Ο Μετασχηµατισµός Laplace

Transcript

1 Ο Μετασχηµατισµός Laplace ΗΡΑΚΛΗ Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΥ: ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Περιεχόµενα Εισαγωγή Ορισµός του µετασχηµατισµού Laplace Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Laplace Αντιστροφή του µετασχηµατισµού Laplace Αντιστροφή πρωτοβάθµιων όρων Αντιστροφή δευτεροβαθµίων όρων Ανάλυση ρητών συναρτήσεων σε µερικά κλάσµατα Υπόλοιπα απλών πόλων Υπόλοιπα πολλαπλών πόλων Υπόλοιπα µιγαδικού ζεύγους πόλων Σχέση µετασχηµατισµών Fourier και Laplace Ο µετασχηµατισµός Laplace στα κυκλώµατα Μετασχηµατισµένα στοιχεία και κυκλώµατα Εφαρµογές 38 Ασκήσεις και προβλήµατα

2 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Εισαγωγή Ας θεωρήσουµε το κύκλωµα του σχήµατος 6., στο οποίο ο διακόπτης κλείνει την χρονική στιγµή t=0, δίνοντας συνεχή τάση Ε στο υπόλοιπο κύκλωµα. Υποθέτουµε ότι κύκλωµα βρίσκεται σε µηδενική κατάσταση (µηδενικές αρχικές συνθήκες πυκνωτών και πηνίων). Η διέγερση v(t) του κυκλώµατος µπορεί να παρασταθεί µε µιά βηµατική πλάτους Ε δηλ. v(t)=εu(t). Από τον νόµο τάσεων του Kirchhoff έχουµε: v R (t) % v L (t) % v C (t) ' Eu(t) t Ri(t)%L d dt i(t)% i(t)dt'eu(t) t$0 v C m C (0)'0 i(0)'i L (0)'0 0 ΣΧΗΜΑ 6. Η εξίσωση αυτή µε την χρήση των σχέσεων ρεύµατος-τάσεως των στοιχείων, γίνεται ολοκληρωτικοδιαφορική της µορφής: η οποία µε µια παραγώγιση γίνεται διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης: L d 2 dt 2i(t) % R d dt i(t) % C i(t) ' Eδ(t) t$0 v C (0)'0 i(0)'i L (0)'0 Γιά να υπολογιστεί εποµένως το ρεύµα του απλού αυτού κυκλώµατος, που είναι κατά τα προηγούµενα η εξαναγκασµένη απόκριση (και για Ε=, η βηµατική απόκριση), πρέπει να επιλυθεί η µη οµογενής διαφορική εξίσωση 2ης τάξης. Για πιό πολύπλοκα κυκλώµατα ανάλογη είναι και η τάξη και πολυπλοκότητα της σχετικής διαφορικής εξίσωσης. Γενικά στην µελέτη των ηλεκτρικών συστηµάτων και κυκλωµάτων αποφεύγεται η επίλυση διαφορικών εξισώσεων, όχι µόνον γιατί είναι πολύπλοκη µαθηµατική διαδικασία, αλλά κυρίως γιατί η πληροφορία που παίρνει κανείς τελικά δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιµη και εξαρτάται, όπως είδαµε σε προηγού- µενο κεφάλαιο, από την διέγερση

3 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Η επίλυση γιά παράδειγµα της παραπάνω εξίσωσης θα µας έδινε µόνον την χρονική συνάρτηση του ρεύµατος γιά την συγκεκριµένη διέγερση e(t)=eu(t). Η περιγραφή όµως του κυκλώµατος γίνεται καλύτερα στο πεδίο της συχνότητας, µε ανεξάρτητη δηλ. µεταβλητή την συχνότητα, και θα ήταν ευπρόσδεκτη µια µέθοδος, η οποία θα µας έδινε όσες πληροφορίες δίνει η επίλυση διαφορικών εξισώσεων αλλά και άλλες που περιγράφουν την συµπεριφορά του κυκλώµατος στο πεδίο των συχνοτήτων και δεν είναι άµεσα διαθέσιµες στο πεδίο του χρόνου. Μια τέτοια µέθοδο προσφέρει, όπως είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο, ο µετασχηµατισµός Fourier και ο ανταγωνιστικός του µετασχηµατισµός Laplace, που αν και η θεωρία του διατυπώθηκε το 780, χρησιµοποιήθηκε για προβλήµατα που σχετίζονται µε διαφορικές εξισώσεις και κυκλώµατα από τον Oliver Heaviide πριν έναν περίπου αιώνα. Οι δύο µετασχηµατισµοί ανταγωνίζονται για την θέση του κυρίου εργαλείου µελέτης και ανάλυσης γραµµικών χρονικά αµετάβλητων ηλεκτρικών συστηµάτων αν και ο µετασχηµατισµός Laplace µπορεί να εφαρµοστεί σε µια γενικότερη κατηγορία συναρτήσεων, χωρίς να είναι απαραίτητο να καταφύγει κανείς στη θεωρία των κατανοµών για να αιτιολογήσει την ύπαρξη του µετασχηµατισµού κάποιων συναρτήσεων. Η γενική έννοια του µετασχηµατισµού πρέπει να γίνει πρώτα κατανοητή πριν αναπτύξουµε τον συγκεκριµένο µετασχηµατισµό. Πολλές φορές στη ζωή µας εφαρµόζουµε µετασχηµατισµούς µε την έννοια της µεταφοράς ενός προβλήµατος σε άλλο χώρο, όπου είναι εύκολη η επίλυσή του. Ας υποθέσουµε για παράδειγµα ότι έχουµε να επιλύσουµε την εξίσωση x & ' 0 Ολοι γνωρίζουµε ότι η εξίσωση αυτή λύνεται πιό εύκολα αν λογαριθµίσουµε, γιατί στον "χώρο των λογαρίθµων", οι εκθέτες γίνονται πολλαπλασιαστές όπως φαίνεται παρακάτω: log x &0.372 'log(0)!0.372log(x)' Y logx'! Η λογαρίθµηση των δύο µερών της εξίσωσης είναι η εφαρµογή του "λογαριθµικού µετασχηµατισµού", που µας µεταφέρει στο χώρο των λογαρίθµων, όπου είναι εύκολες οι πράξεις µε εκθέτες. Ο λογαριθµικός µετασχηµατισµός µπορεί να οριστεί ως logx=a, όπου 0 a =x. Το αποτέλεσµα όµως της επίλυσης στον χώρο των -339-

4 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ λογαρίθµων, δεν είναι το x, αλλά το logx. Ο υπολογισµός του x από τον logx γίνεται µε τον υπολογισµό του αντιλογαρίθµου, οπότε βρίσκουµε ότι x= Ο µετασχηµατισµός Laplace, όπως και ο µετασχηµατισµός Fourier, χρησιµοποιείται όπου η επίλυση προβληµάτων χρόνου παρουσιάζει µαθηµατικές δυσκολίες, όπως παραγώγους, ολοκληρώµατα και διαφορικές εξισώσεις. Και οι δύο µετασχηµατισµοί µεταφέρουν το πρόβληµα από το πεδίο του χρόνου (time domain) στο πεδίο των συχνοτήτων (frequency domain), όπου επιλύεται, πιο εύκολα µε απλές αλγεβρικές πράξεις λόγω της απλοποίησης της παραγώγισης και της ολοκλήρωσης και κατ' επέκταση της πράξης της συνέλιξης, η οποία είναι η θεµελιώδης πράξη στην µελέτη των LTI συστηµάτων. Αν µας ενδιαφέρει η λύση στο πεδίο του χρόνου, η επιστροφή είναι εφικτή µε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό, αν και στα ηλεκτρικά συστήµατα ο φυσικός µας χώρος είναι το πεδίο των συχνοτήτων. 6. Ορισµός του µετασχηµατισµού Laplace Ο µετασχηµατισµός Laplace αφορά χρονικές συναρτήσεις (σήµατα) µετασχηµατίζοντάς τις σε άλλου είδους συναρτήσεις, που δεν είναι πλέον χρονικές, αλλά συναρτήσεις µιας µιγαδικής µεταβλητής. Ο µονόπλευρος (unilateral ή one ided) µετασχηµατισµός Laplace ορίζεται από το ολοκλήρωµα: [f(t)] F() f(t)e &t dt 0 (6.) όπου είναι µια µιγαδική µεταβλητή µε =σ+jω, η οποία ονοµάζεται µιγαδική συχνότητα. Ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός Laplace εφαρµόζεται µόνον στα αιτιοκρατικά (caual) ή µονόπλευρα σήµατα, που αρχίζουν στην αρχή µέτρησης του χρόνου t=0 και έχουν µηδενική τιµή για t<0. Ετσι τα σήµατα, στα οποία εφαρµόζεται ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός, πρέπει να έχουν f(t)=0 για t<0. Αν αυτό δεν ισχύει, επιτυγχάνεται µε τον πολλαπλασιασµό της f(t) µε την µοναδιαία βηµατική u(t), η οποία µηδενίζει τις τιµές του σήµατος για t<0. Ο όρισµός του αµφίπλευρου ή δίπλευρου (bilateral) µετασχηµατισµού, ο οποίος δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιµος στην θεωρία ηλεκτρικών σηµάτων και συστηµάτων, αλλάζει µόνον στα όρια του ολοκληρώµατος, που είναι από! µέχρι. -30-

5 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αν περιορίσουµε την µελέτη µας σε αιτιοκρατικά συστήµατα (σε συστήµατα δηλ. στα οποία η έξοδος την στιγµή t o εξαρτάται µόνον από την είσοδο για t o (παρόν) και το παρελθόν της εισόδου γιά t< t o ), µε αιτιοκρατικές διεγέρσεις (µονόπλευρα δηλ. σήµατα f(t) µε f(t)=0 γιά t<0) τότε ο αµφίπλευρος µετασχηµατισµός ταυτίζεται µε τον µονόπλευρο, αφού τα σήµατα είναι µηδενικά για t<0, και το ολοκλήρωµα από! µέχρι 0 είναι µηδενικό. Ετσι όταν λέµε στις ηλεκτρικές επιστήµες µετασχηµατισµός Laplace, εννοούµε συνήθως τον µονόπλευρο µετασχηµατισµό, που ορίσαµε παραπάνω, εκτός αν προσδιορίζεται κάτι διαφορετικό. Οι συνθήκες ύπαρξης του µετασχηµατισµού Laplace είναι ένα πολύ πολύπλοκο θέµα µε µεγάλη θεωρητική αξία και δυσανάλογη χρησιµότητα στην µελέτη των ηλεκτρικών συστηµάτων. Στον θεωρητικό καθορισµό των συνθηκών ύπαρξης εµπλέκονται οι συναρτήσεις εκθετικής τάξης (exponential order function). Μιά συνάρτηση f(t) ονοµάζεται εκθετικής τάξης αν υπάρχουν πραγµατικές σταθερές Μ και α γιά τις οποίες ισχύει f(t) <Me at. για t>t o, όπου t o, µια πεπερασµένη τιµή. Αν µια συνάρτηση είναι εκθετικής τάξεως, τότε έχει µετασχηµατισµό Laplace. Εποµένως για να υπάρχει ο µετασχηµατισµός της f(t), πρέπει κανείς να αποδείξει ότι αυτή είναι εκθετικής τάξης. Κατά τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος του µετασχηµατισµού, προκύπτουν περιορισµοί που καθορίζουν το πεδίο ύπαρξης του ολοκληρώµατος και σύγκλισης του µετασχηµατισµού (Region Of Convergence, ROC). Ως πρώτο παράδειγµα θα υπολογίσουµε τον µετασχηµατισµό του βηµατικού σήµατος u(t): Pierre Simon de Laplace Ο µεγάλος Γάλλος µαθηµατικός και αστρονόµος Pierre Simon de Laplace γεννήθηκε το 79 και σπούδασε στη στρατιωτική σχολή του Μποµόν-αν-Ωζ. Από το 767 ανέλαβε την διδασκαλία των µαθηµατικών στην Στρατιωτική Σχολή Παρισίων, όπου ο Ναπολέων υπήρξε µαθητής του και µετά τέσσερα χρόνια παρουσίασε την πολύ σηµαντική εργασία του στον Διαφορικό Λογισµό, πράγµα που του εξασφάλισε την θέση στην Γαλλική Ακαδηµία Επιστηµών. Ως µαθηµατικός ασχολήθηκε επίσης και µε την θεωρία των πιθανοτήτων. Εξελέγη γερουσιαστής και µετά υπουργός ενώ το 80 πήρε τον τίτλο του κόµητος και το 87 του µαρκησίου. Οι κυριότερες εργασίες του Laplace στην αστρονοµία αναφέρονται στην ουράνια µηχανική, στην ελλειπτική κίνηση των πλανητών, την λίκνιση της σελήνης, το σχήµα της Γης και την απόσταση του Ηλίου. Στο βιβλίο του "Εκθεσις του συστήµατος του Κόσµου" περιλαµβάνεται η περίφηµη κοσµογονική του θεωρία. -3-

6 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ lim u(t) ' u(t)e &t dt'' e &t t6 e &t & dt' ' m m & 0 0 αν Re()>0 αφού το lim t6 e &t είναι ίσο µε 0, µόνον αν το πραγµατικό µέρος του είναι µεγαλύτερο του µηδενός, Re[]>0. Εποµένως, το πεδίο σύγκλισης (ROC) του µετασχηµατισµού Laplace της βηµατικής είναι το δεξιό ηµιεπίπεδο του µιγαδικού επιπέδου, ή του επιπέδου- (-plane). Πολλές συναρτήσεις του χρόνου που δεν είναι απόλυτα ολοκληρώσιµες και εποµένως δεν έχουν µετασχηµατισµό Fourier, έχουν µετασχηµατισµό Laplace πράγµα που δίνει στον µετασχηµατισµό Laplace ένα συγκριτικό πλεονέκτηµα. Αυτό οφείλεται στον όρο e &σt που εµφανίζεται µέσα στο ολοκλήρωµα του ορισµού του µετασχηµατισµού επιτρέποντας την ύπαρξη του ολοκληρώµατος σε περισσότερες συναρτήσεις. Αυτό γίνεται πιό εµφανές αν χρησιµοποιήσουµε το γεγονός ότι =σ+jω και ξαναγράψουµε την σχέση του ορισµού του µονόπλευρου µετασχηµατισµού Laplace ως εξής: [f(t)] F() f(t)e &σt e &jωt dt' f(t)e &σt e &jωt dt m m για τον µετασχηµατισµό Fourier της µονόπλευρης f(t)e &σt. [f(t)]'ö f(t)e &σt 0 Η αλλαγή στα όρια της ολοκλήρωσης έγινε επειδή η f(t) είναι µονόπλευρη, δηλ. f(t)=0 για t<0. Στην παραπάνω σχέση µπορεί κανείς να αναγνωρίσει ότι πρόκειται Η συνάρτηση e &σt & τείνει στο µηδέν αρκετά γρήγορα ώστε για τις περισσότερες συναρτήσεις, η f(t)e &σt να τείνει στο µηδέν καθώς το t τείνει στο άπειρο. Τελικά ο µετασχηµατισµός Laplace θα υπάρχει, αν υπάρχει ο µετασχηµατισµός Fourier της f(t)e &σt δηλ. αν η f(t)e &σt είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη. Αυτό εκφράζεται ως m 0 f(t) e & σt dt < και σε µέρος της σχετικής βιβλιογραφίας αναφέρεται εναλλακτικά ως συνθήκη -32-

7 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ύπαρξης του µετασχηµατισµού Laplace ενός σήµατος, f(t), που πρέπει να ιχύει για κάθε σ θετικό και πραγµατικό. Ακόµα όµως και η απλούστερη αυτή συνθήκη ύπαρξης έχει µόνο θεωρητική αξία και κανένας µηχανικός δεν την ελέγχει, αφού στα ηλεκτρικά συστήµατα και σήµατα, οι εµφανιζόµενες συναρτήσεις είναι πραγµατικά και υπαρκτά σήµατα που την ικανοποιούν εκ φύσεως, ιδίως επειδή ο παράγων e &σt στο παραπάνω ολοκλήρω- µα, προκαλεί ραγδαία µείωση του σήµατος f(t) όταν το σ είναι θετικό πραγµατικό. Για τον µηχανικό που µελετάει τα γραµµικά χρονικά αµετάβλητα ηλεκτρικά συστήµατα και κυκλώµατα, κάθε σήµα f(t) έχει έναν µοναδικό µετασχηµατισµό Laplace F() και αυτό το εκφράζουµε µε την σχέση [f(t)]'f(). Με το (καλλιγραφικό L), παριστάνουµε την διαδικασία του µετασχηµατισµού, ενώ την µετασχηµατισµένη συνάρτηση της f(t) παριστάνουµε µε το αντίστοιχο κεφαλαίο γράµµα F(). Ο µετασχηµατισµός Laplace εποµένως µετατρέπει τα σήµατα f(t) από συναρτήσεις του χρόνου σε συναρτήσεις F() της µιγαδικής συχνότητος. Ο υπολογισµός των ολοκληρωµάτων του µετασχηµατισµού Laplace δεν είναι σχεδόν ποτέ απαραίτητος αν και δεν είναι δύσκολος, ιδίως για τα βασικά σήµατα, όπως φαίνεται στα παραδείγµατα που ακολουθούν. Ο µετασχηµατισµός της κρουστικής δ(t) Η κρουστική δ(t) αποτελεί µια µαθηµατική ιδιαιτερότητα µε αρκετές δυσκολίες στη χρήση της. Ο µετασχηµατισµός της όµως είναι ότι απλούστερο µπορεί να υπάρξει: δ(t) ' δ(t)e &t dt' δ(t)e &0 dt' δ(t)dt' m m m Το συµπέρασµα αυτό το συνοψίζουµε ως εξής: 0 δ(t) 0 ] Πολύ εύκολα υπολογίζεται και ο µετασχηµατισµός της µετατοπισµένης κρουστικής: δ(t&t o ) ' δ(t&t m o )e &t dt' δ(t)e &t o dt'e &t o δ(t)dt'e &t o m m

8 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ δηλαδή δ(t&t o ) ] e &t o Ο µετασχηµατισµός της βηµατικής lim u(t) ' u(t)e &t dt' e &t t6 e &t & dt' ' m m & 0 0 γιά Re()>0 Το παραπάνω αποτέλεσµα το συνοψίζουµε εµφανίζοντας το ζεύγος µετασχηµατισµού u(t) ] παραλείποντας την αναφορά στο πεδίο σύγκλισης. Ο µετασχηµατισµός της µονόπλευρης εκθετικής e &at u(t) e &at u(t) ' e &at e &t dt' e &(%a)t dt' m m 0 0 lim e &(%a)t t6 &&a & ' %a γιά Re(%a)>0 Το αποτέλεσµα αυτό κωδικοποιούµε σε ένα ζεύγος του µετασχηµατισµού, χωρίς αναφορά στο πεδίο σύγκλισης: e &at u(t) ] %a Ο µετασχηµατισµός του µονόπλευρου συνηµιτόνου co(ω ο t)u(t) Από την σχέση του Euler έχουµε co(ω ο t)' 2 e jω ο t %e &jω ο t και χρησιµοποιώντας τον ορισµό του µετασχηµατισµού: co(ω ο t)u(t) ' 2 e jω ο t %e &jω ο t u(t) ' e jω ο t e &t dt% e &jω ο t e &t dt' 2m 2m 2 2 ' % ' &jω ο %jω ο 2 %ω 2 o

9 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Βρήκαµε εποµένως ακόµα ένα ζεύγος µετασχηµατισµού: co(ω o t)u(t) ] 2 %ω 2 o Με ανάλογο τρόπο υπολογίζουµε και ότι in(ω o t)u(t) ] ω o 2 %ω 2 o Μπορούµε εποµένως να αρχίσουµε να δηµιουργούµε έναν πίνακα ζευγών του µετασχηµατισµού Laplace,όπως παρακάτω. f(t) F() δ(t) u(t) e &at u(t) in(ω o t)u(t) co(ω o t)u(t) % a ω o 2 %ω 2 o 2 %ω 2 o Τα ζεύγη του µετασχηµατισµού Laplace f(t), F() συµβολίζουµε ως. f(t) ] F() χωρίς αναφορά στο πεδίο σύγκλισης. Πολλοί µαθηµατικοί και µηχανικοί έχουν στο παρελθόν υπολογίσει τον µετασχηµατισµό Laplace των βασικών και χρήσιµων τουλάχιστον συναρτήσεων και έχουν συντάξει πολύ καλούς πίνακες ζευγών f(t) ]F() του µετασχηµατισµού σαν αυτόν που ακολουθεί. -35-

10 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑΣ ΖΕΥΓΩΝ ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE (Μονόπλευρες f(t) µε f(t)=0 γιά t<0 και γι' αυτό πολλαπλασιάζουµε µε u(t)) f(t) F(). δ(t) 2. u(t) 3. e &at f(t)u(t) F(+a). f( t a ) af(a) 5. t n u(t) n! n% 6. f(t-a)u(t-a) e &a F() 7. e &at u(t) % a 8. [δ(t)&ae &at ]u(t) 9. te &at u(t) 0. e &at (&at)u(t). (&e &at )u(t) b&a (e &at &e &bt )u(t) (b&a a 2 &a )e &a t!(b&a 2 )e a2t u(t) % a ' & a % a ( % a) 2 ( % a) 2 a ( % a) ' & ( % a)( % b) %b (%a )(%a 2 ) % a a b a a 2. in(ω ο t)u(t) 5. co(ω ο t)u(t) 6. e &at in(ω o t)u(t) ω o (%a) 2 %ω 2 o ω ο 2 % ω 2 ο 2 % ω 2 o µε a>0 και ω o >0-36-

11 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE f(t) 7. e &at co(ω o t)u(t) 8. in(ω o t%φ)u(t) F() %a µε a>0 και ω (%a) 2 %ω 2 o >0 o inφ%ω o coφ 2 %ω 2 o 9. co(ω o t%φ)u(t) coφ&ω o inφ 2 %ω 2 o 20. tf(t)u(t)! df() d 2. f(t)in(ω o t)u(t) 2j [F( & jω ο ) & F( % jω ο )] 22. f(t)co(ω o t)u(t) 23. tin(ω ο t)u(t) 2 [F( & jω ο ) % F( % jω ο )] 2ω o ( 2 % ω 2 o )2 2. tco(ω ο t)u(t) 2 & ω 2 o ( 2 % ω 2 o )2 Ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός Laplace, όπως εφαρµόζεται στον χώρο των ηλεκτρικών συστηµάτων είναι µοναδικός, υπάρχει δηλ. µόνον µια F() για κάθε f(t). Μπορούµε εποµένως να βλέπουµε τον µετασχηµατισµό ως ένα λειτουργικό µπλοκ, που από την µια του βάζουµε το f(t) και από την άλλη παίρνουµε την F(). Οι f(t) και F(), αποτελούν όπως ήδη αναφέραµε ένα ζεύγος µετασχηµατισµού Laplace. Η αντιµετώπιση αυτή είναι πολύ ρεαλιστική, αφού µέσα στον ένα και πλέον αιώνα χρήσης του µετασχηµατισµού στα ηλεκτρικά συστήµατα, έχουν υπολογιστεί οι µετασχηµατισµοί όλων των υπαρκτών συναρτήσεων και έχουν συνταχθεί οι πίνακες των ζευγών του µετασχηµατισµού Laplace. Εξάλλου συνήθως µια σύνθετη συνάρτηση, η οποία δεν υπάρχει στους πίνακες, µπορεί να αναλυθεί σε απλούστερες και µε την χρήση των ιδιοτήτων του µετασχηµατισµού να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός, όπως θα δούµε παρακάτω. Ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός Laplace, όπως εφαρµόζεται στον χώρο των ηλεκτρικών συστηµάτων είναι και αµφιµονοσήµαντος, µπορούµε δηλ. από την F() -37-

12 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ να υπολογίσουµε την f(t), η οποία είναι µοναδική, µε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace που ορίζεται ως εξής: c%j & [F()] f(t) F()e t d 2πj c&j (6.2) Στην παραπάνω σχέση φυσικά =σ+jω και το ολοκλήρωµα υπολογίζεται κατά µήκος της ευθείας γραµµής c+jω στο µιγαδικό επίπεδο από c-j έως c+j, όπου το c είναι ένας πραγµατικός αριθµός, για τον οποίο το Re[]=c είναι σηµείο του πεδίου σύγκλισης της F(). Εποµένως το ολοκλήρωµα υπολογίζεται κατα µήκος µιας ευθείας γραµµής, παράλληλης στον φανταστικό άξονα σε απόσταση c. Το c σχετίζεται µε το πεδίο σύγκλισης του µετασχηµατισµού. Τα παραπάνω πιστεύουµε ότι είναι αρκετά πειστικά...για να µην χρησιµοποιείται απευθείας το ολοκλήρωµα για τον υπολογισµό του αντίστροφου µετασχηµατισµού αλλά ο πίνακας ζευγών του µετασχηµατισµού. Πριν προχωρήσουµε, θα επαναλάβουµε ότι γιά τους µηχανικούς που ασχολούνται µε τα ηλεκτρικά, ηλεκτρονικά και επικοινωνιακά συστήµατα, ο µετασχηµατισµός Laplace δεν είναι τελικά τίποτε παραπάνω από ένα "κουτί", στο οποίο από την µια του βάζουµε χρονικές συναρτήσεις f(t) και από την άλλη µας δίνει συναρτήσεις της µιγαδικής συχνότητας F(), ενώ ο αντίστροφος µετασχηµατισµός παίρνει F() και δίνει f(t). Το "κουτί" µπορεί κανείς ίσως να φανταστεί ότι περιέχει...µαθηµατικούς, που τους αρέσει να υπολογίζουν τα ολοκληρώµατα. Ο µετασχηµατισµός τελικά µας µεταφέρει από το πεδίο του χρόνου (t-domain) σε έναν άλλο κόσµο, στο πεδίο συχνοτήτων (πεδίο-, -domain), όπου δεν υπάρχει η έννοια του χρόνου. Υπάρχει µόνον η έννοια της συχνότητος και την µεταβλητή µπορεί κανείς να την βλέπει ως συχνότητα, αφού όπως είδαµε =σ+jω και δεν είναι δύσκολο να αναγνωρίσουµε αυτό το jω. -38-

13 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6.2 Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Laplace Είδαµε ως τώρα πως περνάµε από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο των συχνοτήτων (πεδίο-) µε τον µετασχηµατισµό Laplace. Ο λόγος όµως που κάνουµε αυτό το ταξείδι θα φανεί τώρα που θα παρουσιάσουµε τις βασικές ιδιότητες του µετασχηµατισµού.. Γραµµικότητα Ο µετασχηµατισµός Laplace είναι γραµµικός. Αυτό σηµαίνει ότι: Αν [f (t)] ' F () και [f 2 (t)] ' F 2 () τότε [af (t) % bf 2 (t)] ' af () % bf 2 () (Τα a και b είναι ανεξάρτητα του χρόνου και οι χρονικές συναρτήσεις µονόπλευρες) Η γραµµικότητα του µετασχηµατισµού χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό του µετασχηµατισµού σύνθετων σηµάτων µε την ανάλυσή τους σε άθροισµα απλούστερων. Αν γιά παράδειγµα θέλουµε να βρούµε τον µετασχηµατισµό Laplace της από τον πίνακα των ζευγών έχουµε ότι f(t) ' A % Be &bt u(t) ' Au(t) % Be &bt u(t) [u(t)] ' [e &bt ] ' % b οπότε χρησιµοποιώντας την γραµµικότητα του µετασχηµατισµού βρίσκουµε [ Au(t) % Be &bt ] ' A % B (A % B) % Ab ' % b ( % b) Γραµµικός είναι και ο αντίστροφος µετασχηµατισµός δηλαδή: Αν! [F ()] ' f (t) και! [F 2 ()] ' f 2 (t) τότε! [af () % bf 2 ()] ' af (t) % bf 2 (t) µε α και b ανεξάρτητα του. -39-

14 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6. & 5 % 6 ( % 3) ' & 2 % 3 % 3 ' 2 & % 3 & %3 ' 2u(t)%3u(t)e &3t ' 2%3e &3t u(t) 2. Χρονική µετατόπιση Αν f(t)'0 γιά t<0 και [f(t)]'f() τότε f(t&t o )u(t&t o ) ' e &t o F() œ t o >0 Οταν δηλ. στο πεδίο του χρόνου το σήµα µετατοπίζεται προς τα δεξιά κατά t o (καθυστέρηση), αυτό αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασµό του µετασχηµατισµού του επί e &t o στο πεδίο-. Για παράδειγµα, επειδή [u(t)]', η µετατοπισµένη βηµατική u(t&t θα έχει o ) µετασχηµατισµό u(t&t o ) 'e &t o 3. Μετατόπιση στο πεδίο- ή πολλαπλασιασµός επί e &at στο πεδίο χρόνου Αν [f(t)] ' F() τότε & F(%a) ' e &at f(t)u(t) ή ιδιότητα αυτή εκφράζεται και ως πολλαπλασιασµός επί e &at στο πεδίο του χρόνου: Αν f(t)'0 γιά t<0 και [f(t)]'f() τότε e &at f(t)) 'F(%a) Το ζεύγος αυτό χρησιµοποιείται συνήθως για τον υπολογισµό του µετασχηµατισµού χρονικών συναρτήσεων f(t), που πολλαπλασιάζονται µε µια εκθετική συνάρτηση. Για παράδειγµα, επειδή ω [ηµ(ωt)u(t)]' 2 %ω 2 η e &at ηµ(ωt)u(t) θα έχει µετασχηµατισµό e &at ω ηµ(ωt)u(t) ' (%a) 2 %ω

15 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Κλιµάκωση χρόνου Αν f(t)'0 γιά t<0 και [f(t)]'f() τότε œ αθετικόπραγµατικό Y f(αt) ' α F α ω Για παράδειγµα, επειδή [ηµ(ωt)u(t)]' 2 %ω 2 η ηµ(2ωt)u(t) θα έχει µετασχηµατισµό ηµ(2ωt)u(t) ' 2 ω 2ω ' 2 %ω 2 2 %(2ω) 2 Αν f(t)'0 γιά t<0 και [f(t)]'f() τότε d dt f(t) 'F()&f(0! ) έχουµε: I() ' C [ V()! v(0! )]' C [ V()! V o ] ' CV()! CV o 2 Γενικά, όταν µετασχηµατιστεί η ανεξάρτητη µεταβλητή t σε at-b, αποδεικνύεται ότι Αν f(t)'0 γιά t<0 και [f(t)] ' F() τότε œ ακαιb θετικό πραγµατικό Y f(αt&b) ' e & b a α F α 5. Ο µετασχηµατισµός της παραγώγου Ενας από τους λόγους της χρησιµότητος του µετασχηµατισµού Laplace είναι η παρακάτω ιδιότητα: Η σχέση αυτή δείχνει ότι η παραγώγιση στο πεδίο του χρόνου, αντιστοιχεί στο πεδίο των συχνοτήτων σε έναν απλό πολλαπλασιασµό επί. Η ποσότητα f(0 - ), είναι η αρχική συνθήκη της f(t) και είναι η τιµή της ακριβώς πριν αρχίσουµε την παρατήρηση για t=0. Η έννοια της αρχικής συνθήκης γίνεται πιο κατανοητή µε το παρακάτω παράδειγµα. Εστω φορτισµένος πυκνωτής µε αρχική τάση V o. Αν για t=0 εφαρµοστεί τάση v(t) στους ακροδέκτες του πυκνωτή, το ρεύµα του θα δίνεται κατά τα γνωστά από την i(t) ' C d. Παίρνοντας τον µετασχηµατισµό Laplace και των δύο µερών dt v(t) όπου φυσικά ως αρχική συνθήκη της τάσης του πυκνωτή ελήφθη η τάση της αρχικής -35-

16 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ του φόρτισης. Οι αρχικές συνθήκες που εµφανίζονται στα ηλεκτρικά και ηλεκτρονικά κυκλώµατα, οφείλονται πάντοτε είτε σε φορτισµένους πυκνωτές είτε σε αρχικά ρεύµατα πηνίων. Γιά τις παραγώγους υψηλότερης τάξεως ισχύει ότι: d n dt nf(t) ' n F()& n& f(0! )& (n&2) df(t) dt / & (n&3) d 2 f(t) 0t'0! dt 2 / & 0t'0! &...& d n&2 f(t) dt n&2 / & d n& f(t) 0t'0! dt n& / 0t'0! 6. Μετασχηµατισµός του ολοκληρώµατος Αν η παραγώγιση στο πεδίο του χρόνου αντιστοιχεί στο πεδίο των συχνοτήτων σε πολλαπλασιασµό επί, είναι λογικό να περιµένει κανείς το ολοκλήρωµα στο χρόνο να αντιστοιχεί σε διαίρεση µε στο πεδίο των συχνοτήτων. Πράγµατι το ολοκλήρωµα απλοποιείται στον χώρο των συχνοτήτων: t Αν f(t)'0 γιά t<0 και [f(t)]'f() τότε f(τ)dτ ' F() m Οι δύο παραπάνω ιδιότητες, του µετασχηµατισµού της παραγώγου και του ολοκληρώµατος, είναι πολύ σηµαντικές, αφού στο πεδίο-, η µεν παράγωγος γίνεται ένας πολλαπλασιασµός επί, το δε ολοκλήρωµα µια διαίρεση µε το. Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού, µπορούµε να πάρουµε τους µετασχηµατισµούς του πρώτου και δεύτερου σκέλους της ολοκληρωτικοδιαφορικής εξίσωσης του απλού κυκλώµατος της αρχής του κεφαλαίου αυτού ως εξής: γιά να βρούµε Ri(t) % L d dt i(t) % i(t)dt C m RI() % LI() % C I() ' E 0 t 0 ' Eu(t) Από την σχέση αυτή, στην οποία ελήφθη υπόψη ότι [u(t)]=/, µπορούµε να υπολογίσουµε το µετασχηµατισµένο ρεύµα I() ως: -352-

17 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE I() ' E R % L % ' C E L 2 % R L % LC Μια τέτοια έκφραση του ρεύµατος µπορεί να µην σας λέει ακόµα πολλά, αλλά περιγράφει πλήρως τον µηχανισµό µε τον οποίο λειτουργεί το κύκλωµα στο πεδίο των συχνοτήτων. Επιπροσθέτως η σχέση αυτή µπορεί να αντιστραφεί και από το I() να πάρουµε το i(t). Αυτό µπορεί να γίνει πιό κατανοητό αν γιά παράδειγµα θεωρήσουµε ότι R=, L= και C= οπότε E I() ' 2 % % ' E ( % 2 )2 % 3 Από τον πίνακα ζευγών Laplace βρίσκουµε ότι το παραπάνω µετασχηµατισµένο ρεύµα αντιστοιχεί στο i(t)' 2E e & t2 ηµ( 3 µε απόσβεση λόγω του εκθετικού όρου. 3 2 t) u(t), που είναι ένα ηµιτονικό σήµα ΣΧΗΜΑ 6.2 Στην ουσία λύσαµε την ολοκληρωτικοδιαφορική εξίσωση µέσω του µετασχηµατισµού Laplace. Ισως να µην µπορέσατε να παρακολουθήσετε τα βήµατα, αλλά εδώ απλώς θέλουµε να δείξουµε την διαδικασία και τα αποτελέσµατα και όχι τις λεπτοµέρειές της. Θα µας δοθεί παρακάτω η δυνατότητα να µπούµε στις λεπτοµέρειες

18 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 7. Μετασχηµατισµός της συνέλιξης Η συνέλιξη όπως ορίστηκε στο εδάφιο 3.6 του κεφαλαίου 3, είναι µια ολοκληρωτική πράξη µεταξύ δύο σηµάτων. Αν f(t)=0 και g(t)=0 γιά t<0 και [f(t)]=f() και [g(t)]=g() τότε f(t) ( g(t) ' f(τ)g(t & τ)dτ ' F()G() m Γιά τον αντίστροφο µετασχηµατισµό ισχύει ότι & & F()G() ' f(τ)g(t&τ)dτ ' f(t) ( g(t) m & ΕΦΑΡΜΟΓΗ Γνωρίζουµε ότι η απόκριση y(t) ενός γραµµικού συστήµατος σε µια διέγερση x(t) είναι y(t)=x(t)*h(t), όπου h(t) είναι η κρουστική απόκριση του συστήµατος. Παίρνοντας τον µετασχηµατισµό Laplace της σχέσης αυτής, συµπεραίνουµε ότι Y() ' X()H() Η σχέση αυτή αποκαλύπτει ότι στο πεδίο συχνοτήτων, η µετασχηµατισµένη απόκριση Y() ενός συστήµατος δηµιουργείται µε έναν απλό πολλαπλασιασµό της µετασχηµατισµένης διέγερσης X() επί την µετασχηµατισµένη κρουστική απόκριση H(), η οποία, όπως και στην αντίστοιχη περίπτωση του µετασχηµατισµού Fourier, ονοµάζεται συνάρτηση µεταφοράς. Η γενική παρατήρηση σχετικά µε τον µετασχηµατισµό Laplace είναι ότι µεταφέρει τα πάντα στο πεδίο συχνοτήτων, όπου απλοποιείται η παραγώγιση, η ολοκλήρωση αλλά και η συνέλιξη. Αυτός είναι ένας από τους λόγους της χρήσης του µετασχηµατισµού στην µελέτη των αιτιοκρατικών LTI ηλεκτρικών συστηµάτων και κυκλωµάτων, τα οποία περιγράφονται µε διαφορικές εξισώσεις και συνελίξεις. 8. Πολλαπλασιασµός επί t (Παραγώγιση στο πεδίο-) Θεωρούµε µια µονόπλευρη συνάρτηση f(t) µε µετασχηµατισµό F(). Αν η f(t) πολλαπλασιαστεί επί t, η ιδιότητα αυτή εκφράζεται ως: Αν f(t)'0 γιά t<0 και [f(t)]'f() τότε tf(t) '& df() d Η ιδιότητα αυτή δείχνει ότι η παραγώγιση στο πεδίο συχνοτήτων αντιστοιχεί µε πολλαπλασιασµό επί -t στο πεδίο του χρόνου. -35-

19 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Γνωρίζοντας γιά παράδειγµα ότι co(ω o t)u(t) ], γιά τον µετασχηµατισµό της 2 %ω 2 o tco(ω o t)u(t)θα έχουµε: tco(ω o t) '& d d 2 %ω 2 o ' ( 2 %ω 2 o )()&(2) ' 2 2 &ωo ( 2 %ω 2 o )2 ( 2 %ω 2 o )2 και εποµένως tco(ω o t)u(t) ] 2 &ω 2 o ( 2 %ω 2 o )2 Με ανάλογο τρόπο βρίσκουµε ότι tin(ω o t)u(t) ] 2ω o ( 2 %ω 2 o )2 9. Θεώρηµα αρχικής τιµής Αρχική τιµή f(0 + ) µιας µονόπλευρης συνάρτησης f(t) είναι η τιµή της για t=0+ε, όταν το ε είναι θετικό και τείνει στο µηδέν. Η αρχική δηλ. τιµή είναι το όριο της f(t) όταν το t τείνει στο µηδέν από δεξιά. Το θεώρηµα της αρχικής τιµής, επιτρέπει τον υπολογισµό της αρχικής τιµής f(0 + ) στο πεδίο του χρόνου από την F(). Συγκεκρι- µένα: f(0 % )' lim 6 F() Γιά παράδειγµα, ας θεωρήσουµε το ζεύγος Η αρχική τιµή της in(ω o t)u(t) ] ω o 2 %ω 2 o f(t)'in(ω o t)u(t) µπορεί να υπολογιστεί από την F(): f(0 % )' lim 6 ω o 2 %ω 2 o ' lim 6 ω o % ω2 o '0 Γιά την µε, f(t)'co(ω o t)u(t) co(ω o t)u(t) ] 2 %ω 2 o -355-

20 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ η αρχική τιµή µπορεί να υπολογιστεί από την F(): f(0 % )' lim 6 2 %ω 2 o ' lim 6 % ω2 o 2 ' 0. Θεώρηµα τελικής τιµής Τελική τιµή µιας µονόπλευρης συνάρτησης f(t) είναι η τιµή της όταν το t τείνει στο +. Το θεώρηµα της τελικής τιµής, επιτρέπει τον υπολογισµό της τελικής τιµής της f(t) στο πεδίο του χρόνου από την F(). Συγκεκριµένα: lim t6 f(t) ' lim 60 F() Η σχέση αυτή πρέπει να χρησιµοποιείται µε µεγάλη προσοχή, αφού είναι δυνατόν το δεξιό της σκέλος να δίνει τελική τιµή όταν η f(t) δεν έχει στην πραγµατικότητα τελική τιµή. Γιά παράδειγµα, ας θεωρήσουµε το ζεύγος in(ω o t)u(t) ] ω o 2 %ω 2 o Ενώ η συνάρτηση in(ω o t)u(t) δεν έχει τελική τιµή, το δεξιό σκέλος της σχέσης που εκφράζει το θεώρηµα της τελικής τιµής δίνει: lim 60 ω o 2 %ω 2 o '0 το οποίο είναι λανθασµένο. Το θεώρηµα της τελικής τιµής δίνει σωστό αποτέλεσµα µόνον όταν υπάρχει τελική τιµή.. Περιοδικότητα στο πεδίο του χρόνου Εστώ f (t) µια µονόπλευρη συνάρτηση περιορισµένης διάρκειας µε f (t)=0 γιά t<0 και t>a, σαν αυτή του σχήµατος 6.3, µε f (t) ] F (). Θεωρώντας Τ ο >a, µπορούµε από την f (t) να δηµιουργήσουµε την µονόπλευρη περιοδική συνάρτηση -356-

21 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΣΧΗΑΜΑ 6.3 f(t)=f (t)+f (t-τ ο )u(t-τ ο )+f (t-2τ ο )u(t-2τ ο )+...+f (t-nτ ο )u(t-nτ ο )+... που φαίνεται στο σχήµα 6. και µπορεί να γραφτεί και ως εξής: f(t)' j f (t&nt o )u(t&nt o ) n'0 F()' f(t) ' j n'0 ΣΧΗΜΑ 6. Οι µονόπλευρες περιοδικές συναρτήσεις σαν την f(t), αναφέρονται στην βιβλιογραφία και ως ηµιπεριοδικές. Στόχος µας είναι να υπολογίσουµε τον µετασχηµατισµό Laplace της f(t) που δηµιουργήθηκε µε τον τρόπο αυτό. Εχουµε λοιπόν f (t&nt o )u(t&nt o ) ' F () j n'0 e &nt o 'F () &e &T o όπου έγινε χρήση της ιδιότητος της χρονικής µετατόπισης και χρησιµοποιήθηκε η j a n ' n'0 &a όταν a < ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6.2 Γιά να υπολογίσουµε τον µετασχηµατισµό F() του εικονιζόµενου στο σχήµα 6.5α -357-

22 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ µονόπλευρου περιοδικού σήµατος f(t), αρκεί να υπολογίσουµε τον µετασχηµατισµό F () του εικονιζόµενου στο 6.5β σήµατος f (t) και να εφαρµόσουµε την F()'F (). &e &T o Εχουµε ότι f (t)'αu(t)&αu(t&a) Y F ()' Α &a &a Αe &e & 'Α και εποµένως F()'F () &a &e &T o &a &e &T o (&e &T o ) ΣΧΗΜΑ 6.5 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6.3 Στη συνέχεια θα υπολογίσουµε τον µετασχηµατισµό Laplace του συρµού κρουστικών (impule train) του σχήµατος 6.6. ΣΧΗΜΑ 6.6 Γιά να υπολογίσουµε τον µετασχηµατισµό F() του εικονιζόµενου στο σχήµα

23 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE µονόπλευρου περιοδικού σήµατος f(t), αρκεί να υπολογίσουµε τον µετασχηµατισµό F () του εικονιζόµενου στο σχήµα 6.7 σήµατος f (t) και να εφαρµόσουµε την F()'F (). &e &T o ΣΧΗΜΑ 6.7 Εχουµε ότι και εποµένως f (t)'αδ(t) Y F ()'Α F()'F () ' Α &e &T o &e &T o Στο συµπέρασµα αυτό θα µπορούσαµε να φτάσουµε χρησιµοποιώντας το αποτέλεσµα της προηγούµενης εφαρµογής µε Α=/α και το a 6 0. Για τον µετασχηµατισµό του συρµού του σχήµατος 6.8 ΣΧΗΜΑ 6.8 ο οποίος είναι ο µετατοπισµένος του προηγούµενου, εφαρµόζουµε κανονικά την ιδιότητα της µετατόπισης στο πεδίο του χρόνου και βρίσκουµε: F()' Αe &T o &e &T o -359-

24 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE (Μονόπλευρες f(t) µε f(t)=0 γιά t<0) f(t) F(). af (t)%bf 2 (t) af ()%bf 2 () 2. f(t&t o )u(t&t o ) e &t o F() 3. e &at f(t)u(t) F(%a). f( t a )u(t) af a f( t a &b)u(t) ae &ab F a u(t) d dt f(t) F()&f(0! ) u(t) d n t dt n f(t) f(τ)dτ m 0 f(t) u(t) t f(t)(g(t)' f(τ)g(t&τ)dτ m & f(t) g(t) n F()& n& f(0! )& (n&2) df(t) dt / & 0t'0! & (n&3) d 2 f(t) dt 2 / &...& 0t'0! d n&2 f(t) dt n&2 / & d n& f(t) 0t'0! dt n& / 0t'0! F() F( m )d F()G() F()( G() 8. tf(t)u(t) & df() d -360-

25 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE f(t) F() 9. f(0 % )' lim 6 F() 0. lim t6 f(t) ' lim 60 F(). f(t)' j n'0 f (t&nt o )u(t&nt o ) F () j 2. t n f(t) (&) n d n n'0 e &nt o 'F () &e &T o d nf() 6.3 Αντιστροφή του µετασχηµατισµού Laplace Οταν έχουµε µια µετασχηµατισµένη µεταβλητή στα ηλεκτρονικά, αυτή είναι συνήθως ή ένα ρεύµα I() ή µια τάση V(). Ο µοναδικός λόγος για τον οποίο θέλουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό είναι για να επιστρέψουµε στο πεδίο του χρόνου και να βρούµε την τάση αυτή ή το ρεύµα στην πραγµατική χρονική της µορφή v(t) ή i(t) αντίστοιχα (κυµατοµορφή). Η αντιστροφή απλών παραστάσεων γίνεται µε την απευθείας χρήση των πινάκων ιδιοτήτων και ζευγών του µετασχηµατισµού, ενώ πιό πολύπλοκες παραστάσεις χρειάζονται µια προετοιµασία, η οποία έγκειται στην ανάλυσή τους σε άθροισµα απλών όρων πρώτης και 2ης τάξης, οι οποίοι υπάρχουν στον πίνακα. Ευτυχώς στον χώρο των συστηµάτων LTI, οι εµφανιζόµενες στο πεδίο- συναρτήσεις είναι πάντοτε ρητές, δηλ. λόγος δύο πολυωνύµων του και αναλύονται σχετικά εύκολα σε µερικά κλάσµατα. Τα κλάσµατα αυτά έχουν πρωτοβάθµιο ή δευτεροβάθµιο παρονοµαστή και µπορούµε και παίρνουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό τους από τον πίνακα Αντιστροφή πρωτοβάθµιων όρων Οι πρωτοβάθµιοι όροι που εµφανίζονται στο πεδίο- αντιστοιχούν σε εκθετικές χρονικές συναρτήσεις σύµφωνα µε τα ζεύγη u(t) ] δ(t)%au(t) ] %a '% a -36-

26 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ e &at ] % a δ(t) & ae &at u(t) ] % a ' & a % a δ(t) & ae &at u(t) % be &at u(t) ] % b % a ' % a % b % a Για να µπορούν οι χρονικές συναρτήσεις να είναι ρεύµατα ή τάσεις πραγµατικών κυκλωµάτων, είναι προφανές ότι ο εκθέτης των εκθετικών συναρτήσεων πρέπει να είναι αρνητικός ώστε η πραγµατική ηλεκτρική ποσότητα να µην είναι αύξουσα µε τον χρόνο. Αυτό σηµαίνει ότι το α που εµφανίζεται στους εκθέτες των παραπάνω εκφράσεων είναι θετικό στα πραγµατικά κυκλώµατα και εν γένει στα ηλεκτρικά συστήµατα. Αν το α είναι αρνητικό τότε ο εκθέτης είναι θετικός και το αντίστοιχο ρεύµα ή τάση αυξάνει απεριόριστα µε τον χρόνο και το αντίστοιχο κύκλωµα είναι ασταθές. Ετσι στους πρωτοβάθµιους µετασχηµατισµένους όρους ποσοτήτων που προέρχονται από ευσταθή κυκλώµατα, βρίσκουµε πάντοτε αρνητικές ρίζες του παρονοµαστή, δηλ. α>0 (η ρίζα είναι = -α < 0) ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6. Στο κύκλωµα του σχήµατος 6.9 µε αφόρτιστο τον πυκνωτή υπολογίζουµε ότι: t Ri(t) % i(t)dt ' e(t) και i(t) ' C d C m dt v(t) 0 οπότε RC d v(t) % v(t) ' e(t) dt ΣΧΗΜΑ

27 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Οµως παίρνοντας τον µετασχηµατισµό Laplace και των δύο µερών βρίσκουµε: RCV() % V() ' E() απ' όπου υπολογίζουµε την µετασχηµατισµένη τάση: RC V() ' % E() RC Γιά βηµατική διέγερση, δηλ. e(t)=u(t), η µετασχηµατισµένη διέγερση θα είναι E()=/ βάσει του πίνακα µετασχηµατισµών και στην περίπτωση αυτή η µετασχηµατισµένη τάση θα είναι: RC V() '' ( % ' RC ) & % RC Παρατηρήστε ότι η ρίζα του παρονοµαστή είναι = -/RC<0. Από την γραµµικότητα του µετασχηµατισµού και τον πίνακα µετασχηµατισµών βρίσκουµε κατευθείαν ότι v(t) ' u(t) & e & t RC u(t) ' & e & t RC u(t) Αν η διέγερση είναι κρουστική, δηλ. e(t)=δ(t), τότε E()= και RC V() ' % RC οπότε η κρουστική απόκριση (αφού e(t)=δ(t)) θα είναι h(t)'v(t) ' RC e & RC t u(t) Τα παραπάνω αποτελέσµατα βρίσκονται σε πλήρη συµφωνία µε αυτά του εδαφίου 3.5, µε την διαφορά ότι εδώ υπολογίστηκαν πολύ πιό εύκολα

28 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Αντιστροφή δευτεροβαθµίων όρων Ι. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ Οι απλές περιπτώσεις δευτεροβαθµίων όρων είναι αυτές των γραµµών 9-3 του πίνακα ζευγών του µετασχηµατισµού που δόθηκε στις προηγούµενες σελίδες. Αν προσέξει κανείς θα παρατηρήσει ότι πρόκειται ουσιαστικά γιά µετασχηµατισµένες ποσότητες µε δευτεροβάθµιους παρονοµαστές µε πραγµατικές ρίζες. Παρατηρήστε και στην περίπτωση αυτή ότι αν η µετασχηµατισµένη ποσότητα είναι µια µετασχηµατισµένη απόκριση ευσταθούς συστήµατος, οι ρίζες του παρονοµαστή πρέπει να είναι αρνητικές ώστε να προκύπτει η αντίστοιχη χρονική συνάρτηση σε φθίνουσα µορφή. Υπενθυµίζεται ότι οι ρίζες των παρονοµαστών των µετασχηµατισµένων τάσεων ή ρευµάτων των παθητικών κυκλωµάτων είναι πάντοτε αρνητικές, αφού τα κυκλώµατα αυτά δεν µπορούν να δώσουν χρονικά αυξουσες αποκρίσεις, οι οποίες υποδηλώνουν αστάθεια. Δυστυχώς δεν συµβαίνει το ίδιο µε κάποια ενεργά κυκλώµατα ή συστήµατα µε ανατροφοδότηση (feedback), τα οποία µπορεί να περιέλθουν σε ασταθή κατάσταση. ΙΙ. ΦΑΝΤΑΣΙΚΕΣ και ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ Οταν οι ρίζες του παρονοµαστή της µετασχηµατισµένης ποσότητος είναι - φανταστικές ή µιγαδικές, τότε τα πράγµατα γίνονται πιό περίπλοκα αλλά και πιο ενδιαφέροντα. Οταν γιά παράδειγµα οι ρίζες είναι φανταστικές της µορφής =±jω ο, o παρονοµαστής είναι της µορφής 2 % ω 2 o και είναι βέβαιο ότι το αντίστροφο θα είναι κάποια τριγωνοµετρική συνάρτηση (γραµµές,5 ή 8, 9). Αν όµως οι ρίζες είναι µιγαδικές τότε αναγόµαστε στις γραµµές 6 και 7 του πίνακα. Βέβαια οι γραµµές αυτές δεν είναι τίποτε άλλο από τους µετασχηµατισµούς των γραµµών και 5 αντίστοιχα, κάνοντας χρήση της ιδιότητος που εκφράζει η γραµµή 3. Γιά να καταλάβουµε την διαδικασία θα πρέπει να θυµηθούµε λίγα πράγµατα από την θεωρία των δευτεροβάθµιων τριωνύµων. Θεωρούµε ένα τριώνυµο µε µιγαδικές ρίζες, το οποίο µπορεί να γραφτεί εν γένει και ως εξής: 2 %B%C'(& )(& 2 ) όπου φυσικά,2 '& B 2 ± B 2 &C -36-

29 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE οι ρίζες του. Αντικαθιστώντας βρίσκουµε 2 %B%C' % B 2 & B 2 '[(%α) 2 &Δ] &C % B 2 % B 2 όπου έχουµε χρησιµοποιήσει τους εξής συµβολισµούς: &C ' α' B και Δ' B 2 2 &C<0 Η ποσότητα Δ (διακρίνουσα) είναι αρνητική γιατί έχουµε θεωρήσει την περίπτωση των µιγαδικών ριζών. Μπορούµε εποµένως να βάλλουµε ω 2 =!Δ µε θετικό πραγµατικό ω, αφού το!δ είναι θετικό. Μια µετασχηµατισµένη λοιπόν ποσότητα F() σαν την F() ' 2 % B % C µε µιγαδικές ρίζες στον παρονοµαστή, µπορεί να γραφτεί ως F() ' 2 % B % C ' ( % α) 2 % ω 2 µε a ' B 2 και ω 2 ' C & B 2 >0 και έχει, βάσει του πίνακα, αντίστροφο µετασχηµατισµό f(t) ' ω e &αt ηµ(ωt) u(t) υπό την προϋπόθεση ότι ο παρονοµαστής έχει µιγαδικές ρίζες, που εκφράζεται µε το -Δ=ω 2 > 0. Για τις περιπτώσεις πραγµατικών και φανταστικών ριζών, µιλήσαµε προηγουµένως. Παρατηρήστε ξανά ότι για να έχουµε µη αύξουσα χρονική συµπεριφορά, απαιτείται το πραγµατικό µέρος των ριζών του παρονοµαστή να είναι αρνητικό, δηλαδή α=β/2>0. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6.5 Αν η τάση εξόδου V() του κυκλώµατος του σχήµατος 6.0 είναι: -365-

30 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ V() ' RLC E() 2 % ( RC % R L ) % 2 LC ΣΧΗΜΑ 6.0 Γιά κρουστική διέγερση e(t)=δ(t) θα έχουµε E()=, οπότε η τάση εξόδου θα είναι η µετασχηµατισµένη κρουστική απόκριση: RLC V() ' 2 % ( RC % R L ) % 2 LC Αν υποθέσουµε ότι R=, L= και C= Στην περίπτωση αυτή η τάση V() όταν E()= γίνεται που έχει αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace βάσει του πίνακα (σειρά 9) v(t) ' te! t u(t) Η v(t) φαίνεται στο σχήµα 6.. ΣΧΗΜΑ

31 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αν όµως R=, L= και C=, τότε η µετασχηµατισµένη τάση γιά κρουστική διέγερση γίνεται: V()' 2 %2%2 ' (%!j)(%%j) ' (%) 2 % Η παραπάνω σχέση βασίζεται στο ότι οι ρίζες του παρονοµαστή είναι -+j και --j οπότε α= και ω 2 =-Δ=. Από τον πίνακα (σειρά ) παίρνουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Η v(t) στην περίπτωση αυτή φαίνεται στο σχήµα 6.2. Παρατηρήστε πόσο διαφορετική είναι η κρουστική απόκριση (απόκριση για κρουστική είσοδο) του κυκλώµατος, για διαφορετικές τιµές των στοιχείων. Παρατηρείστε επίσης πόσο εύκολα υπολογίσαµε την κρουστική απόκριση, κάνοντας χρήση µαθηµατικών επιπέδου Λυκείου... Συνοψίζοντας, η αντιστροφή ενός δευτεροβάθµιου όρου F() ' 2 % B % C εξαρτάται από το είδος των ριζών του και 2, ως εξής: = -α+ω ο και 2 = -α-ω ο πραγµατικές µε a ' B 2 και ω 2 o ' B 2 & C >0 F() ' και 2 φανταστικές ±jω ο µε B'0 και ω 2 o ' C >0 ] 2 % B % C f(t) ' e t & e 2t u(t) 2ω ο F() ' 2 % B % C ] f(t) ' ω o ηµ(ω ο t)u(t) και 2 µιγαδικές -α±jω ο µε a ' B και ω 2 o 2 ' C & B 2 >0 F() ' 2 % B % C ] f(t) ' ω ο e &αt ηµ(ω ο t) u(t) -367-

32 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 6. Ανάλυση ρητών συναρτήσεων σε µερικά κλάσµατα Επειδή τα συστήµατα LTI, περιγράφονται µε γραµµικές διαφορικές εξισώσεις, οι εκφράσεις που δίνουν τα µετασχηµατισµένα µεγέθη είναι πάντοτε ρητές συναρτήσεις της µιγαδικής συχνότητας. Είναι δηλαδή λόγοι δύο πολυωνύµων µε πραγµατικούς συντελεστές της µορφής: F() ' N() D() ' a n n % a n& n& %... % a % a 0 b m m % b m& m& %... % b % b 0 όπου οι συντελεστές a i και b i είναι πραγµατικοί αριθµοί. Ως πολυώνυµα, ο αριθµητής N() και ο παρονοµαστής D() έχουν ρίζες. Τις n ρίζες του αριθµητή ονοµάζουµε µηδενικά (zeroe) της F(), ενώ τις m ρίζες του παρονοµαστή ονοµάζουµε πόλους (pole) της F(). Η F(), όπως την έχουµε παραστήσει, έχει n µηδενικά και m πόλους, αφού τα πολυώνυµα N() και D() είναι τάξης n και m αντίστοιχα. Κάθε πολυώνυµο µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των ριζών του ως γινόµενο παραγόντων. Γιά παράδειγµα ο παρονοµαστής D() της F() µπορεί να γραφτεί ως: D() ' b m (! p )(! p 2 )(! p 3 )...(! p m ) όπου b m συντελεστή του όρου µεγαλύτερης τάξης και p i οι ρίζες του µε i=,2,..m. Ετσι η F() µπορεί να γραφτεί ως: F() ' N() b m (! p )(! p 2 )(! p 3 )...(! p m ) Οταν ο βαθµός του παρονοµαστή είναι µεγαλύτερος από αυτόν του αριθµητή και οι πόλοι είναι απλοί, η ρητή συνάρτηση µπορεί και αναλύεται σε µερικά κλάσµατα (partial fraction) πάνω στους πόλους της ως εξής: N() F()' B(!p )(!p 2 )...(!p m ) ' k % k 2 %...% k m!p!p 2!p m Οι συντελεστές k i ονοµάζονται υπόλοιπα (reidue) των αντιστοίχων πόλων. Η -368-

33 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE παραπάνω ανάλυση σε µερικά κλάσµατα ισχύει όταν όλοι οι πόλοι της F() είναι απλοί. Απλός είναι ένας πόλος της µορφής (!p i ) ενώ ένας πόλος της µορφής (!p i ) r λέµε ότι έχει πολλαπλότητα r. Aν ο βαθµός του αριθµητή είναι µεγαλύτερος ή ίσος από αυτόν του παρονοµαστή, προκειµένου να γίνει η ανάλυση σε µερικά κλάσµατα, πρέπει πρώτα να γίνει η διαίρεση των πολυωνύµων ώστε να προκύψει ένα πηλίκο F () και ένα υπόλοιπο N () ώστε F() ' N() D() ' F () % N () D() όπου τώρα η νέα ρητή συνάρτηση έχει αριθµητή Ν () τάξης µικρότερης της τάξης του D(). Γιά παράδειγµα η παρακάτω F() πριν αναλυθεί σε µερικά κλάσµατα πρέπει να γίνει η διαίρεση των πολυωνύµων γιά να δώσει: F() ' 3 % 3 2 % 3 ' % 2 % 3 % 2 2 % 3 % 2 οπότε τώρα η ρητή συνάρτηση είναι έτοιµη να αναλυθεί σε µερικά κλάσµατα. 6.. Υπόλοιπα απλών πόλων Στην περίπτωση των απλών πόλων, τα υπόλοιπα των πόλων υπολογίζονται από την σχέση του Heaviide: k i ' (&p i )F() 'p i ' (&p i ) N() D() 'pi Oliver Heaviide ( ) Αγγλος εµπειρικός µηχανικός που ασχολήθηκε µε την τελεστική επίλυση των διαφορικών εξισώσεων των κυκλωµάτων και του ηλεκτρο- µαγνητισµού, εισάγοντας πρώτος την βηµατική συνάρτηση και την κρουστική, πολύ πριν από τον Dirac. Ασχολήθηκε επίσης µε την µετάδοση των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων και µε πολλά προβλήµατα του ηλεκτρισµού και της τηλεφωνίας. Ανεξάρτητα από τον Κέννελυ διετύπωσε την άποψη ότι στην ανώτερη ατµόσφαιρα υπάρχει στρώµα µε ιονισµένα αέρια πάνω στο οποίο ανακλώνται τα ηλεκτοµαγνητικά κύµατα και επιστρέφουν στη γη. Το στρώµα αυτό ονοµάζεται προς τιµήν των δύο επιστηµόνων, στρώµα Κέννελυ-Χέβισαιντ. Επειδή δεν είχε πανεπιστηµιακή µόρφωση, αντιµετωπίστκε µε δυσπιστία από το επιστηµονικό κατεστηµένο της εποχής του, αλλά τελικά το έργο του αναγνωρίστηκε

34 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Σε περίπτωση ύπαρξης πολλαπλού πόλου και απλών πόλων, τα υπόλοιπα των µεν απλών πόλων υπολογίζονται από την παραπάνω σχέση, ενώ ο πολλαπλός πόλος αναλύεται λίγο διαφορετικά, όπως θα δούµε στο επόµενο εδάφιο. Ως παράδειγµα αναλύουµε παρακάτω την ρητή συνάρτηση που προέκυψε από την προηγούµενη διαίρεση. F() ' 2 % 3 % 2 ' ( % )( % 2) ' k % % k 2 % 2 k ' ( % )F() '! ' % 2 '! '! k 2 ' ( % 2)F() '!2 ' % '!2 ' 2 και εποµένως F() '! % % 2 % 2 Παίρνοντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace γιά να βρούµε την f(t), κάθε k κλάσµα, που προέρχεται από απλό πόλο, θα συνεισφέρει στην χρονική % a συνάρτηση έναν όρο της µορφής ke &at. Θεωρούµε ότι το α είναι πραγµατικό γιατί εξετάζουµε παρακάτω τους µιγαδικούς πόλους. Στην περίπτωση αυτή και το υπόλοιπο k είναι πραγµατικό και εποµένως ο πραγµατικός απλός πόλος δηµιουργεί στο πεδίο του χρόνου µιά εκθετική συνάρτηση, η οποία επιθυµητό είναι να µην είναι αύξουσα µε τον χρόνο γιατί το αντίστοιχο µέγεθος θα παίρνει απείρως µεγάλες τιµές µετά από λίγη ώρα. Γιά να είναι όµως αύξουσα η εκθετική θα πρέπει το a να είναι αρνητικό πράγµα που αποκλείεται στα ευσταθή κυκλώµατα, των οποίων οι πόλοι =-a είναι αρνητικοί και εποµένως το a θετικό Υπόλοιπα πολλαπλών πόλων Στην περίπτωση πολλαπλού πόλου, η ανάλυση σε µερικά κλάσµατα είναι πιό πολύπλοκη αφού ο πολλαπλός πόλος αναλύεται σε τόσα µερικά κλάσµατα όση η πολλαπλότητά του. Γιά παράδειγµα η παρακάτω συνάρτηση έχει τον πρώτο πόλο -370-

35 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE πολλαπλό µε πολλαπλότητα r και αναλύεται ως εξής: N() F() ' ( & p ) r ( & p 2 )( & p 3 )...( & p m ) ' ' k &p % k 2 (&p ) 2 %...% k jr (&p ) r % k 2 &p 2 % k 3 k m %..% &p 3 &p m Τα υπόλοιπα των απλών πόλων k 2 έως και k m υπολογίζονται κανονικά από τον τύπο του Heaviide γιά τους απλούς πόλους, ενώ τα k i, που οφείλονται στον πολλαπλό πόλο p, υπολογίζονται από την k i ' (r&i)! d r&i d r&i (&p )r N() D() 'p γιά i'...r d 0 Στην παραπάνω σχέση µε i=r ο συµβολισµός ερµηνεύεται ως µονάδα (παράγω- dt 0 γος µηδενικής τάξεως). Γιά παράδειγµα θα αναλύσουµε σε µερικά κλάσµατα την F() ' ( % ) 3 2 που έχει ένα τριπλό πόλο γιά =- και έναν διπλό πόλο γιά =0. Σύµφωνα µε τα παραπάνω η ανάλυση θα οδηγήσει στην παρακάτω σχέση: F() ' (%) 3 ' k 2 % % k 2 (%) % k 3 2 (%) % k 2 3 % k 22 2 Τα τρία πρώτα κλάσµατα οφείλονται στον τριπλό πόλο =- ενώ τα επόµενα δύο στον διπλό πόλο =0. Ο υπολογισµός των συντελεστών φαίνεται παρακάτω: k 3 ' (%) 3 (%) 3 '&' ' 2 2 '& k 2 ' d d (%)3 F() '& ' d d 2 '& ' &2 3 '& ' 2-37-

36 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ k ' 2! d 2 d 2 (%)3 F() '& '...' 2 6 '& '3 k 22 ' 2 F() '0 ' ' (%) 3 '0 k 2 ' d d 2 F() '0' d d (%) 3 '0 '...'& Υπόλοιπα µιγαδικού ζεύγους πόλων Αν η συνάρτηση έχει ένα ή περισσότερα ζεύγη συζυγών µιγαδικών πόλων, ισχύει η ανάλυση σε µερικά κλάσµατα σύµφωνα µε όσα ισχύουν γιά τους απλούς πόλους. Στην περίπτωση όµως αυτή τα υπόλοιπα είναι εν γένει µιγαδικά. Αν υπάρχουν γιά παράδειγµα οι συζυγείς πόλοι p ' a % jb και p ( ' a & jb τότε αυτοί θα συνεισφέρουν στην ανάλυση σε µερικά κλάσµατα ως εξής: k &a&jb % ( k &a%jb µε συζυγή υπόλοιπα, πράγµα που σηµαίνει ότι αρκεί να υπολογίσουµε µόνον ένα από αυτά: k ' ( & a & jb) F() 'a % jb και το άλλο θα είναι ίσο µε το συζυγές. Ως παράδειγµα θα αναλύσουµε σε µερικά κλάσµατα την F()' που έχει τρείς απλούς πόλους 2 ( %3%7 (%2) 2 %(%) ' k %2&j2 % k %2%j2 % k 3 % -372-

37 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE =-2+j2, 2 =-2-j2 και =- και γιά τον λόγο αυτό αναλύεται όπως παραπάνω. Για τα υπόλοιπα των πόλων έχουµε: k ' (%2&j2)F() '&2%j2 ' 2 %3%7 (%2%j2)(%) '&2%j2 '... ' j k 2 ' k ( '&j k 3 ' [(%)F()] '& ' 2 %3%7 (%2) 2 % '& ' Η συνεισφορά ενός συζυγούς ζεύγους πόλων α±jb στην χρονική απόκριση (αντίστροφο µετασχηµατισµό) µπορεί να βρεθεί εξετάζοντας την ανάλυση του παρακάτω όρου σε µερικά κλάσµατα: F()' N() (&a) 2 %b 2 ' N() (&a&jb)(&a%jb) ' f(t)'ke (a % jb)t % k ( (a & jb)t e k ' Ke jθ και k ( ' Ke & jθ k &a&jb % k 2 &a%jb Τα υπόλοιπα k, υπολογίζονται κανονικά από τον τύπο του Heaviide και αποδεικνύεται ότι είναι συζυγή: k' N(a%jb) j2b k 2 ' N(a&jb) &j2b 'k ( Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός της παραπάνω F() είναι σύµφωνα µε τον πίνακα µετασχηµατισµών: Τα υπόλοιπα όµως k ως συζυγείς µιγαδικοί αριθµοί έχουν ένα µέτρο K και µιά γωνία έστω θ και µπορούν να γρατούν ως: οπότε υπολογίζεται ότι: f(t)'ke (a%jb)t %k ( e (a&jb)t ' Ke (a % jb)t % jθ % Ke (a & jb)t & jθ ' ' Ke at e j(bt % θ) % e & j(bt % θ) ' ' 2Ke at συν(bt % θ) -373-

38 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Στην παραπάνω σχέση, το Κ είναι το µέτρο του υπολοίπου του µιγαδικού πόλου και θ η γωνία του. Το πραγµατικό µέρος του πόλου είναι το α, που πρέπει να είναι αρνητικό για να µην δηµιουργεί αύξουσα µε τον χρόνο συνάρτηση, ενώ b είναι το θετικό φανταστικό µέρος του µιγαδικού πόλου. Με το α<0, η χρονική απόκριση φαίνεται να είναι µια φθίνουσα τριγωνοµετρική συνάρτηση. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6.6 Υπολογίστε την v(t) από την V() ' % 3 % 7 2 % 7 % 5 αν υπάρχει πόλος γιά = -3. Επειδή υπάρχει πόλος για =-3, ο παρονοµαστής περιέχει τον όρο (+3) και εποµένως διαιρείται ακριβώς µε τον όρο αυτό. Κάνοντας την διαίρεση βρίσκουµε: % V() ' 3 % 7 2 % 7 % 5 ' % ( % 3) ( 2 % % 5) οπότε οι πόλοι είναι: =-3 και =-2±j και η V() αναλύεται σε µερικά κλάσµατα ως V()' % (%3)( 2 %%5) ' k %3 % k %2&j % k ( % 2 % j Υπολογίζοντας τα υπόλοιπα από τον τύπο του Heaviide βρίσκουµε: k '& k ' 2 k ( ' 2 Τα πραγµατικά υπόλοιπα k και k* έχουν µέτρο Κ=0.5 και γωνία θ=0. Εποµένως V() ' % ( % 3) ( 2 % % 5) ' & % 3 % 2 % 2 & j % 2 % 2 % j v(t) ' &e &3t % e &2t συν(t) u(t) -37-

39 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6.5 Σχέση µετασχηµατισµών Fourier και Laplace Τόσο ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός Laplace, όσο και ο µετασχηµατισµός Fourier, µετατρέπουν ένα σήµα, µια συνάρτηση του χρόνου f(t), σε µιαν άλλη συνάρτηση µιας µιγαδικής µεταβλητής σύµφωνα µε τους παρακάτω ορισµούς: Μετασχηµατισµός Laplace F() ' [f(t)]' Μετασχηµατισµός Fourier F(jω) ' ö[f(t)]' 0 f(t)e &t dt & f(t)e &jωt dt µε 'σ%jω Η οµοιότητα είναι προφανής και η διαφορά στα όρια της ολοκλήρωσης αφανίζεται όταν η f(t) είναι µηδενική για t<0, το σήµα δηλ. f(t) είναι µονόπλευρο. Η οµοιότητα των µετασχηµατισµών γίνεται ακόµα πιό µεγάλη όταν η µονόπλευρη f(t) είναι και απόλυτα ολοκληρώσιµη από 0 έως, δηλ όταν *f(t)*dt<. Στην περίπτωση αυτή m εύκολα αποδεικνύεται ότι 0 ö[f(t)] ' [f(t)] 'jω Το σήµα για παράδειγµα f(t)=u(t)e -αt που έχει µετασχηµατισµό Laplace F() ', %a επειδή είναι αιτιοκρατικό και απόλυτα ολοκληρώσιµο, θα έχει µετασχηµατισµό Fourier ίσο µε τον µετασχηµατισµό Laplace θέτοντας =jω. Πράγµατι από τον σχετικό πίνακα έχουµε ότι ö[u(t)e &at ] ' jω%a Ο εύκολος αυτός τρόπος υπολογισµού ενός µετασχηµατισµού από τον άλλο δεν ισχύει για συναρτήσεις για τις οποίες δεν ισχύει η αιτιοκρατικότητα ή δεν είναι απόλυτα ολοκληρώσιµες, όπως για παράδειγµα για τις u(t), u(t)coω o t, u(t)inω o t κ.λπ. Από την σχέση ορισµού του µετασχηµατισµού Laplace βρίσκουµε ότι F() ' [f(t)]' f(t)e &t dt' f(t)e &σt e &jωt dt m m

40 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Αν η f(t) είναι µονόπλευρη, η παραπάνω σχέση δηλώνει ότι [f(t)]' f(t)e &σt e &jωt dt'ö f(t)e &σt m 0 από την οποία υπολογίζεται ο µετασχηµατισµός Laplace από τον µετασχηµατισµό Fourier για µονόπλευρες συναρτήσεις. Ας υποθέσουµε τώρα ότι έχουµε ένα µονόπλευρο σήµα f(t) (σήµα δηλ. για το οποίο f(t)=0 όταν t<0), σαν αυτό του σχήµατος 6.3α, του οποίου ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός Laplace είναι F(). Από το σήµα αυτό ας δηµιουργήσουµε ένα άρτιο σήµα f e (t) σαν αυτό του σχήµατος 6.3β. ΣΧΗΜΑ 6.3 Εύκολα αποδεικνύεται ότι αν υπάρχει ο µετασχηµατισµός Laplace της f(t), τότε ο µετασχηµατισµός Fourier της άρτιας f e (t) µπορεί να υπολογιστεί από την σχέση ö[f e (t)] ' [f(t)] 'jω % [f(t)] '&jω Αντίστοιχα, αν από την f(t) δηµιουργήσουµε µια περιττή συνάρτηση f ο (t) σαν αυτή του σχήµατος 6. ΣΧΗΜΑ 6. τότε ο µετασχηµατισµός Fourier της περιττής f ο (t) είναι: -376-

41 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ö[f o (t)] ' [f(t)] 'jω & [f(t)] '&jω ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6.7 Θα υπολογίσουµε τον µετασχηµατισµό Fourier της άρτιας της οποίας είναι στο σχήµα f e (t)'e &a t, η παράσταση ΣΧΗΜΑ 6.5 Η f e (t) προέρχεται προφανώς από την µονόπλευρη αιτιοκρατική f(t)=u(t)e -at του σχήµατος 6.6, η οποία έχει ως γνωστόν µετασχηµατισµό Laplace F()'. %a Σύµφωνα µε τα παραπάνω θα έχουµε: ö[e &a*t* ] ' jω%a % &jω%a ' 2a ω 2 %a 2 ΣΧΗΜΑ 6.6 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6.8 Με τον ίδιο τρόπο µπορεί να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourier του παρακάτω τετραγωνικού σήµατος f e (t)

42 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ το οποίο µπορεί κανείς να δεί ότι προέρχεται από την αιτιοκρατική f(t)=eu(t)-eu(t-0.5a) µε µετασχηµατισµό Laplace F() ' E &E e &a Εποµένως, επειδή η f e (t) είναι άρτια, θα έχουµε &a &e ' E ö[f e (t)]' E a &jω 2 &e jω % E a jω 2 &e &jω ' E e jω a2 &e &jω a 2 jω in(ω a 2 ) ' Ea ω a 2 που βρίσκεται σε πλήρη συµφωνία µε το αποτέλεσµα της εφαρµογής 5.3 του προηγουµένου κεφαλαίου Οι δύο µετασχηµατισµοί, Fourier και Laplace, χρησιµοποιούνται πολύ στην θεωρία σηµάτων, συστηµάτων και κυκλωµάτων. Ο µετασχηµατισµός Fourier χρησιµοποιείται περισσότερο για να αποκαλύπτει και να παριστάνει το συχνοτικό περιεχόµενο (frequency content) και τα φάσµατα των σηµάτων, κάτι που είναι ιδιαίτερα χρήσιµο και απαραίτητο στα επικοινωνιακά συστήµατα. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο σε όλα τα βιβλία επικοινωνιών σχεδόν απουσιάζει ο µετασχηµατισµός Laplace. Αντίθετα, στην θεωρία συστηµάτων και κυκλωµάτων, προτιµάται ο µετασχηµατισµός Laplace, ο οποίος περιγράφει καλύτερα την εξωτερική συµπεριφορά των ηλεκτρικών συστηµάτων. Σε αυτό συµβάλλει σηµαντικά το γεγονός ότι η µεταβλητή του µετασχηµατισµού είναι µιγαδική =σ+jω, πράγµα που επιτρέπει τον ορισµό, την απεικόνιση και την χρήση των πόλων και των µηδενικών των συναρτήσεων των συστηµάτων. Υπενθυµίζεται τέλος ότι ο µετασχηµατισµός -378-

43 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Laplace υπάρχει γιά πολύ µεγαλύτερο σύνολο συναρτήσεων αφού υπάρχουν συναρτήσεις που ενώ δεν έχουν µετασχηµατισµό Fourier, έχουν µετασχηµατισµό Laplace κυρίως λόγω της σχέσης [f(t)]' ö f(t)e &σt που γιά σ>0, αυξάνει δραστικά την πιθανότητα να υπάρχει ο µετασχηµατισµός Fourier. Η βαθειά γνώση και ικανότητα χρήσης και των δύο µετασχηµατισµών είναι απολύτως απαραίτητη σε όσους ασχολούνται µε ηλεκτρικά σήµατα και συστήµατα σε οποιοδήποτε επίπεδο υψηλότερο του τεχνίτη, αφού αποτελούν τα ισχυρότερα και αποτελεσµατικότερα εργαλεία ανάλυσης, σύνθεσης και σχεδίασης ηλεκτρικών, ηλεκτρονικών, επικοινωνιακών συστηµάτων και συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου. Σηµειώνεται ότι αν και στο βιβλίο αυτό παρουσιζουµε τους µετασχηµατισµούς για τα συστήµατα συνεχούς χρόνου, στα συστήµατα διακριτού χρόνου υπάρχουν οι αντίστοιχοι µετασχηµατισµοί (διακριτός µετασχηµατισµός Fourier, µετασχηµατισµός Fat Fourier, µετασχηµατισµός-z) µε αντίστοιχη, αν όχι µεγαλύτερη σηµαντικότητα στην ανάλυση και σχεδίαση των συστηµάτων αυτών. 6.6 Ο µετασχηµατισµός Laplace στα κυκλώµατα Από τη στιγµή που ένα πρόβληµα ανάλυσης κυκλώµατος µεταφέρεται στο πεδίο συχνοτήτων µε τον µετασχηµατισµό Laplace, όλες οι µεταβλητές θα είναι µετασχηµατισµένες και δεν θα υπάρχει η έννοια του χρόνου. Για τον λόγο αυτό λέµε ότι µε τον µετασχηµατισµό Laplace φεύγουµε από το πεδίο του χρόνου (πεδίο-t) και περνάµε στο πεδίο συχνοτήτων (πεδίο-). Τα ρεύµατα θα είναι πλέον συναρτήσεις του, δηλ. I(), όπως και οι τάσεις V(). Ολα τα ηλεκτρικά στοιχεία έχουν, όπως θα δούµε, στο πεδίο- µετασχηµατισµένες αντιστάσεις Z() και γιά όλα ισχύει ο απλός νόµος του Ohm V()=Z()I(), γενικευµένος για τα µετασχηµατισµένα µεγέθη. Συνήθως στη µελέτη συστηµάτων και κυλωµάτων, θεωρούµε την είσοδο γνωστή αλλά όχι συγκεκριµένη. Την παριστάνουµε δηλ. στη γενική της µετασχηµατισµένη µορφή, π.χ. E(), και υπολογίζουµε µιά έξοδο, π.χ. V 2 (). Τα πηνία, όπως θα δούµε έχουν µετασχηµατισµένη αντίσταση της µορφής L ενώ οι πυκνωτές /C. Ο αντιστάτης παραµένει αµετάβλητος να καθορίζει την µετασχηµατισµένη τάση του πολλαπλασιάζοντας το µετασχηµατισµένο ρεύµα επί την αντίστασή του. Μπορούµε λοιπόν µόλις µας δοθεί ένα κύκλωµα να το µετασχηµατίσουµε έτσι που όλα τα στοιχεία και οι µεταβλητές µας να είναι -379-

44 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ µετασχηµατισµένα κατά Laplace. Με τον τρόπο αυτό αντί να υπολογίζουµε µια τάση v(t), υπολογίζουµε την µετασχηµατισµένη τάση V(), η οποία φυσικά µπορεί µετά να µας δώσει και την v(t) αν µας ζητηθεί ως v(t)' & V(). Το χαρακτηριστικό της ανάλυσης ενός µετασχηµατισµένου κυκλώµατος είναι ότι δεν θα συναντήσουµε καθόλου παραγώγους και ολοκληρώµατα στην διαδικασία επίλυσής του. Οτι γνωρίζουµε γιά τα κυκλώµατα στο πεδίο του χρόνου, ισχύουν χωρίς αλλαγές στο πεδίο των συχνοτήτων. Η ισοδυναµία Norton-Thevenin, οι νόµοι του Kirchhoff, οι µέθοδοι κόµβων και βρόχων και όλα τα θεωρήµατα των κυκλω- µάτων ισχύουν και στο πεδίο των συχνοτήτων µε την µόνη διαφορά ότι αναφέρονται στα αντίστοιχα µετασχηµατισµένα µεγέθη Μετασχηµατισµένα στοιχεία και κυκλώµατα Ο µετασχηµατισµός Laplace µπορεί να εφαρµοστεί στην ανάλυση κυκλωµάτων µε δύο τρόπους. Ο πρώτος είναι να καταγράψει κανείς τις απαραίτητες σχέσεις στο πεδίο του χρόνου, να καταλήξει στην τελική ολοκληρωτικοδιαφορική εξίσωση και να εφαρµόσει τον µετασχηµατισµό σε αυτήν. Ο δεύτερος τρόπος είναι να µετασχηµατίσει το κύκλωµα από την αρχή µετασχηµατίζοντας όλα τα στοιχεία και τις µεταβλητές του. Ο δεύτερος αυτός τρόπος είναι και ο χρησιµοποιούµενος σχεδόν κατ αποκλειστικότητα στην ανάλυση κυκλωµάτων. Μετασχηµατισµένος Αντιστάτης Η γνωστή σχέση ρεύµατος-τάσεως του γραµµικού αντιστάτη είναι v R (t) ' Ri R (t) Παίρνοντας τον µετασχηµατισµό Laplace και των δύο µερών έχουµε: v R (t) ' Ri R (t) Y V R () ' RI R () Είναι προφανές ότι η παραπάνω σχέση είναι ο νόµος του Ohm που ισχύει και για τα µετασχηµατισµένα µεγέθη. Το µοντέλο του γραµµικού αντιστάτη στο πεδίο συχνοτήτων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα

45 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Ο µετασχηµατισµένος επαγωγέας Η γνωστή σχέση ρεύµατος-τάσεως του επαγωγέα είναι v L (t) ' L d dt i L (t) Παίρνοντας τον µετασχηµατισµό Laplace και των δύο µερών έχουµε: v L (t) ' L d dt i L (t) δηλαδή (µε µηδενική αρχική συνθήκη):v L ()'L@I L () Είναι προφανές ότι η παραπάνω σχέση θυµίζει τον νόµο του Ohm, όπου η µετασχηµατισµένη τάση V L () δηµιουργείται από τον πολλαπλασιασµό της µετασχηµατισµένης αντίστασης L του επαγωγέα, επί το µετασχηµατισµένο ρεύµα I L (). Ετσι η µετασχηµατισµένη αντίσταση του επαγωγέα ορίζεταιι ως: Z L ()' V L () I L () 'L και φυσικά η µετασχηµατισµένη αγωγιµότητα του επαγωγέα θα είναι Y L ()' I L () V L () ' L Στην περίπτωση που υπάρχει αρχική συνθήκη, η µετασχηµατισµένη σχέση ρεύµατος-τάσεως του επαγωγέα είναι V L () ' LI L () & Li L (0). Μια τέτοια σχέση οδηγεί στο παρακάτω µοντέλο του µετασχηµατισµένου επαγωγέα, όπου το αρχικό ρεύµα εµφανίζεται ως µια πηγή. Γράφοντας την τελευταία σχέση ρεύµατος-τάσεως ως I L () ' L V L () % i L (0) προκύπτει ένα δεύτερο µοντέλο του µετασχηµατισµένου επαγωγέα µε αρχικό ρεύµα. -38-

46 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Τα δύο µοντέλα είναι ισοδύναµα και στην περίπτωση που δεν υπάρχει αρχικό ρεύµα απλοποιούνται στο παρακάτω. Το L συµβολίζει την µετασχηµατισµένη αντίσταση του επαγωγέα η οποία συνδέει το µετασχηµατισµένο ρεύµα µε την µετασχηµατισµένη τάση µε µια σχέση του τύπου του νόµου του Ohm. Ο µετασχηµατισµένος πυκνωτής Η γνωστή σχέση ρεύµατος-τάσεως του πυκνωτή είναι i C (t) ' C d dt v C (t) Παίρνοντας τον µετασχηµατισµό Laplace και των δύο µερών έχουµε: δηλαδή (µε µηδενική αρχική συνθήκη): i C (t) ' C d dt v C (t) I C () ' CV C () Y V C () ' C I C () Είναι προφανές ότι η παραπάνω σχέση θυµίζει τον νόµο του Ohm, όπου η µετασχηµατισµένη τάση V C () δηµιουργείται από τον πολλαπλασιασµό της µετασχηµατισµένης αντίστασης /C του πυκνωτή, επί το µετασχηµατισµένο ρεύµα του I C (). Ετσι η µετασχηµατισµένη αντίσταση του πυκνωτή ορίζεταιι ως: Ζ C ()' V C () I C () ' C και φυσικά η µετασχηµατισµένη αγωγιµότητα του πυκνωτή θα είναι -382-

47 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Y C ()' I C () V C () 'C Στην περίπτωση που υπάρχει αρχική συνθήκη, η µετασχηµατισµένη σχέση ρεύµατος-τάσεως του πυκνωτή είναι i C (t) ' C d dt v C (t) Y I C () ' CV C () & Cv C (0) Μια τέτοια σχέση οδηγεί στο παρακάτω µοντέλο του µετασχηµατισµένου πυκνωτή, όπου η αρχική τοιυ τάση εµφανίζεται ως µια πηγή ρεύµατος. Γράφοντας την τελευταία µετασχηµατισµένη σχέση ρεύµατος-τάσεως ως V C () ' C I C () & v C (0) προκύπτει ένα δεύτερο µοντέλο του µετασχηµατισµένου πυκνωτή µε αρχική τάση. Στην περίπτωση που δεν υπάρχει αρχική τάση, και τα δύο µοντέλα απλοποιούνται στο παρακάτω. Το σηµαντικό κέρδος που αποκοµίσαµε µετασχηµατίζοντας τα ηλεκτρικά στοιχεία είναι ότι ενώ στο πεδίο του χρόνου δεν είναι δυνατόν να οριστεί η αντίσταση των στοιχείων χωρίς απώλειες, στο πεδίο συχνοτήτων ορίζεται η µετασχηµατισµένη αντίσταση και ισχύουν απλές σχέσεις ρεύµατος τάσεως στα µετασχηµατισµένα στοιχεία. Γενικά η µετασχηµατισµένη αντίσταση ενός στοιχείου δύο ακροδεκτών -383-

48 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ (µονόθυρου ή µονόκλαδου όπως συνήθως το λέµε), ορίζεται ως ο λόγος της µετασχηµατισµένης τάσης στους ακροδέκτες του προς το µετασχηµατισµένο ρεύµα του κλάδου, σύµφωνα µε το παραπάνω σχήµα. Η µετασχηµατισµένη αγωγιµότητα του µονόθυρου, ορίζεται ως ο λόγος του µετασχηµατισµένου ρεύµατος προς την µετασχηµατισµένη τάση, δηλ. Το αντίστροφο της µετασχηµατισµένης αντίστασης. Z() ' V() I() και Y() ' I() V() ' Z() Ο µετασχηµατισµός ενός κυκλώµατος από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο των συχνοτήτων στηρίζεται κυρίως στην αντικατάσταση των στοιχείων του κυκλώµατος µε τα αντίστοιχα µετασχηµατισµένα του βάσει αυτών που εκτέθηκαν παραπάνω. Για να µετασχηµατίσουµε κατά Laplace ένα κύκλωµα, κάθε µεταβλητή, ρεύµα ή τάση, αντικαθίσταται µε την µετασχηµατισµένη της και κάθε στοιχείο µε το µετασχηµατισµένο του στοιχείο, σύµφωνα µε τα εκτεθέντα µοντέλα. Κάθε µετασχηµατισµένο στοιχείο έχει πλέον µια µετασχηµατισµένη αντίσταση και για τα µετασχηµατισµένα µεγέθη ισχύουν σχέσεις ρεύµατος-τάσεως του τύπου του νόµου του Ohm. Παρατηρήστε ότι στα µετασχηµατισµένα στοιχεία του επαγωγέα και του πυκνωτή είναι δυνατόν να λαµβάνονται υπόψη και οι αρχικές συνθήκες, αν υπάρχουν Εφαρµογές Ακολουθούν µερικές εφαρµογές υπολογισµού χρονικών αποκρίσεων µε την βοήθεια του µετασχηµατισµού Laplace. Στο επόµενο κεφάλαιο ο µετασχηµατισµός χρησιµοποιείται για την µελέτη των κυκλωµάτων στο πεδίο συχνότητος. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6.9 Υπολογίστε την απόκριση του κυκλώµατος του εποµένου σχήµατος στις τρεις περιπτώσεις: (α) Κρουστική απόκριση µε e(t)=δ(τ) µε το αρχικό ρεύµα του πηνίου µηδέν (β) Βηµατική απόκριση µε e(t)=u(t) µε το αρχικό ρεύµα του του πηνίου µηδέν (γ) e(t)=2ηµ(2t) και το αρχικό ρεύµα του πηνίου είναι i L (0)= Γιά τα αριθµητικά αποτελέσµατα, και στα τρία ερωτήµατα, χρησιµοποιήστε -38-

49 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE R = R 2 = και L=2 Η πρώτη ενέργεια που θα κάνουµε είναι να µετασχηµατίσουµε το κύκλωµα σύµφωνα µε τα προηγούµενα. Θεωρούµε ότι το πηνίο έχει αρχικό ρεύµα και χρησιµοποιούµε το σχετικό µοντέλο. Το κύκλωµα έχει και πηγή τάσης και ρεύµατος. Θα µετατρέψουµε την πηγή τάσης σε ρεύµατος, αντικαθιστώντας την µε το ισοδύναµο Norton οπότε το κύκλωµα γίνεται ως εξής Γράφουµε τώρα την εξίσωση του ΝΡΚ V() % % R R 2 L ' E() & i L (0) R από την οποία παίρνουµε: V() ' LR 2 E() & L(R %R 2 ) % R R 2 i L (0) % R R 2 % L Αυτή είναι η γενική σχέση για την µετασχηµατισµένη έξοδο, από την οποία µπορού- µε πλέον να πάρουµε τις αποκρίσεις για τις διάφορες εξειδικευµένες διεγέρσεις της εφαρµογής. (α) e(t)=u(t) δηλ. E()=/ µε µηδενική αρχική συνθήκη. Στην περίπτωση αυτή η µετασχηµατισµένη απόκριση είναι: V()' LR 2 L(R %R 2 )%R R 2 ' % R 2 R %R 2 2 ' R R 2 % L(R %R 2 ) και η χρονική απόκριση v(t) ' & [V()] ' & 2 ' 2 e & t u(t) % -385-

50 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ (β) e(t)=δ(t) δηλ. E()= µε µηδενική αρχική συνθήκη. Στην περίπτωση αυτή υπολογίζουµε την κρουστική απόκριση h(t). Η µετασχηµατισµένη απόκριση γίνεται: V() ' LR 2 L(R %R 2 ) % R R 2 ' % R 2 R %R 2 R R 2 L(R %R 2 ) ' 2 % οπότε η κρουστική απόκριση θα είναι -386-

51 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE h(t) ' v(t) ' & [V()] ' & 2 ' 2 δ(t)& 8 e & t u(t) % -387-

52 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ (γ) e(t)=2ηµ(2t) δηλ. E() ' µε µηδενική αρχική συνθήκη i L (0)=. Στην 2 % περίπτωση αυτή από την γενική σχέση που υπολογίσαµε για την µετασχηµατισµένη απόκριση παίρνουµε V() ' ( % & )( 2 %) 2% ' ( % & 2 )( 2 %) % Η V() αναλύεται σε µερικά κλάσµατα ως εξής: V() '& 8 65 % % % % % & 2 % Για να βρούµε την v(t) αρκεί να πάρουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό της V() η οποία αποτελείται από παράγοντες που υπάρχουν όλοι στον πίνακα ζευγών. v(t) ' & 8 65 e & t % 8 65 συν(2t) % 6 65 ηµ(2t) & 2 e & t u(t) -388-

53 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6.0 Στο παρακάτω κύκλωµα µε R =R 2 =, C= και L=,ο πυκνωτής έχει αχική τάση v o =V, υπολογίστε (α) την απόκριση v(t) για διέγερση e(t)=ηµ(2t) και (β) την κρουστική απόκριση. Μετασχηµατίζουµε το κύκλωµα σύµφωνα µε τα παραπάνω. Στο µετασχηµατισµένο κύκλωµα θα υπολογίσουµε τώρα την απόκριση V() για διέγερση γενικώς E() και θα εξειδικεύσουµε στο τέλος. Επειδή το κύκλωµα έχει πηγές τάσης, θα χρησιµοποιήσουµε την µέθοδο των βρόχων για τους δύο εµφανείς βρόχους στους οποίους θεωρούµε ρεύµατα βρόχων µε ωρολογιακή φορά. Οι εξίσωση της µεθόδου βρόχων είναι R %L% C & C & C R 2 % C I () I 2 () ' E() & v o v o Λύνοντας την εξίσωση αυτή ως προς το ρεύµα I 2 () µε τον κανόνα του Crammer βρίσκουµε: -389-

54 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ R %L% I 2 () ' /0 C & C R %L% C & /0 C E()& v o v o C & C R 2 % C /0 /0 ' C(R % L)v o % E() 2 LCR 2 % (CR R 2 %L) % R % R 2 Η έξοδος V() θα είναι η τάση του αντιστάτη R 2 που διαρρέεται από ρεύµα I 2 () και εποµένως V()=R 2 I 2 (): V() ' R 2 C(R % L)v o % R 2 E() 2 LCR 2 % (CR R 2 %L) % R % R 2 Μια καλή πρακτική είναι να εµφανίζουµε στον αριθµητή και τον παρονοµαστή πολυώνυµα µε τον συντελεστή του όρου µεγαλύτερης τάξης ίσο µε την µονάδα. R V()' 2 C(R %L)v o %R 2 E() ' ( % )v o %E() ' (%)v o 2 LCR 2 %(CR R 2 %L)%R %R 2 2 %2%2 2 %2%2 % E() 2 %2%2 (Χρησιµοποιήθηκαν οι τιµές των στοιχείων) Είναι προφανές ότι η απόκριση έχει δύο µέρη, την απόκριση µηδενικής εισόδου που -390-

55 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE οφείλεται µόνον στην αρχική τάση v o = του πυκνωτή και την εξαναγκασµένη απόκριση (µηδενικής κατάστασης), που οφείλεται στην εξωτερική διέγερση E(). Η χρονική απόκριση µηδενικής εισόδου (λόγω αρχικής συνθήκης) θα είναι v z (t) ' & ( % ) 2 % 2 % 2 ' ( % ) & ( % ) 2 % Από τον πίνακα ζευγών του µετασχηµατισµού Laplace βρίσκουµε v z (t) ' & ( % ) ( % ) 2 % ' e &t συν(t)u(t) Η εξαναγκασµένη χρονική απόκριση θα είναι v f (t) ' & E() 2 % 2 % 2 Στο σηµείο αυτό αρχίζει η εξειδίκευση των διεγέρσεων. Θα υπολογίσουµε πρώτα την εξαναγκασµένη απόκριση για e(t)=ηµ(2t). Η µετασχηµατισµένη διέγερση είναι -39-

56 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ E() ' ηµ(2t) ' 2 2 % και εποµένως η εξαναγκασµένη χρονική απόκριση θα είναι v f (t) ' & 2 ( 2 % )( 2 % 2 % 2) '& 5 & % 2 % & %3 ( % ) 2 % '& 5 & 2 % % 2 % & % ( % ) 2 % & 2 ( % ) 2 % '& 5 συν(2t) % 2 ηµ(2t) & e &t συν(t) & 2e &t ηµ(t) u(t) ' & 5 συν(2t) & 0 ηµ(2t) % 5 e &t συν(t) % 2 5 e &t ηµ(t) u(t) Η συνολική απόκριση θα είναι ίση µε το άθροισµα της απόκρισης µηδενικής εισόδου και της εξαναγκασµένης απόκρισης. v(t) ' v z (t) % v f (t) ' ' e &t συν(t)u(t) % & 5 συν(2t) & 0 ηµ(2t) % 5 e &t συν(t) % 2 5 e &t ηµ(t) u(t) Η κυµατοµορφή της παραπάνω v(t) δίνεται αναλυτικά στο επόµενο σχήµα. Για τον υπολογισµό της κρουστικής απόκρισης, απαιτείται να θεωρήσουµε µηδενικές αρχικές συνθήκες, οπότε η µετασχηµατισµένη τάση εξόδου θα είναι V() ' ( % )v o % E() 2 % 2 % 2 ' 2 % 2 % 2 ' ( % ) 2 % -392-

57 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Η κρουστική απόκριση h(t) θα είναι h(t) ' & ( % ) 2 % ' e &t ηµ(t)u(t) ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6. Στο κύκλωµα του σχήµατος µε R =R L =, L =L 3 =L=2.89, L 2 =0.029 και C 2 =0.937 να υπολογίσετε την βηµατική και την κρουστική και βηµατική απόκριση

58 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Θα χρησιµοποιήσουµε την µέθοδο βρόχων γιά τον υπολογισµό του ρεύµατος Ι 2, αφού V 2 ()=I 2 ()R L. Καταγράφουµε λοιπόν τις εξισώσεις βρόχων γιά τους δύο εµφανείς βρόχους: R % L % L 2 % C 2 &(L 2 % C 2 ) &(L 2 % C 2 ) R L % L 3 % L 2 % C 2 I () I 2 () ' E() 0 Επιλύουµε το παραπάνω σύστηµα µε την µέθοδο Crammer γιά Ι 2 βρίσκουµε: I 2 () ' /0 R %L %L 2 % C 2 E() &(L 2 % /0 ) C 2 0 /0 R %L %L 2 % C 2 &(L 2 % ) C 2 &(L 2 % ) C 2 R L %L 3 %L 2 % C 2 /0 Υπολογίζοντας τις ορίζουσες και βάζοντας L =L 3 =L βρίσκουµε: R %L %L 2 % C 2 E() I 2 () ' /0 &(L 2 % /0 ) C 2 0 /0 R %L %L 2 % C 2 &(L 2 % ) C 2 ' &(L 2 % /0 ) R C L %L 3 %L 2 % 2 C 2-39-

59 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE I 2 () ' (L 2 % )E() C 2 (R %L)(R L %L%L 2 % ) % (L C 2 % )(R 2 C L %L) % (L 2 % ) 2 & (L 2 C 2 % ) 2 2 C 2 ' ' (L 2 % C 2 )E() R R L %2R L% R C 2 %LR L % 2 L(L%L 2 )% L C 2 %L 2 R L % 2 L 2 L% R L C 2 % L C 2 ( 2 L 2 C 2 %)E() 3 (L%L 2 )LC 2 % 3 L 2 LC 2 % 2 R (L%L 2 )C 2 % 2 LR L C 2 % 2 L 2 R L C 2 %2L%R R L C 2 %R %R L ' Εποµένως έχουµε γιά την V 2 ()=I 2 ()R L : R V 2 () ' L ( 2 L 2 C 2 %)E() 3 (2LL 2 %L 2 )C 2 % 2 (R %R L )(L%L 2 )C 2 % (2L%R R L C 2 ) %R %R L Παρατηρήστε ότι οι υπολογισµοί έγιναν χωρίς αντικατάσταση τιµών, ώστε το γενικό αποτέλεσµα να µπορεί να χρησιµοποιηθεί γιά οποιεσδήποτε τιµές στοιχείων. Γιά τις δεδοµένες τιµές R =R L =, L =L 3 =L=2.89, L 2 =0.029 και C 2 =0.937 η απόκριση γίνεται: V 2 ()' % % % % E() Με την βοήθεια ειδικού λογισµικού (π.χ. MathCad) βρίσκουµε ότι ο παρονοµαστής έχει ρίζες p = p2 = j p3 = j Η έξοδος τώρα µπορεί να γραφτεί ως V 2 ()' β) Υπολογισµός κρουστικής απόκρισης h(t) 2 % (%0.583)( 2 %0.6308%0.9580) E() -395-

60 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Στην περίπτωση αυτή έχουµε κρουστική είσοδο e(t)=δ(t), και εποµένως E()= οπότε η γενική σχέση γιά την τάση έξόδου γίνεται V 2 ()' % (%0.583)( 2 %0.6308%0.9580) Η κρουστική απόκριση θα είναι: h(t)' & V 2 () ' & 2 % (%0.583)( 2 %0.6308%0.9580) Η ανάλυση σε µερικά κλάσµατα της προς αντιστροφή παράστασης είναι επιβεβλη- µένη. Η παραπάνω παράσταση αναλύεται ως V 2 ()' k ' k %0.583 % k 2 %0.2235%j0.953 % Τα υπόλοιπα των πόλων υπολογίζονται ως εξής: και k 2 ' 2 % %0.6308% '!0.583 '38. ( k2 %0.2235!j % (%0.583)(%0.2235!j0.953) '!0.2235%j0.953 '!8.55%j.3 Το µιγαδικό υπόλοιπο k 2 έχει ένα µέτρο K και όρισµα θ: k 2 ' Ke jθ µε K'k 2 ' 9.06 και θ'2.9 rad Τελικά µε γνωστά τα υπόλοιπα των πόλων και λαµβάνοντας υπόψη ότι το συζυγές ζεύγος πόλων a±jb, δίνει χρονική απόκριση 2Ke at συν(bt%θ) όπου K και θ το µέτρο και η γωνία του υπολοίπου, έχουµε: h(t)' e!0.583t %2@9.06e!0.2235t συν(!0.953t%2.92) u(t) -396-

61 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Η κρουστική απόκριση εποµένως του κυκλώµατος είναι η παραπάνω h(t), της οποίας η παράσταση στο πεδίο του χρόνου, δίνεται στο επόµενο σχήµα. ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ 6. γ) Υπολογισµός βηµατικής απόκρισης Στην περίπτωση αυτή έχουµε e(t)=u(t) και E()=/. Η η τάση εξόδου θα είναι: V 2 ()' % (%0.583)( 2 %0.6308%0.9580) η οποία αναλύεται σε µερικά κλάσµατα ως εξής: V 2 ()' k 0 % k %0.583 % k 2 %0.2235%j0.953 % ( k2 %0.2235!j0.953 Τα υπόλοιπα υπολογίζονται κατά τα γνωστά: k 0 ' 2 % (%0.583)( 2 %0.6308%0.9580) '0 ' k ' και 2 % ( 2 %0.6308%0.9580) '!0.583 '!

62 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ k 2 ' 2 % (%0.583)(%0.2235!j0.953) '!0.2235%j0.953 ' 5.079@0 & &j9.7 Το µιγαδικό υπόλοιπο k 2 έχει ένα µέτρο K και όρισµα θ: k 2 ' Ke jθ µε K'k 2 ' 9.7 και θ'!.57 rad Τελικά µε γνωστά τα υπόλοιπα των πόλων και λαµβάνοντας υπόψη ότι το συζυγές ζεύγος πόλων a±jb, δίνει χρονική απόκριση 2Ke at συν(bt%θ), όπου K και θ το µέτρο και η γωνία του υπολοίπου, έχουµε: v 2 (t)' !83.55e!0.583t % 2@9.7e!0.2235t συν(!0.953t!.57) u(t) Η βηµατική απόκριση εποµένως του κυκλώµατος είναι η παραπάνω, της οποίας η παράσταση στο πεδίο του χρόνου, δίνεταιστο επόµενο σχήµα. Η ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ 6. Παρατηρήστε ότι η βηµατική απόκριση τείνει µετά από τα µεταβατικά φαινόµενα στην τιµή 0.5. Αυτό είναι αναµενόµενο αφού η βηµατική διέγερση, µπορεί να θεωρηθεί ως µια συνεχής τάση µετά από κάποιο χρόνο. Το κύκλωµα γιά συνεχή τάση, συµπεριφέρεται ως διαιρέτης τάσεως αφού τα µεν πηνία έχουν µηδενική αντίσταση, ο δε πυκνωτής άπειρη. Αυτή είναι µια εµπειρική µέθοδος γιά να ελέγχει κανείς το όριο της βηµατικής απόκρισης όταν µεγαλώνει το t

63 Το σχήµα δείχνει τον τρόπο µε τον οποίο υπολογίσαµε την τάση εξόδου V() µε το Mathcad. Καταγράψαµε τις εξισώσεις βρόχων και τις επιλύσαµε µε τις σχετικές εντολές. Μετά υπολογίσαµε τις ρίζες του παρονοµαστή. Φυσικά, το πρόγραµµα έχει εντολές που υπολογίζουν τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace απευθείας από την V(), χωρίς να απαιτείται ο υπολογισµός των ριζών.

64 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ασκήσεις και προβλήµατα 6. Υπολογίστε τον µετασχηµατισµό Laplace των µονόπλευρων σηµάτων του σχήµατος Α6. ΣΧΗΜΑ Α Ενα µονόπλευρο σήµα f(t) έχει µετασχηµατισµό Laplace %2 F()' 3 %8 2 %7%0 Υπολογίστε τον µετασχηµατισµό των παρακάτω σηµάτων: α) g(t)=2f(t) β) g(t)=f(t-)u(t-) γ) g(t)=2f(t)+f(t-)u(t-) δ) g(t)=f '(t) ε) g(t)=f(2t) στ) g(t)=tf(t) ζ) g(t)=t 2 f(t)f(t-)u(t-) η) g(t)=f(t)*f(t) ΣΧΗΜΑ Α Ενα γραµµικό χρονικά αµετάβλητο (LTΙ) ηλεκτρικό σύστηµα έχει την εικονιζό- µενη στο σχήµα Α6.2 κρουστική απόκριση h(t) και διεγείρεται από την διέγερση v(t). Υπολογίστε και παραστήστε γραφικά την απόκριση y(t) του συστήµατος µε όση ακρίβεια µπορείτε. -00-

65 6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό των παρακάτω 2& α) 2 %3%2 2 β) 2 & 2 %3%2 γ) 2 %2 2 &3% %5 δ) (&) 2 ε) στ) ζ) e &3 (2%3) 2(&)e &2 2 %3%2 2 %8 ( 2 %6) 6.5 Υπολογίστε την αρχική και τελική τιµή των σηµάτων, των οποίων οι µετασχηµατισµοί δίνονται παρακάτω, χωρίς να βρείτε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό. Σε περίπτωση που δεν υπάρχει τελική τιµή, εξηγήστε γιατί. α) &e β) &a γ) 2 %9 3 δ) 2 &3%2 3 ε) 2 %3%2 e στ) &a 2 %2% ζ) 2 %8 ( 2 %6) 6.6 Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace των -0-

66 ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ X () ' 2 2 & 3 3 & 2 % 5 & 2 X 2 () ' % 3 2 % % 3 (Βοήθεια: Η Χ 2 () έχει έναν πόλο για =2) 6.7 α) Υπολογίστε την τάση v(t) του κυκλώµατος του σχήµατος Α6.3 συναρτήσει της e(t) β) Αν η e(t) είναι η εικονιζόµενη, R =R 2 =R= kω, R 0 = ΜΩ και C 0 = µf, σχεδιάστε προσεκτικά και µε λεπτοµέρεια την κυµατοµορφή της v(t). ΣΧΗΜΑ Α Η κρουστική απόκριση ενός βαθυπερατού κυκλώµατος RLC 2ης τάξης είναι h(t) ' 2e &t συν(t % π ) Υπολογίστε την έξοδο του κυκλώµατος αν η είσοδος είναι 0ηµt. 6.9 α) Εκφράστε το εικονιζόµενο στο σχήµα Α6. σήµα συναρτήσει βηµατικών β) Αν το σήµα εφαρµοστεί σαν τάση εισόδου στο κύκλωµα του σχήµατος, υπολογίστε και παραστήστε γραφικά την έξοδο v o (t) ΣΧΗΜΑ Α Στο εικονιζόµενο στο σχήµα Α6.5 κύκλωµα µε R= και C=, αποδείξτε ότι -02-