Σημείωση. Δημήτρης Φουσκάκης Λέκτορας ΕΜΠ

Transcript

1 Σημείωση Οι σημειώσεις αυτές περιλαμβάνουν λύσεις ασκήσεων Πιθανοτήτων και συγκροτήθηκαν εν όψει των αναγκών των σπουδαστών ΣΕΜΦΕ στo μαθήματα Πιθανότητες του ου εξαμήνου από τον διδάσκοντα Δ Φουσκάκη Τις λύσεις και τη διατύπωση επιμελήθηκε ο ίδιος και βαρύνεται εξ ολοκλήρου για τυχόν λάθη ή παραλείψεις Οι περισσότερες Ασκήσεις προέρχονται από το διδακτικό εγχειρίδιο Εισαγωγή στις Πιθανότητες των Γ Κοκολάκη - Ι Σπηλιώτη, Αθήνα στο οποίο βρίσκετε και η πλήρης εκφώνησή τους σύμφωνα με την αρίθμηση τους Ασκήσεις εκτός βιβλίου συνοδεύονται από την πλήρη εκφώνηση τους Θα ήθελα να ευχαριστήσω το μεταπτυχιακό σπουδαστή Δ Λεπίπα ο οποίος έδωσε στις σημειώσεις ηλεκτρονική μορφή, καθώς επίσης και για τις πολλές και εύστοχες παρατηρήσεις του Απρίλιος 6 Δημήτρης Φουσκάκης Λέκτορας ΕΜΠ

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ σελ4) n Αν A, A,, A n ενδεχόμενα, να αποδειχτεί ότι n+ P[ A A An] + P[ A], n,, Με επαγωγή ως προς το n Για n έχουμε : + PA [ A] + PA [ ] + PA [ ] PA [ ] + PA [ ] PA [ A] PA [ A] Έστω ότι ισχύει για n m, δηλαδή : m m P[ A A A ] P[ A] + m + Τότε για n m+ έχουμε : m+ m+ + P[ A] m+ + P[( A) A ] m το οποίο ισχύει m+ m m m+ ( m ) + + P[( A) A ] ( m ) + + P[ A] + P[ A ] + P[ A] m+ m+

3 σελ4) Αν PA [ ] a, PB [ ] b, PA [ B], να βρεθεί η [( P A B ) ( A B)] P[( A B ) ( A B)] P[( A B )] + P[( A B)] P[ A B A B] PA [ \ A B] + PB [ \ A B] PA [ ] PA [ B] + PB [ ] PA [ B] a+ b 4 σελ4) Να δείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόμενα A, B ισχύει PAB [ ] PA [ ] PB [ ] PAB [ ] PAPB [ ] [ ] PAB [ ] PA [ ] PB [ ] PB [ ] PAB [ ] ( PA [ ]) PB [ ] PB [ ] PAB [ ] PB [ ] + PAPB [ ] [ ] PAPB [ ] [ ] PAB [ ] PA [ ]( PB [ ]) ( PA [ ] PAB [ ]) PA [ ] PAPB [ ] [ ] PA [ ] + PAB [ ] PAB [ ] PAPB [ ] [ ] 7 σελ4) Σε μία αίθουσα βρίσκονται k άτομα Ποια η πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον δύο με την ίδια ημέρα γενεθλίων; Έστω E {τουλάχιστον εκ των k με την ίδια μέρα γενεθλίων}, τότε PE [ ] PE [ ], όπου E { k άτομα με διαφορετική ημέρα γενεθλίων} k + (65) k PE [ ], με ( n) k k n( n)( n k+ )

4 9 σελ4) Έστω ότι έχουμε n δοχεία αριθμημένα από το έως το n και n σφαίρες αριθμημένες επίσης από το έως το n Οι σφαίρες τοποθετούνται τυχαία στα δοχεία ανα μία Εάν μία σφαίρα και το δοχείο της έχουν τον ίδιο αριθμό, λέμε ότι έχουμε μία συνάντηση α) Ποια η πιθανότητα το δοχείο k και η σφαίρα k να συναντηθούν; β) Ποια η πιθανότητα l συγκεκριμένα δοχεία να συναντηθούν με τις αντίστοιχες σφαίρες; γ) Ποια η πιθανότητα τουλάχιστον l ( l,,, n) συναντήσεων; ( n )! α) A Συνάντηση k σφαίρας με k δοχείο, PA [ ] n! n ( n l)! β) B Συνάντηση l συγκεκριμένων δοχείων με l σφαίρες, PB [ ] n! γ) Γ Τουλάχιστον l συναντήσεις, n ( n l )! l P[ Γ ] n! l! σελ4) Από ομάδα πέντε ανδρών και τεσσάρων γυναικών πρόκειται να σχηματιστεί επιτροπή με τρία μέλη Να υπολογιστούν : α) Ο αριθμός των διαφορετικών επιτροπών που μπορούν να σχηματιστούν β) Ο αριθμός των επιτροπών με ένα τουλάχιστον μέλος άνδρα και ένα τουλάχιστον μέλος γυναίκα α) Αριθμός διαφορετικών επιτροπών : 9 84 β) Αριθμός επιτροπών με ένα τουλάχιστον μέλος άνδρα και ένα τουλάχιστον μέλος γυναίκα, δηλαδή επιτροπές της μορφής : ( Α, Γ ) ή ( Α, Γ ) 4

5 Άρα έχουμε διαφορετικές επιτροπές σελ4) Τα ποσοστά επιτυχίας σε δύο τεστ A και B φαίνονται παρακάτω Για το τεστ A : 6%, για το B : 5% και για A και B : 5% Να βρεθούν τα ποσοστά επιτυχίας : α) Σε ένα τουλάχιστον από τα δύο β) Σε κανένα από τα δύο γ) Σε ένα ακριβώς από τα δύο α) PA [ B] PA [ ] + PB [ ] PA [ B] 75% β) PA [ B] P[( A B) ] PA [ B] 5% γ) [( P A B ) ( A B)] P[ A] + P[ B] P[ A B] 4% (δες άσκηση σελ4) 4 σελ4) Σε κομμάτια ενός προϊόντος γνωρίζουμε ότι υπάρχουν 8 ελαττωματικά Εκλέγουμε τυχαία 5 από αυτά Ποια η πιθανότητα να υπάρχουν : α) ακριβώς μη ελαττωματικά; β) τουλάχιστον μη ελαττωματικά; Έστω Ο αριθμός των μη ελαττωματικών στο δείγμα α) 9 8 P [ ]

6 β) P [ ] P [ ] + P [ 4] + P [ 5] σελ4) Αν A, B ξένα μεταξύ τους με PA [ A B], PB [ A B] PA [ ], PB [ ] να υπολογιστούν οι πιθανότητες PA [ ( A B)] PA [ ] PA [ ] PA [ A B] PA [ B] PA [ ] + PB [ ] PA [ B] PA [ ] + PB [ ] 5 PB [ ( A B)] PB [ ] PB [ ] PB [ A B] PA [ B] PA [ ] + PB [ ] PA [ B] PA [ ] + PB [ ] 5 7 σελ4) Να δειχθεί ότι PB [ ] PB [ A], όταν PA> [ ] PA [ ] PB [ A] PA [ ] PA [ B] PA [ ] PB [ ] PB [ ] PB [ A] PA [ ] PA [ ] PA [ ] PA [ ] 8 σελ4) Δείξτε ότι για κάθε ζεύγος ενδεχομένων A, B με PB [ ] > ισχύει PA [ ] PAB [ ] PA [ B] PB [ ] 6

7 PAB [ ] PA [ \ AB] PA [ ] PAB [ ] PA [ B] PB [ ] PB [ ] PB [ ] σελ4) Μία μηχανή λειτουργεί εφόσον και τα τρία εξαρτήματά της A, B, C λειτουργούν κανονικά Εάν η πιθανότητα να παρουσιαστεί βλάβη στο διάστημα ενός χρόνου στο εξάρτημα A είναι 5 στο B και στο C 8 ποια η πιθανότητα η μηχανή να σταματήσει να λειτουργεί πριν το τέλος του χρόνου; PA [ B C] + PA [ B C] PA [ B C] PA [ B C] ( PA [ ])( PB [ ])( PC [ ]) σελ4) Τεχνική εταιρεία υποβάλλει προσφορές για τρία έργα Α, Β και Γ Οι πιθανότητες να τις ανατεθούν τα έργα είναι αντίστοιχα P[ Α ], P[ Β ], P[ Γ ] 5 και τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ είναι ανεξάρτητα Ποια η πιθανότητα να τς ανατεθεί ένα τουλάχιστον έργο; P[ Α Β Γ ] P[ Α Β Γ ] P[ Α ] P[ Β ] P[ Γ ] 58 σελ4) Τέσσερα μηχανήματα Α, Β, Γ και Δ λειτουργούν ανεξάρτητα Τα επίπεδα λειτουργίας τους είναι αντίστοιχα 6%, 5%, 7% και 8% α) Ποια η πιθανότητα σε δοσμένη στιγμή όλες οι μηχανές να λειτουργούν; 7

8 β) Ποια η πιθανότητα να μη λειτουργεί καμία μηχανή; α) P[ ΑΒΓΔ ] P[ Α] P[ Β] P[ Γ] P[ Δ ] 68 β) P[ ΑΒΓΔ ] ( P[ Α])( P[ Β])( P[ Γ])( P[ Δ ]) σελ4) Η πιθανότητα να είναι ελαττωματικό ένα ανταλλακτικό είναι α) Ποια η πιθανότητα δύο ανταλλακτικά εκλεγμένα τυχαία να είναι ελαττωματικά; β) Ποια η πιθανότητα μεταξύ 5 ανταλλακτικών το ένα τουλάχιστον να είναι καλό; γ) Με πόσα ανταλλακτικά θα πρέπει να εφοδιαστεί κανείς ώστε με πιθανότητα μεγαλύτερη του 99 να βρει τουλάχιστον ένα καλό; PEE [ ] PE [ ] PE [ ] α) β) P[μεταξύ 5 ανταλλακτικών τουλάχιστον καλό] P[και τα 5 ελαττωματικά] γ) n P[ τουλάχιστον καλό στα n] > 99 n ln 46 > nln < ln n> ln Άρα n 6 σελ44) Ηλεκτρικές λάμπες συσκευάζονται σε πακέτα των N Η πιθανότητα να υπάρχουν k ελαττωματικές συσκευές μεταξύ των N είναι p ( k,, N ) Εξάγονται από το κουτί n συσκευές και ελέγχονται αν είναι ελαττωματικές ή όχι Δεδομένου ότι διαπιστώθηκε ότι υπάρχουν r ελαττωματικές συσκευές μεταξύ των N που ελέχθησαν, ποια η πιθανότητα ο πραγματικός αριθμός των ελαττωματικών συσκευών στο πακέτο να είναι : (α) ακριβώς r, (β) μεγαλύτερος του r 8 k

9 αριθμός ελαττωματικών συσκευών σε πακέτο των N p P ( k), k,, N k Y αριθμός ελαττωματικών συσκευών μεταξύ n ελεγχθέντων α) P({ r} { Y r}) P( r) P( Y r/ r) P ( r/ Y r) N PY ( r) PY ( r/ k) P( k) k r N r N N r pr / pr r nr n nr N k N k N N k N k pk / pk k r r kr n k r r kr β) P ( > r/ Y r) P ( r/ Y r) 7 σελ44) Η προμήθεια δομικών υλικών για μία κατασκευή γίνεται από τρεις εταιρείες Α, Β και Γ Η εταιρεία Α προμηθεύει το 4% των δομικών υλικών, η Β το 5% και η Γ το 5% Σε ποσοστά %, % και 5% τα δομικά υλικά που προέρχονται από τις εταιρείες Α, Β και Γ αντίστοιχα, δεν είναι καλής ποιότητας Ποια η πιθανότητα τυχόν δομικό υλικό να μην είναι καλής ποιότητας; Α το ανταλλακτικό προέρχεται από την εταιρεία Α Β το ανταλλακτικό προέρχεται από την εταιρεία Β Γ το ανταλλακτικό προέρχεται από την εταιρεία Γ Ε το ανταλλακτικό δεν είναι καλής ποιότητας P[ Ε ] P[ Ε Α] P[ Α ] + P[ Ε Β] P[ Β ] + P[ Ε Γ] P[ Γ ]

10 8 σελ44) (συνέχεια της προηγούμενης) Ποια η πιθανότητα τυχόν δομικό υλικό να προέρχεται από την εταιρεία Α, δεδομένου ότι δεν είναι καλής ποιότητας; P[ Ε Α] P[ Α] 8 P[ Α Ε ] 6 P[ Ε] σελ45) Σε κάλπη A υπάρχουν τρεις λευκές και τρεις μαύρες σφαίρες και σε κάλπη B υπάρχουν έξι λευκές και οκτώ μαύρες σφαίρες Εξάγονται δύο σφαίρες από την A και τοποθετούνται στην B Ακολούθως από την B εξάγεται μία σφαίρα Ποια η πιθανότητα να είναι λευκή; A Δυό λευκές στην η εκλογή A Μία λευκή και μία μαύρη στην η εκλογή A Δυό μαύρες στην η εκλογή Λ Λευκή στην η εκλογή P[ Λ ] P[ Λ A] P[ A] + P[ Λ A ] P[ A ] + P[ Λ A ] P[ A ] σελ45) Ένα σύστημα αποτελείται από έξι εξαρτήματα συνδεδεμένα όπως στο παρακάτω σχήμα Στο σχήμα επίσης δίνονται οι πιθανότητες λειτουργίας των εξαρτημάτων για ένα τουλάχιστον έτος Ποιά η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει ένα χρόνο;

11 Έχουμε, E E E 4 E E E 5 6, με PE [ ] 85, PE [ ] 85, PE [ ] 85, PE [ 4] 95, PE [ ] PE [ ] PE [ ] P[( E E E) E ( E E)] P[( E E E)] PE [ ] P[( E E)] ( PE [ E E ]) PE [ 4] ( PE [ 5 E 6]) ( 5 ) 95 ( ) 97 4 σελ45) Η πιθανότητα ύπαρξης ενός μετάλλου A σε ένα μετάλλευμα είναι 4, ενώ ενός άλλου μετάλλου B είναι 55 Γενικά είναι γνωστό ότι PB [ A ] 8 α) Να βρεθεί η πιθανότητα ύπαρξης ενός τουλάχιστον από τα A και B β) Να βρεθεί η πιθανότητα ώστε κανένα από τα A, B να μην υπάρχει στο μετάλλευμα α) PA [ B] PA [ ] + PB [ ] PA [ B] PA [ ] + PB [ ] PAPB [ ] [ A] 6 β) PA [ B] P[( A B) ] PA [ B] 7 5 σελ45) Ένα ανταλλακτικό από μία μηχανή τοποθετείται εξ ανάγκης σε άλλη μηχανή με πιθανότητα λειτουργίας 4 5 αν η μηχανή βρίσκεται στην κατάσταση A και

12 πιθανότητα λειτουργίας 5 αν η μηχανή βρίσκεται στην κατάσταση B Αν PA [ ], 4 PB [ ] 4 α) Να βρεθεί η πιθανότητα λειτουργίας της μηχανής β) Αν διαθέτουμε τέσσερα τέτοια ανταλλακτικά ποια η πιθανότητα ώστε ένα τουλάχιστον από αυτά να καταστήσει δυνατή την λειτουργία της μηχανής; Έστω Λ το ενδεχόμενο λειτουργίας της μηχανής A το ενδεχόμενο η μηχανή να βρίσκεται στην κατάσταση A B το ενδεχόμενο η μηχανή να βρίσκεται στην κατάσταση B 4 Από την εκφώνηση P[ Λ A], 5 P[ Λ B], 5 PA [ ], 4 PB [ ] 4 α) P[ Λ ] P[ Λ A] P[ A] + P[ Λ B] P[ B] 7 β) Έστω Y ο αριθμός ανταλλακτικών στα 4 που καθιστούν δυνατή τη λειτουργία της μηχανής Y είναι τμ με τιμές,,,, 4 και κατανομή bn ( 4, p 7) Ζητείται η πιθανότητα : 4 4 PY [ ] PY [ < ] PY [ ] p ( p) 6 σελ46) Μία κάλπη περιέχει 4 λευκές και 5 μαύρες σφαίρες Παίρνουμε μία σφαίρα και αν είναι λευκή την ξαναβάζουμε με άλλες τρεις λευκές ενώ αν είναι μαύρη την ξαναβάζουμε με άλλες δύο μαύρες α) Ποια η πιθανότητα ώστε να είναι λευκή με την δεύτερη λήψη; β) Ποια η πιθανότητα να είναι λευκή με την τρίτη λήψη; γ) Αν η τρίτη λήψη βγάλει λευκή σφαίρα ποια η πιθανότητα ώστε η πρώτη να ήταν λευκή; Έστω τα ενδεχόμενα

13 4 Λ : Λευκή σφαίρα στην λήψη, P[ Λ ] 9 5 Μ : Μαύρη σφαίρα στην λήψη, P[ Μ ] 9 α) P[ Λ ] P[ Λ Λ ] P[ Λ ] + P[ Λ Μ ] P[ Μ ] β) P P P P P [ Λ ] [ Λ Λ Λ ] [ Λ Λ ] + [ Λ Λ Μ ] [ Λ Μ ] + + P[ Λ Μ Λ] P[ Μ Λ ] + P[ Λ Μ Μ] P[ Μ Μ] P[ Λ Λ ] P[ Λ Λ] P[ Λ ] P[ Λ Μ ] P[ Μ Λ] P[ Λ ] P[ Μ Λ ] P[ Λ Μ] P[ Μ ] P[ Μ Μ ] P[ Μ Μ] P[ Μ ] 9 99 Επίσης, 5 P[ Λ Λ Λ ], 7 4 P[ Λ Μ Λ ], γ) Άρα P[ Λ ] P[ Λ Λ Μ ], P[ Λ Μ Λ ], P[ Λ Μ Μ ] P[ Λ Λ ] P[ Λ Λ Λ ] + P[ Λ Μ Λ ] Λ Λ P[ Λ] P[ Λ] P[ ] P[( Λ Λ) Λ ] + P[( Λ Μ) Λ] P[ Λ] P[ Λ ( Λ Λ )] P[( Λ Λ )] + P[ Λ ( Λ Μ )] P[( Λ Μ )] P[ Λ]

14 σελ89) Έστω F( ), με α >, β Δείξτε ότι η F είναι συνάρτηση ( ) + e α + β κατανομής απολύτως συνεχής Βρείτε την σππ f και δείξτε ότι f α F ( F) < α >α α β >α β + e + e ( ) ( ) ( αβ) ( αβ) e > e < F ( < F α β) ( αβ) Άρα F μη φθίνουσα F( ) και F ( + ) Από τα παραπάνω έπεται ότι F( ) Η F είναι δεξιά συνεχής Συνεπώς η F είναι συνάρτηση κατανομής απολύτως συνεχής αβ df( ) e Επίσης, F( ) ( F( )) d α α α β ( + e ) σελ89) Κάλπη A περιέχει 5 λευκές και 4 μαύρες σφαίρες ενώ κάλπη B περιέχει λευκές και 6 μαύρες Παίρνουμε μία σφαίρα από την A και χωρίς να δούμε το χρώμα της την τοποθετούμε στην B Με τον ίδιο τρόπο παίρνουμε μία σφαίρα από την B και την τοποθετούμε στην A Έστω ο αριθμός των λευκών σφαιρών στην A κάλπη μετά την παραπάνω διαδικασία Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της τμ Αν ο αριθμός λευκών σφαιρών στην A τότε 4,5,6 Η σμπ είναι οι πιθανότητες P [ 4], P [ 5], P [ 6] Ορίζουμε τα παρακάτω ενδεχόμενα ΛΛ : το ενδεχόμενο λευκή από την A στη B και λευκή από τη B στην A A B 4

15 ΛΜ : το ενδεχόμενο λευκή από την A στη B και μαύρη από τη B στην A A B Μ Λ : το ενδεχόμενο μαύρη από την A στη B και λευκή από τη B στην A A B ΜΜ : το ενδεχόμενο μαύρη από την A στη B και μαύρη από τη B στην A A B Τότε : 4 5 P[ ΛΛ A B] P[ ΛB ΛA] P[ Λ A] P[ ΛΜ A B] P[ ΜB ΛA] P[ Λ A] P[ ΜAΛ B] P[ ΛB ΜA] P[ Μ A] P[ ΜΜ A B] P[ ΜB ΜA] P[ Μ A] 9 9 Τελικά έχουμε, P [ 4] P[ ΛAΜ B] 9 48 P [ 5] P[ ΛAΛB ΜAΜ B] P[ ΛAΛ B] + P[ ΜAΜ B] 9 P [ 6] P[ ΜAΛ B] 9 σελ89) Έστω η συνάρτηση f( ) ( + ), και f ( ) για κάθε Δείξτε ότι η f αποτελεί σμπ Προσδιορίστε την συνάρτηση κατανομής F( ), (Κατανομή Zpf) Αρκεί να δείξουμε ότι η f έχει τις ιδιότητες που αναφέρονται στην σελίδα 57 P [ k] p k kk ( + ) k k+, k pk, k 5

16 p n lm p lm( + + ) lm( ) n n+ n+ k k n n n k k Άρα η f είναι σμπ Όσον αφορά στην συνάρτηση κατανομής έχουμε :, k F ( k) P[ k] k +, k 4 σελ89) k + Η τμ έχει ως σύνολο τιμών της το Εάν P [ k+ k+ ] για k + κάθε k να προσδιορίσετε την κατανομή της k + P [ k+ k+ ], k,,, k + k P [ k+ k], k,, k + P[( k+ ) ( k)] P[ k+ ] Qk + Αλλά, P [ k+ k], όπου P [ k] P [ k] Q Q P[ k], με Q k k Άρα, Οπότε Qk + k k k k Qk+ Qk Qk Q k+ k+ k+ k k k k k Q k+ k k k+ Q P[ k ] P[ k ] k+ k+ k+ P [ k], k,, k + < + k + 5 σελ89) Δείξτε ότι η F( ) ep{ α β }, α, β, >, αποτελεί συνάρτηση κατανομής (Κατανομή Webull) 6

17 Μη φθίνουσα < < α >α ep{ α } > ep{ α } F( ) > F( ) β β β β Δεξιά συνεχής : Είναι συνεχής παντού στο df β αβ αβ e >, > d lm F( ) lm, lm F( ) lm ep( αe β ) σελ9) Έστω ότι ένα σύστημα τίθεται σε λειτουργία κατά τη χρονική στιγμή t Η διάρκεια ζωής T του συστήματος είναι τμ με συνάρτηση κατανομής την Ft () και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f () t Έστω η στοιχειώδης πιθανότητα Pt [ < T t+ dt T> t] β ( tdt ) Δείξτε ότι : α) Αν β () t αt, α > τότε η β) Αν β () t α, α > τότε η f () t αtep{ αt }, t > (Κατανομή Ralegh) f ( t) α ep{ αt}, t > (Εκθετική κατανομή) γ) Αν για δύο συστήματα έχουμε β() t k β() t, k > τότε PT [ > t] { PT [ > t]} k Pt [ < T t+ dt T> t] Pt [ < T t+ dt T> t] β( t) dt β( t) lm dt dt P[{ t< T t+ dt} { T > t}] P[ t< T < t+ dt] lm lm dt PT [ > tdt ] PT [ > t] dt dt Ft [ + dt] Ft [ ] f( t) f( t) lm β ( t) PT [ > t] dt dt PT [ > t] F( t) Έστω dr() t R() t F() t f() t, οπότε dt 7

18 ' R() t d t β( t) log( R( t)) ( ) log ( ) + log () () β l dl R t R Rt dt Rt () ep{ β () ldl} t α) β) t f () t β() t R() t β() t ep{ β() l dl} α e αt t t f() t β() t R() t β() t ep{ β() l dl} αt e α t t k γ) β( t) k β( t) R( t) ep{ β ( l) dl} ep{ k β ( l) dl} { R( t)} 8 σελ9) Ένα ανταλλακτικό είναι δυνατόν να προέρχεται από την παραγωγή της βιομηχανίας A ή της B με την ίδια πιθανότητα Αν προέρχεται από την παραγωγή της A τότε η πιθανότητα λειτουργίας για το πολύ χρόνο t είναι ep{ αt}, αν όμως προέρχεται από την παραγωγή της B η αντίστοιχη πιθανότητα είναι ep{ βt} Προσδιορίστε α) Την κατανομή του χρόνου ζωής του ανταλλακτικού β) Ποια η πιθανότητα να προέρχεται από την βιομηχανία B δεδομένου ότι η διάρκεια ζωής ήταν μεγαλύτερη του t και μικρότερη του t ( t < t ) PA [ ] PB [ ], όπου A : το ανταλλακτικό προέρχεται από το εργοστάσιο A και B το αντίστοιχο ενδεχόμενο για το εργοστάσιο B Αν Τ ο χρόνος ζωής του ανταλλακτικού τότε από εκφώνηση PT [ t A] e αt, PT [ t B] e βt για t > και μηδέν αλλού H σκ του χρόνου ζωής του ανταλλακτικού είναι: α) αt βt ( e + e ), t > FT () t P[ T t] P[ T t A] P[ A] + P[ T t B] P[ B], t β) 8

19 PB [ t T t] P[ B t T t ] P[ t T t B] P[ B] Pt [ T t] Pt [ T t] ( βt βt e + e ) αt at αt βt at βt e e e e e e βt βt ( + ) + e e 9 σελ9) Να προσδιοριστούν οι σταθερές κανονικοποίησης των σππ α) f ( ), (,) β) f ( ) ( ), (,) α) Πρέπει f ( ) d d β) Ομοίως, f ( ) d ( ) d d d 6 σελ 9) Να υπολογιστεί η πιθανότητα f ( ) ( ), (,) P[ < ] όταν η σππ της τμ είναι < P[ ] 6 ( ) d 6{ } 9

20 σελ9) Αν ένα ανταλλακτικό παράγεται από την μονάδα παραγωγής A τότε η διάρκεια ζωής του ξεπερνά τις ώρες, ενώ αν προέρχεται από την μονάδα παραγωγής B η διάρκεια ζωής του είναι τμ με σππ f( ) e, > Στο σύνολο των χρησιμοποιούμενων εξαρτημάτων παρατηρήθηκε ότι το ποσοστό που υπερβαίνει τις ώρες είναι 9% Να ευρεθεί το ποσοστό των εξαρτημάτων που προέρχεται από τη μονάδα A Έστω Τ η διάρκεια ζωής του ανταλλακτικού Τότε PT [ > A] ενώ + PT [ > B] P[ > ] f( d ) ( e ) e Τώρα PT [ > ] PT [ > A] P[ A] + PT [ > B] PB [ ] Όμως PT> [ ] 9, PB [ ] PA [ ] και συνεπώς + 9 e 9 PA [ ] + e ( PA [ ]) 9 PA [ ] e PA [ ] + e PA [ ] e σελ9) Οι τμ, Y έχουν από κοινού σππ f(, ) α) Να προσδιοριστεί η περιθώρια σππ της τμ, < <, < < β) Να προσδιοριστεί η δεσμευμένη σππ της τμ Y για δοσμένη τιμή της τμ γ) Να υπολογιστεί η πιθανότητα P [ + Y> ]

21 α) f ( + ) f (, ) d d ln ln, < < β) f Y f(, ) ( ), < < και < < f ( ) ln γ) P [ + Y> ] P [ + Y ], αλλά P[ + Y ] dd dd dd dd + + B B { } d { } d d d d ln ln ln ln σελ9) Οι τμ, Y είναι διακριτές με από κοινού σμπ που δίνεται από τον πίνακα σελ 9 Να προσδιοριστούν οι περιθώριες και οι δεσμευμένες σμπ Αθροίζοντας τις γραμμές έχουμε,

22 5, k P [ k], k 5, k ενώ αθροίζοντας τις στήλες παίρνουμε, l PY [ l], l, l, k, k P [ k Y] P [ k Y ], k, [ ] k PY 4, k, 4 k ομοίως τα υπόλοιπα 5 σελ9) Η από κοινού κατανομή των τμ, Y ( < <, < < ) Να προσδιοριστούν : α) Η σταθερά κανονικοποίησης β) Η πιθανότητα P[ <, < Y ] γ) Η πιθανότητα P [ + Y> ] είναι f (, ) ( + ), δ) Η πιθανότητα P[ < ] α)

23 ( + ) dd [ ( + ) d] ( + ) d ( + ) β) d P[ <, < Y ] ( + ) ( + ) dd d 7 7 ( ) ( ) γ) Συνεπώς έχουμε, δ) P [ + Y> ] ( + ) dd 4 P[ < ] P[ <, < Y <+ ] ( ) + dd ( + ) ( + ) ( + ) 5 d 4 4 d σελ9) Το ζεύγος των τμ (, Y ) ακολουθεί διμεταβλητή εκθετική κατανομή f(, ) αβe α β, >, >, με α, β > Να προσδιοριστούν : α) Η πιθανότητα P [ > Y ]

24 β) Η δεσμευμένη σππ της τμ για δοσμένη τιμή της τμ Y α) P [ Y ] fy ( d ) Έχουμε, + >, για + + β α β α β β β α β β β f ( ) f (, ) d e e d e ( e ) e ( + ) e Y f(, ) Άρα f Y ( ) αe α f ( ) Y α α Οπότε P [ > Y ] fy ( d ) ( e ) e + f (, ) β) f Y ( ) αe α, από ερώτημα (α) f ( ) Y 7 σελ 9) Η από κοινού σππ των τμ, Y είναι f (, ) α) Είναι οι τμ, Y ανεξάρτητες;, < < < β) Να προσδιοριστεί η πιθανότητα P [ > Y ] 4 α) Οι τμ, Y δεν είναι ανεξάρτητες αφού β) f ( ) d d Y Όμως, Τότε f +, (,) ( ) + ( ) f Y d fy d Y < Y με μη μηδενική πιθανότητα Άρα Y ( ) f(, ) ( ), < <, (,) Οπότε, f ( ) Y P[ > Y ] f ( ) d d ( ) Y 4 4 f, (,) 8 σελ9) 4

25 Η από κοινού σππ των τμ, Y είναι f (, ) (+ ), < <, < < Να προσδιοριστούν : α) Οι περιθώριες f, f β) Οι δεσμευμένες f, f Y Y Y α) Πρώτα θα υπολογιστεί η σταθερά (+ ) dd d (+ ) d + 4 Άρα, ( ) f ( ) f(, ) d (+ ) d και fy ( ) f(, ) d (+ ) d (+ ) β) (+ ) f Y ( ) f ( ) ( + ) και (+ ) (+ ) fy ( ) fy( ) σελ 9) Έστω, Y τμ με από κοινού σππ f (, ) ep{ ρ }, όταν >, >, όπου ρ Δείξτε ότι οι τμ, Y είναι ανεξάρτητες όταν και μόνον όταν ρ 5

26 Θα βρούμε πρώτα τις περιθώριες κατανομές f, f Για > έχουμε + + ρ ( ρ+ ) ( ρ+ ) ( ) ( ) ρ e f e d e e d e e + + ρ e Ομοίως έχουμε ότι fy ( ), για > + ρ Δηλαδή, e e, >, > f ( ) + ρ, fy ( ) + ρ,, Έστω ότι ρ τότε f (, ) f ( ) f( ),, > άρα οι τμ, Y είναι ανεξάρτητες Αντίστροφα αν οι τμ, Y είναι ανεξάρτητες τότε ισχύει f (, ) f ( ) f( ),, Y Συνεπώς θα έχουμε ρ e e ρ e e,, > + ρ + ρ ( + ρ)( + ρ) ρ lm e lm e ρ ( + ρ)( + ρ) + ρ Y Y σελ 9) Στις ασκήσεις 5 και 8 εξετάστε αν οι τμ, Y είναι ανεξάρτητες Στην 5 είναι εξαρτημένες, ενώ στην 8 είναι ανεξάρτητες Άσκηση) Έστω, ανεξάρτητες τμ με κατανομή Posson παραμέτρων λ, λ αντίστοιχα Δείξτε ότι η δεσμευμένη κατανομή της τμ δοθείσης της τιμής + n είναι n k η διωνυμική P [ k + n] pq k q p nk λ, k,,, n, με p, λ + λ 6

27 P( λ ),, Y + P( λ + λ ) P [ k Y n] ι P[ k, Y n] P[ k, n k] P[ k] P[ nk] PY [ n] PY [ n] PY [ n] k nk λ λ λ λ e e k nk k! ( n k)! n! λλ n λ k λ nk λ ( ) ( ) bn (, ) n n ( λ+ λ) ( λ+ λ) k!( n k)! ( λ+ λ) k λ+ λ λ+ λ λ+ λ e n! σελ9) Έστω, Y τμ με από κοινού σππ ( + ), f(, ) Να, διαφορετικά προσδιοριστεί η σταθερά και η περιθώρια κατανομή της τμ Είναι οι τμ, Y ανεξάρτητες; + + (, ) ( + ) ( ) f dd dd + d ( + ) d d + f ( ) f(, ) d ( + ) ( + ) d + ( + ) ( + ) + + fy ( ) f(, ) d ( + ) ( + ) d ( + ) Είναι προφανές ότι f (, ) f ( ) f( ), άρα οι τμ, Y δεν είναι ανεξάρτητες Y 7

28 5 σελ9) Έστω,,, n ανεξάρτητες και ισόνομες τμ με συνάρτηση κατανομής F Προσδιορίστε : α) Την κατανομή της τμ Y mn{,,, n } β) Την κατανομή της τμ Z ma{,,, n } γ) Την από κοινού συνάρτηση κατανομής των τυχαίων μεταβλητών Y, Z δ) Την δεσμευμένη κατανομή της τμ Z όταν Y α) F ( ) P[ Y ] P[ Y > ] P[mn{,,, } > ] P[ { > }] Y n n n n P P F [ > ] ( [ ]) { ( )} και β) f n F f n Y( ) ( ( )) ( ) n n n Z( ) [ ] [ma{,,, n} ] [ { }] [ ] { ( )} F z P Z z P z P z P z F z n και f z n F z f z n Z( ) { ( )} ( ) γ) Για δύο σύνολα A, B ισχύει ότι A B A\ A B Έστω A { Z z} και B { Y > } τότε έχουμε, FYZ (, z) PY [, Z z] P[ Z z] PY [ >, Z z] F ( z) P[mn{,,, } >,ma{,,, } z] Z n n n F () z P[ { < z}] F () z P[ < z] F () z {[ P < z]} n Z Z Z () { () ()]} n { ()} n Z { () ( )]} n F z F z F F z F z F και F z n F z f z n F z F f z z n n YZ (, ) { ( )} ( ) { ( ) ( )]} ( ) n f Y (, ) [ FYZ ( z, )] n ( n) { F ( z) F ( )]} ( ) ( ) f z f z δ) n, 8

29 f n f (, ) ( ){ () ()]} () () ( ) YZ z n n F z F f z f ZY z f ( ) n Y n { F ( )} f ( ) n ( n){ F () z F ()]} () f z n { F ( )} 6 σελ9) Οι διάρκειες ζωής, Y (σε ώρες) δύο εξαρτημάτων μιας μηχανής είναι τμ με από κοινού σππ f (, ) ep{ ( + )} με >, > Να υπολογιστεί η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής της μηχανής να είναι μεταξύ μίας και δύο ωρών όταν τα εξαρτήματα έχουν συνδεθεί : α) Σε σειρά β) Παράλληλα Έχει δειχθεί στην άσκηση ότι οι τμ, Y είναι ανεξάρτητες και μάλιστα έχουμε ότι f ( ) e, F ( ) e και f ( ) e, F ( ) e Y α) Όταν τα εξαρτήματα είναι «εν σειρά» τότε η διάρκεια ζωής του συστήματος είναι η μικρότερη των διαρκειών ζωής των δύο εξαρτημάτων Συνεπώς ζητείται η κατανομή της τμ T mn{, Y} Από την άσκηση 5 έχουμε ότι, Άρα f t e e e t t t T () [ ( )] Εκθ() P[ T ] F () F () e e < < T T β) Όταν τα εξαρτήματα είναι «παράλληλα» συνδεδεμένα τότε η διάρκεια ζωής του συστήματος είναι η μεγαλύτερη των διαρκειών ζωής των δύο εξαρτημάτων Συνεπώς ζητείται η κατανομή της τμ T ma{, Y} Από την άσκηση 5 έχουμε ότι, Y () ( t f t e ) e t και T F () t [ ] T t e και στην συνέχεια υπολογίζουμε την πιθανότητα P[ < T < ] Άσκηση) Έστω, Y τμ των οποίων η από κοινού κατανομή ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες : α) Για κάθε >, η δεσμευμένη κατανομή της δοθέντος ότι Y, είναι Posson με παράμετρο 9

30 β) Η περιθώρια κατανομή της Y είναι Γάμμα κατανομή με παραμέτρους α και n Δείξτε ότι η περιθώρια κατανομή της τμ είναι η αρνητική διωνυμική με α παραμέτρους n και α + k Έχουμε ότι P [ k Y ] e, > και PY [ ] Gamma( α, n) k! P [ k] + + k n n + α n α α k+ n ( α+ ) [ ] Y ( ) k! Γ( n) k! Γ( n) n α Γ ( k+ n) Γ ( k+ n) α n k α { } { } NB( n, ) k+ n P k Y f d e e d e d k! Γ( n) ( α + ) k! Γ ( n) α + α + α + σελ5) Λάστιχα αυτοκινήτου, ορισμένου τύπου, έχουν ελαττωματικό εσωτερικό τοίχωμα με συχνότητα στα Ποια η πιθανότητα σε 5 νέα αυτοκίνητα που φέρουν λάστιχα αυτού του τύπου να μην έχει κανένα τους ελαττωματικό λάστιχο; Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή : αριθμός ελαττωματικών λάστιχων Είναι προφανές ότι b( n 5, p ) Άρα, P 5 5 [ ] σελ5) Αν η διάρκεια T (σε mn) υπεραστικής συνδιάλεξης ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο συνδιάλεξης : α) Να διαρκέσει λιγότερο από mn α, ποιες οι πιθανότητες ώστε η διάρκεια μιας β) Να διαρκέσει τουλάχιστον t mn δεδομένου ότι έχει υπερβεί ήδη τα t mn Τί συμπεράσματα βγάζετε σχετικά με την κατανομή της υπολειπόμενης διάρκειας γ T t ;

31 Έχουμε ότι T Εκθ( ) α) < PT [ ] e e αt PT [ > t] e α tt β) Για t > t έχουμε, PT [ > t T> t] αt e PT [ > t ] e PT [ > t T> t ] ( ) ενώ για t t Θέτω Y T t τότε, α PY [ > ] PT [ t > T> t] PT [ > + t T> t] e α PY [ ] e Εκθ( α) 5 σελ5) Εταιρεία πριν κάνει παραλαβή ενός προϊόντος που έρχεται συσκευασμένο σε κιβώτια των 5 εξάγει τυχαία 5 αντικείμενα από κάθε κιβώτιο και ελέγχει την ποιότητά τους Ένα κιβώτιο γίνεται αποδεκτό εφόσον κατά τον έλεγχο δεν προκύψουν περισσότερα από ένα ελαττωματικά αντικείμενα Αν το ποσοστό των ελαττωματικών αντικειμένων στο στάδιο της παραγωγής είναι %, ποιό το ποσοστό των κιβωτίων που δεν γίνονται αποδεκτά; α τρόπος : αριθμός ελαττωματικών αντικειμένων στο δείγμα b( n 5, p ), 5 5 P P + P [ ] [ ] [ ] β τρόπος Y : αριθμός ελαττωματικών αντικειμένων στο κιβώτιο

32 l N l k n k Y b( N 5, p ) και P [ k Y l] Οπότε, N n N n k nk P [ k] P [ ky, l] p ( p) l k k 7 σελ6) Υποθέστε ότι 5% των φορολογικών δηλώσεων έχουν αριθμητικό λάθος Ποια η πιθανότητα μεταξύ φορολογικών δηλώσεων να υπάρξουν περισσότερες από δηλώσεις με αριθμητικό λάθος; : αριθμός φορολογικών δηλώσεων με αριθμητικό λάθος b( n, p 5) P( λ np ), P [ > ] P [ ] 84 Ακόμα μπορούμε να προσεγγίσουμε την διωνυμική με κανονική, όπου μ np και σ np( p) 995 Άρα, μ μ 5 P [ > ] P [ ] P [ < ] P[ < ] σ σ 5 PZ [ < ] Φ (79) σελ5) Η εσωτερική διάμετρος κυλίνδρου μηχανής είναι τυχαία μεταβλητή (m) με κανονική κατανομή 4 N(, 9 ) εσωτερική διάμετρο : α) Μικρότερη από 995 m β) Μεταξύ 995 και 6 m Να υπολογιστεί το ποσοστό των κυλίνδρων με

33 α) P [ 995] P[ ] PZ [ ] PZ [ ] Φ[ 666] Φ [666] 5 β) P[995 < < 6] P[ < < ] P[ < Z < ] P[ Z < ] P[ Z < ] Φ[] ( Φ [666]) σελ6) Η αντοχή εφελκυσμού (σε tn / m ) μεταλλικού εξαρτήματος ακολουθεί κατανομή Webull με α 5 και β Από προδιαγραφές επιβάλλεται η αντοχή του εφελκυσμού να είναι μεγαλύτερη από 6tn Τί ποσοστό εξαρτημάτων δεν θα ικανοποιεί τις προδιαγραφές; W( α 5, β ), με σππ β α β f( ) αβ e, > και συνάρτηση α β αξιοπιστίας P [ > ] R [ ] e Άρα α (6) β P [ > 6] R[6] e 99 σελ6)

34 Σε μία πόλη η ημερήσια ζήτηση νερού σε 6 lt ακολουθεί κατανομή Γάμμα με α και p 4 Εάν η ημερήσια παροχή δεν μπορεί να υπερβεί τα πιθανότητα να μην επαρκέσει η παροχή τυχούσα μέρα; 6 5 lt, ποια η G( α, ρ 4), με σππ α f e G α ρ Γ( ρ) ρ ρ α ( ) (, ), όπου ρ Γ ( ρ) e d Ισχύουν οι σχέσεις : ( ρ) ( ρ ) ( ρ ) n,, και Γ ( ) π Γ Γ, Γ ( n+ ) n! για ρ ρ α ρ αs α ρ αs R [ αρ, ] P [ > ] s e ds Γ( ) Γ( ) s de ρ ρ ρ ( ) ( ) ( ) ρ + ( ) ρ ( ) ρ α ρ αs α ρ αs α ρ α α ρ + ( ) αs s e ρ Γ Γ s e ds e Γ s e ds ρ ρ ρ Γ ρ ρ α ρ α R [ αρ, ] e + R [ αρ, ] Γ( ρ) ρ ρ α ρ α α ρ α R [ αρ, ] e + e + + R[ α,] Γ( ρ) Γ( ρ) Για 5, α, ρ 4 έχουμε R [ α, ρ] 5 e + 5 e + 5 e + e!!! σελ6) Το ποσοστό μικροϋπολογιστών ορισμένου τύπου που χρειάζονται επισκευή μέσα στον πρώτο χρόνο λειτουργίας τους είναι τμ με σππ την Βήτα, Γ ( α + β ) f( ) ( ) Γ( α) Γ( β) α β < <, α, β > Εάν για τον εν λόγω τύπου, μικροϋπολογιστή είναι α και β 5, ποια η πιθανότητα να χρειαστούν επισκευή μέσα στον πρώτο χρόνο λειτουργίας τους σε ποσοστό μεγαλύτερο του %; Beta( α, β 5), 4

35 Γ(6) P [ ] P [ ] ( ) d Γ() Γ(5) 4 > 5 4 ( ) 5 5 ( ) d σελ 7) Η διάρκεια ζωής σε έτη, ενός λέβητα κεντρικής θέρμανσης είναι N (, ) Ο κατασκευαστής αντικαθιστά τον λέβητα εάν παρουσιάσει βλάβη σε διάστημα μικρότερου του χρόνου εγγύησης Για πόσα χρόνια μπορεί να δίνει εγγύηση έτσι ώστε το ποσοστό των λεβήτων που θα αντικαθιστά να είναι μικρότερο από %; N(, ) και έστω t ο ζητούμενος χρόνος εγγύησης Τότε πρέπει, t P [ < t] P[ < ] t t PZ [ < ] Φ[ ] Από τους πίνακες τιμών της κανονικής κατανομής ψάχνουμε να βρούμε α τέτοιο ώστε Φ [ α] Φ[ α] 98, τελικά έχουμε t α 5 5 t 7 σελ7) Ο αριθμός των ατελειών σε υαλοπίνακες των m ακολουθεί κατανομή Posson με παράμετρο λ ατέλειες/m Ηλεκτρονική συσκευή καταγράφει τις ατέλειες με πιθανότητα αναγνώρισης p 9 Να προσδιοριστεί : α) Η κατανομή του αριθμού Y των καταγραφόμενων ατελειών β) Η πιθανότητα P [ > Y ] Έστω : πραγματικός αριθμός ατελειών, P( λ ) 5

36 α) Έστω Y : αριθμός καταγραφόμενων ατελειών Από θεώρημα ολικής πιθανότητας έχουμε PY [ m] P[ k] PY [ m k], όμως για k < m PY [ m k], δηλαδή είναι αδύνατον να καταγραφούν περισσότερες ατέλειες από αυτές που υπάρχουν Άρα, PY [ m] P[ k] PY [ m k] και PY [ m k] bn ( k, p 9) k m k m δηλαδή PY [ m k] p ( p) m km k Αντικαθιστούμε και λαμβάνουμε k k λ λ k m km λ m λ k! km PY [ m] e p ( p) e p ( p) k m k! m k mk! ( k m)! m! [ λ( p)] ( λp) e p λ e λp e e m! ( k m)! m! m! km m λ m m λ m λ( p) λp ( ) k m β) P [ > Y ] P [ Y ] P[ Y ] P[( ) ( ) Y ] P[ Y ] P[ Y ] P [, Y ] P [, Y ] PY [ ] PY [ ] PY [ ] P[ ] PY [ ] P[ ] PY [ ] PY [ ] 5 σελ7) Το χαρακτηριστικό ενός προϊόντος ακολουθεί Κανονική κατανομή N(5,5 ) Το προϊόν θεωρείται κατάλληλο όταν 5 < < 5+ α) Ποιό το ποσοστό των κατάλληλων στο σύνολο της παραγωγής; β) Ποιά η πιθανότητα ώστε μεταξύ 4 κομματιών εκλεγμένων στην τύχη, να υπάρχουν τουλάχιστον κατάλληλα; 6

37 α) P[5 < < 5 + ] P[49 < < 5] P[ < < ] P[ < Z < ] P[ < Z < ] (9775 ) 9545 β) Έστω Y : αριθμός κατάλληλων προϊόντων, τότε Y b( n 4, p 9545) Συνεπώς, PY PY PY [ ] [ ] + [ 4] 9545 ( 9545) ( 9545) 4 σελ 5) Έστω τμ Αν {( ) m m E a } < για κάποιο a, δείξτε ότι E ( ) < Είναι γνωστό ότι m m ( a) ( ) a k k m k k mk, συνεπώς m m m m k k mk m k k mk E{( a) } E{ ( ) a } ( ) a E( ) k k k k 4 σελ 5) Έστω συνεχής τμ με πεπερασμένη μέση τιμή Αν η σππ f είναι συνάρτηση συμμετρική περί το (δηλαδή f ( + ) f( ), ) δείξτε ότι E ( ) E( ) f( ) d ( + ) f( ) d ( ) f( ) d+ f( ) d + + ( ) f( ) d+ f( + ) d+ Εξετάζουμε την συνάρτηση g( ) f( + ), και παρατηρούμε ότι + g( ) ( ) f( + ) f( + ) g( ), άρα g( ) d Συνεπώς E( ) 7

38 44 σελ 5) Έστω τμ Posson με παράμετρο λ > Αν E ( ) να βρεθεί το λ k λ λ P( λ), P [ k] e, k,,,, E ( ) k! λ και V( ) V ( ) E ( ) E ( ) λ λ λ + λ λ ή λ 4 Άρα λ λ 45 σελ 5) Αν η τμ ακολουθεί κανονική κατανομή N( μ, σ ) να βρείτε την EY ( ) και VY ( ) με Y e N( μ, σ ) με σππ f( ) e σ π ( μ ) Χρησιμοποιώντας τον τύπο + Eg [ ( )] g ( ) f( d ) έχουμε, μ ( μ ) ω σ ω σ σω + μ + + EY ( ) e e d e e dω σ π π + ω ωσ ω σω+ σ σ ( ) + ( ) μ μ e e dω e e dω π π + ( ωσ) σ σ ( ω σ ) μ + + μ e e e dω e e dω π π σ z σ σ μ μ μ dz e e e e π 8

39 z γιατί η συνάρτηση f ( z) e είναι η σππ της Z N(,) Για την διασπορά π υπολογίζουμε πρώτα την EY ( ) Ee ( ) με ανάλογο τρόπο και κατόπιν χρησιμοποιούμε τον τύπο VY ( ) EY ( ) [ EY ( )] 46 σελ 5) Έστω τμ με σμπ E [ ( )], V[ ] k P [ k] ( ), k,, Υπολογίστε τις E [ ], Πρόκειται για γεωμετρική κατανομή με p Geo( p ) και P [ k] p( p) k Από θεωρία (σελ4) είναι γνωστό ότι [ ] ( ) k E kp p Άρα στην περίπτωσή μας E [ ] k p k w Θεωρούμε επίσης γνωστό ότι w, w < το οποίο συνεπάγεται με w την σειρά του ότι w k w k w k k k k k k k E[ ( )] k( k) p( p) k( k) p( p) k k d ( p) p( p) k( k)( p) p( p) dp d d ( p) p( p) [ ( p) ] p( p) { } dp dp ( p) k k d ( p) d ( p) p( p dp p dp p p( p) { } p( p) [ ) ] d p p( p)( pp p( p) ) ( p) p( p) [ ] dp p p 4 p Άρα E [ ( )] 4 Τέλος έχουμε V [ ] E [ ] E [ ] και E [ ] E [ ( )] + E [ ] Από τις δύο ( p) p αυτές σχέσεις παίρνουμε V[ ] +, δηλαδή V[ ] p p p p 47 σελ 5) Δείξτε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 9 V( ) E{( ) }

40 E{( ) } E{( + μ μ) } E{( μ) + ( μ)( μ ) + ( μ ) } E[( μ) ] + E[( μ )( μ)] + E[( μ ) ] V[ ] + ( μ ) E[( μ)] + ( μ ) V + [ ] ( μ ) όπου E[( μ)] και ( ) μ 48 σελ 5) Έστω η διακριτή τμ η οποία λαμβάνει τις τιμές -,, με πιθανότητες p, q, r αντίστοιχα Να βρεθούν η μέση τιμή και η διασπορά της τμ και της τμ Όσον αφορά την τμ έχουμε E[ ] ( ) p+ q+ r r p, E [ ] ( ) p q r p r και V[ ] ( p+ r) ( r p) Η τμ Y λαμβάνει τις τιμές, με πιθανότητες q, p+ r αντίστοιχα Συνεπώς έχουμε EY [ ] p+ r, EY [ ] p+ r και V[ Y] p+ r ( p+ r) Εναλλακτικά μπορούμε να υπολογίσουμε την μέση τιμή και την διασπορά της τμ με τον ορισμό ως εξής : E[ ] p+ q+ r p+ r, V[ Y] p r ( p r) + + E[ ] p+ q+ r p+ r και 4 σελ 5) Προϊόν συσκευάζεται σε πακέτα των 5 gr Το βάρος (σε gr) του περιεχομένου ενός πακέτου είναι τμ με σππ ( 48), 48 < 5 4 f( ) (5 ), 5 < 5 4 Να προσδιοριστεί η μέση τιμή και η διασπορά της τμ Ο κατασκευαστής πωλεί το πακέτο στην τιμή των δρχ με την υποχρέωση να επιστρέψει τα χρήματα όταν < 485 Δεδομένου ότι το κόστος παραγωγής Y ενός πακέτου εξαρτάται από το βάρος σύμφωνα με την σχέση Y + 7, να προσδιοριστεί το αναμενόμενο ανα πακέτο κέρδος του κατασκευαστή Παρατηρούμε ότι f (5 + ) [5 (5 + )] ( ) [(5 ) 48] f(5 ) Άρα σύμφωνα με την άσκηση 4 σελ 5 έπεται ότι E [ ] 5 E [ ] ( 48) d+ (5 d )

41 V [ ] E [ ] E [ ] Για να προσδιορίσουμε το αναμενόμενο ανα πακέτο κέρδος του κατασκευαστή θεωρώ μία καινούρια τμ την Z, η οποία εκφράζει το κέρδος του κατασκευαστή ανα πακέτο ( + 7), 485 Z ( + 7), < EZ [ ] ( 7) f( d ) + ( 7) f( d ) ( 7) f( ) d+ ( 7) f( ) d f( ) d ( ) f( ) d P[48 < 485] E[ ] P[48 < 485] ( 48) 4 d 48 4 d 48 4 d σελ 5) Η θερμοκρασία απόσταξης μίας χημικής ουσίας είναι τμ T με ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [6, 8 ] Αν T το προϊόν της απόσταξης πουλιέται προς β δρχ το λίτρο ενώ αν T > προς γ δρχ το λίτρο Αν το κόστος παραγωγής ενός λίτρου του παραπάνω προϊόντος είναι α δρχ να βρεθεί το αναμενόμενο κέρδος ανα λίτρο T U(6, 8) Ορίζω την παρακάτω τμ, T κέρδος ανα λίτρο, τότε β α και υπολογίζω τις πιθανότητες γ α, T > 4 8 P[6 < T ], P[ < T 8 ], οπότε το αναμενόμενο κέρδος ανα 4 8 λίτρο είναι E [ ] ( β α) + ( γ α) 44 σελ 5) Τα χαρακτηριστικά, Y μιας κατασκευής είναι ανεξάρτητες τμ με κατανομή N (5, ) και N (7,6) αντίστοιχα Η κατασκευή θεωρείται παραδεκτή όταν πληρούνται οι προδιαγραφές : Α: 5 6 < < και Β : 7 8 < Y < Το κόστος της κατασκευής είναι 5 δρχ και προσαυξάνεται κατά δρχ όταν ικανοποιείται μία ακριβώς από τις Α, Β και κατά δρχ όταν ουδεμία από τις Α, Β 4

42 ικανοποιείται, προκειμένου να διορθωθεί και να γίνει παραδεκτή Να ευρεθεί το μέσο κόστος της κατασκευής N(5,), Y N(7, 6) και A {44 < < 56}, B {6 < Y < 78} Υπολογίζουμε τις πιθανότητες να πραγματοποιηθούν τα ενδεχόμενα A, B PA [ ] P[44 < < 56] P[ < < ] P[ < Z < ] 7866 Oμοίως PB [ ] 8878 Ορίζω μία καινούργια τμ την R κόστος κατασκευής τότε, 5, A B R 6, AB AB 7, A B ER [ ] 5 PAB [ ] + 6 PAB [ AB] + 7 PAB [ ] Τέλος σημειώνουμε ότι τα ενδεχόμενα AB, AB είναι ξένα μεταξύ τους 49 σελ 5) Έστω τμ με μέση τιμή μ και διασπορά σ Έστω επίσης g ( ) αναλυτική συνάρτηση του Αναπτύσσοντας κατά Talor την g στο σημείο μ δείξτε ότι EY [ ] g( μ) + σ g''( μ) και VY [ ] { g'( μ)} σ Y g( ) g( μ) + ( μ) g'( μ) + ( μ) g''( μ) EY [ ] Eg [ ( μ) + ( μ) g'( μ) + ( μ) g''( μ)] Eg [ ( μ)] + E[( μ) g'( μ)] + E[ ( μ) g''( μ)] g( μ) + g'( μ) E[( μ)] + g''( μ) E[( μ) ] g( μ) + g''( μ) σ Y g( μ) + ( μ) g'( μ) VY Vg + V g g V g V [ ] [ ( μ)] [( μ) '( μ)] { '( μ)} [( μ)] { '( μ)} [ ] Θυμίζουμε ότι Va [ + b] av [ ] και ότι V [] 45 σελ 5) 4

43 Αν (, Y ) ακολουθεί κατανομή N( μ, Σ) την ανεξαρτησία των τμ, Y να δειχθεί ότι η Cov(, Y ) συνεπάγεται μ σ σ ( Y, ) Nμ (, Σ), μ, Σ, όπου σ μ σ σ Cov(, Y ) ρσ σ ( )( ) ( ) ( ) ρ μ μ μ μ fy (, ) ep[ { ρ + }] πσ σ ρ ( ρ ) σ σ σ σ ( μ ) ( μ ) ep[ { + }] f fy πσ σ σ σ ρ 47 σελ 54) Να προσδιοριστεί η συνδιακύμανση των τμ, Y στην άσκηση 5 σελ E [ ] ( ) + +, EY [ ] ( ) + + EY [ ] ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) + + Cov(, Y ) E[ Y ] E[ ] E[ Y ] 48 σελ 54) Η από κοινού σππ δύο τμ, Y είναι f (, ) k{( + ) ( + )}, ( < <, < < ) Δείξτε ότι οι τμ, Y είναι ασυσχέτιστες αλλά όχι ανεξάρτητες Πρώτα βρίσκουμε τις περιθώριες κατανομές 4

44 f ( ) f (, ) d k {( + ) ( + )} d k ( + ) d k{( ) + } k( + ) 6 Ομοίως έχουμε fy ( ) k( + ) και παρατηρούμε ότι f (, ) f( ) fy( ), 6 συνεπώς οι τμ, Y δεν είναι ανεξάρτητες Στην συνέχεια θα προσδιορίσουμε την σταθερά k k {( + ) ( + )} dd k ( + ) d k 6 Άρα f (, ) {( + ) ( + )}, < <,< < Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο Cov(, Y ) E[ Y ] E[ ] E[ Y ] [ ] 4 ( ) ( ) { } E f d + d ότι και ομοίως έχουμε EY [ ] Επιπλέον, [ ] (, ) ( ) E Y f dd + dd 4 ( + ) dd { + } d 4 4 { + } d { + } { + } 4 d Συνεπώς Cov(, Y ) E[ Y ] E[ ] E[ Y ], δηλαδή οι τμ, Y είναι 4 ασυσχέτιστες 49 σελ 54) Οι τμ, Y έχουν από κοινού σππ f (, ) 8, (, ) Προσδιορίστε την καμπύλη παλινδρόμησης g ( ) EY [ ] Γνωρίζουμε ότι f Y f (, ) ( ) f ( ) 44

45 Έχουμε, f ( ) f (, ) d 8d 8 d 8 4 f f (, ) 8 ( ), Άρα Y f ( ) 4 Y EY [ ] f ( d ) d, 4 σελ 54) Η από κοινού σππ των τμ, Y είναι f (, ) 4, ( < <,< < ) Να βρεθεί η μέση τιμή των τμ U + Y, V Y, W + Y E[ + Y ] ( + )4dd 4 ( + ) dd 4 4 ( + ) d 4 ( + ) 4 d 4 E[ Y ] 4dd 4 4 dd d d 9 45

46 E[ + Y ] 4 + dd { + d } d d d ( θέτω + w τότε για w και για w + ) { + ( + )} w 4 w dw d d { } { } {( + ) ( ) } d ( ) + d d dw θέτω + w τότε w και d w 5 5 dw w w w w dw w ( ) ( ) ( ) σελ 55) Οι τμ, Y, Z είναι ανεξάρτητες με Εκθετική κατανομή παραμέτρου a Να υπολογιστεί ο συντελεστής συσχέτισης των τμ U + Y και V Y + Z Έχουμε ότι, Cov( U, V ) Cov( + Y, Y + Z) Cov(, Y + Z) + Cov( Y, Y + Z) CovY ( + Z, ) + CovY ( + ZY, ) CovY (, ) + CovZ (, ) + CovYY (, ) + CovZY (, ) ( γνωρίζουμε ότι αν δύο τμ είναι ανεξάρτητες τότε είναι και ασυσχέτιστες) Cov( Y, Y ) V[ Y] a Ακόμα έχουμε ότι VU [ ] V[ + Y] V[ ] + VY [ ] + και a a a VV [ ] VY [ + Z] a Cov( U, V ) Οπότε ρ ( UV, ) VU [ ] VV [ ] 46

47 44 σελ 55) Οι τμ, Y έχουν μέσες τιμές μηδέν, διασπορές συνδιακύμανση Y σ, σ Y αντίστοιχα και σ Να υπολογιστεί η διασπορά V[ osφ + Y sn φ] και ακολούθως να προσδιοριστεί η γωνία φ για την οποία η διασπορά γίνεται ελάχιστη V[ osφ + Y sn φ] V[os φ ] + V[sn φ Y] + Cov(os φ,sn φ Y) os φ [ ] + sn φ [ ] + osφ sn φ (, ) V V Y Cov Y + + os φ σχ sn φ συ osφ sn φ σχυ L( φ) Θα βρούμε σε ποιό σημείο μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης L κι έπειτα θα εξετάσουμε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου στο σημείο αυτό L φ φ σ + φ σ + φ φ σ '( ) (os Χ sn Υ os sn ΧΥ) ' σ osφsnφ + σ snφosφ σ sn φ + os φ σ Χ Υ ΧΥ ΧΥ + ( συ σχ) osφsnφ σχυ(os φ sn φ) σ σ σ φ + σ φ φ ( Χ Υ)sn ΧΥ os tan σ artan( ΧΥ φ σ ) Χ σ Υ L φ σ φ σ φ σ φ φ ΧΥ ( σχ συ) ''( ) Χsn Χos 4 Y sn os 4σY snφosφ σy sn φ σy os φ σχ(sn φ os φ) 8σY snφosφ σy (os φ sn φ) σχ(os φ sn φ) 4σ Y sn φ σy (os φ sn φ) (os φ sn φ)( σy σχ) 4σ Y sn φ Y Χ Y Χ Y Y {os φσ ( Χ σy) σ Ysn φ} tan φ σχ σy σ Y os φ( σ σ ) 4σ snφ os φ( σ σ ) 4σ snφ ( ) + < > 45 σελ 55) Οι τμ (,, ) είναι ανεξάρτητες και ισόνομες Να προσδιοριστεί ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ m Z και W m+ n, ( k m) mk 47

48 Ας είναι V[ ] σ τότε για,, m ανεξάρτητες m VZ [ ] V[ ] V [ ] mσ m+ n ανεξάρτητες m+ n και VW [ ] V[ ] V[ ] {( m+ n) ( mk)} σ ( n+ k) σ m k mk m m+ n m m Cov( Z, W ) Cov(, ) Cov(, ) m m k m k mk V[ ] { m( mk)} σ k σ mk k Άρα ρ ( ZW, ) mn ( + k) 46 σελ 55) Να προσδιοριστεί ο συντελεστής συσχέτισης των τμ Z a + by και W a by, όπου, Y ανεξάρτητες και ισόνομες τμ Cov( Z, W ) Cov( a + by, a by ) Cov( a, a by ) + Cov( by, a by ) Cov( a, a ) + Cov( a, by ) + Cov( by, a ) + Cov( by, by ) a Cov(, ) b Cov( Y, Y ) a V[ ] b V[ Y ] ( a b ) σ VZ [ ] Va [ by] av [ ] bvy [ ] ( a b) σ + + +, VW [ ] Va [ by] av[ ] bvy [ ] ( a b) σ + + Συνεπώς ( a b ) σ a b ρ( ZW, ) 4 ( a + b ) σ a + b 5 σελ 76) Δείξτε ότι αν η τμ ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο (,) τότε η Y ln ακολουθεί την εκθετική με παράμετρο 48

49 + U(,) f ( ), < < και αλλού Η συνάρτηση g :(,) με αλγεβρικό τύπο g ( ) lnείναι γνησίως φθίνουσα στο (,), αμφιμονοσήμαντη Έχουμε g ( ) ln g ( ) e g'( ), άρα και, > Η παράγωγος της g υπάρχει dg ( ) e και είναι συνεχής Άρα d dg ( ) fy( ) f( g ( )) e Y Εκθ() d 5 σελ 76) Έστω η τμ με συνάρτηση κατανομής πιθανότητας την F Δείξτε ότι η κατανομή της τμ Y F( ) είναι η ομοιόμορφη στο διάστημα (,) F μη φθίνουσα Y ( ) [ ] [ ( ) ] [ ( )] ( ( )) F P Y P F P F F F Έχουμε d fy( ) FY( ), (,) d 54 σελ 76) Φορτίο q oulombs βρίσκεται στη θέση (, Y, Z ), όπου, Y, Z ανεξάρτητες τμ με κατανομή N (,) Να προσδιοριστεί η σππ του δυναμικού V στην αρχή των αξόνων, όπου V 4πε q + Y + Z Από το πόρισμα της σελ 7 έχουμε ότι η τμ U + Y + Z ακολουθεί την κατανομή () Επιπλέον, θυμίζουμε ότι η κατανομή ( ν ) προκύπτει από την Γάμμα κατανομή για a, p ν 49

50 Συνεπώς έχουμε : U + Y + Z () G(, ) και fu ( u) u e Γ( ) u, u > Θεωρούμε την τμ V U, 4πε και βρίσκουμε την κατανομή της gu ( ) v u g ( v) u και v d g dv () v v Άρα d v dv v v fv() v fu( g ()) v g () v { } e Γ( ) + v + 4 v e v v e ( ν ) Γ( ) Γ( ) Τέλος αναφέρουμε ότι αν ( ν ) τότε ( ν + ) ν f ( ) ν e ν Γ( ) 55 σελ 76) π π Έστω τμ ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα (, ) Δείξτε ότι η τμ Y tan ακολουθεί κατανομή Cauh π π π π, (, ) U(, ) f ( ) π, αλλού 5

51 g ( ) tan g ( ) artan, και d g d ( ), συνεπώς + έχουμε dg ( ) fy( ) f( g ( )) d π + + π( ), 57 σελ 76) Έστω τμ με σππ f( ) e, Δείξτε ότι η τμ π Y ακολουθεί κατανομή N (,) Έχουμε ότι, και g ( ) g ( ) d g d ( ) Συνεπώς fy ( ) e e Y N(,) π π 5 σελ 77) Έστω, Y ανεξάρτητες τμ με κατανομή Γάμμα παραμέτρων ( a, p ) και (, bp ) αντίστοιχα Αν R +, S + Y δείξτε ότι οι τμ R, S είναι ανεξάρτητες και Y ότι η R ακολουθεί κατανομή Βήτα με παραμέτρους ( ab, ) 5

52 Έχουμε a, > και Γ( p) p p a Gap (, ) f ( ) e a, > Αφού οι, Y είναι ανεξάρτητες τμ Γ( p) q q a Y G(, b p) fy () e έχουμε a f f f e ( p) ( q) p+ q p q a( + ) Y (, ) ( ) Y ( ),, Γ Γ > Θα βρούμε την από κοινού σππ του ζεύγους ( R, S ) Θεωρούμε τον μετασχηματισμό r +, s + ο οποίος αντιστρέφεται στον rs, s rs, s >, < r < και ο οποίος έχει Ιακωβιανή ορίζουσα s r s( r) sr s sr sr s s r + + Συνεπώς έχουμε a Γ( p) Γ( q) p+ q p p q q as frs (,) rs r s s ( r) e s, s >, < r < ή p+ q a frs (,) rs r ( r) s e Γ( p) Γ( q) p q p+ q as, s >, < r < Αφού όμως η από κοινού σππ του ζεύγους ( R, S ) γράφεται σαν μία συνάρτηση του r επί μία συνάρτηση του s, οι τμ R, S είναι ανεξάρτητες Όσον αφορά στην κατανομή της R έχουμε : p+ q + a p q p+ q as fr() r f (,) ( ) RS r s ds r r s e ds Γ( p) Γ( q) p+ q p+ q a as t p q p+ q as a p q p+ q t r ( r) ( ) ( ) ( ) + Γ Γ s e ds r r Γ( ) Γ( ) t e dt p q p q p q a Γ ( p+ q) p q r ( r ), < r < Γ( p) Γ( q) Θυμίζουμε ότι Γ ( p+ q) B p q f Γ( p) Γ( q) p q (, ) ( ) ( ), < < 55 σελ 78) Οι τμ, Y είναι ανεξάρτητες και ακολουθούν την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα ( ab, ) Ποια η κατανομή α) της τμ Z + Y; β) της τμ W Y ; 5

53 , Y U( a, b ) ανεξάρτητες δηλαδή, με a<, < b f( ) fy( ) b a και fy (, ) ( b a), Z Z W Y Y W, J η Ιακωβιανή ορίζουσα του αντίστροφου μετασχηματισμού f (, ) ((, ), (, )) ZW z w fy z w z w ( b a) α) + z a dw a < z a + b za, az ( ba) ( ba) bz b z + < zb fz( z) f (, ) ZW z w dw dw, a b z b ( ba) ( ba) bw baw dz, < w b a + w+ a ( ba) ( ba) β) fw( w) f (, ) ZW z w dz w+ b w+ ba, < dz a b z a w ( ba) ( ba) 56 σελ 78) Δύο ηλεκτρικές αντιστάσεις R, R κατανέμονται ομοιόμορφα στο διάστημα (8,) και (,5) αντίστοιχα Ποια η κατανομή της ολικής αντίστασης R R+ R Έχουμε R U(8,) fr ( r ), R U(,5) fr ( r ) οπότε θέτοντας R και Y R και R Z, W αναγόμαστε στην περίπτωση που εξετάστηκε στην τελευταία άσκηση 5

54 Συγκεκριμένα έχουμε fy (, ), fzw (, z w ) ( z+ w ), ( zw ) και 8 z+ w 6 w 6 z, z+ w w z z w 6 w z 6, 5 z w w z f Z ( z) z6 6z z dw, < z < 5 z, 5 z dw < z < z 57 σελ 78) Αν οι τμ, Y είναι ανεξάρτητες και ισόνομες με εκθετική κατανομή παραμέτρου a, ποια η από κοινού κατανομή των τμ Z + Y, W ; Ποια η περιθώρια της Y τμ W ; Οι τμ, Y ακολουθούν εκθετική κατανομή παραμέτρου a και αφού είναι ανεξάρτητες το ζεύγος (, Y ) έχει από κοινού κατανομή ( + ) fy (, ) a e,, > Στην συνέχεια θα βρούμε την από κοινού κατανομή του ζεύγους ( Z, W ), όπου Z + Y, W Y Θεωρούμε τον μετασχηματισμό zw z J : z +, w J :, Η Ιακωβιανή ορίζουσα του w+ w+ J είναι w z w+ ( w+ ) z z ( w + ) w+ ( w+ ) Άρα η σππ του ζεύγους ( Z, W ) είναι zw z z z fzw (, z w) fy (, ) a e w+ w+ ( w+ ) ( w+ ) az, zw, > 54

55 Συνεπώς η περιθώρια κατανομή της τμ W είναι + az z a az a fw( w) fzw( z, w) dz a e dz e zdz, ( w+ ) ( w+ ) ( w+ ) a ( w+ ) για w > Παρατηρήσεις : ( ν ): κατανομή με ν βαθμούς ελευθερίας (βε) ( ν ): Αντίστροφη κατανομή με ν βε ( ν ): κατανομή με ν βε ορ ( ν ) Y ( ν ) ορ ( ) ( ) ν Y ν ( ν ): Αντίστροφη κατανομή με ν βε Για > : ορ ( ν ) ( ν ) ορ ( ν ) ( ν ) ορ ( ν ) Y ( ν ) ορ ( ν ) ( ν) ή ( ν) ορ ( ν ) ( ν) ή ( ν) 4 Εύρεση σππ και κατανομών Α) ( ν ) κατανομή 55

56 Έστω v ( ν ) f ( ) e και Y, > Θεωρούμε τον ν ν Γ( ) μετασχηματισμό g ( ), τότε έχουμε Συνεπώς της όπου ( ) g fy( ) ( ) e f ( ) e Γ( ) ( ) Γ( ) ( ν ) Τέλος, ( s ν ) είναι η σππ της και v v ν Y ν ν ν Y F ( ) [ ] [ ] Y P Y P ( s ν ) ds, ( ν ) στο σημείο s d g ( ) d, > η σππ Β) ( ν ): κατανομή v ( ν ) f ( ) e και Y ν ν Γ( ), θεωρούμε τον μετασχηματισμό g ( ), > τότε έχουμε g ( ), > και d g ( ) d Γ) Συνεπώς ( ν ) : Αντίστροφη κατανομή v ( ν ) f ( ) e και ν ν Γ( ) g ( ) Συνεπώς ν fy ( ) ( ) e, > η σππ της ( ν ) ν ν Γ( ) Y, θεωρούμε τον μετασχηματισμό, > τότε έχουμε g ( ), > και d g ( ) d ν ν ( ) + ν Y ν ν ν fy( ) e f ( ) e Γ( ) Γ( ) ( ν ), > η σππ της Δ) ( ν ) κατανομή 56

57 ν ( ) + ( ν ) f ( ) e και Y, θεωρούμε τον ν ν Γ( ) μετασχηματισμό g ( ), > τότε έχουμε d g ( ) d Συνεπώς η σππ της ( ν ) για > είναι : ν ν ν ( + ) ( ) + ν Y ν ν ν fy( ) ( ) e f ( ) e Γ( ) Γ( ) g ( ), > και Ε) ( ν ) : Αντίστροφη κατανομή v ( ν ) f ( ) e και ν ν Γ( ) g ( ) Y, > τότε έχουμε g ( ), θεωρούμε τον μετασχηματισμό και d g ( ) d, > Συνεπώς η σππ της ( ν ) είναι: ν ( ν + ) ν Y ν ν ν fy( ) { } e f ( ) e Γ( ) Γ( ) ΣΤ) ( ν ) κατανομή 57

58 ( ν + ) ( ν ) ( ) ν ν f e και Y, θεωρούμε τον Γ( ) μετασχηματισμό g ( ), > τότε έχουμε d g ( ) d Συνεπώς η σππ της ( ν ) για > είναι : ( ) ν ( ν+ ) ( ν+ ) ν Y ν ν ν fy( ) ( ) e f ( ) e Γ( ) Γ( ) g ( ), > και Άσκηση) Ηλεκτρικές αντιστάσεις R, R, R ακολουθούν κανονική κατανομή με μέσους μ 6, μ 7, μ 8 και τυπικές αποκλίσεις σ 4, σ 5, σ 6 αντίστοιχα Ποια η κατανομή της ολικής αντίστασης R+ R + R ; Να βρεθεί η πιθανότητα P[95 < R R+ R + R ] ; R R + R + R N, όπου ( μ, σ ) μ μ και R ανεξ σ VR [ ] VR [ + R+ R ] , δηλαδή σ 8775 Άρα έχουμε 95 P[95 < R ] P[ < Z ] P[ 7 < Z 4] Φ(4) Φ( 7) Φ(4) [ Φ (7)] σελ 9) Λαμπτήρες ορισμένου τύπου έχουν μέση διάρκεια ζωής h και τυπική απόκλιση 5h Ποια η πιθανότητα ώστε η συνολική διάρκεια ζωής λαμπτήρων να μην υπερβαίνει τις h; Πόσοι λαμπτήρες απαιτούνται ώστε με πιθανότητα 99 να υπάρχει φως για τουλάχιστον 5h; 58

59 Ορίζουμε την παρακάτω τμ T : Διάρκεια ζωής λαμπτήρα, όπου μ ET [ ] h και σ VT [ ] 5h Τότε ( μ, σι ) ( μ, σ ) (4, 7) ι T T N N n N, δηλαδή σ 596 T PT [ < ] PZ [ < 9] Φ (9) 5 n 5 n PT [ > 5] 99 PZ [ > ] 99 PZ [ ] 99 5 n 5 n λόγω συμμετρίας του γραφήματος της κανονικής κατανομής Από τον πίνακα τιμών 5 n έχουμε n 6 5 n 78 σελ 9) Φορτηγό μεταφέρει κομμάτια συμπιεσμένου χαρτιού Το βάρος κάθε κομματιού είναι τμ με μέση τιμή μ 5kgr και τυπική απόκλιση σ 5kgr Πόσα το πολύ κομμάτια μπορεί να μεταφέρει το φορτηγό ώστε με πιθανότητα 95 το ολικό φορτίο να είναι μικρότερο από tn ; Έστω : Βάρος κομματιού, με μ E [ ] 5, σ V[ ] 5 Τότε έχουμε n ( μ, σ ) N n n n 5 P [ < ] 95 PZ [ < ] 95, από τον πίνακα τιμών της 5 n κανονικής κατανομής έπεται ότι n 5 65 n 9 5 n 79 σελ 9) Σωματίδιο κινείται στον άξονα ' ως εξής : Ανά μονάδα χρόνου πραγματοποιεί βήμα μήκους μιας μονάδας ή μένει ακίνητο στη θέση που βρίσκεται Η πιθανότητα να 59

60 κινηθεί ένα βήμα δεξιά είναι p 45, η πιθανότητα να παραμείνει ακίνητο είναι q και η πιθανότητα να κινηθεί αριστερά είναι r 45 Δεδομένου ότι το σωματίδιο ξεκινά από τη θέση του άξονα ' : α) Ποια η πιθανότητα ώστε κατά την η χρονική μονάδα να βρίσκεται στο διάστημα [ 6,6] ; β) Να εξεταστεί η οριακή συμπεριφορά της πιθανότητας p n να βρεθεί στο διάστημα [ 6,6] μετά n χρονικές μονάδες Ποιό το lm p n για n ; Έστω +, p 45, q, r 45 τότε μετά από n χρονικές μονάδες η θέση του σωματιδίου δίνεται από την τμ Yn + + n Όσον αφορά στην τμ έχουμε E [ ] ( ) 45 και V E E + + [ ] [ ] [ ] 45 ( ) 45 9 Συνεπώς EY [ ] n E[ ] και VY [ ] nv [ ] n 9 α) n n P[ 6< Y < 6] P[ < Z < ] Φ( ) Φ( ) Φ( ) β) p n 65 n Φ( ) Φ() 9 n 7 σελ ) Η διάρκεια ζωής σε ώρες ενός ανταλλακτικού μιας μηχανής είναι τμ με σππ f( ) ep{ ( 5)}, > 5 Ποια η πιθανότητα ώστε η λειτουργία της μηχανής να ξεπεράσει τις 45 ώρες, αν διαθέτουμε συνολικά τέτοια ανταλλακτικά; 6

61 : Διάρκεια ζωής ανταλλακτικού σε ώρες, με f( ) ep{ ( 5)}, > 5 Τότε η τμ Y 5 Εκθ( ), με EY [ ] και VY [ ] Συνεπώς για την τμ έχουμε E [ ] EY [ + 5] 5, V[ ] V[ Y + 5] Αν διαθέτουμε τέτοια ανταλλακτικά η διάρκεια ζωής της μηχανής είναι ( 5, ) Άρα T N 45 5 PT [ > 45] PZ [ > ] PZ [ > 56] PZ [ 56] Φ (56) 76 7 σελ ) Κατά την κατασκευή μιας ηλεκτρονικής συσκευής χρησιμοποιούνται 5 αντιστάσεις των 6 Ohms για τον σχηματισμό απαιτούμενης συνολικής αντίστασης των 5 Ohms Στην πραγματικότητα το μέγεθος κάθε αντίστασης είναι τμ με μέση τιμή μ 6 Ohms και τυπική απόκλιση σ Ποια η μέγιστη τιμή του σ ώστε με πιθανότητα τουλάχιστον 95 η συνολική αντίσταση να μην αποκλίνει της απαιτούμενης περισσότερο του %; Έστω R η τμ που εκφράζει το μέγεθος της αντίστασης, τότε ER [ ] μ 6 και VR [ ] σ Το μέγεθος της συνολικής αντίστασης είναι η τμ 5 (5 6,5 ), αφού χρησιμοποιούμε 5 αντιστάσεις Ζητείται R R N σ μέγιστο σ ώστε να ισχύει P[ R 5 < 5] 95 P[ R 5 < 5] 95 P[47 < R< 5] 95 P[ < R< ] 95 5σ 5σ Φ( ) 95 Φ ( ) σ 6 5σ 5σ 5σ 6

62 Άσκηση) Μηχανή A κατασκευάζει άξονες με διάμετρο και μηχανή B υποδοχές των αξόνων με εσωτερική διάμετρο Y Εάν 6 (5, ) και N m m 6 (5, ) και για να εφαρμόζει ένα ζεύγος άξονα υποδοχής Y N m m απαιτείται όπως εφαρμόζουν; 5 < Y <, ποιό το ποσοστό των ζευγών που Είναι γνωστό ότι αν N( μ, σ ) και Y N( μ, σ ) τότε a + by N( aμ + bμ, a σ + b σ ) 6 Συνεπώς W Y N(, ), άρα P[5 < W < ] P[ 5 < Z < 5] Φ(5) Φ( 5) ( Φ (5))