Deljivost naravnih števil

Transcript

1 Deljivost naravnih števil. D = {,,, 4, 6, }, V = {, 4, 6, 48, 60 }. (A) in (E). a) S številom so deljiva števila:, 0, 0 in 060. S številom so deljiva števila: 0, 460, 000 in 46. c) S številom 4 so deljiva števila:, 4, 04, 64 in 6. č) S številom 4 so deljiva števila: 0,, 0 in. 4. 6, 08, 46, Delitelji Število , 00, 400, 00, 600, 00, 800, 900, 00, 00, 00, 00. Takega števila ni; vsa števila med 6000 in 8000 so štirimestna. 8. D = {,,, 4, 6, 8, 9,, 4, 6, } D 08 ={,,, 4, 6, 9,, 8,, 6, 4, 08} Obe števili hkrati delijo števila,,, 4, 6, 9, in a) Neža je odplavala 400 m. To je 9 dolžin. c) Naredil je obratov. 0. Potrebujejo škatel.. 6 kovancev:, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c 9 kovancev: 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c kovancev: 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c kovancev: 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c 8 kovancev: 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c, 0 c. Lahko ga razreže na: enaka kosa po 4 cm (08 : = 4) enake kose po 6 cm (08 : = 6) 4 enake kose po cm (08 : 4 = ) 6 enakih kosov po 8 cm (08 : 6 = 8) 9 enakih kosov po cm (08 : 9 = ). Poiščem pet deliteljev enega ali drugega števila:,, 4,, 4., 0, 6, 66, 666. D 44 = {,,, 4, 6, 8, 9,, 6, 8, 4, 6, 48,, 44} = 6. Števila 4,, in imajo natanko dva delitelja. Imenujemo jih praštevila.. +, +, + 4, + 6, +, +, + 4, Med številoma 40 in 0 je praštevil. 9. a) P P c) N č) N d) N e) N 0. a) 4 = = 6 = 60 = 8 = 60 = 0 =. a) Praštevila imajo natanko dva delitelja. c) Vsa praštevila, razen števila, so liha.. (C) 99 = 9 +. (Č) 4. a),, 9 c),,, č),,, d), e),

2 . a),, 6, 0, c) 8,, 9 6. a) D(8, ) = 4 D(, ) = D(, 8) = D(8, 4) = 6 D(84, 0) = D(, 6, 8) = 9 c) D(, 90) = D(44, 4) = D(6,, 8) = 8. D(8, 6) = 6, D(8, ) = 6, D(8, 4) = 6 D(9, ) =, D(9, 6) =, D(9, ) = D(, 4, 6) =, D(, 48, 6) = 8. a), 4, c), 4,, 4,, 4,,... 4,..., 4, , 8, 0, 6 00, a) V razredu je učencev. Vsak dobi čokoladne bonbone. c) Vsak dobi žele bonbona.. Bilo je skupin, v vsaki skupini je bilo učencev, vsaka skupina je imela žoge.. Stranica kvadrata meri 6 dm, dobimo 4 kvadratov.. a) 0, 60, 90, 66, 99 8, 6, 4, 0, 4 c), 4, 6 0, 00, 0 4. a) 6, 60, 4 c) 4, 6. a) v(,, 8) = 0 c) v(0, 0, 00) = a) v(, 8) = 40 v(4, 0) = 0 v(, ) = v(, ) = 60 v(4, 0) = 0 v(, 0, 4) = 90 c) v(9, ) = 6 v(9, 6) = 44 v(,, 44) =. a) v(, 4) = v(, 6) = 0 c) v(, 6, ) = 8. a) v(, 6) = 6 v(, 9) = 6 v(4, 9) = 6 v(, ) = 60 v(0, 60) = 60 v(4, ) = 60 c) v(00, ) = 00 v(4, ) = 00 v(0, 00) = v(,, 64) = 64 v(8, 6, 64) = a) P N c) P 4. V razredu je 4 učencev. 4. Vlak bo spet odpeljal ob 0. uri. 4. a) Obe prijateljici bo hkrati obiskala spet čez dni. Obiskala ju bo v sredo. 44. kosov peciva Nasvet v(,, 0) =...

3 Preslikave.. Na sliki so narisane točke A, B, C in D, ki so krajišča daljic AB, BC in CD, premica p, ki je nosilka daljice CD, ter poltrak h z izhodiščem v točki B.. 4. a) N Premici p in r sta vzporedni. p r N Premica v je pravokotna na premico r. v r c) P č) P d) N Točka A ne leži na premici r. A r e) P B. a) Premica p in daljica MN imata neskončno skupnih točk. Na daljici MN ležijo točke M, B, C in N. 6. Narišemo lahko dve nasprotno usmerjeni osi.. a) Med A in D sta točki B in C. Nobena. c) Točka A. č) Točka D. 8.. a) Kolesci A in C se vrtita v pozitivnem smislu, kolesci B in D pa v negativnem.. Odsev desne hiše ima vrata, hiša pa jih nima. Grajski stolp je kvadrast, njegov odsev v vodi pa valjast. Stolp nima strehe, odsev v vodi jo ima. Hiša pred cerkvijo ima vrata, njen odsev pa ne. V zrcalni sliki manjka ena hiša.. Z vzporednim premikom se prekrijeta lika A in C, z zrcaljenjem lika D in E, z vrtežem pa lika A in B, B in C. 4. Liki, dobljeni z vrtenjem Č F. a) Vzporedni premik. Lika sta skladna. c) Vse štiri premice so vzporedne. č) Vse štiri daljice so enako dolge. Liki, dobljeni z vzporednim premikom 6. a) Vrtež. Lika sta skladna. c) Vsi trije koti so enako veliki skladni. č) Orientacija obeh likov je enaka.. a) c) č) D E F Na preusmerjeni osi je točka S pred točko P in ta pred točko R. 9. Točke so izbrane v pozitivni orientaciji na drugi in tretji krožnici. 0. Trikotnik ACD je negativno orientiran, trikotnika BCD in BCA pa pozitivno. 8. a) N P 9. Brez muje se še čevelj ne obuje. Znanje je zaklad, ki povsod spremlja svojega lastnika.

4 4 0. a) Četrti zapis.. /. MATEMATIKA. Prezrcaliti moramo najmanj tri točke: na vsakem kraku eno in vrh. Kota sta enako velika, velikost kotov se pri zrcaljenju ohranja. 8. a) Z p : A A' Z p : B B' Z p : C C' Z p : D D'. a) Z v : AB Æ A'B' Z v : CD Æ C'D c) Z v : EF Æ E'F' č) Z v : GH Æ HG Kot A'V'B' je ostri kot. Krajišče D pri zrcaljenju miruje. 4. a) Zrcalna slika premice je premica. Pri zrcaljenju miruje točka T.. 9. a) Kot E'D'C' je topi kot. Premici a' in b' sta vzporedni. Z v : a Æ a' Z v : b Æ b' a' b' Zrcalna slika tetive je tetiva. Zrcalna slika tangente je tangenta. 0. a) Z c : A A' Z c : B B' Miruje točka C. 6. a). a) Z s : AB Æ A'B' Z s : CD Æ C'D' Pri zrcaljenju miruje točka C. Orientaciji sta različni. Orientaciji sta različni. Pravokotnik. c) Daljica PR se preslika sama vase. Z s : PR Æ PR

5 . a) Z S : k Æ k' p r in p' r' 9.. Zrcaljenje čez točko. Zrcaljenje čez premico. 40. a) s s Pri zrcaljenju kota moramo prezrcaliti vrh kota in vsaj eno točko z vsakega kraka. a) 4. Vse tri daljice so vzporedne. 4. a) α α in Z T : α Æ α' γ γ'. a) Orientaciji likov sta enaki. Trikotnika skupaj sestavljata štirikotnik. c) Trikotnika sta skladna. 6. a) P N c) P. Daljica B'A'' je trikrat daljša od daljice AB Simetrali pravokotnih daljic sta pravokotni. 4. Simetrali tetiv DE in EF se sekata v središču krožnice S. Središče je enako oddaljeno od obeh krajišč tetive, zato leži na njeni simetrali. 46. Krožnici narišemo poljubni dve tetivi. Tetivam določimo simetrali. Tam, kjer se simetrali sekata, je središče krožnice.

6 6 4.. a) P P c) P č) P d) P. Simetrale se sekajo v eni točki. Dolžine daljic so enake AS = SB = CS Presečišče simetral je točka, od katere so krajišča stranic (oglišča trikotnika) enako oddaljena, zato lahko skoznje narišemo krožnico. 49. a) 4. c). S simetralami daljico razpolavljamo, zato jo lahko razdelimo le na toliko enakih delov, kot je potenca števila ( =, = 4, = 8, 4 = 6 ). Število 6 ni potenca števila. 0. a) Narišemo daljico AB in ji določimo simetralo. Iskana točka (ena sama) je presečišče simetrale in premice p. Narišemo simetralo daljice MN in krožnico s polmerom cm in središčem v točki P. Presečišči krožnice in simetrale sta iskani točki dve. 6. a) 0 4 c) 90. a) c)

7 8. 0. Črka R ni niti osno niti središčno somerna. 9. Točke ležijo na simetrali kota ABC, ki je nosilka diagonale BD.. /. a) 0º 96º 8º 4º' 0º 84º º º' 0º 96º 8º 4º' 60. Točko poiščemo tako, da načrtamo simetralo daljice AB in simetralo kota ABC. Presečišče obeh simetral je iskana točka. 6. a) Lika B in Č nista osno somerna. Eno somernico imajo liki A, D in E. c) Dve somernici ima lik C. 6. a) Premica je somernica. Krog ima neskončno somernic. 6. Kot in daljica imata eno somernico, premica jih ima neskončno. 64. Prva, tretja in četrta snežinka so osno somerne oblike. 6. Prve tri karte so središčno somerne. 66. B, C in D 6. a) c) 68. Nogomet, tenis in šah se igrajo na središčno somernih igriščih. 69. Prva in četrta čipka sta osno somerni, druga pa je osno in središčno somerna. º 4º 96º48' 49º º 8º' º 4º 96º48'. URP =, TRU = 8, TRP =, SRT = 6, SRU =4 Topa sta kota TRP in SRU. 4. α = 4, β =, γ = 80, α + β + γ = 80. a) α = 8 γ = 4 c) δ = 90 č) β = 6. β = 68, α = 4, ε =, ϕ = 0. α = 4, β =, γ =, δ = 4, ϕ = 4 8. a) ϕ =, ε = α =, β = 09 c) α =, β = 0, γ = č) δ = 8, ε =, ϕ = 4 d) α = α = 0, β = β = 60, γ = γ = 0 9. a) α = 60, β = 0 α = 0, β = 90, γ = 40, δ = β = 60

8 8 Ulomki. a) dela, dela, 6. Tone je prispeval najmanj, in sicer 4 evre.. Raztegnjena elastika meri 0,84 m.. c) 4 deli, 4 č) delov, 8. a) Dolga je, cm. Polovica daljice je dolga, cm ali mm. Pobarval nisem daljice. 9. V čajni mešanici je 00 g listov robide in 0 g lipovega cvetja. 0. Zgradili so že 9 km avtoceste, v delu je še avtoceste.. a) od 0 kg = 6 kg od 0 kg = kg od 8 cm = 6 cm od 6 ur = 4 ure od 44 = od 99 = 0 c) 8 od 40 m = m 6 od 4 g = g 4 od 40 hl = 0 hl 4. a) dm = 4 cm 4 kg = dag min = 40 s 0 8 od t = 80 kg 0 m = 80 l dm = 48 cm c) od dm =, dm 9 0 od s =, s 0 od dm =,0 dm. 8 od 8 = 8 od 6 = 0 8 od = 0 8 od 40 = 0. a) c). 4 4, 4, 0 4, 4,, 0, 0 4, 0, 0 0, 0 4, 0, 0 0 Imenovalec ulomka ne sme biti a) 0, 0, 0 9, 0 8, 4 8, 8, 8 c) 0 4, 4 0, 8 0, 0 0. a) 6..,, 4, 6, 6, 8, 8 Vrednost vsakega naslednjega ulomka je večja od prejšnje. Vsi ulomki v tem neskončnem zaporedju so manjši od.

9 9. a) c) 8.. a) =, 4 = 4, =, 6 = 4 6, = 9 = 6, 4 = 6 4, 8 0 = 0 8, 4 8 = 6 6 8, 00 = 8 4 c) =, =, 44 = 4, 0 = 4, = = 0 8. a) < 0 6 < < < 4 c) < 8 < 4 č) < 4 6 < (C), (D) 0. a) 6, 6, 8 Šesti člen zaporedja.. /. 4, 6, 6 Prav tako šesti člen. Ulomki, manjši od Ulomki, večji od Ulomki, enaki. a) 9, 9, 8 9, 9, 9 4, 4 9, 4, 4, 4 c), 8 8, 0 0, 4 4, 6 6 4, 9,, 8 9 4, 0, , 4,, 4, 4 4, 4,, 4, Od števila so trije večji ulomki: 4, in 4. Številu so enaki ulomki:, 4 4 in.. a) 0, 4 0, 0 00, 0 Številu 0 sta enaka ulomka 0 in 0. Ulomka 0 in ne obstajata, saj imenovalec 0 ne sme biti a) Bliže je številu. Boljša je ocena, saj je vrednost ulomka le malo večja od števila. a) 0 0 = = = 0 0 = 0 = = 4 = Pri teh ulomkih je števec večkratnik imenovalca. Vrednost ulomka 0 je enaka 0. c) 4 = 6 = 6 = 4 = 6 8 = 0. a) = = 00 0 = 6 = 4 = 0 0 = c) = = 66 6 = 99 9 č) 0 = 0 = 0 = 6 0. a) =, =, 0 0 = = 00 00, = c) =, =. 9 = 8 = = a) >, > 4 8 >, 9 = 8 c) 0 4 <, 8 < 9, 0 = , 0 = 0 4. a) =, 4 = 4, 8 0 = 8 0, 0 = = 4 00, 000 = 000, 00 = 0, 4 9 = 49 9 c) = 6, 0 4 = 00 4, 8 = 00 8, 0 8 = 6 8. (A) in (B) 6. a) x = 4, y = 66, t = 8 x = 8, y =, t = 49 c) x = 8, y =, t =

10 0. a) x =, x =, x =, x = 4 y =, y =, y =, y = 4, y =, y = , 8,, 8,, 4 9,,, 4,, 9. Ulomka imata isti imenovalec, v števcu pa je zamenjan vrstni red števk. Vrednost prvega uklomka je za eno tisočino večja od 6, vrednost drugega ulomka pa je za 6 tisočin večje od. 40. a) R = {,, 4,, 6 } R = {4,, 6,, 8 } 4. Prvotni ulomek a) =, 8 = 40, 9 = 0 4, = 0 = 8 0, 8 = 4 48, 9 = 4, = 66 Razširjeni ulomek Ulomek je razširjen z/s c) =, 8 = 88, 9 = 99, = 4. a) = 6, = 0 4, = = 6 6, 9 = 0 6, = 6 c) 8 = 6, 9 = 6 4, = 6 č) 0 = 4 0, 4 =, 6 = a) = 40 4, = 4, = 4 4, 4 = 8 4 = 9, = 0, = c) = 8 0, 6 = 0, = a) = 0, 6 = 0 = 0, 0 = 4 4, 8 = 4 4 = 9, 6 = 9 =, = 0 = 40, 4 = 4 c) 0 8 = 00 80, 00 = 8 00, 0 = 00 8 = 40, 0 = a) 0 40 = 6 8, 0 = 4, 8 4 = = 4, 8 0 = 9, = 0, 6 8 = 4 c) 6 = 8 6 = 9, 0 4 = =, 0 8 = 9 = 4. a) 6 =, 4 0 = 4, 6 = = 9 0, 6 4 = 9, 0 0 = c) = 0, 8 = 40, 4 = 0, č) =, 60 =, 0 = a) 4 6 =, 0 =, 6 8 = 4, 6 = 4, 0 = =, = 8, 0 4 = 4 9, 6 6 = 9 4, 80 = 0 9 c) 0 0 = 4 9, 00 0 = 4, 00 6 =, 8 60 = 4, 6 90 = a) x =, y =, z = 0 x = 9, y =, z = 0. a) 6 = 6 = 8 4 c) 6 = 8 0. a) Z lahko okrajšaš ulomke: 4 8, 0, 0 8, 6 4. Okrajšani ulomki: 0 8 = 0 9 in 6 4 = = 0 = 0. (A) Če ulomek krajšamo s, se vrednost ulomka ne spremeni. (C) Če je imenovalec delitelj števila 0, lahko ulomek razširimo na imenovalec a) Če imata ulomka enaka imenovalca je večji tisti ulomek, ki ima večji števec. <, 4 >, < 4 Če imata ulomka enak števec, je večji tisti, ki ima manjši imenovalec. > 8, 0 <, > 4 c) Ulomke najprej razširimo na skupni imenovalec in nato uredimo. > 6, 4 < 6, <. a) <, 0 = 0, < 0 <, >, 9 < 8 c) 8 < 0, 6 0 <, = a) Daljša je 9 0 m. Lažje je 0 kg. c) litra je enako kot 6 0 dm.

11 . a), 8,, 4, 0 0, 0 6, 0, 0 8, 0 9 c), 6,, 8, 9 č) 0,,,, 8. a) > > > 6 > > > > 4 9 > 4 8 c) 6 > > > 4 > 9. Najboljše je pisal tretjo šolsko nalogo. 60. a) < 9 < < 8 < < 6 < 9 4 c) 9 4 < < < 4 6. a) Manjši od so ulomki:, 8, in 0 9. Večji od : 6,, 0 6. a), 4, 4 8 c) č) 8, 6. a) Ulomek je med ulomkoma in. < 8 < 4 c) < < a) 6,, 8, 9, 0 4,, 6 c), 0, 4, 0,, 0, Najbližje domu je bil Aleš.

12 Seštevanje in odštevanje ulomkov. a) č) 6 4 = 4 = = a) = 9. a) + = 4 + = = = = = = 0 = c) + 6 = = 4 0 = =. a),, c), 4. a) 9 + = = = = 6 c) = =. a) = 4 = 8 = 8 9 = 6 0 = 0 6 = 6 c) = = = c) 4 = č) = 6. Babica Meta je domov prinesla 4 kg sadja ,4 = 4, +,4 = 6, (8, ) 0,8 = ( ) 00 8 = = , = 9, 9. (C) 0. a) = 0 0 = = = + + =. Ocena: + = km Metod je prevozil 6 km, to je več, kot mu je naročil trener.. Tretji del meri m.. a) x =, y = x =, y = 0 6 c) m = 6, z = č) u =8, k = 4. a),,,,,, 4,,, 4 c) 4 4,, 4,, 4,. 8 4, 4, Po dveh dnevih jim je ostalo še neobranega grozdja = 4

13 . a) 4 + = 9 + = 4 = = 6 + = 4 + = = = = = 0 8. a) + 0 = + = = = = = = = Dobiš l pijače in lahko uporabiš vrč za en liter. 0. a) + + = = = = = = 0. Vrednost tega izraza je tudi 0, ker velja zakon o združevanju.., 6, 6 4. Krmilnica je visoka 0 m ( m), zato muca ne doseže vrabca. 4. a) = = = = = 8 4 = 9 6 = = 4. a), + 9 = 4,,8 + 0, =, 4,9 = 6,, 0, =, c) 4, + =, 4 0,8 = 4,9 6. a) c) 0. a) Četrtina vprašanih ne večerja. Ne večerja 4 ljudi. c) Šestina vprašanih za večerjo je kosmiče. 8. a) ( 8 + ) + 0, = ( 4 ) + 4 = 4 c) ( ) ( ) = a) 9 4 u =, u = 4 4 x + 4 =, x = c) x 8 =,, x = V tem tednu so porabili 4 t premoga. Največ so ga porabili v petek. V sredo so ga porabili 4 t manj kot v ponedeljek.. a) v = 0 v = c) x = 60. a) x > 4 Naravnega števila, ki bi zadoščal neenačbi 4 u > 4, ni.. Gobe tehtajo,8 kg. 4. a) Tretji dan je prebral 4 knjige. Največ je prebral drugi dan. c) prvi dan je prebral 80 strani.. a) c)

14 4 Trikotnik. a) 0. (A). a) γ = Ne. 90, 40, 0. (C) c). α = ε = 6, δ = γ = 8 4. a) Lahko izmerimo dolžino vseh treh stranic. a =,6 cm b =, cm c = 4, cm. a) a = 4 cm, α = 40, γ = 00 β = 60 c) Vsota notranjih kotov trikotnika mora biti enaka 80.. a) Stranica b povezuje oglišči A in C. Stranica c leži nasproti oglišča C. c) Vrh notranjega kota β je točka B. č) Kot α je nasprotni kot stranici a. d) Stranici c in b sta sosednji. 4. Raznostranični trikotniki:, Enakokraki trikotniki:, 4, Enakostranični trikotniki: Ostrokotni trikotniki:, Pravokotni trikotniki:, 4 Topokotni trikotniki: a) 80 Enakokraki. c) / č) Ne, saj imajo vsi enakostranični trikotniki skladne notranje kote, ki merijo 60.. Trikotnik ABC je topokoten trikotnik. Notranji kot β je topi kot. Vsota notranjih kotov je 80. Kota β in β merita skupaj 80. Kot α leži nasproti stranice a in ima svoj vrh v oglišču A. 6. a) α = 0, β =, γ = α = 6, β = 6, γ = 6 c) α = 0, β = 0, γ = 40. a) γ = 60 β = 80 c) α = α = 4, α =8 9. a) α = 0, β =, γ = α = β = 6, γ = 4 c) α = 0, β = 60, γ = 90. a) ABC ACD BSC ASD c) BSA DSC 6. a) Narišemo stranico c, dolgo cm. Nato s šestilom odmerimo dolžino stranice a (6 cm), zapičimo šestilo v oglišče B in narišemo lok. S šestilom odmerimo dolžino stranice b (4 cm) in ga zapičimo v oglišče A. Kjer se loka sekata, je oglišče C. Sedaj samo še povežemo oglišče C z ogliščema A in B in trikotnik je narisan.. a) b = cm, a = cm, γ = 80 Narišemo stranico b ( cm) in označimo oglišči A in C. Narišemo kot γ, ki ima vrh v oglišču C, en krak pa je stranica b. Na drugem kraku s šestilom odmerimo dolžino stranice a ( cm) dobimo oglišče B. Sedaj samo še povežemo oglišči A in B ter dobimo iskani trikotnik. Narišemo stranico AB, dolgo 6 cm, nato odmerimo kot b. Na kraku kota s šestilom odmerimo stranico a ( cm), dobimo oglišče C. Povežemo še oglišči C in A. c) Narišemo stranico AC (4 cm) in odmerimo kot γ. Na kraku kota odmerimo dolžino stranice CB, ki je prav tako dolga 4 cm. Tako dobimo še tretje oglišče. Oglišče B le še povežemo z ogliščem A.

15 8. 9. a) Narišemo znano stranico (c = cm) in označimo oglišči A in B. Narišemo kota α in β. Oba kota imata za en krak stranico c. Tam, kjer se druga kraka sekata, je oglišče C. 0. a) Narišemo stranico c = cm in označimo oglišči A in B. Narišemo kot α, ki ima vrh v oglišču A, en krak pa je stranica c. S šestilom odmerimo dolžino stranice a (6 cm). Šestilo zapičimo v oglišče B in narišemo lok. Kjer lok seka krak kota α, je oglišče C. Povežemo oglišči B in C dobimo iskani trikotnik.. a) Narišemo stranico DE, dolgo,8 cm, ter označimo oglišči D in E. Načrtamo kot EDF, ki ima vrh v oglišču D, en krak kota pa je stranica DE. Načrtamo še kot DEF z vrhom v oglišču E in enim krakom, ki je kar stranica DE. Tam, kjer se kraka kota sekata, je oglišče F. Narišemo stranico PR, dolgo cm, in označimo oglišči P in R. Narišemo kot RPS, ki ima vrh v oglišču P, en krak pa je stranica PR. Na drugem kraku s šestilom odmerimo dolžino stranice PS ( cm), tako dobimo oglišče S. Sedaj le še povežemo oglišči R in S ter dobimo iskani trikotnik.. a) enakostraničen ostrokoten Najprej narišemo stranico a (4, cm), označimo oglišči B in C, nato pa še kot β, ki ima vrh v oglišču B, en krak kota pa je stranica a. S šestilom odmerimo dolžino stranice b (,4 cm), tako da šestilo zapičimo v oglišče C in narišemo lok. Tam, kjer lok seka krak kota β, je oglišče A. raznostraničen topokoten c) enakokrak pravokoten c) Najprej narišemo stranico b ( cm), označimo oglišči A in C, nato odmerimo kot γ, ki ima vrh v oglišču C, en krak kota pa je stranica b. S šestilom odmerimo dolžino stranice c (,6 cm) in ga zapičimo v oglišče A. Narišemo lok. Lok seka krak kota na dveh mestih, zato lahko načrtamo dva trikotnika z ogliščema B in B. č) raznostraničen pravokoten d) enakokrak ostrokoten

16 6. / 4. a) v a =,4 cm v b =, cm c) v c =, cm. v c = cm, v k = cm, v t = cm 6. a) v a = 4 cm, v b = cm, v c =,6 cm v a = v b = 4,8 cm, v c =,8 cm Narišemo stranico AB, ki predstavlja en krak kota β. Nato narišemo še drugi krak kota β. Kjer krak seka krožnico, označimo oglišče C in ga povežemo z ogliščem A. 8. a) Narišemo stranico c = 6 cm ter označimo oglišči A in B. S šestilom odmerimo dolžino stranice a (4 cm), zapičimo šestilo v oglišče B in narišemo lok. Nato s šestilom odmerimo dolžino stranice b (, cm). Šestilo zapičimo v oglišče A in narišemo lok. Tam, kjer se loka sekata, je oglišče C. Ko je trikotnik narisan, poiščemo še središče očrtanega kroga. Narišemo simetrali dveh stranic. Tam, kjer se simetrali sekata, je središče.. a) Narišemo stranico b =, cm in označimo oglišči A in C. Nato narišemo kot α, ki ima vrh v oglišču A en krak pa je stranica b. Narišemo vzporednico stranici b, ki je od nje oddaljena za v b (4 cm). Kjer se vzporednica seka s krakom kota α, je oglišče B. Povežemo oglišči B in C. Narišemo stranico c (,8 cm) ter označimo oglišči A in B. Nosilka stranice c je en krak kota α, oglišče A pa njegov vrh. Narišemo še drug krak kota. S šestilom odmerimo dolžino stranice b (, cm), šestilo zapičimo v oglišče A in narišemo lok. Tam, kjer lok seka krak kota, je oglišče C. Sedaj narišemo še simetrali dveh stranic. Tam, kjer se simetrali sekata, je središče očrtanega kroga. Narišemo stranico a in označimo oglišči B in C. Nato narišemo vzporednico, ki je od stranice a oddaljena za v a = 4 cm. S šestilom odmerimo dolžino stranice b (48 mm). Šestilo zapičimo v oglišče C in narišemo lok. Kjer lok seka vzporednico, je oglišče A. Oglišče A sedaj še povežemo z ogliščema B in C. c) Narišemo stranico c ( cm) ter označimo oglišči A in B. Nosilka stranice c je krak kota α in β. Kot α ima vrh v oglišču A, kot β pa v oglišču B. Narišemo še druga kraka obeh kotov. Tam, kjer se sekata, je oglišče C. Če želimo narisati včrtani krog, moramo najprej načrtati dve simetrali kotov. Tam, kjer se simetrali sekata, je S V. c) Narišemo krožnico s polmerom cm. Na krožnici izberemo oglišče B. Šestilo zapičimo v oglišče B in narišemo lok s polmerom, cm. Kjer lok seka krožnico, označimo oglišče A.

17 9. Središče očrtanega in včrtanega kroga je pri enakostraničnem trikotniku isto. 0. Narišemo stranico a = 4, cm, označimo oglišči B in C. Narišemo kot β = 4, ki ima vrh v oglišču B, en krak pa je stranica a. Nato razpolovimo stranico BC, tako da dobimo točko S. S šestilom odmerimo dolžino t a = cm in ga zapičimo v točko S. Narišemo lok. Kjer seka lok krak kota, je točka A. Oglišče A povežemo še z ogliščem C. d) Stranica AB je osnovnica enakokrakega trikotnika, zato sta kota α in β enaka in ju lahko izračunamo. α = β = 80 γ =. a) Stranici AC in BC sta kraka enakokrakega trikotnika in zato enako dolgi: BC = AC = cm. Narišemo osnovnico (c =, cm) in nato s šestilom odmerimo dolžino krakov ( cm). Šestilo enkrat zapičimo v oglišče A in narišemo lok, drugič pa v oglišče B in znova narišemo lok. Kjer se loka sekata, je oglišče C. Oglišče C še povežemo z ogliščema A in B. V enakokrakem trikotniku z osnovnico AB sta kota A in B enaka ( A = B = ). Narišemo osnovnico, nato še oba kota. Kjer se kraka kotov sekata, je oglišče C. c) Načrtamo kot 0. Vrh tega kota je oglišče C. S šestilom odmerimo dolžino stranice a ( cm), ga zapičimo v oglišče C in narišemo lok. Tam, kjer lok seka en krak kota, je oglišče A, kjer seka drug krak kota, je oglišče B. Oglišči povežemo. Pri enakokrakem trikotniku sta namreč dolžini stranic a in b enaki.. a) Narišemo osnovnico c = 4,6 cm in jo razpolovimo. Tako dobimo točko N. Iz točke N narišemo pravokotnico in na njej odmerimo v c = cm. Dobimo oglišče C, ki ga povežemo s preostalima ogliščema. Narišemo daljico NC z dolžino mm, ki predstavlja v c. Skozi krajišče N narišemo pravokotnico na nosilko daljice. Nato s šestilom odmerimo dolžino stranice a = cm. Šestilo zapičimo v oglišče C in narišemo lok. Lok seka pravokotnico na dveh mestih. Tam sta oglišči A in B. c) Načrtamo kot β in označimo njegov vrh oglišče B. H kraku kota narišemo vzporednico, ki je od njega oddaljena za v C (4 mm). Tam, kjer vzporednica seka drugi krak kota, je oglišče C. Šestilo zapičimo v oglišče C in odmerimo razdaljo BC. Trikotnik je enakokrak, zato velja AC = BC. Narišemo lok. Tam, kjer lok seka drug krak kota β, je oglišče A. č) Narišemo stranico c (6, cm) ter označimo oglišči A in B. Nosilka stranice c je krak kotov α in β, oglišči A in B pa sta njuna vrha. Narišemo še druga dva kraka, saj pri enakokrakem trikotniku velja α = β = 0. Tam, kjer se kraka sekata, je oglišče C. č) Narišemo kot γ (velik 80 ) in nato še njegovo simetralo. Na simetrali s šestilom odmerimo razdaljo v C ( cm). Tam, kjer lok seka simetralo, označimo točko N. Skozi točko N narišemo pravokotnico na simetralo. Tam, kjer pravokotnica seka kraka kota, sta oglišči A in B.

18 8. 4. a). a) 90, 4, 4 Središče krožnice leži na osnovnici enakokrakega trikotnika. 6. a) Narišemo stranico AB, dolgo mm, saj so vse stranice v enakostraničnem trikotniku enako dolge. S šestilom, razprtim mm, narišemo dva loka. Enkrat zapičimo šestilo v oglišče A, drugič v oglišče B. Tam, kjer se loka sekata, je oglišče C. Enakostranični trikotnik ima vse notranje kote enake: α = β = γ = 60, višina pa notranji kot razpolavlja. Narišemo kot 60 in njegovo somernico. Na somernici odmerimo v = cm. Označimo točko N. Skozi to točko narišemo pravokotnico na somernico. Kjer seka kraka kota, sta še drugi dve oglišči. c) Narišemo krožnico s polmerom r =,8 cm, saj je polmer dvakrat krajši od premera. S šestilom (še vedno razprtim za,8 cm) na krožnico narišemo šest lokov. Tam, kjer vsak drugi lok seka krožnico, je oglišče enakostraničnega trikotnika. Oglišča le še povežemo med seboj.. a) Narišemo krožnico (r = mm). Na krožnici si izberemo točko A. S šestilom odmerimo razdaljo osnovnice (4 cm). Šestilo zapičimo v oglišče A in narišemo lok. Kjer lok seka krožnico, je točka B. Daljici AB narišemo simetralo. Kjer simetrala seka krožnico, je oglišče C. Narišemo krožnico s polmerom mm. Na njej si izberemo oglišče C. S šestilom odmerimo dolžino kraka ( mm). Šestilo zapičimo v točko C in narišemo loka. Kjer loka sekata krožnico, sta oglišči A in B. c) Na krožnici (r = mm, točka S središče) izberemo točko C. Narišemo daljico CS. Daljica CS je kar višina trikotnika, saj je mm = 0, dm. Narišemo še pravokotnico na nosilko daljice CS. Kjer seka krožnico, sta oglišči A in B. č) Narišemo pravokotnico na premico s, ki gre skozi točko A. Presečišče označimo z N. Razdaljo AN prenesemo še na drugo stran premice, dobimo oglišče B. S šestilom odmerimo dolžino daljice AB, zapičimo šestilo v točko A ali B in narišemo lok. Kjer lok seka premico s, je oglišče C.

19 9 Množenje in deljenje ulomkov. a) 0 = 0 = 6 = 6. a) 4,,, 4 ali 6 4 6, 6 4,, 0 6 ali 0., 4, 0, 0 Če število pomnožimo z ena, se ne spremeni. Če število pomnožimo z 0, je produkt enak od 6 = 0, 6 = ,,, 0 6. a a a) Razdelila bo 4 jabolk. Ostala bo 4 jabolk. c) Izračuna lahko, koliko jabolk ji bo ostalo. 8. a) Šahirala sta 4 ure. Alenka je bila na obisku uri. 4. a) x = y = c) u =. a) Porabili so 8 kg moke. 4 Porabili so kg moke. c) Porabili so kg moke. č) Najmanj moke so porabili v poletnih mesecih. 6. a) 8, 0,, 4, 6 Vsak naslednji člen je za prejšnjega. c) č) Da. d) Trinajsti člen.. a) Malo več kot desetina. Ena dvajsetina. c) / 8. a) 0, 6, 8,, 0 c) 4,, večji od 9. a) 4 6, 8, 4 4 9,, 4 c) =, 4 8 =, = 6 4, 0 6 = 6. a) o = 4 m o = dm c) o = cm 9. a) 6 c) č) 4 0. a) 4 =. a) 0, 8, 0 8 c),. a) V klobčiču je še 6 m vrvi. c) Po treh tednih zaostane za 4 minute. č) Letalo je pristalo 0 km od Ljubljane. 6 0 = 0 c) 8

20 0. Zlomljeno roko ima 0 moštva.. Popila je l limonade, torej več kot l.. a),, 0 c), 0 4. a) 0 9, 40, 00 8, 0, 0 6. a) ( + 8 ) 4 = od od 0,6 =,46 4 c) 4 ( 4 ) = a) V = ( 4 4 ) = dm V = (,4) =, m c) V = ( + ) = 0,6 dm. 4, km (48 km, 64 km) 8. V zaboju je 0,6 m peska. To je 6 l a),, 8 0,, 0 48 c) 0, 4, 8 9. a) dm, 4 dm, 8 dm, 6 dm dm, dm, / dm, /4 dm c) 4 dm, 6 dm, 64 dm. a) x 4 6 x + x x a a + a + a a Seštevanje enakih seštevancev je enako množenju seštevanca s številom seštevancev.. 4. (Č) Ulomek Obratni ulomek 6. a) y = 4, t = r = 00, m = 9 c) x = 6, y = , 99 = 99, 4, = 4, 4, 00 4 =. a) Kadar množimo obratne ulomke. 4 4 =, 8 8 =, 0 = Število a) = 4, 48 6 =, 4 = 4 c) = 4, = 4 9., 6, 9, 40. :, : 8, :, 8 : 4. a) 4 =, 0 6 = 8 0 < < a) 0, 8, 0 8, 0 8, 80 0, 8, 0 9, 0 8, 8 c) a) n =, t = 8 9 x =, z = c) t = 0, p = 44. a) 4, 0, 0, 0, 0 0 4, 6, 00, c) 4, 6 4. a),, 4, 8, a 46. a) 0 c) 4. Ugodnejša je druga ponudba a) V minuti prevozi 0,4 km. To je 40 m. V sekundi napravi 6 km. V 4 minute napravi 9900 km.

21 49. Število, ni rešitev enačbe, ker je, približek ulomka. 0. Speče 9, kg kruha.. a) 0, 0 0, , a) 0,,, 000, 6,,,,, 4, 6 c) 0 06, 40,,,,. a) Vsaka je nabrala 4 l borovnic. V uri se je nakapljalo 0, l vode, v 6 urah pa,8 l vode. c) svitka meri 6 4 m, v svitku je 4 m žice. 4. a) 4 dm m c) 6 m. a),, 9 0 0, 60, a) a) = ( )0 = a) 6,, 4, 4, 9,, 4,,, 8,, 4, < < 0 < < < , 0 00, 0, 6. a) Visoka je 80 cm. 6 listkov. 6. a) Vsak dobi 8 posestva. Prevozi km (,4 km), to je 4 m. c) Napolnili so steklenic. 6. a) 0, 8, 4, 6, c), 64. a) : = ( 9 6) : 6 = 4 c) ( + ) : = č) (4, ) : (4, + ) = d) (6, + + ) 8 6 : = 6. a) a =, b =, t = t =, m = 0, x = c) t = 44, y =, r = 6. a) x =, x = Pomnožiti moramo s številom. : t = 0, t = 4 Deliti moramo s c) 6 + = y, y = Iskano število je. 66. Napolnila je bonbonier. Ne. 68. a), 8, 4»se ne more izračunati«, 4, 0. V enem dnevu porabijo kwh energije, v enem mesecu pa kwh.

22 Štirikotniki. /. a) P N c) N č) N. a) B, C E, F c) A, E č) A, E, F, G d) C, Č e) A, E, F f) A, E, F, G 4. a) δ = 0 γ = 9 0' c) β = 0' 4. a) β = β = 0, γ = c) γ = 0 č) α =, γ = 0 6. a) β = δ =, γ = 49 HEF = FGH =, GHE = EFG = 4 c) KLM = MNK = 4, NKL = LMN = 8. Štirikotnik, katerega notranji koti merijo, 0, 44 in 9, je mogoče narisati. Narišemo krožni lok s središčem v oglišču C in polmerom BC =,6 cm. Kjer se loka sekata, je oglišče B. 9. a) 0. a) c) Potek načrtovanja: Narišemo LMN = 0 in oglišče M. Na krakih kota odmerimo dolžino stranic LM = 4 cm in MN = 4, cm, dobimo oglišči L in N. Načrtamo kot: KNM = 0. Na nosilki stranice KN izberemo točko K' in narišemo NK'L' = 60. Narišemo vzporednico kraku L'K' skozi točko L in dobimo oglišče K. 8. a) Načrtovanje začnemo pri kotu α. Načrtovanje začnemo pri kotu β. c) Potek načrtovanja: Narišemo oglišče D in δ = 90. Na krakih kota odmerimo dolžino stranic AD =, cm in CD =,9 cm, dobimo oglišči A in C. Narišemo krožni lok s središčem v oglišču A in polmerom AB =, cm. Potek načrtovanja: Narišemo oglišče B in kot β =. Na kraku kota odmerimo dolžino stranice a, dobimo oglišče A. Narišemo krožni lok s središčem v oglišču A in polmerom e = 60 mm. Kjer se lok seka s krakom kota β, je oglišče C, načrtamo kot α. Narišemo krožni lok s središčem v oglišču B in polmerom f = mm. Kjer krožni lok seka krak kota α, je oglišče D.

23 c) Načrtovanje začnemo pri stranici DC. č) 8. č) Načrtovanje začnemo pri stranici b. 9. a) a) Trapez ima dva prava kota. Ne.. Risbe niso enake, ker ni dovolj podatkov.. Trapez je štirikotnik, ki ima dve vzporedni stranici. To sta osnovnici trapeza. Drugi dve stranici sta kraka. Če sta kraka skladna, je trapez enakokraki. Razdalja med nosilkama osnovnic je višina trapeza. Daljica, ki veže nasprotni oglišči trapeza, je diagonala. Trapez ima dve diagonali. c). a) N N c) N č) P d) P 4. Trapezi so: ABCD, ABCD, ABC D in ABC D.. a) δ = γ =, β = 6 RST = STP = 0, RPT = PRS = c) EFG = FGH =, GHE = HEF = α = β = 0, δ = γ = 0. a) 0. a) c) c) č)

24 4. Načrtaš lahko dva trapeza.. /. 8. a) β = 60, γ = 0 β = 0, α = γ = 0 c) β = 0, α = 8, δ = a) α = γ = 0, δ = Zvezda ima somernic. c) Ne. 0. Liki A, Č, G. 4. Štirikotniki A, B in D so deltoidi.. Trikotnik je enakokrak pri trapezu C.. a). a) α = γ =, δ = β = 4 α = γ = 8, δ = β = 9 c) ϕ = 4, α =, δ = 6 c). Paralelogram v a v b KLMN,0 cm, cm PRST,0 cm, cm ABCD,0 cm, cm EFGH,0 cm,0 cm č) 4. a) CM = 9 cm, MD = 6 cm v = 4 cm. a) 6. Deltoid je osno someren štirikotnik. d) Po dve sosednji stranici, ki imata skupno oglišče na somernici, sta skladni. e) Kvadrat je tak lik.. c)

25 6. a) 4. a) c) c) 4. o = m, p = 4 4 m 44. a). a) 8. (D) 4 dm c) 9. Nepravilne izjave so A, B, D. 40. a) α = γ = 6, δ = β = 8 ϕ =, ε = c) ϕ = ϕ = 9, ε = a) En podatek ni dovolj. 4. a) Učiteljica odgovori: romb. 46. a) Enega. Tri. c) Osem. 4. Valj ima tri mejne ploskve, dva skladna kroga in en pravokotnik. Drugo telo ima šest mejnih ploskev, dva kvadrata in štiri trapeze. Tretje telo ima pet mejnih ploskev: tri pravokotnike in dva trikotnika. Peto telo ima sedem mejnih ploskev. Dve ploskvi sta skladna petkotnika, pet je pravokotnikov. Mejne ploskve šestega geometrijskega telesa so: dva skladna deltoida in dva para skladnih pravokotnikov.

26 6 48. Zadnja skica. 49. Kocka ima šest mejnih ploskev, vsi so skladni kvadrati. Mrežo telesa na sliki sestavlja 0 skladnih kvadratov.. /.. / 4. / 0. Ena stranica pravokotnika se mora ujemati s stranico petkotnika, druga stranica pa mora biti pri vseh pravokotnikih enako dolga.