FIZIKA. Za tudente visoko olskega strokovnega tudija VARSTVO PRI DELU in PO ARNO VARSTVO. Igor Ser a

Transcript

1 FIZIKA Za tudente visokoolskega strokovnega tudija VARSTVO PRI DELU in POARNO VARSTVO Igor Sera Ljubljana, 8

2 Kazalo Uvod...3 Premo gibanje...4 Krivo gibanje...5 Sila...7 Navor...9 Masa Gibalna koliina Vrtilna koliina Delo Tlak... 1 Tlak... Gibanje tekoin... 5 Nihanje... 8 Valovanje Zvok Temperatura Energija Entropija Elektrini tok... 5 Upor Elektrino polje Magnetno polje Indukcija Elektromagnetno nihanje in valovanje... 7 Svetloba kot valovanje Energija svetlobe... 8 Lom svetlobe Literatura Zahvaljujem se Barbari Grobelnik za kritino branje skripte in mnoge koristne popravke.

3 Uvod Fizika je ena od osnovnih naravoslovnih ved. Njeni zaetki segajo e v antiko (Aristotel, Arhimed), ponoven razcvet pa je doivela v 17. stoletju predvsem na podroju mehanike in astronomije (Newton, Kepler, Hooke, ). V 18. in 19. stoletju sta se razvili najprej termodinamika in nato e elektrika. Brez obeh si teko predstavljamo dananjo industrijsko drubo in nain ivljenja, kot ga imamo.. stoletje je prineslo razvoj moderne fizike. Na eni strani obravnava teorija relativnosti pojave, povezane z gibanjem pri zelo visokih hitrostih, (primerljivih s hitrostjo svetlobe), na drugi strani pa kvantna fizika obravnava svet zelo majhnih delcev, kot so atomi in jedra. Fizika temelji na opazovanju narave. Na osnovi opazovanj se oblikujejo fizikalni modeli, ki bolj ali manj tono opisujejo dogajanje v naravi. Osnovna fizikalna spoznanja so zajeta v fizikalnih zakonih in izrekih. Vsaka meritve je sestavljena iz: fizikalne koliine (l, d, S, ), merskega tevila (1,34; 4,5 1-9 ; ) in merske enote (m, s, ) d Poznamo osnovne fizikalne enote: m meter (enota za dolino) s sekunda (enota za as) kg kilogram (enota za maso) K kelvin (enota za temperaturo) A amper (enota za elektrini tok) kmol kilomol (enota za mnoino snovi) = 1,34 m Vse ostale fizikalne enote so sestavljene iz osnovnih. Primer: ploina pravokotnika S = a b, kjer je a = m in b =3 m nam da S = m 3m = 6 m. Ploino torej merimo v m. V enem kilomolu snovi je vedno Avogadrovo tevilo (N A = ) delcev. Enota atomske mase (1u) ustreza 1/1 mase ogljikovega atoma 1 C. V 1 kg je ravno N A enot atomske mase. Fizikalne enote lahko opremimo s fizikalnimi predponami (npr. 1 km = 1 m): 1 1 T tera 1 9 G giga tevilo meritev 1 6 M mega na enoto napaka meritve 1 3 σ k kilo intervala merjene 1 koliine 1-3 m mili 1-6 mikro 1/3 meritev 1/3 meritev 1-9 n nano 1-1 p piko 1-15 f femto 1/6 meritev 1/6 meritev Merjenje fizikalne koliine (d) z nakljuno napako (σ). Merski rezultat lahko podamo z absolutno napako d = d ± σ ali pa z relativno napako d = d (1 ± σ / d ). N d1 + d dn Tu je d povprena vrednost meritve d = = di / N N i= 1 d d 3

4 Premo gibanje Telo se giblje premo, e se deli telesa gibljejo premo in se ob enakih asih premaknejo za enak razdalje. Premo gibanje telesa lahko natanno opiemo, e spremljamo lego (s) ene toke tega telesa kot funkcijo asa (t). Gibanje lahko podamo s tabelo ali grafom. Enakomerno gibanje Telo se giblje enakomerno, kadar v enakih asovnih intervalih (ds) naredi enake premike (dt). Tedaj pot naraa kot linearna funkcija asa, kvocient prirasta poti na interval asa pa imenujemo hitrost (v). Hitrost enakomernega gibanja je konstantna. s = s + vt s s v = = konst. t s s dt ds t Pospeeno gibanje Kadar pot ne naraa kot linearna funkcija asa, je gibanje pospeeno. Za tako gibanje lahko izraunamo hitrost kot kvocient prirasta poti v intervalu asa, le da moramo vzeti interval asa ustrezno kratek, da je prirast poti e vedno sorazmeren s prirastom asa. Za pospeeno gibanje lahko izraunamo tudi pospeek (a) kot kvocient prirasta hitrosti (dv) v ustrezno kratkem intervalu asa (dt). ds v = dt [ m / s] Matematino bi lahko zgoraj zapisani enabi razumeli, kot da je hitrost odvod poti po asu in pospeek odvod hitrosti po asu. Torej velja tudi obratno; pot je integral hitrosti po asu in hitrost je integral pospeka po asu. t s( t) s v( t ') dt ' Enakomerno pospeeno gibanje a dv dt = m / s = + Gibanje je enakomerno pospeeno, kadar je pospeek konstanten. Tedaj hitrost naraa kot linearna funkcija asa in pot kot kvadratna funkcija asa. t v( t) = v + a( t ') dt ' Prosti pad a = konst. v = v + at at s = s + vt + v v dt dv t s s t Prosti pad je enakomerno pospeeno gibanje s pospekom a=g = 9,81 m/s, ki kae v smeri proti srediu Zemlje. Ta pospeek je posledica tenostnega polja Zemlje in ga zato imenujemo tudi gravitacijski oziroma teni pospeek. 4

5 Krivo gibanje V splonem ima lahko vsaka toka sistema svoj tir gibanja. e je telo togo, lahko gibanje razstavimo na translacijo (toke telesa se gibljejo po vzporedno premaknjenih enakih krivuljah) in rotacijo (obstaja negibna os vrtenja telesa). Najenostavneji je opis krivega gibanja, e lahko telo obravnavamo kot tokasto (dimenzija telesa je mnogo manja od razsenosti gibanja). Krivo gibanje lahko opiemo z uvedbo vektorjev. Za razliko od skalarnih koliin (masa, as, dolina, ), ki imajo samo velikost, imajo vektorske koliine (lega, hitrost, pospeek, sila, ) tudi smer. Vektorje najlaje opiemo v kartezinem koordinatnem sistemu. V tem koordinatnem sistemu veljajo za vsako komponento vektorja lege, hitrosti in pospeka enaki zakoni kot pri premem gibanju. t ds v = ; s = v( t ') dt ' s dt + t dv Posebni primeri krivega gibanja: a = ; v = a( t ') dt ' + v dt Vodoravni met Vodoravni met je krivo gibanje, pri katerem se telo v vodoravni smeri giblje enakomerno, v navpini smeri pa enakomerno pospeeno s tenim pospekom g. Krivulja leta je parabola. Poevni met Pri poevnem metu je gibanje v vodoravni smeri enakomerno, v navpini smeri pa enakomerno pospeeno s tenim pospekom g, le da tu zaetna hitrost v oklepa z vodoravno smerjo kot. Enakomerno kroenje a = (, g) v = ( v, gt) s = v t h gt d = v Kot zasuka (razmerje med kronim lokom s in radijem r) linearno naraa s asom t Kotno hitrost definiramo kot razmerje med prirastom kota d in asa dt Obodna hitrost kroenja v je enaka produktu kotne hitrosti in radija kroenja r Frekvenca kroenja je doloena s kvocientom tevila obhodov kroenja N in za to potrebnega asa t, kar je enako reciproni vrednosti asa enega obhoda t (, / ) h g a = (, g) v = ( v cos( α ), v sin( α) gt) s = v t v t gt ( cos( α), sin( α) / ) v tl = sin( α ) g v d = g sin( α ) h y s ϕ = ωt ϕ = r dϕ ω = dt v = ωr m s y v [ rad / s] [ / ] v N 1 ν = = Hz = s t t d 1 d h x r v x d 5

6 Pospeek pri enakomernem kroenju Enakomerno kroenje je pospeeno gibanje zaradi stalnega spreminjanja smeri obodne hitrosti. Ta je namre vedno tangentna na tir kroenja, tako da kae pospeek pri enakomernem kroenju vedno v smeri proti srediu kroenja. Zaradi tega ta pospeek imenujemo centripetalni a c oziroma radialni pospeek a r. Njegova velikost naraa s kvadratom kotne hitrosti kroenja in je sorazmerna radiju kroenja. r v d v 1 dv v v 1 d dv = v v1 = vdϕ = vωdt a c = ω r = v / r dv = acdt Pospeeno kroenje Pri pospeenem kroenju kotna hitrost kroenja ni stalna, ampak se spreminja s asom. Kvocient med prirastom kotne hitrosti d in prirastom asa dt imenujemo kotni pospeek. Pri pospeenem kroenju se spreminja tudi velikost hitrosti (obodna hitrost) s pospekom v smeri tangente na kronico kroenja. Ta pospeek imenujemo tangenti pospeek a t in je po velikosti enak produktu kotnega pospeka in radija kroenja. Celotni pospeek je pri pospeenem kroenju tako vsota dveh pravokotnih komponent: centripetalnega pospeka v smeri radija in nanj pravokotnega tangentnega pospeka. dω α dt a = αr t = rad / s Enakomerno pospeeno kroenje ω = α( t ') dt ' + ω Pri enakomerno pospeenem kroenju je kotni pospeek stalen, kotna hitrost linearno naraa s asom, kot pa naraa s kvadratom asa. Enabe enakomerno pospeenega kroenja so praktino identine enabam enakomerno pospeenega premega gibanja, le da v njih pot zamenjamo s kotom, hitrost s kotno hitrostjo in pospeek s kotnim pospekom. α = konst. ω = ω + αt αt ϕ = ϕ + ωt + t t ϕ = ω( t ') dt ' + ϕ a a c a t 6

7 Sila Mehaniko razdelimo na kinematiko, ki opisuje gibanje teles, in na dinamiko, ki obravnava vzroke za gibanje. Telesa se gibljejo zaradi sil, ki delujejo nanje. Sila je vektor (ima velikost in smer). e je vsota vseh sil na telo enaka ni, telo miruje ali se giblje premo enakomerno (izrek o ravnovesju sil). Sile so v ravnovesju, kadar je njihova vsota enaka ni. Rezultanta sil je vektor, ki kae v smeri vsote sil. Tea in tehtanje Zaradi gravitacijskega privlaka Zemlje imajo telesa teo. Tea je sila gravitacijskega privlaka Zemlje. Telo z maso m ima teo sorazmerno masi, sorazmernostni koeficient pa je kar teni pospeek g = 9,8 m/s. F = m g Telo z maso 1 kg ima teo 9,8 N (newton). Zaradi tee se giblje telo proti Zemlji s pospekom g = 9,8 m/s. Za pospeek 1 m/s je potrebna 9,8 krat manja sila. Torej 1 N (newton) je sila, ki da masi 1 kg pospeek 1 m/s. 1 N je tudi tea 1 g utei. Sile lahko tehtamo tako, da neznano silo (v navpini smeri) uravnoteimo z znano teo utei. e lahko z utemi povzroamo in merimo sile samo v navpini smeri, lahko z dinamometrom (umerjeno vijano vzmetjo) povzroamo sile v poljubni smeri prostora. Dinamometer temelji na Hookovem zakonu, da je raztezek vzmeti x sorazmeren silo F, ki ga je povzroila. Sorazmernostni koeficient k imenujemo koeficient vzmeti. Zakon o vzajemnem uinku (3. Newtonov zakon) Sili, s katerima delujeta dve telesi druga na drugo, sta nasprotno enaki: F1 = F1 (ta zakon je znan tudi pod imenom zakon akcije in reakcije) Zunanje in notranje sile g F = k x ; k [ N / m] Pri vsakem poskusu moramo doloiti telesa, ki sodijo v sistem, ki ga opazujemo, in telesa iz okolice. Nadalje lahko sile med telesi razdelimo na: Notranje sile, ki delujejo med telesi v sistemu. Zunanje sile. To so sile teles iz okolice na telesa v sistemu. Sile sistema na telesa v okolici (nas ne zanimajo). Sile med telesi v okolici (nas ne zanimajo). Zaradi zakona o vzajemnem uinku, je vsota notranjih sil enaka ni. Izrek o ravnovesju sil oziroma 1. Newtonov zakon lahko sedaj zapiemo v naslednji obliki: Vsota vseh zunanjih sil, ki delujejo na mirujoe ali premo enakomerno gibajoe se telo, je enaka ni. 7

8 Sile ob dotiku teles Na mirujoe telo deluje tea F g v navpini smeri navzdol in njej nasprotno enaka sila podlage F. e na telo delujemo v vodoravni smeri s silo vrvice F v, se spremeni tudi sila podlage. Ta ni ve pravokotna na podlago ampak kae poevno navzgor. Njena navpina komponenta je e vedno enaka F, vodoravno komponento sile podlage pa imenujemo sila lepenja F l in je nasprotno enaka sili vrvice. F l F F g F v Sila lepenja je navzgor omejena s F l_max. Ko sila vrvice presee F l_max, telo zdrsne in takrat (pri drsenju telesa) deluje na telo v nasprotni smeri hitrosti telesa vodoravna sila podlage, ki jo imenujemo sila trenja F t. Najveja sila lepenja in sila trenja sta sorazmerni tei telesa in torej tudi navpini komponenti sile podlage F, sorazmernostna koeficienta pa imenujemo koeficient lepenja k l oziroma koeficient trenja k t. Ravnovesje sil na klancu F = k F ; F = k F l,max l t t F Teo telesa na klancu je ugodno razstaviti na komponento, pravokotno na klanec (statino silo F s ), in komponento vzdol klanca (dinamino silo F d ). V ravnovesju velja: F = F F = F cos( ϕ) F s l = F d F s d g = F sin( ϕ) g F d ϕ ϕ F s F l Porazdelitev sil Sile lahko na telo delujejo tokovno, po premici, po ploskvi in po prostornini telesa. df 5 Ploskovno porazdeljeno silo imenujemo tlak p = N / m = Pa = pascal = 1 bar ds, df prostorsko porazdeljeno pa gostota sile f =. dv Pronost Deformacija pronega telesa je v obmoju elastinosti sorazmerna napetosti. Pri vejih napetostih se telo plastino deformira in e pri vejih, ko je preseena meja trdnosti, pretrga. Na primeru palice doline l in prenega preseka S lahko deformacijo opiemo z njenim relativnim raztezkom l/l in napetost s kvocientom sile in preseka F/S. V obmoju elastinosti velja Hookov zakon F = E l, kjer je E pronostni S l modul snovi. F/S meja trdnosti meja elastinosti l/l 8

9 Navor Na gibanje telesa vpliva tudi prijemalie sil. Kadar je vsota vseh zunanjih sil enaka ni, lahko sile z razlinimi prijemalii e vedno povzroajo pospeeno vrtenje telesa. Obravnavali bomo toga telesa z negibno osjo in silami, ki delujejo v ravnini, pravokotni na os vrtenja telesa. Vsaki sili lahko v tem primeru pripiemo roico r, to je pravokotna razdaljo do osi glede na silo. Telo, na katero delujeta dve sili, ki povzroata vrtenje telesa v nasprotnih smereh, miruje, kadar je njun produkt roic in sil enak: r 1F1 = r F. O vrtenju telesa torej odloa produkt roice in sile. F 1 r 1 r F Definicija navora Navor je enak produktu roice in sile. Po velikosti je navor enak ploini paralelograma, napetega na vektorja r in F. M = rf sin( ϕ) = r F Navor lahko obravnavamo tudi kot vektor s smerjo pravokotno na ravnino, ki je napeta na vektorja r in F. Predznak (smer) tega vektorja je doloen s smerjo potovanja desnosunega vijaka pri vrtenju, kot ga povzroa sila F. e je smer vrtenja pozitivna (tako vrtenje povzroa sila F 1 na sliki zgoraj), potem potuje desnosuni vijak navzgor (iz papirja) in to je tudi smer navora. e je smer vrtenja negativna (tako vrtenja povzroa sila F na sliki zgoraj), potem potuje desnosuni vijak navzdol (v papir), kamor kae navor. Navor dvojice sil Kadar na telo deluje ve sil z razlinimi prijemalii, je ugodno sile najprej seteti v rezultanto sil in poiskati novo prijemalie rezultante sil, da bo navor rezultante enak vsoti navorov posameznih sil. To nalogo je mono reiti le v izjemnih primerih, ko: Imajo sile skupno prijemalie So vse sile med seboj vzporedne Imamo opravka le z dvema nasprotno enakima silama z razlinima F prijemaliema (z dvojico sil). Navor dvojice sil je enak: r Navor dvojice sil je torej neodvisen od izbire osi. Odvisen je le od velikosti sil in pravokotne razdalje med njima. Notranji navori M = r F [ ] M = r F Nm M = M + M = r F + r F = ( r r ) F = af Navore na telo razdelimo na notranje, ki jih povzroajo notranje sile, in na zunanje navore, ki so posledica zunanjih sil. Za notranje sile vemo, da delujejo v parih in da je vsota vsakega takega para sil zaradi zakona o vzajemnem uinku enaka ni. Poleg tega velja, da so notranje sile tudi centralne, torej delujejo v smeri zveznice med prijemaliema teh sil. Vsak par r 1 -F r a F 9

10 notranjih sil je torej dvojica sil z medsebojno razdaljo a =, tako da je navor vsakega para notranjih sil enak ni. Vsota vseh notranjih navorov je zato enaka ni. Ravnovesje navorov Spoznanje, da je vsota notranjih navor ni, lahko uporabimo za dopolnitev izreka o ravnovesju, ki se po novem glasi: Pri telesu, ki miruje ali se giblje premo enakomerno, je vsota vseh zunanjih sil in zunanjih navorov enaka ni. F = ; M = Merjenje navora i i i Navor lahko merimo s torzijsko tehtnico, ki obiajno temelji na polasti vzmeti. Pri tej je zasuk vzmeti sorazmeren navoru M (podobno, kot je raztezek vijane vzmeti sorazmeren sili). Polasti vzmeti lahko pripiemo koeficient polaste vzmeti D, ki je doloen s kvocientom navora in zasuka vzmeti. M = Dϕ i 1

11 Masa Sile povzroajo pospeeno gibanje teles. Konstantna sila povzroi gibanje s konstantnim pospekom oziroma enakomerno pospeeno gibanje. Pospeek telesa je pri tem sorazmeren sili, ki ga povzroa. Zaradi mase imajo telesa vztrajnost, kar pomeni, da se upirajo pospeenemu gibanju. Za telo z vejo maso je potrebna veja sila, da doseemo enak pospeek, kot pri telesu z manjo maso. Enaka sila bi pri takem telesu povzroila manji pospeek. e enaka sila povzroi dvema telesoma enak pospeek, potem imata ti telesi enaki masi. Masa je skalarna koliina in je aditivna (masa dveh teles je enaka vsoti mas prvega in drugega telesa). Za maso tudi velja zakon o ohranitvi mase, ki se glasi: Masa telesa je stalna, e mu ne dodamo ali ne odvzamemo ni snovi. Razlikovati moramo med maso in teo. Masa telesa je povsod enaka (1kg snovi na Zemlji je ravno tako 1kg snovi na Luni), njegova tea, ki je enaka sili zaradi gravitacije, pa ne (tea 1kg na Zemlji je 9,8 N, na Luni pa 1,6 N). Maso merimo v kg, teo pa v N.. Newtonov zakon S poskusi se lahko prepriamo, da potrebujemo za enak pospeek telesa silo, ki je sorazmerna masi telesa. e od prej vemo, da je sila sorazmerna pospeku telesa. Torej je sila sorazmerna produktu mase in pospeka. F m F ma ; F = ma F a. Newtonov zakon se glasi: Produkt mase in pospeka pri premem gibanju telesa je enak vsoti zunanjih sil, ki delujejo nanj. Zaradi ustrezne izbire enot, je sila kar enaka produktu mase in pospeka. Drugi Newtonov zakon lahko preverimo na primeru prostega padanja teles zaradi tee. Tea teles Fg = mg g res povzroi padanje s pospekom a = F / m = g. Izkae se da prav vsa telesa padajo s g v pospekom a = g, kar pomeni, da je gravitacijska masa enaka vztrajni masi mg = mv. Odslej obeh mas ne bomo loili in bomo za maso vedno uporabljali samo oznako m. Ker sta tako sila kot pospeek vektorja in ker velja. Newtonov zakon za vsako od komponent obeh vektorjev, velja. Newtonov zakon tudi v vektorski obliki. F = ma Sila pri kroenju Ker je enakomerno kroenje pospeeno gibanje z radialnim oziroma centripetalnim pospekom a r v smeri radija kroenja, deluje na telo v tej smeri radialna sila F r. v = = F r r Fr m mω r e je kroenje pospeeno, deluje na telo tangentna sila F t v smeri tangentno na tir kroenja. F = ma = mα r t t F t 11

12 Teie Gibanje netokastih teles je vasih zelo zapleteno, saj se deli telesa lahko gibljejo po povsem razlinih tirih in imajo zato tudi povsem razline pospeke. Kako je v takih primerih z. Newtonovim zakonom? Izkae se, da lahko netokastim telesom pripiemo posebno toko (teie), za katero e vedno velja. Newtonov zakon v obliki F = ma. V 1D raunamo lego teia x * sistema teles po enabi: * * * m1 ( x1 x ) + m ( x x ) + + mn ( xn x ) =, kjer so x 1, x,, x N lege teles z masami m 1, m,, m N. Od tod sledi Navor tee x = N * i= 1 N i= 1 m x i m i i oziroma v 3D r = N * i= 1 N i= 1 m r m i i i Mislimo si, da imamo sistem dveh teles z masama m 1, m in ustreznima legama x 1, x, kjer je os sistema postavljena v izhodie koordinatnega sistema. Navor na to os je tedaj enak * * M = x1m1 g + xmg = ( x1m 1 + xm ) g = mx g M = x mg x 1 F g1 x F g Navor tee je torej enak tei predmeta pomnoeni s pravokotno razdaljo od osi do teinice (to je navpine premice, ki poteka skozi teie). Navor tee je oitno enak ni, e lei os na teinici, saj je tedaj x * =. Izrek o gibanju teia Produkt celotne mase in pospeka, s katerim se giblje teie telesa ali sistema teles, je enak vsoti vseh zunanjih sil. * F = ma ; a * - pospeek teia Teie je tista toka telesa, ki se giblje tako, kot da bi v njej bila zbrana vsa masa telesa (ali sistema teles) in kot da bi v njej prijemale vse zunanje sile. Gravitacija Na osnovi opazovanj nebesnih teles, predvsem Keplerjevih zakonov: 1. Planeti kroijo okoli Sonca po elipsah. Sonce je v enem od gori elipse.. Planeti se gibljejo tako, da radij vektor od Sonca do planeta opie v enakih asih enake ploine. 3. Kvadrati obhodnih asov planetov okoli Sonca so sorazmerni s kubi njihovih srednjih razdalj od Sonca. je Newton priel do zakljuka, da je gravitacijska sila sorazmerna z maso telesa, na katerega deluje gravitacijska sila, in da ta sila pada s kvadratom razdalje od telesa, ki gravitacijsko silo povzroa. e izhajamo iz dejstva, da je gravitacijska sila enaka radialni sili, ki povzroa gibanje planetov okoli Sonca, potem od tod sledi 3. Keplerjev zakon in obratno. F = F mω r = Km / r ( π / t ) r = K / r t = r ( π ) / K r g 3 1

13 Poleg tega je potrebno upotevati tudi zakon o vzajemnem uinku. Torej: e Sonce privlai planet s silo sorazmerno z maso planeta, potem mora tudi planet privlaiti Sonce z nasprotno enako silo, ki je tudi sorazmerna masi Sonca. Od tod sledi Newtonov gravitacijski zakon, ki pravi: Gravitacijska sila med dvema telesoma je sorazmerna produktu obeh njunih mas in obratno sorazmerna s kvadratom njune medsebojne razdalje. m m, 6,7 1 / r 1 11 F = G G = Nm kg Tu je G splona gravitacijska konstanta. e v zgornji enabi m 1 nadomestimo z maso Zemlje m Z, m z maso telesa m in r s polmerom Zemlje r Z = 64 km, dobimo izraz za teo na povrju Zemlje. Od tod lahko iz znanega tenega pospeka na Zemljinem povrju g = 9,8 m/s izraunamo maso Zemlje. Z = Z / Z Z = mg Gmm r m Izraunajmo, kako se spreminja teni pospeek pri oddaljevanju od Zemlje. Telo, ki ga s povrja Zemlje vremo s hitrostjo v vodoravni smeri (tangentno na Zemljin krog), pade na Zemljo, e je njegova hitrost manja od v = rz g = 79 m/s, se giblje po eliptinem tiru, e je njegova hitrost med 79 m/s in 11 m/s ter trajno zapusti Zemljino orbito, e je njegova hitrost veja od 11 m/s. g r G mg = Gmm / r r = mg( r) = Gmm / r Z Z Z ( ) g r g Z r 13

14 Gibalna koliina Newtonovega zakona ne moremo zmerom uporabiti, saj pogosto ne poznamo sil ali pospekov teles. Izkae se, da lahko tudi v takih primerih povemo nekaj o asovnem integralu sile (sunku sile), ki deluje na telo, e le poznamo zaetno in konno hitrost telesa. Denimo, da opazujemo premo gibanje predmeta. V zaetnem trenutku naj ima telo hitrost v, potem na telo za kratek as t deluje sila F in zaradi te sile se telesu spremeni hitrost na konno hitrost v'. v Ft v zaetno stanje sunek sile konno stanje Hitrosti v in v' sta povezani, saj je gibanje telesa v asu t bilo enakomerno pospeeno ob predpostavki, da je bila sila F stalna. F v ' = v + at = v + t mv ' mv = Ft m Desno stran enabe, to je produkt sile in asa njenega delovanja (Ft), imenujemo sunek sile. Levo stran enabe, v kateri nastopa razlika produktov mase in hitrosti, pa imenujemo sprememba gibalne koliine. Tu je gibalna koliina (G) definirana kot produkt mase in hitrosti G = mv. Izrek o gibalni koliini (zgoraj zapisana enaba) torej pravi: Sprememba gibalne koliine je enaka sunku zunanjih sil. Ker sta sila in hitrost vektorja, velja zgornja enaba tudi v vektorski obliki. G = Ft e je as trajanja sile dalji in se v tem asu sila znatno spreminja, potem je potrebno delovanje sile obravnavati v krajih asovnih intervalih, toliko kratkih, da se v njih sila ne spreminja, in na koncu izraunati sunek sile kot vsoto sunkov sil vseh teh asovnih intervalov. To operacijo setevanja matematino zapiemo z integriranjem sile po asu. G = Fdt Gibalno koliino teles, ki niso tokasta, ali sistemov teles, raunamo po enabi G = mv *, kjer je v * hitrost teia telesa ali sistema teles. Ohranitev gibalne koliine Pogosto naletimo na primere, ko pride do spremembe v sistemu teles zaradi notranjih sil, pri emer je vsota zunanjih sil na sistem enaka ni. V teh primerih se gibalna koliina ohranja in velja, da je gibalna koliina sistema pred spremembo enaka gibalni koliini sistema po spremembi, saj je sunek zunanjih sil na sistem enak ni. Fdt = G = G = G ' 14

15 Tovrstni primeri so: neproni trk dveh teles, proni trk dveh teles, eksplozija granate, Ohranitev gibalne koliine uporabljamo tudi v balistiki za izraun hitrosti izstrelka. Visoko hitrost izstrelka lahko izraunamo iz mnogo manje in zato laje merljive hitrosti klade po trku. G = G ' m v = ( m + m ) v ' v = (1 + m / m ) v ' Tok snovi Poznamo masni tok φ = m / t [kg/s] oziroma φ = dm / dt, e tok ni enakomeren, in volumski m tok φ V = V / t [m 3 /s] oziroma φ V = dv / dt, e tok ni enakomeren. Oba povezuje gostota ( ρ = m / V [kg/m 3 ]) pretakajoe se tekoine φm = ρ φv. Volumski tok tekoine, ki tee s srednjo hitrostjo v po cevi prenega preseka S, je enak φ V = vs, ustrezen masni tok pa je φ m = ρvs. Sila curka v i v k = v pred trkom po trku i i i k i k i m Curek tekoine naj z masnim tokom m in hitrostjo v udarja ob steno. Opazujemo del tekoine z maso m t. Temu delu se v asu t spremeni hitrost iz v na v', za kar je bil potreben sunek sile stene Ft, curek pa po zakonu o vzajemnem uinku deluje nazaj na steno z nasprotno enakim sunkom sile - F c t. Sila curka je tako enaka F t = Ft = G = φ t v ' φ t v = φ t v F = φ v c m m m c m v v m t m t Ft Curek, ki ob steni spolzi, ustvarja silo Fc = φmv, ki je pol manja kot sila curka, ki bi se od stene odbil z nasprotno enako hitrostjo, kot je priletel nanjo F = φ v. c m Sila curka je pomembna za delovanje letalskih in raketnih motorjev, saj oboji delujejo na principu pospeitve plinov v motorju, za kar je potrebna sila motorja na plin. Po zakonu o vzajemnem uinku plin deluje z nasprotno enako (reakcijsko) silo na motor. 15

16 Vrtilna koliina Opazujmo vrtenje togega telesa okoli nepremine osi. Opazimo lahko, da je vrtenje telesa enakomerno, e ni zunanjih navorov na telo, in pospeeno, e so zunanji navori razlini od ni. Kotni pospeek vrtenja () je pri tem sorazmeren z navorom (M). Sorazmernostni koeficient imenujemo vztrajnostni moment (J) in ima podoben pomen kot masa pri premem gibanju. Vztrajnostni moment je merilo za to, kako mono se telo upira pospeevanju pri vrtenju. M = Jα Zakon vrtenja Pri vrtenju togega telesa okoli nepremine osi je produkt vztrajnostnega momenta in kotnega pospeka enak vsoti zunanjih navorov na os vrtenja. Vztrajnostni moment Vrtenje tokastega telesa: M = rf = rma = rmrα = mr α Vztrajnostni moment tokastega telesa je torej t t J = mr. r a r a t F t m e je na isti osi ve tokastih teles, ki so togo povezana med seboj, potem je vztrajnostni moment enak J = m r i i i, kjer je m i masa teles in r i njihova pravokotna razdalja od osi. e vedno velja M = Jα, kjer je M vsota zunanjih navorov na telesa. V splonem, ko je masa telesa zvezno porazdeljena, raunamo vztrajnostni moment po enabi J = r dm. Vztrajnostni momenti nekaterih teles preprostih geometrskih oblik so: J = mr J = mr J = mr J = mr J = ml J = ml O obro obro valj krogla palica palica Izrek o vrtilni koliini Na vrtee se telo, ki se okoli nepremine osi na zaetku vrti s kotno hitrostjo, naj deluje za as t navor M. Na koncu se telo vrti okoli osi s kotno hitrostjo '. Mt zaetno stanje sunek navora konno stanje 16

17 Zaetna in konna kotna hitrost telesa sta povezani s sunkom navora (Mt). e je navor stalen, velja zveza: M ω ' = ω + αt = ω + t Jω ' Jω = Mt J Produkt navora in asa Mt imenujemo sunek navora, produkt vztrajnostnega momenta in kotne hitrosti pa vrtilna koliina Γ = Jω. e navor ni stalen, raunamo sunek navora z integralom navora po asu Mdt. Izrek o vrtilni koliini se glasi: Sprememba vrtilne koliine je enaka skupnemu sunku zunanjih navorov. Γ = Mdt Ohranitev vrtilne koliine Vrtilna koliina se ohranja, kadar je sunek navorov enak ni: pirueto). Posploitev vrtilne koliine Γ = Γ ' (primer: drsalec, ki dela Vrtilno koliino je mono pripisati tudi telesom, ki se ne gibljejo po kronih tirih okoli nepremine osi. m Γ = Jω = mr ω = mr v / r = rmv = r mv sin( ϕ) = r G v Γ = r G r v r Vrtilno koliino lahko v splonem obravnavamo kot vektor, enak vektorskemu produktu med roico in gibalno koliino. Vrtilna koliina je torej vektor, ki ima smer osi vrtenja. Z novo definicijo velja izrek o ohranitvi vrtilne koliine tudi v vektorski obliki. Kotaljenje Kotaljenje je gibanje, pri katerem je os vrtenja premina. Podobno gibanje je tudi vrtenje Zemlje okoli Sonca. V takih primerih lahko celotno vrtilno koliino razstavimo na dva dela: na obodno vrtilno koliino ( ), ki je enaka vrtilni koliini teia telesa okoli osi vrtenja, in na lastno vrtilno koliino ( * ), ki jo ima telo zaradi vrtenja okoli osi, ki poteka skozi teie telesa. Spreminjanje obodne vrtilne koliine povzroajo navori zunanjih sil, ki prijemljejo v teiu telesa (M ), spreminjanje lastne vrtilne koliine pa povzroajo navori zunanjih sil glede na teino os (M * ). * * Γ = Γ + Γ ; M = M + M * * dγ = M dt ; dγ = M dt Pospeek pri kotaljenju po klancu Γ = Mdt Fd Fl = ma J g sin( ϕ) Fl r = Jα Fd a = ma a = r J a = αr 1+ mr F d ϕ F l 17

18 Delo Delo je povezano z delovanjem sil in z njimi povezanimi premiki teles v smeri ali nasprotni smeri sil. Opazujmo telo, ki se na zaetku giblje s hitrostjo v, nanj naj nato za as t deluje sila F, tako da na koncu telo pridobi hitrost v'. Kot e vemo iz izreka o gibalni koliini, velja Desno stran enabe imenujemo delo (A), leva stran pa je enaka spremembi kinetine energije (W k ). Telo prejme delo (A > ), kadar ima sila F enako smer kot premik s, in odda delo (A < ), kadar ima sila F nasprotno smer kot premik s (takno je delo sile trenja ali upora). Kinetina energija mv Kinetina energija ( W k = ) je enaka polovici produkta mase telesa pomnoene s kvadratom hitrosti telesa. Po prejetem delu se telesu povea kinetina energija, po oddanem delu pa se zmanja. Kinetina energija je vedno pozitivna ali enaka ni (enaka je ni, ko je hitrost enaka ni). Delo in kinetina energija sta skalarja. Izrek o kinetini energiji pravi: Pri togem telesu je delo zunanjih sil enako spremembi kinetine energije. W = A Mo Sprememba kinetine Mo je definirana kot kvocient prejetega ali oddanega dela v enoti asa. Pri telesu, kjer ima sila isto smer kot hitrost telesa, velja tudi P Posploitev dela v ' + v m( v ' v) = Ft ; vs = m( v ' v)( v ' + v) / = Ftv mv ' mv = Fs W = A Delo energije k A = Fs [ Nm = J = joule] A da P = P = W = watt = J s t dt k [ / ] = Fv. Sila F v splonem ni vzporedna s potjo, ampak z njo oklepa poljubni kot ϕ. V tem primeru opravlja delo le komponenta te sile, ki je vzporedna s premikom ( F ' = F cos( ϕ) ). F s Mnoimo s srednjo hitrostjo A = F ' s = Fs cos( ϕ) = F s F ϕ F s Mo je v tem primeru enaka P = F v. e je tudi pot kriva, potem raunamo delo z integralom sile po poti: A = F ds 18

19 e je sila neodvisna od poti (pravimo, da je sila konzervativna), je delo odvisno le od zaetne in konne toke. Ena taknih sil je tea. Delo tee pri dvigovanju tokastega predmeta za viino h lahko izraunamo po enabi: Energija pri vrtenju Togo telo, ki se vrti okoli nepremine osi, ima rotacijsko kinetino energijo, ki je enaka Jω Wk _ rot =, kjer je J vztrajnostni moment telesa in kotna hitrost vrtenja okoli osi. Delo pri vrtenju je enako produktu navora na os in zasuka okoli nje A = Mϕ, mo pri vrtenju pa je enaka produktu navora in kotne hitrosti vrtenja okoli osi P = M ω. Z novimi koliinami, ki veljajo za vrtenje, e vedno velja izrek o kinetini energiji A = W k _ rot. Energija pri kotaljenju r ' z ' A = F ds = mg dz = mg( z ' z) g r g z Delo pri kotaljenju lahko razstavimo na delo zaradi translacije (prvi len), ki je enako produktu vsote vseh zunanjih sil na telo in premiku teia telesa, ter na delo zaradi rotacije (drugi len), ki je enako produktu navora zunanjih sil na os, ki poteka skozi teie telesa, in zasuka telesa okoli teine osi. * * A = Atr + Arot = Fs + M ϕ Podobno lahko tudi kinetino energijo telesa razstavimo na kinetino energijo zaradi translacije, ki je enaka produktu mase telesa in kvadrata hitrosti teia telesa polovic, ter na kinetino energijo rotacije, ki je enaka produktu vztrajnostnega momenta telesa okoli teine osi in kvadrata kotne hitrosti vrtenja okoli te osi polovic. mv J ω Wk = Wk _ tr + Wk _ rot = + * * Translacijsko delo je enako spremembi translacijske kinetine energije, rotacijsko delo pa je enako spremembi rotacijske kinetine energije A = W ; A = W tr k _ tr rot k _ rot Potencialna energija Dosedanje pojmovanje dela bomo nekoliko spremenili. K delu A bomo teli delo vseh zunanjih sil razen tee, delo tee A g pa bomo obravnavali loeno. Izreko o kinetini energiji se sedaj zapie v obliki: A + A = W ; A = W A = W + W g k k g k p Pri tem smo uvedli novo obliko energije, ki jo imenujemo potencialna energija (W p ). Sprememba potencialne energije je enaka negativnemu delu tee Wp = Ag. e se vrnemo k rezultatu za delo tee, ki smo ga za tokasto telo izpeljali nekoliko nazaj, lahko vidimo, da je sprememba potencialne energije enaka W = mg( z ' z), p 19

20 kjer sta z' in z konna in zaetna viina predmeta. Potencialna energija telesa je torej enaka produktu njegove mase (m), tenega pospeka g in viine telesa z ( W = mgz ). e telo ni tokasto ali e obravnavamo sistem teles, moramo za viino vzeti viino teia telesa oziroma sistema teles (z * ) * = mgz Wp Z uvedbo potencialne energije se nekoliko spremeni tudi izrek o kinetini energiji. Ta se po novem glasi: Skupna sprememba kinetine in potencialne energije je pri togem telesu enaka skupnemu delu zunanjih sil razen dela sile tee. A = W + W k p p Ravnovesne lege togega telesa Pri togem telesu, ki je vrtljiv okoli nepremine osi, loimo stabilno in labilno ravnovesno lego. Telo je v stabilni legi, ko se po vsaki dovolj majhni zunanji motnji, ki ga nekoliko izmakne iz ravnovesne lege, spet povrne v ravnovesno lego. Telo je v labilni ravnovesni legi, ko taka motnja povzroi, da se telo e bolj odmakne od ravnovesne lege. Pri telesu, ki je v stabilni legi, je potencialna energija najnija; pri telesu, ki je v labilni legi, pa je potencialna energija najveja. stabilna lega kroglice labilna lega kroglice Pronostna energija Sila, ki povzroi prono deformacijo telesa (stisnjena vzmet, ), je konzervativna (sila je odvisna le od stanja deformacije telesa, ne pa od naina, kako je ta deformacija nastala). Ker lahko vsaki konzervativni sili pripiemo energijo, lahko to storimo tudi za deformacijo pronih teles. Izraunajmo, kolikno delo opravimo pri stiskanju vzmeti. Vzmet naj bo sprva nestisnjena, na koncu pa naj bo skrena za razdaljo x. Pri stiskanju se sila F, ki stiska vzmet, ves as spreminja, saj je po Hookovem zakonu enaka F = kx. Delo, ki ga opravi ta sila, je torej enako: x kx A = Fdx = kx dx = = W Do enakega izraza za delo pridemo tudi, e integral nadomestimo s produktom srednje sile Fs = ( + kx) / in poti x. Opravljeno delo je enako spremembi pronostne energije (W pr ). Ker ima neraztegnjena vzmet pronostno energijo enako ni, je oitno, da je pronostna energija vzmeti, stisnjene za x, enaka kx W pr =. Podobno lahko z enabama A = Mdϕ in M = Dϕ pridemo do izraza za pronostno energijo polaste vzmeti, ki jo torzijsko zvijemo za kot pr W pr Dϕ =.

21 Z uvedbo pronostne energije se sedaj izrek o kinetini energiji za prono deformirana telesa glasi: Sprememba kinetine, potencialne in pronostne energije je enaka skupnemu delu (razen dela sile tee), ki ga prejme prono telo. Trk pronih teles Pri vseh trkih se ohranja gibalna koliina (vsota gibalnih koliin teles pred trkom je enaka vsoti gibalnih koliin teles po trku) G =. Pri nepronih trkih se kinetina energija ne ohranja W k. Pri nepronih trkih namre prihaja do deformacije teles in nekaj zaetne kinetine energije se porabi za nastalo deformacijo. Pri pronih trkih se ohranja kinetina energija W k = (vsota kinetinih energij teles pred trkom je enaka vsoti kinetinih energij teles po trku). Ogledamo si lahko, kako je pri pronem trku v 1D, kjer telo z maso m A in hitrostjo v A prono tri v mirujoe telo z maso m B. Po trku naj ima telo A hitrost v A ' in telo B hitrost v B '. m A m B m A m B v A v A v B pred trokom po trku iz ohranitve gibalne koliine in energije sledita naslednji enabi katerih reitvi sta m v = m v + m v ' ' A A A A B B m v m v m v = + ' ' A A A A B B ' ma mb ' ma A = A B = A ma + mb ma + mb v v in v v. e se teek predmet zaleti v lahek mirujo predmet, se bo ta odbil naprej z dvojno hitrostjo tekega predmeta in tekemu predmetu se hitrost ne bo spremenila. e se lahek predmet zaleti v mirujo teek predmet, se teek predmet praktino ne bo premaknil, lahek predmet pa se bo odbil od tekega z nasprotno enako zaetno hitrostjo. Iz slednjega sledi odbojni zakon, ki pravi, da je pri pronem odboju predmeta od nepremine stene vpadni kot enak odbojnemu., ' α = α ' 1

22 Tlak Snovi delimo na trdne snovi in tekoine. Tekoine nimajo stalne oblike in jih lahko meamo ter pretakamo. Trdne snovi imajo stalno obliko in jih ne moremo meati ali pretakati. Tekoine nato delimo e na kapljevine in pline. Kapljevine tvorijo kapljice in jih lahko natoimo v odprto posodo, saj tvorijo gladino. Plini ne tvorijo kapljic in jih ne moremo natoiti v odprto posodo. e jih zapremo v posodo, bodo zasedli cel volumen posode. Tlak v tekoinah Sile se prenaajo po tekoini podobno kot med kroglicami, med katerimi ni trenja. e pritisnemo na bat, pod katerim je tekoina, se bo sila po tekoini prenaala drug bat, pri tem pa bo sila vedno pravokotna na stene posode (guma med batoma se okroglo izboi). F -F Mirujoa tekoina pritiska na vsako ravno ploskev v pravokotni smeri. Ker je smer sile znana, lahko uvedemo tlak (p)v tekoinah kot skalarno koliino, ki je enaka kvocientu velikosti sile in povrine, na katero ta sila pritiska. Tlak v tekoinah torej ni odvisen od smeri. F N p = ; Pa pascal S = = m Gostota Gostota homogene snovi je enaka kvocientu mase snovi in njegove prostornine m kg ρ = ; 3 V m. Tlak zaradi tee tekoine snov Gostota [kg/m 3 ] voda 1 Fe 78 Hg 136 Zrak ( C) 1, V mirujoi tekoini je tlak v enaki globini povsod enak. e gremo za h globlje, se tlak povea za teo tekoinskega stolpca viine h, deljeno s ploino osnovne ploskve stolpca. Tlak merimo tudi v 1 5 krat vejih enotah od Pa, to je v barih (1 bar = 1 5 Pa). Poveanje tlaka za 1 bar ustreza viini vodnega stolpca 1 m ali 75 mm visokega stolpca Hg. Vzgon p = ρ gh Potopljeni predmeti so laji za teo izpodrinjene tekoine. O tem se lahko prepriamo, e si mislimo, da je predmet nadomeen s tekoino, v katero je potopljen. Ker bi ta tekoina mirovala, pomeni, da je vsota vseh zunanjih sil na tekoino enaka ni, kar pomeni, da je tea te tekoine

23 uravnoteena z njej nasprotno silo okolike tekoine. To silo imenujemo vzgon. Arhimedov zakon: Vzgon je nasprotno enak tei izpodrinjene tekoine. Manometri Manometri so naprave, s katerimi merimo tlak. Zanimiv je kapljevinski manometer, ki sestoji iz zavite cevi z dvema krakoma. V cev nalijemo kapljevino (vodo ali Hg). e je v obeh krakih viina kapljevine enaka, sta tlaka v obeh krakih enaka, sicer pa se razlikujeta za tlak kapljevine v viini razlik kapljevinskih stolpcev. p = ρ gh Zrani tlak lahko merimo s podobnim manometrom, ki je napolnjen z ivim srebrom in ima en krak zaprt, tako da je nad njim vakuum. Manometer se ustali pri razliki Hg stolpcev viine priblino 75 mm, kar pomeni, da je zrani tlak priblino 1 bar. e predpostavimo, da je gostota zraka v vseh viinah enaka, in sicer 1, kg/m 3, dobimo rezultat za viino atmosfere, ki znaa 8 m. Stisljivost p + p p h Plinom in tudi ostalim snovem se prostornina nekoliko zmanja pod vplivom tlaka. Relativno zmanjanje prostornine je sorazmerno poveanju tlaka, sorazmernostni koeficient χ pa imenujemo stisljivost. V = χ p V Za pline velja, da je pri stalni temperaturi njihova prostornina obratno sorazmerna z absolutnim tlakom, kar je tudi vsebina Boylovega zakona (n-kratno poveanje tlaka ima za posledico n-kratno zmanjanje prostornine). Od tod sledi, da je gostota plinov sorazmerna z absolutnim tlakom. p = np p p pv = pv ; = V = V / n ρ ρ Povrinska napetost Povrinska napetost je pojav, ki ga sreamo pri kapljevinah. Te lahko ob stiku s povrinami snovi te omoijo (primer steklo-voda (a), kjer se gladina kapljevine ukrivi navzgor) ali pa ne (primer steklo- Hg (b), kjer se gladina kapljevine se ukrivi navzdol). a) b) Zaradi povrinske napetosti nastane sila v ravnini gladine kapljevine, ki v vsaki toki roba deluje pravokotno nanj v smeri, ki bi zmanjala povrino gladine. Ta sila (F) je sorazmerna z dolino roba (l). Sorazmernostni koeficient (γ) imenujemo koeficient povrinske F = γ l napetosti. Povrinska napetost in povianje tlaka v mehurku (ali kapljici) doloa njegovo velikost. Njegov polmer je obratno sorazmeren s povianjem tlaka. 3

24 Povrinska napetost tudi doloa dvig ali spust gladine kapljevine v kapilarah, kar je izrednega pomena za ivljenje rastlin in njihovo oskrbo z vodo. Kapilarni dvig ali spust je sorazmeren s povrinsko napetostjo in obratno sorazmeren s polmerom kapilare. γ cos( θ ) h = ; θ kot omoitve ρ gr Delo tlaka 4γ γ r = (mehurek) ; r = (kapljica) p p h Delo tlaka je enako produktu tlaka (p) in volumna iztisnjene tekoine ( V) A = p V.rpalka, ki prerpa prostornino tekoine V, in pri tem dvigne tlak tekoini, ki zapua rpalko za p, opravi delo A = p V. Pri plinih obiajno z V oznaujemo spremembo prostornine plina. V teh primerih je delo nasprotno enako produktu tlaka in spremembe prostornine plina. A = p V e tlak ni stalen, raunamo delo z integralom tlaka po spremembi prostornine plina. A = pdv Na tak sluaj naletimo pri izotermnem razpenjanju ali stiskanju plina. Delo, ki ga opravi plin, ko se s prostornine V 1 in tlaka p 1 razpne na prostornino V in tlak p, je tedaj enako V V dv V A = pdv = p V = p V V V1 V V 1 ln. V stiskalnicah tlak izkoriamo za pretvorbo sile F 1, ki pritiska na vstopni bat s presekom S 1, v silo F izstopnega bata s presekom S. Razmerje sil je sorazmerno povrini batov, na katere te pritiskajo, razmerje poti batov (s 1 in s ) pa je obratno sorazmerno njihovemu preseku. Tako je delo vstopnega bata nasprotno enako delu izstopnega bata. F1 F = = p ; S1s1 = Ss = V S S 1 4

25 Gibanje tekoin Tok tekoine lahko opiemo, e poznamo v vsakem trenutku njeno hitrost v vsaki toki. Vektorje hitrostnega polja tekoine lahko med seboj poveemo in dobimo tokovnice. Hitrostno polje Pripadajoe tokovnice Tokovnice so lahko urejene in gladko speljane ali pa med seboj prepletajoe in zvrtinene. V prvem primeru je tok laminaren (plastovit) v drugem pa turbulenten (vrtinast). Laminaren tok turbulenten tok Laminaren tok dobimo pri majhnih hitrostih tekoine, kadar je tekoina bolj viskozna in kadar je prostor, v katerem se tekoina pretaka, omejen (na primer pretakanje olja). Turbulenten tok dobimo pri visokih hitrostih tekoine, kadar je tekoina malo viskozna in kadar je prostor za pretakanje tekoine neomejen (vreme, veter, deroa reka, ). Tok je lahko tudi stacionaren ali nestacionaren. Pri stacionarnem toku so tokovnice ves as enake, pri nestacionarnem pa se menjajo s asom. Turbulenten tok je lahko le nestacionaren. V primeru stacionarnega laminarnega toka definiramo tokovno nit. To je snop vzporednih tokovnic. Za dva razlina preseka iste tokovne niti velja, da je masni tok enak, in da je tudi volumski tok enak, e se gostota tekoine pri pretakanju ne spreminja. Produkt preseka tokovne niti ter srednje hitrosti toka je ves as stalen. Srednja hitrost tekoine v tokovni niti je doloena s kvocientom volumskega toka in ploino preseka tokovne niti φv v =. S Viskoznost φm = φm ; ρ = ρ φv = φv ; S v = S v Zaradi viskoznosti imajo tekoine pri pretakanju upor. Za vzdrevanje stalnega toka je potrebna tlana razlika. Tekoina, za katero pretakanje z doloenim volumskim tokom je 5

26 potrebna manja tlana razlika, je manj viskozna od tekoine, za katero je potrebna veja tlana razlika (voda je manj viskozna od olja). Viskoznost (η) je doloena kot sorazmernostni koeficient med strino napetostjo (F/S) in strino hitrostjo tekoine (v/d). Bernoullijeva enaba F S v =η d Izrek o kinetini energiji lahko uporabimo tudi za tekoino. Tekoina s prostornino V, ki vstopa v tokovno nit v toki 1, prejme delo p 1 V in odda delo - p V, ko zapusti tokovno nit v toki. Celotno delo je enako spremembi kinetine in potencialne energije tekoine, pri emer se zaetna energija tekoine nanaa na toko 1 in konna na toko. Od tod sledi zveza. A = W + W p V p V = ρ V ( v v ) / ρ Vg( z z ) Spodnja enaba je znana kot Bernoullijeva enaba, ki pravi, da je»pri stacionarnem gibanju nestisljive tekoine je tlana izguba enaka pridobljeni vsoti gostote kinetine in gostote potencialne energije.«-f ρv ρv p gz p gz k ρ 1 + = + ρ + p S v d F Bernoullijeva enaba velja ob predpostavkah, da pri pretakanju tekoine ni upora (viskoznost je enaka ni) in da toki 1 in leita na isti tokovni niti. Zaradi upora je vsota lenov na levi strani (v vstopni toki) vedno nekoliko veja od vsote lenov na desni strani (v izstopni toki). Primer uporabe Bernoullijeve enabe je Venturijeva cev. Ta ima v sredini zoen presek cevi, zato je tam veja hitrost tekoine in s tem niji tlak kot v normalnem delu. Z merjenjem tlane razlike lahko doloimo volumski pretok skozi Venturijevo cev. ρv ρv p = p1 p = φ = v S = v S φ V V = 1 1 p 1 1 ρ S S1 1 S 1, v 1, z 1 v 1, S 1 p 1 S, v, z v, S p h 6

27 Zastojni tlak Opazujmo tok tekoine po tokovnici, kjer se tekoina dale od ovire neovirano stacionarno in laminarno giblje s stalno hitrostjo v, tik pred oviro pa zastane, tako da je tam hitrost enaka ni. Toko tokovnice, p 1, v kjer tekoina zastane, imenujemo zastojna toka. Po Bernoullijevi enabi je tlak v zastojni toki (p ) veji od tlaka v neovirani tekoini pred oviro (p 1 ) za ρv p = p p1 = Kvadratni zakon upora p, v= zastojna toka Za ravno ploo, na katero v pravokotni smeri zadeva tekoina in tam zastane, je tlak za zastojni tlak veji, kot za ploo, kjer se tekoina vrtini in tako ohranja (ali celo povea) hitrost in s tem tudi tlak, ki ga je imela dale pred njo. Na ploo zaradi zastajanja tekoine zato deluje v pravokotni smeri sila, ki je enaka produktu povrine ploe in zastojnega tlaka. To silo imenujemo sila upora, prej navedeni rezultat pa je potrebno nekoliko korigirati s koeficientom upora, ki je odvisen od oblike telesa. Sila upora je tako po kvadratnem zakonu upora enaka F = cu S ρv, kjer je c u koeficient upora, S ploina prenega preseka telesa v smeri pravokotno na tok tekoine, ρ gostota in v hitrost tekoine. Nekaj teles in ustrezni koeficienti upora: c u = 1,1 c u =,4 c u =,6 c u = 1,3 c u =,4 7

28 Nihanje Nihalo je vsaka naprava, ki je zmona samostojno nihati. Nihala so lahko mehanska, ta lahko nihajo premo ali suno, ali elektrina. Nihanje je lahko lastno, e je nihalo pri nihanju prepueno samemu sebi, ali pa vsiljeno, e nihanje vsiljujemo s periodinim dovajanjem energije nihalu. Nihaj je dogodek, pri katerem nihalo prepotuje vsa mona stanja odmikov (s) in hitrosti (v) oziroma zasukov () in kotnih hitrosti(), ki jih lahko zasede v enem ciklu nihanja. Tako v enem nihaju nihalo zapusti mirovno lego (s = ali =, lego, v kateri nihalo obmiruje po koncu nihanja), dosee najveji odmik v eno stran, se nato vraa proti mirovni legi in od tam nadaljuje proti najvejemu odmiku v drugo stran ter od tam spet dosee mirovno lego. Najveji odmik, ki ga nihalo dosee pri nihanju, imenujemo amplituda nihanja (s ali ), as enega nihaja pa nihajni as (t ). Nihanje nihala je lahko dueno, kadar se amplituda nihanja s asom spreminja, ali pa nedueno, kadar je amplituda stalna. Frekvenca nihanja () je enaka tevilu nihajev, ki jih naredi nihalo, deljeno s asom, potrebnim za te nihaje. Sinusno nihanje N 1 ν = = t t N s Pri veini nihal nastopi sila, ki je sorazmerna odmiku, ko nihalo izmaknemo iz ravnovesne lege. Ta sila ima nasprotno smer kot je odmik, tako da vedno vraa nihalo v ravnovesno lego. Zaradi sile, sorazmerne odmiku, je nihanje nihala sinusno, kar pomeni, da je odmik sinusna funkcija asa. Hitrost in pospeek pri nihanju dobimo z odvajanjem odmika in hitrosti po asu. s = s sin( ωt + δ ) ϕ = ϕ sin( ωt + δ ) ds v = = sω cos( ωt + δ ) dt dv dt premo nihanje a = = sω sin( ωt + δ ) = ω s Pri tem je ω = πν = π / t krona frekvenca nihanja in fazna zakasnitev nihanja. Hitrost in pospeek se spreminjata z isto frekvenco kot odmik, a ne z isto fazo. Tako hitrost za etrt nihaja prehiteva odmik in pospeek za etrt nihaja prehiteva hitrost. Najveja hitrost in najveji pospeek nihanja so oitno enaki: v = ωs ; a = ω s premo nihanje Lastna frekvenca nihanja Lastne frekvence nihal so frekvence, s katerimi ta nihajo, kadar so prepuena sama sebi. Pri nihalu na vijano vzmet je vsota zunanjih sil (sile vzmeti, zmanjane za teo utei) nasprotno enaka odmiku utei iz mirovne lege. Z upotevanjem, da je pospeek nihanja nasprotno enak dϕ Ω = = ϕ ω cos( ω t + δ ) dt dω dt suno nihanje α = = ϕω sin( ωt + δ ) = ω ϕ Ω = ωϕ ; α = ω ϕ suno nihanje 8

29 produktu kvadrata krone frekvence in odmika, sledi, da sta krona frekvenca in nihajni as nihanja enaki Podobno dobimo za suno nihalo F = ks k m ; t ω = = π F = ma = mω s m k M = Dϕ D J ; t ω = = π M = Jα = Jω ϕ J D ter za teno nihalo (to je primer nihala, v splonem nepravilne oblike, kjer os nihanja ne sovpada s teiem nihala; teie nihala je od osi odmaknjeno za razdaljo l) M = mglϕ mgl J ; t ω = = π M = Jα = Jω ϕ J mgl m l * F g Poseben primer tenega nihala je matematino nihalo. Pri tem je nihalo enako (v idealnem primeru tokasti) utei z maso m, ki je obeena na zelo lahko vrvico doline l. Vztrajnostni moment tega nihala je enak J = ml, od koder sledi: g ω = ; t = π l l g Merjenje sunkov z nihalom Po nepronem trku, na primer z izstrelkom, dobi nihalo, ki je sprva v mirovni legi, hitrost v', ki je obenem tudi enaka najveji hitrosti nihanja. Ta je enaka kroni hitrosti nihanja pomnoeni z najvejim odmikom, oziroma zasukom, e je nihanje suno. Z merjenjem najvejega odmika (amplitude) nihala (s ) lahko doloimo zaetno hitrost izstrelka (v i ). Pri tem moramo e upotevati, da je zaetna hitrost nihala v' doloena ohranitvijo gibalne koliine. mivi = ( m + mi ) v ' m g vi = + 1 v ' = ωs m = s i l g s l m i, v i m+m i, v s Energija nihanja e nihanje ni dueno, se celotna energija nihanja ohranja. Pri matematinem nihalu v vsakem trenutku velja: W = W + W = W = W nihanja k p k _ max p _ max 9

30 Pri tem se ves as kinetina energija preliva v potencialno in potem spet potencialna v kinetino. Matematino nihalo ima najvejo kinetino energijo, ko preka mirovno lego in najvejo potencialno, ko dosee najveji odmik. e je nihanje dueno, se nihalu pri vsakem nihaju zmanja celotna energija nihanja za doloen del. Posledica tega je, da takemu nihalu energija in amplituda nihanja padata eksponentno s asom. βt W ( t) = W ( t = ) e Vsiljeno nihanje, resonanca nihanja s ( t) = s ( t = ) e nihanja βt Nihanje lahko nihalu vsiljujemo, tako da nihalu periodino dovajamo na nihaj izgubljeno energijo. Takrat nihalo niha s frekvenco v, ki jo nihalu vsiljujemo, ter z amplitudo s in fazo, ki sta mono odvisni od razmerja med frekvenco vsiljevanja nihanja v in lastno frekvenco. Ko je frekvenca vzbujanja mnogo manja od lastne frekvence nihala, nihalo niha z enako amplitudo in fazo, kot sta frekvenca in faza vzbujanja nihanja. Ko je frekvenca vzbujanja enaka lastni frekvenci nihanja, je odziv nihala na vzbujanje najveji. Takrat pravimo, da je nihalo v resonanci s frekvenco vzbujanja. Amplituda nihanja je tedaj mnogo veja od amplitude vzbujanja in nihalo za etrt nihaja zaostaja za vzbujanjem. Ko je frekvenca vzbujanja mnogo veja od lastne frekvence nihanja, je odziv nihala na vzbujanje zelo majhen in nihalo niha z majhno amplitudo in nasprotno fazo v primerjavi z vzbujanjem. Odziv nihala na vzbujanje je tudi mono odvisen od duenja nihala. Pri monem duenju bo resonanni vrh v resonanni krivulji nizek in irok, pri ibkem pa ozek in visok. s /s v < / 1 1 < 1 v / resonanna krivulja (amplituda) 1 resonanna krivulja (faza) v / Sestavljena nihala Ve nihal lahko poveemo med seboj. Na ta nain dobimo sestavljena nihala. Ta lahko nihajo s toliko razlinimi lastnimi naini nihanja, kakrno je tevilo nihal, ki smo jih povezali. Lastni nain nihanja je tisti, ko vsa nihala sistema ves as nihajo na enak nain z enako amplitudo in fazo. Vsako ostalo nihanje sistema nihal lahko potem opiemo z ustrezno vsoto lastnih nihanj. Zanimiv primer sestavljenih nihal dobimo, ko poveemo dve nihali in ju poenemo tako, da sta obe lastni nihanji enako zastopani. Pri tem se energija nihanja ves as seli med obema nihajnima sistemoma; ko eno nihalo obmiruje, drugo niha z najvejo amplitudo. Tako nihanje imenujemo utripanje. as utripanja je enak asu med dvema zaporednima mirovanjema istega nihala. 3