ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z. χρόνου και εξηγήσουµε έννοιες όπως περιοχή σύγκλισης, πόλος και µηδενικό.

Transcript

1 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε τον µετασχηµατισµό και τον µονόπλευρο µετασχηµατισµό και να περιγράψουµε τις βασικές διαφορές τους. περιγράψουµε τι είναι συνάρτηση µεταφοράς συστήµατος διακριτού χρόνου και εξηγήσουµε έννοιες όπως περιοχή σύγκλισης, πόλος και µηδενικό. υπολογίσουµε τον µετασχηµατισµό στοιχειωδών σηµάτων. αναφέρουµε τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού. Μετασχηµατισµός 7-

2 υπολογίζουµε εύκολα τον αντίστροφο µετασχηµατισµό συνάρτησης, χωρίς να καταφεύγουµε στην εξίσωση αντιστροφής. µιας επιλύουµε γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε αρχικές συνθήκες µε τη βοήθειατουµονόπλευρουµετασχηµατισµού. υπολογίζουµε τη συνάρτηση µεταφοράς ενός ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου µε τη βοήθεια της εξίσωσης διαφορών, η οποία συνδέει την είσοδο και την έξοδο του συστήµατος. υπολογίζουµε την έξοδο ενός συστήµατος, το οποίο δεν βρίσκεται απαραίτητα σε κατάσταση ηρεµίας, όταν γνωρίζουµε την είσοδό του και την εξίσωση διαφορών η οποία συνδέει την είσοδο και την έξοδο του συστήµατος. προσδιορίζουµε τη συµπεριφορά ενός συστήµατος από τη θέση των πόλων της συνάρτησης µεταφοράς του στο µιγαδικό επίπεδο. Μετασχηµατισµός 7-

3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο µετασχηµατισµός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήµατα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου. Ο µετασχηµατισµός αντιστοιχεί στην ακολουθία x() τη συνάρτηση: X( ) x( ) O X() είναι µιγαδική συνάρτηση, της µιγαδικής µεταβλητής r e jω και ονοµάζεται αµφίπλευρος µετασχηµατισµός ή απλά µετασχηµατισµός. Im{ } 0 r Ω r e jω Re{ } r Ηπεριοχήτιµώντου, γιατιςοποίεςο µετασχηµατισµός έχει πεπερασµένη τιµή καλείται περιοχή σύγκλισης (ΠΣ) (regio of covergece ROC) Το µιγαδικό επίπεδο - Μετασχηµατισµός 7-

4 Παρατηρήσεις Αν ο µετασχηµατισµός υπάρχει και για τιµές r,δηλαδή, για τα σηµεία του µοναδιαίουκύκλου e jω τότε X ( ) X ( e j ) x( ) e j F[ x( )] e j Ω Ω Ω Im{ } Μοναδιαίος κύκλος 0 Ω r e jω Re{ } Ο µετασχηµατισµός µετατρέπεται σε µετασχηµατισµό Fourier διακριτού χρόνου για τις τιµές του που βρίσκονται στο µοναδιαίο κύκλο. Μετασχηµατισµός 7-4

5 Για την περίπτωση κατά την οποία r έχουµε ( re jω) [ x( ) r ] e jω F[ x( ) r ] X ( ) X re j Ω Παρατηρούµε ότι X(r e jω ) είναι ο µετασχηµατισµός Fourier της ακολουθίας x() πολλαπλασιασµένηςµετηνπραγµατικήεκθετικήακολουθία r -. Ηπαρουσίατουόρου r - παρέχειτηδυνατότητασύγκλισηςτουαθροίσµατοςκαι κατά συνέπεια την ύπαρξη του µετασχηµατισµού ακόµη και αν δεν υπάρχει ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου της ακολουθίας x(). r x( ) a u( ), a> x( ) r Η ακολουθία x() για την οποία δεν υπάρχει ο DTFT. Οπαράγονταςεξασθένισης r -. Ηακολουθία x()r - ηοποίαείναι αριθµήσιµη κατά απόλυτο τιµή Μετασχηµατισµός 7-5

6 Να υπολογιστεί ο Mετασχηµατισµός του τετραγωνικού παραθύρου πλάτους Ν+. αλλιως 0, 0, ) ( ɺ N x Η περιοχή σύγκλισης καλύπτει όλο το µιγαδικό επίπεδο εκτός από το µηδέν. ( ) + + +, 0,, ) ( N X N N N N Απάντηση Παράδειγµα (σήµα πεπερασµένης έκτασης) Σεραφείµ Καραµπογιάς Μετασχηµατισµός 7-6

7 Παράδειγµα (το εκθετικό αιτιατό σήµα) Να υπολογιστεί ο Mετασχηµατισµός του αιτιατού εκθετικού σήµατος διακριτού χρόνου: όπου α πραγµατικός αριθµός. Απάντηση X ( ) a a x ( ) a u( ), Σεραφείµ Καραµπογιάς µε περιοχή σύγκλισης: > a Η περιοχή σύγκλισης του µετασχηµατισµού εκτείνεται έξω από κύκλο µε τη µικρότερη ακτίνα ο οποίος περιέχει τον πόλο του X(). Im{ } x() Μοναδιαίος κύκλος a Re{ } Τοεκθετικόσήµα x() a u()όταν a είναι πραγµατικός αριθµός <. Η περιοχή σύκλισης, ο πόλος και το µηδενικό του µετασχηµατισµού του σήµατος x(). Μετασχηµατισµός 7-7

8 Ο µετασχηµατισµός για τη µοναδιαία βηµατική ακολουθία είναι U( ), µε περιοχή σύγκλισης: > Οµετασχηµατισµός γιατηνακολουθία x() a u()είναι x( ) a u( ) Z µε περιοχή σύγκλισης: > a ( a) Ο µετασχηµατισµός για το µοναδιαίο δείγµα x() δ() είναι [ ( ) ], Z δ µε περιοχή σύγκλισης: 0 και του ολισθηµένου κατά k βήµατα µοναδιαίου δείγµατος δ( - k) είναι Z [ δ ( k) ] 0, k, k< 0 k 0 η περιοχή σύγκλισης καλύπτει όλο το µιγαδικό επίπεδο εκτός από την αρχή C {0}. Μετασχηµατισµός 7-8

9 Παράδειγµα (αυστηρά µη αιτιατό εκθετικό σήµα) Να υπολογιστεί ο Mετασχηµατισµός του αυστηρά µη αιτιατού εκθετικού σήµατος διακριτού χρόνου: όπου α πραγµατικός αριθµός. x ( ) a u( ) Σεραφείµ Καραµπογιάς Απάντηση X ( ), a a µε περιοχή σύγκλισης: < a Η περιοχή σύγκλισης του µετασχηµατισµού είναι το εσωτερικό κύκλου µε τη µεγαλύτερη ακτίνα ο οποίος δεν περιέχει τον πόλο του X(). x() Im{ } Μοναδιαίος κύκλος a Re{ } Τοαυστηράµηεκθετικόσήµα x() a u() όταν a είναι πραγµατικός αριθµός >. Η περιοχή σύκλισης, ο πόλος και το µηδενικό του µετασχηµατισµού του σήµατος x(). Μετασχηµατισµός 7-9

10 Παράδειγµα (δεξιόπλευρη ακολουθία) Να υπολογιστεί ο Mετασχηµατισµός του σήµατος: Απάντηση X( ) x() ( 5 6) ( )( ) ( ) ( ) x ( ) u ( ) + u ( ) > Με περιοχή σύγκλισης Im{ } Σεραφείµ Καραµπογιάς Η περιοχή σύγκλισης του µετασχηµατισµού εκτείνεται έξω από κύκλο µε τη µικρότερη ακτίνα ο οποίος περιέχει τους πόλους του X() Re{ } Τοσήµα ( ) + ( ) x ( ) u ( ) u ( ) Ηπεριοχήσύκλισης, οιπόλοικαιταµηδενικά του µετασχηµατισµού του σήµατος x(). Μετασχηµατισµός 7-0

11 Παράδειγµα (αµφίπλευρη ακολουθία) Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός του σήµατος x( ) a, < <, a < Απάντηση X ( ) a a + a Με περιοχή σύγκλισης a < < a Η περιοχή σύγκλισης του µετασχηµατισµού έχει την µορφή δακτυλίου. x() Im{ } a a Re{ } Ηακολουθία x() a όταν a είναιπραγµατικός αριθµός <. Η περιοχή σύκλισης, οι πόλοι και το µηδενικό του µετασχηµατισµού της ακολουθίας x(). Μετασχηµατισµός 7-

12 Παράδειγµα (αµφίπλευρη ακολουθία) Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός του σήµατος Λύση x ( ) a, < < Το σήµα x() γράφεται ως x( ) a au( ) + au( ) Για το αιτιατό τµήµα έχουµε Για το µη αιτιατό τµήµα έχουµε a Z u( ) Im{ } a a u( ) Im{ } Z a a Re{ } a Re{ } Επειδή η τοµή των επιµέρους µετασχηµατισµών είναι το κένο σύνολο η ακολουθία x() a δενέχειαµφίπλευροµετασχηµατισµό. Μετασχηµατισµός 7-

13 Ιδιότητες του Μετασχηµατισµού Z Γραµµικότητα Αν X () Z[x ()] µεπεδίοσύγκλισης P και X () Z[x ()] µεπεδίοσύγκλισης P τότε µε περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον Z ax ( ) + bx( ) ax( ) + bx ( ) P P P Ιδιότητα της χρονικής ολίσθησης µε την ίδια περιοχή σύγκλισης. x Z ( 0 0 ) X ( ) Για 0 έχουµε Z[x( )] - X(). Τοσύστηµαδιακριτούχρόνουτοοποίο προκαλείχρονικήκαθυστέρησηενόςδείγµατοςσυµβολίζεταιµε -. x () x ( ) Μετασχηµατισµός 7-

14 Ιδιότητα της συνέλιξης ή συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου x( ) x ( ) x( ) X( ) X ( ) µε περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον P P P Z Ιδιότητα της διαµόρφωσης ή ολίσθηση συχνότητας κλιµάκωση στο πεδίο του Αν X() Z[x()] µεπεδίοσύγκλισης P {єc: R + < < R τότε y( ) µεπεριοχήσύγκλισης c R + < < c R c x( ) Y ( ) Z X c Μετασχηµατισµός 7-4

15 Ιδιότητα της παραγώγισης στο πεδίο του dx ( x( ) d Με την ίδια περιοχή σύγκλισης Z ) Ιδιότητα της συζυγίας (συζυγής ακολουθία) Z * x * ( ) X *( * ) R < < R Κατοπτρισµός στο χρόνο µε περιοχή σύγκλισης + Z Re[ x( )] [ X ( ) + X *( *)] Z Im[ x( )] [ X ( ) X *( *)] R < < Z j x( ) X ( ) R Μετασχηµατισµός 7-5

16 Συσχέτιση Αν θεωρήσουµε δύο σήµατα ως διανύσµατα, ένας αριθµός που µετράει την οµοιότητά τους είναι το εσωτερικό τους γινόµενο, τούτο γίνεται µέγιστο για διανύσµατα (σήµατα) που συµπίπτουν ενώ µηδενίζεται για διανύσµατα που είναι κάθετα. Η συνάρτηση - ακολουθία συσχέτισης ή ετεροσυσχέτιση των σήµατων διακριτού χρόνου -ακολουθιών x() και y() συµβολίζεταιως r xy καιορίζεται rxy ( l) x( ) y( ) x( ) y( l), < l Σεραφείµ Καραµπογιάς < Ηανεξάρτητηµεταβλητή lεκφράζειτηνµετατόπισηµεταξύτωνδύοσηµάτων x() και y() και ονοµάζεται καθυστέρηση (lag). Αν X () Z[x()] µεπεδίοσύγκλισης P και Y() Z[y()] µεπεδίοσύγκλισης P τότε r xy Z ( l) X ( ) Y ( ) µε περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον P P P Μετασχηµατισµός 7-6

17 Οσυντελεστήςσυσχέτισηςσηµάτωνδιακριτούχρόνουσυµβολίζεταιωςρ xy (l) και ορίζεται από την rxy ( l) ρxy ( l), < l< E E x y όπου E x καιε y είναιηενέργειατωνσηµάτων x() και y() αντίστοιχα. Ηρ xy (l) είναι συνάρτηση µόνο της καθυστέρησης των δύο σηµάτων και όχι των ενεργειών τους Μετασχηµατισµός 7-7

18 Η συνάρτησηαυτοσυσχέτισης του σήµατος διακριτού χρόνου x() ως r xx (l) και ορίζεται rxx ( l) x( ) x( ) x( ) x( l), < l < και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες Η ενέργεια του σήµατος x() είναι ίση µε τη τιµή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης τουγια l 0 r ( ) xx ( 0) x Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης ενός σήµατος ισούται µε τη φασµατική πυκνότητα ενέργειας του σήµατος. και από το θεώρηµα του Parseval έχουµε E x r xx r E * F ( ) ( ) ( l) x( ) x X Ω xx ( 0) x( ) X ( Ω) dω x π π Μετασχηµατισµός 7-8

19 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός ορίζεται από τη σχέση: Σεραφείµ Καραµπογιάς X( ) X + ( ) x( ) 0 Ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός του σήµατος x() ταυτίζεται µε τον αµφίπλευρο µετασχηµατισµό του σήµατος x() u(). Η περιοχή σύγκλισης του µονόπλευρου µετασχηµατισµού είναι πάντα το εξωτερικόµέροςκύκλουµετηµικρότερηακτίνα R x πουπεριλαµβάνειτουςπόλου του σήµατος. Επειδή το κάτω όριο του αθροίσµατος ορισµού του µονόπλευρου µετασχηµατισµού είναι το µηδέν ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός έχει την ιδιότητα της δεξιάς και τηςαριστερήςολίσθησης. Οι ιδιότητες αυτές και η ιδιότητα της συνέλιξης παρέχει στο µονόπλευρο µετασχηµατισµό τη δυνατότητα επίλυσης εξισώσεων διαφορών, οι οποίες έχουν µη µηδενικές αρχικές συνθήκες. Μετασχηµατισµός 7-9

20 Ιδιότητες του µονόπλευρου µετασχηµατισµού Z Ιδιότητα της δεξιάς ολίσθησης - Καθυστέρηση Z 0 i + 0 ( ) 0 x X( ) + 0 x( i) i, γιακάθε 0 Παρατηρούµε ότι κατά τη δεξιά ολίσθηση νέα δείγµατα εισέρχονται στο διάστηµα [0, ) θαπρέπειναλάβουνκαιαυτάµέροςστουςυπολογισµούς. Τανέαδείγµατα είναιτα x(-), x(-),..., x(- 0 ). Για 0 έχουµε Z [ x( )] X( ) + ( ) + x Μετασχηµατισµός 7-0

21 Ιδιότητα της αριστερής ολίσθησης - Προήγηση [ x( )] 0 0 i 0 Z+ X( ) x( i) i, γιακάθε 0 Παρατηρούµε ότι κατά την αριστερή ολίσθηση κάποια από τα υπάρχοντα δείγµατα βρίσκονται εκτός διαστήµατος [0, ) και συνεπώς θα πρέπει να αφαιρεθούν από το συνολικόάθροισµα. Τανέαδείγµαταείναιτα x(0), x(),..., x( 0 -). Για 0 έχουµε Z+ [ x( + )] X( ) + x (0) Θεώρηµα της Αρχικής Τιµής Αντοσήµα x() έχειμμ X() Θεώρηµα της Τελικής Τιµής Αντοσήµα x() έχειμμ µεακτίνασύγκλισης R x, τότε x( 0) limx( ) X() lim x( ) µεακτίνασύγκλισης R x, τότε lim( ) X( ) Μετασχηµατισµός 7-

22 Παράδειγµα Να υπολογιστεί ο µονόπλευρος και ο αµφίπλευρος µετασχηµατισµό του σήµατος + y ( ) a u( + ) Απάντηση Ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός είναι + a Z [ y( ) ] a > a Ο αµφίπλευρος µετασχηµατισµός είναι Z[ y( ) ] > a a Μετασχηµατισµός 7-

23 Ο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Αν είναι γνωστός ο µετασχηµατισµός ενός σήµατος τότε η ανασύνθεση του σήµατος γίνεται µε τη βοήθεια της π j x( ) X ( ) C όπου C είναι µια αριστερόστροφη κλειστή καµπύλη ολοκλήρωσης γύρω από την αρχή των αξόνων η οποία βρίσκεται στο εσωτερικό της περιοχής σύγκλισης του µετασχηµατισµού, η δε ολοκλήρωση γίνεται αντίστροφα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού. d Ο απευθείας υπολογισµός του αντίστροφου µετασχηµατισµού µέσω του παραπάνω ολοκληρώµατος είναι επίπονη διαδικασία και γι' αυτό συνήθως ακολουθούνταιέµµεσοιτρόποιεύρεσηςτουαντίστροφουµετασχηµατισµού. Μετασχηµατισµός 7-

24 Υπολογισµός του αντίστροφου Μ για ρητές συναρτήσεις Αν η συνάρτηση X() είναι ρητή συνάρτηση τότε την αναπτύσσουµε σε απλά κλάσµατα και τότε εύκολα υπολογίζουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό, µε τη χρήση γνωστών µετασχηµατισµών. Μετασχηµατισµός 7-4

25 Παράδειγµα Να υπολογιστεί το σήµα το οποίο έχει µετασχηµατισµό τη συνάρτηση: Απάντηση X ( ) 5 6 X ( ) Ο µετασχηµατισµός αναλύεται σε απλά κλάσµατα ως + 4 Το σήµα x() είναι ίσο µε το άθροισµα των αντιστόφων M των απλών κλασµάτων οι οποίοι βρίσκονται εύκολα µε τη βοήθεια του ζεύγους 4 του Πίνακα 7.. ( ) u( ) ( ) u( ) x( ) Σεραφείµ Καραµπογιάς > b [, -5/6]; a poly([/4, /]); [R,p,C] residue(b,a) R p C [] Μετασχηµατισµός 7-5

26 Παράδειγµα Να υπολογιστεί το σήµα το οποίο έχει µετασχηµατισµό τη συνάρτηση: ( )( ) 4 ) ( < < X Απάντηση ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( 4 u u x 4 ) ( + X Ο µετασχηµατισµός αναλύεται σε απλά κλάσµατα ως Τοσήµα x()είναιίσοµετοάθροισµατωναντιστόφων Mτωναπλώνκλασµάτωνοι οποίοι βρίσκονται εύκολα µε τη βοήθεια των ζευγών 4 και 5 του Πίνακα 7.. Σεραφείµ Καραµπογιάς Μετασχηµατισµός 7-6

27 Να υπολογιστεί το σήµα το οποίο έχει µετασχηµατισµό τη συνάρτηση Λύση Παράδειγµα X( ) + Αναλύουµε σε απλά κλάσµατα τη συνάρτηση X()/ και έχουµε X ( ) X ( ) Οι πιθανές περιοχές σύγκλισης του M του σήµατος είναι Σεραφείµ Καραµπογιάς + + < Im{ } < < Im{ } < < Im{ } Re{ } Re{ } Re{ } x ( ) ( ) u( ) u( ) x ( ) ( ) u( ) u( ) x ( ) ( ) u( ) u( ) Μετασχηµατισµός 7-7

28 Παράδειγµα Να υπολογιστεί το αιτιατό σήµα δικριτού χρόνου το οποίο έχει µετασχηµατισµό τη συνάρτηση Απάντηση X ( ) + x ( ) ( ) ( ) x u ( ) ( ) u( ) Μετασχηµατισµός 7-8

29 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Z Στο παράδειγµα που ακολουθεί προσδιορίζεται, χωρίς να καταφύγουµε στο άθροισµα της συνέλιξης, η ακολουθία εξόδου ενός ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου, αν η κρουστική απόκριση και η είσοδός του είναι ακολουθίες πεπερασµένης έκτασης. Να προσδιοριστεί η ακολουθία εξόδου ενός ΓΧΑ διακριτού συστήµατος, το οποίο έχει κρουστικήαπόκριση h() {,, } ότανδιεγείρεταιαπότηνακολουθία x() {, 4, 5, }. Παράδειγµα Απάντηση y ( ) {,0,, 4,9, 6} Σεραφείµ Καραµπογιάς x[,4,5,]; h[,,]; ycov(h,x) h[,,]; y[,0,,4,9,6]; xdecov(y,h) fuctio[y,y]cov_m(x,x,h,h) % Modified covolutio routie for sigal processig % %[x,x] first sigal %[h,h] secod sigal %[y,y] covolutio result % ybx()+h(); yex(legth(x))+h(legth(h)); y[yb:ye]; ycov(x,h); x [ ]; [-:]; x [ 4 5]; [-:]; [x,] cov_m(x,,x,); Μετασχηµατισµός 7-9

30 Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x ( ) h ( ) y ( ) Το σήµα εισόδου x() και το σήµα εξόδου y() ενός ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου ικανοποιούν µία γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής N k 0 a k H ( ) y( k) Y ( ) X ( ) a 0 Η ευστάθεια και η αιτιατότητα προσδιορίζουν την περιοχή σύγκλισης M k 0 k k b k H x( k) Το σήµα εισόδου, x(), και το σήµα εξόδου, y(), ενός ΓΧΑ συστήµατος συνδέονται µε το άθροισµα της συνέλιξης. Η συνάρτηση µεταφοράς του ΓΧΑ συστήµατος είναι M µε y ( ) x ( k) h( k) k 0 ( ) N k 0 b a k k k k Μετασχηµατισµός 7-0

31 Παράδειγµα (Σύστηµα διακριτού χρόνου πρώτης τάξης) Να υπολογιστεί η συνάρτηση µεταφοράς και η κρουστική απόκριση του αιτιατού ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου πρώτης τάξης, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών όπου a και b θετικοί πραγµατικοί αριθµοί. y ( ) a y( ) b x( ) Λύση Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι H b a ( ) b [,0]; a [, -0.9]; plae(b,a); title(' ιάγραµµαπόλων Μηδενικών '); text(0.85,-0.,'0.9'); text(0.0,-0.,'0'); b[,0]; a[, -0.9]; [H,W]freq(b,a,00); subplot(,,); plot(w/pi,abs(h)); title(' Μέτρο της απόκρισης ') subplot(,,); plot(w/pi,agle(h)); title(' Φάση της απόκρισης ') Επειδή το σύστηµα είναι αιτιατό η περιοχή σύγκλισης είναι > a. ιάγραµµα Πόλων Μηδενικών 0 Μέτρο της απόκρισης 0.5 Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι Φάση της απόκρισης 0 h( ) Z [ H ( )] b a u( ) Μετασχηµατισµός 7-

32 Το σύστηµα πρώτης τάξης διακριτού χρόνου όπως αυτό έχει υλοποιηθεί µε τη βοήθεια µιας µονάδας καθυστέρησης ενός δείγµατος, ενός αθροιστή και δύο πολλαπλασιαστών και η κρουστική του απόκριση, δηλαδή, η ακολουθία εξόδου του όταν η είσοδός του είναι η κρουστική ακολουθία. x( ) δ ( ) x () y () b y ( ) h( ) 0 -a 0 b [b,0]; a [, -a]; subplot(,,); plae(b,a); title(' ιάγραµµα πόλων-µηδενικών'); [x,] impseq(0, -0, 0); h filter(b,a,x); subplot(,,); stem(,h); xlabel(' ') ylabel(' h() ') title(' Κρουστική απόκριση ') Μετασχηµατισµός 7-

33 Παράδειγµα (Σύστηµα διακριτού χρόνου δεύτερης τάξης) Να υπολογιστεί η συνάρτηση µεταφοράς και η κρουστική απόκριση του αιτιατού ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου πρώτης τάξης, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών όπου a καια πραγµατικοίαριθµοί. Λύση Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι H ( ) a + a Επειδή το σύστηµα είναι αιτιατό η περιοχή σύγκλισης είναι > R. y ( ) a y( ) + a y( ) x( ) b[]; a[, -a, a ]; [H,W] freq(b,a,000); subplot(,,); plot(w/pi,abs(h)); xlabel(' Συχνότητα σε µονάδες π ') ylabel(' Μέτροσε Volts ') title(' Απόκριση πλάτους ') subplot(,,6); plot(w/pi,agle(h)); xlabel(' Συχνότητα σε µονάδες π ') ylabel(' Φάση σε µονάδες π ') title(' Απόκριση φάσης ') Μετασχηµατισµός 7-

34 Αν a -,78 και a 0,8τοσύστηµαέχειδύοσυζυγείςπόλουςτους 0,9 e ±jπ/4. Η συνάρτηση µεταφοράς H() αναλύεται σε απλά κλάσµατα ως H ( ) e π j 4 0,9e π + j 4 + e π + j 4 0,9e π j 4 και η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι π ( 0,9) cos[ ( ) ] u( ) h( ) 4 Στο Σχήµα περιγράφεται η περιοχή σύγκλισης οι συζυγείς µιγαδικοί πόλοι, το µηδενικό µε πολλαπλότητα του συστήµατος διακριτού χρόνου και η κρουστική του απόκριση η οποία είναι µία φθίνουσα ηµιτονοειδής ακολουθία. Το σύστηµα είναι ευσταθές. Μοναδιαίος κύκλος { } Im 0,9 π e + j 4 h() 0,9 π e j 4 Re{ } 0 Μετασχηµατισµός 7-4

35 Αν a -,5556 και a,τοσύστηµαέχειδύοσυζυγείςπόλουςτους, e ±jπ/4. Η συνάρτηση µεταφοράc H() αναλύεται σε απλά κλάσµατα ως H ( ) e π j 4, e π + j 4 + e π + j 4, e π j 4 και η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι π (,) cos[ ( ) ] u( ) h( ) 4 Στο Σχήµα περιγράφεται η περιοχή σύγκλισης οι συζυγείς µιγαδικοί πόλοι του, το µηδενικό µε πολλαπλότητα του συστήµατος διακριτού χρόνου και η κρουστική του απόκριση η οποία είναι µία αύξουσα ηµιτονοειδής ακολουθία. Το σύστηµα τώρα είναι µη ευσταθές. Im{ } Μοναδιαίος κύκλος, π e + j 4 h(), π e j 4 Re{ } Μετασχηµατισµός 7-5

36 Παράδειγµα Έστω το αιτιατό σύστηµα του οποίου η είσοδος και η έξοδος ικανοποιούν τη γραµµική εξίσωση διαφορών Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήµατος. ( ) ) ( ) ( ) ( + x x y y Λύση Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι ) ( + H Επειδήτοσύστηµαείναιαιτιατόηπεριοχήσύγκλισηςείναι >. Επειδή ο βαθµός του πολυωνύµου του αριθµητή είναι ίσος µε το βαθµό του πολυωνύµου του παρονοµαστή πρέπει να γίνει διαίρεση πριν την ανάλυση σε απλά κλάσµατα. 'Έτσι έχουµε για την κρουστική απόκριση του συστήµατος [ ] ) ( 5 ) ( 5 ) ( ) ( u Z H Z h + + δ Σεραφείµ Καραµπογιάς Μετασχηµατισµός 7-6

37 Παράδειγµα (προσδιορισµός συνάρτησης µεταφοράς κρουστικής απόκρισης) ίνεται το αιτιατό ΓΧΑ σύστηµα διακριτού χρόνου του οποίοιυ η είσοδος και η έξοδος συνδέονται από την εξίσωση διαφορών y ( ) 0,5y( ) x( ) Να βρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς και η κρουστική απόκριση του συστήµατος. Απάντηση Η συνάρτηση µεταφοράς µεταφοράς του συστήµατος είναι H 0,5 ( ) µε περιοχή σύγκλισης > 0,5 αφού το σύστηµα είναι αιτιατό. Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι h( ) (0,5) u( ) Μετασχηµατισµός 7-7

38 Παράδειγµα (προσδιορισµός εξόδου χωρίς αρχικές συνθήκες) Ναυπολογιστείηέξοδοςτουσυστήµατοςαντοσήµαεισόδουείναι x() u() καιτο σύστηµα βρίσκεται σε ηρεµία Λύση Η συνάρτηση µεταφοράς µεταφοράς είναι H ( ) µε ΠΣ > 0,5 0,5 Ο M της ακολουθίας εισόδου είναι X ( ) µε ΠΣ > 0,5 Ο M της ακολουθίας εξόδου είναι Y H X ( ) ( ) ( ) 0,5 0,5 µε περιοχή σύγκλισης την τοµή των δύο επιµέρους περιοχών σύγκλισης, δηλαδή, >. Η ακολουθία εξόδου το συστήµατος είναι y( ) (0,5) u( ) + u( ) + Μετασχηµατισµός 7-8

39 x ( ) u( ) x () y () h() y() µεταβατική κατάσταση µόνιµη κατάσταση Αν δεν έχουµε αρχικές συνθήκες τότε η έξοδος του συστήµατος προσδιορίζεται µε τη βοήθεια του θεωρήµατος της συνέλιξης γνωρίζοντας τη συνάρτηση µεταφοράς και το µετασχηµατισµό του σήµατος εισόδου. Αν έχουµε αρχικές συνθήκες τότε στην εξίσωση διαφορών λόγω της ιδιότητας της αριστερήςολίσθησηςτουµετασχηµατισµού συµπεριλαµβάνουµε τις αρχικές συνθήκες. Z [ x( )] X( ) + ( ) + x Μετασχηµατισµός 7-9

40 Παράδειγµα (προσδιορισµός εξόδου µε αρχικές συνθήκες) Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήµατος αν το σήµα εισόδου είναι x() u() µε αρχικήσυνθήκη y(-). Λύση: Εφαρµόζουµε µονόπλευρο µετασχηµατισµό και στα δύο µέρη της εξίσωσης διαφορών y() 0,5 y(-) x() έχουµε [ Y+ ( ) + y( ) ] X ( ) Y + + ( ) 0,5 Y 0,5 0,5 0,5 + ( + ) X ( ) + H Y 0,5 0,5 + ( ) X ( ) + ( ) Y ( ) o + i Μετασχηµατισµός 7-40

41 όπου 0,5 0,5 ( + Y o ) H ( ) X ( ) + είναι ο µετασχηµατισµός της εξόδου του συστήµατος για µηδενικές αρχικές συνθήκες. Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός δίνει y ( 0,5) u( ) u( ) ( ) o + η οποία ονοµάζεται απόκριση µηδενικής κατάστασης (ero stage respose) και Y i ( ) 0,5 είναι ο µετασχηµατισµός της εξόδου του συστήµατος ο οποίος προέρχεται από τις αρχικές συνθήκες του συστήµατος. Η συνεισφορά του όρου στην έξοδο του συστήµατος βρίσκεται µε αντίστροφο µετασχηµατισµό και είναι yi ( ) ( 0,5) u( ) η οποία ονοµάζεται απόκριση µηδενικής εισόδου (ero iput respose). Η έξοδος του συστήµατος είναι y( ) yo ( ) + yi ( ) ( 0,5) u( ) + u( ) + ( 0,5) u( ) + 0,5 u( ) + u( ( ) ) Σεραφείµ Καραµπογιάς Μετασχηµατισµός 7-4

42 b[]; a[, -0.5]; subplot(,,); plae(b,a); title(' ιάγραµµα πόλων µηδενικών'); [x,] impseq(0, -5, 5); h filter(b,a,x); subplot(,,); stem(,h); xlabel(' ') ylabel(' h() ') title(' Κρουστικ απόκριση') Y[]; % Αρχικέςσυνθήκεςεξόδου X[0]; % Αρχικέςσυνθήκεςεισόδου xicfiltic(b,a,y,x); [u,] stepseq(0, 0, 0); y filter(b,a,u,xic); [u,] stepseq(0, -5, 0); y [ y]; subplot(,,5); stem(,y); xlabel(' ') ylabel(' y() ') title(' Απόκριση στη βηµατική ακολουθία µε αρχική συνθήκη y(-) ') Μετασχηµατισµός 7-4

43 ιάγραµµα Πόλων Μηδενικών Κρουστική απόκριση Imagiary Part h() Real Part Απόκριση στη βηµατική ακολουθία µε αρχική συνθήκη y(-).5 y() Μετασχηµατισµός 7-4

44 Μελέτη γραµµικού χρονικά αναλλοίωτου συστήµατος µε τη βοήθεια M Απότηνπεριοχήσύγκλισηςκαιτηθέσητωνπόλωνκαιτωνµηδενικώνµπορούµενα εξάγουµε συµπεράσµατα για την ευστάθεια και την αιτιατότητα του συστήµατος Για να είναι ένα σύστηµα διακριτού χρόνου αιτιατό πρέπει η περιοχή σύγκλισης να είναι το εξωτερικό κύκλου µε τη µικρότερη ακτίνα που περιέχει τους πόλους. Για να είναι το σύστηµα ευσταθές πρέπει η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης µεταφοράς του H() να περιέχει το µοναδιαίο κύκλο. Η θέση των πόλων της συνάρτησης µεταφοράς του H() στο επίπεδο προσδιορίζει τη συµπεριφορά της κρουστικής απόκρισης του συστήµατος. Μετασχηµατισµός 7-44

45 Η συµπεριφορά της κρουστικής του απόκρισης ενός συστήµατος διακριτού χρόνου ανάλογα µε τη θέση των πόλων της συνάρτησης µεταφοράς του στο µιγαδικό επίπεδο. Μοναδιαίος κύκλος Im{ } Re{ } Μετασχηµατισµός 7-45

46 Παράδειγµα Θεωρούµε το σύστηµα διακριτού χρόνου, µε είσοδο x() και έξοδο y(), που περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών y( ) 7 y( ) + y( ) x( ) Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήµατος. Απάντηση Για να είναι το σύστηµα αιτιατό πρέπει 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h u + u > Για να είναι το σύστηµα ευσταθές πρέπει 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h u u < < Η παραπάνω εξίσωση διαφορών δεν µπορεί να περιγράφει σύστηµα που να είναι συγχρόνως ευσταθές και αιτιατό. Μετασχηµατισµός 7-46