Modulația de amplitudine şi frecvenţă

Transcript

1 Modulația de aliudine şi frecvenţă Scoul lucrării Se sudiază forele de undă şi secrele senalelor ransise rin odulație cu undă coninuă, insisându-se asura cazurilor odulației de aliudine (MA) și a celei de frecvență (MF).. Modulația cu undă coninuă: noțiuni de bază Modulația ese un rocedeu care erie ransisia unui senal ce conține inforație (denui senal odulaor, sau esaj), rin odificarea caracerisicilor esențiale ale unui senal urăor, care are doar rolul de a ransora inforația roriu zisă. De cele ai ule ori aces senal urăor ese unul sinusoidal, caz în care ave de a face cu o odulare în undă coninuă. Așa cu se șie, un aseenea senal ese descris cole de rei araeri: aliudine, frecvență și fază inițială. Duă cu senalul odulaor odifică unul dinre aceși araeri, ransisia se face cu odulare de aliudine, odulare de frecvență sau odulare de fază. Uliele două iuri sun regruae sub denuirea de odulație în unghi. Senalul inițial, care rebuie ransis, se ai nueșe și senal în banda de bază. Unul dinre efecele inerene ale odulației ese ranslaarea secrului senalului din banda de bază (secru cenra e frecvența ) la o frecvență cenrală ai înală, adecvaă ransisiei rin canal. În rinciiu, aceasă din ură frecvență coresunde celei a senalului urăor. Exelu: Senalul ransis în radiodifuziune ese unul audio, cu un secru de frecvențe având coonene ână la KHz. Touși, aunci când dori să asculă un os de radio, de exelu din gaa FM, ne vo oziționa cu receorul nosru e o frecvență ul ai are (de ex. MHz). Aceasa ese de fa frecvența urăoare folosiă în ransisie, și calarea receorului e aceasă frecvență erie efecuarea corecă a deodulării.. Modulaţia de aliudine Se consideră un senal urăor de fora: x () = A cos( π f ) (.)

2 Fie senalul odulaor x (). Exresia generală a unui senal odula în aliudine, în care odulaorul ese x (), iar urăorul ese senalul cosinusoidal indica în (.) ese: x () = A ( + k x ())cos( π f ) (.) MA a Consana k a, având diensiunea [V - ] se nueşe sensibiliaea de aliudine a odulaorului. Se observă în relaţia (.) că, în ura odulării, aliudinea senalului odula în aliudine (MA) nu ai ese consană, recu cea a senalului urăor. Ea ese odelaă de căre caracerisicile senalului odulaor, rin inerediul erenului kx(). Penru că aliudinea unui senal cosinusoidal ese, rin definiţie, o ărie oziivă, se iune condiţia: a kx () a (.3) În cazul în care acesă condiţie nu ese resecaă, aare fenoenul de sura-odulaţie, al cărui efec ese disorsionarea anveloei senalului MA, afecându-se asfel deodularea corecă a senalului. Valoarea axiă a ebrului sâng al ecuaţiei.3 se nueşe grad de odulaţie, şi se exriă de obicei sub foră rocenuală: = k x () [%] (.4) a ax În fig.. se araă urăoarea cosinusoidală, un senal odulaor (rin coincidenţă o cosinusoidal), şi două cazuri de odulare. În fig.. c) se observă un caz de odulare corecă, în i ce în urăorul caz (fig.. d), aar disorsiuni ale anveloei de odulaţie, din ricina fenoenului de sura-odulaţie (>). O condiţie iorană enru ca deodularea să se desfăşoare corec ese ca frecvenţa senalului urăor să fie ul ai are decâ frecvenţa axiă din secrul senalului de ransis (f ): f f (.5)

3 a) Senal urăor Senal odulaor, x () x -4 b) Senal MA, =5% x -4 c) Senal MA, =% (sura-odulaţie) x -4 d) -5 3 i x -4 Fig..: Modulaţia de aliudine cu odulaor x () cosinusoidal şi ilusrarea sura-odulaţiei. Dacă aceasă condiţie ese îndeliniă, gradul de odulare oae fi deerina desul de silu în racică, folosind osciloscoul. Penru exliciare, se redă senalul odula din figura.c, anveloa sa ilusrându-se rin linia uncaă (fig.)..5 A ax A in.5 aliudine i x -4 Fig..: Măsurarea gradului de odulaţie cu ajuorul osciloscoului. 3

4 Forulare de aroxiare ese: A A = [%] ax in A ax + A in (.6) În exelul de ai sus se observă uşor că Aax =.5V şi Ain =.5V, de unde se obţine =5%. Secrul senalului odula în aliudine rezulă raid rin alicarea ransforării Fourier asura ecuaţiei (.): ka a c XMA( ω ) =πa c δ( ω ω ) +δ( ω+ω ) + XM ( ω ω ) + XM ( ω+ω ) (.7) Un exelu grafic ese da în figura.: X (ω) πa c δ(ω+ ω c ) X MA (ω) πa c δ(ω- ω c ) k f A c / bandă laerală bandă laerală bandă laerală bandă laerală inferioară suerioară suerioară inferioară -ω - ω -ω -ω + ω ω - ω ω + ω Se observă în secru cele două iulsuri Dirac coresunzăoare urăoarei, recu şi faul că un efec direc al odulaţiei ese ranslaarea secrului senalului din banda de bază (vezi X (ω)) e frecvenţa urăoare. Banda ocuaă de căre senalul odula, siuaă la dreaa frecvenţei urăoare se nueşe bandă laerală suerioară, iar cea din sânga aceseia se nueşe bandă laerală inferioară. To din figură se oae deduce că banda senalului MA ese dublul benzii senalului odulaor: ω Fig..: Secrul senalului odula în aliudine. B = B = ω (.8) MA M 4

5 Trebuie rearca că ransisia urăoarei diinuează randaenul energeic al odulaţiei, deoarece urăoarea în sine nu conţine inforaţie uilă. De aseenea, înrucâ o singură bandă laerală ese suficienă enru efecuarea deodulaţiei, ransierea a două benzi risieşe lăţiea de bandă. Acesea sun oivele enru care, în racică se referă adeseori ale versiuni ale MA: - odularea de aliudine cu urăoare suriaă (MAPS) şi două benzi laerale (odularea de rodus) (engl. suressed-carrier Aliude Modulaion ) - odularea în aliudine cu bandă laerală unică (MABLU) (engl. single side-band Aliude Modulaion, SSB-AM) - odularea în abliudine cu res de bandă laerală (MARBL) (engl. vesigial side-band Aliude Modulaion,VSB-AM) Revenind la forula de calcul a secrului senalului MA, să ariculariză analiza rinr-un exelu, acela în care senalul odulaor ese el însuşi cosinusoidal. Fora din doeniul i a senalului ese în aces caz arăaă în fig.. În cazul odulaorului cosinusoidal, gradul de odulare ese = k A / A. Exresia coreunzăoare rerezenării senalului oae fi obţinuă din a c ecuaţia (.), folosind aricularizarea x () = A cos( ω ) : ( ( )) x () = A + cos ω cos( ω ) (.9) MA Aces senal se oae rescrie ca şi: A A xma( ) = A cos( ω ) + cos( ω +ω ) + cos( ω ω ) (.) Secrul unui aseenea senal coresunde unei sue de rei cosinusoide, aşa cu ne araă ecuaţia (.), ulsaţiile fiind ω, ω ω şi ω +ω. Rerezenarea grafică a acesui secru ese daă în figură. X MA (ω) πa πa / -ω - ω -ω -ω + ω ω - ω ω ω + ω Fig..3: Secrul senalului MA cu odulaor cosinusoidal. ω 5

6 3. Senale odulae în frecvenţă Descrierea aeaică a senalelor odulae în frecvență, cu urăor aronic ese: x () = A()cos( ϕ ()) (3.) MF Funcţia ϕ () se nueşe faza senalului x (). Penru o ai bună înțelegere a odulației de frecvență se oae face o aralelă cu odulația de aliudine. Asfel, în cazul senalelor odulae în aliudine (sau chiar dacă se consideră doar senalul urăor neodula), exresia fazei ese: MF ϕ =ω +φ (3.) () Reaini că la odulația de aliudine, aliudinea senalului odula nu ai ese consană, ci ea devine o funcție de i, A(), ce deinde de senalul odulaor. În schib, enru senalele cu odulaţie unghiulară, funcţia A() ese consană, ransferul de inforaţie de la senalul odulaor la senalul odula fiind descris exclusiv de funcţia Φ (). Mai recis, în cazul odulației de frecvență, inforația ese ransisă rin inerediul derivaei fazei senalului odula în raor cu variabila i. Aceasă derivaă ese denuiă ulsație insananee a senalului și ese noaă cu ω () : i dφ() ω i() = (3.3) d Înlocuind (3.) în (3.3), vo consaa că, în cazul odulației în aliudine, ulsația insananee ese consană, ea coinicizând chiar cu ulsația senalului urăor. În cazul odulației de frecvență însă, ocai ω () ese cel care ransoră inforația daă de senalul odulaor. i Alicând oeraorul de inegrare asura ecuației (3.3), se obține: φ () = ωi () d (3.4) 6

7 Considerând că exresia senalului urăor ese: x () = A cos( ω ) (3.5) exresia ulsaţiei insananee a senalului odula în frecvență devine: ω () =ω + π k x() (3.6) i F unde cu x() s-a noa senalul odulaor (de ransis), iar cu k F coeficienul de conversie a aliudinii în frecvenţă al disoziivului care realizează odularea (sensibiliae de frecvență), ăsura în Hz/V. Exresia senalului odula în frecvenţă devine (în ioeza că senalul ese cauzal): ( ) x ( ) = A cos Φ ( ) = A cos( ω( τ) dτ ) = A cos ω + πk x( τ) dτ (3.7) MF MF i F Fora finală a ecuației 3.7 ese de reținu ca odaliae generică de exriare a exresiei unui senal odula în frecvență. Noând y () = x() τ dτ, relaţia (3.7) se ai scrie: ( ) x ( ) = A cos( ω )cos( πk y( )) sin( ω )sin( π k y( )) (3.8) MF F F În funcţie de rezulaul coaraţiei dinre ax { k y( )} şi π /, se oae face urăoarea clasificare a senalelor odulae în frecvenţă: secrul senalului urăor şi de aceea, se vorbeşe desre odulaţie de frecvenţă de bandă largă. 7 - dacă ax { k y( )} << π /, aunci efecul odulării de frecvenţă asura senalului f urăor e slab şi secrul senalului odula nu e cu ul ai larg decâ secrul senalului urăor. De aceea, în aces caz se vorbeşe desre odulaţie de bandă îngusă. - dacă ax { k y( )} >> π /, aunci secrul senalului odula ee ul ai larg decâ f F

8 3. Secrul senalelor odulae în frecvenţă cu odulaor sinusoidal Se consideră acu cazul în care senalul odulaor ese o un senal cosinusoidal, ca și cel urăor. Aces caz aricular ne va înlesni abordarea robleaicii secrului senalelor odulae în frecvență. Să consideră deci: x () = A cos( ω ) (3.9) Exresia ulsaţiei insananee devine în aces caz: ω () =ω + πk A cos( ω ) (3.) i F Noând Δ f = kfa, şi nuind aceasă ărie deviaţia de frecvenţă, exresia fazei insananee devine: Φ MF ( ) =ω + πkf A cos( ωτ) dτ=ω + ( πkf A / ω)sin( ω ) = (3.) =ω + ( Δω/ ω )sin( ω ) Noând β=δω/ ω şi nuind aceasă ărie indicele odulaţiei de frecvenţă, exresia senalului MF devine: x ( ) = A cos( ω +βsin( ω )) (3.) MF sau: x ( ) = A cos( ω )cos( βsin( ω )) A sin( ω )sin( βsin( ω )) (3.3) MF Funcţiile cos( βsin( ω )) şi sin( β cos( ω )) sun funcţii eriodice, de erioadă π / ω M, având urăoarele descouneri în serie Fourier: 8

9 şi: cos( βsin( ω )) = J( β ) + Jk( β)cos( kω) (3.4) k= sin( βsin( ω )) = Jk+ ( β )cos(( k+ ) ω) (3.5) k= unde J P( β ) sun funcţii Bessel de seţa I şi ordin. Folosind relaţiile de ai sus, şi rorieăţile funcţiilor Bessel, se obţine: xmf () = A Jn( β)cos( ω + nω ) (3.6) n= Se observă că, deşi x () ese, în cazul sudia, un senal de bandă liiaă, x MF () ese de bandă neliiaă, el fiind cous dinr-o infiniae de cosinusoide, searae inre ele e axa ulsaiilor rin inervalul ω. În funcție de valoarea indicelui odulației de frecvență, β, ue disinge înre cazul odulației de bandă îngusă, și acela al odulației de bandă largă. Asrfel, enru β<<, se obţine cazul odulaţiei de frecvenţă de bandă îngusă. Analizând conţinuul abelelor care dau valorile funcţiilor Bessel de seţa I, se observă că în aces caz doar J( β ) şi J( β ) au valori senificaive. Aroxiând celelale funcţii Bessel cu, exresia senalului odula în frecvenţă devine: x ( ) = A J ( β)cos( ω ) + A J ( β)cos( ω +ω ) A J ( β)cos( ω ω ) (3.7) MF Se observă aseănarea secrului de odule al acesui senal cu secrul de odul al senalului MA obţinu în același caz aricular, și anue când aâ odulaorul câ și urăorul sun senale cosinusoidale. Penru valori ari ale lui β, valorile funcţiilor Bessel de seţa I, de ordin suerior nu ai o fi neglijae, banda de frecvenţă a senalului odula lărgindu-se. 9

10 3.. Caracerisici globale ale odulaţiei de frecvenţă cu odulaor sinusoidal Valoarea edie a uerii senalului x MF () ese: P = T T x MF ( ) d (3.8) Presuunând că ω = ω = π A, se obţine P = Jk( β). Τ k= Folosind rorieaea rearcabilă a funcţiilor Bessel de seţa I: Rezulă că P k = ( ) J β = (3.9) K A =, ceea ce deonsrează că uerea senalului odula în frecvenţă ese egală cu uerea urăorului. Definind banda rincială a senalului odula în frecvenţă ca fiind acea bandă de frecvenţă în care ese localizaă 99% din uerea acesui senal, se oae deonsra că valoarea aceseia ese bine aroxiaă de relaţia: B = ( +β) ω (3.) Din aceasă relaţie se consaă că, enru valori ari ale indicelui de odulaţie ( β ): B = βω = Δω (3.) Din analiza ulielor două relaţii se consaă că, în aces caz exre, banda rincială a senalului MF ese consană şi indeendenă de frecvenţa senalului odulaor. 4. Desfăşurarea lucrării În cadrul ărţii racice a lucrării sudenţii vor efecua ăsurăori şi rerezenări grafice ale senalelor MA şi MF şi a secrului acesora.

11 4. Descrierea onajului exerienal Monajul folosi în aces sco ese alcăui din două generaoare de senal (GEN şi GEN), un oscilosco şi un analizor de secru conecae în od coresunzăor. Unul dinre generaoarele de senal ese sursa unui senal odulaor, a cărui foră oae să fie sinusoidală, dreunghiulară sau riunghiulară. Frecvenţa fundaenală a acesuia va fi fixaă în jurul valorii f =KHz. Aces senal va odula, un senal urăor sinusoidal cu o frecvenţă de f =5KHz. Senalul urăor ese genera de căre cel de al doilea generaor de senal (GEN), iar odularea sa se face rin aducerea senalului odulaor la o inrare secială siuaă e anoul din sae al generaorului GEN. Aâ senalul odulaor, câ şi cel odula vor fi disonibile e oscilosco (sun folosie abele canale ale acesuia). Analiza secrală se va face cu ajuorul analizorului de secru. 4. Sarcini de îndelini de căre sudenţi Penru sudiul MA, sudenţii vor efecua urăoarele sarcini: - rerezenarea grafică a senalului odulaor şi a senalului odula, aşa cu sun ele afişae e oscilosco. Aceasă oeraţie se va efecua enru rei iuri de senal odulaor: sinusoidal, riunghiular, dreunghiular. În cazul senalului odulaor sinusoidal, se va ăsura şi gradul de odulaţie, rin eoda exerienală descrisă în area eoreică a acesei lucrări. De fiecare daă, e grafic se noează aliudinea senalului, frecvenţa senalului odulaor şi a celui urăor. - rerezenarea grafică a secrului senalului MA, aşa cu rezulă el de e analizorul de secru. Se va acorda aenţie aliudinii coonenelor secrale şi oziţionării acesora e axa frecvenţelor. Aceasă rerezenare se va face doar enru senalul odulaor sinusoidal. Duă aceea, se couă senalul odulaor e fora de undă dreunghiulară. Ce fel de schibări aar în secrul senalului MA faţă de cazul receden. Cu vă exlicaţi acese schibări? În cazul sudiului MF, vor fi efecuae urăoarele oeraţii: - rerezenarea grafică a senalului odulaor şi a senalului MF aunci când senalul odulaor ese sinusoidal. Cu vă exlicaţi fora de undă care aare e ecranul osciloscoului? - Se vizualizează şi se rerezină grafic secrul senalului MF enru cazul odulării de bandă îngusă. Creşeţi aoi aliudinea senalului odulaor (asfel odificaţi indicele de

12 odulaţie β). Rerezenaţi din nou secrul rezula. Coaraţi cu cazul receden şi cu secrul de la MA.