Mathcad Modul #9 Simbolicki proracuni Resavanje jednacine po jednoj nepoznatoj Simbolicko diferenciranje i integracija

Transcript

1 Mathcad Modul #9 Smbolck proracun Resavanje jednacne po jednoj neponatoj Smbolcko dferencranje ntegracja U nženjerskm proračunma občno želmo numerčk reultat tj. reultat u oblku brojnh vrednost. U nekm prlkama je korsno dobt reultat u smbolčkom (analtčkom) oblku. Mathcad je prvenstveno numerčk paket ovde ćemo samo ukratko spomenut mogućnost Mathcad-a u smbolčkm proračunma. Smbolčk sstem je dostupan na dva mesta. Prvo je u glavnom menju Matcad-a opcja Smbolcs. Drugo je Smbolc paleta. Smbolčk proračun se mogu vršt u Mathcadu tako što unesete matematčk regon a atm obuhvatte taj regon lnjama a edtovanje Zatm glavnog menja brate brate opcju Smbolcs>Evaluate>Smbolcall. Dobjate reultat spod datog regona (u avsnost kako je defnsano u Smbolcs>Evaluaton stle) ( x ) ( x ) x x Drug načn je korštenjem palete kada umesto bora menja brate strelcu udesno Smbolc palete, skraćenca sa tastature je stovremen prtsak na dve tpke [CTRL]. ( x ) x x x Dobl ste takav reultat (smbolčk) jer vektor x nje defnsan. Ako vektor x pre toga defnšete, recmo x : ( x ).8

2 Zamenjuje se vrednost a promenljvu x u prethodn reultat. Prmette da Mathcad daje smbolčk reultat u oblku sa nedefnsanm promenljvama, celm brojevma, osnovnm računskm radnjama, operacjama funkcjama - kad god je to moguće. Ako baš nsstrate da vam da reultat kao brojnu vrednost, možete umesto desne strelce abrat desnu strelcu sa ključnom reč (desnu strelcu sa plejsholderom unet float tj. jednu od ključnh reč u Smbolc palet) nanačt sa kolko cfara želte reultat, npr. 0 ( x ) float, Pronađte smbolčke reultate sledećh raa (operator su u Calculus palet) Prv vod d d n - t vod d d Neodređen ntegral (prmette da reultat ne daje ntegraconu konstantu) d Određen ntegral r 4 0 r d Všestruk određen ntegral R π L r dl dθ dr Grančne vrednost (lmes) lm Rešavanje jednačne po jednoj neponatoj. Evo odmah prmera. Ako mate potrebu da rate jednu promenljvu složenog raa, takođe vam tu Mathcad može pomoć. Recmo da mate ra da ga želte

3 rešt po a b c b a a a b c d poconrate se na promenljvu po kojoj želte da rešte jednačnu (obratte pažnju da u jednačn fgurše relacono jednako) aberemo opcju glavnog menja Smbolcs>Varable>Solve a b c b a a a b c d ( a d a d b a d b a d c c d) b ( c d a a b a b a ) Ispod ove jednačne (l u avsnost kako je defnsano pod opcjom Smbolcs>Evaluaton stle) ćemo dobt reultat jednačnu rešenu po Možete reć da se problem može rešt "pešaka" al vam pak a "sređvanje" ove jednačne treba vše vremena da ste najverovatnje slčan problem moral da proveravate vše puta. Pokušajte ovu jednačnu da rešte po a,b,c,d Često se traž resenje kvadratne jednačne tj. rešenja jednačne a b c 0 Još najranjeg školovanja namo da ova jednačna ma dva rešenja po gde su a,b,c nek ponat parametr. Da l Mathcad može da h nađe (pod pretpostavkom da smo to aboravl l nemamo pr ruc nek matematčk prručnk)?. Možemo to uradt na dva načna. Prv je već spomenut načn tj poconramo se na promenljvu abermo glavnog menja Smbolcs>Varable>Solve a a b c 0 b b 4 a c a b b 4 a c Nema neke velke korst od ovog prmera nego je samo dat da se vd načn koršćenja Smbolcs opcje

4 glavnog menja. Ako baš želmo rešenja a ralčte a,b,c onda je bolje korstt drug načn tj. paletu Smbolcs jer su takv regon "žv" tj. menjaju se rešenja u avsnost od promene parametara. Kako? Prethodnu jednačnu b smo, u opstem slučaju, na ovaj načn mogl rešt tako što aberemo opcju solve Smbolcs palete Prmette dva plejsholdera. U levom unosmo jednačnu a u desnom promenljvu po kojoj tu jednačnu želmo da rešmo tj. a b c 0 solve, b b b 4 a c a b 4 a c a Al dalje nsmo rešl problem rešenja a ralčte a,b,c. Prncpjelno, dobjate rešenje u smbolčkom oblku pr čemu će se ponate promenljve koje fguršu u reultatu ament njhovm numerčkm vrednostma. Ponovmo sledeć prmer u prethodno defnsane a,b,c a a : b : c : 7 b c 0 solve, Ako želte baš brojne vrednost možete korstt već spomenut float operator l operator a numerčko računavanje reultata raa tj. občno jednako. Evo reultata a b c 0 solve, Promente defnsane numerčke vrednost a a,b,c apate šta nač da je ovaj smbolčk regon "žv" (menjaju se reultat!) Evo jednog očglednog prmera gde rešavamo jednačnu koje odmah možemo vdet rešenja a Mathcad će nam dat vektor baš th rešenja ( ) ( ) ( ) 0 solve, Obratte pažnju da će Mathcad da se bun (pocrven) ako je pre ovog regona defnšana promenljva tj ma numerčku vrednošt (pokusajte). To u prevodu nač da nje dovoljeno šmbolčko rešenje neke jednačne po promenljvoj kojoj je prethodno dodeljena numerčka vrednost. Možemo l onda promenljvoj dodelt smbolčk ra? Pa da probamo.

5 a : ALFA b c : BETA Ovde se Mathcad bun jer promenljve ALFA,BETA,GAMA nsu defnsane : GAMA Prmette da to smbolčkom mehanmu ne smeta. Čak šta vše, dobjate korektan reultat a b c 0 solve, BETA BETA BETA 4 ALFA GAMA ALFA BETA 4 ALFA GAMA ALFA Nota Prmetl ste da Mathcad smbolčk sstem daje reultat u što sređenjoj form može, odnosno 7 0 solve, Međutm ako to ne može, dobćete numerčke vrednost čak sa 0 cfara (pomoću float možete smanjt broj prkaanh cfara) solve, solve, float, Ovo je dobjeno kada posle solve, aberete float Smbolc palete. Dobjate vertkalnu crtu tada unesete 4 u preostal plejsholder. Na taj načn se mogu kombnovat vše ključnh reč u smbolčkm proračunma Ponovte unos prethodnog regona Kvadratna jednačna je nelnearna jednačna a koje se može nać analtčko rešenje a šta je sa nelnearnm jednačnama a koje nemamo analtčko rešenje? Pokušajmo da takav problem adamo smbolčkom sstemu Mathcad-a Defnšmo neku funkcju jedne promenljve f ( v) :.8 00 v 0 0. v v 0 tražmo vrednost v a koju ova funkcja ma nultu vrednost (koren)

6 f ( v) 0 solve, v e e-9 Ko b rekao da se ovoga vukao? Dao nam je čak tr rešenja. Kako to da provermo? Pošto je reultat vektor, smestćemo ga u vektor tj. re : f ( v) 0 solve, v e e-9 re provermo kolko vrednost ma funkcja a svak element vektora f ( re) Nje tako loše, sve vrednost su dosta blske 0. O ovome b se moglo jos dskutovat al drugom prlkom. Nje to nšta čudno jer je u prncpu adata kubna jednačna a ona ma tr rešenja (korena). Kako namo da je ovo kubna jednačna? Ostavćemo to čtaocu da aključ l ćemo to prepustt Mathcad-u. Pomnožćemo levu desnu stranu jednačne sa menocma (desna strana ostaje 0) skorsttmo ključnu reč smplf koja pojednostavljuje ra v 0 0. v v 0 ( v 0 ) v v 0 smplf 99. v 0.4 v 4.0 v 0.99 float, 4 Ako Mathcad ne može da nađe rešenje smbolčkm sstemom onda vam kao reultat vraća st ra kao polan, što je nak da ne uspeva da ga reš, l vam daje poruku Ipak obratte pažnju u ovakvm slučajevma jer stu poruku možete dobt ako je slučajno neka promenljva numerčk defnsana tj. nje smbolčka. Nota Smbolčk proračun su veoma kompleksan problem današnj softver (ako moćan) često ma problema sa smbolčkm proračunma. Postoje moćn posebn smbolčk paket kao što su Mathematca, Maple, Maxma, Axom td (Mathcad korst deo Maple-a a smbolčke proračune) Znač, nemojte pomslt da vam nanje matematke vše nje potrebno jer ono je preduslov a uspešno korštenje datog softvera. Preporuka je da treba uvek bt obarv krtčan prema reultatma koje dobjate smbolčkm sstemom blo kog smbolčkog softvera.

7 Kraj