TEHNICI DE INTELIGENTA ARTIFICIALA. Curs şi aplicații CUPRINS

Transcript

1 TEHNICI DE INTELIGENT RTIFICIL Curs şi aplicații CUPRINS. Introducere. Mulțimi fuzz şi funcții de apartenență.. Definiții.. Modalități de prezentare a submulțimilor fuzz.. Caracteristici ale mulțimilor fuzz.. Operații cu mulțimi fuzz. Relații fuzz.. Propietăți generale.. Proprietăți particulare.. Relațiile de similaritate.. Relații de ordine. Variabile lingvistice şi propoziții fuzz.. Variabile lingvistice.. Modificatori lingvistici.. Propoziții fuzz elementare.. Propoziții fuzz generale 5. Raționamente în logica fuzz 5.. Implicații fuzz 5.. Principalele implicații fuzz 5.. Clasele generale de implicații fuzz 6. Metoda de defuzzificare 6.. Principiul funcției de apartenență maime 6.. Metoda centroidului 6.. Metoda mediei înălțimilor 6.. Metoda mijlocului maimelor 6.5. Metoda centrului sumelor 6.6. Metoda centrului celei mai mari suprafețe 6.7. Metoda primului (sau ultimului) maim 6.8. plicații 7. plicarea logicii fuzz în reglare 7.. Generalități 7.. Definirea prin funcții de apartenență a variabilelor de intrare şi de ieşire 7.. Definirea prin funcții de apartenență a variabilelor de intrare şi de ieşire 7.. Descrierea inferenței 7.. Metode de inferență utilizate în reglarea fuzz

2 . Introducere Logica fuzz arată importanța relativă a preciziei. Precizarea nu este adevăr spunea Henri Matisse. lbert Einstein spunea la rândul său: Legile matematicii sunt foarte departe de realitate ele nu sunt sigure. Şi pentru că sunt foarte departe de a fi sigure ele nu reflectă realitatea. Eistă şi zicale populare în acest sens: Nu vede pădurea din cauza copacilor. Pornind de la aceste considerente în 965 Lofti Zadeh profesor la Universitatea Barkele din California a introdus noțiunea de mulțime vagă ( în engleză fuzz set ) care furnizează posibilități de reprezentare şi manipulare a cunoaştințelor imperfect descrise vagi sau imprecise. Logica fuzz este un teritoriu fascinant de cercetare deoarece realizează o legătură foarte bună între semnificație şi precizie. Ea apare uneori eotică sau intimidantă pentru cei nefamiliarizați dar odată ce îi pătrunzi tainele poți fi surprins de simplitatea raționamentelor. Ce înseamnă precizie şi semnificația în lumea reală? De eemplu o greutate este gata să strivească un om şi colegul său de muncă îi atrage atenția: O greutate de 5 kg se apropie de capul tău cu viteza de 5 m/s aceasta este precizie. Fereşte te! Dă te la o parte! Fugi aceasta este semnificație. Logica fuzz este o cale de a trasa o hartă între spațiul de intrare ( informație) şi spațiul de ieşire (decizie). De eemplu cineva spune cât de bine a fost servit la restaurant şi altcineva spune pe această bază ce bacşis să dea. Cineva spune cât de departe este obiectivul pe care vrea să îl fotografieze şi altcineva pe această bază îi focalizează lentilele. Grafic vorbind o hartă între intrare şi ieşire arată astfel: Informație (spațiu de intrare) Cutie Neagră Decizie (spațiu de ieşire) Cutia neagră poate conține sisteme fuzz sisteme liniare sisteme epert rețele neuronale ecuații diferențiale tabele multidimensionale de interpolare şi lista rămâne deschisă. Pentru a umple cutia neagră logica fuzz este de cele mai multe ori cea mai bună cale pentru că aproape în toate cazurile cu ajutorul ei se obține acelaşi produs (ca prin alte metode) dar mai repede şi mai ieftin.

3 vantajele utilizării logicii fuzz față de alte metode sunt: a este uşor de înțeles pentru că foloseşte concepte matematice simple; b este fleibilă deoarece porneşte de la informații cu un grad mai mare sau mai mic de imprecizie. c poate modela funcții neliniare cu o compleitate arbitrară; se poate crea un sistem fuzz pornind de la orice mulțime de date intrare ieşire; d se bazează pe limbajul natural adică limbajul comunicării umane; e poate fi combinată cu tehnicile de control convenționale. Singurul caz în care nu se recomandă utilizarea logicii fuzz este acela în care eistă deja o soluție mai simplă. Ca aparat de lucru logica fuzz are în mediul MTLB un modul special. ccesul la Simulink permite testarea facilă a sistemului fuzz construit printr o simulare.. Mulțimi fuzz şi funcții de apartenență.. Definiții Definirea unei mulțimi X în sens clasic înseamnă să se decidă dacă un element dat aparține lui X sau nu. Construcția mulțimii se face fie prin indicarea elementelor sale fie prin enunțarea unor propietăți comune ale lor. * X = { } sau X = { N < 5} Noțiunea de mulțime fuzz constituie o abordare dintr un unghi diferit a conceptului de mulțime. Ideea fundamentală este următoarea: dacă X este mulțimea totală orice submulțime în sens clasic a lui X poate fi identificată cu funcția sa caracteristică: f ( ) f : X { } unde f ( ) = = = Submulțimea fuzz a lui X se defineşte printr o funcție de apartenență : f : X [ ] De eemplu clasa numere mari se poate asocia cu o submulțime fuzz a mulțimii numerelor reale R. Funcția de apartenență a lui se stabileşte astfel încât să corespundă cât mai bine problemei adică cu cât numerele sunt mai mari cu atât valoarea ei să fie mai apropiată de.

4 Putem lua de eemplu: : R [ ] unde f ( ) f daca = daca ( ) > Submulțimea fuzz este o submulțime clasică a lui X doar în cazul particular în care f ( ) ia valorile şi. O submulțime clasică este prin urmare doar un caz particular al unei submulțimi fuzz. apartenență Cazurile etreme de submulțimi fuzz ale lui X sunt respectiv X însăşi asociată unei funcții de f X cu valoarea pentru toate elementele din X şi mulțimea vidă asociată unei funcții de apartenență nulă pentru elementele lui X. Pentru reprezentarea submulțimii fuzz se adoptă notații care indică pentru toate elementele din X care este gradul f ( ) de apartenență la. stfel: = X f ( ) dacă X este o mulțime finită; ( ) d f = dacă X este o mulțime infinită. Pentru o mai bună înțelegere se consideră următorul eemplu: apartenența zilelor săptămânii la week end. Luni Marți Sâmbătă Vineri Miercuri Duminică Joi În sens clasic definiția de dicționar pentru week end este perioada dintre nopatea de vineri şi dimineața de duminică. O definiție imprecisă care nu arată cât de mult aparțin zilele de vineri şi duminică noțiunii de week end. Utilizând logica fuzz putem răspunde acestei probleme astfel: Întrebare: Este ziua de sâmbătă zi de week end?

5 Răspuns: (da sau adevărat). Întrebare: Este ziua de joi zi de week end? Răspuns: (nu este fals). Întrebare: Este ziua de vineri zi de week end? Răspuns: 8 (în cea mai mare parte da dar nu complet). Întrebare: Este ziua de duminică zi de week end? Răspuns: 95 (da dar mai puțin decât sâmbătă). astfel: O reprezentare grafică în cele două variante (clasică şi fuzz) ale problemei de mai sus arată f S â m b ă t ă D u m i n i c ă Joi Vineri Luni Logica clasică f J o i V i n e r i S â m b ă t ă D u m i n i c ă Luni Logica fuzz

6 Funcțiile de apartenență în cele două cazuri arată astfel: f Joi Vineri Sâmbătă Duminică Luni f Joi Vineri Sâmbătă Duminică Luni Se observă că pornind de la o informație imprecisă logica fuzz conduce la un rezultat mult mai apropiat de realitate decât logica clasică. Putem considera ca un alt eemplu pentru mulțimile fuzz cele patru anotimpuri. Se pune întrebarea: Ce anotimp este acum? În emisfera nordică utilizând definiția astronomică limitele sunt precise: iarna: decembrie 8 februarie; primăvara: martie mai; vara: iunie august; toamna: septembrie noiembrie. Eperiența din ultimii ani arată însă că lucrurile nu stau totdeauna astfel. nalizând grafic situația în logica clasică şi fuzz rezultă:

7 f Primăvară Vară Toamnă Iarnă f Martie Iunie Sept. Dec. Martie Logica clasică Primăvară Vară Toamnă Iarnă Martie Iunie Sept. Dec. Martie Logica fuzz După trecerea în revistă a acestor eemple se poate da şi o altă definiție a funcției de apartenență: O funcție de apartenență este o curbă care defineşte modul în care fiecare punct din domeniul de definiție i se alocă o valoare(grad) de apartenență între şi. Unul dintre cele mai utilizate eemple de mulțimi fuzz este mulțimea oamenilor înalți. De eemplu un individ cu înălțimea 5 m nu aparține deloc clasei oameni înalți. În schimb dacă are 8 m atunci apartenența la această clasă este totală. Dacă înălțimea sa este cuprinsă între 5 m şi 8 m atunci apartenența sa la clasa respectivă este cu atât mai puternică cu cât înălțimea sa se apropie mai mult de 8 m. Noțiunea de mulțime fuzz evită utilizarea arbitrară a unor limite clasice rigide ale claselor cum ar fi în eemplul precedent să considerăm că cineva care are 8 m este înalt şi altcineva care are 79 m nu face parte din această categorie. Funcțiile de apartenență aferente celor două cazuri se prezintă astfel:

8 f 8 m Înălțimea Logica clasică f 5 m 8 m Înălțimea Logica fuzz Prin urmare putem concluziona că: - Mulțimile fuzz descriu concepte vagi (alergător rapid vreme călduroasă zilele de weekend); - O mulțime fuzz admite apartenența parțială la o mulțime de referință (vineri este parțial o zi de weekend); - Gradul cu care un element aparține mulțimii fuzz este dat de valoarea funcției de apartenență cuprinsă între şi... Modalități de prezentare a submulțimilor fuzz a) Fie submulțimea fuzz de forma: 5 5 = 5

9 b) Grafic: f 5 c) Prin matricea funcțiilor de apartenență: f Caracteristici ale mulțimilor fuzz Pentru a putea descrie mai uşor o submulțime fuzz a lui X se utilizează următoarele caracteristici: a) Suportul lui adică mulțimea elementelor din X care aparțin mai mult sau mai puțin lui (dar nu şi pe cele care nu sunt în ). Se notează supp şi reprezintă partea din X pentru care funcția de apartenență nu este nulă. X f { } supp()= ( ) b) Înălțimea lui notată h ( ) adică cel mai înalt grad cu care un element din X aparține lui. Este cea mai mare valoare luată de funcția de apartenență. h = sup f ( ) ( ) X c) Nucleul lui notat nuc ( ) apartenență. nuc = X f ( ) ( ) { = } adică mulțimea care are toate elementele cu grad de

10 d) Cardinalul lui se poate calcula numai atunci când mulțimea X este finită şi reprezintă gradul global cu care elementele lui X aparțin lui. = f X ( ) Dacă este o submulțime a lui X ( nu o submulțime fuzz) cardinalul său este egal cu numărul de elemente care o compune potrivit definiției clasice... Operații cu mulțimi fuzz Operațiile uzuale din teoria clasică a mulțimilor (reuniune intersecție complement etc) se pot reface în cazul mulțimilor fuzz în termenii funcției de apartenență astfel: Egalitate : Două submulțimi fuzz şi B ale aceleaşi mulțimi X sunt egale dacă funcțiile de apartenență sunt egale pentru fiecare element din X : X f f ( ) ( ) = B Incluziune : O submulțime fuzz inclusă într o submulțime fuzz B ambele aparținând aceleiaşi mulțimi X dacă toate elementele din X care aparțin lui aparțin şi lui B cu un grad de apartenență mai mic sau egal. X f f ( ) ( ) B Intersecție : Intersecția a două mulțimi fuzz şi B ale aceleiaşi mulțimi X este o submulțime fuzz construită din elementele din X cu cele mai mici grade de apartenență date de f şi f B. X ; C B f = min f f = ( ) ( ( ) ( )) C Reuniune : Reuniunea a două submulțimi fuzz şi B ale aceleiaşi mulțimi X este o submulțime fuzz constituită din elementele din X cu cele mai mari grade de apartenență date de f şi f B : X ; D B f = min f f = ( ) ( ( ) ( )) D Complementul : unei submulțimi fuzz a lui X este o submulțime fuzz a lui X ale cărui elemente au funcția de apartenență: f = f X C ( ) ( ) Produsul algebric dintre două submulțimi fuzz şi B ale lui X este o submulțime fuzz B cu funcția de apartenență: f = f f B B Produsul cartezian al submulțimilor fuzz... n definite pe mulțimile clasice X X... X n este o submulțime fuzz... n a cărei funcție de apartenență este: f ( ) = min( f ( ) f ( )... f ( n )) = {... n} X B B

11 Suma algebrică a două submulțimi fuzz şi B este o submulțime fuzz B caracterizată de funcția de apartenență : f = f f f f B Cardinalul submulțimilor fuzz verifică relația: B = B B B B Imaginea (protecția) unei submulțimi fuzz este operația inversă produsului cartezian. Fie o submulțime fuzz definită pe X X (produsul cartezian al mulțimilor clasice X şi X ). Se defineşte proiecția lui pe X ca o submulțime fuzz I X ( ) cu formula de apartenență: f I X ( )( ) X f (( )) = ma X În mod analog se defineşte imaginea lui pe X X. În particular dacă este produsul cartezian a X ( ) două submulțimi fuzz definită pe şi definită pe proiecțiile sale ( ) I X Eemple sunt respectiv şi. ) Se consideră mulțimile fuzz şi B cu funcțiile de apartenență f şi f ca în figură: B I X şi

12 Să se determine: Rezolvare:

13 ) Fie X={Bucureşti Craiova Filiaşi} mulțimea oraşelor propuse pentru o locuință. Notăm elementele lui X astfel:. Pe această mulțime putem defini o serie de submulțimi fuzz funcție de preferințe cum ar fi: a) b) c) Se cere:. Să se determine caracteristicile submulţimilor fuzz şi.. Să se determine.. Considerând mulţimea tipurilor de locuinţă propuse şi submulțimile fuzz: Să se calculeze şi să se interpreteze produsul cartezian imaginea lui pe şi imaginea lui pe. Rezolvare :.

14 . 5 B C F oraşe 5 5 B C F oraşe B C F oraşe

15 . ceastă preferință corespunde unui apartament în Bucureşti eventual un apartament în Craiova toate celelalte ipoteze fiind acceptate dar mai moderat. Pentru a determina imaginea(proiecția) considerăm că preferințele unui individ sunt indicate prin submulțimea fuzz: ) Într-un anumit proces energetic se constată că atât debitul de curgere cât şi temperatura pot atinge valori critice. Nivelul critic definit este însă aproimativ. Chiar dacă se consideră debitul critic 8 el poate avea valori între 8 şi 58 ; dacă temperatura critică este apreciată la ea poate varia între şi. Se urmăreşte determinarea situațiilor de risc. Rezolvare: Modelarea unui astfel de proces se poate face utilizând metoda mulțimilor fuzz. Se consideră mulțimea fuzz pentru valorile debitului cu funcția de apartenență mulțimea fuzz B pentru valorile temperaturii cu funcția de apartenență ca în figura: şi

16 T[ C] Fie cele două mulțimi: fuzz: Pentru a analiza situațiile defavorabile se face produsul cartezian al celor două submulțimi

17 Grafic produsul cartezian al celor două mulțimi fuzz se reprezintă printr o piramidă care cuprinde în interiorul ei toate situațiile de risc şi dă totodată prin valoarea funcției de apartenență şi nivelul de risc al fiecărei situații în parte. 5 B Situațiile defavorabile sunt: - risc maim: - cu acelaşi nivel de risc: În toate celelalte situații riscul e zero.

18 Produsul cartezian poate fi pus şi sub forma matricei funcțiilor de apartenență astfel:. Relații fuzz Fiind date mulțimile de referință X şi Y este dificil de stabilit o legătură între ele printr o relație clasică atunci când cele două mulțimi conțin informații imprecise sau gradate. De eemplu dacă X este mulțimea prețurilor de cumpărare şi Y este mulțimea prețurilor de vânzare ştiind că prețul de cumpărare este mult inferior prețului de vânzare se defineşte o clasă imprecisă de prețuri de vânzare corespunzătoare fiecărui preț de cumpărare. Relația dintre X şi Y care se introduce este satisfăcută din ce în ce mai mult pe măsură ce valorile elementelor din X devin din ce în ce mai mici în raport cu valorile elementelor din Y până la satisfacerea totală. O relație fuzz R între X şi Y este o submulțime fuzz R a lui X Y. În particular dacă X şi Y sunt finite ea poate fi descrisă printr o matrice M ( R) a valorilor funcției sale de apartenență. De eemplu dacă X=Y=R (mulțimea numerelor reale) şi se asociază acestor mulțimi o relație fuzz de forma S : este mult mai mare decât cu R aceasta este o relație fuzz definită în R R cu funcția de apartenență : f S pentru ( ) = ( ) pentru > cu observația că această definire a funcției de apartenență este doar una dintre posibilități... Propietăți generale Dacă se schimbă rolul mulțimilor X şi Y se poate considera relația fuzz inversă R care simbolizează revenind la eemplul prețurilor că prețul de vânzare este mult mai mare decât prețul de cumpărare definită astfel: f ( ) f ( ) = R R X Y.

19 Pentru trei mulțimi de referință : X Y Z este utilă compunerea relațiilor de legătură. De eemplu dacă prețul de cumpărare este mult inferior prețului de cost şi acesta este puțin mai mic decât prețul de vânzare ce relație poate fi pusă în evidență între prețul de cumpărare si cel de vânzare? apartenență : Compunerea a două relații fuzz f R definită pe ( ) X Y şi R definită pe ( z) = ma min f ( ) f ( z) ; ( z) X Z R Y R R.. Proprietăți particulare Relațiile fuzz prezintă şi unele proprietăți similare relațiilor clasice şi anume: a) simetrie : Relația fuzz R este simetrică dacă : f = f ) ( ) X X ( ) ( R R b) refleivitate : Relația fuzz R este refleivă dacă: f R = X ( ) c) tranzitivitate : Relația fuzz R este tranzitivă dacă: R R o R Y Z cu funcția de Proprietatea de tranzitivitate este uşor de verificat dacă mulțimea X este finită deoarece în acest caz elementele matricei valorilor funcției de apartenență f R o R matricea valorilor funcției de apartenență. d) antisimetrie : Relația fuzz R este antisimetrică dacă: f R > şi > X ( ) f R.. Relațiile de similaritate ( ) f R = ( ) X devin superioare sau egale celor din O relație fuzz simetrică refleivă şi tranzitivă este numită relație de similaritate şi corespunde ideii de asemănare. Dacă o relație fuzz R este o relație de similaritate spunem că: f R dacă şi numai dacă ( ) = = şi îi putem asocia o distanță d definită pe X cu valoarea: ( ) ( ) d = f R ( ) X X ceastă distanță este ultrametrică dacă verifică relația: ( ) ma( d( ) ; d( z ) ) ( z) X X X d

20 Relațiile de similaritate intervin în special în problemele de clasificare... Relații de ordine O relație fuzz antisimetrică refleivă şi tranzitivă este numită relație de ordine şi corespunde ideii de clasament sau reprezentării unor evenimente anterioare. Relațiile de ordine fuzz sunt utilizate în metodele de luare a deciziilor de eemplu în analiza preferințelor unui grup de indivizi sau pentru ordonarea temporală a unor informații. Eerciții ) Se consideră mulțimile fuzz X = { }; Y = { } şi { z z z } Z = şi relațiile fuzz R definită pe X Y şi S definită pe Y Z. Să se determine relația fuzz T = R o S definită pe X Z dacă se cunosc: R = ; S z = 9 z 6 7 z 5 Rezolvare f T f T f T ( z ) = ma( min( 7; 9 ); min( 5; ) 7 = ( z ) = ma( min( 7; 6 ); min( 5; 7 ) 6 = ( z ) = ma( min( 7; ); min( 5; 5 ) 5 = f T f T f T ( z ) = ma( min( 8; 9 ); min( ; ) 8 = ( z ) = ma( min( 8; 6 ); min( ; 7 ) 6 = ( z ) = ma( min( 8; ); min( ; 5 ) = Rezultă: z T = 7 8 z 6 6 z 5

21 X = { } Y = { } { z z z } ) Fie mulțimile Z = şi relațiile fuzz : R = X Y = R = Y Z = z z z z z z z z z Să se calculeze : R = R o R. Rezolvare Se scriu relațiile fuzz şi R sub forma matricilor funcțiilor de apartenență: R 5 R = ; 6 9 R = z z 6 9 z 5 f R f R f R ( z ) = ma( min( ; );min( ; );min( 5; ) = ( z ) = ma( min( ; );min( ; 6 );min( 5; 9 ) 6 = ( z ) = ma( min( ; 5 );min( ; );min( 5; ) = f R f R f R ( z ) = ma( min( ; );min( 6; );min( ; ) = ( z ) = ma( min( ; );min( 6; 6 );min( ; 9 ) 6 = ( z ) = ma( min( ; 5 );min( 6; );min( ; ) = f R f R f R ( z ) = ma( min( ; );min( 9; );min( ; ) = ( z ) = ma( min( ; );min( 9; 6 );min( ; 9 ) 6 = ( z ) = ma( min( ; 5 );min( 9; );min( ; ) =

22 Rezultă : R = R o R = z z z z z z z z z sau: R = z z z X = { } { } ) Fie mulțimile Y = şi relația fuzz R= aproimativ egal cu având funcția de apartenență: f R Se consideră: ( ) = ( ) R = Să se verifice dacă relația fuzz R este simetrică refleivă şi tranzitivă: Rezolvare: - simetrie: dacă f ( ) = f ( ) i i R R - refleivitate: f ( ) = ( ) = R - tranzitivitate: Matricea valorilor funcției de apartenență f R este: R o R = ( s a calculat în eercițiul precedent).

23 f R o R Matricea valorilor funcției de apartenență este: Se observă că valorile elementelor din prima matrice sunt egale sau superioare valorilor elementelor din a doua matrice. În concluzie relația R este simetrică refleivă şi tranzitivă. X = { } { } ) Fie mulțimile Y = şi relația fuzz: R = ( ) Să se verifice dacă relația fuzz R este o relație de similaritate şi să se calculeze d. Rezolvare Matricea asociată funcției de apartenență ( ) f R este: de similaritate. Se observă că atunci când f ( ) = i = i R i i. Prin urmare relația fuzz R este o relație

24 ( ) d = = = dică: ( ) d 5) Presupunem că suntem interesați de înțelegerea procesului de reglare a vitezei unui motor de c.c. cu ecitație separată în condiția de mers în gol aşa cum indică schema din figura: curent de ecitație; I e z înfăşurarea de ecitație. Vc.c. u Indus z Inițial rezistența serie trebuie menținută la valoarea maimă din următoarele motive: R Se

25 . Tensiunea electromotoare: E K Φ = = n unde: deoarece turația este egală cu zero. unde:. rezistența indusului; Dacă E= Curentul are valori foarte mari care pot distruge indusul de aceea rezistența serie trebuie menținută la pornirea motorului la valoare maimă. Dacă turația la mers în gol a motorului este n=5 rot/min atunci sau trebuie modificate. Pentru acest tip de reglaj se pot utiliza două metode: a) Prin reglarea indusului; b) Prin reglarea câmpului. Presupunem că se alege metoda a) fluul rămânând constant. Dacă rezistența este scăzută în trepte de la valoarea sa maimă curentul prin indus creşte şi ca urmare creşte turația motorului. par două probleme: Care ar trebui să fie nivelul minim şi nivelul maim al rezistenţei? Care ar trebui să fie valoarea minimă şi valoarea maimă a curentului? Presupunând în continuare că se ia în calcul şi sarcina motorului problema reglării devine mai complicată. Datorită fluctuației sarcinii curentul din indus se poate modifica rezultând şi o variație a turației. În acest caz reglarea rezistenței indusului trebuie să urmărească menținerea turației nominale.

26 cest mod de reglare este frecvent utilizat în eploatarea trenurilor electrice şi pentru un număr mare de aparate electrocasnice. Utilizarea conceptului de mulțime fuzz pentru rezolvarea unei astfel de probleme se face după următoarea metodologie: Fie: mulțimea fuzz a valorilor posibile ale rezistenței serie să zicem valori; mulțimea fuzz a valorilor posibile ale curentului prin indus să zicem m valori; N mulțimea fuzz a valorilor posibile ale turației motorului să zicem n valori; Mulțimea fuzz şi pot fi legate printr o relație fuzz R care va stabili diferite grade de apartenență între perechile de valori rezistență curent. Mulțimile fuzz şi N se pot lega printr o altă relație fuzz S. Utilizând compunerea relațiilor R şi S se obține o altă relație T între şi N. Operațiile necesare pentru dezvoltarea acestor relații sunt două produse carteziene şi o compunere: ; ; Presupunem că funcțiile de apartenență pentru rezistențele curentul şi turațiile N sunt: Rezultă relațiile fuzz:

27 . Variabile lingvistice şi propoziții fuzz.. Variabile lingvistice În fizică o variabilă V cum ar fi temperatura ia valori într o mulțime de definiție X (de eemplu mulțimea numerelor reale cuprinse între C şi C). În general un instrument de măsură permite obținerea unor valori eacte într o situație dată. Dar instrumentul de măsură poate admite o eroare cunoscută de eemplu % sau valoarea variabilei este dată de un observator care nu dispune de un aparat de măsură şi face o evaluare grosieră cum ar fi în jur de 5 C sau se eprimă la modul temperature este ridicată. În aceste cazuri se foloseşte o variabilă lingvistică care să modeleze cunoştințele vagi sau imprecise. O variabilă lingvistică este reprezentată printr un triplet unde: V variabilă (vârstă temperatură etc); X mulțimea de referință pe care este definită variabila (e: mulțimea numerelor întregi sau reale etc); mulțimea finită sau infinită a submulțimilor fuzz ale lui X care sunt utilizate pentru a caracteriza variabila V şi care se obțin din restricțiile valorilor pe care le ia V în X. Eemplu

28 Se consideră înălțimea ca variabilă V definită pe mulțimea X a numerelor reale pozitive. Definirea submulțimilor fuzz ale lui X care permite caracterizarea variabilei V depinde de contetul în care se utilizează V. De eemplu termenul imens nu poate fi descris prin aceeaşii funcție de apartenență atunci când descrie înălțimea unui om sau a unui arbore. Considerăm deci o variabilă lingvistică format din tripletul: V înălțime; ; ={ Minuscul Mic Mediu Mare Imens} Mulțimea poate fi reprezentată grafic ca în figura următoare: Funcția de apartenență Minuscul Mic Mediu Mare Imens X Cu cât numărul de elemente ale mulțimii mai fină. este mai mare cu atât descrierea variabilei V este.. Modificatori lingvistici Utilizarea variabilelor lingvistice pentru caracterizarea unor date imprecise sau vagi evită limitele artificial rigide ale descrierilor clasice şi introduce o mare suplețe în caracterizări. Ideea de eprimare a unei descrieri standard conduce la definirea unor modificatori cum ar fi foarte mai mult sau mai puțin care constituie un gen de standartizare a epresiilor lingvistice utilizate pentru descriere sau modelare. Prin urmare caracterizările utilizate pentru a descrie starea variabilei V sunt fie elementele mulțimii fie formele modulate ale acestor elemente obținute prin utilizarea modificatorilor. Un modificator lingvistic este un operator care permite pentru toate caracteristicile fuzz ale lui V obținerea unei noi caracteristici fuzz. Dacă funcția de apartenență a lui este aceea a lui este:

29 unde: este o transformare matematică. Primii modificatori au fost propuşi de Zadeh prin termenii: foarte mai mult sau mai puțin nu de la. Pentru o mulțime M a modificatorilor disponibili notăm acea caracterizare M plecând Eemplu: = {mic mediu. mare} M = {mai curând nu} = { mai curând mic mai curând mediu mai curând mare nu mic nu mediu nu mare}... Propoziții fuzz elementare O propoziție fuzz elementară se defineşte pornind de la o variabilă lingvistică sau prin cuantificarea V este. Valoarea de adevăr a unei astfel de propoziții este dată de valoarea funcției de apartenență atât propoziția este mai adevărată. a lui. Cu cât valoarea funcției de apartenență este mai mare cu.. Propoziții fuzz generale O propoziție fuzz generală se obține prin compunerea propozițiilor fuzz elementare V este W este B Variabilele V W trebuie să fie neinteractive. Compunerea propozițiilor fuzz elementare se poate face prin: a) Conjuncţie : V este şi W este B (de eemplu dacă vorbim despre o bibliotecă putem spune): înălțimea este medie şi prețul nu este ridicat V W B

30 Valoarea de adevăr a unei astfel de propoziții este definită prin: b) Disjuncţie : V este sau W este B (de eemplu dacă vorbim despre biblioteca anterioară putem spune): înălțimea este medie sau prețul nu este ridicat V W B Valoarea de adevăr a acestor propoziții este definită prin: c) Implicaţie : dacă V este atunci W este B ( în eemplul anterior) : dacă înălțimea este medie atunci prețul nu este ridicat V W B Prin urmare se pot construi propoziții fuzz generale pornind de la propozițiile fuzz elementare legate prin conjuncție (şi) disjuncție (sau) şi implicație (dacă atunci). În particular pot eista propoziții fuzz generale de forma: dacă V este şi W este B atunci U este C de eemplu: dacă înălțimea este medie şi prețul nu este ridicat atunci ar trebui să cumperi ceastă epresie reprezintă de fapt o regulă fuzz în care V este şi W este B este permisa regulii iar U este C reprezintă concluzia regulii. Eemple şi eerciții ) Efectele pe care le pot produce modificatorii lingvistici sunt prezentate în figura următoare: Se observă că se pot distinge: - Modificatori de întărire - Modificatori de slăbire

31 f f = mai mult sau mai puțin = relativ f f = mai curând = foarte puternic caracteristica inițială t i ti difi tă ) Fie V este talia(statura) ; X mulţimea taliilor posibile [5] T mulţimea submulțimilor fuzz ale lui X care sunt utilizate pentru a caracteriza variabila V ( de eemplu cele date în figura din primul eemplu al cursului). Valoarea = cm a variabilei V aparține submulțimii fuzz = Mediu a lui X cu gradul. Se poate concluziona că dacă un individ este descris cu ajutorul propoziției Talia este medie posibilitatea ca el să măsoare cm este. Posibilitatea ca talia să fie cuprinsă între şi 6 este. V este precis fuzz

32 distribuția posibilităților associate ) Presupunem că avem un univers de interes: Definim pe Y următoarele variabile lingvistice: Mic = Mare = mic. Modificăm cele două variabile lingvistice cu ajutorul modificatorilor Foarte mic şi Nu foarte Relațiile matematice asociate celor doi modificatori sunt: Foarte Nu foarte α = Foarte α Rezultă: Foarte mic = = Nu foarte mic = Foarte mic = Pentru a construi o propoziție fuzz de forma: α = Nu foarte mic şi nu foarte foarte mare trebuie să se parcurgă următorul set de operații: α = Nu foarte mic Nu foarte foarte mare. Foarte mare = = Foarte foarte mare = = unde: ; ; ; Considerând aproimația la zecimi ; ; ; Nu foarte foarte mare = Foarte foarte mare = Rezultă:

33 α = = =..5. Caracteristicile logicii fuzz Utilizarea unor cunoştințe imprecise vagi şi/sau incerte conduce la raționamente care nu se pot face prin logica clasică şi în particular răspund următoarelor necesități: a) manipularea unor valori de adevăr intermediare între absolut adevărat şi absolut fals; b) modularea noţiunii de cuantificator între două etreme care sunt cuantificatorii universali (oricare) şi (eistă); c) utilizarea unor reguli de deducţie în funcţie de caz care are alte scheme de raţionament decât cele numite modus ponens şi modus tollens. În logica clasică Conjuncție Disjuncție q p p q Implicația p q

34 Modus ponens Modus tollens Pentru a răspunde primei necesități o primă etensie a logicii clasice a fost facută în 9 de Lukasie Wicz ca o logică cu trei valori de adevăr reprezentate prin: (fals); (adevărat); ½(îndoială). ceastă logică numită ternară poate fi reprezentată astfel: Conjuncția Disjuncția q / p / / / / q / p / / / / Implicația Negația q / p / / / p p / / Din păcate nici logica ternară nu poate trata cunoştințele imprecise deoarece nu răspunde cerințelor b) şi c).

35 Logica fuzz introdusă de Zadeh care este o logică multivalent (admite mai mult de două valori de adevăr) este singura care răspunde acestor cerințe. Caracteristicile generale ale logicii fuzz sunt următoarele: - propoziţiile sunt propoziţii fuzz pornind de la o mulţime L de variabile lingvistice şi o mulţime M de modificatori; - valoarea de adevăr a tuturor propoziţiilor fuzz aparţine intervalului [] şi este furnizată prin funcţia de apartenenţă a caracteristicilor fuzz utilizată în propoziţia fuzz; - cuantificarii pot fi vagi ( în cele mai multe cazuri" în general etc.); - eistă valori de adevăr ( V este este adevărat foarte adevărat puţin adevărat ) valori de probabilitate ( V este este probabil foarte probabil puţin probabil ) şi valori de posibilitate ( V este este posibil foarte posibil puţin posibil ). - logica fuzz este considerată ca o etensie a logicii clasice. ceastă ultimă caracteristică semnifică faptul că submulțimile clasice sunt cazuri particulare ale submulțimii fuzz. Caracterizarea precisă a unei variabile ( egal cu din ) dă un caz particular al unei propoziții fuzz ( de eemplu înălțimea este de cm ). Cuantificatorii fuzz descriu situațiile intermediare între cuantificatorul universal şi cuantificatorul esențial adică între situațiile etreme date de valorile şi din logica clasică. Un cuantificator fuzz este o submulțime a mulțimii R a numerelor reale ale cărei elemente pot lua orice valoare din intervalul [] şi care descrie un număr de cazuri sau o propoziție aproimativă cum ar fi în cele mai multe cazuri rar în câteva cazuri în general etc. Eemplu Să ne imaginăm o regulă care se eprimă astfel: în cele mai multe cazuri dacă naționalitatea (V) este norvegian (NO) atunci culoarea părului (W) este blond (B) sau prin cea mai mare parte a norvegienilor (NO) sunt blonzi (B). Cuantificatorul cea mai mare parte poate fi reprezentat ca în figura următoare: 75% 85% %

36 forma: Q este un cuantificator fuzz cu funcția de apartenență. O regulă fuzz cuantificată este de Q dacă V este atunci W este B pentru două propoziții fuzz V este şi W este B definite pornind de la variabilele lingvistice şi. Valoarea de adevăr p a acestor propoziții fuzz este dată de funcția de apartenență. 5. Raționamente în logica fuzz 5.. Implicații fuzz Reconsiderăm regula fuzz introdusă anterior dacă V este atunci W este B construită pornind de la două variabile lingvistice şi mulțimea M de modificatori. Valoarea de adevăr a propoziției fuzz obținută prin utilizarea unei implicații fuzz între propozițiile fuzz elementare V este şi W este B este definită prin funcția de apartenență a unei relații fuzz R între X şi Y. ceasta se eprimă pentru toate perechile din în funcție de funcțiile de apartenență şi prin regula: unde: este o funcție aleasă astfel încât atunci când şi B sunt diferite în mod precis şi sigur implicația fuzz este identică cu o implicație din logica clasică. Spunem că şi B sunt precis şi sigur definite dacă funcțiile lor de apartenență iau valoarea într un punct notat şi din mulțimea lor de definiție şi valoarea în toate celelalte cazuri. Se poate spune în acest caz: V este egal cu şi W cu. Eemplu Se consideră variabilele V şi W care reprezintă numărul de carate şi prețul definte pe mulțimile X şi Y de numere reale pozitive. Definim mulțimile şi ale caracteristicilor fuzz pentru V şi W întrun contet dat cum ar fi acela al comerțului cu diamante. Pentru important aparținând lui şi ridicat aparținând lui un epert furnizează o regulă fuzz de genul: dacă numărul de carate este important atunci prețul este ridicat reprezentată grafic astfel: şi a b carate c d preț

37 5.. Principalele implicații fuzz Nu eistă un mod unic de generalizare a implicațiilor din logica clasică. În tabelul următor sunt indicate implicațiile fuzz utilizate mai des. Goguen Reichenbach Willmott Rescher Gaines Kleene Dienes Brouwer Gödel Lukasiewicz Mandani Larsen Eemplu Revenind la eemplul anterior dacă utilizăm implicația lui Lukasiewicz pentru a cuantifica forța de legătură dintre premisă şi concluzie valoarea de adevăr a regulii fuzz este indicată în tabelul următor: [c) [cd) [a]

38 [b] Fiecare număr de carate este legat de fiecare preț prin forța de legătură care este cu atât mai puternică cu cât valoarea lui este mai apropiată de pentru un dat relativ la regula enunțată. De eemplu numărul de carate aparținând intervalului nu este legat de niciun preț care aparține intervalului [c) prin urmare. 5.. Clasele generale de implicații fuzz Implicațiile fuzz nu se construiesc oricum ci ele pornesc de la implicațiile logicii clasice. În continuare se prezintă câteva eemple numite clasice: unde: - Prima clasă: - doua clasă: unde: - treia clasă: unde: Situațiile de adevăr şi fals absolut pentru implicațiile fuzz sunt indicate în tabelul următor:

39 Simbol implicație Dacă sau Dacă şi Dacă sau Dacă şi Dacă şi Dacă sau Dacă Eercițiu: Pendulul invers Controlerele fuzz sunt cele mai importante aplicații ale teoriei fuzz. Comportatea lor poate fi eprimată într un mod foarte natural utilizând variabilele lingvistice care sunt descrise cu mulțimi fuzz. În cazul pendulului invers problema este de a mişca platforma mobilă la dreapta sau la stânga astfel încât pendulul să rămână în poziție verticală. pendul platformă mobilă Pentru rezolvarea problemei se parcurg următoarele etape: ) Se definesc(subiectiv) noţiunile de viteză mare şi mică ale platformei prin specificarea funcțiilor de apartenență aferente acestor mulțimi fuzz. Negativ mare (nm) Negativ mică (nm) Zero

40 Pozitiv mică (pm) Pozitiv mare (pm) nm nm z pm pm viteză viteză ) În acelaşi mod se definesc unghiul dintre platformă şi pendul şi viteza unghiulară corespunzătoare acestui unghi: nm nm z pm pm unghi unghi nm nm z pm pm viteză viteză unghiulară Pentru uşurință se consideră că la început pendulul se află la zero şi unghiul maim de o parte şi de alta nu poate fi mai mare de 5. ) Se stabilesc regulile care conduc la situaţii sigure. Dacă se consideră de eemplu că pendulul este în poziție verticală (unghi zero) şi nu se mişcă (viteză unghiulară zero) viteza va fi zero. Dacă însă pendulul este în poziție verticală (unghi zero) dar este în mişcare cu viteză unghiulară mică în direcția pozitivă atunci mişcarea pendulului trebuie compensată prin mişcarea platformei în aceeaşi direcție cu viteză mică.

41 Cele două situații de mai sus pot fi puse sub forma următoarelor reguli: Dacă unghiul este zero şi viteza unghiulară este zero atunci viteza va fi zero. Dacă unghiul este zero şi viteza unghiulară este pozitiv mică atunci viteza va fi pozitiv mică. Obs. Pentru cele două reguli de mai sus premisa regulii este formată din două propoziții fuzz elementare legate prin conjuncție prin urmare concluzia se va obține făcând: În tabelul de mai jos sunt prezentate toate regulile aplicabile în acest caz: Viteza Unghiul nm nm zero pm pm nm nm Viteza unghiulară nm nm zero nm nm zero pm pm pm pm pm pm ) Calculul pentru valori concrete 7 5 unghi unghiul actual unghi 6 viteza unghiulară viteza unghiulară actuală viteza unghiulară

42 Dacă avem două valori pentru unghi şi două pentru viteza unghiulară rezultă reguli: a) dacă unghiul este zero şi viteza unghiulară este zero atunci ziteza este zero: z viteza b) dacă unghiul este zero şi viteza unghiulară este negativ mică atunci viteza este negativ mică. nm 6 viteza c) dacă unghiul este pozitiv mic şi viteza unghiulară este zero atunci viteza este pozitiv mică. pm 5

43 d) dacă unghiul este pozitiv mic şi viteza unghiulară este negativ mică atunci viteza este zero. z 5 Cumulând rezultatele anterioare rezultă: nm nm z pm pm 6 5 viteză viteză S a obținut astfel o mulțime fuzz ( a vitezelor). vem de ales o valoare reprezentativă ca ieşire finală. Eistă mai multe metode de defuzificare. Una dintre ele este valoarea care reprezintă centrul de greutate al mulțimii fuzz obişnuită. Întreaga procedură este numită controler Mamdani. 6. Metoda de defuzzificare Defuzzificarea reprezintă conversia unei cantități fuzz într o cantitate precisă adică inversul fuzzificării. Ieşirea unui proces fuzz poate fi reuniunea logică a două sau mai multe funcții de apartenență fuzz definite pe universul de discuție al variabilei de ieşire. De eemplu presupunem că ieşirea fuzz este compusă din două părți: (o funcție de apartenență trapez) şi ( o funcție de apartenență triunghi). Reuniunea celor două funcții de apartenență este care implică operatorul ma şi grafic este anvelopa celor două figuri.

44 5 ma U 6 8 z 6 8 z z Desigur ieşirea generală a unui proces fuzz poate implica mai multe funcții de apartenență şi care au şi alte forme decât trapez sau triunghi. S au propus numeroase metode de defuzzificare. Dintre acestea cele mai utilizate sunt următoarele: 6.. Principiul funcției de apartenență maime z

45 (vârful funcției de apartenență) 6.. Metoda centroidului (centrul de greutate al suprafeței de subcurbură). ceasta este cea mai populară metodă de defuzzificare. z 6.. Metoda mediei înălțimilor ceastă metodă se poate utiliza numai în cazul ieşirilor cu funcții de apartenență simetrice. 9 5 a b z 6.. Metoda mijlocului maimelor ceastă metodă seamănă cu prima dar se foloseşte în cazurile în care maimul funcției de apartenență nu este unic. a b z

46 6.5. Metoda centrului sumelor ceastă este cea mai rapidă metodă de defuzzificare din cele prezentate aici. cest procedeu implică suma algebrică a ieşirilor individuale numite şi în locul reuniunii lor. Un avantaj al acestei metode este acela că suprafețele de intersecție se adună de două ori z 6 8 z z ceastă metodă este similară metodei mediei înălțimilor cu deosebirea că pentru prezenta metodă înălțimile sunt ale suprafețelor respectiv ale funcțiilor de apartenență în timp ce la metoda anterioară înălțimile erau valori individuale ale funcției de apartență Metoda centrului celei mai mari suprafețe Dacă mulțimea fuzz de ieşire este formată din două subregiuni convee atunci centrul de greutate se calculează utilizând metoda centroidului.

47 6 8 z z unde: este subregiunea conveă care are cea mai mare arie. ceastă condiție se aplică în cazul în care întreaga ieşire este nonconveă. Se ia cazul în care este conveă are aceeaşi valoare dar se determină cu metoda centroidului Metoda primului (sau ultimului) maim ceastă metodă utilizează reuniunea tuturor ieşirilor fuzz individuale celei mai mici valori a domeniului au grade maime de apartenență în. pentru determinarea Prima cea mai mare înălțime în reuniune (notată ): Rezultă primul maim: O alternativă a acestei metode este numită ultimul maim unde: sup = supremum = cel mai mic maim local inf = infimum = cel mai mare minim local primul maim este şi ultimul maim 5

48 6.8. plicații ) O companie de căi ferate pune în funcțiune o nouă linie într o anumită parte a țării. Întreaga zonă traversată de noua linie trebuie să fie cumpărată de la propietarii terenurilor. Pentru analiză zona a fost împărțită în trei suprafețe. Datele provenite din prospectarea pieței sunt prezentate prin mulțimile fuzz şi z[m] z[m] z[m] 8 Cele trei funcții de apartenență reprezintă gradul de incertitudine în fiecare prospecțiune pentru obținerea părții de teren (în m). Dorim să reunim cele trei rezultate astfel încât să găsim cea mai mare lățime de teren pe care o putem obține. a) Metoda centroidului z[m]

49 Obs.: este ecuația dreptei (curbei) pe intervalul respectiv. Integralele de la numitor sunt egale cu ariile figuriilor geometrice respective. E: etc. b) Metoda mediei înălţimilor z[m] c) Metoda mijlocului maimelor z[m]

50 d) Metoda centrului sumelor e) Metoda centrului celei mai mari suprafeţe Prin această metodă se obține tot ca prin metoda centroidului. f) Metoda primului maim şi ultimului maim 8 primul ultimul z[m] ) Multe rafinării prelucrează petrolul. Într o astfel de rafinărie se iau trei probe de petrol pentru a li se testa vâscozitatea. Rezultatele sunt date sub forma mulțimilor fuzz şi definite pe universul normalizat al vâscozităților z 5 z

51 5 5 z a) Metoda centroidului Pentru aplicarea acestei metode se determină reuniunea logică a celor trei mulțimi fuzz şi se calculează. 5 5 z b) Metoda mediei înălţimilor c) Metoda centrului sumelor

52 d) Metoda centrului celei mai mari suprafeţe 5 5 z este cea mai mare arie. Centroidul ei este: e) Metoda primului şi ultimului maim primul i ultimul i 5 5 z

53 7. plicarea logicii fuzz în reglare 7.. Generalități Reglarea fuzz este o versiune simplificată a logicii fuzz prin aceea că în reglarea fuzz se foloseşte o singură metodă de intrare şi reguli dacă atunci. ceste reguli sunt reprezentate printr o relație fuzz binară. Schema de principiu a unui regulator fuzz se poate prezenta astfel: Reguli de bază Fuzificare Defuzificare u Luarea deciziilor Pornind de la această schemă se poate spune că realizarea unui regulator fuzz constă în: a) Realizarea bazei de reguli: care este alcătuită din toate regulile dacă atunci. În premisele regulilor sunt introduse valorile de intrare astfel încât să se poată decide care regulă poate fi utilizată. Ieşirile regulilor care au fost activate sunt puse împreună şi trimise spre interfața de defuzificare. b) Fuzificarea. Intrările nu sunt mulţimi fuzz ci valori reale precise. Deci ele trebuie fuzificate adică trebuie să li se atribuie valori fuzz. ceste valori fuzz se introduc în premisele regulilor dacă atunci. Se determină astfel care regulă poate fi activată împreună cu gradul de apartenență rezultat de la fiecare regulă. cest grad depinde de cât de mult intrarea şi premisele regulii corespund una alteia. c) Luarea deciziei. Regulile care pot fi activate în concordanţă cu interfaţa de fuzificare pot fi activate prin interfața de luare a deciziilor fiecare cu o forță particulară. Forța determină gradul de influență al concluziei unei reguli particulare în concluzia generală a sistemului. În mod obişnuit aceasta se face în felul următor: Să spunem că forța este 6 ; atunci mulțimea de ieşire B este limitată la 6 sau toate gradele de apartenență sunt înmulțite cu 6 adică: Rezultatul acestei operații este o mulțime fuzz cu gradul de apartenență maim limitat. d) Defuzificare. Mulţimea fuzz care trebuie defuzificată are o formă complicată

54 deoarece ea este o combinație de mulțimi cu grade de apartenență limitate aşa cum s a arătat mai sus. Scopul interfeței de defuzificare este de a găsi o singură valoare reală precisă u care să cuprindă mulțimea fuzz de ieşire. 7.. Definirea prin funcții de apartenență a variabilelor de intrare şi de ieşire Primul lucru care trebuie făcut în reglarea fuzz este definirea domeniilor de intrare şi ieşire. Pentru o variabilă fuzz care să ia 7 valori fuzz atât negative cât şi pozitive se pot introduce 7 mulțimi fuzz: negativ mult NB negativ mediu NM negativ puțin NS aproimativ zero ZE pozitiv puțin PS pozitiv mediu PM şi pozitiv mult PB care se pot avea diverse forme ca în figură. M NB NM NS PS PM PB În acelaşi mod se pot defini 5 valori fuzz : NB NS ZE PS PB sau respectiv trei: negativ NG aproimativ zero ZE şi pozitiv PO. O împărțire mai fină a intervalului pentru o variabilă fuzz adică utilizarea a mai mult de 7 valori fuzz nu aduce nici o ameliorare a comportamentului dinamic al reglării. Din contră o astfel de alegere complică formularea regulilor de inferență. Funcțiile de apartenență pot fi simetrice şi distribuite într o manieră echilibrată cu acoperire unitară. În figura următoare sunt prezentate diferite forme posibile pentru funcțiile de apartenență. NB NM M Z E PM PB a) 5 5 NB NE M Z E PE PB b) 5 5

55 NB NE M Z E PE PB c) 5 5 ceastă reprezentare se recomandă să se aleagă pentru o primă analiză ea urmând a fi schimbată după caz odată cu modificarea strategiei de reglare. Pentru obținerea unui comportament optim în reglare în final se poate ajunge să se utilizeze funcții de apartenență nesimetrice şi cu o distribuție neechidistantă chiar şi cu factor de acoperire variabil. Trebuie să se evite lacunele sau spațiile goale între funcțiile de apartenență vecine deoarece acestea provoacă zone moarte de neintervenție a regulatorului ceea ce conduce adesea la instabilitatea reglării. NB NB M Z E PE PB De O posibilă regulă de alegere ar fi ca funcțiile de apartenență să se întrepătrundă cu 5%. De asemenea trebuie să se evite zonele cu grade de apartenență lipite una de alta. ceasta conduce la o aplatizare a caracteristicilor regulatorului. NB NB M Z E PM PB De

56 7.. Descrierea inferenței Strategia de reglare include ca element esențial metoda de inferență adoptată. Ea leagă mărimile de intrare măsurate care sunt variabile de intrare fuzz (transformate în variabile lingvistice prin fuzzficare) de variabila de ieşire u eprimată şi ea lingvistic. Descrierea inferenței se poate face lingvistic simbolic prin matricea de inferență sau tabelă de inferență. Descrierea lingvistică a unei reguli constă în faptul că fiecare regulă are o premisă în care apare o condiție precedată de simbolul dacă şi o concluzie în care apare o operație o acțiune precedată de simbolul atunci. În cazul mai multor reguli acestea se leagă prin conjuncția sau. e : Dacă ( este negativ mult şi este zero atunci u este pozitiv mult) sau Dacă ( este negativ mult şi este pozitiv mediu atunci u este pozitiv mult) sau... Descrierea lingvistică a interfeței este în general mai greoaie. Descrierea simbolică se obține prin simplificarea scrierii. Valorile fuzz sunt utilizate prin simbolurile lor : e: Dacă ( şi ) atunci sau Dacă ( şi ) atunci sau... Descrierea simbolică este mai compactă şi în consecință este caracterizată de o mai mare claritate. Descrierea prin matricea de inferență se obține cu ajutorul unei reprezentări grafice numite matrice de inferență bază de reguli sau tabel de reguli. e: u NB NM ZE PM ZE NB PB PM NM PM ZE ZE PB PM ZE PM PM ZE NM PM NM NB

57 La intersecția unei coloane cu o linie se găsesc valorile fuzz ale variabilei de ieşire u legate de valorile variabilelor de intrare şi. Variabilele de ieşire sunt legate prin operatorul şi iar regulile sunt combinate prin operatorul sau pentru a obține variabila de ieşire. Dacă toate pozițiile matricei sunt complete se vorbeşte de reguli de inferență incomplete. Pentru sectoarele în care nici o regulă de inferență nu este definită se obține totuşi o valoare bine determinată pentru semnalul de ieşire prin defuzificare. La limită această valoare poate fi zero. Dacă eistă mai mult de două variabile trebuiesc jutapuse mai multe matrici de inferență. cest gen de descriere devine complicat când sunt mai mult de trei variabile de intrare şi dacă acestea sunt împărțite în mai multe valori fuzz. Descrierea prin tabelă de inferență este o altă posibilitate de descriere care se pretează în particular pentru un număr ridicat de variabile lingvistice în special la sistemele multivariabile cu mai multe ieşiri. e: Regula nr. Intrări Ieşiri NB ZE NB PB NB NG ZE ZE PB NB NB ZE PB ZE NB 7.. Metode de inferență utilizate în reglarea fuzz Eistă mai multe posibilități de a realiza operațiile de inferență care se aplică funcțiilor de apartenență. Metoda de inferență precizează cum sunt utilizați diferiți operatori într o inferență permițând prelucrarea numerică cu calculatorul. Pentru reglarea fuzz se utilizează în general una din metodele următoare: metoda ma min metoda ma produs sau metoda sumă produs. ceste metode permit tratarea numerică cu calculatorul a inferenței. În continuare se prezintă pe larg printr un eemplu prima metodă. Metoda de inferență ma min realizează la nivelul premisei operatorul sau prin formare cu maim de operatorul şi prin formare cu minimum. Concluzia din fiecare regulă introdusă prin atunci leagă gradul de apartenență cu funcția de apartenență a variabilei de ieşire u prin operatorul şi realizat în acest caz prin formare cu minim. În sfârşit operatorul sau care leagă diferitele reguli este realizat prin formare cu maim. Principiul metodei ma min este prezentat grafic în figura următoare:

58 Dacă şi atunci NB ZE PB 67 NB ZE PB NB ZE PB Răspuns regula min min sau ma NB ZE PB NB ZE PB 67 min NB ZE PB 67 ma Răspuns regula Dacă sau atunci Răspuns regula NB ZE PB ma Răspuns regula Răspuns rezultat Premisa C : ( şi ) pentru prima regulă fuzz pentru valorile reale nefuzz ale mărimilor de intrare şi care au gradele de apartenență şi ia gradul de apartenență (minimul dintre cele două valori datorită operatorului şi. Funcția de apartenență pentru variabila de ieşire are gradul (datorită formării minimului legat de atunci ). Funcția de apartenență parțială este pusă în evidență printr o linie îngroşată.