1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμου της συνάρτησης. 2.Να βρεθεί ο λєr ώστε πεδίο ορισμού της συνάρτησης: 3, να είναι το R.

Transcript

1 . Να βρεθεί το πεδίο ορισμου της συνάρτησης χ f() ln( 5) Πρέπει -ln(-3) χ-3> ln(-3) lne χ > 3-3 e χ > 3 e 3 χ > 3 Οπότε το Π.Ο. της συνάρτησης είναι Α f (, e3)u(e3, ).Να βρεθεί ο λєr ώστε πεδίο ορισμού της συνάρτησης: f() λ 3, να είναι το R. Αρκεί λ 3 για κάθε χ ε R Δ λ - 3 λ 3 3.Δίνεται η συνάρτηση f : RR με f() 3-7 e - α) Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία β) Να λύσετε την εξίσωση f() γ) Να βρείτε τα χ για τα οποία η f παίρνει αρνητικές τιμές α)το πεδίο ορισμού της f είναι ΑR Υποθέτουμε ότι χ,χ ε R με χ < χ (). Τότε 3χ < 3χ 3χ -7< 3χ -7 Από () χ - < χ - (αφού η συνάρτηση ψe είναι γν. αύξουσα) e < e 3χ -7 e < 3χ -7 e f( ) < f() οπότε η f είναι γν. αύξουσα στο R.

2 β) Η εξίσωση f() έχει προφανή ρίζα την χ Πράγματι f()3.-7 e - -.() Επειδή η f είναι γν. αύξουσα στο R η χ θα είναι μοναδική ρίζα. γ)είναι f() < (λόγω ()) f () < f () < (3) 4. Έστω f:rr μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση RR με g() f()- είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση β) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f με f() α, χ ε R και < α< γ) Να βρεθουν οι πραγματικές τιμές του λ για τις οποίες ισχύει η ισότητα λ 4λ 5λ α α λ 9λ όπου <α< () α)έστω χ,χ ε R με χ < χ f( )>f( ) (γιατί f γνησίως φθίνουσα στο R συνάρτηση). Επίσης -χ > - χ Οπότε με πρόσθεση είναι f( ) -χ > f( )- χ g( )>g( ). Κατά συνέπεια η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στοr. β) Η συνάρτηση ψα χ με < α< είναι γνησίως φθίνουσα στο R οπότε σύμφωνα με το α) ερώτημα η συνάρτηση f(χ)α χ -χ είναι γνησίως φθίνουσα στο R. γ)αφού η συνάρτηση f(χ)α χ -χ είναι γνησίως φθίνουσα στο R θα είναι και - () λ 4λ 5λ οπότε από τη σχέση () α α λ 9λ λ 4λ 5λ α ( λ 4λ) α (5λ ) f(λ -4λ) f(5λ-) λ -4λ 5λ- λ -9λ λ 4 ή λ5

3 5. Δίνεται η συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει 7 5 ότι f () f () για κάθε R. (α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f () αντιστρέφεται (β) Να βρείτε την f () 9 9 f ( ) f ( ) και (α) Έστω f( ) f( ) τοτε 5 5 f ( ) f ( ) Οπότε με πρόσθεση προκύπτει f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) άρα και οπότε θα έχουμε άρα η συνάρτηση είναι - και κατά συνέπεια θα είναι αντιστρέψιμη (β)έχουμε f () f ().Θέτουμε αντι για το f () και ισοδύναμα έχουμε : f(f ()) f(f ()) f () f () 9 5 f () 6. Δίνεται η συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει ότι f (f()) f() () για κάθε R. (α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f () αντιστρέφεται (β) Να δείξετε ότι f () (γ) Να λυθεί η εξίσωση f () (δ)να δείξετε ότι η συνάρτηση f f είναι ταυτοτική, δηλαδή f() f () (α) Έστω, R με f( ) f() τοτε( αϕου fσυναρτηση) f(f()) f(f())

4 οπότε με αφαίρεση προκύπτει f( f()) f() f(f()) f() (λόγω ()) δηλαδή η συνάρτηση f () είναι - και κατά συνέπεια αντιστρέφεται. (β)από () για έχουμε f (f()) f() f (f()) f() f - f () (γ) Αν θέσουμε στην () όπου f () το έχουμε f(f)) f() f() f() f() f() f(f()) ( β) f(f()) f - f() (δ) Αν θέσουμε στην () όπου το f () τότε έχουμε f(f(f ())) f () f(f ()) f() f () 7. Δίνoνται oι συναρτήσεις f,g: R R για τις οποίες ισχύει: Η συνάρτηση gείναι γνησίως αύξουσα στο R και g(f() 5) g() g(f( 5) () για κάθε R. (α) Να βρείτε τον τύπο της f () (β) Να βρείτε την f () (α) Έχουμε g(f() 5) g() g(f( 5) f() 5 f( 5) () για κάθε R. Από () έχουμε f() 5 f() 5 f( 5) θέ τω αντι χ το χ-5 5 f() 5 f() 5 για κάθε R. Άρα f() 5 (3). g

5 (β) Η f είναι - αφού Για κάθε, R με f( ) f() οπότε θα αντιστρέφεται. Αν θέσουμε στην (3) όπου το f () και έχουμε f(f ()) f () 5 f () Να υπολογιστεί το όριο : 3 χ 3χ χ χ Είναι ( 3 ) ( ) Κατά συνέπεια έχουμε απροσδιοριστία / Έχουμε ( )( ) ( ) ( ) Από σχήµα Horner έχουµε ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3 3 Οπότε για είναι > > 3 Άρα 3 >

6 9. Δίνεται η συνάρτηση α β α β (). f() f Αν η C f διέρχεται από το σημείο Α(, 5) και να βρείτε τους α και β., Ισχύει f () 5... Είναι f() 3αβ ( ) α β α β α ( 3α) α ( 3α) ( ) [ ( α ) 3 α] ( α ) 3 α ( ) ( ) ( ) [ ] 4 α α οπότε από () β 5. Να υπολογιστεί το όριο: συν() Έχουμε συν() [ συν()][συν()] [ συν()] συν () ηµ () [συν()] [συν( )] ηµ () ηµ () συν()

7 . Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: R Rγια τις οποίες ισχύει: f () g () ηµ () για κάθε R. Να υπολογίσετε τα όρια f(), g() Η σχέση () ισοδύναμα γράφεται f () f () g () ηµ f() ηµ g () f () g () ηµ g() ηµ ηµ f() ηµ (3) ηµ g() ηµ () Όμως ( ηµ ) ηµ Οπότε λόγω της (3) από Κριτήριο Παρεμβολής θα έχουμε f() και g(). Αν για τις συνάρτήσεις f() και g () ισχύει f() g() ( ) g () () για κάθε ( α,) (, β) και g(),να δείξετε ότι f() Η σχέση () γράφεται ισοδύναμα ( ) g() f() g() ( ) g() () Όμως [ ( ) g() ] ( ) g() Οπότε λόγω της () από Κριτήριο Παρεμβολής θα έχουμε και (f() g()) (3) h() Θέτουμε h() f() g() τότε οπότε έχουμε f() g() h() f() [ g() h() ]

8 3. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: R R και f(). Να βρείτε το όριο Έχουμε f () συν f () συν f () g () f () g () οπότε f() 3 f () συν f () g f () συν f () g () () 4 f 3 f () () g () f() () o 3 f () f() f () Όμως ( f() ) f(),κατά συνέπεια από την () λόγω Κρ. Παρεμβολής θα έχουμε 3 4 f () συν f () g () 4. Έστω η συνάρτηση Να βρεθεί ο f() α ηµ συν α 3 f() f() α R ώστε αν αν Αρκεί να βρούμε το α ώστε Είναι f() 3 ηµ συν f() f() α 3 ηµ συν α () Άρα ( ) f() () 3 3 Όμως ( ) ( ) οπότε λόγω () από Κρ.Παρεμβολής έχουμε f(). Από () α α α( α ) α η

9 4 f() 5 ηµ 5. Αν 7 να βρείτε το f() 7 Θέτουμε g() 4 ηµ f() οπότε g() 5 7 f() 4 g() 7 ηµ ηµ 7 ηµ ( ) Οπότε ηµ () και (). Όμως 7 ηµ. Από σχέση () f() Άρα από Κρ. Παρεμβολής θα είναι 7 ηµ g() 6. Αν για τη συνάρτηση f () ισχύει : f() όριο 5 f () f () 3f() ηµ f() 3 ( f() ), να βρείτε το

10 5 f () f () 3f() ηµ f() 3 f 5 ( f() ) ( f() ) () f () 3f() ηµ f() 3 f() 3 5 f () f () Όμως f() ( f () f () f () f() ) () (f() ) ( ( f() 3 ) ( f() 3 ) f f() 3 ) 4 3 ( () f () f () f() ) ( f() 3 ) f() ηµ ( f() ) [3f() ηµ ( f() ) ] ( f() 3 ) f() 3 ( f() 3 ) ( f() 3 ) ( f() ) 3f() ( f() 3 ) ηµ f() Οπότε από () 436 ΣΗΜΕΙΩΣΗ f ( f() ) () f () 3f() ηµ f() 3 f() 3 Ισχύει ( f() ) ηµ f() όταν τότε f() και ψ γιατί, αν θέσουμε f () ψ τότε οπότε ψ ( f() ) ηµ f() ηµψ ψ

11 7.Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο R με (ηµ)f() µ ηµ -3f() βρεθεί ο μ R : 4 f(). Να ηµ Θέτουμε f() g() g() ο ότε ηµ () f() g() ηµ (ηµ)f() µ (ηµ )g()µ Έχουμε 4 4 ηµ -3f() ηµ -3ηµ g() ηµ διαιρούµε g() µ µε ηµ ηµ 3g() µ 6 µ 4 8.Δίνεται η συνάρτηση µ ( α 5) ().Να βρείτε το f f() για τις διάφορες τιμές του R Είναι ( [ α 5) ] α 6 α. και ( ).Κατά συνέπεια έχουμε απροσδιοριστία α-6 / οπότε :Αν θέσουμε d α 6 τότε Α. Αν d α 6> α> 6 έχουμε ( α 5) d d> f() ( ) - ( α 5) d d> f() ( )

12 Β. Αν d α 6< α< 6 έχουμε ( α 5) d d< f() ( ) ( α 5) d d< f() ( ) Γ. Αν α 6 έχουμε f(),οπότε / ( )( ) 3 f() ( )( ) Κατά συνέπεια το f() υπάρχει, όταν α6. 9. Δίνεται η συνάρτηση Είναι ( αβ f() α, β R,ώστε f() 5. ( Αν β ) ) αβ α τότε f() Οπότε πρέπει β α β α αβ.να βρείτε τους ± που είναι άτοπο. () (Αναγκαία συνθήκη) t Θέτουμε t και έχουμε όταν τότεκαι t () αt ( α)t αt αt t f() t t t t (t )( αt ) υποϑ ( αt ) α 5 α 3 t t t. Οπότε από () β 3 β

13 .Δίνεται η συνάρτηση ) 4 3 f( f: R Rγια την οποία ισχύει :. Να βρείτε το f() g() 4 3 Θέτουμε g() καιέχουµε 4 3 f() f() g() Έχουμε g() οπότε. g() Είναι f() ( 4 3) 8. g() (). Έστω συνάρτηση f () ηµ π αν [ 7 αν, ) π (, ] Να την εξετάσετε ως προς τη συνέχεια στο πεδίο ορισμού της Ο τύπος της συνάρτησης γράφεται ισοδύναμα ηµ π αν [-, ) f () 7 αν με πεδίο ορισμού Α π π ηµ π, αν (, ] Έχουμε Η συνάρτηση f είναι συνεχής στα διαστήματα π, σαν πηλίκο συνεχών συναρτήσεων π, Θα εξετάσουμε αν f() f() 7, δηλαδή αν η συνάρτηση είναι συνεχής στη θέση χ. και

14 Είναι f() f() ηµ ηµ Αφού τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα, δεν υπάρχει το f() και κατά συνέπεια η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο χ.κατά συνέπεια η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.είναι όμως συνεχής στο υποσύνολο του π π [, ) (, ] 3α, < 3. Δίνεται η συνάρτηση f με f() - -, > 4 Να προσδιοριστεί το α R ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο. ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΔΕΣΜΩΝ 989 Αρκει να ισχύει f() f() f().() Όμως f() 3α 3α 3 8 ( ) ( ) f() 4 ( 4) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 8 3α f () 8 3 α Οπότε η () 8 3 α 3 α 8 α 3 8 8

15 f() ηµ 3.Αν f : RR συνεχής στο R και 7 να βρεθεί το f () Αφού η f είναι συνεχής στο R θα είναι συνεχής και στο. Κατά συνέπεια θα έχουμε f() f() () f() ηµ Έστωg() τότε () f() ηµ g() 7 Οπότε f() f() g() ( ) 7 6 g() ηµ ηµ g() ( ) 4.(α) Αν f : RR και f() 4 3 () για κάθε R, να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (β) Αν f,g: RR όπου g συνεχής στο και g() και f() g() () για κάθε R,να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (α)η() γράφεται ισοδύναμα 4 3 f() 4 3 (3) Όμως ( 4 3) 4 3 Οπότε λόγω της (3) από Κριτήριο Παρεμβολής θα έχουμε f() () συνεχής στο f() και κατά συνέπεια η συνάρτηση f είναι

16 (β)αφού η συνάρτηση g είναι συνεχής στο θα ισχύει g() g() (4) Η () γράφεται ισοδύναμα g() f() g() (5) Αν θέσουμε στην (5) όπου γράφεται g() f() g() f() f() (6) Όμως ( g() ) g() g() υποθ Κατά συνέπεια λόγω της (5) από Κριτ. Παρ. θα είναι και f() στο. (6) f().κατά συνέπεια η συνάρτηση f είναι συνεχής 5. Έστω η συνάρτηση f : RR με f(f( ψ)) f( 3ψ 7f( ψ)) ( ) για κάθε, ψ ε R. (α) Αν η f είναι - να βρείτε τον τύπο της (β) Αν είναι f ()α και η f είναι είναι συνεχής στο να βρείτε τον α R αφουf- (α) Η () f(ψ) 3ψ 7f( ψ) (), ψ ε R. Για χψ η ( ) f() 7f() f() (3) Για χψ η () f() (Θέτω όπου χt χt/) 3 f() f(t) t 4 (3) f() 3 t (4) (β) Αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής στο θα ισχύει υποθ f() f() α (5) Όμως f() ( 4 Οπότε η (5) α ) α

17 f() Έστω η συνάρτηση f : RR με 7 (α)να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση f στο 3 (β)αν η συνάρτηση f είναι συνεχής 3, να υπολογίσετε το (α) Έστω f() 3f(3) f() f() ( () τότε 9 g 9)g() g() 7 3 () Είναι f() ( 9)g() (3 9) Άρα f() -9 οπότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις 3 Αν f(3) 9 τότε () f() f(3) Αν (3) () µε ± 3 και κατά συνέπεια η f δεν είναι συνεχής στο χ 3 f τότε () f() f(3) και κατά συνέπεια η f είναι συνεχής στο χ 3 (β) Από υπόθεση έχουμε f() f(3) 3-9 (3) f() 3f(3) (),( α) [( 9)g() ] 3( 9) Είναι [ ( 3)( 3)g() ( 3)( 3 9) ]( 6 3) ( 6 3)( 6 3) ( ) 3 ( 3) ( 3)g() ( 3)( 3 9) /

18 7. Έστω οι συναρτήσεις f,g : R R για τις οποίες ισχύει ( f()) (g()) (ηµ ) () για κάθε χ ε R. (α)να αποδείξετε ότι f () g() Οι f,g είναι συνεχείς στο R (β) Να υπολογίσετε τα όρια f() g() g() f() ηµ,, ηµ (α) Στη σχέση () θέτουμε χ και προκύπτει 4 4 (f()) (g()) οπότε f () g() () Η σχέση () ισοδύναμα γράφεται (f()) (f()) (g()) (ηµ ) f() ηµ (g()) (f()) (g()) (ηµ ) g() ηµ ηµ f() ηµ (4) ηµ g() ηµ (3) Όμως ( ηµ ) ηµ Οπότε λόγω της (4) από Κριτήριο Παρεμβολής θα έχουμε f() () f() () και g() g() Κατά συνέπεια οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο χ. (β)από τις σχέσεις (3) προκύπτουν ισοδύναμα οι f() f() ηµ ηµ ηµ (5) g() g() ηµ ηµ ηµ Όμως ( ηµ ) ηµ

19 Οπότε λόγω της (5) από Κριτήριο Παρεμβολής θα έχουμε f() g() και Έχουμε g() f() ηµ ηµ διαιρούµε µεχ g() f() ηµ ηµ ηµ 4 8.Δίνεται η συνάρτηση f() α β γ όπου α, β,γ ε R. Αν αβγ- > να δείξετε ότι η εξίσωση f () έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο διάστημα (, ). Η συνάρτηση είναι συνεχής στο R σαν πολυωνυμική και κατά συνέπεια είναι συνεχής και στο [, ] Είναι f() < και f() αβγ > οπότεf ()f() 6 < Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ισχύει το Θ. Bolzano και κατά συνέπεια η εξίσωση f () έχει μια τουλάχιστο πραγματική ρίζα στο διάστημα (, ) 9.Έστω οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο R,η εξίσωση f () έχει δύο ρίζες ρ,ρ ετερόσημες και f() g() α όπου α R.Να δείξετε ότι η εξίσωση g () έχει μια τουλάχιστο ρίζα στο διάστημα ρ, ). υποθ ( ρ

20 Έστω ρ < < ρ () Είναι f( ρ ) f( ρ) και g() f() α () Η g () είναι συνεχής στο R ως άθροισμα συνεχών και κατά συνέπεια και στο διάστημα [ ρ ρ, ]. g( ρ g( ρ ) f( ρ) ) f( ρ) αρ αρ ( ) αρ ( ) αρ Οπότε από το Θ. Bolzano η εξίσωση g () έχει μια τουλάχιστο ρίζα στο διάστημα ρ, ). ( ρ 3. Δίνεται ότι η συνάρτηση f () είναι συνεχής στο R γν. αύξουσα στο διάστημα [,] και γν. φθίνουσα στα [,] και [, 3]. Αν ισχύει ότι : f() κ, f() -κ κ, f() κ κ, f(3) -3 με κ R να δείξετε ότι η εξίσωση f () έχει 3 ακριβώς ρίζες στο (, 3). Οπότε ( ) g( )g( ) ρ ρ α ρρ < Προφανώς η f () είναι συνεχής σε κάθε ένα από τα διαστήματα [,], [,3] και [,] Είναι επίσης f () >, f () < (αφού 3< ), f () > (αφού 7 < ) και f (3) < οπότε f ()f() <, f ()f() < και f ()f(3) < Ισχύουν λοιπόν οι προυποθέσεις του Θ.Bolzano στα διαστήματα [,], [,3] και [,].

21 Κατά συνέπεια η εξίσωση f () έχει από μια τουλάχιστο ρίζα στα διαστήματα (,), (,) και (,3).Όμως η f () είναι γν. μονότονη σ αυτά τα διαστήματα και κατά συνέπεια οι ρίζες της f () είναι ακριβώς τρείς Δίνονται οι συναρτήσεις f() 3 και 4 3 g() 4.Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C f, C g έχουν ένα τουλάχιστο κοινό σημείο (,f()) με (,). Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f () g() έχει μια τουλάχιστο ρίζα στο διάστημα (, )Θεωρούμε τη συνάρτηση 4 3 h() f() g() g() 3 (). Έχουμε Η h () είναι συνεχής στο R (σαν πολυωνυμική) και κατά συνέπεια είναι συνεχής και στο διάστημα [,]. Είναι h () 3< και h () > οπότε h ()h() <. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ισχύει το Θ. Bolzano και κατά συνέπεια η εξίσωση h () f() g() έχει μια τουλάχιστο πραγματική ρίζα στο διάστημα (,). 3.Να βρεθεί το όριο:

22 ( ) 33. Να βρεθεί το όριο: ( )... ( ) ( ) ( ) Είναι... ( ) ( α 3) χ ( β 5) χβ 34. Να βρεθούν τα α, β R: χ Αν α 3 α 3 τότε ( α 3) χ ( β 5) χβ ±,που είναι άτοπο. χ ( α 3) χ ( β 5) χβ Ανα 3 τότε χ ( β 5) χβ χ ( β 5) χ ( ) β 5 β 7 χ Πράγματι για α-3 και β7 είναι f() 9 f() 9, οπότε 35. Να βρεθεί το όριο : ( )

23 Είναι (9 ) (4 ) (5 ) Δηλαδή έχουμε απρ/στία Έχουμε. f() ( 9 3) ( 4 ) ( 5 5) ( ( 9 5 3)( 9 3) ( 9 3 f() 4 5)( 5 5) ( )( 4 ) 4 οπότε 5 ) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο (, ) και για την 4 οποία ισχύει : ( )f() () για κάθε >.Να βρείτε το f() Από τη σχέση () έχουμε ισοδύναμα

24 ( 4 ( )f() f() 4 4 )f() 4 () 4 :( ) > Όμως,οπότε από 4 4 Κριτήριο Παρεμβολής,λόγω () έχουμε f(). 37. Έστω η συνάρτηση f: (,) R με 7 4 f() 5 ηµ συν (). Να βρείτε τα όρια (α)είναι (α) f() (β) f() f () 5 ηµ συν ηµ συν Οπότε f() ( )( ) ηµ συν 6 6 (β)είναι f() ηµ 5ηµ συν 3 5 f() 6 ηµ συν Οπότε ( )( ) συν 6 6 ΣΗΜΕΙΩΣΗ

25 Αποδεικνύουμε απλά με κριτήριο παρεμβολής ότι και k συν ± ν k ηµ ± ν 38. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: R R για τις οποίες ισχύει: f() 3 Να βρείτε τον g() και. ( α )f() g() 3συν α R ώστε 6 f() g() ηµ Θέτουμε f() q() g() h() Έτσι έχουμε οπότε q() 3 και f() q()( ) h() h() () ( α )f() g() 3συν ( α )[( )q() ] h() 3συν f() g() ηµ ( )q() h() ηµ συν [( α )( )q() ] h() 3 ηµ ( )q() h() συν [( α )( )q() ] h() 3 ηµ ( )q() h() Οπότε είναι 6 ( α )f() g() 3συν f() g() ηµ συν [( α )( )q() ] h() 3 6 ηµ ( )q() h() [( α )( ) 3 ] 3 6 3α 3 α ( ) 3

26 39.Δίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει : (f() 3 ) 6.Να βρεθούν τα όρια: (α) f() και (β) f () 5f() 4 f() 5 3 (α) Θέτουμε g() f() 3 R) ( οπότε g() 6 g() 3 f() g() f() 4 f () 5f() () οπότε θα έχουμε (β)είναι ( ) ( f() 5 3) και.κατά συνέπεια έχουμε απρ/στία / και δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα ορίου πηλίκου. Έχουμε f () 5f() 4 (f() 4) (f() ) ( f() 5 3) f() 5 3 ( f() 5 3) ( f() 5 3) (f() 4) (f() ) ( f() 5 3) (f() ) ( f() 5 3) (f() 4) ( 4 )( 4 5 3) Έστω η συνάρτηση f: R Rγια την οποία ισχύει : f( ψ) f() f( ψ) () για κάθε, R Αν f() 6 να βρείτε το ψ. f() f()

27 Θέτουμε Έχουμε f(t) t t - t ο ότε () όταν τότε t f() f() f(t ) f() f(t) f() f() t t υποθ 6 4. Δίνεται ότι g,h: (, ) R,γνησίως αύξουσες στο (, ). Δίνεται ακόμη ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g( ) g() Φ() διέρχεται από το σημείο Α(κ,) h( ) h() όπου κ >.Να βρεθεί το όριο: g( κ ) g( κ) ( ) g( κ) g( κ ) h( κ ) h( κ) h( κ) h( κ ) g( κ ) g( κ) Ισχύουν Φ ( κ) 4 () και g h( κ ) h( κ) κ > κ g( κ ) > g( κ) g ( κ ) g( κ) > () Όμοια προκύπτει ότι h ( κ ) h( κ) > Είνα [g( κ ) g( κ)] [g( κ ) g( κ)] [h( κ ) h( κ)] [h( κ ) h( κ)] g( κ ) g( κ) ( ) g( κ) g( κ ) h( κ ) h( κ) h( κ) h( κ ) [g( κ ) g( κ)]( )( ) [h( κ ) h( κ)]( ) g( κ ) g( κ) 4 h( κ ) h( κ) ι / [g(κ ) g(κ)]( ) [h(κ ) h(κ)] ( )

28 4. Να βρεθεί το όριο Είναι ( ) 6 5 ( 3 5 ) 3 και.κατά συνέπεια για τα χ κοντα στο ισχύει ότι > και 3 5 > οπότε ! 43.Για τη συνάρτηση f ισχύει f( ψ) f() f( ψ) () για κάθε χ, ψ ε R. Να δείξετε ότι : (α) Αν η f είναι συνεχής στο χ τότε είναι συνεχής στο R (β) Αν η f είναι συνεχής στο χ 5 τότε είναι συνεχής στο R (α) Θέτουμε στην () όπου χψ και προκύπτει f () f() f() f ().Οπότε αφού η f είναι συνεχής στο χ θα ισχύει f() () Για να δείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο R αρκεί f() f() όπου χ τυχαίος πραγματικός αριθμός. Θέτουμε χχ h οπότε όταν χχ θα είναι και h.

29 Έχουμε f() f( h) [ f( ) f(h) ] f( ) f(h) h h h (λόγω ()) f( ) f().κατά συνέπεια η f είναι συνεχής στο R. (β)αφού η f είναι συνεχής στο χ 3 θα ισχύει f() f(5) (3) 3 Για να δείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο R αρκεί f() f( ) όπου χ τυχαίος πραγμ. αριθμός. Θέτουμε χχ -5 h οπότε όταν χχ θα είναι και h5. Έχουμε [ ] f() f( 5 h) f( 5) f(h) f( 5) f(h) h h h (λόγω (3)) f( 5) f( 3) f( )-f(3)f(5) f( ). Κατά συνέπεια η f είναι συνεχής στο R. 44. Αν για τη συνάρτηση f : R R ισχύει ότι f( α) f( β) 5 α β για κάθε α, β R να δείξετε ότι f είναι συνεχής Για αχ και βχ η δοσμενη σχέση γράφεται f( ) f( ) 6 f( ) 6 f( ) f( ) 6 κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι f() f( ) και από το