Mircea Radeş. Vibraţii mecanice. Editura Printech

Transcript

1

2 Mirca Radş Vibraţii mcanic Editura Printch

3 Prfaţă Lucrara s bazază p cursuril d Vibraţii mcanic prdat la Univrsitata Polithnica Bucurşti, la facultata I.M.S.T. (97-6), la cursul postunivrsitar d Vibraţii organizat în cadrul Catdri d Rzistnţa matriallor (985-99), la Facultata d Inginri în Limbi Străin, Filira Englză (99-7) şi la un curs d mastrat d la Facultata d Inginri Mcanică şi Mcatronică. Vibraţiil mcanic au fost introdus în planul d învăţământ al facultăţilor cu profil mcanic ca un curs d sin stătător în 974. Pntru a susţin cursul, am publicat, sub conducra profsorului Gh. Buzdugan, monografia Vibraţiil sistmlor mcanic la Editura Acadmii în 975, urmată d două diţii al manualului Vibraţii mcanic la Editura didactică şi pdagogică în 979 şi 98. În 984 am publicat Vibration Masurmnt la Martinus Nijhoff Publ., Dordrcht, rprzntând vrsiuna rvizuită în limba nglză a monografii c a apărut în 979 la Editura Acadmii. După cum ris din Cuprins, cursul st orintat spr aplicaţii inginrşti, fiind limitat la ca c s poat prda în 8 or. Matrialul przntat conţin xrciţii rzolvat car susţin sminarul, în cadrul căruia s utilizază program cu lmnt finit laborat d autor şi s przintă lucrări dmonstrativ d laborator, fiind util şi la rzolvara tmlor d casă. Cursul urmărşt a) dscrira fnomnlor vibratorii întâlnit în practica inginrască; b) modlara sistmlor vibratoar şi analiza acstora cu mtoda lmntlor finit; şi c) înarmara studnţilor cu baza fizică ncsară în modlara analitică şi numrică a structurilor în vibraţi şi a maşinilor, pntru laborara soluţiilor inginrşti al problmlor d vibraţii. În volumul al doila s vor prznta vibraţiil autoîntrţinut, mtod d calcul pntru problm d valori proprii d ordin mar, stimara pamtrilor sistmlor vibratoar p baza analizi funcţiilor răspunsului în frcvnţă, analiza modală xprimntală şi încrcăril la vibraţii. Nu s tratază dinamica sistmlor rotor-lagăr şi vibraţiil discurilor şi paltlor, acsta fiind studiat în cadrul cursului d Dinamica maşinilor. Dcmbri 8 Mirca Radş

4 Cuprins Prfaţă i Cuprins iii. Modlara sistmlor vibratoar. Vibraţii şi oscilaţii. Sistm discrt şi sistm continu. Sistm cu un grad d librtat.4 Mişcări vibratorii 4.5 Amortizara vibraţiilor 6. Sistm cu un grad d librtat 9. Vibraţii libr namortizat 9.. Sistmul masă-arc 9.. Rigiditata lmntlor lastic.. Sistm torsional..4 Mtoda nrgtică 5..5 Mtoda lui Rayligh 6. Vibraţii forţat namortizat.. Excitara masi cu o forţă arbitrară.. Excitara masi cu o forţă armonică.. Bătăi..4 Curb d răspuns în frcvnţă 4..5 Rzonanţa 5..6 Trcra prin rzonanţă 7..7 Rzonanţa cu amplitudin constantă a dplasării 7..8 Excitaţia cu mas xcntric în rotaţi 8..9 Antirzonanţa 9.. Transmisibilitata.. Turaţia critică a rotorului Laval

5 iv VIBRAŢII MECANICE. Vibraţii libr amortizat.. Amortizara vâscoasă 4.. Dcrmntul logaritmic 7.. Factorul d pirdri 4.4 Vibraţii forţat amortizat 4.4. Vibraţii staţionar cu amortizar vâscoasă 4.4. Diagrama dplasar-forţă Amortizara structurală Mtoda punctlor d smi-putr Mtoda masi adiţional Rzolvara prin algbra complxă Funcţiil răspunsului în frcvnţă Diagrama polară a rcptanţi pntru amortizar vâscoasă Transmisibilitata în sistm amortizat Toria captorilor sismici 6.4. Prcsia rotorului Laval cu amortizar xtrnă Amortizara rditară 66.5 Sistm cu rigiditat cubică 7.5. Rigiditata cubică 7.5. Răspunsul armonic 7.5. Curbl răspunsului în frcvnţă Fnomn d salt 79.6 Vibraţii tranzitorii 8.6. Răspunsul la forţ impulsiv aplicat masi 8.6. Răspunsul la xcitaţi prin şoc aplicată suportului Spctrul răspunsului la şoc 9 Problm 94. Sistm cu două grad d librtat 99. Vibraţii d translaţi.. Ecuaţiil d mişcar.. Vibraţii libr. Moduri proprii d vibraţi.. Ortogonalitata modurilor proprii 5..4 Coordonat modal 6..5 Răspunsul la xcitaţi armonică 8

6 CUPRINS v. Vibraţii d torsiun.. Ecuaţiil d mişcar.. Sistmul disc-arbor-disc 4.. Sistm cu roţi dinţat..4 Sistm ramificat. Vibraţii d încovoir 4.. Flxibilităţi (coficinţi d influnţă) 4.. Ecuaţiil d mişcar 6.. Moduril proprii d vibraţi 7..4 Vibraţiil libr 9..5 Răspunsul la xcitaţi armonică 5.4 Vibraţii cuplat d translaţi şi rotaţi 9.4. Ecuaţiil d mişcar 9.4. Moduril proprii d vibraţi 4.5 Pndul cuplat lastic Ecuaţiil d mişcar Moduril proprii d vibraţi Vibraţii libr 47.6 Sistm amortizat 5.6. Amortizara vâscoasă proporţională 5.6. Vibraţii libr amortizat 5.6. Răspunsul la xcitaţi armonică Amortizorul vâscos nacordat Absorbitorul d vibraţii amortizat Amortizara vâscoasă nproporţională 7 Problm 8 4. Sistm cu mai mult grad d librtat Sistm cu mas concntrat Bar cu mas concntrat Structuri multitajat forfcat Sistm torsional Structuri cu subsistm rptat Sistm discrt cu mai mult mas 6

7 vi VIBRAŢII MECANICE 4. Structuri plan din bar articulat 4.. Coordonat şi funcţii d formă pntru lmntul truss 4.. Matricil lmntului în coordonat local Transformara din coordonat local în coordonat global Matricil lmntului în coordonat global Asamblara matricilor d rigiditat şi d masă Ecuaţiil d mişcar şi problma d valori proprii 4. Cadr plan 4.. Analiza statică a uni grinzi d scţiun constantă 4.. Discrtizara cu lmnt finit 4.. Funcţii d formă static pntru lmntul d grindă Matrica d rigiditat a unui lmnt d grindă Matrica d masă corntă a lmntului d grindă Eforturi axial 4..7 Matricil unui lmnt d cadru în coordonat local 4..8 Transformara coordonatlor 4..9 Matricil lmntului d cadru în coordonat global 4.. Asamblara matricilor d rigiditat şi d masă 4.4 Grilaj Discrtizara cu lmnt finit Matricil lmntului d grilaj în coordonat local Transformara coordonatlor Matricil lmntului d grilaj în coordonat global Funcţii d răspuns în frcvnţă Matrica FRF Diagraml FRF 44 Problm Sistm continu 6 5. Vibraţiil latral al barlor zvlt Ecuaţia difrnţială a mişcării Moduril proprii d vibraţi Ortogonalitata funcţiilor proprii Grinzi continu Condiţii la limită natural 7

8 CUPRINS vii 5..6 Răspunsul la xcitaţi armonică 8 5. Vibraţiil longitudinal al barlor Vibraţiil torsional al barlor Grinzi Timoshno 9 6. Und lastic 9 6. Propagara undlor 9 6. Und longitudinal în bar prismatic Ecuaţia undlor. Soluţia lui d Almbrt Und armonic Und în bara d lungim finită 6..4 Propagara nrgii prin und Atnuara undlor 6 6. Und transvrsal în bar prismatic 6.. Vitza d fază şi vitza d grup 6.. Und în bara rzmată p mdiu lastic Und în mdii lastic Ecuaţiil undlor în tri dimnsiuni Und longitudinal şi und transvrsal Und Rayligh Und Lov Und ghidat în plăci 6.5. Und Lamb în plăci 6.5. Und Lov în plăci 7 Bibliografi 9 Indx 47

9 . MODELAREA SISTEMELOR VIBRATOARE Vibraţiil sunt fnomn dinamic întâlnit în activitata curntă, d la bătăil inimii, alrgatul şi mrsul p jos, lgănatul copacilor în bătaia vântului şi trpidaţiil clădirilor la cutrmur, la vibraţiil instrumntlor muzical, al prforatoarlor pnumatic şi bnzilor transportoar oscilant. D cl mai mult ori vibraţii sunt dnumit mişcăril ndorit car produc zgomot sau solicitări mcanic rlativ mari. În acst caz intrsază în spcial fctul vibraţiilor asupra omului, maşinilor şi clădirilor. Modlara fnomnlor vibratorii implică dfinira structurii şi paramtrilor corpurilor în vibraţi, a funcţiilor car dscriu xcitaţia şi a nivllor răspunsului dinamic. Acst capitol introductiv cuprind dfiniţii şi clasificări, ncsar pntru o imagin gnrală a principallor noţiuni utilizat în studiul vibraţiilor.. Vibraţii şi oscilaţii Conform Dicţionarului xplicativ al limbii român (DEX 998), vibraţia st o mişcar priodică a unui corp sau a particullor unui mdiu, fctuată în jurul uni poziţii d chilibru. Oscilaţia st variaţia priodică în timp a valorilor uni mărimi car caractrizază un sistm fizic, însoţită d o transformar a nrgii dintr-o formă în alta. Oscilaţiil d natură mcanică, trmică, lctromagntică tc. sunt fnomn dinamic caractrizat prin variaţia în timp a uni mărimi d star a sistmului, d obici în vcinătata valorii corspunzătoar uni stări d chilibru. Vibraţiil sunt oscilaţii al sistmlor lastic, adică mişcări al sistmlor mcanic datorit uni forţ d raducr lastic. Astfl o bară lastică sau o coardă vibrază, în timp c un pndul oscilază. Toat corpuril car au masă şi lasticitat pot vibra. Un sistm vibrator ar atât nrgi cintică, înmagazinată în masa în mişcar, cât şi nrgi

10 VIBRAŢII MECANICE potnţială, înmagazinată în lmntul lastic ca nrgi d dformaţi. În timpul vibraţiilor, ar loc o transformar ciclică a nrgii potnţial în nrgi cintică şi invrs. Într-un sistm consrvativ, în car nu xistă disipar d nrgi, nrgia mcanică totală st constantă. În poziţia d amplitudin maximă a dplasării, vitza instantan st zro, sistmul ar numai nrgi potnţială. În poziţia d chilibru static, nrgia d dformaţi st nulă iar sistmul ar numai nrgi cintică. Enrgia cintică maximă st gală cu nrgia d dformaţi maximă. Egalând cl două nrgii s poat calcula frcvnţa propri fundamntală d vibraţi. Acsta st principiul mtodi lui Rayligh. Sistml vibratoar sunt supus amortizării datorită pirdrii d ngi prin disipar sau radiaţi. Amortizara produc dscrştra amplitudinii vibraţiilor libr, dfazajul într xcitaţi şi răspuns, prcum şi limitara amplitudinii răspunsului forţat al sistmlor vibratoar.. Sistm discrt şi sistm continu Numărul gradlor d librtat al unui sistm vibrator st gal cu numărul coordonatlor indpndnt ncsar pntru a dfini complt configuraţia instantan a sistmului. Rzultă că pntru a dfini mişcara tuturor particullor unui sistm, numărul gradlor d librtat ar trbui să fi infinit. Totuşi, în problm practic, s utilizază sistm similar din punct d vdr dinamic, cu număr rdus d grad d librtat. Critriil prin car s stabilşt numărul gradlor d librtat al unui sistm s bazază p considrnt practic. Astfl, unl dintr mişcăril posibil al sistmului pot fi atât d mici încât să nu przint intrs. Grupuri d particul cu mişcări practic similar pot fi considrat corpuri rigid, ca c prmit rducra numărului coordonatlor ncsar pntru dscrira mişcării. Domniul frcvnţlor forţlor xcitatoar poat fi atât d îngust încât numai una sau câtva dintr frcvnţl proprii pot da naştr la rzonanţ. Acst considraţii conduc la concptul d mas concntrat car sunt corpuri rigid conctat prin lmnt lastic cu masa nglijabilă. Mişcăril dscris d astfl d sistm discrt sau cu paramtri concntraţi sunt adsa aproximări suficint d bun al vibraţiilor ral pntru a satisfac crinţl practic, ofrind dat util proictării şi valori privind limitl admisibil al vibraţiilor. Atunci când lmntl dformabil au mas distribuit comparabil cu masl componntlor modlat prin corpuri rigid, aproximara s poat

11 . MODELAREA SISTELOR VIBRATOARE îmbunătăţi ţinând cont d masa lmntlor lastic. Dobici masa propri st concntrată într-un număr arbitrar d punct, în funcţi d gradul d aproximar dorit. Există însă mult lmnt d maşini şi structuri cu formă atât d simplă încât pot fi considrat sistm cu număr infinit d grad d librtat. Astfl d sistm continu sau cu paramtri distribuiţi pot fi modlat ca bar, fir, plăci, mmbran, învlişuri sau combinaţii al acstora. În aplicaţiil inginrşti, structuril cu formă complicată sunt înlocuit prin modl matmatic discrt. O mtodă ficintă d discrtizar st mtoda lmntlor finit. Sistmul cu număr infinit d grad librtat st înlocuit cu un sistm discrt car ar acaşi comportar dinamică. Structura rală st divizată (ipottic) în subdomnii bin dfinit (lmnt finit) car sunt atât d mici încât forma funcţii câmpului d dplasări poat fi aproximată dstul d prcis, urmând să s dtrmin doar mărima acstia. Elmntl individual sunt apoi asamblat astfl încât dplasăril lor sunt compatibil la noduril lmntlor şi în câtva punct la intrfaţa lor, tnsiunil intrn sunt în chilibru cu forţl aplicat rdus la noduri, şi condiţiil la limită sunt satisfăcut. Eroril d modlar înclud algra unui tip nadcvat d lmnt, funcţii d formă incorct, razm npotrivit şi o rţa d discrtizar grosiră.. Sistm cu un grad d librtat Un număr surprinzător d mar d problm d vibraţii car apar în practica inginrască pot fi rzolvat cu o prcizi accptabilă modlând sistmul ral ca un corp rigid rzmat lastic, a cărui mişcar poat fi dscrisă d o singură coordonată. Cl mai simplu sistm vibrator constă din corpul a cărui mişcar st studiată şi mdiul înconjurător, faţă d car s măsoară mişcara. Analiza acstui sistm simplificat parcurg patru tap. În prima tapă s stabilşt parta sistmului car rprzintă corpul rigid şi ca car rprzintă lmntl dformabil. În tapa a doua s calculază paramtrii dinamici ai corpului rigid şi ai lmntlor lastic. În tapa a tria s scriu cuaţiil d mişcar al sistmului chivalnt. Etapa a patra constă din rzolvara cuaţiilor d mişcar în condiţiil dat pntru vibraţii libr sau forţat. În ultiml două tap s pot utiliza mtod difrit, bazat p xprsiil nrgiilor cintică şi potnţială al sistmului. Priml două tap implică discrnământ şi xprinţă, car s dobândsc în practică, în procsul algrii sistmlor chivalnt, dfinirii mişcării acstora şi comparării prdicţiilor cu rzultatl măsurărilor p sistml ral. Vrificara şi validara modllor pot impun ractualizara paramtrilor sistmului sau chiar a structurii modlului. Adcvara soluţii dpind în mar măsură d pricpra cu

12 4 VIBRAŢII MECANICE car s alg ipotzl simplificatoar d bază. Opţiuna principală st într un modl liniar şi un modl nliniar. Algra tipului amortizării poat fi o sursă d rori, doarc amortizara nu poat fi calculată la fl ca masa şi rigiditata. Ultiml două tap constau din aplicara unor procduri stabilit d matmaticini. Activitata inginrască propriu-zisă s limitază la priml două tap, în timp c ultiml două tap pot fi considrat ca aplicări dirct al unor rţt d calcul. În capitolul s studiază sistm cu un grad d librtat. Sistml discrt sunt analizat în capitoll şi 4. Capitolul 5 st ddicat vibraţiilor barlor iar capitolul 6 st o introducr în studiul propagării undlor în bar şi mdii lastic infinit..4 Mişcări vibratorii În funcţi d cauza car produc sau susţin mişcara vibratori, s pot disting: a) vibraţii libr, produs d un impact sau o dplasar iniţială; b) vibraţii forţat, produs d forţ xtrioar sau xcitaţii cinmatic; c) vibraţii paramtric datorit variaţii, produs d o cauză xtrnă, a unui paramtru al sistmului; şi d) vibraţii autoxcitat produs d un mcanism inrnt în sistm, prin convrsia uni nrgii obţinut d la o sursă d nrgi constantă în timp. Un sistm lastic scos din poziţia d chilibru stabil, apoi lăsat libr, fctuază vibraţii libr. În prznţa unor forţ d frcar, nrgia mcanică st disipată, iar vibraţia st amortizată după un număr oarcar d cicluri. Frcvnţl vibraţiilor libr dpind d masa, rigiditata şi amortizara din sistm, fiind indpndnt d condiţiil iniţial al mişcării sau d forţ xtrioar sistmului. D aca s numsc frcvnţ proprii sau frcvnţ natural d vibraţi. Invrsl acstora s numsc prioad proprii d vibraţi. Pntru un anumit sistm, l au valori constant bin dfinit. Când toat particull unui corp vibrază într-o mişcar armonică sincronă, dformata dinamică st dfinită d o formă propri d vibraţi. Vibraţiil forţat (întrţinut) sunt produs d forţ prturbatoar car xistă indpndnt d mişcar. În gnral, sarcinil xtrioar sau dplasăril sunt aplicat dinamic, dci sunt variabil în timp. Astfl d xcitaţii implică un transfr d nrgi d la sursa prturbatoar priodică la sistm. Dacă transfrul ar loc priodic, constant p ficar ciclu, vibraţia forţată st staţionară, d amplitudin constantă. Dacă transfrul s fac nuniform, vibraţia ar caractr tranzitoriu, amplitudina variind până la stabilira unui rgimn staţionar sau până la amortizara compltă. Aplicara bruscă a uni prturbaţii produc şocuri sau impacturi. Şocul st o prturbaţi prin car s transmit sistmului nrgi cintică într-un intrval d

13 . MODELAREA SISTELOR VIBRATOARE 5 timp scurt în comparaţi cu prioada sa propri d oscilaţi. Răspunsul la un şoc st dci, din momntul înctării acţiunii, o vibraţi libră. Excitaţia tranzitori st o prturbaţi car durază mai mult prioad d vibraţi propri al sistmului. Vibraţiil priodic şi cl tranzitorii sunt fnomn dtrminist, pntru car s pot stabili funcţii d timp car să dfinască în oric momnt valoara instantan a dplasării. În mult aplicaţii practic s întâlnsc vibraţii alatoar, cu caractr ndtrminist, la car valoril instantan al mărimilor car dfinsc mişcara nu mai sunt prdictibil. S rcurg la calculul probabilităţilor şi s lucrază cu mărimi statistic sau valori mdii, car în cazul procslor staţionar, rgodic şi cu distribuţi gaussiană dvin prdictibil. În gnral, când asupra unui sistm liniar şi cu paramtri invariabili în timp s aplică o prturbaţi oarcar, mişcara rzultantă st suma a două componnt distinct: vibraţia forţată, dscrisă d o funcţi asmănătoar funcţii xcitaţii şi vibraţia propri, dpndntă doar d caractristicil dinamic al sistmului, a cări funcţi d timp st d obici o combinaţi într o sinusoidă şi o xponnţială. În cazul uni prturbaţii armonic sau alatoar staţionar, vibraţia propri s amortizază imdiat după încputul mişcării, rămânând doar vibraţia forţată, car în anumit condiţii poat produc rzonanţă. Dacă un sistm st acţionat d o forţă xtrioară priodică, a cări frcvnţă st gală cu (sau apropiată d) una din frcvnţl proprii al sistmului, vibraţia produsă ar amplitudini rlativ mari chiar pntru amplitudini rlativ mici al forţi prturbatoar. S spun că sistmul st într-o star d rzonanţă. Un xmplu st lagănul împins la anumit intrval. Alt xmpl includ vibraţiil sistmlor cu roţi dinţat la frcvnţa d angrnar, vibraţiil torsional al arborilor motoarlor cu ardr intrnă la frcvnţa aprindrilor din cilindri, vibraţiil rulmnţilor la frcvnţa trcrii billor pst un dfct, tc. Rzonanţa ia naştr la frcvnţl la car suma clor două nrgii ractiv rcuprabil potnţială şi cintică st nulă, iar nrgia transmisă sistmului st gală cu nrgia disipată prin frcări. Fnomnul apar când spctrul d frcvnţ al xcitaţii acopră un domniu c cuprind frcvnţl proprii al sistmului. La rzonanţă o forţă d amplitudin constantă produc un răspuns maxim, sau, pntru a mnţin un răspuns d amplitudin constantă, st ncsară o forţă minimă. Rzonanţa însamnă amplitudini mari al mişcării în anumit punct sau părţi al sistmului în vibraţi, însoţit d solicitări şi tnsiuni mari sau mişcări rlativ considrabil, car pot duc la rupri prin obosală, funcţionar ncorspunzătoar, uzură, trpidaţii, dci zgomot cu acţiun nocivă aspra omului.

14 6 VIBRAŢII MECANICE O rzonanţă st dfinită d o frcvnţă, un nivl al răspunsului dinamic şi o lăţim a curbi d răspuns în frcvnţă. Evitara rgimurilor priculoas d vibraţii din vcinătata rzonanţlor s poat fac prin: a) modificara frcvnţlor xcitatoar; b) modificara masi sau rigidităţii sistmului vibrator, pntru variaţia frcvnţlor proprii; c) crştra sau adăugara amortizării, şi d) ataşara unui absorbitor dinamic d vibraţii. Dacă mişcara ar loc în prznţa uni surs d nrgi, pot apar autovibraţii (vibraţii autoxcitat). Mişcara st întrţinută d o forţă priodică, crată sau dtrminată d mişcara însăşi, dşi nrgia st furnizată în mod uniform d sursa xtrioară. Când mişcara s oprşt, forţa priodică dispar. Exmpl cunoscut sunt vibraţiil corzii d vioară produs d arcuş, scârţâitul crti p tablă sau al balamali uni uşi, ţiuitul maşinilor unlt când scull sunt ascuţit ncorspunzător, fluiratul tramvaiului la curb, vibraţiil liniilor lctric arin produs d vânt, tc. În timpul vibraţiilor la rzonanţă şi al clor autoxcitat, sistmul vibrază la o frcvnţă propri. În primul caz vibraţiil sunt forţat, dci au loc la frcvnţa xcitatoar (sau multipli întrgi ai acstia, în cazul sistmlor nliniar). În al doila caz, frcvnţa st indpndntă d oric stimul xtrior. Vibraţiil paramtric sunt produs d variaţia unui paramtru dinamic al sistmului, rigiditata sau inrţia. Exmpl sunt vibraţiil transvrsal al rotoarlor d scţiun ncirculară, pndullor d lungim variabilă, sistmlor torsional cu roţi dinţat, tc..5 Amortizara vibraţiilor Amortizara rprzintă disipara nrgii mcanic dintr-un sistm, dobici prin transformar în nrgi trmică. Pirdra nrgii prin radiaţi, unori dfinită ca amortizar gomtrică, nu st tratată în acastă lucrar. Mcanisml d amortizar frcvnt utilizat sunt: a) frcara uscată (coulombiană), în car amplitudina forţi d amortizar st indpndntă d vitză, b) amortizara vâscoasă liniară, la car forţa st proporţională cu vitza, c) amortizara vâscoasă proporţională cu o putr a vitzi, şi d) amortizara structurală (histrtică, intrnă) în car forţa st proporţională cu dplasara. Amortizara rditară şi ca dintr pisl cu jocuri sunt alt modl posibil. Amortizara coulombiană sau amortizara prin frcar uscată st un mcanism d amortizar nliniară, produs d forţ d frcar car s opun mişcării. Forţa d amortizar coulombiană ar amplitudin constantă, fiind indpndntă d vitză, odată c s-a dpăşit forţa d frcar statică iniţială. Enrgia disipată într-un ciclu d vibraţi armonică st proporţională cu amplitudina dplasării şi indpndntă d pulsaţi.

15 . MODELAREA SISTELOR VIBRATOARE 7 Amortizara vâscoasă liniară st produsă d frcara rlativă a molcullor unui fluid vâscos, car produc forţ proporţional şi d sns contrar vitzi unui obict car s mişcă în fluid. Enrgia disipată într-un ciclu d vibraţi armonică st proporţională cu frcvnţa şi cu pătratul amplitudinii dplasării. Est cl mai simplu modl d amortizar, frcvnt utilizat datorită simplităţii matmatic, în spcial pntru modlara amortizării xtrn, produs d mişcara în mdiul ambiant. Amortizoarl cu uli din suspnsia automobillor şi motocicltlor produc forţ proporţional cu o putr a vitzi rlativ. Amortizara proporţională cu o putr a vitzi st un mcanism nliniar, în car nrgia disipată într-un ciclu d vibraţi armonică dpind atât d pulsaţi cât şi d amplitudina vibraţii. S-a obsrvat xprimntal că la mult matrial folosit curnt în practică nrgia disipată într-un ciclu d vibraţi armonică st proporţională cu pătratul amplitudinii dplasării dar st indpndntă d pulsaţi, dci modlul amortizării vâscoas liniar nu dscri corct comportara acstor matrial. Acaşi constatar privşt amortizara produsă d mişcara rlativă a lmntlor asamblat prin nituir sau cu şuruburi. Amortizara structurală sau histrtică st mcanismul d frcar d aluncar car dscri acastă comportar. Forţa d amortizar st proporţională cu dplasara rlativă dar în fază cu vitză rlativă. Acst modl d frcar a fost postulat şi st strict valabil doar în cazul vibraţiilor armonic. El nu rprzintă un mcanism d disipar a nrgii ralizabil fizic, doarc în cazul solicitării în rgim tranzitoriu conduc la rzultat absurd. În acst caz, valoara instantan a forţi d amortizar dpind nu numai d variaţia în timp a dplasării până în momntul aplicării forţi, dar şi după acst momnt (sistm ncauzal). Totuşi, în rgim armonic şi p domnii limitat d frcvnţ, modlul amortizării structural dă rzultat bun, confirmat xprimntal p structuri aronautic. Natura fizică a mcanismlor d amortizar st atât d difrită, încât pntru dscrira lor s-au laborat mai mult modl matmatic, majoritata fiind nliniar, dci implicând dificultăţi d calcul. S-a rcurs la concptul d amortizar vâscoasă chivalntă, prin car forţa d amortizar nliniară s înlocuişt cu o forţă vâscoasă liniară, astfl încât nrgia disipată p ciclu d amortizorul nliniar să fi gală cu ca disipată d un amortizor vâscos chivalnt, supus la o dplasar rlativă d acaşi amplitudin. Gnralizând noţiuna d amortizar chivalntă, calculul analitic al vibraţiilor mcanic st simplificat prin folosira cu prcădr a două modl d amortizar vâscoasă şi structurală. S galază dci nrgia disipată într-un ciclu d vibraţi prin toat mcanisml d amortizar, inclusiv ca datorită radiaţii (prin und, în mdii continu infinit), cu nrgia disipată printr-un singur mcanism, vâscos sau histrtic, într-un rgim d vibraţii cu acaşi amplitudin. Rzultă astfl fi un coficint d amortizar vâscoasă chivalntă, fi un coficint d amortizar structurală chivalntă, mărimi dpndnt în gnral d

16 8 VIBRAŢII MECANICE pulsaţi şi amplitudina dplasării, cu car s lucrază ca şi când ar fi constant, urmând să s dtrmin xprimntal domniil în car acastă ipotză st valabilă.

17 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE Sistml vibratoar au masă şi lasticitat. Cl mai simplu sistm vibrator constă dintr-o masă ataşată d un arc liniar. Când mişcara poat fi dscrisă d o singură coordonată, sistmul ar un singur grad d librtat. Utilizând acst modl simplu, s pot introduc concpt d bază ca frcvnţa propri, rzonanţa, bătăil şi antirzonanţa. În timpul vibraţiilor, nrgia mcanică s disipază prin amortizar. Acasta limitază amplitudina mişcării la rzonanţă, dscrşt amplitudina vibraţiilor libr, şi introduc dfazaj într răspuns şi xcitaţi. Măsurara amortizării st importantă doarc a nu poat fi calculată ca cllalt două proprităţi, masa şi rigiditata.. Vibraţii libr namortizat Vibraţia libră a unui sistm masă-arc, car ar loc în absnţa oricări xcitaţii xtrioar, st o mişcar armonică a cări frcvnţă dpind xclusiv d masa şi rigiditata sistmului, fiind indpndntă d condiţiil iniţial al mişcării. Fiind o propritat intrinscă (naturală) a sistmului, acasta s numşt frcvnţă propri sau frcvnţă naturală. Calculul frcvnţlor proprii s bazază p valoril maslor şi al rigidităţilor lmntlor lastic... Sistmul masă-arc Sistmul din fig.. constă dintr-un arc liniar d rigiditat şi o grutat W având masa m W g, und g st acclraţia gravitaţii. Grutata st constrânsă să s dplasz p dircţi vrticală, fără să s rotască. Rigiditata st gală cu forţa car produc o variaţi a lungimii arcului gală cu unitata. În fig.., a s arată arcul ntnsionat. Când masa m st ataşată arcului (fig.., b), capătul acstuia s dplasază în jos şi s oprşt în poziţia d chilibru static, dtrminată d dformaţia statică δ. În acstă poziţi, grutata st

18 VIBRAŢII MECANICE W mg car acţionază în jos st chilibrată d forţa din arc δ st car acţionază în sus (fig.., c), astfl încât săgata statică st m g δ st. (.) Dacă masa st dplasată din poziţia d chilibru static şi lăsată libr, sistmul fctuază vibraţii libr. Pntru a scri cuaţia mişcării, origina dplasărilor dinamic s alg în poziţia d chilibru static, astfl încât trbui luat în considrar doar forţl datorit dplasării faţă d acastă poziţi. Fig.. Algând snsul pozitiv în jos, forţa lastică c acţionază asupra masi în poziţia x st x (fig.., d). Mişcara masi st dscrisă d lga a doua a lui Nwton m x& x, car poat fi scrisă m x& + x, (.) und un punct dasupra litri dnotă drivara în raport cu timpul. Rlaţia (.) st o cuaţi difrnţială d ordinul doi, omognă. Soluţia gnrală ar forma und x C sin ωn t + C cos ωn t, (.) ω m [rad/s] (.4) n st pulsaţia propri namortizată a sistmului. Frcvnţa propri namortizată st f n. [Hz] (.5) π m

19 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE Constantl arbitrar C şi C s dtrmină p baza condiţiilor iniţial al mişcării. În cazul gnral, sistmul poat porni din poziţia x cu vitza v, astfl încât soluţia gnrală dvin v x sinωn t + x cos ωnt. (.6) ω O altă formă a soluţii gnral st n ( ω + φ) und cl două constant arbitrar sunt dat d x A sin t, (.7) n ( v ω ) n A x +, ω x φ arctg n. (.8) v Exprsia (.7) arată că vibraţia libră a sistmului masă-arc st armonică şi ar loc la frcvnţa propri f. Mărima A rprzintă amplitudina dplasării n faţă d poziţia d chilibru static iar φ st unghiul d fază. Pulsaţia ω dfinşt frcvnţa vibraţii în radiani p scundă, complt d vibraţi. π radiani corspunzând unui ciclu Frcvnţa vibraţii st gală cu numărul d cicluri d mişcar în unitata d timp. Invrsul frcvnţi proprii st prioada propri d vibraţi T π ω. [sc] (.9) f n Prioada vibraţii st gală cu timpul ncsar mişcării să s rpt. Frcvnţa propri namortizată s poat xprima în funcţi d săgata statică utilizând rlaţia (.) n n und f n g 9,8m s st acclraţia gravitaţii. g π δ, [Hz] (.) st.. Rigiditata lmntlor lastic Dşi sistmul cu un grad d librtat st dobici modlat printr-o masă ataşată d un arc cilindric licoidal, în mult sistm practic lmntul lastic poat lua difrit form sau poat consta din mai mult arcuri lgat într l. În fig.. rigidităţil mai multor lmnt lastic au fost calculat ca raport într forţa aplicată şi dplasara punctului i d aplicaţi.

20 VIBRAŢII MECANICE Fig.. În fig.. s przintă două tipuri gnral d combinaţii d arcuri. Fig.. La lgara în sri (fig.., a), în ambl arcuri acţionază acaşi forţă. Două arcuri liniar, d rigidităţi şi, acţionat d grutata W, s dformază static W W δ st + W +.

21 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE, st Rigiditata chivalntă, rprzntând fctul combinat al arcurilor şi S W. (.) δ st + Un sistm cu n arcuri lgat în sri ar o rigiditat chivalntă S dată d (.) S n La lgara în parall (fig.., b) dformaţia amblor arcuri st acaşi iar suma forţlor din arcuri st gală cu grutata aplicată W : W δ. δ st + st Astfl, pntru arcuri lgat în parall, rigiditata chivalntă st W. (.) δ P + st În gnral, un sistm cu n arcuri în parall ar o rigiditat chivalntă P n. (.4) Rgulil d compunr a rigidităţilor arcurilor sunt aclaşi cu cl utilizat la calculul capacităţii total a condnsatoarlor lgat în sri sau în parall în circuitl lctric... Sistm torsional S considră sistmul torsional din fig..4 car constă dintr-un disc cu un momnt d inrţi masic J, g m, ataşat d o bară sau un fir d rigiditat la răsucir K, N m rad. Sistmul st constrâns să fctuz vibraţii unghiular în jurul axi vrtical. Dacă poziţia instantan a discului st dată d unghiul θ, cuplul car acţionază asupra discului st Kθ astfl încât lga a doua a lui Nwton pntru mişcara unghiulară st car s mai scri J & θ Kθ,

22 4 VIBRAŢII MECANICE J & θ + Kθ, (.5) und un punct dasupra litri dnotă drivar în raport cu timpul. Fig..4 Ecuaţia (.5) a fost stabilită d Ch. O. Coulomb în 784. Soluţia gnrală ar forma und θ () t C ω n t C cos ω t sin + n, ω K J [rad/s] (.6) n st pulsaţia propri namortizată a sistmului torsional. Frcvnţa propri namortizată st f n K. [Hz] (.7) π J Din Rzistnţa matriallor s şti că o bară d diamtru d şi lungim l, dintr-un matrial cu modulul d lasticitat transvrsal G, solicitată d un momnt M t s răsucşt cu un unghi θ M t l, und G I p π d 4 I p st momntul d inrţi polar al scţiunii transvrsal a bari. Rigiditata la răsucir (torsională) st dci M G I t p K. θ l Există o analogi dirctă într sistml în vibraţii d translaţi şi cl în vibraţii torsional. Arcuril şi masl din primul caz sunt înlocuit d arcuri torsional şi discuri rigid car au momnt d inrţi masic polar.

23 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 5..4 Mtoda nrgtică Dacă vibraţia st armonică, atunci frcvnţa poat fi calculată printr-o mtodă nrgtică. Când nu xistă disipar d nrgi, sistmul s numşt consrvativ. În oric momnt, nrgia unui sistm consrvativ st suma constantă a nrgiilor potnţială şi cintică U + T const. (.8) Enrgia potnţială maximă, car apar în poziţia d longaţi maximă, und masa stă p loc un momnt, trbui să galz nrgia cintică maximă, car apar atunci când masa trc prin poziţia d chilibru static, cu vitză maximă. Forţa din arc st x, iar lucrul mcanic fctuat p o dplasar infinitzimală d x st x d x. Enrgia potnţială din arc, acumulată când un capăt al acstuia st dplasat p o distanţă x, st U xdx x. Prsupunând o mişcar armonică d forma x x A sinω t, nrgia potnţială maximă st U A max. Enrgia cintică st în oric momnt T m v. Vitza st v Aωn cosωnt, astfl că nrgia cintică maximă st Tmax m ωn A. Egalând nrgiil maxim U max Tmax, rzultă A mωn A d und s obţin pulsaţia propri ω m, indpndntă d amplitudina A. n n Exmplul. Să s dtrmin pulsaţia propri a oscilaţiilor fluidului într-un tub în formă d U (fig..5). Rzolvar. Fi l lungima totală a coloani d fluid, A - aria scţiunii transvrsal a tubului şi ρ - dnsitata fluidului. Prsupunând că particull d fluid au acaşi vitză în oric momnt, nrgia cintică ar xprsia T ρ Al x&. Dacă fluidul oscilază în tub, lucrul mcanic fctuat st aclaşi ca şi când o coloană d fluid d lungim x ar fi transfrată din parta stângă în parta draptă a tubului, lăsând rstul fluidului nmişcat.

24 6 VIBRAŢII MECANICE Enrgia potnţială instantan st U g ρ Ax. Înlocuind xprsiil clor două nrgii în condiţia ca variaţia în timp a nrgii total să fi nulă d ( T +U ) dt şi simplificând cu x&, s obţin cuaţia difrnţială a mişcării fluidului g & x + x. l Pulsaţia propri Fig..5 ω n g st indpndntă d natura fluidului utilizat, d forma şi aria scţiunii transvrsal a tubului...5 Mtoda lui Rayligh Mtoda lui Rayligh st o aplicaţi a mtodi nrgtic la sistm cu masă/lasticitat distribuită. Mtoda st utilizată pntru a rduc un sistm cu paramtri distribuiţi la un sistm chivalnt masă-arc şi pntru a dtrmina pulsaţia propri fundamntală a acstuia. Enrgiil cintică şi potnţială s calculază prsupunând oric formă dformată car satisfac condiţiil la limită gomtric. Dacă s alg dformata rală sistmului, atunci formula lui Rayligh va da pulsaţia propri advărată a sistmului. Pntru oric altă curbă, pulsaţia dată d acastă mtodă va fi mai mar dcât ca corctă. Acasta s xplică prin faptul că oric dviaţi d la curba advărată implică nişt constrângri suplimntar, dci o rigiditat mai mar şi o l

25 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 7 pulsaţi mai înaltă. În continuar, mtoda lui Rayligh st aplicată vibraţiilor d încovoir al barlor. Fi o bară cu modulul d rigiditat la încovoir E I (und E st modulul d lasticitat longitudinal şi I st momntul d inrţi axial al scţiunii transvrsal) şi masa p unitata d lungim ρ A (und ρ st dnsitata matrialului şi A st aria scţiunii transvrsal). S prsupun că dplasara latrală st armonică, cu frcvnţa ω, sincronă în toat punctl în lungul bari ( x,t) v ( x) cosω t y. Enrgia potnţială instantan st M dx y U EI EI x und s-a utilizat cuaţia difrnţială liniarizată (4.65) a linii lastic a bari ( y x ) M E I. Valoara sa maximă st U max E I v x Enrgia cintică instantan st cu valoara maximă dx. dx y T dm ω ρ A y dx, t T max A ω ρ v d x. Egalând nrgia potnţială maximă cu nrgia cintică maximă, s obţin formula lui Rayligh pntru pulsaţia propri fundamntală ω EI ( v x ) ρ A v dx dx. (.9).6. Exmplul. Să s dtrmin pulsaţia propri fundamntală a bari în consolă din fig.

26 8 VIBRAŢII MECANICE Rzolvar. S alg forma dformată aproximativă π x v v cos. l Acastă funcţi satisfac condiţiil la limită x, v, d v dx x l, d v d x, însă nu satisfac condiţia x l, d v d x (forţă tăitoar nulă), dci st o funcţi admisibilă aproximativă., şi Fig..6 π EI Enrgia potnţială maximă st U max v. Enrgia cintică 64 l ρ A maximă st T max ρ Aω v l, sau T ω v l, 4 π max. Egalând cl două nrgii, s obţin pulsaţia propri fundamntală (în rad/s),668 EI ω. l ρ A,55 EI Soluţia advărată (5.6) st ω, dci valoara obţinută cu l ρ A formula lui Rayligh st cu 4 % mai mar. Dacă funcţia admisibilă s alg dformata statică a bari în consolă acţionată d o forţă aplicată la capăt, la car s nglijază grutata propri x x v v, l l EI nrgia potnţială maximă st U max v v şi nrgia cintică l ρ Al maximă st T ( ) max ω v m rd ω v. 4 Egalând cl două nrgii, pulsaţia propri fundamntală dată d formula lui Rayligh st 4

27 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 9 EI l,5675 EI ω, ( 4) ρ Al m l ρ A car st numai cu,47 % mai mar dcât valoara advărată (5.6). Rlaţia d mai sus arată că, pntru dformata aproximativă considrată, bara cu masă uniform distribuită ar acaşi pulsaţi propri ca o bară fără masă distribuită dar cu o masă concntrată ( 4) ρ Al în capătul libr. Acasta s numşt masa rdusă a bari. Exmplul. Să s dtrmin pulsaţia propri fundamntală a bari libr la capt din fig..7. rd Fig..7 Rzolvar. S alg dformata aproximativă d forma π v sin a. lx v Constanta a trbui dtrminată din condiţia d consrvar a cantităţii d mişcar pntru bara libră la capt d und rzultă l ( vitza) d ( masa) ( v)( ρ Adx) ω ρ A v dx a v π. l ω, l Utilizând forma dformată π x v v sin, l π din cuaţia (.9) s obţin pulsaţia propri fundamntală a bari,6 EI ω. l ρ A

28 VIBRAŢII MECANICE doar,9 %. Valoara advărată (5., a) st,4 EI ω dci discrpanţa st l ρ A. Vibraţii forţat namortizat Vibraţiil forţat sunt produs d forţ xtrioar variabil în timp sau dplasări impus. Dacă asupra masi acţionază o forţă armonică d amplitudin constantă şi frcvnţă variabilă, atunci când frcvnţa xcitatoar s apropi d frcvnţa propri a sistmului, dplasara masi crşt nlimitat. Acastă condiţi s numşt rzonanţă şi st caractrizată d vibraţii putrnic. La sistm namortizat, frcvnţl d rzonanţă sunt gal cu frcvnţl proprii al sistmului şi, în majoritata cazurilor, funcţionara la rzonanţă trbui vitată. La sistm amortizat, răspunsul la rzonanţă ar amplitudin finită. Un lagăn împins la anumit intrval fctuază oscilaţii la rzonanţă. Funcţionara utilajlor d compactar a trnului şi a btonului, a transportoarlor oscilant, a unltlor şi a ciururilor vibratoar st adsa bazată p rzonanţă. Totuşi principala problmă cu rzonanţa st lgată d fctl dăunătoar al acstia. Funcţionara la rzonanţă implică dplasări şi tnsiuni mari, car produc obosală şi rupri, fct nociv sau disconfort utilizatorilor, şi o dscrştr a prcizii produslor. Zgomotul produs d o maşină casnică sau d un subansamblu al unui automobil poat fi o pidică în vânzara acstora. Dacă forţa armonică st aplicată arcului, dplasara punctului d xcitaţi dscrşt la zro la frcvnţa propri a sistmului. Acastă condiţi s numşt antirzonanţă. În gnral, acasta st o propritat locală, dpndntă d punctul d aplicaţi a xcitaţii... Excitara masi cu o forţă arbitrară Fi forţa F(t) cu o variaţi arbitrară în timp (fig..8). În intrvalul d timp infinitzimal τ d, forţa ( τ ) F poat fi considrată constantă. Suprafaţa haşurată rprzintă un impuls infinitzimal F ( τ )τ d car produc o variaţi d vitză ( ) F τ dτ d x&. m Răspunsul masi m produs d impulsul difrnţial, d-a lungul întrgii istorii d solicitar pntru t > τ, st

29 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE ( τ ) şi poat fi ddus din (.6) considrând că la v dx&. F dτ d x sin ωn ( t τ ), (.) m ω n t τ, dplasara x şi vitza S poat considra că întraga istori d solicitar constă dintr-o succsiun d astfl d impulsuri infinitzimal, ficar producând un răspuns difrnţial d forma (.). Fig..8 Pntru un sistm liniar, răspunsul total s poat obţin însumând toat răspunsuril difrnţial produs în timpul istorii d solicitar, dci intgrând xprsia (.) după cum urmază x mω () t F( τ ) sinω ( t τ ) n t n dτ. (.) Rlaţia (.) st cunoscută sub numl d intgrala lui Duhaml pntru un sistm namortizat... Excitara masi cu o forţă armonică Sistmul masă-arc din fig..9, a st xcitat d o forţă armonică f () t F cosω t d amplitudin constantă F şi pulsaţi prturbatoar ω, aplicată masi. P baza diagrami forţlor din fig..9, b, s scri lga a doua a lui Nwton car dvin cuaţia difrnţială a mişcării m x& & x + F cos ω t,

30 VIBRAŢII MECANICE m x& & + x F cosω t. (.) Soluţia gnrală a cuaţii liniar nomogn (.) st suma soluţii (.) a cuaţii cu mmbrul drpt zro şi a soluţii particular. În rgim staţionar, soluţia particulară s alg d acaşi formă ca xcitaţia P ( t) X cosω t und X st amplitudina răspunsului forţat. x, (.) Fig..9 Înlocuind soluţia particulară (.), cuaţia (.) dvin în car s poat simplifica sau mω X cosω t + X cosω t F cosω t, cos ω t, rzultând ( m ) X F ω, F F X. (.4) mω X st mω n ( ω ω ) În xprsia (.4) F X st (.5) st săgata statică a arcului produsă d forţa (constantă) F iar ω n m st pulsaţia propri namortizată (.4). La pulsaţii ω ω, soluţia gnrală a cuaţii (.) st n

31 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE X st x () t C sinωnt + C cos ωnt + cos ω t. (.6) ( ω ω ) Fiind suma a două componnt armonic d pulsaţii difrit, soluţia (.6) nu rprzintă o mişcar armonică. Dacă dplasara iniţială st x şi vitza iniţială st v, atunci din cuaţia (.6) s obţin X st x ( ) C + x ( ω ωn ) dci răspunsul total st x () t produs und v sinωnt + x ωn X st cosω t + n x& C ω v, n, ( ) n ( ω ω ) ( ω ω ) n X st n cosω t. (.7) Pntru condiţii iniţial nul, x v, răspunsul (.7) dvin x () t.. Bătăi ( ω ω ) X st ( cosω t cosωnt). (.8) n Difrnţa cosinusurilor din rlaţia (.8) s poat xprima sub formă d X st x () t sinωmt sinδω t, (.9) ( ω ω ) ω + ω ωm n şi n ω ω Δω n. Atunci când Δ ω dvin foart mic, doarc ω m st rlativ mar, produsul din xprsia (.9) rprzintă o oscilaţi modulată în amplitudin. Mişcara armonică cu pulsaţia mai mar ω m st modulată în amplitudin d mişcara armonică cu pulsaţi mai joasă Δ ω (fig..). Mişcara rzultantă, car st o oscilaţi rapidă cu amplitudina variabilă lnt, st cunoscută sub numl d bătăi. Trminologia drivă din acustică. Când două coard d pian pntru acaşi notă sunt puţin dzacordat, s aud un sunt a cărui intnsitat crşt şi scad priodic (bătăi). Bătăil dispar când corzil sunt acordat la unison, şi s aud o singură frcvnţă.

32 4 VIBRAŢII MECANICE Fig.. Bătăil s pot auzi într-un avion bimotor, când cl două motoar au turaţii puţin difrit. El apar în cntral lctric la pornira unui gnrator. Puţin înaint d conctara gnratorului la rţa, frcvnţa curntului produs d gnrator st puţin difrită d frcvnţa rţli. Zgomotul produs d gnrator şi zgomotl produs d cllalt gnratoar şi transformatoar au înălţimi difrit şi s pot auzi bătăil...4 Curb d răspuns în frcvnţă Est intrsant d xaminat în dtaliu dpndnţa d frcvnţă a amplitudinii răspunsului staţionar X X st. (.) ( ω ω ) Valoara absolută a coficintului lui (.) s numşt factor d amplificar dinamic. n X st în mmbrul drpt al rlaţii În fig.., a s-a rprzntat variaţia amplitudinii X în funcţi d pulsaţia xcitatoar ω. La pulsaţii ω < ωn ordonatl sunt pozitiv, forţa şi dplasara masi sunt în fază, în timp c la pulsaţii ω > ωn ordonatl sunt ngativ, forţa şi dplasara masi sunt dfazat 8 (fig.., b). În timp c pntru ω < ωn masa st sub poziţia d chilibru static când forţa acţionază în jos, pntru ω > ωn masa st dasupra poziţii d chilibru când forţa acţionază în jos.

33 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 5 Fig.. Dobici rlaţia d fază intrsază mai puţin, iar curba d rzonanţă st przntată ca în fig.., c cu modulul amplitudinii p axa ordonatlor. Acastă diagramă st dnumită curba d răspuns în frcvnţă...5 Rzonanţa La ω ω n, când pulsaţia prturbatoar coincid cu pulsaţia propri a sistmului, amplitudina dvin infinită (doarc sistmul st namortizat). Acst fnomn st numit rzonanţă, iar pulsaţia propri st unori numită pulsaţia d rzonanţă. Atunci când ω ω forţa lastică şi forţa d inrţi s chilibrază n rciproc iar forţa xcitatoar produc crştra nlimitată a amplitudinii mişcării sistmului namortizat. Sistml amortizat au amplitudini finit la rzonanţă iar dfazajul într forţă şi dplasar st 9 (fig..8). S considră cazul în car, pornind din rpaus, sistmul masă-arc st solicitat d o forţă F cos ωn t, und ω n st pulsaţia propri. Atunci când ω

34 6 VIBRAŢII MECANICE dvin xact gal cu F ( τ ) F cosω τ în cuaţia (.) s obţin x () t n x ω, soluţia (.7) nu mai st valabilă. Înlocuind n F mω t n n d n () t cosω τ sinω ( t τ ) τ, t t F sinωnt cos ωn τ dτ cosωnt cosωn τ sinωnτ mωn d x P () t sinω t τ, F t n. (.) mω n Astfl, atunci când st xcitat la rzonanţă, amplitudina sistmului namortizat crşt liniar în timp. Doarc xcitaţia st o funcţi cosinus iar răspunsul st o funcţi sinus, într l xistă un dfazaj d 9. Fig.. Soluţia totală pntru condiţii iniţial nnul st în acst caz F x () t v sin ωn t + x cos ωn t + t sinωn t. (.) ω mω n Variaţia în timp a dplasării la rzonanţă x ( t) st przntată în fig.. pntru condiţii iniţial nul. S obsrvă că x ( t) crşt nlimitat, dar acastă crştr nu st instantan ci ncsită un anumit timp, funcţi d masa şi rigiditata sistmului. n

35 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 7..6 Trcra prin rzonanţă Pntru majoritata sistmlor vibratoar, valoara staţionară a amplitudinii dplasării s ating rlativ rpd, vitza cu car s ralizază contând mai puţin. Totuşi, atunci când un sistm vibrator st acclrat prin rzonanţă, dci când frcvnţa xcitatoar st baliată cu o anumită vitză ε dω dt, nu mai st timp suficint pntru atingra valorii staţionar a dplasării şi amplitudina la rzonanţă st finită chiar în cazul sistmlor namortizat. Astfl, la trcra prin rzonanţă, intrsază răspunsul la o forţă cu frcvnţă variabilă. În acst caz, înfăşurătoara răspunsului ar un maxim ca un vârf d rzonanţă, unori urmat d bătăi. Dacă frcvnţa xcitatoar crşt (fig..), atunci frcvnţa la car apar răspunsul maxim st mai mar dcât ca obţinută în condiţii staţionar, amplitudina maximă st mai mică şi lăţima curbi d rzonanţă st mai mar. Dacă frcvnţa xcitatoar scad, frcvnţa la car apar răspunsul maxim st mai mică dcât ca obţinută în condiţii staţionar. În fig. π., forţa ar o variaţi f () t F sin ε t + cu ε const. Fig.. Efctul vitzi d baliaj dpind d amortizara din sistm. Cu cât amortizara st mai mică, cu atât st ncsar mai mult timp pntru atingra nivlului staţionar al răspunsului. Figura. st trasată pntru amortizar nulă...7 Rzonanţa cu amplitudin constantă a dplasării Rzonanţa st o star în car fi o dplasar maximă st produsă d o forţă cu amplitudin constantă, fi o forţă minimă st ncsară pntru a mnţin o anumită dplasar constantă.

36 8 VIBRAŢII MECANICE Când amplitudina forţi F st variabilă şi amplitudina dplasării X st mnţinută constantă, rlaţia (.4) s poat scri [ ( ω ω ) ] F X n. (.) În fig..4 s przintă variaţia valorii absolut a forţi în funcţi d pulsaţia xcitatoar, pntru X const. Pntru un sistm namortizat, forţa aplicată la rzonanţă st zro, doarc forţa lastică st chilibrată d forţa d inrţi. Fig..4 Rzonanţa st o star în car o xcitaţi minimă st ncsară pntru a produc un răspuns dinamic maxim...8 Excitaţia cu mas xcntric în rotaţi În mult cazuri practic, vibraţiil apar sub acţiuna forţlor cntrifug produs d mas xcntric în rotaţi. Spr dosbir d forţl cu amplitudin constantă, considrat antrior, forţl produs d mas xcntric în rotaţi au amplitudini proporţional cu pătratul pulsaţii. Acst forţ au forma m ω cosω t, fiind proicţia vrticală a forţlor cntrifug c acţionază asupra maslor m în rotaţi cu vitza unghiulară ω şi xcntricitata (fig..5, a). Amplitudina vibraţiilor forţat produs d acastă forţă s poat obţin înlocuind F cu m ω în rlaţia (.4). Rzultă ( ω ωn ) ( ω ω ) mω ( ω ωn ) n mω X. (.4) m ω

37 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 9 În xprsia (.4) m st masa totală în vibraţi car includ şi masa m. a Fig..5 b În fig..5, b s przintă variaţia valorii absolut a amplitudinii X din rlaţia (.4) în funcţi d pulsaţia ω, pntru const. Diagrama pornşt d la zro, tind la infinit la rzonanţă şi dscrşt la valoara la pulsaţii înalt...9 Antirzonanţa Fi sistmul masă-arc nrzmat din fig..6, acţionat d o forţă armonică aplicată la bază. Ecuaţiil d mişcar au forma ( x x ) F cosωt m x& &. Amplitudina dplasării punctului d aplicaţi al forţi st X ( ω ωn ) ( ω ω ) F mω F. mω În cazul uni forţ d amplitudin constantă F const., valoara absolută a amplitudii dplasării ar o valoar minimă gală cu zro la pulsaţia propri. Acastă condiţi st dfinită ca o antirzonanţă, doarc sistmul s comportă total difrit d rzonanţă, und amplitudina st infinită. În gnral, antirzonanţa ar loc la o pulsaţi la car o forţă d amplitudin maximă produc un răspuns d amplitudin minimă. Spr dosbir d rzonanţă, car st o propritat globală a unui sistm în vibraţi, indpndntă d poziţia punctului d aplicaţi a xcitaţii, antirzonanţa st o propritat locală, car dpind d poziţia punctului d aplicaţi a xcitaţii. n

38 VIBRAŢII MECANICE Fig..6 În absnţa amortizării, pulsaţia d antirzonanţă a sistmului masă-arc xcitat la bază st acaşi ca pulsaţia d rzonanţă a sistmului rzmat la bază şi xcitat prin masă. Dacă s ataşază o a doua masă la bază, în punctul d aplicaţi al xcitaţii, s obţin un sistm masă-arc-masă al cărui răspuns în punctul d aplicar a xcitaţii ar p lângă antirzonanţă şi o rzonanţă... Transmisibilitata Dacă la baza sistmului masă-arc s aplică o dplasar impusă (xcitaţi cinmatică) x X cosω t, atunci mişcara transmisă masi x X cosω t st dfinită d raportul amplitudinilor X X ( ω ω ). (.5) n Raportul TR X X s numşt transmisibilitat şi st rprzntat grafic în fig..7 în funcţi d pulsaţia adimnsională ω ωn. Pntru valori ω n > TR < iar masa sistmului s spun că st izolată faţă d mişcara bazi. Izolara vibraţiilor st posibilă doar dasupra rzonanţi, la pulsaţii ω > ω. Elmntul lastic ω, transmisibilitata st subunitară ( ) dintr masă şi baza în vibraţi poat fi proictat astfl încât să asigur un anumit grad d izolar, impunând o anumită valoar TR. Acasta arată în c măsură mişcara masi izolat st rdusă faţă d cazul în car masa ar fi montată dirct p baza vibrantă. n

39 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE Fig..7.. Turaţia critică a rotorului Laval Fi rotorul din fig..8, compus dintr-un disc rigid, dispus la mijlocul unui arbor d masă nglijabilă, rzmat la capt în lagăr rigid, dnumit rotorul Laval. Cntrul d grutat G al discului s află la o distanţă radială d cntrul său gomtric C. Linia cntrlor lagărlor intrsctază planul discului în punctul O. Când arborl st rotit în jurul axi lagărlor, discul s rotşt în planul său în jurul cntrului gomtric C. Asupra discului acţionază o forţă cntrifugă m ω, und ω st vitza unghiulară d rotaţi, m st masa discului r G concntrată în G şi r G OG. Acastă forţă produc îndoira arborlui, dspr car s spun că st într-o star d dzchilibru. Arborl racţionază cu o forţă d raducr lastică r aplicată în C, und st rigiditata arborlui măsurată în drptul discului şi C r C OC. Nglijând fctul grutăţii proprii şi al amortizării, discul st solicitat numai d acst două forţ. Pntru a fi în chilibru, cl două forţ trbui să fi coliniar, gal şi d sns contrar und ( r ) rc mω C +. Rzolvând în funcţi d r C, s obţin r C ( ω ωn ) ( ω ω ) m ω, (.6) mω n ω m st pulsaţia propri a vibraţiilor transvrsal al rotorului la n vitză unghiulară nulă.

40 VIBRAŢII MECANICE Acastă xprsi rprzintă raza orbiti punctului C în prcsi în jurul axi lagărlor cu vitza unghiulară ω. Doarc simultan discul s rotşt în jurul punctului C cu acaşi vitză unghiulară, mişcara arborlui s numşt prcsi sincronă. Fig..8 Raza orbiti circular a punctului G st r G r +. (.7) C ( ω ω ) n În fig..9 s przintă grafic variaţia razlor r C (lini continuă) şi r G (lini întrruptă) în funcţi d vitza unghiulară ω. Fig..9

41 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE La o vitză unghiulară xtriorul punctului C, în timp c la vitz unghiular ω < ωn sistmul s rotşt cu punctul G în ω > ωn punctul G s ω >> ω, raza rotşt în intriorul punctului C. La vitz unghiular foart mari, n r dvin gală cu xcntricitata, iar punctl O şi G coincid, discul având o C prcsi în jurul cntrului său d grutat. La ω ωn, razl r C şi r G crsc nlimitat. Turaţia n cr ω n π s numşt turaţia critică a arborlui. Rlaţiil (.6) şi (.7) arată că vitza unghiulară critică a arborlui st gală cu pulsaţia propri a vibraţiilor d încovoir al rotorului. Variaţia bruscă a poziţii rlativ a punctlor O, C şi G la turaţia critică s datorşt nglijării amortizării. La sistml amortizat, când turaţia arborlui variază, sgmntul CG s rotşt continuu faţă d OC, astfl încât punctul cl mai îndpărtat ( high spot ) nu mai coincid cu punctul gru ( havy spot ). La turaţia critică, unghiul într cl două sgmnt st 9 (v..4.). Dşi xistă o analogi vidntă într xprsiil (.6) şi (.7) p d o part, şi răspunsul staţionar al unui sistm liniar masă-arc (.) şi (.4) p d altă part, mişcara forţată a arborlui în rotaţi nu st o vibraţi propriu-zisă. În arbor nu apar tnsiuni ciclic, acsta s încovoai şi îndoitura st constantă la turaţi constantă. Dformaţia d încovoir st maximă atunci când vitza unghiulară st gală cu pulsaţia vibraţiilor d încovoir al arborlui p car acsta l-ar fctua dacă nu s-ar roti şi ar xcuta doar vibraţii latral libr namortizat.. Vibraţii libr amortizat În timpul vibraţiilor, nrgia mcanică s disipază prin frcări sau alt rzistnţ. În prznţa amortizării, amplitudina vibraţiilor libr scad în timp iar pntru a mnţin constantă amplitudina vibraţiilor trbui aplicat forţ xtrioar. În gnral, disipara d nrgi st dnumită amortizar. Ea st produsă d frcara intrnă în matrial, d frcara într componntl uni structuri, d intracţiunil fluid-structură, d radiaţi şi d mişcara în câmpuri lctric sau magntic. Cl mai simplu mcanism d amortizar s datorşt mişcării într-un mdiu vâscos. Forţa d amortizar vâscoasă st proporţională cu vitza. Exprinţa a arătat că în structuri aronautic disipara d nrgi st mai bin rprzntată d amortizara structurală. Amortizara structurală sau histrtică st dscrisă d o forţă d amortizar în fază cu vitza dar proporţională cu dplasara. Pntru a dscri mai bin comportara unor sistm vibratoar ral, s-

42 4 VIBRAŢII MECANICE au imaginat mcanism mai complicat d amortizar, cum ar fi amortizara rditară... Amortizara vâscoasă Sistmul din fig.., a constă dintr-un arc liniar d rigiditat, o masă m şi un amortizor vâscos. Forţa din amortizor st proporţională cu vitza şi d smn opus. Factorul d proporţionalitat s numşt coficint d amortizar vâscoasă, N m s. c, având unităţi ( ) Fig.. În cazul vibraţiilor libr, cuaţia difrnţială a mişcării s obţin utilizând diagrama forţlor din fig.., b şi lga a doua a lui Nwton m x& c x& x, car mai poat fi scrisă m x& + cx& + x. (.8) Prsupunând soluţii d forma x, s obţin cuaţia caractristică c s + s +, m m (.9) car ar două rădăcini s, c ± m st c m Soluţia gnrală pntru vibraţiil libr amortizat st s t s t () t C C x + m. (.4), (.4) în car constantl d intgrar s dtrmină din condiţiil iniţial al mişcării. Ca o mărim d rfrinţă, s alg amortizara critică dfinită d valoara coficintului c pntru car radicalul din xprsia (.4) st zro

43 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 5 cc m m ω, n sau c c m mω. (.4) Amortizara din sistm poat fi dfinită printr-o mărim adimnsională, gală cu raportul într coficintul d amortizar ral şi cl critic c c n c ζ, (.4) dnumit raport d amortizar (sau fracţiun din amortizara critică) Cu acastă notaţi, rlaţia (.4) dvin s, ζ ± ζ ω n. (.44) În continuar s considră cl tri cazuri distinct pntru natura rădăcinilor (.44), car pot fi ral difrit, complx sau ral gal. Cazul I: Sistm amortizat subcritic, ζ < Pntru ζ <, xprsia (.44) s poat scri s, ζ ± i ζ ω n. (.45) Înlocuind rădăcinil (.45) în soluţia (.4) rzultă x ζω t t t () n i ζ ω n i ζ ωn t C + C β sau, utilizând formula lui Eulr i cosβ + isinβ, după transformări s obţin ζωn t () x t A sin ζ ωnt + φ. (.46) Exprsia (.46) arată că mişcara st oscilatori cu amplitudin dscrscătoar. Dscrştra amplitudinii în timp st proporţională cu după cum s arată cu linii întrrupt în fig... Pulsaţia oscilaţii amortizat, ζω n t, ω d ζ ω n (.47) st mai mică dcât pulsaţia propri namortizată propri amortizată sau psudopulsaţi. Dacă ζ, nu mai st oscilatori. ω n şi s numşt pulsaţi ω tind la zro şi mişcara d

44 6 VIBRAŢII MECANICE Rlaţia (.44) s poat scri s, σ ± iω d (.48) und σ ζω n (.49) st un factor d amortizar gal cu vitza d dscrştr a amplitudinii (panta tangnti la înfăşurătoara xponnţială la t ), dci o constantă d atnuar. Fig.. S pot stabili următoarl rlaţii ζ σ d ω + σ, σ ω n ωd + σ. (.5) ζ Fig..

45 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 7 Cazul II: Sistm amortizat supracritic, ζ > Pntru ζ >, înlocuind rădăcinil (.44) în (.4) rzultă x () t C ζ+ ωn t ζ ζ ζ ω n t + C Mişcara nu mai st oscilatori (Fig..) fiind dnumită apriodică.. Fig.. Cazul III: Sistm amortizat critic, ζ Amortizara critică marchază tranziţia d la mişcări oscilatorii la mişcări apriodic. În acst caz limită, soluţia gnrală st x ωn t () t ( C + C t ). Mişcara st similară cli cu amortizar supracritică (fig..) dar rvin la rpaus în timpul cl mai scurt fără oscilaţii. Acastă propritat st utilizată la aparatl lctric cu ac indicator, a căror part mobilă st amortizată critic pntru a rvni cât mai rpd p valoara măsurată... Dcrmntul logaritmic O modalitat d dtrminar a amortizării într-un sistm în vibraţi st măsurara vitzi d dscrştr a amplitudinii oscilaţiilor. Acasta s xprimă convnabil prin dcrmntul logaritmic, dfinit ca logaritmul natural al raportului a două amplitudini succsiv. În cazul amortizării vâscoas, acst raport st constant, indifrnt d amplitudinil utilizat în calcul. S considră vibrograma uni vibraţii amortizat (fig..4), dscrisă d xprsia (.46).

46 8 VIBRAŢII MECANICE Fig..4 Sinusoida cu amplitudini dscrscătoar st tangntă la înfăşurătoara xponnţială în punct situat puţin la drapta punctlor cu valori xtrm al amplitudinii, und funcţia sinus st gală cu. Întrucât acastă difrnţă st practic nglijabilă, raportul a două amplitudini succsiv poat fi înlocuit cu raportul ordonatlor xponnţiali calculat la distanţă d o prioadă d oscilaţi x x A A ζω t ζω n n ( t+ T ) d ζω T n d, und prioada vibraţii amortizat st T d Dcrmntul logaritmic st π π. ω ζ ωd n x π ζ δ ln ζωn T d. (.5) x ζ Pntru ζ <<, dcrmntul logaritmic st aproximativ δ π ζ. Unori dscrştra amplitudinii după un singur ciclu d oscilaţi st pra mică pntru a fi măsurată corct şi poat fi obsrvată numai după n cicluri. Raportul amplitudinilor măsurat după n cicluri d oscilaţi st x x n x x x x x x x x n n δ n nδ ( ) astfl încât dcrmntul logaritmic s poat calcula cu rlaţia x δ ln. (.5, a) n x n,

47 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 9 Dacă amplitudinil succsiv sunt rprzntat grafic în funcţi d indicl ciclului p o scară logaritmică, punctl s vor înscri în lungul uni linii drapt dacă amortizara st vâscoasă, aşa cum s-a prsupus în cuaţia (.8). În practică, s trasază întâi înfăşurătoarl car trc prin punctl d amplitudin maximă, rspctiv minimă (fig..5, a). S măsoară apoi distanţa vrticală într cl două înfăşurătoar, în drptul punctlor d maxim şi minim al vibrogrami. Acst distanţ s rprzintă grafic p o scară logaritmică în funcţi d numărul d smicicluri d vibraţi, apoi prin punctl obţinut s trasază o lini draptă (fig..5, b). Panta acsti drpt st utilizată apoi pntru calculul raportului d amortizar. Fig..5 Pntru ζ <<, logaritmând rlaţia (.5, a) s obţin

48 4 VIBRAŢII MECANICE ln ln x ζ π n, x n dci raportul d amortizar ζ st gal cu panta drpti împărţită la π (sau la π, dacă s măsoară ordonatl maximlor şi minimlor ca în fig..5)... Factorul d pirdri O măsură convnabilă a amortizării st factorul d pirdri dfinit ca raportul într nrgia disipată într-un ciclu d vibraţi (sau nrgia c trbui suplinită sistmului pntru a mnţin vibraţii d amplitudin constantă) Δ U şi nrgia potnţială maximă U, acumulată d sistm în ciclul rspctiv ΔU η. (.5) U În gnral, factorul d pirdri dpind d frcvnţa şi amplitudina vibraţiilor, putând fi calculat şi pntru sistm nliniar şi sistm cu paramtri dpndnţi d frcvnţă. Dacă x şi x sunt două amplitudini conscutiv într-o vibraţi libră amortizată, atunci nrgia acumulată în lmntul lastic la acst dplasări maxim st U x, rspctiv U x. Pirdra d nrgi împărţită la nrgia iniţială st U U U x δ U U x und δ st dcrmntul logaritmic. Prin urmar, pntru amortizări mici, factorul d pirdri st aproximativ gal cu dublul dcrmntului logaritmic δ η δ. (.5, a).4 Vibraţii forţat amortizat În timpul vibraţiilor forţat amortizat, răspunsul st dfazat în urma xcitaţii datorită disipării d nrgi prin amortizar. Răspunsul ar amplitudin finită la rzonanţa d fază şi st dfazat 9 în urma xcitaţii. Amplitudina mişcării la rzonanţă st dpndntă d amortizar iar lăţima curbi d rzonanţă st dirct proporţională cu amortizara din sistm. În cazul vibraţiilor armonic, diagrama dplasar-forţă st o buclă d histrzis închisă, car pntru sistm cu amortizar vâscoasă st o lipsă a cări suprafaţă st o măsură a nrgii disipat prin amortizar.

49 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 4.4. Vibraţii staţionar cu amortizar vâscoasă S considră sistmul masă-arc-amortizor fixat la bază, solicitat d o forţă armonică F cosω t aplicată masi (fig..6, a). Fig..6 P baza diagrami forţlor din fig..6, b cuaţia difrnţială a mişcării s poat scri sub forma m x & + cx& + x F cosω t. (.5) Soluţia compltă a cuaţii (.5) constă din suma soluţii (.46) a cuaţii omogn (.8) şi o soluţi particulară car ar forma funcţii xcitaţii din mmbrul drpt. Datorită amortizării, soluţia omognă s anulază în scurt timp, rămânând doar soluţia particulară car dscri o mişcar armonică având acaşi frcvnţă ca forţa xcitatoar şi un dfazaj faţă d acasta () t X ( ω t ϕ) x cos. (.54) Amplitudina dplasării X şi dfazajul ϕ dintr dplasar şi forţă s obţin înlocuind soluţia (.54) în cuaţia (.5). Dplasând toţi trmnii în mmbrul drpt, s obţin ( ω t ϕ) + cω X sin ( ω t ϕ) X cos ( ω t ϕ) + F cosω t mω X cos Trmnii din cuaţia d mai sus rprzintă proicţii al vctorilor forţă p o axă (orizontală) rotită cu unghiul ω t faţă d vctorul forţi xcitatoar (fig..7). Vctorul forţi F st rotit cu un unghi ϕ înainta vctorului dplasar X. Forţa lastică X ar sns opus dplasării, în timp c forţa d inrţi ω X m.

50 4 VIBRAŢII MECANICE st în fază cu dplasara. Forţa d amortizar cω X st rotită cu 9 faţă d forţa lastică. În timpul vibraţii, vctorii au poziţii rlativ fix şi s rotsc împrună cu vitza unghiulară ω în sns trigonomtric. Diagrama vctorilor rotitori (fazori) din fig..7 st trasată pntru o pulsaţi xcitatoar infrioară pulsaţii d rzonanţă. Fig..7 Însumând proicţiil vctorilor p dircţia dplasării şi p dircţia prpndiculară p acasta, s obţin cuaţiil d chilibru dinamic X mω X F cosϕ, c ω X sinϕ. (.55) O componntă a forţi xcitatoar chilibrază forţa d amortizar în timp c calaltă componntă st ncsară pntru chilibrara forţi ractiv, gală cu difrnţa într forţa lastică şi forţa d inrţi. Rzolvând pntru X şi ϕ s obţin amplitudina vibraţiilor forţat F X F X st, (.56) ( mω ) + ( cω ) [ ( ω ω ) ] ( ζ ) n + ω ωn şi tangnta unghiului d fază und cω ζω ωn tgϕ mω, (.57) ( ω ω ) ω m şi ζ c m. n Amplitudina adimnsională şi unghiul d fază sunt rprzntat grafic în fig..8 pntru F const. şi câtva valori ar raportului d amortizar ζ. n

51 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 4 Diagraml amplitudin-frcvnţă s numsc curb d rzonanţă sau curb d răspuns în frcvnţă. O astfl d curbă încp din punctul d ordonată X st, ating valoara maximă la pulsaţia d rzonanţă, dscrşt trcând prin valoril corspunzătoar pulsaţii proprii amortizat (.47) şi pulsaţii proprii namortizat (.4), tinzând asimptotic spr zro odată cu crştra pulsaţii. Fig..8 Unghiul d fază dintr forţa xcitatoar şi dplasar variază d la zro, la pulsaţi nulă, dvin 9 la pulsaţia propri namortizată, apoi tind asimptotic la 8 p măsura crştrii pulsaţii. La amortizări rdus, s obsrvă o variaţi rapidă a dfazajului la trcra prin pulsaţia propri. În cazul amortizării subcritic, curba răspunsului în frcvnţă (fig..8, a) ar un vârf d rzonanţă, car s spun că apar la frcvnţa (pulsaţia) d rzonanţă. Pntru valori ζ >, 77, vârful d rzonanţă st complt aplatisat. Sistml amortizat supracritic nu au rzonanţ. Est important d notat că rzonanţa amplitudinii st dfinită la pulsaţia X st ω r ω n ζ la car apar valoara maximă X max a ζ ζ răspunsului staţionar.

52 44 VIBRAŢII MECANICE Prin dfiniţi, rzonanţa fazi apar la pulsaţia propri namortizată X st ω ω n (când dfazajul st 9 ) la car amplitudina dplasării st X rz. ζ Pntru valori mici al amortizării cl două rzonanţ coincid. Fig..9 Diagrama vctorială a forţlor la rzonanţa d fază st przntată în fig..9. Forţa lastică chilibrază forţa d inrţi a masi, iar forţa xcitatoar compnsază doar forţa d amortizar. Într masă şi arc ar loc un schimb continuu d nrgi cintică şi potnţială. Forţa xtrioară c trbui aplicată pntru a mnţin sistmul în vibraţi staţionară st ca ncsară pntru a suplini nrgia disipată prin amortizar. La rzonanţă, nrgia ractivă (din arc şi masă) st zro iar nrgia activă (fctiv disipată) st maximă. Din acst motiv la rzonanţă st ncsară o forţă minimă pntru a mnţin o anumită amplitudin a dplasării. P o diagramă a rigidităţii dinamic (forţa ncsară pntru a produc o dplasar gală cu unitata în punctul d aplicaţi) în funcţi d pulsaţia xcitatoar, rzonanţa st marcată d un minim (ca în fig..4)..4. Diagrama dplasar-forţă S considră (pntru simplificara przntării) dplasara armonică în rgim staţionar d forma x () t X cos ω t, (.58) dfazată cu un unghi ϕ faţă d forţa xcitatoar aplicată masi f () t F cos ( ω t + ϕ). (.59)

53 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 45 Rlaţiil (.58) şi (.59) sunt cuaţiil paramtric al uni lips. Eliminând timpul într cl două xprsii rzultă x X f + F x f cos ϕ sin X F ϕ. (.6) Diagrama dplasar-forţă st o buclă d histrzis d formă liptică (fig..), parcursă în sns trigonomtric. Fig.. Aria suprafţi acsti lips st o măsură a nrgii disipat într-un ciclu d vibraţi. Acasta st gală cu lucrul mcanic fctuat d forţa (.59) p dplasara (.58) W d π ω d x f dx f d t X F cos( ω t ϕ) sinω t d ( ω t) d t +, W d π F X sinϕ. π Utilizând a doua cuaţi (.55), xprsia d mai sus dvin W d π cω X. (.6) Pntru a produc lucru mcanic, forţa d amortizar trbui să fi dfazată cu 9 faţă d dplasara x ( t) X cos ω t f d. cx& ω X sinω t Dacă dplasara şi forţa sunt măsurat cu traductoar d vibraţii şi smnall acstora sunt aplicat p plăcil d dflcţi al unui osciloscop (dplasara în ordonată şi forţa în abscisă) imagina obţinută p cran st o figură Lissajous. La frcvnţ joas figura st o lini draptă, a cări pantă dpind d raportul amplitudinilor clor două smnal (fig.., a). P măsura crştrii pulsaţii, linia draptă dvin o lipsă (fig.., b) a cări smiaxă mar crşt cu

54 46 VIBRAŢII MECANICE pulsaţia. La pulsaţia propri namortizată (fig.., c) smiaxa mar a lipsi st vrticală şi d amplitudin mar. La crştra în continuar a pulsaţii, smiaxa mar continuă să s rotască dar dscrşt în amplitudin (fig.., d). Lăţima lipsi dscrşt până când, la pulsaţii mult dasupra rzonanţi, lipsa dgnrază din nou într-o lini draptă aproap parallă cu axa orizontală (fig.., ). Fig.. La rzonanţa fazi, ω ωn, ϕ 9, X rs F ζ, smiaxa mar a lipsi st vrticală iar nrgia disipată prin amortizar st W d X rs π rs π F cω X. (.6) Enrgia disipată într-un ciclu d vibraţi prin amortizar vâscoasă st proporţională cu pulsaţia xcitatoar (c..6). n.4. Amortizara structurală Exprinţ cu structuri aronautic şi difrit matrial arată că nrgia disipată într-un ciclu d vibraţi st indpndntă d pulsaţi şi proporţională cu pătratul amplitudinii dplasării. Valoril amortizării în structuri inginrşti sunt rlativ mici chiar la frcvnţ d rzonanţă înalt (d ordinul ζ,, 5 ). D asmna, dacă toată amortizara ar fi vâscoasă, atunci clopotl mici, car produc sunt înalt, ar racţiona la lovir cu un sunt înfundat, în locul unui clincht. D aici rzultă că amortizara vâscoasă, adoptată iniţial datorită simplităţii matmatic, trbui înlocuită printr-un modl în car nrgia disipată prin amortizar st indpndntă d frcvnţă. Acst tip d amortizar s numşt amortizar structurală sau histrtică.

55 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 47 Utilizara trmnului amortizar histrtică st npotrivită, doarc toat mcanisml d amortizar conduc la o buclă d histrzis. D aca în continuar s prfră trmnul amortizar structurală. Acsta implică o forţă d sns opus car st în fază cu vitza însă, spr dosbir d amortizara vâscoasă, ar o amplitudin car nu st proporţională cu vitza ci cu dplasara. Coficintul d amortizar st invrs proporţional cu pulsaţia, astfl că forţa d amortizar st h x& ω (în loc d c& x ). Ecuaţia (.5) dvin h m x & + x& + x F cos ω t, (.6) ω und h st un coficint d amortizar structurală. Includra pulsaţii ω în coficintul vitzi x& implică faptul că soluţiil sunt valabil numai la acastă pulsaţi. Ecuaţia d mişcar s mai poat scri utilizând o rigiditat complxă + i h (fiindcă s-a pus condiţia d a ava o soluţi armonică), sub forma iω t ( + i h) F m x& & + x. (.64) Doarc c st înlocuit prin h ω, nrgia disipată p ciclu st fiind indpndntă d pulsaţi. Exprsiil (.56) şi (.57) dvin X W d π h X, (.65) F ( mω ) + h [ ( ω ωn ) ] + g X ( ω ω ) st, (.66) h g tgϕ mω, (.67) und g h st factorul d amortizar structurală. n.4.4 Mtoda punctlor d smi-putr Curba d rzonanţă a sistmului masă-arc-amortizor poat fi utilizată pntru dtrminara raportului d amortizar (fig..). X st La ω ωn amplitudina la rzonanţă st X rz. Pntru valori mici ζ al amortizării, vârful M coincid cu punctul car marchază rzonanţa fazi.

56 48 VIBRAŢII MECANICE Punctl B şi C, d ordonată ( ) X rz s numsc punctl d smiputr. Acasta doarc pătratul amplitudinii st ( ) X rz, dci putra disipată prin amortizar la pulsaţiil acstor punct ω şi ω, st jumătat din putra disipată la rzonanţă. Fig.. Înlocuind în xprsia (.56) s obţin ζ d und rzultă cuaţia ( ( ω ω ) ) + ( ζω ) n ω n, 4 ( ω ) ( ζ ) ( ω ω ) + ( 8ζ ) ω. n Soluţiil cuaţii sunt pulsaţiil d smi-putr ( ) ( ζ ) ± ζ + ω, ω n, ζ car pntru amortizări mici ζ << pot fi aproximat prin n Notând ( ) ζ ω. ω n, ± ω ω ( ζ), ω ( + ζ) n ω, n s obţin

57 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 49 sau ω ω ζ (.68) ω + ω ω ω ω ω ω + ω ω ω ωn ωn ωn ωn ζ, dci raportul d amortizar st dat d xprsia Δω ζ, (.69) ω n în car Δω ω ω st lăţima d bandă a curbi d rzonanţă. P baza formi curbi d rzonanţă dtrminat xprimntal st dificil d stabilit dacă amortizara st într-advăr d tip vâscos. Dacă s considră un singur grad d librtat şi mişcara st armonică, atunci st convnabilă utilizara concptului d amortizar vâscoasă chivalntă. În acst caz, coficintul d amortizar vâscoasă ar o astfl d valoar încât nrgia disipată într-un ciclu d dplasar armonică cu o anumită amplitudin şi frcvnţă, st acaşi ca ca disipată prin mcanismul ral d amortizar, în aclaşi ciclu d dplasar. În rlaţia (.4) coficintul c st atunci coficintul d amortizar vâscoasă chivalntă..4.5 Mtoda masi adiţional În vcinătata uni rzonanţ izolat, comportara unui sistm vibrator oarcar s asamănă răspunsului unui sistm cu un grad d librtat. Masa şi rigiditata sistmului chivalnt pot fi dtrminat xprimntal prin mtoda masi adiţional. Fig.. S trasază xprimntal două curb d răspuns în frcvnţă, una pntru sistmul ral, calaltă pntru sistmul în car s-a adăugat o masă adiţională

58 5 VIBRAŢII MECANICE cunoscută m a (fig..). Pulsaţiil proprii ω n şi ω n s dtrmină în punctl cu amplitudin maximă a dplasării. Din rlaţiil corpunzătoar (.4) s poat obţin masa chivalntă n mω, (.7) ( m + m a ) ωn, (.7) m m a n n ( ω ω ) apoi, din rlaţia (.7), rigiditata chivalntă., (.7) D notat că răspunsul la rzonanţă al sistmului cu masa ataşată st mai mar doarc pntru sistmul ral X rz F iar pntru sistmul cu masa ataşată ζ F cω n F c m X rz F ζ F c n F c ω m + m Dacă pulsaţia d lucru st în vcinătata valorii ω n, atunci amplitudina răspunsului forţat al sistmului poat fi micşorată adăugând o masă m a. a..4.6 Rzolvara prin algbra complxă În cazul xcitaţii armonic, forţa car acţionază asupra masi sistmului din fig..6 s poat scri f iω t ( t) F astfl încât soluţia staţionară (.54) dvin und X X x iθ, (.7) iω t ( t) X, (.74) X R + ix I st amplitudina complxă a dplasării. (.75) În rlaţia (.75), X st modulul, θ st unghiul d fază, X R st componnta rală (în fază) şi X st componnta imaginară (în cuadratură) I

59 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 5 X R X cosθ, X I X sinθ, (.76) X X R + X I, tg θ X I X R. (.77) În cazul amortizării structural, cuaţia mişcării (.6) dvin h iω t m x & + x& + x F. (.78) ω Înlocuind (.7) şi (.74) în (.78) s obţin ( m + i h + ) X F ω. Amplitudina complxă X ar xprsia F X mω + i h und ω m şi g h, astfl încât X R X n ( ω ωn ) [ ( ω ω ) ] n [ ( ω ωn ) ] + g + g X X st st,, X I X st ( ω ω ) + i g n g [ ( ω ωn ) ] + g, (.79) ( ω ω ) X st (.8) g tgθ. (.8) Eliminând pulsaţia ω într xprsiil componntlor + X st + X R X st n X R and X I rzultă X I. (.8) g g Acst crc st locul gomtric al vârfului vctorului dplasării în planul complx..4.7 Funcţiil răspunsului în frcvnţă După cum răspunsul st o dplasar, vitză sau acclraţi, xistă mai mult funcţii d răspuns în frcvnţă (FRF) dfinit ca rapoart complx răspuns/xcitaţi sau xcitaţi/răspuns. Următoarl dfiniţii sunt aproap gnral accptat şi chiar standardizat : dplasar / forţă rcptanţă, vitză / forţă mobilitat, acclraţi / forţă acclranţă (inrtanţă),

60 5 VIBRAŢII MECANICE forţă / dplasar rigiditat dinamică, forţă / vitză impdanţă mcanică, forţă / acclraţi masă aparntă. Fig..4 Datorită caractrului armonic al mărimilor considrat, acst funcţii conţin d fapt acaşi informaţi dspr sistmul în vibraţi, putându-s stabili rlaţii simpl într l.

61 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 5 În gnral, s folossc tri tipuri d diagram: a) diagram Bodé al modulului FRF în funcţi d frcvnţă şi al unghiului d fază al FRF în funcţi d frcvnţă; b) diagram al părţii ral a FRF în funcţi d frcvnţă şi al părţii imaginar a FRF în funcţi d frcvnţă; c) diagram Nyquist al părţii imaginar a FRF în funcţi d parta rală a FRF, cu marcara frcvnţi în lungul curbi. Pntru un sistm cu amortizar structurală, în fig..4 s przintă diagraml rcptanţi α X F pntru o valoar dată a factorului d amortizar. Rzonanţa apar în punctul M, iar punctl d smi-putr sunt notat B şi C. Diagrama Nyquist (fig..4, ) st un crc. Ea conţin într-un singur grafic informaţia asupra amplitudinii şi unghiului d fază. În vcinătata rzonanţi scara frcvnţlor st dilatată, astfl încât răspunsul într punctl d smiputr st rprzntat p un smicrc, indifrnt d nivlul amortizării. Scădra amortizării duc la crştra diamtrului crcului (pntru acaşi scară a amplitudinii) şi la xpandara scării frcvnţlor. Rzonanţa st indicată d maxim în diagraml α (fig..4, a) şi (fig..4, d), şi prin punct d inflxiun (pantă maximă sau valoar maximă a drivati în raport cu ω ) în diagraml θ (fig..4, b) şi α (fig..4, c). Vârful în diagrama α st mai ascuţit dcât în diagrama α. La rzonanţă, I θ 9 şi α R. În diagrama Nyquist (fig..4, ), rzonanţa apar la intrscţia crcului cu axa imaginară, în punctul und vitza d variaţi a lungimii arcului d crc în raport cu frcvnţa st maximă. Acasta s bazază p obsrvaţia că drivata d d s dθ α (.8) + g n h ( ω ω ) d ( ω ω ) ( ω ωn ) n ar o valoar maximă la rzonanţă. Dacă sistmul st xcitat cu o forţă armonică iar rcptanţa st rprzntată grafic prin punct, corspunzătoar unor crştri gal al pulsaţii Δ ω, atunci lungima arcului Δ s într două punct succsiv st maximă la rzonanţă. Acastă propritat formază baza tortică a mtodi dzvoltat d Knndy şi Pancu (945) pntru localizara rzonanţi. Factorul d amortizar structurală s poat calcula cu rlaţia (Broadbnt şi Hartly, 958) ω ω g (.84) ω + ω R α I

62 54 VIBRAŢII MECANICE und ω şi α R ω sau al captlor diamtrului BC, trasat prpndicular p OM, în diagrama Nyquist. ω sunt pulsaţiil punctlor d xtrm din diagrama ( ) Rigiditata s poat calcula p baza valorii rcptanţi α rz la rzonanţă g α g F rz X rz Doarc în planul complx vitza st dfazată. (.85) 9 înainta dplasării şi acclraţia st dfazată 9 înainta vitzi, diagraml Nyquist al mobilităţii şi acclranţi sunt rotit 9 şi rspctiv 8 în sns trigonomtric faţă d diagrama polară a rcptanţi. Diagrama Nyquist a mobilităţii M i ω X F M R + i M I, car nu st un crc, st przntată în fig..5, a, fiind dscrisă d următoara cuaţi M R M R M I ( M + M ) + R I. g m g m a Fig..5 b Diagrama Nyquist a acclranţi în fig..5, b, fiind un crc d cuaţi β ω X F β + iβ st przntată R I + g β R + I m β g m. 4 g m În ambl figuri s-au marcat punctl d smi-putr B şi C, şi punctul d amplitudin maximă a răspunsului R.

63 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE Diagrama polară a rcptanţi pntru amortizar vâscoasă Rcptanţa st xprimată prin raportul într amplitudina complxă a dplasării X şi amplitudina forţi armonic F. Utilizând, în locul lui α, notaţia gnrală pntru o funcţi d răspuns în frcvnţă H ( iω), în cazul amortizării vâscoas s obţin H ( iω) X m. (.86) F i ζωω mω + iω c ωn ω + La sistm cu amortizar vâscoasă, diagrama Nyquist a rcptanţi nu mai st un crc, ca c constitui un dzavantaj la idntificara paramtrilor sistmului. Totuşi, s poat arăta că acasta poat fi dscompusă în două crcuri. und s Rlaţia (.86) s poat scri sub forma, σ ± d H ω m, (.87) ( i ) ( iω s )( ω s ) i iω (.48) sunt rădăcinil cuaţii caractristic (.9). Rlaţia (.87) s poat scri ca o sumă d fracţii parţial m ( iω s )( iω s ) iω s iω s C + C n. (.88) Înmulţind ambii mmbri ai rlaţii (.88) cu ( ) rzultatul pntru iω s s obţin şi similar Prin urmar m ( iω s ) C C + C i iω s m s s iω s ω s i m ω s ( σ + iωd ) ( σ iωd ) ωd C m. i ω d. iω s şi calculând i m Extrăgând un factor constant (.88) s poat scri sub forma din xprsia lui C şi C, xprsia i

64 56 VIBRAŢII MECANICE H ω R R i, (.89) ( i ) und stluţa dnotă conjugata complxă. În acst caz, rziduuril sunt pur ral ( iω s ) i ( ω s ) i d m R R. (.9) ω La sistm cu mai mult grad d librtat, acsta sunt complx conjugat. Exprsia (.89) s poat scri und (.9). U U H ( i ω) + σ + i. (.9) U U ( ω ω ) σ + i ( ω + ω ) d d d i. (.9) mω În continuar s va analiza diagrama Nyquist obţinută p baza xprsii a Fig..6 b Pntru a trasa diagrama primului trmn al sumi (.9) σ + i U ( ω ω ) s considră întâi diagrama corspunzătoar xprsii d, (.9)

65 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 57 σ + i ( ω ) ω d. (.94) În planul complx, xprsia (.94) rprzintă un crc (fig..6, a) cu cntrul în punctul ( σ, ) şi diamtrul σ. În punctul M d amplitudin maximă, adică în punctul d intrscţi al crcului cu axa rală, pulsaţia st ω d, pulsaţia propri amortizată. Constanta d atnuar σ st gală cu intrvalul d frcvnţ măsurat d la punctul M la punctl B şi C, ai căror vctori fac unghiuri d ± 45 cu vctorul răspuns din punctul M. La frcvnţ ngativ, crcul st trasat cu lini întrruptă. În continuar s considră fctul numărului imaginar U d la numărătorul xprsii (.9). Înmulţira cu acst număr imaginar produc o rotaţi d 9 a diagrami în sns orar şi o dilatar sau contracţi cu un factor mω (fig..6, b). Crcul rzultant s numşt crcul cu pulsaţii prdominant pozitiv. Cntrul U acstui crc st în punctul (, U σ ) iar diamtrul st. σ ζ ζ Porţiuna trasată cu lini întrruptă corspund pulsaţiilor ngativ. d a Fig..7 b S considră apoi al doila trmn al sumi (.9) U σ + i + ( ω ω ) Diagrama polară a xprsii σ + i + st przntată în fig..7, a. d ( ω ) ω d. (.95) (.96)

66 58 VIBRAŢII MECANICE Exprsia (.95) rprzintă d asmna un crc (fig..7, b), numit crcul cu pulsaţii prdominant ngativ. Acst crc ar aclaşi diamtru cu crcul din fig..6, b dar st rotit 9 în sns trigonomtric faţă d axa rală. Arcul d crc corspunzător pulsaţiilor pozitiv rprzintă numai o mică part din acst crc. Rstul crcului, corspunzător pulsaţiilor ngativ, st trasat cu lini întrruptă. Combinând diagraml din fig..6, b şi fig..7, b, s obţin diagrama Nyquist din fig..8, a (lini groasă), car nu mai st un crc. Câtva astfl d diagram sunt przntat în fig..8, b pntru difrit valori al lui ζ. a Fig..8 b Valoara FRF (.89) la pulsaţia propri amortizată st H ( iω ) d R i R i σ σ + i ω ( ) ( ) H i ωd. (.97) i mωdσ mωd σ + i ωd Acasta poat fi aproximată prin d d R H ( i ωd ) i σ (.98) i σ mω doarc al doila trmn în mmbrul drpt al xprsii (.97) tind spr zro pntru valori mari al lui ω. d,

67 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 59 D fapt, o sri d modl cu un grad d librtat pot fi rprzntat simplificat prin funcţia H ( iω) R R. (.99) i ( ω s ) i [ ω ( σ iω )] d.4.9 Transmisibilitata în sistm amortizat Dacă sistmul masă-arc-amortizor st xcitat cinmatic la bază cu o iω t iω t dplasar x X, mişcara transmisă masi st x X, und iϕ X X st o amplitudin complxă. Ecuaţia difrnţială a mişcării st m & x şi poat fi raranjată sub forma Raportul amplitudinilor st ( x x ) c ( x& & ) x m & x + & & +. (.) X X c x + x c x x + iω c. (.) mω + iω c Fig..9

68 6 VIBRAŢII MECANICE Transmisibilitata mişcării st + ( ζω ωn ) [ ( ω ω ) ] ( ζ ) n + ω ωn X TR, (.) X Dfazajul într cl două mişcări st dat d ζ ( ω ωn ) ( ω ω ) + ( ζω ω ) ϕ arctg. (.) n Exprsiil (.) şi (.) sunt rprzntat grafic în fig..9 pntru câtva valori al raportului d amortizar ζ. Pntru ω ω n >, TR st subunitară, ca în fig..7, însă dacă amortizara crşt, crşt şi transmisibilitata, dci scad gradul d izolar. Diminuara amortizării nu st o soluţi ficintă doarc, pntru a funcţiona la pulsaţii ω ω n >, sistmul trbui să tracă prin rzonanţă, und amplitudina st limitată d amortizar. În unl cazuri, xistă o amortizar rdusă inrntă iar amplitudinil mari în vcinătata rzonanţi sunt liminat prin limitatoar sau acclrara prin rzonanţă. O problmă similară d izolar a vibraţiilor poat fi formulată pntru un sistm rzmat la bază şi xcitat prin masă (fig..6). Dacă forţa xcitatoar c t trbui izolată st F iω (.7), iar amplitudina complxă a dplasării st X (.74), atunci forţa transmisă prin arc şi amortizor, lgat în parall, st armonică şi d amplitudin n F T ( X ) + ( cω X ) (.4) astfl că transmisibilitata forţi st dată d xprsia (.). TR F (.5) T F D obsrvat că forţa transmisă la bază prin arc şi amortizor st dfazată faţă d forţa lastică şi forţa d amortizar..4. Toria captorilor sismici Există două tipuri concptual difrit d instrumnt pntru măsurara vibraţiilor: a) aparat cu punct fix sau cvasi-static, car măsoară mişcara vibratori faţă d un punct d rfrinţă fix în spaţiu, şi b) captori sismici, în car mişcara vibratori st măsurată faţă d masa unui sistm masă-arc-amortizor ataşat structurii în vibraţi.

69 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 6 Captorul sismic (fig..4) constă din suportul S, ataşat rigid d sistmul în vibraţi, sistmul masă-arc-amortizor m--c, şi traductorul T, car măsoară mişcara rlativă într masa sismică şi suport. S prsupun că sistmul în vibraţi, dci şi baza captorului, fctuază o mişcar armonică () t X ω t x cos. (.6) Nglijând trmnii tranzitorii, dplasara rlativă într masa m şi suportul S poat fi scrisă sub forma () t X ( ω t ϕ) xr r cos. (.7) Dplasara absolută a masi m, faţă d un punct d rfrinţă fix, st x x + iar acclraţia absolută st sau x r & x && + & x x r. Ecuaţia d mişcar a masi m st m (& x && x ) + c x& + x + r r r m & x + c x & + x m & x m X ω cos ω t. (.8) r r r Fig..4 Ecuaţia (.8) ar o soluţi staţionară pntru car X X r ( ω ωn ) [ ( ω ω ) ] ( ) n + ω ωn, (.9) ζ

70 6 VIBRAŢII MECANICE ζω ωn ϕ arctg. (.) ( ω ω ) n Fig..4 Fig..4

71 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 6 În fig..4 s arată variaţia raportului amplitudinilor (.9) în funcţi d pulsaţia adimnsională ω ω, pntru două valori al raportului d amortizar. n Figura.4 przintă variaţia dfazajului ϕ în funcţi d ω ωn. În funcţi d domniul d pulsaţii utilizat, captorul măsoară dplasara, vitza sau acclraţia. Vibromtrul. În intrvalul III, la pulsaţii X r X, dci dplasara rlativă r ω >> ω, s obsrvă că X într masă şi suport, măsurată d traductor, st practic gală cu dplasara X a structurii în vibraţi. Figura.4 arată că, în acst domniu d pulsaţii, dfazajul st π ζ, ϕ pntru amortizar mică ( ) astfl că masa m şi suportul vibrază dfazat cu 8. Faţă d un sistm d rfrinţă inrţial (punct d rfrinţă fix) masa m rămân aproap nmişcată (dvin un punct fix în spaţiu) iar mişcara suportului st măsurată în raport cu masa. Dacă T st un traductor d dplasări, instrumntul st un captor sismic d dplasări absolut (vibromtru). Dacă T st un traductor d vitz, atunci instrumntul dvin un captor d vitz. Captorii sismici d dplasări au frcvnţ proprii joas (-5 Hz) car s obţin cu valori mici al rigidităţii, dci cu o suspnsi moal a masi sismic, rspctiv cu mas m mari. dvin sau und Acclromtrul. În intrvalul I, la pulsaţii X ( ω ω ), r X n n ( X ω ) n ω << ωn, xprsia (.9) X r ω, (.) X ω st acclraţia structurii în vibraţi. În acst caz, captorul măsoară o mărim dirct proporţională cu acclraţia absolută a structurii şi s numşt acclromtru. El ar o frcvnţă propri rlativ mar, ralizată cu o masă sismică mică şi cu un arc rigid. În intrvalul II, la ω ω, masa vibrază cu amplitudini mari, propritat n utilizată în proictara frcvnţmtrlor lamlar şi acclromtrlor folosit la măsurara dfctlor rulmnţilor. Distorsiuni d amplitudin. Pntru a rproduc un smnal complx fără distorsiuni, toat componntl armonic trbui amplificat în mod gal, indifrnt d frcvnţă. Acasta s poat raliza dacă raportul amplitudilor X r X

72 64 VIBRAŢII MECANICE st aproap constant. Ca urmar, pntru ficar captor s indică domniul frcvnţlor d lucru în car distorsiunil sunt sub anumit limit. Figura.4 przintă o porţiun mărită a fig..4, cu patru curb trasat pntru difrit valori al raportului d amortizar. Captorul cu ζ, 7 ar o curbă d răspuns orizontală până la ω ω n 4. Distorsiunil d amplitudin fixază o limită infrioară a frcvnţlor vibraţiilor măsurat cu un captor d dplasări. Fig..4 Distorsiuni d fază. Pntru a rproduc un smnal complx fără modificara formi în timp a acstuia, dfazajl rlativ al difritlor componnt armonic trbui să fi gal. Acasta s poat raliza dacă dfazajul ϕ crşt liniar cu frcvnţa. La un vibromtru, raportul ω ωn st rlativ mar, şi unghiul ϕ st aproximativ 8 pntru toat armonicl, dci nu apar distorsiuni d fază. La un acclromtru, când raportul d amortizar st aproximativ gal cu, 7, xistă o rlaţi aproap liniară într unghiul d fază şi pulsaţi, ϕ ( π )( ω ω n ). Acastă valoar a amortizării st folosită pntru minimizara răspunsului tranzitoriu al captorului..4. Prcsia rotorului Laval cu amortizar xtrnă S considră mişcara rotorului din fig..8 sub acţiuna uni forţ d frcar gnrat d mişcara rlativă faţă d mdiul ambiant staţionar. În timpul prcsii sincron, punctl C şi G s rotsc în jurul axi lagărlor O cu o vitză unghiulară ω, acaşi ca vitza d rotaţi a arborlui în jurul lui C. Forţa d amortizar f d s poat considra proporţională cu vitza tangnţială r C ω, dci fd c r C ω, und c st coficintul d amortizar vâscoasă xtrioară.

73 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 65 Diagrama forţlor car acţionază asupra discului st przntată în fig..44. Forţa d raducr lastică rc, datorită încovoirii arborlui, acţionază p dircţia CO. Forţa cntrifugă mω rg, datorită xcntricităţii CG, acţionază p dircţia OG. Forţa d amortizar vâscoasă st prpndiculară p OC. Punctl O, C şi G nu mai sunt coliniar, iar linia CG dvansază linia OC cu un unghi ϕ. Echilibrul dinamic al clor tri forţ implică ( rc + cosϕ ) rc m ω, m ω sinϕ c r ω. (.) C Fig..44 Orbita circulară a punctului C ar o rază r C ( ω ωn ) [ ( ω ω ) ] ( ζ ) n + ω ωn mω cosϕ. (.) mω La turaţia critică, atunci când ω, raza orbiti st r C ζ. ωn Fig..45

74 66 VIBRAŢII MECANICE Unghiul într sgmntl CG şi OC st dat d cω ζω ωn tgϕ mω. (.4) ( ω ω ) Unghiul ϕ crşt cu vitza unghiulară ω. Când ω < ωn (fig..45, a), discul s rotşt cu punctul G în afara lui C. Cu crştra turaţii, lungima sgmntului OC crşt, şi CG s rotşt faţă d OC. La ω ω, sgmntul CG st rotit faţă d OC cu 9. Când ω > ωn, discul s rotşt cu punctul G în intriorul crcului dscris d C, iar lungima sgmntului OC dscrşt. La turaţii foart mari, punctul G coincid cu punctul O, raza r C tind spr, iar arborl ar o prcsi în jurul cntrului său d grutat..4. Amortizara rditară Amortizara vâscoasă intrvin în cl mai simplu modl, car constă dintrun amortizor lgat în parall cu un arc (fig..6). numit modlul Klvin-Voigt, cu amortizar cuplată dirct. n n Fig..46 Alt modl simpl includ mcanism d amortizar vâscoasă cuplat lastic. În modlul Maxwll cu tri paramtri, amortizorul st lgat în sri cu un al doila arc (fig..46, a). Sistmul ar două grad d librtat. Ecuaţiil d mişcar s scriu & x + x + c ( x & x & ) f, c ( x x& ) x m &. (.5) Pntru o xcitaţi f iω t F, s prsupun soluţii d forma iω t x X, iω t x X, (.6)

75 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 67 und X şi X sunt amplitudini complx. Ecuaţiil (.5) dvin ( mω + iω c) iω c X + şi pot fi rscris sub forma und s-a notat ( η + i ζη ) i ζη X + X iω c X F ( + iω c) X, X i ζη X ( N + i ζη ) X, F,, (.7) (.8) ω m, η ω ωn, ζ c mωn, N. (.9) n Fig..47 Amplitudina dplasării complx a masi m st

76 68 VIBRAŢII MECANICE X F + i ζη N ( ζη N )( N + η ) η + i Factorul d amplificar a dplasărilor X F + ( ζη N ) ( η ) + ( ζη N ) ( N + η ). (.). (.) st rprzntat grafic în fig..47 pntru un raport al rigidităţilor N 5 şi difrit valori al raportului d amortizar. Diagrama unghiului d fază corspunzător st przntată în fig..48. sau Fig..48 Exprsia (.) poat fi ridicată la pătrat şi scrisă sub forma F X C + ζ C + ζ C ψ. (.) C ( C ψ C ) ζ C + 4 C ψ. (.) Toat curbl fascicolului rprzntat d cuaţia (.) trc prin punctul d intrscţi al clor două curb d cuaţii C ψ C, C ψ C. Acsta pot fi xprimat sub forma 4 4

77 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 69 sau şi ψ C C, ψ C C4, X F η, (.4) X. (.5) F N + η Exprsia (.4) rprzintă curba (.) d paramtru ζ. Exprsia (.5) rprzintă curba (.) d paramtru ζ. Cl două curb s intrsctază în punctul d abscisă η ( N + ) şi ordonată X ( F ) N. Toat curbl d răspuns în frcvnţă trc prin acst punct. Figura.47 arată că mici variaţii al amortizării pot produc variaţii însmnat al pulsaţii d rzonanţă. Acastă comportar st total difrită d ca a sistmlor cu amortizar vâscoasă cuplată dirct (fig..8), la car variaţia pulsaţii d rzonanţă cu amortizara st nglijabilă. Pulsaţia d rzonanţă crşt d la η pntru ζ, la η + N pntru ζ. Când amortizara crşt, vârful răspunsului întâi dscrşt, apoi crşt, ca c indică xistnţa uni amortizări optim ( ) ζ N N + opt, la car vârful d rzonanţă ar amplitudin minimă, gală cu ordonata punctului d intrscţi al tuturor curblor trasat pntru difrit valori al raportului d amortizar. Pntru N > şi valori al raportului d amortizar, 7 < ζ < ζopt, în curbl d răspuns în frcvnţă nu apar un vârf d rzonanţă. Acastă comportar poat fi xplicată analizând răspunsul dinamic al modlului cu tri paramtri din fig..46, b. Comportara acstuia st dscrisă d două cuaţii f ( x& & ) x + c, (.6) x ( x x& ) x c &. (.7) Doarc nu intrsază coordonata ascunsă x, car dfinşt gradul d librtat intrior, s rzolvă cuaţia (.7) pntru x şi s înlocuişt rzultatul în cuaţia (.6). Rzultă

78 7 VIBRAŢII MECANICE und t ( t τ ) x& ( τ ) dτ f x + G, (.8) G () t t c (.9) cu prsupunra subînţlasă că modlul st nsolicitat la t. În xprsia (.8) trmnul car dscri amortizara dpind d toată istoria variaţii în timp a vitzi; d aici dnumira d amortizar rditară. Când forţa f st dată ca o funcţi d timp, soluţia cuaţiilor (.6) şi (.7) st x () t () t τ τ f + f + c + und constanta d timp a modlului st τ c +. t ( t τ ) dτ, (.) Primul trmn în mmbrul drpt al xprsii (.) dscri răspunsul instantanu, obsrvat practic la mult sistm amortizat. În continuar s considră răspunsul forţat la xcitaţi armonică. Înlocuind soluţiil complx (.6) în cuaţiil (.6) şi (.7), apoi liminând coordonata intrnă, s obţin f x, (.) und rigiditata complxă st ω c + i. (.) + iω c Dacă în xprsia (.) s spară parta rală şi ca imaginară, s obţin forma corspunzătoar modlului cu amortizar vâscoasă cuplată dirct + iω c, (.) und rigiditata chivalntă şi coficintul d amortizar vâscoasă chivalntă sunt ω c +, + ω c c c. (.4) + ω c

79 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 7 Modlul cu amortizar rditară st astfl rdus la un modl Klvin-Voigt cu paramtri dpndnţi d frcvnţă. Rigiditata chivalntă crşt cu pulsaţia d la valoara şi tind asimptotic spr +, în timp c coficintul d amortizar vâscoasă chivalntă c dscrşt d la valoara c la zro. Enrgia disipată într-un ciclu d vibraţi st W d ω c π X ω c π X (.5) + ω c fiind nulă la ω şi ω, având o valoar maximă la ω c pulsaţi la car c c. Fig..49 Acastă comportar s rgăsşt şi în curba d histrzis (fig..49). La pulsaţi nulă acasta st o draptă car corspund unui arc d rigiditat. La ω ω lipsa ar suprafaţa maximă. Când pulsaţia tind spr infinit, răspunsul st o draptă mai puţin înclinată, car corspund unui arc d rigiditat +..5 Sistm cu rigiditat cubică Sistml vibratoar ral pot ava caractristici nliniar. Forţa lastică poat fi o funcţi nliniară d dplasar, iar forţa d amortizar poat fi o funcţi nliniară d vitză sau dplasar. Dacă un sistm nliniar st acţionat d o forţă armonică, răspunsul staţionar nu mai st armonic, ca la sistm liniar, ci priodic, dci poat fi xprimat ca o sumă d componnt armonic. Sistml cu nliniarităţi local mici pot fi studiat folosind mtoda liniarizării chivalnt, în car s prsupun că răspunsul st dominat d

80 7 VIBRAŢII MECANICE componnta armonică fundamntală. S considră că răspunsul staţionar constă dintr-o singură armonică la frcvnţa xcitaţii, nglijând componntl subarmonic sau supraarmonic. Răspunsul forţat st studiat numai în vcinătata aşa-numiti rzonanţ principal. Studiul sistmlor nliniar dpăşşt cadrul acsti lucrări. În continuar s dscri numai răspunsul armonic forţat al unui sistm cu rigiditat cubică..5. Rigiditata cubică La sistm fără prîncărcări şi fără jocuri, forţa lastică poat fi rprzntată printr-o funcţi cubică d dplasări f ( x + μ x ), (.6) numită caractristica lastică a arcului. S spun (impropriu) că sistmul ar o rigiditat cubică. În xprsia (.6), st panta în origin iar μ st un coficint d nliniaritat. Coficintul μ st pozitiv la sistm cu caractristică tar (cu pantă crscătoar) şi ngativ la cl cu caractristică moal (cu pantă dscrscătoar). Pntru o dplasar armonică x () t a cosω t, (.7) forţa lastică (.6) dvin a ( cos ω t + μ a cos ω t) f. Înlocuind cos ω t cosω t + cosω t, şi nglijând trmnul armonic 4 4 suprior în cos ω t, s obţin f a cosω t + μ a cosω t +... ch x, 4 und rigiditata chivalntă st + ch μ a. (.8) 4 Răspunsul dinamic al sistmului nliniar s poat obţin introducând acastă rigiditat dpndntă d amplitudina dplasării în locul rigidităţii constant în cuaţiil obţinut pntru sistmul liniar..5. Răspunsul armonic În fig..5 s przintă un sistm cu un grad d librtat, cu un arc nliniar şi un lmnt disipativ cu amortizar structurală. Arcul ar o caractristică lastică tar, dscrisă d o rigiditat cubică cu coficint d nliniaritat pozitiv.

81 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 7 Dacă asupra masi acţionză o forţă armonică d amplitudin constantă F şi pulsaţi ω, cuaţia d mişcar d tip Duffing a masi s poat scri sub forma und h g iωt ( x + μ x ) F h m & x&+ x& +, (.9) ω, iar g st un factor d amortizar structurală chivalntă. Fig..5 Răspunsul st aproximat cu prima armonică x a ~ iω t i ( ) ( ω t θ a + a a ) iω t + R I i. (.4) Utilizând mtoda liniarizării armonic, s nglijază armonicl d ordin suprior, dci s considră că x a x. (.4) 4 Înlocuind (.4) şi (.4) în (.9) s obţin componnta rală şi ca imaginară al dplasării und s-a notat a R g a + μ a η a m a 4 F F, (.4) a I g a, F (.4) ω η, ω n ω n. (.44) m Amplitudina dplasării

82 74 VIBRAŢII MECANICE a R a I a + (.45) st dată implicit d xprsia 4 g a F a ± + μ η. (.46) Unghiul d fază s calculază din rlaţia 4 tg g a F g a g ± μ η θ. (.47) Eliminând a şi η într xprsiil (.4) şi (.4) s obţin locul gomtric al vârfului vctorului a ~ în planul complx, car st un crc d cuaţi + + F g F g a a I R. (.48) Acasta st idntică cu cuaţia (.8) obţinută pntru sistm liniar. Eliminând amplitudina a într rlaţiil (.4) şi (.45) s obţin dpndnţa d frcvnţă a componnti imaginar I a a dplasării ( ) ( ) 4 ± + I I a g F g a g F μ η. (.49) Similar, dpndnţa d frcvnţă a componnti ral R a a dplasării s obţin sub forma ± + + R R R a F g g F a F a g F g F μ μ η. (.5).5. Curbl răspunsului în frcvnţă P baza rlaţii (.46), în fig..5 s-au trasat curbl amplitudin-pulsaţi pntru o valoar. const g şi câtva valori F al amplitudinii forţi armonic (car crsc în snsul săgţii).

83 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 75 Curbl d răspuns sunt dispus simtric faţă d curba schlt d cuaţi ω ω n + μ a (.5) 4 car trc prin punctl d amplitudin maximă. La sistm liniar, acasta st o lini vrticală d abscisă ω ωn. La sistm cu caractristică tar ( μ > ), curba schlt s aplacă spr pulsaţiil înalt. La sistm cu caractristică moal μ <, curba schlt s aplacă spr pulsaţiil joas. ( ) Locul gomtric al punctlor cu tangntă vrticală d p curbl amplitudin-pulsaţi ar cuaţia 9 4 η + μ a ± μ a g (.5) 4 6 şi dfinşt limita d stabilitat XLKY (Fig..5). Fig..5 Fig..5 Punctl situat în intriorul rgiunii dlimitat d acastă curbă dfinsc rgimuri instabil d vibraţi. P curbl d răspuns acst punct corspund porţiunilor trasat cu lini întrruptă. Acaşi informaţi st rdată în fig..5 und s-au trasat curbl forţădplasar la difrit pulsaţii (car crsc în snsul săgţii) şi g const. Acsta sunt curb d pulsaţi constantă, numit şi izocron. Limita d stabilitat st dfinită d locul gomtric al punctlor cu tangntă orizontală. Punctul K dfinşt amplitudina maximă a forţi pntru car vibraţiil sunt stabil indifrnt d amplitudina dplasării. Punctul L dfinşt amplitudina maximă a dplasării pntru car vibraţiil sunt stabil indifrnt d nivlul forţi. Curbl fază-pulsaţi din fig..5 s bazază p xprsia (.47). Limita d stabilitat XLKY st dfinită d cuaţia

84 76 VIBRAŢII MECANICE g η + tgθ +, (.5) tgθ car st locul gomtric al punctlor cu tangntă vrticală în fig..5. Fig..5 Curbl polar al răspunsului în frcvnţă sunt przntat în fig..54, în coordonat ai ar. O astfl d rprzntar combină în acaşi diagramă informaţia asupra amplitudinii, fazi şi pulsaţii vibraţii, iar rgiuna din vcinătata rzonanţi ocupă o mar part a curblor. Fig..54 La sistm nliniar s rcomandă trasara diagramlor dplasării şi nu cl al rcptanţi (dplasar/forţă) sau altor FRF. Ficar punct rprzntat în

85 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 77 planul complx st dfinit d doi paramtri pulsaţia xcitatoar, ω, şi amplitudina forţi F. Ca urmar, s pot trasa două familii d curb d răspuns, izocronl car unsc punctl cu acaşi pulsaţi şi diagraml Nyquist car unsc punctl cu nivl constant al xcitaţii. Doarc atât amplitudina dplasării cât şi unghiul d fază sunt funcţii d amplitudina forţi, dviaţia acstor curb d la linia draptă poat fi utilizată ca un indicator al comportării nliniar. În gnral, faza st mult mai snsibilă la nliniarităţi dcât amplitudina. În fig..54, izocronl sunt trasat cu linii întrrupt. Ecuaţia lor s obţin liminând F într xprsiil (.4) şi (.4). Rzultă ( a + a ) ai ar η μ R I. (.54) 4 g Pntru μ, dci pntru sistm liniar, cuaţia (.54) dscri linii drpt car trc prin origina coordonatlor. Pntru μ, cuaţia (.54) dscri curb car trc prin origin, având dviaţii d la forma rctilini cu atât mai pronunţat cu cât F st mai mar, ajungând să fi tangnt la curbl Nyquist. Locul gomtric al punctlor d tangnţă al diagramlor Nyquist cu izocronl dfinşt limita d stabilitat XLKY. Acasta st o hiprbolă d cuaţi g ar ai (.55) μ (dfinită numai pntru a R <, a I < ), simtrică faţă d bisctoara a R ai a axlor d coordonat. Limita d stabilitat XLKY intrsctază bisctoara a a în punctul L, d pulsaţi ω ω + g, la o distanţă a L 4g μ d origin. La pulsaţii L n joas şi amplitudini mici al dplasării nu apar fnomn d salt. R I Fig..55

86 78 VIBRAŢII MECANICE Punctul K, und curba limită d stabilitat st tangntă la curba Nyquist d paramtru ( 9 μ) ω K n + ω g F şi la izocrona d paramtru g, indică forţa minimă şi pulsaţia minimă la car pot apar vibraţii instabil. Acst punct corspund unui unghi d fază K şi L sunt marcat şi în fig θ K. Punctl Efctul rigiditătii nliniar st o dplasar a frcvnţlor în lungul diagramlor circular Nyquist, în sns orar - pntru arcuri cu caractristică moal, şi în sns trigonomtric pntru arcuri cu caractristică tar, aşa cum s arată în fig..55. Rzonanţa principală ( η ) nu mai apar în punctul d amplitudin maximă a dplasării. Dacă p diagraml Nyquist s marchază punct la intrval gal d pulsaţi, atunci arcul d lungim maximă într două punct succsiv nu mai apar la rzonanţa principală, dci critriul Knndy-Pancu nu mai poat fi utilizat pntru localizara rzonanţi. Fig..56

87 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 79 La sistml cu un grad d librtat, cu rigiditat cubică şi amortizar structurală, diagraml Nyquist sunt crcuri ca la sistml liniar. Nliniaritata distorsionază izocronl car nu mai sunt linii drpt, ca la sistml liniar, ci curb în formă d vârtj. Izocronl sunt curbat în sns trigonomtric la sistm cu caractristică tar, şi în sns orar, la sistm cu caractristică moal (fig..56). Acastă propritat poat fi utilizată la idntificara tipului nliniarităţii..5.4 Fnomn d salt La sistm cu rigiditat nliniară, variaţia pulsaţii sau amplitudinii forţi xcitatoar produc variaţii bruşt d amplitudin şi fază, numit fnomn d salt, car nu s întâlnsc la sistm liniar. Un prim tip d fnomn d salt apar atunci când amplitudina forţi armonic F st mnţinută constantă iar pulsaţia xcitatoar variază lnt (fig..57, a). P măsură c pulsaţia crşt d la valoara zro, amplitudina dplasării crşt, vârful vctorului dplasar parcurg porţiuna BF a diagrami Nyquist corspunzătoar până ajung la limita d stabilitat în punctul C. Urmază un salt al amplitudinii şi fazi din C în D, în lungul izocroni ω s const., după car vârful vctorului rvin p diagrama Nyquist şi parcurg arcul DO. a Fig..57 b Dacă pulsaţia ar valori foart mari şi apoi scad, vârful vctorului dplasar parcurg arcl ODE şi FB p diagrama Nyquist, şi sar din E în F în lungul izocroni ω i const. Arcl BF şi DO al diagrami Nyquist dfinsc rgimuri stabil d vibraţii, arcl FC şi ED dfinsc rgimuri d vibraţi condiţionat stabil, în timp c arcul CE dfinşt rgimuri instabil d vibraţi. D aici rzultă că, în prznţa nliniarităţilor putrnic, porţiuni însmnat al curbi d răspuns în frcvnţă nu pot fi obţinut xprimntal.

88 8 VIBRAŢII MECANICE Un alt fnomn d salt apar când pulsaţia xcitatoar st mnţinută constantă şi variază amplitudina forţi armonic aplicat sistmului (fig..57, b). Când amplitudina forţi F crşt progrsiv, amplitudina răspunsului crşt. Vârful vctorului dplasar parcurg izocrona rspctivă (arcul OVS ) până la limita d stabilitat în punctul S. Urmază un salt din S în T, în lungul diagrami Nyquist F const., după car vârful vctorului urmază izocrona (arcul TZ ). Când amplitudina forţi dscrşt, vârful vctorului dplasar parcurg porţiuna ZTU a izocroni până la limita d stabilitat în punctul U, d und sar în punctul V, urmând crcul F const. după car rvin p izocronă d la V la O. a Fig..58 b Cl două fnomn d salt sunt rprzntat în fig..58, a p o curbă amplitudin-pulsaţi şi în fig..58, b p o curbă forţă-dplasar..6 Vibraţii tranzitorii În acst paragraf s studiază răspunsul la xcitaţii narmonic al sistmlor cu un grad d librtat namortizat. Excitaţiil pot fi forţ aplicat masi sau dplasări, vitz sau acclraţii aplicat bazi (suportului) sistmului, fi brusc, rămânând apoi constant, fi cu variaţii bruşt al amplitudinii p o durată limitată. El s numsc şocuri dacă durata lor d variaţi st mai mică dcât prioada propri d oscilaţi a sistmului; în caz contrar s numsc xcitaţii tranzitorii..6. Răspunsul la forţ impulsiv aplicat masi Dacă s nglijază amortizara şi pntru condiţii iniţial nul, dplasara produsă prin xcitara masi unui sistm liniar masă-arc cu o forţă arbitrară F (t) st dată d intgrala lui Duhaml (.)

89 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 8 x mω t () t F( τ ) sinω ( t τ ) n n dτ, (.56) în car m st masa sistmului şi ω n st pulsaţia propri namortizată (.4)..6.. Răspunsul la o forţă aplicată brusc S considră un sistm masă-arc solicitat d o forţă constantă F ( t) F aplicată brusc masi, sub forma unui impuls traptă drptunghiulară (fig..59, a). Fig..59 Înlocuind forţa constantă în rlaţia (.56), s obţin xprsia dplasării masi m rprzntată grafic în fig..59, b. x F n, (.57) () t ( cosω t ) Sistmul vibrază libr în jurul poziţii d chilibru static x st F. Răspunsul maxim al sistmului namortizat st dublu faţă d cl produs d o forţă F aplicată static. Dacă s ţin sama d amortizara inrntă în sistm, amplitudina dplasării masi m scad în timp şi dvin gală cu x st după amortizara compltă a vibraţiilor (fig..59, c)..6.. Răspunsul la un impuls rampă În majoritata cazurilor practic, forţa aplicată crşt d la zro la valoara nominală F într-un timp (difrit d zro) t, numit timp d crştr. Variaţia în timp a forţi

90 8 VIBRAŢII MECANICE F F () t F t t, pntru t t, () t, pntru t t, (.58) dfinşt un impuls d tip rampă limitată (fig..6) sau un impuls d tip traptă cu timp d crştr t. şi Fig..6 Excitaţia poat fi considrată ca suma a două funcţii d tip rampă t F () t F (.59) t F F () t t t t t t, () t F, pntru t t. pntru Răspunsul la forţa F ( t), notat ( t) (.59) în intgrala lui Duhaml (.56) x F ω t x (.6), s calculază înlocuind xprsia F t n () t ( ) τ sinωn t τ dτ sinωnt t t ωnt. Similar, răspunsul la forţa F ( t), notat ( t) xprsia (.6) în intgrala (.56) x F mω t τ t t () t sinω ( t τ ) n t n F dτ x t, s calculază înlocuind t t Răspunsul total, gal cu suma ( t) x ( t) x ( t) x + sinωn ω t, st dci ( t t ) n.

91 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 8 x () t x F F t t ω t () t sinωnt, pntru t t n ( t t ) n n +, pntru t > ωnt ωnt, (.6) sinω t sinω t. (.6) S obsrvă că în cazul aplicării lnt (cvasistatic) a forţi, când ω nt ar valori mari, oscilaţiil sunt mici şi răspunsul st aproximativ gal cu valoara statică. Din punct d vdr practic, intrsază valoara maximă a răspunsului tranzitoriu. Doarc dobici timpii d crştr sunt foart mici, s poat admit că răspunsul maxim apar la t tm car st mai mar ca t. Drivând xprsia (.6) în raport cu timpul şi anulând drivata, s obţin timpul la car apar dplasara maximă, xprimat sub formă adimnsională t t m cosωnt arctg. (.6) ω t ω t n sin Pntru ω nt m > π s calculază n sinω t n m cosω t n m ( cosω t ) sinω t n n ( cosω t ). n, (.64) Înlocuind (.64) în (.6) s obţin dplasara maximă raportată la dplasara statică x F max car s mai poat scri sub forma F cosωnt +, (.65) ω t n x max T π t + sin. (.65, a) π t T În fig..6, a s przintă variaţia raportului x max xst în funcţi d raportul adimnsional t ωnt, T π (.66) în car T st prioada propri d vibraţi a sistmului masă-arc. În fig..6, b s arată variaţia raportului t m T în funcţi d t T.

92 84 VIBRAŢII MECANICE a b Fig..6 Când ω nt, raportul x max xst tind spr, valoar obţinută pntru forţa constantă aplicată brusc. Când ω nt, acst raport tind spr, valoar corspunzătoar aplicării static a forţi. Când cosω nt, sau ωn t nπ ( n,, 4,.. ), rampl produc un raport x max xst gal cu, dci răspuns fără vibraţii..6.. Răspunsul la un impuls triunghiular dscrscător S considră sistmul masă-arc solicitat d o forţă ( t) timp ca în fig..6, xprimată analitic sub forma F având o variaţi în F F () t F und t d st durata impulsului. t t d, pntru t t () t, pntru t t, d d, (.67)

93 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 85 Fig..6 a) Faza I. Pntru t td, dci p durata cât acţionază forţa, înlocuind xprsia (.67) în (.56), dci pntru condiţii iniţial nul, după fctuara calcullor rzultă x F F t sin ω t ω. (.68) () ( ) n t cos nt + t d ωn t b) Faza II. Pntru t td, dci după înctara acţiunii forţi, condiţiil iniţial al mişcării s dtrmină înlocuind t td în xprsia (.68) şi în xprsia drivati acstia în raport cu timpul. S obţin x F sin ω t o, (.69) ( ) n d td x cos ωntd ωn td F cos ω t x&. (.7) ( ) n d td vo ωn sin ωn td + td td Substituind xprsiil (.69) şi (.7) în cuaţia mişcării libr t t, s obţin namortizat (.6) şi înlocuind ( ) x t d F F n d n d n. (.7) ω t () t [ sin ω t sin ω ( t t )] cos ω t n d Anulând drivata în raport cu timpul a funcţii x ( t), s obţin timpul t m, măsurat din momntul aplicării forţi, după car apar răspunsul maxim. Înlocuind acastă valoar în xprsia dplasării, s obţin răspunsul maxim ( ) x x. (.7) max t m Pntru impulsuri d foart scurtă durată ( T,4 ) t d <, răspunsul maxim apar în faza răspunsului libr (faza II). Altfl, l apar p durata aplicării impulsului (faza I).

94 86 VIBRAŢII MECANICE a Fig..6 b În fig..6, a s przintă variaţia răspunsului maxim în funcţi d raportul t d T, und T π ω n st prioada propri d vibraţi a sistmului. În fig..6, b s arată variaţia raportului t m T în funcţi d t d T. Acst diagram sunt dosbit d util în proictar, doarc st suficint să s cunoască prioada propri d vibraţi T şi durata impulsului t d pntru a s calcula timpul d răspuns maxim t m şi valoara răspunsului maxim Răspunsul la un impuls drptunghiular S considră sistmul masă-arc solicitat d o forţă ( t) timp ca în fig..64, xprimată analitic sub forma F F und t d st durata impulsului. () t F, pntru t t () t, pntru t t, d d, F având o variaţi în (.7) Fig..64

95 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 87 Aplicara forţi F p durata t d st chivalntă cu aplicara bruscă a forţi F la momntul t, urmată d aplicara bruscă a forţi F la momntul t t d. Dplasara produsă d prima forţă st d forma (.57) x F n. () t ( cosω t ) Dplasara produsă d a doua forţă, pntru cu F şi t cu t td în (.57) sau x F () t [ cosω ( t )] n t d. t > td, s obţin înlocuind F Dplasara totală st x x pntru t td, iar pntru t td st x F () t x + x [ cosω ( t t ) cosω t ] n d F () ωntd t x t sin sinωn t d. (.74) În fig..65, a s przintă variaţia răspunsului maxim în funcţi d raportul t d T, iar în fig..65, b s arată variaţia raportului t m T în funcţi d t d T. n a Fig..65 b S obsrvă că dacă durata aplicării forţi st mai mar dcât smiprioada propri d vibraţi, dplasara ating valoara maximă x x încă în timpul aplicării impulsului drptunghiular. Dacă t d < T max st, atunci dplasara maximă s

96 88 VIBRAŢII MECANICE obţin după înctara acţiunii impulsului drptunghiular şi ar valoara ωntd xmax xst sin..6. Răspunsul la xcitaţi prin şoc aplicată suportului Sistmul din fig..66 st xcitat la bază cu acclraţia u& &. sau Ecuaţia mişcării masi m s scri Fig..66 ( x ) m x& & + u, (.75) m ( u& & x ) + x &, + r r m x & x mu&. (.76) r + r În cuaţia dplasării rlativ, mmbrul drpt ar rolul forţi din cuaţia dplasării absolut a masi sub acţiuna uni forţ xtrioar aplicat masi. Rzultă că în cazul xcitaţii cinmatic la bază cu acclraţia u& &, dplasara rlativă a masi s poat calcula cu intgrala lui Duhaml (.) în car forţa F (τ ) s înlocuişt cu m u & (τ ) x r ω t () t u& ( τ ) sinω ( t τ ) Acclraţia rlativă a masi st n n & dτ. (.77) t n ( τ ) sinω ( t τ ) & x ω x ω u& dτ. (.78) r r n n

97 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE Răspunsul la un impuls triunghiular simtric S considră sistmul din fig..66 xcitat la bază cu acclraţia u& & () t având o variaţi în timp ca în fig..67, xprimată analitic sub forma u&& u&& () t td a t, pntru t, t d t t d () t a ( t t ), pntru t t. d d d (.79) Fig..67 Impulsul triunghiular simtric poat fi considrat suma a tri funcţii d tip rampă (fig..67). Suprapunând răspunsuril calculat cu intgrala lui Duhaml stabilită pntru condiţii iniţial nul, cu înlocuira argumntului întârziat, s obţin următoarl xprsii pntru acclraţia rlativă a masi && xr a && xr a () t () t && xr a () t sin ω nt t, td ω n t + d td t sin ωn t sin ωn t td ωn t t, (.8) d t d sin ωn t sin ωntd sin ωn d ωntd t d, t td ( t t ), (.8), t td. (.8) În fig..68 s przintă variaţia în timp acclraţii rlativ a masi pntru tri valori difrit al raportului t T ω t π. d n d

98 9 VIBRAŢII MECANICE Fig..68 Pntru un şoc d durată finită, s dfinsc două faz distinct: a) şocul iniţial, car dfinşt d fapt răspunsul iniţial p durata aplicării şocului, car st o vibraţi forţată şi b) şocul rzidual, car dfinşt răspunsul rzidual după înctara acţiunii şocului, car st o vibraţi libră. S obsrvă că pntru t d T nu apar vibraţii rzidual. Pntru t d T, răspunsul primar maxim apar la tm td, 65.

99 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 9 Fig..69 În gnral intrsază valoara răspunsului maxim, în acst caz acclraţia rlativă maximă a masi, pntru difrit valori al raportului t d T. În fig..69 s arată variaţia acclraţii maxim în funcţi d raportul adimnsional T, sparat pntru şocul primar şi pntru şocul rzidual. t d.6.. Răspunsul la un impuls smisinusoidal forma În fig..7 s przintă un impuls smisinusoidal xprimat analitic sub u&& u&& () t π t a sin, t d pntru t t () t, pntru t t. d d, (.8) Fig..7 Impulsul poat fi considrat rzultatul suprapunrii a două acclraţii sinusoidal, una aplicată la t, a doua aplicată la t td.

100 9 VIBRAŢII MECANICE S obţin următoarl xprsii pntru variaţia în timp a acclraţii rlativ a masi && xr () t π t T sin sin ωnt, t t a d, (.84) T td td 4t && xr a () t T t d d π t cos T T 4t d d t d sin ωn t, t d t. (.85) Fig..7 În fig..7 s-a rprzntat variaţia răspunsului primar maxim în funcţi d raportul t d T..6. Spctrul răspunsului la şoc Din punct d vdr practic, st prfrabilă dscrira unui şoc sau a uni xcitaţii tranzitorii prin fctul p car îl ar asupra unui sistm cu un grad d librtat, dcât prin funcţia d timp a xcitaţii. Valoara maximă a răspunsului la şoc a fost rprzntată grafic în funcţi d raportul într durata şocului şi prioada propri d vibraţi a sistmului cu un grad d librtat namortizat, T. Acst raport s mai poat scri t d

101 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 9 t d T ωntd π, dci st proporţional cu produsul într durata şocului şi pulsaţia propri a sistmului cu un grad d librtat. Curba răspunsului maxim în funcţi d pulsaţia propri a sistmului masăarc s numşt spctrul şocului sau spctrul răspunsului. A doua dnumir includ şi spctrul răspunsului tranzitoriu, la o xcitaţi d durată finită mai lungă dcât prioada propri a sistmului masă-arc. Diagraml din figuril.6,a,.6,a,.65,a,.69 şi.7 sunt dci spctr d şoc. El dscriu fi răspunsul maxim al unui sistm masă-arc dat, la şocuri d difrit durat, fi răspunsul sistmlor cu difrit pulsaţii proprii la un şoc cu o anumită durată. Dacă s calculază valoara maximă a răspunsului la şoc pntru sistm masă-arc cu difrit pulsaţii proprii şi s rprzintă grafic valoril răspunsului tranzitoriu maxim în funcţi d pulsaţia propri a oscilatorului, s obţin spctrul şocului. Fig..7 Procdul st rprzntat schmatic în fig..7. Pntru un număr infinit d oscilatori (sau aclaşi oscilator cu pulsaţi propri variabilă continuu) s obţin un spctru continuu al şocului considrat. Dacă oscilatorii sunt amortizaţi, în spctrul şocului s obţin cât o curbă pntru ficar valoar a raportului d amortizar. Ficar impuls ar un spctru d şoc caractristic, dar st posibil ca impulsuri cu funcţii d timp difrit să aibă aclaşi spctru d şoc. Din acst motiv, funcţia d timp a şocului nu poat fi rconstituită din spctrul său d răspuns.

102 94 VIBRAŢII MECANICE Fig..7 Efctul unui şoc dscris d o anumită funcţi d timp poat fi simulat cu o maşină pntru încrcări la şoc car s-ar puta să nu poată rproduc xact funcţia d timp a şocului rspctiv, dar poat produc un şoc chivalnt, dscris d o funcţi d timp difrită, car să aibă aproximativ aclaşi spctru d răspuns. D xmplu, dacă trbui simulat un şoc triunghiular simtric, acsta poat fi aproximat cu un şoc trapzoidal cu raportul într timpul d mnţinr şi timpul d crştr tb ta, şi raportul într timpul d dscrştr şi timpul d crştr tc ta,, aşa cum s arată în fig..7. Pntru spctr dscris d funcţii d timp mai complicat, intgrala lui Duhaml şi spctrul răspunsului s calculază prin mtod numric. Spctrl răspunsului sunt utilizat în încrcăril la şoc şi în calificara sismică a chipamntlor. Problm.E O masă ncunoscută m st ataşată unui arc d rigiditat ncunoscută. Dacă o masă m 5 g st adăugată masi m, frcvnţa propri a sistmului scad d la, 5 Hz la 49 Hz. a) Să s dtrmin valoril paramtrilor m şi. Dacă un arc d rigiditat s montază în parall cu primul arc, frcvnţa propri a sistmului crşt la 5 Hz. b) Să s dtrmin. Răspuns: m, 6 g, 9, N m, 56 N m. 6.E O masă m,5 g vibrază libr într-un mdiu vâscos cu prioada T, 5 sc şi amplitudina iniţială a mm. a) Să s dtrmin rigiditata şi coficintul d amortizar vâscoasă c dacă după cicluri amplitudina vibraţiilor

103 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 95 st a, mm. b) Să s dtrmin amplitudina a după cicluri dacă s ataşază o masă m, g masi iniţial m. Răspuns: 877 N m, c, 7 Ns m, a 45mm.,.E Un sistm masă-arc cu frcvnţa propri f 5 Hz vibrază într-un mdiu vâscos cu un coficint d amortizar c, Ns mm. Dcrmntul logaritmic st δ,. a) Să s dtrmin masa m şi rigiditata arcului. b) Car st noua valoar a dcrmntului logaritmic dacă s ataşază masi iniţial o masă m g. Răspuns: m,645g, 66,4 N m, δ, 94..E4 Un sistm masă-arc-amortizor vâscos st dplasat o distanţă a mm apoi lăsat libr. După 8 cicluri d vibraţi amplitudina dscrşt la a 8 4 mm. O masă m g ataşată masi iniţial produc o dplasar statică d 4 mm. Dacă noul sistm st dplasat o distanţă a mm apoi lăsat libr, după 8 cicluri d vibraţi amplitudina dscrşt la a 8 5 mm. Să s dtrmin masa m, rigiditata şi coficintul d amortizar c. Răspuns: m 5,77 g, 495 N m, c,76 Ns m..e5 Un sistm vibrator cu masa m 5 g şi rigiditata arcului N mm st acţionat d o forţă armonică d amplitudin F N şi frcvnţă Hz. Să s dtrmin: a) amplitudina dplasării X ; b) amplitudina dplasării X dacă o masă m g st adăugată masi m; c) pntru sistmul cu masa adiţională, cum trbui modificat astfl încât dplasara să rvină la valoara X. Răspuns: X 47,4 mm, X 95,85 mm, s adaugă 5,5 N m în parall, sau N m în sri cu..e6 O grutat m g N ataşată unui arc moal îl lungşt mm. a) Să s dtrmin amplitudina F a forţi car, acţionând cu frcvnţa Hz, produc vibraţii cu amplitudina dplasării X,5 mm. b) Să s dtrmin o altă frcvnţă xcitatoar la car forţa d amplitudin F produc acaşi dplasar X,5 mm. Răspuns: F 4, 68 N, ω 6,87 rad s.

104 96 VIBRAŢII MECANICE.E7 Un rotor cu masa m g transmit o forţă d 4 N arcurilor p car st rzmat când s rotşt cu vitza unghiulară d rad s şi ar o amplitudin a prcsii d, 5 mm. a) Să s dtrmin amplitudina F a forţi d dzchilibru; b) Să s dtrmin o altă valoar a vitzi unghiular la car amplitudina vibraţiilor ar acaşi valoar. Răspuns: F 7, 7 N, ω 55,67 rad s..e8 Un aparat snsibil cu masa m g st folosit p o platformă car vibrază datorită undlor transmis d la o sursă din apropir. Platforma ar o mişcar armonică cu amplitudina X, mm şi frcvnţa f 5 Hz. Pntru a rduc vibraţiil transmis aparatului, într acsta şi platformă s introduc izolatori din cauciuc cu rigiditata totală 7 N m. Să s dtrmin: a) amplitudina X a dplasării aparatului; b) valoara X a amplitudinii vibraţiilor aparatului, dacă în parall cu primii izolatori s mai adaugă un izolator cu rigiditata N m. Răspuns: X,74 mm, X 5, 5 mm..e9 O masă m 4 g, suspndată cu două arcuri vrtical într două suporturi fix, st acţionată d o forţă armonică cu amplitudina F N. Arcul suprior ar o rigiditat 5 N m iar arcul infrior ar o rigiditat. Să s dtrmin: a) frcvţl la car amplitudina dplasării st X mm, şi b) amplitudina F a forţi transmis suportului infrior prin arcul. Răspuns: ω 6 rad sc, ω 6, 5 rad sc, F N.,.E Un sistm vibrator namortizat ar o masă chivalntă m şi o rigiditat chivalntă. O forţă armonică d amplitudin F N şi pulsaţi ω 4 rad s produc vibraţii staţionar d amplitudin X. Dacă s adaugă o masă m g masi iniţial m, forţa d amplitudin F N trbui să aibă o pulsaţi ω rad s sau ω rad s pntru a produc o dplasar cu acaşi amplitudin X. Să s dtrmin valoril paramtrilor m şi. Răspuns: Pntru ω < ω, m,8g, 498, N m ; pntru ω > ω, m 5,58 g, 99,6 N m..e Un motor lctric cu grutata m g N st montat la mijlocul uni bar d lungim l m simplu rzmată la capt, cu momnt d inrţi axial al scţiunii transvrsal longitudinal E, 5 N mm 4 I mm şi modulul d lasticitat. Dacă motorul ar o grutat dzchilibrată în

105 . SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 97 rotaţi m g N cu xcntricitata, mm şi turaţia n 5 rot min, să s dtrmin: a) amplitudina X a vibraţiilor forţat al maşinii, şi b) amplitudina forţi dinamic transmis unui razm. Răspuns: X 5, μm, F din 6,77 N..E Un motor cu masa m g, rzmat p arcuri cu rigiditata totală N m, produc o forţă dzchilibrată d amplitudin F N la frcvnţa d Hz. Să s dtrmin rigiditata a unui arc şi modul d lgar a acstuia (în sri sau în parall) pntru a rduc la jumătat amplitudina forţi transmis F T. Să s dtrmin valoara alti pulsaţii la car forţa dzchilibrată ar aclaşi fct. rigiditat Răspuns: 7,6 N m în parall, ω,75 rad s..e Un sistm vibrator compus din o masă m, g şi un arc d, N mm st acţionat d o forţă armonică d amplitudin F 5 N şi pulsaţi ω 5 rad s. Să s dtrmin: a) amplitudina F T a forţi transmis suportului d la bază, şi b) amplitudina X a dplasării masi m. Răspuns: F T, N, X, m..e4 Un sistm masă-arc cu amortizar vâscoasă st acţionat d o forţă armonică d amplitudin F N. Variind pulsaţia forţi xcitatoar, s obţin o amplitudin maximă X 6 mm la pulsaţia d rzonanţă ω 4 rad s. Dacă s ataşază sistmului o masă m g, amplitudina maximă dvin X 8 mm. Să s dtrmin masa m, rigiditata şi coficintul d amortizar c. Răspuns: m,57 g, 5,7 N m, c,9 N s m..e5 O masă m 5 g st ataşată d un arc cu rigiditata N mm şi st acţionată d o forţă armonică d amplitudin F N şi frcvnţă f Hz. Să s dtrmin: a) amplitudina X a vibraţiilor forţat al masi m; b) amplitudina X a vibraţiilor forţat când o masă m g st adăugată masi m; c) coficintul d amortizar vâscoasă c al unui amortizor lgat în parall cu arcul şi car rduc amplitudina vibraţiilor la valoara iniţială. Răspuns: X 47, mm, X 9, 5 mm, c, Ns m..e6 Utilizând mtoda lui Rayligh, să s calculz pulsaţia propri fundamntală a barlor din fig..74, folosind dformata aproximativă dată alăturat.

106 98 VIBRAŢII MECANICE a b π x v ( x) v cos. l x x v ( x) v 4, l l x l c ( x) π x v v sin. l π x v v. l d ( x) cos Fig..74 EI Răspuns: a) ω, 6 ; b) ω ml EI c) ω 4, 95 ; d) ω ml,79 EI. l ρ A EI 6, 98 ml ; ( +, 4857 ρ Al m).e7 Utilizând mtoda lui Rayligh, să s calculz pulsaţia propri fundamntală a vibraţiilor axial al bari din fig..75 folosind o funcţi cu variaţi liniară dplasărilor longitudinal. S considră m ρ Al. Fig..75 Răspuns:, 655 E ω. l ρ

107 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE Numărul gradlor d librtat al unui sistm în vibraţi st gal cu numărul coordonatlor indpndnt ncsar pntru a dscri complt mişcara sistmului. În acst capitol s studiază sistml cu două grad d librtat, fiind cl mai simplu caz d sistm discrt, şi o introducr în studiul sistmlor cu un număr finit d grad d librtat. În acst scop s introduc notaţia matricială, car d fapt nu st ncsară studiului sistmlor cu numai două grad d librtat. În capitolul s arată că vibraţia libră a unui sistm namortizat cu un grad d librtat st o mişcar armonică la frcvnţa propri a sistmului, numită vibraţi propri (naturală). În schimb, vibraţia libră a unui sistm namortizat cu mai mult grad librtat st o mişcar priodică, şi constă din suma mai multor vibraţii proprii simultan, ficar implicând o anumită frcvnţă propri şi formă dformată, numit moduri proprii (natural) d vibraţi. Mişcara într-un mod propriu d vibraţi st sincronă şi armonică în toat coordonatl sistmului. Răspunsul dinamic al unui sistm discrt poat fi dscris d un sistm d cuaţii difrnţial ordinar simultan. Printr-o algr judicioasă a coordonatlor, numit coordonat modal sau principal, cuaţiil pot fi dcuplat şi rzolvat indpndnt una d alta. Coordonatl modal rprzintă combinaţii liniar al dplasărilor ral. Invrs, mişcara sistmului poat fi privită ca o suprapunr d vibraţii în moduril proprii dfinit d coordonatl modal. Un sistm cu două grad d librtat ar două frcvnţ proprii şi, în vibraţii forţat, pntru amortizări rdus, poat ava două rzonanţ. Răspunsul libr la o xcitaţi iniţială şi răspunsul forţat la o xcitaţi xtrnă pot fi xprimat în funcţi d cl două moduri proprii d vibraţi al căror form dformat sunt dfinit d vctori ortogonali, pondraţi d matricil d masă sau d rigiditat. Răspunsul forţat la xcitaţi armonică s poat obţin uşor utilizând rgula lui Cramr. Rzonanţa apar atunci când frcvnţa xcitatoar dvin gală cu una dintr frcvnţl proprii al sistmului. Antirzonanţa poat apar la o frcvnţă gală cu frcvnţa propri a unui subsistm masă-arc.

108 VIBRAŢII MECANICE În acst capitol s discută în primul rând calculul frcvnţlor proprii şi al formi modurilor proprii d vibraţi. Vibraţiil forţat sunt analizat întâi pntru sistm namortizat, folosind analiza modală şi analiza spctrală dirctă, apoi pntru sistm amortizat.. Vibraţii d translaţi În continuar s studiază sistm masă-arc cu două grad d librtat, în car masl au mişcar d translaţi unidircţională... Ecuaţiil d mişcar S considră sistmul din fig.., a compus din masl m şi m, ataşat d punct fix prin arcuril şi, şi cuplat într l prin arcul. Fig.. Dacă masl sunt ghidat să s mişt p o singură dircţi orizontală, configuraţia sistmului la un momnt dat st complt dtrminată d dplasăril instantan x şi x faţă d poziţiil d chilibru static. Sistmul ar două grad d librtat. Cu ajutorul diagramlor forţlor din fig.., b şi folosind principiul lui d Almbrt (chilibrul dinamic al forţlor d inrţi şi al clor fctiv aplicat), cuaţiil d mişcar s pot scri m m ( x ) ( x ) &, x + x + x x& + x x &,

109 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE sau sub forma m m && x + && x ( + ) x x, x + ( + ) x. (.) Acsta st un sistm d două cuaţii difrnţial liniar cuplat, cu coficinţi constanţi. Cuplajul într cl două coordonat st produs d arcul. Dacă, cuaţiil (.) dvin indpndnt, iar sistmul din fig.. dgnrază în două sistm vibratoar cu cât un grad d librtat. Ecuaţiil (.) s pot scri matricial m sau în formă compactă && x + + m && x [ m ]{ x& } + [ ]{ x } { } + x x, (.) &, (.) und [ m ] st matrica d masă, [ ] st matrica d rigiditat iar { } x st vctorul coloană al dplasărilor. D notat că matricil pătrat sunt notat cu parantz drpt iar vctorii coloană sunt notaţi cu acolad. Matrica d masă şi matrica d rigiditat sunt simtric, dci gal cu transpusl lor [ m ] [ m ] T, [ ] [ ] T. (.4) Matrica maslor st diagonală. Cuplajul st produs d lmntl ndiagonal ar matricii d rigiditat... Vibraţii libr. Moduri proprii d vibraţi Intrsază în c condiţii cl două mas au mişcări armonic sincron, când sistmul s comportă ca un sistm cu un grad d librtat în vibraţii proprii. S alg soluţii d forma x x () t a cos( ω t ϕ), () t a cos( ω t ϕ), (.5) şi s studiază în c condiţii o astfl d mişcar st posibilă. În acastă mişcar, raportul într dplasăril instantan al maslor st constant în timp () t x ( t) a a const. x (.6) Configuraţia sistmului nu s modifică în timp, forma dformată rămân asmna cu a însăşi în oric momnt.

110 VIBRAŢII MECANICE Înlocuind soluţiil (.5) în cuaţiil difrnţial (.), rzultă sistmul algbric omogn ( + mω ) a a, a + ( + m ω ) a. (.7) Ecuaţiil omogn simultan (.7) au soluţii nbanal (difrit d zro) dacă dtrminantul coficinţilor a şi a st zro + m ω + Dzvoltând dtrminantul s obţin m ω ( + ). (.8) ω + ω + (.9) m m m m car st o cuaţi d gradul doi în ω numită cuaţia caractristică sau cuaţia pulsaţiilor proprii. Rădăcinil ω şi ω sunt ral şi pozitiv. Mărimil ω şi ω s numsc pulsaţii proprii sau pulsaţii natural, doarc dpind doar d masl şi rigidităţil sistmului. Doarc sistmul cuaţiilor (.7) st omogn, nu pot fi dtrminat amplitudinil a şi a, ci numai raportul acstora μ a a. La pulsaţia ω, raportul amplitudinilor st iar la pulsaţia ω, raportul amplitudinilor st a + m ω μ (.) a a + m ω μ. (.) a Rapoartl (.) şi (.) dtrmină forma dformată a sistmului în mişcăril sincron cu pulsaţiil ω, rspctiv ω. Dacă s dă o valoar arbitrară unui lmnt din ficar raport (d xmplu, numitorului), valoara cluilalt lmnt rzultă din xprsiil d mai sus. Acst procs s numşt normalizar. Pulsaţiil proprii şi rapoartl amplitudinilor corspunzătoar dtrmină condiţiil în car pot ava loc mişcări armonic sincron al clor două mas, adică moduri proprii d vibraţi. Un mod propriu d vibraţi st dfinit d doi paramtri: pulsaţia propri şi forma modală. Forml modal pot fi rprzntat prin vctorii coloană

111 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE numiţi şi vctori modali. u u { a } ( a ) C { u } { a } ( a ) C { u }, a a a a, (.) În rlaţiil (.) vctorii modali sunt normalizaţi cu primul lmnt gal cu. S spun că vctorii normalizaţi rprzintă forma modurilor normal d vibraţi. Cl două mişcări sincron posibil sunt dat d iar soluţia gnrală a vibraţiilor libr st { x () t } { x( t) } + x ( t) { x () t } C { u } cos ( ω t ϕ ), { x () t } C { u } cos ( ω t ϕ ), { } C { u } cos( ω t ϕ ) + C { u } ( ω ϕ ) t cos (.).(.4) În xprsia (.4), cl patru constant d intgrar C, C, ϕ, ϕ s dtrmină utilizând cl patru condiţii iniţial, dsplasăril şi vitzl la t. Pntru condiţii iniţial arbitrar, vibraţia libră a unui sistm cu două grad d librtat st o mişcar priodică obţinută din suprapunra a două moduri proprii d vibraţi, adică a două mişcări armonic cu pulsaţii gal cu pulsaţiil proprii al sistmului. S poat arăta că pntru vitz iniţial nul şi dplasări iniţial proporţional cu cl dintr-un mod propriu d vibraţi, mişcara libră st sincronă şi pur armonică, la pulsaţia propri a modului rspctiv. Un sistm poat vibra libr într-un mod propriu d vibraţi dacă forma dformată iniţială st asmna cu forma modului rspctiv. Exmplul. S cr moduril proprii d vibraţi al sistmului din fig... Fig.. Rzolvar. Ecuaţiil d mişcar s pot scri

112 4 VIBRAŢII MECANICE + x x x x m m && &&. Prsupunând soluţii d forma { } { } ( ) ω ϕ t u x cos s obţin sistmul algbric omogn ( ) ( ), u m u, u u m + ω ω sau, împărţind prin, ( ) ( ), u u, u u + α α und s-a notat m ω α. Condiţia d a ava soluţii nbanal st α α, 5 + α α, cu rădăcinil α, α. Pulsaţiil proprii sunt m ω, m ω. Algând primul lmnt gal cu, primul vctor modal st dat d u u α α, iar al doila vctor modal st calculat din u u α α. Forma modurilor proprii d vibraţi st przntată în fig... În primul mod d vibraţi, cl două mas s dplasază în acaşi dircţi, amândouă spr

113 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 5 drapta sau amândouă spr stânga, dplasara masi m fiind dublă faţă d dplasara masi m. În modul al doila, cl două mas s dplasază gal în dircţii opus. Mijlocul arcului nu s dplasază, dci st un punct nodal (nod d vibraţi). Dacă acst punct ar fi fixat, mişcara în modul rspctiv nu s-ar modifica. Arcul dintr mas ar fi împărţit în două arcuri d rigiditat ficar. Masa m st astfl lgată d punct fix prin două arcuri d rigidităţi (în parall) cu o rigiditat chivalntă 4, în timp c masa m st lgată d un punct fix prin un arc d rigiditat, ambl subsistm având acaşi pulsaţi propri gală cu ω. Fig.. Rzumând, primul mod propriu d vibraţi ar pulsaţia propri ω m şi o formă modală { } u, iar al doila mod propriu ar pulsaţia propri ω şi o formă modală { u }. Dacă masl m sistmului sunt dplasat iniţial cu x şi x apoi lăsat libr, mişcara sistmului va fi armonică cu pulsaţia ω,77 m. Dacă dplasăril iniţial ar fi x şi x, mişcara va fi armonică cu pulsaţia ω,44 m... Ortogonalitata modurilor proprii Înlocuind soluţiil (.) în cuaţia (.), s obţin [ ]{ u } ω [ m ]{ }, (.5, a) u [ ]{ u } ω [ m ]{ }. (.5, b) u

114 6 VIBRAŢII MECANICE Înmulţind în (.5, a) la stânga cu { u } T rzultă T T { u } [ ]{ u } ω { u } [ m ]{ }. (.6) u Dacă s transpun (.5, b) şi s înmulţşt la drapta cu { u } rzultă T T { u } [ ]{ u } ω { u } [ m ]{ u }. (.7) Scăzând (.6) din (.7), pntru ω ω, s obţin şi calculând transpusa T { } [ m ]{ u } u, (.8) T { } [ m ]{ u } u. (.9) Înlocuind (.8) în (.6) s obţin şi calculând transpusa T { } [ ]{ u } u (.) T { } [ ]{ u } u. (.) Rlaţiil (.8)-(.) arată că vctorii modali sunt ortogonali în raport cu matricl d masă şi d rigiditat. D notat difrnţa faţă d ortogonalitata T obişnuită a doi vctori { a } şi { b }, car s scri sub forma { a }{ b }. spun că vctorii modali sunt ortonormali (ortogonali şi normalizaţi). S..4 Coordonat modal Dacă în xprsiil (.) s notază soluţia (.4) dvin q q () t C cos ( ω t ϕ ) () t C cos ( ω t ϕ ), { x () t } { u } q + { u } q Rlaţia (.) s poat scri sub forma, (.). (.) und q [ ] [ u ]{ q } { () t } { u } { u } x (., a) q

115 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 7 [ ] [ ] { u } { } u (.4) u s numşt matrica modală. Coloanl matricii modal sunt vctorii modali. Înlocuind (.) în (.), înmulţind la stânga cu { cont d rlaţiil d ortogonalitat, s obţin } T r u (,) r şi ţinând und M r M r q& K q, (.5) r + r r T T { u } r [ m ] { u } r, K r { u } r [ ] { u } r (.6) sunt masa modală, rspctiv rigiditata modală a modului r. Valoril maslor şi rigidităţilor modal dpind d normalizara vctorilor modali. Când normalizara s fac impunând valori gal cu maslor modal, rigidităţil modal sunt gal cu pătratl pulsaţiilor proprii rspctiv. Din rlaţiil (.5) s obţin pulsaţia propri în funcţi d vctorul modal r T { u } r [ ] { u } r T { u } r [ m ] { u } r ω. r, (.7) Câtul lui Rayligh st dfinit prin raportul R ({ u} ) T { u } [ ] { u } T { u } [ m ] { u }. (.8) Dacă vctorul { u } coincid cu unul din vctorii modali ai sistmului, atunci câtul s rduc la pătratul pulsaţii proprii rspctiv. Câtul lui Rayligh ar u st un o valoar staţionară în vcinătata unui vctor modal. Astfl, dacă { } vctor als arbitrar, car difră puţin d primul vctor modal, atunci ({ u} ) R ar o valoar foart apropiată d pătratul primi pulsaţii proprii şi totdauna mai mar. Transformara liniară d coordonat (.) dcuplază cuaţiil d mişcar. Coordonatl (.), în car cuaţiil d mişcar sunt indpndnt, s numsc coordonat principal sau coordonat modal. sau Înlocuind (., a) în (.) şi înmulţind la stânga cu [ u ] T s obţin und matricil diagonal T T [ u ] [ m ] [ u ]{ q& } + [ u ] [ ] [ u ]{ q } { } &, (.9) [ M ]{ q& } + [ K ] { q } { } &, (.9, a)

116 8 VIBRAŢII MECANICE T T [ M ] [ u ] [ m ] [ u ] şi [ K ] [ u ] [ ] [ u ] (.) sunt matrica d masă modală, rspctiv matrica d rigiditat modală. Transformara d coordonat (., a) diagonalizază simultan matricil d masă şi d rigiditat. După rzolvara sparată a cuaţiilor dcuplat (.9, a), coordonatl modal pot fi înlocuit în (., a) pntru a obţin coordonatl fizic din spaţiul configuraţiilor. Acastă mtodă s numşt analiză modală. Analiza modală folosşt o transformar d coordonat liniară bazată p matrica modală pntru a dcupla cuaţiil d mişcar al unui sistm în vibraţi...5 Răspunsul la xcitaţi armonică S considră vibraţiil forţat al sistmului din fig..4, sub acţiuna forţlor f () t şi f () t aplicat masi m, rspctiv m. Fig..4 Ecuaţiil d mişcar sunt m m && x + && x ( + ) x x f, x + ( + ) x f, (.) sau, în formă matricială compactă, [ m ]{ x& } + [ ] { x } { f } und { f } st vctorul coloană al forţlor xtrioar. obţin und..5. Rzolvara prin analiză modală &, (., a) Înlocuind (., a) în cuaţia (., a), şi înmulţind la stânga cu [ u ] T s [ M ]{ q& } + [ K ] { q } { F } &, (.) T { F } [ u ] { f } st vctorul coloană al forţlor modal. (.)

117 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 9 În cazul xcitaţii armonic răspunsul staţionar st { f } { fˆ } cosω t, (.4) { x } { xˆ } cosω t, { q } { qˆ } cosω t und o căciulă dasupra litri dnotă amplitudina. Înlocuind (.4) şi (.5) în (.) rzultă T [ [ M ] + [ K ]]{ qˆ } [ u ] { fˆ } { Fˆ }, (.5) ω, (.6) astfl că amplitudinil coordonatlor modal au xprsiil qˆ qˆ T { u } { fˆ } Fˆ, (.7) K ω M ω T T { u } [ ]{ u } { u } [ m ] { u } T { u } { fˆ } Fˆ. (.8) K ω M ω T T { u } [ ]{ u } { u } [ m ]{ u } Ecuaţia (.) scrisă pntru amplitudini dvin { xˆ } { u } qˆ + { u }. (.9) qˆ Înlocuind (.7) şi (.8) în (.9) s obţin vctorul amplitudinilor în coordonat fizic { xˆ } T { u } { fˆ }{ u } T T { u } [ ]{ u } { u } [ m ]{ u } T { u } { fˆ }{ u } T T { u } [ ]{ u } { u } [ m ]{ u } + ω ω. Elmntl vctorului { xˆ } au forma xˆ xˆ T { u } { } T fˆ { u } { fˆ } u + u K ω M K ω M (.4), (.4) T { u } { } T fˆ { u } { fˆ } u + u K ω M K ω M. (.4)

118 VIBRAŢII MECANICE Exmplul. S considră sistmul din fig.. acţionat d forţl armonic t fˆ f ω cos şi t fˆ f ω cos. Să s calculz amplitudinil răspunsului staţionar şi să s trasz curbl rcptanţlor pntru f. Rzolvar. Ecuaţiil d mişcar s pot scri + f f x x x x m m && &&. Folosind transformara d coordonat { } [ ]{ } + q q q q q u x şi înmulţind la stânga cu transpusa matricii modal, s obţin + f f q q q q m m && && sau F F f f f f q q q q m m && &&. În cazul xcitaţii armonic { } { } t fˆ f ω cos, răspunsul staţionar st { } { } t qˆ q ω cos. Amplitudinil coordonatlor modal sunt ( ) 6 ω ω ω + fˆ fˆ m Fˆ qˆ, ( ) 6 6 ω ω ω fˆ fˆ m Fˆ qˆ. Amplitudinil în spaţiul configuraţiilor sunt lmntl vctorului { } { } ( ) { } ( ) 6 ω ω ω ω + fˆ fˆ xˆ c b c b. Când f şi f f, vctorul amplitudinilor s poat scri { } ( ) ( ) 6 ω ω ω ω + fˆ fˆ xˆ c b c b

119 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE iar rcptanţl sunt α sau xˆ fˆ +, ω ω 6 ω ω α xˆ fˆ +, ω ω 6 ω ω xˆ fˆ 6m ( ω ω ) m ( ω ω ) +, xˆ fˆ m ( ω ω ) m ( ω ω ). Curbl d răspuns în frcvnţă sunt rdat în fig..5. a Fig..5 b Rzonanţl apar la ω m ω, când pulsaţia m xcitatoar dvin gală cu una din pulsaţiil proprii al sistmului. Când ω ω a, prima masă st fixă în spaţiu, m, în timp c masa a doua vibrază,, condiţi dfinită ca antirzonanţă. Pulsaţia d antirzonanţă st gală cu pulsaţia propri a subsistmului format din arcul şi masa m. Acst subsistm st numit absorbitor dinamic d vibraţii. Enrgia introdusă într-un ciclu d vibraţi d forţa aplicată st absorbită d acastă part a sistmului, mnţinând masa m fixă în spaţiu, condiţi urmărită în mult aplicaţii practic.

120 VIBRAŢII MECANICE sau..5. Rzolvara prin analiză spctrală Înlocuind (.4) şi (.5) în cuaţia (., a), rzultă ([ ] [ m ] ){ xˆ } { fˆ } ω, (.4) ( ) { fˆ } { xˆ } [ ] [ m ] ω. (.44) Ecuaţia (.4) rprzintă un sistm liniar d cuaţii algbric car poat fi rzolvat folosind rgula lui Cramr. Invrsara din cuaţia (.44) nu s fac practic niciodată, prfrându-s rzolvara sistmului (.4). Exmplul. S considră sistmul din fig.. acţionat d o forţă armonică f fˆ cosω t. S cr să s calculz amplitudinil răspunsului staţionar prin analiză spctrală dirctă. Rzolvar. Ecuaţiil d mişcar (.) s scriu m & x m && x + x x x + x fˆ. cosω t, Înlocuind soluţia (.5) în cuaţiil d mai sus, rzultă un sistm d două cuaţii algbric liniar ( ω m) xˆ xˆ xˆ + ( ω m) xˆ. Folosind rgula lui Cramr, s obţin amplitudinil xˆ şi xˆ sub forma fˆ, xˆ fˆ ω m ω m ω m ( ω m) fˆ ( ω m)( ω m), xˆ ω m ω m fˆ ω m fˆ ( ω m)( ω m), sau, într-o formă apropiată d ca obţinută prin analiză modală

121 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE ω fˆ m xˆ, m ω m m ω fˆ xˆ m. m ω ω m m La numitor apar dtrminantul caractristic, car fac ca amplitudinil să crască la infinit atunci când pulsaţia xcitatoar dvin gală cu una din pulsaţiil proprii. Sistmul ar două rzonanţ.. Vibraţii d torsiun În cl c urmază s studiază sistm disc-arbor cu două grad d librtat, în car discuril rigid au vibraţii unghiular faţă d axa arborlui... Ecuaţiil d mişcar S considră sistmul din fig..6, a compus din două discuri cu momnt d inrţi masic polar J şi J, g m, montat p arbori cu rigidităţi torsional K, K şi K, N m rad, d masă nglijabilă. Fig..6 Fi θ şi θ unghiuril instantan al discurilor faţă d poziţia d chilibru static. Utilizând diagraml d momnt din fig..6, b şi principiul lui d Almbrt (chilibrul dinamic al cuplurilor xtrioar şi d inrţi), cuaţiil d mişcar s scriu sub forma

122 4 VIBRAŢII MECANICE sau J && θ + K θ + K J J && θ + K J && θ + && θ θ K ( θ θ ), ( θ θ ), ( K + K ) θ K θ, K θ + ( K + K ) θ. (.45) Acsta st un sistm d cuaţii difrnţial asmănator sistmului (.). Există o analogi compltă într sistml în vibraţii d translaţi şi cl în vibraţii torsional, chivalntul arcurilor, maslor şi forţlor fiind rspctiv arcuril d torsiun, discuril (car au momnt d inrţi masic) şi cupluril. Toat rzultatl stabilit în. s pot aplica sistmlor torsional. În continuar s studiază doar sistm car pot ava mişcări gnral d corp rigid, fără constrângri... Sistmul disc-arbor-disc Arborl dintr o pompă (sau un vntilator) şi motorul lctric d acţionar s poat roti în lagăr ca un corp rigid. Există numroas sistm inginrşti car pot fi modlat printr-un sistm torsional cu două discuri, fără constrângri la rotaţi (fig..7). Cl două discuri, car modlază rotoarl motorului şi maşinii antrnat, sunt lgat printr-un arc torsional car modlază arborii (conducător şi condus ai) clor două maşini şi cuplajul dintr acştia. Momntl d inrţi masic polar al discurilor s notază J şi J, iar rigiditata torsională a arborlui d masă nglijabilă s notază K G I p l. Ecuaţiil d mişcar pot fi scris matricial J sau, în formă compactă, J && θ + K θ K θ, J && θ K θ + K θ, && θ K + J && θ K [ J ]{ θ& } + [ K ]{ θ } { } &. (.46) K θ, (.46, a) K θ Matrica d rigiditat [ ] K st pozitiv smidfinită. Doarc sistmul nu st lgat d un rpr fix, matrica d rigiditat st singulară. Sistmul s poat roti libr, având o mişcar d corp rigid în car nrgia potnţială st nulă.

123 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 5 Aparnt, sistmul ar două grad d librtat. Totuşi, adunând cuaţiil (.46), s obţin J & θ + J & θ, (.47) astfl că cl două coordonat θ şi θ nu sunt indpndnt. Intgrând, s poat obţin o rlaţi d lgătură într l, car poat fi utilizată pntru a limina una din coordonat din formulara problmi. Fig..7 Împărţind prima cuaţi (.46) cu J, a doua cuaţi cu J şi scăzând cuaţiil rzultat, s obţin ( θ θ ) & θ && K K θ + +. (.48) J J Notând unghiul d răsucir θ θ θ, cuaţia (.48) dvin J J J + J & θ + K θ, (.48, a) car ar forma cuaţii d mişcar a unui sistm cu un grad d librtat.... Moduril proprii d vibraţi Înlocuind în (.46) soluţii d forma θ θ () t a cos ( ω t ϕ), () t a cos( ω t ϕ), (.49) s obţin sistmul d cuaţii algbric liniar

124 6 VIBRAŢII MECANICE Împărţind prin K şi notând ( K Jω ) a K a, K a + ( K J ω ) a. (.5) J ω K α (.5) cuaţiil (.5) dvin ( α ) a a J a + J, α a (.5). Ecuaţiil omogn simultan (.5) admit soluţii nbanal dacă dtrminantul coficinţilor variabillor a şi a st zro sau α J α (.5) J J J α + α J J Soluţiil cuaţii (.5, a) sunt. (.5, a) α, α + J J. (.54) Prima pulsaţi propri st dată d ω iar a doua d K J J ω +. (.55) Rădăcina ω arată că sunt posibil dplasări d corp rigid. Acsta pot fi produs d o dplasar unghiulară statică sau d rotira cu vitză unghiulară constantă. El nu sunt vibraţii propriu-zis. Soluţiil cuaţiilor (.46) sunt d forma θ θ () t C + C t + C sinω t + C cosω t, () t C + C t + ( J ω K )( C sinω t + C cosω t), und C,.., C4 sunt constant d intgrar. Forml modal sunt dtrminat d raportul μ a α. 4 a 4

125 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 7 Pntru primul mod μ ( a ) α a, (.56, a) ambl discuri au acaşi dplasar unghiulară, ca c dfinşt o rotaţi d corp rigid în car arborl nu st răsucit. Pntru modul al doila ( a a ) J μ α J, (.56, b) discuril vibrază în opoziţi. Arborl ar un punct nodal dispus mai aproap d discul cu momnt d inrţi mai mar. Forml modurilor proprii d vibraţi sunt przntat în fig..8. Fig..8 M... Răspunsul la xcitaţi armonică S considră sistmul din fig..6, acţionat d un cuplu armonic M cosω (n figurat) aplicat discului al doila. Ecuaţiil d mişcar sunt () t t J && θ + K θ K θ J, && θ K θ + K θ M Vibraţiil staţionar al acstui sistm sunt d forma θ () t Θ cosω t, θ ( t) Θ cosω t (.57) cosω t.. (.58)

126 8 VIBRAŢII MECANICE Rzultă cuaţiil algbric ( ) ( ). M J K K, K J K + Θ ω Θ Θ Θ ω (.59) a b Fig..9 Împărţind prin K şi notând α ω K J, s obţin ( ). K M J J, + Θ α Θ Θ Θ α (.6) Rzolvând pntru Θ şi Θ, utilizând rgula lui Cramr, rzultă K M J J J J J J J K M J J α α α α α Θ +, (.6) K M J J J J J J J K M α α α α α α Θ +. (.6)

127 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 9 Amplitudinil Θ şi Θ sunt rprzntat grafic în fig..9 în funcţi d pulsaţia xcitatoar. Ambl amplitudini unghiular dvin infinit când numitorul xprsiilor (.6)-(.6) st zro, dci când pulsaţia cuplului xtrior dvin gală cu una din pulsaţiil proprii. Există un fl d rzonanţă la pulsaţi nulă corspunzătoar modului d corp rigid şi o rzonanţă advărată la K J J ω +. Amplitudina discului al doila st zro când α. Acastă antirzonanţă apar la ω K J, pulsaţia propri a subsistmului format din arbor şi primul disc, car acţionază ca un absorbitor dinamic şi mnţin discul al doila fix în spaţiu.... Tnsiuni dinamic Amplitudina unghiului d răsucir al arborlui st M ΔΘ Θ Θ. (.6) J J + J K J α J Notând momntul d răsucir în arbor prin amplitudina sa st M t M cosω t, M M t K ΔΘ. (.64) J J + J α J J Tnsiunil tangnţial d răsucir sunt d forma amplitudina lor st und t τ τ cosω t, iar τ M t W p, (.65) W p st modulul d rzistnţă polar al scţiunii transvrsal a arborlui. Dacă arborl transmit o putr N, la vitza unghiulară constantă atunci tnsiunil d forfcar static sunt N M t st p ( ω W ) τ W N. (.66) N p ω N, Utilizând valoril lui τ şi τ N s poat fac un calcul al coficintului d siguranţă la obosală, considrând o variaţi în timp a tnsiunilor ca în fig...

128 VIBRAŢII MECANICE Fig.. amplitudin Exmplul.4 Sistmul torsional din fig..6 st acţionat d un cuplu armonic d M 4 Nm şi pulsaţi ω 4 rad s (n figurat). Ambl discuri au aclaşi momnt d inrţi masic polar J 57 gm. Arborl ar lungima l,4 m, diamtrul d, 4 m şi modulul d lasticitat transvrsal G 8GPa. S cr amplitudina tnsiunilor tangnţial dinamic din arbor. Rzolvar. Scţiuna transvrsală a arborlui ar caractristicil 4 I p π d, 77 mm şi 8 4 W p π d 6, 58 mm. Rigiditata torsională st K G I l 7, 6 N mm rad. Raportul adimnsional J ω K, 75 p α. Unghiul d răsucir M ( α ) 9 ΔΘ K 6, 6 rad. Amplitudina momntului d răsucir dinamic st M ( α ) 79 Nm M t. Amplitudina tnsiunilor tangnţial dinamic st τ M t Wp 4, 7 N mm... Sistm cu roţi dinţat Sistmul torsional din fig.., a ar un angrnaj cu roţi dinţat. Pinionul d p arborl ar raza (crcului primitiv) r iar roata d p arborl ar raza r. S prsupun că roţil dinţat sunt rigid, d inrţi nglijabilă şi în contact prmannt. Raportul d transmisi st r n θ i, (.67) r n θ und n şi n sunt turaţiil clor doi arbori, θ şi θ sunt dplasăril unghiular corspunzătoar. Sistmul torsional cu roţi dinţat st rdus la un sistm chivalnt fără roţi dinţat (fig.., b). În procsul d rducr, rigiditata arborlui chivalnt s dtrmină din condiţia galităţii nrgiilor potnţial

129 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE d und rzultă K ch θ θ ( K ) ral ( Kθ ) ch θ, ral ch K ral n n ral ch K ral i K ral. (.68) Fig.. Momntul d inrţi masic polar al discului chivalnt s dtrmină din condiţia galităţii nrgiilor cintic d und rzultă J ch & θ & θ ( J θ ) ral ( J & θ ) ch ral ch &, J ral n n ral ch J ral i J ral. (.69) Algând arborl ca rfrinţă, paramtrii chivalnţi ai arborlui sunt (fig.., b) i K K ch, J ch i J. (.7) Când roţil dinţat au inrţi nglijabilă, s aplică următoarl rguli pntru construcţia sistmlor chivalnt: S înlătură toat roţil dinţat şi s înmulţsc toat rigidităţil şi momntl d inrţi cu i, und -i st raportul într turaţia arborlui rdus şi turaţia arborlui d rfrinţă.

130 VIBRAŢII MECANICE După dtrminara formi modurilor d vibraţi al sistmului chivalnt, forml modal şi momntl d răsucir al sistmului ral s obţin utilizând rlaţiil d compatibilitat θ θ i, M M i. (.7) ral ch ch ral..4 Sistm ramificat cu roţi dinţat Sistmul ramificat din fig.., a ar roţi dinţat şi arbori cu inrţi nglijabilă. El poat fi înlocuit prin modlul chivalnt din fig.., b în car raportul d transmisi st -, înmulţind rigiditata şi momntul d inrţi din ramura - cu pătratul raportului d transmisi. Momntl d răsucir şi dplasăril unghiular în ramura rdusă chivalntă difră d valoril ral, conform rlaţiilor (.7). Fig.. Ecuaţiil d mişcar s pot scri folosind mtoda lmntlor finit. Un arbor d scţiun constantă st considrat un lmnt finit cu rigiditat la torsiun K. Punctl d lgătură al arborlui cu alt componnt al sistmului vibrator s numsc noduri (nu trbui confundat cu punctl fix al formlor modal), fiind numrotat şi în fig... Cupluril M şi M pot fi xprimat în funcţi d rotiril θ şi θ utilizând cuaţiil d chilibru şi rlaţiil cuplu/rotaţi M M M M K θ K θ pntru pntru θ, θ. (.7) Ecuaţiil (.7) s pot scri matricial sub forma

131 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE θ θ K K K K M M (.7) sau condnsat { } [ ] { } θ M, und [ ] st matrica d rigiditat a lmntului. Fig.. Utilizând cuaţia (.7), rlaţia cuplu-rotaţi pntru ficar arbor din fig.., b s poat scri θ θ K K K K M M, θ θ K K K K M M, 4 4 θ θ K K K K M M. Cl tri rlaţii d mai sus s pot xpanda după cum urmază 4 4 θ θ θ θ K K K K M M M M, 4 4 θ θ θ θ K K K K M M M M, 4 4 θ θ θ θ K K K K M M M M. Cupluril din sistm s obţin însumând cupluril car acţionază în ficar nod. Adunând matricil d rigiditat xpandat s obţin

132 4 VIBRAŢII MECANICE θ θ θ θ K K K K K K K K K K K K M M M M. (.74) Utilizând condiţia la limită 4 θ, s obţin matrica d rigiditat rdusă a sistmului. Rzultă cuaţiil d mişcar θ θ θ θ θ θ K K K K K K K K K J J && && &&. (.75) Eliminând coordonata θ folosind a tria cuaţi ( ) θ θ θ K K K K K s obţin două cuaţii d forma ( ) ( ). K K K K K K K K K K K J, K K K K K K K K K K K J θ θ θ θ θ θ && && (.76) După rzolvara problmi d valori proprii, pntru a dtrmina forml modal ral, amplitudinil unghiular Θ, dtrminat pntru sistmul chivalnt, trbui transformat în amplitudini ral folosind rlaţiil (.7). Un procdu mai dirct d rzolvar st przntat în Vibraţii d încovoir În acst paragraf s studiază bar şi cadr plan cu masa propri nglijabilă p car sunt montat mas rigid. La acst sistm st convnabilă utilizara flxibilităţilor în locul rigidităţilor, priml fiind cantităţi măsurabil xprimntal... Flxibilităţi (coficinţi d influnţă) Bara în consolă din fig..4, a st solicitată d forţl f şi f aplicat în punctl, rspctiv. Dplasăril transvrsal (săgţil) p dircţiil forţlor f şi f sunt y, rspctiv y.

133 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 5 Asupra uni bar cu acaşi rzmar (fig..4, b) s aplică o forţă d mărim gală cu unitata, în punctul p dircţia forţi f. Dplasăril în şi, p dircţiil y şi y, s notază δ, rspctiv δ. O forţă gală cu aplicată în punctul p dircţia forţi f produc dplasăril δ şi δ (fig..4, c). Rlaţiil într forţl f, f şi dplasăril total y, y s pot scri, aplicând principiul suprapunrii fctlor, sub forma y y δ δ f f + δ + δ Coficinţii δ ij s numsc flxibilităţi (coficinţi d influnţă). f f,. (.77) Prin dfiniţi, δ ij st dplasara (în punctul şi p dircţia) coordonati i datorită uni forţ d amplitudin gală cu aplicată (în punctul şi p dircţia) coordonati j. sau Fig..4 În notaţi matricială, rlaţiil (.77) dvin y y δ δ { y } [ δ ]{ f } und [ δ ] st matrica d flxibilitat a sistmului. δ δ f f (.77, a), (.78) Matrica d flxibilitat st simtrică [ δ ] T [ δ ], în virtuta tormi d rciprocitat a lui Maxwll: Dplasara într-un punct al uni structuri produsă d o forţă unitat aplicată în alt punct st gală cu dplasara în al doila punct produsă d o forţă unitat aplicată în primul punct (dplasăril d translaţi sau rotaţi, s măsoară în acaşi dircţi ca sarcinil forţă sau momnt).

134 6 VIBRAŢII MECANICE Doarc într-o cuaţi d forma { f } [ ]{ y } matrica [ ] matric d rigiditat, rzultă că [ ] [ δ ] st o sau, chivalnt, matrica d flxibilitat st invrsa matrici d rigiditat [ ] [ ] δ. (.79) Când în sistm sunt posibil mişcări d corp rigid, matrica [ ] st singulară şi [ ] [ ] δ nu xistă... Ecuaţiil d mişcar P bara cu grutat nglijabilă din fig..5, a şi cu modulul d rigiditat la încovoir EI const. sunt montat masl m şi m în punctl şi. Dacă intrsază numai dplasăril latral al clor două mas, mişcara sistmului st complt dtrminată d dplasăril y şi y, dci sistmul ar două grad d librtat. Fig..5 În vibraţii libr (fig..5, b), aplicând principiul lui d Almbrt, asupra sistmului acţionază doar forţl d inrţi f m & y, f m & y. (.8) Înlocuind acst forţ în rlaţiil (.77), s obţin cuaţiil difrnţial al mişcării δ m && y + δ m && y + y, (.8) δ m && y + δ m && y + y. În notaţi matricială [ b ]{ y& } + { y } { } &. (.8)

135 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 7 Matrica [ b ] poat fi dscompusă în produs sub forma b b b m [ b ] [ δ ][ m ] b δ δ und [ m ] st matrica diagonală a maslor. m δ δ m m, (.8) În cuaţiil (.8) cuplajul st produs d lmntl ndiagonal al matricii d flxibilitat... Moduri proprii d vibraţi Înlocuind soluţii d forma cuaţia (.8) dvin sau { } { a } ( ω t ϕ) y cos, (.84) ω [ b ]{ a } + { a } { }. (.85) ω [ b ]{ a } { a } Acasta st o problmă standard d valori proprii, în car λ ω sunt valoril proprii iar { a } sunt vctorii proprii. Valoril proprii sunt invrsl pătratlor pulsaţiilor proprii, iar vctorii proprii sunt vctorii modali car dfinsc forma modurilor proprii d vibraţi. sau Ecuaţiil (.85) s pot scri sub forma ( bω ) a + bω a, b ω a + ( b ω ) a. (.85, a) Condiţia d a ava soluţii nbanal conduc la cuaţia pulsaţiilor proprii 4 ( ω )( b ω ) b b ω b, 4 ( b b b ) ω ( b + b ) ω + b. (.86) Ecuaţia (.86) ar două rădăcini ral pozitiv ω şi pulsaţiilor proprii. ω, pătratl Forma modurilor proprii st dfinită d raportul μ a a, numit coficint d distribuţi, car dvin

136 8 VIBRAŢII MECANICE bω ω a μ, a b bω ω a μ. (.87) a b Exmplul.5 S cr moduril proprii d vibraţi al bari din fig..5, a und l l l, m m m şi E I const. Rzolvar. Coficinţii d flxibilitat au următoarl xprsii în car l δ 4EI, δ δ 48EI, δ EI. Matrica d flxibilitat st 5l 5 δ. 48EI 5 6 l [ ] Ecuaţia (.85) s poat scri sub forma 5 5 a 6 a a λ a λ 48 EI ml ω. l Fig..6 Ecuaţia pulsaţiilor proprii st λ λ sau λ 8λ + 7,

137 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 9 având rădăcinil λ 7 6 şi λ 976.,, Pulsaţiil proprii sunt ω, 65 EI ml, ω, 986 EI ml. Forml modal sunt dfinit d raportul μ a a λ 5 car ar valoril a λ a λ μ,, μ a,. 5 a 5 Forma modurilor proprii d vibraţi st rprzntată grafic în fig Vibraţiil libr S notază cu u u [ ] [ ] { u } { u } u (.88) u u matrica vctorilor modali normalizaţi, dnumită matrica modală. Dplasăril ral, notat în continuar prin { x } în loc d { } xprimat în funcţi d coordonatl modal ca în rlaţia (.) { x } [ u ]{ q } { u } q + { u } q Ci cos( ω i t ϕ i ){ u } i i y, pot fi. (.89) Constantl C i şi ϕ i s dtrmină din condiţiil iniţial al mişcării { x ( ) } C i cosϕ i { u } i, (.9) i { x ( ) } ω i Ci sinϕ i { u } i &. (.9) i T Înmulţind la stânga rlaţiil (.9) şi (.9) cu { u } j [ m ], utilizând rlaţiil d ortogonalitat (.8) - (.9) şi dfiniţiil (.5) şi (.8) al maslor modal T { } [ m ] { u } u, j j i M u m u, i, (.9) i i { } i [ ] { } i T

138 VIBRAŢII MECANICE rzultă T { u } [ m ]{ x ( ) } C j M j cosϕ j j, j, (.9) T { u } [ m ]{ x ( ) } ω j C j M j sinϕ j j &. j, (.94) Combinând cuaţiil (.9) şi (.94), şi schimbând indicl s obţin T { u } [ m ]{ x& i ( ) } T { u } [ m ]{ x ( ) } tgϕi, i, (.95) ω i i şi C i T T { u } [ m ]{ x( ) } { u } [ m ]{ x& ( ) } i i i i i. i, (.96) M cosϕ ω M sinϕ i i Exmplul.6 La sistmul din fig..7 s cr: a) să s dtrmin moduril proprii d vibraţi; b) să s stabilască cuaţiil vibraţiilor libr când masa ar o vitză iniţială vrticală v şi să s calculz cuaţia traictorii masi. Fig..7 Rzolvar. a) Fi y şi z componntl vrticală şi orizontală al dplasării instantan a masi m. Coficinţii d flxibilitat sunt δ yy l EI, δ yz δ zy l EI, δ zz l EI. 4 Ecuaţiil d mişcar au forma

139 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE Căutând soluţii d forma s obţin sistmul algbric und s-a notat y 4l l m && y + m && z + y, EI EI l l m && y + m && z + z. EI EI ( t ) u cos ( ω t ϕ), z ( t ) u cos ( ω t ϕ) ( 8 β ) u + u, u + ( β ) u, β 6EI ml ω., Ecuaţia pulsaţiilor proprii st 8 β, β β + 7, β având rădăcinil β 9 46, β 7574.,, Pulsaţiil proprii sunt ω, 857 EI ml, ω, 846 EI ml. Forma modurilor proprii st dfinită d coficinţii d distribuţi u u β 8 u 8, 44 u u β μ, μ, 44 u u. u Vctorii modali, normalizaţi cu primul lmnt gal cu unitata, sunt, 44 { u }, { } S pot stabili următoarl rlaţii u u u u, tgγ 44,, tgγ 44, u, 44., 5 γ, 5 γ + 9 γ,.

140 VIBRAŢII MECANICE În moduril proprii d vibraţi, masa m ar o mişcar rctilini. Vctorii T modali sunt ortogonali { u } { u } p dircţia, la. Mişcara în primul mod d vibraţi ar loc, 5 faţă d vrticală. Mişcara în al doila mod d vibraţi ar loc p dircţia, la, 5 faţă d vrticală, dci prpndicular p dircţia. Acasta s întâmplă doarc dplasara în coordonatl modal ar loc p dircţiil principal d flxibilitat. Matrica d flxibilitat 8 6EI l [ δ ] st un factor d proporţionalitat într vctorul componntlor y şi z al dplasării, şi vctorul componntlor f şi f al uni forţ aplicat în punctul d ataşar a masi y z y δ δ z yy zy δ yz f δ zz f Oz S considră sistmul d ax y, rotit cu un unghi γ faţă d sistmul d rfrinţă yoz. Transformara dplasărilor s scri y z. y z cosγ sinγ sinγ cosγ y z iar transformara forţlor st dfinită d f f y z cosγ sinγ sinγ cosγ f f y z. Noua rlaţi dplasări-forţ st y z und matrica d flxibilitat [ δ ] f f y z c s c s [ δ ] [ δ ] s în car s-a notat c cosγ şi s sinγ. c s În sistmul d rfrinţă rotit, matrica d flxibilitat st c

141 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) δ yyc + δ zzs + δ yzcs δ zz δ yy sc + δ yz c s δ δ zz δ yy sc + δ yz c s δ yys + δ zzc δ yzcs Există două unghiuri γ pntru car lmntl ndiagonal al matricii d flxibilitat s anulază, dat d δ yz tg γ, δ δ 8 yy zz, 5 γ,, 5 γ. Cl două soluţii γ şi γ dfinsc dircţiil principal d flxibilitat. Înlocuind acst unghiuri în xprsia lmntlor diagonal s obţin flxibilităţil principal δ yy + δ zz δ yy δ zz 5 ± l δ, ± + yz δ, 6 EI l δ, 544, EI l δ, 6. EI Smnificaţia fizică st următoara: o forţă aplicată p dircţia (sau ) produc o dplasar numai p dircţia (sau ). Dircţiil principal d flxibilitat coincid cu dircţiil vibraţiilor în moduril proprii (principal) d vibraţi. Pulsaţiil proprii sunt EI 85 EI ω,, m δ 544, ml ml EI 85 EI ω,. mδ 6, ml ml b) Pntru a dtrmina răspunsul libr la un impuls vrtical cu vitza v, întâi s calculază masl modal ( u + u) m ( +, 44 ), m ( u + u ) m ( +, 44 ) 6, m M m 76, M m 884. Condiţiil iniţial sunt { x ( ) }, { ( ) } Din rlaţiil (.9) şi (.96) rzultă v x&..

142 4 VIBRAŢII MECANICE cosϕ, cosϕ, C m v ϕ, sin ωm C m v ϕ. sin ω M a Fig..8 b Fig..9 Componnta vrticală a dplasării instantan st y () t C cos ( ω t ϕ ) u + C cos ( ω t ϕ ) u, und m v m v, ω M ω M () t sinω t + sinω t y () t C (, 59 sinω t +, 5 ω t) y sin,

143 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 5 ml C v,, v C E I ω 85, ω, 85v C. Componnta orizontală a dplasării instantan st z () t C cos ( ω t ϕ ) u + C cos ( ω t ϕ ) u, m v m v, ω M ω M () t u sinω t + u sinω t z () t C (,487 sinω t 56, ω t) z sin. Traictoria masi m st rdată fig..8, a pntru o durată a mişcării gală cu π ω, iar în fig..8, b pntru o durată 4π ω. Variaţia în timp a componntlor y şi z st rprzntată grafic în fig..9. Dplasara orizontală st aproap armonică doarc al doila trmn din xprsia acstia ar o amplitudin mai mică dcât a primului trmn...5 Răspunsul la xcitaţi armonică S considră vibraţiil staţionar ar bari din fig.., a sub acţiuna f t F cos ω aplicată masi m. forţi () t Ecuaţiil d mişcar sunt Fig..

144 6 VIBRAŢII MECANICE sau y y δ δ δ δ m m && y && y m m && y + + δ + δ && y + m m Înlocuind soluţiil staţionar ( f m && y ) δ, ( f m && y ) δ, && y && y + y + y δ δ f ( t) f, (). t (.97) () t Y cosω t, y ( t) Y cosω t, y în cuaţiil (.97), rzultă sistmul algbric ( ω δ m) Y ω δ m Y δ F, ω δ m Y + ( ω δ m ) Y δ F. Amplitudinil dplasărilor maslor sunt Y Y ( δ m + δ m ) ω + m m ( δ δ δ ) δ mω ( δ δ δ ) ( δ m + δ m ) ω + m m ( δ δ δ ) δ ω ω 4 4 F F,. (.98) (.99) Numitorul st polinomul caractristic, mmbrul stâng al cuaţii (.86). a Fig.. b Valoril absolut al amplitudinilor Y şi Y sunt rprzntat grafic în funcţi d pulsaţi în fig... Când pulsaţia forţlor dvin gală cu o pulsaţi propri a sistmului, amplitudinil crsc nlimitat. Sistmul ar două rzonanţ, marcat prin vârfuri infinit în curbl d răspuns în frcvnţă.

145 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 7 Antirzonanţa apar când Y, la o pulsaţi dată d δ ω a. (.) m ( δ δ δ ) Dacă s cunosc amplitudinil dplasărilor răspunsului forţat, s pot calcula amplitudinil forţlor d inrţi c acţionază asupra maslor, dci amplitudinil forţlor dinamic car acţionază asupra bari (fig.., b) sunt mω Y Φ, Φ m ω Y + F. (.) S poat construi apoi diagrama momntlor încovoitoar dinamic (fig.., c), p baza căria s pot calcula tnsiunil dinamic produs d forţa armonică. Exmplul.7 Bara cu grutat propri nglijabilă din fig.., a ar diamtrul d 4 mm, l m, E GPa şi m 5 g. a) Să s calculz pulsaţiil proprii; b) Să s dtrmin amplitudinil vibraţiilor forţat produs d o forţă d amplitudin F N şi frcvnţă, 79 Hz ; c) Să s trasz diagrama momntlor încovoitoar static şi să s dtrmin tnsiunil static maxim; d) Să s trasz diagrama momntlor încovoitoar dinamic şi să s calculz amplitudina tnsiunilor dinamic maxim. Rzolvar. Coficinţii d flxibilitat sunt l l δ 6EI, δ δ 8EI, δ 4EI. Notând 4EI λ, ω ml cuaţia pulsaţiilor proprii st cu rădăcinil λ 8 6 Pulsaţiil proprii sunt 5l, λ λ +, λ 5 λ, λ., ω, 477 EI ml 7 rad s,

146 8 VIBRAŢII MECANICE, ω, 464 EI ml 56 rad s. Fig.. Pntru datl numric al problmi, pulsaţia xcitatoar corspund uni valori λ. Din rlaţiil (.99) s obţin amplitudinil dplasărilor Y Y λ ( λ )( λ ) 5λ ( λ )( λ ) F 8mm,, mω F 5, mm. mω Pntru încărcara statică din fig.., b, diagrama momntlor încovoitoar static st przntată în fig.., c. Momntul încovoitor maxim st 68 Nm iar tnsiuna statică maximă st σ st 58,5 N mm. Amplitudinil (.) al forţlor dinamic sunt

147 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 9 6λ Φ mω Y F 5 N, ( λ )( λ ) 5λ Φ mω Y + F 5 N ( )( ) F. λ λ Pntru încărcara dinamică din fig.., d, diagrama momntlor încovoitoar dinamic st przntată în fig..,. Momntul încovoitor maxim st 87, 5 Nm iar tnsiunil dinamic maxim sunt σ 4 N mm. d.4 Vibraţii cuplat d translaţi şi rotaţi Când rzultanta forţlor car acţionază asupra unui corp rigid rzmat lastic nu trc prin cntrul său d grutat, moduril d vibraţi d translaţi şi d rotaţi sunt cuplat. Astfl d cuplaj apar la vibraţiil automobilului p suspnsii, al motorului automobilului p flxiblocuri, al rotoarlor rzmat în două lagăr, al maslor în consolă la absorbitoarl dinamic d tip Stocbridg d la liniil d înaltă tnsiun şi în gnral la bar în consolă cu discuri în capăt..4. Ecuaţiil d mişcar Corpul rigid din fig.., a ar masa m şi momntul d inrţi masic faţă d cntrul d grutat J, fiind rzmat la capt p arcuri cu rigidităţil, rspctiv. S poat considra că punctl rigidului s dplasază numai p vrticală. Mişcara acstuia st complt dfinită d două coordonat: x dplasara liniară a cntrului d grutat G, şi θ unghiul d rotaţi faţă d G. scri sau Utilizând diagrama forţlor din fig.., b, cuaţiil d mişcar s pot m && x + J && θ m && x + J && θ + În formă matricială ( x lθ ) + ( x + l θ ), ( x l θ ) l + ( x + l θ ) l ( + ) x + ( l l ) ( l l ) x + ( l + l ) θ. θ, (.) m && x + J && θ l + l l l l + l x. (., a) θ

148 4 VIBRAŢII MECANICE Dacă l l mişcăril sistmului s dcuplază. Sistmul ar două pulsaţii proprii indpndnt una pntru translaţi pură şi una pntru rotaţi pură ( ) m ω şi ( l + ) J x + θ l ω. (.) Pntru cuplaj zro, o forţă aplicată în cntrul d grutat produc doar translaţi vrticală x, în timp c un cuplu aplicat rigidului produc doar o rotaţi θ. Cuplajul st produs d lmntl ndiagonal al matricii d rigiditat, motiv pntru car st dnumit cuplaj static. Fig.. Mişcara rigidului mai poat fi dfinită şi d alt două coordonat, dplasăril liniar al xtrmităţilor (punctl d ataşar a arcurilor) x şi x. Transformara într cl două sturi d coordonat st dfinită d rlaţia x l l x θ l + l x. (.4) Înlocuind (.4) în cuaţia (., a) şi înmulţind la stânga cu transpusa matricii d transformar din (.4) s obţin următoarl cuaţii d mişcar ( l + l ) ml + J ml l J && x x + ml + x l J ml J && x ( l + l ). (.5) Cuplajul st produs d lmntl ndiagonal al matricii d masă, motiv pntru car st numit cuplaj dinamic. Dacă J ml l mişcara combinată d translaţi şi rotaţi poat fi xprimată ca o sumă d vibraţii unghiular, una faţă d capătul din drapta al rigidului, calaltă faţă d capătul din stânga al acstuia.

149 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE Moduril proprii d vibraţi Dacă s notază ( ) m, ( l ) m a + b l l, c ( l + ) J, cuaţiil (.) dvin && x + a x + bθ, (.6) r && θ + b x + c r θ, und r J m st raza d giraţi a corpului rigid. Admiţând soluţii d forma () t A ( ω t ϕ), θ ( t) Aθ cos( ω t ), x x cos ϕ (.7) s obţin sistmul d cuaţii algbric ( a ω ) A x + b Aθ, b A + ( c ω ) r A. x θ (.8) Ecuaţiil (.8) admit soluţii nbanal dacă dtrminantul coficinţilor variabillor A x şi A θ st zro sau 4 a ω b b ( c ω ) ( a + c) ω + ( a c b r ) r (.9) ω. (.9, a) Rădăcinil cuaţii pulsaţiilor proprii (.9, a) sunt ( a + c) ± ( a c) b r, 4 + ω. (.) Prima pulsaţi propri ω st totdauna mai mică dcât doua pulsaţi propri ω st totdauna mai mar dcât ω x şi ω θ. ω x şi ω θ, iar a Forma modurilor proprii s obţin înlocuind pulsaţiil proprii, p rând, în raportul amplitudinilor μ μ ( A A ) b ( a ω ) x ( A A ) b ( a ω ). x θ θ, (.)

150 4 VIBRAŢII MECANICE Exmplul.8 Să s dtrmin moduril proprii d vibraţi al sistmului din fig.. dacă l l 4, l l 4, şi J m l 8. Rzolvar. Ecuaţiil (.8) au forma Notând cuaţiil dvin ω A m l A m x ω m α, ( α ) l A x + x l + A m θ 5 l + ω m 8 A Ecuaţia pulsaţiilor proprii st x l + A θ l 8,, A ( 5 α ) A. θ θ. având rădăcinil α 7α + 8 α 48, α 5 56.,, Pulsaţiil proprii sunt ω,99 m, ω,58 m. Fig..4

151 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 4 Forma modurilor proprii (przntată în fig..4) st dfinită d A A θ l x 4 α A 4, 8, θ l α, 78. A x Invrsl cu smn schimbat al rapoartlor amplitudinilor dfinsc poziţia punctlor nodal faţă d cntrul d grutat, cu valori pozitiv spr drapta A x d 56 A, 8, A x, d 56 θ l A, 78,. θ l 4 4 Pulsaţiil vibraţiilor dcuplat d translaţi şi rotaţi sunt ω x, 44 m, ω θ,6 m. În acst caz, s stabilsc următoarl ingalităţi ω < ω x < ω θ <. ω Exmplul.9 Să s calculz moduril proprii d vibraţi al sistmului din fig..5, a compus dintr-un corp rigid lung, d masă m şi momnt d inrţi masic J m l 8 ataşat la capătul uni bar în consolă, cu modulul d rigiditat la încovoir EI. a Fig..5 b Rzolvar. Mişcara corpului rigid st dfinită prin dplasara liniară x a cntrului d grutat G, şi prin unghiul d rotaţi θ faţă d G.

152 44 VIBRAŢII MECANICE Ecuaţiil d mişcar s pot scri, aplicând principiul suprapunrii fctlor, sub forma rlaţiilor într forţa d inrţi F mω x, cuplul d inrţi M Jω θ şi dplasăril d translaţi x şi rotaţi θ x δ θ δ F + δ F + δ În fig..5, b s-au construit două diagram d momnt încovoitoar, mx pntru încărcara cu o forţă gală cu aplicată în punctul G p dircţia lui F, şi mθ pntru încărcara cu un cuplu gal cu aplicat în punctul G p dircţia lui M. Diagraml sunt folosit la calculul coficinţilor d flxibilitat cu ajutorul mtodi Mohr-Maxwll. Dplasăril p dircţiil x şi θ s notază δ şi δ, rspctiv δ şi δ. Coficinţii d flxibilitat sunt M, M. und δ EI, δ δ EI, δ l EI. l l Înlocuind în cuaţiil d mişcar, rzultă β x x + lθ, β θ x + θ, l β EI ml ω. Fig..6 Ecuaţia pulsaţiilor proprii st β 9β +, având rădăcinil β 4 96 şi β 4.,,

153 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 45 Pulsaţiil proprii sunt ω, 9 EI ml, ω, 7 EI ml. Forma modurilor proprii (fig. 4.6) st dfinită d A β θ l A β, 9 A, 8, 597 x θ l A. x.5 Pndul cuplat lastic Un fnomn intrsant apar la vibraţiil libr al pndullor cuplat, când ar loc un trasfr continuu al mişcării d la un pndul la clălalt datorită cuplajului slab printr-un lmnt lastic d rigiditat rlativ mică..5. Ecuaţiil d mişcar S considră două pndul simpl (fig..7, a), d lungim l şi masă m ficar, oscilând în plan vrtical. Pndull sunt cuplat într l cu ajutorul unui arc d rigiditat, ataşat la o distanţă d d punctl d suspndar a pndullor. Arcul st ntnsionat când pndull sunt în poziţi vrticală. Fig..7 Algând drpt coordonat unghiuril d înclinar al pndullor θ şi θ şi prsupunând că sistmul fctuază oscilaţii d amplitudini mici, xprsiil nrgiilor cintică şi potnţială sunt ( & θ & θ ) T ml +, (.)

154 46 VIBRAŢII MECANICE ( ) ( ) ( ) cos cos θ θ θ θ + + d mg mg U l l, sau ( ) ( ) θ θ θ θ + + d m g U l. (.) Utilizând cuaţiil lui Lagrang d d + r r r q U q T q T t &,, r (.4) s obţin următoarl cuaţii d mişcar ( ) ( ). d mg m, d mg m θ θ θ θ θ θ θ θ l && l l && l (.5) În formă matricială, cuaţiil d mişcar s scriu sub forma θ θ θ θ d mg d d d mg m m l l && && l l. (.5, a) Cuplajul st produs d arcul..5. Moduril proprii d vibraţi Înlocuind soluţii d forma ( ) ϕ ω θ t a cos, ( ) ϕ ω θ t a cos în cuaţiil difrnţial (.5), s obţin sistmul algbric omogn ( ) ( ). a d m mg a d, a d a d m mg l l l l ω ω Ecuaţia pulsaţiilor proprii st ( ) ( ) + d d m g m l l ω sau l l l l m g d g m d g ω ω. Pulsaţiil proprii sunt

155 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 47 g ω, l g d ω + l l. (.6) m Forma modurilor proprii st dfinită d rapoartl amplitudinilor a μ +, a μ. (.7) a a În primul mod (fig..7, b), pndull oscilază în fază, cu amplitudini gal. Arcul d cuplaj nu st tnsionat iar pndull oscilază ca şi cum nu ar fi cuplat. Pulsaţia propri a sistmului st gală cu ca a unui singur pndul g l. În modul al doila (fig..7, c), pndull oscilază în antifază, cu amplitudini gal şi d sns opus. Datorită fctului rigidizant al arcului d cuplaj, pulsaţia propri st mai mar dcât în primul mod. sau.5. Vibraţii libr Soluţia gnrală a vibraţiilor libr (.4) st () t C cos ( ω t ϕ ) u + C ( ω t ϕ ) u θ cos, () t C cos ( ω t ϕ ) u + C ( ω t ϕ ) u θ cos, () t a cos ( ω t ϕ ) + a ( ω t ϕ ), () μ a cos ( ω t ϕ ) + μ a ( ω t ϕ ) θ cos θ t. cos Drivând în raport cu timpul, rzultă () t ω a sin ( ω t ϕ ) ω a ( ω t ϕ ) & θ, sin () t μ ω a sin ( ω t ϕ ) μ ω a ( ω t ϕ ) & θ. sin Constantl d intgrar s dtrmină din condiţiil iniţial. Dacă st dplasat numai pndulul din stânga astfl încât θ ( ) θ, θ ( ), & θ ( ), ( ) Doarc μ şi μ, s obţin θ &. (.8) a cosϕ + a cosϕ θ, a cosϕ a cosϕ, ω a sinϕ + ω a sinϕ, ω a sinϕ ω a sinϕ,

156 48 VIBRAŢII MECANICE und sinϕ sinϕ, ϕ ϕ, a ϕ ϕ θ, a a. cos a cos θ Valoril instantan al dplasărilor unghiular sunt θ θ θ () t ( cosω t + cosω t ) θ θ cosω t cos Δω t, () t ( cosω t cosω t ) θ sinω t sin Δω t, m ( ω ω ) şi Δω ( ω ω ) ω + m m. (.9) Când Δ ω st mic în raport cu ω m, produsl din rlaţiil d mai sus rprzintă oscilaţii modulat în amplitudin, numit bătăi. Acastă condiţi st chivalntă cu ω ω ω <<, g d g g + << sau l ml l l gml <<, d dci bătăil pot apar doar pntru valori mici al rigidităţii a arcului d cuplaj. Fig..8 Rlaţiil (.9) arată că θ şi θ sunt dat d funcţii sinus şi cosinus car sunt dfazat într l cu 9. Când θ θ, atunci θ şi rciproc (fig..8). Dfazajul într cl două mişcări st ( ω t ϕ ) ( ω t ϕ ) ( ω ω ) t ( ϕ ϕ ) Δω Δϕ ϕ t

157 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 49 având o variaţi lntă în timp. La t, unghiuril d înclinar au valoril θ θ, rspctiv θ. ωm π La Δ ω t π, înclinăril sunt θ şi θ θ sin θ, dacă ω m Δω n st număr întrg. Δω La Δ ω t π, înclinăril sunt θ şi ωm θ θ cos π θ, dacă Δω ω m Δω n st număr întrg. Prin condiţiil iniţial (.8) pndulul din stânga st mnţinut dplasat, în timp c pndulul din drapta st mnţinut vrtical, apoi pndull sunt librat (fig..9, a). La încput pndulul din stânga va oscila, în timp c pndulul din drapta va sta aproap fix. Apoi pndulul din drapta va oscila cu amplitudini tot mai mari, în timp c amplitudinil oscilaţiilor pndulului din stânga vor scăda. După un timp, pndulul din stânga va sta fix, în timp c pndulul din drapta va oscila cu amplitudina maximă (fig..9, d). Apoi fnomnul s rptă în ordin invrsă. Ar loc un transfr continuu d nrgi d la un pndul la clălalt până când amortizara inrntă (nglijată în acastă analiză) aduc sistmul în rpaus. Fig..9 Exprimată în funcţi d moduril d vibraţi componnt, mişcara poat fi privită ca suma a două mişcări armonic cu pulsaţiil proprii ω şi ω. S considră că iniţial mişcara în modul al doila st astfl încât pndull sunt îndpărtat unul d clălalt (fig..9, b). Dfazajul într moduri crşt în timp. Mişcara în modul al doila st mai rapidă dcât în primul mod, până când st dfazată 8 înainta primului mod (fig..9, c). Mişcara în modul al doila st astfl încât pndull s apropi unul d clălat. Însumând mişcăril, s ajung la situaţia când pndulul din stânga stă nmişcat, în timp c pndulul din drapta oscilază cu amplitudin maximă. În timp, amplitudina va crşt la pndulul din stânga şi întraga scvnţă s rptă.

158 5 VIBRAŢII MECANICE.6 Sistm amortizat În paragrafl prcdnt s-au studiat doar sistm namortizat. În continuar s introduc fctul amortizării vâscoas. În gnral, amortizara produc cuplara coordonatlor. Pntru simplificar, s va considra cazul spcial al amortizării proporţional. Valori rlativ mici al amortizării limitază amplitudina vibraţiilor la rzonanţă. Valori mai mari pot fac ca unl moduri să fi amortizat supracritic iar mişcara corspunzătoar să fi apriodică..6. Amortizara vâscoasă proporţională S considră sistmul din fig.., a. Disipara nrgii st convnabil modlată prin amortizara vâscoasă, rprzntată prin amortizoarl c şi c. Forţl d amortizar vâscoasă sunt proporţional şi d smn contrar cu vitza rlativă a captlor amortizoarlor (fig.., b). Ecuaţiil d mişcar s scriu însumând forţl car acţionază asupra ficări mas: ( ) ( ) ( ) ( ), x x c x x x m, x x c x x x c x x m & & && & & & && sau ( ) ( ). x x x c x c x m, x x x c x c c x m & & && & & && (.) Fig.. Cuplajul într cl două coordonat st produs d rigiditata şi d coficintul d amortizar c. În formă matricială, cl două cuaţii s scriu

159 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 5 m && x m && x c + c + c sau, în formă compactă, c x& c x& + + x x [ m ]{ x& } + [ c ]{ x& } + [ ]{ x } { }, (.) &, (., a) und [ c ] st matrica d amortizar, iar { x& } st vctorul vitzlor. Matrica d amortizar st simtrică, dci [ c ] [ c ] T. Matrica maslor st diagonală. Cuplajul st produs d lmntl ndiagonal al matricilor d rigiditat şi d amortizar. Ecuaţiil (.) pot fi rzolvat cu ajutorul analizi modal dacă transformara liniară bazată p matrica modală diagonalizază matrica d amortizar simultan cu matricil d masă şi d rigiditat. Acasta s obţin simplu dacă matrica d amortizar poat fi xprimată ca o combinaţi liniară a matricilor d masă şi d rigiditat, dci dacă [ c ] α [ m ] + β [ ], (.) und α şi β sunt constant. Acastă formă d amortizar s numşt amortizar proporţională sau amortizar d tip Rayligh. Există şi alt condiţii în car matrica amortizării modal dvin diagonală, dar acsta sunt cazuri spcial car s întâlnsc mai rar..6. Vibraţii libr amortizat Dacă s rzolvă problma namortizată (.), s obţin moduril proprii namortizat d vibraţii. Matrica modală (.4) s construişt cu vctorii modurilor normal p coloan. Utilizând transformara d coordonat { } [ u ] { q } şi înmulţind la stânga cu [ u ] T rzultă und x (.) [ M ]{ q& } + [ C ]{ q& } + [ K ] { q } { } &, (.4) T T T [ M ] [ u ] [ m ] [ u ], [ C ] [ u ] [ c ] [ u ], [ K ] [ u ] [ ] [ u ]. (.5) Matricil modal [ M ] şi [ K ] sunt diagonal, în timp c matrica [ C ] st diagonală doar în cazul amortizării proporţional, când

160 5 VIBRAŢII MECANICE und [ C ] α [ M ] + β [ K ]. (.6) În acst caz, s stabilsc următoarl rlaţii d ortogonalitat T { } [ c ] { u } u, r s, r,s, (.7) s r Cu amortizar proporţională, cuaţiil modal dcuplat sunt d forma M r şi M r q& C q& + K q, r, (.8) r + r r r r K r sunt dfiniţi d (.6) şi (.8), iar C r T { u } r [ c ] { u } r sunt coficinţii d amortizar modală., r, (.9) Pntru mas modal gal cu, rigidităţil modal sunt gal cu pătratul pulsaţii proprii rspctiv şi coficinţii d amortizar modală s pot scri sub forma ζ r ωr, und ω r st pulsaţia propri şi ζ r st raportul d amortizar modală al modului r. Ecuaţiil (.8) dvin r + r r r r r şi pntru < ζ r < au soluţii d forma (.46) x r a r sau q& ζ ω q& + ω q, r, (.) ζ t q () r t Ar r ωr sin ζr ωr t + φr. r, (.) Soluţiil (.) s pot obţin şi dirct. Căutând soluţii d forma st, cuaţiil (.) dvin m m s s a a + ( c + c ) s a c s a + ( + ) c s a + c s a a + a a, [ m s + ( c + c ) s + ( + )] a ( c s + ) ( c s + ) a + ( m s + c s + ) a. a a,, Condiţia d a ava soluţii nbanal conduc la cuaţia caractristică [ s + ( c + c ) s + ( + )]( m s + c s + ) ( c s + ) (.) m. (.) La sistm amortizat subcritic, cuaţia (.) ar două prchi d rădăcini complx conjugat, d forma

161 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 5 s σ ± ω, s 4 σ ± ω, (.4), i d, i d und ω d şi ω d sunt pulsaţiil proprii amortizat iar σ şi σ sunt factori d amortizar (constant d atnuar). Într paramtrii d mai sus şi valoril absolut al pulsaţiilor proprii (gal cu pulsaţiil proprii namortizat al sistmlor cu amortizar proporţională) şi rapoartl d amortizar s stabilsc următoarl rlaţii: σ r ζ ω, r r d r r ζr ω ω r, (.5, a) ζ r σ, ω + σ r d r r σ r ω r ω d r + σ r. r, (.5, b) ζ r Cu acst notaţii, xprsia (.) dvin r σ t ( t ) A ( ω t + ) q r sin φ. r, (., a) r d r Pntru valori rlativ mari al amortizării, cuaţia (.) poat ava fi două rădăcini ral şi două rădăcini complx conjugat, când unul din moduril d vibraţi st amortizat supracritic, fi două prchi d rădăcini ral, când ambl moduri sunt amortizat supracritic şi sistmul ar mişcar apriodică. Studiul acstor cazuri nu fac obictul acsti lucrări. Înlocuind soluţiil (.4) în (.), s obţin rapoartl amplitudinilor ( a a ) r car, dacă amortizara st proporţională, dfinsc moduri ral d vibraţi. Analiza d mai sus s rfră la sistm cu pulsaţii proprii distinct. Cazul pulsaţiilor proprii gal st tratat în alt lucrări. Exmplul. Să s calculz moduril d vibraţi al sistmului din fig.., luând pntru simplificar m,, c, m,, c 5, în unităţi adcvat. r Rzolvar. Ecuaţiil vibraţiilor proprii (.) sunt && x && x S obsrvă că + 5,, 5 Ecuaţiil (.) dvin, 5 x&, 5 x& + [ c ], 5[ ]. x x,.

162 54 VIBRAŢII MECANICE sau cu rădăcinil ( s + 5, s + ) a (, 5 s + ) a, (, 5 s + ) a + ( s +, 5 s + ) a. Ecuaţia caractristică st ( + 5, s + ) ( s +, 5 s + ) (, 5 s + ) s, 4 s +, 5 s + 5, 5 s + s +, s, ± i, s, 4 ± i. Părţil imaginar sunt pulsaţiil proprii amortizat ω 8 696, ω 7 9. d, d, Părţil ral sunt factorii d amortizar (constantl d atnuar) σ 5, σ 5.,, Pulsaţiil proprii namortizat sunt gal cu modull valorilor proprii ( 8) + ( 8) ( 7 ) + ( ) ω + σ ω d, ω + σ ω d. Rapoartl d amortizar modal sunt ζ σ 8 σ 76, ζ, 5. ω ω, Raportul amplitudinilor a a s + 5, s +, 5 s + s ar următoarl valori pntru cl două moduri a a, 5 s + +, 5s + a,. a Prin rzolvara problmi namortizat în Exmplul., s-au obţinut aclaşi pulsaţii proprii namortizat şi form al modurilor ral d vibraţi.

163 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 55 Exmplul. Să s calculz paramtrii modali ai sistmului din fig.. pntru aclaşi c,. valori al maslor şi rigidităţilor, dar cu amortizar mai mică [ ] [ ] ar rădăcinil sau Rzolvar. Ecuaţiil (.) dvin ( s +, s + ) a (, s + ) a, (, s + ) a + ( s +, s + ) a. Ecuaţia caractristică 4 s +, 5 s + 5, s +, 4 s +, 799 s, ± i, 4 4 s, 4 ± i 99 s,, 5 i,7666, s,, i,467. ± Pulsaţiil proprii amortizat sunt 4 ± ω 7666, ω 47. d, Factorii d amortizar au valoril d, σ 5, σ., Rapoartl d amortizar modal sunt, ζ, 5, ζ, 77. Pulsaţiil proprii namortizat şi forml modal sunt aclaşi ca în Exmplul...6. Răspunsul la xcitaţi armonică S considră vibraţiil sistmului cu două grad d librtat din fig.. sub acţiuna forţlor f () t şi f ( t). Fig..

164 56 VIBRAŢII MECANICE Ecuaţiil d mişcar sunt m m && x + && x ( c + c ) x& c x& + ( + ) x x f ( t) c x& + c sau în formă matricială compactă x& x + [ m ]{ x& } + [ c ]{ x& } + [ ] { x } { f } x f (), t, (.6) &. (.6, a).6.. Funcţiil d transfr Aplicând transformata Laplac cuaţii (.6, a) şi prsupunând toat condiţiil iniţial nul s obţin sau [ ] [[ m ] s + [ c ] s + [ ]]{ X ( s) } { F ( s) } [ () s ]{ X () s } { F( s) } (.7) B, (.8) und B () s st matrica sistmului. Înmulţind la stânga cu [ B ( s) ] [ H ( s) ] [ () s ]{ F() s } { X ( s) } [ ] rzultă H (.9) und H () s st matrica funcţiilor d transfr. Acasta st invrsa matricii sistmului. [ H ( s )] Pntru sistmul din fig.. acastă matric ar forma m s + c s + c s + c s + ms + ( c + c ) s + + (.4) [ m s + ( c + c ) s + + ] [ m s + c s + ] ( c s + ) Numitorul xprsii (.4) st dt [ B ( s) ] sistmului. Acsta poat fi scris sub formă d produs dt [ B () s ] A ( s s )( s s )( s s )( s s ),, polinomul caractristic al und A st o constantă şi s,.., s 4 sunt rădăcinil cuaţii caractristic (.). Doarc coficinţii cuaţii caractristic sunt rali, pntru valori rlativ mici al amortizării rădăcinil sunt complx conjugat. El s numsc polii funcţii d transfr. Rlaţia (.9) mai poat fi scrisă sub forma 4

165 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 57 h h () s h( s) () s h () s F F ( s) () s X X ( s). (.4) () s und l () s poat fi dtrminată xcitând sistmul în punctul j şi măsurând h j răspunsul în punctul l. D xmplu, h ( s) st o funcţi d transfr dirctă (în punctul d xcitaţi) obţinută xcitând sistmul cu F ( s) şi măsurând răspunsul X () s h () s () s () s A ( s s )( s s )( s s )( s s ) X m s + c s +. (.4) F Funcţiil d răspuns în frcvnţă O funcţi d răspuns în frcvnţă (FRF) st funcţia d transfr valuată p axa pulsaţiilor i ω. Înlocuind s iω în (.4) rzultă sau h h ( iω) h( iω) ( iω) h ( iω) F F ( ω) ( ω) [ H ( ω) ]{ F( ω) } { X ( ω) } X X ( ω) ( ω) i, (.4) und [ H ( iω) ] st matrica funcţiilor d răspuns în frcvnţă iar X ( ω), F ( ω) sunt transformatl Fourir al răspunsului, rspctiv xcitaţii. Răspunsul sistmului poat fi dfinit în domniul frcvnţlor prin sum d produs într funcţiil d răspuns în frcvnţă măsurat xprimntal şi transformatl xcitaţii X X ( ω) h( iω) F( ω) + h( iω) F( ω), ( ω) h ( iω) F ( ω) + h ( iω) F ( ω). j j (.4, a) Răspunsul forţat al sistmului în domniul timpului, x ( t) şi x () t, poat fi dtrminat apoi calculând transformatl Fourir invrs al răspunsului, X ( ω) şi X ( ω). Exmplul. Să s calculz matrica funcţiilor d răspuns în frcvnţă pntru sistmul h iω. cu două grad d librtat din Exmplul. şi să s trasz curbl FRF ( )

166 58 VIBRAŢII MECANICE Rzolvar. Înlocuind s iω, matrica FRF (.4) dvin [ H ( iω) ] ω + i, ω + i, ω + i, ω ω + i, ω. 4 ω 5, ω + + i (,5ω +, 4ω) Fig.. Fig..

167 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 59 Fig..4 Diagraml amplitudinii şi unghiului d fază al FRF sunt przntat în fig... Diagrama amplitudinii ar două vârfuri d rzonanţă. Datorită amortizării mai mari în modul al doila, vârful rspctiv d rzonanţă ar amplitudin mai mică. La rzonanţ, unghiul d fază st aproximativ 9. Diagraml componntlor rală şi imaginară sunt przntat în fig... Diagrama Nyquist st dată în fig..4 cu punct marcat la intrval gal d frcvnţă. la stânga cu [ u.6.. Rzolvar prin analiza modală Utilizând transformara d coordonat (.) { } [ u ]{ q } ] T, cuaţiil (4.6, a) dvin T [ M ]{ q& } + [ C ]{ q& } + [ K ] { q } [ u ] { f } { F } x şi înmulţind &. (.44) Cu amortizar proporţională, cuaţiil modal dcuplat au forma sau M q& + C q& + K q F, r, (.45) r r r r r r r r r r r r r q & + ζ ω q& + ω q F M. r, (.46) r r În cazul xcitaţii şi răspunsului armonic, s notază iω t { f } { fˆ } t, { x } { } iω x~, (.47)

168 6 VIBRAŢII MECANICE iω t { F } { Fˆ } dci transformara (.) s scri t, { q } { } { x~ } [ u ]{ q ~ } q ~ r{ u } r r q ~ iω, (.48), (.49) und o căciulă dasupra litri dnotă amplitudina rală iar o tildă dasupra litri dnotă amplitudina complxă. Înlocuind (.48) în cuaţiil (.45) şi (.46) rzultă q ~ r r T T { u } r { fˆ } { u } r { fˆ } ω M r + iω C r M ( ω ω + i ζ ω ω ). (.5) K r Normalizând vctorii modali astfl încât masl modal să fi gal cu unitata, M, înlocuind (.5) în (.49) s obţin r r r r sau { x~ } x~ x~ T { u } { fˆ }{ u } r r ω r ω + { u } { u } i ζ ω ω T r r r ω r ω + i ζrω ωr r r r fˆ fˆ. (.5) D obsrvat că produsul diadic { } { } T r u r u st o matric pătrată x. Matrica FRF (.4) poat fi xprimată în funcţi d paramtrii modali [ ( iω) ] T { u }{ u } { u } { u } T H +. ω ω + i ζωω ω ω + i ζωω (.5) u r ) j Dacă lmntul j al vctorului modal r s notază ( răspuns în frcvnţă ( iω) ( iω) h poat fi xprimată ca sumă d fracţii parţial j l ( u ) ( u ) ( u ) ( u ) j l j l ω + i ζ, atunci funcţia d h j l +. (.5) ω ω + i ζ ω ω ω ω ω Acastă xprsi arată xplicit contribuţia sparată a ficărui mod d vibraţi la răspunsul sistmului la o anumită pulsaţi.

169 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 6 Fig..5 Exmplul. Să s calculz dzvoltara în fracţii parţial a matricii FRF a sistmului cu două grad d librtat din Exmplul.. Rzolvar. Vctorii modali, normalizaţi cu mas modal gal cu, sunt { u }, { } 6 6 Matrica FRF (.5) dvin [ H ( iω) ] T u , 5 ω + i, 5ω ω + i, ω Pntru prima masă, FRF în punctul d xcitar st h ( iω) 6 +., 5 ω + i, 5ω ω + i, ω În figura.5 s przintă diagrama Nyquist (lini continuă) car s obţin prin însumara diagramlor construit pntru ficar trmn din dzvoltara în sumă d fracţii parţial (linii întrrupt). T

170 6 VIBRAŢII MECANICE.6.4 Amortizorul vâscos nacordat Amortizorul d vibraţii vâscos nacordat (amortizorul Houdaill) st utilizat la unl motoar cu ardr intrnă pntru a limita amplitudinil vibraţiilor torsional p un domniu larg d turaţii. El constă dintr-un disc rigid car s poat roti libr într-o cavitat cilindrică umplută cu un fluid vâscos. La motoarl d automobil acsta st plasat la capătul arborlui cotit, în roata car antrnază curaua vntilatorului. Arborl cotit st modlat simplificat ca o bară în consolă, cu rigiditata la răsucir K. Amortizorul ataşat la capătul libr ar o carcasă cu momntul d inrţi masic J (fig..6) în car s poat roti libr un disc cu momntul d inrţi masic J d, asupra căruia acţionază un cuplu d amortizar proporţional cu vitza unghiulară rlativă într carcasă şi disc. Dacă amortizorul st solicitat d un cuplu xtrior armonic M cosω t, cuaţiil d mişcar s pot scri J && θ + K θ J && θ c d d + c ( & θ & θd ) ( & θ & θ ), d M cosω t, (.54) und θ st rotira carcasi şi θ d st rotira discului intrior. Coficintul d amortizar ar xprsia (Harris şi Crd, 968) 4 4 b R R R c π μ +, (.55) h h und μ st vâscozitata uliului. şi notând Fig..6 Prsupunând soluţii d forma θ θ cosω t, θ θ cos( ω t ϕ) d d,

171 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 6 K ω n, J ω η, ω n ζ c ω, amplitudina adimnsională a carcasi st dată d J d n J d λ, (.56) J K θ M η η + 4ζ ( η ) + 4ζ ( η + λη ). (.57) Pntru o valoar dată λ, diagraml amplitudinii adimnsional K θ sunt przntat în funcţi d pulsaţia adimnsională η în fig..7, M pntru câtva valori al raportului d amortizar ζ. Fig..7 Pntru ζ, curba corspund unui sistm namortizat cu pulsaţia d rzonanţă ω n, a cărui amplitudin st infinită la η. Pntru ζ, curba corspund unui sistm namortizat cu pulsaţia d rzonanţă K J + ω +, în car discul şi carcasa amortizorului s mişcă ( ) λ J d n împrună ca o singură masă. Curbl trasat pntru acst două valori xtrm al η + λ. Pntru oric lui ζ s intrsctază în punctul M, d abscisă ( ) altă valoar a amortizării, toat curbl răspunsului trc prin acst punct. Există o valoar optimă a amortizării ζ opt (.58) + λ + λ ( )( ) pntru car amplitudina la rzonanţă st minimă şi gală cu ordonata ( λ) punctului M. M + a

172 64 VIBRAŢII MECANICE P baza cuaţiilor (.56) şi (.58) s poat proicta un amortizor d vibraţii torsional cu o curbă d răspuns aplatisată, ficint într-un domniu larg d frcvnţ xcitatoar..6.5 Absorbitorul d vibraţii amortizat Un absorbitor dinamic d vibraţii constă dintr-un sistm scundar masăarc ataşat sistmului primar (iniţial) masă-arc pntru a-l protja contra vibraţiilor. Principalul fct al ataşării unui sistm scundar st transformara dintrun sistm cu un grad d librtat într-un sistm cu două grad d librtat. Valoril paramtrilor fizici ai absorbitorului s alg astfl încât dplasara (sau alt paramtru cinmatic al) sistmului principal să fi minimă. Masa adăugată trbui să aibă o mişcar suficint d mar ca să absoarbă nrgia introdusă în sistm d forţa car acţionază asupra masi iniţial. Dacă s ţin cont d amortizara din sistmul scundar, dplasara masi principal nu poat fi rdusă la zro, însă domniul util d lucru al absorbitorului crşt, îmbunătăţindu-i ficinţa. Fig Sistmul primar acţionat d o forţă armonică S considră răspunsul armonic al unui sistm cu două grad d librtat, compus dintr-un sistm primar namortizat şi un absorbitor cu amortizar vâscoasă (fig..8, a). Un astfl d sistm s obţin prin liminara amortizorului c din sistmul przntat în fig... Dacă s anulază coficintul d amortizar c, şi s limină forţa f, cuaţiil (.6) pot fi rscris sub forma m m && x + c && x c ( x& x& ) + x + ( x x ) f( t) ( x& x& ) ( x x )., (.59) În rgim staţionar, cu forţă (d amplitudin constantă) şi răspuns armonic

173 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 65 iω t F f, x iω t X ~, x iω t X ~, (.6) cuaţiil (.59) dvin sub forma und x ( ) X ~ ( ) X ~ + mω + iω c iω c + ( i c ) X ~ ω + + ( m ω + iω c ) X ~. F, (.6) Amplitudina vibraţiilor sistmului primar X X ~ poat fi xprimată A ζ + st C ζ + X x st Fo, μψ θ B (.6) D A, ( B μ ψ θ ), μψ θ ( θ μθ ) ( ψ θ ) ( θ ) μ ψ θ C, D μ, ζ c ω m, (.6) μ m m, θ ω ω, ψ ω ω, ω m, ω m. Curbl d variaţi al raportului X xst în funcţi d pulsaţia adimnsională θ sunt przntat în fig..9, pntru valori dat μ şi ψ, şi câtva valori al raportului d amortizar ζ. Absorbitorul rduc amplitudina vibraţiilor sistmului primar d la valori infinit la o valoar finită mică, la θ. Când ζ, X xst B D. Când ζ, X xst A C. Curbl d răspuns trasat pntru cl două valori limită al amortizării s intrsctază în punctl R şi S. Toat curbl d răspuns al masi primar în sistmul cu absorbitor, trasat pntru difrit valori ζ, trc prin acst două punct, numit punctl fix. Variind raportul pulsaţiilor ψ, ordonatl clor două punct crsc sau scad. Cazul cl mai favorabil, în car s obţin valoara minimă a răspunsului dinamic maxim p întrgul domniu d pulsaţii, s poat obţin dacă sunt satisfăcut următoarl două condiţii (J. Ormondroyd şi J. P. dn Hartog, 98): a) Cl două punct R şi S să aibă ordonat gal. Acasta s ralizază dacă (E. Hahnamm, 9) raportul într pulsaţia propri a absorbitorului şi ca a sistmului primar st ψ opt. (.64) + μ

174 66 VIBRAŢII MECANICE b) Pantl curblor d răspuns în punctl R şi S să fi zro, dci cl două punct să dvină două maxim în curba d răspuns. Din păcat, pntru o valoar dată a raportului pulsaţiilor ψ, nu pot xista două maxim d ordonat gal. Totuşi, dacă panta în unul din punct st zro, panta în clălalt punct st foart apropiată d zro. Acasta s obţin atunci când răspunsul (dplasara) sistmului primar st X x st opt +. (.65) μ ( ) Pulsaţiil adimnsional la car apar cl două vârfuri (abscisl punctlor fix) au xprsiil ± ( + μ) θ. (.66) + μ Raportul pulsaţiilor θ la car apar minimul dintr cl două vârfuri st gal cu mdia aritmtică a valorilor d mai sus ( μ ) ψ raportul pulsaţiilor la car s acordază absorbitorul. +. Acsta st dci Fig..9 Coficintul d amortizar optim car rzultă din rspctara clor două condiţii s poat obţin drivând rlaţia (.6) în raport cu θ şi galând cu zro pntru ficar punct d intrscţi, rzultând două valori ζψ c m ω.

175 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 67 Difrnţa într acst valori crşt atunci când raportul μ (într masa absorbitorului şi masa sistmului primar) crşt. S obişnuişt să s alagă mdia aritmtică a acstor valori (J. E. Broch, 946) sau m μ 8 ( ) c ω + μ, μ ζ opt. (.67) 8 ( + μ ) În plus, dplasara rlativă într masa principală şi ca a absorbitorului X F X X (.68) μ θ ω ( c m ) trbui să fi rlativ mică, pntru a vita rupra prin obosală a arcului absorbitorului. Toria przntată, strict valabilă dacă sistmul primar st namortizat, poat fi xtinsă la sistm slab amortizat. Dacă s minimizază vitza masi sistmului primar (în locul dplasării) acţionat d o forţă armonică d amplitudin constantă, atunci paramtrii optimi ai absorbitorului dinamic au valoril (V. H. Nubrt, 964) ψ ( + μ + 5μ 4 ) + μ μ, ζ opt, (.69) + μ 8 ( + μ )( + μ ) opt X & + μ. (.7) ω F μ + μ opt Dacă asupra masi sistmului primar acţionază o forţă armonică cu aplitudina proporţională cu pătratul pulsaţii m rω, atunci paramtrii optimi ai absorbitorului dinamic au valoril (G. B. Warburton şi E. O. Ayorind, 98) ψ + opt, μ mx m r opt μ ζ opt, (.7) 8 + μ μ ( + μ ) ( + μ ). (.7)

176 68 VIBRAŢII MECANICE.6.5. Sistmul primar acţionat la bază cu o acclraţi armonică Dacă suportul sistmului primar vibrază cu o acclraţi armonică d amplitudin constantă X & şi s minimizază acclraţia masi sistmului primar, atunci paramtrii optimi ai absorbitorului dinamic au aclaşi valori (.64), (.65) şi (.67) ca în problma clasică (F. M. Saur şi C. F. Garland, 949). 98) Dacă însă s minimizază dplasara masi m, atunci (G. B. Warburton, ( + μ ) ( 7 4) μ + μ μ ψ opt, (.7) ζ opt ω X X&& ( μ + 5, μ, 8μ ) (, 5μ μ, 5μ ) μ, (.74) 8 opt ( + μ + 5, μ +, 75μ +...) μ. (.75) Pntru ca ψ să fi ral, raportul maslor μ < 7. Exprsiil (.74) şi opt (.75) s-au obţinut prin dzvoltări în sri car asigură o prcizi d,% pntru μ, Amortizorul sistmului scundar ataşat d un rpr fix În fig..8, b s przintă o variantă a absorbitorului dinamic amortizat, în car amortizorul nu st ataşat d sistmul primar ci d un rpr fix. Amplitudina vibraţiilor sistmului primar st dată d xprsia (.6) und A, B şi D sunt dat d (.6) iar C ψ θ ( θ + μψ ). Aplicând mtoda optimizării bazată p toria punctlor fix (M. Z. Rai, ), s obţin condiţia d acordar optimă şi amortizara optimă ψ opt (.76) μ μ ζ opt. (.77) 8 ( + μ ) În acst condiţii, răspunsul (dplasara) sistmului primar maxim st

177 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 69 X ( μ ) x st opt. (.78) μ Comparând xprsiil (.65) şi (.78) s obsrvă că, pntru aclaşi raport al maslor μ, din rlaţia (.78) rzultă un nivl al vibraţiilor masi principal mai mic dcât din rlaţia (.65). Dci, fără a crşt masa adiţională, nivlul vibraţiilor masi m poat fi rdus mai ficint lgând amortizorul la un punct fix Aplicaţii al absorbitorilor dinamici d vibraţii Rlaţiil obţinut pntru paramtrii absorbitorului optim pot fi utilizat şi atunci când sistmul principal st un corp lastic, cu condiţia ca acsta să aibă pulsaţii proprii bin sparat, amortizar rlativ mică şi să s utilizz în calcul masa fctivă a acstuia. Sistmul ral st înlocuit cu un sistm chivalnt cu un grad d librtat. Masa distribuită st concntrată în punctul d ataşar a absorbitorului, în car s poat calcula rigiditata chivalntă a sistmului. 9. Absorbitorul dinamic a fost invntat d H. Frahm în 99 şi patntat în La conductoarl lctric arin al liniilor d înaltă tnsiun apar vibraţii transvrsal cu frcvnţ într 5 şi 5 Hz şi amplitudini d ordinul diamtrului conductorului, produs d curnţi d ar cu vitz într şi 8 m/s. Problma a fost studiată prima dată în 95 la linia d V dintr Big Cr şi Los Angls, pntru car G. H. Stocbridg a proictat un absorbitor dinamic cu două grutăţi din bton dispus la captl uni tij din oţl montat sub conductorul lctric în punctul d amplitudin maximă a vibraţiilor. În prznt, absorbitorul Stocbridg simtric s construişt în soluţia Monro-Tmplin (fig..4). Fig..4 Acsta constă dintr-un cablu toronat (car ar amortizar, datorită frcării într fir) cu două grutăţi (mtalic cilindric) la capt, fixat cu o bridă cntrală sub conductorul lctric, dobici în apropira stâlpului d susţinr. Absorbitorul st un lmnt ractiv, car absoarb nrgia vibraţiilor linii arin, ralizând o cvasi-antirzonanţă, dci un punct aproap fix în apropira stâlpului, limitând astfl solicităril mari din punctul d prindr d

178 7 VIBRAŢII MECANICE stâlp al conductorului lctric. Există o gamă largă d absorbitori Stocbridg, pntru conductoar cu diamtr până la 75 mm şi dschidri până la 67 m. Dobici, absorbitorul st acordat p frcvnţl forţlor transvrsal armonic produs d dsprindra vârtjurilor altrnant d tip Kármán. Acsta s calculază p baza vitzi vântului, diamtrului conductorului şi numărului Strouhal al curgrii. Sub acţiuna vântului şi cutrmurlor, clădiril înalt au vibraţii latral şi vibraţii torsional. Pntru limitara acstora, s utilizază absorbitori dinamici amplasaţi la un taj suprior, conform schmi din fig..4. Fig..4 Prima aplicaţi d acst fl s-a utilizat la clădira John Hancoc Towr din Boston, Massachusstts, în urma plângrilor locatarilor dranjaţi d vibraţiil clădirii produs d vânt (976). La xtrmităţil tajului suprior au fost instalat două mas d cât ton (plumb în cutii d oţl) acţionat hidraulic, sistmul scundar având prioad proprii până la 7 scund şi amplitudini până la,8 m. Când clădira s clatină sub acţiuna vântului, grutăţil tind să rămână fix în spaţiu, prmiţând podli să alunc sub l, arcuril şi amortizoarl acţionând asupra structurii din oţl, rducând vibraţiil. A doua aplicaţi a fost la Citycorp Cntr din Manhattan (977), absorbitorul având o grutat din bton d 6 ton, acţionată hidraulic p două dircţii prpndicular într l. Sistmul hidraulic car ralizază suspnsia st pornit automat când vibraţiil produs d vânt dpăşsc un anumit nivl. Oscilaţiil masi absorbitorului dinamic priau din nrgia vibraţiilor clădirii, ralizând o rducr până la 5% a amplitudinii acstora. Soluţia st mai iftină dcât rigidizara structurii. Turnul Taipi ar la tajul 88 un absorbitor dinamic cu o masă sfrică d 7 ton suspndată pndular p cabluri. Hotlul Burj al-arab din Dubai ( m) ar opt absorbitori dinamici orizontali montaţi la înălţima d 8 m în braţl xtrioar din oţl şi tri absorbitori plasaţi în vârful catargului antni. Absorbitori dinamici sunt montaţi şi în antnl clor două clădiri Emirats Towrs din Dubai şi în turnul tlviziunii din Brlin.

179 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 7 Absorbitorii dinamici pot fi utilizaţi pntru atnuara vibraţiilor blocurilor d fundaţii al comprsoarlor cu piston. O soluţi car utilizază absorbitori cu mas din fontă, montat p arcuri din oţl în consolă, st przntată în fig..4 (Allaway şi Grootnhuis, 965). Fig..4 În fig..4 s przintă absorbitori utilizaţi la maşini lctric (J. Ormondroyd şi J. P. dn Hartog, 98). P pidstalul lagărului xtrior al unui turbognrator d MW s-au înrgistrat vibaţii axial d 7 μ m la turaţia d 8 rot min. S-au montat doi absorbitori constând dintr-o bară în consolă, d lungim,5m şi scţiun transvrsală 67 mm, şi o grutat d N cu poziţi rglabilă p vrticală, calculată să aibă o frcvnţă propri d Hz. Amplitudina vibraţiilor a fost rdusă la 48 μ m. Fig..4 Poduril pntru pitoni şi pasarll pot vibra sub acţiuna vântului sau a forţlor produs d trcra pitonilor. Sunt cunoscut problml ridicat d vibraţiil latral al podului Millnium Bridg din Londra (cu amplitudini până la 7 mm la frcvnţa d,95 Hz) sub car au fost montaţi 5 d absorbitori d vibraţii. Acaşi problmă a apărut la poduril din Aucland, Birmingham şi Chstr, cu frcvnţ latral d ordinul a,7 Hz şi în Paris, la podul pst Sna

180 7 VIBRAŢII MECANICE dintr grădinil Tuilris şi Quay d Orsay şi rcnt la pasarla Simon d Bauvoir. În fig..44 s arată un absorbitor pntru vibraţii vrtical, cu o masă d 7 g şi amortizar cu ar (V. A. L. Chastau, 97). Fig..44 O aplicaţi la o maşină d tuns lctrică st przntată în fig..45. Mişcara d dut-vino a lamli tăitoar produc vibraţiil mânrului car sunt atnuat d amortizorul dinamic ralizat ca o bară în consolă cu o masă în capăt, fixată d carcasa maşinii (I. O. Minr, 9). Fig..45 În fig..46 s arată schiţa uni bar d strunjit intrior prvăzută cu un absorbitor dinamic. Masa absorbitorului (din plumb) st cilindrică. Captl d diamtru mai mic sunt rzmat p două inl din cauciuc. Acsta pot fi comprimat axial cu o forţă rglabilă, modificându-s astfl rigiditata şi coficintul d amortizar al absorbitorului, pntru acordara acstuia.

181 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 7 Fig..46 La barl d alzat şi la cuţitl d strung s pot utiliza şi absorbitori dinamici cu acţiun prin impact. În fig..47 s arată absorbitorul cu impact pntru cuţit d strung pntru dgroşar proictat d D. J. Rîjov (95). Fig..47 D mnţionat că absorbitorul Lanchstr a fost aplicat la bar d găurit (R. S. Hahn, 95) iar absorbitori amortizaţi, cu lmnt dformabil din lastomri sau matrial plastic (având atât lasticitat cât şi amortizar), sunt frcvnt utilizaţi la maşini unlt.6.6 Amortizara vâscoasă nproporţională S considră sistmul din fig.., a cu amortizar vâscoasă nproporţională. Ecuaţia vibraţiilor libr (., a) st [ m ]{ x& } + [ c ]{ x& } + [ ]{ x } { } &, (.79) und matrica [ c ] nu st proporţională nici cu matrica [ m ] nici cu [ ].

182 74 VIBRAŢII MECANICE Pntru simplificara calcullor, cuaţia d ordinul doi (.79) st transformată într-o cuaţi d ordinul întâi în spaţiul stărilor, introducând o cuaţi auxiliară sau [ m ]{ x } [ m ]{ x& } { } &. (.8) Combinând cuaţiil (.79) şi (.8) rzultă [ m ] [ ] [ ] [ m ] { x& } {&& x } + [ ] [ m ] [ ] [ c ] [ ]{ q } + [ B ]{ q } { } { x } { x& } { } { } (.8) A &, (.8) und matricil [ A ] and [ B ], d dimnsiuni 4 x 4, sunt ral [ A] st { x } { u } [ m ] [ ] [ ] [ ], [ B] m [ ] [ m ] [ ] [ c ] st Înlocuind o soluţi d forma { q } { }, cuaţia (.8) dvin ( [ A ] + [ B ]){ Φ } { }. Φ, şi corspunzător s. (.8) Există patru valori proprii s r, soluţii al cuaţii ( [ A ] + [ B ]) dt s, (.84) } r şi patru vctori proprii { Φ car satisfac problma gnralizată d valori proprii [ B ]{ Φ } r s r [ A ]{ Φ } r. (,...,4) Ecuaţia (.85) s poat scri sub forma r (.85) und [ A ] [ B ]{ Φ } r s r { Φ } r [ ] [ B ], ( r,...,4) (.86) [ ] [ I ] [ ] [ ] [ ] [ ] m m c A Ecuaţia (.8) dvin. (.87) [ ] [ I ] [ m ] [ ] [ m ] [ c ] [ I ] [ ] [ ] [ I ] s { u } { u } s { }. (.88)

183 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 75 La sistm cu g.d.l. amortizat subcritic, cuaţia (.88) ar două prchi d rădăcini complx conjugat s σ ± ω, s, 4 σ ± iω d, (.89), i d und părţil imaginar, ω d şi ω d, sunt pulsaţiil proprii amortizat iar părţil ral, σ şi σ, sunt factori d amortizar (constant d atnuar). Vctorii proprii { Φ sunt complcşi conjugaţi. } r Într paramtrii d mai sus şi valoril absolut al pulsaţiilor proprii şi rapoartl d amortizar s stabilsc rlaţiil r d r r ω ω + σ, σ r ζ r. r, (.9) ω În gnral, la moduril d vibraţi amortizat supracritic, valoril proprii ral s pot scri s r, s r + σ r mτ r, (.9) iar rlaţiil (.9) dvin r r r ω σ τ, r r σ r ζ r. (.9) ω Mişcara într-un mod amortizat supracritic st apriodică. În acst caz, nu xistă un vârf d rzonanţă în diagrama amplitudin-pulsaţi sau o buclă în diagrama Nyquist chiar pntru pulsaţii proprii rlativ dpărtat. Pntru sistm amortizat subcritic, din cuaţia (.88) s obţin două prchi d vctori complcşi conjugaţi, a căror jumătat suprioară dfinşt forma modală. Difrnţa d fază într mişcăril în gradl d librtat într-un mod d vibraţi fac ca amplitudina dplasării maxim a maslor să s înrgistrz în momnt difrit în timp. Mişcara într-un mod d vibraţi complx nu mai st sincronă, şi nu ar caractrul uni und staţionar, cu noduri şi vntr fix, ca la sistml cu amortizar proporţională. Ea ar proprităţil uni und progrsiv, cu noduri şi vntr car s dplasază ciclic, configuraţia rptându-s la ficar ciclu d vibraţi, Exmplul.4 Sistmul din fig.. ar 6 m g, m g,, 9 N m, 9 6, N m, c c 5 Ns m. Să s calculz paramtrii modali şi să s trasz diagraml Nyquist al rcptanţlor complx. Rzolvar. Matricil d masă, d rigiditat şi d amortizar sunt

184 76 VIBRAŢII MECANICE [ m ], [ ] 5, [ ] Valoril proprii cu part imaginară pozitivă sunt 5 5 c. 5 5 λ 4, i,659, λ 58, i,685. Fig..48 Vctorii proprii corspunzători sunt

185 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 77, 7 i, 698 { u }, { } u 8, 865 i 5,. Pulsaţiil proprii amortizat sunt ω 66 rad s şi d, ω 68 rad s. Valoril absolut al pulsaţiilor proprii sunt d, d, d, ω ω + σ 7 rad s, ω ω + σ 89 rad s. Rapoartl d amortizar modal sunt σ ω 5 şi σ ω 85. ζ, ζ, Pulsaţiil proprii namortizat al sistmului consrvativ asociat sunt ω rad s şi ω,66 rad s, fiind difrit d valoril absolut al valorilor proprii al sistmului cu amortizar nproporţională. În acst caz, difrnţa într pulsaţiil proprii amortizat st,6 rad s, dci,4 Hz, în timp c pulsaţiil proprii namortizat difră cu 5,9 Hz. Cuplajul prin amortizar apropi rlativ pulsaţiil proprii, ca c complică dtrminara lor xprimntală. Diagraml Nyquist al rcptanţlor α x f, i, j,, sunt przntat în fig..48 cu pulsaţia xcitatoar marcată d-a lungul curblor. Forma nobişnuită a diagramlor rcptanţlor dirct, fără bucl distinct, st produsă d apropira rlativă a pulsaţiilor proprii şi valoara rlativ mar a amortizării în modul al doila d vibraţi. Exmplul.5 Să s calculz paramtrii modali ai sistmului din fig.., utilizând valoril paramtrilor dat în Tablul. pntru următoarl patru cazuri: cazul I: sistm slab amortizat, cu pulsaţii proprii rlativ dpărtat; cazul II: sistm slab amortizat, cu pulsaţii proprii rlativ apropiat; cazul III: sistm putrnic amortizat, cu pulsaţii proprii rlativ dpărtat; cazul IV: sistm putrnic amortizat, cu pulsaţii proprii rlativ apropiat. i j i j Tablul. Cazul I II III IV M M g,59,59,59,59 K K N m K N m 5 5 C Ns m,, C Ns m,, C Ns m,,

186 78 VIBRAŢII MECANICE Să s trasz apoi diagraml Nyquist al rcptanţlor complx pntru cl patru sistm. Rzolvar. Pulsaţiil proprii namortizat au xprsiil ω, m ω + ω. Vctorii modali namortizaţi sunt aciaşi în toat cazuril { a } { a }. Matricil maslor modal, rigidităţilor modal şi amortizărilor modal, calculat cu ajutorul matricii modal construit cu vctorii d mai sus, sunt m [ M ], [ ] m [ ] + K, c + c c c C. c c c + c + 4c Dacă c c, amortizara st nproporţională iar matrica d amortizar modală nu st proporţională cu matricil modal d masă şi d rigiditat. Valoril proprii sunt soluţii al cuaţii algbric d gradul patru m s + ( c + c ) c s s + + m s + c ( c + c ) s s + +. La moduri d vibraţi amortizat subcritic, valoril proprii complx pot fi scris sub forma (.79), în timp c pntru moduri amortizat supracritic valoril proprii ral pot fi scris sub forma (.8). Valoril numric al paramtrilor modali sunt dat în Tablul.. Tablul. Cazul I II III IV ω 6, 87,86 6, 6,75 6, 87,86 6, 6,75 ω ω ω 6,4 87,69 6,6 6,7 64,8 84,9 6,6 6,7 ζ ζ,6,,55,9,54,49,547,99 ω d ω d 6, 86,9 6,7 6,55 54,9-5, - σ σ,845,594,46, 4,74-4,44 -

187 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 79 Pulsaţiil proprii namortizat difră d valoril absolut al valorilor proprii al sistmului cu amortizar nproporţională, ω r ω r. În cazul cuplajului prin amortizar, valoril absolut al valorilor proprii, unori dnumit pulsaţii d rzonanţă, sunt mai apropiat într l dcât pulsaţiil proprii namortizat corspunzătoar, în timp c pulsaţiil proprii amortizat pot ava ordina invrsată. Pntru primul mod d vibraţi, ω > ω, în timp c pntru modul al doila, ω < ω, iar în cazul II, ω d < ωd. Modul al doila st amortizat supracritic în cazuril III şi IV, având raportul d amortizar modal ζ r >. Într-advăr, pntru valoril paramtrilor fizici corspunzătoar sistmlor cu pulsaţii proprii namortizat rlativ dpărtat, modul al doila d vibraţi dvin amortizat supracritic la o valoar c 749 Ns m, în, timp c primul mod d vibraţi dvin amortizat supracritic pntru valori mai mari dcât c 89, Ns m. Fig..49 Diagraml polar al rcptanţlor complx sunt przntat în fig..49. Cu xcpţia cazului I, diagraml nu au două bucl, cât una pntru ficar mod d vibraţi, astfl că numărul gradlor d librtat nu poat fi stabilit prin simpla inspctar vizuală a diagramlor răspunsului în frcvnţă. În astfl d cazuri, localizara rzonanţi ncsită mtod adcvat, tratat în volumul.

188 8 VIBRAŢII MECANICE Problm.E La sistmul din fig.., cu,,, m m, m m, s cr cuaţiil d mişcar şi moduril proprii d vibraţi. Răspuns: μ , ω,99 m, ω,776 m, μ, 464, fig..4, dacă.e Să s dtrmin amplitudinil vibraţiilor forţat al sistmului din N m, 5 N m, N m, m 5 g, m g, fˆ N, fˆ, ω 5 rad s. Răspuns: X 6, m, X, m..e Să s dtrmin amplitudinil vibraţiilor forţat al sistmului din fig..4, pntru N m, m 5g, fˆ 5 N, fˆ N, ω rad s. Răspuns: X 5m, X 8m.,,.E4 Să s dtrmin pulsaţiil proprii şi forml modal pntru vibraţiil torsional al sistmului din fig..6. Rigidităţl arborilor sunt K K, K K, K K, iar momntl d inrţi masic al discurilor sunt J J, J J. Răspuns: ω K J, ω,45 K J, μ, 5, μ 4..E5 Utilizând următoarl valori numric: K 7 Nm rad, K 7 Nm rad, K Nm rad, 7 J g m, J g m, fˆ N, fˆ, ω 5 rad s, să s dtrmin amplitudinil vibraţiilor torsional al sistmului din fig..6, dacă p discul al doila acţionază un cuplu armonic d amplitudin M 5 N şi pulsaţi ω rad s. Răspuns: Θ 75 rad, Θ 77 rad.,,.e6 Să s calculz pulsaţiil proprii şi forml modurilor proprii al vibraţiilor d încovoir pntru sistmul din fig..5, în car m m, m m, l l l şi E I const.

189 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 8 μ 5., Răspuns: ω, 5 EI m l, ω, 7 EI m l, μ 6,.E7 Să s dtrmin moduril proprii al vibraţiilor latral al sistmului przntat în fig.., und m m, m m, l l l, l l şi f. μ. Răspuns: ω, 477 EI m l, ω, 464 EI m l, μ,.e8 Să s calculz pulsaţiil proprii şi forml modurilor proprii al vibraţiilor d încovoir al bari d grutat nglijabilă din fig..e8, p car sunt montat două mas. Fig..E8 Răspuns: μ 477., ω, 89 EI ml, ω, 688 EI m l, μ, 48,.E9 Să s dtrmin amplitudinil vibraţiilor maslor din fig..e9, utilizând următoarl valori numric: ω rad s. E I ml 8 sc, F l EI mm şi Fig..E9 Răspuns: Y 7, 5 mm, Y 5, 4 mm..e Să s scri cuaţiil d mişcar al sistmului din fig..e utilizând drpt coordonat dplasara x a cntrului d grutat şi rotaţia θ faţă d

190 8 VIBRAŢII MECANICE acst punct. Să calculz pulsaţiil proprii şi să s trasz forml modurilor d vibraţi, cu localizara nodului în ficar mod. Fig..E Răspuns: μ, l. ω,77 m, ω,44 m, μ, 666l,.E Să s calculz pulsaţiil proprii şi să s trasz forml modurilor proprii al vibraţiilor cuplat d translaţi şi rotaţi pntru bara rigidă din fig..e. Fig..E Răspuns:,78 m,8 m, μ, 64l, μ, 9l..E Să s calculz amplitudinil vibraţiilor forţat al bari rigid din fig..e, utilizând următoarl valori numric: N m, m 5g, F 5 N, l,4 m şi ω rad s. Fig..E Răspuns: A x,65 m, A,8rad θ.

191 . SISTEME CU DOUǍ GRADE DE LIBERTATE 8.E În tablul alăturat s dau rzultatl uni încrcări în rgim armonic a uni structuri. Răspunsul a fost măsurat la o oarcar distanţă d punctul d aplicaţi al forţi xcitatoar şi st dat sub forma valorilor amplitudinii şi unghiului d fază al rcptanţi d transfr complx. S cr stimara paramtrilor modali: masl modal, rigidităţil modal, rapoartl d amortizar şi coficinţii d amortizar vâscoasă modali. Frcvnţa, Hz 4 4 4,5 4,8 4 4,5 4, , , Amplitudina rcptanţi, mm N,9,9,4 9,5 8,4 7, 4,9,,8, 6,4 6,9 7, 6,6 5,5 4,,,8 Dfazajul într răspuns şi forţă, grad Răspuns: ω 6rad s, ζ, 466, K 7 N m, C, 48 Ns m, M, 5 g, ω 46 rad s, ζ, 9, K 8 N m, C, 64 Ns m, M, 84 g..e4 Să s arat că dacă s minimizază acclraţia masi sistmului primar (în locul dplasării) acţionat d o forţă armonică d amplitudin constantă, atunci paramtrii optimi ai absorbitorului dinamic amortizat au valoril ψ + opt, μ ζ 8 μ ( + μ ) opt,

192 84 VIBRAŢII MECANICE m X & F μ ( + μ ). opt

193 4. SISTEME CU MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE Sistml vibratoar cu două grad d librtat studiat în capitolul prcdnt rprzintă cazul cl mai simplu şi o introducr în studiul sistmlor cu mai mult grad d librtat. Un sistm ar n grad d librtat dacă, în oric momnt, configuraţia sa poat fi rprzntată d n coordonat indpndnt. Dobici, în spaţiul configuraţiilor, coordonatl sunt dplasări liniar sau unghiular, dar pot fi şi vitz sau acclraţii. Sistml cu număr finit d grad d librtat sunt sistm discrt. În practica inginrască, vibraţiil sistmlor continu sunt dobici dscris cu un număr finit d coordonat. Ficar lmnt al unui sistm discrt poat fi l însuşi un sistm continuu, dar frcvnţl proprii cl mai joas al acstuia trbui să fi mult mai mici dcât cl al sistmului discrt idalizat. Ca mai simplă mtodă d discrtizar conduc la sistm cu paramtri concntraţi, constând din mas sau discuri rigid, arcuri şi amortizoar. Proprităţil dinamic al acstora sunt dfinit prin mărimi scalar. Elmntl dformabil pot fi dscris prin matrici d rigiditat şi d amortizar, car xprimă forţl la xtrmităţil lmntului în funcţi d dplasăril sau vitzl rlativ al xtrmităţilor. Un alt procdu d discrtizar st mtoda lmntlor finit. Acasta poat fi considrată o mtodă Rayligh-Ritz, în car soluţia uni problm difrnţial d valori proprii, pntru car nu s cunoaşt forma (închisă) xactă, st aproximată printr-o sri finită d funcţii d formă înmulţit cu coficinţi ndtrminaţi. În mtoda lmntlor finit, funcţiil d formă sunt polinoam d grad mic, dfinit local, iar coficinţii sunt dplasări nodal dtrminat astfl încât să minimizz câtul lui Rayligh pntru întrgul sistm. Pntru ficar tip d lmnt finit s dfinsc matricil lmntului car sunt apoi asamblat în matricil global d masă, d rigiditat şi d amortizar. Cu ajutorul matricilor global s scriu cuaţiil difrnţial d mişcar. Căutând soluţii armonic sincron, cuaţiil d mişcar sunt transformat într-un sistm algbric liniar şi omogn, chivalnt cu o problmă d valori proprii.

194 86 VIBRAŢII MECANICE Valoril proprii dau frcvnţl proprii iar vctorii proprii dau forma modurilor proprii d vibraţi. Frcvnţl proprii mai pot fi obţinut prin minimizara câtului lui Rayligh. Răspunsul dinamic al unui sistm discrt poat fi dscris d cuaţii difrnţial ordinar simultan. Prin algra unui st convnabil d coordonat, numit coordonat modal sau principal, cuaţiil d mişcar pot fi dcuplat şi rzolvat indpndnt. Coordonatl modal rprzintă combinaţii liniar al dplasărilor ral. Invrs, mişcara în spaţiul configuraţiilor poat fi privită ca o suprapunr d vibraţii în moduril natural (proprii) d vibraţi, dfinit d coordonatl modal. Mişcara într-un mod propriu d vibraţi al unui sistm namortizat st sincronă şi armonică în toat coordonatl sistmului. Sistml cu un număr finit d grad d librtat vibrază simultan în cl câtva moduri natural, al căror număr st gal cu numărul gradlor d librtat. Pntru a vibra într-un singur mod natural sunt ncsar anumit combinaţii particular al condiţiilor iniţial al mişcării sau al forţlor xtrioar aplicat sistmului. În cazul vibraţiilor amortizat, vibraţia libră st dominată doar d câtva moduri cu frcvnţ joas, unori doar d modul fundamntal d vibraţi, în timp c vibraţia forţată poat fi dscrisă d o sumă trunchiată d moduri natural cu rzonanţ în domniul frcvnţlor d intrs, la car s mai adaugă câţiva trmni rziduali datorită modurilor cu frcvnţ infrioar sau suprioar domniului d lucru. Într sistml discrt d ordin mic analizat în acst capitol şi sistml discrt d ordin mar, tratat într-un alt capitol (volumul ), nu xistă difrnţ snţial, cu xcpţia faptului că rzolvara problmi d valori proprii a sistmlor mari ncsită mtod d calcul mai ficint. 4. Sistm cu mas concntrat Sistml vibratoar format din lmnt unidimnsional, d tipul barlor, arborilor sau grinzilor, pot fi modlat prin sistm simpl constând din mas concntrat conctat prin lmnt lastic cu masă propri nglijabilă. Masa distribuită a lmntlor lastic st concntrată în punct als arbitrar, dobici chidistant, indifrnt d variaţia amplitudinii vibraţii în lungul lmntului. 4.. Bar cu mas concntrat P barl cu mas concntrat pot fi ataşat fi mas punctual, car au dplasări transvrsal d translaţi (liniar), fi discuri rigid, car au grad d librtat d translaţi şi d rotaţi (liniar şi unghiular).

195 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE Dplasări liniar În fig. 4. s przintă două moduri d discrtizar a masi unui lmnt d grindă d scţiun constantă. Modlul lui Duncan (fig. 4., b) ar masa totală concntrată în cntrul d grutat. Modlul lui Rayligh (fig. 4., c) ar cât o jumătat din masa totală concntrată la ficar xtrmitat. S-a notat m ρ A masa p unitata d lungim, und ρ st dnsitata matrialului şi A st aria scţiunii transvrsal. Fig. 4. Comparând cl două modl s obsrvă că în modlul lui Duncan s nglijază inrţia la rotaţi faţă d mijlocul lmntului, în timp c în modlul lui m l l Rayligh momntul d inrţi faţă d mijloc st. Din acst motiv, prin concntrara masi proprii folosind modlul lui Duncan s obţin în gnral frcvnţ proprii d valori mai mari, în timp c cu modlul lui Rayligh s obţin frcvnţ proprii mai mici. Difrnţa valorilor frcvnţlor calculat cu cl două modl scad cu crştra numărului lmntlor. Modlul lui Rayligh przintă avantaj în cazul barlor cu scţiun variabilă în trpt, când modulul d rigiditat la încovoir EI variază la captl lmntlor, astfl că într mas modlul cu mas concntrat ar porţiuni d scţiun constantă. Discrpanţa valorilor frcvnţlor proprii calculat cu modlul lui Rayligh poat fi ilustrată prin două xmpl. Dacă grinda simplu rzmată din fig. 4., a st împărţită în două sgmnt (fig. 4., b), raportul într pulsaţia propri aproximativă şi ca advărată (5.4), calculată pntru grinda cu masă uniform distribuită, st ω ω,995.

196 88 VIBRAŢII MECANICE Dacă grinda st împărţită în patru sgmnt (fig. 4., c), sistmul cu tri grad librtat ar pulsaţii proprii ω ω 98, ω ω 995 şi ω ω 995.,,, La grinda în consolă din fig. 4., a aproximaara st mai slabă. La modlul cu un sgmnt (fig. 4., b), raportul într pulsaţia propri şi valoara advărată (5.6) st ω ω,7. Dacă grinda st împărţită în două sgmnt (fig. 4., c), raportul primlor pulsaţii proprii st ω ω,9. Dacă grinda st împărţită în tri sgmnt (fig. 4., d), raportul primlor pulsaţii proprii st ω ω,95. Fig. 4. Fig Dplasări liniar şi rotiri O xtnsi a modlului lui Duncan st przntată în fig. 4., d, und masa şi momntul d inrţi masic al lmntului sunt concntrat la mijloc. Pntru un lmnt d bară cu scţiun constantă, masa totală st iar momntul d inrţi masic total st m ρ Al m l, (4.) m l I ρ Al J + m l + ρli, (4.) A und I st momntul d inrţi axial al scţiunii transvrsal.

197 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 89 Pntru un lmnt cilindric d bară, d diamtru d şi lungim l, m l d J + l. (4.) 4 Momntul d inrţi masic total (4.) s compun din două părţi. Prima part, m l, s datorşt masi distribuit în lungul lmntului la nivlul axi nutr. Parta a doua, inrţia la rotaţi ρ l I, s datorşt faptului că masa st distribuită şi în afara axi nutr. Acasta nu ia part la translaţi, fiind activată doar d rotir. În xtnsia modlului lui Rayligh (fig. 4., ), cât o jumătat din masa totală şi un momnt d inrţi masic ngativ sunt concntrat la cl două capt. Prin acastă distribuţi s consrvă masa şi momntul d inrţi masic total faţă d mijlocul lmntului. Vrificara s poat fac utilizând torma Huygns-Stinr pntru ax parall m l l ml ml J. 4 Distincţia d mai sus st utilă în analiza cu lmnt finit. S lucrază cu două matrici d inrţi diagonal al lmntului: una pntru inrţia la translaţi l m t ml (4.4) l [ ] şi una pntru inrţia la rotaţi [ ] i m r ml, (4.5) i und i I A Coficinţi d flxibilitat Aşa cum s-a arătat în., cuaţiil d mişcar al sistmlor cu mas concntrat solicitat la încovoir s scriu mai uşor utilizând coficinţi d flxibilitat dcât rigidităţi. Dacă dplasăril maslor concntrat sunt als coordonatl car dfinsc y st lgat d vctorul forţlor mişcara sistmului, atunci vctorul dplasărilor { } aplicat maslor { f } prin matrica d flxibilitat [ ] δ ca în cuaţia (.78)

198 9 VIBRAŢII MECANICE { y} [ δ ]{ f }. (4.6) Ecuaţia d mişcar pntru vibraţiil libr (.8) s poat scri [ ][ m ]{ & y } + { y } { } δ. (4.7) Problma d valori proprii corspunzătoar (.85) st δ. (4.8) ω [ ][ m] [ I ] { a } { } Din condiţia d a ava soluţii nbanal s obţin cuaţia pulsaţiilor dt [ δ ][ m] [ I ] (4.9) ω al cări soluţii sunt pulsaţiil proprii al sistmului ω r. Forma modurilor proprii st dfinită d vctorii modali { } r satisfac sistmul d cuaţii algbric liniar şi omogn Exmplul 4. δ r. (4.) ω r [ ][ m] [ I ] { a } { } a, car Să s calculz pulsaţiil proprii al vibraţiilor transvrsal al bari cu tri mas din fig. 4.4, a, und E I const. Rzolvar. Utilizând fig. 4.4, b, săgata produsă în scţiuna x d o forţă concntrată F aplicată la distanţa b d capătul din drapta, ar xprsia Fbx ( x ) ( l x b ) v. 6EI l Coficinţii d flxibilitat sunt ( x b ) b j xi δ i j l i j. 6EI l Doarc x b 4, x b, x b 4, matrica d flxibilitat st l l l 9 7 l [ δ ] 6. (4.) 768 EI 7 9

199 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 9 und Ecuaţia (4.8) poat fi scrisă a a 9 a a λ a a λ 768 EI ml ω. Fig. 4.4 Fig. 4.5 Ecuaţia pulsaţiilor proprii st având rădăcinil λ 4λ + 78λ 8, λ 556, λ, λ 446., Pulsaţiil proprii sunt, ω 4, 9 EI ml, ω 9, 596 EI ml, ω 4, 66 EI ml. Vctorii modali sunt { a } 44, { a }, { }, a, 44.

200 9 VIBRAŢII MECANICE Formula lui Dunrly La mult sistm, frcvnţl proprii al modului al doila şi modurilor suprioar d vibraţi sunt adsa mult mai mari dcât frcvnţa propri a primului mod d vibraţi. Acasta prmit stimara frcvnţi proprii fundamntal cu ajutorul unor formul simpl. Ecuaţia algbrică α n n λ + α λ α nλ + α n ar suma rădăcinilor α n λ i. i α Pntru cuaţia pulsaţiilor (5.9), s poat scri n i α ω α i n i δ i i m i n i ω ii, und ω ii st pătratul pulsaţii proprii izolat a sistmului car conţin doar masa m i. Acastă pulsaţi s calculază p baza dformati lastic xact a sistmului cu o singură masă car ar acaşi configuraţi ca sistmul analizat cu xcpţia maslor liminat. Doarc ω < < ω <... ω n, toţi trmnii cu xcpţia primului pot fi nglijaţi în prima sumă, rzultând o formulă din car s obţin o valoar aproximativă a pulsaţii proprii fundamntal sau ω ω n ω n i i i ω + ω ω ii, + ω +... (4.) Astfl, invrsul pătratului pulsaţii proprii fundamntal s poat obţin însumând invrsl pătratlor pulsaţiilor izolat. Ecuaţia (4.) st cunoscută ca formula lui Dunrly. Ea a fost stabilită xprimntal şi publicată d S. Dunrly (895) apoi justificată tortic d R. V. Southwll (9). Formula prmit stimara pulsaţii proprii fundamntal a unui sistm fără rzolvara problmi d valori proprii. Ea s aplică doar sistmlor fixat d un rpr fix, dci nu poat fi aplicată în cazul sistmlor libr (fără lgături). În gnral, valoril aproximativ al pulsaţii obţinut cu formula lui Dunrly sunt mai mici dcât cl advărat.

201 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 9 st ω La grinda în consolă din fig. 4., a pulsaţia propri fundamntală (5.6), 5 EI ml. La modlul cu un sgmnt (fig. 4., b), pulsaţia propri st ω, 44 EI ml, cu,7% mai mică dcât valoara advărată. Când bara st împărţită în două sgmnt (fig. 4., c), prima pulsaţi propri st ω, 98 EI ml, cu % mai mică dcât ca advărată. Când bara st împărţită în tri sgmnt (fig. 4., d), prima pulsaţi propri st ω, 86 EI ml, cu 7,% mai mică, iar când st împărţită în patru sgmnt, cu 4,5% mai mică dcât pulsaţia advărată. Exmplul 4. Să s calculz pulsaţia propri fundamntală a vibraţiilor transvrsal al bari cu tri mas din Exmplul 4. (fig. 4.5, a) utilizând formula lui Dunrly. Rzolvar. Din matrica d flxibilitat (4.) rzultă l δ δ, 768EI 9 6l δ. 768EI Pntru sistml cu un grad d librtat cu mas izolat (fig. 4.5, b, c, d), pătratl pulsaţiilor proprii sunt rspctiv 768EI ω, mδ 9ml 768EI ω, ml mδ 6 768EI ω, ml mδ 9 astfl că formula lui Dunrly (4.) s scri l + + ω ω ω ω Rzultă pulsaţia propri fundamntală 9ml 6ml 9ml 4m EI 768EI 768EI 768EI ω 4, 757 EI ml, car st cu,6% mai mică dcât valoara advărată calculată în Exmplul 4..

202 94 VIBRAŢII MECANICE Formula lui Rayligh Pntru o bară rprzntată printr-un modl cu mas concntrat, având masl m i ( i,...,n) ataşat în punctl d abscisă x i d o bară cu masa nglijabilă, formula lui Rayligh dvin und v ( ) i x i ω EI ( v x ) n i m i v i dx, (4.) v sunt săgţil static în punctl d ataşar a maslor. Dacă nrgia d dformaţi s calculază p baza lucrului mcanic fctuat n d grutăţil m i g, atunci Umax m i g v i astfl că formula lui Rayligh i (4.) dvin ω g n i n i und g st acclraţia gravitaţii. m m i i v v i i, (4.4) Aşa cum s-a arătat în..5, dacă s utilizază dformata advărată a sistmului vibrator, atunci pulsaţia propri fundamntală obţinută cu ajutorul formuli lui Rayligh va fi valoara advărată. Pntru oric altă curbă, pulsaţia dtrminată prin acastă mtodă va fi mai mar dcât pulsaţia advărată. Dacă s dorşt o prcizi mai mar, o aproximar mai bună a curbi car dfinşt dformata dinamică s poat obţin utilizând sarcini dinamic în locul grutăţilor static. Doarc sarcina dinamică st m ω v, fiind proporţională cu săgata, s poat rcalcula săgata produsă d grutăţil modificat v m g, v v m g. v i i m g, Exmplul 4. Să s calculz pulsaţia propri a vibraţiilor transvrsal al bari cu tri mas din Exmplul 4. (fig. 4.4, a) folosind formula lui Rayligh (4.4). Rzolvar. Utilizând coficinţii d flxibilitat şi principiul suprapunrii fctlor, dplasara oricări mas s poat calcula ca suma produslor într coficinţii d flxibilitat din scţiuna rspctivă şi grutăţil corspunzătoar.

203 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 95 Ecuaţia (4.6) s poat scri d und rzultă v v v mg mg [ δ ] mg mg [ δ ] 7l ( ) δ + δ + mg v mg δ, 768 EI sau 8l ( ) δ + δ + mg v mg δ, 768 EI v v. Înlocuind în formula (4.4), s obţin ω 768EI ml EI 9ml 9 9 ω 4, 94 EI ml, 768, 5448 valoar cu numai,% mai mar dcât ca advărată, calculată în Exmplul 4.. Dacă m m l / 4, atunci sistmul din fig. 4.4, a st idntic cu bara din fig. 4., c. Înlocuind acastă valoar în formula d mai sus rzultă EI 9, 8686 EI ω 4, 94, 4 m l l m car st mai mică dcât pulsaţia (5.4) obţinută pntru o bară cu masa distribuită EI 9, 8696 EI ω adv π, m l l m EI ml datorită procsului d concntrar în car nu s-a consrvat masa totală. 4.. Structuri multitajat forfcat O clădir forfcată st o structură cu planş rigid ndformabil car au doar mişcări d translaţi orizontală. Dformara clădirii s asamănă cu ca produsă doar d forţl tăitoar într-o gridă în consolă; d aici numl d clădir forfcată.

204 96 VIBRAŢII MECANICE În fig. 4.6, a s przintă o clădir forfcată cu tri nivl, cu stâlpi flxibili şi rigl rigid, modlată ca un cadru plan cu tri grad d librtat. S considră doar vibraţia cadrului în planul său, datorită încovoirii stâlpilor în planul cadrului. Pntru a s raliza o astfl d dformaţi într-o clădir, s fac următoarl ipotz simplificatoar: a) toat planşl sunt rigid şi s pot mişca doar p orizontală, astfl că în îmbinăril într rigl şi stâlpi nu apar rotiri rlativ; b) toţi stâlpii sunt inxtnsibili şi cu masă nglijabilă; şi c) masa clădirii st concntrată la nivlul planşlor, astfl încât vibraţia clădirii multitajat s rduc la vibraţia unui sistm cu număr finit d grad d librtat. Forfcara st modlată convnabil prin dplasăril orizontal rlativ al planşlor. Dplasării unui lmnt orizontal i s opun o forţă d raducr lastică datorită încovoirii stâlpilor. Dacă acştia sunt modlaţi ca bar cu scţiun constantă, cu încastrări mobil la ambl capt, s poat arăta că rigiditata combinată la încovoir a stâlpilor d la un nivl st E I 4EI, (4.5) l l und E I st modulul d rigiditat la încovoir al stâlpului şi l - înălţima tajului (lungima stâlpului). Fig. 4.6 Ecuaţiil d mişcar s pot obţin, folosind principiul lui d Almbrt şi diagraml forţlor din fig. 4.6, b, galând cu zro suma forţlor car acţionază asupra ficări mas. Mtoda st xpusă pntru sistm cu două grad d librtat în...

205 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE Sistm torsional Vibraţiil torsional al arborilor cotiţi ai motoarlor şi comprsoarlor s studiază utilizând un sistm simplificat cu paramtri concntraţi (fig. 4.7). Acsta s obţin concntrând momntl d inrţi al maslor în rotaţi şi în translaţi din ficar mcanism bilă-manivlă în discuri rigid situat în drptul cilindrilor, în lungul unui arbor principal chivalnt. Volantul, amortizorul torsional, cuplajul şi rotorul maşinii antrnat sau lica pot fi d asmna modlat ca discuri rigid. Fig. 4.7 Bila st înlocuită cu un sistm dinamic chivalnt cu două mas concntrat, una la capătul din manton, calaltă la capătul din axul pistonului. În ficar cilindru xistă o masă în translaţi, m tr, car constă din masa pistonului şi masa rdusă a bili, şi o masă în rotaţi, car constă din masa manivli, contragrutata şi masa rdusă a bili, car ar un momnt d inrţi masic J rot. Valoara mdi a momntului d inrţi pntru ficar cilindru st J J rot + mtr r, und r st raza manivli. Rigiditata torsională a arborlui cotit dintr doi cilindri, car provin din fctul combinat al răsucirii fusului manton şi încovoirii braţului manivli, poat fi aproximată numric sau măsurată xprimntal. La fl s poat stima rigiditata arborlui cotit într ultimul cilindru şi volant, ca a cuplajului şi a arborlui antrnat. Tot sistmul poat fi apoi rdus la un modl torsional cu o sri d discuri rigid conctat prin arbori lastici d masă nglijabilă, ca în fig Exmplul 4.4 Un motor disl cuplat cu un gnrator lctric st rdus la sistmul chivalnt din fig. 4.8, und valoril J sunt dat în g m, iar valoril K în 6 x Nm/rad : J 86, J, J J J J 67, J 897,,, 4 5 6, 7, K 6,, K 6,, K K 4 K 5, 5, K 6 4, 67. Să s calculz

206 98 VIBRAŢII MECANICE priml două pulsaţii proprii al vibraţiilor torsional şi să s dsnz forma modurilor rspctiv d vibraţi. Rzolvar. przntat în fig ω 55 rad/s, ω 45 rad/s. Forml modal sunt Sistm torsional cu roţi dinţat Fig. 4.8 Sistml cu roţi dinţat şi ansamblul motor-cuti d vitz al autovhicullor s modlază similar. Sistml torsional ramificat cu roţi dinţat pot fi modlat ca în.. 4. Est convnabilă utilizara unui sistm chivalnt fără roţi dinţat (sau cu roţi dinţat cu raport d transmisi gal cu ) car ar aclaşi frcvnţ proprii ca sistmul original. Acst lucru st posibil doarc, dşi roţil dinţat modifică turaţia prin raportul d transmisi, vibraţiil s transmit prin roţil dinţat fără o modificar a frcvnţi, ci doar a amplitudinii. În.. 4, sistmul ral cu ramuri având difrit turaţii a fost rdus la un sistm chivalnt în car toat componntl au acaşi turaţi, dobici turaţia

207 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 99 arborlui d rfrinţă. Pornind d la acst arbor spr altă ramură printr-un angrnaj cu raportul d transmisi i, valoril ral J şi K sunt înmulţit cu i. Dacă s trc prin mai mult angrnaj, valoril următoar J şi K s înmulţsc cu pătratl rapoartlor d transmisi rspctiv. Pntru o prch d roţi în angrnar, momntul d inrţi total s calculază adunând la momntul d inrţi al roţii d rfrinţă, momntul d inrţi al roţii dinţat rdus înmulţit cu i. Modlul chivalnt astfl obţinut ar aclaşi frcvnţ proprii ca sistmul ral şi aclaşi poziţii al punctlor nodal. Totuşi, în ramuril rdus, amplitudina dplasărilor unghiular s împart la i, în timp c momntul d torsiun în ramura rdusă st înmulţit cu i. În continuar s przintă o mtodă d calcul mai simplă. În modlul chivalnt, arborii şi discuril au turaţia rală, şi doar roata dinţată antrnată st condnsată. Fig. 4.9 În fig. 4.9, a într arborl conducător şi arborl condus xistă un angrnaj cilindric, roţil dinţat având momntl d inrţi masic J, J ' şi razl r şi r '. În figură s-au notat rigidităţil arborilor K şi K, momntl d inrţi al discurilor J şi J, dplasăril unghiular şi cupluril car acţionază asupra discurilor. Mişcara sistmului st dscrisă d patru cupluri şi patru dplasări unghiular. Totuşi doar tri dintr ficar din acsta sunt indpndnt, datorită condiţiilor d compatibilitat într roţil în contact. Astfl st util să s considr cuplul M ' şi dplasara unghiulară θ ' drpt variabil dpndnt. Prin liminara

208 VIBRAŢII MECANICE acstora s obţin modlul chivalnt din fig. 4.9, b în car arborl conducător st als arbor d rfrinţă. Condiţia d compatibilitat a dplasărilor unghiular st ' r' r θ θ, iar condiţia d compatibilitat a cuplurilor s scri r M r M sau ' M ' M θ θ. Raportul d transmisi st M M ' r r n n i θ θ. (4.6) În sistmul original, matrica d rigiditat a arborlui st dfinită d θ θ ' K K K K M M. Utilizând transformăril bazat p rlaţiil (4.6), M M i M M, θ θ θ θ i ', matrica d rigiditat a arborlui în modlul chivalnt st dfinită astfl θ θ i K K K K i M M, θ θ K K i K i K i M M. Matrica d masă st dfinită asmănător θ θ && && i J J i M M, θ θ && && J J i M M. În continuar, ansamblul format din două discuri şi arborl lastic dintr l st considrat un lmnt finit. Pntru un lmnt al arborlui condus s dfinsc matricil

209 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE [ ] i K i K i K K, [ m ] i J J Matricil unui lmnt al arborlui din fig.5.9 sunt K K J [ ], [ m ] K K J.. (4.7) Acsta s pot obţin din xprsiil gnral (4.7) înlocuind i. În gnral, pntru lmnt car nu sunt situat în vcinătata roţilor dinţat, unul din momntl d inrţi d la capt st nul. O altă mtodă constă din condnsara matricilor sistmului p baza cuaţiilor d compatibilitat a dplasărilor unghiular al roţilor dinţat în contact. Exmplul 4.5 Sistmul ramificat cu roţi dinţat din fig. 4., a constă din tri discuri rigid cu momnt d inrţi J, J 5 şi J 6 şi tri roţi dinţat rigid d raz r, r / şi r /, cu momnt d inrţi masic J, J şi J 4, conctat prin tri arbori cu rigidităţi torsional K, K şi K. Să s stabilască cuaţiil vibraţiilor libr d torsiun. Rzolvar. În ramura suprioară, raportul d transmisi st i. În ramura infrioară, raportul d transmisi st i. Pntru sistmul chivalnt przntat în fig. 4., b matricil lmntlor s calculază cu rlaţiil (4.7). Matricil global s asamblază utilizând mtoda dirctă a rigidităţii rzultând şi [ K ] [ ] K K K K + 4K K K + 9K K J J + 4J + 9J4 M. J 5 J 6 Vctorul global al dplasărilor unghiular st K K K

210 VIBRAŢII MECANICE { } { θ θ θ } T Θ. θ 4 Ecuaţiil d mişcar s scriu sub forma [ M ]{ Θ & } + [ K ]{ Θ } { } &. În continuar, matricil global s notază cu litr mari şi nu trbui confundat cu matricil modal. Fig. 4. În fig. 4. s przintă modlul simplificat al sistmului d propulsi al uni nav, cu lica J antrnată d o turbină d joasă prsiun J 5 şi o turbină d înaltă prsiun J 6. Pulsaţiil proprii calculat sunt comparat cu pulsaţiil prturbatoar. Dobici xcitaţia principală st variaţia cuplului aplicat lici, datorită variaţii forţlor produs d apă asupra pallor în rotaţi. Acastă prturbaţi ar loc la frcvnţa pallor, gală cu frcvnţa lici (o dată p rotaţi) înmulţită cu numărul pallor. Exmplul 4.6 Sistmul torsional ramificat cu roţi dinţat din fig. 4. ar următorii paramtri: J 95, J 54, J 46, 7, J 4 J 5 6, 78, J 7, 55, [ m ] J J J , g, i 76 4, 6 K, 6, K 8, 5, 6

211 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 6, K, , K, 6 5 6, K, , K [ ] Nm/rad. Să s calculz frcvnţl proprii al vibraţiilor torsional. Fig. 4. Rzolvar. Sistmul ral st rdus la un modl chivalnt în car cl două pinioan sunt condnsat. Matricil lmntlor (4.7) s calculază pntru ficar sgmnt, apoi sunt asamblat în matricil global d masă şi d rigiditat. Matrica d rigiditat globală st [ ] K K K K K ik K K K K K ik ik ik K i K i K K K K K K K K K Matrica d masă globală st [ ] J J J J J i J i J J J M

212 4 VIBRAŢII MECANICE Frcvnţl proprii au următoarl valori: f, f 4, 6, f, 98, f 4 5, 4, f 5 4, 98, f 6 5, 5, f 7 757, Hz Structuri (cu subsistm) rptat Sistml vibratoar sunt adsa format din subsistm cu acaşi configuraţi car s rptă în spaţiu. Exmpll przntat în fig. 4. includ o clădir forfcată cu 5 nivl, un sistm cu 6 mas concntrat cu mişcar d translaţi şi un sistm torsional cu 7 discuri. La acst sistm calculul frcvnţlor proprii s poat fac utilizând mtoda cuaţiilor cu difrnţ. Fig. 4. Ecuaţia d mişcar a masi r (fig. 4., a) st m & x ( x x ) ( x x ) r + r r r + r car, în cazul mişcării armonic xr ar sinω t, poat fi xprimată în funcţi d amplitudini sub forma ω m a r + a + r ar. Soluţia acsti cuaţii s obţin înlocuind iβ r a r, ca c conduc la cuaţia ω m iβ + iβ cos β,

213 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 5 car mai poat fi scrisă ω m ( cos β ) Soluţia gnrală pntru a r st 4sin β. (4.8) a r C cos β r + C sin β r, und C şi C s dtrmină din condiţiil la limită. La r amplitudina st zro a, dci C. La capătul libr, r n m & x ( x x ) n + n n car, xprimată în amplitudini, dvin a m ω. n a n, cuaţia d mişcar st Înlocuind soluţia gnrală, s obţin următoara cuaţi pntru valuara lui β : sin β ( n ) [ ( cos β )] sin β n. Acst rzultat s poat rscri sub formă d produs cuaţi satisfăcută d şi d β cos β n + sin, β sin, cos β n +, sau ( r ) π. ( r,...,n) ( n ) β + Pulsaţiil proprii s obţin din cuaţia (4.8) sub forma car conduc la xprsia β ω sin (4.9) m ( r ) π ω r sin. ( r,...,n) m ( n + ) (4.)

214 6 VIBRAŢII MECANICE Pulsaţiil proprii calculat cu mtoda cuaţii cu difrnţ sunt dat d rlaţia gnrală (4.9). Totuşi, pntru ficar structură cu subsistm rptat, paramtrul β trbui dtrminat p baza condiţiilor la limită rspctiv Sistm discrt cu mai mult mas Într-un sistm vibrator unidimnsional, ficar masă s mişcă într-o singură dircţi. În drptul ficări mas concntrat s poziţionază cât un nod, ficar nod având un singur grad d librtat. La marginil fix s poziţionază un nod blocat. Fig. 4. Modlul cu patru mas din fig. 4., a ar patru grad d librtat şi cinci noduri. Dplasăril nodal s notază q,q,..., q 5 (fig. 4., b). Vctorul coloană { Q } { q, q,..., q } T 5 { } { f, f,..., f } T s numşt vctorul global al dplasărilor nodal iar F 5 st vctorul global al forţlor nodal. Dplasăril şi forţl sunt pozitiv când sunt orintat în snsul pozitiv al dircţii q. Condiţia la limită q încă nu st utilizată. 5 Tablul 4. Elmntul Nodul

215 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 7 Cl şas arcuri sunt numrotat cu indicl rigidităţii rspctiv. Ficar arc ar două noduri. Informaţia privind conctivitata lmntlor s przintă convnabil ca în Tablul 4.. În acst tabl d conctivitat, indicii locali ai nodurilor sunt şi, iar indicii globali sunt i şi j. Cu notaţia din fig. 4., c, vctorul forţlor nodal local { } { } T f, f f poat fi xprimat în funcţi d vctorul dplasărilor nodal local { } { } T q, q q prin cuaţia { } [ ] { } q f în car matrica d rigiditat a lmntului st [ ]. (4.) Acasta poat fi obţinută din cuaţiil d chilibru şi rlaţiil forţădformaţi: pntru q, q f f, iar pntru q, q f f. P d altă part, vctorul global al forţlor nodal { } F st xprimat în funcţi d vctorul global al dplasărilor nodal { } Q prin cuaţia { } [ ]{ } Q K F în car [ ] K st matrica d rigiditat globală nrdusă. Matrica [ ] K poat fi obţinută prin mtoda dirctă a rigidităţii. Utilizând informaţia privind conctivitata arcurilor, lmntl ficări matrici [ ] sunt plasat în poziţia corspunzătoar din matrica d ordin mai mar [ ] K iar lmntl din acaşi poziţi sunt însumat. Procsul d asamblar a matricii d rigiditat global poat fi xplicat prin însumara nrgiilor d dformaţi al lmntlor. D xmplu, nrgia d dformaţi în arcul st { } [ ]{ } 4 4 q q q q q q U T. Expandând matrica d rigiditat a arcului la dimnsiuna sistmului, s obţin { } [ ]{ } Q ~ Q q q q q q q q q q q U T T ,

216 8 VIBRAŢII MECANICE und [ ] ~ st matrica d rigiditat xpandată a arcului. S obsrvă că lmntl matricii [ ] ~ sunt plasat în liniil şi coloanl tri şi patru al matricii [ ] K. La însumara nrgiilor d dformaţi al arcurilor { } [ ]{ } Q K Q U U T, lmntl matricii [ ] sunt plasat în poziţiil corspunzătoar din matrica globală [ ] K, p baza conctivităţii arcurilor. Elmntl car s suprapun sunt adunat astfl încât [ ] [ ] ~ K. Pntru sistmul din fig. 4., a, matrica d rigiditat globală nrdusă st [ ] K. În continuar trbui prcizat condiţiil la limită. Nodul 5 st fix, dci 5 q şi lmntul rspctiv trbui liminat din vctorul dplasărilor. Matrica d rigiditat globală rdusă s obţin liminând, din matrica d rigiditat nrdusă, linia şi coloana car conţin gradul d librtat d rzmar. La sistmul din fig. 4., a matrica d rigiditat globală rdusă st [ ] K. Împrună cu matrica d masă diagonală [ ] 4 m m m m M, matrica d rigiditat st folosită pntru scrira cuaţiilor d mişcar

217 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 9 [ M ]{ Q & } + [ K ]{ Q } { } şi rzolvara problmi rspctiv d valori proprii [ K ]{ Φ } ω [ M ]{ Φ }, pntru dtrminara modurilor ral d vibraţi al sistmului namortizat. Pntru sistm car includ amortizoar vâscoas, s folosşt acaşi mtodă pntru asamblara matricii d amortizar global [ C ]. La modlul din fig. 4.4 conctivităţil arcurilor sunt valabil şi pntru amortizoar dşi, în gnral, acsta pot fi difrit. Fig. 4.4 Matrica globală d amortizar st c c c c + c + c5 c c 5 C. c c + c + c6 c c 5 c c + c4 + c5 [ ] Ecuaţiil mişcării libr a sistmului amortizat s scriu [ M ]{ Q& } + [ C ]{ Q& } + [ K ]{ Q } { } &. În acst caz, sistmul ar moduri complx d vibraţi. Valoril proprii complx dau pulsaţiil proprii amortizat şi rapoartl d amortizar modal. Sistml cu amortizar proporţională au moduri ral d vibraţi. Vibraţiil sistmlor amortizat s calculază ca în.6. şi sunt tratat într-un capitol din volumul al doila. Exmplul 4.7 Să s calculz frcvnţl proprii şi forma modurilor proprii d vibraţi al sistmului din fig Masl sunt gal: m m... m g, iar

218 VIBRAŢII MECANICE rigidităţil sunt 4 N/m, 989 N/m, 69 N/m, N/m, N/m, 6 8 N/m. 9 Rzolvar. Frcvnţl proprii sunt,74,,95, 7,4, 7,8,,47,,, 5,, 5,6, 8,49, 9, şi 8,57 Hz. Sistmul ar cinci prchi d frcvnţ proprii apropiat într l, cât una pntru un mod simtric şi una pntru un mod antisimtric. Rzultatul st tipic pntru structuri simtric. Fig. 4.5 Priml moduri sunt rprzntat în fig. 4.6 faţă d o lini d rfrinţă vrticală. Fig. 4.6

219 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE Exmplul 4.8 La sistmul cu 5 g.d.l. din fig. 4.7 s cr matricil M, K şi C. Să s calculz apoi pulsaţiil proprii amortizat şi rapoartl d amortizar modal. Fig. 4.7 Rzolvar. Valoril obţinut cu programul VIBMKC sunt przntat în Tablul 4.. Valoril rapoartlor d amortizar sunt înmulţit cu. Modul Tablul 4. ω Hz ζ,% Modul ω, Hz ζ,%, d 5,98,5 9 68,88,78,86,968 7,7,579 4,6,64 8,87, ,47, 6,59,56 5 5,5,665 4,89, ,4,67 4 5,87, ,45, ,5,47 8 6,6,6 d Cl dinci mas din parta draptă a sistmului sunt cu un ordin d mărim mai mici dcât cllalt mas. Acasta produc un grup d cinci pulsaţii proprii snsibil mai mari dcât cllalt. Datorită valorilor rlativ mici al amortizării, pulsaţiil proprii amortizat sunt aproximativ gal cu pulsaţiil proprii namortizat.

220 VIBRAŢII MECANICE 4. Structuri plan din bar articulat O structură d tip grindă cu zăbrl st compusă din bar articulat la capt. Principala ipotză simplificatoar la grinzi cu zăbrl considră că toat barl sunt conctat prin articulaţii fără frcar şi nu transmit momnt într l. În practică, asamblara barlor s fac prin nituir, sudar sau cu şuruburi. Totuşi, modlul simplificat cu bar articulat la capt rprzintă o aproximaţi inginrască surprinzător d bună. Barl articulat la capt pot prlua doar solicitări d întindr sau comprsiun. În programl d analiză cu lmnt finit, bara articulată la capt s numşt truss. Structuril din bar încastrat la capt (grinzi) sunt tratat în 4.. La o grindă cu zăbrl, forţl xtrioar şi racţiunil s aplică doar la articulaţii iar barl au rigiditat axială constantă, fiind dci lmnt finit natural. Pntru a ţin cont d orintara spaţială a barlor, s utilizază coordonat local şi un sistm d coordonat global. În continuar, matricil d masă şi d rigiditat al lmntlor s calculază întâi în coordonat local, apoi în sistmul d coordonat global. Matricil dfinit în sistmul global pot fi xpandat la dimnsiuna sistmului şi apoi adunat pntru a obţin matricil global d masă şi d rigiditat car sunt utilizat în rzolvara problmi d valori proprii şi în calculul răspunsului dinamic. 4.. Coordonat şi funcţii d formă pntru lmntul truss S considră un lmnt cu două noduri, articulat la capt, în sistmul d coordonat local, cu o axă în lungul lmntului. Noduril sunt numrotat convnabil şi, coordonatl lor în sistmul d rfrinţă fizic (cartzian) fiind x şi rspctiv x (fig. 4.8, a). Fig. 4.8 S dfinşt un sistm d rfrinţă intrinsc sau natural car prmit prcizara poziţii unui punct din intriorul lmntului printr-o coordonată adimnsională r x + x x x x, (4.)

221 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE astfl încât r la nodul şi r + la nodul (fig. 4.8, b). Exprimând coordonatl fizic în funcţi d coordonatl natural rzultă ( r) x N ( r) x N +, (4.) x und N () r ( r) şi N () r ( + r) (4.4) pot fi considrat funcţii d intrpolar gomtrică. Graficl acstor funcţii sunt przntat în figuril 4.9, a, b. Fig. 4.9 Pntru un lmnt d bară cu două noduri, s poat prsupun o distribuţi liniară a dplasărilor. Dplasara unui punct arbitrar als în intriorul lmntului poat fi xprimată în funcţi d dplasăril nodal q şi q sub forma und În notaţi matricială () r N ( r) q N ( r) q u +. (4.5) u Ni qi i N N N { q } N şi { } { } T, (4.6) q q q. (4.7) În rlaţia (4.6), { q } st vctorul dplasărilor nodal al lmntului iar N st vctorul lini al funcţiilor d intrpolar a dplasărilor, dnumit şi funcţii d formă. S poat vrifica uşor că u q la nodul, u q la nodul iar dplasara u variază liniar (fig. 4.9, c).

222 4 VIBRAŢII MECANICE Rlaţiil (4.) şi (4.5) arată că atât gomtria lmntului cât şi câmpul d dplasări sunt intrpolat utilizând aclaşi funcţii d formă, procdu dnumit formulara izoparamtrică. 4.. Matricil lmntului în coordonat local În analiza dinamică, dplasara st o funcţi d spaţiu şi timp ( ) x,t u u, alungiril spcific sunt x u ε iar tnsiunil normal sunt dat d lga lui Hoo, ε σ E. Enrgia d dformaţi a lmntului ( ) t U st d x x u A E dx A E dv U ε ε σ. (4.8) Transformara d la x la r în xprsia (4.) conduc la d r d r x x x d l, (4.9) und + r iar lungima lmntului st x x l. Doarc { } q x N x u şi r N x r r N x N l, und r N şi + r N, s poat scri { } { } T T q x N x N q x u, astfl încât nrgia d dformaţi a lmntului (4.8) dvin { } { } T T q d r r N r N A E q U + l. (4.) Exprsia d mai sus ar forma { } [ ] { } T q q U, (4.) în car matrica d rigiditat a lmntului [ ] st [ ] + + d r A E d r r N r N A E T l l sau

223 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 5 EA [ ] l Enrgia cintică a lmntului T ( t) st T. (4.) A u d x t ρ. (4.) und ρ st dnsitata matrialului şi u t u& st vitza în scţiuna x. Din (4.6) s obţin u N { q& } und { q& } st vctorul coloană al vitzlor nodal. und Înlocuind (4.4) în (4.) rzultă T &, (4.4) T T { q& } A N N d x { q& } ρ. (4.5) Exprsia (4.5) ar forma T T { q& } [ m ] { q& }. (4.6) T [ ] A N N m ρ d x (4.7) st matrica d masă corntă a lmntului. Acasta st calculată prin acaşi mtodă şi cu aclaşi funcţii d formă ca matrica d rigiditat a lmntului. Schimbând variabila s obţin sau + ρ Al T [ m ] N N ρ Al d r 8 [ m ] ρ A l 6 + ( r) r r ( + r) d r. (4.8) 4.. Transformara din coordonat local în coordonat global În fig. 4. st rprzntat un lmnt d bară articulată la capt (truss) în poziţia iniţială şi în poziţia dformată. Dplasăril nodal sunt notat cu litr

224 6 VIBRAŢII MECANICE mici în sistmul d coordonat local xoy şi cu litr mari - în sistmul d coordonat global XOY. În sistmul d coordonat global, ficar nod ar două grad d librtat. Un nod al cărui indx global st j ar gradl d librtat j şi j, şi dplasăril Q j şi Q j. În fig. 4. s obsrvă că dplasara q st gală cu suma proicţiilor dplasărilor Q şi Q p axa x. Astfl q Q cosα + Q sinα. (4.9, a) Similar q Q cosα + Q 4 sinα. (4.9, b) Fig. 4. Rlaţiil (4.9) s pot scri matricial sub forma und { } { q q } T q { } [ T ] { Q } q, (4.4) st vctorul dplasărilor lmntului în sistmul d coordonat local, { } { } T Q Q, Q, Q, Q 4 st vctorul dplasărilor lmntului în sistmul d coordonat global şi cosα sinα [ ] st o matric d transformar a coordonatlor. T (4.4) cosα sinα Utilizând datl rfritoar la coordonatl nodal, notând (, Y ) ( X, ) coordonatl nodurilor şi, s calculază Y X şi

225 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 7 X X cosα, sin l Y Y l α, ( ) ( ) l X. (4.4) X + Y Y Mărimil dfinit d rlaţiil (4.4) intrvin în lmntl matricii (4.4) Matricil lmntului în coordonat global Înlocuind rlaţia (4.4) în xprsia nrgii d dformaţi a lmntului în coordonat local (4.), rzultă U T T { Q } [ T ] [ ] [ T ]{ Q }. (4.4) În coordonat global, nrgia d dformaţi a lmntului ar xprsia T U { Q } [ K ]{ Q } und [ K ] st matrica d rigiditat a lmntului în coordonat global., (4.44) Comparând xprsiil (4.4) şi (4.44), s obţin matrica d rigiditat în coordonat global sub forma Înlocuind [ ] T [ ] [ T ] [ ] [ T ] T din rlaţia (4.4) şi [ ] K. (4.45) din rlaţia (4.) s obţin [ K ] E A l c cs c cs cs s cs s c cs c cs cs s, (4.46) cs s und c cosα şi s sinα. Similar, nrgia cintică în coordonat global s scri T T { Q& } [ M ]{ Q& }. (4.47) Matrica d masă corntă a lmntului în coordonat global st T [ ] [ T ] [ m ] [ T ] sau, înlocuind [ T ] din rlaţia (5.4) şi [ ] M, m din rlaţia (4.8)

226 8 VIBRAŢII MECANICE [ M ] ρ Al 6 c cs c cs cs s cs s c cs c cs cs s. (4.48) cs s Matrica (4.46) st singulară (d ordinul 4 şi d rang ) doarc lmntul nu st rzmat. Dficinţa d rang a matricii st gală cu numărul clor tri mişcări posibil d corp rigid Asamblara matricilor d rigiditat şi d masă Matricil global d masă şi d rigiditat, [ K ] şi [ ] baza matricilor lmntlor [ ] conctivitata lmntlor. K şi [ ] M, sunt asamblat p M utilizând informaţia privind Compatibilitata dplasărilor nodal al lmntlor cu dplasăril nodal global al structurii poat fi xprimată prin rlaţii d forma und { } { } [ T ~ Q ] { Q }, (4.49) Q st vctorul dplasărilor lmntului în coordonat global, { } vctorul tuturor dplasărilor nodal al structurii şi [ T ~ ] Q st st o matric d conctivitat (d localizar), car ar lmnt gal cu la gradl d librtat al nodurilor şi zrouri în rst. Enrgia d dformaţi a lmntului în coordonat global poat fi xprimată în funcţi d vctorul dplasărilor global înlocuind (4.49) în (4.44) sau U T { } [ T ~ T Q ] [ K ] [ T ~ ]{ Q } T { } [ K ~ Q ]{ Q } U, und matrica d rigiditat xpandată a lmntului T [ ] [ T ~ ] [ K ] [ T ~ ] ar dimnsiunil matricilor sistmului. K ~ (4.5) Pntru ilustrara clor d mai sus, s considră grinda cu zăbrl cu şapt bar din fig. 4.. Matrica d conctivitat a lmntului 4, la car cl două noduri nu sunt numrotat conscutiv, st

227 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 9 [ ] T ~ 4 în timp c, pntru lmntul 5, la car cl două noduri sunt numrotat conscutiv, acasta st [ ] 5 T ~. Fig. 4. Matricil d rigiditat xpandat corspunzătoar au forma [ ] K ~ , [ ] K ~ S poat prsupun că structura st construită adăugând lmntl unul după clălalt, plasând ficar lmnt într-o poziţi prdtrminată. P măsura adăugării lmntlor la structură, capacitata acstia d a prlua sarcinil xtrioar crşt, odată cu modificara corspunzătoar a matricii d rigiditat a structurii. Matricil d rigiditat al lmntlor pot fi însumat pntru a obţin

228 VIBRAŢII MECANICE matrica d rigiditat a întrgii structuri dacă acsta au dimnsiunil structurii şi dacă oprază asupra unor vctori car conţin aclaşi dplasări. Matrica d rigiditat a structurii s obţin prin simpla adunar a matricilor d rigiditat xpandat al lmntlor. Enrgia d dformaţi a întrgii structuri T { Q } [ K ]{ Q } U (4.5) poat fi calculată prin simpla însumar a nrgiilor d dformaţi al lmntlor T { } [ K ~ T Q ]{ Q } { Q } [ K ~ ] { Q } U U. (4.5) Comparând xprsiil (4.5) şi (4.5) s obţin [ ] [ K ~ K ]. (4.5) Matrica d rigiditat globală st gală cu suma matricilor d rigiditat xpandat al lmntlor. Similar, matrica d masă globală [ M ] st asamblată din matricil d masă xpandat al lmntlor [ ] [ ] T M ~ [ T ~ ] [ M ] [ T ~ ] M. (4.54) Matricil d rigiditat şi d masă nrdus [ K ] şi [ ] M sunt utilizat în cazul sistmlor nrzmat. La sistml rzmat, acsta s condnsază utilizând condiţiil la limită. Efctul arcurilor şi maslor concntrat s poat includ adăugând valoril paramtrilor rspctivi în poziţiil corspunzătoar p diagonall principal al matricilor rspctiv Ecuaţiil d mişcar şi problma d valori proprii S dfinşt lagrangianul L prin xprsia în car T st nrgia cintică iar Π st nrgia potnţială totală L T Π, (4.55) { Q& T } [ M ]{ Q& } T (4.56, a)

229 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE T T { Q } [ K ]{ Q } { Q } { F } Π. (4.56, b) În xprsia (4.56, b), { F } st vctorul global al forţlor nodal aplicat. Aplicând principiul lui Hamilton, s obţin cuaţiil lui Lagrang pntru sistm namortizat d L dt L { Q& } { Q } sau d T dt Π { Q& } { Q }. (4.57) Utilizând rgulil d drivar a unui scalar în raport cu un vctor, s obţin cuaţiil d mişcar [ M ]{ Q& } + [ K ]{ Q } { F } &. (4.58) În cazul vibraţiilor libr, vctorul forţlor st zro. Astfl Căutând soluţii d forma [ M ]{ Q& } + [ K ]{ Q } { } &. (4.59) { Q } { Φ } sinω t, (4.6) und { Φ } st vctorul amplitudinilor dplasărilor nodal, rzultă problma gnralizată d valori proprii r [ K ]{ φ } r ω r [ M ] { φ } r, ( r,...,n), (4.6) în car ω sunt valoril proprii ral gal cu pătratl pulsaţiilor proprii şi { φ sunt vctorii proprii rali. Cu ajutorul programului VIBTRUSS s pot calcula moduril proprii d vibraţi al structurilor namortizat plan, din bar articulat la capt. } r Fig. 4.

230 VIBRAŢII MECANICE Exmplul 4.9 Să s calculz priml patru frcvnţ proprii şi forma modurilor rspctiv d vibraţi pntru grinda cu zăbrl din fig. 4., a la car E GPa, ρ 785 g m şi A mm pntru toat cl bar. Rzolvar. Priml patru frcvnţ proprii sunt 48,8, 68,4, 5,9 şi 6,8 Hz. Forml modurilor proprii sunt przntat în figuril 4., b Cadr plan Cadrl sunt structuri din lmnt lgat rigid într l, d tipul barlor încastrat la capt sau grinzilor. În programl d analiză cu lmnt finit, acst tip d bară st dnumit bam. Grinzil sunt bar solicitat prin sarcini transvrsal, intrconctat prin lgături (nodal) rigid car au rotiri dtrminat şi car, în afara forţlor, transmit momnt încovoitoar d la un lmnt la altul. În acst paragraf, întâi s przintă lmntul finit bam, dfinit în coordonat local, apoi lmntul finit d cadru (fram) car modlază o grindă înclinată. 4.. Analiza statică a uni grinzi cu scţiun constantă În continuar s considră grinzi cu scţiuna transvrsală simtrică faţă d planul sarcinilor aplicat (fig. 4.). Dformaţiil transvrsal d forfcar s nglijază. Fig. 4. Dplasara axială a unui punct din scţiuna transvrsală, situat la distanţa y d axa nutră, st aproximativ

231 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE dv u ϕ y y, (4.6) dx und v st săgata axi bari în scţiuna x şi ϕ v st rotira scţiunii transvrsal (sau panta) în x. Alungiril spcific sunt du d v ε x y. (4.6) dx dx Tnsiunil normal în scţiuna transvrsală au xprsia d v σ x E ε x E y, (4.64) dx în car E st modulul d lasticitat longitudinal al matrialului. Momntul încovoitor s calculază p baza distribuţii tnsiunilor p înălţima scţiunii transvrsal d v II M ( x) σ x y da EI z EI v z. (4.65) dx A und I z st momntul d inrţi al scţiunii transvrsal faţă d axa nutră z. Forţa tăitoar st dată d dm d v III T ( x) EI z EI v x z. (4.66) d dx Sarcina transvrsală p unitata d lungim a bari st dt d v p z dx 4 dx Ecuaţia difrnţială d chilibru s scri IV ( x) EI EI v 4 z. (4.67) d 4 v EI z p ( x). (4.68) 4 dx 4.. Discrtizara cu lmnt finit Cadrul plan st împărţit în lmnt finit, ca în fig Ficar nod ar tri grad d librtat, două dplasări liniar şi o rotir. Gradl d librtat al nodului i sunt Q i - dplasara în lungul axi X, Q i - dplasara în lungul axi Y şi Q i - rotira faţă d axa Z. Noduril sunt localizat prin coordonatl lor în sistmul d rfrinţă global XOY iar conctivitata lmntlor st dfinită prin indicii nodurilor.

232 4 VIBRAŢII MECANICE Elmntl, modlat ca grinzi cu scţiuna constantă, fără dformaţii d forfcar şi fără sarcini aplicat într noduri, au modulul d rigiditat la încovoir E I, masa p unitata d lungim ρ A şi lungima l. Fig. 4.4 În continuar s stabilsc funcţiil d formă pntru lmntul bam, apoi s calculază matricil d rigiditat şi d masă pntru lmnt, întâi în sistmul d coordonat local, apoi în sistmul global. Matricil sunt apoi xpandat la dimnsiuna structurii şi însumat pntru a obţin matricil global nrdus. Impunând condiţiil la limită, s calculază matricil rdus d rigiditat şi d masă, car împrună cu matrica d amortizar sunt utilizat în analiza dinamică. Fig. 4.5 S considră un lmnt d bară înclinat, ca în fig. 4.5, a, în car s arată dplasăril nodal şi axl sistmlor d rfrinţă.

233 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 5 În sistmul d coordonat fizic local, axa x, orintată în lungul bari, ar origina în capătul din stânga al bari şi st înclinată cu unghiul α faţă d axa globală X. S mai poat folosi şi un sistm d coordonat intrinsci (natural). Vctorul dplasărilor nodal al lmntului st { } { q, q, q, q, q, q } T q (4.69) iar vctorul corspunzător al forţlor nodal (s includ şi momntl) al lmntului poat fi scris { } { f, f, f, f, f, f } T f (4.7) Forţl (şi momntl) f, f, f 5, f 6 şi dplasăril corspunzătoar q, q, q, dscriu încovoira lmntului (fig. 4.5, b), în timp c forţl 5 q 6 f, f 4, şi dplasăril q, q 4, dscriu fctl axial (fig. 4.5, c). Acţiuna lor st dcuplată astfl că matricil rspctiv al lmntului pot fi calculat sparat. 4.. Funcţii d formă static pntru lmntul d grindă La o grindă cu scţiuna constantă, nîncărcată într xtrmităţi, p şi 4 4 din cuaţia (4.68) rzultă d v dx. Intgrând d patru ori, s obţin dplasara transvrsală (săgata) v dscrisă d un polinom d gradul tri ( x) a x + a x + a x + a 4 v. (4.7) În (4.7), cl patru constant d intgrar a, a, a, a 4 pot fi dtrminat din condiţiil la limită gomtric, car includ săgata şi panta la cl două capt: x x, v q, dv dx q, şi x x, v q5, dv dx q6. (4.7) Dplasara transvrsală poat fi xprimată în funcţi d dplasăril nodal sub forma N { q } v, (4.7) und N st vctorul lini al funcţiilor d formă, car sunt polinoam d gradul tri, numit polinoam Hrmit. Utilizând coordonat natural, cu r la nodul şi r + la nodul, dplasara transvrsală poat fi scrisă

234 6 VIBRAŢII MECANICE () () () () () 4 d d d d r N N r N N v r v r v r v r r v. (4.74) Doarc transformara coordonatlor s fac conform rlaţii (4.) r x x x x x + + (4.75) şi doarc x x l st lungima lmntului, st valabilă rlaţia (4.9) d r x d l. (4.76) Calculând drivata x v v d d d d r l, (4.77) rlaţia (4.74) dvin () () () () () 4 d d d d x N N x N N v r v r v r v r r v l l (4.78) sau () q N q N q N q N l l r v. (4.79) În xprsia (4.7) vctorul lini al funcţiilor d formă st 4 N, N, N, N N l l. (4.8) Funcţiil d formă hrmitin sunt polinoam cubic car satisfac condiţiil la limită dat în Tablul 4. und smnul prim indică drivara în raport cu variabila r. Tablul 4. N N N N N N 4 N 4 N r + r Impunând condiţiil d mai sus unor polinoam d gradul tri cu patru constant arbitrar, s obţin xprsiil funcţiilor d formă al lmntului bam în coordonat natural (4.8), rprzntat grafic în fig. 4.6:

235 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 7 ( r ) ( r ) ( + r ) ( r r ) N +, 4 4 ( r ) ( r ) ( + r ) ( r r r ) N +, (4.8) 4 4 N N ( r ) ( + r ) ( r ) ( + r r ), 4 4 ( r ) ( + r ) ( r ) ( + r r r ) Fig. 4.6 d v S poat vrifica uşor că la nodul, v q şi l q d r d v v q 5 şi l q 6. d r, iar la nodul, 4..4 Matrica d rigiditat a unui lmnt d grindă Enrgia d dformaţi U EI U a unui lmnt d grindă st d d v x dx. (4.8)

236 8 VIBRAŢII MECANICE Din rlaţia (4.77) s obţin d d r d d v x v l şi d d 4 d d r v x v l. Înlocuind (4.7) rzultă { } q r N d d 4 d d l x v. (4.8) Ridicând la pătrat s obţin { } { } T T T q r N r N q 4 d d d d 6 d d d d d d l x v x v x v, car s mai poat scri { } { } r T r T q N N q 4 6 d d l x v. (4.84) Înlocuind (4.76) şi (4.84) în (4.8) s obţin nrgia d dformaţi a lmntului { } { } r T r T q d r N N EI q U + 8 l (4.85) car ar forma { } [ ] { } B T q q U. (4.86) Comparând (4.85) cu (4.86) s obţin matrica d rigiditat a lmntului pntru încovoir [ ] + 8 d r N N EI r T r B l (4.87) sau [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) r N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N EI B d l. (4.88)

237 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 9 Înlocuind funcţiil d formă (4.8) şi rzolvând intgrall s obţin matrica d rigiditat a lmntului pntru încovoir în coordonat local [ ] B EI l 6l 6l 6l 4l 6l l 6l 6l 6l l 6l 4l. (4.89) 4..5 Matrica d masă corntă a lmntului d grindă În calcul dinamic, dplasăril latral al grinzii sunt funcţii d spaţiu şi v v x, t. d timp, ( ) Enrgia cintică instantan a lmntului d grindă st T ρ A v t d x, (4.9) und ρ st dnsitata matrialului şi v t v& st vitza în scţiuna x. Din rlaţia (4.7) s obţin & N { q& } und { q& } st vctorul coloană al vitzlor nodal. car ar forma und v, (4.9) Înlocuind (4.76) şi (4.9) în rlaţia (4.9) rzultă T T T { q& } A N N d x { q& } ρ T T { q& } [ m ] { q& } (4.9) B. (4.9) + ρ Al T [ mb ] Nr Nr st matrica d masă corntă a lmntului. dr (4.94) Înlocuind funcţiil d formă (4.8) şi intgrând produsl acstora, s obţin matrica d masă corntă a lmntului d grindă în coordonat local

238 VIBRAŢII MECANICE [ m ] B ρ Al 4 56 l 54 l l 4l l l 54 l 56 l l l l 4l. (4.95) Acastă matric d masă st obţinută prin acaşi mtodă ca şi matrica d rigiditat, dci st corntă cu matrica d rigiditat Eforturi axial Forţl nodal axial s xprimă în funcţi d dplasăril axial prin rlaţia [ ] în car matrica d rigiditat (4.) st EA S l f q S (4.96) f4 q4 [ ]. (4.97) Similar, din rlaţia (4.8) s obţin matrica d masă a lmntului pntru mişcări axial ρ Al [ ms ] 6. (4.98) 4..7 Matricil unui lmnt d cadru în coordonat local Combinând xprsiil (4.97) şi (4.89) prin aranjara lmntlor în poziţia corspunzătoar, s obţin matrica d rigiditat a lmntului d cadru plan [ ] EA l EA l EI l 6EI l EI l 6EI l 6EI l 4EI l 6EI l EI l EA l EA l EI l 6EI l EI l 6EI l 6EI l EI l. (4.99) 6EI l 4EI l

239 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE În xprsia (4.99), raportul într lmntl car dscriu încovoira şi cl car dscriu întindra st d ordinul ( i l ), und i st raza d inrţi. La bar zvlt, acst raport poat fi într şi 5, dci matrica d rigiditat poat fi rău condiţionată numric. Combinând xprsiil (4.98) şi (4.95) şi aranjând lmntl în poziţia corspunzătoar, s obţin matrica d masă corntă a lmntului d cadru plan [ ] m ρ A l l 54 l l 4l l l l 56 l l l l 4l. (4.) 4..8 Transformara coordonatlor În fig. 4.7 s przintă un lmnt d cadru plan în stara iniţială şi ca dformată. Pntru nodul, dplasăril liniar local q şi q sunt xprimat în funcţi d dplasăril liniar global Q şi Q prin rlaţiil q q Q cosα + Q sinα,. (4.) Q sinα + Q cosα. Fig. 4.7 Rlaţiil (4.) pot fi scris matricial sub forma

240 VIBRAŢII MECANICE und q q [ R ] Q Q [ ] (4., a) c s R (4.) s c st o matric d rotaţi în car c cosα şi s sinα. Dplasăril unghiular (rotiril) sunt aclaşi în ambl sistm d coordonat q Q. (4.) rzultă Adăugând rlaţiil similar scris pntru nodul q q 4 5 [ R ] Q Q 4 5, q 6 Q 6, { q } [ T ] { Q }, (4.4) und { q } st vctorul dplasărilor lmntului în sistmul d coordonat local, { Q } st vctorul dplasărilor lmntului în sistmul d coordonat global şi c s s c T (4.5) c s s c [ ] st matrica d transformar din coordonat local în coordonat global Matricil lmntului d cadru în coordonat global Utilizând aclaşi procdu ca în 4..4 s obţin matricil d rigiditat şi d masă al lmntului d cadru în coordonat global şi T [ ] [ T ] [ ] [ T ] K, (4.6) T [ ] [ T ] [ m ] [ T ] M. (4.7)

241 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 4.. Asamblara matricilor d rigiditat şi d masă Matricil global d rigiditat şi d masă, [ K ] şi [ ] matricil lmntlor [ ] lmntlor [ T ~ ] K şi [ ] M, sunt asamblat din M utilizând matricil d conctivitat al car stabilsc lgătura într dplasăril nodal la nivlul lmntlor şi dplasăril nodal la nivlul întrgii structuri, prin rlaţii d forma Q T ~ Q. (4.8) { } [ ] { } Matrica d rigiditat globală nrdusă st gală cu suma matricilor d rigiditat xpandat al lmntlor [ ] [ K ~ K ], (4.9) und T K ~ T ~ K T ~. (4.) [ ] [ ] [ ] [ ] Similar, matrica d masă globală nrdusă [ M ] st asamblată din matricil d masă xpandat al lmntlor [ ] [ ] T M ~ [ T ~ ] [ M ] [ T ~ ] M. (4.) La sistml rzmat, matricil nrdus d rigiditat şi d masă [ ] [ M ] sunt condnsat utilizănd condiţiil la limită. K şi Efctul maslor concntrat şi arcurilor s poat includ adăugând valoril paramtrilor rspctivi în poziţiil corspunzătoar p diagonall principal al matricilor structurii. Dacă încărcăril xtrioar includ sarcini distribuit, acsta sunt înlocuit cu forţ nodal cinmatic chivalnt, calculat printr-o mtodă corntă cu ca prin car s-au obţinut matricil d rigiditat şi d masă, bazată p utilizara funcţiilor d formă static. Odată calculat matricil d rigiditat şi d masă şi vctorul forţlor, s pot obţin dirct cuaţiil d mişcar. Exmplul 4. Să s calculz priml 5 pulsaţii proprii şi form modal pntru cadrul 4 plan din fig. 4.8 la car E 7 GPa, ρ 78 g m, I 7 mm şi A 8,6 mm pntru toat barl. Cadrul cu lungima 66, 9 mm şi înălţima 66, 9 mm ar doi stâlpi şi două rigl chidistant. Rzolvar. Datorită simtrii s considră doar jumătat d cadru, cu lgături difrit pntru moduril simtric şi cl antisimtric.

242 4 VIBRAŢII MECANICE Ficar jumătat d cadru a fost modlată cu 6 lmnt idntic d grindă plană, 8 pntru stâlp şi 4 pntru ficar jumătat d riglă. Fig. 4.8 Priml 5 pulsaţii proprii, calculat cu programul VIBFRAME, au următoarl valori: 7,, 77,47, 97,5, 475,7, 99,, 6,, 54,, 9,6, 6,4, 447,5, 695,, 9,7, 47,, 468, şi 494,6 rad s. Forml modurilor proprii sunt przntat în fig Exmplul 4. Să s calculz priml 5 frcvnţ proprii şi forma modurilor proprii al vibraţiilor coplanar al cadrului din fig. 4.9 dacă E GPa, ρ 785 g m, 7 m 4 I, 55, 4 m A, 7 şi l,5 m. Fig. 4.9

243 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 5 Fig. 4. Rzolvar. Ficar sgmnt d lungim l a fost modlat cu 5 lmnt d grindă idntic, rzultând în total 85 lmnt, dci 86 d noduri. Cu patru noduri fix şi tri grad d librtat p nod, matricil condnsat al sistmului sunt

244 6 VIBRAŢII MECANICE d ordinul 46. Moduril proprii calculat cu programul VIBFRAME sunt przntat în fig. 4. în car apar şi valoril frcvnţlor proprii. 4.4 Grilaj Grilajl sunt cadr plan solicitat d forţ prpndicular p planul structurii. El sunt cazuri spcial d cadr tridimnsional în car ficar punct d îmbinar ar doar tri dplasări nodal, o translaţi şi două rotiri, rzultat din acţiuni d forfcar (nglijabil), încovoir şi răsucir. Fig Discrtizara cu lmnt finit Grilajul st împărţit în lmnt, ca în xmplul din fig. 4.. Ficar nod ar tri grad d librtat, două rotiri şi o dplasar liniară, prpndiculară p planul grilajului. Gradl d librtat al nodului i sunt Q - rotaţia faţă d axa i X, Q i - rotaţia faţă d axa Y şi Q i - dplasara în lungul axi Z. Noduril sunt localizat prin coordonatl lor în sistmul d rfrinţă global XOY iar conctivitata lmntlor st dfinită prin indicii nodurilor. Elmntl sunt modlat ca bar cu scţiun constantă, solicitat la încovoir şi răsucir, fără dformaţii d forfcar şi fără sarcini într noduri. Proprităţil caractristic sunt modull d rigiditat la încovoir E I şi la răsucir G It, masa p unitata d lungim ρ A şi lungima l. S considră doar bar cu scţiuni al căror cntru d forfcar coincid cu cntrul d grutat.

245 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE Matricil lmntului d grilaj în coordonat local S considră un lmnt d grilaj înclinat, ca în fig. 4., a, în car s arată dplasăril nodal în coordonat local şi în coordonat global. Fig. 4. În sistmul local d coordonat fizic, axa x, orintată în lungul bari, st înclinată cu unghiul α faţă d axa globală X. Axa z a sistmului local d coordonat st coliniară cu axa Z a sistmului global. Altrnativ, s mai poat folosi un sistm d coordonat intrinsci (natural). Vctorul dplasărilor nodal al lmntului st { } { q, q, q, q, q, q } T q (4.) iar vctorul corspunzător al forţlor nodal al lmntului s poat scri { } { f, f, f, f, f, f } T f (4.) În (4.) f, f 6 sunt forţ transvrsal, iar f, f 5 sunt cupluri car produc încovoir (fig. 4., b). În (4.) dplasăril q, q 6 sunt translaţii, în timp c q, q 5 sunt rotiri. Vctorii coloană corspunzători sunt lgaţi prin matrica d rigiditat la încovoir. Raranjând matrica (4.89) rzultă f f f f 5 6 EI l 4l 6l l 6l 6l 6l l 4l 6l 6l 6l 6l q q q q 5 6. (4.4)

246 8 VIBRAŢII MECANICE Cl patru forţ nodal al lmntului sunt lgat d acclraţiil nodal rspctiv prin matrica d masă. Raranjând matrica (4.95) rlaţia s poat scri f f f f 5 6 ρ Al 4 4l l l l l 56 l 54 l l 4l l l 54 l 56 q&& q&& q&& q&& 5 6. (4.5) Forţl nodal axial f, f 4 sunt cupluri d răsucir iar dplasăril nodal q, sunt unghiuri d răsucir. Doarc dscriu fct torsional, acţiuna lor q 4 st dcuplată d încovoir. Matricil rspctiv d rigiditat şi d masă pot fi calculat sparat. El s calculază la fl ca matricil d rigiditat şi d masă pntru solicitări axial. Unghiul d răsucir, xprimat prin funcţiil d formă (4.4) () r N ( r) q + N ( r) q 4 θ, poat fi înlocuit în xprsia nrgii d dformaţi U GI t θ x dx. După trcra la coordonat natural s obţin matrica d rigiditat pntru torsiun + G It T [ t ] Nr Nr l dr. Datorită acsti analogii, forţl nodal pot fi xprimat în funcţi d dplasăril nodal prin rlaţia [ ] în car matrica d rigiditat pntru torsiun st f q t, (4.6) f4 q4 GIt [ ] t l. (4.7) În xprsia (4.7), G st modulul d lasticitat transvrsal iar I t st constanta torsională a scţiunii transvrsal. În cazul scţiunilor axial-simtric, acastă constantă st momntul d inrţi polar. Similar, matrica d masă corntă a lmntului pntru torsiun st ρ Itl [ m ] t 6. (4.8)

247 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 9 Pntru lmntul d grilaj, combinând lmntl matricilor d rigiditat (4.4) şi (4.7), s obţin matrica d rigiditat în coordonat local, car xprimă forţl nodal (4.) în funcţi d dplasăril nodal (4.) [ ] a a a a EI l l l l l l l l l l l l l (4.9) und t I E GI a l. Combinând lmntl matricilor d masă (4.5) şi (4.8) s obţin matrica d masă corntă a lmntului d grilaj în coordonat local [ ] b b b b A m l l l l l l l l l l l l l ρ (4.) în car b 7I t A Transformara coordonatlor Înainta asamblării în matricil global al grilajului, st ncsară transformara matricilor (4.9) şi (4.) din sistmul local în sistmul global d coordonat. Doarc dircţia z a axlor local coincid cu dircţia Z a axlor global, trbui transformat doar rotiril. Transformara coordonatlor st dfinită d rlaţia (4.4) { } [ ] { } Q T q, (4.) în car { } q st vctorul dplasărilor lmntului (4.) în sistmul d coordonat local, { } { } T Q, Q, Q, Q, Q, Q Q 6 5 4

248 4 VIBRAŢII MECANICE st vctorul dplasărilor lmntului în sistmul d coordonat global (fig. 4.) şi c s s c T, (4.) c s s c [ ] în car c cosα şi s sinα, st matrica d transformar (4.5) d la coordonat local la coordonat global. Acaşi matric d transformar (4.) st utilizată pntru forţl nodal Matricil lmntului d grilaj în coordonat global Utilizând acaşi mtodă ca în 4..4 şi 4..5, s obţin matricil d rigiditat şi d masă al lmntului d grilaj în coordonat global şi T [ ] [ T ] [ ] [ T ] K (4.) T [ ] [ T ] [ m ] [ T ] M. (4.4) El pot fi utilizat la asamblara matricilor d rigiditat şi d masă nrdus, [ K ] şi [ M ], folosind matricil d conctivitat al lmntlor [ T ~ ] car xprimă dplasăril nodal la nivlul lmntului în funcţi d dplasăril nodal la nivlul întrgii structuri prin rlaţii d forma (4.8). La sistm rzmat, matricil nrdus [ K ] şi [ ] M sunt apoi condnsat utilizând condiţiil la limită. Efctul rigidităţii arcurilor şi al maslor concntrat poat fi inclus adăugând valoril acstora în poziţiil dfinit d gradl d librtat rspctiv p diagonall principal al matricilor rspctiv. Exmplul 4. Să s calculz priml 9 moduri proprii d vibraţi al grilajului din fig. 4., rzmat p patru arcuri d rigiditat N m ficar. Proprităţil sistmului sunt E GPa, G 8 GPa, diamtrul barlor d mm. ρ 79 g m, l,5 m şi

249 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 4 Fig. 4. Rzolvar. Grilajul a fost modlat cu lmnt şi 8 noduri, având astfl 4 grad d librtat. Forml modurilor proprii, calculat cu programul VIBGRID, sunt przntat în fig. 4.4 împrună cu valoril frcvnţlor proprii. Fig. 4.4 Priml tri moduri d vibraţi sunt moduri d corp rigid, d rotaţi şi translaţi al grilajului ndformat p arcuril d suspnsi. Modul 4 st primul mod d încovoir (două linii nodal p lăţim), modul 5 st primul mod d torsiun (o lini nodală longitudinală), modul 6 st al doila mod d încovoir (tri linii nodal p lăţim), modul 7 st al doila mod d torsiun, modul 8 st al trila mod d torsiun şi modul 9 st al trila mod d încovoir.

250 4 VIBRAŢII MECANICE Examplul 4. Grilajul din fig. 4.5 st încastrat în punctl şi, având 8 m 4 8 m 4 4 m l m, I, 785, I t 57,, A 4,, ρ 79 g m, E GPa şi G 8 GPa. Să s calculz priml 9 moduri proprii d vibraţi. Fig. 4.5 Rzolvar. Grilajul a fost modlat cu 4 lmnt şi 8 noduri, având 8 grad d librtat. Forml modurilor proprii calculat cu programul VIBGRID sunt przntat în fig. 4.6 împrună cu valoril frcvnţlor proprii. Fig. 4.6

251 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 4 Modul st primul mod d încovoir, modul st primul mod d torsiun, modul st al doila mod d încovoir, modul 4 st al doila mod d torsiun, modul 5 st modul al trila d încovoir iar modul 6 st un prim mod d încovoir faţă d axa longitudinală. 4.5 Funcţii d răspuns în frcvnţă Prima part a acstui capitol a fost consacrată calculului modurilor proprii d vibraţi al sistmlor namortizat d ordin rlativ mic. În continuar s studiază răspunsul în frcvnţă al sistmlor amortizat şi s przintă diagraml funcţiilor d răspuns în frcvnţă (FRF) al acstora. Analiza FRF măsurat xprimntal fac obictul unui capitol din volumul al doila în car s przintă Analiza modală xprimntală şi Idntificara sistmlor vibratoar Matrica FRF Pntru un sistm cu amortizar vâscoasă, matrica funcţiilor d răspuns în frcvnţă (matrica FRF) din (.4) ar forma und ω st pulsaţia xcitatoar. und ( iω) Matrica FRF poat fi scrisă jl [ ( iω) ] [ ] [ H ( i )] ω [ m] + iω [ c ] + [ ] ω, (4.5) ( iω) h( iω)... hn ( iω) ( iω) h ( ω) ( ω) i... h n i ( iω) h ( iω)... h ( iω) h h H (4.6). h n n nn h st răspunsul măsurat la coordonata j produs d o forţă armonică aplicată la coordonata l. Există mai mult tipuri d funcţii d răspuns în frcvnţă, după cum răspunsul st o dplasar, vitză sau acclraţi (v ). Utilizând notaţia iω t i ω t +φ complxă, dacă xcitaţia f ( t ) fˆ x t xˆ, l l produc răspunsul ( ) ( ) j j atunci rcptanţa complxă poat fi xprimată prin componntl rală şi imaginară fl fˆ l iφ fˆ l fˆ l R I h jl( iω) cosφ + i sinφ h j l( ω) + i h j l( ω). x xˆ xˆ xˆ j j j j

252 44 VIBRAŢII MECANICE Raportul f x s numşt rcptanţă dirctă (rcptanţa în punctul d l aplicar a forţi), în timp c raportul l f l ( l) x j j s numşt rcptanţă d transfr sau intr-rcptanţă după cum j st o coordonată în alt punct, sau în aclaşi punct ca l dar p altă dircţi. D notat că FRF sunt mărimi măsurabil car pot fi dtrminat prin încrcări cu xcitaţi armonică Diagraml FRF FRF sunt mărimi complx, dfinit d tri cantităţi frcvnţa plus părţil rală şi imaginară (sau modulul şi faza) car sunt rprzntat grafic. Fig. 4.7 Cl tri format grafic d przntar a FRF sunt: a) diagraml Bodé (modulul în funcţi d frcvnţă şi faza în funcţi d frcvnţă); b) diagraml componntlor în fază şi în cuadratură (componnta rală în funcţi d frcvnţă şi componnta imaginară în funcţi d frcvnţă); şi c) diagraml Nyquist (parta imaginară în funcţi d parta rală, vntual cu gradaţii la intrval gal d frcvnţă).

253 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 45 Graficl includ FRF d tipul mişcar/forţă, cum sunt rcptanţa, mobilitata şi inrtanţa (acclranţa), şi invrsl acstora (forţă/mişcar), rigiditata dinamică, impdanţa şi masa dinamică (v ). Diagraml pot ava scară liniară, logaritmică sau smilogaritmică, cu sau fără caroiaj, cu unul sau două cursoar, posibilităţi d zoom sau d suprapunr a mai multor curb. Fig. 4.8 În fig. 4.7 s przintă diagraml Bodé al rcptanţlor unui sistm amortizat cu tri grad d librtat, pntru dplasări măsurat în g.d.l.,, şi, produs d o forţă aplicată în g.d.l.. Diagraml modùlului au scară vrticală logaritmică, ncsară pntru dtalira răspunsului d nivl rlativ scăzut din vcinătata antirzonanţlor. În fig. 4.8 s arată diagraml componntlor rală (în fază) şi imaginară (în cuadratură) al acloraşi rcptanţ, iar în prima coloană a fig. 4.9 s arată diagraml Nyquist corspunzătoar. S obsrvă că, la sistm slab amortizat şi cu frcvnţ proprii rlativ dpărtat, bucll răspunsului în vcinătata rzonanţlor pot fi aproximat cu crcuri. Pntru comparaţi, în coloanl a doua şi a tria din fig. 4.9 sunt przntat diagraml mobilităţilor şi inrtanţlor, pntru aclaşi FRF. S obsrvă

254 46 VIBRAŢII MECANICE rotira acstora cu 9, rspctiv 8, în planul complx, datorită dfazajului într dplasar, vitză şi acclraţi. h Fig. 4.9 În fig. 4.4 s przintă o diagramă tridimnsională a rcptanţi dirct, împrună cu diagraml Nyquist şi al părţilor rală şi imaginară. Fig. 4.4

255 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 47 La sistm slab amortizat şi cu dnsitat modală mică, vârfuril din diagraml FRF al modulului şi componnti imaginar al rcptanţi, mobilităţii sau acclranţi indică rzonanţ. Un sistm cu n grad d librtat, cu moduri d vibraţi cu amortizar subcritică, ar n rzonanţ. Adsa, simpla analiză vizuală a diagramlor FRF prmit stimara ordinului sistmului, prin numărara vârfurilor d rzonanţă din domniul frcvnţlor d intrs. Aşa cum s-a arătat pntru sistm cu două grad d librtat (fig..49), la sistm cu amortizar mar şi/sau frcvnţ proprii rlativ apropiat st posibil ca diagraml FRF să nu aibă vârfuri la unl rzonanţ. La sistm cu amortizar modrată, ca mai prcisă localizar a rzonanţlor s fac p diagraml Nyquist, în punctl în car vitza d variaţi cu frcvnţa a unghiului d fază (sau a lungimii arcului d crc) ar un maxim local. Dacă o astfl d diagramă st gradată la crştri gal al frcvnţi xcitatoar, rzonanţa poat fi localizată acolo und distanţa într două punct succsiv st maximă (ca în fig..48). Antirzonanţl apar ca minim pronunţat în diagraml modulului FRF d tipul mişcar/forţă. La o FRF dirctă, rzonanţl şi antirzonanţl altrnază (torma ractanţlor a lui Fostr). Într două vârfuri d rzonanţă apar un minim pronunţat d antirzonanţă. La o FRF d transfr, unl sau toat antirzonanţl sunt înlocuit d minim aplatisat. Numărul şi poziţia antirzonanţlor variază în diagraml FRF calculat în alt punct sau p alt dircţii. În fig. 4.4 s przintă diagraml rcptanţlor uni structuri, calculat în aclaşi punct dar pntru tri dircţii difrit. Figura ilustrază alinira vârfurilor d rzonanţă prcum şi numărul şi poziţia difrită a minimlor d antirzonanţă. Curba d sus, la car rzonanţl şi antirzonanţl altrnază, st a uni rcptanţ dirct. Fig. 4.4

256 48 VIBRAŢII MECANICE În fig. 4.4 sunt rdat diagraml rcptanţi h, 5 calculat pntru sistmul cu 5 grad d librtat din Exmplul 4.8 (fig. 4.7). a b c Fig. 4.4 Comparând frcvnţl vârfurilor d rzonanţă cu frcvnţl proprii dat în Tablul 4., s rmarcă grupul clor mai mari cinci frcvnţ proprii, car apar distinct în pofida valorilor rdus al răspunsului, datorită scării logaritmic (fig. 4.4, a). Dintr cllalt zc rzonanţ, s pot disting doar nouă, moduril cu frcvnţ rlativ apropiat la 5,5 Hz şi 5,4 Hz producând un singur vârf, în timp c rzonanţl d la 59,45 Hz şi 7,7 Hz sunt aproap stompat. d a Fig. 4.4 b

257 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 49 Individualizara vârfurilor d rzonanţă dpind d rzoluţia în frcvnţă a datlor rprzntat grafic. La curb FRF calculat pntru punct difrit d răspuns şi xcitar, d xmplu funcţia h în fig. 4.4, a şi funcţia h 6 6 în fig. 4.4, b, unl vârfuri pot lipsi. Problm 4.E Să s calculz frcvnţl proprii şi forma modurilor proprii d vibraţi al sistmului din fig. 4.E. S considră 6 N m, m m m 5 g, m m m 5 g, m m m g. 4 7, 5 9, 6 8 Fig. 4.E Răspuns: f 7, 5 Hz, f 4, 6 Hz, f 74, 78Hz, f 9 4, 46 Hz. 4.E Să s calculz moduril proprii d vibraţi al sistmului din fig. 4.E, considrând g j,...,, N m j,...,, m ( ) j ( ) N m. Să s compar rzultatl cu cl obţinut pntru N m. j Fig. 4.E Răspuns: a) f, 84 Hz, f, 88 Hz, f 4 59, Hz, f 5 594, Hz.

258 5 VIBRAŢII MECANICE b) f f 84 Hz, f f 59 Hz, f f 5Hz., 4 5, 6 7, 4.E Să s calculz frcvnţl proprii şi rapoartl d amortizar modal al sistmului cu g.d.l. din fig. 4.E. Apoi să s calculz frcvnţl proprii namortizat şi forml modal corspunzătoar. Paramtrii sistmului sunt: m,, m, 44, m, 69, m 4, 96, m 5, 5, m 6, 56, m 7, 89, m 8, 4, m 9, 6, m 4 g,,,, 4 4, 5 5, 6 6, 7 7, 8 8, 9 9, N m, c j, j ( j,...,). Fig. 4.E Răspuns: f, 78Hz, ζ,45 %, f 8, 4Hz, ζ 5,4 %. 4.E4 La sistmul cu 5 g.d.l. din fig. 4.E4 să s calculz frcvnţl proprii amortizat şi rapoartl d amortizar modal. Fig. 4.E4 Răspuns: f, 65Hz, ζ,8 %, f 5 56, 7 Hz, ζ 5,44 %.

259 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 5 4.E5 O structură în formă d scară st fixată la ambl capt ca în fig. 4.E5. Masa ficări trpt st m iar rigiditata latrală într două trpt st. Să s calculz pulsaţiil proprii şi să s trasz forma modurilor proprii d vibraţi. Răspuns: ω,57 m, ω m, ω,44 m, ω 4,7 m, Fig. 4.E5 Fig. 4.E6 4.E6 Un motor cu cinci cilindri şi volant st folosit la antrnara unui gnrator lctric. Pntru calculul frcvnţlor proprii d torsiun, sistmul ral st modlat prin sistmul chivalnt przntat în fig. 4.E6. Să s dtrmin priml patru moduri proprii d vibraţi şi să s trasz forml modal utilizând următoarl valori: K K K MNm rad, K 9 MNm rad, K 56, 4 MNm rad, 6 4,4 g m J. 4, J J J 4,5 g m J, 45, 5 5, g m J, Răspuns: f 46, Hz, f 6, Hz, f 4 9, 4Hz, f 5 48, 45 Hz. 4.E7 Sistmul torsional din fig. 4.E7 modlază un motor disl cu opt cilindri şi volant, transmisia cu roţi dinţat şi lica vaporului. Să s dtrmin priml tri moduri proprii al vibraţiilor torsional utilizând următoarl valori: n 45 rot/min, n 5 rot/min, A 95 g m J, B 9 6 g m J, 9 g m J, J 4 g m, J... J 8 84 g m 9, 5MNm, 85 MNm rad K... K MNm J, K 6 MNm rad, K rad,, K rad (rdusă la 89 n B ), Ziglr, 977). K, 846 MNm, K rad (G.,

260 5 VIBRAŢII MECANICE Fig. 4.E7 Răspuns: f, 68 Hz, f, 6 Hz, f 4 5, 8Hz. 4.E8 Să s dtrmin priml două frcvnţ proprii (nnul) al sistmului torsional al unui autovhicul modlat ca în fig. 4.E8, pntru următoarl valori al momntlor d inrţi şi rigidităţilor torsional: K MNm rad, K, 6 MNm rad, K MNm rad, K 4 4 MNm rad, J 5 g, g m J, 8 g m J, J 4 6 g m angrnajului conic din difrnţial st 4 :. m. Raportul d transmisi al Fig. 4.E8 Răspuns: f 55, 6 Hz, f 6, Hz. 4.E9 Sistmul d antrnar a paltlor unui mixr industrial st ilustrat în fig. 4.E9. Roţil conic au ficar dinţi, două roţi cilindric au 6 dinţi iar pinionul comun ar dinţi. Să s calculz frcvnţl proprii al vibraţiilor torsional al sistmului, utilizând valoril G 8GPa, d 9 mm,, 6 g m J, 5 J 6 56, 5 g m 6, m J, l (Jams t al., 989). J 5, 65 g m J, 7 J 8 9, 4 g m 4, g m J, J, l l 95 m,,

261 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 5 Fig. 4.E9 Răspuns: f 6, 9 Hz, f 8, 4 Hz, f 4 7, 9 Hz, f 5 79, 6 Hz. 4.E Să s calculz moduril proprii al vibraţiilor latral al grinzilor cu masa nglijabilă din fig. 4.E. Fig. 4.E Răspuns: a) Matrica d flxibilitat st 45 4 ml [ ] δ. 75EI Pulsaţiil proprii sunt ω 4, 46 EI m l, ω 8, 986 EI m l, ω 4 64, 997 EI m l. ω 7, 6 EI m l, b) ω, 647 EI ml, ω, 48 EI m l, ω 5, 65 EI ml.

262 54 VIBRAŢII MECANICE 4.E Să s dtrmin priml opt moduri proprii d vibraţi coplanară al grinzilor cu zăbrl din fig. 4.E. Barl au scţiuna transvrsală Φ 6 xmm şi l, m, E 7,7 GPa, ρ g m. Toat masl sunt m,6 g. Fig. 4.E Răspuns: a),5; 8,;,49; 64,8; 5,; 65,74; 99,7; 6,48 Hz. b),; 79,7; 7,4; 6,5;,6; 7,94; 9,4; 58,46 Hz. 4.E La grinda cu zăbrl din fig.4.e să s dtrmin priml şas frcvnţ proprii şi forml modal rspctiv, dacă E GPa, ρ 78 g m, l m, A mm. Răspuns: Fig. 4.E f 74, 6 Hz, f 4, 4 Hz, f 7, Hz, f 6 595, Hz. 4.E Să s dtrmin priml moduri proprii d vibraţi al grinzii continu cu patru dschidri gal din fig. 4.E şi să s comntz grupara frcvnţlor proprii. S considră E 8 GPa, ρ 785 g m, l m şi scţiun transvrsală drptunghiulară cu b h 4 mm. Fig. 4.E

263 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 55 Răspuns: 46,69; 54,48; 7,98; 94, Hz, 87,48;,59; 7,8; 74,84 Hz, 47,85; 45,6; 54,; 557,66 Hz, 89,7;..., 4,98 Hz. 4.E4 O grindă simplu rzmată cu două dschidri (fig. 4.E4) ar un arc d răsucir la suportul din mijloc. Rigiditata acstuia st K 5 EI l, und E I st modulul d rigiditat la încovoir al grinzii şi l st lungima totală. a) Să s calculz moduril proprii al vibraţiilor transvrsal al grinzii cu dschidri d lungimi gal ( Δ ). Să s comntz grupara frcvnţlor proprii. b) S considră o grindă cvasipriodică cu cuplaj slab, cu lungimil dschidrilor l (,5 Δ) şi l (,5 + Δ), und Δ,. Să s xplic fnomnul d localizar în structuri mcanic dzordonat. c) Să s xtindă analiza la grinzi cvasipriodic cu tri şi patru dschidri. Fig. 4.E4 4.E5 O grindă d scţiun constantă simplu rzmată ar lungima m, masa p unitata d lungim 5 g m, modulul d rigiditat la încovoir 4 Nm şi E GPa. Să s rprzint grinda prin patru lmnt finit şi să s calculz priml patru frcvnţ proprii prsupunând: a) masa concntrată la mijlocul ficărui lmnt; b) cât o jumătat din masa ficărui lmnt plasată la captl lmntului; c) masa uniform distribuită în lungul grinzii (matric d masă corntă). Să s compar rzultatl cu cl calculat cu formula lui Rayligh, utilizând o funcţi sinus pntru dformata grinzii, şi cu formula lui Dunrly. Să s trasz forma modurilor proprii d vibraţi pntru cazul (c).

264 56 VIBRAŢII MECANICE 4.E6 Utilizând mtoda lmntlor finit, să s calculz priml două frcvnţ proprii al vibraţiilor transvrsal al uni grinzi în consolă, d scţiun constantă. Să s modlz grinda cu,,, 4, 5 şi 6 lmnt d lungim gală şi să s compar frcvnţl proprii astfl obţinut cu valoril advărat. 4.E7 Un arbor din oţl (fig. 4.E7) cu diamtrul d 4 mm şi lungima l, m st rzmat în două lagăr d rigidităţi 4 N m şi 6 N m. μ μ Cl două discuri au masl m 4 g şi m 6 g, şi razl d inrţi r m şi rspctiv r 5m. Să s dtrmin: a) frcvnţl proprii al,, vibraţiilor latral, şi b) priml patru form modal, considrând ρ 785 g m. E GPa şi Răspuns: Fig. 4.E7 4.E8 Arborl din oţl din fig. 4.E8 st simplu rzmat în lagăr scurt. a) Să s calculz frcvnţa propri fundamntală cu formula lui Rayligh. b) Să s compar rzultatul cu cl obţinut utilizând un modl cu paramtri concntraţi. c) Să s calculz priml două frcvnţ proprii cu ajutorul programului VIBFRAME, considrând E GPa şi ρ 785 g m.

265 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 57 Răspuns: Fig. 4.E8 f 6, 76 Hz, f, 4 Hz. 4.E9 Să s dtrmin priml două frcvnţ proprii al bari cotit din fig. 4.E9 şi să s trasz forma modurilor proprii d vibraţi în planul bari. a) S considră AB CD l şi BC. Cl două bar s modlază ficar cu cl puţin tri lmnt finit. b) Pntru AB CD l şi BC l să s compar frcvnţl proprii cu cl calculat la (a). Fig. 4.E9 Răspuns: a) f f 7 Hz. b) f 45 Hz, f 69 Hz.,,, 4.E Să s calculz priml opt frcvnţ proprii şi forml modal corspunzătoar pntru vibraţiil coplanar al cadrului din fig. 4.E cu următoarl proprităţi: A vrt,6 m, A oriz,4 m, A diag,m, 4 I,756 m, E 75 GPa şi ρ 8 g m. Fig. 4.E

266 58 VIBRAŢII MECANICE R. Folosind 48 lmnt şi 44 noduri (4 lmnt pntru o bară), frcvnţl proprii sunt 45,5; 79,7; 7,7; 49,94; 65,6; 444,; 45,8; 476,8 Hz. 4.E Să s dtrmin priml moduri proprii al vibraţiilor latral coplanar al crucii dubl din fig. 4.E. Cl opt bar au lungima l 5 m şi scţiuna transvrsală un pătrat cu latura, 5m. Captl xtrioar sunt articulat iar cl intrioar sunt încastrat într-un punct comun. Proprităţil matrialului sunt E GPa şi ρ 8 g m. S rcomandă modlara ficărui braţ cu mai mult d două lmnt finit d tip bam. Răspuns: Fig. 4.E f 5, 6687 Hz, f f 8, 8485 Hz, f 4... f8 8, 8856Hz. 4.E La sistmul din fig. 4.E, modlat ca grilaj orizontal, să s calculz priml patru moduri proprii d vibraţi. S considră l,5m, l m, E GPa, ν, şi, transvrsală un pătrat cu latura a 5mm şi ρ 785 g m 4 I t, 4a.. Barl au scţiuna

267 4. MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 59 Fig. 4.E Răspuns: f, 69 Hz, f 7, Hz, f 44, 96Hz, f 4 8, 65 Hz. 4.E Să s dtrmin priml şas moduri proprii d vibraţi al grilajului din fig. 4.E. S considră l 5mm, E GPa, G 8 GPa, ρ 78 g m şi scţiuni transvrsal circular cu diamtrul d 5mm. Fig. 4.E Răspuns: Priml şas form modal sunt przntat în continuar.

268 6 VIBRAŢII MECANICE 4.E4 Grilajul din fig. 4.E4 st ralizat astfl: a) o bară orizontală ABC din oţl, cu modulul d rigiditat la încovoir 7 Nm 7 Nm, 5, modulul d rigiditat la răsucir, 9 şi masa p unitata d lungim g m ; b) două bar orizontal EBD şi GCF din oţl, încastrat rigid în bara ABC, cu modulul d 7 Nm rigiditat la încovoir 5 şi masa p unitata d lungim 5 g m ; c) mas d 5 g în E şi D, şi mas d 5 g în G şi F. S nglijază momntl d inrţi al acstor mas. S considră E GPa, G 8 GPa şi ρ 785 g m. S cr priml şas frcvnţ proprii d vibraţi. Fig. 4.E4 Răspuns:,5;,9;,9; 6,6; 6,5; 5, Hz.

269 5. SISTEME CONTINUE Când masa şi lasticitata unui sistm în vibraţi sunt distribuit în tot sistmul, pntru dscrira configuraţii acstuia st ncsar un număr infinit d coordonat. Astfl d sistm au un număr infinit d grad librtat, dci un număr infinit d frcvnţ proprii şi form modal proprii. În acst capitol s studiază vibraţiil barlor cu masă şi lasticitat distribuit, din matrial lastic, omogn şi izotrop. S tratază doar câtva cazuri simpl car pot constitui xmpl d rfrinţă pntru problml rzolvat cu ajutorul calculatorului numric. Vibraţiil plăcilor sunt tratat în parta a doua a lucrării. 5. Vibraţiil latral al barlor zvlt În continuar s vor adopta ipotzl uzual din toria încovoirii simpl, dnumită curnt toria Brnoulli-Eulr a barlor: a) bara st iniţial draptă; b) grosima bari st mică în comparaţi cu raza sa d curbură în scţiuna cu dplasar maximă; c) scţiunil transvrsal plan rămân plan în toat fazl uni vibraţii; d) una dintr axl principal d inrţi al scţiunii st prpndiculară p dircţia mişcării; ) nu xistă forţ axial; f) dformaţiil transvrsal datorit forfcării sunt nglijabil; g) masa bari st concntrată în axa nutră. Ultiml două ipotz arată că s nglijază fctl forfcării şi inrţii la rotaţi. 5.. Ecuaţia difrnţială a mişcării Dplasara latrală a bari st o funcţi d spaţiu şi d timp, v( x, t) Rlaţia într momntul încovoitor şi curbură (4.65) dvin v. v M ( x,t) EI z, (5.) x

270 6 VIBRAŢII MECANICE und E st modulul d lasticitat longitudinal al matrialului bari şi I z st momntul d inrţi axial al scţiunii transvrsal, faţă d axa principală d inrţi cuprinsă în planul nutru. Din cuaţiil d chilibru al unui lmnt d bară infinitzimal (fig. 5.), s obţin rlaţiil într momntul încovoitor, forţa tăitoar şi sarcina distribuită xtrioară. Forţa tăitoar st dată d Fig. 5. M v T ( x,t) EI z. (5.) x x Sarcina transvrsală p unitata d lungim st 4 T v p ( x,t) EI z. (5.) x 4 x Acasta constă din două componnt, sarcina transvrsală xtrioară aplicată bari q ( x, t) şi sarcina transvrsală inrţială (masa p unitata d lungim v înmulţită cu acclraţia) ρ A. Înlocuind t ( x,t) q ( x,t) A p ρ t în cuaţia (5.) s obţin cuaţia difrnţială a mişcării 4 v v v EI z + ρ A q ( x,t). (5.4) 4 x t

271 5. SISTEME CONTINUE Moduri proprii d vibraţi În cazul vibraţiilor libr q ( x,t). Intrsază condiţiil în car v ( x, t) dfinşt o mişcar armonică sincronă ( x, t) V ( x) sin ( ω t + φ) v. (5.5) Înlocuind soluţia (5.5) în cuaţia (5.4), rzultă pntru q 4 d V ω 4 dx ρ A V. (5.6) EI z Ecuaţia (5.6) st d ordinul patru dci soluţia gnrală (xcptând mişcăril d corp rigid) ar forma und V ( x ) B α x + B cosα x + B shα x B chα x sin + 4 (5.7) ρ A α 4 ω. (5.8) EI z Cl patru constant d intgrar s dtrmină din condiţiil la limită. Cl tri condiţii d rzmar clasic includ: a) capătul simplu rzmat sau articulat, pntru car dplasara transvrsală şi momntul încovoitor sunt zro; b) capătul încastrat sau fixat, pntru car dplasara transvrsală şi rotira (panta linii lastic) sunt zro; c) capătul libr, pntru car momntul încovoitor şi forţa tăitoar sunt zro. Pntru o bară d scţiun constantă, acst condiţii s xprimă V x după cum urmază: în funcţi d ( ) a) La un capăt simplu rzmat: b) La un capăt încastrat: c) La un capăt libr: V şi d V dx. (5.9) V şi d V d x. (5.) d V dx şi d V dx. (5.) Impunând cât două condiţii la ficar capăt s obţin un sistm d patru cuaţii omogn. Soluţia nbanală s obţin anulând dtrminantul coficinţilor. Dzvoltara dtrminantului conduc la o cuaţi transcndntă în α l al cări soluţii înlocuit în (5.8) conduc la xprsia pulsaţiilor proprii EI ω ( l) z n αn. n,,,... (5.) 4 ρ Al

272 64 VIBRAŢII MECANICE şi înlocuit în (5.7) conduc la funcţiil car dfinsc forml proprii d vibraţi. Doarc cuaţia (5.6) st omognă, ficar funcţi modală ( x) V n poat dscri doar dplasări rlativ al difritlor scţiuni al bari, şi nu dplasări absolut. La fl ca la sistml discrt, procsul d atribuir a unor valori absolut funcţii V n ( x) s numşt normalizar, şi constă din înmulţira cu o anumită constantă. Algra acsti constant st arbitrară. Astfl, s poat atribui o valoar gală cu dplasării dintr-o anumită scţiun. Pntru rprzntara grafică a formi mai multor moduri proprii, s dă o valoar gală cu dplasării rlativ maxim din ficar mod d vibraţi. O altă mtodă constă din normalizara formlor modal astfl încât să aibă o masă modală gală cu. În continuar, s vor dtrmina pulsaţiil proprii şi forml proprii d vibraţi pntru câtva cazuri particular d rzmar. Fig Ambl capt simplu rzmat La o bară simplu rzmată la capt (fig. 5.), condiţiil la limită sunt V şi d V dx la x şi la x l. Înlocuind condiţiil la x în xprsia (5.7) rzultă Astfl B B. 4 Aplicând condiţiil la B B B + 4 şi B + B 4 x l, rzultă. B sin α l + shα l şi B sinα l + shα l. B Singura soluţi nbanală st B şi sin α l, dci α l nπ, n,,,... (5.) Priml patru rădăcini al cuaţii (5.) sunt α n l, 4; 6, 8; 9, 45;, 566. n,,, 4.

273 5. SISTEME CONTINUE 65 Pntru o bară cu scţiun constantă, simplu rzmată la capt, pulsaţiil proprii sunt 4 nπ ωn l iar forml proprii sunt dat d V n ( x ) und C st o constantă arbitrară. EI z. n,,,... (5.4) ρ A nπ x C sin, l Forml primlor patru moduri d vibraţi, pntru n,,, 4, şi poziţiil punctlor nodal corspunzătoar sunt przntat în fig. 5.. Fig Bara în consolă Algând origina axi x în încastrar, şi aplicând condiţiil la limită (5.) şi (5.), rzultă: La x, V, B + B 4. La x, d V d x. B + B. La x l, d V dx. B 4 B sinα l B cosα l + B shα l + chα l. La x l, d V dx. B cosα l + B sinα l + B chα l + shα l. B 4 Cl patru cuaţii liniar omogn d mai sus au o soluţi nbanală dacă s anulază dtrminantul coficinţilor

274 66 VIBRAŢII MECANICE sinα l cosα l cosα l sinα l shα l chα l chα l shα l d und rzultă cuaţia pulsaţiilor proprii cosα l chα l. (5.5) Priml cinci soluţii al cuaţii (5.5) sunt α n l, 875; 4, 694; 7, 855;, 996; 47,. n,,, 4, 5. (5.6) Pntru n > 5 valoril soluţiilor pot fi aproximat prin α n nl π. (5.6, a) Înlocuind B 4 B şi B B în ultiml două condiţii la limită, rzultă B B ( sinα l + shα l) + B ( cosα l + chα l), ( cosα l + chα l) B ( sinα l shα l). Egalând cu zro dtrminantul coficinţilor cuaţiilor d mai sus s obţin cuaţia pulsaţiilor proprii (5.5). Exprimând B 4, B şi B în funcţi d B C, s obţin funcţia car dscri forma modului d ordinul n und V n ( x ) C [ chα x cosα x ( shα x sinα x ) ] (5.7) n chα l + cosα l n, n,,,... (5.8) shα l + sinα l Forml primlor patru moduri proprii d vibraţi şi poziţiil punctlor nodal rspctiv sunt przntat în fig Bara libră la capt La o bară libră la capt (fig. 5.4), condiţiil la limită sunt V ( ), V ( ), V ( l), ( l) V. (5.9) Cu mtoda utilizată în xmpll prcdnt şi aplicând condiţiil la limită (5.9) s obţin cuaţia pulsaţiilor proprii

275 5. SISTEME CONTINUE 67 cos α l chα l +. (5.) Priml patru rădăcini al cuaţii (5.) sunt α n l 4, 7; 7, 85;, 996; 47,. n,,, 4 (5., a) Pntru n > 4 valoril soluţiilor pot fi aproximat prin α n nl π. (5., b) Fig. 5.4 und Forml proprii sunt dat d V n ( x ) C [ sh α x + sinα x ( chα x + cosα x ) ] (5.) n shα l sinα l n, n,,,... chα l cosα l Forml primlor patru moduri proprii d vibraţi şi poziţiil punctlor nodal rspctiv sunt przntat în fig Ecuaţia (5.6) admit alt două soluţii car satisfac condiţiil la limită (5.9), anum x B const., V x B x + B ( ) ( ). V Acsta dfinsc moduril d vibraţi d corp rigid. Prima corspund translaţii vrtical, a doua rotaţii în plan vrtical, ambl având pulsaţia propri nulă Bara încastrată la capt La o bară încastrată la ambl capt (fig. 5.5), condiţiil la limită sunt V ( ), V ( ), V ( l), ( l) V.

276 68 VIBRAŢII MECANICE Ecuaţia pulsaţiilor proprii st (5.9) iar pulsaţiil proprii sunt dat d α n l 4, 7; 7, 85;, 996; 47,, pntru n,,, 4, şi α n n l π pntru n > 4. Fig. 5.5 und Forml modurilor proprii sunt dat d V n ( x ) C [ chα x cosα x ( shα x sinα x ) ] (5.) n chα l cosα l n, n,,,... (5.4) shα l sinα l Forml primlor patru moduri proprii d vibraţi şi poziţiil punctlor nodal corspunzătoar sunt przntat în fig Fig Un capăt încastrat şi un capăt libr Când bara st încastrată la un capăt şi libră la clălalt (fig. 5.6), condiţiil la limită sunt V, ( ) V l, V ( l). ( ) V, ( ) Ecuaţia pulsaţiilor proprii st

277 5. SISTEME CONTINUE 69 th α l tgα l. (5.5) Priml patru rădăcini al cuaţii (5.5) sunt und α n l, 97; 7, 69;, ;, 5. n,,, 4. Pntru n > 4 valoril soluţiilor pot fi aproximat prin Forml modurilor proprii sunt dat d V n 4 + α n n l π 4. (5.6) ( x ) C [ chα x cosα x ( shα x sinα x ) ] (5.7) n chα l cosα l n, n,,,... (5.8) shα l sinα l Forml primlor patru moduri proprii d vibraţi şi poziţiil punctlor nodal corspunzătoar sunt przntat în fig Ortogonalitata funcţiilor proprii Ca la toat sistml vibratoar namortizat, funcţiil proprii al barlor cu masă şi lasticitat distribuit sunt ortogonal. În cazul gnral al barlor cu scţiun variabilă, acsta sunt ortogonal în raport cu o funcţi d pondrar m ( x), und m( x) ρ A( x) st masa p unitata d lungim. Modulul d rigiditat E I x. la încovoir s notază ( ) Considrând moduril d indic r şi s, s poat scri ( I Vr )" r mvr ( I V )" mv E ω, (5.9) E s ω s s. (5.) Înmulţind cuaţiil (5.9) şi (5.) cu V s şi rspctiv V r, şi intgrând d la la l rzultă l ( E I V )"Vs dx r l r ω VrVs mdx, (5.) l ( E I V )"Vr dx s l s ω VsVr mdx. (5.)

278 7 VIBRAŢII MECANICE Scăzând cuaţia (5.) din (5.) rzultă l l ( ) V V mdx ( EI V )"V ( EI V ) [ "V ] s r r s s ω dx. (5.) r ω s Intgrând prin părţi mmbrul drpt al cuaţii (5.) s obţin l ( ω ω ) V mdx V ( EI V )' V ( EI V )' r s s r {[ ] EI ( V V V V )} l V s r r s s r r r s. (5.4) Mmbrul drpt al cuaţii (5.4) s anulază dacă, la captl bari, s aplică cl puţin una dintr următoarl prchi d condiţii la limită: V, V, V, EI V, V, EIV, ( EIV )' ( EIV )'., (5.5) Prsupunând că una dintr prchil d condiţii la limită d mai sus s aplică la ficar din capt bari, cuaţia (5.4) s rduc la l m ( x) V ( x) V ( x) dx r s, s r. (5.6) Ecuaţiil d tipul (5.6) s numsc rlaţii d ortogonalitat într funcţiil x V s x sunt ortogonal (într l) în proprii al bari. S spun că funcţiil V r ( ) şi ( ) raport cu funcţia d pondrar m ( x). La o bară d scţiun constantă, rlaţia (5.6) dvin l ( x) V ( x) dx Vr s, r s. (5.6, a) D asmna, la o bară cu o combinaţi oarcar într condiţiil la limită d mai sus (simplu rzmată, încastrată sau libră) l EI ( x) V ( x) V ( x) dx r. r s, s Rlaţiil (5.6) pot fi utilizat la dtrminara răspunsului libr cu condiţii iniţial dat.

279 5. SISTEME CONTINUE Grinzi continu La calculul pulsaţiilor proprii al barlor p mai mult razm, tronsonul dintr două razm st considrat ca o bară sparată, cu origina în razmul din stânga. Ecuaţia (5.7) s aplică ficărui tronson. La captl bari, sunt aplicabil condiţiil la limită corspunzătoar tipului d rzmar. P ficar razm intrmdiar săgata st nulă. Doarc bara st continuă, pantl şi momntl încovoitoar la stânga şi la drapta razmlor intrmdiar sunt gal. Saltul forţi tăitoar st gal cu racţiuna din razm. În Tablul 5. s dau valoril lui α n l din rlaţia (5.) pntru calculul primlor cinci pulsaţii proprii al grinzilor continu d scţiun constantă şi cu dschidri gal. Tablul 5. Configuraţia bari Număr d dschidri Modul 4 5 Rădăcinil cuaţi caractristic,4 6,8 9,45,566 5,78,4,97 6,8 7,69 9,45,4,55 4,4 6,8 6,69 4,4,9,97 4,46 6,8 5,4,99,77 4,47 4,555 6,4,67,55,97 4,4 7,4,6,456,77 4,84 8,4,5,9,644,97 9,4,5,,55,8,4,5,99,487,77,4,7,67,44,6,4,7,67,9,55 Pulsaţiil proprii al grinzilor continu cu dschidri gal formază grupuri cu valori apropiat într l, numărul pulsaţiilor dintr-un grup fiind gal cu numărul dschidrilor bari. Acasta st o propritat a aşa-numitlor sistm priodic. În fig. 5.7 s przintă forml modurilor proprii d vibraţi pntru primul grup d pulsaţii proprii plus prima pulsaţi propri din grupul următor la grinzi continu cu două, tri, patru şi rspctiv cinci dschidri gal.

280 7 VIBRAŢII MECANICE Fig. 5.7

281 5. SISTEME CONTINUE 7 Exmplul 5. Să s stabilască cuaţia pulsaţiilor proprii la o bară cu două dschidri ingal, simplu rzmată la capt. Rzolvar. Pntru primul tronson, d lungim l, soluţia (5.7)s scri ( x ) A sinα x + B cosα x + C shα x + D α x V ch iar pntru al doila tronson, d lungim l, ar forma ( x ) A sinα x + B cosα x + C shα x + D α x V ch. P baza condiţiilor la limită şi d continuitat V ( ) V ( ), V ( l ) V ( ), V ( ) ( ) ( l ) ( ), V ( l ) V ( l ) V V l, V s stabilsc următoarl cinci rlaţii într constantl d intgrar A A A A A sinα l cosα l sinα l sinα l sinα l + C + C + C + C + C shα l chα l shα l shα l chα l, A D + D + D C,, ( chα l cosα l ), ( chα l + cosα l ). Sistmul d cuaţii d mai sus ar soluţii nbanal dacă dtrminantul coficinţilor ncunoscutlor A, C, A, C şi D st gal cu zro. Din acastă condiţi s obţin cuaţia pulsaţiilor proprii ( μ) α l sinα l sin μα l sin ( μ) α l shα l sh μ α l sh, în car s-a notat μ l l şi l l + l Condiţii la limită natural Efctul forţlor şi momntlor concntrat, al razmlor lastic şi al maslor concntrat poat fi introdus prin condiţiil la limită natural bazat p cuaţiil (5.) şi (5.), car dfinsc momntul încovoitor şi forţa tăitoar în scţiuna rspctivă. După caz, acsta sunt utilizat împrună cu condiţiil la limită gomtric, car dfinsc dplasara latrală (săgata) şi panta linii lastic (rotira scţiunii).

282 74 VIBRAŢII MECANICE Forţ şi momnt concntrat Condiţiil la limită natural s stabilsc cl mai uşor p baza condiţiilor d continuitat car dfinsc saltul momntului încovoitor şi al forţi tăitoar în scţiunil und sunt aplicat un momnt concntrat sau o forţă concntrată. a Fig. 5.8 b Din fig. 5.8, a rzultă rlaţia într momntl încovoitoar la drapta şi la stânga M s scţiunii în car s aplică momntul M M d M M. (5.7) s Din fig. 5.8, b rzultă rlaţia într forţl tăitoar la drapta T d şi la stânga T s scţiunii în car s aplică forţa F T T F. (5.8) d s + Dacă rlaţiil (5.7) şi (5.8) s aplică la capătul din stânga al uni bar, atunci M s şi T s, iar dacă s aplică la capătul din drapta, atunci M d şi T. d M d a Fig. 5.9 b Astfl, la bara din fig. 5.9, a, la capătul din drapta M şi F Fcosωt, dci condiţiil la limită s scriu EI v EI v () l M () l, F EI () l T () l F F cosωt, v () l cosωt. La bara din fig. 5.9, b, la mijlocul bari, condiţiil la limită sunt (5.9)

283 5. SISTEME CONTINUE 75 l v, l l M EI v M M l M cosωt, v cosωt. EI (5.4) Razm lastic În razml lastic liniar, racţiunil sunt proporţional cu dplasăril corspunzătoar. La un arc d translaţi d rigiditat, forţa st proporţională cu săgata, F v. La un arc d rotaţi d rigiditat K, momntul st proporţional cu rotira, M K v. Condiţiil d continuitat (5.7) şi (5.8) s scriu EI v EI v v, (5.4) d s E I vd EI v s + K v. (5.4) Acsta s particularizază la captl bari prin anulara trmnului rspctiv. Pntru capătul din stânga condiţiil la limită sunt dat în fig. 5., a iar pntru capătul din drapta în fig. 5., b. () v( ) EI v () l v() l E I v E I ( ) v ( ) v K E I ( l) v ( l) v K a Fig. 5. b Mas concntrat Pntru o grutat ataşată bari, d masă m şi momnt d inrţi masic J, condiţiil d continuitat (5.7) şi (5.8) s scriu EI v EI v m& v&, (5.4) d s E I v d EI v s + J & v. (5.44) Exprimând acclraţiil în funcţi d dplasări, rzultă

284 76 VIBRAŢII MECANICE Înlocuind E I v EI v + mω v, (5.4,a) d s E I vd EI v s Jω v. (5.44,a) ω din rlaţia (5.8), s obţin v d v + s α α m ρ Al ( α l) v, (5.4,b) J v d v s ( α l) v. (5.44,b) α α ρ Al α Rlaţiil d continuitat s particularizază la captl bari prin anulara trmnului rspctiv. Pntru capătul din stânga condiţiil la limită sunt dat în fig. 5., a iar pntru capătul din drapta în fig. 5., b. EI v ( ) m& v& ( ) ( l) && v( l) E I v m E I ( ) J & v ( ) v & E I ( l) && v ( l) v J a Fig. 5. b Exmplul 5. O bară prismatică cu lungima l şi modulul d rigiditat la încovoir EI st articulată la un capăt şi simplu rzmată p un arc d rigiditat la clălalt capăt (fig. 5.). Să s dtrmin cuaţia pulsaţiilor proprii al vibraţiilor l transvrsal al bari şi priml două pulsaţii proprii pntru cazul când. EI Rzolvar. S utilizază soluţia cuaţii d mişcar (5.7). La x, V şi V ( ). Rzultă B B. săgata şi momntul încovoitor sunt nul, ( ) 4 La x l, momntul încovoitor st zro iar forţa tăitoar st forţa din arc, proporţională cu săgata, V ( l) şi V () l V () l. Rzultă un sistm E I

285 5. SISTEME CONTINUE 77 algbric omogn cu ncunoscutl B şi B. Anulând dtrminantul coficinţilor s obţin cuaţia pulsaţiilor proprii l Pntru EI pulsaţii proprii sunt sinα l chα l cosα lshα l sinα lshα l ( α l) l. (5.45) EI, rzultă ( α l) şi ( α l) 94,,, dci priml două, 76 EI ω, l ρ A 5, 547 EI ω. l ρ A Fig. 5. Fig. 5. Exmplul 5. Să s dtrmin cuaţia pulsaţiilor proprii al vibraţiilor transvrsal al uni bar cu lungima a şi modulul d rigiditat la încovoir E I, rzmată la capt p arcuri d rigiditat (fig. 5.). Rzolvar. S utilizază soluţia cuaţii d mişcar (5.7). Cu origina axlor d coordonat la mijlocul bari, condiţiil la limită s aplică pntru jumătata din drapta a bari. Pntru moduril simtric d vibraţi, la x, panta şi forţa tăitoar sunt V. Rzultă B B. nul, V ( ) şi ( ) La x a, momntul încovoitor st zro iar forţa tăitoar st forţa din V a şi V ( a) V ( a). Rzultă EI arc, proporţională cu săgata, ( ) B cosα a + B4 chα a, α ( B sinα a + B4 shα a ) ( B cosα a + B4 chα a ). EI Anulând dtrminantul coficinţilor lui B şi B 4 s obţin cuaţia pulsaţiilor proprii al modurilor simtric d vibraţi

286 78 VIBRAŢII MECANICE sinα a chα a + cosα a shα a cosα a chα a ( α a) a. (5.46) EI Acasta corspund bari încastrat în capătul din stânga şi rzmat lastic în capătul din drapta. Pntru, din (5.46) rzultă cuaţia pulsaţiilor proprii pntru moduril simtric al bari libr la capt tg α a + thα a. Pntru, din (5.46) s obţin cuaţia pulsaţiilor proprii pntru moduril simtric al bari simplu rzmat la capt cos α a. Pntru moduril antisimtric d vibraţi, la x, săgata şi momntul încovoitor sunt nul, V ( ) şi V ( ), ca la problma prcdntă. Dci cuaţia pulsaţiilor proprii pntru moduril antisimtric s obţin din (5.45) înlocuind l a. Pntru, rzultă tg α a thα a, iar pntru, s obţin sin α a. Exmplul 5.4 O bară în consolă, cu lungima l, modulul d rigiditat la încovoir EI şi masa p unitata d lungim ρ A, ar ataşată în capătul libr o grutat d masă m şi momnt d inrţi masic J (fig. 5.4). Să s dtrmin cuaţia pulsaţiilor proprii al vibraţiilor transvrsal al bari. Rzolvar. S utilizază soluţia cuaţii d mişcar (5.7). În încastrar, la x, săgata şi rotira sunt nul, V ( ) şi V ( ). Rzultă B4 B şi B. B La und s-a notat x l, condiţiil la limită s scriu V α () l μ ( α l) V () l V α α m μ, ρ Al () l β ( α l) V () l J β. ρ Al,,

287 5. SISTEME CONTINUE 79 Rzultă un sistm algbric omogn cu variabill B şi B. Anulând dtrminantul coficinţilor s obţin cuaţia pulsaţiilor proprii μ β ( αl) 4 ( αl) + μβ + μ cosαl chαl 4 ( αl)( tgαl thαl) β ( αl) ( tgαl thαl) Prin particularizar, înlocuind β, s obţin cuaţia pntru bara cu o masă concntrată, cu momnt d inrţi nglijabil + cosα l chα l μ. (5.47) sinα l chα l cosα lshα l αl Pntru β şi μ rzultă cuaţia pulsaţiilor proprii al bari fără masă în capăt (5.5).. Fig. 5.4 Fig. 5.5 Exmplul 5.5 O bară cu lungima l, modulul d rigiditat la încovoir EI şi masa p unitata d lungim ρ A, st rzmată la capt p arcuri torsional d rigiditat K şi ar ataşată la mijloc o grutat d masă m şi momnt d inrţi masic J (fig. 5.5). Să s dtrmin cuaţiil pulsaţiilor proprii al vibraţiilor transvrsal simtric şi antisimtric al bari. st Rzolvar. Ecuaţia pulsaţiilor proprii al modurilor simtric d vibraţi m αl αl αl K l m αl αl αl αl th tg + sc sch + th + tg. ρ Al EI ρ Al α l Ecuaţia pulsaţiilor proprii al modurilor antisimtric d vibraţi st αl αl αl sin sh + 4J ρal K l αl αl cotg coth + EI αl K l 4J + EI ρal αl αl αl cos ch.

288 8 VIBRAŢII MECANICE 5..6 Răspunsul la xcitaţi armonică La o bară solicitată d o forţă sau un cuplu cu variaţi armonică în timp, răspunsul dinamic poat fi calculat utilizând soluţia pntru bara fără sarcină xtrioară distribuită, introducând xcitaţia printr-o condiţi la limită. Pntru xmplificar s considră o bară libră la capt. Fig. 5.6 Încărcar simtrică S considră o bară libră la capt, acţionată d o forţă armonică F sinω t aplicată la mijlocul bari (fig. 5.6). În rgim staţionar, soluţia s alg d forma ( x, t) Y ( x) cosω t v, (5.48) în car ω st pulsaţia xcitatoar. Din rlaţia (5.4) rzultă Y ( x ) C α x + C cosα x + C shα x C chα x sin + 4 (5.49) und ρ A α 4 ω. (5.5) EI z Pntru jumătata din stânga a bari, condiţiil la limită sunt Y ( ), Y ( ), Y ( l ), E I Y ( ) F l. (5.5) Amplitudina vibraţiilor forţat într-o scţiun x l st

289 5. SISTEME CONTINUE 8 Y αl αl F sh sin 4 EI α αl αl αl αl ch sin + cos sh αl αl cos + ch ( cosα x + chα x)g αl αl αl αl ch sin + cos sh ( x) C ( sinα x + shα x) (5.5) Săgata dinamică la mijlocul bari st αl αl cos ch l + l F Y. (5.5) 6 EI αl αl αl αl αl ch sin + cos sh Anulând numitorul xprsii (5.5) s obţin pulsaţiil d rzonanţă. Rzultă cuaţia α l α l th + tg. (5.54) Priml tri rădăcini al cuaţii (5.54) sunt Valoril α l, 65; 5, 498; 8, 69. n,,. n ( α l ) 4 7 ; ( α l) 996 ; ( l) 7 78 s, s, α ; (5.55) s, sunt rădăcinil cuaţii (5.) corspunzătoar modurilor simtric d vibraţi. Anulând numărătorul xprsii (5.5) s obţin pulsaţiil d antirzonanţă. Rzultă cuaţia α l α l + cos ch, (5.56) al cări prim tri rădăcini sunt sau α l 875, ; 4, 694; 7, 855; n,,, n ( ) ( α l ), 75 ; ( ) ( α l ) 9, 88 ; ( ) ( l ) 5, 7 α.

290 8 VIBRAŢII MECANICE Fig. 5.7 Curba rcptanţi dirct (în punctul d xcitar) a bari libr la capt din fig. 5.6 st przntată în fig. 5.7 în car s-a utilizat o scară vrticală logaritmică. Încărcar antisimtrică S considră o bară d scţiun constantă, libră la capt, acţionată d un cuplu armonic M cosω t aplicat la mijlocul bari (fig. 5.8). Fig. 5.8 Dplasara latrală ar xprsia (5.49). Pntru jumătat d bară, condiţiil la limită sunt Y ( ), Y ( ), Y ( l ), EI Y ( ) M l. (5.57) Amplitudina vibraţiilor forţat într-o scţiun x l st

291 5. SISTEME CONTINUE 8 Y αl αl M cos + ch 4 EI α αl αl αl αl ch sin cos sh αl αl sin + sh ( cosα x + chα x)g αl αl αl αl ch sin cos sh ( x) C ( sinα x + shα x) Anulând numitorul xprsii (5.58) s obţin cuaţia pulsaţiilor (5.58) α l α l th tg. (5.59) Priml tri rădăcini al cuaţii (5.59) sunt Valoril α l, 65; 5, 498; 8, 69. n,,. n ( α l ) 97 ; ( α l) 7 69 ; ( l) a, a, α ; (5.6) a, sunt rădăcinil cuaţii (5.) corspunzătoar modurilor antisimtric d vibraţi. Dacă bara st acţionată d o forţă armonică F cosω t aplicată într-o scţiun oarcar, sarcinil chivalnt aplicat la mijlocul bari sunt o forţă şi un cuplu, dci răspunsul forţat s poat obţin prin însumara soluţiilor (5.5) şi (5.58). Pulsaţiil d rzonanţă au xprsia (5.) EI ω ( l) z n αn n,,,... 4 ρ Al und α n l st dat d (5.5) şi (5.57). S obsrvă că α α s, α a α, α s α, α a α 4, α s α 5, α α 6 Acasta s xplică scriind cuaţia (5.) sub forma α l α l tg + th α l α l + tg th car s mai scri a,... α l α l α l α l tg + th tg th. (5.,a)

292 84 VIBRAŢII MECANICE Anulând ficar factor s obţin cuaţiil pulsaţiilor proprii (5.54) şi (5.59). Exmplul 5.6 O bară prismatică cu lungima a şi modulul d rigiditat la încovoir EI st rzmată la capt p arcuri d rigiditat (fig. 5.9) şi solicitată la mijlocul dschidrii d o forţă armonică transvrsală F F cosωt. S cr să s calculz xprsia amplitudinii vibraţiilor bari în punctul d aplicaţi al forţi. Fig. 5.9 Rzolvar. Doarc forţa F xcită doar moduril simtric d vibraţi, s poat considra doar jumătata din drapta a bari, algând origina axlor d coordonat în mijlocul acstia. În rgim staţionar, soluţia cuaţii d mişcar st d forma (5.45) în car Y x st dată d (5.46). Condiţiil la limită sunt dplasara transvrsală ( ) Y Y ( ), EI Y ( ) F, Y ( a), E I Y ( a) Y ( a) ( ) und s-a notat Săgata dinamică la mijlocul bari st. ( sinαa chαa cosαa shαa) F a + cosαa chαa + κ, (5.6) 4 EI ( α a) ( sinαa chαa cosαa shαa) κ cosαa chαa κ α EI. Prin anulara numitorului xprsii (5.6) s obţin cuaţia pulsaţiilor proprii pntru moduril simtric d vibraţi (5.46). Pntru κ s obţin xprsia (5.5) stabilită pntru bara libră la capt.

293 5. SISTEME CONTINUE Vibraţiil longitudinal al barlor S considră o bară cu scţiuna transvrsală constantă A şi dnsitata ρ, u datorită forţlor axial. În fig. 5. s przintă forţl car acţionază asupra unui lmnt infinitzimal d lungim dx dtaşat din bară. în car apar dplasări longitudinal u ( x,t) Fig. 5. Ecuaţia d mişcar în dircţia x st und u st dplasara în scţiuna x. În scţiuna N u N + d x N ( ρ Ad x), x t N u ρ A, (5.6) x t x + d x dplasara st u + ( u x) d x. Alungira spcifică axială st ε x u x, tnsiuna normală axială σ x E u x, und E st modulul d lasticitat longitudinal al matrialului bari. Alungira spcifică poat fi xprimată în funcţi d forţa axială N sub forma u x N EA. (5.6) Combinând cuaţiil (5.6) şi (5.6) rzultă cuaţia difrnţială a vibraţiilor longitudinal libr u ρ u. (5.64) E x t

294 86 VIBRAŢII MECANICE lungul bari. Constanta c E ρ st vitza d propagar a undlor longitudinal în Intrsază în c condiţii poat ava loc o mişcar armonică sincronă dfinită printr-o soluţi d forma în car ( x,t) U ( x) ( ω t +φ) u sin. (5.65) Înlocuind soluţia (5.65) în cuaţia (5.64) rzultă d U + U β (5.66) dx ρ β ω. (5.67) E Soluţia gnrală a cuaţii (5.66) st U ( x) C β x C cosβ x sin +. (5.68) Cl două constant d intgrar C şi C s dtrmină din condiţiil la limită. La un capăt fix, dplasara st zro, u. La un capăt libr, tnsiunil şi dci alungiril spcific sunt nul, u x. Efctul uni mas sau al unui arc ataşat la capătul bari poat fi d asmna introdus prin condiţii la limită. Bara libră la capt La o bară libră la ambl capt, u x la x şi x l. Rzultă C şi, doarc C trbui să fi difrit d zro pntru a xista vibraţii, cuaţia pulsaţiilor proprii (cuaţia caractristică) st sin β l. (5.69) Soluţia cuaţii (5.69) constă dintr-un număr infinit d valori proprii βn l nπ. n,,,... Pulsaţiil proprii rzultă din (5.67) iar forml modal sunt dfinit d funcţiil proprii π E ω n n, n,,,... (5.7) l ρ U n ( x) x C cos nπ, l

295 5. SISTEME CONTINUE 87 und C st o amplitudin ndtrminată. Răspunsul dinamic al uni bar cu masă şi lasticitat distribuit poat fi xprimat printr-o suprapunr d mişcări în moduril proprii d vibraţi al bari. Acsta sunt mişcări armonic sincron, la pulsaţia propri rspctivă, în car toat punctl vibrază în fază (sau în opoziţi), distribuţia spaţială a amplitudinilor fiind dfinită d funcţia propri. În aplicaţii practic, sria infinită st trunchiată la moduril al căror pulsaţii proprii sunt cuprins în domniul d pulsaţii d lucru al bari. Matrica d rigiditat dinamică Est util să s compar matrica d rigiditat dinamică xactă pntru un sgmnt d bară în vibraţii axial (lmnt articulat la capt) cu matricil obţinut p baza funcţiilor d formă static, (4.) şi (4.8). Notând u, u, dplasăril nodal dinamic şi f, f, forţl nodal dinamic (pozitiv în snsul pozitiv al axi x), ca în 4.., condiţiil la capt sunt U ( ) q, U () l q, U ( ) Utilizând soluţia (5.68) rzultă f f, U () l. (5.7) E A E A q q C sin β l cos β l C, f f C EAβ, cos β l sin β l C şi, pntru sinβ l, f f cotgβ l coscβ l q EAβ, coscβ l cotgβ l q astfl încât matrica d rigiditat dinamică st cotgβ l coscβ l [ ] EAβ din. (5.7) coscβ l cotgβ l Din dzvoltara în sri Taylor, limitată la tri trmni, a coficinţilor matricii dinamic (5.7), s obţin ( A) E A ρ Al 4 l ρ EAβ cotgβ l ω ω..., l 45E A

296 88 VIBRAŢII MECANICE ( A) E A ρ Al 4 7l ρ EAβ coscβ l ω ω... l 6 6E A În ambl dzvoltări, s obsrvă că primul trmn st gal cu lmntul corspunzător din matrica d rigiditat (4.) iar trmnul al doila st gal cu lmntul rspctiv din matrica d masă corntă (4.8) înmulţit cu ( ω ) ambl calculat utilizând funcţiil d formă static (4.4). Dacă matrica d rigiditat dpndntă d pulsaţi st E A [ ] l + ω ( ρ Al) l 45EA iar matrica d masă corntă dpndntă d pulsaţi st 7 8 A 7 8 [ m ] ρ l l + ω ( ρ Al) 6 45EA 7 8, s constată că al trila trmn din sriil d mai sus provin din lmntl dpndnt d frcvnţă al matricilor d masă şi d rigiditat. 5. Vibraţiil torsional al barlor Ecuaţia d mişcar a uni bar în vibraţii torsional st similară cu ca pntru vibraţiil longitudinal stabilită în paragraful prcdnt şi ar forma θ ρ θ, (5.7) G x t und θ st unghiul d răsucir în scţiuna x şi G st modulul d lasticitat transvrsal al matrialului bari. forma Pntru calculul modurilor proprii d vibraţi s caută soluţii armonic d (,t) Θ ( x) ( ω t φ) θ x sin +. (5.74) Înlocuind în cuaţia (5.7), s obţin und d Θ + γ Θ dx (5.75) ρ γ ω. (5.76) G

297 5. SISTEME CONTINUE 89 Soluţia gnrală a cuaţii (5.75) st Θ ( x) C γ x C cosγ x sin +. (5.77) Constantl d intgrar C şi C s dtrmină din condiţiil la limită. La un capăt fix unghiul d răsucir st zro, θ. La un capăt libr, θ x (căci unghiul d răsucir produs d un momnt d torsiun M st dθ M dx GI t ). Efctul momntlor concntrat, al arcurilor d torsiun şi al discurilor ataşat d bară poat fi d asmna introdus prin condiţii la limită natural. Bară fixă la un capăt şi libră la clălalt capăt La x, θ, şi la x l, θ x. Rzultă C şi cuaţia pulsaţiilor proprii cos γ l. (5.78) Ecuaţia (5.78) ar un număr infinit d soluţii d forma Pulsaţiil proprii sunt dat d γ n n l π. n,,,... n π G ω n, n,,,... (5.79) l ρ iar forml modurilor proprii d vibraţi sunt dfinit d n x Θ n ( x) C sin π l und C st o amplitudin unghiulară ndtrminată. Matrica d rigiditat dinamică Prin analogi cu vibraţiil longitudinal, matrica d rigiditat dinamică a unui lmnt d bară solicitat la răsucir st cotg γ l cosc γ l [ ] GI γ din t. (5.8) cosc γ l cotg γ l und γ st dat d (5.76) iar G It st modulul d rigiditat la răsucir. Acastă matric xprimă momntl d răsucir dinamic nodal în funcţi d unghiuril d răsucir dinamic nodal.

298 9 VIBRAŢII MECANICE Utilizând dzvoltara în sri Taylor ca în 5., rzultă următoarl matrici d rigiditat şi d masă dpndnt d pulsaţi GIt 4 l 7 8 [ ] + ( ρ I l) l ω t 45GIt 7 8 ρ It l l 7 8 [ m ] + ω ( ρ I l) 6 t 45GI t Grinzi Timoshno Rzultatl obţinut în 5. sunt valabil pntru bar zvlt, la car s nglijază inrţia la rotaţi şi dformaţiil produs d forfcar. Analiza vibraţiilor barlor car includ acst fct, cunoscută sub numl d toria Timoshno a barlor, st przntată în parta a două a lucrării. În gnral, prin considrara acstor fct rzultă pulsaţii proprii cu valori mai mici dcât cl obţinut din rlaţia (5.6). La o bară cu scţiuna constantă, simplu rzmată la capt, valoril pulsaţiilor proprii calculat cu rlaţia (5.4) au o roar sub 5% dacă n r l <, 8, und modal. r I A st raza d inrţi a scţiunii transvrsal iar n st indicl O particularitat a barlor d tip Timoshno st xistnţa a două pulsaţii proprii difrit pntru ficar tip d formă dformată a linii lastic a bari. Pulsaţia mai mică s obţin pntru un mod d vibraţi în car dformaţiil datorit încovoirii şi forfcării sunt în fază şi s însumază pntru a da dformaţia latrală totală. Pulsaţia mai mar corspund unui mod d vibraţi în car dformaţiil d încovoir şi cl d forfcar sunt în opoziţi, iar dformaţia latrală totală st gală cu difrnţa lor. În toria lui Timoshno, ipotza d bază s rfră la forma scţiunii transvrsal. S prsupun că scţiunil plan rămân plan în timpul vibraţiilor, dar nu sunt prpndicular p axa dformată a bari, ci rotit cu un unghi d luncar spcifică constant în toat punctl scţiunii (nglijând dplanara datorită dformaţiilor d forfcar). Acst unghi s calculază p baza uni suprafţ fctiv obţinut înmulţind aria rală a suprafţi scţiunii transvrsal cu un factor d forfcar car dpind d coficintul lui Poisson al matrialului şi d forma scţiunii bari.

299 6. UNDE ELASTICE În acst capitol s studiază undl lastic în mdii solid. Pntru simplificara xpunrii, la încput s przintă propagara undlor în bar drpt, dci într-un mdiu lastic limitat, pntru car intrprtara fizică a rlaţiilor matmatic st mai simplă. În continuar s tratază undl într-un mdiu lastic, izotrop, omogn şi infinit, pornind d la cuaţiil gnral al mişcării în tri dimnsiuni, apoi într-un smispaţiu lastic omogn şi într-un smispaţiu stratificat. Przntara s bazază p un txt scris pntru lucrara [] (L. Ftcu, 975). În final s dscriu p scurt undl ghidat în plăci omogn. 6. Propagara undlor und. O prturbaţi produsă într-un mdiu continuu s propagă sub formă d Dacă unui punct i s impun o dplasar, l antrnază prin forţl d lgătură lastic şi punctl învcinat. Dacă dplasara st variabilă în timp, punctul rspctiv dvin sursă d mişcar. Mişcara lui s transmit d la punct la punct spr zonl nxcitat dirct, aflat iniţial în rpaus. Cu cât punctl sunt mai îndpărtat d sursă, cu atât intră mai târziu în mişcar. În flul acsta, mişcara s propagă prin mdiu cu vitză finită. Est d aştptat ca soluţiil cuaţiilor d mişcar stabilit în cazul vibraţiilor sistmlor continu să dscri şi fnomnul d propagar a mişcării vibratorii, doarc acst cuaţii sunt ddus p baza lgilor mcanicii, considrând aclaşi forţ d lgătură lastic car condiţionază propagara mişcării. D xmplu, vibraţiil longitudinal armonic al barlor prismatic sunt u x,t car poat fi scrisă sub forma dscris d o dplasar ( ) ( x,t ) X ( x) T( t) u, (6.)

300 9 VIBRAŢII MECANICE und X ( x) st longaţia dplasării axial a punctlor din scţiuna x, iar T () t st funcţia car dscri variaţia în timp a dplasării scţiunii considrat. Forma (6.) a dplasării prmit fi analiza mişcării vibratorii a punctlor bari dintr-o scţiun dată, fi dtrminara distribuţii dplasărilor în lungul axi longitudinal, la un momnt dat. Particularizând soluţia (6.) pntru cazul uni bar libr la capt (v. 5.), în vibraţi armonică (faza iniţială nulă) u ( x,t ) a cosα x sinω t, und ρ ω α ω, E c prin transformara produsului d funcţii trigonomtric în sumă, s obţin u ( x,t ) a [ sin ( ω t α x) + sin ( ω t + α x) ] a ω ω sin ( ct x) + sin ( ct + x). Astfl dplasara ( x,t ) d cât o variabilă und c c u s poat scri sub forma uni sum a două funcţii ( x,t ) f ( ξ ) f ( ) u +, (6.) ξ ξ ct x, ξ c t + x, (6.) f ( ξ ) f ω. (6.4) c ( ξ ) a sin ξ S considră componnta u ( x,t ) a dplasării u ( x,t ) u ( x,t ) f ( ct x ),, dată d funcţia pntru car s poat scri şirul d galităţi vidnt u ( x,t ) f ( ct + cδ t cδt x ) f [ c ( t + Δt) ( x + cδt) ] u ( x + cδ t,t + Δt ) sau, rţinând trmnii xtrmi, după timpul ( x,t ) u ( x + Δ x, t + Δt ) u, Δ x cδ t. (6.5) Egalităţil (6.5) arată că dplasara u ( x,t ) din scţiuna x s rgăsşt Δ t într-o scţiun aflată la distanţa Δ x cδt, dci acastă valoar a

301 6. UNDE ELASTICE 9 dplasării s-a propagat în lungul axi x, în snsul pozitiv, cu vitza constantă c E ρ. f dfinşt o undă progrsivă. Caractrul d undă al uni mărimi (în acst caz al dplasării) st dat d forma argumntului ξ ct x şi nu d forma funcţii f, car arată c tip d mărim fizică s propagă. Prin unda (6.4) s propagă o dplasar armonică. Funcţia ( ct x) În mod similar s arată că funcţia f ( ct + x) dscri propagara dplasării în snsul ngativ al axi, constituind o undă rgrsivă. Dspr dplasara u ( x,t ) s spun că s propagă prin und. Mişcara vibratori a punctlor mdiului poat fi dci privită ca o suprapunr d und progrsiv şi rgrsiv. Fig. 6. Dacă s fixază timpul t, unda ar o rprzntar dată d forma funcţii f ( ct x) considrată ca funcţi d x, adică f ( x,t ) (d xmplu, ca în Fig. 6., a). După timpul Δ t, dci la t + Δt, dplasara din scţiuna x s rgăsşt în scţiuna x x + cδt (Fig. 6., b). Doarc vitza c st indpndntă d scţiuna x, forma f ( x, t ) s-a translatat după timpul Δ t cu distanţa Δ x cδt, fără să s dformz. S spun că unda s propagă în lungul axi x (în spaţiu), cu vitza constantă c.

302 94 VIBRAŢII MECANICE În lichid nvâscoas şi gaz s propagă und d comprsiun-rarfir (dilatar), prin car particull s dplasază p dircţia d propagar. În solid lastic, intracţiunil d forfcar produc şi alt tipuri d und. În mdii lastic nlimitat, s propagă und longitudinal (und P) şi und transvrsal (und S) în car particull s dplasază p dircţia, rspctiv prpndicular p dircţia d propagar. La suprafaţa mdiilor lastic s propagă und Rayligh (und R), în car particull au traictorii liptic cu smiaxa mar prpndiculară p suprafaţa solidului. În mdii lastic limitat s propagă und ghidat. În straturi d grosim finită, dispus dasupra smispaţiului lastic, şi în plăci s propagă und Lov (und Q), în car dplasara particullor st parallă cu suprafaţa stratului şi prpndiculară p dircţia d propagar. În plăci s propagă und Lamb, în car particull s dplasază p orbit liptic în plan car conţin normala la suprafaţa plăcii şi dircţia d propagar. Undl Stonly sunt ghidat în lungul intrfţlor în mdii stratificat. Undl ghidat sunt dscris prin moduri d undă, similar modurilor proprii d vibraţi al lmntlor structurilor d dimnsiuni finit. 6. Und longitudinal în bar prismatic În bar prismatic s pot propaga tri fluri indpndnt d und: longitudinal, torsional şi d încovoir. Priml două tipuri sunt dscris d cuaţia undlor, fiind und ndisprsiv, al căror vitz nu dpind d frcvnţa d xcitaţi sau lungima d undă. În continuar s studiază doar undl longitudinal. 6.. Ecuaţia undlor. Soluţia lui d Almbrt S considră cuaţia d mişcar (5.5) pntru vibraţiil longitudinal libr al barlor prismatic u x c u, t c E, (6.6) ρ cunoscută sub numl d cuaţi a undlor, pntru car s fac schimbara d variabil dată d rlaţiil (6.): ξ ct x, ξ c t + x. Exprimând drivatl funcţii u ( x,t) în noil variabil, s obţin:

303 6. UNDE ELASTICE 95 u x x u ξ u + ξ x ξ ξ x x u u u u u + + ξ ξ ξ ξ ξ ξ, u u ξ u u u c c c t t ξ + t t t + ξ ξ ξ ξ Ecuaţia (6.6) st astfl rdusă la forma u u u + +. ξ ξ ξ ξ u, (6.7) ξ ξ numită forma canonică a cuaţii undlor. Ea st satisfăcută d oric funcţi u ξ, d tipul ( ) ξ ( ξ, ξ ) f ( ξ ) f ( ) u +. (6.8) ξ Trcând la variabill iniţial, s obţin soluţia lui d Almbrt pntru cuaţia undlor (, ) f ( ct x) + f ( ct x) u ξ +, (6.9) ξ car xprimă dplasara u ( x,t) ca suprapunra a două und: o undă progrsivă, f ( ct x), şi o undă rgrsivă, f ( ct + x). Forml funcţiilor f şi f nu sunt impus prin cuaţia (6.7); l sunt dtrminat prin condiţiil iniţial şi condiţiil la limită al problmi. Valoril succsiv al dplasării u ( x,t) în timp, formază fazl (tapl) mişcării. Undl f şi f prin car s propagă acst faz s numsc und d fază. Dspr punctl car au simultan aclaşi dplasări s spun că sunt în fază. Dacă dplasara u ( x,t) st dată, d xmplu, d o undă progrsivă u ( x, t) f ( ct x), fazl mişcării sunt complt dtrminat d valoril argumntului funcţii f, ξ ct x, car s numşt faza undi. Punctl în car faza undi ar acaşi valoar ξ la un momnt dat t formază o suprafaţă d undă. Ecuaţia suprafţi d undă st dci ct x ξ const., d und, pntru că şi trmnul c t st constant, rzultă x ct ξ x. (6.)

304 96 VIBRAŢII MECANICE Exprsia (6.) st cuaţia unui plan normal p axa longitudinală a bari, dci suprafaţa d undă st plană, iar undl d acst tip s numsc und plan. Suprafaţa d undă (6.), caractrizată d faza ξ, s găsşt la timpul t în scţiuna x a bari. La timpul t a s găsşt în scţiuna x parcurgând distanţa x, ct ξ ( t ) Δ x x. x c t Rzultă că suprafaţa d undă, d fază ξ, s propagă în lungul axi Ox cu vitza constantă c, numită vitză d fază. Acasta poat fi dfinită ca variaţia poziţii x, dată d (6.), pntru t variabil, când ξ rămân constant x c. (6.) t Există o infinitat d suprafţ d undă, corspunzătoar infinităţii d valori al argumntului ξ. Suprafaţa d undă car spară zona prturbată d zona nprturbată s numşt front d undă. O suprafaţă d undă trc succsiv prin difrit punct matrial al bari. Dircţia d propagar a suprafţi d undă coincid cu dircţia d mişcar a punctlor matrial, car au în acst caz dplasări axial. Undl pntru car dircţia d propagar coincid cu dircţia d dplasar a punctlor matrial s numsc und longitudinal. Vitza d mişcar a punctlor matrial aflat la un momnt dat p o suprafaţă d undă difră d vitza d propagar a undi, c. Într-advăr, vitza d mişcar st drivata în timp a dplasării u ( x,t). Pntru dplasara dată printr-o undă progrsivă, rzultă o vitză u f ξ d f u & c. (6.) t ξ t dξ Dformaţia spcifică rspctivă, ε x, ar xprsia u f ξ d f ε x, (6.) x ξ x dξ dci, înlocuind ε E, rzultă pntru vitză x σ x σ c u& x p ε x c. (6.4) E

305 6. UNDE ELASTICE 97 σ x punctl matrial s mişcă în sns invrs dircţii d propagar, iar pntru o undă d comprimar σ < - în aclaşi sns. ( ) x Astfl, într-o undă progrsivă d dilatar ( > ) Rptând raţionamntul pntru mişcara propagată printr-o undă rgrsivă, s obţin σ c u& x r ε x c. (6.5) E Vitza d mişcar şi vitza d propagar au aclaşi sns în und d dilatar, şi snsuri opus în undl d comprimar. 6.. Und armonic Dacă mişcara car s propagă prin und st priodică (bara vibrază longitudinal), dplasara u ( x,t) pntru ficar scţiun x st o funcţi priodică d timp. Când dplasara st rprzntată sub forma (6.9), acastă condiţi st îndplinită dacă funcţiil f şi f sunt priodic în timp. Fi T prioada mişcării. Din condiţia d priodicitat în timp pntru unda progrsivă, rzultă că într-o scţiun dată x ar loc galitata ( ct x ) f [ c( t + T ) x ] f. (6.6) Doarc unda s-a dplasat în timpul T p distanţa a funcţii f s rgăsşt în scţiuna x + Λ ( ct x ) f [ ct ( x + Λ) ] f Λ ct, acaşi valoar, (6.7) dci unda st o funcţi priodică în spaţiu, d prioadă Λ ct. Distanţa Λ s numşt lungim d undă. Când punctl matrial fctuază un ciclu d oscilaţi, unda s dplasază cu o lungim d undă. După cum s constată din rlaţia (6.7), punctl aflat la distanţă d o lungim d undă s mişcă în fază. Cl mai simplu tip d undă st unda armonică ib ( ) ( ct x ct x U ) U [ cos B( ct x) + i sin B( ct x) ] f, (6.8) cu U şi B constant. Faza undi armonic, ϕ, st argumntul funcţii xponnţial, car ar prioada π. Dacă unda ar prioada mişcării T şi lungima d undă Λ, din condiţia d priodicitat în timp şi în spaţiu rzultă B ct BΛ π,

306 98 VIBRAŢII MECANICE d und π π B. (6.9) ct Λ Faza undi dvin astfl π π π ϕ ( ct x ) t x. (6.) ct T Λ Variaţia fazi în unitata d timp, într-o scţiun dată a bari, ϕ π ω t T st gală cu pulsaţia vibraţii. Modificara fazi p unitata d lungim, la un anumit momnt, ϕ π x Λ (6.) (6.) s numşt număr d undă. Rzultă ω. (6.) c Constanta U, gală cu valoara maximă p car o poat ating dplasara în unda f, st amplitudina undi. Unda armonică (6.8) dvin i ( ) ( ωt x ct x U ) U [ cos ( ω t x) + i sin ( ω t x) ] f. (6.4, a) În mod similar, pntru o undă rgrsivă d acaşi pulsaţi, s obţin i ( ) ( ωt + x ct + x U ) U [ cos ( ω t + x) + i sin ( ω t + x) ] Dplasara ( x,t) f. (6.4, b) u st dată fi d parta rală, fi d parta imaginară a sumi clor două und. Punctl în car dplasara st nulă s numsc noduri. Punctl în car dplasara st maximă s numsc vntr. Pntru o undă progrsivă, luând dplasara gală cu parta rală a funcţii f ( ct x ), noduril s obţin din cuaţia cos ω t x, d und rzultă ( )

307 6. UNDE ELASTICE 99 π ω t x +, ( n ) ω π Λ x t n. (6.5) ( n + ) c t ( + ) 4 Fig. 6. În ficar momnt t, noduril s găssc în altă poziţi, dplasându-s cu vitza c. Vntrl, car s află la distanţa ± Λ 4 d noduril vcin, s dplasază cu acaşi vitză (Fig. 6., a). Dplasara s produc în snsul pozitiv al axi sau în sns opus, după cum unda st progrsivă sau rgrsivă. Când dplasara st dată d o sumă d und progrsivă şi rgrsivă noduril s obţin din cuaţia sau din cuaţia chivalntă ( x, t) U ( ω t x) + U cos( ω t x) u cos +, ( t x) + U cos( ω t + x) U cos ω, ( U + U ) t cos x ( U U ) sinω t sin x cosω. (6.6) sau Când amplitudinil clor două und sunt gal, U U, rzultă U cosω t cosx, π x ( n + ), ( n + ) 4 Λ x, (6.7)

308 VIBRAŢII MECANICE dci noduril nu s dplasază, unda rzultantă st staţionară (Fig. 6., b). Dacă U U, unda rzultantă st progrsivă când U > U şi rgrsivă când U < U. Poziţia x a nodurilor st dată d soluţia cuaţii (6.6) iar vitza lor d propagar, Vitza d fază U x arc tg U d x dt + U U tgω t, nu mai st constantă. c E ρ dpind numai d caractristicil matrialului. Două und d pulsaţii difrit ( ω ω ) s propagă cu acaşi vitză c, dar au lungimi d undă difrit π π Λ ct c, ω π π Λ ct c. ω Când într-o bară s suprapun două und armonic progrsiv d pulsaţii difrit, dplasara rzultantă s obţin însumând dplasăril xprimat prin cl două und, la aclaşi momnt t, în acaşi scţiun x. S considră, d xmplu, două und armonic progrsiv d pulsaţii ω, ω, cu amplitudini gal şi faz iniţial nul u i ( ) ( ω t x ct x U ) f i ( ) ( ω t x ct x U ) g ω, c, ω, c. Dacă dplasara st dată d părţil ral al clor două und, rzultă ( x, t) R( f ) + R( g ) U U [ cos ( t x) + cos ( ω t x) ] ω (6.8) ω ω cos t ω + ω + x cos t Dplasara (6.8) poat fi privită ca o undă d pulsaţi şi număr d undă ω + ω π ω T x.

309 6. UNDE ELASTICE car ar vitza d fază + π, Λ c f ω ω + ω + Λ T şi amplitudina U modulată ω ω U U cos t x aşa cum s arată în Fig. 6..., (6.9) Fig. 6. Modulaţia s ralizază tot printr-o undă, d pulsaţi ω ω π Δω, T M car s propagă cu vitza c M ω ω Δω. Δ Când pulsaţiil undlor componnt difră foart puţin, modulaţia s fac Δ ω, Δ şi vitza i d propagar dvin foart lnt ( ) c g Δω dω lim. (6.) ω ω Δ d

310 VIBRAŢII MECANICE Rlaţia (6.) dfinşt vitza d grup. Doarc pntru undl ω ω longitudinal c, s dduc că vitza d fază c f a undi rzultant şi vitza d grup c g sunt constant şi gal c ω + ω c f + dω, cg cm c. (6.) d Modulaţia amplitudinii s propagă dci simultan cu unda modulată. Undl componnt nu s dplasază rlativ una faţă d alta; l s numsc ndisprsiv. 6.. Und în bara d lungim finită La xtrmitata x a bari finit din Fig. 6.4, s aplică o forţă armonică d pulsaţi ω, rprzntată prin funcţia complxă F F. Dplasara complxă, armonică, provocată iniţial în scţiuna x, s propagă în snsul pozitiv al axi printr-o undă progrsivă şi la atingra xtrmităţii x l s va rflcta, transformându-s într-o undă rgrsivă, car s suprapun dfazat pst unda progrsivă. Dplasara s poat pun dci sub forma u i ( ) ( ω t x) i ( ω t + x x,t U + U ) amplitudinil U şi U rzultând din condiţiil la limită. iωt, (6.) Fig. 6.4 Astfl, în scţiuna x, tnsiuna d comprsiun st dată d raportul într forţa F şi aria scţiunii A F u σ x ( ) E ε x ( ) E, (6.) A x x

311 6. UNDE ELASTICE d und s obţin sau u x x i U iω t + i U iω t F E A iω t F U U. (6.4) i E A st nulă Pntru bara libră la ambl capt, în scţiuna x l tnsiuna u σ E x d und rzultă u i( ω t l i ) i i ( ω t ) + + l U U x x l, i l i l U U. (6.5) Rzolvând sistmul format d cuaţiil (6.4) şi (6.5) s obţin U i l F, E A sin l Dplasara (6.) dvin u i l F E A sin l U i l F, (6.6) E A sin l [ ] i ( ) ( ω t x) i ( ω t + x l x,t + ). (6.7) S poat obsrva că unda progrsivă şi unda rgrsivă dau dplasări d aclaşi sns, iar la capătul x l dau aclaşi valori. Unda rgrsivă st dfazată faţă d unda progrsivă cu unghiul constant ω l θ l, c l corspunzător timpului în car parcurg bara dus şi întors. Bara intră în c rzonanţă pntru sin l, d und rzultă n l nπ, π c nπ E ωn n l l ρ, (6.8) valoar obţinută în (5.7) pntru pulsaţiil proprii.

312 4 VIBRAŢII MECANICE Unda rzultantă (6.7) st staţionară. Acastă propritat st pusă în vidnţă dacă s scri dplasara (6.7) sub forma chivalntă u F E A sin l i ( ) ( l x) i ( l x x,t + ) iω t F cos [ ] ( l x) iω t d und rzultă că dplasara u ( x,t) s anulază pntru E A ( l x), ( x) ( n + ) cos ( + ) 4 sin l π l, λ x l n. (6.9) Pntru bara încastrată la capătul al doila (Fig. 6.4, b), punând condiţia ca în încastrar dplasara (6.) să fi nulă, sau u i ( ) ( ωt l) i + ( ωt + l x,t U U ) x l i l i l U + U,, s obţin constantl U şi u U, dci dplasara ( x,t) i l i F E A cos l u st d forma [ ] i ( ) ( ωt x) i ( ω t + x l x,t ). (6.4) Spr dosbir d cazul prcdnt, dplasăril punctlor matrial în cl două und au snsuri contrar, dci s scad, adică unda rgrsivă slăbşt unda progrsivă. Dplasăril ral s obţin din parta rală sau parta imaginară a dplasărilor complx (6.7), (6.4), după cum forţa armonică st dată d parta rală sau d parta imaginară a forţi complx F t iω Propagara nrgii prin und u s propagă prin und toat mărimil în xprsia cărora intră dplasara. Un intrs dosbit przintă propagara nrgii transmis mdiului în vibraţi d la sursa xcitaţii. Într-o bară lastică în vibraţi, odată cu dplasara ( x,t) S considră unda progrsivă armonică f i ( ) ( ω t x ct x U ), ω c,

313 6. UNDE ELASTICE 5 dplasara u ( x,t) fiind dată d parta rală a undi u ( x, t) U cos ( ω t x). (6.4) Valoara instantan a nrgii p unitata d lungim a bari d masă m ρ A, car s dplasază cu vitza u& u t şi st dformată cu ε x sub acţiuna forţi axial σ x A, ar xprsia W obţin W c + W p u u mu& + σ x Aε x ρ A + E A. (6.4) t x Introducând dplasara (6.4) în (6.4) şi ţinând cont că ( t x) ω c s W ρ Aω U sin ω. (6.4) Doarc W nu st uniform distribuită p unitata d lungim, rlaţia (6.4) indică d fapt nrgia punctlor matrial din scţiuna x, la momntul t. Acasta s propagă printr-o undă progrsivă d argumnt ω t x, cu vitza constantă c ω. Printr-o scţiun x, în timpul d t, trc nrgia conţinută într-o porţiun d bară d lungim d x c dt d W W dx W c dt. Astfl, în unitata d timp, prin scţiuna x s transfră o cantitat d nrgi dw W c ρ Aω cu sin ( ω t x), (6.44) dt rprzntând fluxul nrgii la momntul t, gal cu putra instantan P, dzvoltată d forţa d comprsiun σ x A car imprimă punctlor din scţiun vitza u& u t u u P σ x Au& EA ρ Aω cu sin ( ω t x). x t Enrgia conţinută într-o porţiun d bară d o lungim d undă Λ st gală cu cantitata d nrgi car trc printr-o scţiun oarcar într-o prioadă T W Λ T W dx W c dt ρ Aω U ct. (6.45)

314 6 VIBRAŢII MECANICE S obţin astfl nrgia mdi distribuită p unitata d lungim a bari W m şi fluxul mdiu d nrgi printr-o scţiun d dt W ρ Aω U Λ (6.46) W m W ρ Aω U c. (6.47) T Dacă unda st rgrsivă, nrgia s propagă în snsul ngativ al axi x. Pntru o bară smi-infinită ( x < ) xcitată în scţiuna d capăt x (Fig. 6.5), o undă rgrsivă ar trbui să transport nrgi d la + cătr sursa d mişcar, fapt imposibil din punct d vdr fizic. Fig. 6.5 Afirmaţia că nrgia nu poat fi radiată d la infinit spr zona und s aplică xcitaţia constitui condiţia d radiaţi. Conform acstia, în bara smiinfinită nu pot apar und rgrsiv. Dacă bara st d lungim finită, unda rgrsivă rzultă din rflctara uni und progrsiv şi raduc spr sursă nrgia purtată d acasta şi ndisipată în mdiul înconjurător Atnuara undlor În cazul matriallor cu amortizar mar, propagara undlor nu mai st dscrisă corct d cuaţia (6.6). S obsrvă că dacă uni scţiuni i s impun, d xmplu, o dplasar armonică, d amplitudin constantă, acastă amplitudin dscrşt în spaţiu, în snsul propagării. Unda ar amplitudina dscrscătoar, s atnuază. Considrând că în prznţa amortizărilor intrn, la o variaţi armonică a tnsiunii i ω t σ σ, corspund o variaţi armonică dfazată în urmă a dformaţii spcific

315 6. UNDE ELASTICE 7 ε ε ( ω t δ ) i, s introduc în cuaţia undlor modulul d lasticitat complx E Ecuaţia undlor dvin σ iδ E + i E E + ε ( i d ). (6.48) u u, E c, (6.49) x c t ρ Parta rală E a modulului d lasticitat complx E σ ε cos δ st modulul d lasticitat dinamic, iar st factorul d amortizar. E d tgδ E S poat dfini astfl o vitză d propagar complxă ( + id ) E c c i ρ δ i ( + d ) c D, D + d, (6.5) car ar sns doar în cazul propagării uni dplasări armonic, doarc modulul d lasticitat complx (6.48) st dfinit pntru solicitări armonic. Numărul d undă corspunzător st d asmna complx ω ω c c D δ - i D δ - i având parta rală şi ca imaginară dat d rlaţiil δ D + cos r D, D r + i i, (6.5) δ D sin i D. (6.5) D O undă progrsivă prin car s propagă dplasara armonică a scţiunii x, dată d funcţia complxă s poat pun sub forma u iω t (,t) u, (6.5)

316 8 VIBRAŢII MECANICE u i ( ) ( ωt x x,t u ) car satisfac atât condiţia (6.5) cât şi cuaţia (6.49). rzultă sau, (6.54) Introducând numărul d undă complx (6.5) în xprsia (6.54) a undi, u i ( ) ( ωt r xi i x) i x i ( ωt r x x,t u u ) u. (6.55, a) α x i ( ) ( ωt r x x,t u ), (6.55, b) und coficintul α > s numşt constantă d atnuar. i Parta rală β r a numărului d undă complx s numşt constantă d fază. Numărul complx γ α + i β s numşt constantă d propagar. Unda dată d xprsia (6.55) nu mai st armonică, doarac α x amplitudina i U u nu st constantă, ci dscrşt xponnţial în spaţiu. Unda (6.55) s propagă cu vitza ω ω D D E c c. (6.56) δ δ δ r cos cos cos ρ Doarc factorul d amortizar d st în gnral mic în comparaţi cu unitata, s poat fac aproximara d und rzultă d i, ( + id ) δ α, β, c ω c. Pntru a caractriza atnuara undlor trbui dtrminată xprimntal constanta α. O măsură a atnuării st mărima, dfinită prin analogi cu dcrmntul logaritmic al vibraţii (.5), dată d logaritmul raportului a două amplitudini aflat la distanţă d o lungim d undă d und rzultă constanta d atnuar α x U u Δ ln ln ( ) αλ, (6.57) U α x+ Λ u

317 6. UNDE ELASTICE 9 U Δ α ln. (6.58) Λ U Λ S considră două amplitudini U şi U aflat la distanţa x, al căror raport st U U α x. α x Acst raport dvin, 68 când xponntul st α x. Dci atnuara st invrsul distanţi x (Fig. 6.6). Fig. 6.6 Atnuara α s măsoară în Npr/m ( Npr 8,686 db). Ea st numric gală cu logaritmul natural al raportului a două amplitudini măsurat la distanţa d m (Fig. 6.6) α ln U [Npr/m]. U În gnral, atnuara st proporţională cu pătratul frcvnţi undlor, dci valoril atnuării s dau la o anumită frcvnţă sau mdiat p un intrval d frcvnţ. S rcomandă dtrminara xprimntală a atnuării pntru ficar matrial. Problml concrt d tipul clor rzolvat în 6.. s tratază analog, introducând în xprsia undi (6.7) sau (6.4) numărul d undă complx. Studiul propagării undlor torsional în bar prismatic conduc la rzultat similar cu cl obţinut pntru propagara undlor longitudinal, doarc cuaţia car dscri fnomnul ar forma (6.6)

318 VIBRAŢII MECANICE θ θ, x cs t G c s, ρ und θ st unghiul d răsucir iar c s - vitza d propagar a undlor d torsiun. 6. Und transvrsal în bar prismatic Spr dosbir d undl longitudinal şi cl torsional, undl transvrsal în bar prismatic sunt disprsiv, vitza lor dpinzând d frcvnţa d xcitaţi şi d lungima d undă. În barl d lungim finită, undl progrsiv şi cl rgrsiv s compun, producând und staţionar car constitui moduril proprii d vibraţi. 6.. Vitza d fază şi vitza d grup În cazul vibraţiilor transvrsal libr al barlor drpt, cuaţia d mişcar a fost stabilită în Cap.5 sub forma EI z 4 v v + ρ A. (6.59) 4 x t O dplasar armonică, rprzntată prin parta rală sau ca imaginară a funcţii complx iωt ( x,t) Y ( x) v (6.6) st soluţi a acsti cuaţii, dacă funcţia Y ( x) satisfac condiţia d und rzultă Y 4 d Y 4 4 T d x Y, A T 4 ρ ω, EI T x T x it x it x ( x) C + C + C C + 4 z. (6.6) Introducând xprsia (6.6) a funcţii Y ( x) în rlaţia (6.6), s obţin T x T x iωt i ( ) ( ) ( ωt T x) i( ωt + T x x,t C + C + C + C ) v. (6.6) În (6.6) s idntifică două und plan armonic: una progrsivă 4

319 6. UNDE ELASTICE şi una rgrsivă i ( ) ( ωt T x c t x ) f (6.6) f T i ( ) ( ωt+ T x c t + x ) car s propagă în lungul axi x cu vitza d fază c T T, (6.64) c T ω EI z π ω 4 ω cr T cr cr, (6.65) ρ A Λ T T und T ω cr st numărul d undă, c E ρ st vitza d propagar a undlor longitudinal şi r I A st raza d inrţi a scţiunii transvrsal. z Doarc dircţia d mişcar y a punctlor matrial st prpndiculară p dircţia d propagar a undlor (6.6), (6.64), acsta s numsc und transvrsal. Vitza d propagar c T dpind d pulsaţia ω a mişcării vibratorii ω propagat, astfl încât vibraţiil d frcvnţă mică f s propagă mai înct π ω dcât vibraţiil d frcvnţă mar f, π c ω cr < c ω cr. T T Când s suprapun două und d pulsaţii difrit ( ω ω ), unda rzultantă dată d (6.8) s propagă cu vitza c T ω + ω, + difrită d vitzl d propagar al undlor componnt c T T ω, T T c T ω, T şi d vitza d propagar a modulaţii c M ω ω T T. Undl componnt s dplasază rlativ una faţă d alta, la fl unda rzultantă şi unda d modulaţi. Astfl d und s numsc disprsiv.

320 VIBRAŢII MECANICE În cazul particular al compunrii a două mişcări d pulsaţii foart apropiat ω, unda rzultantă ar aproximativ acaşi vitză d fază ca şi undl ( ) ω componnt comună, c T, c T ω + ω ω ω. + T T T Vitza d grup, c g, cu car s propagă modulaţia, difră d vitza d fază T ( cr) dω d T cg T c r c d d T T T. (6.66) Rlaţia d dfiniţi a vitzi d fază (6.65) arată că, micşorând lungima d undă Λ (ca c chivalază cu crştra frcvnţi oscilaţii transmis), s pot T obţin vitz d propagar a dplasărilor oricât d mari şi rspctiv, vitz d grup dubl. În ralitat, atât vitza d fază cât şi vitza d grup sunt limitat suprior, fapt car nu st pus în vidnţă d rlaţia (6.65). Acastă nconcordanţă st rzultatul nglijării inrţii la rotaţi a scţiunii transvrsal în cuaţia (6.59) car, la frcvnţ mari, dci la acclraţii unghiular mari, modifică aspctul fnomnului. Într-advăr, introducând în cuaţia (6.59) 4 v trmnul I z ρ, corspunzător inrţii la rotaţi a scţiunii transvrsal x t (Hamburgr şi Buzdugan, 958), acasta dvin 4 v 4 x c x 4 v t + c r v. (6.67) t O undă d tipul (6.6) sau (6.64) satisfac cuaţia (6.67) dacă obţin Introducând vitza d fază 4 T ω ω T. (6.68) c c r c T ω (sau ω c T T ) în rlaţia (6.68), s ct c c < + ΛT T r + 4π r T c. (6.69)

321 6. UNDE ELASTICE Pntru lungimi d undă Λ T > T r, s poat fac aproximara T Λ Λ +, 4π r 4π r obţinându-s pntru vitza d fază xprsia (6.65). Dacă aproximar poat conduc la rzultatul absurd Λ T << r, acastă c T > c, sau, la concluzia că pot xista vitz oricât d mari d propagar a undlor transvrsal, când Λ. Datorită modificării calitativ a rzultatlor, nglijara inrţii d rotaţi a scţiunii transvrsal st prmisă pntru frcvnţ T f c E A < π π. r ρ I z D xmplu, pntru o bară d oţl cu diamtrul d cuaţia (6.59) până la o frcvnţă d 6 Hz. mm, s poat utiliza Exprimând ω în funcţi d T din rlaţia (6.68) şi drivând în rapot cu T, s obţin vitza d grup + dω T r c g ct > ct, (6.7) d T + r car, pntru lungimi d undă Λ T mai mari ca raza d inrţi r, dvin T r cg ct ct, T r fiind d asmna limitată suprior d vitza d propagar a undlor longitudinal c, după cum s poat vrifica uşor. Din xprsia (6.6) a dplasării ( x,t) v s constată că numai o part a acsti dplasări s propagă prin und. Considrând condiţiil la limită spcific ficări problm concrt, s pot dtrmina constantl C,, C 4, dci s pot stabili amplitudinil undlor progrsiv şi rgrsiv prin car s propagă mişcăril armonic (6.6). Problml lgat d transmitra nrgii prin und transvrsal şi d atnuara undlor transvrsal, s tratază ca şi pntru undl longitudinal, ţinând T

322 4 VIBRAŢII MECANICE sama d concluziil obţinut antrior cu privir la proprităţil d propagar al mişcărilor transvrsal prin und. 6.. Und în bara rzmată p mdiu lastic În cazul uni rzmări continu p un mdiu dformabil, mdiul s opun dplasărilor transvrsal al bari printr-o racţiun distribuită continuu, p r ( x). Ca mai simplă lg d distribuţi a racţiunii opus d un mdiu lastic st obţinută p baza ipotzi lui Winlr, conform căria racţiuna st proporţională cu săgata bari ( x) κ v p r. (6.7) Dacă bara rzmată p mdiu vibrază transvrsal în planul xoy, în cuaţia fibri mdii dformat 4 v EI z 4 x p ( x,t) v sarcina distribuită p ( x,t) st formată din forţl d inrţi ρ A şi din t racţiuna mdiului (6.7), astfl încât cuaţia d mişcar a bari dvin 4 v v EI z + ρ A + κ v. (6.7) 4 x t Pntru a constata dacă dplasăril bari în vibraţi armonică s pot propaga prin und, s introduc funcţia în cuaţia (6.7). Notând i ( ) ( ωt m x x,t ) v (6.7) ρ A EI z v c r 4 n rzultă că funcţia (6.7) satisfac cuaţia (6.7) dacă 4 4, κ 4 m, EI z 4n ω + 4m, (6.74) rlaţi car prcizază lgătura într numărul d undă şi pulsaţia mişcării armonic propagat. Vitza d propagar a undi (6.7)

323 6. UNDE ELASTICE 5 c ω, s obţin din (6.74) înlocuind ω c c 4 4 4m π m Λ 4.. (6.75) n nλ 4π Doarc vitza d propagar dpind d lungima d undă undl sunt disprsiv. Exprsia (6.75) ar un minim pntru o vitză d propagar minimă corspunzătoar pulsaţii 4 Λ π, m, dci xistă m, (6.76) n c min ( c ) 4 m κ ω min. (6.77) n ρ A Dacă s analizază vibraţiil provocat d o sarcină transvrsală mobilă p bară, atunci când sarcina s dplasază cu vitza c grinda intră în rzonanţă. min Înlocuind în (6.74) 4 4 ω, s obţin c 4 c n ω m ω n Vitza d propagar ar valori ral (propagara s poat produc) pntru mişcări cu pulsaţii sau m κ ω, n ρ A > 4 4. ω ρ A v > κ v, (6.78) ca c însamnă că amplitudina forţi d inrţi distribuit trbui să dpăşască amplitudina racţiunii distribuit a mdiului lastic, condiţi ncsară mişcării vibratorii.

324 6 VIBRAŢII MECANICE 6.4 Und în mdii lastic Studiul propagării undlor longitudinal şi transvrsal în bar s-a făcut p baza cuaţiilor d mişcar simplificat, stabilit cu ipotza scţiunii plan (Brnoulli), spcifică Rzistnţi matriallor. Pntru a controla fctul aproximărilor implicat în acastă ipotză, s poat rzolva acaşi problmă pornind d la cuaţiil d mişcar gnral al unui mdiu lastic izotrop Ecuaţiil undlor în tri dimnsiuni Ecuaţiil d mişcar gnral al unui mdiu lastic (Nowaci, 969) s dduc din studiul condiţiilor d chilibru al unui lmnt infinitzimal (Fig. 6.7), aplicând principiul lui d Almbrt. Fig. 6.7 Astfl, scriind chilibrul forţlor car acţionază parall cu axa x, s obţin ( ). t u z y x y x y x z z z x z x y y z y z y x x xz xz xz xy xy xy x x x d d d d d d d d d d d d d d d d d d ρ τ τ τ τ τ τ σ σ σ Ecuaţii similar s pot scri pntru forţl car acţionază parall cu axl y şi z. După rducri şi simplificări, rzultă cuaţiil mişcării

325 6. UNDE ELASTICE 7 t u z y x x z x y x + + ρ τ τ σ, t z y x y z y y x + + v ρ τ σ τ, (6.79) t w z y x z y z z x + + ρ σ τ τ, în car u, v, w rprzintă dplasăril în dircţiil x, y, rspctiv z, ρ st masa spcifică, iar t timpul. Pntru a xprima cuaţiil (6.79) numai în dplasări, s utilizază rlaţiil cunoscut într tnsiuni şi dformaţii spcific, în car acsta din urmă s xprimă prin dplasăril u, v şi w. S obţin astfl cuaţiil ( ) t u u G x G + + ρ ε λ v, (6.8, a) ( ) t G y G + + v v ε v ρ λ, (6.8, b) ( ) t w w G z G + + ρ ε λ v, (6.8, c) und λ st constanta lui Lamé, v ε st dformaţia volumică spcifică şi - opratorul lui Laplac: ( )( ) ν ν ν ν ν λ + G E, z w y x u z y x v v ε ε ε ε, z y x + +. Dacă s drivază cuaţia (6.8, a) în raport cu x, cuaţia (6.8, b) în raport cu y şi (6.8, c) în raport cu z, după însumara lor rzultă ( ) t G + v v ε ρ ε λ. (6.8)

326 8 VIBRAŢII MECANICE Dacă s drivază cuaţia (6.8, a) în raport cu y şi cuaţia (6.8, b) în raport cu x, după scădra lor rzultă und G ω z ωz ω z ρ, (6.8) t st componnta rotaţii faţă d axa z. v u x y Procdând în mod asmănător, s obţin şi pntru componntl ω y, cuaţii d forma (6.8) G G ωy ω y ρ t, u w ω y, (6.8) z x O cuaţi d tipul ω x st cuaţia undlor în tri dimnsiuni. ω x ρ t, w v ω x. (6.84) y z F F ( x, y,z,t ), (6.85) c t ω x 6.4. Und longitudinal şi und transvrsal S poat vrifica uşor că oric funcţi F ( ξ ), und ξ ar forma ξ n x + n y + n z ct, (6.86) satisfac cuaţia (6.85), dacă st îndplinită condiţia Ecuaţia n + n + n. (6.87) n x + n y + n z p (6.88) rprzintă un plan, pntru car n, n, n sunt cosinuşii dirctori ai normali şi p st distanţa la origina sistmului d ax.

327 6. UNDE ELASTICE 9 F Doarc au loc galităţil vidnt ( p ct ) F ( p + cδ t cδ t ct ) F [ p + Δ p c ( t + Δt) ], Δ p cδt, funcţia F ( ξ ) dscri propagara uni und plan în snsul pozitiv al normali d cosinuşi dirctori n, n, n. Dformaţia volumică spcifică ε v şi rotiril spcific ω x, propaga dci prin und plan, cu vitz difrit, ε v cu vitza iar ω x, ω y, ω z cu vitza E ( ν ) ( + ν )( ν ) ω, ω s pot λ + G c P, (6.89) ρ ρ G c < ρ S c P. (6.9) y z Valori tipic pntru mtal sunt Rlaţia (6.89) s mai scri c P 5 8 m s şi cs, 5 cp. und 4 K + G c P, (6.89, a) ρ E K λ + G ( ν ) st modulul d lasticitat volumic. S considră cazul particular în car suprafaţa d undă st un plan parall n, n n, iar dplasăril u, v şi w cu planul yoz, cu normala Ox ( ) sunt funcţii d x şi t. În acst caz, atât dformaţia volumică spcifică rotiril spcific ω x, ω y, ω z sunt funcţii d x şi t, obţinându-s ε v cât şi u ε v, x, ω x, x w ω y, x v ω z. x Ecuaţiil (6.8)-(6.8) dvin astfl ( G ) u u λ + ρ, (6.9, a) x t

328 VIBRAŢII MECANICE G G w w ρ, (6.9, b) x t v v ρ, (6.9, c) x t şi coincid ca formă cu cuaţiil car rzultă prin particularizara sistmului (6.8, a)-(6.8, c). Ecuaţia (6.9, a) dfinşt o undă plană longitudinală, u ( x,t), car s dplasază cu vitza (6.89). Ecuaţiil (6.9, b) şi (6.9, c) dfinsc două und x,t w x,t, car s dplasază cu vitza (6.9). transvrsal v ( ), ( ) Dformaţiil d volum s propagă dci prin und longitudinal, iar componntl rotaţiilor prin und transvrsal. Doarc c P > cs, în sismologi undl longitudinal s numsc primar (und P), fiind priml înrgistrat în cazul unui cutrmur, având vitză d propagar mai mar. Undl transvrsal s numsc scundar (und SH în plan orizontal, und SV în plan vrtical), având vitză d propagar mai mică, dci fiind înrgistrat mai târziu. Într-un mdiu infinit s pot propaga und sfric, dacă prturbaţiil car l produc sunt simtric faţă d un punct. Undl sfric sunt und longitudinal şi s obţin sub forma F R ( r,t) F ( r ct ) din cuaţia (6.85) scrisă în cordonat sfric., r x + y + z, a Fig. 6.8 b O rprzntar simplificată a propagării undlor st przntată în Fig. 6.8, a, pntru undl longitudinal şi în fig. 6.8, b pntru undl transvrsal SV.

329 6. UNDE ELASTICE Atunci când undl P şi S ajung la o intrfaţă sub un unghi difrit d 9, s produc o convrsi a modurilor d propagar. Dacă o undă P întâlnşt o intrfaţă, pot rzulta patru moduri d propagar: und P rflctat şi transmis, und SV rflctat şi transmis. Similar, atunci când o undă SV întâlnşt o intrfaţă, aclaşi patru moduri s produc în proporţii difrit. Studiul rflcţii şi rfracţii undlor dpăşşt cadrul acstui curs Und Rayligh În cazul unui mdiu omogn infinit, forml undlor car s pot propaga sunt dtrminat d xcitaţi şi d condiţiil iniţial, astfl încât dplasăril la infinit să rămână finit şi, în plus, să fi satisfăcută condiţia d radiaţi. Dacă spaţiul st limitat d un plan, introducra condiţiilor la limită p suprafaţa rspctivă prmit punra în vidnţă a unui tip particular d und (J. W. Strutt, Lord Rayligh, 885) car s propagă numai în vcinătata suprafţi limită, dnumit und Rayligh. Fig. 6.9 S considră smispaţiul mărginit d planul xoy, cu axa z orintată spr intriorul mdiului (fig. 6.9), aflat într-o star plană d dformaţi, astfl încât ( x,z,t) u u, v, w( x,z,t) Ţinând sama că, pntru acst condiţii, s obţin u w ε v +, x z w. (6.9) +, x z cuaţia d mişcar (6.8, b) st idntic satisfăcută, iar cuaţiil (6.8, a, c) dvin

330 VIBRAŢII MECANICE x t u z u z x w c z x w u c S P + + +, (6.9, a) x t w z x u w c z w z x u c S P + +. (6.9, b) Suprafaţa smispaţiului st libră, dci tnsiunil z σ, z x τ, z y τ sunt nul pntru z : ( ) ( ) z z z z x u z w G G t, λ λ ε λ ε σ v, (6.94, a) ( ) + z z x z x z x w z u G G t, γ τ. (6.94, b) Condiţia z y z τ st idntic satisfăcută, doarc în toat punctl smispaţiului dformaţia y w z y z + v γ st nulă. Ecuaţiil (6.9, a, b) împrună cu condiţiil (6.94, a, b) dtrmină mişcăril plan libr al smispaţiului lastic. S pun problma dacă punctl matrial pot xcuta mişcări vibratorii armonic d pulsaţi ω în plan parall cu xoz, car să s propag numai în lungul axi Ox, dci dacă dplasări d forma ( ) ( ) ( ) x t R z U x,z,t u ω i, (6.95, a) ( ) ( ) ( ) x t R z W x,z,t w ω i, (6.95, b) satisfac cuaţiil obişnuit şi condiţiil la limită. Introducând funcţiil (6.95, a, b) în cuaţiil (6.9, a, b) şi rzolvând sistmul d cuaţii difrnţial rzultat, liniar şi omogn în ( ) z U şi ( ) z W, s obţin ( ) ( ) s z s z q z q z R R R R C C s C C z U , (6.96, a) ( ) ( ) ( ) s z s z q z q z R R R R C C C C q z W 4 i i + +, (6.96, b) und q şi s sunt constant ral şi pozitiv pntru ω dat P R P R c c c q ω,

331 6. UNDE ELASTICE s ω c R R cs cs, c R < cs < cp R ω. Pntru q sau s imaginar, ar rzulta componnt al dplasărilor u, w car s propagă şi în lungul axi z, ca c a fost xclus prin nunţul problmi. C Doarc pntru z dplasăril trbui să rămână finit, rzultă C, funcţiil (6.96, a, b) dvnind 4 U W Rq z Rs z ( z) C + s C, (6.97, a) Rq z Rs z ( z) ( q C + C ) i. (6.97, b) Condiţiil la limită (6.94, a, b) sunt îndplinit dacă funcţiil U ( z) şi W ( z) satisfac cuaţiil ( + G ) W ( ) λ R iu ( ), λ (6.98, a) ( ) iw ( ), U R (6.98, b) d und rzultă pntru constantl C şi C sistmul liniar şi omogn ( + ) C + s C C + ( + s ) C s, q. Condiţia ca acst sistm să aibă soluţii nbanal (difrit d zro) s obţin prin anulara dtrminantului coficinţilor ( + ) 4sq d und rzultă o cuaţi pntru vitza d propagar und R st numărul d undă al undlor Rayligh. Introducând notaţiil c c S P cuaţia (6.99) în ncunoscuta p dvin s, (6.99) c R ω a undlor Rayligh, ν cr ω ε <, < ( ν ) p, c R cs ( p) p 8 p + ( 4 6ε ) p 6 ( ε ) f, (6.) formă cunoscută sub numl d cuaţia vitzi d fază a undlor Rayligh. S R

332 4 VIBRAŢII MECANICE Dacă acastă cuaţi admit o rădăcină rală pozitivă subunitară (car va da vitza d propagar c R ), rzultă că mişcăril (6.95, a, b) sunt posibil. Doarc f ( ) 6 ( ε ) < şi f ( ) >, xistă o rădăcină rală < p < şi s poat dmonstra că a st unică în acst intrval. Vitza d propagar a undlor Rayligh st dci mai mică dcât vitza d propagar a undlor transvrsal în aclaşi mdiu c R < cs. Ea nu dpind d frcvnţa mişcării vibratorii, dci undl Rayligh într-un mdiu lastic omogn sunt ndisprsiv. În sismologi, datorită nomognităţii solului, undl Rayligh sunt disprsiv, vitza lor crscând cu adâncima. Doarc amplitudinil (6.97, a, b) scad xponnţial cu adâncima z, undl s numsc d suprafaţă. Ca mai mar part a nrgii lor s propagă printr-un strat limitat la suprafaţa smispaţiului, atfl că atnuara lor în dircţia d propagar st mai lntă dcât a undlor P sau S, car s propagă prin tot smispaţiul. S-a calculat că din totalul nrgii transmis smispaţiului d o prsiun oscilantă normală la suprafaţa z, uniform distribuită p o zonă circulară, 67% s propagă prin und Rayligh, 6% prin und transvrsal şi 7% prin und longitudinal. D asmna, p sismograml înrgistrat în timpul unui cutrmur sau al uni xplozii în pământ, amplitudinil maxim dci fctl distructiv maxim corspund undlor Rayligh. c, 87..., 95 c. În oţl c m s, c S,5 m s. În gnral, R ( ) S Pntru sol s considră d obici λ G, dci ν. În acst caz ε şi 4 cuaţia (6.) admit ca rădăcină rală, pozitivă, subunitară p, 845. S obţin astfl cr, 994 c S, q, 8475, s, 9, C4, 468C. (6.) Amplitudinil (6.97, a, b) dvin U W, 8475 R z, 9 R z ( z) C (, 577 ), 8475 R z, 9 R z ( z) i, 8475 C (, ), (6., a) 7. (6., b) În Fig. 6. s-a rprzntat, pntru ν, 5, variaţia acstor amplitudini, z raportat la valoara d la suprafaţă, în funcţi d variabila adimnsională Λ, und Λ π st lungima d undă Rayligh (Richart, Hall & Woods, 97). R R R R

333 6. UNDE ELASTICE 5 Fig. 6., S constată că pntru z 9, Λ R amplitudina U ( z ) a mişcării R p dircţia x (orizontală) st nulă. Punctl din acst plan s mişcă doar p dircţia z (vrticală). Amplitudina mişcărilor p vrticală st maximă pntru z, 76ΛR, scăzând apoi rapid. La z ΛR acasta st doar,9 din amplitudina punctlor d la suprafaţă. Pntru un punct matrial, compunra mişcărilor p cl două dircţii x, z, conduc la o traictori liptică. Astfl, dacă dplasăril sunt dat d părţil ral al funcţiilor (6.95, a, b), pntru punctl d la suprafaţă s obţin cuaţia paramtrică a lipsi sub forma u w ( x,,t) a cos( ω t x), (6., a) ( x,,t), 468a sin ( ω t x) R. (6., b) În Fig. 6. st rprzntată traictoria punctului matrial d coordonat ( x, z ), iar în Fig. 6. voluţia fnomnului la suprafaţa smispaţiului într-o smiprioadă. La suprafaţă particull s dplasază p orbit liptic (sau circular). P măsura îndpărtării d suprafaţă, particull s dplasază p orbit mai mici. La o anumită adâncim lipsl dgnrază în linii drpt vrtical (sau chiar punct, dnumit noduri). Sub acastă adâncim s invrsază dirctivitata mişcării în R

334 6 VIBRAŢII MECANICE lungul lipsi, după car apar rgiuni în car altrnază mişcara liptică cu noduril sau traictoriil vrtical. Fig. 6. Fig. 6. Amplitudina undlor Rayligh dscrşt după lga distanţa parcursă d undă d la focar. r, und r st Fig. 6. O rprzntar simplificată a propagării undlor Rayligh st arătată în Fig. 6.. S rmarcă asmănara undlor Rayligh cu undl d la suprafaţa ocanlor.

335 6. UNDE ELASTICE 7 În cazul a două smispaţii din matrial difrit, dspărţit d o intrfaţă comună, în lungul intrfţi s propagă und Stonly. Acsta sunt tot und ndisprsiv ca şi undl Rayligh, dar pot xista doar pntru anumit domnii d variaţi a proprităţilor clor două matrial în contact Und Lov În cazul undlor Rayligh, componntl orizontal u al dplasărilor punctlor matrial sunt p dircţia d propagar x a undi, dci sunt dplasări longitudinal. Dplasăril orizontal transvrsal v (p dircţia y, prpndiculară p x) sunt nul. Totuşi, în măsurăril sismic s-a constatat xistnţa unor dplasări orizontal transvrsal v ( x,z,t) indpndnt d y, car s propagă d asmna în dircţia x. Apariţia acstor und d tip SH a fost xplicată d A. E. G. Lov (9). El a arătat că xistnţa lor st datorată structurii nomogn din punct d vdr mcanic a scoarţi pământului, schmatizată d l printr-un smispaţiu, acoprit cu un strat suprficial, d grosim H (Fig. 6.4). Fig. 6.4 Luând sistmul d ax cu origina în planul d sparaţi al clor două mdii, notând cu x dircţia d propagar şi cu z axa vrticală, dplasara armonică propagată printr-o undă Lov ar componntl i ( ) ( ) ( ω t + L x x,z,t V z ) v, u, w. (6.4) D notat că în continuar s lucrază cu smnul plus în parantza xponntului soluţii (6.4), dci cu und Lov rgrsiv. Ecuaţiil d mişcar (6.8, a, c) sunt idntic satisfăcut, iar cuaţia (6.8, b) dvin v v v + x z cs. (6.5) t

336 8 VIBRAŢII MECANICE Condiţiil la limită s pun p suprafaţa libră z H, p car v σ z τ x z, τ y z G γ y z G (6.6) z z H şi p suprafaţa d sparaţi, p car dplasăril şi tnsiunil sunt continu d und rzultă und c L > c S. z, ( τ y z ) ( τ y z ), (6.7) ( x,,t) ( x,,t) v v. Introducând funcţia v ( x,z,t) în cuaţia (6.5), s obţin s d V dz V L ω L c S V, Ls z Ls z ( z) C + C, (6.8) ω c L L cs cs Paramtrul s poat fi ral sau imaginar, după cum, c L ω. L c < c, rspctiv Particularizând în funcţia (6.8) constantl lastic al mdiilor, s obţin z V z în mdiul amplitudinil dplasărilor V ( ) în mdiul şi ( ) Ls z Ls z ( z) C + C V, z, (6.9, a) Ls z Ls z ( z) C + C V, z. (6.9, b) Doarc amplitudina ( z) V trbui să rămână limitată când z, rzultă C. Condiţiil (6.6), (6.7) impus funcţiilor (6.9, a, b) conduc la sistmul algbric omogn cu ncunoscutl C, C, C : s H s H L L C C, (6., a) G ( C C ) G s s C C C, (6., b) C +, (6., c) L S

337 6. UNDE ELASTICE 9 în car Anulând dtrminantul coficinţilor s obţin cuaţia th L G s s H, (6.) G s c L s, cs c L s. (6.) cs Pntru ca în parta infinită a smispaţiului undl să s propag numai în dircţia x, st ncsar ca s să fi ral, dci c L < c S. În acst condiţii, cuaţia (6.) ar rădăcini ral (dci vitz ral d propagar, c L, al undlor Lov) dacă c L > c S, d und rzultă că s st imaginar Doarc, în gnral, c L s i i s i r. (6.) c S th iα i tgiα, cuaţia (6.) dvin c c c L cs cs cs ( ) L L tg L f c L G G H, (6.4) cu condiţia S L S c < c < c. (6.5) S vrifică uşor că xistă o valoar a vitzi c L car satisfac condiţia f > şi f ( ) <. Acastă valoar st (6.5) şi cuaţia (6.4), doarc ( ) funcţi d numărul d undă L, dci undl Lov sunt disprsiv. c S Vitza undlor Lov st mai mar dcât vitza undlor Rayligh c R < c L. Pntru c L dtrminat din cuaţia (6.4), constantl C, C, C rzultă din sistmul (6.), astfl că undl Lov rgrsiv în stratul suprficial sunt dat d dplasara Funcţia i Lr z i Lr ( ) ( H + z x,z,t C + ) c S i [ ] ( ω t + L x ) v. (6.6) i ( ) ( ω t + L x+ Lr z x,z,t ) f (6.7)

338 VIBRAŢII MECANICE rprzintă o undă plană car s propagă cu vitza planul x r z const. c S ω p dircţia normală la S Într-advăr, argumntul ϕ al undi (6.7) s poat pun sub forma în car ϕ L L + x + r z S c t S S, S L S + L S r L S L S c + c L S L S ω ω, dci st îndplinită condiţia (6.87) ca funcţia (6.7) să satisfacă cuaţia undlor (6.85). Funcţia f [ ] i ω t + L x Lr ( ) ( H + z x,z,t ) (6.8) rprzintă o undă plană car s propagă cu vitza c S p o dircţi normală la planul x r z const. f x,z,t., dfazată faţă d unda ( ) Astfl, dplasara v st dată d suprapunra a două und cu dircţii d propagar înclinat faţă d axa x, unda f fiind incidntă p planul d sparaţi şi unda f - rflctată. Considrând dplasăril punctlor matrial dat d parta rală a funcţii complx (6.6), s obţin Amplitudinil ( ) C cos r ( z + H ) cos [ ω t + x rh ] R v. (6.9) L V, variabil cu z, ( z H ) V C cos L r + s anulază pntru valoril z car satisfac condiţia π L r, H < z, (6.) ( z + H ) ( n + ) dci sunt dispus în plan parall cu suprafaţa libră şi sunt maxim pntru z H, adică p suprafaţa libră. Undl Lov sunt und transvrsal polarizat orizontal (und SH). L L

339 6. UNDE ELASTICE În Fig. 6.5 s-a rprzntat o undă Lov rgrsivă în stratul, în două poziţii la intrval d timp d 4 T π ω. T ( ) Fig. 6.5 G S-a arătat (R. Jons, 958) că pntru soluţiil cuaţii (6.4) sunt G aproximativ cl corspunzătoar cazului dci pntru G G cl tg LH, cs, când cuaţia dvin cl π LH. (6.) cs Înlocuind în (6.) p propagat, rzultă L π f, und f st frcvnţa vibraţiilor c L

340 VIBRAŢII MECANICE dci c L dpind liniar d +, (6.) c L 6H f c S f (Fig. 6.6). Fig. 6.6 Panta drpti car rprzintă rlaţia (6.) st o mărim p baza căria poat fi dtrminată grosima H a stratului suprficial. Fig. 6.7 O rprzntar simplificată a propagării undlor Lov progrsiv st arătată în Fig. 6.7.