METODE DE ANALIZĂ ELASTO-PLASTICĂ DE ORDINUL AL II-LEA A STRUCTURILOR ÎN CADRE 2.1. INTRODUCERE

Transcript

1 MEODE DE AAIZĂ EASO-PASICĂ DE ORDIU A II-EA A SRUCURIOR Î CADRE.. IRODUCERE Prin acctara mtoi stărilor limită ca mtoă roictar în majoritata courilor roictar a structurilor în car, şi ca urmar a zoltărilor "har" şi "soft" al calculatoarlor PC in ultimii ani, analiza statică lasto-lastică orinul al II-la tin să ină rincialul instrumnt analiză statică gloală. Prin analiza statică lasto-lastică orinul al II-la s întlg oric ti analiză car urmărşt să surrină atât fctul nliniarităţii fizic căt şi a cli gomtric, rscti influnţa moificării gomtrii structurii, asura mărimii lasărilor şi forturilor structurii. În acst caz controlul solutii consta înalicara unui calcul incrmntal sau incrmntal-itrati şi inlinira concomitnta a amlor conitii c trui satisfacut însituatia chiliru, comatiilitata formati şi chilirul static al nourilor, la ficar incrmnt al incărcării xtrioar. În rincial, rocl acst fl ot fi gruat în următoarl catgorii: () mtoa aşilor controlaţi încărcări, () mtoa aşilor controlaţi lasări şi (3) mtoa aşilor controlaţi lungima arc ("arc lngth control mtho"). D mnţionat fatul că alicara uni mto incrmntal-itrati in catgoria () sau (3) rmit şi stuiul comortării structurii în omniul ostcritic, sr osir cazul mtolor in catgoria aşilor controlaţi încărcări, cân analiza st orită la momntul atingrii încărcării limită. Răsunsul nliniar al uni structuri s atorază în rincial moificării caractristicilor sal rigiitat corsunzătoar ifritlor niluri intnsitat al acţiunilor xtrioar. Variaţia rigiităţii roin in ouă cauz imortant, şi anum: nliniaritata gomtrică şi nliniaritata fizică. liniaritata gomtrică s manifstă rin ouă fct imortant: un fct local, flxiilizar a arlor comrimat, molat în analiză rin consirara funcţiilor stailitat în formulara mtoi lasărilor, rscti rin consirara matriclor rigiitat gomtrică în formulara în lmnt finit şi un fct gloal, atorat moificării configuraţii gomtric a nourilor structurii, molat în analiză rin formulara agrangiana aotată (actualizată sau totală). 7

2 liniaritata fizică sau matrială s manifstă rin moificara aramtrilor curi caractristic a matrialului, ca urmar a crştrii nilului solicitar. Pntru structuril în car nliniaritata fizică s manifstă rin lastificara locală a scţiunilor şi a zoltării acstor zon lastic în lungul arlor, urmărin stara forturi xistntă. Dacă în ca c rişt nliniaritata gomtrică xistă, în rincial, un singur mo unitar curinr a fnomnului, nu aclaşi lucru s oat afirma în cazul nliniarităţii fizic, în litratura scialitat fiin rous un număr mar mol analiză car să surrină acst fct asura rasunsului gloal al structurii. În trmni gnrali, acst mol ot fi clasificat în funcţi comlxitata (acuratţa) analizi, în ouă catgorii: molul articulaţiilor lastic (lastificar unctuală) rscti molul zonlor lastic (lastificar istriuită). Analiza lasto-lastică, car molaza nliniaritata fizică utilizân conctul articulaţi lastică s azază în rincial următoarl simlificări: () lmntl structurii au o comortar rfct lastică, ână la atingra forturilor c rouc lastificara intgrală a uni scţiuni (aariţia articulaţii lastic) la catl lmntului; () sctiunil transrsal al lmntlor au o comortar rfct lastică (nu s consiră rconsoliara matrialului) uă aariţia articulaţii lastic; (3) lasticizara matrialului intrin unctual oar în scţiunil ară in jurul cominaţiilor forturi maxim; (4) orţiuna ară intr articulaţiil lastic rămân cu comortar intgral lastică. Formara articulaţiilor lastic la catl lmntlor st gurnată cuaţiil intracţiun intr forţa axială şi momntl încooitoar corsunzătoar clor ouă ax rincial inrţi al scţiunii, iar fctl orinul al oila sunt luat în consirar rin intrmiul funcţiilor stailitat, ntru fctul local, şi rin formulara agrangiana "uat agrangian" ntru fctul gloal. În cazul structurilor mtalic, fctul tnsiunilor rziual asura caacităţii ortant a lmntlor structurii st luat în consirar simlificat rin intrmiul moulului lasticitat tangnt. Acst mol a stat la aza ralizării majorităţii rogramlor analiză statică lasto-lastică orinul al II-la a structurilor mtalic lan şi saţial, intr car mrită amintit cl ralizat în carul unirsitatii Cornll in Statl Unit (McGuir, 988; Zimian, 99). În gnral acst ti analiză st unul aroximati, răsunsul structurilor în omniul lastolastic aân o acuratţ limitată, inzân în rincial configuraţia structurii şi caractristicil încărcar. Aşa cum s a uta osra şi în xmll numric in caitolul 6 al carţii, acst ti analiză surastimază, rzistnţa şi stailitata lmntlor suus unor solicitări încooir cu fort axial, în omniul lasto-lastic. Dzoltara zonlor lastic întraga lungim a lmntlor, car oat aăra în cazul structurilor înalt ti caru, cu înălţima nil mică, sau în cazul lmntlor suus la încărcări axial mari, nu oat fi surrinsă în acst mol analiză, surastimân rzistnţa şi stailitata lmntlor. Cu toat acsta ntru structuri slt la car moul car aar în rincial rin irra stailităţii lastic, sau ntru structuri la car cara aar rin formara unui mcanism lastic, acst mol analiză furnizază 8

3 rzultat satisfăcătoar în comaraţi cu cl furnizat rintr-o analiză comlxă car ia în consirar în mo xlicit fctl zoltării zonlor lastic în scţiun şi în lungul lmntlor, asura răsunsului structural (Foly&Vinakota, 999). Mtol analiză car au la ază conctul articulaţi lastică au fost imunătăţit rin inclura într-o formă imlicită în analiză a fctlor tnsiunilor rziual, şi a zoltării graual a zonlor lastic în scţiun şi a lungul arlor. Astfl molul clasic al articulaţiilor lastic unctual, azat o singură surafaţă intractiun -M-M, ca corsunzătoar lastificării total a scţiunii, a fost xtins la un mol c ia în consirar o zoltar grauală a lasticizării scţiunilor catlor lmntlor rin intrmiul a ouă surafţ intracţiun -M-M, cl corsunzătoar inţirii curgrii rscti lastificării total şi alicara unor rlaţii liniar sau nliniar ntru consirara graării rigiităţii lmntlor (Powl & Chn, 986; Dirlin ş.al., 99; Al-Ghaffar ş.al., 99; Al-Mashary & Chn, 99; King ş. al., 99; iw & Chn, 99; iw ş.al., 99; Whit ş.al., 99; King & Chn, 994; S.E.Kim, ş.al., ). Dzoltara zonlor lastic în lungul lmntlor st simulată rin consirara clor ouă surafţ intracţiun -M-M corsunzătoar iniţirii curgrii rscti lastificării total, şi rin utilizara conctului moulului tangnt lasticitat E t. Princialul aantaj al acstor mto, în comaraţi cu cl clasic al articulaţiilor lastic unctual, rziă în fatul, că la un aclaşi gra iscrtizar a structurilor (un lmnt ară, în cazul arlor încărcat oar la cat) surrin cu suficintă acuratţ rzistnţa şi stailitata gloală a structurilor şi locală al lmntlor acstora, în omniul lasto-lastic. Crctăril făcut în acst sns (iw s.al., 99) monstrază fatul că acst mto ot fi alicat la analiza structurilor în car mari imnsiuni, fără riscul a surastima rigiitata şi stailitata lmntlor comonnt al structurii. Mto mai rafinat molar a nliniarităţii matrial, cât cl azat conctul articualţi lastică unctuală, sunt cl în car fctul lastificării arţial în lungul lmntlor comonnt al structurii st consirat rin intrmiul rlaţiilor analitic nliniar momnt încooitor-fort axial-curură (M- -Φ) c caractrizază comortara lasto-lastică a scţiunilor transrsal al lmntlor solicitat la încooir cu sau fără fort axial. În rincial, xistă ouă mouri formular al acstor mto, aml rsuunân un calcul incrmntal itrati. Dacă rimul mol rsuun o iscrtizar a arlor structurii intr-un număr "sgmnt" şi xrimara coniţiilor comatiiliat a formati şi chiliru static aza rlaţiilor analitic nliniar M--Φ la catl acstora (Wright & Gaylor, 968; ui & Chn, 987), cl -al oila, rsuun alicara mtoi lasărilor în formular matricală şi gnrara unor unct intgrar în lungul arlor ntru aluara caractristicilor rigiitat în ficar in acst unct, aza rlaţiilor nliniar, analitic sau casianalitic, M--Φ, şi alicara unor thnici intgrar numrică, ntru trminara matriclor rigiitat al arlor (Chu & Paarcius, 964; Moss, 964; Sohal & Chn, 988; Attalla ş.al., 995; Bârsan&Chioran, 999a; Chioran&Bârsan, 5), (Fig..). Datorită 9

4 xistnţi tnsiunilor rziual în scţiunil transrsal al scţiunilor mtalic, comortara acstor scţiuni în omniul lasto-lastic, solicitat la încooir cu fort axial, st ifrită în cazul unor forturi axial comrsiun faţă cl întinr (. ca.4), imlicân utilizara unor rlaţii analitic nliniar M--Φ ifrnţiat. P altă art acst mto nu ot surrin cu maximă acuratţ fctl scărcărilor lastic al firlor asura răsunsului structurilor (Clark, 994). O osiilă cal a limina acst zaantaj, ar cu un fort comutaţional mai mar, o rrzintă mtol analiză in ca -a oua catgori rzntat antrior, ar în car, rocsul simlificat aluar a caractristicilor rigiitat, aza rlaţiilor analitic M--Φ, st înlocuit rintun rocs itrati chilirar mai xact, în ifritl scţiuni transrsal al arlor situat în rtul nourilor intgrar numrică, şi car rsuun molara nliniarităţii fizic în unct rin utilizara rlaţiilor σ-ε (Chioran, ). Forţ şi lasări noal Elmnt cu comortar lastică Scţiuni lastic otnţial (articulaţii lastic) (a) Forţ şi lasări noal Scţiuni lastic otnţial în lungul ari-unct intgrar numrică Gauss () Fig.. Elmnt liniar uniimnsional utilizat în analiza lasto-lastică. (a) Molul lastificării concntrat; () Molul lastificării istriuit. Cl mai xact mol car ia în consirar nliniaritata matriala, rin urmărira în mo xlicit a zoltării zonlor lastic în scţiun şi în lungul arlor rintr-un calcul incrmntal itrati st consirat a fi molul zonlor

5 lastic car molază nliniaritata fizică la nil firă, aza rlaţiilor constituti nliniar σ-ε ("lastic zon analysis"). itratura scialitat mnţionază în rincial ouă tiuri astfl analiz. Primul ti imlică utilizara lmntlor finit triimnsional ti "shll" ntru iscrtizara structurilor şi alicara unui calcul incrmntal/incrmntal-itrati, rsuunân înlociura matrici rigiitat lastică a lmntlor finit cu o matric rigiitat lasto-lastică, în cazul în car s-a tctat o ăşir a omniului lastic comortar. Consirân o star tnsiun saţială, acst ti analiză ia în consirar fctul cominat al formaţiilor normal şi tangnţial asura lastificării. Acst ti analiză rmit consirara cu maximă acuratţ a fctlor zoltării zonlor lastic în scţiun şi în lungul arlor, a tnsiunilor rziual, rcum şi a fctlor scărcării lastic a firlor, ar imlică o iscrtizar a structurii într-un număr mar lmnt finit triimnsional şi alicara unor mto intgrar numrică ntru trminara matriclor rigiitat lasto-lastică, conucân la un fort comutaţional foart riicat. (factor incarcar) Analiza lastolastica (articulatii lastic) orinul I Molul clasic al articulatiilor lastic Molul lastificarii istriuit Analiza rigi lastica Analiza lastolastica orinul al II-la (lasar) Fig... Curl răsuns forţă-lasar în mtol analiză lasto-lastică iscutat. Pntru analiza structurilor în car, ntru car arl ot fi tratat ca lmnt liniar uniimnsional, în litratura scialitat sunt rous foart mult mto tratar a lastificării istriuit, în accţiuna aansată a conctului zon lastificar, şi car rsuun o molar rafinată a structurii rin iscrtizara în lmnt finit ti ară (Orison ş al.98; Brafor & rahair

6 984; Chan & Kitiornchai 988; Alrmani & Kitiornchai 99; Clark ş.al 99, Jiang.s.al., ) sau "sgmnt" finit (Han & Chn 983, 987; Sugimoto & Chn 985) şi suiizara ficări scţiuni lmnt sau "sgmnt" în fâşii ("fir"), consirânu-s astfl în mo irct fctl tnsiunilor rziual, a imrfcţiunilor gomtric, a fctlor rconsoliar a matrialului, rcum şi a scărcărilor lastic a unor fir asura rasunsului structural. Dşi cl mai mult intr mtol analiză c utilizază conctul zon lastic au fost concut ntru trminara rasunsului structurilor lan (Clark ş.al. 99; Whit, 985; Vogl, 985; El-Zanaty ş.al., 98; Alarz & Birnstil, 967), în litratura scialitat, s găssc rfriri şi la mto analiză statică triimnsională a carlor car iau în consirar cu ifrit gra acuratţ fctul zoltării zonlor lastic (Whit, 988; Wang, 988; Chn & Atsuta, 977; Pi & rahair, 994; Izzuin & Smith, 996; Jiang ş.al., ; Chioran&Bârsan, 5). Aân în r comlxitata unora intr acst mto, atorată în rimul rân iscrtizărilor foart rafinat car îl rsuun, acst mto sunt utilizat cu rcăr în crctar, ntru calirara altor mto analiză mai simlificat (ECCS, 984; Whit & Chn, 99). În rinciiu, utilizân una in mtol analiză lasto-lastică orinul al II-la amintit, curl răsuns forţă-lasar ntru cazul unor acţiuni static sunt rzntat în figura., iar în figura.3 s rzintă schmatic carcartristicil molar al nliniarităţii fizic în mtol iscutat. Fig..3 Mol analiză lasto-lastică a structurilor în car... MODEE UMERICE BAZAE PE COCEPU DE ARICUAŢIE PASICĂ Crctara comortării uni structuri susus la sarcini car crsc, în întrgul

7 omniu curins într limita staiului lastic şi staiul irr a caacităţii ortant, rin trminara oluţii stării forturi şi a mărimii lasărilor, constitui o rolmă ificilă atorită comlxităţii fnomnului ral. O analiză rin calcul imlică acctara unor simlificări; în funcţi schmatizara aotată, rzultatl ot ifri snsiil, în funcţi natura solicitărilor xtrioar, a tiului matrial structural tc. Utilizara calculului automat rmit să s urmărască o molar cât mai aroiată comortara rală. a structuri alcătuit in ar, iotza articulaţiilor lastic unctual şi cu formar instantan auc simlificări imortant: limita staiului comortar lastică coinci cu formara rimi articulaţii lastic, iar cara lastică in iminntă cân aar ultima articulaţi lastică. Într acst ouă limit, oluţia comortării structurii rzultă îmărţită într-o sri ta, in ifrnţiat într l şi car corsun intrallor intr formara succsiă a articulaţiilor lastic. Cân, rin schmatizar, s ralizază şi coniţia ca sarcinil să fi alicat numai în nouri, arl îşi ăstrază rmannt o comortar rfct lastică, oarc articulaţii lastic ot aar numai în scţiunil la xtrmităţi. Articulaţii lastic otnţial oul - a oul - Elastic M y F y M x M ya F x F ya F z M z F xa y M xa F za x M za ya u a w u a z xa w a za Fig..4 Molul articulaţiilor lastic unctual. 3

8 Într-un calcul orinul I, caractrul nliniar al corlaţii P- roin numai in aariţia trtată a unor articulaţii lastic în anumit scţiuni al structurii, şi ci iagrama ar forma oligonală (Fig..). Consirara fctului forţlor axial, şi moificara configuraţii gomtric a structurii, rintr-un calcul orinul al II-la, moifică situaţia în snsul că şi în intrall limitat aariţia articulaţiilor lastic comortara in nliniară. Cât tim forţl axial nu ating alori imortant, fctul lor asura mărimii momntlor lastic (M ) oat fi nglijat, astfl că aloril M aar rt constant al arlor structurii. Cân însă, forţl axial ajung osit mari, fctul acstora trui introus în coniţia lasticizar şi aloril M in ariail, scazân măsura crştrii forţlor axial. Aar astfl firsc alicara unui calcul rin ta succsi, car constă in fctuara rtată a rzolării o structură c s moifică la o taă la alta, irzân succsi cât o lgătură; cân s-a format şi articulaţia lastică ultimă, structura ajung static trminată. Moul calcul inicat ntru o automatizar intgrală constă în alicara mtoi lasărilor, introucân caractrul nliniar al comortării rin matrica rigiitat. iul lmnt folosit în molara arlor carlor st cl ară stanar caru saţial cu gra lirtat (Fig..4), iar formulara analitică s azază mtoa lasărilor în formular matricală. Comarati cu forma gnrală a mtoi lasărilor, un oziţia formată st comlt finită amiţân rt ariail innnt toat lasăril nourilor structurii, în omniul lasto-lastic trui consirat şi rotiril rlati in articulaţiil lastic intrat în funcţiun. P arcursul crştrii sarcinilor, trcra la o taă la alta st carcatrizată tocmai rin intrntia uni noi asmna ncunoscut. Din acst unct r, în litratura scialitat sunt rous ifrit ariant, intr car ca mai ficintă su asctul automatizării calculului lasto-lastic orinul al II-la o rrzintă mtoa "tiurilor ar". În acsată ariantă s consiră aclaşi ncunoscut în toat tal şi anum lasăril nourilor structurii, ca în forma gnrală a mtoi lasărilor, alicată calculului liniar sau nliniar lastic. Sistmul ază st gomtric ntrminat oarc ramân lir rotiril rlati in articulaţiil lastic format âna la taa consirată. Acsta ot fi liminat in calcul introucân mai mult tiuri ar, cu matricl rigiitat corsunzătoar, uă staiul în car s gasşt ara rsctiă în raort cu aariţia succsiă a articulaţiilor lastic (ulu încastrată, încastrat articulată, ulu articulată)... Molul articulaţiilor lastic cu formar instantan În molul analiză lasto-lastică a carlor scris în continuar s rsuun următoarl iotz lucru: () lmntul ară st cl cu gra lirtat (6 gra lirtat no), zonl lastic otnţial consirânu-s oar la catl lmntului (Fig..4); () lastificara matrialului intrin unctual oar la catl lmntului ca urmar a uni stări tnsiuni uniaxial ronit in acţiuna concomitntă a momntlor încooitoar şi a fortului 4

9 axial; (3) Plastificara matrialului ar loc instantanu, nglijânu-s intrara în curgr grauală a firlor şi asmna fctul rconsoliar a matrialului (4) lmntul ar o comortar rfct lastică, âna la atingra forturilor c rouc lastificara intgrală a uni scţiuni (aariţia articulaţii lastic) la catl lmntului; (5) orţiuna ară intr articulaţiil lastic ramân cu comortar intgral lastică; (6) conucra analizi s fac în mtoa aşilor controlaţi încărcări, cu crştra incrmntală a forţlor xtrioar. Formara articulaţiilor lastic la catl lmntlor st gurnată cuaţiil intracţiun intr forţa axială şi momntl încooitoar corsunzătoar clor ouă ax rincial inrţi al scţiunii. Efctl forţlor tăitoar rscti al momntlor torsiun sunt nglijat în cuaţiil intracţiun lastic. Comortara articulaţiilor lastic st gurnată lga otnţialului lastic sau a lgii normalitat (Massont, s.al., 97). Formulara matmatică a molului rsun: Dfinira uni rlaţii într forturi şi lasări în omniul comortar lastic. Dfinira unui critriu lastificar corsunzător intrării în funcţiun a articulaţii lastic. Dfinira uni rlaţii într forturi şi lasări ntru comortara ost lastică-lga normalitat. Rlaţia constitutiă în omniul lastic În omniul comortar lastic crştril lasărilor lastic sunt lgat crştril forţlor rin intrmiul rlaţii: F K U (.) un K rrzintă matrica rigiat stanar a lmntui ară, ca corsunzătoar comortării rfct lastic. În cazul în car s orst luara în consirar a fctlor nliniarităţii gomtric local, matrica rigiat K in rlaţia (.) st înlocuită cu ca corctată rin intrmiul funcţiilor stailitat. Dtalii cu riira la imlmntara acstui fct în calculul lasto-lastic sunt at în carul aragarfului..4. Critriul lastificar Formara articulaţii lastic st trminată aşira într-un anumit unct al scţiunii a formaţii unitar ultim amis, şi car rrzintă coniţia lastificar asumată în calcul. Acastă coniţi urmază a fi alicată istriuţiilor forturi unitar c corsun acţiunii concomitnt a forturilor rzultant, consirân iotza scţiunilor lan. Drt conscinţă, şi într mărimil acstor forturi trui să fi înlinită o anumita corlaţi, car rrzintă coniţia lastificar a scţiunii. otân cu, M y, M z forturil in scţiun coniţia lastificar s scri: Γ (, M y, M z ) (.) 5

10 car rrzintă în acst caz o surafaţă, numită surafata intracţiun lastică. În satiul, M y, M z, o situaţi oarcar solicitar a scţiunii st finită rin anumit mărimi al forturilor, car ot fi riit rt comonntl unui ctor c lacă in origina axlor şi a cărui ârf caractrizază stara scţiunii. În cazul în car ârful ctorului s află în intriorul acsti surafţ rzultă că scţiuna s comortă rfct lastic, în aza iotzi articulaţiilor lastic unctual şi cu formar instantan; cân ârful ctorului s află acastă surafaţă coniţia (.) st înlinită şi ci articulaţia lastică st formată şi înc să funcţionz. În timul funcţionării articulaţii lastic ctorul trui să-şi mnţină rmannt ârful surafaţa lastificar, conucân la o corlati ncsară într comonnt. Vârful ctorului nu oat ăşi surafaţa lastificar, oarc cazul contrar ar corsun uni stări forturi c nu s oat raliza. / Surafaţa lastificar Surafaţa iniţir a curgrii lastic AISC-RFD (Kanchanaly 977)-sctiun mtalică (rofil I) 8 M y 8 M z M y M z, 9 M y 9 M z 9 M y 9 M z M y M M z y M z, < M M 9 M 9 M y z y z M/My M/Mz / Surafaţa lastificar Surafaţa iniţir a curgrii lastic Orinison, 98- sctiun mtalică (rofil I) 4 6.5n m m 3.67n m 3.n m 4.65m m n z M z, mz, M y z z M y m y M y y z y M/My M/Mz M z M y M y Powl-Chn, 986 M M z z α M y Fig..5 Surafţ lastificar utilizat în calculul scţiunilor mtalic şi in ton armat. Dtrminara unor rlaţii analitic gnral alail ntru finira surafţlor intracţiun lastic al scţiunilor st osit ificilă. Acasta s atorază în rincial rlaţiilor constituti nliniar σ-ε folosit la molara 6

11 curlor cractristic al matriallor, ifrit la un matrial la altul, forma şi imnsiuna scţiunilor, imrfcţiunilor matrial, tiului solicitar (încooir uniaxială, iaxială cu fort axial ) tc. În litratura scialitat ot fi găsit câta xrimări analitic al surafţlor lastificar ntru uţin tiuri scţiuni şi matrial. În figura.5 sunt rzntat câta intr cl mai utilizat rlaţii intracţiun ntru scţiunil mtalic ti rofil I şi ntru scţiunil ton armat formă rtunghiulară. În rlaţiil mai sus s-a notat cu M momntul lastic (caail) al scţiunii ircţia conisrată (y, z) şi car s calculază în funcţi caractristicil scţional matrial şi formă. rrzintă fortul axial lastic (caail) al scţiunii în asnţa clorlat forturi solicitar. Rlaţia intracţiun lastică rousă Powl şi Chn (Powl&Chn, 986) oat fi alicată în mo aroximati oricăror tiuri scţiuni rin ajustara corsunzătoar a sistmului ax. Sr xmlu în cazul scţiunilor ton armat origina sistmului ax s translatză ua axa forturilor axial ntru a simula crştra caacitat ortantă a scţiunilor solicitat la comrsiun. ga normalitat Aân stailit critriil lastificar rcum şi rlatiil constituti forţălasar în omniul lastic, corlaţia într ctorii incrmntali ai forţlor şi lasărilor gnralizat în omniul lastic st stailită su forma lgii normalitat. Conform torii lasticităţii în comortara lasto-lastică a matrialului formaţiil scific total s ot sara în comonntl lastic şi lastic, consirat irrsiil. Analog, ctorii incrmntali ai lasărilor gnralizat, ircţiil gralor lirtat la catl arlor, ot fi consiraţi aân ouă comonnt, una lastică şi una rfct lastică: U U U (.3) Conform lgii otnţialului lastic comonnta lastică a ctorului lasărilor incrmntal, U, st irijat uă normala xtrioară la surafaţa lastificar Γ. Cum acastă surafaţă joacă ntru crştril comonntlor lastic al lasărilor rolul funcţii otnţial, ntru oricar comonntă a ctorului lasărilor incrmntal lastic U s oat scri su forma: Γ U λ (.4) f un λ st un coficint roorţionalitat aritrar, iar f rrzintă ctorul forţlor noal la nil lmnt. ga otnţialului lastic oartă asmna numl lga normalitat oarc, acă s consiră comonntl ctorilor f şi U rt cooronat într-un hirsaţiu cu 6 imsniuni lga (.4) arată că în unctul forturi f ctorul U st normal la surafaţa lastificar in acl momnt Γ: f U (.5) Figura (.6) ilustrază acastă rlaţi normalitat în cazul în car xistă numai ouă forturi ifrit zro. 7

12 f, u u u u Surafaţa lastificar Γ f () f, u Fig..6 Ilustrara grafică a lgii normalitat în saţiul cu ouă imnsiuni.... Matrica rigiitat incrmntală şi ctorul forţlor chialnt la nouri În continuar or fi trminat matricl rigiat tangnt ntru lmntul ară caru saţial luân în consirar fctul lastificar a scţiunilor la catl acstuia. În acst contxt sunt osiil atru situaţii: () lastificara amlor cat al lmntului; () lastificara caatului "a"al ari (3) lastificara caatului "" al ari; (4) aml cat ramân în omniul lastic. Formulara rlaţii incrmntal forţa-lasar ntru lmntul ară caru saţial (Fig..4) s azază lgil funamntal al torii lasticităţii rzntat antrior. Pntru oţinra rlaţiilor caractristic, s xrimă fatul că, crştril lasărilor noal au o art lastică şi o art lastică. otân cu U ctorul lasărilor incrmntal la aml cat, a şi, al ari, conform rlaţii (.3) acsta s scomun astfl (Fig..7): U a U a U a (.6) U U U un ctorul lasărilor total la catl a şi al ari au xrsiil: U u w (.7a) a [ ] a a a xa ya za [ u w ] U (.7) iar comonntl lastic rscti lastic al lasărilor sunt at următoarl xrsii: x y z 8

13 U U a [ u ] a a wa xa ya za [ u ] w x y z [ ] a ya za [ ] U a u (.8) U a ua ya za a a U U U a U U U Fig..7. Dscounra ctorului lasărilor noal în comont lastic şi lastic. D notat fatul că, lasăril ircţiil gralor lirtat luncar rscti torsiun s consiră ur lastic. Crştril comonntlor lastic al lasărilor sunt lgat crştril forţlor noal, în asnţa forţlor alicat în lungul ari, rin intrmiul rlaţii: F( ) K ( ) U ( ) (.9) un matrica rigiitat lastică K (x) ar următoara xrsi: K aa ( ) K 6x6 a( 6x6) ( ) K K a( 6x6) K ( 6x6) (.) un EA EI, z 6EI, z 3 EI EI, y 6, y 3 K aa GI t 6EI, y 4EI, y 6EI, z 4EI, z (.a) 9

14 K EA EI 3, z 6EI, z EI 6EI 3, y, y GI t 6EI 4EI, y, y 6EI 4EI, z, z (.) EA EI, z 6EI, z 3 EI EI, y 6, y 3 K a a GI t K (.c) 6EI, y EI, y 6EI, z EI, z Intgrara fctlor nliniarităţii gomtric local în matrica rigiitat lastică oat fi făcută rin intrmiul funcţiilor stailitat aşa cum a fi arătat în carul aragrafului..4. inân sama scomunra (.6) rlaţia (.9) s mai oat scri: F( ) K ( ) ( U ( ) U ( ) ) (.3) Conform lgii otnţialului lastic alicată la aml cat al lmntului, într crştril ctorial al comonnti lastic al lasărilor şi cl al forţlor noal utm scri: U ( ) G ( ) ( λ ) (.4) un matrica G ar forma: a G ( 6 ) ( ) 6 G ( ) (.5) ( 6 ) G ( 6 ) ( ) şi rrzintă "matrica graint" la surafaţa lastificar Γ alcătuită in matricl graint corsunzătoar catlor a şi al ari: 3

15 Γ Γ F xa F x a G ( 6 ) ; G ( 6 ) (.6) Γ Γ M ya M y Γ Γ M za M z iar ctorul λ ar xrsia: a λ λ (.7) λ cu comonntl λ a, λ mărimi scalar aritrar asociat clor ouă cat al ari. D oici formara şi funcţionara articulaţiilor lastic la cl ouă cat al lmntului ar loc innnt una faţa calaltă şi rin urmar comontl matrici G or fi trminat în concoranţă cu stara forturi xistntă la formara articulaţiilor lastic la cl ouă cat al lmntului. Prin urmar om aa ouă situaţii lastificar ifrit ca c corsun la ouă unct istinct surafaţa lastificar. D asmna, mai trui mnţionat fatul că, colonl matrici G sunt actiat în mo succsi în concoranţă cu orina formar a articulaţiilor lastic la xtrmităţil lmntului. În concoranţă cu lga normalitat scrisă mai sus, comonntl lastic al ctorului lasărilor gnralizat trui să fi ortogonal ctorului forţlor incrmntal (Fig..8), aică: ( U ) ( ) F( ) (.8) U F M z M y Γ(, M y, M ) z Fig..8 ga normalitat. 3

16 Înlocuin rlaţia (.4) în rlaţia (.8) oţinm: λ ( ) G ( ) F( ) (.9) Cum însă comonntl scalar al ctorului λ sunt mărimi oziti rzultă că: G ( ) F( ) ( ) (.) Multilicân amii mmrii ai rlaţii (.3) cu G şi ţinân cont intitata (.) rcum şi rlaţia (.4) oţinm: ( ) ( ) ( ) G K U G ( ) K ( ) G ( ) λ ( ) (.) În cazul în car aml cat al ari sunt lastificat matrica G KG st nsingulară şi oat fi inrsată şi rin urmar intitata (.) ar loc. În cazul în car însă, oar unul intr catl ari, a sau, st lastificat conuc la singularitata matrici G KG şi rin urmar or trui trminat rlaţii sarat car să surrină ficar caz în art. Din rlaţia (.) s oţin ctorul λ: [ ] ( ) ( ) ( ) λ ( ) G ( ) K ( ) G ( ) G K U (.) Ţinân sama rlaţia (.4) rlaţia (.3) s scri: F( ) K ( ) U ( ) K ( ) G( ) λ( ) (.3) şi cu xrsia (.) trminată ntru ctorul λ mai utm scri: r F( ) ( K ( ) K ( ) ) U ( ) K ( ) U ( ) (.4) r un cu K ( ) s-a notat matrica rigiitat rucr lastică şi car intgrază caractrul lastic comortar al articulaţiilor lastic format la aml cat al ari: r [ ] ( ) ( ) K ( ) K ( ) G ( ) G ( ) K ( ) G ( ) G K (.5) Rlaţia (.4) xrimă lgătura într crştril lasărilor şi cl al forţlor noal în omniul comortar lasto-lastic, ntru cazul în car lastificara ar loc în aml cat al ari, iar matrica: r K ( ) K ( ) K ( ) (.6) rrzintă matrica rigiitat tangntă a lmntului ară şi car s oţin rin însumara matrici rigiat lastică a ari K ( ) şi a matrici r rigiitat rucr lastică K ( ). Efctl nliniarităţii gomtric la nil lmnt or fi intgrat în matrica rigiitat lastică. În cazul în car, caătul al ari ramân în omniul lastic, articulaţia lastică formânu-s oar la caătul a, matrica rucr lastică s trmină urmarin un raţionamnt similar cu cl scris mai sus. Astfl, liminân in calcul comonntl lastic al lasărilor la caătul şi asmna coloana a oua in matrica graint G şi urmărin un raţionamnt similar ornin la rlaţia (.4) ajungm la următoara xrsi ntru matrica rucr lastică: 3

17 r K ( ) K ( ) G ( ) G ( ) K ( ) (.7) a a ( G ) ( 6) ( K aa ) ( 6 6 ) G ( 6 ) Similar, acă articulaţia lastică s formază oar la caatul, matrica rucr lastică rzultă următoara formă: r K ( ) K ( ) G ( ) G ( ) K ( ) (.8) G 6 K G 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 În rlaţiil (.7) şi (.8) matricl rigiitat lastic K aa rscti K sunt at rlaţiil (.). În cazul arlor încărcat cu forţ în lungul lor, fctul acstora a fi chialat cu forţl noal chialnt la nouril lmntului. Dtrminara forţlor noal chialnt corsunzătoar ifritlor cazuri lastificar la xtrmităţil ari s fac urmărin un raţionamnt similar cu cl scris mai sus, ornin ata acasta la următoara rlaţi chiliru: F( ) K ( ) U ( ) P ( ) (.9) un cu P s-a notat ctorul forţlor chialnt la nouri in încărcara cu forţl xtrioar at consirân comortara rfct lastică a ari: Pa P (.3) P Astfl, în rznţa forţlor alicat în cursul arlor, rlaţia incrmntală chiliru (.4) in: F( ) K ( ) U ( ) P ( ) (.3) un K ( ) rrzintă matrica rigiitat tangntă (incrmntală) a ari a cari xrsi ntru ifritl cazuri lastificar a fost ja trminată, iar P ( ) rrzintă ctorul forţlor noal chialnt corsunzător ifritlor stări solicitar lastic la catl ari. Sr xmlu în cazul lastificării amlor cat al ari ctorul forţlor chialnt st at xrsia: P [ ] ( ) ( ) ( ) P ( ) K ( ) G ( ) G ( ) K ( ) G ( ) G P Exrsii similar s oţin şi ntru alt situaţii lastificar.... Dtalii cu riir la imlmntara mtoi (.3) Răsunsul lasto-lastic al structurii s oţin rin alicara unui calcul incrmntal, cu control asura aşilor încărcar a forţl xtrioar sau control asura lasărilor noal (. ca.3). Pntru conucra analizi s rcurg la un rocu rin aşi succsii răzân o liniarizar în trt a comortării nliniar. În intralul uni anumit trt încărcar comortara trui să 33

18 rămâna liniară sr a rmit o rzolar rin mtoa lasărilor. Acasta rsuun că matricl rigiitat al arlor rămân constant, asumânu-s ci că ntru o crştr λ a încărcării ârful P al ctorului solicitărilor c caractrizază stara scţiunii nu s lasază cura lastificar ci tangnta in unctul P la cură, trcân in oziţia P în oziţia Q (Fig..9). S ralizază astfl coniţia ca raortul intr comonntl lastic al ctorului lasărilor noal să ramână nschimat. P arcursul unui incrmnt încărcar, ârful ctorului solicitărilor la un no oarcar al structurii trui să rămâna în intriorul sau surafaţa lastificar. Acastă coniţi nu oat fi satisfăcută cât rin fctuara unui calcul itrati ti rictor-corctor. P arcursul unui incrmnt încărcar ricţia lasărilor şi totoată a forturilor s fac cu matrica rigiitat construită la sfirşitul tai rcnt, şi ăstrată constantă în timul ciclului curnt calcul. Acasta oat conuc la oţinra uni stări forturi, într-o xtrmitat a unui lmnt oarcar aarţinân structurii, car iolză critriul lastificar asumat în calcul (unctul, Fig..9). Prsuunân că inainta alicării incrmntului încărcar unctul s află în intriorul surafţi, în unctul M in Fig..9, rzultă că formara articulaţii lastic corsun uni stari solicitări trminat corctia ρ a factorului încărcar consirat (unctul P in Fig..9). Pntru trminara corctii ρ s alică un calcul itrati utilizânu-s coniţia lastificar. Corcţia ρ intifică surafaţa lastificar unctul P corsunzător unor stări solicitări la noul consirat corsunzătoar iniţirii formării articulaţii lastic. β / Plan tangnt la surafaţa lastificar Corctia raiala Surafaţa lastificar α M / M Fig..9. Rnira cura lastificar. Corcţia raială. Matrica rigiitat a lmntului st rcalculată rin aăugara comonnti rucr lastică la matrica rigiitat lastică a lmntului şi aoi s fctuază o nouă rzolar a structurii trminân forturil corsunzătoar 34

19 corcţii factorului încărcar rămas (-ρ). Dlasara tangnta in oziţia P în oziţia Q, conuc la o inărtar la coniţia lastificar oarc unctul Q nu s află surafaţa intracţiun lastică asumată în calcul. În acst caz s r o nouă oraţi rnir la sfârşitul trti cura lastificar-su încărcar constantă- rin fctuara uni trcri in unctul Q în unctul R, cunoscută în litratură su numira corcţia raială (McGuir s.al., ). Punctul R s trmină rin intrscţia ctorului QO cu surafaţa lastificar (Fig..9). Acst rocu s alică la toat xtrmităţil arlor un s- au format articulaţii lastic trminânu-s forţl rziual la nil structură. Acst forţ urmază a fi isiat rintr-un calcul itrati car s conuc la nil structură, âna cân aloara acstora s încarază su o tolranţă calcul amisă... Inclura fctului rconsoliar în molul articulaţiilor lastic unctual Molul numric rzntat antrior şi azat conctul articulaţi lastică unctuală cu formar instantan ar la ază ializara comortării matrialului ca fiin lastic-rfct lastic. Rlaţiil momnt-curură zoltat la nil scţiun s consiră ca fiin asmna ializat, amiţinu-s că uă lastificara matrialului întraga scţiun transrsală, situaţi în car momntul încooitor ating aloara lastică, curura crşt continuu su fort constant. D altfl justificara unui asmna calcul în omniul lastic constă tocmai în xistnţa unui asmna alir curgr. Cu toat acsta, majoritata matriallor utilizat la ralizara structurilor rzistnţă a construcţiilor înrgistrază o crştr a formaţiilor şi tnsiunilor uă atingra unctului iniţir a curgrii. Acastă situaţi s rflctă şi asura răsunsului gloal al scţiunii transrsal; uă lastificara firlor xtrm acsta intră în rconsoliar atrăgân uă sin o crştr a forturlor caail oată cu crştra formaţiilor. Mai mult, la scărcar, rnira ar loc lastic înrgistrânu-s formaţiil rmannt, iar la rîncărcar s înrgistrază o crştr a unctului limită iniţir a curgrii în matrial (Fig..a). Structuril rzistnţă ralizat in asmna matrial zoltă un comortamnt gloal similar (Fig..). Fig... Efctul rconsoliar: (a) la nil matrial; () la nil lmnt. 35

20 Pntru trminara matrici rigiitat incrmntală (tangntă) car să incluă şi fctul rconsoliar s ornşt la situaţia în car ârful ctorului solicitărilor la o xtrmitat oarcar a lmntului a atins surafaţa lastificar (Fig..). Alicân o crştr a incrmntului încărcar ârful ctorului oat ăşi surafaţa lastificar ca urmar a fctului rconsoliar. Vctorul forţlor noal s oat scomun în ouă comonnt, o comonntă tangntă la surafaţa lastificar F şi o alta uă o ircţi aritrară F (Fig..). t F F t F M Fig... Dscomunra ctorului forţlor noal incluzân fctul rconsoliar. Algra ircţii ntru comonnta F s fac in consirnt miric iar în litratura scialitat xistă o sri mol zoltat în acst sns car să surrină comortamntul ifritlor matrial imlicat în analză (El- awil&dirlin, ). Comonnta F oat fi xrimată în funcţi aloara comonntlor lastic al lasărilor incrmntal noal şi matrica rigiitat lastică K a cări xrsi in tiul rconsoliar aotată în calcul (El-awil&Dirlin, ): F K U (.33) Astfl ctorul forţlor noal in scţiuna lastificată oat fi scomus astfl: F F t F (.34) Şi în acst caz crştril comonntlor lastic al lasărilor sunt lgat crştril forţlor noal, rin intrmiul rlaţii: F K U (.35) şi ţinân sama scomunra (.3) a ctorului lasărilor rcum şi rlaţia (.33) oţinm: F F K U U (.36) t ( ) 36

21 Multilicân amii mmrii ai rlaţii (.36) cu matrica graint G finită rlaţia (.5) rzultă: G F G F GK U U (.37) t ( ) Întrucât ctorul F t st rnicular normala la surafaţa lastificar cuaţia (.36) s ruc la: G F GK( U U ) (.38) şi ţinân sama rlaţia (.33) oţinm în final: GK( U U ) GK U (.39) GK U G( K K ) U ucrân în continuar cu rlaţii similar cu cl zoltat în carul aragrafului... oţinm în final următoar rlaţi incrmntală forţă-lasar: [ K KG( G ( K K ) G) G K] U F (.4) şi rin urmar matrica rucr lastică în acst caz ar forma: r ( ( K K ) G) K KG G G K (.4) r Κ K K Duă cum s oat osra in rlaţia c finşt matrica rigiitat tangntă a lmntului ară car inclu fctul rconsoliar, singura ifrnţă faţă xrsia usă ntru molul cu formar instantan constă în inclura matrici rigiitat lastică K şi a cări xrsi in tiul rconsoliar luat în calcul. În rincial, moll rconsoliar ot fi clasificat în ouă catgorii: molul izotroic, rscti molul cinmatic. Ilustrara grafică a clor oua mol în saţiul cu oua imnsiuni -M (fort axial-momnt incooitor) st ată în figura.. Surafata lastificar finala Surafata lastificar finala Surafata lastificar initiala M M Surafata lastificar initiala Fig.. Mol rconsoliar. (a) Molul izotroic; () Molul cinmatic. Molul izotroic rconsoliar corsun situaţii în car surafaţa lastificar s ilată în saţiu ăstrânu-şi însă forma şi oziţia (Fig..a), în tim c molul rconsoliar cinmatic corsun uni situaţii în car surafaţa lastificar s translatază în ircţia crştrii tnsiunilor incrmntal ăstrânu-şi 37

22 însă forma şi imnsiunil original (Fig..). În cazul unui mol rconsoliar ti izotroic aloara tnsiunilor curgr la comrsiun or crşt oată cu crştra tnsiunilor întinr, astfl că rlaţia momnt-curură oat fi rrzntată grafic ca în figura.3a. Acst mol scri acctail comortara matriallor la solicitări monoton. Sr osir molul izotroic, în cl cinmatic, ca urmar a intrării în curgr a matrialului ca urmar a uni stări tnsiun îninr a atrag uă sin translatara surafţi lastificar în ircţia întinr şi ca urmar matrialul a ating mai r limita curgr cân st suus unor acţiuni comrsiun (Fig..3). Acst mol rflctă mult mai fil comortara matriallor la acţiuni ciclic. (a) () Zona cu comortamnt lastic δ δ Fig..3 Rlaţia momnt-curură asociata mollor rconsoliar (a) izotroic () cinmatic Mol mai comlx utilizat la trminara răsunsului structural în omniul lasto-lastic sunt zoltat în litratura scialitat. Câta intr acsta au la ază mol hiri consirar a rconsoliării nliniar a matrialului şi totoată a graării rigiităţii lmntlor ca urmar a incursiunilor în omniul lastic. Fig..4. Molul surafţlor lastificar imricat. 38

23 Fig..5. Molul surafţi lastificar cu limitar. Două intr acst mol, s utilizat la molara comortării lastolastic a structurilor su solicitări monoton sunt rzntat în figuril.4 şi.5. Molul surafţlor lastificar imricat (Fig..4) caail să surrină rconsoliara multi-liniară, ficar surafaţă lastificar actiază alori ifrit al rconsoliării şi totoată rigiităţi tangnt ifrit. Molul surafţi lastificar mărginit caail să surrină comortara rconsoliar nliniară a matrailului rin introlara rigiităţii tangnt într rigiitata iniţială şi finală asociată surafţi lastic margin (limită) (Fig..5)...3 Molul articulaţiilor lastic cu formar grauală Aşa uă cum s-a monstrat catr multi crctatori (McGuir, 99; King ş al., 99; Whit ş.al. 993) şi uă cum s oat osra şi în carul xmllor numric in caitolul 6 al acsti cărţi, o molar a nliniarităţii fizic folosin conctul articulaţi lastică unctuală şi instantan conuc la rzultat snsiil ifrit faţă o molar mai aroiată ralitat car consiră fctul zoltării graual a zonlor lastic în scţiun şi în lungul arlor. Astfl, ntru structuril mtalic, rinciall moificări car sunt aus acstor mto, în carul mtolor articulaţiilor lastic cu formar grauală, constau în consirara, aroximatiă, a zoltării zonlor lastic în lungul arlor atorat tnsiunilor rziual şi asmna consirara formării graual a articulaţiilor lastic la xtrmităţil arlor (iw ş al., 99; Whit ş.al., 99; King & Chn, 994; S.E. Kim ş.al., ). Pntru structuril în car in ton armat ot fi zoltat mto similar, ar atorită multituinii factori car concură la răsunsul lasto-lastic al lmntlor in ton armat, litratura scialitat smnalază oar uţin încrcări în acastă ircţi. Dtrminara matriclor rigiitat car să ţină sama fctul zoltării graual a zonlor lastic în scţiun şi în lungul arlor, rcum şi fctul scărcării lastic a unor fir, rrzintă rincialul oicti al mtolor articulaţiilor lastic cu formar grauală alicat structurilor în car mtalic. (iw ş.al., 99; King ş.al., 994; 39

24 S.E. Kim, ). Câta intr acst ruunri rluat in litratura scialitat sunt rzntat în continuar. Dscrira mtolor st făcută ntru lmntul ară caru lan, xtinra roclor fiin imiată la cazul structurilor saţial...3. Consirara istriuţii zonlor lastic în lungul arlor Prin schmatizara amisă, în car s consiră că arl curins într articulaţiil lastic format au comortar lastică, s introuc un sor rigiitat în raort cu situaţia rală. O mtoă aroximatiă consirar a istriuţii zonlor lastic în lungul arlor suus la forţ axial comrsiun mari, ca fct al tnsiunilor rziual xistnt în scţiunil transrsal al arlor, o constitui folosira moulului lasticitat tangnt E t în locul moulului lasticitat longituinal iniţial E, la trminara caractristicilor rigiitat al scţiunilor. Astfl caractristicil rigiitat al scţiunilor arlor suus la comrsiun sunt finit astfl: E t I, ntru rigiitata la încooir, rscti E t A ntru rigiitata axială. Moulul lasticitat tangnt E t oat fi trminat ornin la rlaţiil c stailsc aloril încărcărilor critic cr folosit la roictara lmntlor mtalic, îngloinu-s astfl, imlicit, şi fctul imrfcţiunilor gomtric şi mcanic şi, constitui o caractristică ariailă a ari, în funcţi aloara fortului axial in ară. Astfl în cazul lmntlor mtalic suus la comrsiun ură, coul amrican AISC-RFD r următoarl formul ntru aluara încărcării critic: cr λ c,658, λc,5 (.4),877 cr, λ >,5 c (.43) λc un rrzintă fortul axial lastic ( A σ ), iar λ c rrzintă coficintul sltţ transformat finit λ ( K π r) σ E c c /, σ c rrzintă tnsiuna scifică corsunzătoar curgrii matrialului, E st moulul lasticitat, iar K/r st coficintul sltt fcti al ari. Conform rrilor coului AISC-RFD moulul lasticitat tangnt rrzintă rousul intr moulul lasticitat longituinal E şi raortul intr încărcara critică corsunzătoar irrii stailităţii în omniul lastic, cr lastic, şi ca corsunzătoar irrii stailităţii în omniul lastic, cr lastic : λc Et cr lastic,658, (.44) E,877 λ cr lastic c Exrimân coficintul sltt transformat λ c în funcţi raortul / in cuaţia (.43) şi înlocuinu-l în cuaţia (.44), rzultă următoara xrsi ntru moulul lasticitat tangnt E t : c 4

25 E t E,,39 (.45) Et,743 ln, >,39 Întrucit moulul lasticitat tangnt E t s-a trminat lcân la rlaţiil trminar a încărcării critic răzut AISC-RFD şi car iau în consirar în mo imlicit fctl tnsiunilor rziual şi al imrfcţiunilor gomtric local, rlaţiil (.45) inclu asmna acst imrfcţiuni în aluara moulului lasticitat tangnt (iw 99). Rlaţiil fort axial-lasar axială ntru un lmnt lungim, ţinân sama rucra rigiităţii ari ca urmar a corctării (rucrii) moulului lasticitat E, ot fi trminat, aza următoarlor rlaţii: u,, 39 (.46. a) E A,39 u, >,39 (.46. ) E A,39 A Et Prin introucra ralţiilor (.45), c trmină moulul lasticitat tangnt E t corsunzător unui fort axial, în rlaţiil (.46) şi fctuara intgrali rzultă următoarl rlaţii nliniar forţă axială-formaţi axială: ε,, 39 (.47. a) ε ε x,946 x,743,39, >, 39 (.47. ) ε un ε ε E u ( σ c ) rrzintă formaţia axială normalizată totală in lmnt. Un alt mo a trmina moulul lasticitat tangnt E t st cl rous Chn şi ui (Chn & ui, 99), şi car utilizază rlatiil at Column Rsarch Council (CRC) ntru aluara încărcării critic a arlor suus la comrsiun axială (Galamos, 988): cr λ c, λc (.48. a) 4 cr, λ > c (.48. ) λc un cu λ c s-a notat coficintul sltţ transformat. Încărcara critică în omniul lastic st trminată rlaţia (.48.a) car inclu imlicit fctul tnsiunilor rziual, consirân aloara maximă a tnsiunii rziual comrsiun σ cr,5σ c, în cazul scţiunilor ti I, faţă σ cr,3σ c răzută în coul amrican AISC-RFD. 4

26 Moulul lasticitat tangnt al ari, st trminat în mo similar cu rocul scris mai sus, astfl: λc E t cr lastic 4 E cr lastic λc, (.49) rzultân următoarl rlaţii ntru moulul lasticitat tangnt: Et,, 5 E (.5. a) Et 4, E >, 5 (.5. ) Dlasara axială a ari acţionată forţa axială comrsiun, consirân corcţia moulului lasticitat tangnt E t st trminată următoarl rlaţii: u,, 5 E A (.5. a),5 u, >,5 E A,5 A Et (.5. ) Prin sustituira rlaţiilor (.5) trminar a moulului lasticitat tangnt E t în rlaţiil trminar a lasării axial (.5) şi fctuara intgrali rzultă rlaţiil nliniar fort axial-formaţi axială: ε,, 5 ε (.5. a), >, 5 (.5. ) 4 ε x ε un ε ε E u ( σ c ) rrzintă formaţia axială normalizată totală in lmnt. În figura.6. sunt rzntat curl comarati al ariaţii moulului lasticitat tangnt us aza rlaţiilor (.45) şi (.5), iar în figura.6 sunt rzntat rlaţiil fortă axială-formati axială trminat rlaţiil (.46) rscti (.5). Princiala ifrnţă intr cl ouă mto rzntat, consta în fatul că rima mtoa (RFD-E t ) inclu imlicit atât fctul tnsiunilor rziual cât şi fctul imrfcţiunilor gomtric local la molara rigiităţii fcti a arlor, în tim c a oua mtoă (CRC-E t ) consiră imlicit oar fctul tnsiunilor rziual...3. Consirara lastificării graual a scţiunilor transrsal În cazul lmntlor suus la forturi încooir imortant, molara rigiităţii lmntlor utilizân oar conctul moul lasticitat tangnt nu 4

27 st suficintă ntru rrzntara graării graual a rigiităţii lmntlor ca urmar a lastificării scţiunilor in lungul lmntului (iw s.al., 99; Whit ş.al., 99). Efctl lastificării istriuit sulimntar in lmnt ot fi atriuit în rincial acţiunii momntlor încooitoar. Acst fct ot fi rrzntat rin moificara molului articulaţiilor lastic clasic astfl încât să s asigur o graar grauală a rigiităţii la încooir a scţiunilor, surrinzânu-s ifritl situaţii lastificar arţială a scţiunilor ână la lastificara totală şi formara articulaţiilor lastic. În litratura scialitat sunt rous ifrit mol consirar a lastificării graual şi imlicit rucr a rigiităţii la încooir a scţiunilor, consirân ouă surafţ intracţiun -M, corsunzătoar iniţirii curgrii rscti lastificării intgral a scţiunilor şi aotara unor rlaţii liniar (Whit s. al., 99), araolic (iw ş.al., 99) sau nliniar us aza rlaţiilor M--Φ (King & Chn, 994) ntru consirara graării rigiităţii scţiunilor la încooir. În articulaţiil lastic format, ca urmar a lastificării intgral a scţiunilor, acţionază momntl lastic corctat ţinân sama fctul forţi axial, M c, car rrzintă încărcări alicat asura arlor, sr osir sarcinil at car s alică irct în nouri. Est ncsar ca încărcara ată momntl M c să fi înlocuită rin comonntl alicat în nouri, urmân rocul gnral rucr la nouri, a încărcărilor in curinsul arlor. Pntru acasta, trui trminat în ralail forturil încastrar rfctă corsunzătoar. S ţin astfl sama fctul forţlor axial asura momntlor lastic al scţiunilor, şi asmna s ralizază corlaţia corctă într forturi rin rsctara coniţii lastificar. În continuar s rzintă moul oţinr a matriclor rigiitat al lmntlor ti ară caru lan, rin intrmiul cărora s ţin sama fctul rucrii graual a rigiităţii la încooir, corsunzător molului liniar rscti araolic...8 E t 4 CRC : E Et/E.6.4 E t RFD :.743 ln E / Fig..6. Variaţia moulului lasticitat tangnt în funcţi aloara forţi axial. 43

28 . Elastic-rfct lastic.8 RFD-E t CRC-E t.6 / Fig..7. Variaţia formaţii axial în raort cu forţa axială..3.. Molul liniar (King s.al., 99) Pntru lmntul ară in figura.8, rlaţiil incrmntal lastic chiliru, utilizân formaţiil lmntului, ot fi scris astfl (King s.al., 99): δm i K ii K ij δ i (.53) δm j K ji K jj δ j în car coficinţii matrici rigiitat in cuaţia mai sus sunt (Goto & Chn 987): 3 4EI 44 K ii K jj 5 5EI (.54) 3 EI P 6P K ij K ji 3 5EI şi rrzintă rimii tri trmni in zoltara în sri aylor a funcţiilor stailitat lastică. ε/ε (i) δm i, δ i (ij) δm j, δ j (j) δ, δu Fig..8. Elmntul ară lan în sistmul cooronatlor ază. 44

29 În rlaţiil (.54) fortul axial st luat cu smnul minus în cazul comrsiunii. În cazul formării uni articulaţii lastic la noul "i" al ari "ij" rlaţiil c finsc aloril momntlor încooitoar incrmntal la catl ari sunt: δ M i Kii δi Kij δ j (.55 a) oarc s consiră ca în noul "i" s formază o articulaţi oişnuită, şi rin urmar crştra momnt încooitor st zro, şi δm j K ji δi K jj δ j (.55 ) Dtrminân δ i in cuaţia (.55 a) şi înlocuinu-l în cuaţia (.55 ) rzultă: K ij δm j K ij K ji δ j K (.56) ii astfl încât rlaţia incrmntală chiliru a lmntului in: δm i δi (.57) δm j K jj δ j un: K ij K jj K jj K ji (.58) Kii Pntru rrzntara grauală a lastificării scţiunii corsunzătoar unui anumit staiu intrmiar ătrunr a lastificării în scţiun, ornin la staiul rfct lastic şi ajungân la staiul limită corsunzător lastificării intgral a scţiunii, matrica rigiitat a lmntului, utilizân formaţiil acstuia, s oat scri: ( Kii Kii ρi ) ( Kij Kij ρi ) K Kij (.59) ( K ji K ji ρi ) K jj K ji ρi Kii un cu ρ i s-a notat aramtrul scalar corsunzător unui anumit staiu intrmiar lastificar a sctiunii "i", şi car oat lua alori într zro (rfct lastic, M i <M c ) şi unu (rfct lastic, M i M c ). În mtoa rousă (King ş,al., 99), aloara intrmiară a aramtrului ρ i, corsunzătoar unui anumit staiu lastificar a scţiunii ( M c M i M c ), st finită aza următoari rlaţii liniar, astfl: M i M c ρ i (.6) M c M c în car M i st momntul încooitor in noul "i"; M c rrzintă momntul încooitor corsunzător iniţirii curgrii în scţiun, iar M c rrzintă momntul încooitor lastic corctat al scţiunii. Atât momntul încooitor corsunzător curgrii, M c, cât şi cl corsunzător lastificării intgral a scţiunii, M c, ot fi trminat aza rlaţiilor intractiun -M corsunzătoar acstor staii (King ş. al., 99), fig

30 Pntru cazul gnral comortar în omniul lasto-lastic, în car articulaţiil lastic s ot forma la aml cat al lmntului, rlaţiil incrmntal chiliru s ot scri su următoara formă matricală: un: K K K ii ij jj δm δm K i K ii K ji j K ji ii K K jj K ij ij K K K ji K K ji jj ij jj δi δ j ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) K K ij ii ρ i j ρi j i ( ρ ) i (.6) (.6) Fig..9. Plastificara grauală a scţiunilor. Molul liniar. Rlaţiil (.6) introuc fctul lastificării graual şi total la aml cat al lmntului. Sr xmlu: În cazul în car ρ i ρ j, aml cat al lmntului s află în omniul lastic, astfl, cuaţia (.6) s ruc la cuaţia (.53) în car coficinţii rigiitat sunt finiţi rlaţiil (.54). În cazul în car ρ i şi ρ j s consiră formara articulaţii lastic la caătul "i" al lmntului, în tim c caătul "j" s află încă în omniul lastic, rlaţia (.6) s ruc în acst caz la rlaţia ată cuaţia (.57). 46

31 În cazul în car ρ i şi ρ j s consiră formara articulaţii lastic la caătul "j" al lmntului, în tim c caătul "i" s află încă în omniul lastic, rlaţia (.6) s ruc în acst caz la o cuaţi similară cu ca ată rlaţia (.57). În cazul în car ρ i şi ρ j s consiră ca la aml cat al lmntului s-au format articulaţii lastic, matrica rigiitat in rlaţia (.6) in în acst caz: K (.63) În cazul în car < ρ i < şi < ρ j < s consiră lastificara arţială la aml catt al lmntlor, corsunzătoar unui staiu intrmiar ătrunr a lastificării în scţiun Molul araolic (iw s.al., 99) Pntru rrzntara grauală a lastificării scţiunii la caătul "i" al ari "ij" (fig..8), corsunzătoar unui anumit staiu intrmiar ătrunr a lastificării în scţiun, ornin la staiul rfct lastic şi ajungân la staiul limită corsunzător lastificării intgral a scţiunii, s ot scri următoarl rlaţii incrmntal chiliru (iw s.al., 99): δm δm δ i j φi S Et I φi S S φi S S S ( φ ) i A I δ δ i δu j (.64) În rlaţia mai sus S şi S rrzintă funcţiil stailitat connţional, corsunzătoar lmntului ară caru lan acţionat forţa axială comrsiun şi momntl încooitoar la catl "i" rscti "j" al lmntului, (fig..8), ar în car moulul lasticitat longituinal st înlocuit cu moulul lasticitat tangnt E t şi car introuc fctul local P-δ al nliniarităţii gomtric local: ( ) π ρ sin π ρ π ρ cos ( π ρ ), cos( π ρ ) π ρ sin( π ρ ) S π ρ cosh( π ρ ) π ρ sinh( π ρ ) π ρ ) π ρ π ρ ) <, > (.65) 47

32 S π ρ cos π cosh π ρ sin ρ ( π ρ ), ( π ρ ) π ρ sin( π ρ ) ρ sinh( π ρ ) π ρ ( π ρ ) π ρ sinh( π ρ ) M M <., < > (.66) un ρ π Et rrzintă coficintul comrsiun lasto-lastic al ari, I iar fortul axial st luat cu smnul ngati în rlaţiil (.65) şi (.66), în cazul comrsiunii. În rlatia (.64) cu φ i s-a notat aramtrul scalar corsunzător unui anumit staiu intrmiar lastificar al scţiunii "i", corsunzător unui momnt încooitor total M i, şi car oat lua alori într zro (lastificar totală, M i M c ) şi unu (rfct lastic, M i M c ). În mtoa rousă (iw s. al., 99), aloara intrmiară a aramtrului φ, corsunzătoar unui anumit staiu lastificar a scţiunii ( M c M i M c ), st finită aza uni funcţii araolic, oţinută rin calirar cu rzultatl oţinut aza unor analiz lasto-lastic "xact" funamntat molul zonlor lastic: φ f ( α ) f ( M, ) (.67) un α rrzintă aramtrul scalar c măsoară intnsitata fortului rzultant, trminat fortul axial şi momntul încooitor M, la catl lmntului: 8 M α,, 9 M α, (.68) un cu M s-a notat momntul lastic iniţial al scţiunii (în asnţa fortului axial). În figura. sunt rzntat curl intracţiun -M corsunzătoar iniţirii curgrii (α,5) şi ca corsunzătoar lastificării total a scţiunii (α), cu osraţia că în acst stuiu aml cur s-au consirat ca aân acaşi formă. Oric unct in intriorul surafţi limitat cura iniţir a curgrii (α,5), car st o cură conxă în raort cu origina axlor M ( n, m ), finşt o star forturi şi M ntru car scţiuna s M află în staiul lastic, iar rigiitata scţiunii la încooir st ca iniţială. Pntru un unct aflat în intriorul sau frontirl omniului limitat cura intracţiun corsunzătoar iniţirii curgrii şi ca corsunzătoar lastificării total, corsunzător unui anumit staiu intrmiar ătrunr a lastificării în intriorul scţiunii (fig..), graara rigiităţii la încooir st trminată 48

33 rin intrmiul aramtrului φ conform următoari cuaţii araolic (iw s.al., 99): φ, α,5 (.69) φ 4 α ( α ), α >, 5 Pot fi consirat şi alt cuaţii mai comlx ntru aramtrul φ aluar a rigiităţii la încooir, ţinân sama lastificara grauală a scţiunilor, ar o xrsi simlă gnul clor rzntat în figura., confră acsti mto simlitat şi ficinţă. D mnţionat fatul ca funcţia araolică (.69) a fost oţinută rin calirar cu rzultatl oţinut aza unor analiz lasto-lastic "xact" funamntat molul zonlor lastic (iw, 99; iw ş.al., 99). Pntru rrzntara grauală a lastificării scţiunii la caătul "j" al ari "ij" (fig..8), corsunzătoar unui anumit staiu intrmiar ătrunr a lastificării în scţiun, ornin la staiul rfct lastic şi ajunân la staiul limită corsunzător lastificării intgral a scţiunii, s ot scri următoarl rlaţii incrmntal chiliru: S S ( φ j ) φ j S δm i S δ i Et I δm S S j φ j φ j δ j (.7) δ A δu I în car smnificaţiil notaţiilor in rlaţia mai sus au fost scris antrior. Pntru cazul gnral corsunzător uni lastificări graual la aml cat al lmntului, rlaţiil incrmntal chiliru, utilizân formaţiil lmntului (fig..8), s ot scri su formă matricală în moul următor: S φi S ( φ j ) φi φ j S S δm i δ i E t I S δm j φi φ j S φ j S ( φi ) δ j S δ δu A I (.7) În lgătură cu cuaţia (.7) s ot fac următoarl osraţii: În cazul în car < φ i < şi < φ j <, cuaţia (.7) introuc fctul lastificării arţial la aml cat al lmntului, în matrica rigiitat. 49

34 În cazul în car φ i φ j, aml cat al lmntului s află în omniul lastic, matrica rigiitat a lmntului in cuaţia (.7) s ruc în acst caz la următoara formă: S S E I K S S (.7) A I În cazul în car φ i şi < φ j <, caătul i al lmntului st în omniul lastic iar caătul j st arţial lastificat, şi rin urmar cuaţia (.7) s ruc în acst caz la cuaţia (.7). În cazul în car φ j şi < φ i <, caătul j al lmntului st în omniul lastic iar caătul i st arţial lastificat, cuaţia (.7) rucânu-s în acst caz la cuaţia (.64). Fig... Curl intracţiun -M corsunzătoar ifritlor staii comortar a scţiunii în omniul lasto-lastic. 5

35 Fig... Rlaţii trminar a rigiităţii la încooir în omniul lasto-lastic...4 Efctul nliniarităţii gomtric local. Funcţii stailitat..4. Intgrara cuaţii ifrnţial a firi mii format S consiră cazul gnral al uni încărcări transrsal constituită intr-o forţă uniform istriuită q şi o forţă concntrată Q car acţionază la istanţa c caătul al uni ar utrnic comrimat, Fig... y -c Q y c q y M z P P x M za s y z -c q z Q z c M y P P x M ya s z Fig... Bara utrnic comrimată încărcată cu forţ în lungul ari şi momnt încooitoar caăt. 5

36 Bara lungim, s consiră ralizată intr-un matrial omogn şi izotro cu comortar liniar lastică aân moulul lasticitat E şi a cări formă iniţială st afctată imrfcţiunil gomtric forma uni cur saţial cu roicţiil în lanuril (xy) şi (xz) forma unor sinusoi cu xcntricităţil maxim gal cu f y(z) în mijlocul său (Fig..3): πx y f y sin (.73) πx z f z sin Mtoa suraunrii fct oat fi alicată şi în cazul în car ara comrimată st acţionată mai mult sarcini transrsal cu coniţia ca ficar comonntă a încărcării să fi consirată ara acţionată intraga mărim a forţi axial, ci ntru aclaşi factor comrsiun ν consirat rt o caractristică (constantă) ată a ari utrnic comrimat: ν P / EI. Prmiza mai sus mnţionată îşi gasşt justificara în fatul că sarcinil axial imortant s alică irct asura arlor fiin innnt cllalt sarcini alicat transrsal arl structurii. Aân la ază acastă rmiză şi fatul că lasăril transrsal total al ari sunt oţinut rin însumara lasărilor iniţial atorat imrfcţiunilor gomtric şi a clor atorat sarcinilor xtrn, formaţia rzultantă s oţin: y y y (.74) z z z a y f y Sin(πx/) a z f z Sin(πx/) a y f y f z z x Fig..3. Molara imrfcţiunilor gomtric local. 5

37 Efctuara intgrării o ară utrnic solicitată axial, ncsită xrimara momntlor încooitoar în scţiuna curntă finită ascisa x. Consirân lanul încooir (xy) şi ara solicitată forţa axială comrsiun P (P>), forţa uniform istriuită q y, forţa concntrată Q y, şi momntl încooitoar noal M za şi M z, momntul încooitor în scţiua curntă, scris în raort cu oziţia formată a ari (Fig..) st at rlaţia: Qycx x x M z Py q y x( x) M za M z, x c (.75a) cx x x M z Py qyx( x) Qy x c M za M z c x, (.75) Ecuatia axi format, ntru cazul cân acasta s încarază în omniul micilor lasari ar forma cunoscuta: y y y M z (.76) EI z sau ţinân cont xrsia momntului încooitor în scţiuna curntă x: Qycx Py q y x( x), x c EI z x x M za M z y (.77) cx ( ) Py q y x x Q y x c, c x EI z x x M za M z otân cu α P / EI şi aân în r xrsiil (.73) ntru imrfcţiunil z gomtric iniţial şi ţinân cont rlaţia (.77) s ajung la cuaţia ifrnţială liniară nomognă orinul II: πx P f y sin q y x( x) Qycx x x M za M z, x c y α y EI z πx P f y sin q y x( x) cx x x Qy x c M za M z, c x (.78) c caractrizază ara utrnic comrimată. Soluţia gnrală a acsti cuaţii st forma: 53

38 y y y (.79) un y st soluţia gnrală a cuaţii omogn şi car s oat alg su forma: y C sinαx C cosαx (.8) iar y st o soluţi articulară a cuaţii nomogn şi car s oat alg uă forma mmrului rt a cuaţii (.78). Astfl soluţia cuaţii ifrnţial (.78) s oat scri: 3 α f y πx C sinαx C cosαx sin π α x ( ) qy Qycx x M za qyx x M z, x c P α y 3 EI z α f y πx C x C x 3 sinα 4 cosα sin π α x ( )( ) ( ) qy Qy c x x M za qyx x M z, c x P α (.8) Constantl intgrar C i(i,,4) s trmină atât in coniţiil la catl ari y ( ) ; y( ), cât şi in unctul alicar al sarcinii Q un cl oua orţiuni al axi format scris cuaţia (.8) au acaşi lasar şi o y y tangntă comună y ( c ) y( c ),. Alicara ( c) ( c) acsor coniţii conuc la următoarl xrsii ntru constantl intgrar: q y Q y C M z M za cosα ( cosα) sinαc P sinα α α q y C M za P α (.8) q y q y Q y C3 M z cosα M za ( c) P cosα sinα sinα α α α q y Qy C4 M za sinα( c) P α αp Rlaţii similar s ot otin în cazul incooirii în lanul (xz) înlocuin inicii infriori y cu z iar α cu β P / EI y. În mo asmănător ot fi stuiat şi alt cazuri încărcar. Cu constantl intgrar trminat rlaţiil (.8) lasara totală st oţinută înlocuin rlaţia (.8) în rlatia (.8). 54

39 ..4. Matrica rigiitat a lmntului ară caru saţial în calculul orinul al II-la S consiră cazul arlor cu scţiun constantă şi cu imrfcţiuni gomtric local, solicitat la încooir cu forţ axial utrnic întinr sau comrsiun. Oictul consiraţiilor tortic şi a sistmatizării rzntat în cl c urmază st a ruc calculul la forma cunoscută in statica liniară, intruucân fctul nliniarităţii gomtric orinul II rin intrmiul unor coficinţi corcţi, stailiţi în funcţi nilul forţi axial şi cuantificaţi rin intrmiul factorului comrsiun. Astfl matrica rigiitat a unui lmnt ară rată saţială corsunzătoar unui calcul liniar lastic orinul I în sistmul cooronat local oat fi corctată rin intrmiul unor coficinţi, numiţi funcţii stailitat, introucân astfl în calcul moificăril rigiitat al arlor atorată rznţi forţlor axial comrsiun sau întinr. a ar utrnic comrimat crştra factorului comrsiun conucân la scări rigiitat. În forma matricală rlaţia fortă-lasar, în sistmul cooronat local lmntului, s scri: l F [ ] l k[ ] l u[ ] lfq[ ] (.83) un l k rrzinta matrica rigiitat a lmntului ară în sistmul local rfrinţă corctată aza funcţiilor stailitat finit în funcţi rorităţil scţional şi gomtric al arlor rcum şi nilul forţlor axial şi al momntlor încooitoar noal, iar l F q rrzintă ctorul forţlor chialnt noal ntru o ară acţionată încărcări intr nouril caăt şi afctată imrfcţiuni gomtric local. Rlaţia fortă-lasar (.83) s scri zoltat astfl: F F F M M M F F F M M M xa ya za xa ya za x y z x y z sk sk 7, s k 7, s k 6 6, s k 7 8, s k 6, s k 9 3,3 s k 8 5,3 s k 9 9,3 s k 8,3 k k 4,4,4 s k 4 5,5 s k 8 9,5 s k 5,5 s k 6,6 s k 6 8,6 s k 3,6 s k 7,7 s k 7 8,8 s k 6,8 SIMERIC s k 9 9,9 s k 8,9 k, s k 4, s k, ua f a f wa f xa m ya m za m u f f w f x m y m z m (.84) un cu k i,j s-au notat coficinţii rigiitat in calculul liniar lastic orinul I iar s i( i,...,9) sunt funcţiil stailitat consirat rt măsura a rigiităţii ari ntru anumit mouri articular formar: s : funcţia stailitat c măsoara fctul încooirii asura rigiităţii axial a ari; s : funcţia stailitat c măsoara fctul forţi axial asura rigiităţii la încooir c s oun rotirii no a faţă axa z; xa ya za xa ya za x y z x y z 55

40 s 3 : funcţia stailitat c măsoară fctul forţi axial asura rigiităţii la încooir c s oun rotirii no faţă axa z; s 4 : funcţia stailitat c măsoară fctul forţi axial asura rigiităţii la încooir c s oun rotirii no a faţă axa y; s 5 : funcţia stailitat c măsoară fctul forţi axial asura rigiităţii la încooir c s oun rotirii no faţă axa y; s 6 : funcţia stailitat c măsoară fctul forţi axial asura rigiităţii la încooir faţă axa z c s oun translaţii în ircţia y; s 7 : funcţia stailitat c măsoară fctul forţi axial asura rigiităţii la luncar în ircţia y c s oun translaţii în ircţia y; s 8 : funcţia stailitat c măsoară fctul forţi axial asura rigiităţii la încooir faţă axa y c s oun translaţii în ircţia z; s 9 : funcţia stailitat c măsoară fctul forţi axial asura rigiităţii la luncar în ircţia z c s oun translaţii în ircţia z; rui scificat fatul că, funcţiil stailitat finit mai sus, surrin fctul local al nliniarităţii gomtric rin raortara forţlor axial la oziţia formată a arlor rscti, introucân în calcul aşa numitul fct P-δ şi xrimân fatul ca forţa axială comrsiun sau întinr ar rt fct moificara rigiităţii ari rscti. Cu toat acsta, formata ansamlu a ari, caractrizată rin lasăril şi rotiril nourilor (fctul P- ) nu intrin în matrica rigiitat l k car s alcătuişt ntru coniţiil omniului micilor lasări şi rotiri. Acst in urmă fct, car s rfră numai la încooira sulimntară atorată forţlor axial in arl a caror nouri caăt sufră lasări ircţia rniculară, a fi xrimat sarat în carul matrici rigiitat gomtrică. Mai trui scificat asmna fatul că aşa numitul fct P- oar aroximază fctul nliniarităţii gomtric gloal car s rfră la moificara rigiităţii ansamlu a structurii ca urmar a moificării configuraţii gomtric gloal al acstia. Efctul gloal al nliniarităţii gomtric oat fi surrins riguros în analiză oar rin consirara xlicită a moificării configuraţii gomtric al nourilor structurii şi xrimara coniţiilor chiliru static în acst configuraţii format. Moalităţi cu riir la intgrara fctului nliniarităţii gomtric gloal în analiza ansamlu a structurilor cu lasari şi rotiri mari or fi rzntat în carul aragrafului.4. Efctl forţi axial asura rigiităţii la torsiun şi a momntului torsiun asura rigiităţii axial a ari sunt nglijat în rznta formular, şi funcţii stailitat similar cu cl finit mai sus ot fi formulat. În cl c urmază or fi trminat xrsiil funcţiilor stailitat şi a forţlor chialnt la nouri, în cazul uni ar utrnic solicitată axial rcum şi momntl încooitoar noal (m a, m ) şi o forţă uniform istriuită întraga lungim a ari. Efctul încooirii ari asura rigiităţii axial. Coficintul s 56

41 Aşa cum rzultă in figura. lungima axi format a ari solicitată sarcini xtrioar oat fi calculată cu rlaţia: y z S s (.85) un y şi z rrzintă lasăril transrsal total oţinut rin însumara lasărilor inţial in imrfcţiuni gomtric şi cl at sarcinil xtrioar alicat asura ari, iar ascisa x finşt un unct aarţinân linii lastic a ari finit ca locul gomtric al cntrlor grutat al scţiunilor in lungul i, (Fig..). În iotza formaţiilor unghiular mici în sctiun y/<<, z/<<, rlaţia mai sus s scri: y z S (.86) Astfl, scurtara ari, cauzată lasăril transrsal total y şi z s oat calcula cu rlaţia: y z S δ (.87) / (a) Bara rată fără imrfcţiuni () Bara cu imrfcţiuni gomtric δ δ δ (c) Bara cu imrfcţiuni gomtric încooiată Fig..4. Efctul încooirii ari asura rigiităţii axial. Ţinân sama fatul că lasăril transrsal y şi z sunt oţinut rin însumara clor ouă fct, a încooirii iniţial şi a formaţiilor atorat sarcinilor xtrioar (yy y ; zz z ), aşa cum rzultă in Fig..4, scurtara rală a ari, st trminată următoara rlaţi: 57

42 y z y z δ δ δ (.88) iar scurtara totala (δ t ) st oţinută rin însumara formaţiilor axial atorat fortului axial P (δ a ) şi a formaţiilor in încooir (δ ): P y z y z t a EA δ δ δ (.89a) P EA y z y z δ t (.89) EA P Rlaţia (.89) oat fi rscrisă astfl: P δ t (.9) EA s un s (.9) EA y z y z P şi rrzintă coficintul corcţi c măsoară fctul încooirii asura rigiităţii axial a ari. Aân cunoscut xrsiil ntru calculul lasărilor transrsal y şi z coficintul s s oat calcula rin intgrări succsi lungima ari. Vom a în continuar xrsia acstui coficint nglijân fctul imrfcţiunilor local şi a sarcinilor intr nouril ari. În acst caz am: y α( mza mz )( cotα α cos c α) ( mza mz ) H z P mzamz ( cos c )( cot ) P α α α α (.9) şi z β( m ya m y )( cot β β cosc β) ( m ya m y ) H y P m yam y ( cos c )( cot ) P β β β β (.93) Astfl rlaţia (.9) in în acst caz: s (.94) EA ( H y H z ) 3 4P Similar s oat oţin xrsia coficintului s în cazul în car forţa axială st întinr. În acst caz coficintul s ar următoara formă: 58

43 un si H y β βm H z αm s (.95) EA ( H ) 3 y H z 4P ( m m )( coth β β cosch β) ( m m ) ya α m ya y y ( coschβ)( β coth β) ( m m )( cothα αcosch α) ( m m ) za m za z z ( coschα)( αcothα) za ya z y (.96) (.97) Efctul forţi axial asura rigiităţii la încooir S consiră ara cu imrfcţiuni gomtric local solicitată forţa uniform istriuită q y(z) şi momntl încooitoar caăt m y(z)a şi m y(z). În acst caz lasara transrsală într-o scţiun curntă x a ari s oţin rin articularizara rlaţii (.8). m y P q y x P a. Încooira în lanul X-Y. z sinαx sin α ( x) x mza P π f y π α πx sin ( x) sinα sinα x q y Pα cos α αx cos α (.98) Unghiuril rotati la catl ari s găssc riân rlaţia (.98) şi sustituin x ntru caătul a şi x ntru caătul : α sin α αx y m ( x) q z α cosαx mza α cosα y P sin α P sin α Pα cos α 3 q y π f y πx ( x) cos P π α (.99) 59

44 y x α za m P q y π f y P π α y x α z 3 3 m P z z α m sinα P za α cosα m sin α P za α cosα q y sinα Pα α α sin q y Pα α sin α cos α (.) α sin α cos α q y π f y P π α (.) Rlaţiil (.) şi (.) ot fi raranjat în formă matricală connsată astfl: m k f q f y k f q (.) un m rrzintă ctorul momntlor încooitoar noal, k st matrica rigiitat ctorul rotirilor iar f q şi f y rrzintă ctorul forţlor chialnt noal f q ronit in forţa uniform istriuită q rscti imrfcţiunil gomtric local y. Dzoltat rlaţia mai sus s scri: 4EI z EI z 6 s s3 3 m q 4 f za α y s ( ) s3 P π za y s s3 4 6 m EI EI z z z α z α π α (s s3 ) s3 s 4s s3 (.3) un ntru cazul forţi axial P comrsiun funcţiil s şi s 3 au următoarl xrsii: α ( sinα α cosα) s 4 ( cosα α sinα) (.4) α ( α sinα) s3 ( cosα α sinα) Din acst xrsii s constată carcatrul nliniar car coficinţii corcţi îl introuc în xrsiil momntlor încooitoar caăt şi în cl al forţlor chialnt la nouri. D asmna s oat osra fatul că ariaţia coficinţilor st nliniară în raort cu α, accntuinu-s cân factorul comrsiun crşt, iar ntru α aloara coficinţilor st gală cu unitata. Alt situaţii încărcar ot fi introus în calcul urmân un raţionamnt similar, matrica rigiitat nfiin afctată forma acstora. Pntru ar cu forţ axial mari întinr, fctul st faorail, aucân un sor rigiitat. S ot staili xrsii similar al coficintilor corcţi, înlocuin forţa axială P cu P în 6

45 rlaţia (.75). Urmân un rocu similar cu cl ntru cazul forţi comrsiun s ajung la o rlaţi similară cu ca ată în (.3) ar în car coficinţii corcţi au următoara xrsi: α ( α coshα sinhα) s 4 ( coshα α sinhα) (.5) α ( sinhα α) s3 coshα α sinhα. Încooira în lanul X-Z ( ) Urmân un raţionamnt similar rlaţia într momntl încooitoar noal şi rotiril la catl a şi al ari rzultă următoara formă: m m ya y 4EI s4 EI s5 y y EI s5 4EI s4 y y α α ya y q z 6 4s4 s 6 4s4 s5 5 3 P π f z (s4 s5 ) β π β (s4 s5 ) (.6) un în cazul uni forţ comrsiun şi notân cu β P / EI : y iar ntru întinr: s s s s β 4 β β 4 β ( sin β β cos β) ( cos β β sin β) ( β sin β) ( cos β β sin β) ( β cosh β sinh β) ( cosh β β sinh β) ( sinh β β) ( cosh β β sinh β) (.7) (.8) Matrica rigiitat Rlaţiil (.3-.6) ot fi raranjat într-o forma matricala comacta unân în inţă matrica rigiitat în coorontl ază al lmntului c k ară saţial (Fig..5): 6

46 P m m m m mt ya y za z EA 4EI s4 EI s5 y y EI s5 4EI s4 y y 4EI z s EI z s3 EI z s3 4EI z s δ t α ya a α y fq α za fq α z t GI / t (.9) Mai art, matrica rigiitat, în sistmul local al lmntului, s alcătuişt în coniţiil omniului micilor lasări şi rotiri rintr-o transformar liniară într cooronatl ază şi cl local al lmntului. Aân în r figura.5 utm xrima rlaţiil cinmatic şi chiliru în forma matricală astfl: ua F q xa y a F ya w qz a Fza δ t xa M xa P α ya ya M ya mya α y za ; [ ] M m (.) za y α 6 za u [ 6 ] Fx mza α z q F m y y z t w Fz mt q z x M x y M y z M z un matrica liniară transformar ar următoara formă: / / / / (.) / / / / 6

47 y m ya m y m t P P m t x m za m z z y M ya M y M xa F xa F ya F y F x M x x F za F z M za M z z Fig..5. Sistml rfrinta aza rscti local al lmntului ara. Astfl rlaţia într ctorul forţlor noal şi cl al lasărilor în sistmul cooronat local lmntului ot fi oţinut rin cominara rlaţiilor (.): F u q y xa a F ya a qz Fza wa M xa xa M ya ya M za za k Τ fq (.) Fx u q F y y F w z q z M x x M y y M z z rzultân matrica rigiitat şi ctorul forţlor noal chialnt rzntat la încutul acstui aragraf şi ată rlaţiil (.84) a cări xrsi comactă oat fi scrisă: 63

48 l k Τ F q 6 6 c f q k 6 6 q 6 (.3) un s-a folosit notaţia: q y qz q y qz q. Efctuân rousl matrical in rlaţia (.) s ajung la următoara formă ntru matrica rigiitat a lmntului ţinân sama fctl local P-δ al nliniarităţii gomtric: l k l k l k (.4) l k l k 3 un a a c c l k ; l k (.5) f f g i c h c j a c l k 3 f m c n un: EA EI z 6EI z a s, s s ; c s s EI y 6EI y GI 4EI t y s s ; s s ; f ; g s4 (.6) 4EI EI z y EI 4EI z y 4EI z h s ; i s5 ; j s3 ; m s4 ; n s Aşa cum s-a mnţionat mai sus matrica rigiitat trminată rlaţiil (.3) inclu oar fctul local al nliniarităţii gomtric. În mo curnt nliniaritata gomtrică s manifstă rin oua fct imortant şi anum: 64

49 - un fct local flxiilizar/rigiizar a arlor comrimat/întins car oat fi rins în analiză rin consirara matriclor rigiitat lmntar orinul II trminat rlaţiil (.4-.5); - un fct gloal atorat moificării configuraţii gomtric a nourilor şi car în mo riguros oat fi aluat oar rin analiza structurii în asamlu şi corctara forţlor nchilirat c aar atorat moificării configuraţii gomtric a structurii la un ciclu calcul la altul. O ariantă aroximatiă a acstui fct rin car s ia în consirar numai încooira sulimntară atorită forţlor in nouri raortat la schma formată a structurii, ca urmar a lasărilor nourilor ircţia rniculară la axl arlor, st aşa numitul fct P-. Fig..6. Efctul local P-δ şi cl gloal P-. Pntru inclura fctului P- în matrica rigiitat lmntară s oat consira următoara rlaţi chiliru într forţl noal în configuraţia ază a lmntului şi cl în sistmul local: 65

50 F F F M M M F F F M M M xa ya za xa ya za x y z x y z P P P m ya my [ 6 ] mza m P z m P t (.7) un cu s-a notat lasara rlatiă a nourilor lmntului ară ircţia rniculară axi ari (Fig..6), iar rrzintă matrica liniară transformar ată rlaţia (.). Urmân un raţionamnt similar cu cl folosit la ucra matrici rigiitat în sistmul local ţinân sama oar fctl local al nliniarităţii gomtric s oţin următoara formă ntru matrica rigiitat car inclu aml fct al nliniarităţii gomtric: l k l k k k l k (.8) l k l k 3 k k un s-a notat cu k matrica rigiitat gomtrică atorată fctului P- : P P k (.9) 66

51 .3 MEODA EEMEEOR FIIE Î SUDIU COMPORĂRII EIIARE A CADREOR PAE. MODEU PASIFICĂRII DISRIBUIE Analiza statică nliniară gnrază, în mtoa lmntlor finit, sistm cuaţii nliniar, ntru rzolara cărora s rcurg la liniarizara rin mtoa scantlor sau rin mtoa tangntlor. În concoranţă cu acsta s finsc matrica scantă a rigiităţilor, rscti matrica tangntă a rigiităţilor. Dtrminara matriclor caractristic al lmntlor finit, în formulara lasărilor, s azază rinciiul lasărilor irtual si, consirara uni funcţii lasări, oici su forma olinomială, cu ajutorul caria s ot xrima lasăril oricărui unct in intriorul lmntului, în raort cu lasăril nourilor la catl lmntului finit. Oată cunoscut câmul lasări, aza unui stuiu gomtric, s oat trmina stara formaţi scifică şi fort unitar in lmnt. Dacă s ţin sama ca formata structurii nu s încarază în omniul micilor lasări, ntru o ară intr-o structură lană, un in tnsorul formaţiilor s rţin numai formaţia scifică corsunzătoar axi longituinal a ari, xrsia acstia nu mai oat fi mnţinută su forma simlă, ci trui aăugaţi unul sai mai mulţi trmni ntru a ţin sama intrnnţa intr solicitări. Pntru ficar asmna formă a rzulta o altă alcătuir a matrici rigiitat scantă rscti tangntă, algra cli mai otriit inzân natura rolmi stuiat şi graul aroximar orit. Formulara calculului nliniar în mtoa lmntlor finit, imlică rzolara următoarlor ouă asct rincial: () Dtrminara cuaţiilor c caracatrizază comortara nliniară a structurilor, su cl oua asct, cl fizic şi cl gomtric:. (a) aotara rlaţiilor nliniar într formaţiil scific şi lasări. () aotara unui mol aza căruia să s ucă rlaţiil (c) constituti nliniar σ-ε alicara rinciiului lasărilor irtual ntru trminara cuaţiilor chiliru static. () Rzolara acstor cuaţii nliniar, rin mtoa lmntlor finit. Princiiul mtoi lmntlor finit alicat în stuiul structurilor in ar, constă în sarara structurii rin linii imaginar rzultân un anumit număr lmnt finit. Elmntl finit sunt rsuus că s intrconctaza într-un număr iscrt unct noal situal la catl lor; lasăril acstor unct noal s consiră a fi aramtrii ncunoscuţi. Dlasăril unctlor in intriorul ficărui lmnt finit sunt xrimat în funcţi lasăril nourilor intrconxiun, cu ajutorul unor funcţii lasări. Funcţiil lasări, oată finit, srsc la ucra stării forturi unitar în irs scţiuni şi fir, in intriorul lmntului finit. Soluţionara sistmului cuaţii nliniar imlică alicara următoarlor rocuri: 67

52 (a) Aotara tiului lmnt finit şi asocira gralor lirtat în funcţi natura rolmi stuiat şi graul aroximar orit. () Dfinira funcţiilor lasări aza cărora s finsc lasăril în intriorul lmntului finit. (c) Exrimara cuaţiilor chiliru în funcţi lasăril gralor lirtat asociat lmntului finit utilizat. () Alicara unor roc incrmntal sau incrmntal-itrati ntru rzolara sistmlor cuaţii nliniar rzultat. Exmlificara alicării mtoi lmntlor finit la analiza lastolastică a structurilor în car lan mtalic s rzintă în continuar. Molul calcul rzntat în continuar a stat la aza zoltarii unui rogram calculator utilizat în stuiil numric calirar a rogramului EFCAD, rzntat în carul caitolului 5 al acsti lucrări..3. Rlaţii nliniar într formaţiil scific şi lasări. Efctul local al nliniarităţii gomtric liniaritata gomtrică roin in rlaţii formaţii-lasări nliniar şi in moificari finit al gomtrii. Rlaţia într formaţiil scific şi lasări car st luată în consirar în acst stuiu st ca corsunzătoar iotzi conform căria formaţiil sunt mici, ar finit, iar rotiril morat. Consirân lmntul lan ară rată suus acţiunii uni forţ uniform istriuit q şi forţlor axial la catl i (Fig..7 a), s a trmina în cl c urmază forma comonnti axial a tnsorului formaţiilor Grn, x, corsunzătoar iotzlor amintit mai sus. Pntru acasta s consiră lmntul ară lungim arall cu axa firi mii format a lmntului şi car st rzntat în figura.7.. Comonnta axială a tnsorului Grn, în rolma lană, st ată rlaţia: u u x (.) x x x în car cu u şi s-au notat lasăril unui unct aritrar P al scţiunii transrsal al lmntului (fig..7.). Consirân formaţia lmntului infinitsimal conform figurii.7.c, şi alicân torma lui Pitagora, urmată nişt oraţii matmatic lmntar, s ot uc următoarl rlaţii gomtric: ε x u u ε x (.) x x x în car cu ε x s-a notat alungira scifică a lmntului infinitsimal. S osră că arta rată a cuaţii (.) rrzintă tocmai comonnta axială a tnsorului formatiilor Grn. Astfl alungira scifica ε x s oat scri: ε x ε x x (.) 68

53 Fig..7. Efctul nliniarităţii gomtric. Stailira rlaţiilor nliniar într lasări şi formaţii. Acctân iotza formaţiilor mici, ar finit: x << sau ε x << (.3) rzultă că ε x, în acst caz conform c. (.) alungira scifică coinci cu comonnta axială a tnsorului Grn. Pntru simlificara rlaţii nliniar c finşt formaţia x s introuc coniţia rotirilor morat: << x (.4) car st oricum mai uţin rstrictiă cât ca a rotirilor mici ( << ). x Rzolân cuatia (.) în ncunoscuta u x rzultă: otân: cuaţia (.5) oat fi scrisă: u x (.5) x x λ x (.6) x u x λ (.7) 69

54 P aza rlaţiilor mai sus s osră că u x ar aclaşi orin mărim cu λ, ca c imlică că: u λ λ... << (.8) x 8 rzultân următoara xrsi rusă a cuaţii (.): u x (.9) x x Acctân, în continuar, iotzl conform cărora forma scţiunii trasrsal a scţiunii nu s moifică şi asmna lanul transrsal rămân lan şi normal la axa ari, în timul formării (Brnoulli-Eulr), comonntl lasării unui unct oarcar P al scţiunii transrsal ot fi xrimat în funcţi comonntl lasării unctului A, situat fira mi a aclaşi scţiuni astfl (fig..7.): u u y sinα u y (.3) y ( cosα ) (.3) un: u u cosα x x (.3) u uo x x x x x x sin α (.33) u u x o x x x x rzultân următoara rlaţi nliniară într formaţii şi lasări în iotza formaţiilor mici şi a rotirilor morat: u x y (.34) Acasta rlaţi a fi utilizată mai art ntru trminara nrgii otnţial formaţi a lmntului finit..3. Rlaţii nliniar într forturi unitar şi formaţii scific. Efctul nliniarităţii fizic. a nilul matrialului nliniaritata fizică st caractrizată rin rlaţia nliniară într tnsiuni şi formaţii: σ f (ε ) (.35) 7

55 c oat fi scrisă connţional su forma liniarizată: σ E s ( ε ) ε (.36) P lângă acastă rrzntar finită s oat utiliza şi o rrzntar ifrnţială, c stailşt o lgătură liniară într ariaţiil tnsiunii σ şi a formaţii ε: δσ E ( ε ) δε (.37) E ε şi Sr oasir cazul fizic liniar (lastic), moulii lasticitat s ( ) ( ε ) E in aloara formaţii ε şi rrzintă rigiitata scantă, rscti tangntă a matrialului. Pntru xmlificar, în figura.8 sunt rzntat forml simlificat al curlor caractristic al tonului (fig..8.) şi a oţlului (fig..8.a). Fig..8. Cur constituti σ-ε tortic utilizat ntru molara nliniarităţii fizic al oţlului şi al tonului. Astfl ntru moulii formaţi scant şi tangnt în cazul tonului s oţin următoarl rlaţii: - ntru ε < ε m Rc ε ε σ ε E Es ε ε,5 m ε, 5 m ε, m (.38) ci moulul formaţi scant st gal cu: ε E s E,5 (.39) ε m Prin riar s oţin: 7

56 σ ε E,5 ε m ε ε,5 E ε m ε ε m, (.4) ε σ E ε ε (.4) m cu moulul formaţi tangnt: ε E E (.4) ε m Rc - ntru ε m < ε ε : σ Rc ε cu moulul formaţi scant: ε Rc Es, şi cl tangnt E. ε Forma simlificată a curi caractristic a oţlului st rrzntată în figura.8.a, îmrună cu moulii formaţi corsunzători. Pntru ucra matriclor caractristic al lmntului finit, în continuar s utilizază acastă formă simlificată a molării nliniarităţii matrialului, corsunzătoar oţlului, şi anum molul lastic rfct lastic fără rconsoliar..3.3 Dtrminara matriclor caractristic al lmntlor finit iul lmnt finit utilizat în acst stuiu st cl ară rată cu şas gra lirtat (3 gra lirtat no), corsunzătoar lsărilor axial, rtical şi rotirilor (fig..9.a). Acctân molul comoratr lastic-rfct lastic al matrialului (scărara ar loc consirân moulul lasticitat iniţial, iar rconsoliara nu st luată în consirar), nrgia otnţială formaţi a lmntului finit oat fi scrisă în moul următor (Foly & Vinnakota, 999): ε c ε U σ ε V σ ε σ c ε V (.43) ε c V ε c V gatură nliniară într formaţia scifică axială (incrmntală) şi lasări, faţă sistmul rfrinta fix al scţiunii transrsal curnt a lmntului finit (fig..9.), oat fi scrisă conform cuaţii (.34), acctân comortara lastică arcursul unui incrmnt al încărcării, astfl: u ε y (.44) Utilizân lga lui Hook, c stailşt rlaţia într formaţii şi tnsiuni, ntru firl scţiunilor transrsal aflat în omniul lastic, sustituin rlaţia (.44) în (.43) şi fctuân intgrăril surafaţă, rzultă următoara xrsi a nrgii otnţial formaţi ntru lmntul finit arţial lastificat (fig..9.): 7

57 U E E A u A A c u S σ c y A A σ u A A z S z σ c A u I z A σ c ε c A A 4 4 (.45) În rlaţia (.45) caractristicil scţional (aria, momntul static şi momntul inrţi) al scţiunilor transrsal al lmntlor finit sunt trminat consirân oar orţiuna lastică rămasă (rfrnţiat rin inicl ""), şi sunt trminat faţă un sistm rfrinţă fix, format rgulă, in axl rincial al scţiunii şi aân origina în cntrul grutat lastic iniţial al scţiunii, conform figurii.9.. Consirara sistmului rfrinţă fix, rmit luara în consirar a zoltărilor nsimtric al zonlor lastic în scţiun, rcum şi fctul xcntricităţilor alicar al forţlor axial. Caractristicil scţional al scţiunilor transrsal ot fi xrimat aza următoarlor rlaţii (fig..9.): Fig..9. Elmntul finit firă. 73

58 A A A, S z y A A, I y A CG z A A, A A (.46) Rzultantl tnsiunilor in zonl lastificat al scţiunii ot fi xrimat: σ A, M σ y A (.47) A A c Astfl, cu notaţiil mai sus, nrgia otnţială totală formaţi ntru lmntul finit in figura.9.a, încărcat cu forţa uniform istriuită q şi forţl caăt f s scri: E Π E A A u u A q f u S A S A c u I A M A z z z A A A 4 4 ε c (.48) Pntru aroximara câmului lasări in intrirul lmntului finit, s utilizază funcţiil stanar introlar agrang ntru lasăril axial şi Hrmit ntru lasăril transrsal. Prin intrmiul acstor funcţii introlar s aroximază lasăril unctlor, in lungul axi rfrinţă iniţială (fixă) a lmntului finit (fig..9.a), uă cl oua ircţii, longituinal şi transrsal, în funcţi lasăril noal cunoscut, consirân o ariaţi liniară (agrang) ntru rrzntara lasărilor axial, u, rscti o ariaţi olinomială cuică (Hrmit) ntru rrzntara lasărilor transrsal,. otân cu ctorul lasărilor noal al lmntului finit rrzntat în figura.9.a, câmul lasări s oat xrima în funcţi ctorii introlar corsunzători lasărilor axial, u şi transrsal, astfl: u u ; (.49) un: x x u,,,,, , x x, x x x,, x x, x x 3 3 (.5) Sustituin rlaţiil (.5) în (.48) rzultă următoara xrsi a nrgii otnăial total formaţi a lmntului finit în funcţi ctorul 74

59 75 lasărilor noal la catl lmntului: f A A u A z u u z u u q M S E A E A E S E I E A E 8 Π (.5) Alicara rinciiului lasărilor irtual st chialntă cu minimizara funcţionali (.5) a nrgii otnţial total formaţi a lmntului, aică anulara rimi riat a otnţialului în raort cu toat lasăril noal: δ δ Π Π (.5) car cu rlaţia (.5) in: A A u A z z z u u u u z u u q M EA ES ES ES x EA EA EA ES EI EA 4 f Ν Ν δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ (.53) Eliminân ariaţia δ a lasărilor şi gruân în mo connail trmnii cuaţii nliniar (.53) s oat oţin rlaţia nliniară forţă-lasar, în snsul mtoi scantlor, într mărimil total al forţlor şi al lasărilor: ( ) F K s Ψ (.54) şi car oat fi scrisă: ( ) s s s s q 3 f K K K K (.55) în car: u z u u s ES EI EA 4 K (.56) z z z u u u s ES ES ES EA EA EA K (.57) s EA K (.58)

60 3s A K (.59) În cuaţia (.56) K s rrzintă matrica rigiitat in calculul orinul I (st innntă lasăril nourilor lmntului finit), ar car inclu fctul lastificării arţial şi nsimtric al scţiunilor in lungul lmntului finit. Matrica K 3s rrzintă matrica lasărilor iniţial, xrimân aroximaţia orinul I a intracţiunii într rzultanta axială a tnsiunilor in zonl lastificat al scţiunilor lastificat şi lasăril transrsal. Matricl K s şi K s rrzintă matricl rigiităţilor gomtric, în araianta scantă, şi xrimă fctul atorat solicitărilor încooir cu fort axial, rin intrmiul unor rlaţii liniar rscti ătratic într lasăril latral şi rotiril nourilor. D notat fatul că toat acst matrici sunt xrimat în cooronatl local al lmntului finit şi sunt simtric, rzultân în acst caz o matric rigiitat scantă totală simtrică. Exrimân ariaţia orinul II a nrgii otnţial total formaţi (.5) a lmntului finit rzultă xrsia matrici rigiitat tangntă, în cooronat local, rin intrmiul căria s xrimă rlaţia nliniară într ariaţia forţlor şi ariaţia lasărilor, şi car oat fi scrisă simolic, su forma matricală astfl: K t F (.6) un F şi rrzintă ctorul ariaţii forţlor şi rscti ctorul ariaţii lasărilor noal al lmntului finit, în cooronat local, iar K t rrzintă matrica rigiitat tangntă car asmna oat fi scrisă ca suma a atru matric: K t K t Kt K t K 3t (.6) a caror smnificaţi st similară cu ca ată antrior, în cazul matrici rigiitat scantă. Consirara zoltării zonlor lastic în scţiunil transrsal al lmntlor finit s fac rin îmarţira acstor scţiuni rintr-un carilaj ochiuri rtunghiular (fig..3) şi xlicitara formaţiilor în rtul acstora utilizin cuaţia (.5) în funcţi aloril lasărilor incrmntal la catl lmntului finit, actualizânu-s astfl la ficar as aloril formaţiilor total, aza formaţiilor in aşii antriori: k k k ε i ε i ε i (.6a) k k k k k ε i u yi ε ri (.6.) Prin monitorizara xlicită a formaţiilor în ficar firă a scţiunii transrsal, ntru ficar incrmnt al incărcării, rin intrmiul rlaţiilor (.6), s ia în consirar cu maximă acuratţ zoltara grauală a zonlor lastic şi a scărcărilor lastic în firl scţiunii rcum şi influnţa formaţiilor in tnsiuni rziual, ε ri, asura caractristicilor formailitat şi rigiitat al 76

61 scţiunilor. O firă s consiră lastificată în momntul în car formaţia totală corsunzătoar unui anumit incrmnt k al incărcării aşşt aloara formaţii iniţir a curgrii ε c. Pntru aluar intgrallor surafaţă car intrin în rlaţiil (.46) şi (.47), trminar a caractristicilor rigiitat al scţiunilor transrsal, s ot utiliza ifrit mto numric intgrar numrică cum ar fi mtoa Simson sau mtoa Gauss. Dşi mtoa Gauss st în gnral mai ficinta in unct r al numarului unct utilizat (la aclaşi număr unct intgrar ar o rcizi mai ună cit mtoa Simson) sori în rograml analiză st utilizată mtoa Simson. Motiul rincial al acsti algri îl constitui fatul că rţaua unct intgrar rsuusă mtoa Simson surrin şi frontira omniului intgrar, aică tocmai firl cl mai utrnic solicitat, în tim c mtoa Gauss nu consiră unct intgrar în acst zon. Matricl rigiitat scantă rscti tangntă al lmntlor finit ot fi trminat oar aroximati rin intrmiul unor mto numric intgrar numrica a funcţiilor o singura ariailă, oarc caractristicil rigiitat al scţiunilor in lungul lmntlor finit, c intrin în xrsiil matriclor rigiitat, sunt mărimi cu caractr iscrt, c in aloara lasărilor la catl lmntului. Ca mai ficintă mtoă intgrar numrică, utilizată în acst caz, ca urmar a consirării uni ariaţii olinomial al lasărilor în intriorul lmntului finit, st consirată a fi mtoa Gauss în ifrit ariant (Gauss-gnr, Gauss-oatto). In figura.3 s rzintă moul iscrtizar a lmntului ară în lmnt finit şi a scţiunilor transrsal in rtul unctlor intgrar numrică Gauss a lmntlor finit. Fig..3. Discrtizara lmntlor ară în lmnt finit firă. Întrucât la trminara matriclor rigiitat al lmntlor finit, în cooronat local, rlaţia într formaţii şi lasări s-a consirat a fi ca 77

62 corsunzătoar iotzi formaţiilor mici ar finit şi a rotirilor mii, lasăril incrmntal noal aza cărora s trmină formaţiil corsunzătoar, in asul curnt al încărcării, s trmină faţă sitmul cooronat local al lmntuliui finit corsunzătoar configuraţii gomtric in asul antrior (fig..3). Pntru trminara matriclor rigiitat în sistmul gloal rfrinţă a structurii s utilizaza matrica transformar R, rin intrmiul căria matricl rigiitat incrmntal xrimat în cooronatl local (cooronatl lmntului) s trc în cooronatl gloal al structurii conform rlaţii: K R k R (.63) în car K rrzintă matrica rigiitat a lmntului finit în cooronatl gloal al structurii; k rrzintă matrica rigiitat a lmntului finit în cooronatl local al acstuia; iar R rrzintă matrica transformar a cări xrsi în funcţi unghiul făcut axl sitmului rfrinţă local cu cl al sitmului rfrinţă gloal st: Fig..3. Cooronatl local şi gloal al lmntului finit. cosφ sinφ sinφ cosφ R cosφ sinφ (.64) sinφ cosφ şi car st ractualizată ua ficar incrmnt al încărcării. 78

63 .4 EFECU GOBA A EIIARIĂŢII GEOMERICE Consirara în calcul a lasărilor şi rotirilor imnsiuni fint influnţază atât rigiitata ansamlu a structurii rcum şi aluara forţlor nchilirat la nil structură. D ficar ată intrin o altă configuraţi gomtrică a structurii, caractrizată rin lasăril şi rotiril nouri car au fost calculat în ciclul rcnt. Acasta influnţază atât formara matriclor rigiitat al lmntlor în sistmul local ax, cât şi trcra acstora în sistmul gloal rfrinţă al structurii în ra asamlării. Matrica rigiitat gloală oţinută rin însumara matriclor rigiitat al ficărui lmnt comonnt al structurii, rsuun transformara matrici rigiitat a ficărui lmnt ară in sistmul local-ariail în timul rocsului încărcar- în sistmul gloal rfrinţă al structurii. În rinciiu, oraţia transformar ăstraza forma gnrală utilizată la calculul structurilor în omniul micilor lasări: K R k R (.65), rar ar matrica rotaţi R s rfră la oziţia formată a structurii şi ci trui ractualizată la sfirşitul ficărui ciclu încărcar în concoranţă cu noua configuraţi gomtrică a lmntului. D asmna, în carul rocsului itrati corctar a sarcinilor nchilirat rsuun transformara forţlor noal rzultat la nil lmnt in sistmul local în sistmul gloal rfrinţă şi ci acaşi matric transformar, ariailă la un ciclu încărcar la altul, trui să fi utlizată în acst sco. ratara acată a acsti ta st snţială în trminara forţlor nchilirat şi ci a trmina cura nliniară rală comortar a structurii. În litratura scialitat acst fct consirarar în calcul a lasărilor finit st cunsocut su numira fctul nliniarităţii gomtric gloal fiin rous în acst sco ifrit mto ntru luara în consirar a acstui fct. Acst mto ot fi clasificat în funcţi sistmul rfrinţă als (configuraţia iniţială nformată-agrangianul total, rscti ultima configuraţi-agrangianul actualizat- chiliru) ntru ractualizara matriclor transformar şi iotzl lgat orinul mărim a lasărilor şi rotirilor luat în calcul arcursul unui incrmnt încărcar. Astfl, fctul nliniarităţii gomtric gloal, atorat moificării configuraţii gomtric a structurii, oat fi consirat fi rin translaţia matrici rigiitat xrimată în formaţiil ari, în functi lasăril noal rintro transformar nliniară, fi irct rin ractualizara la ficar taa calcul a matrici rotaţi conform cu rlatia (.65). În acst sns, formara matrici rotati R ntru o noua configuraţi gomtrică imlică racalculara cosinuşilor irctori ai arlor structurii şi imlicit a noilor lungimi ractualizat al arlor. rui ţinut însă sama că, acastă ată, formata structurii nu s mai încarază în omniul micilor lasări şi rotiri şi ci nu mai ot fi utilizat aclaşi xrsii simlificat ntru matricl transformar ca şi în cazul structurilor cu lasări mici. În lus, o rolmă scifică lgată tratatra 79

64 rotirilor mari alicat unui soli rigi în saţiu o rrzintă orina alicar a rotirilor. x k (C k ) y k k k R z k x k y k (C k ) k g R z k y x Y k g R z (C )-configuraţia iniţială nformată (C g ) X Z Fig..3.Efctul gloal al nliniarităţii gomtric. Astfl, consirân cunoscută matrica transformar la comonntl în sistmul gloal ax la comonntl în sistmul local, k g R, (fig..3) trcra la sistmul gloal ax la sistmul roriu ax al ari corsunzător configuraţii chiliru k s oat scri su forma: k k k R R R (.66) g k un cu k R s-a notat matrica rotaţi incrmntală c rlaţionază configuraţiil (C k ) şi (C k ) şi car oat fi xrimată astfl: k k k k k k k λ x λ x λ x λ y λ x λ z λ x k k k k k k k k k R λ y λ x λ y λ y λ y λ z λ y (.67) k k k k k k k λ z λ x λ z λ y λ z λ z λ z şi în car λ x, λ y, λ z rrzintă ctorii orintar a axlor rorii al ari în cl ouă configuraţii k rscti k. În figura.3 st rzntat acst asct ntru cazul unui rofil ulu. Astfl, simla xtinr a mtolor k g 8

65 transformar alicat în cazul structurilor lan nu mai oat fi alicată la structuril saţial atorită ncomutatiităţii oraţiilor rotaţi faţă un sistm k k k ax tri-imnsional, sistmul ctori rzultaţi [ λ ] x λ y λ z n mai constituin o ază ortonormată, conucân la acumulara rorilor arcursul rocsului calcul..4.. Matrica rotaţi. Formula lui Rorigus În cl c urmază s or scri câta consirnt tortic lgat tratara rotirilor mari în satiu. Sunt us formull utilizat la ractualizara matrici rotaţi în timul rocsului incrmntal. Fig..33. Fi ctorul oziţi al unui unct P în raort cu un sistm rfrinţă fix (X,Y,Z) aşa cum st rzntat în figura.33. Vctorul st rotit faţă rsorul t cu unghiul rzultân un nou ctor oziti car finşt oziţia unctului P. Fi ctorul orintat cu origina în P şi xtrmitata în P astfl încât utm scri: (.68) Întrucât unctul P st rotit faţă ctorul t l a scri un crc rază r cu cntrul în unctul C (Fig..33). Consirăm triunghiul P P C ctorul s oat oţin rin oraţia aunar a ctorilor ortogonali astfl: a (.69) Fi ctorul ortogonal la ctorii t şi : 8

66 t (.7) t aân norma: r sin (.7) şi în car raza r oat fi calculată ca şi norma rousului ctorial intr rsorul t şi ctorul : t sinα r (.7) un α st unghiul intr ctorii t şi. Astfl ctorul oat fi xrimat in moul următor: sin ( t ) (.7) Fi a ctorul ortogonal la ctorii t şi aşa cum st rzntat în Fig..33. a a t t (.73) aân norma: a a r( cos ) (.74) Înlocuin rlaţia (.7) în rlaţia (.73) rzultă: t ( t ) t ( t ) a a a t ( t ) ( t ) (.75) car s mai oat scri: a ( cos )( t ( t )) (.75) P aza rlaţiilor mai sus xrsia ctorului in: a sin ( t ) ( cos )( t ( t )) (.76) În continuar unghiul st tratat ca şi un suo-ctor (Yang s.al., 3) car st arall cu ctorul t şi aân norma gală cu unghiul rotaţi : [ 3 ] t (.77) Dnumira suo-ctor st atriuită întrucât rotira nu satisfac toat roritatil ctorilor. rui notat fatul că în cazul unor rotiri infinitzimal comonntl,, 3 ot fi consirat ca şi comonnt rotiri faţă axl X, Y, Z, în cazul rotirilor finit acst lucru nu mai oat fi alail. P aza rlaţii (.68) xrsia ctorului in: sin ( ) ( cos ) ( ( )) (.78) Prousul ctorial a oi ctori w [ w w w ] 3, [ ] 3 oat fi xrimat astfl: 8

67 w3 w3 w w3 w 3 S( w) (.79) w w un: w3 w S ( w) sin( w) w3 w (.8) w w P aza rlaţii (.8) xrsia ctorului in: sin ( ) ( cos ) S S( ) S( ) (.8) sau scrisă intr-o formă comactă: R( ) (.8) un: sin ( ) ( ) ( cos ) R I S S( ) I sins() t ( cos ) S() t (.83) rrzintă matrica rotaţi, I st matrica unitat, iar rlaţia (.83) oartă numira formula Rorigus. O formă altrnatia la ca ata rlaţia (.83) s oat oţin zoltân în sri trigonomtrica funcţiil sinus şi cosinus: n ( n ) sin... ( )... 3! 5! 7! ( n )! (.84) 4 6 n n cos... ( )...! 4! 6! ( n)! car îmrună cu rlaţia (.83) rzultă: 4 n n R( ) I... ( )... S( ) 3! 5! ( n )! (.85) 4 n... ( ) ( ) ( ) n... S! 4! 6! n! Exrimân utril matrici S rzultă următoarl rlaţii: 3 4 S S; S S (.86) S S; S S car conuc la următoara rlaţi rcurnţă: n n ( n) S ( ) S (.87) n n ( n) S ( ) S Înlocuin acst rlaţii în rlaţia (.85) rzultă: 3 n S( ) R( ) I S( ) S( ) S( )... S( )... x( S( ) ) (.88)! 3! n! 83

68 84 S oat uşor osra că rţinân oar rimii oi trmni in xrsia matrici rotaţi R ată rlaţia mai sus s oţin rlaţia utilizată în cazul rotirilor infinitzimal: ( ) ( ) 3 3 S I R (.89) Cu o ună aroximaţi, în calcull ractic, ntru consirara rotirilor mari s oat utiliza rlaţia (.88) în car s rţin oar rimii tri trmni: ( ) ( ) ( ) S S I R (.9).4. Matrica transformar ntru lmntul ară saţial în configuraţia iniţială nformată Să consirăm lmntul ară raortat la sistmul cooronat fix (OXYZ) (Fig..34). În raort cu acst sistm, orintara în satiu a lmntului ară st finită rsorii λ x, λ y, λ z ataşaţi ari uă ircţia ozitiă a sistmului ax local ari (axyz) aşa cum st rzntat în figura.34. Vctorul λ x s oat oţin simlu ca şi în cazul structurilor lan: a x X λ (.9) un a a X X X iar ( ) ( ) ( ) ( ) / a a a a a a Z Z Y Y X X X X X (.9) şi rrzintă lungima lmntului ară în configuraţia iniţială (nformată). Pntru finira clorlalţi oi ctori λ y şi λ z st ncsar finira în lanul mian al ari xaz a unui ctor astfl încât ci oi ctori ot fi xrimaţi astfl: y x z x x y λ λ λ λ λ λ (.93) Aân finit comonntl trirului: [ ] z y x λ λ λ r (.94) orintara ari în raort cu sistmul ax gloal st comlt finită. rirul finit rlaţia (.94) corsun uni matrici rotaţi utilizată la xrimara

69 ctorilor lasări şi forturi in sistmul gloal în sistmul local cooronat. În cazul unui lmnt ară caru saţial cu 6 gra lirtat asociat unui no, 3 translaţii şi 3 rotaţii, (Fig..35), acastă matric transformar ar următoara formă: r3 x3 r 3x3 R x (.95) r3 x3 r3 x3 λ x x y X a λ y Y X a λ z z X X Z Fig..34. Elmntul ară saţial în configuraţia iniţială nformată. Stailira uni form sistmatizat a matrici R în car toat lmntl să fi xrimat în funcţi un număr rstrâns at st rzntată în continuar. S osră că intr-o xtrmitat a ari intrin cât oi ctori cât tri comonnt irijat uă axl sistmului rfrinţă local, anum un ctor cu tri comonnt-forţ sau lasări liniar şi un ctor cu tri comonntmomnt sau rotiri. Sr a trc la un sistm rfrinţă la clălalt, st ncsar să s fctuz transformara ntru ficar in acşti oi ctori, rin intrmiul matrici transformar r imnsiuni (3x3), car rmit xrimara comonntlor într-un sistm ax, în funcţi comonntl in clălalt sistm. 85

70 Fig..35. Stul funamntal al lasărilor si forturilor ntru ara rată caru saţial Daca st matrica coloană a comonntlor în sistmul ax roriu al ari, iar V st matrica coloană a comonntlor în sistmul gloal, matrica transformar r s finşt su forma: λxx λxy λxz r V λyx λyy λyz V [ λ x λ y λ z ] V (.96) λzx λzy λzz un ( λ xx λxy λxz ), ( λ yx λyy λyz ), ( λ zx λzy λzz ) rrzintă comonntl scalar (cosinuşii irctori) al rsorilor finiţi rlaţiil (.9) şi (.93). Doarc matrica r s rfră la un singur ctor tri comonnt, ntru transfomara forturilor caăt, sau a lasărilor caăt intr-o xtrmitat a ari st ncsar să s utilizz ouă asmna matric, iar ntru ansamlul ari atru matric, isus astfl incit sa multilic succsi ctorii. Printr-o succsiun transformări fctuat cu ajutorul unor rotiri în jurul cât unia in cl tri ax rfrinţă gloala XYZ, s ot staili lmntl matrici r în funcţi ci tri cosinuţi irctori ai axi x (comonntl scalar al rsorului λ x ), liminân ncsitata a staili irct mărimil cosinuşilor irctori ntru ficar intr cl tri ax rfrinţă al ari (Ghorghiu, 98). Astfl, în cazul gnral, cân orintara axlor rincial al scţiunii ari şi ci sistmul local (xyz) sunt oarcar xrsia ntru matrica rotaţi r st finită următoarl rlaţii: λxx λxy λxz λ xxλxy λ xyλxz r cosα sinα λxx λ (.97) xz sinα cosα λ xx λxz λxx λxz λxz λxx λxx λxz λxx λxz 86

71 un cosinuşii irctori ai axi x au următoarl xrsii: X X a λxx Y Ya λxy (.98) Z Z a λxz iar unghiul α rrzintă unghiul rotir al axlor rincial inrţi al scţiunii ari (consirată fără istorsiuni local în lungul i) în raort cu sistmul gnral ax (fig..34). Dfinira matrici rotaţi r cu rlaţia (.97) st alailă în toat situaţiil cu xcţia cazului în car axa x st arallă cu axa Y. În acst in urmă caz matrica rotaţi r st finită rlaţia: λxy r cosα sinα λxy (.99) sinα cosα În cazul uni analiz, în limitl micilor lasări, rlaţiil mai sus ot fi utilizat ntru oraţiil transformar al matrici rigiitat in sistmul local în sitmul gloal ar, în situaţia în car lasăril şi rotiril s consiră finit, sunt ncsar roc scific car au la ază formull lui Rorigus caail să consir ncomutatiitata rotirilor faţă un sistm ax triimnsional..4.3 Calculul structurilor cu lasări şi rotiri mari. ransformări cooronat nliniar Întrucât rlaţiil transformar intr lasăril raortat la sistmul cooronatlor ază şi cl raortat la sistmul cooronatlor local rzultă nliniar fctul nliniarităţii gomtric gloal, atorat moificării configuraţii gomtric a structurii, oat fi consirat rin translaţia matrici rigiitat xrimată în formaţiil ari, în xrimar în funcţi lasăril noal rintro transformar nliniară, şi ractualizara la ficar taă calcul a configuraţii gomtric a structurii în funcţi lasăril gnralizat al nourilor structurii. Ractualizara gomtrii structurii coroorată cu un st rlaţii ti scant trminar a forţlor intrn raortat la forma formată a structurii st ncsară în ra trminării forţlor nchilirat la nil structură şi corctara acstora rintr-un rocu itrati acat. În timul rocsului încărcar scţiunil caăt al lmntului ară saaţial s or roti în saţiu. Orintara acstor scţiuni oat fi finită aza unui sistm trirsor ataşat, şi a căror orintar în saţiu st trminată lasăril şi rotiril gloal noal înrgistrat în timul rocsului încărcar, conform cu figura.36: 87

72 n n I J [ n I n I n I 3 ] [ n n n ] J J J 3 (.) Pntru configuraţia iniţială (nformată) sistmul rsori mai sus sunt chialnţi cu sistmul rsori c finsc sistmul local ax al lmntului în configuraţia nformată: n I n J r (.) Întrucât rsorul λ x finşt orintara axi lmntului comonntl n I şi n ai sistmului rsori ataşaţi catlor lmntului ară or fi finiţi ca J tangnţi axi format a lmntului ară, fig..36, comonntl şi 3 finsc orintara sistmului ax local (y,z) la catl lmntului în configuraţia rotită. Fig..36. Sistmul trirsor asociat scţiunilor caăt al lmntului ară. Dfinin în continuar, ntru ficar no al lmntului, ctorul rotaţi car ar ca şi comonnt rotiril noal gloal, [ X Y Z ], ractualizara sistmului rsori n I şin J oat fi ralizată rin rotira trirului r cu ctorii rotaţi noali finiţi mai sus astfl: n I R( I ) n I R( I ) r (.) n J R( J ) n J R( J )r În rlaţiil mai sus s-a consirat ca şi configuraţi rfrinţă configuraţia iniţială nformată. În cazul în car s consiră ultima configuraţi chiliru, notată cu k- ca şi configuraţi rfrinţă rlaţiil aza cărora s ractualizază sistmul rsori n I şi n J în configuraţia k sunt: n I, k R( I ) n I, k (.3) n R n J, k ( J ) J, k 88

73 un cu s-a notat incrmntul rotir iar R rrzintă matrica rotaţi construită aza formuli lui Rorigus. O ară, lmnt constituti al uni structuri, st raortată la tri sistm cooronat: sistmul cooronatlor ază al lmntului, fig..37, corsunzător formaţiilor şi forţlor: u α α α α (.4) c c f [ ay az y z ] [ m m m m f m ] ay az sistmul cooronatlor lmnt (local) corsunzător lasărilor şi rotirilor noal: l u [ ua a wa ax ay az u w x y z ], şi sistmul cooronatlor sistm (gloal), fig..37, corsunzător lasărilor şi forţlor ircţiil cooronatlor gloal al sistmului rfrinţă: U V W Θ Θ Θ U V W Θ Θ Θ g g u [ a a a ax ay az x y z ] f [ F F F M M M F F F M M M ] ax ay az ax ay az y x z y x z x y z (.5) n n 3 n Y n a Θ y Θ x y α az n a3 V U Θ ay W α z Θ z Θax U a V a W a X Θ az Configuratia chiliru antrioara alicarii incarcarilor α ay α y Z Fig..37. Sistm cooronat ntru lmntul ară saţial. (a) Sistmul gloal; () Sistmul cooronatlor ază. În formulara roclor oţinr a răsunsului nliniar al structurilor în car cu lasări şi rotiri finit trui făcută istincţi într sistmul rfrinţă gloal, în raort cu car s fac rificara coniţiilor chiliru rin comatiilitata formati şi chilirul static al nourilor, şi sistmul 89

74 cooronatlor ază al lmntului, utilizat ntru cuantificara nrgii otnţial formaţi înmagazinat: c f c k cu (.6) un cu c k s-a notat matrica rigiitat tangntă imnsiuni (6x6) a lmntului în sistmul cooronatlor ază. rui scificat fatul că în cazul lasărilor şi rotirilor finit, rlaţiil transformar intr cooronatl ază şi cooronatl local rzultă nliniar (Izzuin&Smith, 996): cu ϕ( l u) (.7) Procul scris în continuar st unul incrmntal consirânu-s ca sistm rfrinţă ultima configuraţi chiliru a lmntului. Dlasăril noal gloal (total-acumulat âna la asul curnt încărcar) finsc orintara axi lmntlor la asul curnt încărcar, n, în tim c rotiril noal gloal incrmntal (Θ x, Θ y, Θ z ) finsc un ctor unic Θ utilizat ca şi argumnt în matrica rotati R ntru ractualizara sistmului ax local (yz) la catl lmntului ară (Izzuin, ): un R R( Θ ) R R( Θ ) k k k k k n n n n n a, i a3, i, i 3, i 3, i 3 k ( R a, i, j n a, j ) j 3 k ( R a, i, j n a3, j ) j 3 k ( R, i, j n, j ) j 3 k ( R, i, j n3, j ) j 3 k ( R, i, j n a, i ) j (.8) a a, sunt matricl rotaţi asociat nourilor a rscti aân următoarl xrsii: Θ ay az ΘaxΘay Θ axθaz Θaz Θay Θ axθay Θ ax Θ ΘayΘ az az R ( Θ a ) Θ az Θax (.9) Θ Θ ayθaz Θax Θ axθaz ay Θ ay Θax 9

75 Θ y z ΘxΘy ΘxΘ z Θz Θ y ( ) ΘxΘy Θ Θ Θ Θ x z y z R Θ Θ Θ z x (.) Θ Θ Θ Θ Θ Θ y z x y x z Θ Θ y x k k k k iar n a, n a3, n, n3rrzintă ctorii orintar ai sistmului ax local (yz) la catl a rscti a lmntului, corsunzători configuraţii chiliru k-, ortogonali axi lmntului finită ctorul k- n. k Vctorul n 3 st trminat în scoul aluării rotirii lmntului în jurul axi rorii. În rlaţiil mai sus s oat osra că in xrsia comltă a matrici rotaţi ată rlaţia (3) sau rţinut oar rimii tri trmni. Aân în r natura incrmntală a comonntlor rotiri utilizat în rlaţiil mai sus, roril inus rin acastă trunchir ot fi minimizat rin simla rucr a numărului incrmnt încărcar consirat. Aân cunsocut lasăril noal gloal şi ctorii orintar a sistmului local ax stailiţi aza rlaţiilor incrmntl formaţii în sistmul cooronatlor ază al lmntlor s ot oţin aza următoarlor rlaţii: k k k k k k k X X Y Y Z Z a a a n (.) δα ay 3 k k ( n, i n a, i ) i 3 k k ( n, i n a3, i ) δα (.) δα δα az y δ δ i 3 k k ( n, i n, i ) i z i k k 3 k i 3 k k ( n, i n3, i ) k ( n a3, i n 3, i ) Difrnţiin rlaţiil mai sus, rlaţiil cinmatic incrmntal c s ot staili într ctorul formaţiilor în sistmul ază al lmntului c u cu ctorul lsărilor gloal în sistmul cooronatlor sistm u g rzultă următoara formă: 9

76 9 u u u u u g cg g k g j c c δ δ δ, j,,6, k, (.3) un cg st matrica transformar imnsiuni x6, iar ctorii u c şi u g sunt aţi rlaţiil.7 rscti.5. P consirnt chiliru, ctorii forţlor în cl ouă sistm sunt rlaţionat astfl: f f c cg g (.4) Driân în continuar amii mmrii ai rlaţii mai sus oţinm: f f f c cg c cg g δ δ δ (.5) şi car mai oat fi scrisă: f u k f c cg g cg c cg g δ δ δ (.6) Matrica cg in rlaţia mai sus oat fi aluată astfl: k g k g j g i c k g k g cg cg u u u u u u δ δ δ (.7) Înlocuin rlaţia (.7) în rlaţia (.6) rzultă următoara xrsi ntru ctorul forţlor în sistmul gloal rfrinţă: u f g k f g k k c k cg c cg g δ δ 6 (.8) un k g j g i c k j i u u u g,,, (i,j,,; k,,6) iar 6 k k c k cg c cg f g k k rrzintă matrica rigiitat tangntă în sistmul gloal rfrinţă al structurii. În cazul articular al structurilor lan, s ot utiliza următoarl rlaţii nliniar într ctorul formaţiilor în cooronatl ază al lmntlor şi ctorul lasărilor în sistmul gloal rfrinţă (Chn&oma, 994), Fig..38: ( )( ) ( )( ) V V V V y U U U U x U U x V V y U U x V V y f a a a a a a z z a a az az arctan arctan Θ Θ α α α α (.9)

77 Θ z U a α az Θ az f α α z y f V Y V a x f y α x X U Fig..38. ransformări cooronat nliniar. Cazul lan. În acst caz rlaţia incrmntala într ctorul forţlor şi cl al lasărilor în coooronat gloal s scri: δ gf ( cg c kcg g mza g mz g 3 f x ) δ gu (.) un matricl transformar cg şi g i (i,,3) s ot oţin uşor rin articularizara rlaţiilor.7 şi.8: s / c / s / c / cg s / c / s / c / (.) c s c s sc c s sc ( c s ) cs ( c s ) sc g g (.) sc c s simtric sc 93

78 s sc s sc c sc c g 3 (.3) s sc simtric c un s-a notat cu ssin(α), ccos(α), Fig Etal analizi incrmntal-itrati Pntru structuril cu comortar nliniară caractristicil rigiitat şi formailitat al lmntlor structurii nu sunt cunoscut iniţial ntru o anumită mărim totală a ctorului forţlor noal, astfl încât soluţia răsunsului nliniar al structurii nu s oat oţin irct. a rzolara rolmlor nliniar s alică în mo oişnuit unul intr următoarl tiuri roc calcul: () roc simlu incrmntal; () roc itrati aân la ază mtoa wton rzolar a sistmlor cuaţii nliniar; şi (3) roc mixt sau incrmntalitrati în car soluţia rolmi st oţinută rin cominara clor ouă roc, aică la ficar ciclu calcul (trată încărcar) forţl nchilirat s corctază alicân un rocu itrati. În carul roclor in rima catgori comortara nliniară a structurii arcursul cicluril calcul st înlocuită rintr-o succsiun intral cu comortar liniarizată car s înărtază rogrsi cura rală comortar nliniară. Astfl şi mai simlu imlmntat in unct r numric acst mto nu asigură chilirul static al nourilor şi ntru structuri cu lasări şi rotiri mari roril s ot acumula foart mult în timul ciclurilor încărcar conucân la soluţii incomatiil cu soluţia rală. P altă art în carul roclor itrati ot aăra ificultăţi conrgnţă în stailira corctă a configuraţii chiliru, în locul uni configuraţii chiliru stail, conrgnţa oat inica o altă configuraţi chiliru nstailă, ca c constitui un rzultat ronat. Din acst moti, ntru rzolara structurilor cu un ronunţat caractr nliniar, s rfră alicara rocl incrmntal-itrati în carul cărora soluţia st oţinută rin alicara unor trt încărcar sau lasări şi corctara rzultatlor în carul roclor itrati alicat în intriorul ficarui ciclu calcul. În acst caz, acă rocsul st conrgnt, atunci în final or fi satisfăcut ntru crştra sarcină sau lasar alasă atât cuaţiil nliniar comatiilitat cât şi cl chiliru static. În carul roclor incrmntal-itrati configuraţia finală chiliru st oţinută ua un număr oarcar aşi cu alicara unor corcţii chiliru în intriorul acstor aşi calcul. Analiza s oat fac algân un as constant fi ntru încărcar şi în acst caz controlul soluţii s finşt rin 94

79 mărima forţlor incrmntal alicat sau s oat alg un as constant ntru lasări şi în acst caz soluţia st controlată lasăril incrmntal consirat. Există şi alt mto imunătaţit algr a asului, cum ar fi cl mixt sau cl azat lungima arc (. ca.3). Dua ficar asmna as, sau uă câţia aşi, s calculaza zchilirul intr forţl/lasăril alicat şi cl ncsar ntru mnţinra configuratii format oţinută în acl momnt. Corcţia găsită s alică sistmului astfl încât să s rină cura rală chiliru. Ficar ciclu calcul in carul acstor roc incrmntal-itrati, rsuun arcurgra următoarlor ta calcul. Într-o rimă taă, numită taa rictor, s trmină ricţia lasărilor incrmntal, rin rzolara sistmului cuaţiilor coniţi asamlat la nilul întrgii structuri: K U P P un matrica rigiitat incrmntală sau tangntă, K, s oţin rin însumara matriclor rigiitat transformat în cooronatl sistm, corsunzătoar ficărui lmnt constituti al structurii, U rrzintă ctorul lasărilor incrmntal gloal corsunzător configuraţii format C ncunoscut in configuraţia C cunoscută, iar ctorii P şi P rrzintă ctorii forţlor xtrioar noal gloal c acţionază asura structurii în configuratiil C rscti C. Acastă taa st alicată la nilul structurii. Saţiul configuraţiilor nchlirat-lan tangnt Saţiul configuraţiiilor chiliru-surafaţă cură Fig..39. Mto ti rictor-corctor. Matrica rigiitat K st utilizată la trminara ariaţii ctorului soluţi δx consirat ca şi un lmnt in saţiul liniar al configuraţiilor nchiliart (itrati) figurat simolic în Fig..39 ca un lan tangnt la saţiul configuraţiilor nliniar chliru în unctul x. rui mnţionat fatul că, în rinciiu, în acastă taa, nu st ncsară trminara matrici rigiitat incrmntala K cu maximă acuratţ întrucât acasta nu influnţază xactitata soluţii final ci oar itza conrgnţă şi ircţia căutar în saţiul lasărilor (Fig..39). Rfrinu-n la Fig..39 o nouă aroximaţi a ctorului soluţi x s oţin rin 95