ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Ι ΙΟΜΟΡΦΩΝ STOKES ΚΑΙ PAPKOVICH NEUBER ΓΙΑ ΡΟΗ STOKES ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Χ. Γεωργαντόπουλος, Π. Βαφέας

Transcript

1 ο ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, ΠΑΤΡΑ, -6 ΙΟΥΝΙΟΥ, 5. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Ι ΙΟΜΟΡΦΩΝ STOKES ΚΑΙ AKOVICH NEUER ΓΙΑ ΡΟΗ STOKES ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Χ. Γεωργαντόπουλος, Π. Βαφέας Τµήµα Χηµικών Μηχανικών, Πανεπιστήµιο Πατρών, 65 Πάτρα Χ. Γιαννόπουλος Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήµιο Πατρών, 65 Πάτρα ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία, υποθέτοντας έρπουσα ροή κατά Stk εξετάουµε τη µορφή της συσχέτισης δύο διαφορετικών διαφορικών αναπαραστάσεων σε σφαιρική γεωµετρία µε αξονική συµµετρία. Συγκεκριµένα, θεωρούµε δύο πλήρεις διαφορικές λύσεις των εξισώσεων Stke που µας δίνουν τα πεδία ροής (ταχύτητας ολικής πίεσης µέσω διαφορικών τελεστών. Η πρώτη, ονοµαόµενη αναπαράσταση Stk επιτυγχάνεται εκφράοντας την εξίσωση κινήσεως σε σφαιρικές συντεταγµένες, σύµφωνα µε την οποία η συνάρτηση ροής δίνεται από ένα πλήρες ανάπτυγµα σειρών σε όρους χωριόµενων ιδιοµορφών. Η δεύτερη, η οποία ισχύει σε µη αξονοσυµµετρικές γεωµετρίες, είναι η διαφορική αναπαράσταση apkvich Neub όπου τα πεδία ροής εκφράονται σε όρους σφαιρικών αρµονικών ιδιοσυναρτήσεων. Με σκοπό την παραγωγή βασικών συναρτήσεων έτοιµων προς χρήση για ροές µε αξονική συµµετρία σε σφαιρικές συντεταγµένες, δείχνοντας µε αυτό τον τρόπο τη διαφορετική προσέγγιση στην επίλυση αυτού του είδους των προβληµάτων, υπολογίουµε τις ιδιολύσεις Stke ( D apkvich Neube ( D σε µορφές πλήρων σειρών. Στην παρούσα εργασία, αποδεικνύουµε τύπους σύνδεσης που σχετίουν τις σφαιρικές αρµονικές ιδιοσυναρτήσεις της γενικής λύσης apkvich Neub θεωρώντας αξονοσυµµετρία, µε τις χωριόµενες σφαιρικές ιδιοσυναρτήσεις ροής, απουσία ιδιοµορφιών. Με αυτό τον τρόπο, µετατρέπουµε κάθε λύση του συστήµατος Stke από τη µία αναπαράσταση στην άλλη αντίστροφα. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας ως κύριο στόχο την κατασκευή αξιόπιστων µαθηµατικών µοντέλων για πολύπλοκα συστήµατα ροής που εµπεριέχουν σωµατίδια, είναι αναγκαίο να προσφύγουµε σε έναν ικανοποιητικό αριθµό απλοποιήσεων. Ένα αδιάστατο κριτήριο, το οποίο καθορίει τη σηµασία των αδρανειακών των ιξωδών αλληλεπιδράσεων, είναι ο αριθµός Reyld. Η σταθερή έρπουσα (χαµηλοί αριθµοί Reyld ροή ενός ασυµπίεστου ιξώδους ρευστού περιγράφεται από τις γνωστές εξισώσεις Stke (85, οι οποίες συνδέουν το διανυσµατικό πεδίο της ταχύτητας µε το βαθµωτό πεδίο της ολικής πίεσης []. Τα πεδία ολικής πίεσης στροβιλισµού είναι αρµονικά, ενώ η ταχύτητα είναι διαρµονικό σωληνοειδές πεδίο. Συχνά, στα συστήµατα συσσωµατωµάτων σωµατιδίων εµφανίονται επιπλοκές λόγω της πολυπλοκότητας της γεωµετρίας του ακαθόριστου σχήµατος αυτών των σωµατιδίων. Αν σε αυτή την περίπτωση είναι εξαιρετικά δύσκολο να εξάγουµε ακριβείς ή ακόµα µάλιστα προσεγγιστικές λύσεις, έχουν υιοθετηθεί διάφορες τεχνικές, όπως τεχνικές µοναδιαίων κελιών έχουν εφαρµοστεί απλούστερες γεωµετρίες. Για πολλά εσωτερικά εξωτερικά προβλήµατα ροής συστηµάτων σωµατιδίων η σφαιρική γεωµετρία [] προσφέρει µία πολύ καλή προσέγγιση, απλή αλλά συγχρόνως χρήσιµη σε αρκετές σηµαντικές εφαρµογές, όπου η ροή µπορεί να θεωρηθεί αξονοσυµµετρική [], αφού τα σχετιόµενα φυσικά προβλήµατα υποθέτουν συµµετρία από περιστροφή. Η εισαγωγή µίας συνάρτησης ροής [] καθορίει τη µοναδικό µας τρόπο προσέγγισης κάθε δισδιάστατης ασυµπίεστης ροής, όπου η λύση εκφυλίεται σε µία µόνο βαθµωτή συνάρτηση. Παρόλα αυτά, στη γενική περίπτωση τρισδιάστατων ροών η συγκεκριµένη µέθοδος δεν είναι εφικτή, καθώς πρέπει να αναπτυχθούν ειδικές λύσεις της εξίσωσης ροής για κάθε ξεχωριστή γεωµετρία, όπου, δυστυχώς τότε, εµφανίονται αρκετές δυσκολίες απροσδιοριστίες κατά την επίλυση. Τότε, λοιπόν, εξαναγκαόµαστε να ψάξουµε για διαφορετικές προσεγγίσεις, ώστε να αποφύγουµε τέτοιου είδους προβλήµατα, όποτε ανατρέχουµε στη γνωστή θεωρία των τρισδιάστατων διαφορικών αναπαραστάσεων [] για τα πεδία ροής. Το σηµαντικό γεγονός ότι αυτές οι γενικές λύσεις χρησιµοποιούν παραπάνω από ένα δυναµικό για να αναπαραστήσουν τα φυσικά πεδία, τις καθιστά αυτόµατα ευέλικτες πρακτικές. Οι apkvich (9 Neube (9 πρότειναν µία γενική διαφορική αναπαράσταση των πεδίων ροής σε όρους αρµονικών συναρτήσεων [,], η οποία εφαρµόεται ακόµα σε µη αξονοσυµµετρικές ροές έχει εξαχθεί από τη γνωστή λύση των Naghdi Hu [5]. Συνεπώς, εφόσον η τελευταία είναι πλήρης [], προσφέρει επίσης πλήρεις αναπαραστάσεις. Άρα, η διαφορική αναπαράσταση apkvich Neube αποτελεί µία πλήρη γενική λύση των εξισώσεων του Stke. Η συγκεκριµένη διαφορική λύση apkvich Neube έχει συσχετισθεί επιτυχώς µε δύο διαφορικές αναπαραστάσεις σε επίπεδο τριών διαστάσεων στη σφαιρική γεωµετρία, µε εκείνη των uieq Galeki [6] µε εκείνη των alaiappa et al. [7], όπου οι συγγραφείς κατέληξαν σε σχέσεις σύνδεσης µεταξύ των

2 ο ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, ΠΑΤΡΑ, -6 ΙΟΥΝΙΟΥ, 5. αρµονικών διαρµονικών δυναµικών, αποδεικνύοντας ότι η τρισδιάστατη λύση που έχει προταθεί από τους apkvich Neube είναι η πιο αποτελεσµατική. Σκοπός µας σε αυτή την εργασία είναι να ανακαλύψουµε το είδος της σύνδεσης της D αναπαράστασης apkvich Neube µε εκείνη τη D του Stke σε σφαιρικές συντεταγµένες. Αυτό είναι δυνατό συνδέοντας τις κατάλληλες ιδιοσυναρτήσεις που παράγουν τα πεδία ροής µέσω αυτών των γενικών λύσεων. Με άλλα λόγια, στόχος µας είναι να υπολογίσουµε τα αξονοσυµµετρικά πεδία ροής, τα οποία παράγονται από τις σφαιρικές αρµονικές ιδιοσυναρτήσεις [8] αρχικά µέσω της αναπαράστασης apkvich Neube epeetati στη συνέχεια να αντιµετωπίσουµε το αντίστροφο πρόβληµα του καθορισµού εκείνων των ιδιοσυναρτήσεων της συνάρτησης ροής, οι οποίες οδηγούν στα ίδια πεδία ταχύτητας ολικής πίεσης µέσω της αναπαράστασης Stke. Σε αυτή την προσπάθεια, θεωρούµε λύσεις οµαλές σε κάθε άξονα συµµετρίας, συνεπώς, εξαιρούµε κάθε είδους ιδιοµορφίες. Η παραπάνω διαδικασία µπορεί αναλυτικά να αντιστραφεί µε την έννοια ότι µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε ιδιολύσεις της συνάρτησης ροής Stke να ανακτήσουµε τα πεδία ροής µέσω της γενικής αναπαράστασης apkvich Neube. Αυτό είναι αποτέλεσµα του πλήρους χωρισµού µεταβλητών της εξισώσεως κινήσεως, γεγονός που δεν συµβαίνει σε πιο πολύπλοκες γεωµετρίες, όπως για παράδειγµα σε σφαιροειδείς συντεταγµένες [], όπου η ιδιότητα του πλήρους χωρισµού µεταβλητών δεν διατηρείται. Από την άλλη µεριά, είναι προφανή, όπως θα παρατηρήσουµε στη συνέχεια, τα πλεονεκτήµατα των D αναπαραστάσεων σε σχέση µε τις D λύσεις Stk οι οποίες δεν είναι πάντα ικανοποιητικές. Κάτι τέτοιο είναι περισσότερο προφανές σε πιο πολύπλοκα συστήµατα σωµατιδίων, όπου η ισότροπη σφαιρική γεωµετρία δεν µπορεί να περιγράψει το µαθηµατικό µας µοντέλο. Η επέκταση της παρούσας εργασίας σε τέτοιου είδους πιο πολύπλοκα συστήµατα συντεταγµένων, όπως το σφαιροειδές ή το ελλειψοειδές [] σύστηµα, αποτελεί µία πρόκληση για µελλοντική µελέτη έρευνα, αφού η χρήση της συνάρτηση ροής Stke είναι ανεπαρκής, έτσι, υποχρεούµαστε να χρησιµοποιήσουµε τις D διαφορικές αναπαραστάσεις. ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΠΕ ΙΑ ΡΟΗΣ Θεωρούµε τη σταθερή, µη αξονοσυµµετρική ( D, έρπουσα ροή ( Re ενός ασυµπίεστου (µε πυκνότητα ρ σταθερή ιξώδους (µε δυναµικό ιξώδες µ σταθερό, γύρω από σωµατίδια µέσα σε οµαλά φραγµένα ή µη φραγµένα χωρία δύο ( Ω R ή τριών ( Ω R διαστάσεων. Υπό αυτή τη θεώρηση, οι σχετιόµενες µερικές διαφορικές εξισώσεις για το ρευστό είναι οι εξισώσεις του Stk οι οποίες συνδέουν το διαρµονικό διανυσµατικό πεδίο της ταχύτητας v (αρµονικός στροβιλισµός ω = v µε το αρµονικό βαθµωτό πεδίο ολικής πίεσης, δίνονται µέσω των µ ( = ( v, Ω( ( = v, Ω( R ( R, ( όπου το διάνυσµα θέσης. Άµεση συνέπεια της εξίσωσης ( είναι ότι, για έρπουσα ροή, η παραγόµενη πίεση αντισταθµίεται από τις ιξώδεις δυνάµεις, ενώ η εξίσωση ( εξασφαλίει την ασυµπιεστότητα του ρευστού. Σε όρους του σφαιρικού συστήµατος συντεταγµένων [], σύµφωνα µε τον βολικό µετασχηµατισµό = cθ µε, x = cϕ, x = iϕ x =, ( όπου < +, θ π ϕ< π, ορίουµε τη σφαίρα για > ως το σύνολο { ( } = Ω R x + x + x. ( Το εξωτερικό µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στην επιφάνεια κάθε µοναδικής σφαίρας = δίνεται µέσω της έκφρασης ( ˆ( = ( c ϕ, i ϕ, =, (5 όπου για κάθε µη εκφυλισµένη σφαίρα, ισχύει >. Οι apkvich Neube [,] πρότειναν την παρακάτω ( D διαφορική αναπαράσταση των λύσεων για τη ροή Stke ( (, σε όρους των αρµονικών δυναµικών Φ Φ, N v ( = Φ( ( Φ( +Φ (, Ω( ( = ( Φ, Ω( N µ R (6 R, (7

3 ο ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, ΠΑΤΡΑ, -6 ΙΟΥΝΙΟΥ, 5. όπου Φ( = ( Φ =, Ω( R. (8 Οι τελεστές του Laplace της βάθµωσης, σε σφαιρικές συντεταγµένες, δίνονται από τις σχέσεις ˆ ˆ = ˆ + φ ϕ (9 = + ( +, ( ϕ ( αντίστοιχα, ενώ ˆ, ˆ ˆφ δηλώνουν τα µοναδιαία διανύσµατα του σφαιρικού συστήµατος για >, ϕ [,π. Από την άλλη µεριά, όσον αφορά την αναπαράσταση Stke [] για τα D πεδία ροής, ψάχνουµε για ένα πεδίο ροής της µορφής v ψ (, ψ (, S (, = ˆ + ˆ, >, ( όπου, για αξονοσυµµετρικές ροές, η βαθµωτή ποσότητα ψ είναι η λεγόµενη συνάρτηση ροής Stke. Η ύπαρξη µίας συνάρτησης ροής στηρίεται αποκλειστικά σε συγκεκριµένες υποθέσεις συµµετρίας ασυµπιεστότητας. Το µεγάλο πλεονέκτηµα αυτής της αναπαράστασης βασίεται στη χρήση µίας µοναδικής σηµειακής βαθµωτής συνάρτησης, όταν αναητούµε λύσεις για τις εξισώσεις της ροής κατά Stke. Παρόλα αυτά, οι διαστάσεις περιορίονται στις δύο. Η συνάρτηση ροής Stke ικανοποιεί τη γνωστή εξίσωση κινήσεως E ψ E E ψ = Ω R, : >,. ( ( ( ( Στη σφαιρική γεωµετρία, ο τελεστής, ( ( ( { } E δίνεται από την έκφραση E = +, > ( τότε, η ολική πίεση δίνεται ως συνάρτηση µίας αυθαίρετης σταθερής πίεσης αναφοράς,, η οποία συνήθως λαµβάνεται στο άπειρο στο επίπεδο του ισηµερινού, ( Ε ψ (, ( Ε ψ (,, S (, = ( +, + µ d d ( + >. ( Για το πεδίο στροβιλισµού ισχύει S S φˆ φˆ ω (, = v (, = E ψ (, = E ψ (,, >, h ϕ (5 γεγονός που δηλώνει ότι τα αστρόβιλα πεδία περιγράφονται από µία συνάρτηση ροής ψ, η οποία ικανοποιεί την εξίσωση E ψ =. Ο σκοπός αυτής της εργασίας είναι η συσχέτιση των διαφορικών αναπαραστάσεων apkvich Neube v,, τα οποία παράγονται από τις σφαιρικές αρµονικές Stk συνδέοντας αρχικά το εύγος πεδίων ροής ( ( Φ,Φ συνάρτησης ροής ( ψ ιδιοσυναρτήσεις. Επιπλέον, µέσα από αυτή τη διαδικασία µπορεί άµεσα να επιτευχθούν τύποι σύνδεσης µεταξύ των αντιστοίχων δυναµικών ως συνέπεια της εξίσωσης της ταχύτητας της ολικής πίεσης, οι οποίες δίνονται από τις αναπαραστάσεις (6, (7 (, (. Φυσικά, είµαστε υποχρεωµένοι να θεωρήσουµε συµµετρία από περιστροφή, εφόσον η θεωρία Stke αναφέρεται σε αξονοσυµµετρικές ροές. Επιπλέον, η φυσική υπόσταση πολλών πραγµατικών προβληµάτων ροής προϋποθέτει την εξαίρεση ιδιοµορφιών, κατ επέκταση, την ύπαρξη οµαλών πεδίων στον άξονα συµµετρίας. Αυτή η διαδικασία εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι αντιστρέψιµη µας επιτρέπει να χρησιµοποιήσουµε οποιαδήποτε αναπαράσταση µε έναν συγκεκριµένο τρόπο, ο οποίος εξαρτάται από τη φύση του προβλήµατος ροής. ΥΝΑΜΙΚΑ AKOVICH NEUER ΚΑΙ STOKES m,( i S, του είδους i =,,,, του βαθµού =,,,... της τάξης Εισάγοντας τις ιδιοσυναρτήσεις ( m =,,..., σε όρους των συσχετισµένων ειδικών συναρτήσεων Legede του πρώτου m Q είδους [8] µέσω των σχέσεων m του δευτέρου

4 ο ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, ΠΑΤΡΑ, -6 ΙΟΥΝΙΟΥ, 5. ή m,( ( + m (, = ( S (, ( S m,( m m,( ( + m (, = ( S (, Q ( S Q m,( m = (οµαλές στον = (ιδιόµορφες στον x άξονα (6 x άξονα (7 για κάθε >, η παρακάτω πλήρης αναπαράσταση των αρµονικών δυναµικών apkvich Neube (8 επιτυγχάνεται, m,( i m,( i ( = u ( Φ = m= i= = e, Ω( R (8 m,( i m,( i ( d u (, Ω( = m= i= = Φ = όπου m,( i,(,(,( ( m i, m i, m i = a b c e m,( i R, (9 d για κάθε τιµή των =,,,..., m =,,...,, i =,,, = δηλώνουν τους διανυσµατικούς βαθµωτούς σταθερούς συντελεστές των δυναµικών Φ Φ, αντίστοιχα, ενώ m,( i m,( i m m c mϕ, = e u ( = S (, f ( ϕ, όπου f ( ϕ =, ϕ [, π, ( i mϕ, = µε να χαρακτηρίει το άρτιο ( e το περιττό ( µέρος των δυναµικών. Παρόµοια, το πλήρες ανάπτυγµα της συνάρτησης ροής Stke ανήκει στον πυρήνα του τελεστή ( ke E, όπου η εξίσωση κινήσεων επιδέχεται χωρισµό µεταβλητών σε σφαιρικές συντεταγµένες, δίνεται µέσω των ιδιοσυναρτήσεων Gegebaue του πρώτου = + (, = ( A + + A + G ( ψ G του δευτέρου + ( A A H (, = H είδους [8] για κάθε ως εξής, E >, ( όπου το άπειρο άθροισµα µε τους A συντελεστές αναπαριστά ένα στοιχείο του χώρου ke E (χωριόµενων µεταβλητών, ενώ το άθροισµα µε τους συντελεστές δηλώνει µία συνάρτηση που απεικονίεται στον χώρο ke E υπό την επίδραση του τελεστή E. Οι οµαλές στον άξονα συµµετρίας λύσεις της εξίσωσης κινήσεως ( περιορίονται στον αντίστοιχο υπόχωρο του ke E, ο οποίος ανήκει στη γραµµική θήκη των ιδιοσυναρτήσεων περιττού είδους τάξης µεγαλύτερης ή ίσης µε δύο. Προχωρώντας στην ανάλυση, τώρα, υπολογίουµε τα πεδία ροής από τις δύο αναπαραστάσεις µας συνεχίουµε µε την συσχέτιση µε σκοπό να δηµιουργήσουµε φόρµουλες σύνδεσης µεταξύ των δυναµικών (8, (9 (. ΠΕ ΙΑ ΡΟΗΣ AKOVICH NEUER ( D ( D Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (8 (9 στη διαφορική αναπαράσταση apkvich Neube (6 (7, λαµβάνουµε τις παρακάτω σχέσεις για τα πεδία ροής σε D χωρία, δηλαδή { e e }, Ω( v N m i m i m i m i m i,(,(,(,(,( ( = u ( ( + d u ( = m= i= = για το πεδίο ταχύτητας, ενώ για το πεδίο ολικής πίεσης N m i m i,(,( ( = µ u ( = m= i= = R ( e, Ω( R. ( Το πεδίο στροβιλισµού εκφράεται ως N N m,( i m,( i ( ( u ( ω = v = e, Ω( = m= i= = R, ( όπου στη σφαιρική γεωµετρία ο διαφορικός τελεστής δίνεται από την έκφραση (9 για κάθε Ω( επίσης στο συγκεκριµένο σύστηµα συντεταγµένων R

5 ο ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, ΠΑΤΡΑ, -6 ΙΟΥΝΙΟΥ, 5. e ( m,( i m,( i,(,( c m i i m i ˆ = a ϕ + b ϕ + c ( m i m i ( a iϕ b cϕ m,( i m,( i m,( i c i ˆ ϕ ϕ + a + b c,(,( ˆ + + φ (5 ( ( e = a cϕ + b iϕ + c (6 m,( i m,( i m,( i m,( i Εφόσον η αναπαράσταση apkvich Neube αναφέρεται σε τρισδιάστατα ( D πεδία ροής, οφείλουµε να µειώσουµε τις διαστάσεις σε δύο, θεωρώντας αξονική συµµετρία, έτσι ώστε να είναι δυνατή η συσχέτιση µε την αναπαράσταση Stke ( D. Μία τέτοια ενέργεια είναι εφικτή απαιτεί την ύπαρξη της ίδιας ταχύτητας σε κάθε µεσηµβρινό επίπεδο, δηλαδή πρέπει αρχικά η ταχύτητα να είναι ανεξάρτητη από την αιµουθιακή γωνία ϕ, ( N v = Ω R. (7 ϕ Επιπλέον, η ταχύτητα δεν πρέπει να έχει αιµουθιακή συνιστώσα, κάτι που σηµαίνει ότι, ( ˆ N φ v ( =, Ω( R. (8 Εφαρµόοντας τις εξισώσεις (7 (8 στο πεδίο ταχύτητας (, εξάγουµε τις απαραίτητες συνθήκες για τις σταθερές, οι οποίες αντανακλούν την επιθυµητή συµµετρία είναι m,( i m,( i a = b =,, m =,,...,, i =,,, =, (9 ενώ m,( i m,( i c = d =,, m =,,...,, i =,,, =. (,( i e ( i,( i e ( i Συνεπώς, οι εναποµείναντες σταθεροί συντελεστές c c d d για κάθε i =,,,, αναφέρονται στα αξονοσυµµετρικά πεδία ροής apkvich Neube. Από την άλλη µεριά, σύµφωνα µε φυσικά επιχειρήµατα που αφορούν τις περισσότερες ροές κατά Stke µε αξονοσυµµετρία, µας ενδιαφέρουν πεδία οµαλά στον άξονα συµµετρίας ( x άξονας, = ±. Άρα, οι όροι ( i που περιλαµβάνουν συναρτήσεις Legede δευτέρου είδους (ιδιοσυναρτήσεις άρτιου είδους S (, i =, πρέπει να παραληφθούν, οπότε θέτουµε c ( i ( i για κάθε = d =, i =,. ( Παίρνοντας υπόψη τις σχέσεις (9, ( (, έπειτα από αντικατάσταση τα πεδία ταχύτητας ( ολικής πίεσης ( απλοποιούνται αισθητά µας δίνουν τα αξονοσυµµετρικά οµαλά στον άξονα συµµετρίας πεδία ροής ως εξής, (, = υ (, ˆ+ υ (, ˆ v, >, ( N N N όπου οι συνιστώσες της ταχύτητας εκφράονται ως συνάρτηση της ακτινικής συνιστώσας των συναρτήσεων πολυωνύµων Legede πρώτου είδους ( υ υ µέσω ( + N + ( ( ( + ( (, = ( + c+ + d + c = + ( + c + d c + ( ( ( + + N + ( ( ( + ( (, = c+ + d + c = + (, > ( ( ( + ( + + c + d + c+ (, >, ( + ενώ για την ολική πίεση παίρνουµε N ( ( ( + (, = µ ( + c+ c (, >. (5 =

6 ο ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, ΠΑΤΡΑ, -6 ΙΟΥΝΙΟΥ, 5. Το πεδίο ταχύτητας ( µε ( (, καθώς επίσης το πεδίο ολικής πίεσης που δίνεται από τη σχέση (5 έχουν πια την κατάλληλη µορφή για να γίνει η συσχέτιση µε τα αντίστοιχα πεδία ροής Stke που θα υπολογιστούν ευθύς αµέσως. ΠΕ ΙΑ ΡΟΗΣ STOKES ( D Μία παρόµοια θεώρηση µε αυτή του φορµαλισµού apkvich Neube εµπεριέχει σειρά από πολλά βήµατα απλοποιήσεων που εξαιρούν τις ιδιοµορφίες πάνω στον άξονα συµµετρίας, δηλαδή τον x άξονα. Συνεπώς, ορίοντας τις συναρτήσεις Gegebaue δευτέρου είδους, η οµαλή πάνω στον άξονα συµµετρίας συνάρτηση ροής Stke ( απαιτεί να µην υπάρχουν όλες οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις άρτιου είδους οι δύο πρώτες ιδιοσυναρτήσεις περιττού είδους. Αυτό σηµαίνει ότι οι συνοδεύοντες σταθεροί συντελεστές από την εξίσωση ( πρέπι να µηδενιστούν, δηλαδή i i i i i i A = =,, i =, A = = A = =, i =,. (6 Εφόσον η αναπαράσταση Stke αναφέρεται σε αξονοσυµµετρικές ροές, δεν είναι απαραίτητη καµία περαιτέρω απλοποίηση. Η σχετική αναπαράσταση των πεδίων ροής επιτυγχάνεται µε την εισαγωγή της συνάρτησης ροής Stke (, µε τη βοήθεια της εξίσωσης (6, µέσα στα πεδία ροής ( (. Άρα, επειδή η ροη είναι συµµετρική, προκύπτει η παρακάτω αναπαράσταση για το πεδίο ταχύτητας, (, = υ (, ˆ + υ (, ˆ v, >, (7 S S S όπου, εδώ, οι συνιστώσες στις δύο κύριες διευθύνσεις υποθέτουν τις µορφές S ( + + υ (, = A + + A + + (, > (8 υ = S ( + + (, = A + ( + + ( + A + + ( + + = ( (, >. (9 + Από την άλλη µεριά, το ολικό πεδίο πίεσης επιδέχεται την ολοκληρωτική µορφή (, η οποία σύµφωνα µε τα πιο πάνω γίνεται S ( + (, = ( +, + µ ( ( + ( + + ( d + = ( ( + ( ( + ( ( + d ( + =, >. ( Τελικά, τα πεδία ροής κατά Stke είναι έτοιµα προς συσχέτιση µε τα αντίστοιχα πεδία ταχύτητας ολικής πίεσης της αναπαράστασης apkvich Neube. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ AKOVICH NEUER ΚΑΙ STOKES ( D Σε αυτό το µέρος, σκοπός µας είναι να βρούµε τα ακριβή αρµονικά Stke δυναµικά, τα οποία δέχονται τις µορφές (8, (9 (, σύµφωνα µε τις φυσικές απαιτήσεις (9, (, ( (6, τα οποία µας δίνουν τα ίδια πεδία ταχύτητας ολικής πίεσης. Από αυτή την άποψη, ψάχνουµε για τύπους σύνδεσης για τις διαφορικές αναπαραστάσεις που συµπίπτουν µε τις εξισώσεις v N ( = v S ( N ( = S (, ( ( {, :, } Ω R >. ( Σύµφωνα µε την εξίσωση (, προχωράµε συνδυάοντας τα πεδία ροής apkvich Neube ( (5 µε τα αντίστοιχα πεδία Stke (7 (. Η αντιστοίχηση της αναπαράστασης apkvich Neube µε εκείνη της θεωρίας Stk οδηγεί στους τύπους σύνδεσης που συσχετίουν τους αντίστοιχους σταθερούς συντελεστές των δυναµικών (8, (9 (. ηλαδή, c c ( + ( = ( = ( + ( + ( + ( + για κάθε για κάθε ( ( + = c ( για κάθε ( ( ( = c ( όπου φαίνεται η σχέση των Φ δυναµικών µε τα ψ δυναµικά. Επιπλέον, για κάθε, (

7 ο ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, ΠΑΤΡΑ, -6 ΙΟΥΝΙΟΥ, 5. ( d = A + για κάθε ( ( A = c + d ( d = A + + για κάθε ( ( A = c + d + για κάθε ( για κάθε, (5 σχέσεις που συσχετίουν τα Φ δυναµικά µε τα ψ δυναµικά για τη σφαίρα. Οι περιπτώσεις που δεν εµπίπτουν στις γενικές σχέσεις ( (5 χειρίονται ξεχωριστά τελικά λαµβάνουµε τις ακόλουθες σχέσεις, d = A + c, d ( ( = A d ( ( ( ( =, όπου c, c, d R. (6 ( Ροές µε µηδενικό στροβιλισµό είναι ροές χωρίς περιστροφή. Συνεπώς, τα αστρόβιλα πεδία απαιτούν επιπλέον όρους των δυναµικών να µηδενιστούν τότε οι ακόλουθοι σταθεροί συντελεστές µηδενίονται, δηλαδή ( ( = για κάθε i =,, ενώ c = για κάθε c = για κάθε. (7 i Ολόκληρη η διαδικασία της συσχέτισης είναι αντιστρέψιµη µε την έννοια ότι η µετάβαση από τη µία αναπαράσταση των λύσεων για τις εξισώσεις Stke ( ( στην άλλη αντίστροφα, αποτελεί µία καθόλα εφικτή αναλυτική διαδικασία. Οι εξισώσεις (6 µας προσφέρει έναν αριθµό από βαθµούς ελευθερίας που αφορούν τη γενική λύση apkvich Neub ένα γεγονός που υποδηλώνει την ευελιξία της συγκεκριµένης διαφορικής αναπαράστασης. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η πλήρης λύση των εξισώσεων της ροής Stke ( ( ή ( σε σφαιρικές συντεταγµένες, επιτεύχθηκε χρησιµοποιώντας δύο διαφορετικές διααναπαραστάσεις, δεδοµένων συγκεκριµένων δυναµικών, η διαφορική αναπαράσταση apkvich Neube για D ροές (εξισώσεις (6, (7 (8 η γενική λύση Stke για αξονοσυµµετρικές ροές (εξισώσεις (, ( (. Στην παρούσα εργασία, αναπτύχθηκε µία µέθοδος για τη σύνδεση αυτών των λύσεων. Υπό αυτό το πρίσµα, κατασκευάσαµε τα πεδία ροής ( (5 (7 ( για τις δύο αναπαραστάσεις µας. Καταλήξαµε σε χρήσιµους τύπους σύνδεσης που σχετίουν τα αντίστοιχα δυναµικά. Συγκεκριµένα, βρήκαµε σχέσεις µεταξύ των σταθερών συντελεστών (εξισώσεις ( (7 των αρµονικών των Stke ιδιοσυναρτήσεων. Η όλη διαδικασία συσχέτισης αποδείχθηκε ότι είναι αντιστρέψιµη στο σύστηµα των σφαιρικών συντεταγµένων. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ []. Fx R.W. ad McDald A.T., Itducti t Fluid Mechaic, Jh Wiley & S, Ic., New Yk (985. []. M. ad Spece E., atial Diffeetial Equati, Health & Cmp., Lexigt (969. []. Xu X. ad Wag M., Geeal cmplete luti f the equati f patial ad axiymmetic Stke flw, Quat. J. Mech. Appl. Math.,, (99. []. Neube H., Ei eue aatz zu löug äumbliche pbleme de elatizitättheie, Z. Agew. Math. Mech.,, (9. [5]. Naghdi.M. ad Hu C.S., O the epeetati f diplacemet i liea elaticity i tem f thee te fucti, J. Math. Mech.,, 5 (96. [6]. Dai G. ad Vafea., Cecti fmulae f diffeetial epeetati i Stke flw, J. Cmp. Appl. Math.,, 8 9 (. [7]. Dai G. ad Vafea., Cmpai f diffeetial epeetati f adially ymmetic Stke flw, Abt. Appl. Aal.,, 7 6 (. [8]. Hb E.W., The They f Spheical ad Ellipidal Hamic, Chelea ublihig Cmpay, New Yk (965.