Fizika Riemannove hipoteze

Transcript

1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Fizika Riemannove hipoteze Seminar Jure Aplinc, dipl. fiz. (UN) Mentor: prof. dr. Tomaž Prosen 11. april 2012 Povzetek Fiziki smo vajeni specialnih funkcij, saj se z njimi srečujemo pogosto kadar želimo kakšen problem analitično rešiti. Na primer pri vodikovem atomu kot rešitve dobimo Laguerrove polinome in sferne harmonike, pri našem najljubšem modelu, kvantnem harmonskem oscilatorju pa Hermitove polinome. V tem seminarju bomo govorili o Riemannovi funkciji zeta, funkciji iz teorije števil. Raziskali bomo tudi njen vpliv na fiziko in razpravljali o fizikalnem prispevku k dokazu slavne, več kot 150 let stare, Riemannove hipoteze. Ogledali si bomo nekaj modelov iz klasične in kvantne teorije kaosa, katerih rešitve lahko povežemo z Riemannovo funkcijo zeta, opazili pa bomo tudi, da ta funkcija predstavlja povezavo med obema.

2 Kazalo 1 Uvod 2 2 Riemannova hipoteza in teorija števil Riemannova funkcija zeta in praštevila Porazdelitev ničel Riemannove funkcije zeta Klasična mehanika Integrabilni sistemi Kaotični sistemi Kvantna mehanika Integrabilni sistemi Neintegrabilni sistemi Zaključek 12 1

3 1 Uvod Obstajajo arheološki dokazi, po katerih lahko sklepamo, da ljudje znamo šteti že vsaj let. Tudi živali so sposobne ločiti ena, dva in tri, toda samo ljudem je uspelo razviti abstraktno mišljenje, s katerim so razumeli lastnosti teh števil. Najprej so začeli uporabljati naravna števila in definirali nad njimi različne operacije na primer seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje, ki so nam dobro znane že iz mladih let. Kljub temu, da smo prepričani, da jih že dobro poznamo, prav deljenje tvori še vedno ne najbolje raziskano strukturo znotraj naravnih števil - praštevila. To so števila, ki so deljiva zgolj z samim seboj in številom 1. Starogrškemu matematiku Evklidu je že okoli leta 365 pr.n.št. uspelo dokazati, da obstaja neskončno takih števil, Erastosten iz Kirene pa je čez 100 let iznašel preprost algoritem za iskanje praštevil. Kljub temu, da se je matematika od časa Erastostena do danes močno razvila, predstavlja iskanje praštevil še vedno velik izziv. Praštevila so precej zanimiva, saj se zdi, da se pojavljajo naključno, hkrati pa ubogajo porazdelitev [1], ki jo približno poznamo. Zaradi te kontradiktornosti so se z njimi veliko ukvarjali matematiki, med prvimi Evklid, ki je na mnogo načinov dokazal, da jih je neskončno, kot smo že omenili. Kasneje je Leonard Euler dokazal močnejši izrek [1] p P 1 =, (1.0.1) p ki potrjuje Evklidove dokaze, hkrati pa dokazuje, da se praštevila med naravnimi števili pojavljajo redno. Nadalje se je ukvarjal z analizo vrste n N n k, ki je pri izbiri k = 1 dobro znana divergentna harmonična vrsta, za R k > 1 pa konvergira. Dokazal je, da jo lahko zapišemo kot neskončen produkt [1, 2], ki teče po vseh praštevilih ζ(k) = 1 n k = ( 1 1 ) 1 p k. (1.0.2) n=1 p P Ako izberemo k > 1 ni mogoče, da bi bil katerikoli faktor v vsoti 0, to pa pomeni, da ζ(k) na pozitivnem realnem poltraku nima ničel. Zgornjo produktno formulo (1.0.2) je prvi s kompleksno analizo obravnaval Bernhard Riemann in dokazal, da je mogoče funkcijo ζ(z) = n=1 1 n z (1.0.3) analitično razširiti na celotno kompleksno ravnino, razen v točki z = 1 1, kjer funkcija divergira. Tako razširjeni analitični funkciji pravimo Riemannova funkcija zeta. Ob pogledu na enačbo (1.0.2), ki jo imenujemo Eulerjeva produktna formula [2] si lahko mislimo, da je funkcija ζ konstruirana s praštevili. Zaradi te abstraktne definicije se nam na prvi pogled najbrž zdi, da v fiziki ne bo igrala pomembne vloge, kar pa ni res. Riemannova funkcija ζ se pogosto pojavlja v problemih iz najrazličnejših področji teoretične fizike. V nadaljevanju se bomo osredotočili na mejo med fiziko in teorijo števil in si ogledali primer uporabe funkcije ζ v klasični mehaniki, največ časa pa bomo posvetili kvantni mehaniki. S pomočjo Gutzwillerjeve enačbe bomo izvedli kvantizacijo neintegrabilnih 2 sistemov, pri tem pa ugotovili, da lahko s pomočjo Riemannove funkcije ζ določimo lastnosti hamiltonjana za nek sistem, ki ga sploh ne poznamo. 1 S črko z kot običajno označimo kompleksno število z = x + iy. 2 Integrabilni sistemi so sistemi, ki so analitično rešljivi, kaotični oziroma neintegrabilni pa analitično niso rešljivi. 2

4 2 Riemannova hipoteza in teorija števil Riemann je izpeljal tudi funkcionalno enačbo [2], v kateri nastopa funkcija ζ ( ( ) z 1 z π z/2 Γ ζ(z) = π 2) (1 z)/2 Γ ζ(1 z), (2.0.4) 2 ki je definirana za vse kompleksne z in vsebuje zrcalno simetrijo glede na vertikalno os x = 1/2, ki jo imenujemo k ritična os. Kot vidimo imamo funkcijo ζ na obeh straneh enačbe, enkrat z argumentom z, drugič z 1 z. S pomočjo te zveze lahko ugotovimo kje se nahajajo ničle. Ugotovili smo že, da jih za pozitivna realna števila ni, zato si poglejmo primer, ko je x < 0 in y = 0. Produkt na eni ali na drugi strani je lahko nič le v primeru, če je kateri od členov 0, to pa na desni strani ni mogoče, saj so vsi večji od 0 in nimajo ničel. Na levi strani pa ima funkcija Γ(z/2) pol 1. stopnje tedaj ko je njen argument celo negativno število (z = 2Z ). Desna stran nima polov, tako da je enačba izpolnjena le če ima funkcija ζ ničlo 1. stopnje ravno tam kjer ima Γ pol. Ker je lokacija teh ničel določena s funkcijo Γ jim pravimo trivialne ničle [2]. S podobnim argumentom ugotovimo, da vse ostale ničle ležijo na območju 0 x 1, ki ga imenujemo kritični trak. Iz definicije funkcije ζ (1.0.3) je očitno, da velja ζ(z ) = ζ(z) [2], kar pomeni, da je z ničla le v primeru, ko je tudi z ničla za ζ. Tedaj torej ničle v kompleksni ravnini ležijo zrcalno glede na realno os. Na sliki 1 imamo narisan pol in ničle funkcije ζ. Slika 1: Slika prikazuje kompleksno ravnino, na njej pa so označene značilnosti funkcije ζ. Ničle so označene s črnimi pikami, narisane so tudi možne netrivialne ničle, ki ne ležijo na kritični osi [1]. Naša diskusija o ničlah funkcije ζ do sedaj ni bila videti prav nič zapletena, v resnici je lokacija netrivialnih ničel po 150 letih še vedno nerešeno vprašanje, saj matematikom še vedno ni uspelo dokazati Riemannove hipoteze, ki pravi da vse netrivialne ničle ležijo na kritični 3

5 osi. Leta 1900 je David Hilbert problem uvrstil na seznam 24 nerešenih natematičnih problemov, ponovno je bil problem uvrščen med 7 nagradnih problemov The Millennium Prize Problems [3] Bostonskega inštituta Clay Mathematics institute, ki za rešitev vsakega ponuja miljon dolarjev. Matematiki so se zato veliko ukvarjali s tem problemom, leta 1914 je Godfrey Harold Hardy dokazal, da je ničel na kritični osi neskončno mnogo. Nato je leta 1942 Atle Selberg pokazal, da število ničel na kritični osi raste N 0 (T ) > CT ln(t ); C > 0. (2.0.5) Kasneje je Norman Levinson dokazal še, da na kritični osi leži vsaj 2/5 netrivialnih ničel. Nikomur pa ni uspelo neposredno dokazati Riemannove hipoteze. 2.1 Riemannova funkcija zeta in praštevila Vrnimo se k povezavi med Riemannovo funkcijo ζ in praštevili, ki smo jo bržkone opazili že v enačbi (1.0.2). Ta bo še lepše vidna, če si ogledamo, kako se število vseh praštevil pod neko izbrano mejo spreminja s premikanjem te meje. Oglejmo si torej komulativno porazdelitev praštevil [1], ki jo je izpeljal Riemann: kjer je J(x) = Li(x) lim T ρ <T π(x) = n=1 Ei[ρlog(x)] + µ(n) n J(x1/n ), (2.1.1) x dt (t 2 log(2). (2.1.2) 1)tlog(t) Funkciji µ, ki nastopa v enačbi (2.1.1) rečemo Möbiusova 3 funkcija [1], z ρ pa so označene netrivialne ničle Riemannove ζ. Ako bi vedeli kje ležijo ničle 4 funkcije ζ, bi poznali tudi porazdelitev praštevil, ki si jo poglejmo na sliki 2. Če vzamemo v enačbi zgolj prvi red vidimo, da je število praštevil pri zgornji meji x vedno manjše kot Li(x) 5, čemur pravimo izrek o praštevilih. 2.2 Porazdelitev ničel Riemannove funkcije zeta Če želimo vedeti kakšna je porazdelitev praštevil, moramo poznati porazdelitev ničel funkcije ζ, ki jo lahko zapišemo takole: d(t ) = δ(t ρ k ), (2.2.1) k s tem nismo povedali nič novega, saj ničel ζ ne poznamo. Lahko pa porazdelitev ničel (2.2.1) razdelimo na gladek del in na del, ki oscilira [1] d(t ) = d(t ) + d osc (T ), kjer sta d(t ) = 1 ( ) T 2π ln π 2π + O(T 1 ), (2.2.2) 3 Möbiusova funkcija je definirana tako, da je µ(1) = 1, µ(n) = 0, če je n deljiv z 2. Če n ni deljiv z 2 ga zapišemo kot produkt praštevil in velja µ(p 1p 2 p k ) = ( 1) k, ako so vsi p i različni. 4 A. M. Odlyzko je leta 1988 z veliko natančnostjo numerično izračunal netrivialne ničle Riemannove funkcije ζ vse do Logaritemski integral je definiran z Li(x) = x integral Ei = x e t dt. t 0 dt. V definiciji J(x) je uporabljen tudi eksponentni ln(t) 4

6 Slika 2: Na grafu imamo komulativno funkcijo porazdelitve praštevil π in njene aproksimacije v prvem redu in v dveh primerih, ko vzamemo le prvih 10 ali 30 netrivialnih ničel. Več ničel kot vzamemo bolje se krivulja prilega eksaktni komulativni porazdelitvi, aproksimacija pa postaja vedno boljša tudi za večje argumente. Opazimo tudi, da je funkcija Li vseskozi nad pravo komulativno porazdelitvijo praštevil, kot pravi izrek o praštevilih [1]. d osc (T ) = 1 π p P r=1 ln(p)cos(rt ln(p)) p r. (2.2.3) Oscilirajoči del (2.2.3) nam napravi fluktuacije v gladkem delu d, ki so posledice prispevkov posameznih praštevil. Če si pogledamo komulativno porazdelitev ničel ζ ugotovimo, da število ničel raste eksponentno [1, 2] z naraščajočo zgornjo mejo. Kasneje bomo videli, da obstaja podobnost med ničlami funkcije ζ in periodičnimi orbitami kaotičnega sistema, kjer število periodičnih orbit prav tako narašča eksponentno. 3 Klasična mehanika Nekateri problemi v klasični mehaniki so analitično rešljivi na primer Keplerjev problem dveh teles, harmonski oscilator in še nekateri drugi. Toda prav kmalu naletimo na probleme, ki niso analitično rešljivi. Eden takšnih je problem treh teles, ki je ostal nerešen več kot 100 let, nato pa je Poincaré dokazal, da to niti ni mogoče, saj je gibanje tega sistema kaotično [1]. V klasični mehaniki ločimo dva tipa sistemov integrabilne in kaotične, kot smo na primeru povedali zgoraj. Integrabilni dinamični sistemi, imajo prav toliko neodvisnih konstant gibanja I n, kot prostostnih stopenj N. Za takšne sisteme lahko izrazimo Hamiltonjan z temi spremenljivkami[1, 4] H = H(I 1,..., I N ), enačbe gibanja dφ n dt = H I n in di n dt = H φ n (3.0.4) so enostavno rešljive, saj je I n = konst. in φ n = φ n,0 + ω n t. V posebnem primeru, ko imamo le eno prostostno stopnjo, je sistem nujno integrabilen, če pa povečamo število prostostnih stopenj ali pa vzamemo časovno odvisen hamiltonjan je naš dinamični sistem lahko kaotičen. 5

7 Najenostavnejši modeli z dvema ali več prostostnimi stopnjami so klasični biliardi, saj ima delec konstantno energijo, in je zaprt v končen volumen z neskončno togimi stenami. Od njihove oblike [4] pa je odvisno ali je sistem kaotičen ali integrabilen. 3.1 Integrabilni sistemi V biliardu s krožnimi stenami, slika (3), je zaradi rotacijske simetrije gibanje zelo preprosto, saj vpadni kot ostane enak po vsakem odboju. Slika 3: Krožni biliard (levo) je integrabilen sistem, Bunimovichev stadion (desno) pa je primer kaotičnega sistema. Na obeh imamo narisan po en primer periodične in neskončne orbite [1]. Če je ta mπ/n in sta m in n tuji si števili, tedaj je orbita periodična [1] s periodo n, torej končna. Sicer pa je orbita neskončna, točke, v katerih se delec odbije od stene, pa so po njej porazdeljene enakomerno. Sistem je integrabilen, saj je rotacijsko simetričen, kar je ekvivalentno ohranitvi vrtilne količine. Trajektorijo lahko opišemo zgolj z dvema kotoma β in ψ, ki sta definirana na sliki 4, dinamiko pa narekuje (β, ψ) (β + π 2ψ, ψ), kjer vse kote jemljemo mod(2π). Slika 4: Krožni biliard z luknjama širine ɛ v steni. Sedaj za opis gibanja potrebujemo štiri parametre, kot vidimo s slike. Obravnavali bomo krožni biliard, iz katerega bomo izrezali eno in nato še eno luknjo. Gibanje delca bomo najbolje opisali v kanoničnih Birkhoffovih koordinatah [4], ki sta koordinata vzdolž stene q = β in tangentni impulz p = sin(ψ). Fazni prostor smo tako omejili na torus 0 q < 2π in 1 < p < 1. Zaradi izbire kanoničnih koordinat je čas med dvema zaporednima trkoma t = 2cos(ψ). Kljub temu, da se bralcu bržkone dozdeva, da naš sistem nima 6

8 veliko opraviti z realnostjo, to ni res, z njim in podobnimi modeli lahko namreč modeliramo elektromagnetno polje v optičnih ali mikrovalovnih tuljavah [1]. Takšni eksperimentalni sistemi seveda niso idealni, saj je njihov namen oddajanje elektromagnetnega valovanja. Naš sistem približamo realnemu tako, da v steno napravimo luknjo, slika (4), in tako dovolimo disipacijo. Iz našega biliarda bo torej po nekem številu odbojev ušel delec, zato je normalno, da se vprašamo kakšna je verjetnost P(n), da delec zapusti sistem ravno po n odbojih in kakšno je povprečno število odbojev preden se to zgodi, kar je ekvivalentno verjetnosti, da delec pobegne ob času t. Verjetnost, da delec uide iz biliarda je sorazmerna z velikostjo luknje ɛ v steni in dimenzijo celotne stene L, po kateri je verjetnostna gostota delcev enakomerno razmazana, torej p = ɛ/l. Verjetnost, da delec preživi v biliardu prvih n 1 odbojev in uide prav pri n tem je (1 p) n 1 p, iz česar hitro izračunamo število odbojev, ki jih delec v povprečju naredi preden uide iz biliarda n escape = k(1 p) (k 1) p = 1 p 1 ɛ. (3.1.1) k=1 S pobegom iz krožnega biliarda z eno luknjo res ni bilo prav veliko dela, poglejmo si kaj se zgodi, če v biliard napravimo dvoje lukenj širine ɛ. Prav tako kot zgoraj, obravnavamo zgolj neperiodične orbite, periodične so namreč trivialne. Pričakovali bi, da bo po analogiji s prejšnjim primerom povprečno število odbojev pred pobegom n escape 1/2ɛ, ako se luknji ne prekrivata. V resnici v sistemih, kjer se trajektorije ne razlikujejo močno, se pravi takih, kjer je Lyapunov eksponent blizu 0, pride le majhen del delcev skozi luknji v steni. Povprečen čas, ki ga delci prebijejo v biliardu pa je zato sorazmeren ɛ [1]. Če izberemo začetni kot ψ m,n = π/2 mπ/n, kjer sta m, n N tuji si števili, tedaj je orbita končna. Če smo ta kot pravilno izbrali, bo delec ušel iz biljarda vsaj v n korakih, sicer pa sploh ne. Mi pa bi radi raziskali le tiste začetne pogoje, pri katerih bo delec ravno ob času t, oziroma ravno po N = 2π/ɛ odbojih zapustil sistem, to pa dosežemo tako, da malo zmotimo periodično orbito [1] ψ = ψ m,n + η, kjer je 0 < η ɛ, kot β pa omejimo na območje: β 0 ( ɛ + ) ηt ( cos(ψ m,n ), θ θ + ɛ + ηt cos(ψ m,n ), 2π ). (3.1.2) n Verjetnost da delec ob času t zapusti sistem izračunamo tako, da seštejemo preko vseh mogočih zaključenih orbit ψ m,n, torej preko vseh parov (m, n), pri pogoju, da sta ti dve števili tuji. Po integriranju preko območja dobimo verjetnost P(t, ɛ, θ) 1 N nf(n) t n=1 m [ 1 cos ( 2mπ n )]. (3.1.3) Za našo diskusijo funkcija F ni pomembna. Presenetljivo je, da lahko vsoto po m eksplicitno seštejemo, prvi člen v oklepaju zgolj šteje koliko pozitivnih naravnih števil je manjših in hkrati tujih številu n, kar je ravno definicija Eulerjeve funkcije φ. Z nekaj računanja se izkaže, da je drugi člen ravno Möbiusova funkcija [1], ki smo jo omenili tudi v razdelku 2.1. Verjetnost, da v takem biliardu dobimo orbito, ki bo luknjama navkljub ostala zaprta znotraj sistema je [1] P = lim t (tp(t, ɛ, θ)) n[φ(n) µ(n)]f(n). (3.1.4) n=1 Vodilni red P dobimo z Mellinovo transformacijo P(s) = 0 P (ɛ, θ)ɛ s 1 dɛ. (3.1.5) 7

9 Bunimovich in Detteman [1] sta pokazala, da je ta verjetnost P(s) popolnoma določena z netrivialnimi ničlami in polom Riemannove funkcije ζ(s), kadar sta luknji v steni razmaknjeni za 0 o, 60 o, 90 o, 120 o in 180 o. Prvi popravek k vodilnemu redu pa je dan z netrivialnimi ničlami ζ(s + 1). Očitno je Riemannova funkcija ζ iz teorije števil močno povezana s tem čisto fizikalnim sistemom, kar je osupljivo. Še več, v tem trenutku imamo fiziki možnost, da preverimo veljavnost naših asimptotskih približkov in s tem veljavnost Riemannove hipoteze. Eksperimentalni 6 rezultati, ki sta jih dobila Bunimovich in Detteman [1] ne zavračajo Riemannove hipoteze, dokazati je pa tudi ne morejo, saj eksperiment ni orodje teoretične matematike. 3.2 Kaotični sistemi Do zdaj smo se ukvarjali z zelo enostavnimi krožnimi biliardi, sedaj pa se bomo posvetili bolj splošnim. Če steno našega krožnega biliarda zvezno deformiramo v neko poljubno obliko, analiza ni več tako enostavna, saj sistem postane kaotičen. Za našo diskusijo vzemimo, da krog deformiramo v obliko Bunimovichovega stadiona (slika 3). Tudi v tem primeru orbite klasificiramo na periodične, za katere velja {q n (t 1 ), p n (t 1 )} = {q n (t 2 ), p n (t 2 )}; t 1 < t 2 in na neperiodične. Kvalitativno se nam zdi, da so prve prava redkost, saj v integrabilnih sistemih število periodičnih orbit raste polinomsko. Ko imamo neintegrabilen sistem, bi pričakovali, da se bo število periodičnih orbit zmanjšalo, vendar to ne drži. Prav nasprotno, njihovo število se pravzaprav še hitreje povečuje in za splošno Hamiltonsko dinamiko raste eksponentno [1, 4] e hl /hl z dolžino periodične orbite l, kjer h označuje topološko entropijo. Razlika med integrabilnimi in kaotičnimi sistemi je torej velika. Posebej presenetljivo pa je, da so periodične orbite zelo močno analitično orodje, ki nam je v pomoč pri analizi kaotičnih sistemov in enačbah sledi 7 med klasično in kvantno mehaniko, kar bomo obravnavali v naslednjem poglavju. Oglejmo si v splošnem še časovni razvoj toka Hamiltonjana. Vzemimo trajektorijo r(t) = F (r 0, t), ki je ob času 0 v začetni točki r 0. Vpeljimo še operator razvoja [1, 4] oziroma tok [4] L(t; r, r) = δ(r r(t)) = δ(r F (r 0, t)). (3.2.1) Za klasičen neintegrabilen sistem lahko pokažemo [4], da velja Tr(L(t; r, r)) = p T p r=1 δ(t rt p ) det(1 J r p), (3.2.2) kjer prva vsota teče po vseh periodičnih orbitah označenih s p z dolžino T p, druga pa sešteje vse ponovitve r. J p imenujemo matrika monodromije in je jakobijeva matrika vektorske funkcije F, ki jo opazujemo v bližnji okolici peiodične orbite. To enačbo lahko interpretiramo tudi geometrično [4]. Sled operatorja toka je skoncentrirana na nekakšno cev, ki objema periodično orbito, z dolžine T p in debelino 1/ det(1 J r p). Z enačbo (3.2.2) nam je uspelo povezati spekter [4] evolucijskega operatorja s periodičnimi orbitami. To enačbo bomo v naslednjen poglavju povezali z Riemannovo funkcijo ζ. 4 Kvantna mehanika Kvantna mehanika je bila postavljena iz želje, da bi znali pojasnili do takrat neznane spektre plinov. Že pred pravim razvojem kvantne mahanike je Bohru z nekaj predpostavkami uspelo pojasniti spekter vodikovega atoma. Sisteme so takrat kvantizirali tako da so diskretizirali vrednosti spremenljivk v klasični akciji. V pravi kvantni mehaniki pa sistem kvantiziramo tako 6 Ko govorimo o eksperimentih, mislimo na numerične simulacije. 7 Po angleško trace formula. 8

10 da spremenljivke zamenjamo z operatorji. Pričakujemo pa, da bo kvantna mehanika za velike sisteme dajala enake rezultate kot klasična mehanika, kar imenujemo Bohrov korespondenčni princip, ki je most med obema teorijama. To idejo bomo uporabili tudi, ko bomo iskali povezavo med klasičnimi in kvantnimi sistemi s pomočjo Riemannove funkcije ζ. Če želimo sisteme obravnavati kvantno, jih moramo kvantizirati in rešiti Schrödingerjevo enačbo, kar največkrat ni enostavno. Zato si močno želimo da bi nekaj vedeli o energijskem spektru kvantnega sistema ne da bi morali zato rešiti Schrödingerjevo enačbo. Seveda ne pričakujemo, da bomo tako dobili celoten spekter energij, zadovoljni bomo že, če bomo poznali povprečno gostoto stanj. Napravimo grob približek in predpostavimo, da vsako kvantno stanje zaseda približno (2π ) f faznega prostora, kjer je f število prostostnih stopenj. V resnici ta predpostavka niti ni tako slaba, saj se kvantni sistemi razlikujejo le v fluktuacijah okoli tega povprečja [1]. Te fluktuacije pa so odvisne od lastnosti podobnega, vendar klasičnega sistema, te pa smo že obravnavali v razdelku 3. Ločili smo jih na integrabilne oziroma regularne [1] in na neintegrabilne oziroma kaotične sisteme, ki so si precej različni. Za primer vzemimo klasičen kvadratni biliard, ki je integrabilen, ko pa ga obravnavamo kvantno, dobimo kaotičen energijski spekter, pri katerem je razdalja med energijski nivoji s = ɛ n ɛ n 1 porazdeljena po eksponentni distribuciji P(s) e s [1]. Toda klasično neintegrabilen Bunimovichev stadion v kvantni obravnavi postane regularen [1], kar pomeni, da je porazdelitev energijskih nivojev P(s) bolj korelirana. Pravzaprav je ta porazdelitev energijskih nivojev podobna distribucji ničel Riemannove funkcije ζ. Zaradi tega zanimivega dejstva preverimo, če je mogoče povezati dinamične sisteme z Riemannovo funkcijo ζ. Prednost takega pristopa je, da poznamo veliko število ničel Riemannove funkcije ζ [2], imamo pa tudi hitre algoritme za izračun novih. Reševanje Schrödingerjeve enačbe bi bilo torej nepotrebno. Tako bi Riemannova funkcija ζ imela podobno vlogo za obravnavo kvantnih kaotičnih sistemov kot jo ima harmonski oscilator za obravnavo integrabilnih kvantnih sistemov. Tukaj nam torej Riemannova funkcija ζ, ki je izključno konstrukt teorije števil, lahko pomaga razumeti fiziko. Hkrati pa je mogoče, da lahko fizika pomaga pri dokazu Riemannove hipoteze. Če želimo vzpostaviti močno zvezo med neintegrabilnim kvantnim sistemom in porazdelitvijo ničel Riemannove funkcije ζ, moramo najprej te sisteme kvantizirati, kar pa po običajni (semiklasični) poti ni mogoče, saj gibanje v faznem prostoru ni več omejeno na nek večdimenzionalen torus [5]. Kljub temu je več kot 50 let po rojstvu kvantne mehanike integrabilnih sistemov Gutzwillerju z drugačnim, semiklasičnim pristopom uspelo obvladati te težave in izpeljati enačbo [5], ki je analog enačb (2.2.2) in (2.2.3) za fizikalne sisteme. 4.1 Integrabilni sistemi Vrnimo se za trenutek h klasičnim integrabilnim sistemom, da bomo tem lažje razumeli kvantizacijo neintegrabilnih. Pri integrabilnih sistemih je Hamiltonjan H odvisen le od ohranjenih količin[1] H = H(I 1,..., I N ). Bohrova semiklasična kvantizacijska pravila zahtevajo, da spremenjlivke v akciji ne morejo zavzeti kar poljubnih vrednosti, temveč samo določene ( I k = n k + µ ) k ; k N, (4.1.1) 4 kjer so µ k N Maslovi indeksi [1]. Gostoto stanj tedaj zapišemo d(e) = n δ(e H(I)), (4.1.2) Integrabilni klasični sistem kvantiziramo s pomočjo Thomas-Fermijeve semiklasične aproksimacije in tedaj gostota stanj razpade na gladko d F T (E) = δ(e H(p,, q)) dpdq (2π ) f (4.1.3) 9

11 in oscilirajočo gostoto stanj [1] d osc = ( ) 2π (f 3)/2 1 T p det(nq i,j N) ( exp i S ) p iπ 4 Nµ + iπ 4 β, (4.1.4) ki jo dobimo tako, da razvijemo akcijo do drugega reda v okolici klasičnih periodičnih orbit. V enačbi smo z S p označili akcijo p-te orbite, Q i,j = det(h)hi,j 1 je komatrika H i,j = Ii Ij H, β pa je povezana s predznakom matrike H i,j [1]. Tudi v klasični mehaniki lahko gostoto stanj zapišemo kot vsoto gladkega d T F (E) in oscilirajočega dela. Zaradi korespondenčnega principa [1] pa pričakujemo, da bo Thomas-Fermijeva gostota stanj v obeh primerih enaka, spreminjal pa se bo le oscilirajoči del. 4.2 Neintegrabilni sistemi Pri neintegrabilnih sistemih se moramo stvari lotiti čisto drugače, saj orbite ne ležijo več na invariantnem torusu [5], kot smo že omenili. Gutzwillerjevo metodo kvantizacije bomo v nadaljevanju na kratko predstavili, saj bo za nas zelo pomembna. Začnimo s kvantno mehanskim propagatorjem K(q A, q B, t) = q B U(t) q A, kjer je U(t) operator časovnega razvoja. Z nekaj dela in aproksimacij lahko kvantni propagator zapišemo s pomočjo Feynmannovega integrala [5]. K(q A, q B, t) = [ i D(q) exp t 0 ] L(q, q)dt, (4.2.1) kjer je L Lagrangeova funkcija, diferencial D(q) pa določa integracijo po vseh možnih poteh, ki povezujejo q A in q B. Sedaj napravimo aproksimacijo konstantne faze, nato pa še semiklasično aproksimacijo, ki nam izmed vseh možnih poti izlušči samo take, ki so klasično dovoljene 8. S pomočjo Fourierove transformacije semiklasičnega propagatorja izračunamo semiklasično Greenovo funkcijo G(q A, q B, E) = i ( ) i dt exp Et K(q A, q B, t), (4.2.2) 0 kjer spet uporabimo aproksimacijo konstantne faze, da izračunamo integral. Mi se ukvarjamo z biliardi, kjer je gibanje zelo preprosto, zato se akcija za trajektorijo dolžine l zapiše enostavno S = kl. Na ta način dobimo Greenovo funkcijo, ki je odvisna le od lastnosti klasičnih trajektorij. Preden bomo iz sledi Greenove funkcije izračunali spektralno gostoto moramo definirati še matriko monodromije. Vzemimo trajektorijo med točko q A in q B, nato pa pogledamo kaj se zgodi ako vzamemo malo drugačne začetne pogoje q A + δq A in p A + δp A, kjer z znakom povemo, da deformacijo napravimo pravokotno na začetno trajektorijo. Tudi v končni točki q B perturbirana trajektorija ne sovpade popolnoma s prvotno, kar v linearni aproksimaciji zapišemo ( ) ( ) δqb δqa = M BA, (4.2.3) δp B δp A matriki M BA pa pravimo matrika monodromije [5]. Gostoto stanj, ki smo jo že večkrat srečali, lahko izračunamo s pomočjo sledi 9 Greenove funkcije d(e) = n δ(e E n ) = 1 π Im [ ] G(q, q, E)dq. (4.2.4) 8 To pomeni, da lahko v pot od q A do q A na poljubno mesto vrinemo neko vmesno točko q C. Pot mora to točko ne le sekati, pač pa mora biti tudi moment v tej točki zvezen p CA C = p BC C. Tako izmed vseh možnih poti dobimo vse, ki so klasično dovoljene [5]. 9 Ko naredimo sled Greenove funkcije vse poti postanejo zaključene periodične orbite. 10

12 Odtod pa dobimo Gutzwillerjevo enačbo sledi [1, 5] d(e) = 1 π r (T p ) r cos M r 1 1/2 [ 1 S r(e) µ ] rπ 2 (4.2.5) ki izraža kvantno mehanski spekter in je odvisna zgolj od nekaterih lastnosti klasičnih periodičnih orbit: stabilnosti M r, periode T r in indeksa Maslova µ r. Vsota v enačbi (4.2.5) teče po vseh klasičnih orbitah, tudi tistih, ki imajo dolžino 0. Zato v gostoti stanj v Gutzwillerjevi enačbi sledi ločimo dva prispevka [5] d(e) = d(e) + d osc (E). (4.2.6) Verjetnostna gostota d(e) je enačba (4.2.5), kjer vzamemo samo poti z dolžino 0 in je precej neobčutljiva na energijske spremembe. Prav nasprotno je d osc v enačbi (4.2.7) vsota vseh periodičnih orbit z neničelno dolžino in je močno odvisna od energije [5]. d osc (E) = p.p.o. T p π n=1 cos{n[(s p / ) (π/2)µ p ]} det(m n p 1) 1/2, (4.2.7) Prva vsota teče po vseh primitivnih periodičnih orbitah, druga pa po vseh njihovih ponovitvah. Sedaj lahko s to novo metodo izračunamo semiklasičen spekter kvantnega sistema, ki ima klasično neintegrabilen analog in ga zato ni mogoče kvantizirati s pomočjo Bohr-Somerfeldovih kvantizacijskih pravil. Rezultat (4.2.7) je torej most med klasičnim in kvantnim režimom hkrati pa tudi pravilo, s katerim lahko kvantiziramo klasično neintegrabilne sisteme. Periodične orbite so torej zelo pomembne v kvantno mehanskih sistemih, da bi to bolje rezumeli si oglejmo rezultate numeričnih simulacij, ki jih je napravil Heller [1, 6]. Na sliki 5 imamo narisano verjetnostno porazdelitev za tri kvantna lastna stanja Bunimovichovega biliarda. Na njih je lepo vidno kako dobro nestabilne klasične periodične orbite (na sliki so prikazane samo tiste, ki največ prispevajo k vsoti v Gutzwillerjevi enačbi sledi) sovpadajo z območji, kjer je gostota verjetnosti največja [1, 6]. Princip, uporabljen v enačbi (4.2.7), kjer lastne vrednosti kvantnega sistema računamo s pomočjo klasičnih periodičnih orbit se zdi torej tudi intuitivno smiseln. Ponovno si poglejmo enačbo (2.2.3), ki smo jo v poglavju 2.2 dobili iz distribucije netrivialnih ničel Riemannove funkcije ζ in jo primerjajmo z osclilirajočim delom Gutzwillerjeve enačbe sledi (4.2.7). Podobnost med obema je več kot očitna, s čimer nam je uspelo povezati Riemannovo funkcijo ζ z nekim neznanim kaotičnim kvantno mehanskim sistemom. Hamiltonjana H, ki opisuje kvantni sistem z energijami, ki imajo enako porazdelitev kot ničle Riemannove funkcije ζ še vedno ne poznamo, kljub temu pa lahko na osnovi primerjeve enačb (2.2.3) in (2.2) določimo nekaj lastnosti neznanega hamiltonjana. 1. V enačbi (2.2.3), ki prihaja iz teorije števil nimamo nikjer, kar pomeni, da so trajektorije skalirane enako na vseh energijskih skalah. Hamiltonjan H ima zato analogijo v nekem klasičnem sistemu [1]. 2. Riemannova dinamika je kaotična in nestabilna. 3. Dinamika nima simetrije na obrat časa [1]. 4. Dinamika je kvazi enodimenzionalna [1]. Lahko pa razmišljamo tudi v obratni smeri. Ničle Riemannove funkcije ζ lahko predstavimo kot spekter Riemannovega operatorja R = (1/2)I + ih, kjer je H sebi-adjungiran. Operator H pa bi lahko bil hamiltonjan nekega fizikalnega sistema, kar bi pomenilo, da je ključ do dokaza Riemannove hipoteze skrit v fiziki. 11

13 Slika 5: Na tej sliki so prikazana tri lastna stanja kvantnega Bunimovichovega stadiona. Na vsaki sliki pa imamo narisano z polno črto periodične orbite, ki v Gutzwillerjevi enačbi sledi največ doprinesejo k vsoti. Na srednji sliki je zaradi preglednosti narisana samo ena periodična orbita, čeprav ima prav tak prispevek tudi zrcalna (glede na veliko os stadiona) [1, 6]. 5 Zaključek Kjub temu, da Riemannova hipoteza formalno še ni dokazana, obstajajo izreki, ki jo vsaj deloma podpirajo. Spomnimo se na primer Levinsonovega izreka, ki trdi, da je na kritični osi vsaj 2/5 netrivialnih ničel. Seveda pa ne moremo izključiti možnosti, da nekje zelo daleč na kritičnem pasu obstaja netrivialna ničla, ki ne leži na kritični osi. Dokaz protiprimera bi imel veliko posledic za matematiko, saj precej izrekov temelji ravno na Riemannovi hipotezi. Zato so začeli ničle Riemannove funkcije ζ v velikih količinah računati numerično, da bi našli morebiten protiprimer Riemannovi hipotezi. Brent, van de Lune in Riele so izračunali vse ničle do 1, , hkrati pa je Odlyzko izračunal na milijone ničel okrog in vse so ležale natanko na kritični osi [2]. S tem seminarjem smo želeli pokazati, da ima Riemannova funkcija ζ presenetljivo pomembno vlogo tudi v fiziki. Z lahkoto smo jo povezali s preprostim mehanskim sistemom delca ujetega v zaprtem prostoru z neskončno trdimi stenami. Prav obravnava biliardov nas je vodila do tega, da smo gibanje opisali z evolucijskim operatorjem, kar nas je privedlo do enačbe sledi, ki obravnava dinamiko neintegrabilnega sistema s pomočjo periodičnih orbit. Podobno smo se lotili tudi obravnave kvantne mehanike, kjer smo s pomočjo Greenovih funkcij izračunali Gu- 12

14 tzwillerjevo enačbo sledi, ki je metoda za kvantizacijo neintegrabilnih sistemov. Videli smo, da tudi distribucija ničel Riemannove funkcije ζ uboga precej podobno enačbo, zato smo skušali ugotoviti kakšne lastnosti naj bi imel kvantni sistem s spektrom podobnim porazdelitvi ničel Riemannove funkcije ζ. Problemi, kjer nastopa Riemannova funkcija ζ, ki je konstrukt teoretične matematike in na videz nima nič skupnega s fiziko, se v resnici presenetljivo pogosto pojavljajo v fiziki. Naravno se pojavi na primer v nizkotemperaturnem faznem prehodu bozonov v Bose-Einsteinovi kondenzaciji, fiziki trdne snovi, statistični fiziki in še na mnogih drugih področjih. Fiziki so zato začeli iskati sisteme, s katerimi bi lahko poustvarili spekter Riemannove funkcije ζ in morda celo dokazali Riemannovo hipotezo, vendar jim zadnje za zdaj še ni uspelo. Literatura [1] D. Schumayer and D. A. W. Hutchinson Colloquium: Phisics of the Riemann hypothesis, Rev. Mod. Phys. 83, 307 (2011). [2] M. L. Mehta, Random matrices (Academic Press, San Diego 1990). [3] Hypothesis/, (2012). [4] P. Cvitanović, R. Artuso, R. Mainieri, G. Tanner and G. Vattay, Chaos: Classical and Quantum, ChaosBook.org (Niels Bohr Institute, Copenhagen 2009). [5] H.-J. Stöckmann, Quantum Chaos (Cambridge University Press, Cambridge 1999). [6] E. J. Heller, Bound-State Eigenfunctions of Classically Chaotic Hamiltonian Systems: Scars of Periodic Orbits Phys. Rev. Lett. 53,