DOPUSTNA OBTEŽBA TAL

Transcript

1 DOPUSTNA OBTEŽBA TAL 1. KRITERIJ DOPUSTNIH POSEDKOV. KRITERIJ NOSILNOSTI TEMELJNIH TAL 1.1 DIFERENČNI POSEDKI Statično nedoločena konstrukcija: ρ L Primer: L= 60m ρ = 5cm Statično določena konstrukcija ρ L Primer: L= 60m ρ = 1cm JUS: Statično določena konstrukcija; nekoherentna tla 50 % absolutnih Statično določena konstrukcija; koherentna tla 5 % absolutnih 1. ABSOLUTNI POSEDKI JUS: 5 cm Nekoherentna tla (brez računa),5 cm Koherentna tla (brez računa) 1

2 RAČUNSKE ANALIZE: Dopuščamo večje posedke. Nad 5 cm in pri zahtevnih objektih je potreben monitoring. Informativne vrednosti posedkov po ruskih predpisih: 0-40 cm Gospodarske in pomožne industrijske zgradbe 1-0 cm Statično določene konstrukcije z nosilnimi temelji 8-1 cm Opečne stanovanjske zgradbe in konstrukcije s statično določeno nosilno konstrukcijo 5-8 cm Zgradbe s statično nedoločeno nosilno konstrukcijo 3-5 cm Občutljive industrijske zgradbe z dinamično obtežbo TOGOST TEMELJNE KONSTRUKCIJE JUS: oz. K > 0.4 Eb K = 1 E Eb K = 1 E z z d L 3 d D 3 Trma obtežba oglati temelji krožni temelji Če je obtežba (temelj) različno toga (gibka, toga, absolutno toga ali trma), dobimo neposredno pod obtežbo (z = 0) različne porazdelitve kontaktnih tlakov σ zz ( z = 0 )

3 in različne posedke površja temeljnih tal (temelja) uz ( z= 0 ) pod tlorisom obtežbe q. Gibka obtežba: ( ) ( z ) σ zz z = 0 uz = 0 Absolutno toga obtežba: ( z 0) σ zz = ( z 0) u z = Primerjava napetosti in posedkov za trmo, togo in gibko obtežbo: ( ) ( z ) σ zz z = 0 uz = 0 3

4 Iz ravnovesnih enačb sledi, da mora biti rezultanta kontaktnih tlakov enaka rezultanti obtežbe (ploščina diagrama kontaktnih tlakov je enaka ploščini obtežbe). Posedki so pod trmo obtežbo enakomerni, pri gibki obtežbi pa se pod tlorisom obtežbe spreminjajo. Največji so v centru gibke obtežbe. Račun posedkov pod gibkimi obtežbami: o u = u u A A d A Končni posedek je sestavljen iz dveh komponent: iz distorzijskega (začetnega) posedka in konsolidacijskega posedka. Prvi del posedkov se razvije praktično med gradnjo, drugi pa po zakonitosti konsolidacije (difuzijske enačbe). Za gibke obtežbe znamo izračunati posedke temeljnih tal na dva načina: (a) iz rezultatov edometrskih preizkusov A ρ i = M oo i v i 4

5 u A o n ρi i = 1 (b) iz rezultatov triosnih preizkusov ( E,ν, q oblika) u i = f, 5

6 z s = u u i i s i 6

7 Račun posedkov pod togimi obtežbami: Pod trmimi obtežbami izračunamo posedek površja temeljnih tal tako, da izračunamo povprečen posedek površja temeljnih tal pod gibkimi obtežbami:.1 MEJNA RAVNOVESNA NAPETOSTNA STANJA V praksi govorimo enkrat o nosilnosti temeljnih tal, drugič pa o dopustni obtežbi temeljnih tal. Nosilnost Ko se Mohrovi napetostni krogi približajo toliko porušitveni mejnici τ = c σ tan ϕ, da začno deformacije tal naraščati s pospeškom. Dopustna obtežba Je manjša od nosilnosti in povzroča take deformacije, ki niso škodljive niti za varnost niti za funkcionalnost temelja (zgradbe). KRITIČNA OBREMENITEV TAL KOT IDEALNO ELASTO - PLASTIČNEGA MEDIJA a) KRITIČNA OBREMENITEV PO KONČANI KONSOLIDACIJI Fröhlich (1934) Za nobeno točko polprostora ne sme Mohrov napetostni krog seči preko porušitvene mejnice: τ = c σ tan ϕ f 7

8 σ1 σ = σ1 σ c tanϕ σ 1 σ < σ 1 σ c tanϕ (1) Fröhlich je obravnaval primer obremenitve polprostora z brezkrajnim bremenskim pasom. Enačbe za izračun napetosti v polprostoru pod brezkrajnim bremenskim pasom so: x A x1, x x B 1 β 1 = arctan x z, β = arctan x z ε = β β1, ψ = β β1 8

9 q σxx = ( ε ε ψ) sin cos q σ π ν ε yy = q σ zz = π σ xy = 0 σ yz = 0 σ xz ( ε sin εcos ψ) q = sin εsin ψ π Glavne napetosti: q σ1 = ε sin ( ε) π q σ = ( ε sin ε) π σ σ 3 = yy (Ravninsko deformacijsko stanje) 9

10 Napetosti v temeljnih tleh zaradi lastne teže tal so enake: σ zz = γ z σ = σ = xx yy σ k = zz γ z k σ xy = σ yz = σ zx =0 0 0 k 0 = 1 KKJaky k 0 = KKRavninsko deformacijsko stanje 1 νν k 0 KKMeritev, ocena Glavne napetosti: σ = 1 σ zz σ = σ 3= σ xx Fröhlich je upošteval k 0 = 1. Glavne napetosti v temeljnih tleh po obremenitvi tal z brezkrajno pasovno obtežbo: q σ 1 = ( ε sin ε ) γ z π () q σ = ( ε sin ε ) γ z π (3) q σ 3 = ν ε γ z π (4) Če drugo in tretjo enačbo vstavimo v neenačbo (1), dobimo: 10

11 q q sin ε < ε π π c γ z tanϕ < π sin ε ε c γ z tanϕ q (5) Pogoja za najmanjšo vrednost obremenitve q sta: 1) sin ε ε = 0 ε cosε = π ε = ϕ (6) ) z= zmin = D (7) Če vstavimo izraza (6) in (7) v neenačbo (5) in jo preuredimo, dobimo: q < π c γ D tanϕ cosϕ π ϕ γ D tanϕ c q < π π 1 ϕ (8) tanϕ Ker teža izkopa v obtežbi q ni upoštevana, je celotna kritična obtežba enaka: 11

12 q = cr q γ D q cr γ D tanϕ c < π π 1 ϕ tanϕ γ D (8a) To je zelo strog pogoj! Za dopustno obtežbo: q dop = q F cr dobimo, če upoštevamo, da je D = 0 in c= 0: q cr = 0! b) KRITIČNA OBREMENITEV OB ZAČETKU KONSOLIDACIJE Če so temeljna tla malo prepustna, se prvotne efektivne napetosti v temeljnih tleh zaradi obremenitve zelo malo spremenijo. Če so temeljna tla 100% zasičena, lahko v začetnih pogojih ocenimo velikost presežnih pornih tlakov zaradi obtežbe temeljnih tal po Skemptonu: u σ 3 = A ( 1 A) (9) σ σ 1 1 Za normalno konsolidirane zemljine velja, da je Skemptonov koeficient A = 1. Iz enačbe (9) sledi, da je v tem primeru: σ σ u σ zz 1 zz 1

13 Fröhlich je privzel, da je strižna odpornost temeljnih tal takoj po obremenitvi z obtežbo q, kar enaka prvotni strižni odpornosti. Ta se po globini spreminja po enačbi: τ = = c γ z tanϕ (10) u c u Če upoštevamo pogoj, da mora biti Mohrov napetostni krog pod porušitveno ovojnico, dobimo: σ σ 1 < c c γ z u = tanϕ (11) Če v neenačbo (11) vstavimo izraza () in (3) za glavni napetosti, dobimo: q sin ε < π c γ z tanϕ Najmanjšo vrednost dobimo, če upoštevamo: π ε = in z min = D q π ( c γ D tanϕ ) < (1) 13

14 in ob upoštevanju teže izkopa: q cr ( c γ D ϕ ) γ D < π tan (1a) Tudi kritična obtežba takoj po obremenitvi tal z obtežbo q, ki jo izračunamo po Fröhlichu je veliko manjša, kot jo dobimo po drugih postopkih. Kritična obtežba ni mejna obtežba (nosilnost) temeljnih tal. Iz pogoja, da v nobeni točki polprostora, ki je obremenjen s pasovno obtežbo, ni presežena strižna odpornost še niso izpolnjeni pogoji za porušitev temeljnih tal. Če analiziramo, kje takšne točke leže v polprostoru, vidimo, da vsaki različni globini ustrezata po dve točki, kjer so dosežena mejna stanja. 14

15 V dreniranih pogojih velja: π ε = ϕ Tik pod obtežbo sta takšni točki na robu pasovne obtežbe. V simetrali pasovne obtežbe je takšna ena sama točka. Iz geometrije sledi, da je mejno napetostno stanje doseženo v globini: max b = tan 45 z (13) 0 ϕ V nedreniranih pogojih, kjer velja: π ε = pa je mejno stanje v globini: z = b max (14) 15

16 Če bi poiskali vse točke, kjer je v dreniranih ali nedreniranih pogojih doseženo mejno stanje in če bi te točke med seboj povezali, bi ugotovili, da ima linija, ki veže takšne točke v dreniranih pogojih obliko elipse, v nedreniranih pogojih pa obliko krožnice. Do porušitve temeljnih tal (naraščajoče deformacije pri nespremenjenem napetostnem stanju) bi lahko prišlo le: če bi bilo vse področje, ki je omejeno z elipso ali krožnico porušeno (v vseh točkah znotraj tega področja bi moralo biti mejno napetostno stanje)... temu ni tako ali pa, če bi bil možen zdrs temeljnih tal po ploskvi, kjer so v vseh točkah dosežena mejna stanja... tudi temu ni tako. Kritična obtežba izračunana po Fröhlichu ni mejna obtežba oziroma nosilnost temeljnih tal.. NOSILNOST TEMELJNIH TAL GLEDE NA NEVARNOST ZDRSNITVE (a) Analiza s poljubnimi potencialnimi drsinami: Do porušitve temeljnih tal pride, če je strižna odpornost izčrpana znotraj nekega zaključenega področja temeljnih tal, ali znotraj zaključenega pasu tal, ali vzdolž sklenjene ploskve v temeljnih tleh. 16

17 Nevarnost porušitve temeljnih tal lahko ugotovimo tudi tako, da analiziramo nevarnost zdrsa temeljnih tal po potencialni drsni ploskvi (drsini). V takšnih primerih obravnavamo temeljna tla kot tog idealno elasto plastičen medij. Za togo telo, ki je omejeno s površjem temeljnih tal (vključno z obremenitvijo) in potencialno drsno ploskvijo ugotovimo iz ravnovesnih enačb tisto strižno odpornost, ki zagotavlja ravnovesje teži temeljnih tal, silam hidravličnega polja v temeljnih tleh in obremenitvi temeljnih tal. Drugače povedano: iščemo ravnovesje med reaktivnimi silami vzdolž drsne ploskve in aktivnimi silami, ki delujejo na togo zemljinsko telo omejeno s potencialno drsno ploskvijo. Večino problemov lahko obravnavamo kot ravninske probleme, n.pr.: pasovno obtežba temeljnih tal. V obravnavani ravnini je projekcija potencialne drsne ploske sklenjena linija (črta). Na prejšnji sliki je prikazana potencialna drsna ploskev v temeljnih tleh, obremenjenih s pasovnim temeljem nekega objekta. Ravnovesje med aktivnimi in reaktivnimi silami je podano z enačbo: 17

18 v v v v v v Ea W H P= Qϕ Tc (15) Če upoštevamo Coulombov strižni zakon: τ = c σ tanϕ (16) lahko ravnovesni sili izračunamo po enačbah: = 1 (17) Tc cds v Q s v v v = N T = N 1 tan (18) ( ) ϕ ϕ ϕ ( ) Qϕ = σ 1 tan ϕ ds1 (18a) s Ravnovesje med aktivnimi in reaktivnimi silami bo izkazano pri določeni računsko potrebni (mobilizirani) strižni odpornosti temeljnih tal. Ta pa je lahko enaka dejanski strižni odpornosti tal (mejno ravnovesje), lahko je večja od dejanske strižne odpornosti tal (nastopi zdrs oziroma porušitev tal), lahko pa je manjša od dejanske strižne odpornosti temeljnih tal (varno proti zdrsu oziroma porušitvi temeljnih tal). Razmerje med dejansko in mobilizirano strižno odpornostjo definiramo kot količnik varnosti napram zdrsu temeljnih tal: F = (19) τ τ m Količnik varnosti F lahko v omenjenih treh primerih doseže tri reprezentativne vrednosti: F = 1... mejno (labilno) stanje 18

19 F < 1... zdrs (porušitev) temeljnih tal F > 1... ni nevarnosti zdrsa (porušitve) temeljnih tal Če iščemo nosilnost temeljnih tal (F = 1) ali dopustno obtežbo temeljnih tal (F > 1) iz kriterija nevarnosti zdrsa temeljnih tal po potencialnih drsnih ploskvah, je treba analizirati več fizikalno možnih drsnih ploskev (metoda ekstrema). Merodajna je najmanj ugodna drsna ploskev. Običajno na takšen način niti ne iščemo mejne obremenitve temeljnih tal ampak dopustno obtežbo temeljnih tal s predpisanimi količniki varnosti. v v v v v v Ea W H P Qϕ m Tcm (0) c cm = Fc (1) tanϕ tanϕm = F () JUS: ϕ F ϕ = F c = EUROCODE: F ϕ =15. F c =16. F cu =14. in še posebej F ϕ = F c = 1 OBTEŽBA γ OBT ( 135. ) 19

20 Še bolj pogosto pa na takšen način preverjamo, ali so rezultirajoči količniki varnosti napram zdrsnitvi temeljnih tal, obremenjenih s poljubno obremenitvijo, večji od predpisanih (stabilnostne analize). (b) Analiza z določeno obliko drsine Da pride do porušitve temeljnih tal oziroma zdrsa temeljnih tal morajo dosežene napetosti v porušitvenem področju, porušnem pasu ali porušni ravnini (drsini) ustrezati dvema pogojema: ravnovesnim enačbam in pogoju porušitve... Mohr Coulomb Če se omejimo na ravninske probleme v ravnini x,z imamo dve ravnovesni enačbi: σ xx σ xz x z = 0 (3) σ x zx σ z zz = γ (4) Mejno napetostno stanje izraženo z Mohrovim krogom je prikazano na naslednji sliki. V vsaki točki polprostora je možno iz Mohrovega napetostnega kroga določiti smer drsine in psevdodrsine, v kateri je izčrpana strižna odpornost. Napetosti σ xx, σ zz in σ xz izrazimo z napetostjo σ, trdnostnima parametroma c in ϕ in kotom ψ : σ xx = σ ( 1 cosψ ) c cotϕ (5) 0

21 σ zz = σ ( 1 cosψ ) c cotϕ (6) σ = σ sin ψ xz (7) Če izraze (5) do (7) vstavimo v ravnovesni enačbi (3) in (4) in pri tem zanemarimo kohezijo (c = 0), dobimo dve parcialni diferencialni enačbi (Kötter): σ ψ (1 cosψ ) σ sin ψ x x σ ψ sin ψ σ cosψ = 0 z z (7) 1

22 σ ψ sin ψ σ cosψ x x σ ψ (1 cosψ ) σ sin ψ = γ z z (8) Če razrešimo ti dve parcialni diferencialni enačbi, upoštevajoč robne pogoje, lahko določimo v temeljnih tleh vse možne drsine in psevdodrsine, ki nastanejo, če so temeljna tla obremenjena z mejno obtežbo. Iz ravnovesnih enačb lahko izračunamo tudi velikost mejne obtežbe. Običajno je reševanje teh enačb zaradi kompliciranih robnih pogojev izredno težko. V analitični obliki je znano le malo rešitev teh parcialnih rešitev za enostavne primere (n.pr. Rankinne za brezkrajno pobočje, Caquot Kerisel za račun zemeljskih pritiskov), za numerično reševanje parcialnih diferencialnih, pa je naj bolj prikladen numerični postopek Sokolovskega (za pasovne obremenitve temeljnih tal). (b1) Rankin: Zaradi enostavnosti bomo raziskali mejne napetosti in drsine oziroma psevdodrsine, ki nastanejo ob vertikalnih mejnicah I-I in II-II v breztežnih temeljnih tleh obremenjenih z brezkrajno obremenitvijo na površju temeljnih tal, če vertikalni mejnici enkrat premikamo drugo proti drugi in drugič, če mejnici razmikamo drugo od druge. Če je polprostor obremenjen z brezkrajno obremenitvijo q, bodo v vsaki točki polprostora vertikalne napetosti in vodoravne napetosti enake: p p = σ q (9) b zz = = p = σ = k σ = (1 sin q (30) l r xx 0 zz ϕ )

23 Mohrov napetosni krog v katerikoli točki polprostora je prikazan na zgornji sliki. Če je obremenitev q manjša od mejne obtežbe, bo Mohrov napetostni krog ležal pod porušitveno ovojnico, podano z enačbo: τ = c σ tanϕ (31) Če začnemo mejnici I-I in II-II razmikati se zaradi tega vertikalne napetosti (p b ) ne bodo spremenile, vodoravne napetosti (p l in p r ) pa se bodo povečale. Največjo vrednost 3

24 vodoravnih napetosti dobimo takrat, kadar se Mohrov napetostni krog, ki gre skozi krajišče vektorja p b, dotakne porušitvene ovojnice. To največjo možno vodoravno napetost označimo s p p (pasivni zemeljski pritisk oziroma pasivni odpor temeljnih tal). Če začnemo mejnici I-I in II-II premikati drugo proti drugi se zaradi tega vertikalne napetosti (p b ) ne bodo spremenile, vodoravne napetosti (p l in p r ) pa se bodo zmanjšale. Najmanjšo vrednost vodoravnih napetosti dobimo takrat, kadar se Mohrov napetostni krog, ki gre skozi krajišče vektorja p b, dotakne porušitvene ovojnice. To najmanjšo možno vodoravno napetost označimo s p a (aktivni zemeljski pritisk). Iz prejšnje slike je razvidno za pasivno stanje naslednje: Pol Mohrovega kroga je v krajišču vektorja p p. Vektor p p je večja glavna napetost, vektor p b je manjša glavna napetost. Drsina in psevdodrsina oklepa s smerjo večje glavne napetosti kot µ, s smerjo manjše glavne napetosti pa kot ν. π ϕ µ =, 4 π ϕ υ = (3) 4 Velikost vektorja p p lahko izračunamo iz pravokotnega trikotnika, ki ga določajo oglišča: presečišče porušitvene ovojnice s σ-osjo, središče Mohrovega napetostnega kroga in dotikališče Mohrovega kroga s porušitveno ovojnico: p p = p p p pb b c tanϕ 4

25 1 cosϕ p p = pb c (33) 1 1 = tan ϕ 45 cosϕ 0 ϕ = tan 45 = 1 = k p k p (34) (35) p = p k c k (33a) p b p p Po analogijo ugotovimo in dobimo za aktivno stanje naslednje: Pol Mohrovega kroga je v krajišču vektorja p a. Vektor p b je večja glavna napetost, vektor p a je manjša glavna napetost. Drsina in psevdodrsina oklepa s smerjo večje glavne napetosti kot µ, s smerjo manjše glavne napetosti pa kot ν. π ϕ µ =, 4 π ϕ υ = 4 Velikost vektorja p a lahko izračunamo iz pravokotnega trikotnika, ki ga določajo oglišča: presečišče porušitvene ovojnice s σ-osjo, središče Mohrovega napetostnega kroga in dotikališče Mohrovega kroga s porušitveno ovojnico: = p b pb pa pa c tanϕ 5

26 1 cosϕ pa = pb c (36) 1 1 = tan ϕ 45 = k a (37) cosϕ 0 ϕ = tan 45 = 1 k a (38) p = p k c k (36a) a b a a Generalno lahko pridemo do naslednjih zaključkov: V breztežnih temeljnih tleh so napetosti zaradi brezkrajne obremenitve površja tal v vsaki točki polprostora enake. Če dovolj razmaknemo dve vertikalni mejnici bo v prostoru med tema mejnicama nastalo Rankinovo aktivno stanje, levo in desno od teh dveh mejnic pa Rankinovo pasivno stanje. V vsaki točki polprostora nastane mejno napetostno stanje. Znotraj vertikalnih mejnic nastane mreža drsin in psevdodrsin. Vse drsine in psevdodrsine oklepajo kot 45 0 ϕ/ z vodoravnico, oziroma kot ϕ/ z navpičnico. Tudi zunaj vertikalnih mejnic nastane mreža drsin in psevdodrsin. Vse drsine in psevdodrsine pa v tem področju oklepajo kot ϕ/ z vodoravnico, oziroma kot 45 0 ϕ/ z navpičnico. 6

27 Rankinovo rešitev običajno apliciramo na izračun zemeljskih pritiskov, ki delujejo na vertikalno podporno konstrukcijo. Ker je vertikalna konstrukcija končne dimenzije (višine) in ker pred podporno konstrukcijo ni po vsej njeni višini temeljnih tal, so porušna območja pred in za podporno konstrukcijo omejena. Takšno področje je zemeljski klin, ki ga omejujejo površje temeljnih tal, podporna konstrukcija in drsina, ki poteka iz vznožja podporne konstrukcije proti površju tal. Račun aktivnih zemeljskih pritiskov: 7

28 Račun pasivnih zemeljskih pritiskov: Številni avtorji, ki so se ukvarjali z nosilnostjo oziroma dopustno obtežbo temeljnih tal (Prandtl, Terzahgi, Mayerhof,...), pa so za toge obremenitve regularnih tlorisnih oblik (pasovna obremenitev, pravokotna ali krožna tlorisna obremenitev) izvedli tako imenovane obrazce (analitične rešitve) za izračun nosilnosti oziroma dopustne obtežbe ob določenih predpostavkah o velikosti in obliki porušnega (plastičnega) območja, ki nastane v temeljnih tleh pod togo obremenitvijo in seže tudi v polprostor izven neposrednega področja (n.pr. vertikalni mejnici I-I in II-II, ki poteka skozi robni točki obremenitve) pod obremenitvijo. 8

29 Pri tem so vsi raziskovalci v temeljnih tleh izven neposredne obremenitve predpostavljali Rankinova porušna (plastična) področja. Ker so regularna toga bremena končnih dimenzij (širina pri pasovni obremenitvi in širina in dolžina pri obremenitvi pravokotne tlorisne obremenitve oziroma premer obremenitve krožne tlorisne oblike) so tudi porušna (plastična) področja omejena (končnih velikosti). Omejena so s kinematično možno drsno ploskvijo. Iz analize nevarnosti zdrsa temeljnih tal po takšni drsni ploskvi, so našteti avtorji podali analitične izraze za izračun nosilnosti oziroma dopustne obremenitve temeljnih tal, ne da bi bilo treba znova in znava iskati najneugodnejšo drsno ploskev, ki se formira pod določeno togo obremenitvijo temeljnih tal in nato iz ravnovesja, ki velja za toga zemljinska telesa (stabilnostna analiza) določevati količnike varnosti napram zdrsnitvi temeljnih tal po tej najneugodnejši drsni ploskvi. b) Prandtl: Obravnaval je nosilnost breztežnih temeljnih tleh, ki so obremenjena na površju s togo pasovno obremenitvijo. Predpostavil je, da se neposredno pod pasovnim bremenom v temeljnih tleh pojavi plastično področje (klin), omejeno z drsinama, ki potekata iz robov pasovne obtežbe in oklepata kot 45 0 ϕ/ z vodoravnico, oziroma kot ϕ/ z navpičnico (Rankinovo aktivno stanje). Na naslednji sliki je ta klin označen z oglišči A,F in C Izven bremena se tudi pojavi plastično področje, ki ustreza Rankinovem pasivnem stanju. To plastično področje (klin z oglišči C, G in E na zgornji sliki) je omejeno z drsinama, ki oklepata kot ϕ/ z vodoravnico, oziroma kot 45 0 ϕ/ z navpičnico. Položaj točk G in E je pogojen s širino togega pasovnega bremena. 9

30 Znotraj obeh klinov je v vsaki točki doseženo mejno napetostno stanje. Znotraj teh področij imamo sistem (mrežo) drsin in psevdodrsin, ki med seboj oklepajo kot π / ϕ (topi kot) oziroma π / - ϕ (ostri kot). Pri mejni togi obremenitvi je plastično področje tudi med obema»rankinovima«klinoma, to je med točkami C, F in G. Tudi v tem področju, ki je plastificiran, mora biti sistem drsin in psevdorsin, ki se sečejo pod kotom π / ϕ oziroma π / - ϕ. V tem področju morajo vse psevdodrsine izhajati iz točke C (singularna točka). Pogoju, da se v točki, kjer je doseženo mejno napetostno stanje, sečeta drsina in psevdorsina vedno pod kotom π / ϕ oziroma π / - ϕ ustreza oblika drsne ploskve, ki ima v prerezu obliko logaritmične spirale in ravna psevdorsina. Enačba logaritmične spirale se glasi: ( ) r= r 0 exp α tgϕ (37) Mejno togo pasovno obremenitev, če poznamo merodajno drsino izračunamo iz ravnovesnih pogojev. V ravninskih primerih imamo 3 ravnovesne enačbe. Ker je Prandtl obravnaval breztežna temeljna tla, morajo biti v ravnovesju rezultanta iskane mejne toge pasovne obremenitve p f in rezultanta teže zemljine, ki obremenjuje temeljna tla levo in desno od pasovne obremenitve (q) z reaktivnimi silami (normalnimi in tangencialnimi) vzdolž drsine, ki se upirajo zdrsu temeljnih tal po tej drsini. Prandtl je ločeno poiskal ravnovesje za vsako plastično področje in pri tem (kot pri lamelni stabilnostni analizi) upošteval medsebojni vpliv enega področja napram drugemu. 30

31 AFC CGE CFG Rankinovo aktivno stanje Rankinovo pasivno stanje Področje plastičnega ravnovesja Področje BFC: p f c b = p 1 cos 45 cos 45 b o b o ϕ ϕ cos 45 cos 45 o o ϕ ϕ ( ) o ϕ p f = p1 c tg 45 (38) 31

32 p 1 = p f tg 45 o ϕ c (39) Področje CGE: x = 0 p = p (40) 3 y= 0 l q l = p o ϕ cos 45 l c cos cos o ϕ 45 cos o o ϕ ϕ q ( p c) o ϕ = tan 45 o p = q ϕ tan 45 c (41) Področje CFG M c = 0 r1 p r1 cosϕ r cosϕ c tanϕ ( r r ) 0 1 p r 1 = Podobno, kot se dobi pri krožni drsini z radijem r in polovičnim središčnim kotom α, moment reaktivne sile T c na središče drsine: 3

33 M rα = cl sinα kjer pomeni: r α 01 a = sinα B Tc = c ds 1 T = A c c l 1 se dobi pri drsini, ki ima obliko logaritemske spirale, ki jo popišemo z enačbo r= r 0 exp( α tgϕ ), moment reaktivne kohezijske sile T c na središče drsine po enačbi: M c = c tanϕ ( r r ) 1 (4) 33

34 Če upoštevamo enačbo logaritmične spirale r = exp α tanϕ in izrazimo r z r 1 dobimo: r 0 ( ) π r = r 1 exp tg ϕ (43) Iz momentne enačbe izrazimo neznani napetostni vektor p 1 : c p 1 = p exp ( π tanϕ ) [ exp ( π tanϕ ) 1] (44) Če v enačbo (44) vstavimo izraza (enačbi) (39) in (44) za vektorja p 1 in p, dobimo po preureditvi izraz (enačbo) za izračun mejne toge pasovne obremenitve: 34

35 p f = tan o q 45 c tan 45 o ϕ ϕ 1 exp ( π tanϕ ) exp ( π tanϕ ) exp ( π tanϕ ) 1 enačba (45) To enačbo lahko zapišemo tudi v obliki: p f c = q k k p p exp ( π tanϕ ) 1 exp ( π tanϕ ) exp ( π tanϕ ) 1 (45a) Ker velja: k p = tan 45 o ϕ Izraz (45a) oziroma (45) zapišemo po Prandtlu v obliki: pf = q N q c N c (46) kjer pomeni: q... vertikalni tlak ob dnu obtežbe p f c... kohezijsko trdnost temeljnih tal ϕ... strižni kot temeljnih tal in N N q c ( ) ( ) = Nq ϕ... faktor nosilnosti = N ϕ... faktor nosilnosti c 35

36 ϕ tan o N 45 q = exp ( π tanϕ ) (47) o ϕ exp ( ) ( π tanϕ ) 1 N c = tan 45 1 exp π tanϕ enačba (48) V primeru, če je kohezija nična (c = 0) dobimo: p f = q N q (49) Če pa je strižni kot ničen (ϕ = 0) dobimo: p fu ( π ) cu = q (50) zato ker je: qu ( ϕ=0 ) = 1 N (51) in cu ( ϕ= 0) = π N (5) Do podobne rešitve, kot je prišel Prandtl (191), je prišel istega leta tudi Bonneau (191). Dokaz za enačbi (51) in (5): ϕ = 0 0 tan o N 45 qu = exp π = in ( tan 0) 1 36

37 N cu = tan 45 o 0 1 exp ( π tan 0) exp ( π tan 0) 1 sin 0 exp ( π tanϕ ) 1 ϕ sin limϕ 0 = π Po Prandtlu ima drsina med točkama F in G obliko logaritmične spirale. Po enačbi, ki velja za logaritmično spiralo: r= r 0 exp( α tgϕ ) izračunamo oddaljenost točk drsine od točke C tako, da spreminjamo kot α od nične, do največje vrednosti α = π /, začetni radij logaritmične spirale pa je enak: b r 0 = (53) 0 ϕ cos 45 b3) NOSILNOST TEMELJNIH TAL KOT TOGO PLASTIČNEGA MEDIJA Upoštevamo lastno težo tal Predpostavljena je potencialna drsna ploskev, ki izpolnjuje v prejšnjem poglavju zahtevane pogoje Iščemo ravnovesje togega telesa Če pride do zdrsa, je strižna odpornost izčrpana vzdolž vse drsine 37

38 Za togo pasovno obremenitev (glej spodnjo sliko) zapišemo ravnovesje v področju pod obremenitvijo v splošni obliki: P b f = Qϕ cos ( ψ ϕ ) c sinψ (54) cosψ Q = Q Q Q (55) ϕ ϕ ϕ ϕ γ c q P f b ( ψ ϕ ) cos = p f = Qϕ c tanψ (56) b Q cos ϕγ p f = b Qϕ cos q b ( ψ ϕ ) Q cos ( ψ ϕ ) ( ψ ϕ ) ϕc b c tanψ p = γ b Nγ c N q N (57) f c q 38

39 b3.1) Terzaghi: Pod togo pasovno obremenitvijo je predpostavil plastično področje, ki je omejeno z drsinama, ki izhajata iz robov obremenitve, z vodoravnico pa oklepata kot ψ = ϕ. Nosilnost temeljnih tal izračunamo po enačbi: p = γ b Nγ c N q N (58) f c q K p N γ = 0.5 tanϕ 1 cos (59) ϕ a N q= (60) o ϕ cos 45 a 1 N c= 1 (61) ϕ tanϕ cos o 45 3π ϕ a = exp tanϕ 4 (6) V enačbi (59) je z K P označen količnik pasivnega pritiska, ki pa ni enak Rankinovemu količniku pasivnega odpora k p. Podan je tabelarično oziroma v diagramu. Koeficiente N γ, N q in N c podaja v diagramih. Oblika logaritmičnega dela drsine je podana z enačbami: b r 0 = (63) cosϕ 39

40 ( λ tanϕ ) r = exp (64) r 0 λ max = 3π ϕ 4 (65) b π z max = exp tan ϕ (66) Terzaghi loči dva primera zdrsa temeljnih tal: generelni lom lokalni lom Pri generelnem lomu se računa s polnimi trdnostnimi parametri, pri lokalnem lomu pa Terzaghi priporoča uporabo reduciranih trdnostnih parametrov: * c = c, tanϕ * = tanϕ (67)

41 Do lokalnega loma temeljnih tal pride v tistih tleh, kjer ni bistvene razlike med vrhunsko in rezidualno strižno odpornostjo tal. Da pa se v takih zemljinah aktivira polna strižna odpornost pa so potrebne velike deformacije (zdrsi). Nosilnost po kriteriju lokalnega loma se računa predvsem v rahlih nekoherentnih tleh in zelo deformabilnih, normalno konsolidiranih koherentnih tleh. b3. Mayerhof: Po Mayehofu se izračuna nosilnost temeljnih tal, obremenjenih s togo pasovno obremenitvijo po enačbi: p 0,5 γ b N c N q N (68) f = γ c q N γ, N c in N q podani v diagramih. Mayerhof je variiral kot ψ tako, da je dobil pri določenem strižnem kotu ϕ najnižji faktor nosilnosti N γ. 41

42 V diagramih podaja še globino (d) in dolžino (f) drsine, odvisno od strižnega kota ϕ in širine obtežbe b. Faktorji nosilnosti za togo pasovno obremenitev po Terzaghiju in Mayerhofu. 4

43 Za izračun nosilnosti temeljnih tal obremenjenih s togo pasovno obremenitvijo se pogosto uporabljata Terzaghijeva in Mayerhofova rešitvi. V literaturi je možno najti naslednja priporočila: vrsta tal stanje postopek gosti D r > 0,70 Terzaghi generelni lom drobni peski srednje gosti Terzaghi povprečje med in melji 0, < D r < 0,7 generelnim in lokalnim lomom ali Mayerhof rahli Terzaghi lokalni lom D r < 0,0 100% zasičene gline občutljivost τ f / τ r < 5 τ f / τ r > 10 Terzahgi lokalni lom ali Mayerhof Mayerhof nezasičene gline Mayerhof Če je toga pasovna obremenitev nesimetrična (na enem robu je večja kot na drugem robu) se lahko nosilnost temeljnih tal izračuna po postopkih, ki veljajo za enakomerno obremenitev s tem, da se v računih upošteva reducirana širina b *. 43

44 Pogosto se obrazci za izračun nosilnosti temeljnih tal, ki veljajo za toge pasovne obremenitve aplicira tudi na izračun nosilnosti togih obremenitev, ki imajo obe tlorisni dimenziji končni. V takih primerih se računa nosilnost temeljnih tal po obrazcu: p γ b N i c N i q N (69) f = γ γ c c q Količnika i γ in i c sta odvisna od oblike toge obremenitve in od strižnega kota temeljnih tal. Tlorisna oblika Količnik Količnik i γ obremenitve i c ϕ = 45 0 ϕ = 40 0 ϕ < 35 0 kvadrat L / b = 1 1,5 0,80 0,85 0,90 pravokotnik 1,10 0,85 0,90 0,95 L / b = pravokotnik 1,05 0,90 0,95 1,00 L / b = 5 pravokotnik 1,00 1,00 1,00 1,00 L / b = 10 krog b = r 1,0 0,70 0,80 0,90 44