4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

Transcript

1 Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused Sündmused T~oenäosus T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise denitsiooni erijuhud) Kombinatoorika elemendid T~oenäosuse omadused Tinglikud t~oenäosused S~oltumatud sündmused ja katsed S~oltumatud sündmused Liitkatsed, nende s~oltumatus Binoomjaotus Diskreetsed juhuslikud suurused Diskreetse juhusliku suuruse m~oiste ja jaotus Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtus Diskreetse juhusliku suuruse dispersioon Tuntumad diskreetsed jaotused Bernoulli ehk kahepunktiline jaotus Geomeetriline jaotus Binoomjaotus Poissoni jaotus Tinglikud jaotused ja t~oenäosused Juhuslike suuruste ühisjaotus ning s~oltumatus Juhuslike suuruste summa keskväärtus ja dispersioon Jaotusfunktsioonid. Pidevad juhuslikud suurused Jaotusfunktsioonid Pidevate juhuslike suuruste arvkarektiristikud. Pidevate juhuslike suuruste jaotuste näited Ühtlane jaotus Eksponentjaotus Normaaljaotus

2 3.2 Mitmem~o~otmelised pidevad juhuslikud suurused Kahem~o~otmeline normaaljaotus S~oltumatute pidevate juhuslike suuruste summa jaotus T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)

3 Sissejuhatus Juhuslikkus on inimeste igapäevaelu lahutamatu osa juhuslikud kohtumised, öeldud s~onad, ilmataadi vembud jms on paljude inimeste elus mänginud väga olulist rolli. Kuigi inimese poolt kontrollimatuid sündmuseid ja situatsioone tuleb paratamatult ette, on juhuslikkusel tihti üsna selge struktuur ning seda arvestades on v~oimalik oma riske vähendada v~oi eduv~oimalusi suurendada. K~oige ilmekamalt tuleb juhuslikkuse struktuuri ehk erinevate sündmuste t~oenäosuste teadmise kasulikkus ilmsiks k~oikv~oimalikes ~onnemängudes, seet~ottu ei ole üllatav, et t~oenäosusteooria arengu algus on seotud just mitmesuguste täringu- ja kaardimängudest tulenevate probleemidega. Kuigi ~onnemängudede ajalugu on arvatavasti peaaegu sama pikk, kui kogu inimkonna ajalugu, hakati t~oenäosuste arvutamistega t~osisemalt tegelema alles kuueteistkümnendal sajandil. Esimene teadaolev t~oenäosuste süstemaatilise arvutamisega tegelev raamat on Gerolamo Cardano ( ) Liber de Ludo Aleae ("Raamat ~onnemängudest"), mis avaldati alles pärast tema surma (aastal 1663). T~oenäosusteooria kui matemaatilise distsipliini arengu alguseks v~oib aga lugeda prantsuse aadliku ja mänguri Chevalier de Méré poolt püstitatud ülesannete lahendamisest Blaise Pascali ja Pierre de Fermat poolt aastal Esimene nendest oli täringumänguga seotud probleem. Nimelt oli de Méré märganud, et nelja täringuviskega on vähemalt ühe kuue saamise t~oenäosus suurem kui 1 2. Tehes aga panuseid sellele, et täringupaari viskamisel 24 korda tuleb vähemalt üks kord kuute paar, hakkas talle aga tunduma, et v~oidu t~oenäosus on väiksem kui 1 2. Seet~ottu tahtis ta teada, mitu viset on vaja selleks, et vähemalt ühe kuuepaari tulemise t~oenäosus oleks vähemalt 1 2. Pascal näitas, et selleks läheb vaja 25 viset. Teine ülesanne oli keerulisem. Tegemist oli küsimusega, kuidas ausalt jagada raha juhul, kui panused olid tehtud mängude seeria v~oitmise peale ning mingil p~ohjusel ei olnud v~oimalik seeriat l~opetada. Näitena v~oib m~oelda situatsioonile, kus mängijad on panustanud kumbki 32 krooni ning kogu summa saab see, kelle valitud mündipool jääb esimesena kolmandat korda pealmiseks. Lahendamist n~oudvaks probleemiks on see, et kuidas jagada panustatud summa, kui mäng jääb pooleli näiteks situatsioonis, kus on sooritatud kolm viset, millest kahe tulemuseks oli "kull"ja ühe tulemuseks "kiri". Sellele küsimusele oli pakutud mitmeid v~oimalikke vastuseid, kuid korrektse vastuse leidsid Pascal ja Fermat omavahelise diskussiooni käigus, kusjuures kumbki lahendas selle küsimuse täiesti erinevat arutelu kasutades. Järgnevalt arendasid t~oenäosusteooriat mitmed kuulsad matemaatikud (Huygens, Bernoulli, Moivre, Laplace, T²eb~o²ov, von Mises, Markov), kuid kulus veel palju aega, kuni leiti v~oimalus t~oenäosuse rakenduste jaoks piisavalt üldiseks deneerimiseks. Kaasaegse t~oenäosusteooria käsitluse rajajaks v~oib pidada Kolmogorovit, kes aastal l~oi t~oenäosuse aksiomaatilise käsitluse. 3

4 Peatükk 1 Sündmused ja t~oenäosused 1.1 Sündmused Denitsioon 1 Juhuslik katse on igasugune tegevus, mille tulemus ei ole antud tingimustes üheselt määratud. Juhuslikul katsel on rohkem kui üks v~oimalik tulemus, kusjuures me eeldame, et katsetulemused on üksteist välistavad v~oimalikest tulemustest realiseerub ainult üks. Denitsioon 2 Juhusliku katse v~oimalikke tulemusi nimetatakse elementaarsündmusteks, mida tähistame kujul ω, ω 1, ω 2,.... Antud katse k~oigi elementaarsündmuste hulka nimetatakse elementaarsündmuste ruumiks, mida tähistatakse sümboliga Ω. Elementaarsündmused s~oltuvad sellest, mida katse tulemusena kirja pannakse. Seega v~oib sama reaalse katse (näiteks täringuvise) korral vaadelda erinevaid elementaarsündmuste ruume. Toome m~oned näited juhusliku katse kohta. Näide 3 Mündivise, kus tavaliselt vaadeldakse olukorda Ω = {kull, kiri}. S~oltuvalt katse sooritamise viisist, eesmärgist ja kasutatavast mündist v~oib m~onikord olla vajalik ka vaadelda olukorda, kus v~oimalikeks elementaarsündmusteks on Ω = {kull, kiri, serva peal} v~oi Ω = {lapiti, serva peal}. Viimasel juhul huvitab meid ainult see, kas münt jääb serva peale seisma v~oi mitte. Näide 4 Täringuvise. Tavaliselt Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, kuid kui täringut kasutatakse näiteks mündi asendajana, siis v~oib v~otta ka Ω = {paaris, paaritu}. Näide 5 Mündivise esimese kulli tulekuni. Sel juhul on elementaarsündmusi loenduv hulk ning Ω = {K, kk, kkk, kkkk,...}, kus K = kull ja k = kiri. Näide 6 Juhuslikult valitud inimese pikkus meetrites. Sel juhul v~oib v~otta Ω = [0, 3] ning elemetaarsündmuste ruum on kontiinumi v~oimsusega. Näide 7 Aktsiahinna käitumine järgneva kuu jooksul. Sel juhul on elementaarsündmuseks aktsiahinna v~oimalik trajektoor. Sageli ei huvita meid mitte katsetulemus otseselt, vaid ainult mingi väite kehtimine katsetulemuse kohta (näiteks see, et aktsiahind oleks kuu aja pärast t~ousnud vähemalt 10%). Lihtsustatult v~oibki öelda, et sündmus on teatud väite kehtimine katsetulemuse korral. 4

5 Kuna igale väitele vastab elementaarsündmuste ruumi Ω selline alamhulk, kuhu kuuluvate elementaarsündmuste ω korral see väide kehtib, siis v~oib sündmusi samastada ka hulga Ω alamhulkadega. Kuna aga mitteloenduvate elementaarsündmuste ruumide korral ei pruugi olla v~oimalik k~oigi Ω alamhulkade korral isegi katsetulemuse sinna kuulumist kindlaks teha, siis ei ole sageli m~oistlik (ning t~oenäosuse arvutamise seisukohalt v~oimalik) nimetada sündmusteks ruumi Ω k~oiki alamhulki. Osutub, et sobiv alamhulkade komplekt peab rahuldama mitmeid loomulikke omadusi. Denitsioon 8 Elementaarsündmuste ruumi Ω alamhulkade süsteemi F nimetatakse σ- algebraks (loe: sigma-algebra), kui ta rahuldab järgmisi n~oudeid: 1) F sisaldab tühihulka ja koguhulka, st, Ω F; 2) kui A i F, i = 1, 2,..., siis ka A i F (süsteem F on kinnine loenduva ühendi v~otmise suhtes); i=1 3) kui A F, siis Ā = Ω \ A F (süsteem F on kinnine täiendi v~otmise suhtes). Denitsioon 9 Sündmusteks nimetatakse σ-algebra F elemente. M~onikord on kasulik sündmuste σ-algebrast m~oelda ka kui informatsioonist selle kohta, millistesse Ω alamhulkadesse kuulumist suudab vaatleja temale antava (sageli osalise) informatsiooni p~ohjal kindlaks teha. Mida rohkem informatsiooni vaatleja katsetulemuse kohta saab, seda rohkem hulki sisaldab ka vastav σ-algebra. Näide 10 Kui me vaatleme mündiviset situatsioonis, kus münt servale ei saa jääda (st Ω = {K, k}, siis on v~oimalik deneerida kaks erinevat sündmuste σ-algebrat: F 1 = {, Ω} ja F = {, Ω, {K}, {k}}. Esimene neist on nn triviaalne (ehk ebahuvitav) σ-algebra, mis vastab sellele, et vaatlejale edastatakse ainult teade, et katse toimus. Teine σ-algebra vastab juhule, kus vaatlejale teatatakse mündiviske tulemus (st täielik info katsetulemuse kohta) ning seet~ottu on v~oimalik teha kindlaks katsetulemuse suvalisse Ω alamhulka kuulumine, st F 2 on ruumi Ω k~oigi alamhulkade hulk (F 2 = 2 Ω ). Näide 11 Täringuviske korral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Kui vaatleja saab teada viske tulemuse, siis F = 2 Ω = {, {1}, {2},..., {6}, {1, 2}, {1, 3},..., {5, 6},..., Ω}, seega F = 2 Ω = 2 6 = 64. Näide 12 Kui punkti juhuslikul valimisel l~oigust [0, 1] meile öeldakse, kas tulemus oli väiksem, v~ordne v~oi suurem kui 1 2, siis vastav σ-algebra on F = {, [0, 1 2 ), {1 2 }, (1 2, 1], [0, 1 2 ], [1 2, 1], [0, 1 2 ) (1, 1], [0, 1]}. 2 Näide 13 Tihti pakub huvi väikseim σ-algebra, mis sisaldab mingit kseeritud sündmuste komplekti. Sel juhul öeldakse, et vastav σ-algebra on indutseeritud vaadeldava sündmuste komplekti poolt. Olgu Ω = [0, 1] ning A = [0, 3 4 ), B = [ 1 2, 1]. Siis sündmuste A ja B poolt indutseeritud σ-algebraks on F = {, [0, 1 2 ), [1 2, 3 4 ), [3 4, 1], A, B, [0, 1 2 ) [3, 1], Ω}. 4 5

6 Punkti juhuslikul valimisel l~oigust [0, 1] on loomulik lugeda sündmusteks valitud punkti sattumist osal~oikudesse [a, b] (kus a b). Seega pakub suurt huvi ka vähim σ-algebra, mis sisaldab k~oiki osal~oike. Denitsioon 14 L~oigu [0, 1] Boreli σ-algebraks nimetatakse vähimat σ-algebrat, mis sisaldab l~oikusid [a, b], kus 0 a b 1 ning tähistastatakse kujul B[0, 1]. Hulga B[0, 1] elemente nimetatakse Boreli hulkadeks. Näiteid Boreli hulkadest: Ühepunktised hulgad {a} B[0, 1] (kus a [0, 1]), sest {a} = [a, a]. K~oik l~oigu [0, 1] l~oplikud ja loenduvad osahulgad, sh k~oigi ratsionaalarvude hulk Q [0, 1]. Iga poollahtine interval (a, b] [0, 1], kuna (a, b] = [a, b] \ {a} = [a, b] ([0, 1] \ {a}). Iga lahtine interval (a, b) [0, 1]. Cantori hulk, mis on saadud nii, et l~oigust [0, 1] eemaldatakse keskmine kolmandik ( 1 3, 2 3 ), seejärel allesjäänud osadest eemaldatakse keskmised kolmandikud jne. Kokkuv~ottes v~oib öelda, et Boreli hulkade süsteem on väga rikkalik. Saab näidata, et k~oikide Boreli hulkade süsteem on kontiinumi v~oimsusega. Kuna hulga [0, 1] k~oikide alamhulkade v~oimsus on kontiinumist suurema v~oimsusega, siis leidub tohutult palju selliseid alamhulki, mis ei ole Boreli hulgad. Analoogiliselt v~oime deneerida Boreli σ-algebra reaalteljel IR. Denitsioon 15 Reaaltelje IR Boreli σ-algebraks nimetatakse vähimat σ-algebrat, mis sisaldab k~oiki l~oikusid [a, b], kus < a b <. Denitsioon 16 Öeldakse, et sündmus A toimub antud katses, kui katse tulemus ω sisaldub hulgas A, st ω A. Sündmust nimetatakse v~oimatuks sündmuseks ning sündmust Ω F nimetatakse kindlaks sündmuseks. Denitsioon 17 Tehted sündmustega: Sündmuste A ja B summaks nimetatakse sündmust A B, mis tähendab sündmuse A, sündmuse B v~oi m~olema toimumist. Sündmuste A ja B korrutiseks nimetatakse sündmust A B, mis tähendab nii sündmuse A kui ka B toimumist. Sündmuste A ja B vaheks nimetatakse sündmust A \ B, mis tähendab sündmuse A toimumist, kuid B mittetoimumist. Sündmuse A vastandsündmuseks Ā nimetatakse sündmuse A mittetoimumist, Ā = Ω \ A. Denitsioon 18 Kui A B =, siis sündmusi A ja B nimetatakse teineteist välistavateks. Denitsioon 19 Paari (Ω, F) nimetatakse sündmuste ruumiks (m~o~otuvaks ruumiks). 6

7 1.2 T~oenäosus Aastal 1933 v~ottis vene matematik Andrei Kolmogorov 300 aastat kestnud t~oenäosusteooria arengud kokku järmise aksiomaatilise denitsiooniga. Denitsioon 20 T~oenäosuseks (ehk t~oenäosusm~o~oduks) sündmuste ruumil (Ω, F) nimetatakse funktsiooni, mis igale sündmusele A F seab vastavusse l~opliku arvu P (A) ning rahuldab n~oudeid P1. P (A) 0 A F (mittenegatiivsus); P2. P (Ω) = 1 (normeeritus); ( ) P3. kui A i F (i = 1, 2,...) ja A i A j =, i j, siis P = P (A i ) (σadditiivsus). i=1 i=1 Denitsioon 21 Kolmikut Ω, F, P nimetatakse t~oenäosusruumiks T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise denitsiooni erijuhud) T~oenäosusteooria rakendamiseks peab olema eelnevalt deneeritud sobiv t~oenäosusruum, st sündmuste σ-algebra ning t~oenäosusm~o~ot; praktilise situatsiooni jaoks sobiva m~o~odu valimine ei ole t~oenäosusteooria ülesanne ning v~oib olla küllalt keeruline ülesanne. Teatud juhtudel on aga olemas mingi "loomulik"t~oenäosusm~o~ot. Tuntuimad juhud on järgmised. 1. Klassikaline t~oenäosus. Oletame, et Ω koosneb n v~ordv~oimalikust elementaarsündmusest ning olgu F mingi Ω alamhulkade σ-algebra (tavaliselt v~oetakse F = 2 Ω ). Siis suvalise sündmuse A F t~oenäosust arvutatakse valemiga P (A) = n A n, kus n A = A (sündmusele A vastava hulga elementide arv). 2. Geomeetriline t~oenäosus. Punkti valimisel l~oigust tuleb sageli ette olukord, kus valitava punkti sattumine l~oigu [a, b] mingisse osal~oiku on proportsionaalne selle osal~oigu pikkusega. Sel juhul on loomulik v~otta F = B[a, b] ning arvutada hulga A F t~oenäosust valemiga P (A) = l A b a, kus hulga a "pikkuse"l A denitsiooniks on l A = inf (b i a i ). A i [a i,b i ] i Mitmem~o~otmelisel juhul tuleb geomeetrilise t~oenäosuse arvutamisel kasutada pikkuse asemel pindala (kahem~o~otmeliste piirkondade korral) v~oi ruumala. 3. Statistiline t~oenäosus. Sageli ei ole v~oimalik kasutada ei klassikalist, ega ka geomeetrilist t~oenäosust. Sel juhul on küllalt levinud t~oenäosuste arvutamise viisiks 7

8 juhusliku katse kordamine, mille tulemusena saadakse sündmuse A nn statistiline t~oenäosus P (A) = N A N, kus N A on vaadeldava sündmuse esinemiskordade arv ning N on katsete arv. Selge on see, et statistiline t~oenäosus s~oltub samuti juhusest ning ei pruugi alati olla väga lähedane tegelikule t~oenäosusele. Siit tuleneb oluline ja huvitav küsimus, et kui suur peaks olema katsete arv N, et me v~oiksime olla piisavalt kindlad selles, et statistiline t~oenäosus oleks hea hinnang tegelikule t~oenäosusele Kombinatoorika elemendid Sageli ei ole mingile sündmusele vastavate elementaarsündmuste arvu leidmine väga lihtne, sarnaste ülesannete lahendamise vajadus on andnud p~ohjuse terve matemaatikaharu kombinatoorika tekkele. Käesolevas kursuses läheb meil vaja ainult m~oningaid elementaarteadmisi kombinatoorikast. Kombinatoorika p~ohireegel.kui me moodustame k-elemendilist järjestatud kogumit, kusjuures esimesele kohale on v~oimalik valida n 1 elemendi vahel, pärast esimese elemendi valimist on teisele kohale alati v~oimalik valida n 2 elemendi vahel,... ja pärast eelviimase elemendi valimist on meil viimasele kohale alati v~oimalik valida n k elemendi vahel, siis on kokku v~oimalik saada n 1 n 2 n k erinevat järjestatud kogumit. Selle reegli abil on v~oimalik tuletada mitmeid tuntud valemeid: k-elemendiliste järjestatud komplektide moodustamisel n erinevast elemendist nii, et kordused on lubatud, on v~oimalik saada n k erinevat komplekti. Näiteks kolm korda täringut visates on erinevaid tulemuste kolmikuid (kus ka järjekord on kseeritud) 6 3. n elemendi k~oikv~oimalikke järjestusi ehk permutatsioone on n!, kuna esimesele kohale saame paigutada suvalise nendest n elemendist, teisele kohale tuleb paigutada üks ülejäänud (n 1)-st elemendist jne. Näiteks 5 ~opilast v~oivad reastuda 5! = 120 erineval moel. Variatsioonideks n elemendist k kaupa nimetatakse k elemendiliste järjestatud (kordusi mittesisalduvate) komplektide moodustamist n erinevast elemendist. Kombinatoorika p~ohireegli kohaselt on nende arvuks V k n = n (n 1) (n k + 1) = n! (n k)!. Näiteks kuue v~oistkonnaga turniiri korral on esemese kolme koha jagunemiseks V 3 6 = 120 erinevat v~oimalust (eeldusel, et kohta jagama ei saa jääda). Kuna n-elemendilise hulga k-elemendilisele alamhulgale vastab k! erinevat k-elemendilist järjestatud ilma kordusteta komplekti, siis neid hulki ehk kombinatsioone n elemendist k kaupa on kokku C k n = ( ) n = V n k k k! = n! k! (n k)!. Näiteks 52 mängukaardi abil saab moodustada C52 13 = 52! 13! 39! erinevat 13-kaardilist bridºikätt. 8

9 1.2.3 T~oenäosuse omadused Lemma 22 Olgu (Ω, F, P ) mingi t~oenäosusruum. Siis kehtivad järgnevad omadused: 1. P ( ) = 0; 2. kui A i F, i = 1, 2,..., n on vastastikku välistavad, st A i A j =, i j, siis kehtib v~ordus n n P ( A i ) = P (A i ); 3. P (Ā) = 1 P (A); 4. kui A, B F, A B, siis P (A) P (B) (monotoonsus). i=1 5. P (A \ B) = P (A) P (A B) A, B F; 6. P (A) 1 A F; 7. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) A, B F; n n P ( A i ) = P (A i ) P (A i A j ) + i=1 i=1 1 i<j n i=1 1 i<j<k n ( 1) n 1 P (A 1 A 2... A n ), A i F, i = 1, 2,..., n; 8. P (A B) P (A) + P (B) A, B F; P ( A i ) P (A i ), A i F, i IN; i=1 i=1 9. T~oenäosuse pidevus: P (A i A j A k )... + A i F, i IN, A 1 A 2 A 3... lim n P (A i ) = P ( i=1 A i); A i F, i IN, A 1 A 2 A 3... lim n P (A i ) = P ( i=1 A i); 9

10 Näide 23 Leiame t~oenäosuse, et kahe hästi segatud kaardipaki kaartide laotamisel lauale üksteise alla satub vähemalt üks kaart kohakuti (st näiteks ruutu seitse ülemisest pakist ja ruutu seitse alumisest pakist satuvad kohakuti). Selleks olgu A i sündmus, et i-ndas positsioonis olevad kaardid on kohakuti, siis sündmus vähemalt ühe kaardi kohakuti sattumise sündmus A on esitatav kujul A = seega t~oenäosuse 7.-nda omaduse kohaselt Kuna P (A) = 52 i=1 P (A i ) i<j 52 i=1 A i, P (A i A j ) +... P (A 1 A 2... A 52 ). P (A i ) = 51! 52!, P (A ia j ) = 50! 52!,..., P (A 1A 2... A 52 ) = 0! 52! ning arvestades, et erinevaid k sündmuse korrutisi on C k 52, saame P (A) = 52 k=1 ( 1) k+1 52! k!(52 k)! (52 k)! 52! = 52 k=1 ( 1) k+1. k! Pannes tähele, et 1 e x = xk k=1 ( 1)k+1 k!, v~oime öelda, et P (A) 1 e 1 0, Tinglikud t~oenäosused Denitsioon 24 Olgu antud sündmus B, mille t~oenäosus ei ole null (P (B) > 0). Sündmuse A tinglikuks t~oenäosuseks tingimusel, et B on toimunud, nimetatakse suhet P (AB) P (B) ning seda tähistatakse kujul P (A B). Osutub, et kui me igale sündmusele A seame vastavusse tema tingliku t~oenäosuse P (A B), siis me saame uue t~oenäosusm~o~odu. Lemma 25 Olgu (Ω, F, P ) mingi t~oenäosusruum ning B F selline, et P (B) > 0. Deneerime kujutuse Q : F IR valemiga Q(A) = P (A B) A F. Siis Q on t~oenäosusm~o~ot sündmuste ruumil (Ω, F). T~oestus. Harjutus lugejale. Otse tingliku t~oenäosuse denitsioonist järelduvad järgnevad reeglid sündmuste korrutiste t~oenäosuste arvutamiseks. Lemma 26 (T~oenäosuste korrutamise reegel) Kehtivad valemid P (AB) = P (B)P (A B) = P (A)P (B A) ja P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )... P (A n A 1 A 2... A n 1 ). 10

11 Näide 27 Kaardipakist valitakse kolm kaarti. Leiame t~oenäosuse, et need on v~otmise järjekorras risti emand, poti kümme ning viimasena mingi punase masti kaart. Selleks tähistame sündmused A =esimesena v~oetakse risti emand, B =teisena v~oetakse poti kümme ning C =kolmandana v~oetakse punane kaart. Siis P (ABC) = P (A)P (B A)P (C AB) = = M~onikord on loomulik sündmuste ruum Ω jagada üksteist paarikaupa välistavateks osadeks B 1, B 2,..., B n, st sellisteks osadeks B i, i = 1,..., n, et kehtivad omadused P (B i ) 0, i = 1, 2,..., n; B i B j =, i j; n B i = Ω. (1.1) i=1 Selliste sündmuste komplekti B i, i = 1,..., n nimetatakse sündmuste täissüsteemiks. Sel juhul on v~oimalik kasutada tinglike t~oenäosuseid suvalise sündmuse A t~oenäosuse arvutamisel. Lemma 28 (Täist~oenäosuse valem). Rahuldagu sündmused B i F, i = 1,..., n tingimusi (1.1). Siis iga sündmuse A F korral kehtib v~ordus P (A) = n P (B i )P (A B i ). i=1 Märkus. Täsit~oenäosuse valemi kehtimiseks on tegelikult oluline, et sündmused B i oleks vastastikku välistavad ning et A n i=1 B i. Näide 29 Oletame, et meil on rahakotis kolm münti, millest kaks on ausad, kuid kolmandal on kirja tulemise t~oenäosus 0, 6. Leiame kirja tulemise t~oenäosuse juhuslikult valitud mündi viskamisel. Selleks olgu A sündmus, et tuleb kiri; B 1 sündmus, et valiti aus münt ning B 2 sündmus, et valiti ebaaus münt. Täist~oenäosuse valemi kohaselt siis P (A) = P (B 1 )P (A B 1 ) + P (B 2 )P (A B 2 ) = = Eelneva näite korral v~oib huvi pakkuda ka küsimus, et mida me saame öelda ebaausa mündi valimise t~oenäosuse kohta mündiviske tulemuse p~ohjal. Selle jaoks sobib nn. Bayesi valem. Lemma 30 Olgu B i, i = 1,..., n tingimusi (1.1) rahuldav sündmuste täissüsteem. Siis kehtib valem P (B j A) = P (B j )P (A B j ) n i=1 P (B, j {1, 2,..., n}, A F. i)p (A B i ) T~oestus. Denitsiooni p~ohjal saame P (B j A) = P (AB j) P (A). Kasutades t~oenäosuste korrutamise reeglit ning täist~oenäosuse valemit, saame P (AB j ) = P (B j )P (A B j ), P (A) = n P (B i )P (A B i ), i=1 11

12 seega kehtib lemmas toodud v~ordus. Märkus. Sageli on kasulik ka Bayesi valemi lihtsustatud (ilma sündmuste täissüsteemita) versioon P (B)P (A B) P (B A) =. P (A) Näide 31 Arvutame näites 29 toodud tingimustel t~oenäosuse, et visati ebaausat münti tingimusel, et viske tulemusena saadi kiri. Bayesi valemi kohsaselt 1 P (B 2 )P (A B 2 ) P (B 2 A) = P (B 1 )P (A B 1 ) + P (B 2 )P (A B 2 ) = 3 0, 6 8 = Siin kasutasime teadmist, et nimetajas olev summa on tegelikult sündmuse A t~oenäosus, mis on näites 29 juba arvutatud. 1.3 S~oltumatud sündmused ja katsed Väga sageli on intuitiivselt selge, et ühe sündmuse toimumine v~oi mittetoimumine ei m~ojuta kuidagi teise sündmuse toimumist v~oi mittetoimumist; samuti on erinevate katsete korral m~onikord selge, et ühe katse tulemus on täiesti s~oltumatu teise katse tulemusest. T~oenäosusteooriaga tegelemisel on aga vaja s~oltumatuse m~oiste matemaatilist denitsiooni S~oltumatud sündmused Denitsioon 32 Sündmusi A ja B nimetatakse s~oltumatuteks, kui P (AB) = P (A)P (B). Sündmuste komplekti A i, i = 1, 2,..., n nimetatakse täielikult s~oltumatuteks, kui iga arvu k {2, 3,..., n} ja iga v~orratusi 1 i 1 < i 2 <... < i k n rahuldava indeksite komplekti korral kehtib v~ordus P (A i1 A i2... A ik ) = P (A i1 )P (A i2 )... P (A ik ). Järeldus 33 Kolm sündmust A, B ja C on täielikult s~oltumatud, kui kehtivad v~ordused P (AB) = P (A)P (B), P (AC) = P (A)P (C), P (BC) = P (B)P (C), P (ABC) = P (A)P (B)P (C). Näide 34 Visatakse kolm korda ausat münti. Olgu sündmused A, B ja C deneeritud järgnevalt: A=esimesel ja teisel viskel tuleb kokku täpselt üks kull; B=esimesel ja kolmandal viskel tuleb kokku täpselt üks kull; C=teisel ja kolmandal viskel tuleb kokku täpselt üks kull; Sel juhul A = {Kkk, KkK, kkk, kkk}, B = {KKk, Kkk, kkk, kkk}, C = {KKk, kkk, KkK, kkk}, seega P (A) = P (B) = P (C) = 1 2 ning P (AB) = A B Ω = {Kkk, kkk} 8 = 1 4 P (AC) = 1 = P (A)P (C), 4 = P (A)P (B), P (BC) = 1 4 = P (B)P (C), 12

13 mist~ottu sündmuste paarid A ja B, A ja C ning B ja C on k~oik s~oltumatud. Kuna aga A B C = (st ABC on v~oimatu sündmus), siis P (ABC) = 0 P (A)P (B)P (C) ning järelikult sündmused A, B ja C ei ole täielikult s~oltumatud. Lemma 35 Sündmused A ja B (kus P (B) > 0) on s~oltumatud parajasti siis, kui kehtib v~ordus P (A B) = P (A) (v~oi P (B A) = P (B)). T~oestus. Olgu A ja B s~oltumatud, siis P (A B) = P (AB) P (B) P (A)P (B) = = P (A). P (B) Vastupidi, kehtigu P (A B) = P (A). Kuna t~oenäosuste korrutamise reegli kohaselt siis P (AB) = P (B)P (A B) = P (A)P (B), on sel juhul sündmused A ja B denitsiooni kohaselt s~oltumatud. Sageli informatsioon ühe sündmuse toimumise kohta suurendab v~oi vähendab teise sündmuse toimumise t~oenäosust. Sel juhul on tegemist s~oltuvate ehk korreleeritud sündmustega. Denitsioon 36 Sündmusi A ja B nimetatakse positiivselt korreleerituteks, kui P (A B) > P (A) ning negatiivselt korreleerituteks, kui P (A B) < P (A). Näide 37 Visatakse kaks korda münti. Olgu A sündmus, et tuli kaks kulli, B 1 sündmus, et tuli vähemalt üks kull ning B 2 sündmus, et esimesel viskel tuli kiri. Kuna P (A B 1 ) = P (AB 1) P (B 1 ) = P (A) 1 P (B 1 ) = 4 = 1 3 > 1 4 = P (A), siis A ja B 1 on positiivselt korreleeritud (sündmuse B 1 toimumine suurendab A toimumise t~oenäosust). Et A ja B 2 on teineteist välistavad sündmused, siis 3 4 P (A B 2 ) = P (AB 2) P (B 2 ) = 0 < P (A), siis A ja B 2 on negatiivselt korreleeritud sündmused Liitkatsed, nende s~oltumatus. Sageli vaadeldakse situatsiooni, kus katse koosneb mitmest alamkatsest, mis toimuvad korraga v~oi järjest (näiteks katse koosneb kolmest mündiviskest). Sel juhul tekib küsimus, kuidas on liitkatse sündmused loomulik siduda alamkatsete sündmustega ning mis tingimused on täidetud juhul, kui alamkatsed on üksteisest s~oltumatud. Vaatleme juhtu, kus liitkatse koosneb n (n 2) alamkatsest, millele vastavad t~oenäosusruumid (Ω i, F i, P i ), i = 1, 2,..., n. Enamasti on sel juhul m~oistlik v~otta liitkatse elementaarsündmuste ruumiks Cartesiuse korrutis Ω = Ω 1 Ω 2... Ω n = {(ω 1, ω 2,..., ω n ) : ω i Ω i, i = 1, 2,..., n}. Selge on see, et nii deneeritud hulk Ω rahuldab elementaarsündmuste ruumile vastavaid n~oudeid, kuigi v~oib sisaldada m~onel juhul ka v~oimatuid katsetulemusi. Samuti on intuitiivselt selge see, et kui A i F i on sündmused osakatsete jaoks, siis A i A 2... A n peaks olema sündmus liitkatse jaoks (kui me suudame iga i korral teha i-nda osakatse tulemuse kohta saadava info p~ohjal öelda, kas sündmus A i toimus, siis suudame ka teha kindlaks, 13

14 kas vastavate sündmuste korrutis toimus liitkatse korral). Ostub, et selliste korrutistena saadud hulkade kollektsioon F 1 F 2... F n = {A 1 A 2... A n : A i F i, i = 1, 2,..., n} ei rahulda σ-algebra n~oudeid, seet~ottu v~oetakse liitkatsete korral enamasti sündmuste σ- alebraks vähimat σ-algebrat, mis selliseid korrutisi sisaldab, st F = σ(f 1 F 2... F n ) Osutub, et liitkatse sündmuste ruumil (Ω, F) saab deneerida l~opmatult palju t~oenäosusm~o~ote P, mis on koosk~olas osakatsete t~oenäosusm~o~otudega P i, st mille korral kehtib P (Ω 1... Ω i 1 A Ω i+1... Ω n ) = P i (A) A F i. Samuti saab näidata, et leidub täpselt üks t~oenäosusm~o~ot P, mis rahuldab tingimusi P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 ) P (A 2 ) P (A n ) A i F i, i = 1, 2,..., n. Denitsioon 38 Kui liitkatse t~oenäosusm~o~ot rahuldab tingimust P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 ) P (A 2 ) P (A n ) A i F i, i = 1, 2,..., n, siis katseid nimetatakse s~oltumatuteks. Seda denitsiooni kasutatakse kahte moodi: kui mingite kaalutluste p~ohjal on selge, et liitkatse osakatsed on s~oltumatud, siis denitsiooni kohaselt teame me t~oenäosusm~o~otu liitkatse sündmuste ruumil; kui meil on teada t~oenäosusm~o~ot liitkatsete sündmuste ruumil, siis denitsioonis toodud tingimuse kontrollimise teel saame me teha kindlaks, kas osakatsed on s~oltumatud v~oi mitte Binoomjaotus Tihti vaadeldakse liitkatset, mis koosneb sama katse n s~oltumatust kordamisest (näiteks viis täringuviset), kusjuures jälgitakse mingi kseeritud osakatse tulemuse kohta käiva sündmuse kordumiste arvu. Sel juhul kehtib järgmine tulemus. Lemma 39 Olgu kseeritud mingi sündmus A, mille toimumise t~oenäosus ühel katsel on p. Sel t~oenäosus, et see sündmus toimub täpselt k korda katse n s~oltumatul sooritamisel, on antud valemiga P n,p (k) = C k np k (1 p) n k. 14

15 Peatükk 2 Diskreetsed juhuslikud suurused 2.1 Diskreetse juhusliku suuruse m~oiste ja jaotus Olgu meil antud t~oenäosusruum (Ω, F, P ). Denitsioon 40 Diskreetseks juhuslikuks suuruseks nimetatakse funktsiooni X : Ω IR, mis rahuldab tingimusi 1. X omab ülimalt loenduva arvu erinevaid väärtusi, st. X(ω) {x i, i I}, kus I = {1, 2,..., n} v~oi I = IN; 2. iga väärtuse x i, i I originaal on sündmus, st A i = {ω Ω : X(ω) = x i } F. Lemma 41 Olgu g : IR IR suvaline funktsioon ning X mingi diskreetne juhuslik suurus. Siis on ka v~ordusega Y (ω) = g(x(ω)) ω Ω deneeritud funktsioon Y : Ω IR diskreetne juhuslik suurus. Denitsioon 42 Diskreetse juhusliku suuruse X jaotuseks nimetatakse paaride komplekti (x i, p i ), kus {x i : i I} on juhusliku suuruse X väärtuste hulk ning p i = P ({ω : X(ω) = x i }). 2.2 Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtus. Olgu antud diskreetne juhuslik suurus X väärtuste hulgaga {x i : i I} ja t~oenäosustega p i = P ({X = x i }). Denitsioon 43 Olgu diskreetne juhuslik suurus X selline, et i I x i p i <. Sel juhul on juhuslikul suurusel X keskväärtus, mis on deneeritud summana EX = i I x i p i. Lemma 44 Olgu X keskväärtust omav juhuslik suurus. Siis kehtivad järgnevad omadused: 1. Kui P ({X = c}) = 1 mingi c IR korral, siis EX = c. 15

16 2. Kui g : IR IR on selline funktsioon, et juhuslikul suurusel g(x) on keskväärtus, siis Eg(X) = x i P ({X = x i }) = x i p i. i I i I 3. Kui X 0, siis EX Suvalise konstandi c IR korral E(X + c) = EX + c. 5. Keskväärtus rahuldab v~orratusi inf ω Ω X(ω) EX sup X(ω). ω Ω 6. Konstandi v~oib keskväärtuse arvutamisel välja tuua: E(cX) = cex c IR. 7. Kui f : IR IR ja g : IR IR on sellised funktsioonid, et juhuslikel suurustel f(x) ja g(x) on keskväärtus, siis E(f(X) + g(x)) = Ef(X) + Eg(X). 2.3 Diskreetse juhusliku suuruse dispersioon Denitsioon 45 Keskväärtust omava juhusliku suuruse dispersiooniks nimetatakse suurust DX = E(X EX) 2. Lemma 46 Kehtib v~ordus DX = E(X 2 ) (EX) 2. Dispersiooni numbriline väärtus ei ole üldjuhul hästi interpreteeritav, seda eriti juhul, kui juhuslikul suuruse X väärtusel on mingi loomulik ühik (näiteks Eesti kroon aktsiaturul investeerimise korral). Samas aga ruutjuur dispersioonist on juhusliku suurusega X samasuguse ühikuga suurus. Denitsioon 47 Juhusliku suuruse X standardhälbeks nimetatakse suurust σ X = DX. Dispersiooni m~oningad lihtsamad omadused on toodud järgnevas lemmas. Lemma 48 Olgu X keskväärtust omav lihtne juhuslik suurus ning c IR mingi konstant. Siis kehtivad järgnevad tulemused. 1. Kui P ({X = c}) = 1, siis DX = Konstandi liitmine ei muuda dispersiooni: D(X + c) = DX. 3. D(cX) = c 2 DX. T~oestus. T~oestame omadused lemmas toodud järjekorras. 1. Kuna juhul P ({X = c} = 1 kehtib lemma 44 kohaselt EX = c, siis P ({(X EX) 2 = 0}) = P ({X c = 0}) = 1. Lemma 44 esimese omaduse kohaselt siis DX = E((X EX) 2 ) = 0. 16

17 2. Lemma 44 neljanda omaduse kohaselt E(X +c) = EX +c, seega (X +c) E(X +c) = X EX ning järelikult D(X + c) = E[((X + c) E(X + c)) 2 ] = E((X EX) 2 ) = DX. 3. Kasutades korduvalt lemma 44 kuuendat omadust saame D(cX) = E((cX E(cX)) 2 ) = E[(cX cex) 2 ] = E[c 2 (X EX) 2 ] = c 2 E[(X EX) 2 ] = c 2 DX. Lemma on t~oestatud. 2.4 Tuntumad diskreetsed jaotused Selleks, et arvutada juhusliku suuruse väärtuste abil deneeritud sündmuste t~oenäosusi, ei pea me teadma elementaarsündmuste ruumi Ω, sellel deneeritud σ-algebrat F ja t~oenäosusm~o~otu P, vaid piisab vaadeldava juhusliku suuruse X jaotuse teadmisest. Seet~ottu t~oenäosusteooria vahendite rakendamisel enamasti ei alustata t~oenäosusruumi deneerimisest, vaid tehakse eeldused huvipakkuvate juhuslike suuruste jaotuse kohta. Konkreetse juhusliku suuruse jaoks sobiva jaotuse valimisel on aga suureks abiks tüüpsituatsioonidele vastavate jaotuste ning nende arvkarakteristikute (keskväärtus, dispersioon) teadmine Bernoulli ehk kahepunktiline jaotus Denitsioon 49 Juhuslik suurus X on Bernoulli jaotusega, kui tema v~oimalikeks väärtusteks on 0 ja 1. Tähistame p = P ({X = 1}), q = (1 p) = P ({X = 0}), siis EX = 0 q + 1 p = p, DX = EX 2 (EX) 2 = 0 q + 1 p p 2 = p(1 p) = pq. Bernoulli jaotusega juhusliku suuruse näiteks on kullide arv mündiviskel Geomeetriline jaotus Geomeetriline jaotus vastab juhule, kus s~oltumatuid katseid sooritatakse kuni vaadeldava sündmuse A (toimumist~oenäosusega p = P (A)) esimese toimumiseni. Juhuslikuks suuruseks on seejuures katsete arv, v~oimalikeks väärtusteks k~oik naturaalarvud ning P ({X = k}) = P (Ā }. {{.. Ā } A) = (1 p) k 1 p, k IN. k 1 korda Denitsioon 50 Diskreetne juhuslik suurus X on Geomeetrilise jaotusega, kui tema väärtuste hulgaks on naturaalarvude hulk ning jaotus on mingi p (0, 1] korral antud valemiga ning seda tähistatakse kujul X G(p). P ({X = k}) = p(1 p) k 1, k = 1, 2,... 17

18 Keskväärtuse ja dispersiooni arvutamiseks kasutame teadmist, et funktsiooni Taylori rida v~oib liikmeti diferentseerida selle koonduvusraadiuse poolt määratud lahtises intervallis: kuna kehtib 1 1 x = x k, x < 1, k=0 siis kehtivad ka v~ordused ja 1 (1 x) 2 = kx k 1, x < 1 k=1 2 (1 x) 3 = k(k 1)x k 2, x < 1. k=2 Kasutades neid v~orduseid juhul x = 1 p saame, et ning DX = EX = = kp(1 p) k 1 = p k(1 p) k 1 = p 1 p 2 = 1 p k=1 k=1 k 2 p(1 p) k 1 (EX) 2 k=1 kp(1 p) k 1 + p(1 p) k(k 1)(1 p) k 2 1 p 2 k= Binoomjaotus k=2 = 1 p + p(1 p) 2 p 3 1 p 2 = 1 p p 2. Varasemast on meil teada, et binoomjaotus vastab juhule, kus juhuslikuks suuruseks on mingi konkreetse sündmuse toimumiste arv n s~oltumatu katse teostamisel. Denitsioon 51 Diskreetne juhuslik suurus X on binoomjaotusega parameetritega n ja p (X B(n, p)), kui tema väärtuste hulgaks on hulk {0, 1, 2,..., n} ning kehtib v~ordus P ({X = k}) = C k np k (1 p) n k, k = 1, 2,..., n. Leiame denitsiooni kohaselt binoomjaotusega juhusliku suuruse keskväärtuse. Selleks tuleb meil arvutada summa n EX = kcnp k k (1 p) n k. k=0 Kasutame geomeetrilise jaotuse keskväärtuse ja dispersiooni leidmisel rakendatud ideed. Paneme tähele, et Newtoni binoomvalemi t~ottu kehtib v~ordus n Cnx k k (1 p) n k = (x + 1 p) n, k=0 mille diferentseerimisel saame n kcnx k k 1 (1 p) n k = n(x + 1 p) n 1. k=0 18

19 Korrutades m~olemaid pooli muutujaga x, saame v~orduse n kcnx k k (1 p) n k = nx(x + 1 p) n 1, (2.1) k=0 millest järeldub juhul x = p valem EX = np. Dispersiooni leidmiseks kasutame v~ordust n DX = EX 2 (EX) 2 = k 2 Cnp k k (1 p) n k (np) 2. k=0 Valemit (2.1) diferentseerides saame n k 2 Cnx k k 1 (1 p) n k = n(x + 1 p) n 1 + nx(n 1)(x + 1 p) n 2 k=0 ehk pärast muutujaga x korrutamist n k 2 Cnx k k (1 p) n k = nx(x + 1 p) n 1 + nx 2 (n 1)(x + 1 p) n 2. k=0 Juhul x = p järeldub saadud v~ordusest ja dispersiooni avaldisest, et DX = np + n(n 1)p 2 n 2 p 2 = np np 2 = np(1 p) Poissoni jaotus Küllaltki sageli on otstarbekas eeldada, et vaadeldav juhuslik suurus on nn Poissoni jaotusega. Denitsioon 52 Juhuslik suurus on Poissoni jaotusega (X P(λ)), kui tema väärtuste hulgaks on k~oigi mittenegatiivsete täisarvude hulk ning kehtivad v~ordused P ({X = k}) = λk k! e λ. Poissoni jaotusega juhusliku suuruse keskväärtuse ja dispersiooni leidmiseks kasutame v~ordust e x λ = e x e λ x k = k! e λ, k=0 kust diferentseerides ja x-ga korrutades saame v~ordused k xk k! = xex λ k=0 ja k=0 k 2 xk k! = x(x + 1)ex λ. Kasutades neid v~orduseid juhul x = λ saame EX = λ, DX = EX 2 (EX) 2 = k 2 λk k! λ2 = λ(λ + 1) λ 2 = λ. Järgneva teoreemi kohaselt on sageli otstarbekas kasutada Poissoni jaotust ka juhul, kui juhusliku suuruse X väärtused on tegelikult t~okestatud mingi suure arvuga. k=0 19

20 Teoreem 53 (Poissoni piirteoreem) Olgu X n B(n, p n ) selline binoomjaotusega juhuslike suuruste jada, et EX n = np n λ > 0. Siis binoomjaotuse t~oenäosused koonduvad Poissoni jaotuse t~oenäosusteks: n ( ) n P ({X n = k}) = p k k n(1 p n ) n k λ k n k! e λ. Näide pealisest linnuparvest on r~ongastatud 100. Aasta jooksul püüavad ornitoloogid vaatluse eesmärgil paarvest 200 lindu (ükshaaval, lastes hiljem tagasi). Leiame t~oenäosused, et püütud lindude hulgas on 0 r~ongastatut,1 r~ongastatud, 2 r~ongastatut, 3 r~ongastatut, 4 r~ongastatut, 5 r~ongastatut. Kui me eeldame, et vaatlused on s~oltumatud, siis on tegemist binoomjaotusega ning valemi P n,p (k) = C k np k (1 p) n k kohaselt saame juhul p = 0.01, n = 200 tabeli k p k 0, , , , , , Arvestades eelnevat piirteoreemi v~oime vastavate t~oenäosuste arvutamisel kasutada ka Poissoni jaotust parameetriga λ = 200 0, 01 = 2, sel juhul saame k p 0, , , , , , Nagu näga, on saadud t~oenäosused t~oepoolest väga lähedased. 2.5 Tinglikud jaotused ja t~oenäosused Varem nägime, et kui meil on mingit informatsiooni katsetulemuse kohta (näiteks teame, et mingi sündmus B toimus), siis see m~ojutab oluliselt paljude teiste sündmuste toimumise t~oenäosusi. Juhuslike suuruste kontekstis tähendab see seda, et me v~oime arvutata juhusliku suuruse jaotuse ka juhul, kui on teada, et mingi kseeritud sündmus B toimus, sel juhul saame nn tingliku jaotuse. Denitsioon 55 Olgu X diskreetne juhuslik suurus ning B (kus P (B) > 0) mingi kseeritud sündmus. Siis juhusliku suuruse X tinglikuks jaotuseks tingimusel, et B toimus, nimetatakse paaride komplekti (x i, P ({X = x i } B)), i I, kus {x i : i I} on suuruse X väärtuste hulk. Sarnaselt saame deneerida tingliku keskväärtuse. Denitsioon 56 Olgu X diskreetne juhuslik suurus väärtuste hulgaga {x i : i I} ning B (kus P (B) > 0) mingi kseeritud sündmus. Siis juhusliku suuruse X tinglikuks keskväärtuseks tingimusel, et B toimus, nimetatakse suurust E(X B) = i I x i P ({X = x i } B)). 20

21 2.6 Juhuslike suuruste ühisjaotus ning s~oltumatus Denitsioon 57 Kui m juhuslikku suurust X 1, X 2,..., X m on määratud samas katses, siis vektorit (X 1, X 2,..., X m ) nimetatakse juhuslikuks vektoriks ehk m-m~o~otmeliseks juhuslikuks vektoriks Denitsioon 58 Juhuslike suuruste X ja Y,kus X(Ω) = {x i : i I} ja Y (Ω) = {y j : j J}, ühisjaotuseks (ehk juhusliku vektori (X, Y ) jaotuseks) nimetatakse kolmikute komplekti {(x i, y j, p ij ) : i I, j J}, kus p ij = P ({X = x i, Y = y j }). Lemma 59 Juhusliku vektori (X, Y ) jaotuse {(x i, y j, p ij ) : i I, j J} korral kehtivad v~ordused p ij = P ({Y = y j }), p ij = P ({X = x i }), p ij = 1. i I j J i I, j J Denitsioon 60 Diskreetseid juhuslikke suurusi X ja Y nimetatakse s~oltumatuteks, kui iga i I ja iga j J korral kehtib v~ordus P ({X = x i, Y = y j }) = P ({X = x i })P ({Y = y j }). 2.7 Juhuslike suuruste summa keskväärtus ja dispersioon. Olgu X ja Y mingid diskreetsed juhuslikud suurused vastavalt väärtuste hulkadega X(Ω) = {x i : i I} ja Y (Ω) = {y j : j J}, olgu {(x i, y j, p ij ) : i I, j J} nende ühisjaotus. On küllaltki lihtne veenduda, et suvalise funktsiooni g : IR 2 IR korral on Z = g(x, Y ) samuti diskreetne juhuslik suurus. Osutub, et juhuslike suuruste X ja Y ühisjaotuse abil on küllalt lihtne arvutada juhusliku suuruse Z keskväärtust. Teoreem 61 Olgu X ja Y juhuslikud suurused ühisjaotusega {(x i, y j, p ij ) : i I, j J} ning olgu g : IR 2 IR selline funktsioon, et juhuslik suurus g(x, Y ) omab keskväärtust. Sel juhul kehtib v~ordus Eg(X, Y ) = g(x i, y j )p ij. i I j J Analoogilise valemi saab t~oestada kolme- v~oi enamamuutuja funktsioonide jaoks. Eelneva teoreemi abil saab t~oestada keskväärtuse ja dispersiooni täiendavaid omadusi. Lemma 62 Olgu X ja Y keskväärtust omavad diskreetsed juhuslikud suurused. Siis kehtivad järgmised tulemused 1. Keskväärtuse lineaarsus: E(αX + βy ) = αex + βe(y ) α, β IR. 2. Kui X ja Y on s~oltumatud, siis E(XY ) = EX EY. 21

22 3. Kui X ja Y on l~oplikku dispersiooni omavad juhuslikud suurused, siis kehtib v~ordus D(X + Y ) = DX + DY + 2cov(X, Y ), kus cov(x, Y ) = E[(X EX)(Y EY )]. Lemma 63 Olgu X, Y ja Z l~oplikku dispersiooni omavad juhuslikud suurused. Siis kehtivad valemid 1. cov(x, X) = DX; 2. cov(x, Y ) = E(XY ) EX EY ; 3. kui X ja Y on s~oltumatud, siis cov(x, Y ) = 0; 4. cov(α X + β Y, Z) = α cov(x, Z) + β cov(y, Z) α, β IR; 5. cov(x, Y ) = cov(y, X). 22

23 Peatükk 3 Jaotusfunktsioonid. Pidevad juhuslikud suurused Käesolevas peatükis käsitletakse juhuslike suuruste üldisi omadusi ning samuti selliseid juhuslikke suurusi, mille väärtuste hulk ei ole loenduv. 3.1 Jaotusfunktsioonid Olgu meil antud t~oenäosusruum (Ω, F, P ). K~oigepealt moditseerime juhusliku suuruse denitsiooni nii, et see sobiks suvaliste juhuslike suuruste jaoks. Denitsioon 64 Funktsiooni X : Ω IR nimetatakse juhuslikuks suuruseks, kui {ω Ω : X(ω) x} F iga reaalarvu x korral. Küllaltki lihtne on veenduda, et eelnevalt deneeritud diskreetne juhuslik suurus on juhuslik suurus ka ülaltoodud denitsiooni kohaselt (harjutus lugejale!). Juhusliku suuruse denitsioon garanteerib, et hulgad {ω Ω : X(ω) x} (ehk lühemalt hulgad {X x}) on sündmused, seega saame arvutada ka nende t~oenäosusi. Denitsioon 65 Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F (x) = P ({X x}), x IR. Näide 66 Olgu X diskreetne juhuslik suurus, mille jaotustabeliks on x i p i 0,2 0,5 0,3. Siis on juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks 0, kui x < 1, 0, 2 kui 1 x < 2, F (x) = 0, 7 kui 2 x < 3, 1 kui x 3. Küllaltki lihtne on veenduda, et iga diskreetse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on tükiti konstantne ning on katkev juhusliku suuruse v~oimalikele väärtustele vastavates punktides, kusjuures punktis x i suureneb jaotusfunktsiooni väärtus p i v~orra. K~oikidel jaotusfunktsioonidel on mitmeid ühiseid omadusi. 23

24 Lemma 67 Olgu X juhuslik suurus ning F tema jaotusfunktsioon. Siis kehtivad järgnevad omadused F (x) 1 iga x IR korral. 2. F on monotoonselt kasvav: kui x 1 < x 2, siis F (x 1 ) F (x 2 ). 3. Kehtivad piirväärtused lim F (x) = 0, lim x F (x) = 1. x 4. F on paremalt pidev: lim F (x) = F (a) x>a,x a a IR. 5. Kehtib v~ordus P ({X = a}) = F (a) lim F (x). x<a,x a 6. Kehtib v~ordus P ({a < X b}) = F (b) F (a). Eelnevast lemmast järeldub, et kui jaotusfunktsioon on pidev punktis a, siis P ({X = a}) = 0. Mittediskreetsetest juhuslikest suurustest on k~oige lihtsam tegeleda sellistega, mille jaotusfunktsioonid on esitatavad integraali kujul. Denitsioon 68 Juhuslikku suurust X nimetatakse pidevaks, kui tema jaotusfunktsioon on esitatav kujul x F (x) = f(s) ds mingi funktsiooni f korral. Funktsiooni f nimetatakse juhusliku suuruse X tihedusfunktsiooniks. Kuna integraal ülemise raja funktsioonina on pidev, siis pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on pidev funktsioon. Saab näidata, et vastupidine ei kehti: leidub pidevaid jaotusfunktsioone, mis ei ole denitsioonis toodud kujul integraalina esitatavad. Jaotusfunktsiooni omadustest järelduvad tihedusfunktsiooni järgnevad omadused: Lemma 69 Olgu X pidev juhuslik suurus tihedusfunktsiooniga f. Siis kehtivad järgnevad omadused: 1. tihedusfunktsioon on mittenegatiivne: f(x) 0, 2. kehtib v~ordus f(x) dx = 1, 3. kui F on diferentseeruv punktis x, siis f(x) = F (x), 4. suvaliste reaalarvude a b korral kehtivad v~ordused P ({X (a, b)}) = P ({X [a, b)}) = P ({X (a, b]}) = P ({X [a, b]}) = b a f(x) dx. 24

25 3.1.1 Pidevate juhuslike suuruste arvkarektiristikud. Pidevate juhuslike suuruste jaotuste näited Denitsioon 70 Olgu X pidev juhuslik suurus tihedusfunktsiooniga f, mis rahuldab tingimust x f(x) dx <. Siis omab juhuslik suurus (l~oplikku) keskväärtust, mis on deneeritud valemiga EX = x f(x) dx. Lebesque integraali teooriat kasutades saab t~oestada järgneva valemi kehtimise juhusliku suuruse X funktsioonina deneeritud juhusliku suuruse keskväärtuse arvutamisek. Lemma 71 Olgu X pidev juhuslik suurus tihedusfunktsiooniga f ning olgu g : IR IR selline tükiti pidev funktsioon, et g(x) f(x) dx <. Siis E(g(X)) = g(x)f(x) dx. Dispersioon on ka pidevate juhuslike suuruste korral deneeritud keskväärtuse kaudu: DX = E[(X EX) 2 ], eelnev lemma v~oimaldab seda integraalina arvutada, samuti on lihtne näha, et arvutusvalem DX = E(X 2 ) (EX) 2 kehtib ka pidevate juhuslike suuruste korral. Denitsioon 72 Arvu a, mis rahuldab tingimust P ({X < a}) = P ({X > a}) = 1 2 nimetatakse juhusliku suuruse X mediaaniks. Saab näidata, et kui juhusliku suuruse X tihedusfunktsioon on sümmeetriline mingi punkti a suhtes, siis a on selle juhusliku suuruse puhul nii keskväärtuseks kui ka mediaaniks, ebasümmeetriliste tihedusfunktsioonide korral v~oivad keskväärtus ja mediaan olla küllaltki erinevad. Vaatleme m~oningaid tuntud pidevate juhuslike suuruste jaotusi Ühtlane jaotus Denitsioon 73 Öeldakse, et juhuslik suurus X on ühtlase jaotusega l~oigul [a, b] (tähistatakse X U(a, b), kui tema tihedusfunktsioon avaldub kujul { 1 f(x) = b a, kui x [a, b] 0 mujal. 25

26 Ühtlase jaotusega juhusliku suuruse jaotusfunktsioon avaldub kujul 0, kui x < a, F (x) = x a b a, kui a x < b 1 kui x b. Keskväärtus on denitsiooni p~ohjal EX = x f(x) dx = b a x b a dx = x 2 2(b a) b x=a = a + b 2 ning dispersioon avaldub valemina DX = E[(X EX) 2 ] = b a (x a + b 2 )2 1 b a 2 )3 a+b (x dx = 3(b a) b a = (b a)2. 12 Kuna tihedusfunktsioon on sümmeetriline punkti x = a+b 2 suhtes, siis on ühtlase jaotusega juhusliku suuruse mediaaniks a+b 2 (sama tulemuseni j~ouame v~orrandi F (x) = 1 2 lahendamisega) Eksponentjaotus Denitsioon 74 Öeldakse, et juhuslik suurus X on eksponentjaotusega parameetriga λ (λ > 0, tähistatakse kujul X Exp(λ)), kui tema tihedusfunktsiooniks on { 0, kui x < 0, f(x) = λ e λx, kui x 0. Eksponentjaotusega juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks on { 0, kui x < 0, F (x) = 1 e λx, kui x 0. Ositi integreerides saame keskväärtuseks EX = x λ e λx = 1 0 λ, ning dispersiooniks DX = EX 2 (EX) 2 = 0 x 2 λ e λx dx 1 λ 2 = 1 λ 2. V~orrandi F (x) = 1 2 lahendamisel saame leida mediaani: 1 e λx = 1 2 x = ln 2 λ. 26

27 3.1.4 Normaaljaotus Denitsioon 75 Juhuslik suurus X on normaaljaotusega parameetritega µ IR ja σ > 0 (tähistatakse X N(µ, σ)), kui tema tihedusfunktsioon avaldub kujul f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, x IR. Parameetritega µ = 0, σ = 1 normaaljaotust nimetatakse standardseks normaaljaotuseks. Veendume k~oigepealt, et denitsioonis antud funktsioon sobib jaotusfunktsiooniks. Selleks peame kontrollima, integraal temast on 1. Tähistame I = f(x) dx, siis muutujavahetust s = x µ σ Seega I 2 = 1 2π e s2 2 kasutades saame 1 I = e s2 2 ds. 2π ds 1 e t2 2 dt = 2π 1 2π e s 2 +t 2 2 ds dt. Kasutades kahekordses integraalis üleminekut polaarkoordinaatidele s = r cos θ, t = r sin θ saame 2π I 2 1 = 2π e r 2 1 2π 2 r dr dθ = dθ e r2 r 2 2 d( 2π 2 ) = Kuna I > 0, siis siit järeldub v~ordus I = 1, seet~ottu on t~oepoolest iga µ ja σ > 0 korral tegemist tihedusfunktsiooniga. Järgnevalt näiteme, et jaotusega N(µ, σ) juhusliku suuruse keskväärtuseks on µ ja dispersiooniks σ 2. Arvutame k~oigepealt keskväärtuse. Denitsioonist lähtuvalt saame EX = = σ 2π x f(x) dx = (x µ) = σ 2π ( e (x µ)2 = µ. σ 2 2σ 2 ) x= 0 (x µ + µ)f(x) dx e (x µ) 2 2σ 2 dx + µ + µ 0 f(x) dx Dispersiooni arvutamisel tuleb kasutada ositi integreerimist: DX = E[(X EX) 2 ] = 1 σ (x µ) 2 e (x µ)2 2σ 2 2π = σ [ ] x µ (x µ) 2π σ 2 e (x µ) 2 2σ 2 dx = σ (x µ)( e (x µ)2 2σ 2 ) 2π + σ x= 2π = 0 + σ 2 f(x) dx = σ 2. dx e (x µ)2 2σ 2 dx 27

28 Normaaljaotuse jaotusfunktsioon ei ole esitatav elementaarfunktsioonide kaudu, seet~ottu tema väärtuste arvutamiseks tuleb kasutada numbrilisi meetodeid v~oi tabeleid. Standardse normaaljaotuse jaotusfunktsiooni väärtuste tabelid on laialdaselt saadaval ning järgnev lemma v~oimaldab suvaliste parameetritega normaaljaotusega juhusliku suuruse X väärtuse mingisse vahemikku kuulumise t~oenäosust taandada standardse normaaljaotuse jaotusfunktsiooni kasutamisele. Lemma 76 Olgu X pidev juhuslik suurus jaotusega N(µ, σ). Siis juhuslik suurus Y = on standardse normaaljaotusega. X µ σ T~oestus. Paneme tähele, et juhusliku suuruse Y jaotusfunktsioon avaldub kujul F Y (y) = P ({Y y})p ({ X µ σ y}) = P ({X σy + µ}) = F X (σy + µ), seega Y on pidev juhuslik suurus ning tema tihedusfunktsioon avaldub kujul f Y (y) = F Y (y) = d dy (F X(σy + µ)) = f X (σy + µ) σ = 1 2π e (σy+µ µ)2 2σ 2 = 1 2π e y2 2. Kuna Y tihedusfunktsiooniks on standardse normaaljaotuse tihedusfunktsioon, siis oleme sellega näidanud, et Y N(0, 1). Näide 77 Olgu X N(1, 3). Leiame P ({0 < X 3}). Selleks deneerime Y = X 1 3 ning paneme tähele, et seet~ottu {0 < X 3} = { < Y }, P ({0 < X 3}) = P ({ 1 3 < Y 2 3 ) = Φ(2 3 ) Φ( 1 3 ), kus Φ on standardse normaaljaotuse jaotusfunktsioon. Kuna standardse normaaljaotuse tihedusfunktsioon on sümmeetriline nullpunkti suhtes, siis kehtib valem Φ( x) = 1 Φ(x) x IR, seega v~oime tulemuse esitada ka kujul P ({0 < X 3}) = Φ( 2 3 ) + Φ(1 3 ) 1. Tabelitest leiame Φ( 2 3 ) , Φ(1 3 ) , seega on otsitav t~oenäosus ligikaudu 0, Mitmem~o~otmelised pidevad juhuslikud suurused Sageli määratakse ühes katses mitme pideva juhusliku suuruse väärtused (näiteks inimese pikkus ja kaal). Sellisel juhul ei aita paljude huvipakkuvate sündmuste t~oenäosuste arvutamiseks nende juhuslike suuruste jaotustest, vaid on vaja informatsiooni selle kohta, kuidas need juhuslikud suurused koos käituvad. Denitsioon 78 Juhusliku vektori (X, Y ) jaotusfunktsiooniks (ehk juhuslike suuruste X ja Y ühisjaotuse jaotusfunktsiooniks) nimetatakse funktsiooni F X,Y (x, y) = P ({X x, Y y}), x, y IR. 28

29 Lemma 79 (Juhusliku vektori jaotusfunktsiooni omadused). Olgu (X, Y ) juhuslik vektor jaotusfunktsiooniga F X,Y. Siis kehtivad järgnevad omadused 1. 0 F X,Y (x, y) 1 (x, y) IR 2, 2. F X,Y on kummagi muutuja järgi paremalt pidev igas punktis, 3. lim y F X,Y (x, y) = F X (x) x IR, lim x F X,Y (x, y) = F Y (y) y IR, 4. lim F X,Y (x, y) = 0 x IR, lim F X,Y (x, y) = 0 y IR. y x Denitsioon 80 Juhuslikku vektorit (X, Y ) nimetatakse pidevaks, kui tema jaotusfunktsioon avaldub kujul x ( y ) F X,Y (x, y) = f X,Y (u, v) dv du, x, y IR mingi funktsiooni f X,Y : IR 2 IR korral. Funktsiooni f X,Y nimetatakse sel juhul juhusliku vektori (X, Y ) tihedusfunktsiooniks (ehk juhuslike suuruste X ja Y ühistiheduseks). Lemma 81 (Tihedusfunktsiooni omadused) Olgu (X, Y ) pidev juhuslik vektor jaotusfunktsiooniga F X,Y ja tihedusfunktsiooniga f X,Y. Siis kehtivad järgmised omadused: 1. Funktsioon f X,Y on mittenegatiivne, st f X,Y (x, y) 0 (x, y) IR 2 ; 2. kehtivad v~ordused f X (x) = f Y (y) = f X,Y (x, y) dy, f X,Y (x, y) dx, f(x, y) dx dy = 1 3. Kui D IR 2 on Boreli σ-algebra suhtes m~o~otuv hulk (st esitatav loenduva arvu ristkülikute abil kasutades ühendeid, ühisosasid ja täiendeid), siis P ({(X, Y ) D}) = f X,Y (x, y) dx dy. 4. Kui g : IR 2 IR on piisavalt heade omadustega funktsioon (nt pidev v~oi selline, mille valemit me oskame kirja panna) ning IR 2 g(x, y) f X,Y (x, y) dx dy <, D siis E(g(X, Y )) = IR 2 g(x, y)f X,Y (x, y) dx dy. 29