ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σημειώσεις Μαθήματος

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σημειώσεις Μαθματος Διάλεξη : Ολοκλρωση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων: Παραβολικές και Υπερβολικές Εξισώσεις στην μία διάσταση D Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

2 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Η διαφορικ εξίσωση έχει εξάρτηση από τις παραγώγους μερικές παραγώγους δύο τουλάχιστον ανεξάρτητων μεταβλητών. a Forer eqao adveco eqao k-dv Κατηγοριοποιούνται σε τέσσερις τύπους: Ελλειπτικές Παραβολικές Υπερβολικές Μικτού τύπου Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

3 Έστω η γενικ γραμμικ μερικ διαφορικ στις -D,y,. A, B,,, G είναι σταθεροί συντελεστές A B A B A B Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο Κατηγοριοποίηση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων Ελλειπτικ εξίσωση Παραβολικ εξίσωση Υπερβολικ εξίσωση Κατηγοριοποίηση Τύποι εξίσωσης G F y E D y y B A

4 Παρατηρσεις στη κατηγοριοποίηση ΜΔΕ A B y Η κατηγοριοποίηση εξαρτάται μόνο από της υψηλότερης τάξη παραγώγους ανεξαρττως των τιμών D, E, F, G Για μη γραμμικά προβλματα [A,B, = f,y,], η διακρίνουσα μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την κατηγοριοποίηση των ΜΔΕ σε τοπικό επίπεδο. Οι τύποι των ΜΔΕ είναι ανεξάρτητοι του συστματος συντεταγμένων λ.χ. ο μετασχηματισμός των συντεταγμένων δεν θα αλλάξει τους τύπους τους. Συνακόλουθα οι φυσικές διεργασίες είναι ανεξάρτητες των συντεταγμένων. Απλοποίηση των ΜΔΕ μπορεί να επιφέρει αλλαγές στους τύπους των εξισώσεων: Μόνιμη κατάσταση: Παραβολικ ΜΔΕ Ελλειπτικ ΜΔΕ Συνοριακό στρώμα: Ελλειπτικ ΜΔΕ yy D Παραβολικ ΜΔΕ Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο E y F G

5 Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο Αναλυτά σχματα Αριθμητικ Επίλυση Παραβολικών Προβλημάτων με Πεπερασμένες Διαφορές Ε. Προς τα εμπρός διαφορές στο χρόνο / κεντρικές διαφορές στο χώρο Forward-Tme/eral-Space FTS Mehod, όπου Η εξίσωση για τον υπολογισμό της λύσης στο -κόμβο m+, όπου m ο αριθμός των χωρικών υποδιαστημάτων την χρονικ στιγμ +. Δεν χρειάζεται η επίλυση γραμμικού συστματος. Η τιμ της λύσης στο χρονικό βμα + υπολογίζεται σειριακά για κάθε κόμβο ανεξάρτητα. Πρόβλημα αρχικών τιμών στο χρόνο Πρόβλημα συνοριακών τιμών στο χώρο

6 Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο Ε. Μέθοδος Rchardso Ε. Μέθοδος Dfor-Frakel, Η εξίσωση για τον υπολογισμό της λύσης στο -κόμβο την χρονικ στιγμ +. /,, Η εξίσωση για τον υπολογισμό της λύσης στο -κόμβο την χρονικ στιγμ +. Σχμα ευσταθές χωρίς περιορισμούς

7 Μη-Αναλυτά σχματα I. Μέθοδος Laasoe Απαιτείται η επίλυση γραμμικού συστματος, καθότι υπάρχει αλληλεξάρτηση των τιμών της λύσης μεταξύ γειτονικών κόμβων το χρονικό βμα +. I. Μέθοδος rak-ncolso Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο Η εξίσωση για τον υπολογισμό της λύσης στο -κόμβο την χρονικ στιγμ +. Σχμα ευσταθές χωρίς περιορισμούς.,, Βασίζεται στην εφαρμογ της μεθόδου του τραπεζίου στους χωρικούς όρους. / / /

8 I. θ-μέθοδος Επιτρέπει μια γενικότερη θεώρηση στην προσέγγιση της χρονικς παραγώγου θє[,]: j j j a j a j Ειδικές Περιπτώσεις: θ= : Αναλυτ Μέθοδος θ=/ : rak-ncholso θ= : Μη αναλυτ j =jδ j=,, M Μ: αριθμός γεωμετρικών υποδιαστημάτων =δ =,, N N: αριθμός χρονικών υποδιαστημάτων Ευστάθειας Η αναλύτη μέθοδος είναι ευσταθς για =δ α/δ < ½ Η μη-αναλύτη και η rack-ncholso είναι ευσταθείς για όλες τις τιμές του. Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

9 Παράδειγμα επίλυσης παραβολικού προβλματος με αναλυτ Eler σε χρόνο-χώρο Ας μελετσουμε πως μεταφέρεται η θερμοκρασία σε μία λεπτ ράβδο με μεγάλο μκος σε μεταβατικές συνθκες, με δεδομένο ότι οι θερμοκρασίες στα άκρα μεταβάλλονται με τον χρόνο. Διέπουσα ΣΔΕ k Συνοριακές Συνθκες, e, 6e μεταβατικός μηχανισμός μηχανισμός αγωγς Αρχικές Συνθκες, k=.5 Θ l Θ r L= Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

10 . Διακριτοποίηση του φυσικού χώρου σε σημεία με =,,, 5. Διακριτοποίηση του χρόνου σε με =,,,, 5,. δ =.5, δ =.5 δ 5 δ + Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

11 . Εισαγωγ πεπερασμένων διαφορών στη διαφορικ εξίσωση k k k Ευστάθεια Εφαρμογ ο Χρονικό Βμα =.5 5 e... 6e Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

12 ο Χρονικό Βμα =. 5. e e Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

13 Αριθμητικ Επίλυση Υπερβολικών Προβλημάτων με Πεπερασμένες Διαφορές Αναλυτά σχματα a Δεν χρειάζεται η επίλυση γραμμικού συστματος. Η τιμ της λύσης στο χρονικό βμα + υπολογίζεται σειριακά για κάθε κόμβο ανεξάρτητα. Ε. Προς τα εμπρός διαφορές στο χρόνο / προς τα εμπρός διαφορές στο χώρο Forward-Tme/Forward-Space FTFS Mehod Η εξίσωση για τον υπολογισμό της λύσης στο -κόμβο την χρονικ στιγμ +. Πρόβλημα αρχικών τιμών στο χρόνο Πρόβλημα αρχικών τιμών στο χώρο, Η ευστάθεια του εξαρτάται από τον αριθμό ora Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο

14 Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο Ε. Προς τα εμπρός διαφορές στο χρόνο / κεντρικές διαφορές στο χώρο Forward-Tme/eral-Space FTS Mehod, Η εξίσωση για τον υπολογισμό της λύσης στο -κόμβο την χρονικ στιγμ +. Ε. Προς τα εμπρός διαφορές στο χρόνο / προς τα πίσω διαφορές στο χώρο Forward-Tme/Backward-Space FTBS Mehod, Η εξίσωση για τον υπολογισμό της λύσης στο -κόμβο την χρονικ στιγμ +. /

15 Ε. Μέθοδος La Η εξίσωση για τον υπολογισμό της λύσης στο -κόμβο την χρονικ στιγμ +. Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο Σχμα ευσταθές όταν ο αριθμός ora: Ε.5 Μέθοδος Μεσοδιαστματος Leapfrog Η εξίσωση για τον υπολογισμό της λύσης στο -κόμβο την χρονικ στιγμ +., Σχμα ευσταθές όταν ο αριθμός ora: Καλό σχμα.

16 Ε.6 Μέθοδος La-Wedroff Βασίζεται στην χρση του αναπτύγματος Taylor ως προς το χρόνο: Σχμα ευσταθές όταν ο αριθμός ora Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο!,,! a Παραγωγίζοντας τη διαφορικ εξίσωση ως προς τον χρόνο a a a Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις, χρησιμοποιώντας ταυτόχρονα πεπερασμένες διαφορές έχουμε: a Προτιμητέο σχμα.

17 Μη-Αναλυτά σχματα I. Μέθοδος Eler FTS Απαιτείται η επίλυση γραμμικού συστματος, καθότι υπάρχει αλληλεξάρτηση των τιμών της λύσης μεταξύ γειτονικών κόμβων το χρονικό βμα +. I. Μέθοδος rak-ncolso Γιάννης Δημακόπουλος & Γιάννης Τσαμόπουλος ΧΜ66 Εαρινό Εξάμηνο Η εξίσωση για τον υπολογισμό της λύσης στο -κόμβο την χρονικ στιγμ +. Σχμα ευσταθές χωρίς περιορισμούς.,, Βασίζεται στην εφαρμογ της μεθόδου του τραπεζίου στους χωρικούς όρους. / / / /