5.7 Modulaţia cu diviziune în frecvenţă ortogonală
|
|
- Πύρρος Αντωνόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 5.7 Modulaţia cu diviziun în frcvnţă ortogonală Transmisiuna datlor cu dbit mar prin modulaţia multinivl a unui purtător, p un canal cu distorsiuni d amplitudin şi d fază, st afctată d intrfrnţa simbolurilor. Micsorara acstui fct d intrfrnţă ncsită galizara adaptivă a canalului. Dacă în acst scop s folosşt un galizor liniar, opraţia d galizar st însoţită d o rducr a raportului smnal/zgomot. Pntru a vita ncsitata galizării s poat folosi thnica împărţirii bnzii d frcvnt a canalului utilizat în mai mult subbnzi şi a transmitrii fluxului srial d dat, d mar vitză, ca un st d fluxuri d dat d vitză mică, multiplxat, modulând un st d purtători plasaţi dcalat în bandă.
2 Dacă un canal st împărţit în mai mult subcanal, variaţia atnuării şi a timpului d propagar d grup în ficar subbandă st mult mai mică. În flul acsta, intrfrnţa simbolurilor în ficar subcanal st mult mai mică şi nu mai st nvoi d galizar. Thnica multiplxării cu diviziun în frcvnţă, utilizată d mult timp în sistml tlgrafic clasic d transmisiun parallă a datlor, vită suprapunra spctrală a canallor multiplxat (Fig. 5.3 a), pntru a limina intrfrnţa într canal, având însă, drpt conscinţă, o ficinţă spctrală scăzută. Pntru a îmbunătăţi ficinţa spctrală, în thnica multiplxării cu diviziun în frcvnţă ortogonală (Orthogonal Frquncy Division Multiplxing OFDM) canall multiplxat s suprapun în frcvnţă (Fig. 5.3 b) dar, aşa cum s va arăta, impunând ca acst canal să fi distanţat in frcvnţă cu un cart gal numric cu vitza d smnalizar, s vită intrfrnţa într canal. Canal Canal Canal 3 Canal 4 Canal 5 Canal 6 (a) Frcvnţă (b) Frcvnţă Fig. 5.3 Thnica multiplxării cu diviziun în frcvnţă, clasică (a) şi ortogonală (b). Thnica OFDM przintă avanta şi pntru transmisiunil p canal radio, cu propagar multical, prmiţând vitara intrfrnţi simbolurilor produs d disprsia timpilor d propagar p divrsl căi. Spr xmplu, prsupunând o transmisiun TV digitală cu dbitul d 4 Mb/s, cu modulaţi 4-PSK p un singur purtător, durata unui simbol va fi d,5 µs. Dacă difrnţa d drum într căil d propagar ca mai lungă şi ca mai scurtă st d 3 m, difrnţa într timpii d propagar p acst căi va fi d 3. 3 m/3. 8 m/s = µs şi, datorită disprsii timpilor d propagar, răspunsul pntru ficar simbol s dilată cu intrval d simbol, având astfl ca fct, pntru ficar simbol, o intrfrnţă d la alt d simboluri. Dacă s-ar utiliza thnica OFDM, cu d subpurtători, durata ficărui simbol ar fi d d ori mai mar, dvnind astfl gală cu
3 µs, şi cum dilatara răspunsului la ficar simbol rămân acaşi ca şi la sistmul cu un singur purtător, µs, intrfrnţa s rduc la ca produsă d un singur simbol. În cl c urmază vor fi przntat două variant al thnicii OFDM, una utilizând filtr trc os la misi şi la rcpţi, pntru a limita suprapunra spctrală doar la canall adiacnt, calaltă variantă nutilizând filtr şi prmiţând o ralizar practică mai puţin complxă, folosind transformata Fourir rapidă Thnica OFDM cu filtr Schma bloc convnţională a sistmului d transmisiun OFDM cu filtr st przntată în fig Dat CS/P Codor Codor Codor F(ω) T/ F(ω) T/ F(ω) F(ω) F(ω) T/ F(ω) cosω t sinω t cosω t sinω t cosω 3 t sinω 3 t Σ Canal d transmisiun H(ω) cosω t F(ω) F(ω) T/ sinω t F(ω) T/ cosω t sinω t F(ω) F(ω) T/ cosω 3 t sinω 3 t F(ω) Codor T/ F(ω) F(ω) cosω t sinω t F(ω) T/ cosω t sinω t F(ω) Fig. 5.4 Schma bloc a unui sistm OFDM cu filtr trc os Fluxul srial al datlor st împărţit în fluxuri parall, ficar dintr acsta fiind transmis p un subcanal prin modulaţi d amplitudin în cuadratură. Frcvnţa d simbol p ficar subcanal st acaşi, f s = T. Spctrul smnallor d dat în banda d bază, d p ficar subcanal, st limitat la o bandă gală cu cl mult dublul bnzii minim ncsar pntru a asigura lipsa intrfrnţi simbolurilor transmis p subcanalul rspctiv. La o frcvnţă d simbol f s, banda minimă (yquist) st f s /, dci spctrul d frcvnţ al smnalului modulator st limitat la cl mult f s. Pntru gnralitat vom considra că purtătorii subcanallor adiacnt sunt distanţaţi la f unul d altul şi spctrl d frcvnţ al smnallor transmis p acst subcanal s suprapun cl mult ca în fig. 5.3b, fiind îndplinită condiţia Δ f f. s
4 Est vidnt că la rcpţi, p ficar subcanal vor apăra, după filtrul postdtcţi F(ω), smnal prturbatoar provnit din subcanall infrior şi suprior, în fază şi în cuadratură. Astfl, spr xmplu, pntru subcanalul cu purtătorul cosω t, vom ava smnal prturbatoar provnit din subcanalul infrior, cu purtătorii cos( ω ) t, în fază şi sin( ω ) t, în cuadratură şi din subcanalul suprior, cu purtătorii cos( ω + )t, în fază şi sin( ω + ) t, în cuadratură. În continuar s vor dtrmina xprsiil smnallor prurbatoar şi condiţiil ca acsta să nu influnţz dciziil car sunt luat la momntl d sondar. a) Influnţa subcanalului infrior în fază. Să considrăm prturbat subcanalul cu purtător cosω t. Pntru un simbol la misi p subcanalul infrior cu purtător cos( ω ) t, rprzntat printr-un impuls Dirac pondrat în amplitudin, smnalul corspunzător la intrara rcptorului va ava transformata Fourir d forma: [ F ω ω + ) + F( ω + ω ) ] H ( ) / ( ω. După dmodular cu purtătorul local cosω t în rcptorul subcanalului prturbat, transformata Fourir a smnalului prturbator va fi [ F ω ω + ) + F( ω ) ] H ( ω ω ) / 4 + [ F( ω + ) + F( ω + ω ) ] H ( ω + ) / 4 ( ω După filtrul postdtcţi, car limină componntl d frcvnţă înaltă, cntrat p ω, smnalul prturbator va ava transformata Fourir [ F( ω ) H ( ω ω ) + F( ω + ) H ( ω ω )] F( ) / 4 R a ( ω) = + ω (5.9) Prsupunând că funcţia d transfr H(ω) nu przintă distorsiuni d amplitudin şi d timp d propagar d grup, ipotză susţinută d banda foart îngustă alocată ficărui subcanal, să considrăm H(ω) =. Rzultă: cu rprzntara grafică din fig [ F( ω ) + ( ω + Δ )]/ 4 R a ( ω) = F( ω) F ω, (5.) F(ω+ ω) F(ω) R a (ω) F(ω- ω) ω/ ω ω Fig. 5.5 Transformata Fourir R a (ω) Smnalul prturbator r a (t) corspunzător st dat d rlaţia
5 ωt ra ( t) = Ra ( ω) dω = Ra ( ω)cosωtdω (5.) π π în car s-a ţinut sama d simtria pară a funcţii R a (ω). Cu schimbara d variabilă ω = ω si rvnind apoi la vcha notati a variabili, s obţin sau ra ( t) = Ra ( ω + )cos( ω + ) tdω (5.) π t t ra ( t) = cos Ra ( ω ) cosωtdω sin R π + π a ( ω + ) sin ωtdω (5.3) Intgrala a doua din rlaţia (5.3) st nulă doarc intgrandul st o funcţi impară şi, prin urmar, t ra ( t) = cos R π Δ a ω ( ω + ) cosωtdω. (5.4) Pntru ca influnţa smnalului prturbator r a (t) să fi nulă la momntl d sondar t + nt st ncsar ca r a ( t + nt) =, (5.5) ca c implică, ţinând sama d (5.4), cos ( t + nt) = (5.6) sau π ( t + nt) = ( + ) şi Δft + ΔfnT = +, (5.7) rlaţi îndplinită pntru ΔfT = şi t = Δf. Rzultă condiţiil T Δ f = şi t =, (5.8) T car s obţin prin dcalara datlor p cl două subcanal (prturbator şi prturbat) cu T/ unl faţă d altl şi un cart Δ f = / T într purtătorii subcanallor adiacnt. b) Influnţa subcanalului infrior în cuadratură, cu purtătorul sin( ω ) t.
6 Asmănător modului în car s-a ddus R (ω ), pntru R (ω ), transformata Fourir a smnalului prturbator provnit din acst subcanal, s obţin xprsia cu rprzntara grafică din fig a [ F( ω + ) F( ω Δ )]/ R b ( ω) = F( ω) ω 4, (5.9) b R b (ω) - ω/ ω/ ω Fig. 5.6 Transformata Fourir R b (ω) Smnalul prturbator r b (t) st dat d rlaţia ωt rb ( t) = Rb ( ω) dω = Rb ( ω)sin ωtdω. (5.3) π π Cu acaşi schimbar d variabilă d mai sus s obţin sau rb ( t) = Rb ( ω + )sin( ω + ) tdω (5.3) π t rb ( t) = cos π t Rb ( ω + )sin ωtdω + sin π Rb ( ω + ) cosωtdω. (5.3) Prima intgrală din rlaţia (5.3) st nulă doarc intgrandul st o funcţi impară în raport cu variabila ω. Rzultă astfl: t rb ( t) = sin Rb ( ω + )cosωtdω. (5.33) π Pntru ca smnalul prturbator r b (t) să fi nul la momntl d sondar t + nt st ncsar ca sin ( t + nt) =, (5.34) ca c implică ( t + nt) = π, (5.35) rzultând condiţiil Δ f = şi T t = (5.36)
7 şi, prin urmar, într datl transmis p cl două subcanal nu trbui să xist nici un dcala (t = ). În mod similar s dduc influnţa subcanalului în fază suprior, [ F( ω + ) + ( ω Δ )]/ 4 R c ( ω) = F( ω) F ω (5.37) şi ca a subcanalului în cuadratură suprior, [ F( ω ) F( ω + Δ )]/ R d ( ω) = F( ω) ω 4. (5.38) Cum R ( ω) = R ( ω) şi R ( ω) = R ( ω), rzultă aclaşi condiţii ca şi în cazul c a d b canallor infrioar adiacnt. Rzumând, pntru ca intrfrnţa produsă d subcanall adiacnt să fi nulă la momntl d sondar st ncsar ca, la misi, p subcanall adiacnt cu purtători d aclaşi tip (în cosinus, spr xmplu) datl să fi dcalat cu T/, iar p subcanall adiacnt cu purtători d tipuri difrit (cosinus şi sinus, spr xmplu) datl să fi în fază, ca c în fig. 5.4 st sugrat prin circuitl car indică o întârzir T/. D fapt, acst dcala s asigură prin utilizara unor tact d simbol în antifază, atât la misi, cât şi la rcpţi. - Formara spctrală a smnallor În ficar subcanal pot apăra două fluri d întrfrnţă a simbolurilor: intrfrnţa produsă d simboluril transmis p subcanalul rspctiv, datorită limitării spctrului d frcvnţ (intrfrnţa intracanal) şi intrfrnţa produsă d simboluril transmis p subcanall adiacnt, datorită suprapunrii spctral (intrfrnţa intrcanal). Tortic, pntru a nu ava intrfrnţa intracanal, caractristica spctrală globală a ficărui subcanal trbui să îndplinască condiţiil corspunzătoar primului critriu yquist. La o frcvnţă d simbol f s banda minimă ncsară pntru transmisiuna fără intrfrnţa simbolurilor st f s. Având în vdr cartul f s într purtători, lărgima spctrului d frcvnţ al smnalului d p ficar subcanal poat fi maximum f s, rzultând un coficint d xcs d bandă cu valoara maximă gală cu. Lărgima bnzii d frcvnţ ncsar pntru sistmul multicanal st ( + ) f s, faţă d banda minimă ncsară f s, în cazul unui sistm monocanal MAQ chivalnt (cu o frcvnţă d simbol f s ), ca c conduc la un coficint d xcs d bandă global α = f / f = s s /, mult mai mic dcât cl corspunzător ficărui subcanal în part. În ca c privşt intrfrnţa intrcanal, condiţiil pntru lipsa acsti intrfrnţ, stabilit mai sus, nu implică rfriri la alura funcţiilor d transfr al filtrlor trc os d misi şi d rcpţi, ci doar să fi idntic.
8 5.7. Thnica OFDM folosind transformata Fourir discrtă Thnica d modulaţi przntată în paragraful antrior, ncsitând filtr, modulatoar şi dmodulatoar sparat pntru ficar subcanal, st foart complxă din punct d vdr al implmntării practic a unui astfl d sistm. În cl c urmază va fi przntată o thnică d modulaţi asmănătoar, cu purtători multipli, dar car poat fi implmntată mult mai simplu utilizând transformata Fourir discrtă (DFT - Discrt Fourir Transform) şi transformata Fourir discrtă invrsă (IDFT Invrs DFT). Să prsupunm că ficărui subcanal i s asociază un purtător p ( t) = sin πf t, =,,...,, (5.39) f fiind frcvnţa cntrală a subcanalului. Algând vitza d smnalizar ( v s = ) p T ficar subcanal astfl încât să fi gală numric cu cartul d frcvnţă dintr doi purtători alăturaţi, purtătorii vor fi ortogonali p un intrval d simbol T, indifrnt d dfazal dintr i, adică T sin( π f + Φ )sin(πf + Φ ) dt =, (5.4) în car f f = n/t, n =,,..., pntru oric Φ şi Φ. Cu acastă condiţi avm multiplxar cu diviziun în frcvnţă ortogonală. Pntru a înţlg mai uşor cum poat fi folosită transformata Fourir discrtă în sistml OFDM, în cl car urmază vor fi przntat, sumar, dfiniţia şi câtva proprităţi al acsti transformat. Fi o scvnţă formată din numr complx: x, x,..., x. Ea st transformată într-o scvnţă d alt numr complx,,..., prin DFT: = n= x n πn, =,,...,. (5.4) Transformata Fourir discrtă invrsă (IDFT - Invrs Discrt Fourir Transform) st dată d rlaţia x n = = πn, n =,,...,. (5.4) S obsrvă că transformata Fourir discrtă a uni scvnţ finit x [ st priodică, cu prioada, adică [] = [+]. La fl, transformata Fourir discrtă invrsă st priodică, rprzntând o vrsiun xtinsă priodic a scvnţi finit: = n+].
9 Lgătura dintr transformata Fourir discrtă şi transformata Fourir în timp continuu poat fi stabilită după cum urmază. Transformata Fourir în timp continuu pntru o funcţi x(t) st dată d xprsia πft = x( t) dt ( f ) (5.43) Eşantioanl funcţii x(t), luat la intrval T, s pot xprima prin xdt = x( t) T ( t) = δ x( nt) δ ( t nt) (5.44) n= Transformata Fourir a şantioanlor x(t)δt(t) poat fi xprimată, în funcţi d transformata Fourir a funcţii continu, prin produsul d convoluţi = DT ( f ) = ( f ) δ ( f ) = ( f ), (5.45) T T T T = δ ( f ) fiind transformata Fourir a funcţii dlta priodic δ T (t). Din xprsia T T (5.45) s obsrvă că transformata Fourir a şantioanlor funcţii x(t) st rptara priodică, cu prioada f s =, a transformati Fourir a funcţii continu. P d altă part, T transformata Fourir a şantioanlor funcţii x(t) poat fi calculată folosind formula d dfiniţi a transformati Fourir: DT ( f ) = x( nt) δ ( t nt) n= πft n= = dt = x( nt) δ ( t nt) πft dt = = n= otând x n = x(nt) şi ω = πft = π f fs, s obţin x πfnt ( nt) (5.46) DT ωn xn n= ( ω ) =, (5.47) ca c rprzintă transformata Fourir în timp discrt (DTFT - Discrt-tim Fourir Transform) a scvnţi şantioanlor [x n ]. f fs ar smnificaţia uni frcvnţ normat la frcvnţa d şantionar f s, iar ω st o frcvnţă unghiulară normată, măsurată în radiani ω p intrvalul d şantionar T. Din (5.47) s obsrvă uşor că ( ) ar prioada ω = π sau f =. f s Pntru prlucrări numric st ncsară, p d o part, discrtizara frcvnţi ω şi, p d altă part, trunchira scvnţi [x n ] la o lungim finită. Considrând un număr d DT
10 ω şantioan al transformati ( ) p ficar prioadă ω = π, scvnţa ~ ω DT şantioanlor, notată ( ) sau [], în car ω = π, st priodică. Prin urmar şi smnalul în timp discrt corspunzător, notat ~ x [ n ], st priodic, rzultând prin rptara priodică a scvnţi [x n ], cu prioada dpndntă d frcvnţa d şantionar a transformati Fourir în timp discrt ω ( ). Din analiza smnallor în timp discrt priodic rzultă rlaţiil: [ ] = n= ~ x [ π n DT şi ~ x [ = = π n o [ ] (5.48) Dacă scvnţa [x n ] st limitată şi ar lungima L=, atunci fnomnul d alir nu s manifstă în scvnţa ~ x [ n ] şi, în conscinţă, [x n ] şi ~ x [ n ] sunt idntic pntru n (,,..., ). În acst caz, în rlaţiil (5.48), scvnţa ~ x [ n ] poat fi înlocuită cu [x n ], rzultând rlaţiil car dau transformatl Fourir discrtă (5.4) şi invrsă (5.4). Dacă s urmărşt o rzoluţi mai fină în şantionara transformati Fourir în timp discrt şi, în aclaşi timp, s dorşt a s bnficia d avantaul algoritmului FFT (Fast Fourir Transform - transformata Fourir rapidă), s vor dtrmina un număr (putr a lui ) d şantioan p o prioadă π mai mar, > L. Eşantioanl x n, pntru n, vor fi considrat gal cu zro. Dintr proprităţil DFT vor fi mnţionat cl car urmază.. Convoluţia circulară - Fi două scvnţ [x n ] şi [h n ] d acaşi lungim, cu n (,,..., ). Convoluţia circulară în punct a clor două scvnţ st dfinită prin rlaţia y [ = h[ = h[ = h[ ] n ], (5.49) în car [ n ] însamnă [ n ] modulo sau, altfl spus, [ n ] rprzintă o vrsiun priodică, cu prioada, a scvnţi n ]. S poat vrifica uşor că scvnţa y[ st priodică, cu acaşi prioadă. Din dfiniţia DFT s poat arăta că transormata Fourir discrtă a convoluţii circular în timp a clor două scvnţ st dată d produsul în frcvnţă DFT { y[ = h[ } = [ i] H[ i], i (5.5) Considrând că rprzintă şantioanl unui smnal la intrara canalului al cărui răspuns la impulsul unitat ar şantioanl h[, dacă răspunsul canalului ar fi convoluţia circulară h[ şi dacă h[ s-ar cunoaşt, atunci s-ar puta dtrmina
11 calculând transformata Fourir discrtă invrsă a scvnţi Y [ i]/ H[ i], i. Dar răspunsul canalului nu st convoluţia circulară, ci convoluţia liniară h[. Totuşi, s poat obţin, în răspunsul canalului, convoluţia circulară a clor două scvnţ dacă scvnţi d intrar i s adaugă un prfix, numit prfixul ciclic. Prfixul ciclic. Să considrăm scvnţa, d lungim şi un canal discrt în timp cu răspunsul la impulsul unitat finit, h[ = h[], h[],..., h[m], d lungim M + = T m /T s, T m fiind durata răspunsului şi T s fiind intrvalul d şantionar asociat scvnţi în timp discrt. Prfixul ciclic pntru scvnţa constă din ultiml M valori al acsti scvnţ şi st: M],..., ]. otăm noua scvnţă, d lungim + M, alcătuită din prfix şi scvnţa, cu ~ x [ n ], M n, und ~ M ],..., ~ ] = M ],..., x [ ], x [],..., x [ ], ca în figura 5.7. Prfix ciclic Scvnţa originală, d lungim x [ M ] M + ]... ] ] ]... M ] M ] M + ]... ] Fig. 5.7 Scvnţa cu prfixul ciclic Dacă la intrara canalului s aplică scvnţa ~ x [ n ], răspunsul canalului va fi convoluţia ~ liniară h[ n ], adică scvnţa y[ M ],..., y [ ], y [], y [],..., y [ ], y [],..., y [ + M ], (5.5) în car y[ M ] = h[] M ]..... y[ ] = h[] ] + h[] ] h[ M ] M ] y[ ] = h[] ] + h[] ] h[ M ] M ]..... (5.5) y [ ] = h[] ] + h[] ] h[ M ] M ] y[ ] = h[] ] + h[] ] h[ M ] M ]..... y [ + M ] = h[ M ] ]
12 Faţă d scvnţa d intrar ~ x [ n ], d lungim + M, scvnţa d işir st dilatată, având lungima + M. S poat obsrva că parta din răspunsul canalului rprzntată d y[, n, st chiar convoluţia circulară h[, aşa încât, dacă h[ st cunoscută, scvnţa poat fi dtrminată din y[. În afară d avantaul obţinrii, în răspunsul canalului, a convoluţii circular h[, utilizara prfixului ciclic prmit vitara intrfrnţi într blocuril d dat la işira din canal. Datorită dilatării cu M şantioan a răspunsului la ficar bloc d dat, răspunsuril canalului la blocuri succsiv s suprapun, dar şantioanl car rprzintă convoluţia circulară nu sunt afctat d acastă suprapunr (fig. 5.8). Intrar canal M Prfix Dat Prfix Dat Prfix Dat Işir canal IS Conv. circ. IS Conv. circ. IS Conv. circ. IS M M Fig. 5.8 Intrfrnţa simbolurilor într blocuri succsiv la işira din canal Intrar dat Modulator MAQ Convrtor sriparall [] [] [-] IFFT ] ] -] Adăugar prfix ciclic Convrsi parallsri cos ω Ral ~ c t x [ n ] D/A Imag ~ x [ n FTB ] D/A sin ω c t Transmiţător cos ω c t y[] Y[] FTB FTJ FTJ A/D A/D Eliminar prfix Convrsi sriparall y[] y[-] FFT Y[] Y[-] Convrsi parallsri Y Dmodulator MAQ sin ω c t Rcptor Fig. 5. Sistm OFDM ralizat cu IFFT/FFT
13 P baza acsti proprităţi a transformati Fourir discrt s poat labora o schmă a sistmului d transmisiun OFDM ca în figura 5.9. Datl d intrar comandă un modulator MAQ, rzultând, p un intrval d simbol T, simboluril complx,,...,, corspunzând clor subpurtători. Acst simboluri rprzintă componntl în frcvnţă discrtă al smnalului s(t) d la işira modulatorului OFDM. Pntru a gnra smnalul s(t), acst componnt din domniul frcvnţă sunt convrtit în şantioan din domniul timp, şantioan al smnalului s(t), prin fctuara transformati Fourir discrt invrs asupra clor simboluri, implmntată ficint utilizând IFFT. Rzultă scvnţa = ], ],..., ], d lungim, cu i= = [ i] Scriind xponnţiala din sumă sub forma πni /, n. (5.53) πi T. n T πni / πint / T = = s obsrvă că scvnţa corspund şantioanlor unui smnal multipurtător complx, cu purtătorii având frcvnţl nt/. f i = i T, i =,,...,, şantioan luat la intrval După dtrminara scvnţi s adaugă prfixul ciclic, s fac convrsia parall-sri şi apoi convrsia digital-analogică, atât pntru parta rală cât şi pntru parta imaginară al şantioanlor smnalului complx. Dacă transmisiuna st d tip trc bandă, spr xmplu p un canal radio cu frcvnţa cntrală f c, cl două părţi al smnalului complx s vor transmit, prin modulaţi d amplitudin în cuadratură, p componnt, în sinus şi în cosinus, al purtătorului d frcvnţă f c. La rcpţi, după dmodular şi filtrara trc os pntru liminara componntlor d frcvnţă înaltă postdtcţi, făcând abstracţi d zgomot, s obţin smnalul în banda d bază y( t) = ~ x ( t) h( t), rzultat al convoluţii liniar a smnalului ~ x ( t ) cu funcţia pondr h(t) a canalului trc os chivalnt canalului trc bandă. După convrsia A/D s obţin părţil rală şi imaginară al şantioanlor y[ = ~ x [ h[, M n. S limină prfixul lui y[ constând din priml M şantioan, iar cl şantioan car rămân rprzintă convoluţia circulară y[ = h[, n. Transformata Fourir discrtă a acstor şantioan st Y [ i] = H[ i] [ i] şi s calculază, utilizând FFT, după convrsia sri-parall a şantioanlor y[. Ca c s obţin, Y[i], rprzintă vrsiunil multiplicat cu H i] = H ( f ) al simbolurilor mis [i]. H(f i ) rprzintă funcţia [ i d transfr a canalului la frcvnţa f i, frcvnţa cntrală a subcanalului i. Scvnţa Y[i]
14 obţinută folosind FFT st aplicată unui convrtor parall-sri şi apoi dmodulatorului MAQ pntru a rconstitui datl mis. În sistml d transmisiuni p linii cu fir mtalic (cablu cu prchi răsucit) s dorşt transmitra şantioanlor al smnalului OFDM s(t) în banda d bază, fără o modulaţi suplimntară. În acst caz însă st posibil să s transmită doar simboluri ral şi nu complx, cum sunt. Acastă problmă poat fi rzolvată, ţinând sama d alt proprităţi al DFT, przntat în continuar, prin adăugara la scvnţa originală [ a unor simboluri suplimntar, complx conugatl simbolurilor din scvnţa originală.. Torma dplasării - Dacă x n st înmulţit cu π nm, m fiind un întrg, st înlocuit cu m, ca c însamnă o dplasar circulară în DFT originală, corspunzătoar scvnţi {x n }, indicl m fiind intrprtat modulo. În mod similar, uni dplasări circular cu m poziţii a scvnţi {x n } îi corspund o înmulţir cu π m { } atunci a DFT. Altfl spus, dacă scvnţi {x n } îi corspund, prin DFT, scvnţa { x n } { }, πnm πm xn { m} şi { xn m}. 3. DFT rală - Dacă x, x,..., x sunt numr ral, cum adsa s întâmplă în aplicaţiil practic (şantioanl unui smnal ral, spr xmplu), DFT st simtrică, adică =, * în car stluţa (*) însamnă complx conugata. Rzultă că DFT pntru o scvnţă {x n } rală st p umătat rdundantă, informaţia compltă (dspr DFT) obţinându-s luând numai umătat din scvnţa { }. În acst caz lmntul d "curnt continuu" st ral πn. ( = xn = n= asmna ral: n= x n = ral ), iar pntru par lmntul "yquist" / st d * = = *.
15 Avm dci, ca ncunoscut rprzntând DFT, şi /, ral şi,...,, complx, însmnând un număr total d ncunoscut gal cu + ( ) =. Rvnind acum la sistmul OFDM, car folosşt p ficar subcanal modulaţia d amplitudin în cuadratură, că considrăm un intrval d simbol oarcar, în car p ficar din cl subcanal s transmit un punct din constlaţia bidimnsională a smnalului modulat asociată subcanalului. Clor punct transmis l asocim, într-o primă tapă, simboluri complx, d informaţi,,,..., -, al căror părţi ral şi imaginar rprzintă coordonatl punctlor. Fi { }, =,,,, scvnţa acstor simboluri. Cu acst simboluri crăm o altă scvnţă, formată din simboluri, { } =,,,, în flul următor: oua scvnţă st, astfl, =, =,,..., * * = = ( ), =,,,,,... -,, = R[ ] (5.43) Im[ ] =, *, *,...,, * (5.44) S obsrvă că simbolul d informaţi a fost sparat în două părţi, ficar rală. otăm noua scvnţă d simboluri, din (5.44), cu { } Fourir discrtă invrsă a scvnţi { } =, =,,...,. Transformata, în punct, st: πn xn =, n =,,...,. (5.45) Pntru =,,,, grupăm trmnii din suma (5.45) în prchi d forma πn + πn( ) şi ţinând sama d (5.43), rzultă x n = πn + + = în car simboluril d informaţi sunt πn cos + θ (5.46) θ =. Scvnţa { x n, n } corspund şantioanlor smnalului OFDM constând din subpurtători, car poat fi pus sub forma
16 πn x( t) = + + = πt cos + θ T t T (5.47) nt în car T st intrvalul d simbol şi x n = x( ), n =,,, -. S obsrvă că simbolul d informaţi, rprzntat în rlaţia (5.47) prin şi, corspund componnti d curnt continuu (f = ). Punând = smnalul OFDM, fără componntă d curnt continuu, va ava xprsia
Eşantionarea semnalelor
Eşantionara smnallor Eşantionara = prlvara d prob dintr-un smnal la momnt d timp dcalat intr l cu cu frcvnta d şantionar, f =/. xˆ t x k t k k = ( = δ ( Smnalul şantionat idal:. Spctrul Xˆ = X ( k k =
Διαβάστε περισσότεραTeorema Rezidurilor şi Bucuria Integralelor Reale
Torma Ridurilor şi Bucuria Intgrallor Ral Prntar d Alandru Ngrscu Intgral cu funcţii raţional c dpind d sin t şi cos t u notaţia it, avm: cos t ( + sin t ( i dt d i, iar intgrara s va fac d-a lungul crcului
Διαβάστε περισσότεραSistem analogic. Sisteme
Sistm Smnall pot fi supus prlucrarii in scopul obtinrii unor alt smnal, sau al obtinrii unor paramtri ai acstora. Prlucraril s aplica unui smnal intrar x(t) si s obtin un alt smnal, isir, y(t). Moulara/moulara,
Διαβάστε περισσότερα2.CARACTERIZAREA GENERALĂ A RADIOACTIVITǍŢII
2.CARACTERIZAREA GEERALĂ A RADIOACTIVITǍŢII Radioactivitat -fnomnul d misi d radiaţii d cătr unl substanţ numit substanţ radioactiv. Procsul constă în misia a tri tipuri d radiaţii: α, β şi γ, priml două
Διαβάστε περισσότεραCapitolul III CIRCUITE DE MULTIPLEXARE ŞI EŞANTIONARE-MEMORARE
II.4. CIRCUITE DE CALCUL ANALOGIC Capitolul III CIRCUITE DE MULTIPLEXARE ŞI EŞANTIONAREMEMORARE III.1. CIRCUITE DE MULTIPLEXARE III.1.1. GENERALITĂŢI Un multiplxor analogic (MUX) st un bloc funcţional
Διαβάστε περισσότεραI 1 I 2 V I [Z] V 1 V 2. Z11 impedanta de intrare cu iesirea in gol 2 I 1 I 21 I
urs 5 4/5 ar ca scop sparara unui circuit complx in blocuri individual acsta s analiaa sparat (dcuplat d rstul circuitului) si s caractriaa doar prin intrmdiul porturilor (cuti nagra) analia la nivl
Διαβάστε περισσότεραModele matematice pentru îmbunătăţirea calităţii sistemelor electrice
Modl matmatic pntru îmbunătăţira calităţii sistmlor lctric Lct.univ.dr.ing. Ghorgh RAŢIU. Introducr Ţinând sama d tndinţl modrn al proictării sistmlor lctric (chipamntlor lctric) d înlocuir a uni proictări
Διαβάστε περισσότερα2.CARACTERIZAREA GENERALĂ A RADIOACTIVITǍŢII
2.CRCTERIZRE GEERLĂ RDIOCTIVITǍŢII Radioactivitat -fnomnul d misi d radiaţii d cătr unl substanţ numit substanţ radioactiv. Procsul constă în misia a tri tipuri d radiaţii: α, β şi γ, priml două fiind
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραCapitolul I ECUAŢII DIFERENŢIALE. 1 Matematici speciale. Probleme. 1. Să de integreze ecuaţia diferenţială de ordinul întâi liniară
Mamaici spcial Problm c solţia apioll I EUAŢII DIFERENŢIALE Să d ingrz caţia difrnţială d ordinl înâi liniară g cos d Solţi: Ecaţia omognă aaşaă s: - g sa g d ln - ln cos ln sa Pnr rzolvara caţii cos nomogn
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραÎn spectrul de rotaţie al moleculei HCl s-au identificat linii spectrale consecutive cu următoarele lungimi de undă: λ
PROBLMA 5 În spctrul d rotaţi al molculi HCl s-au idntificat linii spctral conscutiv cu următoarl lungimi d undă: λ 6.4 m; λ 69. m ; λ 8. 4 m ; λ 96. 4 ; λ. 6 m ; 4 5 a Prsupunând molcula un rotator rigid
Διαβάστε περισσότεραComplemente teoretice. Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D; DefiniŃii ale limitei DefiniŃia 1.1.
Analiza matmatică clasa axi-a, problm rzolvat Complmnt tortic Limit d funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct d acumular a lui D; DfiniŃii al limiti DfiniŃia lim f = l, l R, dacă pntru oric vcinătat V
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραLEGI CLASICE DE PROBABILITATE
7. LEGI CLASICE DE PROBABILITATE Fi (Ω, K, P u câmp d probabilitat şi f : Ω R, o variabilă alatoar. Am văzut că varibili f i s poat asocia o fucţi d rpartiţi F, cotiuă la stâga şi o fucţi caractristică
Διαβάστε περισσότεραCURS 10 ANALIZA PERFORMANŢELOR PE BAZA CONTULUI DE PROFIT ŞI PIERDERE
CURS ANALIZA PERFORMANŢELOR PE BAZA CONTULUI DE PROFIT ŞI PIERDERE Obictiv: însuşira concptului d cont d profit şi pirdr; însuşira concptului d rntabilitat; dtrminara soldurilor intrmdiar d gstiun; stabilira
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 9.
Capitolul V: Şiruri şi srii d fucţii. Lct. dr. Lucia Maticiuc Facultata d Hidrothică, Godzi şi Igiria Mdiului Matmatici Suprioar, Smstrul I, Lctor dr. Lucia MATICIUC SEMINAR 9. Cap. V Şiruri şi srii d
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραLucrarea de laborator nr. 2 VERIFICARILE METROLOGICE ALE MIJLOACELOR DE MASURARE
Lucrara d laborator nr. 2 VERIFICARILE METROLOGICE ALE MIJLOACELOR DE MASRARE 1. SCOPL LCRARII Scopul lucrarii îl rprzinta: cunoastra principallor mtod d vrificar mtrologica a unor mijloac d masurar, analogic
Διαβάστε περισσότερα7. CONVOLUŢIA SEMNALELOR ANALOGICE
7. CONVOLUŢIA SEMNALELOR ANALOGICE S numş funcţi (prous) convoluţi în imp smnllor şi ingrl: f ( ) Noţi conscră prousului convoluţi în imp s urmăor: no Convoluţi unui smnl cu (7.) (7.) δ su u conuc l rzul
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραTransformari de imagini - probleme rezolvate - I. Transformari sinusoidale transformata Fourier:
ransormari d imagini - problm rzolvat - I ransormari sinusoidal transormata ourir: i următorul bloc d pixli dintr-o imagin digitală: 7 7 7 7 a) Dducţi matrica transormati ourir, [ ], ncsară transormării
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραProiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραFIZICA CAPITOLUL: ELECTRICITATE CURENT CONTINUU. Soluţii, indicaţii, schiţe de rezolvare
FZCA CAPTOLL: LCTCTAT CNT CONTN Souţii, indicţii, schiţ d rzovr. răspuns corct c;. răspuns corct d; 3. răspuns corct b; 4. răspuns corct ; 5. răspuns corct c ( t nrgi ctrică) ; 6. răspuns corct ( putr
Διαβάστε περισσότεραL4. Măsurarea rezistenţelor prin metoda de punte
L4. Măsurara rzistnţlor prin mtoda d punt. Obictul lucrării În prima part a lucrării s utilizază punta simplă (Whatston) ca mtodă d prcizi ridicată, pntru măsurara rzistnţlor cuprins într 0-0 0 Ω, ralizându-s
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραMircea Radeş. Vibraţii mecanice. Editura Printech
Mirca Radş Vibraţii mcanic Editura Printch Prfaţă Lucrara s bazază p cursuril d Vibraţii mcanic prdat la Univrsitata Polithnica Bucurşti, la facultata I.M.S.T. (97-6), la cursul postunivrsitar d Vibraţii
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραTERMOSTAT ELECTRONIC DIODA SENZOR
EPSCOM Rady Prototyping Colccţ ţia Hom Automation EP 0261... Cuprin Przntar Proict Fişa d Aamblar 1. Funcţionar 2 2. Schma 2 3. PCB 3 4. Lita d componnt 3 5. Tutorial dioda miconductoar 4 5 Rgimul trmic
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραTransformata Laplace
Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραValori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραFizica Plasmei şi Aplicaţii Probleme
Fizica Plasmi şi Aplicaţii Problm. Exprimaţi valoara prsiunii atmosfric în difrit unităţi d măsură (N/m, Torr, mm Hg, atm) şi stabiliţi rlaţiil dintr l?. Calculaţi dnsitata unui gaz idal (în m - ) în următoarl
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότερα6.4.Convecţia. unde T s -temperatura termodinamică a suprafeţei corpului solid, -temperatura termodinamică medie a fluidului, 6.
Trmothnică 77 6..Convcţia Convcţia căldurii st fnomnul lmntar d transfr trmic car s manifstă în mdii fluid şi la supafaţa d sparaţi a fazlor. Est caractristică mdiilor în mişcar, căldura fiind transportată
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραMiliohmetru cu scală liniară şi citire analogică şi/sau digitală
Miliohmtru cu scală liniară şi citir analogică şi/sau digitală YO7AQM Laurnţiu CODREANU C.S.M. - Pitşti În practica radioamatorilor constructori s impun adsori ncsitata utilizării şi dsori a ralizării
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότερα4.6. Caracteristicile motoarelor de curent continuu
Maşia lctrică d curt cotiuu 8D 017 4.6. Caractristicil motoarlor d curt cotiuu Pricipall caractristici al motoarlor d curt cotiuu sut: caractristica mcaică = ( M ) caractristica curtului = ( I i ) caractristica
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραΔιαμόρφωση μιας Φέρουσας. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Διαίρεση εύρους ζώνης καναλιού. Διαμόρφωση Πολλών Φερουσών OFDM
Διαμόρφωση μιας Φέρουσας Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Διαμόρφωση Πολλαπλών Φερουσών και OFDM (Orthogonal Frquncy Division Multiplxing) Είδαμε ότι τα πραγματικά (μη-ιδανικά) κανάλια εισάγουν διασυμβολική
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραΜετασχημ/μός Fourier Διακριτών Σημάτων - Διακριτός Μετασχημ/μός Fourier. Στην απόκριση συχνότητας ενός ΓΧΑ συστήματος ο μετασχηματισμός :
Μετασχημ/μός Fourir Διακριτών Σημάτων - Διακριτός Μετασχημ/μός Fourir Στην απόκριση συχνότητας ενός ΓΧΑ συστήματος ο μετασχηματισμός : j h(i) H( Ω ) ορίζεται ως μετασχηματισμός Fourir της ακολουθίας h(i)
Διαβάστε περισσότερα7. INTEGRALA IMPROPRIE. arcsin x. cos xdx
7 INTEGRALA IMPROPRIE 7 Erciţii rzolv Erciţiul 7 Să s sudiz nur urăorlor ingrl irorii şi să s drin vloril csor în cz d convrgnţă: d c sin d 3 / rcsin d cos d d sin d > R Soluţii Funcţi f : - R f s ingrilă
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότερα4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραSenzorul Hall (1) m e (2) Astfel viteza de mişcare a unui electron este datorat forţei
Snorul all Snorul all Constructi, snorul all st o lăcuţă aralliiică foart subţir in matrial smiconuctor, urtător sarcini oiti şi ngati (lctroni şi goluri). Efctul all în lăcuţă in nu numai concntraţia
Διαβάστε περισσότερα2. JONCŢIUNEA pn. Fig. 2.1 Joncţiunea pn
JOCŢUE pn ntroducr Joncţiuna pn st rgiuna din vcinătata suprafţi d contact dintr două smiconductoar cu tip d conducţi difrit, una d tip p şi ata d tip n Linia d dmarcaţi dintr c două rgiuni s numşt joncţiun
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραFLUCTUAŢII STATISTICE
FLUCTUAŢII STATISTICE Obictul lucrării Î acastă lucrar s dorşt să s vrific şi să s tstz aspctl alatoar al folor cuatic, î ssul dscris ai jos. Aspctl statistic al folor atoic roprităţil discrt al atrii
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραTratarea numerică a semnalelor
LUCRAREA 5 Tratarea numerică a semnalelor Filtre numerice cu răspuns finit la impuls (filtre RFI) Filtrele numerice sunt sisteme discrete liniare invariante în timp care au rolul de a modifica spectrul
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραMETODE DE DIAGNOSTICARE A PLASMEI
S.D.Anghl Fizica lasmi şi alicaţii Caitolul VIII METODE DE DIAGNOSTICARE A PLASMEI Duă cum ris chiar din dfiniţia stării d lasmă, a st un mdiu foart comlx, cu mult grad d librtat ntru comonntl i şi cu
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1/ 45
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform / 45 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους μετασχηματισμών α Μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραCâmp de probabilitate II
1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραVIII Subiectul 1:Fascinația apei
Olimpiada Națională d Fizică Timișoara 6 Proba tortică Pagina din V Subictul :Fascinația api A. La o fabrică d îmbutlir a api minral plat, apa cu dnsitata dpozitată în rzroar mtalic cu diamtru mar, prăzut
Διαβάστε περισσότερα* * * 57, SE 6TM, SE 7TM, SE 8TM, SE 9TM, SC , SC , SC 15007, SC 15014, SC 15015, SC , SC
Console pentru LEA MT Cerinte Constructive Consolele sunt executate in conformitate cu proiectele S.C. Electrica S.A. * orice modificare se va face cu acordul S.C. Electrica S.A. * consolele au fost astfel
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a V-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότερα