An şcolar 2007 / Clasa a V a - Etapa locală

Transcript

1 MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI Programa olimpiadei de matematică clasele V VIII A şcolar 007 / 008 Petru fiecare clasă, î programa de olimpiadă sut icluse coţiuturile programelor de olimpiadă di clasele aterioare. Cuoştiţele suplimetare faţă de programa şcolară, pot fi folosite î rezolvarea problemelor de olimpiadă. Clasa a V a - Etapa locală Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică. Metoda comparaţiei. Metoda grafică. Metoda falsei ipotezei. Metoda mersului ivers. Probleme de mişcare. Probleme de perspicacitate şi de umărare. Pricipiul cutiei (Pricipiul lui Dirichlet). Metoda reducerii la absurd. Numere aturale Factorul comu. Teorema împărţirii cu rest. Puteri. Reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Ultima cifră. Pătrate perfecte. Cuburi perfecte. Sisteme de umeraţie. Divizibilitatea î N. Clasa a V a - (muicipiul Bucureşti)/aţioală Mulţimi. Operaţii cu mulţimi. Reuiuea. Itersecţia. Difereţa a două mulţimi. Produs cartezia. Numere raţioale pozitive Ecuaţii î Q. Fracţii zecimale. Operaţii. Iecuaţii î N şi Q. Probleme. Periodicitate. Media aritmetică. Elemete de geometrie şi uităţi de măsură. Clasa a VI a - Etapa locală Numere aturale Proprietăţile divizibilităţii î N. Criteriile de divizibilitate cu: ; 5; 10; ; 5 ; 3; 9; 7; 11; 13. Numere prime şi umere compuse. Teorema fudametală a aritmeticii. C.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. ; [ a; b] ( a; b) = a b. Numere prime ître ele. a / bc şi ( a b) = 1 a / c a ; b = d x, y N astfel îcât ( x ; y) = 1 şi a = xd; b = yd. Dacă [ a ; b] = m x, y N astfel îcât ( x ; y) = 1 şi m = ax; m = by. ; (teorema lui Gauss). Dacă ( ) Rpoarte şi Proporţii. Rpoarte. Proporţii. Procete. Mărimi direct proporţioale. Mărimi ivers proporţioale. Şir de rapoarte egale. Proporţioalitate directă. Proporţioalitate iversă. Puct. Dreaptă. Semidreaptă. Segmet (coţiutul programei şcolare). Ughi (coţiutul programei şcolare şi, î plus, teorema directă şi teorema reciprocă a ughiurilor opuse la vârf). Cogrueţa triughiurilor (coţiutul programei şcolare şi cazul L.U.U.) Clasa a VI a - (muicipiul Bucureşti)/etapa aţioală Numere îtregi Operaţii î Z. Modulul uui umăr îtreg. Puterea uui umăr îtreg cu expoet umăr atural. Reguli de calcul cu puteri.

2 Proprietăţi ale divizibilităţii î Z. 1) a / a, a Z ) a / b şi b / c a / c 3) a / b şi b / a a = b sau a = b 4) 1 / a şi 1 / a, a Z 5) a / 1 sau a / 1 a = 1 6) a / 0, a Z 7) 0 / a a = 0 8) a / b ( a) / b a / ( b) ( a) / ( b) 9) a / b a / b c, c Z 10) a / b1 şi a / b a / ( b1 ± b ) 11) a / b1 şi a / b a / ( b1c1 ± bc ), ude c 1, c Z 1) a / b a c / b c, c Z 13) a c / b c, c 0 a / b 14) a 1 / b1 şi a / b a1a / b1b Numere raţioale Operaţii (iclusiv puterea uui umăr raţioal cu expoet umăr atural). Ecuaţii şi iecuaţii î N, Z, Q. Rpoarte şi Proporţii. Probabilităţi. Perpedicularitate (coţiutul programei şcolare). Paralelism (coţiutul programei şcolare şi, î plus, teorema directă şi teorema reciprocă a liiei mijlocii a uui triughi). Proprietăţi ale triughiurilor (coţiutul programei şcolare) şi următoarele teoreme: - Îtr-u triughi dreptughic, lugimea catetei care se opue ughiului de 30 este jumătate di lugimea ipoteuzei. Teorema reciprocă. - Îtr-u triughi dreptughic, lugimea mediaei corespuzătoare ipoteuzei este jumătate di lugimea ipoteuzei. Teorema reciprocă. Clasa a VII a - (muicipiul Bucureşti) Mulţimea umerelor îtregi; Mulţimea umerelor raţioale; Mulţimea umerelor reale; Modulul uui umăr real. Proprietăţi: a) x 0, x R; b) x = max( x; x), x R; c) xy = x y, x, y R; x x d) =, x R, y R ; e) x + y x + y x, y y y ( a > ), a, x x a 0 R x a sau x a ; h) x = x, x R., R; f) x a ( a > ), a, x 0 R a x a ;g) Partea îtreagă şi partea fracţioară a uui umăr real; Reguli de calcul cu radicali (coţiutul programei şcolare). a) Dacă a N şi a Q, atuci a N; b) Dacă a, b N şi a + b Q, atuci a N şi b N; c) Dacă a şi b u sut pătrate ale uor umere raţioale, atuci a + b Q; d) Dacă a,b Q şi α, β Q astfel îcât, atuci α a + β b Q, atuci a Q şi b Q; e) Dacă a,b Q astfel îcât b R\Q, atuci a ± b R\Q şi a b R\Q; f) Dacă a Q şi b R\Q, atuci a + c a c a + b R\Q şi ab R\Q;g) a ± b = +, ude a, b, c R şi c = a b (formula radicalilor dubli). Calcul algebric; Calcule cu umere reale reprezetate pri litere (coţiutul programei şcolare); 1 1 a b = ( a b)( a + a b b ), a, b R şi N; 1 1 a + b = ( a + b)( a a b +... ab + b ), a, b R şi N, impar; ( a + b) = M a + b, ude a, b Z, şi N ; ( a + b ) ( c + d ) = ( ac + bd ) + ( ad bc ) (idetitatea lui Lagrage) Patruletere (coţiutul programei şcolare). Probleme de coliiaritate. Probleme de cocureţă. Asemăarea triughiurilor Teorema lui Thales. Teorema reciprocă a teoremei lui Thales. Teorema paralelelor echidistate. Teorema paralelelor eechidistate. Liia mijlocie î triughi; proprietăţi. Cetrul

3 de greutate al uui triughi; proprietăţi. Liia mijlocie î trapez; proprietăţi. Teorema fudametală a asemăării. Criterii de asemăare a triughiurilor. Teorema bisectoarei (iterioare, exterioare) şi teorema reciprocă. Teorema lui Meelaos; teorema reciprocă. Teorema lui Ceva; teorema reciprocă. Clasa a VII a - Etapa aţioală Iegalităţi. Sume. Probleme de maxim şi de miim. 1. a + b ab, a, b R ;. a b a + b + c ab + ac + bc, a, b, c R ; 3. + ; a, b R b a + ; a a... a a1 a... a a1 a... a, ai R +, i = 1, şi a1 a a N (iegalitatea mediilor); 5. ( a ) ( ) ( ) 1 + a a b1 + b b a1b1 + ab ab, ai, bi R, i = 1, şi N (iegalitatea Cauchy Buiakovski Schwarz). Ecuaţii. Probleme. Relaţii metrice î triughi. Î triughiul dreptughic: teorema îălţimii; teorema catetei; teorema lui Pitagora; teoreme reciproce. Rapoarte costate î triughiul dreptughic: si, cos, tg, ctg. Teorema lui Pitagora geeralizată. Teorema cosiusului. Teorema siusurilor. Teorema mediaei: ( b + c ) a ab si C abc m a =. Arii. A = p( p a)( p b)( p c) ; A = ; A = p r ; A = ; 4 4S d1 d si[ ( d1, d )] Apatrulat. covex =. Clasa a VIII a - (muicipiul Bucureşti) Numere reale Partea îtreagă şi partea fracţioară a uui umăr real. Ecuaţii. Modulul uui umăr real. Ecuaţii. Itervale. Itersecţia şi reuiuea itervalelor. Raţioalizarea umitorului de forma a b şi a ± b, a,b N. Formulele de calcul prescurtat: ( a ± b) = a ± ab + b ; ( a + b)( a b) = a b ; ( a + b + c ) a + b + c + ab + ac + bc = ( a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b ; ( a ± b) a ab + b = a ± b. Rapoarte de umere reale reprezetate pri litere. Operaţii. Cercul Defiiţie. Elemete î cerc. Ughi la cetru. Măsura arcelor. Coarde şi arce; proprietăţi. Teorema ughiului îscris î cerc. Cerc îscris, cerc circumscris uui triughi. Patrulater ortodiagoal. Patrulater iscriptibil. Patrulater circumscriptibil. Codiţii de iscriptibilitate, codiţii de circumscriptibilitate. Cercul lui Euler. Poziţiile relative ale uei drepte faţă de u cerc. Poziţiile relative a două cercuri.teorema arcului capabil de u ughi dat. Poligoae regulate. Lugimea cercului şi a arcului de cerc. Aria discului şi a sectorului de cerc. Iegalităţi geometrice. Probleme de maxim şi de miim. Iegalitatea triughiului. Îtr-u triughi, la latura mai mare se opue ughiul mai mare, şi reciproc. Teorema perpedicularelor şi a oblicelor. Costrucţii simple cu rigla egradată şi cu compasul. Probleme elemetare de loc geometric. Pucte, drepte, plae. Paralelism. La coţiutul programei şcolare se adaugă: teoreme de paralelism; teorema lui Meelaos î spaţiu; teorema reciprocă teoremei lui Meelaos; teorema lui Thales î spaţiu; axe de

4 simetrie ale paralelipipedului dreptughic; axa de simetrie a piramidei patrulatere regulate; simetria faţă de u pla; secţiui axiale î corpurile care admit axe de simetrie. Proiecţii ortogoale pe u pla La coţiutul programei şcolare se adaugă: perpediculara comuă a două drepte; reciprocele teoremei celor trei perpediculare; pla mediator; pla bisector. Clasa a VIII a - Etapa aţioală Fucţii- coţiutul programei şcolare. Calcul de arii şi volume ( prisma, piramida, truchiul de piramidă )-coţiutul programei şcolare Notă: 1. La toate etapele olimpiadei de matematică (locală, judeţeaă, aţioală), autorul problemelor di cocurs va utiliza coţiutul prezetei programe petru olimpiadă.. Folosirea corectă de către elevi, î redactarea soluţiei, a uor teoreme (fără demostraţie): teorema lui Steier, teorema lui Ptolemeu, teorema lui Fermat şi pricipiul iducţiei matematice etc. coduce la acordarea puctajului maxim prevăzut î baremele de corectare. NOTĂ Temele propuse vor cupride atât coţiuturile obligatorii petru toţi elevii, cât şi coţiuturile suplimetare. Caledarul olimpiadei este următorul: Faza pe şcoală- Lua iauarie 008 Faza locală/pe sector al muicipiului Bucureşti- iauarie -februarie 008 Faza judeţeaă/a muicipiului Bucureşti- 01 martie 007 ( petru clasele VII-XII) Faza aţioală- 9 aprilie -03 mai 008 ( petru clasele VII-VIII) Faza aţioală- 30 mai -01 iuie 008 ( petru clasele V-VI)

5 PROGRAMA OLIMPIADEI NAŢIONALE DE MATEMATICĂ ANUL ŞCOLAR CLASA a-ix-a Î programa de olimpiadă petru clasa a IX-a sut icluse coţiuturile programelor de olimpiadă di clasele aterioare şi di etapele aterioare. ALGEBRĂ 1. Elemete de logică şi teoria mulţimilor. Fucţii defiite pe mulţimea umerelor aturale 3. Fucţii. Lecturi grafice 4. Fucţia de gradul îtâi 5. Fucţia de gradul al doilea Ecuaţii î umere îtregi : ax + by = c ; x + y = z, ecuaţia lui Pell. Teorema împărţirii cu rest î mulţimea umerelor îtregi Algoritmul lui Euclid Idicatorul lui Euler Cogrueţe modulo Teoremele : Euler, Fermat, Wilso, Cebîşev, Dirichlet Mulţimi. Fucţia caracteristică de mulţime.pricipiul icluderii şi excluderii Iegalitatea mediilor. Iegalitatea lui Cauchy-Buiakovski. Iegalitatea lui Holder. Iegalitatea lui Beroulli. Iegalitatea lui Cebîşev. Fucţii ijective, surjective, bijective. Recureţe liiare de ordiul I şi II, recureţe omografice. Toată materia Mulţimi umărabile şi eumărabile (N,Z,Q sut umărabile şi R este eumărabilă). Desitatea î R a mulţimilor Q şi R - Q. Teorema de desitate a lui Kroecker. GEOMETRIE şi TRIGONOMETRIE 1. Vectori î pla. Coliiaritate, cocureţă, paralelism- calcul vectorial î geometria plaă 3. Elemete de trigoometrie Teoreme de geometrie clasică. Teorema lui Stewart. Teorema lui Va-Aubel. Teorema lui Steier. Dreapta lui Euler. Drepte de tip Simso, etc. Pucte şi liii importate Teoreme de cocureţă şi coliiaritate Relaţii metrice Toată materia Notă Folosirea corectă de către elevi, î redactarea soluţiei, a uor teoreme fără demostraţie di cadrul programei de olimpiadă coduce la acordarea puctajului maxim prevăzut î baremele de corectare. CLASA a-x-a Î programa de olimpiadă petru clasa a X-a sut icluse coţiuturile programelor de olimpiadă di clasele aterioare şi di etapele aterioare. ALGEBRĂ 1. Mulţimi de umere. Fucţii şi ecuaţii 3. Metode de umărare

6 Covexitate î sesul lui Jese 4. Polioame C.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. şi algoritmul lui Euclid petru polioame Rădăcii multiple, poliomul lui Taylor, derivata formală a uui poliom, codiţii ecesare şi suficiete petru ca o rădăciă să fie multiplă Teorema fudametală a algebrei Polioame de iterpolare Polioame ireductibile, umere algebrice, poliom miimal Polioame simetrice, teorema fudametală a polioamelor simetrice, sumele lui Newto. GEOMETRIE 1. Toată materia. Elemete de geometrie î spaţiu: Geometria tetraedrului Poliedre Produs vectorial şi produs mixt. Aplicaţii î geometrie. Locuri geometrice clasice. Pol şi polară la cerc. Mulţimi covexe, îfăşurătoarea covexă. Teorema lui Helly. Notă Folosirea corectă de către elevi, î redactarea soluţiei, a uor teoreme fără demostraţie di cadrul programei de olimpiadă coduce la acordarea puctajului maxim prevăzut î baremele de corectare. CLASA a-xi-a Î programa de olimpiadă petru clasa a XI-a sut icluse coţiuturile programelor de olimpiadă di clasele aterioare şi di etapele aterioare. ALGEBRĂ ŞI GEOMETRIE Elemete de algebră liiară şi geometrie aalitică (pâă la rezolvarea sistemelor liiare exclusiv) Descompuerea uei permutări î produs de cicli disjucţi, respectiv traspoziţii Determiatul de ordi Formula lui Biet-Cauchy Regula lui Laplace de dezvoltare a uui determiat Teorema Hamilto-Cayley M.m. Ragul produsului şi sumei a două matrice Iegalitatea lui Sylvester asupra ragului produsului a două matrice Ragul uei matrice di ( C) Toată materia Poliom caracteristic, valori proprii Sisteme liiare de m ecuaţii cu ecuoscute ANALIZĂ MATEMATICĂ 1. Mulţimea umerelor reale. Şiruri de umere reale 3. Limite de fucţii 4. Fucţii cotiue Mulţimi deschise, îchise, compacte, desitate î R, lema itervalelor îchise

7 Numărabilitate, umărabilitatea luiq, eumărabilitatea lui R Pucte limită petru şiruri. Limita superioară şi limita iferioară la şiruri. Oscilaţia uei fucţii pe o mulţime, discotiuităţi de prima şi a doua speţă. Cotiuitate uiformă Fucţii cu proprietatea valorii itermediare (proprietatea lui Darboux). Toată materia Teorema lui Darboux, teorema lui Jarik referitoare la proprietatea lui Darboux a raportului a două fucţii derivate Formula lui Taylor cu restul lui Lagrage Dezvoltări î serie Notă Folosirea corectă de către elevi, î redactarea soluţiei, a uor teoreme fără demostraţie di cadrul programei de olimpiadă coduce la acordarea puctajului maxim prevăzut î baremele de corectare. CLASA a XII-a Î programa de olimpiadă petru clasa a XII-a sut icluse coţiuturile programelor de olimpiadă di clasele aterioare şi di etapele aterioare. ALGEBRĂ Elemete de algebră (pâă la Corpuri - iclusiv) Mulţimi factor. Legi de compoziţie pe mulţimi factor. Grupuri fiite. Teorema lui Lagrage. Teorema lui Cauchy. Produs direct de structuri. Morfisme de structuri (semigrup, mooizi, etc) Grupuri fiit geerate Grupul permutărilor, cicluri, descompuerea î produs de cicluri disjucte Subgrupuri clasice (cetrul uui grup, cetralizatorul uei mulţimi, ucleul şi imagiea uui morfism). Trasportul de structură Elemete ilpotete şi elemete idempotete Caracteristica uui iel Orice corp fiit este comutativ Orice subgrup fiit al grupului uităţilor uui domeiu de itegritate este ciclic Corpuri algebric îchise, îchiderea algebrică, corpul de descompuere al uui poliom Toată materia Depedeţă şi idepedeţă liiară, sisteme de geeratori Subspaţii vectoriale Orice spaţiu vectorial are bază Dimesiuea uui spaţiu vectorial (subspaţiu vectorial) Nucleul şi imagiea uei aplicaţii liiare, relaţii ître dimesiuile lor Ragul uei matrice ca dimesiue a imagiii aplicaţiei liiare ataşate Spaţiu vectorial ifiit dimesioal, teorema de completare la o bază ANALIZĂ MATEMATICĂ Elemete de aaliză matematică (pâă la Cetre de greutate - iclusiv) Sume Darboux, sume Riema, itegrabilitate

8 Mulţimi eglijabile Lebesgue. Criteriul lui Lebesgue Toată materia Notă Folosirea corectă de către elevi, î redactarea soluţiei, a uor teoreme fără demostraţie di cadrul programei de olimpiadă coduce la acordarea puctajului maxim prevăzut î baremele de corectare. NOTĂ Temele propuse vor cupride atât coţiuturile obligatorii petru toţi elevii, cât şi coţiuturile suplimetare. Caledarul olimpiadei este următorul: - Etapa locală (sector) se orgaizează de către fiecare ispectorat şcolar judeţea (mu. Bucureşti) î perioada 04 februarie 008 sau 18 februarie (mu. Bucureşti): - Etapa aţioală (fială): Director geeral al Direcţiei Director Geeral C.N.C.E.I.P Preseditele Comisiei Geerale petru Îvăţămâtul Cetrale a Olimpiadei Preuiversitar Naţioale de Matematică Liliaa Preoteasa Cristia Mirescu Radu Gologa