1. ANALIZA DIMENSIONALĂ

Transcript

1

2

3 . ANALIZA DIMENSIONALĂ.. MĂSURARE, TEOREMA FUNDAMENTALĂ A UNITĂŢILOR DE MĂSURĂ Sopl fiziii este aela de a stabili legile în vittea ăoa se desfăşoaă poesele din nată. Aeste legi pot fi epimate atât sb fomă alitativă ât şi sb fomă antitativă. Foma alitativă a nei legi fizie m a fi Cvinte heie Măimi fizie măsabile Unitate de măsă Teoema fndamentală a nităţilo de măsă afimaţia n op lăsat libe ade spe spafaţa Pământli este de ele mai mlte oi pea vagă pent a avea apliaţii patie. De aeea, este neesaă stabiliea nei fome antitative pent fieae lege a fiziii. Foma antitativă a nei legi a fiziii este o elaţie matematiă înte măimi fizie măsabile. Măimile fizie măsabile snt, aşa m le spne şi nmele, aele măimi fizie ae pot fi măsate. Iată definiţia măsăii : Măsaea nei măimi fizie înseamnă ompaaea ei antitativă o măime fiziă de aeeaşi nată, aleasă a nitate de măsă. De eempl, măsaea dimensinilo nei amee pasl înseamnă a stabili de âte oi este mai mae lngimea ameei (adiă lngimea fiziă măsabilă) deât lngimea pasli (nitatea de măsă). difeite : om folosi în ontinae mătoaele notaţii : A măimea fiziă măsabilă <A> nitatea de măsă a valoaea nmeiă ezltată în ma măsăii Înte aeste măimi eistă mătoaea elaţie : A a A Evident, aeeaşi măime fiziă poate fi măsată doă nităţi de măsă A a ; a A Făând apotl elo doă valoi nmeie, ezltă : 3 A A

4 a a Aeastă elaţie a pimit denmiea de teoema fndamentală a nităţilo de măsă şi se ennţă astfel : Măsând o măime fiziă doă nităţi de măsă difeite, apotl valoilo nmeie obţinte este inves popoţional apotl elo doă nităţi de măsă, fiind independent de măimea fiziă măsată A A.. SISTEME DE UNITĂŢI DE MĂSURĂ, SISTEMUL INTERNAŢIONAL DE UNITĂŢI DE MĂSURĂ (SI) Cvinte heie Fomla matematiă şi fomla fizia Sistem de nităţi de măsă Coefiienţi paaziţi Măimi fizie fndamentale, espetiv deivate Sisteme oeente de nităţi de măsă Foma antitativă a nei legi fizie poate fi epimată în doă modi difeite : fomla matematiă, adiă elaţia matematiă dinte măimile fizie A f ( A,A...,A n ) fomla fiziă, adiă elaţia matematiă dinte valoile măimilo fizie g ( a,a ) a...,a n În geneal, deteminaea nei legi a fiziii se fae pe ale epeimentală, găsind-se oelaţiile înte valoile măimilo fizie ae intevin. Aeste valoi snt stabilite tilizând nităţi de măsă speifie fieăeia dinte măimile fizie impliate. Totalitatea nităţilo de măsă ataşate măimilo fizie noste la n moment dat se nmeşte sistem de nităţi de măsă. Daă nităţile de măsă apaţinând ni sistem de nităţi de măsă snt definite în mod abita atni sisteml de nităţi de măsă se nmeşte inoeent. Folosiea ni sistem de nităţi de măsă inoeent geneează neajnsi în eea e piveşte elaţia dinte fomlele fiziă şi matematiă ale nei legi a fiziii. Pent a înţelege mai bine impliaţiile tilizăii sistemelo de măsă inoeente, să eaminăm mătol : 4

5 EXEMPLU ptem etage mătoaele date din Mesl Tenilo : km loalitatea A-8 P-83 E-8 A-89 Beşti : 8:5 9:5 9: 9 Cilniţa :6 :9 - :9 46 Feteşti :5 :4 - :3 9 Medgidia 3:37 :35 - :3 5 Constanţa 4: 3:34 :4 :4 Repezentând gafi distanţa pasă în fnţie de oa teeii pin găi, obsevăm ă legea de deplasae a elo pat teni este similaă, fiind apoimativ o fnţie liniaă de timp a a pes epes avion Mah Daă onvenim să notăm panta aesto depte şi s-o nmim viteză, ptem sie fomla matematiă oespnzătoae legii de deplasae a tenilo sb foma : D ( T T ) nde : D măimea fiziă distanţa pasă T măimea fiziă oa de sosie T măimea fiziă oa de pleae măimea fiziă este o măime fiziă măsabilă am ptea onveni să alegem a nitate de măsă a măimii viteza snetli în ae, astfel înât n mobil ae se deplasează o viteză egală viteza snetli în ae ae viteza de mah. 5

6 epeimental, ptem onstata ă n avion zbând viteză egală ea a snetli ajnge la Constanţa la minte dpă pleaea din Beşti. fomla matematiă a legii de deplasae a avionli ae aeeaşi fomă a şi în azl tenilo : D ( T T ) daă pent a epima legea de mişae a avionli am înea să folosim o fomlă fiziă asemănătoae fomlei matematie, a tebi să siem : dbesti-constanta vavion ( t t ) avion înloind valoile nmeie a ezlta : 5 (km) (mah) (min) evident, aeastă elaţie este inoetă matemati! de aeea, tebie să siem fomla fiziă sb foma : d K v ( t t ) nde K este o onstantă de popoţionalitate, denmită oefiient paazit, ae ae oll de a oeta din pnt de vedee matemati fomla fiziă. Rezltă : 5 K (km) (mah) (min) sa : 5 km K mah min Dei fomla fiziă oespnzătoae fomlei matematie : D ( T T ) este : 5 d v ( t t ) Cele doă modi de epimae ale aeleiaşi legi a fiziii snt difeite, fapt ae epezintă onseinţa alegeii abitae a elo tei nităţi de măsă folosite (kilomet, mint şi mah). Disepanţa dinte fomla fiziă şi fomla matematiă n împiediă măsaea vitezei tenli : astfel, în azl aeleatli 8 obţinem : 5 5 v8 ( 4 : -: ) km ( km) ( h min)( h min) mah min sa : 6

7 sa : 5 km 5 8 mah min ( km) v 9 ( min ) v 9 8,573 ( mah ) C toate aestea, fomele difeite ale fomlei fizie şi fomlei matematie impliă difiltăţi ae pot fi înlătate ennţând să mai alegem în mod abita toate nităţile de măsă sa : Astfel, daă impnem ondiţia a fatol K să fie egal nitatea, ezltă : v 5 avion ( km ) (min 5 km v avion min Dei oefiientl paazit dispae, ondiţia de a măsa viteza în kilometi pe mint. Măimile fizie ale ăo nităţi de măsă pot fi alese abita se nmes măimi fizie fndamentale, ia nităţile lo de măsă nităţi de măsă fndamentale. Unităţile de măsă ae se epimă în fnţie de nităţile de măsă ale alto măimi fizie se nmes nităţi de măsă deivate, ia măimile fizie oespnzătoae se nmes măimi fizie deivate. Conlziile snt mătoaele : ) Pent eliminaea oefiienţilo paaziţi ae apa în fomla fiziă a no legi ale fiziii, este neesa a o pate dinte măimile fizie folosite să fie măimi fizie deivate. Eliminând totalitatea oefiienţilo paaziţi ae pot fi eliminaţi, obţinem n sistem de nităţi de măsă având n nmă minim de măimi fizie fndamentale. Aest sistem de nităţi de măsă se nmeşte sistem de nităţi de măsă oeent. Când eistă N măimi fizie distinte şi n legi fizie independente pot fi eliminaţi n oefiienţi paaziţi. 7

8 Obţinem în aest az n elaţii înte nităţile de măsă ale elo N măimi fizie. Pin mae, nmăl nităţilo de măsă fndamentale este egal (N - n). Notând măimile fizie fndamentale : F, F... F N-n şi nităţile lo de măsă (stabilite abita) : F, F... F N n ezltă ă nităţile de măsă deivate se pot epima a podse ale no anmite ptei ale nităţilo fndamentale : A ϕk ϕk k F F... F N n ϕ ( N n)k În istoia ştiinţei şi tehniii s-a folosit divese sisteme oeente de nităţi de măsă. Utilizaea lo simltană ptea de la onfzii. De aeea pin hotăâea Confeinţei Geneale de Măsi şi Getăţi (Pais, 96) s-a adoptat n sistem de nităţi de măsă ni pe plan intenaţional. Aesta poată denmiea de Sisteml Intenaţional de Unităţi de Măsă sa, pestat, SI. Sisteml Intenaţional este n sistem oeent ae pinde şapte măimi fizie fndamentale, nmite dimensini ale sistemli de nităţi. Tabell măto pinde lista măimilo fizie fndamentale ale Sistemli Intenaţional : Măimea fiziă Simboll dimensional Unitatea de măsă Simboll nităţii de măsă lngime L met m timp T sendă s masă M kilogam kg tempeată Θ kelvin K antitate de sbstanţă N kilomol kmol intensitate a entli I ampe A eleti intensitate lminoasă E andelă d Toate ele şapte nităţi de măsă fndamentale snt definite în mod abita (de eempl, kelvinl este a 73,6-a pate din intevall de tempeată înte zeo absolt şi tempeata pntli tipl al apei distilate). Toate elelalte nităţi de măsă tilizate de Sisteml Intenaţional snt nităţi de măsă deivate (de eempl, viteza se măsoaă în meti pe sendă). Alăti de nităţile de măsă fndamentale şi deivate eistă şi aşa nmitele nităţi de măsă toleate. Unităţile de măsă toleate a ămas în z din mai mlte motive. Astfel, nele dinte ele snt tadiţionale (de eempl, all-ptee : CP 735,5 W), ia altele snt patie (de eempl, e,6-9 J). C toate aestea, tilizaea nităţilo de măsă toleate n este eomandată. 8

9 .3. OMOGENITATEA DIMENSIONALĂ A LEGILOR FIZICII, FORMULA DIMENSIONALĂ Cvinte heie Condiţia de omogenitate Fomla dimensională a nei măimi fizie A UNEI MĂRIMI FIZICE Fie n de nităţi de măsă sistem oeent şi fie F, F... F m măimile fizie fndamentale ale aestia. Fie de asemenea fomla matematiă A f ( A,A,...A n ) şi fomla fiziă a f ( a,a,...a n ) ale nei legi a fiziii. Deoaee sisteml de nităţi de măsă este oeent, foma matematiă a elo doă fomle este identiă. În aeastă sitaţie, nitatea de măsă a măimii A se epimă astfel : f ( A,A,...An ) A f a,a,...a ( ) n Da, nitatea de măsă A n poate depinde de valoile patilae a, a,... a n pe ae le ia măimile fizie A, A,... A n! Rezltă ă legea fiziă a f ( a,a,...a n ) tebie să fie o fnţie omogenă în apot nităţile de măsă ale măimilo fizie de ae depinde : f α αn ( A,A,...A ) f ( a A,a A,... a A ) A α A... A f ( a,a,... a ) n n n Aeastă einţă ae tebie satisfătă de legea fiziă se nmeşte ondiţia de omogenitate. Daă ondiţia de omogenitate este satisfătă, ezltă : A A α A Pe de altă pate, nităţile de măsă deivate A, A,... A n se epimă în fnţie de nităţile fndamentale, onfom elaţiilo : α... A n ϕk ϕk k F F... F m mk A Înloind în elaţia ezltată din ondiţia de omogenitate, obţinem : F sa : ϕ F ϕ... F F ϕ F ϕm m ϕ F α ϕ ϕ α α ϕ ϕm ϕ n ϕn ϕmn ( F F... F ) ( ) n m... F F... Fm ϕ... F m α... ϕ n α ϕ n m... F F m ϕ ϕ α ϕ α ϕ n α ϕ m m n α... ϕ n α α... ϕ Deoaee nităţile de măsă F, F,... F m a fost definite abita, elaţia poate fi satisfătă doa daă eponenţii aeleiaşi nităţi de măsă valoi egale în ei doi membi ai eaţiei : mn n α n n 9

10 ϕ ϕα ϕα... ϕnα n ϕ ϕα ϕα... ϕnα n... ϕm ϕmα ϕmα... ϕmnα n Aeste elaţii pot fi pse sb foma matiială : ϕ ϕ ϕ... ϕn α ϕ ϕ ϕ... ϕn α ϕm ϕm ϕm... ϕmn α m Ele snt ehivalente mătoaei fomlăi a ondiţiei de omogenitate : Temenii nei epesii matematie, ae oespnde nei legi a fiziii, tebie să aibă aelaşi gad de omogenitate în apot fieae dinte nităţile de măsă fndamentale. De eempl, o epesie de tipl : 3 at s 3 nde s spaţil pas, a aeleaţia şi t timpl neesa, n poate epezenta o lege oetă a fiziii deoaee membl stâng ae nitatea de măsă s m m s ia membl dept nitatea 3 at 3 SI SI m s s 3 m nefiind espetată ondiţia de omogenitate (ezltă : m s m s!? ) Să pespnem am ă în adl ni sistem oeent de nităţi de măsă, edefinim nităţile de măsă fndamentale, onfom elaţiilo F K F i adiă noa nitate de măsă este n mltipl al vehii nităţi, fatol K i fiind doa n oefiient nmei. În ma aestei tansfomăi, măimile fizie fndamentale ale sistemli ămân aeleaşi. Condiţia de omogenitate i i s F ϕ F ϕ... F m ϕ m F ϕ α ϕ α... ϕ n α n devine : F ϕ α ϕ α... ϕ n α n... F m ϕ α ϕ m m α... ϕ mn α n

11 K ϕ F...K ϕ m ϕ...k ϕ m α.. ϕ m m mn α n F m m n ϕmα.. ϕmnαn m ϕ ϕα ϕα ϕn ϕ ϕα.. ϕnα n K F ϕ K ϕα.. ϕ α n F ϕ α.. ϕ În vittea ondiţiei de omogenitate,... α n, ezltând : K În final, toţi oefiienţii nmeii se simplifiă, ămânând-ne : F ϕ... F m ϕ m ϕα.. ϕnα n ϕmα.. F... F m ϕ mn α n n α n Dei deşi nităţile de măsă se shimbă, ondiţia de omogenitate n se modifiă! C alte vinte, ondiţia de omogenitate este independentă de nităţile de măsă ale măimilo fizie fndamentale ale sistemli de nităţi de măsă. Deoaee ondiţia de omogenitate depinde doa de alegeea măimilo fizie fndamentale, ptem intode noţinea de dimensine asoiată nei măimi fizie fndamentale F i, notată [F i ]. În aeste ondiţii, elaţiilo înte nităţile de măsă deivate şi nităţile de măsă fndamentale : ϕk ϕk k F F... F m mk A le oespnd elaţii asemănătoae înte dimensinea măimii deivate şi dimensinile măimilo fndamentale : ϕ k ϕ A F F k ϕ... F [ ] [ ] [ ] [ ] mk k Aest tip de elaţie poată nmele de fomlă dimensională a nei măimi fizie. În fnţie de oneptl de dimensine a măimilo fizie, ondiţia de omogenitate se poate efomla astfel : Temenii nei elaţii matematie ae epimă o lege a fiziii tebie să aibă aelaşi gad de omogenitate în apot fieae dinte dimensinile fndamentale ale sistemli de nităţi de măsă onsideat. De eempl, legea : at s nde s spaţil pas, a aeleaţia şi t timpl neesa, poate onstiti o lege a fiziii, deoaee dimensinile elo doi temeni ai elaţiei snt egale : at L [] s L L T ; T L T T m ϕ

12 .4. METODA RAYLEIGH Să pespnem ă sntem în sitaţia de a tebi să deteminăm epesia eată a nei legi înă nenostă fiziii, de foma A f ( A,A,...A n ) Eistă o infinitate de elaţii matematie posibile înte măimile fizie A,A, A n. N toate aeste elaţii matematie a şi sens fizi! Pot avea sens fizi doa epesiile ae veifiă ondiţia de omogenitate α α α [ A ] [ A ] [ A ]...[ An ] n Ce avantaje a ptea ezlta din aest fapt? Pent a înţelege m ptem tiliza ondiţia de omogenitate dimensională, să eaminăm în ontinae n EXEMPLU să onsideăm ă viteza v ae atinge soll n op lăsat libe la o înălţime h depinde şi de masa sa m şi de aeleaţia gavitaţională g feăile se pot neglija ătăm o lege a fiziii de foma v f ( h, m, g ) fomlele dimensionale ale măimilo ae intevin snt L L [] v SI ; [] h SI L ; [ m] SI M ; [] g SI T T onfom ondiţiei de omogenitate dimensională avem : α [] [ ] [ ] [ ] α v h m g α3 sa : sa : L T L α M α L T α - α - α α α3 3 L T M L T M dimensinile sistemli de nităţi de măsă snt măimi independente, eea e ae dept mae faptl ă eponenţii lo din membl stâng tebie să fie egali eponenţii din membl dept al epesiei : α α3 α3 - α solţiile aesti sistem de eaţii snt α, α, ezltă ă elaţia de omogenitate ae foma : α3 [] v [] h [ m] [ g] 3

13 sa : [ v ] [ gh] se ştie ă legea vitezei ădeii libee a ni op în âmpl gavitaţional teest este : v gh ompaând ondiţia de omogenitate dimensională legea vitezei, emaăm asemănaea lo! Difeenţa este dată doa de n oefiient nmei adimensional. Conlzia pe ae o sgeează aest eempl este mătoaea : Cel pţin în anmite azi, epesia matematiă a nei legi a fiziii oespnde până la nii fatoi nmeii adimensionali epesia matematiă a ondiţiei de omogenitate Desig, eempll stdiat a fost nl patila. Să vedem în ontinae m am ptea analiza aeste aspete în azl geneal. Să pespnem ă sntem în ătaea epesiei matematie onete a nei legi a fiziii de fomă impliită : A f ( A,A,...A n ) Condiţia de omogenitate dimensională este : α α α [ A ] [ A ] [ A ]...[ A ] n n Sbstitind antităţile [A ], [A ]... [A n ] pin fomlele lo dimensionale : µ [ ] [ ] [ ] [ ] i µ Ai U U i µ... U m mi ajngem la eaţiile : µ µ α µ α... µ nα n µ µ α µ α... µ nαn... µ m µ mα µ mα... µ mnαn Măimile A, A,...A n fiind noste, eponenţii µ ij snt de asemenea nosţi. Rezltă ă eponenţii α j n pot la toţii valoi abitae. În aeste ondiţii eistă tei sitaţii posibile : Nmăl eaţiilo independente ale sistemli de eaţii, p m, este mai mae deât nmăl n al eponenţilo α j. În aest az, sisteml de eaţii este inompatibil. Sensl fizi al aestei sitaţii matematie este aela ă nmăl măimilo fizie late în onsideae este pea mi, fenomenl stdiat depinzând şi de alte măimi fizie. Legea pe ae o ătăm A f ( A,A,...A n ) n eistă! Nmăl eaţiilo independente ale sistemli de eaţii, p m, este egal nmăl n al eponenţilo α j. În aest az, sisteml de eaţii este ompatibil deteminat, ia eponenţii α j snt ni deteminaţi. Sensl fizi este aela ă eistă o singă elaţie matematiă înte măimile fizie onsideate ae poate să epezinte o lege a fiziii. 3

14 Nmăl eaţiilo independente ale sistemli de eaţii, p m, este mai mi deât nmăl n al eponenţilo α j. În aest az, sisteml de eaţii este ompatibil nedeteminat. Dinte eponenţii α j, p se epimă în fnţie de eilalţi (n - p) eponenţi, laţi a paameti. Sensl fizi este ă eistă mai mlte epesii matematie ompatibile legea fiziă ătată. Cvinte heie Ipoteza li Rayleigh Rayleigh şi-a pops să detemine foma onetă a legii fizie în azile al doilea şi al teilea. Pent aeasta el fae mătoaea afimaţie splimentaă : Ipoteza li Rayleigh : omogenitatea în apot dimensinile măimilo fizie este o onseinţă a omogenităţii în apot însăşi măimile fizie e intevin în epesia nei legi fizie. Matemati aeastă ipoteză se poate epima astfel : α α α α αn A f ( A,A,...An ) [ A ] [ A ] [ A ]...[ An ] A KA A...An nde K este o onstantă nmeiă ([K] ). În azl al doilea, aeastă ipoteză, împenă solţiile sistemli de eaţii α α µ,.. µ α α ( mn ) ( µ,.. µ )... mn ( µ,.. µ ) αn αn mn ne pemit să afimăm ă legea fiziă ătată ae o niă fomă α( µ,... µ mn ) αn ( µ,... µ mn ) A K A... An În azl al teilea, în fnţie de angl nedeteminăii, (n - p), se vo intode paametii λ, λ,... λ n-p, astfel înât solţiile sistemli de eaţii snt de foma : αi αi ( µ,... µ mn ; λ, λ,... λn-p ) Confom ipotezei li Rayleigh, ezltă : A j K j A α j ( µ,... µ mn ; λ, λ,... λ n-p ) α n j ( µ,... µ mn ; λ, λ,... λ n-p )... A adiă A epezintă o smă finită sa infinită de epesii matematie ompatibile legea fiziă etă, difeind na de ealaltă pin valoile paametilo λ. aloile paametilo K j şi λ, pem şi nmăl de temeni ai smei mează să se stabileasă pe ale epeimentală. În final, ptem fae mătoaele obsevaţii aspa metodei Rayleigh : Repezintă o ale lesniioasă pent deteminaea epesiei matematie a no legi fizie simple, ae depind de n nmă eds de paameti. Măiea nmăli de paameti fizii fae metoda ge de apliat Ipoteza li Rayleigh pivind omogenitatea legilo fiziii n este valabilă în toate azile şi de aeea obţinem neoi solţii eonate sa inomplete n 4

15 . MECANICA CLASICĂ Cvinte heie Meaniă Cinematiă Dinamiă Statiă Meaniă analitiă.. INTRODUCERE Meania este ştiinţa ae stdiază mişăile opilo mateiale. Aest stdi pinde doă dieţii esenţiale : noaşteea şi pneea înt-o fomă matematiă a legilo de mişae, espetiv noaşteea azelo ae detemină n anmit tip de mişae. În piml az, vobim despe o amă a meaniii nmită inematiă, ia în al doilea de o altă amă, nmită dinamiă. Daă sisteml fizi stdiat este în ehilib meani, aest ehilib onstitie n az speial, epliat de legile dinamiii şi ae stdiat în patila este sbietl statiii. Matematizaea şi genealizaea legilo dinamiii s-a onstitit înt-n apitol speial al meaniii, denmit meaniă analitiă. Cvinte heie Spaţi Dimensini spaţiale Timp Popietăţile spaţili şi timpli.. CINEMATICA Epeienţa pe ae ne-am însşit-o pin simţile noaste ne spne ă eistăm în spaţi şi spaţil ae tei dimensini. Deşi pot eista mlte disţii efeitoae la noţinea de spaţi, eea e ne inteesează aii este o abodae, simplă, pagmatiă a ealităţii înonjătoae, ae să ne pemită să etagem onlzii şi legi folositoae în ativitatea noastă de fieae zi. Pin mae, ne vom măgini să afimăm mătoaele : Spaţil este infinit în toate dieţiile. Spaţil este omogen şi izotop, adiă popietăţile sale snt aeleaşi în oie pnt şi în oie dieţie. Spaţil ae tei dimensini. O altă peepţie a simţilo noaste este aeea a teeii timpli. C alte vinte, tăim în timp. Se pot spne mlte şi despe timp. Restângând-ne la abodaea pagmatiă despe ae distam, vom afima mătoaele : Timpl se sge linia de la tet spe viito, nifom în spaţi şi independent de pezenţa opilo ae se află în spaţi. 5

16 Cvinte heie Sistem de efeinţă de epas. Spaţil din jl nost este poplat opi mateiale. Unele dinte aeste opi îşi modifiă poziţia în apot elelalte, ia altele n. C late vinte nele opi snt mobile şi se află în stae de mişae, ia altele snt imobile şi se află în stae Ceea e-şi popne CINEMATICA a ştiinţă este să stdieze mişăile şi să găseasă legile dpă ae se desfăşoaă aestea. Legile mişăii pot fi ennţate alitativ, în vinte, sa antitativ, sb fomă de epesii matematie. Foma matematiă a legilo de mişae poate fi stabilită nmai definind măimi fizie măsabile, măsând-le epeimental şi găsind astfel oelaţiile ătate. Refeito la spaţi şi timp, se pot defini doă măimi fizie măsabile : DISTANŢA DURATA În Sisteml Intenaţional de Unităţi de Măsă, distanţele se măsoaă în meti, ia datele în sende. Distanţa (lngimea) şi data (timpl) snt măimi fizie fndamentale ale Sistemli Intenaţional de Unităţi de Măsă. Ca şi oie alte măimi fizie fndamentale, distanţa şi data a nităţi de măsă stabilite abita. Dpă e am definit mişaea a modifiaea poziţiei elative a opilo în spaţi, pe măsa teeii timpli, am vobit despe inematiă a despe ştiinţa ae măeşte să stabileasă foma antitativă a legilo de mişae, am peizat ă foma antitativă a legilo fiziii se poate stabili nmai în ma măsătoilo epeimentale şi ă măsătoile se pot fae doa având la îndemână etaloanele adevate, mai ămâne o singă întebae : ae snt opile ae n se mişă şi ae snt opile în mişae? Răspnsl la aeastă întebae, apaent simplă, este foate ompliat! om da din no o definiţie opeaţională a eea e înseamnă staea de mişae. Pivind slpta din imaginea alătată, ptem obseva ă indifeent nde a fi dsă hia daă s-a afla pe pntea ni vapo ae tavesează oeanl, sa înt-o navetă osmiă distanţele înte ele pat olţi ale ei n se modifiă în timp. Ptem tage onlzia ă espetivele pat olţi fomează n sistem de opi de efeinţă, imobile nele în apot elelalte. Faţă de opl, opile, 3, 4 a vetoii de poziţie,,,3 şi,4. Matemati vobind, aeşti tei vetoi de poziţie alăties o bază de vetoi în spaţil tidimensional. Pin opeaţii matematie elativ simple aeastă bază poate fi tansfomată înt-o bază de tei vetoi otonomaţi e, e y, şi e z ae indiă dieţiile şi sensile a tei ae de oodonate ateziene. 6

17 ,4 e z e,,3 z O z e y y COMENTARIU Constiea sistemli de ae de oodonate a şi afimaţia ă modll ni veso este nita n pespn doa aspete matematie i şi aspete fizie. Rezltatl final este bazat pe noaşteea apoatelo înte modlele elo tei vetoi de poziţie iniţiali. De asemenea, matemati vobind, oodonatele, y şi z snt simple nmee, inapabile să epime pin ele însele poziţia ni op. De aeea, sensl fizi al noţinii de sistem de ae de oodonate pespne eistenţa ni etalon de lngime. Coodonatele, y, z snt nmeele ae aată de âte oi se pinde etalonl de lngime în distanţele O, Oy sa Oz măsate în lngl aelo de oodonate fizie. De altfel, hia şi aele de oodonate din desenl alătat snt de nată fiziă şi n abstată (adiă snt tasate pe n spot mateial, a anmite dimensini spaţiale ş.a.m.d.) e z etol de poziţie al ni pnt din e y y spaţi (zis şi ază vetoae) se epimă în O fnţie de poieţiile otogonale ale pntli pe ele tei ae de oodonate (adiă, pe e st, oodonatele pntli) şi vesoii aelo de oodonate : e y e y z e z În patiă, oodonatele n snt simple nmee, i măimi fizie măsate etalonl de lngime ales. C teeea timpli, poziţia opată de n op se poate modifia în apot opile de efeinţă şi, impliit, în apot sisteml de oodonate. Aestea fiind spse, ajngem în sfâşit la eea e denmeam anteio o definiţie opeaţională a stăii de mişae. Potivit aesteia, mişaea epezintă modifiaea în timp a poziţiei ni op în adl ni sistem de efeinţă. 7

18 Sisteml de efeinţă este n onept fizi ae inlde mătoaele elemente : Un ansambl de opi de efeinţă onsideate fie Un sistem de ae de oodonate, ataşat opilo de efeinţă Un etalon de lngime, adiă o nitate de măsă a distanţelo şi n instment ae se poate fae măsătoaea de lngime (iglă) Un etalon de timp, adiă o nitate de măsă a datelo de timp şi n instment ae se poate fae măsătoaea de timp (eas) Măsaea epeimentală a stăii de mişae a ni op înseamnă în aest ontet deteminaea simltană a valoilo oodonatelo mobilli şi a momentelo de timp oespnzătoae.... Relativitatea mişăii şi a epasli N vom vobi aii despe elativitatea peepţiilo mane, i ne vom înteba despe eva mlt mai onet : snt mişaea sa epasl noţini absolte sa n? Daă aş afima ă baonl von Münhhasen, ălae pe o ghilea în zbo, este în epas, în veme e mell se deplasează o viteză de apoimativ 3 km/s, m-aţi ede pobabil la fel de sine a şi pe elebl mininos-baon, sa la fel de inteligent a pe mel. C toate aestea s-a ptea să am deptate, fieşte omiţând să vă fi sps eva de la bn înept. Ce a fi tebit să vă omni ea ă atni ând mă efeeam la staea de mişae a baonli, opl de efeinţă ea ghileaa, ia ând pomeneam mell, opl de efeinţă ea Soaele. Cei ae m-a fi ontazis a fi făt-o, fieşte, bnă edinţă, da se lăsa ei înşişi înşelaţi de o pejdeată, şi anme ă pământl pe ae ne desfăşăm eistenţa este în epas absolt. Pin mae, aţionamentl lo, bazat pe ideea (şi ea peoneptă) ă o ghilea în zbo se mişă faţă de pământ mai epede deât n mel, li s-a fi păt pefet valabil. Şi, a să înteges şil de idăţenii din aest paagaf, vă voi mai spne ă s-a ptea să am deptate şi atni ând, păstând pământl a sistem de efeinţă, afim ă eistă n inteval de timp, hia şi daă este apaent mi, în ae ghileaa se mişă mai în- 8

19 et deât mell (de eempl, daă ghileaa este lansată vetial în ss, în pntl de înălţime maimă pe ae-l atinge ea este o lipă în epas). Ce onlzii tebie să tagem din ele spse? N se poate vobi în mod absolt despe staea de mişae sa de epas a ni op Înainte de a spne daă n op este în epas sa în mişae tebie să stabilim ae este sisteml de efeinţă faţă de ae stdiem evolţia opli Pin mae, afimăm ă mişaea sa epasl snt noţini elative, înţelegând pin aeasta ă obsevatoi apaţinând no sisteme de efeinţă difeite pot avea peepţii difeite în eea e piveşte staea de mişae a aeliaşi op... Pinipalele măimi inematie Cvinte heie Eveniment Taietoie Lege de mişae În sl mişăii sale, n op mateial tee pint-n şi de stăi. Fieae asemenea stae este aateizată de poziţia în apot sisteml de efeinţă (aateizată de ele tei oodonate spaţiale, y şi z) şi pin momentl de timp t. Gpl fomat din ele tei oodonate spaţiale şi momentl de timp oespnzăto se nmeşte eveniment. Lol geometi al tto pntelo din spaţi pe ae n op le opă în sl întegii sale mişăi se nmeşte taietoie. O fnţie matematiă ae ne pemite aflaea poziţiei ni op la n moment de timp bine stabilit se nmeşte lege de mişae. În geneal, legea de mişae se efeă la vetol de poziţie. Din aest motiv, în azl el mai geneal, ptem sie: ( t) () t y y() t z z() t nde, y şi z snt omponentele vetoli de poziţie. 9

20 Remaaţi ă legea de mişae este o eaţie vetoială, ehivalentă tei eaţii salae efeitoae la omponentele vetoli de poziţie. Aestea din mă se mai nmes eaţiile paametie de mişae. Cvinte heie iteză medie şi momentană Aeleaţie medie şi momentană Pent o analiză antitativă a mişăilo no mobile difeite, este sfiient să ompaăm distanţele pase de aestea în anmite intevale de timp bine deteminate, sa, inves, să ompaăm intevalele de timp neesae pageii aeleiaşi distanţe. Rapotl dinte distanţa pasă de n mobil şi intevall de timp neesa pent aeasta se nmeşte viteză medie. Fomla oespnzătoae aestei definiţii este : d d v m t t t Patia ne aată ă viteza medie n este aeeaşi pe oie poţine de dm! De eempl, daă vă deplasaţi atobzl pin oaş eistă poţini în ae ilaţia este flentă, ia viteza medie mae, şi poţini în ae ilaţia se desfăşoaă getate, eea e se manifestă înt-o viteză medie miă. Rezltă de aii ă infomaţia pinsă în valoaea vitezei medii ae semnifiaţie nmai daă peizăm şi segmentl de dm pe ae ea a fost allată. iteza medie n poate aateiza staea de mişae a ni obiet, adiă n poate ofei o infomaţie legată de n moment onet de timp! Şi atni, m ptem fae distinţia dinte stăile de mişae ale opilo? Simpla peizae a oodonatelo spaţio-tempoale este insfiientă, eea e înseamnă ă este neesaă definiea nei măimi fizie, a ăei valoae măsoaă antitativ difeenţa dinte obietl fi şi el în mişae. Aeastă măime fiziă se nmeşte viteză momentană, sa p şi simpl viteză. Deosebiea înte definiţia dată vitezei medii şi aeea dată vitezei momentane este aeea ă, în azl vitezei momentane, intevall de timp lat în onsideae tebie să fie ât mai st, astfel înât şil de stăi pin ae tee opl să fie ât mai mi (idealizat, să se edă doa la stăi etem de apopiate de staea ăeia i se atibie viteza momentană). Confom elo spse, ptem defini viteza momentană dpă m mează :

21 iteza momentană este măimea fiziă vetoială allată a apotl dinte vetol deplasae şi data neesaă deplasăii, atni ând data este foate miă, adiă este pima deivată a vetoli de poziţie în apot timpl. Fomla oespnzătoae este : d v lim sa v & t t dt taietoie, t, t, t v, t v În figă se poate obseva semnifiaţia geometiă a vetoli viteză. Fie staea maată pint-n eleţ, având vetol de poziţie, la momentl de timp t. Pent a detemina viteza, onsideăm doă momente de timp t < t, t > t, foate apopiate de momentl t. Tasăm vetoii de poziţie la aeste doă momente de timp şi faem difeenţa. Înmlţim vetol salal /( t - t ), găsind astfel vetol v. etol viteză este tangent la taietoie. Ca oie alt veto, vetol viteză ae tei omponente : v d dt & ; v y dy dt dz y& ; vz z& t iteza atibită ni op în mişae se poate şi ea modifia în timp. Cm măsăm ât de epede vaiază aeasta? Este nevoie de o noă măime fiziă, denmită aeleaţie momentană, sa p şi simpl aeleaţie. Pin definiţie : aeleaţia momentană este măimea fiziă vetoială allată a pima deivată a vetoli viteză în apot timpl, sa a doa deivată a vetoli de poziţie în apot timpl. Fomla oespnzătoae este : dv d a sa dt dt a v& & etol aeleaţie ae, în geneal, tei omponente : dv dv d y d y dvz d z a & ; ay && y ; az && z dt dt dt dt dt dt

22 v, t v, t v, t v, t a, t v, t Simila vetol viteză, se poate onsti geometi şi vetol aeleaţie (vezi figa alătată). În geneal, vetol aeleaţie este oientat sb n anmit nghi în apot vetol viteză, ia ei doi vetoi fomează n plan. a t, t a, t Alegând în aest plan doă ae de oodonate pependilae, na dinte ele fi- a n, t ind îndeptată în sensl vitezei, eistă doă omponente ale aeleaţiei : aeleaţia tangenţială, oientată paalel vetol viteză, şi aeleaţia nomală, oientată pependila pe vetol viteză. Evident, vetol aeleaţie n ae şi o omponentă pependilaă pe aest plan. Din ele distate până am eiese faptl ă staea momentană a ni op în mişae este aateizată de tei măimi fizie vetoiale : vetol de poziţie, viteza v şi aeleaţia a, la ae se adagă momentl de timp t. aloile şi oientăile elo tei măimi vetoiale se pot modifia în timp. Fnţiile matematie ae pemit aflaea poziţiei, vitezei sa aeleaţiei la n moment de timp dat se nmes legi de mişae sa eaţii de mişae (legea/eaţia spaţili, legea/eaţia vitezei, sa legea/eaţia aeleaţiei). În pinipi, daă noaştem eaţia aeleaţiei, poziţia şi viteza iniţială ale ni mobil, ptem să deteminăm atât eaţia vitezei, ât şi eaţia spaţili. () ( ) () Astfel, eaţia vitezei se detemină ajtol integalei : v t v t a t dt, ia eaţia spaţili ajtol integalei : () t ( t ) v() t t t dt t t

23 ..3. Clasifiaea mişăilo dpă taietoie şi legea de mişae Clasifiaea mişăilo se poate fae în doă modi : dpă foma taietoiei dpă legea de mişae pe taietoie Cea mai geneală fomă de taietoie este linia bă. Daă taietoia ni mobil este o bă oaeae, spnem ă mobill ae o taietoie bilinie Daă ba ae foma patilaă de e, spnem ă mobill ae o taietoie ilaă Daă ba se ede la o deaptă, spnem ă mobill ae o taietoie etilinie Clasifiaea mişăilo dpă foma taietoiei Cea mai geneală mişae este mişaea vaiată. Înt-o mişae vaiată modll vitezei se modifiă pemanent în timp v t t t Mişaea nifom vaiată este mişaea în ae modll vitezei vaiază a ntităţi egale în intevale de timp egale. v v v t Mişaea nifomă este mişaea în ae modll vitezei este onstant în timp. v t Clasifiaea mişăilo dpă legea de mişae 3

24 Când vobim despe tipl de mişae al ni op tebie să fnizăm ambele infomaţii neesae : foma taietoiei şi legea de mişae. Eistă, astfel, mişăi ilae nifome, mişăi etilinii nifom vaiate, mişăi bilinii vaiate, ş.a.m.d. Un eempl de tip de mişae este mişaea etilinie nifom vaiată. Mişaea etilinie nifom vaiată este mişaea ae se desfăşoaă în linie deaptă şi în ae modll vitezei vaiază antităţi egale în intevale de timp egale. În mişaea etilinie nifom vaiată vetol aeleaţie este pemanent paalel vetol viteză şi, impliit, dieţia mişăii. Din definiţia aeleaţiei momentane : dv a dt ptem afla viteza la momentl t : sa : v v a ( t ) t v v adt Alegând sisteml de efeinţă astfel v a v înât taietoia să se spapnă peste aa O, t, t O, obţinem sitaţia din figa alătată. Se obsevă ă vetol aeleaţie poate avea aelaşi sens a şi vetol viteză, da şi sens ops. Eaţia vetoială sisă anteio se ede în azl aesta la o sing- v a v O, t, t ă eaţie salaă, efeitoae la omponentele vetoilo pe aa O: v v a( t t ) (n itaţi ă valoile nmeie ale măimilo din eaţie snt pozitive daă sensl vetoli oespnzăto oinide sensl aei, espetiv negative în az onta!). sa : t t Eaţia vitezei în mişaea nifom vaiată Pin integaea eaţiei vitezei, se obţine eaţia spaţili : v t t ( t t ) v dt a t [ v a( t t )] t ( t t ) dt v t t t at t t at Eaţia spaţili în mişaea etilinie nifom vaiată t t t 4

25 O altă eaţie impotantă a mişăii nifom vaiate se poate obţine eliminând temenl (t - t ) înte eaţia vitezei şi eaţia spaţili : v v v v a( t t ) ( t t ) a sa : v ( t t ) a( t t ) v v v a v v a a v v ( ) a Aeastă elaţie se nmeşte eaţia li Galilei...4. Tansfomaea Galilei z y y z v v Doă sisteme de oodonate în mişae elativă de tanslaţie nifomă. Fie ele doă sisteme de oodonate din fotogafia alătată. Unl dinte ele este legat de pământ, ia elălalt de avion. Pespnem ă avionl se deplasează etilini şi nifom în apot soll, ia viteza sa v este oientată paalel aa O. Pe e zboaă o pasăe, viteza v faţă de sol şi v faţă de avion. etol de poziţie al păsăii faţă de sol este, ia faţă de avion este. etol de poziţie al avionli faţă de sisteml de efeinţă legat de sol este. NE PUNEM ÎNTREBAREA : CUNOSCÂND POZIŢIA ŞI ITEZA PĂSĂRII FAŢĂ DE UNUL DINTRE SISTEMELE DE REFERINŢĂ, PRECUM ŞI POZI- ŢIA ŞI ITEZA UNUI SISTEM DE REFERINŢĂ FAŢĂ DE CELĂLALT, PU- TEM OARE DETERMINA POZIŢIA ŞI ITEZA PĂSĂRII FAŢĂ DE CEL DE- AL DOILEA SISTEM DE REFERINŢĂ? Mai întâi tebie să ne eamintim ă în meania lasiă se onsideă ă timpl se sge la fel în toate sistemele de efeinţă. Aeasta înseamnă intevalele de timp măsate în ele doă sisteme de efeinţă şi ae se efeă la aelaşi poes snt egale înte ele : t t dt dt. 5

26 Relaţia dinte vetoii de poziţie este : ' Pent ă sisteml de efeinţă mobil (avionl) este în tanslaţie nifomă în apot sisteml de efeinţă fi (soll), ia viteza sa este v, vetol de poziţie poate fi epimat tilizând legea mişăii etilinii nifome ( (i) este vetol de poziţie al oiginii sistemli mobil la momentl de timp t ) : ( i) ( t ) v t În onseinţă, elaţia înte vetoii de poziţie devine : () i Relaţia galileană înte vetoii de poziţie v( t t ) ' iteza mobilli (pasăea) în sisteml de efeinţă legat de sol pima deivată a vetoli de poziţie în apot timpl : ( i d ) ( ) v t t ' d' v v dt dt dt Deoaee dt dt, ia sisteml de efeinţă mobil (avionl) n se oteşte în apot el fi (soll), ezltă ă d /dt d /dt v. Obţinem astfel elaţia galileană de ompnee a vitezelo : v v v' Relaţia de ompnee galileană a vitezelo Deivând viteza în apot timpl, obţinem aeleaţia. Deoaee viteza v este onstantă deivata ei este egală zeo. Rezltă : dv dv' a a' dt dt' Aeleaţia ni mobil ae aeeaşi valoae şi aeeaşi oientae în doă sisteme de efeinţă aflate nl faţă de elălalt în mişae de tanslaţie etilinie şi nifomă. Cvinte heie Relaţiile de tansfomae a oodonatelo ale li Galilei Compneea galileană a vitezelo Cel mai simpl az de mişae elativă de tanslaţie nifomă a doă sisteme de efeinţă este aela în ae momentl iniţial de timp este t, oiginile elo doă sisteme de efeinţă se spapn la momentl iniţial de timp (adiă (i) ), ia aele de oodonate ale ni sistem de efeinţă snt paalele aelea ale elilalt efeenţial (eea e ae dept onseinţă şi elaţia v ±v e ). În aeastă sitaţie, elaţiile înte vetoii de poziţie sa înte viteze devin : ' ± vt v t ' y y', z z' v v v' v v v' v y z v' v' ± v y z 6

27 .3. DINAMICA.3.. Foţe Măsătoile epeimentale a aătat ă, la spafaţa Pământli, în vid, aeleaţia ădeii opilo este apoape onstantă pe toată planeta, vaiind şo de la poli spe Eato. Aeleaţia ădeii libee a opilo în vid se nmeşte aeleaţie gavitaţională şi se notează g. La latitdinea la ae se găseşte ţaa noastă, ea este : g 9,8 m/s. Gavitaţia teestă detemină ădeea nifom aeleată a opilo. Să distăm am o altă epeienţă. Piviţi figa de mai ss. Dispnem de n dispozitiv fomat dint-n tale foate şo, spijinit de n esot elasti, montat, la ândl să, pe n stativ oizontal. Avem, de asemenea, n nmă de bile de oţel identie. Pnând pe tale o bilă, obsevăm ă esotl se stează lngimea. Adăgând o altă bilă, esotl se mai stează şi tot aşa. Cm ptem intepeta obsevaţiile făte? Pima emaă a fi aeea ă pezenţa bilelo pe tale afetează lngimea esotli. Dei, bilele a o inflenţă aspa esotli. De data aeasta inflenţa n se mai manifestă pin aeleaea mişăii, i pin defomae! În al doilea ând, onstatăm ă defomaea este popoţională nmăl de bile aşezate pe tale. Să ne imaginăm ă am topi bilele şi am onfeţiona mateiall ezltat o singă bilă. Pnând-o pe tale am măsa aeeaşi defomae a şi ând pe tale a fi aşezate bilele iniţiale. Dei, defomaea este popoţională antitatea de mateial a opli aşezat pe tale. În al teilea ând, să obsevăm ă daă am monta dispozitivl în poziţie oizontală, n am mai obţine nii-o defomae, ia bila a ădea de pe tale. Dei, inflenţa bilei se manifestă doa pe dieţia şi în sensl în ae ea a ădea libe, inflenţată, la ândl ei, de Pământ. 7

28 Să distăm am şi despe bile. Fieae dinte ele stă în epas pe tale. De e bilele n mai ad? N se mai află ele sb inflenţa Pământli? Răspnsl el mai simpl pe ae îl ptem da este ă talel n spimă inflenţa Pământli, da eeită, la ândl să, o inflenţă aspa bilelo, ae anlează inflenţa Pământli. Ptem despinde de aii o idee fndamentală : deşi azele ae fa a n op să eeite o inflenţă aspa alti op pot fi difeite, efetele aesto inflenţe pot fi ompaate! Faptl ă efetele pot fi ompaate înte ele deshide alea, deosebit de impotantă, a posibilităţii de a măsa efetl inflenţei pe ae o ae n op aspa altia. Un alt aspet impotant elevat de aeastă epeienţă este mătol : se obsevă ă bila inflenţează talel, da şi ă talel inflenţează bila. C alte vinte, eistă o eipoitate : inflenţa pe ae o eeită n op A aspa ni op B este însoţită de n ăspns al opli B aspa opli A. Cvinte heie Foţă Ehilib meani Condiţia de ehilib meani Getate Masă Ineţie om onveni să nmim am înainte, pe st, inflenţa pe ae n op o eeită aspa alti op şi ae ae dept a ezltat shimbaea stăii de mişae sa defomaea aestia din mă : aţinea ni op aspa alti op. Măimea fiziă pin ae măsăm tăia aţinii o vom nmi foţă. Din ele distate până am, ezlta ă aeleaţia sa măimea defomăii se pot onstiti în măsi ale aţinii eeitate de n op aspa alti op. De aeea, foţa a tebi să fie popoţională fie aeleaţia, fie măimea defomăii : F a F g F F Să evenim la epeienţa esotl elasti şi bile. Remaasem ă bila de pe tale ămâne în epas (figa alătată), deşi aspa sa aţionează doă opi : Pământl şi talel (alte inflenţe, m a fi aeea a aeli, pot fi neglijate). Spneam despe ele doă aţini ă se ompensează eipo, eea e epliă ămâneea în ehilib a bilei. Sitaţia în ae aeleaţia ni op este nlă se nmeşte stae de ehilib meani. 8

29 Notând foţele ae aţionează aspa bilei pin F (aţinea Pământli) şi F (aţinea taleli), afimaţia : ele doă aţini se ompensează eipo, eea e epliă ămâneea în ehilib a bilei se poate epima matemati pin ondiţia de ehilib : F - F Remaasem ă aţinea taleli depinde de măimea defomăii esotli, da şi de aateistiile esotli (n esot mai tae se defomează mai pţin deât nl mai slab ). om epima matemati aeasta afimaţie astfel : F k nde este valoaea defomăii, ia k este o onstantă ae ia în onsideae aateistiile esotli şi se nmeşte onstanta de elastiitate. Foţa ae Pământl aţionează aspa bilei se nmeşte getate, fiind notată G (F G). Efetl pe ae-l pode getatea, în absenţa alto foţe, este aeleaea opli aspa ăia aţionează. Pin mae, getatea tebie să fie măsată pin aeleaţia gavitaţională, da şi pint-o măime aateistiă opli, pent ă n toate opile a aeeaşi getate. Remaasem, de asemenea, ă : efetl defomato al aţinii bilei aspa esotli este popoţional antitatea de sbstanţă mateială înglobată în bilă aţinea bilei aspa taleli este ezltatl faptli ă sb inflenţa gavitaţiei bila tinde să oboae Am ptea onlziona de aii ă foţa ae bila aţionează aspa taleli este egală nmei getatea bilei şi ă aeasta din mă este popoţională antitatea de sbstanţă mateială onţintă de bilă. Măimea fiziă ae măsoaă antitatea de sbstanţă mateială onţintă de n op se nmeşte masă şi este notată m. Dei getatea bilei se poate sie a n pods de doi fatoi : G mg Cm getatea este o foţă, ptem fae ipoteza ă, în geneal, oie foţă ae ae a efet aeleaea ni op a tebi să fie popoţională podsl dinte masa opli şi aeleaţia impimată aestia : F ma În patila, în epeienţa pe ae o omentăm, a fi tebit să siem zeol din membl dept al ondiţiei de ehilib astfel m : mg - k m înţelegând astfel ă spapneea a doă aţini difeite este ehivalentă nei singe aţini, nmită aţine ezltantă, ae pode n sing efet măsabil (în azl nost, lipsa aeleaţiei). 9

30 În fine, pent a înheia distaea epeienţei bile şi esot elasti, să ne amintim ă am emaat ă aţinea bilelo aspa taleli este oientată vetial, de ss în jos. Aeasta înseamnă ă foţele snt epezentabile pin măimi vetoiale. Foţa ae talel aţionează aspa bilei este oientată în sens ops vetoli defomae. Pin mae, aeastă foţă se sie astfel : F k Constanta de elastiitate k este n sala pozitiv. Getatea este n veto îndeptat în dieţia şi în sensl aeleaţiei gavitaţionale : G mg Şi masa m este n sala pozitiv. Sb fomă vetoială, ondiţia de ehilib se sie astfel : G F m g k ( ) Mai tebie menţionat ă, înt-o epezentae gafiă, pntl de apliaţie al ni veto foţă tebie să indie opl aspa ăia aţionează foţa. În elaţia : F ma, masa joaă oll nei măimi ae ne aată ât de difiil este să shimbăm staea de mişae a ni op dat. Aeeaşi foţă va aelea mai pţin n op masă mae deât n op masă miă. Din aest motiv, spnem ă în aeastă elaţie masa este o măsă a ineţiei opilo. Ineţia este definită a fiind popietatea opilo de a tinde să-şi păsteze staea de mişae etilinie nifomă sa de epas elativ..3.. Pinipiile dinamiii newtoniene.3... Pinipil ineţiei Am desis în paginile peedente o epeienţă de meaniă. De asemenea, pe baza ei, am tas nişte onlzii ae pa destl de aţionale şi onvingătoae. Totşi, daă am epeta epeienţa înt-o staţie osmiă obitală, onstatăile noaste a fi totl altele : bilele n a mai ădea (ele a fi în stae de impondeabilitate), esotl elasti n s-a mai defoma, et. În aest az, s-a ptea motiva ezltatele pin lipsa gavitaţiei. Din păate pent el ae ede asta, gavitaţia este pezentă şi în inteiol staţiei osmie, ia la altitdini de - km aeleaţia gavitaţională este foate pţin difeită de ea de la nivell solli. În onseinţă tot eşafodajl de onlzii pe ae le-am tas iniţial s-a păbşi. A fi n eşe pent aela ae s-a pipit să tagă onlzii făă să epete epeienţa în mai mlte sisteme de efeinţă, da şi o leţie ae snă astfel : 3

31 Rezltatl nei aeleiaşi epeienţe de meaniă poate depinde de sisteml de efeinţă în ae este efetată! Aestea fiind spse, pae imposibil să nifii toate ezltatele epeimentale înt-o singă teoie. C toate aestea, a fost posibil, ia aela ae a eşit aeastă pefomanţă a fost maele fiziian şi matematiian englez Isaa Newton. Să măim în ontinae esenţa teoiei sale : Si Isaa Newton În onepţia newtoniană, spaţil şi timpl snt absolte. Aeasta înseamnă ă ele eistă independent de pezenţa sa absenţa mateiei şi, în patila, a obsevatoli. În absenţa mateiei, n eistă motive a n pnt al spaţili să se deosebeasă de alt pnt, sa a timpl să se sgă altfel înt-o zonă a spaţili deât în alta. În onseinţă, spaţil libe este omogen şi izotop, ia timpl este nivesal. Să pespnem am ă în Unives eistă n sing op mateial. Evident, el este libe de oie inflenţe etene. Cm se ompotă el în aeastă sitaţie? Răspnsl logi şi fies, pe ae l-a dat Newton, este aela ă el îşi păstează staea iniţială de mişae, adiă oi ămâne în epas, oi se mişă viteză onstantă (ae o mişae etilinie şi nifomă). Evident, n ptem poba pin epeienţă sa teoeti aeastă ltimă afimaţie. Ceea e ptem demonsta epeimental este doa ă în anmite sisteme de efeinţă, în ondiţiile în ae inflenţele etene noste ae se eeită aspa ni op se anlează eipo, opl ămâne în epas sa în mişae etilinie nifomă. De aeea afimaţia li Newton tebie tatată a n pinipi. Un pinipi este o afimaţie onsideată oetă atâta timp ât n se pezintă dovezi epeimentale ae să o ontaziă. În onseinţă, vom spne ă afimaţia li Newton epezintă n pim pinipi la dinamiii, nmit pinipil ineţiei : ÎN LIPSA ACŢIUNILOR EXTERNE, UN PUNCT MATERIAL ÎŞI PĂSTREAZĂ STAREA DE MIŞCARE RECTILINIE UNIFORMĂ SAU DE REPAUS RELATI. PRINCIPIUL INERŢIEI 3

32 În ennţl pinipili ineţiei se foloseşte temenl pnt mateial, ae desemnează n op a ăi mişae poate fi epezentată de mişaea ni sing pnt al să, pnt în ae se onsideă onentată înteaga sa masă. Pot fi onsideate pnte mateiale opile aflate în mişae de tanslaţie sa opile de dimensini mii în apot distanţele ae le sepaă de opile înveinate Sisteme de efeinţă ineţiale şi sisteme de efeinţă neineţiale eţi emaa : Bine, să aeptăm ă epeienţele pe ae le faem la noi în ameă sa în laboatol faltăţii n pa să ontaziă aest pinipi. Da m ămâne ei aflaţi pe staţia obitală?. Aveţi deptate! Pent ei de pe staţie aest pinipi n este valabil! Aeasta înseamnă ă eistă doă mai lase de sisteme de efeinţă : sisteme de efeinţă ineţiale, adiă sistemele de efeinţă în ae este valabil pinipil ineţiei sisteme de efeinţă neineţiale, adiă sistemele de efeinţă în ae n este valabil pinipil ineţiei TOATE CELE CE SE OR DISCUTA ÎN CONTINUARE SE OR REFERI DOAR LA SIS- TEMELE DE REFERINŢĂ INERŢIALE Pinipil fndamental al dinamiii În sistemele de efeinţă ineţiale, epeienţele ne aată ă apliaea nei foţe detemină shimbaea stăii de mişae a opli aspa ăia se aţionează. Dei, efetl foţei este nl dinami : aeleaea opli. Newton a idiat la ang de pinipi aeste obsevaţii epeimentale, ennţând astfel pinipil fndamental al dinamiii : SUB ACŢIUNEA UNEI FORŢE EXTERNE, UNUI PUNCT MA- TERIAL I SE IMPRIMĂ O ACCELERAŢIE AÂND DIRECŢIA ŞI SENSUL FORŢEI, PROPORŢIONALĂ ÎN MODUL CU MODULUL FORŢEI ŞI INERS PROPORŢIONALĂ CU MASA PUNCTULUI MATERIAL : F F ma a m PRINCIPIUL FUNDAMENTAL AL DINAMICII 3

33 Pinipil aţinii şi al eaţinii Să ne mai pnem am o iglă întebae : ptem veifia epeimental pinipil fndamental al meaniii? Daă insistăm a F F esot elasti să-l veifiăm, am ptea fae epeienţa ilstată în figa alătată. C igla măsăm deplasa- easoni ea ăioli, ia easonil data neesaă. Ptem al- 6 la astfel aeleaţia. Masa ăioli o ptem măsa sepaat. Înmlţind aeleaţia masa, a tebi să găsim valoaea foţei, indiată de alngiea esotli elasti. Pae oet, da n este! De e? Pent ă podsl dinte masă şi aeleaţie tebie să fie egal foţa ae aţionează aspa opli, pe ând foţa măsată de esotl elasti este aeea ae aţionează aspa li însşi! Se poate spne : da, da opl este el ae tage de esot foţa măsată, ia epeienţa indiă ă esotl, la ândl să, ăspnde şi el opli o foţă. Poblema ae se pne este : snt aeste doă foţe egale în modl sa n? Daă ăspnsl este DA, atni epeienţa desisă poate fi folosită pent veifiaea pinipili fndamental al dinamiii, ia în az onta n. Poate din aeste motive, genealizând nele obsevaţii epeimentale, Newton a sootit neesa să fomleze n al teilea pinipi al meaniii lasie, denmit pinipil aţinii şi eaţinii. Ennţl să este mătol : DACĂ UN CORP ACŢIONEAZĂ ASUPRA ALTUI CORP CU O FORŢĂ (DENUMITĂ ACŢIUNE), ATUNCI AL DOILEA RĂSPUNDE PRIMULUI CU O FORŢĂ (NUMITĂ REACŢIUNE) EGALĂ ÎN MO- DUL, AÂND ACEEAŞI DIRECŢIE, DAR SENS CONTRAR. PRINCIPIUL ACŢIUNII ŞI AL REACŢIUNII Aeptând valabilitatea aesti pinipi, aeptăm, impliit, posibilitatea măsăii simltane a aeleaţiei ni op şi a foţei ae detemină aeastă aeleaţie. Mai ptem emaa faptl ă aest pinipi este fies şi logi, în sensl în ae stabileşte n soi de demoaţie în inteelaţia dinte doă opi : nii nl dinte ele n este avantajat. Da, fies şi logi n înseamnă ă pinipil este şi demonstat! 33

34 Pinipl aţinii independente a foţelo simltane F F a Realitatea fiziă din jl nost pinde nenmăate opi aflate în inteaţine. O ate aflată pe o masă înseamnă inteaţini înte ea şi masă, înte ea şi ael înonjăto, înte ea şi Pământ, înte filele ei În aeste ondiţii, este ge de ezt ă am ptea găsi ven op aspa ăia să n aţioneze nii-o foţă, sa, evental, să aţioneze o singă foţă. Dată fiind aeastă sitaţie ne mai ptem pne alte doă întebăi : Ce se întâmplă daă aspa ni op aţionează simltan mai mlte foţe? În e măsă aţinea nei foţe este alteată de aţinea altei foţe? Cele tei pinipii ale meaniii n ofeă ăspns aesto întebăi. De aeea, ăspnsl n poate fi deteminat deât pe ale epeimentală. În figa alătată se poate vedea shiţa nei epeienţe ae măeşte să laifie aeste aspete. Epeienţa se desfăşoaă astfel : se aţionează mai întâi foţa F, sepaat. Se măsoaă aeleaţia a şi se detemină dieţia ei. se aţionează apoi foţa F, tot sepaat. Se detemină în aelaşi mod aateistiile aeleaţiei a. se apliă simltan foţele F şi F. Se măsoaă aeleaţia a şi se detemină dieţia sa. Conlzia epeienţei este aeea ă aeleaţia a este sma vetoială a aeleaţiilo a şi a. Genealizaea aestei obsevaţii epeimentale fomează ltiml pinipi al meaniii lasie, nmit pinipil aţinii independente a foţelo simltane : ACCELERAŢIA MIŞCĂRII UNUI PUNCT MATERIAL, SUPUS SIMULTAN ACŢIUNII MAI MULTOR FORŢE, ESTE NUMERIC EGA- LĂ CU SUMA ECTORIALĂ A ACCELERAŢIILOR PE CARE LE-AR IMPRIMA FIECARE DINTRE FORŢE ACŢIONÂND SEPARAT: a F F... m m PRINCIPIUL ACŢIUNII INDEPENDENTE A FORŢELOR SIMULTANE 34

35 În alle, este mai omod să tilizăm o ombinaţie înte pinipil fndamental al dinamiii şi pinipil aţinii independente a foţelo simltane. Astfel, obsevăm ă : F F a... ma F... m m F Compaând epesia pinipili fndamental : m a F ezltă ă sma F F... ae semnifiaţia nei nie foţe, denmită foţa ezltantă şi notată R. De aeea, ptem ennţa ombinaţia elo doă pinipii astfel : Podsl dinte masa şi aeleaţia ni pnt mateial este nmei egal foţa ezltantă ae aţionează aspa pntli mateial : m a R.3.3. Pinipil elativităţii în meania lasiă Am stdiat înt-n apitol anteio ( Tansfomaea Galilei ) azl a doă sisteme de efeinţă ae se află înt-o deplasae elativă etilinie şi nifomă nl faţă de elălalt. O onlzie impotantă ae pivea aeastă sitaţie ea mătoaea : Aeleaţia ni mobil ae aeeaşi valoae şi aeeaşi oientae în doă sisteme de efeinţă aflate nl faţă de elălalt în mişae de tanslaţie etilinie şi nifomă. Citeil dpă ae stabilim ă n sistem de efeinţă ineţial sa n este espetaea pinipili ineţiei, mai peis faptl ă daă ezltanta foţelo etene ae aţionează aspa ni op este nlă, opl îşi păstează staea de mişae etilinie şi nifomă sa de epas elativ. Înt-o asemenea stae aeleaţia mişăii opli este egală zeo. Să pespnem am ă eistă n sistem de efeinţă ineţial, în ae aeleaţia opli este zeo. Confom popietăţilo tansfomăii Galilei, în toate sistemele de efeinţă ae se află în tanslaţie nifomă faţă de sisteml de efeinţă ineţial aeleaţia este de asemenea zeo. Rezltă de aii ă : Fiind dat n sistem de efeinţă ineţial, toate elelalte sisteme de efeinţă aflate în tanslaţie nifomă faţă de aesta snt de asemenea sisteme de efeinţă ineţiale. Pe de altă pate, meania lasiă, bazată pe legile li Newton, mai postlează impliit (postlat teză teoetiă geneală ae este enostă a jstă făă demonstaţie) alăti de popietăţile spaţili şi timpli şi o popietate a masei : 35

36 Masa ni op n depinde de sisteml de efeinţă în ae se află aesta Aeastă afimaţie este aeptată deoaee epeienţa de toate zilele n pae să o pnă la îndoială (de eempl, ni se pae ge de ezt ă n kilogam de oşii mpăat din piaţă ae o altă masă în tamvail ae îl tanspotăm aasă). Cvinte heie Pinipil elativităţii galileene Deoaee aeleaţia şi masa ni op a aeleaşi valoi în toate sistemele de efeinţă ineţiale, tagem onlzia ă şi ezltanta foţelo etene ae aţionează aspa opli este aeeaşi în toate sistemele de efeinţă ineţiale. C alte vinte, pent obsevatoi ineţiali difeiţi, aeleaşi foţe pod aeleaşi efete aspa aeliaşi op. Conseinţa este ă oiae a fi sisteml ineţial din ae stdiem evolţia ni op, legile de mişae a opli a aeeaşi fomă matematiă. Conţintl aesto onsideente este pins în pinipil elativităţii galileene sa pinipil elativităţii din meania lasiă : LEGILE MECANICII AU ACEEAŞI FORMĂ ÎN TOATE SISTEMELE DE REFERINŢĂ INERŢIALE PRINCIPIUL RELATIITĂŢII GALILEENE O fomlae altenativă a pinipili elativităţii galileene este mătoaea : Pin nii-o epeienţă de meaniă efetată înt-n sistem de efeinţă ineţial n ptem stabili daă sisteml de efeinţă este în epas sa în tanslaţie nifomă Pinipalele măimi de stae în dinamiă Aşa m distat anteio, staea de mişae a ni op poate fi aateizată de tei măimi de stae mai impotante : aza vetoae, viteza şi aeleaţia. Dinamia ia în onsideae atât staea de mişae a ni op ât şi masa opli, ia, pe de altă pate, ia în onsideae aţinile etene ae se eeită aspa opli. Pinipala elaţie de legătă dinte măimile inematie, masa opli şi aţinile etene este onţintă de pinipil fndamental al dinamiii : F ma 36