ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα Γενικές οδηγίες για την εργασία Η εργασία περιλαμβάνει πέντε (5) υποχρεωτικές ασκήσεις. Οι απαντήσεις στις ασκήσεις της εργασίας θα αναπτυχθούν σε δύο αρχεία (ένα Word και ένα Excel) σύμφωνα με τις αναλυτικές οδηγίες που ακολουθούν. Τα δύο αρχεία θα πρέπει να αναρτηθούν στο http://study.eap.gr/ Καταληκτική ημερομηνία ανάρτησης της 4ης γραπτής εργασίας: Τρίτη 13 Μαίου 2014, και ώρα 23:59 Εργασίες που αναρτώνται εκπρόθεσμα, επισύρουν βαθμολογικές κυρώσεις (0,5 βαθμό για κάθε ημερολογιακή ημέρα καθυστέρησης). Εργασίες οι οποίες αναρτώνται με καθυστέρηση μεγαλύτερη από 7 ημέρες δεν γίνονται αποδεκτές. Αναλυτικές Οδηγίες Η εργασία περιλαμβάνει 5 υποχρεωτικές ασκήσεις η λύση των οποίων απαιτεί τη δημιουργία των παρακάτω αρχείων: 1. Αρχείο Word με τις απαντήσεις στις Ασκήσεις 1-5 (Όνομα αρχείου: Eponymo.Onoma-GE4.doc). Στο αρχείο αυτό θα πρέπει να δίνονται οι αναλυτικές απαντήσεις των ασκήσεων με τη σειρά που δίνονται στην εκφώνηση, αναγράφοντας και τον αριθμό του αντίστοιχου υπο-ερωτήματος. Επίσης, όλοι οι πίνακες και τα διαγράμματα που περιέχονται στο αρχείο Excel θα πρέπει να μεταφερθούν και σε αυτό το αρχείο και συγκεκριμένα στα σημεία που δίνονται οι απαντήσεις των αντιστοίχων ασκήσεων. 2. Αρχείο Excel με τις απαντήσεις στις Ασκήσεις όπου σας ζητείται να χρησιμοποιήσετε Excel (Όνομα αρχείου: Eponymo.Onoma-GE4.xls). Το αρχείο Excel πρέπει να περιέχει φύλλα εργασίας όσα και τα υποερωτήματα όπου σας ζητείται η χρήση Excel. Τα φύλλα εργασίας πρέπει να έχουν το όνομα του αντίστοιχου υποερωτήματος. π.χ. «Άσκηση 1-Ι», κλπ.
Επισημαίνεται ότι οι εργασίες πρέπει να είναι επιμελημένες και ευανάγνωστες και ότι η αντιγραφή μέρους ή ολόκληρης της εργασίας απαγορεύεται αυστηρά. Ο Συντονιστής και η Επιτροπή Γραπτών Εργασιών της ΔΕΟ 13 διεξάγουν σε όλη τη διάρκεια του ακαδημαϊκού έτους δειγματοληπτικούς ελέγχους σε όλα τα τμήματα για τον εντοπισμό και την τιμωρία τέτοιων φαινομένων. Στο αρχείο Excel όλοι οι υπολογισμοί πρέπει να γίνουν αποκλειστικά με τη χρήση τύπων και συναρτήσεων του Excel. Tα διαγράμματα θα πρέπει να μεταφέρονται και στο αρχείο word. Για τη δημιουργία των μαθηματικών σχέσεων να γίνει χρήση της εφαρμογής «Επεξεργασία Εξισώσεων» (Equation Editor) του Word (Από τη γραμμή μενού: Insert Object από Object type επιλέξτε Microsoft Equation 3.0 ή στα Ελληνικά: Εισαγωγή Αντικείμενο από Τύπος Αντικειμένου επιλέξτε Microsoft Equation 3.0). Εάν η εφαρμογή «Επεξεργασία Εξισώσεων» (Equation Editor) δεν υπάρχει ήδη εγκατεστημένη στον υπολογιστή σας τότε δεν «εμφανίζεται». Στη περίπτωση αυτή θα πρέπει να την εγκαταστήσετε χρησιμοποιώντας το CD εγκατάστασης του Microsoft Office. Περισσότερα στοιχεία για τον Equation Editor υπάρχουν στο εγχειρίδιο Η/Υ (σελ. 68-71), το οποίο είναι διαθέσιμο στη ιστοσελίδα της ΔΕΟ13 (http://class.eap.gr/deo13) ακολουθώντας διαδοχικά τους συνδέσμους: Εκπαίδευση Συμπληρωματικό Διδακτικό Υλικό στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές και επιλέγοντας το αρχείο με όνομα Egxeiridio H-Y.pdf. 2
ΑΣΚΗΣΗ 1 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Ένας κατασκευαστής αυτοκινήτων θέλει να προγραμματίσει για μια χρονική περίοδο την παραγωγή δύο μοντέλων αυτοκινήτου: του μοντέλου Α και του μοντέλου Β. Κάθε μοντέλο αυτοκινήτου απαιτεί δύο διαδικασίες: συναρμολόγηση και φινίρισμα. Οι απαιτούμενες ώρες για κάθε διαδικασία και το κέρδος για κάθε μοντέλο αυτοκινήτου δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Συναρμολόγηση Φινίρισμα Κέρδος (σε χ.μ.) Μοντέλο Α 4 ώρες 6 ώρες 400 Μοντέλο Β 6 ώρες 3 ώρες 300 Για τη δεδομένη χρονική περίοδο υπάρχουν διαθέσιμες 720 ώρες στη συναρμολόγηση και 480 ώρες στο φινίρισμα. Λόγω παραγγελιών υπάρχουν απαιτήσεις κατασκευής τουλάχιστον 20 αυτοκινήτων του μοντέλου Α και τουλάχιστον 30 αυτοκινήτων του μοντέλου Β. Όλα τα αυτοκίνητα που θα κατασκευασθούν θα πουληθούν. 1. Δώστε την τυποποίηση του γραμμικού προβλήματος. Πόσα αυτοκίνητα μοντέλου Α και πόσα αυτοκίνητα μοντέλου Β πρέπει να κατασκευασθούν ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος, δοθέντων των περιορισμών; Η επίλυση να γίνει με δύο τρόπους: (i) Γραφικά και (ii) με το Excel (όπου θα πρέπει οι φοιτητές να δώσουν τρία φύλλα εργασίας: α) τα δεδομένα μετά την επίλυση, β) την αναφορά απάντησης (answer report) και γ) την αναφορά ευαισθησίας (sensitivity report). (10 μονάδες) 2. Στη βέλτιστη λύση περισσεύουν ώρες στο φινίρισμα ή στην συναρμολόγηση; Αν ναι πόσες; (3 μονάδες) 3. Αν δεν ληφθούν υπόψη οι περιορισμοί ελάχιστης παραγωγής αυτοκινήτων του μοντέλου Α και του μοντέλου Β μπορεί να επιτευχθεί μεγαλύτερο κέρδος; (3 μονάδες) 4. Αν θεωρηθεί ότι οι διαθέσιμες ώρες στη συναρμολόγηση ή στο φινίρισμα αλλάζουν, αυτή η αλλαγή επηρεάζει τη βέλτιστη λύση; (3 μονάδες) Για να απαντήσετε τα υπόλοιπα ερωτήματα χρησιμοποιήστε την αναφορά ευαισθησίας από το Excel και μη λύσετε εκ νέου το πρόβλημα. 5. Μια επιπλέον διαθέσιμη ώρα στο φινίρισμα αυξάνει ή μειώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και αν ναι, πόσες χρηματικές μονάδες (χ.μ.); (3 μονάδες) 6. Πόσο μπορεί να αυξηθεί ή να μειωθεί το κέρδος του μοντέλου Α από την τρέχουσα τιμή των 400 χρηματικών μονάδων (χ.μ.) χωρίς να αλλάξει η βέλτιστη λύση που βρήκατε στο ερώτημα 1; (3 μονάδες) 3
ΑΣΚΗΣΗ 2 (ΜΟΝΑΔΕΣ 18) Η εταιρεία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ διαθέτει μια κεντρική αποθήκη όπου αποθηκεύει τα προϊόντα της έως ότου πωληθούν ή χρειασθούν από κάποιο από τα πολλά υποκαταστήματά της. Το προσωπικό της αποθήκης αποτελείται από 4 εργαζόμενους οι οποίοι φορτώνουν και ξεφορτώνουν τα φορτηγά που φθάνουν στην αποθήκη σύμφωνα με την κατανομή Poisson με ρυθμό 1 φορτηγό ανά ώρα. Λόγω περιορισμένου χώρου φορτοεκφόρτωσης και εξ αιτίας των κανονισμών ασφαλείας, σε κάθε φορτηγό μπορεί να εργάζεται μόνον ένας εργαζόμενος για φόρτωση-εκφόρτωση. Ο χρόνος που απαιτείται για τη φόρτωση-εκφόρτωση ενός φορτηγού ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέσο ρυθμό 1 φορτηγό ανά ώρα. 1. Είναι εφικτό το σενάριο λειτουργίας της αποθήκης με έναν μόνο εργαζόμενο; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. (4 μονάδες) 2. Κάθε εργαζόμενος κοστίζει στην εταιρεία 21 ευρώ ανά ώρα (μισθός+επιδόματα). Ο διευθυντής της ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ θέλει να μειώσει το προσωπικό με την προοπτική μείωσης του κόστους. Η εταιρεία υπολογίζει ότι κοστίζει 35 ευρώ ανά ώρα η παραμονή ενός φορτηγού στο χώρο φορτοεκφόρτωσης (είτε αναμένει για εξυπηρέτηση είτε φορτώνεται εκφορτώνεται). Για κάθε εφικτό σενάριο προσωπικού υπολογίστε το μέσο μήκος ουράς, τον μέσο αριθμό φορτηγών στο σύστημα, το συνολικό χρόνο παραμονής στην αποθήκη, την πιθανότητα ότι ένα φορτηγό θα αναγκαστεί να περιμένει, και το συνολικό αναμενόμενο ωριαίο κόστος της αποθήκης. (12 μονάδες) 3. Τι αριθμό εργαζομένων προτείνετε; (2 μονάδες) Χρησιμοποιήστε ως μονάδα μέτρησης του χρόνου την μία ώρα και διατηρήστε ικανό πλήθος δεκαδικών ψηφίων στους υπολογισμούς σας (τουλάχιστον 4 δεκαδικά ψηφία). 4
ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω Πίνακα πληρωμών που αφορά στην ομάδα Α. ΟΜΑΔΑ Β Β1 4-4-2 Β2 4-3-3 Β3 5-3-2 Α1 4-4-2 0 4 2 ΟΜΑΔΑ Α Α2 4-3-3 -t 1 0 Α3 3-5-2 t 2-1 Α4 4-2-4-2t 4 3 όπου t>0. Ερώτημα 1 Εφαρμόστε το κριτήριο Minimax στον πίνακα πληρωμών. Υπάρχει σημείο ισορροπίας; Δηλ. εξετάστε αν υπάρχει τιμή του t που να οδηγεί σε ισορροπία με αμιγείς στρατηγικές. (5 μονάδες) Ερώτημα 2 Να βρείτε τις υποδεέστερες στρατηγικές για t>0, να τις διαγράψετε και να γράψετε τον νέο Πίνακα πληρωμών που προκύπτει. (5 μονάδες) Ερώτημα 3 Στον Πίνακα πληρωμών που προέκυψε από το προηγούμενο ερώτημα 2, να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική όταν t=1 για κάθε ομάδα καθώς και την αναμενόμενη διαφορά των γκολ κάτω από τις μικτές στρατηγικές ισορροπίας. Να διατυπώσετε τα αποτελέσματά σας με σαφήνεια, αποδίδοντας και το κατάλληλο φυσικό νόημα. (15 μονάδες) 5
ΑΣΚΗΣΗ 4 (ΜΟΝΑΔΕΣ 12) Μια ομάδα ποδοσφαίρου θέλει να μετακινηθεί από την έδρα-πόλη της (κόμβος 1 ) προς την έδραπόλη της αντίπαλης ομάδας (κόμβος 7) για την διεξαγωγή ενός αγώνα. Στο παρακάτω δίκτυο οι υπόλοιποι κόμβοι από 2 έως και 6 παριστάνουν τις ενδιάμεσες πόλεις που υπάρχουν μεταξύ των εδρών των δυο αντίπαλων ομάδων. Οι ακμές παριστάνουν τις δυνατές διαδρομές μεταξύ των πόλεων και οι τιμές πάνω στις ακμές παριστάνουν τη χιλιομετρική απόσταση μεταξύ των δυο πόλεων. Η ομάδα με έδρα την πόλη 1 θέλει να φτάσει στην έδρα της αντίπαλης ομάδας (πόλη 7) διανύοντας τη μικρότερη δυνατή απόσταση. Χρησιμοποιήστε την κατάλληλη τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης για να υπολογίσετε τη βέλτιστη διαδρομή έτσι ώστε η ομάδα με έδρα την πόλη 1 να φτάσει στην πόλη 7 έχοντας διανύσει τη μικρότερη δυνατή απόσταση. Σχήμα 1: Το δίκτυο 6
ΑΣΚΗΣΗ 5 (ΜΟΝΑΔΕΣ 20) Η δημοτική επιχείρηση ενός μεγάλου αστικού κέντρου προμηθεύεται ακατέργαστο νερό για την υδροδότηση των περιοχών αρμοδιότητάς της από έναν ταμιευτήρα (Τ) που συλλέγει νερό από πηγές και υπόγειες γεωτρήσεις. Η μεταφορά του ακατέργαστου νερού από τον ταμιευτήρα στην Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Νερού (ΚΜ) γίνεται μέσω ενός δικτύου εννέα υδραγωγείων (Υ1, Υ2, Υ3, Υ4, Υ5, Υ6, Υ7, Υ8, Υ9). Το νερό υποβάλλεται σε επεξεργασία που το καθιστά πόσιμο στην Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Νερού και στη συνέχεια μεταφέρεται μέσω ενός δικτύου αγωγών στους καταναλωτές. Στους παρακάτω πίνακες καταγράφεται η μέγιστη ημερήσια ποσότητα νερού (σε χιλιάδες κυβικά μέτρα ( )) που μπορεί να αντληθεί και να διοχετευτεί από τον ταμιευτήρα δια μέσω του δικτύου υδραγωγείων στην Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Νερού. (Διευκρίνιση: Η ροή του νερού είναι από τον κόμβο κάθε σειράς των πινάκων προς τους κόμβους που αντιστοιχούν στις στήλες). Υ1 Υ2 Υ3 Υ4 Υ5 Υ6 Υ1 75 65 Τ 150 150 150 Υ2 40 50 60 Υ3 80 70 Υ7 Υ8 Υ9 ΚΜ Υ4 60 45 Υ7 120 Υ5 70 55 45 Υ8 190 Υ6 70 90 Υ9 130 Η διοίκηση της δημοτικής επιχείρησης, εν όψει της επερχόμενης θερινής περιόδου, επιθυμεί να μεγιστοποιήσει την ημερήσια ποσότητα νερού που μεταφέρεται από τον ταμιευτήρα στην Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Νερού προκειμένου να ικανοποιήσει την αυξημένη ζήτηση των καταναλωτών. Χρησιμοποιήστε κατάλληλη τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης για να βοηθήσετε τη διοίκηση της δημοτικής επιχείρησης να επιλύσει το πρόβλημα. Για να το επιτύχετε θα πρέπει να διατυπώσετε με σαφήνεια την κατηγορία προβλημάτων στην οποία ανήκει το προς επίλυση πρόβλημα δικαιολογώντας την απάντησή σας, καθώς και τον αλγόριθμο με τον οποίο επιτυγχάνεται η λύση. Η επίλυση που θα παρουσιάσετε να είναι σαφής και να δείχνει ότι εφαρμόζετε με ακρίβεια το σχετικό αλγόριθμο πάνω στο δίκτυο που θα κατασκευάσετε με βάση τα δεδομένα. 7
ΔΙΕΥΚΡΙΝΗΣΗ για την επίλυση της άσκησης 1 Στις εκδόσεις του EXCEL πριν από εκείνη του 2007, η εντολή Επίλυση (Solver) βρίσκεται στο μενού Εργαλεία (Tools). Όμως είναι πιθανό την πρώτη φορά που θα προσπαθήσετε να την ενεργοποιήσετε, να μην υπάρχει η εντολή αυτή στο μενού, επειδή η επίλυση είναι ένα πρόσθετο εργαλείο (add ins). Για να εισαχθεί στο μενού, πρέπει από την εντολή Εργαλεία (Tools) να επιλέξετε Πρόσθετα (Add-ins), και στη συνέχεια να κάνετε κλικ στην επιλογή Επίλυση (Solver). Με τον τρόπο αυτό, ενεργοποιείται μόνιμα η Επίλυση (Solver) στο μενού Εργαλεία (Tools), και είναι διαθέσιμη κάθε φορά που χρησιμοποιείτε το Excel. Σημείωση: Στις επιλογές του Solver πρέπει να τσεκαριστεί το `assume linear και το `assume nonnegative (αν υπάρχει η επιλογή αυτή στην έκδοση του Excel σας) γιατί αν κάποιος επιχειρήσει να το ξανα-λύσει ο solver το λύνει με πολλαπλασιαστές Lagrange. Στο OFFICE 2007, η εντολή Επίλυση (Solver) βρίσκεται στο μενού Data (Δεδομένα). Αρκεί βέβαια να έχει ενεργοποιηθεί από τα πρόσθετα όπως και στις παλαιότερες εκδόσεις. 8