Poglavje 1. Posebna teorija relativnosti. 1.1 Zakaj klasična fizika ni dobra

Transcript

1 Poglavje 1 Posebna teorija relativnosti Dvajseto stoletje je v fiziko prineslo dve revoluionarni novosti: Einsteinovo teorijo relativnosti in kvantno fiziko. Tako danes pravimo fiziki do kona 19. stoletja klasična fizika, relativistični in kvantni pojavi pa tvorijo moderno fiziko. To nikakor ne pomeni, da klasična fizika ni več uporabna, nasprotno, tudi v 0. stoletju je bilo z njo mogoče razložiti mnogo novih pojavov. 1.1 Zakaj klasična fizika ni dobra Ob konu 19. stoletja,po odkritju Maxwellovih enačb elektrodinamike in elektromagnetnih valov, so se v fiziki pokazale določene težave. Hitrost svetlobe je v Maxwellovih enačbah konstanta, neodvisna od opazovalnega sistema. Po tedanjih izkušnjah z valovanji, kot so zvok, velja za hitrost valovnih čel, to je fazno hitrost, isto kot za hitrost delev: če je hitrost valovanja v izbranem inerialnem opazovalnem sistemu S enaka, mora biti v sistemu S, ki se glede na S giblje v pozitivni smeri s hitrostjo v 0, hitrost valovanja v 0. Vsa do tedaj znana valovanja so se širila po nekem sredstvu, zato so tudi za svetlobo predpostavljali, da se širi po etru, nekakšnem idealnem elastičnem mediju, skozi katerega se snovna telesa gibljejo brez upora. (V današnjem času se nam morda zdi to pojmovanje elo manj čudno kot v večjem delu dvajsetega stoletja: kozmologi so v zadnjih nekaj letih preej trdno prepričani, da je večina mase vesolja v obliki, ki z običajno snovjo ne sodeluje. To seveda z 1

2 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI etrom nima zveze.) Že Maxwell je razumel, da naj bi bilo načeloma mogoče hitrost Zemlje glede na eter meriti z merjenjem hitrosti svetlobe, vendar je menil, da bi bila zaradi zelo velike hitrosti svetlobe potrebna nedosegljivo velika natančnost. Albert Mihelson pa se je meritve vseeno lotil. Izumil je nov interferometer, ki se danes nosi ime po njem in z njim izvedel poskus, s katerim je lahko dosegel potrebno natančnost. Mihelsonov interferometer Enobarvna svetloba (rumena svetloba natrijeve svetilke) pada na polprepustno zralo in se na njem razdeli na dva kraka dolžine L. Na končnih zralih se žarka odbijeta in se po poprepustnem zralu zopet združita. Če se faza obeh delnih valov na detektorju razlikuje za mnogokratnik π, zaznamo interferenčni maksimum, sier je signal manjši. Prepostavimo, da se Zemlja in z njo interferometer giblje glede na eter s hitrostjo v 0 v vodoravni smeri na skii. Tedaj bi morala svetloba za pot do vodoravnega zrala in nazaj do polprepustnega zrala porabiti

3 1.1. ZAKAJ KLASIČNA FIZIKA NI DOBRA 3 v0 čas t 1 = Slika 1.1: L + L = L v 0 + v v 0 Hitrost Zemlje okoli Sona je priblïžno km/s= 10 4, tako da lahko imenovale razvijemo: t 1 = L 1+ v 0 Relativno podaljšanje časa preleta je le Tudi v prečnem kraku moramo upoštevati, da se inteferometer giblje glede na eter. Hitrost potovanja svetlobe v pravokotni smeri je tako (glej skio) = v 0 in je čas preleta do prečnega zrala in nazaj t = L = L 1 = v 0 L 1+ 1 v0

4 4 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI Razlika časov preleta je tako t t 1 = δt = L v 0 Fazna razlika med obema žarkoma na detektorju je πνδt=π L λ v 0 Mihelson je z dodatnimi zrali v obeh krakih dosegel, da je bila dolžina poti L =11m,valovnadolžina je bila m, kar da fazno razliko 0, 4 π ali 0, interferenčne proge. Pri gornjem računu smo privzeli, da sta oba kraka enako dolga, kar je bilo s potrebno natančnostjo težko doseči. Mihelson se je tej zahtevi izognil tako, da je med opazovanjem interferometer zavrtel za 90 o. S tem sta se vlogi obeh krakov zamenjali in Mihelson je pričakoval, da se bo interferenčni vzore premaknile za 0,4 proge, kar bi zlahka opazil. Vendar je bil rezultat meritve negativen, proge se sploh niso premaknile. Mihelsonov poskus, ki je bil kasneje z boljšo natančnostjo večkrat ponovljen, kaže presenstljivo dejstvo, da hitrost svetlobe ni odvisna od gibanja opazovala. Na to, da pri hitrostih, ki so primerljive s hitrostjo svetlobe, ne veljajo več klasične predstave, kažejo tudi drugi, kasnejši poskusi. Na tem mestu omenimo le dva. Nestabilni elementarni deli razpadajo z razpadnim časom, ki je značilen za dane dele. Vendar deli, ki razpadajo in se pri tem gibljejo z veliko hitrostjo, živijo dlje kot isti deli, kadar ti mirujejo ali se gibljejo le počasi. To napeljuje na misel, da je nekaj narobe s kalsičnim pojmovanjem časa, ki naj bi tekel v vseh (inerialnih) opazovalnih sistemih enako. Pri pospeševanju elektronov z napetostjo blizu milijon voltov so opazili, da končna hitrost ni eu/m, kotpričakujemo po Newtonovi mehaniki, temveč manj in se asimptotično približuje.

5 1.. EINSTEINOVI POSTULATI IN POSLEDICE 5 1. Einsteinovi postulati in posledie Einsteina je pri uvedbi posebne teorije relativnosti, ki pomeni povsem novo pojmovanje prostora in časa, vodilo predvsem nasprotje med zahtevo, da morajo biti zakoni fizike enaki v vseh inerialnih opazovalnih sistemih, in Maxwellovimi enačbami, po katerih je hitrost svetlobe konstanta, kar bi bilo po klasičnih predstavah možno le tako, da bi Maxwellove enačbe veljale le v posebnem sistemu, ki miruje glede na nekakšen eter. Na Mihelsonov poskus se niti ni kaj dosti naslanjal. Tako je postavil dve zahtevi ali postulata: 1. Hitrost svetlobe je v vseh inerialnih sistemih enaka.. Zakoni fizike imajo v vseh inerialnih sistemih enako obliko. Druga zahteva je enaka kot v kalsičnifiziki,prvapajevskladutako z Mihelsonovo meritvijo kot z Maxwellovimi enačbami. Videli bomo, da so njene posledie zelo daljnosežne: prisilijo nas, da privzamemo novo pojmovanje prostora in časa Podaljšanje časa Vklasični fiziki je čas univerzalni parameter, ki teče v vseh opazovalnih sistemih in po vsem prostoru enako. Pokažimo, da zaradi gornjih zahtev čas ne more tečivvsehsistemihenako. Zamislimo si napravo, nekakšno uro, kijokaže spodnja skia. Izvor odda svetlobni sunek, ki se odbije od zrala in se vrne do detektorja. Čas, ki ga porabi za prelet, lahko vzamemo za časovno enoto. Če želimo, lahko napravo dopolnimo, da deluje kot običajna ura. Vsakič, ko detektor zazna odbiti sunek, sproži izvor, da odda nov sunek. S štetjem sunkov tako merimo čas. V inerialnem sistemu S, v katerem naprava miruje, je čas preleta t 0 = L 0 Vzemimo sedaj enako uro v sistemu S,kisegibljevdesnoshitrostjov 0 glede na S. ZaopazovalavS se je v času t/, ki ga sunek potrebuje,

6 6 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI zralo L 0 izvor detektor Slika 1.: da pride do zrala, to premaknilo za tv 0 /. hitrost svetlobe v S tudi, zatoje t = L 0 + tv 0 Od tod izračunamo čas preleta t = L 0 Po prvem postulatu je 1 1 v 0 (1.1) Povsem enaka ura, ki miruje v S, torej teče za opazovala v S za faktor γ 0 = 1 v 0 počasneje kot ura, ki miruje v S. Videli bomo, da γ 0 nastopa v mnogih izrazih relativnostne teorije, zato smo vpeljali poseben simbol. Zdi se sier, da smo pojav podaljšanja časa dobili za merjenje z neko posebno uro, vendar poskusi kažejo, da velja za vsako uro.čas, ki ga kaže ura v sistemu, v katerem miruje, imenujemo lastni čas te ure. Primer, ki daje neposredno potrditev izraza za podaljšanje časa, je razpad osnovnih delev pionov v mirovanju in v letu. V mirovanju je

7 1.. EINSTEINOVI POSTULATI IN POSLEDICE 7 L 0 t v 0 / Slika 1.3: povprečni razpadni čas pionov τ =, s. Pionom, ki so nastali v tarči pospeševalnika protonov, so s časom preleta izmerili hitrost, m/s in razpadni čas v letu τ =6, s. Razmerje razpadnih časov je bilo,45, iz hitrosti izračunani faktor γ 0 pa,46, kar se lepo ujema s formulo za podaljšanje časa. 1.. Skrčenje dolžin Druga posledia Einsteinovih postulatov je, da razdalja med dvema točkama v S in S ni enaka. To spet lahko pokažemo z našo svetlobno uro. Obrnimo uro v S za 90 o. Najprej privzemimo, da je razdalja med izvorom in zralom za opazovala v S še vedno L 0.Včasu t 1 potovanja svetlobnega sunka do zrala se je to premaknilo za v 0 t 1,takodaje čas potovanja nazaj pa Tako bi bil čas preleta t = t 1 + t = L 0 t 1 = L 0 + v 0 t 1 t = L 0 v 0 t 1 1 v v = L v 0

8 8 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI Dobili smo, da bi bil faktor podaljšanja časa za tako obrnjeno uro γ0, kar ni v skladu s prejšnjim dognanjem in meritvami. Kako ura teče, tudi ne sme biti odvisno od njene orientaije. Tako moramo ugotoviti, da dolžina ure vzdolž smerigibanjazaopazovalavs ni L 0,temvečse skrajša na L = L 0 γ 0 = L 0 1 v0 (1.) To je pojav skrčenja dolžin. Ker razsežnih teles ne moremo pospešiti do hitrosti, primerljive s svetlobno, ga ni mogoče preveriti z neposrednimi meritvami, kaže pa, da je tudi razdalja odvisna od tega, v katerem opazovalnem sistemu jo merimo. Razdalji med dvema točkama v sistemu, v katerem točki mirujeta, pravimo lastna dolžina. Pri obeh pojavih, podaljšanju časa in skrčenju dolžin, sta sistema S in S povsem enakopravna. Ura v S teče počasi za opazovala v S, obratno pa ura, ki miruje v S, teče počasi za opazovala v S. To je vidno iz tega, da je γ 0 odvisen le od v 0 in je seveda v skladu z zahtevo, da morajo biti vsi inerialni sistemi enakovredni. 1.3 Lorentzova transformaija Obe dosedanji posledii Einsteinovih postulatov sta povezani z opazovanji v različnih inerialnih opazovalnih sistemih. Poglejmo sedaj, kakšna je splošnatransformaijakoordinat pri prehodu iz enega sistema v drugega. Vemo, da za prehod med inerialnim sistemom S in inerialnim sistemom S, ki se giblje glede na S s hitrostjo v 0 vsmeriosix,v klasični fiziki velja Galilejeva transformaija (privzamemo, da ob t = 0 izhodišči sovpadata) x = x v 0 t (1.3) y = y z = z t = t Čas se seveda v klasični fiziki nikoli ne transformira in smo zadnjo enačbo dodali, ker že vemo, da se v relativistični fiziki tudi čas trans-

9 1.3. LORENTZOVA TRANSFORMACIJA 9 formira. Galilejeva transformaija je linearna. Med najosnovnejšimi predpostavkami fizike je homogenost prostora, to je, da je prostor povsod enak. Zato mora biti vsaka transformaija med inerialnimi opazovalnimi sistemi linearna. Iščemo tako transformaijo, ki bo zadoščala Einsteinovim zahtevam. Obenem vemo, da je za majhne hitrosti dobra Galilejeva transformaija, zato poskusimo z novo transformaijo koordinat oblike x = α (x v 0 t) y = ηy z = ηz Sistema S in S morata biti po drugem postulatu enakovredna, zato mora imeti obratna transformaija enako obliko. Koefiient α mora biti funkija v 0,kiimapriv 0 = 0 vrednost 1, zato mora biti soda. Tako je obratna transformaija x = α (x + v 0 t ) y = ηy z = ηz Ker mora biti y = ηy = η y, je η = ±1. Pri majhnih hitrostih mora veljati Galilejeva trasnformaija, tako da mora biti η = 1.. Izračunajmo t iz izraza za x in vstavimo še izraz za x,padobimo t = 1 v 0 x α x = x αv 0 α x v 0 + αt= α t α 1 x α v 0 α ne more biti 1, ker bi s tem dobili nazaj Galilejevo transformaijo. S tem smo dobili tudi enačbo za transformaijo časa, ugotoviti moramo le še, kakšen je koefiient α. Mislimo si, da se ob času t = t =0v izhodišču izseva svetlobni blisk. V S bo čez čas t dosegel točko x = t, v S pa x = t. Tu smo uporabili zahtevo, da je hitrost svetlobe v obeh sistemih enaka. Uporabimo še transformaijski pravili za x in x in dobimo t= α (x + v 0 t )=α ( + v 0 ) t in t = α (x v 0 t)=α ( v 0 ) t

10 10 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI Postavimo t iz druge enačbe v prvo, pa lahko izračunamo 1 α = 1 = γ 0 v 0 α je torej kar γ 0, kar bi po izrazu za podaljšanje časa lahko tudi uganili. Tako smo dobili Lorentzovo transformaijo za prehod med dvema inerialnima sistemoma: t = γ 0 t v 0 x (1.4) x = γ 0 (x v 0 t) y = y z = z Ker je hitrost S glede na S enaka v 0, dobimo obratno transformaijo tako, da zamenjamo v 0 z v 0. Dobljeno transformaijo je odkril Hendrik Lorentz leta Ugotovil je, da so Maxwellove enačbe invariantne na to transformaijo, to je, ohranjajo enako obliko. Ker je po njih tudi hitrost svetlobe enaka, zadoščajo Einsteinovim postulatom in so relativistično pravilne. Lorentz je še trdno verjel v eter in je smatral, da je transformaija le matematična posebnost Maxwellovih enačb in je ni povezal z lasnostmi prosotra in časa. To je storil šele Einstein leta Pojavu, ki se zgodi na danem mestu ob danem času, to je četvorki (t, x, y, z), rečemo dogodek. Iz Lorentzove transformaije sledita pojava podaljšanja časa in skrčenja dolžin. Naj ura miruje v S na mestu x. Časovniinterval t je v S po obratni Lorentzovi transformaiji t = γ 0 t + v 0 x Ker ura v S miruje, je x =0inje t = γ 0 t torej se časovni interval v S podaljša, kot smo že ugotovili. Kaj pravzaprav to pomeni, si lahko nekoliko pojasnimo s primerom. Opazovala v

11 1.3. LORENTZOVA TRANSFORMACIJA 11 S in S se dogovorita, da bo ura, ki miruje v izhodišču S, eno sekundo (t 0)potem,kostaizhodišči sovpadali in sta uri v obeh izhodiščih kazali čas 0, oddala svetlobni signal. Opazovale v izhodišču S zazna signal, ko njegova ura kaže t 1 = γ 0 t 0 + v 0 t 0 Upoštevati smo morali, da je ura v S prepotovala razdaljo v 0 t 0. Tako je t 1 = γ 0 t 0 1+ v 0 = t 1+ v v (1.5) 0 Temu rezultatu bomo nekoliko kasneje lahko dali še drug pomen. Tudi skrčenje dolžin lahko obravnavamo z Lorentzovo transformaijo. Vzemimo palio dolžine L 0, ki miruje v S. Najprej moramo ugotoviti, kako je določena dolžina palie v S. Vklasični fiziki, kjer je čas enak v vseh inerialnih sistemih, s tem ni bilo težav, razlika koordinat ob istem času je pri Galilejevi transformaiji neodvisna od koordinatnega sistema. Relativistično dobimo razdaljo med dverma dogodkoma kot razliko prostorskih koordinat ob istem času v izbranem koordinatnem sistemu. Po Lorentzovi transformaiji je x = γ 0 (L 0 + v 0 t ) t = γ 0 t + v 0 L 0 Če naj x predstavlja dolžino palie v S, mora biti t = 0 in je t = v 0 L 0. Od tod dobimo že znani rezultat Sočasnost L = γ 0 L 0 1 v 0 = L 0 γ 0 Pomembna posledia Lorentzove transformaije, ki je tuja naši intuiiji, je relativnost sočasnosti dveh dogodkov. Dva dogodka (t 1,x 1,y 1,z 1 )in (t,x,y,z ) sta v sistemu S sočasna, če je t = t t 1 = 0. V sistemu S je t = γ 0 t v 0 x

12 1 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI Če imata dogodka različni koordinati x, je t = 0, v sistemu S dogodka nista sočasna Transformaija (seštevanje) hitrosti Pri Galilejevi transformaiji velja za hitrost v gibajočem se sistemu v x = v x v 0 in v y = v y. Poglejmo, kako se transformirajo komponente hitrosti pri Lorentzovi transformaiji. v x = dx dt v y = dy dt = v z = dz dt = = γ 0 (dx v 0 dt) γ 0 dt v 0 dx = v x v 0 1 v 0v x dy γ 0 dt v 0 dx = dz γ 0 dt v 0 dx = v y (1.6a) (1.6b) γ 0 1 v 0 v x v z γ 0 1 v 0 v x (1.6) Upoštevati smo morali, da se tudi dt transformira. Zato so izrazi za transformirane komponente hitrosti bolj zapleteni in se spremenijo tudi prečne komponente. Obratna transformaija v x = v x + v 0 1+ v 0v x kaže, da hitrost v nobenem inerialnem sistemu ne more preseči Dopplerjev pojav Poglejmo, kako se spremeni frekvena svetlobe, ki jo oddaja izvor I, za opazovala O,kimirujevS in se giblje glede na izvor I shitrostjo v 0 vsmeriosix. Izvor v sistemu S, v katerem miruje, odda v nekem časovnem intervalu N = ν t valov. Število izsevanih valov v ustreznem intervalu t v S mora biti enako. V S se je medtem izvor premaknil za v 0 t,takodaje = λ = (v 0 + ) t ν N = (v 0 + ) t ν t

13 1.3. LORENTZOVA TRANSFORMACIJA 13 v 0 Dt Dt I O N valov Ker je t = γ 0 t, je 1 = γ ν 0 1+ v 0 Slika 1.4: 1 ν = 1 ν 1+ v 0 1 v 0 To lahko zapišemo tudi v obliki ν = γ 0 1 v 0 ν (1.7) V skladu z zahtevo, da so vsi opazovalni sistemi enakovredni, je vseeno, ali se giblje izvor ali opazovale, pomembna je le relativna hitrost. Pri zvoku, ki se širi po zraku, ni tako. Dobljeni izraz smo pravzaprav izpeljali že pri obravnavi vprašanja, po kolikšnem času zazna mirujoč opazovale signal, ki ga je oddala ura, ki se giblje. Pri hitrosti, ki je majhna v primerjavi s svetlobno, je γ 0 1inje ν = 1 v 0 ν. Oglejmo si Dopplerjev pojav nekoliko bolj splošno. Naj izvor v S oddaja ravno valovanje v smeri θ glede na os x. Zanima nas, kakšna je frekvena in smer valovanja v S.VSzapišemo električno polje E = E 0 sin (k x x + k y y ωt)=e 0 sin (kx os θ + ky sin θ ωt)

14 14 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI v S pa E = E 0 sin k x x + k yy ω t = E 0 sin (k x os θ + k y sin θ ω t ) Velja seveda k = ω/ in k = ω /. Z uporabo Lorentzove transformaije izrazimo x in t v prvem izrazu z x in t. Kako se transformira amplituda polja E 0, nas trenutno ne zanima. Tako je E = E 0 sin k x γ 0 (x + v 0 t )+k y y ωγ 0 = E 0 sin t + v 0 x γ 0 k x v 0 ω x + k y y γ 0 (ω v 0 k x ) t Število vseh valov, ki jih izseva izvor, mora biti enako v obeh opazovalnih sistemih. Zato mora biti tudi faza, to je argument sinusa, v obeh sistemih enaka. Sledi, da morata biti v zadnjem izrazu koefiienta pred x in t enaka k x in ω. Tako imamo pravila za transformaijo (krožne) frekvene in komponent valovnega vektorja ω = γ 0 (ω v 0 k x ) (1.8a) kx = γ 0 k x v 0 ω (1.8b) ky = k y (1.8) kz = k z Ta pravila imajo skoraj enako obliko kot Lorentzova transformaija koordinat. Ker je k x = k os θ in k = ω/, je frekvena za opazovala v S ω = γ 0 (ω v 0 k os θ) =γ 0 ω 1 v 0 os θ kar je posplošitev izraza za Dopplerjev pojav, kadar se valovanje v S širi pod kotom θ glede na os x. Zanimivo je, da zaradi faktorja γ 0 dobimo Dopplerjev premik tudi za širjenje pravokotno na smer gibanja opazovala: ω = γ 0 ω. Temu pravimo transverzalni Dopplerjev pojav. Ugotovimo še, kako se v S spremeni smer širjenja valovanja. Ker je ky = k y,jeω / sin θ = ω/ sin θ in je sin θ sin θ = γ 0 1 v 0 os θ =

15 1.4. RELATIVISTIČNA GIBALNA KOLIČINA 15 Odvisnost kota opazovanja od hitrosti opazovala je mogoče opaziti v astronomiji, kjer se navidezni položaj zvezd spreminja z letnim časom. Pojavu zato pravijo zvezdna aberaija. 1.4 Relativistična gibalna količina Doslej smo obravnavali le posledie Lorentzove transformaije za osnovne lastnosti prostora in časa. V fiziki nas seveda zanimajo predvsem zakoni gibanja. V klasični fiziki je to Newtonov zakon, iz katerega izpeljemo izrek o gibalni količini in izrek o energiji. Gibalna količina in energija sta dve najosnovnejši fizikalni količini. Poglejmo, kako ju moramo definirati v relativistični fiziki. Začnimo z gibalno količino. Obravnavajmo trk dveh enakih krogel. VsistemuS se pred trkom gibljeta s hitrostma v in v vsmerix, po trku pa z enako velikima hitrostma odletita v smeri ois y, kotkaže skia. Poskusimo najprej s klasičnim izrazom za gibalno količino 1 v v -v 1 -v Slika 1.5:

16 16 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI S v k1 v x v k Slika 1.6: p =m v. Pri trku se gibalna količina ohrani, kar smo pri opisu trka v S že upoštevali. V sistemu S najkrogla1miruje,kroglapaima začetno hitrost vx. Hitrost sistema S je torej v 0 = v. Po pravilih za transformaijo hitrosti je Končnihitrostivsmerix sta v x = v 1+ v vk1x = vkx = 0+v 1+ 0 v = v Gibalna količina v S vsmerix je pred trkom p x = mv 1+ v po trku pa p kx =mv Po starem definirana gibalna količina se torej v S ne ohrani, če se ohrani v S.

17 1.4. RELATIVISTIČNA GIBALNA KOLIČINA 17 Zakon o ohranitvi gibalne količine je tako pomemben, da si fiziko brez njega težko predstavljamo. Zato poskusimo popraviti definiijo: 1 p = m v =γmv (1.9) 1 v Nova definiija se pri majhni hitrosti ujema s staro. Faktor γ je po obliki enak kot γ 0, ki nastopa v Lorentzovi transformaiji, le da v njem nastopa hitrost dela, ne pa koordinatnega sistema. Večkrat v enačbah nastopata oba faktorja in tedaj je treba paziti na razliko med hitrostjo sistema in hitrostjo dela, ki ga obravnavamo. Preizkusimo, ali se na novo definirana gibalna količina ohranja v vseh koordinatnih sistemih, če se v enem. Razmere v S so enake kot prej. Komponente hitrosti v smeri x vsistemus pred in po trku smo že izračunali. Pred trkom je komponenta gibalne količine p x = = mv = 1+ v 4 v 1 (1+v / ) mv = mv 1+ v + v4 4v / 1 v 4 Po trku je v ky = v k1y. V sistemu S je končna hitrost v k1y = v, tako da je po 1.6a v k1y = ker je v kx = 0. Po trku je v = v = γ 0 1+ vv kx γ 0 p mv kx = = 1 v x +vy mv = 1 v + v4 4 v 1 v mv 1 v v (1 v / ) = mv 1 v Z novo definiijo se torej gibalna količina ohranja v obeh sistemih. Izraz 1.9 privzamemo za definiijo relativistične gibalne količine. =

18 18 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI 1.5 Energija Klasična kinetičnaenergijajew k = 1 mv. Poglejmo spet, kako se tako definirana energija obnaša pri trku v prejšnjem oddleku. V sistemu S je energija obeh krogel pred in po trku očitno enaka. V S je pred trkom po trku pa W k = mv 1+ v 1 m vkx + vky = m v + v γ 0 =mv v Spet se klasično definirana kinetična energija v S ne ohrani. Kako je treba popraviti definiijo energije, je bolj zapleteno kot v primeru gibalne količine. Sponimo se, da je po izreku o energiji sprememba kinetične energije dela enaka delu vseh sil, ki na dele delujejo. Dele naj se giblje le v smeri osi x: W = x x 1 Fdx V Newtonovi mehaniki je F = dp. Poskusimo ohraniti to zvezo, le da dt za gibalno količino uporabimo novi relativistični izraz 1.9. Ali je to pravilno ali ne, nam lahko pove le eksperiment. Tedaj imamo za spremembo energije x dp W = x 1 dt dx = p vdp p 1 Iz p = mv/ 1 v / sledi v = p p + m in p W = = p 1 pdp p + m = p + m p 1 + m

19 1.5. ENERGIJA 19 Če je začetna hitrost 0, je W ravno kinetična energija: W k = p + m m (1.10) Členu m pravimo mirovna energija, W = p + m (1.11) pa polna energija. Z uporabo izraza 1.9 za gibalno količino izrazimo polno energijo v obliki W = v m v + 1 = (1.1) = m = γm (1.13) 1 v Dokler imamo opravka le z enim nesestavljenim delem, je mirovna energija konstanta, sorazmerna z maso dela. Klasično se masa nesestavljenih delev in sistemov več delev ohranja, nekoliko kasneje pa bomo videli, da je v relativistični fiziki to ni več nujno. Spet lahko preizkusimo, ali se na novo definirana polna energija pri trku ohranja tudi v S. Pred trkom je W = m + m = 4 v 1 (1+v / ) po trku pa v 1+ = m 1 v + m = m 1 v W = = m = 1 v kx +v ky m = 1 v v 1 v m 1 v

20 0 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI PolnaenergijasetorejohranjavS in S. Nova definiija polne in kinetične energijejevidetipreejdurgačna odstare. Poglejmo,daseprimajhnihhitrostihobaizrazazakinetično energijo ujemata: W k = m 1 v m = m = 1 mv 1+ 1 v +... m = Večkrat imamo opravka tudi z deli, katerih kinetična energijaje dosti večja od mirovne. Tedaj lahko v izrazu 1.11 pod korenom zanemarimo člen m in dobimo ultrarealtivistični približek W = p, W >>m Primer: Elektron pospešimo z napetostjo 0 MV. Kolikšna je njegova hitrost, polna energija in gibalna količina? Najprej vpeljimo mero za energijo delev, ki je za mikroskopske dele zelo priročna. Čedelezosnovnimnabojeme 0 pospešimo z napetostjo1v, dobitočno določeno energijo, ki ji rečemo 1 elektronski volt, 1eV=1, J. Kinetična energijapospešenega elektrona je 0 MeV. Mirovna energija je m e = 514 kev, tako da je polna energija W =0,5 MeV in γ =41. Velja v = 1 γ γ 1 Ker je γ>>1, lahko koren razvijemo in je v =1 1 γ =0.997 Gibalna količina je p = γmv = γm m γ = = γm 1 1 γ Če torej za elektron z kinetično energijo 0 MeV uporabimo ultrarelativistični približek, je relativna napaka

21 1.5. ENERGIJA Transformaija gibalne količine in energije Poglejmo,kakosepriprehoduizsistemaS vsistems, ki se giblje s hitrostjo v 0, transformirata p in W.Imamo p = W = 1 m v = γ m v 1 v m = γ m 1 v Potrebujemo γ. Z uporabo pravil za transformaijo hitrosti 1.6a dobimo γ = = = 1 v x + vy 1 1 (v x v 0 ) 1 v x v 0 = 1 vxv 0 1 v 1 v 0 = γ 0γ v y (1 v 0/ ) 1 v x v 0 1 v xv 0 1 = Tako je W = γ 0 γm 1 v xv 0 = γ 0 (W v 0 p x ) p x = γ 0 γm(v x v 0 )=γ 0 p x v 0 W p y = γ 0 γ mv y p z = p z γ 0 = p y Transformaija energije in gibalne količine je skoraj enaka kot Lorentzova tarsnformaija koordinat.

22 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI 1.6 Vektorji četveri in štirirazsežni prostorčas Videli smo, da se poleg koordinat z Lorentzovo trasformaijo transformirajo tudi gibalna količina z energijo in valovni vektor s frekveno. To se povsem jasno vidi, če vse tri transformaije zapišemo v nekoliko popravljeni obliki, tako da imajo vse količine, ki se trasnformirajo skupaj, enake enote: t = γ 0 t v 0 x x = γ 0 x v 0 t y = y z = z W W = γ 0 v 0 p x p x = γ 0 p x v 0 W p y = p y (1.14) p z = p z ω ω = γ 0 v 0 k x kx = γ 0 k x v 0 ω ky = k y k z = k z V vseh treh primerih se skupaj transformirajo komponente vektorja v trirazsežnem prostoru in še ena količina, to je čas, energija ali frekvena. Tvorimo lahko četverie (t,x,y,z), (W/, p x,p y,p z )in(ω/, k x,k y,k z ), ki jim pravimo vektorji četveri. Tvorijo štirirazsežen vektorski prostor. Pri prehodu iz enega inerialnega sistema v drugega se transformirajo

23 1.6. VEKTORJI ČETVERCI IN ŠTIRIRAZSEŽNI PROSTOR-ČAS3 z Lorentzovo transformaijo. Prvi komponenti pravimo časovna komponenta, naslednjim trem, ki so vedno komponente trirazsežnega vektorja iz običajnega trirazse nega prostora, pa prostorske komponente. Čertvere pogosto imenujemo po njegovem krajevnem delu, na primer četvere kraja ali gibalne količine, namesto kraja in čas ali gibalne količine in energije. Kaj je časovna komponenta danemu trirazsežnemu vektorju, seveda ni poljubno, ampak je določeno z Lorentzovo transformaijo. Ni tudi nujno, da je vsaka fizikalna količina, ki tvori trirazsežni vektor, del četvera. Električno in magnetno polje sta na primer dela štirirazsežnega tenzorja, to je matrike. Za vektor hitrosti tudi že vemo, da ni del četvera, saj se ne transformira po Lorentzovi transformaiji. To razumemo tudi drugače: hitrost dobimo tako, da krajevni del četvera delimo z časovnim delom, to pa seveda ne more biti večvektor. Komponente četverev označujemo z grškimi indeksi z vrednostjo od 0 do 4.Tako lahko zapišemo na primer četvere položaja (t,x,y,z)= x 0,x 1,x,x 3 = x µ in četvere gibalne količine p µ = p 0,p 1,p,p 3 W =,p x,p y,p z Lorentzovo transformaijo lahko v prostoru četverev zapišemo v obliki matrike. Za manj pisanja vpeljimo oznako β 0 = v 0 /. Matrika transformaije je L= γ 0 γ 0 β γ 0 β 0 γ Z njo lahko trnsformaijo v sistem S zapišemo (1.15) x µ = ν L µν x ν (1.16) Seštevanje po dveh indeksih je zelo pogosto, zato navadno vpeljemo sumaijsko pravilo, da je treba sešteti po indeksu, ki se v nekem izrazu

24 4 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI t svetovnia svetlobni stože x Slika 1.7: pojavi dvakrat, pri čemer znak za vsoto pred izrazom ni potreben. Po tem dogovoru lahko 1.16 zapišemo preprosteje x µ = L µν x ν Dve zaporedni Lorentzovi transformaiji sta spet Lorentzova transformaija. Njeno matriko dobimo tako, da zmnožimo matriki posameznih transformaij. Tako lahko poiščemo matriko za transformaijo, pri kateri se drugi sistem giblje glede na prvega v poljubni smeri. Gibanje dela lahko predstavimo kot krivuljo v štirirazsežnem prostoru. Taki krivulji pravimo svetovnia. Zaprimerimejmogibanjepoosi x, ki ga lahko predstavimo v ravnini(x, t): Ker je hitrost vsakega dela omejena s hitrostjo svetlobe, je strmina svetovnie v (x, t) diagramu vedno večja 0d 1. Svetovnie svetlobe imajo strmino 1 in tvorijo trirazsežni svetlobni stože.

25 1.6. VEKTORJI ČETVERCI IN ŠTIRIRAZSEŽNI PROSTOR-ČAS Skalarni produkt četverev in invariante Skalarni podukt dveh vektorjev v trirazsežnem prostoru da skalar, to je količino, ki se ne spremeni pri prehodu iz enega koordinatnega sistema v drugega. Taki količini pravimo invarianta. Vzemimo kar četvere položaja. Skalarni produkt vektorja s samim seboj, kot ga poznamo iz trirazsežnega prostora, bi bil (t) + x + y + z Vendar tak skalarni produkt ni neobčutljiv na Lorentzovo transformaijo: (t ) + x = γ0 (t) β 0 xt+ β0 x + γ0 x β 0 xt+ β0 (t) = = γ0 1+β 0 (t) + x γ0β 0 xt Ker je hitrost svetlobe v vseh sistemih, je za svetlobni signal x (t) = x (t ) = 0. To smo uporabili, ko smo iskali Lorentzovo transformaijo. Zato poskusimo definirati skalarni produkt z x µ x µ =(t) x y z =(t) r r (1.17) Zlahka se prepričamo, da je tak skalarni produkt invarianta na Lorentzovo transformaijo: (t ) x = γ0 (t) β 0 xt+ β0 x γ0 x β 0 xt+ β0 (t) = = γ0 1 β 0 (t) x =(t) x Skalarni produkt dveh četverev je a µ b µ = a 0 b 0 a 1 b 1 a b a 3 b 3 (1.18) Skalarni produkt trirazsežnega vektorja s samim seboj je vedno pozitiven in je seveda kar kvadrat dolžine vektorja. Skalarni produkt četvera je lahko pozitiven, negativen ali 0. (Vektroski prostor s takim skalarnim produktom je psevdoevklidski). Kvadrat razmika med dvema dogodkoma ds =(dt) dx dy dz (1.19)

26 6 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI je invarianta. Če je ds > 0, pravimo, da je razmik med dogodkoma časovnega tipa, če je ds < 0, je razmik krajevnega tipa, kadar pa je ds =0,jerazmiksvetlobnega tipa. Za razmik časovnegatipavednolahkonajdemo tak inerialni sistem, da je krajevna razdalja med dogodkoma 0. Naj ima krajevni del le komponento dx. Če je ds > 0, je dt > dx. Iščemo sistem S, v katerem bo dx = γ 0 (dx v 0 dt) =0 Hitrost sistema je v 0 = dx <, iskani sistem torej obstaja. dt Za razmik svetlobnega tipa je v vsakem sistemu ds =0,zato je v vsakem sistemu dx = dt. Dogodka, med katerima je ds =0,morata biti na svetovnii, ki predstavlja gibanje s svetlobno hitrostjo, neodvisno od opazovalnega sistema. Za razmik krajevnega tipa vedno obstoja inerialni sistem, v katerem je časovni interval med dogodkoma dt = 0. V tem primeru je dt < dx in dobimo iz zahteve dt = γ 0 dt v 0 dx =0 v 0 = dt dx < Zahtevani sistem torej obstaja. V sistemu S sta dogodka sočasna. Dogodka, med katerima je razmik časovnega tipa, lahko predstavljata položaj dela v dveh zaporednih trenutkih, dogodka svetlobnega tipa pa ležita na svetlobnem stožu in ju lahko povezuje svetlobni signal. Dogodki časovnega in svetlobnega tipa so zato lahko vzročno povezani. Ker sta dogodka, med katerima je razmik krajevnega tipa, lahko sočasna, med njima ne more biti vzročne povezave. Lastni čas Razmikmeddvemadogodkomanasvetovnii danega dela je nujno časovnegatipa. Topomeni,davednoobstajasistemS, v katerem dele trenutno miruje. V tem sistemu je dx =0inje ds = dt

27 1.6. VEKTORJI ČETVERCI IN ŠTIRIRAZSEŽNI PROSTOR-ČAS7 ds je invarianta, torej skalar, neodvisen od opazovalnega sistema. Torej je tudi dt invarianta - diferenial lastnega časa, kigaoznačimo z d τ. Čas v sistemu S, v katerem se dele giblje s trenutno hitrostjo v, jepo Lorentzovi transformaiji podaljšan: dt = γdτ = 1 dτ (1.0) 1 v kjer je v = v v. Hitrost dela v S je lahko odvisna od časa. Tedaj je zveza med koordinatnim časom v S in lastnim asom t τ = t 1 dt γ (1.1) Primer: Vmirovanjujerazpadničas mionov (elementarnih delev, sorodnih elektronom) τ 0 =, 10 6 s. Mioni krožijo v magnetnem polju shranjevalnega obroča. Iz znanega radija in frekvene kroženja (zvezo bomo dobili nekoliko kasneje) dobimo, da je γ = 9, 3. Izmerjeni razpadni čas je τ 1 =64, s, kar se dobro ujema z τ 1 = γτ 0. Invarianta je seveda tudi skalarni produkt četvera gibalne količine p µ p µ = W p = m Ta invarianta je sorazmerna z maso dela, ki je torej tudi invarianta. Imamo še k µ k µ = ω k =0 Da je ta invarianta enaka 0, pričakujemo, saj četvere valovnega vektorja opisuje širjenje svetlobe Četveri kot vektorski prostor Vsota dveh vektorjev je spet vektor in produkt vektorja s skalarjem je vektor. Tako lahko tvorimo nove četvere. Poglejmo, kako dobimo četvere hitrosti.

28 8 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI Ugotovili smo, da komponente običajne hitrosti v = dr niso vektor, ker dt ni skalar, ampak komponenta četvera. Torej tudi dxµ = dt dt, dx, dy, dz dt dt dt ni četvere. Lastni čas pa je skalar, tako da je u µ = dxµ dτ = dt dτ, dx dτ, dy dτ, dz dτ (1.) pravi četvere, ki se transformira z Lorentzovo transformaijo. Ker je v izbranem koordinatnem sistemu dt = γ dτ,je u µ =(γ,γv x,γv y,γv z )= 1 (, v x,v y,v z ) 1 v Ne pozabimo, da je γ funkija hitrosti dela, ne koordinatnega sistema, in se lahko s časom spreminja. Prav lahko se prepričamo, da iz Lorentzove tarsnformaije četvera hiitrosti sledijo že znana pravila transformaije komponent običajne hitrosti. Na primer u 1 = γ vx = γ 0 u 1 v 0 u0 = γ 0 γ (v x v 0 ) Paziti smo morali, da se transformira tudi faktor γ, kar lahko dobimo iz u 0 = γ = γ 0 u 0 v 0 u1 = γ 0 γ 1 v 0v x Iz obeh enačb razberemo v x = γ 0γ γ (v x v 0 )= v x v 0 1 v 0v x Očitno je etvere hitrosti v preprosti zvezi s četverem gibalne količine: p µ = mu µ Ta zveza je formalno enaka kot v klasični fiziki.

29 1.7. ENAČBA GIBANJA Enačba gibanja Osnovni zakon gibanja v klasični fizikijedruginewtonovzakon F = m dv dt To ne more biti relativistično pravilna enačba, saj dopušča, da hitrost v izbranem opazovalnem sistemu poljubno raste. Enačbo gibanja pa lahko zapišemo tudi v drugi obliki, ki smo jo že uporabili, ko smo iskali pravooblikoizrazazapolnoenergijo: F = dp (1.3) dt Uporabiti moramo relativistični izraz p = γmv. Pri tem pa ne vemo, kaj je sila, gornja enačba je pravzaprav njena definiija. Pri Fiziki I si stemnismopreveč belili glave in smo kot model vzeli silo vzmeti, kjer je eksperiment pokazal, da je pospešek zaradi sile vzmeti sorazmeren z raztezkom vzmeti. Tako smo dobili vzmetno tehtnio, s katero smo lahko merili druge sile, na primer težo ali električno silo. V posebni relativnosti si ne moremo pomagati niti z vzmetmi niti z gravitaijo. Vzmeti se obnašajo preprosto le, dokler so hitrosti raztegov majhne v primerjavi s hitrostjo zvoka v snovi, torej mnogo manjše kot hitrost svetlobe, gravitaije pa s posebno teorijo sploh ne moremo obravnavati. Tako nam kot primer sile v relativistični dinamiki ostane le elektromagnetna sila. Vklasični fiziki smo (Lorentzovo) silo na nabit dele zapisali F = e (E + v B) (1.4) Ta izraz privzamemo kot zapis sile v izbranem koordinatnem sistemu tudi v relativistični fiziki. Pri tem seveda za polja veljajo Maxwellove enačbe, za katere vemo, da se pravilno transformirajo pri Lorentzovi transformaiji. Le eksperiment lahko pove, ali je ta privzetek pravilen. Vse dosedanje meritve in izkušnje so z vso doslegljivo mersko natančnostjo v skladu z enačbama 1.3 in 1.4. Ni jih malo, med drugim vsa tehnika velikih pospeševalnikov temelji na gornjih enačbah. Gibalno enačbo 1.3lahkotorejzapišemo v ekspliitni obliki e (E + v B) =m d (γv) (1.5) dt

30 30 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI kjer ne smemo pozabiti, da je tudi γ odvisen od hitrosti: γ =1/ 1 v /. Ta enačba nam pri znanih poljih omogoča določiti hitrost in tir dela. Gibalna enačba 1.3 je sier pravilna, vendar tako zapisana sila ni del četvera, saj stoji na desni odvod gibalne količine po koordinatnem času, torej komponenti četvera. Običajna sila se zato ne transformira z Lorentzovo transformaijo. Lahko pa tvorimo četvere, ki mu pravimo sila Minkovsekga, tako da odvajamo gibalno količino po lastnem času dela: F µ = dpµ (1.6) dτ Ker je dt = γdτ,je F µ = γ dpµ dt Od tod lahko preberemo, da so krajevne komponente sile Minkovskega γf. Časovna komponenta je F 0 = dp0 dt = γ d W dt Odvod energije dela po času je močsile,kijolahkozapišemo P = F v, tako da je F µ = γ F v,γf x,γf y,γf z = γ F v,γf (1.7) S silo Minkovskega lahko enačbo gibanja zapišemo v formalno enaki obliki kot Newtonov zakon: F µ = m duµ (1.8) dτ Prednost zapisa s četveri je, da se takoj vidi, da sta izpolnjeni Einsteinovi zahtevi: obe strani enačbe se transformirata z Lorentzovo transformaijo in imata zato v vseh inerialnih sistemih enako obliko. Za enačbe, ki so zapisane tako, da v njih nastopajo le četveri in skalarji, pravimo, da so kovariantne. Iz Lorentzove sile dobimo silo Minkovskega F µ = γ ee v,γe(e + v B) Ker je magnetni del sile vedno pravokoten na hitrost, k moči in časovnemu delu ne prispeva.

31 1.7. ENAČBA GIBANJA 31 Primeri: 1. Kroženje nabitega dela v konstantnem magnetnem polju. Dele naj ima začetno hitrost v v ravnini, ki je pravokotna na magnetno polje. Uporabimo giblanom enačbo v obliki1.3 m dγ v dt = F Sila je le magnetna F = ev B Ker je sila vselej pravokotna na hitrost, je velikost hitrosti konstantna in je tudi γ konstanta. Tako kot v nerelativističnem primeru je gibanje torej kroženje. dv ima le radialno komponento dt (radialni pospešek) ωr = ω v = v /r in imamo mγω v = ev B = mγv /r ω = eb γm r = mγv eb = p eb Vidimo, da se kotna hitrost, ki ji pravimo tudi iklotronska frekvena, ω pri relativističnih hitrostih zmanjša za faktor γ, iklotronski radij pa poveča in je vedno sorazmeren z velikostjo gibalne količine. Elektron z energijo 5 GeV ima γ =10 4. Za gibalno količino lahko uporabimo ultrarelativistični približek p = W/. Vmagnetnem polju 1 T je radij kroženja r = ev m =17m e1vs iklotronska frekvena pa ω =1, s 1.. Pospeševanje nabitega dela v konstantnem električnem polju. Naj bo začetna hitrost dela 0. Gibalna enačba je dγv dt = e m E

32 3 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI Enkrat lahko takoj integriramo γv= ee m t = αt, ee α= m Od tod izračunamo hitrost: ee m v = t 1+α t = αt 1+α t (1.9) Dokler je hitrost majhna, je v = ee t/m, kar je seveda pričakovani nerelativistični rezultat. Izraz za hitrost lahko še enkrat integriramo in dobimo položaj dela t αt m x = dt = 1+α t 0 1+α t ee 1 Za t << 1/α lahko koren razvijemo in se prepričamo, da dobimo nerelativistični izraz za pot pri enakomerno pospešenem gibanju. Izračunajmo še lastni čas pri koordinatnem času t. Za to najprej iz enačbe 1.9 izračunamo Po enačbi 1.1 je τ = t 0 γ = 1+α t dt 1+α t = 1 α sinh 1 (αt) Koordinatni čas kot funkija lastnega časa je torej t = 1 sinh (ατ) α Za dolge čase je torej koordinatni čas eksponentno daljši od lastnega časa. Z izrazom za γ lahko zapišemo še polno energijo W = mγ = m 1+α t To lahko izrazimo še drugače. Iz izraza za x vidimo, da je γ = ee x +1inje m W = eex+ m = eu + m kjer je U pospeševalna napetost na poti x.

33 1.8. SISTEMI DELCEV Sistemi delev Imejmo več delev, ki so dovolj vsaksebi, da je njihova medsebojna potenialna energija zanemarljiva. Tedaj je skupni četvere gibalne količine vsota četverev gibalne količine posameznih delev P µ =Σ i p µ i =(Σ W i, Σ i p i ) i Če na sistem ne delujejo nobene zunanje sile, velja zakon o ohranitvi četvera gibalne količine P µ z = P µ k (1.30) ali četvera gibalne količina na začetku in konu (na primer pred in potrku)staenaka. Pokomponentahveljaposebejohranitevčasovne komponente - energije in krajevne komponente - trirazsežnega vektorja gibalne količine: W z = W k in P z = P k (1.31) Delev je na konu lahko več ali manj kot na začetku, le njihova medsebojna potenialna energija mora biti zanemarljiva. Omejitev, da med deli ne sme biti interakije, je potrebna, da lahko skupni četvere gibalne količine zapišemo kot preprosto vsoto po delih sistema. Očitno k skupni energiji prispeva tudi medsebojna potenialna energija, ki zaradi Lorentzove transformaije prispeva tudi k trirazsežni gibalni količini sistema. Poleg tega smo v klasični fiziki izpeljali izrek o gibalni količini iz zakona o vzajemnem učinku sil. Ta prepostavlja, da sila deluje v trenutku na vsako razdaljo, kar ni v skladu z zahtevami posebne teorije relativnosti. Vse te pomanjkljivosti popravimo, če tudi polju sil, na primer elektromagnetnemu polju, pripišemo poleg energije še gibalno količino. Na konu leta bomo videli, da lahko osnovne sile predstavimo kot izmenjavo posebnih delev sile, za elektromagnetno silo so to fotoni. Če torej v vsoti četverev gibalne količine upoštevamo tudi dele polj sil, velja zakon o ohranitvi energije in gibalne količine brez omejitev in je med najosnovnejšimi zakoni fizike.

34 34 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI Težiščni sistem Za obravnavo sistema delev je ugodno vpeljati težiščni inerialni opazovalni sistem. V klasični fiziki je bil to sistem, v katerem je bila skupna gibalna količina vseh delev enkak nič. Relativistično nemoremoza- htevati, da je skupni četvere gibalne količine nič, ker za transformaijo četverev velja Lorentzova transformaija, po kateri je četvere, ki ima vse komponente enake nič v enem sistemu, v vseh sistemih nič. Pač pa lahkozahtevamo, dasovtežiščnem sistemu krajevne komponente, to je trirazsežna gibalna količina, enake nič. Za naše potrebe bo zadoščal privzetek, da se težiščni sistem giblje v smeri x glede na laboratorijski sistem. Hitrost tega sistema v poiščemo iz zahteve, da mora biti ustrezna komponenta gibalne količine, transformirana iz laboratorijskega sistema v težiščnega, enaka nič: p ix = γ Σ p ix v W i Σ =0 i i Sledi Σ i p ix Σ v = i (1.3) Σ W i i Če so kinetične energije delev majhne v primerjavi z mirovnimi energijami, dobimo nerelativistični izraz za hitrost težišča. Ugotovili smo, da je kvadrat četvera invarianta. Velja torej Σ i W i Σ i p i = Σ i W i (1.33) ker je krajevni del v težiščnem sistemu nič. Za en dele je bila vrednost kvadrata četvera gibalne količine kar m, zato je tudi v primeru sistema delev desna stran enačbe kar (M),kjerjeM skupna masa sistema. Ta očitno ni kar vsota mas posameznih delev. V kolikor bi med deli imeli tudi potenialno energijo, bi tudi ta prispevala k masi sistema. Zaradi zakona o ohranitvi gibalne količine in energije lahko eno stran invariante izračunamo pred trkom, drugo pa po trku, kar včasih pomaga pri računih: Σ i W i Σ p i = z i z Σ i W i k

35 1.8. SISTEMI DELCEV Prožni trk Kot prvi primer uporabe zakona o ohranitvi energije in gibalne količine obravnavajmo prožni trk dveh enakih delev. Da je trk prožen, morata biti dela pred in po trku enaka, torej se njuni masi ne smeta spremeniti. Naj v laboratorijskem sistemu en dele miruje, drug pa trči v njega s hitrostjo v. Skupna energija in gibalna količina morata biti pred in po trku enaki: W 1z + W z = W 1k + W k p 1z +p z = p 1k +p k Ohranitvene enčbe veljajo v vsakem sistemu. Najlažje bomo nalogo rešili v težiščnem sistemu. Hitrost težišča je po 1.3 v = mvγ m + m γ = βγ γ 1 1+γ = γ +1 kjer je γ = 1 β = 1 v /. Uporabili smo tudi zvezo βγ = γ 1. Izračunamo še γ 1 γ +1 = = 1 v Drugi dele v laboratorijskem sistemu na začetku miruje. Začetni gibalni količini v težiščnem sistemu dobimo z Lorentzovo transformaijo γ 1 γ 1 p z = p 1z = γ 0 m = m γ +1 Vsmeriy sta začetni gibalni količni 0. Začetni in končni energiji sta v težiščnem sistemu enaki: γ +1 W1z = Wz = W1k = Wk = γ (m 0) = m Po trku bosta v težiščnem sistemu dela odletela z enakima hitrostma simetrično pod kotoma φ in π + φ glede na os x: p 1kx = p 1z os φ p kx = p 1z os φ

36 36 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI in p 1ky = p 1z sin φ p ky = p 1z sin φ Kot φ je seveda poljuben. Z obratno Lorentzovo transformaijo dobimo končnekomponentegibalnekoličine v laboratorijskem sistemu: p 1kx = γ p 1kx + v W 1k = γ +1 = m γ 1 os φ + = m γ 1(osφ +1) γ 1 γ +1 p kx = m γ 1(1 os φ ) γ +1 = γ 1 p 1ky = p 1z sin φ = m sin φ γ 1 p ky = p 1z sin φ = m sin φ Če je φ = π, je trk entralen in je p k = p 1z in p 1k = p z =0,kot klasično dela le izmenjata gibalni količini in energiji. Kota, pod katerima odletita dela v laboratorijskem sistemu, dobimo iz tan φ 1 = p 1ky sin φ = p 1kx γ +11+osφ tan φ = p ky p kx = sin φ γ +11 os φ Velja tan φ 1 tan φ = γ +1

37 1.8. SISTEMI DELCEV 37 in dobimo kot med delema tan (φ 1 φ ) = tan φ 1 tan φ = 1+tanφ 1 tan φ (γ +1) 1 = γ 1 sin φ Če je hitrost majhna in je γ blizu 1, je tan φ zelo velik in gre kot med tiroma delev proti π/. Pri velikih γ je kot manjši, sipanje je torej usmerjeno bolj naprej, kar je značilno za relativistične trke Neprožni trk Kot drugi primer obravnavajmo trk, pri katerem se dela sprimeta. En dele naj ima na začetku hitrost v, drugi naj miruje. V laboratorijskem sistemu velja spet ali izpisano W 1 + W = W p 1 +p = p mγ 1 + m = Mγ mγ 1 v 1 = Mγv kjer je M masa sprijetega dela. Te enačbe zadoščajo, a lažje bomo do rezultata prišli takole. V težiščnem sistemu mora dele po trku mirovati. Zapišimo invariantni kvadrat četvera gibalne količine v laboratorijskem sistemu pred trkom in v težiščnem sistemu po trku: (mγ 1 + m) (mγ 1 v 1 ) = M od koder takoj izračunamo maso sprimka M = m (γ 1 + 1) (1.34) kjer smo spet uporabili zvezo βγ = γ 1. Iz enačbe za ohranitev energije dobimo še γ1 +1 γ =

38 38 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI Izraz1.34namjedalnovrezultat,dajemasasprimkavečja od vsote mas obeh delev pred trkom. Del kinetične energije prvega dela se je torej pretvoril v maso sprimka, del pa je ostal kot kinetična energija sprimka. S tem je znameniti izraz E = m dobil pravo vsebino: energija se lahko pretvori v maso. Možen je seveda tudi obraten proes, ki je v jedrski fiziki pogost: težji dele razpade na dva lažja, tako da je vsota njunih mas manjša od začetne mase, preostala začetna masa pa se pretvori v kinetično energijo končnih delev. Dodatna masa sprimka je posledia notranje energije sprimka. Na primer: če se nevtron z znatno kinetično energijo ujame v neko jedro, se bo masa nastalega jedra spremenila maso enega nevtrona in za razliko začetne kinetične energije nevtrona in končne kinetične energije nastalega jedra, pri tem pa bo povečana energija vseh protonov in nevtronov v jedru Razpoložljiva energija Sprijemanje relativističnih delev ni ravno pogosto; običajno pritrku nastanejo novi deli. Vzemimo spet, da se imamo pred trkom dva enaka dela, od katerih eden miruje, drugi pa ima hitrost v 1. Če po trku vsi deli v težiščnemsistemu mirujejo,je skupna masa na novo nastalih delev ravno razlika med začetno maso obeh delev in v prejšnjem razdelku izračunano maso sprimka: m r = M m =m γ Količini W r = m r pravimo razpoložljiva energija. Vsa začetna kinetična energija T = m (γ 1) je večja od razpoložljive energije, saj mora del začetne kinetične energije ostati kot kinetična energija težišča, da se lahko ohrani tudi gibalna količina. Razpoložljivo energijo lahko izrazimo s T : W r =m 1+ T m 1

39 1.8. SISTEMI DELCEV 39 Če je T<<m, lahko koren razvijemo in je W r T za zelo velike začetne energije T>>m pa je W r m T Tedaj torej razpoložljiva energija narašča le kot koren iz vpadne energije. Tvorba novih delev pri trkih je zelo pomembna v fiziki osnovnih delev, kjer z velikimi pospeševalniki raziskujejo osnovne gradnike snovi. Pri trkih elektrona z energijo 100 GeV v mirujoč elektron je razpoložljiva energija le približno 300 MeV. Zato danes v velikih pospeševalnikih pospe ujejo elektrone in pozitrone ali protone in antiprotone v nasprotnih smereh. Tedaj je laboratorijski sistem tudi težiščni in je vsa kinetična energija na voljo za tvorbo novih delev. Takim pospeševanlikom pravijo tudi trkalniki. Primer: Tvorba para elektron-pozitron pri trku elektrona z elektronom. Kolikšna je minimalna kinetična energija elektrona, ki trči v mirujoč elektron, da se lahko tvorita nova dela elektron in pozitron? ( Ne more se tvoriti le en elektron, ker velja zakon o ohranitvi števila lahkih delev in se zato elektron lahko tvori le skupaj s svojim antidelem - pozitronom, ki ima pozitiven naboj in enako maso. Več otemnakonu leta.) Razpoložljiva energija mora biti m e. Tako je 4m e = m e 1+ T m e T = 6m e =3MeV Le tretjina vpadne kinetične enrgije gre v tvorbo para, ostalo je kinetična energija delev po trku.

40 40 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI Primer: Tvorba para pri trku fotona z elektronom. Kot drugi primer izračunajmo, kolišna mora biti energija fotona, da pri trku z drugim delem z maso M nastane nov par elektron - pozitron. Ker je foton dele z mirovno maso 0, moramo računati od začetka. Spet zapišimo invariantni kvadrat četvera gibalne količine v laboratorijskem sistemu pred trkom in v težiščnem sistemu po trku. Minimalno potrebno energijo dobimo z zahtevo, da vsi deli po trku v težiščnem sistemu mirujejo: Wf + M p f = M +m e W f M + M 4 = M 4 +4Mm e 4 +4m e 4 W f = m e 1+ m e M Če je dele, v katerega trči foton, elektron, je W f =4m e in gre le polovia energije fotona v tvorbo para. Če pa trči na primer v proton, je potrebna energija le zelo malo večja od m e.torazumemo:težak dele lahko prevzame gibalno količino, ne da bi dobil znatno kinetično energijo. Opomba: Foton se sam, brez prisotnosti drugega dela, ne more spremeniti v par elektron - pozitron, ker tedaj ni mogoče hkrati ohraniti energijo in gibalno količino. Primer: ustavljanje kozmičnih protonov na kozmičnem sevanju ozadja. Poglejmo še en zanimiv primer. Vemo, da imamo v vesolju sevanje v mikrovalovnem podorčju, ki je ostanek Velikega poka. To sevanje ima spekter sevanja črnega telesa s temperaturo,7 K, kar ustreza povprečni energiji fotona.10 4 ev. Iz vesolja prihajajo tudi deli, predvsem protoni, ki imajo nekateri izjemno veliko energijo, do 10 0 ev in več. Ti protoni lahko pri trku z mikrovalovnimi fotoni tvorijo pare drugih delev. Kolikšna mora biti energija protona W p,dasebolahkotvorilpar elektron - pozitron? Postavimo se v sistem, v katerem proton miruje. V tem sistemu je energija fotona, ki potuje proti protonu, zaradi Dopplerjevega pojava premaknjena k višjim energijam. Energija fotona je sorazmerna z

41 1.8. SISTEMI DELCEV 41 njegovo frekveno: W f = hν, zato je v sistemu protona W f = γ p W f (1 + β p )=γ p W f kjer je γ p = W p /m p in smo upoštevali, da se zaradi izredno velike energije proton giblje s hitrostjo zelo blizu svetlobne. Da se bo pri trku s protonom lahko tvoril par elektron - pozitron, mora biti W f m e, tako da je γ p m e W f in W p = m p γ p m em p 4 W f =10 19 ev Od te energije naprej tvorba parov učinkovito zaustavlja visokoenergijske protone in eno pomembnih vprašanj astrofizike je, od kod prihajajo Razpadi delev Podobno lahko obravnavamo razpade nestabilnih delev. Pri tem se vedno del mase začetnega dela spremeni v kinetično energijo končnih delev. Poglejmo na primer razpad negativnega piona π vmionµ in antinevtrino ν µ.pionnajmiruje.mirovnaenergijapionajem π = 139, 6 MeV, mirovna energija miona m µ =105, 7 MeV, antinevtrino pa je skoraj brez mase. Kolišni sta energiji miona in antinevtrina? Ker pion razpade v mirovanju, velja m π = W µ + W ν 0 = p µ + p ν Ker je p ν = W ν /, dobimo iz druge enačbe W ν = W µ m µ 4 Vprvienačbi prestavimo W µ na levo in kvadriramo m π 4 + W µ W µ m π = W µ m µ 4

42 4 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI od koder dobimo kinetično energijo miona W µ m µ = (m π m µ ) =4, 1MeV m π in energijo antinevtrina W ν =9, 8MeV Obravnavajmo še primer razpada v letu. Nevtralni pion π 0 zmirovno energijo m π = 135 MeV razpade na dva fotona. Polna energija piona naj bo W π =6GeV.Podkakšnimi koti glede na tir piona lahko odletita fotona? Postavimo se spet v težiščni sistem, to je sistem, v katerem pion miruje. V njem odletita fotona v nasprotnih smereh pod poljubnim kotom φ gledenasmerpiona,vsakpaodnesepozakonuoohranitvi energije ravno pol mirovne energije piona. Tako sta komponenti gibalne količine fotonov v težiščnem sistemu p 1x = p x = 1 m π os φ p 1y = p y = 1 m π sin φ Transformirajmo nazaj v laboratorijski sistem. Faktor γ je določen s polno energijo piona: γ = W π /m π. p 1x = γ = m π p x = m π p 1x + β m π = γ 1 γ os φ + γ os φ + γ 1 p 1y = p y = 1 m π sin φ Tako je za oba kota v laboratorijskem sistemu tan φ 1 = sin φ γ os φ + γ 1 tan φ = sin φ γ os φ + γ 1