Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Επιμέλει: Σεμσίρης Αριστείδης --
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Περιέχει Συοπτική Θεωρί Μεθοδολογί Ασκήσεω Λυμέες Ασκήσεις Λυμέ Θέμτ Εξετάσεω - -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Επιμέλει: Σεμσίρης Αριστείδης - -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - 5 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Κεφάλιο ο : Τριγωομετρί Τριγωομετρικοί Αριθμοί Αγωγή στο ο τετρτημόριο Γωίες κ π ± θ, κ Z: Βρίσκουμε το τετρτημόριο στο οποίο ήκει η γωί κι με βάση το πίκ προσήμω κάουμε τη γωγή. π Γωίες (κ + ) ± θ, κ Z: Βρίσκουμε το τετρτημόριο στο οποίο ήκει η γωί κι με βάση το πίκ προσήμω κάουμε τη γωγή. Στη περίπτωση υτή προσέχουμε ότι ο τριγωομετρικός ριθμός λλάζει! ηµθ συθ Πράδειγμ : Ν βρεθού οι τιμές τω πρστάσεω. εφθ σφθ π 5π ηµ θ συ + θ εϕ( π θ) Α= 5π 5π συ + θ σϕ θ συ( π + θ) Είι: π π π ηµ θ ηµ θ ηµ π π θ ηµ π = + = + = θ = συθ 5 π π π συ θ συ θ συ 7π π θ συ π π + = + + = + + = + + θ = ηµθ εϕ π θ = εϕ θ = εϕθ Οπότε 5 π π π 6 π συ θ συ θ συ π θ συ π + = + + = + + = + θ = ηµθ 5π π π π σϕ θ = σϕ + θ = σϕ θ = εϕθ συ π + θ = συ 6 π + π + θ = συ π + θ = συθ συθ ηµθ ( εϕθ) ( ηµθ) εϕθ ( συθ) Α= = π εϕ( 7π + ϕ) συ( ϕ π ) συ + ϕ Β= 9π π σϕ ϕ συ( ϕ 6π) συ + ϕ εϕ 7π + ϕ = εϕϕ Είι: συ ϕ π = συ ϕ π 5 π = συ ϕ π = συ ( π ϕ) = συϕ - 6 - Ο τριγωοµετρικός ριθµός δε λλάζει! Στο ηµίτοο κι το συηµίτοο τ πολλπλάσι του π «φεύγου»!! Στη εφπτοµέη κι τη συεφπτοµέη τ πολλπλάσι του π «φεύγου»!! Ατίθετες γωίες έχου ίσ συηµίτο κι τίθετ ηµίτο!
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ π π π 5 π συ ϕ συ ϕ συ π ϕ συ π + = + + = + + = + ϕ = ηµϕ 9π π 8π π π σϕ ϕ = σϕ ϕ = σϕ ϕ = σϕ ϕ = εϕϕ συ( ϕ 6π) = συ( ϕ) = συϕ Ατίθετες γωίες έχου τίθετες εφπτοµέες κι τίθετες συεφπτοµέες! π π π π π συ + ϕ = συ + + ϕ = συ 5π + + ϕ = συ π + π + + ϕ = π = συ π + + ϕ = ηµϕ εϕϕ ( συϕ) ( ηµϕ) Οπότε Β= = εϕϕ συϕ ηµϕ Τριγωομετρικές Τυτότητες Βσικές τριγωομετρικές τυτότητες: ηµ θ+ συ θ = εϕθ σϕθ = Στις σκήσεις όπου ζητείτι ποδειχθεί κάποι τριγωομετρική σχέση είτε ξεκιάμε πό το μέλος με τις περισσότερες πράξεις γι κτλήξουμε στο δεύτερο είτε δουλεύουμε με ισοδυμίες γι κτλήξουμε σε κάτι που ισχύει. Πράδειγμ : Ν ποδειχθού οι τυτότητες. ηµθ συθ + = ηµθ + συθ σϕθ εϕθ Είι: ηµθ συθ ηµθ συθ ηµ θ συ θ ηµ θ συ θ + = + = + = = σϕθ εϕθ συθ ηµθ ηµθ συθ συθ ηµθ ηµθ συθ ηµθ συθ ηµθ συθ ηµ θ συ θ ( ηµθ συθ ) ( ηµθ + συθ ) = = = ηµθ+ συθ ηµθ ηµθ συθ ηµθ συθ εϕθ = συθ συθ σϕθ = ηµθ ηµθ ηµθ = εϕ θ συ θ ηµθ Είι: ηµθ ηµθ ηµθ ηµθ ηµθ ηµθ = = = συ θ ηµθ ηµ θ ηµθ ( ηµθ ) ( + ηµθ ) ηµθ ηµθ ( + ηµθ ) ( ηµθ ) ( ηµθ ) ( + ηµθ ) ( ηµθ ) = = = ( ηµθ ) ( + ηµθ ) ( + ηµθ ) ( ηµθ ) ( + ηµθ ) ( ηµθ ) ηµθ + ηµθ ηµθ+ ηµ θ ηµ θ = = = εϕ θ ηµ θ συ θ - 7 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ συ ω ηµ ω συ ω = ηµω + ηµω Είι: συ ω συ ω = ηµω ( + ηµω) = ( + ηµω) ηµω + ηµω συ ω= ηµω+ ηµ ω + ηµω + ηµω = + + εϕ + εϕ = σϕ σϕ + + Είι: Άρ ισχύει! σϕ σϕ σϕ + εϕ + εϕ + εϕ + εϕ σϕ + σϕ εϕ + εϕ = = = + σϕ + σϕ + σϕ + σϕ + σϕ + σϕ σϕ + σϕ εϕ + εϕ σϕ + σϕ+ σϕ εϕ = σϕ = + σϕ + σϕ + σϕ + σϕ σϕ + σϕ+ σϕ εϕ + σϕ σϕ+ = = = = + σϕ + σϕ + σϕ + σϕ Άρ ισχύει! Τριγωομετρικές Συρτήσεις Περιοδικές Συρτήσεις Γι κάθε A Περιοδική κλείτι μί συάρτηση f με + T A & T A πεδίο ορισμού A κι περίοδο T > ότ: f = f ( + T ) = f ( T ) ϕ = f + a Η f µεττοπίζετι µοάδες «πάω» ϕ = b f Η f «συστέλλετι»- «διστέλλετι» ϕ = f ( + c) Η f µεττοπίζετι c µοάδες «ριστερά» ϕ = f ( ω ) T ϕ T f = ω Ν σημειώσουμε ότι b< η f τιστρέφετι ως προς το άξο ' εώ ω < η f τιστρέφετι ως προς το άξο y ' y. - 8 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Η συάρτηση: f Η συάρτηση f = ηµ = ηµ είι μι περιοδική συάρτηση με τ κόλουθ χρκτηριστικά: Όσο φορά τη μοοτοί της f = ηµ στο [, π ] ισχύει: T = π, f ma =, f min = f Πεδίο ορισµού: R, f περιττή θ π π π π ηµθ Η γρφική πράστση της f = ηµ είι: Η συάρτηση: f Η συάρτηση f χρκτηριστικά: = συ = συ είι μι περιοδική συάρτηση με τ κόλουθ Όσο φορά τη μοοτοί της f = συ στο [, π ] ισχύει: T = π, f ma =, f min = f Πεδίο ορισµού: R, f άρτι θ π π π π συθ - 9 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Η γρφική πράστση της f = συ είι: Η συάρτηση: f Η συάρτηση f = εϕ = εϕ είι μι περιοδική συάρτηση με τ κόλουθ χρκτηριστικά: Όσο φορά τη μοοτοί της f = εϕ στο π π [, ] ισχύει: π Tf = π, Πεδίο ορισµού: R { κ π + / κ Z } ε έχει µέγιστ-ελάχιστ!, f περιττή θ εϕθ π π π Δε ορίζετι π Δε ορίζετι Η γρφική πράστση της f = εϕ είι: - -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Σημείωση: Στο συγκεκριμέο τμήμ περιλμβάοτι σκήσεις που περιέχου ερωτήμτ όπως: Ν βρεθεί η περίοδος της συάρτησης. Ν δειχθεί ότι η συάρτηση είι άρτι-περιττή. Ν βρεθεί η μοοτοί της συάρτησης στο διάστημ [, π ]. Ν βρεθεί η μέγιστη κι η ελάχιστη τιμή της συάρτησης. Ν γίει η γρφική πράστση της συάρτησης. Ν βρεθού οι πράμετροι γωρίζετε τη μέγιστη-ελάχιστη τιμή ή τη περίοδο. f = + ηµ. Πράδειγμ : Δίετι η συάρτηση Είι: Ν βρείτε τη περίοδο της f. Ν βρείτε τη μέγιστη κι τη ελάχιστη τιμή της f. Ν προσδιορίσετε τ διστήμτ μοοτοίς της f στο [, T ] όπου T η T f περίοδός της. π =, f ma = 6, f min = Θυµόµστε: Η περίοδος λλάζει ότ πολ/µε «µέσ». Τ µέγιστ- ελάχιστ λλάζου ότ προσθέτουµε-πολ/µε «έξω». Επειδή το υπολογίσουμε τη μοοτοί μις συάρτησης όπως η πρπάω εέχει κιδύους είι προτιμότερο κτσκευάσουμε έ πίκ όπως ο πρκάτω πό το οποίο θ προκύψου επίσης η περίοδος, τ μέγιστ κι τ ελάχιστ. π ηµ π π π η η π 6 π π π + ηµ 6 η η 5 η Θυµόµστε: ιιρούµε τη η γρµµή µε κι προκύπτει η η Υπολογίζουµε τις τιµές στη η Βάζουµε τ ίδι «βέλη» στη η κι 5 η εκτός κι πολ/µε µε ρητικό ριθµό είτε «µέσ» - - είτε «έξω»
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Συοπτικά πό το πρπάω πίκ πρτηρούμε ότι προέκυψε κι η μέγιστη λλά κι η ελάχιστη τιμή κθώς κι η περίοδος. Επίσης όμως βλέπουμε ότι: π Η f στο [, ] είι γησίως ύξουσ. 6 π π Η f στο [, ] είι γησίως φθίουσ. 6 π π Η f στο [, ] είι γησίως ύξουσ. Πράδειγμ : Δίετι η συάρτηση f = συ. Ν βρείτε τη περίοδο της f. Είι: Ν βρείτε τη μέγιστη κι τη ελάχιστη τιμή της f. Ν προσδιορίσετε τ διστήμτ μοοτοίς της f στο [, T ] όπου T η περίοδός της. π συ π π π η η π συ π 9π 6π η η 5 η Θυµόµστε: ιιρούµε τη η γρµµή µε κι προκύπτει η η Υπολογίζουµε τις τιµές στη η Βάζουµε τίθετ τ «βέλη» στη 5 η π ότι στη η γρµµή γιτί πολλπλσιάζουµε µε ρητικό ριθµό εκτός - -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Συοπτικά πό το πρπάω πίκ πρτηρούμε ότι: Tf = 6π, f ma =, f min = Επίσης όμως βλέπουμε ότι: Η f στο [, π ] είι γησίως ύξουσ. Η f στο [ π, 6 π ] είι γησίως φθίουσ. Πράδειγμ 5: Δίετι η συάρτηση Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Ν πλοποιήσετε το τύπο της f. π ηµ + + ηµ ( π) + f =. + ηµ + π + συ π ( ) ( ) Ν ποδείξετε ότι η περίοδος της f είι T = π. Αρχικά γι το πεδίο ορισμού πρτηρούμε ότι έχουμε ημίτο κι συημίτο γι τ οποί δε έχουμε περιορισμούς. Ωστόσο επειδή έχουμε έ κλάσμ πρέπει ο προομστής είι διάφορος του μηδεός κάτι που ισχύει. Επομέως το πεδίο ορισμού είι όλο το R. Είι: π ηµ + = συ ηµ π = ηµ π = ηµ ηµ ( + π) = ηµ Οπότε: συ π = συ π = συ π ηµ + + ηµ ( π) + συ ηµ + f = f =, R + ηµ + π + συ π ηµ συ Τέλος πρτηρούμε ότι: Γι κάθε R + π R & πr συ + π ηµ + π + συ ηµ + f ( + π ) = = = f ηµ ( + π) συ( + π) ηµ συ συ( π) ηµ ( π) + συ ηµ + f ( π ) = = = f ηµ ( π) συ( π) ηµ συ Επομέως η f είι περιοδική με περίοδο T = π. Πράδειγμ 6: Δίετι η γρφική πράστση της f = β+ ρ ηµ, [, π ], συάρτησης βρεθού: τιμές τω, β κι ρ ( ρ, > ). γι ποιες τιμές του [, π ] η f προυσιάζει τη μέγιστη κι τη ελάχιστη τιμή. - -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Γι βρούμε τις τιμές τω πρμέτρω πρτηρούμε πό το σχήμ τ εξής: f ma = f min = T = π f β+ ρ = β = β = Πρέπει οπότε β ρ = β ρ = ρ = Επίσης πρέπει π π = = Θυµόµστε: β µεττόπιση πάωκάτω ρ συστολή-διστολή λλάζει η περίοδος Όπως βλέπουμε πό το σχήμ η f πίρει τη μέγιστη τιμή της γι = π κι τη ελάχιστη γι = π. Πράδειγμ 7: Ν δείξετε ότι η συάρτηση f =,5συ είι άρτι. Ν δείξετε ότι η συάρτηση g = εϕ είι περιττή. Είι: Το πεδίο ορισμού της f είι όλο το R. R R Επίσης, άρ f άρτι! f ( ) =,5 συ ( ) =,5 συ= f π Το πεδίο ορισμού της g είι όλο το R { κ π + / κ Z }. π π R { κ π + / κ Z} R { κ π + / κ Z } Επίσης, άρ gπεριττή! g( ) = εϕ( ) = εϕ= g Τριγωομετρικές Εξισώσεις ηµ = a Βρίσκουμε μί λύση της πρπάω εξίσωσης οπότε «όλες» οι λύσεις δίοτι πό τη σχέση κπ + θ =, κ Z κπ + π θ συ = a Βρίσκουμε μί λύση της πρπάω εξίσωσης οπότε «όλες» οι λύσεις δίοτι πό τη σχέση κπ + θ =, κ Z κπ θ εϕ = a Βρίσκουμε μί λύση της πρπάω εξίσωσης οπότε «όλες» οι λύσεις δίοτι πό τη σχέση = κπ + θ, κ Z - -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ σϕ = a Βρίσκουμε μί λύση της πρπάω εξίσωσης οπότε «όλες» οι λύσεις δίοτι πό τη σχέση = κπ + θ, κ Z Πράδειγμ 8: Ν λύσετε τις πρκάτω εξισώσεις. ) ηµ = β) συ = γ) εϕ = δ) συ = ε) συ = στ) σϕ = ζ) ηµ + 7 π π = η) σϕ = θ) ηµ = ηµ ι) συ= συ 5 7 Είι: π ηµ = ηµ = ηµ π συ= συ= συ 6 6 π ) κπ + β) π κπ + 6 =, κ Z 6 =, κ π Z π κπ + π κπ 6 6 γ) ε) ζ) θ) π εϕ= εϕ= εϕ π = κπ +, κ Z συ = συ= π κπ + π 6 συ= συ =, κ Z 6 π κπ 6 ηµ + 7 = ηµ = 5 π κπ + π ηµ = ηµ, κ Z π κπ + π π κπ + π 7 ηµ = ηµ =, κ Z ι) 7 π κπ + π 7 δ) στ) η) π συ= συ= συ π κπ + =, κ Z π κπ π σϕ= σϕ= σϕ π = κπ +, κ Z σϕ = σϕ= π π σϕ= σϕ = κπ +, κ Z 6 6 π κπ + π συ= συ =, κ Z π κπ - 5 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Πράδειγμ 9: Ν λύσετε τις πρκάτω εξισώσεις. π ) ηµ π + = β) εϕ π π = γ) ηµ = συ + 6 5 π π π π δ) ηµ + συ + = ε) εϕ εϕ ηµ + + + = στ) = ηµ π ηµ 6 ζ) = η) ηµ = θ) ηµ = συ συ Είι: π κπ + π π π π π π π π ηµ + = ηµ + = ηµ + = + = κπ + = κπ + 6 6 6 π 6 6 ) κπ + π π = κπ +, κ Z π π π π π π π 8π β) εϕ = εϕ = εϕ = κπ + = κπ + + = κπ +, κ Z 5 5 5 5 5 π π π π π ηµ = συ + ηµ = ηµ Ότ λύουµε µι π π τριγωοµετρική εξίσωση ηµ = ηµ 6 χρειάζετι έχουµε το ίδιο τριγωοµετρικό ριθµό! π π π γ) κπ κπ π + = + 6 6 = π π π κπ + π = κπ + π 6 6 Αλλάζουµε τριγωοµετρικό ριθµό µε τις σχέσεις: 5π = κπ + 5 π π = κπ +, κ Z ηµ = συ δύτη π συ= ηµ π π π π ηµ + συ + = ηµ ηµ = ηµ = ηµ δ) π π π = κπ + = κπ + = κπ + π κπ + =, κ Z κπ + π π 5π κπ 5π = κπ + π = κπ + = + - 6 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ π π π π εϕ+ εϕ + = εϕ + = εϕ εϕ + = εϕ( ) + = κπ + ( ) ε) π κπ π = κπ =, κ Z 8 Θυµόµστε: ηµ = ηµ συ= συ( π ) εϕ= εϕ( ) σϕ= σϕ( ) π π ηµ + + = κπ + π π κπ + = ηµ + = ηµ + = ηµ κπ + π π + = κπ + π στ) δύτη π π = κπ +, κ Z Ότ βλέπουµε κλάσµτ δε = κπ + 8 ξεχάµε τους περιορισµούς! κπ + Πρέπει ηµ ηµ ηµ κπ, κ Z που ισχύει γι τις λύσεις που κπ + π βγάλμε! π π ηµ κπ 6 π π π π + = ηµ = συ ηµ = ηµ = συ 6 6 6 π κπ + π ζ) π π = κπ + δύτη 6 π π = κπ, κ Z π π = κπ + 6 = κπ + + 6 π π π Πρέπει συ συ συ κπ ± κπ +, κ Z που ισχύει γι τις λύσεις που βγάλμε! π ηµ ηµ ηµ ηµ = = = 6 η) ηµ = ηµ = ηµ = π ηµ = ηµ Θυµόµστε ότι γι 6 θ > : π = θ = θ ή = θ = κπ + π Λύουμε τη (): 6 ηµ = ηµ, κ Z 6 π = κπ + π 6-7 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ π = κπ π Λύουμε τη (): 6 ηµ = ηµ, κ Z 6 π = κπ + π + 6 π Οι λύσεις που προέκυψ μπορού γρφού όλες μζί ως εξής: = κπ ±, κ Z 6 π ηµ = ηµ ηµ συ ηµ συ = = θ) ηµ = συ ηµ = συ ηµ = συ( π ) π ηµ = ηµ π+ Θυµόµστε: = y =± y π π π κπ + = κπ + = κπ + π ηµ = ηµ = π π π κπ + π + = κπ + + = κπ + Λύουμε τη (): κπ π = + 6, κ Z π = κπ π κπ + π π ηµ = ηµ π + ηµ = ηµ = π κπ + π + Λύουμε τη (): π π π = κπ + = κπ = κπ +, κ Z π π κπ π = κπ + = κπ + = + Οι λύσεις που προέκυψ μπορού γρφού όλες μζί ως εξής: π κπ + =, κ Z κπ π + Πράδειγμ : Ν λύσετε τις πρκάτω εξισώσεις. ) ηµ συ+ συ= β) ηµ + συ= γ) σϕ συ+ = συ+ σϕ ηµ δ) συ + συ+ = ε) + ηµ συ + = στ) ηµ ( ) συ+ = συ + ηµ Είι: συ = συ = + = + = ηµ + = ηµ = ) ηµ συ συ συ ( ηµ ) - 8 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ π π π Λύουμε τη (): συ= συ= συ = κπ ± = κπ +, κ Z π π κπ κπ π 6 Λύουμε τη (): 6 ηµ = ηµ = ηµ = =, κ Z 6 π 7π κπ + π κπ + 6 6 ηµ + συ= ηµ + ηµ συ= ηµ συ= ηµ ηµ συ= συ ηµ β) συ = ηµ συ συ = συ ( ηµ συ) = ηµ = συ π π π Λύουμε τη (): συ= συ= συ = κπ ± = κπ +, κ Z συ π π Λύουμε τη (): ηµ = συ = σϕ= σϕ= σϕ = κπ +, κ Z ηµ κπ + Πρέπει ηµ ηµ ηµ κπ, κ Z που ισχύει γι τις τιμές που κπ + π βγάλμε! σϕ συ+ = συ+ σϕ σϕ συ+ συ σϕ= σϕ συ συ = γ) συ= ( συ ) ( σϕ ) = σϕ= Λύουμε τη (): συ= συ= συ = κπ ± = κπ, κ Z π π Λύουμε τη (): σϕ= σϕ= σϕ = κπ +, κ Z Επειδή έχουμε σϕ πρέπει κπ, κ Z κάτι που ισχύει γι τις λύσεις που βγάλμε! Ότ λύουµε µί σύθετη τριγωοµετρική εξίσωση τότε όπως κι στις πολυωυµικές εξισώσεις έχουµε στο µυλό µς τη λέξη «πργοτοποίηση»! δ) συ + συ+ = Είι: ω + ω + = Οπότε: = b ac= = b± ± ω, = = = a Α θέσουµε συ= ω πρτηρούµε ότι η διπλή εξίσωση είι έ τριώυµο κι λύετι µε δικρίουσ! - 9 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Α ω= τότε: π π συ= συ= συ = κπ ±, κ Z Α ω = τότε: συ= συ= συπ = κπ ± π = κπ + π, κ Z + ηµ συ + ηµ + ηµ συ + ηµ + συ + = + = = συ + ηµ συ + ηµ συ + ηµ συ + ηµ + ηµ = συ ( + ηµ ) ( + ηµ ) συ ( + ηµ ) = ( + ηµ ) ( συ) = ε) + ηµ + συ = συ + ηµ + ηµ + ηµ + συ = συ + ηµ Πρέπει συ κι + ηµ οπότε πό τη () προκύπτει: π π συ = συ= συ= συ = κπ ±, κ Z ηµ ( ) συ+ = ( συ ) ( ) συ+ = στ) συ ( ) συ+ = συ + ( ) συ = Είι: ω + ( ) ω = Οπότε: = b ac= ( ) = ( + ) b± ( ) ± ( + ) ± ( + ) ω, = = = = a π π π Α ω = τότε: συ= συ= συ = κπ ± = κπ +, κ Z Α ω= τότε: Με τη τικτάστση ηµ = συ κτλήγουµε σε τριώυµο οπότε θέτουµε συ= ω. π π συ= συ= συ = κπ ±, κ Z - -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Κεφάλιο ο : Πολυώυμ Πολυώυμ Βσικές έοιες πολυωύμω Πολυώυμο του οομάζουμε κάθε πράστση της μορφή: v P = + +... + + όπου N κι,,..., είι πργμτικοί ριθμοί. όπως,, δε Οι ριθμοί,,..., οομάζοτι συτελεστές του πολυωύμου κι ειδικότερ ο κλείτι στθερός όρος είι πολυώυµ! του πολυωύμου. Το πολυώυμο της μορφής, δηλδή το πολυώυμο που είι ίσο με έ στθερό πργμτικό ριθμό, οομάζετι στθερό πολυώυμο. Το στθερό πολυώυμο οομάζετι μηδεικό πολυώυμο. Βθμό εός πολυωύμου οομάζουμε το εκθέτη της μεγλύτερης δύμης του που εμφίζετι. Ειδικότερ είι: v Α P = + +... + + µε deg P = Α P = µε deg P = Α P = deg P = δε ορίζετι Δύο πολυώυμ θ είι ίσ ότ έχου όλους τους συτελεστές τους ίσους έ προς έ. Αριθμητική τιμή εός πολυωύμου γι = ρ οομάζουμε το P( ρ ). Α το P( ρ ) προκύψει «μηδέ» τότε το ρ κλείτι ρίζ του πολυωύμου. Όσο φορά τις πράξεις μετξύ πολυωύμω η πρόσθεση, η φίρεση κι ο πολλπλσισμός γίοτι σύμφω με τις ιδιότητες τω πργμτικώ ριθμώ. Πράδειγμ : Δίετι το πολυώυμο πργμτικού ριθμού λ, ώστε το = είι ρίζ του P( ). P( ) = λ + + λ = Είι: 8 λ 8+ λ = λ = 6 λ = 8 Πράδειγμ : Δίετι το πολυώυμο P = λ + + λ. Ν βρείτε τις τιμές του P = + ( β ) + + β. Ν βρείτε τ, β R, ώστε το P( ) έχει ρίζ το κι η τιμή του γι = είι 5. Είι: P( ) = + β + + β = + + β + + β = + 5β = () P( ) = 5 + β + + β = 5 8+ + β + + β = 5 + 6β = + β = () - - Πρστάσεις µε όρους Θυµόµστε: ρ ρίζ του P P( ρ ) =
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Από () κι () προκύπτει: + 5β = + 5β = ( β) + 5β = β + 5β = β = + β = = β = β = β = Πράδειγμ : Δίετι το πολυώυμο 9 P = + + β. Ν βρείτε τις τιμές τω, β R, ώστε ο στθερός όρος του P( ) είι 6 κι το άθροισμ τω συτελεστώ του P( ) είι 7. Είι: 9 P() = 6 + + β = 6 + β = 6 β = 5 9 P() = 7 + + β = 7 β= 5 + β = 8 = Θυµόµστε: Ο στθερός όρος εός πολυωύµου προκύπτει βάλουµε όπου το «µηδέ»! Θυµόµστε: Το άθροισµ τω συτελεστώ εός πολυωύµου προκύπτει βάλουµε όπου το «έ»! Πράδειγμ : Δίετι το πολυώυμο λ R, ώστε: ) το P( ) είι μηδεικού βθμού β) μη ορίζετι ο βθμός του P( ) P = ( λ + λ 6 λ) + ( λ + λ 6) λ+. Ν βρείτε το Είι: ) Γι είι το πολυώυμο P( ) μηδεικού βθμού θ πρέπει είι στθερό κι μη μηδεικό οπότε πρέπει: λ + λ 6λ = λ λ+ λ = λ= ή λ = ή λ= λ + λ 6= λ+ λ = λ= ή λ = λ = λ λ λ + Θυµόµστε: v Το πολυώυµο P = + +... + + είι µηδεικού βθµού ότ = =... = = κι! Γι βρούµε τις άγωστες πρµέτρους συληθεύουµε τις σχέσεις που προκύπτου. β) Γι μη ορίζετι ο βθμός του P( ) πρέπει είι το μηδεικό πολυώυμο επομέως πρέπει: λ + λ 6λ = λ λ+ λ = λ= ή λ = ή λ= λ + λ 6= λ+ λ = λ= ή λ = λ = λ λ λ = + = Θυµόµστε: Ο βθµός εός πολυωύµου δε ορίζετι ότ είι το µηδεικό πολυώυµο, δηλδή ότ όλοι οι συτελεστές είι µηδεικοί. Συληθεύοτς τις σχέσεις που - προκύπτου - βρίσκουµε τις άγωστες πρµέτρους.
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Πράδειγμ 5: Δίοτι τ πολυώυμ P λ = + λ λ κι Q λ λ = +. Αφού βρείτε το πολυώυμο K = P Q υπολογίσετε το βθμό του K ( ) γι τις διάφορες τιμές του λ R. Είι: ( λ λ λ) ( λ λ ) K = P Q K = + + λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ K = + + + K = + + + Α λ λ λ λ λ κι λ τότε deg K ( ) =. Α λ = τότε K = + + κι deg K ( ) =. Α λ = τότε K ( ) = κι deg K δε ορίζετι. Θυµόµστε: Ότ θέλουµε βρούµε το βθµό εός πολυωύµου ξεκιάµε πό το µεγιστοβάθµιο όρο κι εξετάζουµε γι ποιες τιµές τις πρµέτρου ο συτελεστής του είι διάφορος του µηδεός. Τέλος εξετάζουµε τις τιµές της πρµέτρου που πορρίψµε στη πρπάω διδικσί. P = + ( + 5 ) + Πράδειγμ 6: Δίοτι τ πολυώυμ. Ν βρείτε γι Q = + ( ) + ποι τιμή του R τ πολυώυμ είι ίσ. Γι είι τ δύο πολυώυμ ίσ πρέπει: = + = ( 5)( + ) = = 5 ή = ( ) = + = + = = ή = = + 5 = ( ) + + = ( + )( + ) = = ή = = ( )( ) = + = = ή = Θυµόµστε: Ότ εξετάζουµε πότε δύο πολυώυµ είι ίσ ξεκιάµε πό τους στθερούς όρους προς του µεγιστοβάθµιους κι εξισώουµε. Α περισσεύου όροι στο τέλος πό κάποιο πολυώυµο τους θέτουµε ίσους µε «µηδέ». Συληθεύουµε τις σχέσεις που βρίσκουµε κι προσδιορίζουµε τις πρµέτρους. Πράδειγμ 7: Δίετι το μη στθερό πολυώυμο P( ) γι το οποίο ισχύει: [ P ] = ( + ) P + 6 ) Ν ποδείξετε ότι το P( ) είι πρώτου βθμού. β) Ν βρείτε το P( ). γ) Ν βρείτε πολυώυμο Q( ) γι το οποίο ισχύει: P Q = 7 + + 8. - -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ) Έστω ο βθμός του ( + ) P + 6 θ είι +. P τότε ο βθμός του [ ] Προκύπτει οπότε = + =, δηλδή το P( ) είι πρώτου βθμού. P( ) θ είι εώ ο βθμός του Θυµόµστε: deg P Q = deg P + deg Q ( P + Q ) = { P Q } * deg ma deg,deg *εά οι µεγιστοβάθµιοι όροι δε έχου τίθετους συτελεστές. β) Εφόσο το P( ) είι πρώτου βθμού υποθέτουμε ότι P = + β οπότε προκύπτει: [ ] ( β) ( β) + β+ β = + ( + β ) + β+ 6 P = ( + ) P + 6 + = + + + 6 Γι είι ίσ τ δύο πρπάω πολυώυμ πρέπει: = = ( ) = = ή = β = + β β = + β β = + β β = + β β β 6 β β 6 ( β )( β ) = + = + = β = ή β = Συληθεύοτς τις πρπάω σχέσεις κι λμβάοτς υπόψη ότι το P( ) είι πρώτου βθμού προκύπτει ότι = κι β =. Άρ P =. γ) Εφόσο το P( ) είι πρώτου βθμού θ πρέπει το Q( ) είι δευτέρου επομέως υποθέτουμε ότι Q = + β+ γ κι είι: ( β γ) P Q = 7 + + 8 + + = 7 + + 8 β γ β γ 7 8 + + = + + Γι είι ίσ τ δύο πρπάω πολυώυμ πρέπει: = = β = 7 β = Οπότε Q = γ β = γ = γ = 8 Διίρεση πολυωύμω Τυτότητ της διίρεσης: Έστω πολυώυμ κι δ με δ. Τότε υπάρχου δύο μοδικά πολυώυμ π κι υ τέτοι ώστε = δ π + υ όπου deg υ < deg δ ή υ το μηδεικό πολυώυμο. Το κλείτι διιρετέος, το δ διιρέτης, το π πηλίκο κι το υ υπόλοιπο. Η διίρεση κλείτι «τέλει» ότ το υπόλοιπο είι το μηδεικό πολυώυμο. Ισοδύμ λέμε ότι το δ «διιρεί» το ή κόμ ότι το δ είι «πράγοτς» του. Γι όλ τ πρπάω είι = δ π + = δ π - 5 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Ότ διιρούμε με δ = ρ επειδή ο διιρέτης είι πρώτου βθμού, το υπόλοιπο θ είι είτε μηδεικού βθμού είτε μηδεικό πολυώυμο, δηλδή το υπόλοιπο θ είι σε κάθε περίπτωση στθερό, επομέως υ = υ R. Από τη τυτότητ της διίρεσης προκύπτει: ( ρ) π υ ρ ( ρ ρ) = + = π ( ρ) + υ ( ρ) = υ Από τ πρπάω προκύπτει ότι έ πολυώυμο θ έχει πράγοτ της μορφής δ = ρ κι μόο ( ρ) =. Θυµόµστε: ρ πράγοτς του ρ διιρεί το ( ρ ) = Πράδειγμ 8: Δίετι το πολυώυμο P β β 6 = + +. ) Ν βρείτε τ, β το πολυώυμο P( ) έχει πράγοτ το κι το υπόλοιπο της διίρεσης του P( ) με το + είι το. β) Γι = κι β = γράψετε τη τυτότητ της Ευκλείδεις διίρεσης του P( ) με το +. Είι: ) Εφόσο το P( ) έχει πράγοτ το πρέπει: P() = + β β+ 6= β = () Επειδή κόμ το υπόλοιπο της διίρεσης του P( ) με το + είι το πρέπει: P( ) = + β + β + 6= β = 6 () Από () κι () με πρόσθεση κτά μέλη: β = 8 β = άρ = β) Γι = κι β = είι P = + οπότε: + + + Άρ η τυτότητ της ευκλείδεις διίρεσης τω πρπάω πολυωύμω είι: + = + όπου π = κι υ =. Πράδειγμ 9: Το πολυώυμο P = + + β+ με, β R διιρούμεο με το δίει υπόλοιπο +. ) Α π είι το πηλίκο της πρπάω διίρεσης γράψετε τη τυτότητ της διίρεσης. - 6 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ β) Ν βρείτε τις τιμές τω, β. γ) Γι = κι β = βρείτε το πηλίκο της διίρεσης του P( ) με το Είι: ) Η τυτότητς της διίρεσης είι: π υ β π P = + + + + = + + β) Γι = η πρπάω σχέση γίετι: + + β + = π + ( + ) + β = () Γι = τίστοιχ είι: ( ) + ( ) + β( ) + = ( ) π ( ) + + β = () Από () κι () με πρόσθεση κτά μέλη προκύπτει = οπότε κι β =.. Θυµόµστε: Ότ πρέπει προσδιορίσουµε τιµές πρµέτρω πό µί σχέση που ισχύει γι κάθε, µπορούµε µε κτάλληλη επιλογή τιµώ του κτλήξουµε σε κάποιο σύστηµ κι βρούµε τις πρµέτρους. γ) Γι = κι β = είι P = + + + οπότε: + + + + + + + Άρ π = +. Το γεγοός ότι το υπόλοιπο βγήκε υ = + ποτελεί επλήθευση τω πρπάω πράξεω. Πράδειγμ : Δίετι το πολυώυμο ) Ν βρείτε τη τιμή του λ, ώστε το P( ) είι ου βθμού. P = λ λ λ + λ λ+, λ R. β) Γι λ = βρείτε το πηλίκο κι το υπόλοιπο της διίρεσης του P( ) με το +. Είι: ) Εφόσο το P( ) είι ου βθμού πρέπει: λ λ = λ λ = λ = ( λ ) λ β) Γι λ = είι P = + οπότε: Θυµόµστε: Γι είι έ πολυώυµου -οστού βθµού πρέπει κ =, κ > + + + - 7 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ + Άρ π = + κι υ =. Επειδή ο διιρέτης είι της µορφής ρ το υπόλοιπο µπορούµε το βρούµε ως εξής: υ = P( ) = Αυτό επληθεύει κι τη διίρεση που κάµε. Σχήμ Horner Το σχήμ Horner είι ές τρόπος κάουμε διιρέσεις ότ ο διιρέτης είι της μορφής δ = ρ. Εδεικτικά θέλμε κάουμε τη διίρεση του προηγούμεου πρδείγμτος θ ήτ: ρ = 6 Από το διπλό πίκ προκύπτει ότι το πηλίκο κι το υπόλοιπο της διίρεσης P = + + είι π = + κι υ = Γι κτσκευάσουμε το πρπάω πίκ θυμόμστε: Στη πρώτη γρμμή βάζουμε τους συτελεστές του διιρετέου P( ), χωρίς πρλείψουμε τ μηδεικά, κι στο τέλος βάζουμε το ριθμό ρ. Κτεβάζουμε το πρώτο στοιχείο της πρώτης γρμμής στη πρώτη θέση της τρίτης γρμμής. Πολλπλσιάζουμε το στοιχείο υτό με το ρ κι το τοποθετούμε στη επόμεη θέση της δεύτερης γρμμής. Προσθέτουμε τ δύο πρώτ στοιχεί της δεύτερης στήλης κι τ τοποθετούμε στη τρίτη γρμμή της δεύτερης στήλης. Συεχίζουμε κτά το ίδιο τρόπο μέχρι συμπληρώσουμε τ στοιχεί της προτελευτίς στήλης. Ο τελευτίος ριθμός που κτλήγουμε είι το υπόλοιπο της διίρεσης εώ οι υπόλοιποι ριθμοί της τρίτης γρμμής είι οι συτελεστές του πηλίκου της διίρεσης. Το σχήμ Horner δε υποκθιστά τη διδικσί της διίρεσης που έχουμε μάθει. Αποτελεί έ εύκολο λγόριθμο που «δουλεύει» μόο ότ δ = ρ Πράδειγμ : Δίετι το πολυώυμο P ( ) = + + + β + 5 με, β R. ) Ν βρείτε τ κι β ώστε το πολυώυμο P( ) έχει πράγοτ το κι διιρούμεο με το+ φήει υπόλοιπο 6. β) Α a= κι β = με τη βοήθει του σχήμτος Horner εκτελέσετε τη διίρεση P + κι γράψετε τη τυτότητ της Ευκλείδεις διίρεσης. - 8 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Είι: ) Εφόσο το P( ) έχει πράγοτ το πρέπει: () = + + + + 5= + = 5 () P β β Αάλογ επειδή το P( ) διιρούμεο με το + δίει υπόλοιπο 6 πρέπει: P( ) = 6 + + + β+ 5= 6 β = () Από () κι () με πρόσθεση κτά μέλη προκύπτει = οπότε κι β =. β) Γι a= κι β = είι P = + + οπότε είι: ρ = 6 Οπότε το πηλίκο κι το υπόλοιπο της P + είι: διίρεσης π = κι υ = 6. Η τυτότητ της Ευκλείδεις διίρεσης είι P ( ) ( ) = + + 6. Πράδειγμ : Δίετι πολυώυμο P = + 5. ) Ν εξετάσετε το + είι πράγοτς του P( ). β) Ν βρείτε το πηλίκο κι το υπόλοιπο της διίρεσης P ( ). Είι: ) Γι εξετάσουμε το + είι πράγοτς του P( ) θυμόμστε ότι: Είι: P ρ πράγοτς του P P( ρ ) = ( ) = + 5= 8 8 5 P( ) = Άρ το + δε είι πράγοτς του P( ). β) Κάουμε τη διίρεση με σχήμ Horner οπότε είι: 5 ρ = 9 9 Θυµόµστε: Ότ κάουµε το σχήµ Horner δε ξεχάµε βάλουµε µηδεικά γι τις δυάµεις του P( ) που δε εµφίζοτι κι είι µικρότερου βθµού πό το µεγιστοβάθµιο όρο. Πολυωυμικές Εξισώσεις-Αισώσεις Πολυωυμικές Εξισώσεις Οπότε το πηλίκο κι το υπόλοιπο της P είι: διίρεσης π = + + κι υ =. Επειδή ο διιρέτης είι της µορφής ρ το υπόλοιπο µπορούµε το βρούµε ως εξής: υ = P() = Αυτό επληθεύει κι το σχήµ Horner που κάµε. - 9 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Η γεική τιμετώπιση εός προβλήμτος, είτε υτό πργμτεύετι κάποιο μθημτικό τικείμεο είτε κάποι κθημεριή σχολί, είι η γωγή του σε πλούστερ προβλήμτ τω οποίω τη λύση γωρίζουμε. Όσο φορά τις πολυωυμικές εξισώσεις, κθώς κι τις ισώσεις που θ δούμε ργότερ, η γωγή υτή μετφράζετι ως ελάττωση του βθμού του υπό εξέτση πολυωύμου. Ειδικότερ προβλήμτ που έχου κάου με πολυώυμ κι θ πιτού πλοποίηση υτώ ή επίλυση εξισώσεω-ισώσεω υτώ θ λύοτι με «πργοτοποίηση». Η πργοτοποίηση είι η διδικσί κτά τη οποί έ άθροισμ πό όρους μεττρέπετι σε γιόμεο, υτό έχει σ ποτέλεσμ έ πολυώυμο -οστού βθμού μεττρέπετι σε γιόμεο πολυωύμω με βθμούς μικρότερους του. Πολυωυμική εξίσωση -οστού βθμού οομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής v + +... + + = με Ρίζ της πρπάω πολυωυμικής εξίσωσης οομάζουμε κάθε ρίζ του v πολυωύμου P = + +... + +, δηλδή κάθε πργμτικό ριθμό που τη επληθεύει. Θεώρημ Ακέριω Ριζώ v Έστω η πολυωυμική εξίσωση + +... + + = με κέριους συτελεστές. Α ο κέριος ρ είι ρίζ της εξίσωσης τότε ο ρ είι διιρέτης του στθερού όρου. Ότ θέλουμε λύσουμε μί πολυωυμική εξίσωση της P( ) = με κέριους συτελεστές θ κολουθούμε τ πρκάτω βήμτ: Βρίσκουμε τις κέριες ρίζες εξετάζοτς ως πιθές κέριες ρίζες τους διιρέτες του στθερού όρου. P ρ η οποί πρέπει Έστω ρ μί κέριο ρίζ κάουμε τη διίρεση είι τέλει κι βρίσκουμε κάποιο πηλίκο π. Επλμβάουμε τη διδικσί γι το π κι γι τ επόμε που θ βρούμε έως ότου κτλήξουμε σε κάποιο πολυώυμο πρώτου ή δευτέρου βθμού. P = p p... p, δηλδή πργοτοποιήσμε το P( ) σε Τελικά κ πολυώυμ p, p,..., p Είι P p p... p p ή p ή... ή p Θυµόµστε: Ότ σε έ πολυώυµο το άθροισµ τω συτελεστώ του ισούτι µε «µηδέ» τότε έχει προφή ρίζ το «έ»! - - κ που είι όλ πρώτου ή δευτέρου βθμού. = = = όπου η κ εξισώσεις που κτλήξμε είι πρώτου ή δευτέρου βθμού κι είι γωστός ο τρόπος επίλυσής τους. Ας δούμε τη πρπάω διδικσί πό το κόλουθο πράδειγμ. Δίετι το πολυώυμο P = + 5 κι ζητείτι λυθεί η εξίσωση P( ) =. Είι: P = + 5= Βρίσκουμε τις πιθές κέριες ρίζες του στθερού όρου που είι το 5. Πιθές κέριες ρίζες: ±, ± 5 Επληθεύουμε ότι ρ = ρίζ της πρπάω εξίσωσης. κ
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Κάουμε τη διίρεση P ( ) Οπότε το πηλίκο κι το υπόλοιπο της P είι: διίρεσης 5 π = + + κι υ =. 5 Το υπόλοιπο βγήκε μηδέ όπως μεότ! Από τη τυτότητ της ευκλείδεις διίρεσης είι: P = + + 5 + P = + + 5 Άρ το P( ) πργοτοποιήθηκε σε έ πολυώυμο πρώτου κι σε έ δευτέρου βθμού. P = + + 5 = () ή + + 5= () Είι: Από τη () προκύπτει = =. Από τη () προκύπτει + + 5=, λύουμε με δικρίουσ οπότε: = b ac= 5 = 9< δύτη! Τελικά η μοδική λύση της ρχικής εξίσωσης είι η =. Πράδειγμ : Δίετι το πολυώυμο ) Ν δειχθεί ότι το = είι ρίζ του P( ). β) Ν λυθεί η εξίσωση P( ) =. Είι: 5 ρ = 5 ) P = + 7+. P( ) = + 7 + P( ) = + 8+ + P( ) = Άρ πράγμτι το = είι ρίζ του P( ). β) Επληθεύουμε ότι το = είι διιρέτης τους στθερού όρου του πολυωύμου όπως όφειλε βάσει του θεωρήμτος. P + Κάουμε τη διίρεση 7 ρ = 6 8 Από τη τυτότητ της ευκλείδεις διίρεσης είι: - - Οπότε το πηλίκο κι το υπόλοιπο της P + είι: διίρεσης π = + κι υ =. Το υπόλοιπο βγήκε μηδέ όπως μεότ! P = + + + P = + + Άρ το P( ) πργοτοποιήθηκε σε έ πολυώυμο πρώτου κι σε έ δευτέρου βθμού. P = + + + = () ή + = () Είι: Από τη () προκύπτει + = =. Από τη () προκύπτει + =, λύουμε με δικρίουσ οπότε:
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ = b ac= = > άρ, = b± ± ± = = = a 6 = Τελικά οι λύσεις της εξίσωσης είι =, = κι =. 7 Πράδειγμ : Δίετι το πολυώυμο P = + +. Ν λυθεί η εξίσωση P( ) =. 6 Όπως πρτηρούμε η πρπάω εξίσωση είι πολυωυμική όμως δε έχει κέριους συτελεστές. Ωστόσο είι: 7 7 + + = 6 + + = 6 + 7 + 8 8= 6 6 Η εξίσωση στη οποί κτλήξμε είι ισοδύμη της ρχικής κι έχει κέριους συτελεστές, οπότε επλμβάουμε τη πρπάω διδικσί. Οι πιθές κέριες ρίζες είι: ±, ±, ±, ± 8. Επληθεύουμε ότι το είι ρίζ: Κάουμε τη διίρεση ( 7 8 8) ( ) + 7 + 8 8= + 68 6 8= + + +. 7 8 8 ρ = 6 8 Από τη τυτότητ της ευκλείδεις διίρεσης είι: Οπότε το πηλίκο κι το υπόλοιπο της διίρεσης ( + 7 + 8 8) ( + ) είι: π = + κι υ =. + 7 + 8 8= + + + + 7 + 8 8= + + + = () Είι τελικά: + 7 + 8 8= ( + ) ( + ) = + = Από () προκύπτει + = = () Από () προκύπτει + =, λύουμε με δικρίουσ οπότε: = b± ± 69 ± = b ac= ( ) = 69> άρ, = = = a 6 = Τελικά οι λύσεις της εξίσωσης είι =, = κι =. - -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Πολυωυμικές Αισώσεις Η διδικσί επίλυσης μίς πολυωυμικής ίσωσης είι πρόμοι με τη επίλυση μις εξίσωσης όμως εκτός πό το στάδιο της πργοτοποίησης πιτεί κι τη κτσκευή εός πίκ προσήμω βάσει του οποίου θ ποφθούμε γι τη λύση της ίσωσης. Όσο φορά τη διδικσί κτσκευής του πίκ προσήμω ς δούμε το κόλουθο + + 5 +. πράδειγμ. Ζητείτι λυθεί η ίσωση Όπως βλέπουμε στη συγκεκριμέη περίπτωση το πολυώυμο που εμφίζετι είι ήδη πργοτοποιημέο οπότε πιτείτι μόο η κτσκευή του πίκ προσήμω. 5 + + + + + Στη πρώτη γρµµή βάζουµε τις ρίζες του πολυωύµου πό τη µικρότερη προς τη µεγλύτερη! + 5 + + + + + + ( + )( + 5)( + ) + + Στις επόµεες σειρές βάζουµε τους πράγοτες κι τ πρόσηµ του κθεός κθώς κι τις θέσεις µηδεισµού υτώ! Στη τελευτί γρµµή βάζουµε το γιόµεο τω προηγούµεω πργότω οπότε προκύπτει το πολυώυµο που έχουµε. Πολλπλσιάζοτς τ πρόσηµ κάθε στήλης βρίσκουµε τ πρόσηµ της τελευτίς γρµµής. Όσο φορά τη λύση της ίσωσης ζητείτι P ετοπίζουµε το θετικό πρόσηµο στη τελευτί γρµµή κι δίουµε τη πάτηση, τίστοιχ εργζόµστε κι στη τίθετη περίπτωση! + + 5 +,,5 + + 5 >. Όπως προκύπτει πό το πρπάω πίκ ( )( )( ) ( ] Πράδειγμ 5: Ν λυθεί η ίσωση Όσο φορά το τριώυμο + + 5 είι = b ac= 5 = 9<. Επειδή η δικρίουσ είι ρητική το τριώυμο δε έχει πργμτικές ρίζες οπότε δε μπορεί πργοτοποιηθεί περιτέρω κι το πρόσημο του είι πάτ ομόσημο του δηλδή του συτελεστή του. Κτσκευάζουμε το πίκ προσήμω: - -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ + + + 5 + + Από το διπλό πίκ προκύπτει ότι: ( ) ( ) (, + ) + + 5 > + ( + )( + 5)( + ) + Θυµόµστε: Έστω το τριώυµο + β+ γ µε Α > τότε η εξίσωση + β+ γ = έχει δύο πργµτικές ρίζες ρ, ρ κι το τριώυµο πργοτοποιείτι ως εξής: + β+ γ = ρ ρ Το πρόσηµο του τριωύµου είι ετερόσηµο του άµεσ στις ρίζες κι οµόσηµο εκτός. Α = τότε η εξίσωση + β+ γ = έχει µί «διπλή» πργµτική ρίζ ρ κι το τριώυµο πργοτοποιείτι ως εξής: ( ) + + = β γ ρ Το πρόσηµο του τριωύµου είι οµόσηµο του εκτέρωθε τις ρίζς. Α < τότε η εξίσωση + β+ γ = δε έχει πργµτικές ρίζες κι το τριώυµο δε πργοτοποιείτι! Το πρόσηµο του τριωύµου είι πτού οµόσηµο του! Πράδειγμ 6: Δίετι το πολυώυμο P = ( )( )( γ ) + + β με,, γωρίζετε ότι η διίρεση P ( ) δίει υπόλοιπο 5 κι η διίρεση P ( ) υπόλοιπο 8 τότε: ) Ν βρεθού τ, β. β) Α =, β = κι γ < λυθεί η ίσωση P +. γ) Α ισχύει P () = βρεθεί το γ. β γ R. Α δίει - -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Είι: ) Εφόσο P ( ) Ατίστοιχ επειδή P ( ) δίει υπόλοιπο 5 είι P() = 5 + β = 5 () Από () κι () προκύπτει = κι β =. β) Εφόσο = κι δίει υπόλοιπο 8 είι P() = 8 + β = 8 () β = είι P ( )( )( γ ) ( γ ) ( γ ) = + +, επομέως P + + + + γ Είι: = = κι = = κόμ γ = = επειδή όμως γ γ < είι < <. Η τελευτί σχέση χρειάζετι γι γωρίζουµε µε ποι σειρά τοποθετήσουµε τις ρίζες! γ + γ + Τελικά προκύπτει ότι: γ γ,, + [ ) + + + ( )( )( γ ) + + γ) Α () P() = γ + + = γ 9 = γ = P = τότε Εξισώσεις-Αισώσεις που άγοτι σε Πολυωυμικές Πολλές φορές τιμετωπίζουμε τη επίλυση μις εξίσωσης η οποί περιέχει κλάσμτ, ρίζες κόμ κι ποιο σύθετες μορφές της γώστου μετβλητής. Σε ρκετές πό υτές τις περιπτώσεις με κτάλληλες πράξεις είι δυτό κτλήξουμε σε κάποι πολυωυμική εξίσωση-ίσωση η οποί λύετι με τις πρπάω διδικσίες. Βεβί τις περισσότερες φορές ότ λύουμε μι εξίσωση-ίσωση υτής της μορφής είι πολύ σημτικό είτε επληθεύσουμε τις λύσεις που βρήκμε είτε θέσουμε τους περιορισμούς που προκύπτου πό τη φύση της υπό μελέτη εξίσωσης-ίσωσης. P Πράδειγμ 7: Α P = ( + )( ), λυθεί η ίσωση. ( + ) Είι: P ( + ) P + + + με το περιορισμό +. - 5 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Κτσκευάζουμε το πίκ προσήμω: + + + + + + Τελικά προκύπτει ότι: ( )( )( ) [,] + + + + + + ( )( )( γ ) + + + Θυµόµστε: β µε περιορισµό β β β β < < β µε περιορισµό β β β β > > Πράδειγμ 7: Ν λυθεί η εξίσωση = +. Είι: + Περιορισμοί: { ± = = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + = 8 + + 6 = 5-6 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Οι πιθές κέριες ρίζες είι: ±, ±. Επληθεύουμε ότι το είι ρίζ: Κάουμε τη διίρεση ( 5 ) ( ) 5 = + 5 = +. Από τη τυτότητ της ευκλείδεις διίρεσης είι: Οπότε το πηλίκο κι το υπόλοιπο της διίρεσης ( + 7 + 8 8) ( + ) είι: π = κι υ =. 5 = + + 5 = + + = () Είι τελικά: 5 = ( + ) ( ) = Από () προκύπτει + = = = () Από () προκύπτει =, λύουμε με δικρίουσ οπότε: = πορρίπτετι b± ± 5 ± 5 = b ac= ( ) ( ) = 5> άρ, = = = a = Τελικά οι λύσεις της εξίσωσης είι = κι Πράδειγμ 8: Ν λυθεί η ίσωση: Αρχικά έχουμε τους περιορισμούς: Είι: 5 ρ = =. 5 6 7 8 + +. ( ) + + ( ) ( ) 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 + + + + + 5 6+ 6 8 7 + 8 7 + 6 7+ 6 () ( ) ( ) ( ) Θυµόµστε: Ότ λύουµε µί ίσωση όπως η πρπάω πότε δε πολλπλσιάζουµε γι φύγου οι προοµστές. Ατιθέτως πηγίουµε όλους τους όρους σε έ µέλος κι κάουµε τ κλάσµτ οµώυµ! Από () προκύπτει: ( )( ) 7 + 6 () - 7 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Πργοτοποιούμε το πολυώυμο 7+ 6: Πιθές κέριες ρίζες: ±, ±, ±, ± 6 Επληθεύουμε ότι το = είι ρίζ: 7 + 6= 7+ 6= 7+ 6 : Κάουμε τη διίρεση 7 6 ρ = 6 6 Από τη τυτότητ της ευκλείδεις διίρεσης είι: Οπότε το πηλίκο κι το υπόλοιπο της διίρεσης ( 7+ 6) ( ) είι: 6 π = + κι υ =. 7+ 6= + 6 + 7+ 6= + 6 () Πργοτοποιούμε το 6 π = + : = b ac= 6 = 9> άρ + 6= + () Οπότε, = b± ± 9 ± 7 = = = a = + + Από () κι () η () γράφετι: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Κτσκευάζουμε το πίκ προσήμω: + + + + + + + + + + + ( ) + ( + )( ) ( ) + + + - 8 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ,,,. Από το πρπάω πίκ βλέπουμε ότι η λύση της ίσωσης είι: [ ) ( ] Θυµόµστε: Πρι δώσουµε τη τελική πάτηση λµβάουµε υπόψη τους περιορισµούς που θέσµε εξ ρχής! Πράδειγμ 8: Ν λυθεί η εξίσωση + =. + Αρχικά έχουμε τους περιορισμούς: Θυµόµστε: Α = β τότε πρέπει β Είι: + = + = + = + 5 6= = b ac= 5 6 = 9> άρ Η λύση = πορρίφθηκε γιτί πρέπει., b± 5± 9 5± 7 = = = a Άρ η μοδική λύση της πρπάω εξίσωσης είι η = 6. = 6 = πορρίπτετι Πράδειγμ 9: Ν λυθεί η ίσωση 5. Αρχικά έχουμε το περιορισμό. Θυµόµστε: β β κι µόο, β θετικοί. Όπως πρτηρούμε δε μπορούμε υψώσουμε σε τετράγω γιτί δε γωρίζουμε το δεύτερο μέλος είι θετικό, οπότε είμστε γκσμέοι λάβουμε περιπτώσεις: Α 5 5 τότε 5 5 + 5 + 8 b± ± 9 ± = b ac= ( ) = 7 8 = 9> άρ, = = = = a = Θυμόμστε ότι το τριώυμο είι ετερόσημο του άμεσ στις ρίζες οπότε λμβάοτς υπόψη τους περιορισμούς είι [ 5,7] πρέπει [,7] Α 5 5 τότε 5 ισχύει γι κάθε γι το οποίο ορίζετι η ίσωση οπότε [,5] Συδυάζοτς τις δύο πρπάω περιπτώσεις κτλήγουμε [,7]. - 9 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Κεφάλιο ο : Ακολουθίες Ακολουθίες Αριθμώ Η έοι της κολουθίς κάποιω ριθμώ πσχόλησε κι πσχολεί ιδιίτερ τη μθημτική επιστήμη πό το πεδίο τω κθρώ μθημτικώ (πρώτοι ριθμοί) έως κι τ εφρμοσμέ μθημτικά (χρημτιστήριο). Λίγο πολύ οι κολουθίες είι γώριμες σε όλους μέσ πό γρίφους ή πιχίδι ευφυΐς όπου με βάση κάποι σειρά ριθμώ κλούμστε βρούμε το επόμεο ριθμό στη κολουθί. Ασυίσθητ όσοι έχουμε σχοληθεί με έ τέτοιο γρίφο προσπθούμε βρούμε-μτέψουμε τη λληλουχί τω ριθμώ υτώ δηλδή κάποι σχέση που τους συδέει κι με βάση υτή τη σχέση προσδιορίσουμε τους επόμεους. Ας δούμε λίγο τ επόμε πρδείγμτ: Ζητείτι βρεθεί ο επόμεος ριθμός στη κολουθί, 7,,5,... Με λίγη σκέψη δε είι δύσκολο διπιστώσουμε ότι κάθε επόμεος προκύπτει πό το προηγούμεο με πρόσθεση του ριθμού. Οπότε ο επόμεος ριθμός θ είι το 9 κι ο μεθεπόμεος το. Μήπως μπορείτε βρείτε το ο ριθμό στη σειρά η κόμ κι το ο ; Ζητείτι βρεθεί ο επόμεος ριθμός στη κολουθί,,,... Όπως βλέπουμε ο -ιοστός ριθμός στη σειρά είι ο οπότε ο επόμεος ριθμός στη πρπάω κολουθί είι. Α μς ζητούσ βρούμε το ο ριθμό στη σειρά θ ήτ εύκολο πτήσουμε ότι είι ο, εώ ο ο είι ο. Πρπάω είδμε δύο πρδείγμτ κολουθιώ προτού όμως προχωρήσουμε στη άλυση τους ς δούμε κάποιους ορισμούς: * Ακολουθί κλείτι κάθε συάρτηση με πεδίο ορισμού το σύολο N τω θετικώ κερίω. Οι όροι μίς κολουθίς, δηλδή η τιμές που πίρει η πρπάω συάρτηση, συμβολίζοτι με (τί f ( )). Γι πράδειγμ ότ λέμε ότι = 5 εοούμε ότι ο ος ριθμός στη σειρά της κολουθίς είι ο 5. Μί κολουθί ορίζετι με δύο τρόπους: Αδρομικά: Δηλδή με μί σχέση βάσει της οποίς γωρίζοτς έ όρο μπορούμε βρούμε το επόμεο. Με τύπο: Δηλδή προσδιορίζοτς το τύπο της συάρτησης f που περιγράφει τη κολουθί. Άς επέλθουμε τώρ στ πρδείγμτ που εξετάσμε πρπάω: Στο πρώτο πράδειγμ κάμε τη διπίστωση ότι ο κάθε όρος προκύπτει πό το επόμεο προσθέτοτς το ριθμό. Χρησιμοποιώτς τους πρπάω = συμβολισμούς μπορούμε γράψουμε: v+ = + - -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Η πρώτη σχέση μς πληροφορεί γι το πρώτο όρο της κολουθίς εώ η δεύτερη μς δείχει το τρόπο βρίσκουμε κάθε επόμεο όρο. Η σχέση υτή κλείτι δρομική σχέση της κολουθίς γιτί γι βρούμε το επόμεο όρο πρέπει κάουμε δρομή στους προηγούμεους. Α κι η δρομική σχέση είι χρήσιμη ωστόσο θέλμε υπολογίσουμε το ο όρο της κολουθίς θ έπρεπε υπολογίσουμε τους υπόλοιπους 99 κάτι που κθιστά ιδιίτερ χροοβόρο το υπολογιστικό έργο υτής της διδικσίς. Στο δεύτερο πράδειγμ κάμε τη διπίστωση ότι ο ιοστός όρος της κολουθίς είι ο δηλδή =. Η τελευτί σχέση δε ποτελεί πρά το τύπο της κολουθίς δηλδή το τύπο της συάρτησης που περιγράφει τη κολουθί υτή. Ο τύπος είι προτιμότερος πό τη δρομική σχέση σε μί κολουθί γιτί όπως είδμε μπορούμε βρούμε βρούμε τους όρους κάθε τάξης με πλή εφρμογή του. Γι πράδειγμ ο ος όρος της κολουθίς είδμε ότι είι =. Πράδειγμ : Ν βρείτε τους πέτε πρώτους όρους τω κολοθιώ: = =, = = ) β) γ) + = + + = + + = v( v+ ) δ) = v + ε) av = στ) π a v = ηµ 6 Είι: ) Όπως βλέπουμε μς έχει δοθεί η δρομική σχέση οπότε προκύπτει: =, = + = + = 5, = + = 5+ = 8, = + = 8+ = κι 5 = + 5 = + 5 = β) Ατίστοιχ προκύπτει: =, =, = + = + =, = + = + =, 5 = + 5 = + 5 = 5 γ) Ατίστοιχ προκύπτει: =, = = = 6, = = 6 =, = = =, 5 = 5 = 5 = 8 δ) Όπως βλέπουμε εδώ μς έχει δοθεί ο τύπος της κολουθίς οπότε προκύπτει: = + =, = + = 5, = + =, = + = 7, = 5 + = 6 5 Ακολουθί Fibonacci ε) Ατίστοιχ προκύπτει: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) a = a =, a = a =, a = a = 6, a = a =, 5( 5+ ) a5 = a = 5 Μήπως μπορείτε βρείτε τη δρομική σχέση υτής της κολουθίς; στ) Ατίστοιχ προκύπτει: - -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ π a = ηµ = 6 a π π = ηµ a = ηµ a = 6 π π = = =, 6, a ηµ a ηµ π π = = = 6, a ηµ ηµ 5π a5 = ηµ a5 = 6 Πράδειγμ : Ν ορίσετε δρομικά τις κολουθίες: + ) = 5 β) = γ) = δ) 5 = ε) = στ) = 5 Είι:, Θυµόµστε: Ότ θέλουµε ορίσουµε δροµικά µι κολουθί, της οποίς γωρίζουµε το τύπο, προσπθούµε βρούµε µί σχέση άµεσ στο + κι κι εδεχοµέως κι σε προηγούµεους όρους. ε ξεχάµε ορίσουµε τους ρχικούς όρους που χρειάζετι η δροµική σχέση γι «τρέχει» κλά π.χ.,,... + = + 5 + = 5 ) Είι + = + = + 5 5 = = Επίσης = 5 = Τελικά η δρομική σχέση της κολουθίς είι: β) Είι + + = = + = + + + = + + = + = + + = + = + Επίσης = = = Τελικά η δρομική σχέση της κολουθίς είι: + = + + + = γ) Είι + = + = = 5 Επίσης = = - -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Τελικά η δρομική σχέση της κολουθίς είι: + + + = 5 + 5 + δ) Είι = = 5 5 + = 5 5 = Επίσης = 5 = 5 Τελικά η δρομική σχέση της κολουθίς είι: 5 = + = = 5 + = 5 + + + + = + + = + + + + ε) Είι = = + = + = + + + = Επίσης = = = Τελικά η δρομική σχέση της κολουθίς είι: + = + + = + στ) Είι 5 + + 5 + = = + = 5 5 = 5 5 Επίσης = = 5 5 Τελικά η δρομική σχέση της κολουθίς είι: = 5 + = 5 Πράδειγμ : Ν βρείτε το -οστό όρο, δηλδή το τύπο, τω κολουθιώ: = = = 7 ) β) γ) + = + + = + + = = = = 5 δ) ε) στ) + = + = + + = Θυµόµστε: Ότ θέλουµε βρούµε το τύπο µις κολουθίς προσπθούµε προσδιορίσουµε το σε σχέση µε το. Γι προσδιορίσουµε το πρκτικά τικθιστούµε στη δροµική σχέση που έχουµε διδοχικά το µετά το κι ούτω κθ εξής µέχρι κτλήξουµε στο. Επειδή υτή η διδικσί είι δύσκολη κι χροοβόρ προσπθούµε µε διάφορ τεχάσµτ, που θ φού πό τις λύσεις του πρδείγµτος, βρούµε το γεικό τύπο. - -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ = ) + = + Είι = + = + = + = + = + + = = + = β) + = + Είι = + = + = + = + = + + = = + Άρ ο τύπος της κολουθίς είι: = ( ) + ( ) = 7 γ) + = Είι = = = = = + = 7 = + Άρ ο τύπος της κολουθίς είι: = + = δ) + = Είι = = = = = = = Άρ ο τύπος της κολουθίς είι: ( ) = + Άρ ο τύπος της κολουθίς είι: = ε) = 5 + = + στ) = + = - -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Είι + + + = + + + = + 6 = + + = + + = + + = + + = + + = + + = 8 + = 8 Είι = = = = = = = Άρ ο τύπος της κολουθίς είι: = 8 Άρ ο τύπος της κολουθίς είι: = Αριθμητική Πρόοδος Στη προσπάθειά μς μελετήσουμε τις κολουθίες τις δικρίουμε άλογ με τ χρκτηριστικά που προυσιάζου.,5,8,,... Αρκετές πό τις κολουθίες που είδμε πρπάω ήτ της μορφής,5,7,9,... Όπως πρτηρούμε οι κολουθίες υτές έχου έ γώρισμ το οποίο είι ότι κάθε όρος προκύπτει πό το προηγούμεο με πρόσθεση κάθε φορά του ίδιου ριθμού. Ειδικότερ είι: Μί κολουθί λέγετι «ριθμητική πρόοδος», κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεο με πρόσθεση του ίδιου πάτοτε ριθμού. Ο ριθμός υτός που προστίθετι κάθε φορά συμβολίζετι συήθως με ω κι κλείτι «βήμ» ή «διφορά» της προόδου. Όπως προκύπτει πό τ πρπάω η δρομική σχέση μίς ριθμητικής προόδου έχει τη μορφή + = + ω Ο τύπος μίς ριθμητικής προόδου όπως προκύπτει πό τη πρπάω δρομική σχέση έχει τη μορφή ( ) = + ω + = + ω - 5 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Η σχέση υτή προκύπτει ως εξής: = + ω = + ω = + ω = + ω = + ω + y «Αριθμητικός μέσος» τω, y οομάζετι ο ριθμός. Αποδεικύετι ότι οι ριθμοί, β, γ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου κι μόο ο β είι ο ριθμητικός μέσος τω κι γ. Θυµόµστε: + γ, β, γ διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου β = Συμβολίζουμε με S το άθροισμ τω πρώτω όρω μίς κολουθίς ( ). Όσο φορά μί ριθμητική πρόοδο ποδεικύετι ότι: S = + ( ω ) = ( + ) κι ( ) Πράδειγμ : Έστω ( ) μί ριθμητική πρόοδος με = κι 5=. Ν ποδείξετε ότι = ω, όπου ω είι η διφορά της ριθμητικής προόδου. Είι: = = = = ω 5 = + ω = + ω ω = Πράδειγμ 5: Ν βρεθεί ο 5 ος όρος της κολουθίς, 7,,5,... Πρτηρούμε ότι η κολουθί υτή είι ριθμητική πρόοδος με ω = κι =. Οπότε = + 5 ω = + = 99 5 5 5 Πράδειγμ 6: Σε μί ριθμητική πρόοδο ισχύει = κι 7 = 6. Ν βρεθού ) Το βήμ κι ο πρώτος όρος της ριθμητικής προόδου. β) Ο όρος 5. γ) Το άθροισμ τω 5 πρώτω όρω της προόδου. Είι: = + ( ) ) 7 ( 7 ) β) ω = + ω = + ω = + ω = = + ω 6= + 6ω = ω ω = ω = = + 5 ω = + 9 = + 9 = 5 5 5 5 5 S - 6 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ 5 S5 = + 5 S5 = 5 + 5 S5 = 575 με διφορά ω =, ο όρος είι διπλάσιος γ) ( ) Πράδειγμ 7: Σε μί ριθμητική πρόοδο πό το όρο 6. Ν βρείτε: ) το πρώτο όρο της προόδου. β) το όρο 9. γ) ποιος όρος της προόδου είι ίσος με 6. Είι: ) ( 6 ) ω a = a + 5 ( a ) a6 = a+ 6 = + ω = + + = + 5 = 6 = 6 = 6 β) = + 9 ω = 6+ 8 = 9 9 9 9 γ) = 6 + ω = 6 6+ = 6 = 57 = 9 = Άρ ο ος όρος της κολουθίς είι ίσος με 6. είι = 5 κι ω =. Ν βρεθεί: Πράδειγμ 8: Σε μί ριθμητική πρόοδο ) Το άθροισμ τω πρώτω όρω της κολουθίς. β) Το άθροισμ τω όρω της κολουθίς που είι πό το 6 έως κι το. Είι: ) S = ( + ( ) ω) S = ( ( 5 ) + 9 ) S = 7 β) Δε γωρίζουμε κάποι σχέση που μς δίει το ζητούμεο άθροισμ. Ωστόσο πρτηρούμε ότι πό το S φιρέσουμε το S 5 τότε το ποτέλεσμ θ είι κριβώς το a + a + a + a + a, δηλδή το ζητούμεο. άθροισμ 6 7 8 9 5 5 S5 = ( + ( 5 ) ω) S5 = ( ( 5) + ) S5 = Άρ a6 a7 a8 a9 a S S5 a6 a7 a8 a9 a + + + + = = 7 + + + + = Θυµόµστε: + +... + + = S S γι > κ κ+ κ+ κ Πράδειγμ 9: Ν υπολογίσετε τ πρκάτω θροίσμτ: ) + + 7 +... + 9 β) 5 + + 7 +... + 5 γ) + 5 + 7 +... + 8 9 Είι: ) Στο άθροισμ + + 7 +... + 9 πρτηρούμε ότι εμφίζοτι οι ριθμοί,, 7,..., 9 οι οποίοι είι όροι ριθμητικής προόδου με = κι ω =. Α γωρίζμε πόσους όρους θροίζουμε θ ήτ εύκολο εφρμόσουμε το τύπο κι βρούμε το ποτέλεσμ. Επείδη όμως δε γωρίζουμε πόσους όρους θροίζουμε πρώτ θ βρούμε τη τάξη του όρου που είι ίσος με 9. - 7 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ = 9 + ω = 9 + = 9 = 9 = = Άρ = 9 κι επομέως ζητούμε το άθροισμ S. S = ( + ( ) ω) S = 6 ( + ) S5 = 5 β) Ατίστοιχ είι = 5 κι ω =. = 5 + ω = 5 5+ = 5 = = 5 = 6 Άρ 6= 5 κι επομέως ζητούμε το άθροισμ S 6. 6 S6 = ( + ( 6 ) ω) S 6 = 8 ( ( 5 ) + 5 ) S5 = γ) Ατίστοιχ είι = κι ω =. = 85 + ω = 89 + = 89 = 86 = = Άρ = 89 κι επομέως ζητούμε το άθροισμ S. S = ( + ( ) ω) S = 7 ( + ) S5 = ο 6 ος όρος είι 5, εώ το άθροισμ του 6 ου Πράδειγμ : Σε μί ριθμητική πρόοδο κι του ου όρου είι. Ν βρείτε: ) το άθροισμ τω πρώτω 6 όρω της κολουθίς. β) το άθροισμ τω πρώτω όρω της κολουθίς. Είι: 6 = 5 + 5ω = 5 + 5ω = 5 = 6+ = ( + 5ω) + ( + ω) = + 5ω = ω= 6 ) S6 = ( + 5 ω) S6 = 8 ( ( ) + 5 ) S6 = β) S = ( + ω) S = ( ( ) + ) S6 = 55 το άθροισμ τω πρώτω όρω της είι Πράδειγμ : Σε μί ριθμητική πρόοδο, εώ το άθροισμ τω 5 πρώτω όρω της είι 5. Ν βρείτε: ) το πρώτο όρο κι τη διφορά της προόδου. β) τη τιμή της πράστσης: Α= 9+. 6 γ) το άθροισμ: S = a + a+... + a7. Είι: ( + 9 ω) = S = 9 8 ) + ω = ω = S5 = 5 5 + ω = 8 = 5 ( + ω) = 5 β) 9 ω 9 9 = + 8 = 5+ 8 = = + 5ω = 5+ 5 = 5 6 6 6 Επομέως Α= 9+ 6 Α= + 5 Α= + 5 Α= 6 Α= 6 γ) Είι: S = a + a+... + a7 S = S7 S9-8 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ 9 9 S9 = ( + 8ω) S9 = ( ( 5) + 8 ) S9 = 7 7 7 S 7 = ( + 6ω) S 7 = ( ( 5) + 6 ) S 7 = 567 S = a + a +... + a S = S S S = 567 7 S = 5 Επομέως 7 7 9 Πράδειγμ : Δίετι η κολουθί της οποίς ο -οστός όρος είι = 7. ) Ν ποδείξετε ότι η κολουθί ( ) είι ριθμητική πρόοδος. β) Ν βρείτε το άθροισμ τω πρώτω 6 όρω της ( ). γ) Πόσοι όροι της πρπάω κολουθίς έχου άθροισμ 87 Είι: ( ) + = 7 + ) + = ( 7 ( + ) ) ( 7 ) + = = 7 Άρ η κολουθί είι ριθμητική πρόοδος με βήμ ω = κι = 7 = 5 Θυµόµστε: Γι ποδείξουµε ότι µί κολουθί είι ριθµητική πρόοδος υπολογίζουµε τη διφορά +. Α η διφορά υτή βγει ές στθερός ριθµός εξάρτητος του τότε η κολουθί είι ριθµητική πρόοδος κι µάλιστ η διφορά υτή είι το βήµ της προόδου. 6 β) S 6 = ( + 5 ω) S 6 = ( 5 + 5 ( )) S 6 = 5 S = 87 ( + ( ) ω) = 87 ( 5+ ( ) ( ) ) = 87 ( + ) = 7 γ) + = + = = 7 6 87 6 87 Λύουμε με δικρίουσ οπότε: = b ac = ( 6) ( 87) = 78 b± 6± 78 6± 8 = πορρίπτετι Άρ, =, =, = a = 7 Τελικά βρήκμε ότι προσθέσουμε τους 7 πρώτους όρους της κολουθίς το άθροισμ προκύπτει 87. Το = πορρίφτηκε διότι το όπως έχουμε φέρει είι θετικός κέριος. Θυµόµστε: Ότ κλούµστε βρούµε το πλήθος τω όρω που έχου άθροισµ Α τότε πό τη σχέση S µε γωστά τ κι ω κτλήγουµε σε µί εξίσωση δευτέρου βθµού π όπου βρίσκουµε το. Απορρίπτουµε εκείες τις λύσεις που δε είι θετικοί κέριοι! Πράδειγμ : Ν ποδείξετε ότι γι κάθε, β R, οι ριθμοί: - 9 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ +, ( β) β, 5β με τη σειρά που δίοτι, είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. Είι: ( + β) + ( 5β) + + β 5β β = = = ( β) Επομέως οι πρπάω ριθμοί είι Θυµόµστε: διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου., β, γ διδοχικοί όροι ριθµητικής + γ προόδου β = Πράδειγμ : Α οι θετικοί ριθμοί, β, γ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου, ποδείξετε ότι το ίδιο συμβίει κι γι τους ριθμούς: β + γ, γ +, + β Εφόσο, β, γ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου είι + γ β = β = + γ β γ = β ( β γ ) ( β) + + β + γ + β β + γ β γ + β β Είι = = β γ β + β γ β β γ + β γ γ = = = = = β γ β γ + β γ β γ + β ( γ ) ( + γ ) ( γ) ( + γ ) ( γ) ( + γ ) γ γ = = = = γ + γ Δείξμε οπότε: = + γ ριθμητικής προόδου. + β + γ + β, άρ, β + γ, γ + + β Πράδειγμ 5: Δίετι η ριθμητική πρόοδος ( ) κι έστω S, S κι τω πρώτω, κι όρω τίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι: S ( S S ) =. Είι: S = ( + ( ) ω) S = ( + ( ) ω) S S = ( + ( ) ω) ( + ( ) ω) S = ( + ( ) ω) διδοχικοί όροι S τ θροίσμτ - 5 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ S S = ( ( + ( ) ω) ( + ( ) ω) ) S S = ( + ω ω ω+ ω) S S S = ( + ω ω) S S = ( + ( ) ω) S S = S = ( S S ) Γεωμετρική Πρόοδος Μι άλλη κτηγορί κολουθιώ είι οι λεγόμεες γεωμετρικές πρόοδοι. Ορισμέ πό τ,6,,,8,... πρδείγμτ που είδμε στη ρχή ήτ κολουθίες όπως:,,5,5,... Όπως βλέπουμε υτές οι κολουθίες έχου έ χρκτηριστικό γώρισμ το οποίο είι ότι κάθε όρος προκύπτει πό το προηγούμεο με πολλπλσισμό κάθε με το ίδιο ριθμό. Ειδικότερ είι: Μί κολουθί λέγετι «γεωμετρική πρόοδος», κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεο με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό ριθμό. Ο ριθμός υτός που πολλπλσιάζετι κάθε φορά συμβολίζετι συήθως με λ κι κλείτι «λόγος» της προόδου. Όπως προκύπτει πό τ πρπάω η δρομική σχέση μίς γεωμετρικής προόδου έχει τη μορφή + = λ όπου. Ο τύπος μίς ριθμητικής προόδου όπως προκύπτει πό τη πρπάω δρομική σχέση έχει τη μορφή = λ Η σχέση υτή προκύπτει ως εξής: = λ = λ = λ = λ = λ = λ «Γεωμετρικός μέσος» τω ομόσημω ριθμώ, y οομάζετι ο ριθμός y. Αποδεικύετι ότι οι ριθμοί, β, γ είι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου κι μόο ο β είι ο γεωμετρικός μέσος τω κι γ. Θυµόµστε: β γ, β, γ διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου = Συμβολίζουμε με S το άθροισμ τω πρώτω όρω μίς κολουθίς ( ). - 5 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Όσο φορά μί γεωμετρική πρόοδο ποδεικύετι ότι: λ S + = λ κι S = λ Πράδειγμ 6: Ν βρείτε το 7 ο όρο τω πρκάτω γεωμετρικώ προόδω: ),,,... β),, 8, 6,... γ) 7, 9,,... 8 Είι: 6 6 ) Προφώς = κι λ = οπότε = λ = = 6 β) Είι = κι 7 γ) Είι = κι λ = οπότε 8 7 7 7 = λ = = 8 6 λ = οπότε 6 7 7 7 Πράδειγμ 7: Σε μί γεωμετρική πρόοδο ) το λόγο λ β) το 6 6 6 7 7 7 7 Είι: = = ) 9 9 λ = 6 λ = 7 λ= 9 = 6 λ = 6 5 5 β) 6 = λ 6 = 6 = 6 = 5 9 9 5 5 λ γ) S5 = S5 = S5 = S5 = λ 9 9 9 7 6 7 8 = λ = = = 8 79 8 7 είι = κι = 6. Ν βρείτε: 9 γ) το άθροισμ τω πέτε πρώτω όρω Πράδειγμ 8: Σε μί γεωμετρική πρόοδο ( ) είι 6 = 8 κι =. Ν βρείτε το πρώτο όρο κι το λόγο της προόδου. 5 5 6 = 8 λ = 8 λ 8 Είι: = λ = 7 λ = = λ = λ Οπότε: = λ = = = 9 Πράδειγμ 9: Οι ριθμοί, + κι 5 7 ποτελού διδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Ν βρείτε τις τιμές που μπορεί πάρει ο ριθμός. Εφόσο οι ριθμοί, + κι 5 7 ποτελού διδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου πρέπει: + = 5 7 + + = 5 7 6 + 5+ + + = + + = 6 6 () Η () είι μί πολυωυμική εξίσωση με κέριους συτελεστές οπότε: Πιθές κέριες ρίζες: ±, ±. ± 5, ± Επληθεύουμε ότι = λύση της (): ( ) 6( ) + ( ) + == 6 + = Κάουμε τη διίρεση ( 6 + + ) ( + ) 6 ρ = - 5 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ 7 7 Οπότε το πηλίκο κι το υπόλοιπο της 6 + + + είι: διίρεσης π = 7+ κι υ =. Από τη τυτότητ της ευκλείδεις διίρεσης είι: ( 6 + + ) = ( + ) ( 7+ ) + ( 6 + + ) = ( + ) ( 7+ ) Είι οπότε: + = () 6 + + = ( + ) ( 7+ ) = 7+ = () Από () προκύπτει: + = = Από () προκύπτει: 7 + = λύουμε με δικρίουσ οπότε = ή = 5. Η λύση = πορρίπτετι διότι ο μεσίος όρος γίετι μηδέ άρ = ή = 5. Θυµόµστε: Σε µί γεωµετρική πρόοδο υποθέσµε οπότε θ είι κι = λ γι κάθε! Πράδειγμ : Ν υπολογίσετε τ πρκάτω θροίσμτ: ) 5 + + +... + 6 β) 8 + 6... 8. 9 Είι: ) Όπως πρτηρούμε οι όροι που θροίζοτι είι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο = 5 κι λόγο λ =. Γι εφρμόσουμε το τύπο του θροίσμτος πρέπει βρούμε πόσους όρους θροίζουμε οπότε πρέπει βρούμε τη τάξη του όρου ο οποίος είι ίσος με 6. Είι: = 6 λ = 6 5= 6 = 8 = 7 = 8 8 8 Τελικά S 8 5... 6 a λ = + + + + = = 5 8.75 λ S = β) Ατίστοιχ είι a = κι λόγο λ =. Επίσης είι 8.9 8.9 8.9.8 = λ = = = = = λ Τελικά S = 8+ 6... 8.9= = S = 5.6 λ + Πράδειγμ : Ο -οστός όρος μις κολουθίς είι =. είι γεωμετρική πρόοδος, της οποίς βρείτε το ) Ν ποδείξετε ότι η κολουθί λόγο λ κι το πρώτο όρο. β) Ν βρείτε το γεωμετρικό μέσο τω ριθμώ κι λ. Είι: - 5 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ) + + = = = + + + + + + + Βρήκμε ότι ο λόγος κάθε όρου προς το προηγούμεο είι στθερός κι ίσος με. Άρ η δοθείσ κολουθί ποτελεί γεωμετρική πρόοδο με λόγο λ = κι πρώτο όρο + 8 = =. Θυµόµστε: Γι ποδείξουµε ότι µί κολουθί είι γεωµετρική πρόοδος υπολογίζουµε το λόγο +. Α ο λόγος υτός βγει ές στθερός ριθµός εξάρτητος του τότε η κολουθί είι γεωµετρική πρόοδος κι µάλιστ ο λόγος υτός είι ο λόγος της προόδου. Πράδειγμ : Δίετι γεωμετρική πρόοδος ( ) με λόγο λ, γι τη οποί ισχύει: = + κι S =. ) Ν ποδείξετε ότι = λ+. β) Ν υπολογίσετε το άθροισμ: S = + +... + Είι: ) β) λ = + λ = λ + λ = λ+ ( λ+ ) 8 8 λ λ...... (... ) S = + + + = + λ + + λ = + λ + + λ = = λ λ ( λ+ ) λ S. S = S = S = S =. λ - 5 -
Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Κεφάλιο ο : Εκθετική κι Λογριθμική Συάρτηση Εκθετική Συάρτηση Βσικές έοιες δυάμεω Βσικό εργλείο στις εκθετικές κι στις λογριθμικές συρτήσεις ποτελεί η έοι της δύμης εός ριθμού. Στις προηγούμεες τάξεις έχουμε διδχθεί τη έοι της δύμης με εκθέτη φυσικό κι με βάση τις ιδιότητες τη επεκτείμε κι στη περίπτωση όπου ο εκθέτης ήτ κέριος. Στη συέχει δίοτς το κόλουθο ορισμό επεκτείμε τη έοι της δύμης κι στη περίπτωση όπου ο εκθέτης είι ρητός: Α >, µ κέριος κι θετικός κέριος τότε ορίζουμε: µ Επιπλέο µ, θετικοί κέριοι, ορίζουμε: =. Στη περίπτωση όπου ο εκθέτης είι άρρητος ποδεικύετι ότι ότ η βάση είι θετικός πργμτικός έχει όημ η έοι της δύμης κι ισχύου οι ιδιότητες: Α, β είι θετικοί πργμτικοί ριθμοί κι,, R, τότε: + µ = µ = = = β = β = = β β Εφόσο ορίστηκε η δύμη εός ριθμού με εκθέτη άρρητο το επόμεο βήμ είι ορίσουμε τη εκθετική συάρτηση, ειδικότερ: f : R, + με f =, a > κι κλείτι εκθετική συάρτηση Η συάρτηση με βάση το. Στη περίπτωση όπου = η συάρτηση f ( ) = είι στθερή κι ίση με «έ». Η συάρτηση: f = με < < Η εκθετική συάρτηση f = ότ < < είι μί συάρτηση με τ κόλουθ χρκτηριστικά: o Πεδίο ορισμού όλο το R o Βρίσκετι πάτ πάω πό το άξο ', δηλδή είι πτού «θετική» o Διέρχετι πάτ πό το σημείο Α (,) o Είι γησίως φθίουσ σε όλο το R, δηλδή γι κάθε, R ισχύει Η γρφική πράστση της συάρτησης f = με < < είι της μορφής: < > - 55 -