Induktivno spregnuta kola

Transcript

1 Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje kola. U induktivno spregnutim kolima promjene struje u jednom kolu uzrokuju promjene fluksa, a time i pojavu elektromotorne sile na pristupima drugom kolu. U transformatorima se induktivna sprega postiže tako što se kalemovi namotavaju na zajedničko jezgro tako da magnetno polje jednog kalema prolazi kroz drugi. Principijelna šema transformatora prikazana je na Slic, a simbol na Slici 2. Kalem (namotaj) na koji je priključena pobuda naziva se primar, a kalem na kojem se posmatra odziv se naziva sekundar. Slika 1: Principijelna šema transformatora. Sopstveni fluks primara jednak je Φ 1 = Φ 11 + Φ 12. (1) Sopstveni fluks sekundara je Φ 2 = Φ 22 + Φ 21. (2) 1

2 Slika 2: Simbol spregnutih induktiviteta. Ukupni fluks kroz N 1 namotaja primara je N 1 Φ 1r = N 1 Φ 1 ± N 1 Φ 21 = ± 2 i 2, (3) gdje je sopstvena induktivnost primara, a 2 medusobna induktivnost primara i sekundara. Znak + ili - se bira u zavisnosti od medusobnog odnosa smjerova sopstvenog fluksa primara i medusobnog fluksa, odnosno, smjerova namotavanja primara i sekundara. Ukupni fluks kroz N 2 namotaja sekundara je N 2 Φ 2r = N 2 Φ 2 ± N 2 Φ 12 = L 2 i 2 ± 2, (4) gdje je L 2 sopstvena induktivnost sekundara. Ukupni medusobni fluks kroz jedan zavojak iznosi Φ M = Φ 12 ± Φ 21. (5) Odnosi izmedu medusobnih i sopstvenih flukseva predstavljaju koeficijente medusobnih flukseva (induktivne sprege) k 1 = Φ 12 Φ 1, (6) k 2 = Φ 21 Φ 2, (7) a odnosi izmedu rasutih i sopstvenih flukseva su koeficijenti rasipanja flukseva Sopstvene induktivnosti su σ 1 = Φ 11 Φ 1, (8) σ 2 = Φ 22 Φ 2. (9) = N 1Φ 1, (10) L 2 = N 2Φ 2 i 2, (11) 2

3 a medusobna induktivnost Induktivnosti rasipanja su Važe veze izmedu koeficijenata 2 = N 2Φ 12 = N 1Φ 21 i 2 = M. (12) L σ1 = N 1Φ 11, (13) L σ2 = N 2Φ 22 i 2. (14) σ 1 + k 1 = 1, (15) σ 2 + k 2 = 1. (16) Sopstvene induktivnosti i induktivnosti rasipanja su povezane preko Koeficijenti sprege se mogu izraziti u obliku = L σ1 + k 1, (17) L 2 = L σ2 + k 2 L 2. (18) k 1 = Φ 12 Φ 1 = k 2 = Φ 21 Φ 2 = gdje je prenosni broj transformatora Rezultujući koeficijent sprege je 2 N 2 = m 2, (19) N 1 L 21 i 2 N 1 L 2 i 2 N 2 = 1 2, (20) m L 2 m = N 1 N 2. (21) k = k 1 k 2 = 2 L1 L 2. (22) 1 Linearan transformator Posmatrajmo kolo na Slici 3. Neka u primaru djeluje naponski izvor napona u 1 i neka je sekundar transformatora otvoren, i 2 = 0. Tada je 3

4 Slika 3: Spregnuti induktiviteti (linearni transformator). N 1 Φ 1 =, (23) N 2 Φ 12 = 2. (24) U primaru i sekudnaru se indukuju ems koje se suprotstavljaju promjeni fluksa pa je u 1 = R 1 + dt, (25) u 2 = 2 dt. (26) Analogno se dobija kada je primar otvoren, = 0, a u sekundaru djeluje naponski izvor napona u 2. u 1 = 2 di 2 dt, (27) u 2 = R 2 i 2 + L 2 di 2 dt. (28) Dakle, jednačine za spregnuta kola prikazana na Slici 3 su u 1 = R 1 + dt + L di 2 12 dt, (29) u 2 = R 2 i 2 + L 2 di 2 dt + 2 Jednačine za spregnuta kola prikazana na Slici 4 su dt. (30) u 1 = R 1 + dt L di 2 12 dt, (31) u 2 = R 2 i 2 + L 2 di 2 dt 2 dt. (32) 4

5 Slika 4: Linearni transformator (drugačiji raspored tačkica). Slika 5: Savršeni transformator. U ustaljenom prostoperiodičnom režimu jednačine se mogu napisati korištenjem kompleksnih predstavnika U 1 = R 1 I 1 + jω I 1 ± jω2 I 2, (33) U 2 = R 2 I 2 + jωl 2 I 2 ± jω2 I 1. (34) 2 Savršeni transformator Pretpostavimo da je u kolu na Slici 3 R 1 = R 2 = 0, te da nema rasipanja fluksa, Φ 11 = Φ 22 = 0, odnosno, L σ1 = L σ2 = 0. U tom slučaju imamo savršenu spregu k 1 = k 2 = k = 1, Slika 5. Naponi primara i sekundara su jednaki U 1 = jω I 1 + jω2 I 2, (35) U 2 = jω2 I 1 + jωl 2 I 2. (36) Množenjem prve jednačine sa L 2 i druge sa 2 i njihovim oduzimanjem dobijamo L 2 U 1 = 2 U 2, (37) 5

6 odnosno, Pošto je koeficijent sprege slijedi da je odnosno, pa je U 1 = L 12 L1 =. (38) U 2 L 2 L 2 k 1 = m 2 = 1, (39) m = N 1 = L 1 L1 =, (40) N 2 2 L 2 Za kratko spojen sekundar, U 2 = 0, dobijamo 3 Idealni transformator U 1 U 2 = N 1 N 2 = m. (41) jω2 I 1 + jωl 2 I 2 = 0, (42) L2 I 1 = L 2 I L 2 = I 12 L 2, (43) 1 I 1 = N 2 I I 2 N 2 = 1 1 m I 2. (44) Neka je kod savršenog transformatora permeabilnost magnetskom jezgra beskonačna, µ, kao i sopstvene i medusobne induktivnosti, L 2, 2, ali uz 2 = const. Tada je Dijeljenjem ove jednačine sa dobijamo U 1 = jω I 1 + jω2 I 2. (45) U 1 = jωi 1 + jω 2 I 2. (46) Pošto je 0 = I I 2, (47) 6

7 odnosno, na osnovu (39) Pored toga vrijedi (41) Slika 6: Idealni transformator. I 1 I 2 = 1 m. (48) U 1 U 2 = m. (49) Dakle, u ovom slučaju savršeni transformator teži idealnom transformatoru. Simbol idealnog transformatora dat je na Slici 6, a opisan je jednačinama u 1 = m, u 2 (50) = 1 i 2 m. (51) Ukoliko su tačkice rasporedene kao na Slici 6 jednačine su u 1 = m, u 2 (52) = 1 i 2 m. (53) Važno je napomenuti da je idealni transformator rezistivni element. On ne akumuliše energiju. 7

8 Slika 7: Idealni transformator zatvoren impedansom. Kompleksna snaga na primarnom pristupu je a na sekundarnom Dakle vrijedi, S 1 = U 1 I 1, (54) S 2 = U 2 I 2 = 1 m U 1mI 1 = U 1 I 1 = S 1. (55) P 1 = P 2, (56) Q 1 = Q 2. (57) Ako je idealni transformator zatvoren impedansom Z 2, kao na Slici 7 ulazna impedansa je Z ul = U 1 I 1 = mu 2 1 m I 2 = m 2 U 2 I 2 = m 2 Z 2. (58) 8