, depende uniamente da masa readora do ampo sendo independente da masa do obxeto que ae. = G/r sta intensidade de ampo ravitatorio é a que determina a aeleraión de aída do orpo. 8. Se por unha ausa interna, a erra sufrira un olapso ravitatorio e reduira o seu radio a metade, mantendo onstante a masa. Cómo sería o período de revoluión arredor do Sol?. a) Iual; b) anos; ) 4 anos. SO. a Daordo oa tereira lei de Kepler, e proporional a, resultando independente da distribuión das masas durante a rotaión, polo que dito período non se verá modifiado. Dito doutro xeito, o ampo ravitatorio é un ampo de forzas entrais, no que se mantén onstante o momento inétio, polo que de non modifiarse o entro de masas das partíulas, non se modifia o momento de ineria, e polo tanto a veloidade anular permaneería tamén onstante. 9. Sexan tres orpos iuais de ran masa, A, B, e C, e un de pequena masa, X. Se os dispoñemos A e B por unha beira e C e X por outra, os entros iualmente separados: a) Aheáranse máis rápido A e B; b) Aheáranse máis rápido C e X; ) Aheáranse ambas parellas unha mesma aeleraión. SO.: a Seundo a lei de ravitaión universal, a forza ravitatoria establéese entre dous orpos unha intensidade proporional ó produto das súas masas. n ambio, a aeleraión que sofre ada un dos orpos é proporional á masa do outro. olo tanto a aeleraión de aheamento (suma das aeleraións de ada orpo independente) será maior se alunha das masas é maior, e o aheamento é máis rápido. 0. G e son: a) maior que G; b) Unha maior á outra dependendo do luar e ampo dos que se parta; ) Non ten sentido faer unha omparaión entre e G. SO.: Non ten sentido a omparaión xa que "" representa a intensidade de ampo ravitatorio (/m), sendo unha onstante non universal que depende da distania (= Gm/r ); mentres que "G" é unha onstante universal que non depende da natureza dos orpos que interaionan e que toma o valor de '7 0 - Nm k -. epresenta a forza ravitatoria on que se atraen dous orpos de k de masa ada un, situados a m de distania.

35 . Se nun orpo situado nun ampo ravitatorio, a súa é iual á súa p (en valor absoluto), eso sinifia: a) Que o orpo pode esapar ó infinito; b) Que o orpo rematará aendo sobre a masa que rea o ampo; ) Que seuirá unha órbita irular. SO.: a endo en onta o balane enerxétio lobal: C+ = -/ (Gm/r), dado que a enerxía potenaial é sempre neativa a suma de ambas será 0. ste valor será nulo ando r é.. Un mesmo planeta, desribindo irunferenias arredor do sol, irá máis rápido: a) Canto maior sexa o raio da órbita; b) Canto menor sexa o raio da órbita; ) A veloidade non depende do tamaño da órbita. SO.: b ara que un obxeto se atope en órbita: G= C Se r diminúe a forza ravitatoria aumenta, por ser esta inversamente proporional a r ; aumentando así a aeleraión entrípeta a que está sometida e polo tanto a veloidade.. No movemento da erra arredor do Sol: a) Consérvanse o momento anular e o momento lineal; b) Consérvanse o momento lineal e o momento da forza que os une; ) Varía o momento lineal e onsérvase o anular. SO.: O ampo ravitatorio é un ampo de forzas entrais no que e son paralelos, esto suporá que o momento da forza será 0 e polo tanto: d /dt =0. sto representa o prinipio de onservaión do momento inétio. O momento lineal: = m non será onstante, xa que o vetor v ambia ontinuamente en direión e sentido. 4. Cando un obxeto xira en torno a erra úmprese :a) Que a enerxía meánia do obxeto na súa órbita é positiva; b) Que a súa veloidade na órbita será v=( ) ½ ; ) Que a forza entrípeta e a forza ravitatoria son iuais. SO.: A ondiión dinámia para a existenia dunha órbita implia a existenia dunha forza que arante a existenia dun movemento irular e polo tanto dunha aeleraión entrípeta. A responsabilidade desta forza entrípeta reae no aso do ampo ravitatorio na forza ravitatoria. olo tanto a forza ravitatoria será a forza entrípeta. 5. A aeleraión de aída dos orpos ara a erra é: a) roporional ó seu peso; b) roporional á forza de atraión entre ambos; ) Independente da súa masa. SO.: A aeleraión de aída dos orpos "" é a intensidade de ampo ravitatorio, representa a orza exerida por unidade de masa, sendo independente da masa. = G(/r )