Dr Miodrag Popović. Osnovi elektronike. za studente Odseka za softversko inženjerstvo

Transcript

1 Dr Modrag Popoć Osno elektronke za studente Odseka za softersko nženjersto Elektrotehnčk fakultet eograd, 004

2 Sadržaj. Uod.... Šta je to elektrotehnka?.... Oblast elektrotehnke:....3 Šta je to elektronka?.... Osnon pojmo o elektrctetu Elektrčno opterećenje Sla zmeđu da tačkasta elektrčna opterećenja Proodnc, zolator poluproodnc Elektrčna struja Napon eferentn smero polartet Energja snaga Modeloanje elektrčnh sstema dealn elektrčn element dealn pasn elektrčn element...8. dealn nezasn elektrčn zor dealn zasn (kontrolsan) elektrčn zor Kola sa stalnm jednosmernm strujama Omo zakon Elektrčno kolo Pr (strujn) Krhofo zakon Drug (naponsk) Krhofo zakon Paralelna serjska eza otpornka Serjska (redna) eza otpornka Paralelna eza otpornka Transformacje trougao zezda zezda trougao Sstem jednačna napona čoroa Lnearna kola: prncp superpozcje homogenost Transformacja zora Teenenoa Nortonoa teorema Kola sa promenljm strujama Kondenzator Kalem Kola prog reda sa kondenzatorma kalemoma Kola drugog reda sa kondenzatorma kalemoma Kola sa nazmenčnm strujama Osnon pojmo Predstaljanje snusodalnh elčna kompleksnm brojema Ops elemenata kola pomoću fazora Uopšten Omo zakon: mpedansa admtansa Snaga nazmenčne struje Krhofo zakon u kolma sa nazmenčnm strujama Osnone transformacje u kolma sa nazmenčnm strujama Serjska (redna) eza mpedans Paralelna eza mpedans Transformacje trougao zezda zezda trougao Transformacje zora u kolma sa nazmenčnm strujama Sstem jednačna napona čoroa za kola sa nazmenčnm strujama Teenenoa Nortonoa teorema za kola sa nazmenčnm strujama Kola sa jednm da prstupa nalza kola sa složenoperodčnm strujama... 46

3 6. Osno fzke poluproodnka Osnon pojmo o proodnost materjala Elektronska struktura materjala Slcjum kao poluproodnk Dopranje slcjuma prmesama pn spoj Nepolarsan pn spoj Drektno polarsan pn spoj nerzno polarsan pn spoj Proboj pn spoja Zener doda Model dode Karakterstka dode dealna doda zlomljeno lnearn model dode Model dode sa konstantnm padom napona Model dode za male sgnale adna tačka dode Prmene rste doda polarn tranzstor Struktura smbol bpolarnog tranzstora ad bpolarnog tranzstora u aktnom režmu Model npn tranzstora za elke sgnale Model tranzstora za male sgnale Ulazne zlazne karakterstke tranzstora Polarzacja tranzstora Osnona pojačaačka kola sa jednm tranzstorom Pojačaač sa zajednčkm emtorom Pojačaač sa zajednčkm kolektorom Pojačaač sa zajednčkom bazom MOS tranzstor (MOSFET) Struktura smbol MOS tranzstora Prncp rada NMOS tranzstora Ponašanje NMOS tranzstora pr malm naponma DS Ponašanje NMOS tranzstora pr ećm naponma DS PMOS tranzstor komplementarn MOS (MOS) Model NMOS tranzstora za elke sgnale NMOS tranzstor u zakočenju NMOS tranzstor u trodnoj oblast NMOS tranzstor u zasćenju Model NMOS tranzstora za male sgnale Osnona pojačaačka kola sa NMOS tranzstorom Pojačaač sa zajednčkm sorsom Pojačaač sa zajednčkm drejnom Pojačaač sa zajednčkm gejtom Složena pojačaačka kola Strujn zor Pojačaač sa dnamčkm opterećenjem Dferencjaln pojačaač Operacon pojačaač Prmene operaconog pojačaača nertorsk pojačaač Nenertorsk pojačaač Jednčn pojačaač Kolo za sabranje Kolo za ntegraljenje Kolo za dferencranje Dgtalna elektronska kola nalogn dgtaln sgnal kola... 96

4 . Logčke funkcje dealnh logčkh kola uloa algebra operacja (logčko množenje) L operacja (logčko sabranje) NE operacja (komplementranje) Prala uloe algebre denttet uloe algebre Zakon uloe algebre Teoreme uloe algebre N operacja NL operacja sključol operacja Operacja koncdencje (sključonl) Predstaljanje logčkh funkcja Karakterstke realnh logčkh kola Karakterstka prenosa Margne šuma Faktor grananja na zlazu ulazu Dnamčke karakterstke Dspacja (potrošnja) logčkog kola prozod snage kašnjenja ealzacja nertora sa MOS tranzstorma Karakterstka prenosa Dnamčke karakterstke Dspacja MOS kola....5 Logčka kola sa MOS tranzstorma stablna kola S leč D leč D flpflop Multbratorska kola Monostabln multbrator stabln multbrator....8 Dgtalnoanalogna analognodgtalna konerzja Dgtalnoanalogna konerzja nalognodgtalna konerzja Osnona memorjska kola Statčke memorje Dnamčke memorje... 7

5 . Uod Saremen tehnološk problem su eoma složen njhoo rešaanje zahtea učešće nženjera stražača z raznh oblast nauke tehnke, koj se organzuju u razojne l stražačke tmoe. U takm usloma nženjer, koj je specjalzoan za određenu oblast, često treba da rad sa stručnjacma drugh specjalnost. Da b se olakšala saradnja nženjera razlčth specjalnost potrebno je da sak od njh bar delmčno poznaje srodne oblast tehnke, kako b razumeo probleme ogrančenja u rešaanju problema u celn. Zbog toga se u setu, prlkom obrazoana nženjera uek proučaaju u oblast koje nsu drektno u ez sa odabranom specjalzacjom. U saremenom setu sedoc smo da elektrčn l elektronsk uređaj prodru u se oblast žota. utomobl maju eletronske uređaje za nadzor upraljanje, uređaj bele tehnke u domažnstu maju se še elektronskh funkcja, mobln telefon su napral reolucju u telekomunkacjama, uođenje računara u kuće menja načn žota, td. Oaj predmet uprao ma za clj da studente, kojma će prmarna specjalzacja bt psanje softera za razne rste računara, upozna sa osnoma elektrotehnke elektronke kako b razumel kako tak elektronsk sstem funkconšu kako b mogl da efkasno komuncraju sa ekspertma z drugh struka sa kojma će sarađat.. Šta je to elektrotehnka? Oblast elektrotehnke obuhata prmene elektrcteta za zadooljaanje potreba društa. Postoje de glane prmene elektrcteta: za prenos elektrčne energje sa jednog mesta na drugo l za prenos nformacja. Elektrotehnka je oblast koja se zdojla z fzke poslednjh 50 godna se stalno dnamčno razjala. O razoju elektrotehnke sedoč stalna pojaa noh podoblast kao broj naučnh stručnh publkacja z elektrotehnke koj u elkoj mer preazlaz obm slčnh publkacja z drugh oblast tehnke.. Oblast elektrotehnke: Osnono jezgro elektrotehnke se tradconalno del na sedam specjalzoanh podoblast:. Elektroenergetka. Elektromagnetka 3. Komunkacje 4. ačunarsko nženjersto 5. Sstem 6. Upraljanje 7. Elektronka Elektroenergetka se ba prozodnjom prenosom elektrčne energje sa jedne lokacje na drugu najstarja je elektrotehnčka specjalnost. eo razoj saremenog društa zas u krtčnoj mer od potreba za elektrčnom energjom za napajanje elektrčnh uređaja kuć ndustrj. Zato su za prozodnju elektrčne energje razjen razn sstem za pretaranje drugh

6 oblka energje (toplotne, hdromehančke, nuklearne, solarne, energje etra, elektrohemjske,...) u elektrčnu energju. Elektromagnetka premošćaa jaz zmeđu prmena elektrotehnke za prenos energje ostalh dscplna koje su uglanom ezane za prenos nformacja. Ona se ba proučaanjem prmenom elektrčnog polja, magnetskog polja struje. Elektrčna struja može bt uek stog smera (jednosmerna struja) l promenljog smera (nazmenčna struja). Kod nazmenčnh struja defnše se pojam učestanost l frekencje, koja predstalja broj promena smera struje u sekund. Jednca za frekencju je Herc (Hz). Opseg učestanost koj se sreće u praks je eoma šrok. U elektroenergetc se korste nazmenčne struje učestanost 50 Hz l 60 Hz, dok se u drugm oblastma korste znatno še učestanost, čak do 0 Hz. Na šm učestanostma energja počnje da zrač z kabloa, kroz atmosferu se prostru elektromagnetsk talas. Oak talas su omogućl pojau radja, telezje, bežčnh komunkacja, radara, td. Komunkacje l telekomunkacje su podoblast elektrotehnke koja se ba prenosom nformacja sa jednog mesta na drugo. nformacje se prenose pomoću elektrčnh proodnka, elektromagnetskh talasa, klasčnm kabloma, optčkm kabloma, td. Jedan od ažnh problema koj se rešaa u komunkacjama je načn na koj se nformacje utskuju u elektrčn sgnal. Taj proces se naza modulacja l kodoanje obalja se na predajnon stran, dok se na prjemnoj stran obalja nerzn proces koj se naza demodulacja l dekodoanje. U procesu prenosa nastaje degradacja sgnala sbog dejsta smetnj l šuma pa se u komunkacjama elka pažnja posećuje metodma za zlačenje korsnh nformacja z šuma metodma za zašttu nformacja. ećna oh metoda zahtea upotrebu računara. ačunarsko nženjersto je jedna od podoblast elektrotehnke koje se ba razojem projektoanjem računarskog hardera softera koj kontrolše njego rad. Saremen računarsk sstem mogu bt eoma razlčt, poče od jednostanh mkrokontrolera koj obaljaju jednostane nadzorne funkcje, preko personalnh računara radnh stanca koj se korste za obaljanje raznorsnh aplkacja, slušanja muzke, gledanje flmoa gru, pa do moćnh superračunara za zršaanje kompleksnh proračuna u fzc, meteorologj straćanju semra. Oblast sstemskog nženjersta se ba modeloanjem kompleksnh sstema matematčkm modelma u clju njhoog jednostanjeg opsa predđanja njhoog ponašanja. Prmer takh sstema su, na prmer, modeloanje saobraćaja l modeloanje leta aona. Taka matematčk ops sstema omogućaa jednostanju analzu ponašanja sstema u raznm usloma bez zođenja ekspermenta. Upraljanje sstemma je takođe jedna od ažnh oblast elektrotehnke koja se ba upraljanjem raznm elektromehančkm drugm složenm sstemma uz pomoć odgoarajućh modela algortama za reagoanje u razlčtm stuacjama..3 Šta je to elektronka? Oblast elektronke se ba koršćenjem razlčth materjala u specjalnm konfguracjama l strukturama rad dobjanja elemenata u kojma se može kontrolsat tok struje poezanjem takh elemenata u složena kola. Osnon element saremene elektronke su dode tranzstor koj su poezan u ntegrsana kola. Pored toga, elektronka se ba projektoanjem elektronskh kola za određene namene, razojem algortama za projektoanje, mplementacjom elektronskh kola koja realzuju razne metode potrebne u ostalm oblastma elektrotehnke. Mada je oblast elektronke stara oko 00 godna, ona je u toku storje mala zuzetno dnamčan razoj a taka je danas. Pošto se usled razoja tehnologje stalno pronalaze no materjal, stalno se staraju noe komponente, što u elkoj mer utče na razoj postupaka projektoanja. eć dadesetak godna je prsutan trend mnjaturzacje komponenata trend

7 ntegracje elkog broja komponenata u jedno ntegrsano kolo. To je omogućlo drastčno smanjenje dmenzja elketronskh uređaja, smanjenje njhoe potrošnje, poećanje brzne rada poećanje pouzdanost uređaja. Na prmer, jedan od prh elektronskh računara EN z 947. godne koj je mao oko 7000 elektronskh ce memorju od sega nekolko k, bo je smešten u prostorju elčne sportske sale, a njegoa potrošnja se merla desetnama kw. Današnj računar maju se ažne performanse najmanje 000 do 0000 puta bolje. Drug karakterstčan prmer je mobln telefon koj je pre samo dadesetak godna, za neuporedo lošje performanse, mao elčnu koja je jeda mogla da stane u automobl. 3

8 . Osnon pojmo o elektrctetu Elektrotehnka se prensteno ba elektrčnm opterećenjem (naelektrsanjem), njegom kretanjem efektma tog kretanja. Za nepokretno naelektrsanje često se korst termn statčko naelektrsanje, a za pokretno naelektrsanje termn elektrčna struja.. Elektrčno opterećenje Elektrčno opterećenje je fundamentalno sojsto materje koje se ne može se stort l unštt. To znač da ako se naelektrsanje odstran sa nekog mesta ono se mora pojat na drugom mestu. Postoje da tpa naelektrsanja: poztno negatno naelektrsanje. Da nelektrsanja se međusobno prlače ako su suprotnog tpa l međusobno odbjaju ako su stog tpa. Uprošćena struktura atoma se sastoj od poztno naelektrsanog jezgra elektrona koj kruže oko jezgra po razlčtm orbtama. Pošto je poztno naelektrsanje kompenzoano stom kolčnom negatnog naelektrsanja, atom je elektrčk neutralan. Međutm, pošto se elektron z najudaljenjh orbta mogu na razne načne odojt od atoma, atom može postat naelektrsan (tada se naza jon), a elektron se mogu kretat formrat struju. Uobčajena smbol za opterećenje je q (Q) a jednca Kulon (). Elektrčno opterećenje jednog elektrona je to je najmanje naelektrsanje koje postoj. Često se za opterećenje jednog elektrona kaže da je to elementarno naelektrsanje l kant naelektrsanja.. Sla zmeđu da tačkasta elektrčna opterećenja Sla zmeđu da naelektrsanja, koja su dooljno mala u odnosu na njhoo rastojanje, opsana je sledećom jednačnom: q q F k d gde je konstanta k Nm /, q q predstaljaju elčne naelektrsanja (u ), a d njhoo međusobno rastojanje (u m). Oa relacja se naza Kulono zakon. ko su naelektrsanja stog znaka sla je poztna naelektrsanja se odbjaju, ako su naelektrsanj suprotnog znaka sla je negatna naelektrsanja se prlače..3 Proodnc, zolator poluproodnc Materjal koj omogućaaju laku pokretljost elektrona nazaju se proodnc. Tpčn proodnc su metal: srebro, zlato, bakar, alumnjum,... Kod njh elektron z spoljašnjh orbta atoma mogu lako napustt atome. Tak elektron se nazaju slobodn elektron on omgućaaju lako uspostaljanje elektrčne struje. Materjal koj nemaju sposobnost lake pokretljost elektrona nazaju se zolator. Tpčn zolator su nemetal: staklo, plastčne mase, keramka, guma,... Naelektrsanje koje se 4

9 doede na zolator ostaje nepokretno naza se statčk elektrctet. zolacon materjal se često korste za zoloanje proodnka da b se sprečo neželjen dodr da proodnka uspostaljanje struje zmeđu njh. Poluproodnc su po sojm osobnama negde zmeđu proodnka zolatora umereno se suprostaljaju kretanju noslaca elektrcteta. Najažnj poluproodnc su slcjum, germanjum, galjum arsend,... Poluproodnčk materjal su osno saremene elektronke. Otpornost je mera suprostaljanja kretanju noslaca elektrcteta bće kasnje kanttatno defnsana. Proodnc maju malu otpornost, dok zolator maju elku otpornost. Na prmer, otpornost bakra je oko 0 5 puta manja od otpornost karca sth dmenzja..4 Elektrčna struja Elektrčna struja je jedan od osnonh pojmoa u elektrotehnc predstalja meru kolčne elektrcteta koja se pomerla u jednc remena. Pomeraj naelektrsanja može se ršt na razlčte načne. Kod metalnh proodnka, mehanzam pomeranja je kretanje slobodnh elektrona. U rastorma mehanzam pomeranja je kretanje poztno l negatno naelektrsanh jona, kao što je to slučaj u elektrohemjskm baterjama l u postupku galanzacje. U poluproodncma naelektrsanje se kreće kretanjem slobodnh elektrona l šupljna koje su nosoc poztnog naelektrsanja. Uobčajena oznaka za struju je l. Jednca za struju je mper () predstalja pomeraj od /s. Po konencj se uzma da smer struje odgoara smeru kretanja poztnog naelektrsanja. Prosečna (srednja) struja se defnše kao kolčnk ukupnog pomerenog naelektrsanja q remenskog nterala u kome se rš taj pomeraj t: q t S druge strane, trenutna struja se defnše kao brzna promene naelektrsanja, odnosno pr zod kolčne elektrcteta po remenu: dq dt U slučajema kada se struja sastoj od kretanja da tpa noslaca, trenutna struja se može zrazt na sledeć načn: dq dt dq dq dt gde je dq pomereno nkrementalno poztno naelektrsanje dok je dq pomereno nkrementalno negatno naelektrsanje. U elektrotehnc se sreću rlo razlčte rednst struje. Struja kod munja gromoa je reda nekolko desetna hljada ampera. U ndustrjskm pogonma elektrčnm ozlma struje su reda stotnu ampera. Kućn uređaj občno rade sa strujama u opsegu od 0.5 do 6. U elektronskm kolma struje su reda m, µ l n. U raznm mernm uređajma u fzc struje mogu bt reda p (0 ), kolke su struje zmeđu nernh ćelja kod žh bća. 5

10 .5 Napon Napon predstalja potencjalnu energju. azlka potencjla predstalja sposobnost prenosa naelektrsanja u toku struje. Jednca za napon je olt () predstalja energju od J, koja je potrebna za pomeraj poztnog naelektrsanja od. Uobčajena oznaka za napon je l. Posmatrajuć nkrementalne promene energje naelektrsanja, trenutn napon se može defnsat kao: dw dq.6 eferentn smero polartet Prlkom analze mehančkh sstema uek se korst nek koordnatn sstem, koj defnše šta se podrazumea pod poztnm smerom. Slčna stuacja je u analz elektrčnh pojaa, gde je rlo ažno da napon struje u kolu budu tako defnsan da se lako može odredt koja je od de tačke na šem potencjalu, l koj je starn smer neke struje. Na sl..a sa je označen napon zmeđu tačaka. Znac označaaju referentn smer napona. ko je > 0, onda je tačka sa oznakom () na šem potencjalu od tačke sa oznakom (), ako je < 0, onda je tačka sa oznakom () na nžem potencjalu od tačke sa oznakom (). Znak se ne mora psat, tada se on mplctno podrazumea. eferentn smer napona se može prozoljno usojt. Neka je, na prmer, na slc.a rednost napona 3, što znač da je potencjal tačke eć za 3 od potencjala tačke. ko b se referentn smer usojo tako da bude kod tačke, onda b rednost napona bla 3, što ma sto značenje kao u prethodnom slučaju. Kolo Kolo Slka.: Označaanje polarteta napona referentnog smera za struju. Na slc.b je strelcom označen referentn smer za struju, tako da ona protče od tačke, kroz element kola, do tačke. ko je > 0, onda je starn smer struje st sa referentnm smerom, ako je < 0, onda je starn smer struje suprotan referentnom smeru. Neka je 4. Onda je starn smer struje dentčan sa nacrtanm referentnm smerom, a ampltuda struje je 4. ko b pretpostaljen referentn smer bo suprotan nacrtanom na sl..b, tada b rednost struje bla 4, pa b starn smer struje bo suprotan referentnom, odnosno st kao u prom slučaju. Kao što se d, neophodno je potrebno specfcrat rednost referentn smer blo kog napona l struje u kolu. rednost elčna date bez referentnog smera su nekompletne, jer defnšu samo ampltude odgoarajućh elčna, a ne njhoe smeroe. 6

11 .7 Energja snaga Energja je ažan pojam u analz elektrčnh kola. Smer prenosa energje zas od znakoa napona struje. (t) Kolo (t) Slka.: Konencja za označaanje polarteta pr zračunaanje snage. Na prmer, na sl.. energja z kola se predaje elementu ezanom zmeđu tačaka ako je (t) > 0 (t) > 0. Za taka element se kaže da prma energju on se naza pasn element. Kod pasnh elemenata poztna struja ulaz u poztn naponsk termnal. ko je pak, (t) > 0 (t) < 0, element predaje energju kolu. Taka element se naza aktn element l zor. Kod aktnh elemenata poztna struja ulaz u negatn naponsk termnal. Snaga se defnše kao brzna promene energje: dw dw dq p dt dq dt Gornja jednačna pokazuje da se snaga na elementu kola može predstat prozodom napona na elementu struje kroz element. Pošto napon struja mogu bt remensk promenlj, snaga se takođe može menjat sa remenom onda se označaa sa p(t). Promena energje od trenutka t do trenutka t može se odredt ntegracjom jednačne za snagu kao: t w p dt t t t dt zračunaanje snage zahtea konsstentno koršćenje konencje o smeroma napona na element struje kroz element. eferentn polartet napona na elementu (t) referentn smer struje kroz element (t), moraju bt tako defnsan da poztn termnal napona bude kod one tačke elementa u koju ulaz referentn smer stuje, kao što je prkazano na sl... Onda će prozod napona struje odredt znak snage. ko je p(t) > 0, element je pasan, ako je p(t) < 0, element je aktan..8 Modeloanje elektrčnh sstema Modeloanje je proces uprošćenog predstaljanja realnog fzčkog sstema na načn koj omogućaa prmenu matematčkh tehnka za analzu takog sstema. Uprošćaanje predstae sstema se zod usajanjem zesnh pretpostak kojma se zanemaruju nebtna sojsta. 7

12 U analz elektrčnh kola jedna od najažnjh uprošćaajućh pretpostak je da su osnone karakterstke kola koncentrsane u pojednačne blokoe (elemente), koj su poezan dealnm proodncma. Taka pretpostaka je opradana se dok učestanost sgnala nje suše soka, tj. manja je od mkrotalasnh učestanost..9 dealn elektrčn element dealn elektrčn element su kompletno opsan matematčkom relacjom zmeđu napona na elementu struje kroz element. dealn elektrčn element se mogu podelt na aktne l pasne zasno od toga da l predaju energju ostatku kola l prmaju energju z kola..0 dealn pasn elektrčn element dealn pasn elektrčn element su otpornk, kalem kondenzator. On su predstaljen smbolma opsan matematčkm relacjama kao na slc: Otpornk Kalem Kondenzator l d L dt dt L dt d dt Slka.3: dealn pasn elektrčn element. Otpornk predstalja komponentu kod koje se energja koja se predaje elementu pretara u toplotu l setlosnu energju. Konstanta u defnconm relacjama predstalja otpornost otpornka (jednca Om Ω). Kalem predstalja komponentu kod koje se energja koja se predaje elementu pretara u magnetsko polje. Konstanta L u defnconm relacjama predstalja nduktnost kalema (jednca Henr H). Kondenzator predstalja komponentu kod koje se energja koja se predaje elementu pretara u elektrčno polje. Konstanta u defnconm relacjama predstalja kapactnost kondenzatora (jednca Farad F). Oa tr pasna elementa, zajedno sa zorma koj će bt defnsan u narednm odeljcma, omogućaaju da se predsta analzra rlo šrok krug elektrčnh elektronskh kola. 8

13 . dealn nezasn elektrčn zor dealn nezasn naponsk zor je aktn element koj održaa napon zmeđu prstupa nezasno od struje kroz njega. rednost napona nezasnog naponskog zora može bt konstantna (kao kod elektrohemjskh baterja), l neka funkcja remena (t). Smbol koj se korste za predstaljanje dealnh naponskh zora prkazan su na sl..4. Znak pored smbola označaa referentn polartet napona zora. (t) Slka.4: dealn nezasn naponsk zor. dealn nezasn strujn zor je aktn element koj održaa struju zmeđu prstupa nezasno od napona zmeđu prstupa. rednost struje nezasnog strujnog zora može bt konstantna, l neka funkcja remena (t). Smbol koj se korst za predstaljanje dealnog strujnog zora prkazan je na sl..5. Strelca u smbolu označaa referentn smer struje zora. (t) Slka.5: dealn nezasn strujn zor. Na prmerma modela nezasnh zora mogu se lako uočt upročćaanja prlkom modeloanja komponent. Na prmer, dealn naponsk zor održaa napon (t) na sojm krajema nezasno od struje. Teorjsk, struja b mogla da bude beskonačno elka, što b zazalo da taka zor može genersat beskonačnu snagu. To je narano fzčk nemoguće. Dakle, dealn model komponenata predstaljaju ažeće aproksmacje realnh komponenata samo pod zesnm usloma.. dealn zasn (kontrolsan) elektrčn zor Za razlku od nezasnh zora koj generšu nek napon (l struju) nezasno od toga šta se dešaa u ostatku kola, dealn zasn zor generšu napon (l struju) koja zas od nekog drugog napona l struje u kolu. Oak zor su ažn jer omogućaaju modeloanje mnogh elektronskh elemenata, kao što su, na prmer, tranzstor. Postoje 4 tpa dealnh zasnh zora, koj su prkazan na slkama.6.7. Kao što se d, zasn zor maju četr prključka. Ulazn kraje (sa lee strane) predstaljaju elčnu koja kontrolše zor, a zlazn kraje (sa desne strane) predstaljaju zlaznu struju l napon kontrolsanog zora. Prmetmo da su konstante µ β bezdmenzone konstante, jer se u prom slučaju napon transformše u napon, a u drugom slučaju se struja transformše u struju. 9

14 Konstanta µ se često naza naponsko pojačanje, a konstanta β strujno pojačanje. S druge strane, konstante r g su dmenzone konstante. Konstanta r ma dmenzju otpornost (transmpedansa), dok konstanta g ma dmenzju recpročnu otpornost (transkonduktansa). 0 µ 0 0 r 0 Slka.6: Naponsk kontrolsan naponsk zor (NKN) strujno kontrolsan naponsk zor (SKN). 0 g 0 0 β 0 Slka.7: Naponsk kontrolsan strujn zor (NKS) strujno kontrolsan strujn zor (SKS). 0

15 3. Kola sa stalnm jednosmernm strujama Kola sa stalnm jednosmernm strujama sastoje se samo od otpornka zora konstantnog napona l struje. Jednačne koje opsuju tako kolo su lnearne, tako da se taka sstem jednačna može lako rešt. Zbog jednostanost opsa kola, kod kola sa stalnm jednosmernm strujama lako je objasnt osnone zakone, kao što su Omo zakon, pr drug Krhofo zakon. 3. Omo zakon Omo zakon defnše naponsko strujnu zasnost kod otpornka glas: Napon na otpornku je drektno proporconalan struj kroz otpornk. Slka 3.: Omo zakon. Konstanta proporconalnost predstalja otpornost otpornka. Jednca za otpornost je Om (Ω). U praks se otpornc prae nanošenjem metalnog l ugljenog flma na keramčku podlogu, l od žce elke specfčne otpornost. U ntegrsanm kolma se otpornc prae posebnm tehnkama koje su prlagođene prozodnj ostalh poluproodnčkh komponenata. Tpčne renost otpornost koje se sreću u elektrotehnc elektronc se kreću od deloa Ω do nekolko MΩ. Proodnost otpornka G je recpročna rednost otpornost: G Jednca za proodnost je Smens (S). Omo zakon zražen preko proodnost glas: G Otpornk je pasn element koj apsorbuje snagu pretara je u toplotu. Snaga razjena na otpornku je prozod struje napona: P

16 Prmenom Omoog zakona, snaga na otpornku se može zrazt sa ekalentnm zrazma: Specjaln slučaje otpornost: P G G 0 ( G ) Oaj slučaj se naza kratak spoj. Napon zmeđu prstupa kod kratkog spoja je jednak nul, a struja može mat ma kaku rednost. G 0 ( ) Oaj slučaj se naza otorena eza. Napon zmeđu prstupa kod otorene eze može mat ma kaku rednost, a struja je jednaka nul. 3. Elektrčno kolo Elektrčno kolo predstalja nterkonekcju da l še elemenata. Poezanje elemenata se rš proodncma čja se otpornost može zanemart. 3 D Slka 3.: Prmer jednog elektrčnog kola. Pre nego što formulšemo osnone zakone koj opsuju ponašanje elektrčnh kola, moramo se upoznat sa nekolko defncja osnonh termna: Čor kola je tačka spajanja da l še elemenata kola (,,, D, na sl. 3.). Petlja predstalja ma koj zatoren put kroz kolo kod koga se kroz jedan čor može proć samo jednom (, D, D, na sl. 3.). Kontura predstalja petlju koj ne sadrž u seb neku drugu petlju (, D, na sl. 3.). Grana je deo kola koj sadrž samo jedan element čoroe na krajema elementa (,,, D, D, na sl. 3.).

17 3.3 Pr (strujn) Krhofo zakon Nemačk fzčar Gusta Krhof je još srednom 9. eka formulsao da osnona zakona koj opsuju ponašanje elektrčnh kola. Pr Krhofo zakon se odnos na struje u kolu glas: lgebarska suma struja koje utču u ma koj čor kola jednaka je nul. N j j 0 gde je j struja jte grane koja ulaz u čor, dok je N broj grana koje ulaze u čor. Po konencj se struje čja je referentna orjentacja ka čoru uzmaju se sa poztnm predznakom, dok se struje čja je referentna orjentacja od čora uzmaju sa negatnm predznakom. lternatna formulacja prog Krhofoog zakona glas: čora. Suma struja koje utču u ma koj čor kola jednaka je sum struja koje stču z stog 3.4 Drug (naponsk) Krhofo zakon Drug Krhofo zakon se odnos na napone u kolu glas: lgebarska suma napona u blo kojoj petlj kola jednaka je nul. N j j 0 gde je j napon na jtoj gran petlje koja ukupno ma N grana. Po konencj se napon na granama čja je referentna orjentacja suprotna orjentacj petlje uzmaju se sa poztnm predznakom, dok se napon na granama čja je referentna orjentacja sta sa orjentacjom petlje uzmaju sa negatnm predznakom. 3.5 Paralelna serjska eza otpornka Pr drug Krhofo zakon opsuju stanje sakog elektrčnog kola. Međutm, kada se prmene na kola sa samo jednm parom čoroa, l na kola sa samo jednom petljom, on daju neke rlo korsne rezultate, koj se mogu prment za uprošćaanje elektrčnh kola Serjska (redna) eza otpornka ko se N otpornka tako poeže tako da se u sakom čoru stču samo po da otpornka (osm kod prog poslednjeg čora), taka eza se naza serjska l redna eza otpornka prkazana je na slc 3.3a. Za jednu petlju u kolu se može napsat jednačna po drugom Krhofoom zakonu: L ) s s L N s ( N s 3

18 dok se za ekalentnu petlju na slc 3.3b može napsat: s s s... N s s Slka 3.3: Serjska (redna) eza otpornka. ko su napon zora struja kroz zor u oba kola st, onda se za ekalentnu otpornost s dobja: L s N odnosno, ekalentna otpornost serjsk ezanh otpornka jednaka je zbru pojednačnh otpornost. Posmatrajmo da serjsk ezana otpornka, kao na slc 3.4. Pošto kroz oba otpornka protče sta struja, napon na serjsk ezanm otporncma su:, odnosno, napon zora del se zmeđu otpornka u drektnoj srazmer sa njhom otpornostma. Oako kolo se naza deltelj (razdelnk) napona često se prmenjuje u elektronc. Slka 3.4: Deltelj (razdelnk) napona Paralelna eza otpornka ko se N otpornka tako poeže da s maju zajednčke prključke, taka eza se naza paralelna eza otpornka prkazana je na slc 3.5a. Za čor u kome su poezan naponsk zor s otpornc se može napsat jednačna po prom Krhofoom zakonu: 4

19 p G G L GN ( G G L GN ) dok se za ekalentn čor na slc 3.5b može napsat: p G p p p... N p Slka 3.5: Paralelna eza otpornka. ko su napon zora struja kroz zor u oba kola st, onda se za ekalentnu otpornost G p dobja: G G G L p G N odnosno, ekalentna proodnost paralelno ezanh otpornka jednaka je zbru pojednačnh proodnost. lternatn oblk prethodne jednačne je: L p N Posmatrajmo da paralelno ezana otpornka, kao na slc 3.6. Pošto je napon na oba otpornka st, struje kroz paralelno ezane otpornke su:, odnosno, struja zora del se zmeđu otpornka u obrnutoj srazmer sa njhom otpornostma. Oako kolo se naza deltelj (razdelnk) struje često se prmenjuje u elektronc.... Slka 3.6: Deltelj (razdelnk) struje. 5

20 6 3.6 Transformacje trougao zezda zezda trougao Još de često koršćene transformacje u rešaanju elektrčnh kola su transformacje trougla u zezdu obrnuto. Na slc 3.7 je prkazano ezanje tr otpornka u trougao zezdu. U lteratur na engleskom jezku oe transformacje su poznate kao Y, odnosno, Y. 3 Slka 3.7: ezanje otpornka u trougao ( ) zezdu (Y). Da b oa da kola bla ekalentna, otpornost zmeđu ma koje de tačke u oba kola, kada se treća tačka osta nepoezana, mora bt sta. Dakle, koršćenjem prala za paralelno serjsko ezanje otpornka, sa slke 3.7 se dobja: ) ( ) ( ) ( ešaanjem oog sstema jednačna po,, dobja se: dok se rešaanjem sstema jednačna po, 3, dobja: 3

21 3.7 Sstem jednačna napona čoroa U procesu rešaanja elektrčnog kola potrebno je odredt struje kroz elemente kola napone na elementma kola. Za njhoo određanje možemo napsat sstem lnearnh jednačna, koj se sastoj od jednačna po prom Krhofoom zakonu, jednačna po drugom Krhofoom zakonu jednačna elemenata po Omoom zakonu. Prlkom određanja napona u kolu jedan čor u kolu se bra za referentn čor pa se preostal napon računaju u odnosu na njega. eferentn čor se najčešće naza masa. Oako formran sstem ma elk broj jednačna. Da b se smanjo broj jednačna u sstemu može se postupt na da načna. Pr načn je da se pro odrede s napon u kolu, a da se potom odrede struje kroz elemente na osnou Omoog zakona, a drug načn je da se pro odrede struje u kolu pa tek onda napon na elementma. U oba slučaja se broj jednačna u sstemu značajno smanjuje. U elektronskm kolma je broj čoroa občno znatno manj od broja elemenata, pa je pr načn formranja jednačna korsnj. Da b se formrao taka sstem jednačna, pro se za sak čor (osm za referentn) napše odgoarajuća jednačna po prom Krhofoom zakonu, a zatm se struje koje utču u čor l stču z čora zraze preko napona čoroa Omoog zakona. U slučaju kola sa N čoroa, broj jednačna u sstemu je N. Taka sstem jednačna se naza sstem jednačna napona čoroa. Struja kroz element zmeđu čoroa m n data je po Omoom zakonu: m n Oa struja se pojaljuje samo u jednačnama po prom Krhofoom zakonu napsanom za čoroe m n. U slučaju kola sa N čoroa, broj nepoznath elčna (napona) u sstemu N, tj. st je kao broj jednačna. Dakle, posle sređanja napsanh jednačna, koje se sastoj u grupsanju članoa koj odgoaraju stm nepoznatm naponma prebacanja konstantnh članoa na desnu stranu jednačna, formran sstem zgleda oako: G G L G G N G G L G M G N N N N N L G N N N N Oaj sstem jednačna se može drektno napsat na osnou posmatranja kola, bez prethodnog formranja jednačna po prom Krhofoom zakonu. Koefcjent an glane djagonale G mn, gde je m n, predstaljaju zbr proodnost sh grana zmeđu čoroa m n uek maju negatn predznak. Djagonaln koefcjent G kk predstaljaju zbr proodnost sh grana koje se stču u čor k uek maju poztn predznak. 3.8 Lnearna kola: prncp superpozcje homogenost U elektrotehnc elektronc elku prmenu ma klasa lnearnh kola. Da b kolo blo lnearno mora zadooljt prncpe superpozcje homogenost. 7

22 Prncp superpozcje trd da se u jednom lnearnom kolu sa še nezasnh zora, struja kroz ma koj element l napon blo kog čora u kolu, može bt predstaljen kao algebarsk zbr doprnosa pojednačnh zora. Prlkom određanja doprnosa jednog zora, preostal nezasn naponsk zor moraju bt zamenjen kratkm spojema, a preostal nezasn strujn zor se moraju zament otorenm ezama. Zasn zor ostaju nezmenjen u kolu. ako prmena prncpa superpozcje zahtea šestruko rešaanje sstema jednačna, sstem jednačna koj se dobjaju posle anulranja preostalh nezasnh zora su često znatno jednostanj, pa njhoo rešaanje ne predstalja problem. Prncp homogenost trd da ako se u jednom lnearnom kolu nek nezasn zor pomnož (skalra) nekom konstantom, onda se njego doprnos strujama naponma u kolu množe stom konstantom. Dokaz oh prncpa sled z lnearnost stema jednačna koje opsuju kolo. 3.9 Transformacja zora U elektrčnm kolma se retko sreću dealn naponsk strujn zor. ealn naponsk zor, prkazan na slc 3.8, ma konačnu unutrašnju otpornost. ealn strujn zor, takođe prkazan na slc 3.8, ma konačnu unutrašnju proodnost G. p p p p p p Slka 3.8: ealn strujn zor realn naponsk zor. U clju uprošćenja kola, ponekad je pogodno pretort strujn zor u ekalentn naponsk zor obrnuto. Do usloa ekalencje se lako može doć posmatranjem slke 3.8. ko se na realn strujn l naponsk zor prključ st otpornk prozoljne otpornost p, onda u slučaju ekalentnh zora struja kroz otpornk p mora bt st u oba kola. Po Omoom zakonu, onda je st napon na otpornku p. Dakle, z usloa jednakost struja kroz p : p p p drektno se dobjaju uslo ekalencje realnog naponskog strujnog zora:, Dakle, ako u kolu mamo strujn zor struje njemu paralelno ezan otpornk, onda se oa kombnacja može zament ekalentnm naponskm zorom napona serjsk ezanm otpornkom. Takođe až obrnuto: ako u kolu mamo naponsk zor napona sa serjsk ezanm otpornkom, onda se oa kombnacja može zament ekalentnm strujnm 8

23 zorom struje njemu paralelno ezanm otpornkom. Ostal parametr kola u kome se nalaze nezasn zor ostaju nepromenjen. Transformacje zora maju elku prmenu u uprošćaanju elektrčnh kola, kada je potrebno smanjt broj čoroa l smanjt broj petlj u kolu. 3.0 Teenenoa Nortonoa teorema Pretpostamo da mamo neko elektrčno kolo da želmo da odredmo struju, napon l snagu na nekom otpornku, koj ćemo nazat potrošač obeležt sa p. Oa stuacja je lustroana na slc 3.0a. Teenenoa Nortonoa teorema pokazuju kako se celo kolo, osm potrošača, može zament ekalentnm realnm naponskm l strujnm zorom, tako da struja napon potrošača ostanu nepromenjen. Posmatrajmo kolo na sl. 3.0a. ko se potrošač sključ z kola, prstupn kraje ostaju otoren, na njma postoj napon, koj ćemo nazat napon otorene eze obeležt sa O, kao na slc 3.0b. Međutm, ako se posle sključenja potrošača prstupn kraje kratkospoje, onda zmeđu njh postoj struja kratkog spoja, koju ćemo obeležt sa S, kao na slc 3.0c. Kolo sa zorma otporncma p Kolo sa zorma otporncma O Kolo sa zorma otporncma S Slka 3.0: Određanje napona otorenh krajea struje kratkog spoja. Za zođenje Teenenoe teoreme posmatrajmo kolo na sl. 3.a, u kome je kompletno kolo sa zorma otporncma (bez potrošača) zamenjeno ekalentnm naponskm zorom T serjsk ezanm otpornkom T. Poređenjem kola sa slke 3.0 slke 3.a, lako se d da su struja kroz potrošač napon na potrošaču st ako je: T O, T O S T p p T N N Slka 3.: Teenenoa Nortonoa teorema. 9

24 Oe relacje predstaljaju Teenenou teoremu koja glas: Sako elektrčno kolo sa zasnm nezasnm zorma otporncma se može zament ekalentnm kolom koje se sastoj od dealnog naponskog zora T, čj je napon jednak naponu kola sa sključenm potrošačem O, serjskog otpornka T, čja je otpornost jednaka kolčnku napona kola sa sključenm potrošačem O struje kroz kratkospojen potrošač S. Za zođenje Nortonoe teoreme posmatrajmo kolo na sl. 3.b, u kome je kompletno kolo sa zorma otporncma (bez potrošača) zamenjeno ekalentnm strujnm zorom N paralelno ezanm otpornkom N. Poređenjem kola sa slke 3.0 slke 3.b, lako se d da su struja kroz potrošač napon na potrošaču st ako je: N S, N O S Oe relacje predstaljaju Nortonou teoremu koja glas: Sako elektrčno kolo sa zasnm nezasnm zorma otporncma se može zament ekalentnm kolom koje se sastoj od dealnog strujnog zora N, čja je struja jednaka struj kroz kratkospojen potrošač S, paralelnog otpornka N, čja je otpornost jednaka kolčnku napona kola sa sključenm potrošačem O struje kroz kratkospojen potrošač S. Specjaln slučaj Teenenoe Nortonoe teoreme nastaje kada kolo čj se ekalent traž sadrž samo nezasne zore, odnosno ne sadrž zasne zore. Tada se zračunaanje ekalentne otpornost T l N može uprostt. Umesto potrošača na krajee prključ se naponsk generator T, nezasn zor u kolu se anulraju kratkospajanjem nezasnh naponskh zora raskdanjem nezasnh strujnh zora, zatm se odred struja kroz test generator T, na kraju ekalentna otpornost T T. T st postupak se može sproest prključanjem strujnog test generatora, T određanjem napona na njemu, T. Odluka o tome koj postupak treba prment zas od toga kolka uprošćenja donos jedan l drug načn. 0

25 4. Kola sa promenljm strujama U elektronskm kolma se često dešaa da se struktura kola menja otaranjem l zataranjem nekog prekdača. Posle take promene nastaje promena napona struja u kolu koja se odja po određenm zakontostma, koje ćemo proučt u oom poglalju. Taka analza kola se naza analza prelaznog režma. U odjanju prelaznh pojaa klučnu ulogu maju da pasna elementa koje smo eć pomenul: kondenzator kalem. Oba oa elementa maju neke zajednčke osobne. On su lnearn element jer je kod njh relacja zmeđu struje napona predstaljena lnearnm dferencjalnm jednačnama. Takođe, oba elementa maju sposobnost akumulacje energje. Kod kondenzatora energja se akumulra u elektrčnom polju, a kod kalem u magnetskom polju. kumulrana energja se može predat ostatku kola. Zbog oe osobne akumulacje energje, kondenzator kalem se nazaju reaktn element. 4. Kondenzator Kondenzator se sastoj od de proodne poršne razdojene zolaconm materjalom (delektrkom). Opterećenje kondenzatora, čj je smbol zajedno sa referentnm smeroma za napon struju prkazan na slc 4., srazmerno je naponu na kondenzatoru: Q Konstanta u prethodnom zrazu naza se kapactnost (kapactet) kondenzatora. ko se napon na kondenzatoru ne menja, pošto su elektrode kondenzatora zoloane delektrkom, nema stalne struje kroz kondenzator. Dakle, pr konstantnoj pobud kondenzator se ponaša kao otorena eza. (t) (t) q(t) Slka 4.: Smbol kondenzatora referentn smero za struju napon. Međutm, ako se napon na kondenzatoru menja sa remenom, menjaće se njegoo elektrčno opterećenje: Dferencranjem oe jednačne se dobja: q ( t) ( t) dq ( t) d( t) ( t) dt dt

26 Dakle, ako se napon na kondenzatoru menja, kroz opterećenje na kondenzatoru se takođe menja, što znač da postoj struja kroz kondenzator. z poslednje jednačne se takođe d da nje moguće naglo proment napon na kondenzatoru jer b to zahtealo beskonačno elku struju kroz njega. ntegracjom prethodne jednačne se dobja: t t0 t ( 0 t) ( x) dx ( x) dx ( x) dx ( t ) gde se t ) naza početn napon na kondenzatoru. ( 0 t0 t t0 ( x) dx Energja akumulrana u elektrčnom polju kondenzatora se može odredt z snage koja se predaje kondenzatoru: t c d( x) w ( t) p( t) dt ( x) dx dx ( t) Kapactet kondenzatora u praks kreće se od pkofarada ( pf 0 F) do mlfarada ( mf 0 3 F). ealn kondenzator nemaju dealn delektrk, tako da postoj slaba proodnost zmeđu de ploče. Nedealn delektrk se modeluje ezanjem otpornka elke otpornost paralelno kondenzatoru. Slčno otporncma, kondenzator se mogu ezat paralelno l serjsk. Korsteć Krhofo zakon, lako se može pokazat da ekalentna kapactnost paralelne eze kondenzatora predstalja zbr kapactnost paralelno ezanh kondenzatora: L p N Koršćenjem Krhofoog zakona, dobja se da recpročna rednost ekalentne kapactnost serjske eze kondenzatora predstalja zbr recpročnh rednost kapactnost serjsk ezanh kondenzatora: L p N 4. Kalem Kalem se sastoj od proodne žce koja je namotana oko jezgra od nemagnetnog l magnetnog materjala. Smbol kalema, zajedno sa referentnm smeroma za napon struju prkazan je na slc 4.. elacja zmeđu napona struje kalema data je dferencjalnom jednačnom: d( t) ( t) L dt Konstanta L u prethodnom zrazu naza se nduktnost kalema.

27 (t) (t) L Slka 4.: Smbol kalema referentn smero za struju napon. ko je struja kroz kalem konstantna, njen pr zod je nula, pa je napon na kalemu takođe nula. Dakle, u stalnom jednosmernom režmu kalem se ponaša kao kratak spoj. Postupajuć na slčan načn kao kod kondenzatora, ntegracjom prethodne jednačne se dobja: t ( t) ( x) dx ( t0 ) L L t t0 ( x) dx gde je ( t 0 ) početna struja kroz kalem. Energja akumulrana u magnetskom polju kalema može se odredt z snage koja se predaje kalemu: t L d( x) w ( t) L ( x) dx dx L ( t) nduktnost kalemoa u praks kreće se od µh do nekolko H. ealn kalemo maju malu, al konačnu otpornost žce, tako da dspraju energju. Nedealn kalem se modeluje ezanjem otpornka male otpornost na red sa kalemom. Kalemo se mogu poezat paralelno l serjsk. U slučaju paralelne eza kalemoa, z Krhofoog zakona sled da recpročna rednost ekalentne nduktnost paralelne eze kalemoa predstalja zbr recpročnh rednost nduktnost paralelno ezanh kalemoa: L L L L p L N Koršćenjem Krhofoog zakona, dobja se da ekalentna nduktnost serjske eze kalemoa predstalja zbr rednost nduktnost serjsk ezanh kalemoa: L L L L s L N 4.3 Kola prog reda sa kondenzatorma kalemoma Kola prog reda sadrže zore, otpornke kondenzator ( kola) l kalem (L kola) prkazana su na slc 4.3. Da b posmatral prelazn režm kod kola prog reda, smatraćemo da se prekdač, koj je bo otoren, zatara u trenutku t 0, čme se pobudn zor ezuje u kolo. Ponašanje kola za t > 0 određeno je drugm Krhofom zakonom koj glas: 3

28 t čjm se dferencranjem po remenu dobja: ( x) dx ( t) s l, posle sređanja, t0 ( t) d( t) 0 dt d( t) ( t) 0 dt t0 s s L (t) (t) Slka 4.3: Kola prog reda: kolo L kolo. Ponašanje L kola za t > 0 određeno je drugm Krhofom zakonom koj glas: l, posle sređanja, d( t) L ( t) dt s d( t) s ( t) dt L L Poređenjem dferencjalnh jednačna za kolo L kolo se d da se oba kola mogu opsat dferencjalnom jednačnom oblka: dx( t) ax( t) dt f ( t) z matematke je poznato da se rešenje oake dferencjalne jednačne može uek predstat u oblku: x( t) x ( t) x ( t) p gde je x p (t) prnudno rešenje, koje predstalja ma koje rešenje dferencjalne jednačne: c dxp( t) ax dt p ( t) f ( t) dok je x c (t) prrodno rešenje, koje predstalja rešenje homogene dferencjalne jednačne: 4

29 dxc ( t) axc ( t) 0 dt z jednačne koja daje prrodno rešenje se d da rešenje x c (t) njego zod dx c ( t) dt moraju mat st remensk oblk, jer se nače ne b mogl ponštt. Jedan moguć oblk za x c (t) at je eksponencjalna funkcja xc ( t) Ke. Što se prnudnog rešenja x p (t) tče, ono se mora sastojat od f (t) prog zoda df ( t) dt. zuzetak od oog prala predstalja slučaj f at ( t) e, gde je a sta konstanta kao u dferencjalnoj jednačn. U slučaju posmatranh L kola, f(t) const, pa je prnudno rešenje dferencjalne jednačne takođe konstanta x p ( t) K. Prrodno rešenje je, kao što je eć rečeno, at eksponencjalnog oblka x ( t) K e. Kompletno rešenje dferencjalne jednačne je onda: c x( t) K K e at K K e t /τ Konstanta τ a naza se remenska konstanta kola. τ za kolo, dok je τ L/ za L kolo. remenska konstanta određuje brznu kojom se odjaju promene napona l struja u kolu. Lako je pokazat da se za reme t τ posmatrana elčna x(t) promen za 63.% od ukupne moguće promene, dok se za reme t 5τ sta elčna promen za 99.33%. Dakle, posle pet remenskh konstant prelazn proces je praktčno zaršen. Oa analza pokazuje da elka remenska konstanta znač spore promene elčna u kolu, a da mala remenska konstanta znač brze promene elčna u kolu. Za lustracju oe čnjence, na slc 4.4 su prkazana rešenja dobjena za de rednost remenske konstante τ τ 0., dok su ostal parametr st: K 0 K. 0.8 xc 0.6 tau tau t Slka 4.4: Zasnost brzne promene odza od remenske konstante. Prmetmo da drug član u rešenju tež ka nul kada t. Dakle: K lm x( t) x( ) t naza se ranotežno rešenje. Takođe, z usloa: 5

30 lm x( t) x(0) K t 0 K x( ) K dobja se drug oblk konačnog rešenja: x( t) x( ) t / τ [ x(0) x( ) ] e koj može korsno poslužt za drektno psanje jednačne za napon l struju, ako su poznate elčne x (0), x ( ) τ. ezme analze kola prog reda:. nalzra se kolo pre promene stanja prekdača, da b se odredo početn napon na kondenzatoru (0) l početna struja kalema L (0).. Posle promene stanja prekdača, ponoo se analzra kolo da b se odredl napon na kondenzatoru (t) l struja kalema L (t). 3. Početn fnaln uslo u kolu se korste da b se odredle konstante K K u dobjenom rešenju. 4. Ukolko tražena nepoznata elčna nje napon na kondenzatoru (t) l struja kalema L (t), korste se jednačne kola da b se odredla tražena elčna. ezultat koj su zeden u oom poglalju mogu se uspešno prment na složenja kola. Prmenom Teenenoe l Nortonoe teoreme, deo kola sa otporncma zorma se može predstat ekalentnm zorom otpornkom, a še kondenzatora l kalemoa se mogu ekalentrat jednm kondenzatorom l kalemom ukolko su ezan paralelno l serjsk. 4.4 Kola drugog reda sa kondenzatorma kalemoma Nešto složenj slučaj za analzu nastaje kada su kondenzator kalem smultano prsutn u kolu. Tada se dobjaju elektrčna kola sačnjena od zora, otpornka, kondenzatora kalema (L kola), koja su predstaljena na slc 4.5. s (t) L (t) s (t) (t) L c (t 0 ) Slka 4.5: Kola drugog reda (L kola). 6

31 ko postoj početna energja u kalemu kondenzatoru, onda se za pro L kolo može napsat jednačna po Krhofoom zakonu: t ( t) d( t) ( t ) ( x) dx L dt ( ) L 0 s t t0 dok se za drugo L kolo može napsat jednačna po Krhofoom zakonu: d( t) ( t) ( t ) ( x) dx L dt t ( ) 0 s t t0 ko se obe jednačne dferencraju po remenu, a zatm pra podel sa a druga sa L, onda se dobja: odnosno, d ( t) d( t) ds ( t) ( t) dt dt L dt d ( t) d( t) ds ( t) ( t) dt L dt L L dt Dakle, oba kola se mogu opsat dferencjalnom jednačnom drugog reda sa konstantnm koefcjentma: čje je rešenje: d x( t) a dt dx( t) ax( t) dt x( t) x ( t) x ( t) p c f ( t) gde je x p (t) prnudno rešenje, a x c (t) prrodno rešenje. ko je pobudna funkcja konstanta, rešenje x p (t) rešenje jednačne: f ( t), kao na slc 4.4, onda je prnudno d xp( t) dxp( t) a a xp( t) dt dt z čnjence da prnudno rešenje mora bt sačnjeno od df ( t) dt 0 sled: x p ( t) a f ( t) prog zoda Homogena jednačna z koje se dobja prrodno rešenje se može napsat u oblku: 7

32 d x( t) dx( t) α ω0x( t) 0 dt dt st Smenom x ( t) Ke 0, oa jednačna postaje algebarska jednačna: l s Ke st αske s st αs ω ω Ke st 0 Oa jednačna se naza karakterstčna jednačna, koefcjent α se naza koefcjent prgušenja, a dok se naza ω 0 rezonantna učestanost. ešenja oe kadratne jednačne su: s, s α ± α ω 0 nazaju se prrodne (sopstene) učestanost. ešenja homogene dferencjalne jednačne su: st st x ( t) Ke, x( t) Ke a njho zbr takođe predstalja prrodno rešenje: st st xc ( t) Ke Ke Konstante K K se određuju z početnh usloa x(0) dx ( 0) dt. oblka: Zasno od rednost parametara α ω 0, razlkuju se tr slučaja:. α > ω0 prgušeno rešenje. ešenja s s su realna nejednaka, pa je prrodno rešenje x ( t) K e c ( α α ω0 ) t K e ( α α ω0 ) t predstalja zbr de opadajuće eksponencjalne funkcje. Konstante K K se određuju z početnh usloa.. α < ω0 neprgušeno rešenje. ešenja s s su konjugoano kompleksna, pa je prrodno rešenje oblka: ( α jωn ) t ( α jωn ) t αt xc ( t) K e Ke e ( cosωnt sn ω nt predstalja osclacje sa eksponencjalno opadajućom ampltudom. Konstante se određuju z početnh usloa. 3. α ω0 krtčno prgušeno rešenje. ešenja s s su realna jednaka, pa je prrodno rešenje oblka: ) x ( t) c e te αt αt 8

33 Konstante se određuju z početnh usloa. Na slc 4.5 prkazan su odz kola u sa tr slučaja, za ste početne usloe stu učestanost ω 0 tr rednost koefcjenta prgušenja α, α, α 0. 5 α. Uočaa se da je odz kola najbrž u slučaju krtčnog prgušenja x > Sl. Sl. Sl t > Slka 4.5: Tr slučaja odza kola drugog reda. 9

34 5. Kola sa nazmenčnm strujama Posebna klasa elektrčnh kola su kola kod kojh su napon struje pobudnh zora snusodalne funkcje remena. U režmu koj nastaje posle smranja prelaznh pojaa, napon struje elemenata kola će takođe mat st remensk oblk, tj. predstaljaće snusodalne funkcje remena. U elektrotehnc je nteres za proučaanje oakh kola elk s obzrom na čnjencu da je nazmenčn napon domnantan u snabdeanju elektrčnom energjom u domaćnstma ndustrj. Takođe, pošto se prmenom Furjeoe analze može pokazat da se blo kaka perodčna funkcja može predstat zbrom snusodalnh funkcja, za analzu kola sa složenm perodčnm pobudama može se prment prncp superpozcje. 5. Osnon pojmo Posmatraćemo pro kola kod kojh pobudn zor predstaljaju snusodalne funkcje remena. nalzraćemo ustaljeno, staconarno l ranotežno stanje, koje nastaje posle smranja prelaznh procesa u kolu posle prmene snusodalne pobude, a kada su napon struje u kolu takođe snusodaln, odonosno prostoperodčn. Posmatrajmo snusnu funkcju: x( t) X M sn ωt koja je prkazana na slc 5.. X M se naza ampltuda (maksmalna rednost), ω se naza kružna l ugaona učestanost, dok je ωt argument. elčna x (t) može predstaljat napon (t) l struju (t). x(ωt) X M x(t) X M π/ π 3π/ π ωt T/4 T/ 3T/4 T t X M X M Slka 5.: Snusna funkcja u funkcj argumenta ωt remena t. Oa funkcja je perodčna sa perodom od π radjana. Perod oe funkcje T učestanost snusode f su poezan relacjom: f T 30

35 z usloa perodčnost: ωt π sled: π ω πf T Nešto opštj oblk snusodalne funkcje je: gde je θ fazn ugao l početna faza. x M ( t) X sn( ωt θ) 5. Predstaljanje snusodalnh elčna kompleksnm brojema Posmatrajmo jedno L kolo pobuđeno naponskm snusodalnm zorom. Onda se po Krhofoom zakonu može psat: d( t) L ( t) M cosωt dt Pošto je pobuda snusodalna, struja mora bt oblka: M ( t) cos( ωt φ) Zamenom u prethodnu dferencjalnu jednačnu rešaanjem po nepoznatma M φ, posle dužeg zračunaanja se dobja: M M ω L ωl φ arctg pa je: M ωl ( t) cos( ωt arctg ) ω L Kao što se d, do rešenja smo došl na komplkoan dugotrajan načn. Jednostanj načn rešaanja se dobja uspostaljanjem eze zmeđu snusodalnh funkcja kompleksnh brojea. Oa eza dood do algebarskh jednačna po prom drugom Krhofoom zakonu, koje zamenjuju odgoarajuće dferencjalne jednačne. Poć ćemo od Ojleroe predstae kompleksnog broja: e j ω t cos ωt j sn ωt 3