Σηµειωσεις : Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας v..86 Θ. Κεχαγιας Απριλης
Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα............................. 3.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. Ορια και Συνεχεια 3. Θεωρια.................................... 3. Λυµενα Προβληµατα............................. 6.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 3 Παραγωγοι και ιαφορικα 4 3. Θεωρια.................................... 4 3. Λυµενα Προβληµατα............................. 5 3.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 3 4 Αοριστα Ολοκληρωµατα 33 4. Θεωρια.................................... 33 4. Λυµενα Προβληµατα............................. 34 4.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 37 5 Τεχνικες Ολοκληρωσης 39 5. Θεωρια.................................... 39 5. Λυµενα Προβληµατα............................. 4 5.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 49 6 Ορισµενα Ολοκληρωµατα και Εµβαδον 5 6. Θεωρια.................................... 5 6. Λυµενα Προβληµατα............................. 54 6.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 65 iii v i
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7 Μηκος Τοξου και Κεντρο Βαρους 67 7. Θεωρια.................................... 67 7. Λυµενα Προβληµατα............................. 68 7.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 74 8 Στερεα εκ Περιστροφης 75 8. Θεωρια.................................... 75 8. Λυµενα Προβληµατα............................. 77 8.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 8 9 Παραµετρικες Καµπυλες 83 9. Θεωρια.................................... 83 9. Λυµενα Προβληµατα............................. 85 9.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 89 Πολικες Συντεταγµενες 9.Θεωρια.................................... 9.Λυµενα Προβληµατα............................. 93.3Αλυτα Προβληµατα.............................. Αριθµητικες Ακολουθιες και Σειρες.Θεωρια.....................................Λυµενα Προβληµατα............................. 4.3Αλυτα Προβληµατα.............................. 9 Σειρες T aylor.θεωρια.....................................λυµενα Προβληµατα............................. 3.3Αλυτα Προβληµατα.............................. Α Η Εκθετικη συναρτηση 3 Α. Ορισµος και Ιδιοτητες της Εκθετικης Συναρτησης............. 3 Β Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 6 Β. Θεωρια.................................... 6 Β. Λυµενα Προβληµατα............................. 8 Β.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 4 Γ Ευθειες στον Τρισδιαστατο Χωρο 45 Γ. Θεωρια.................................... 45 Γ. Λυµενα Προβληµατα............................. 47 Γ.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 56 ευτεροβαθµιες Επιφανειες 6. Θεωρια.................................... 6. Λυµενα Προβληµατα............................. 6.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 87 ii
Προλογος Το παρον τευχος περιεχει συντοµες σηµειωσεις ϑεωριας, λυµενες και αλυτες ασκησεις Λογισµου Συναρτησεων µιας Μεταβλητης. Το τευχος προοριζεται για χρηση απο τους ϕοιτητες της Πολυτεχνικης Σχολης του Αριστοτελειου Πανεπιστηµιου Θεσσαλονικης, ως συµπληρωµα των διδακτικων ϐιβλιων που διανεµονται σε αυτους. Σε καθε τους ϕοιτητη που ϑα χρησιµοποιησει αυτο το τευχος (και γενικοτερα σε καθε ϕοιτητη που µελετα τα µαθηµατικα) εχω να δωσω τρεις συµβουλες.. Λυσε οσο περισσοτερες ασκησεις µπορεις.. ειξε εµπιστοσυνη. 3. Μην κανεις την Ϲωη σου πιο δυσκολη απ οτι ειναι απολυτως απαραιτητο. Πιο αναλυτικα, η πρωτη συµβουλη εχει το εξης νοηµα. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους απο εµας, ο µονος τροπος εξοικειωσης µε τα µαθηµατικα ειναι η επιλυση ασκησεων οσο περισσοτερες ασκησεις τοσο καλυτερα. Συµφωνα µε αυτη την αποψη, στο παρον τευχος η ϑεωρια παρουσιαζεται σε µεγαλη συντοµια, αλλα υπαρχει µεγαλος αριθµος λυµενων και αλυτων ασκησεων. Ο αναγνωστης πρεπει να χρησιµοποιησει τις λυµενες ασκησεις ως ενα ενδιαµεσο ϐοηθηµα για την επιλυση των αλυτων ασκησεων. Με αλλα λογια, αν ο αναγνωστης δεν λυσει ο ιδιος µεγαλο αριθµο των αλυτων ασκησεων δεν ϑα ωφεληθει ιδιαιτερα (δεν αρκει δηλ. να µελετησει τις ηδη λυµενες ασκησεις). Η δευτερη συµβουλη σηµαινει οτι (παρα την εντυπωση καποιων ϕοιτητων) ο σκοπος του διδασκοντα δεν ειναι να κοψει οσο γινεται περισσοτερους ϕοιτητες... συνηθως µαλιστα ειναι ακριβως το αντιθετο. Το νοηµα της τριτης συµβουλης ειναι το εξης : οταν προσπαθεις να λυσεις µια ασκηση, ξεκινησε απο την απλουστερη δυνατη λυση που µπορεις να ϕανταστεις... και µετα προσπαθησε να απλοποιησεις αυτη την λυση. Αν η απλη λυση δεν δουλεψει, µπορεις παντα να δοκιµασεις καποια πιο περιπλοκη. Ειναι δυσκολο, αφου εχεις δηµιουργησει ενα περιπλοκο µοντελο στο µυαλο σου να αρχισεις να αφαιρεις απο αυτο ετσι ωστε να γινει απλουστερο. Ειναι πολυ πιο ευκολο να αρχισεις µε λιγα συστατικα και να προσθετεις ενα ακοµα καθε ϕορα που το χρειαζεσαι. Πρεπει να τονισω επισης οτι η εµφαση του τευχους ειναι σε υπολογιστικες και ο- χι σε αποδεικτικες ασκησεις. Οπου εµφανιζονται αποδειξεις ειναι διαισθητικες και οχι αυστηρες και χρησιµοποιουνται για να οξυνουν την διαισθηση και την κατανοηση του ηλ. παραγωγισης και ολοκληρωσης iii
αναγνωστη ολες αυτες οι αποδειξεις µπορουν να γινουν αυστηρες, αλλα ϑεωρω οτι αυτο εκφευγει απο τους στοχους του παροντος τευχους. Το τευχος δεν εχει παρει ακοµη την τελικη του µορφη. Ειναι πιθανον καποιες λυσεις και απαντησεις να περιεχουν λαθη. Καθως η διαδικασια της αποσφαλµατωσης ϑα εξελισσεται (και τα υπαρχοντα λαθη ϑα διορθωνονται) ϑα δηµοσιευω ϐελτιωµενες εκδοσεις. Η παρουσα εκδοση εχει τον κωδικο v..85 δηλ., για να χρησιµοποιησω εναν ορο αναπτυξης λογισµικου, ειναι ακοµα σε µορφη beta. Εποµενες εκδοσεις ϑα χαρακτηριζονται απο µικροτερο αριθµο σφαλµατων και µεγαλυτερους κωδικους η πρωτη τελικη εκδοση ϑα ειναι η v... Παντως ελπιζω (πιστευω) οτι η παρουσα µορφη ϑα αποδειχτει αρκετα χρησιµη στους ϕοιτητες. Θανασης Κεχαγιας Θεσσαλονικη, Σεπτεµβρης 9 iv
Εισαγωγη Η λεξη Λογισµος (στα Αγγλικα Calculus ) µπορει να εχει πολλες εννοιες, αλλα στα Μαθηµατικα η πιο συνηθισµενη χρηση της ειναι στην εκφραση Λογισµος Συναρτησεων µιας Μεταβλητης και ϐασικα σηµαινει παραγωγιση και ολοκληρωση µιας συναρτησης. Και αυτο ειναι το αντικειµενο του παροντος τευχους. Ωστοσο, η ϐασικη ιδεα του Λογισµου (Συναρτησεων µιας Μεταβλητης) ειναι η χρηση του οριου µιας συναρτησης και µαλιστα ενας πολυ συγκεκριµενος τροπος χρησης : µας δινεται µια συναρτηση f (x) και µελετουµε την µεταβολη της συναρτησης f = f (x + x) f (x) οταν το x µεταβαλλεται και γινεται x και επιπλεον µας ενδιαφερει η περιπτωση οπου το x ειναι πολυ µικρο, τοσο µικρο που τεινει στο µηδεν. Η δε παραγωγιση και ολοκληρωση ειναι διαδικασιες που οριζονται µεσω της εννοιας του οριου. Αυτη η ϐασικη ιδεα ειναι πολυ χρησιµη σε διαφορα µαθηµατικα προβληµατα και η- ταν ηδη γνωστη (σε µια αρχικη µορφη) στους αρχαιους Ελληνες 3. Οµως η συστηµατικη χρηση της καθιερωθηκε απο τους Ευρωπαιους µαθηµατικους του 7ου αιωνα. Επιπλεον, οι µαθηµατικοι αυτοι ανεπτυξαν µεθοδους που επιτρεπουν την χρηση των οριων σε πολλα διαφορετικα προβληµατα µε εναν ενοποιηµενο και σχεδον µηχανικο τροπο. Με χρηση των µεθοδων αυτων µπορουµε πλεον να λυνουµε µε τυποποιηµενο και ευκολο τροπο προβληµατα (π.χ. υπολογισµο εµβαδων, µεγιστοποιηση και ελαχιστοποιηση συναρτησεων) τα οποια (πριν την αναπτυξη του Λογισµου) δυσκολεψαν µερικους απο τους µεγαλυτερους µαθηµατικους της ανθρωποτητας. Με αυτη λοιπον την ιστορια ϑα ασχοληθουµε στο παρον τευχος. Με τον ορο συναρτηση µιας µεταβλητης εννοουµε µια συναρτηση f (x) µε πεδιο ορισµου και πεδιο τιµων το συνολο των πραγµατικων αριθµων : f : R R. Ο Λογισµος των Συναρτησεων µιας Μεταβλητης ειναι η µελετη µεθοδων παραγωγισης και ολοκληρωσης τετοιων συναρτησεων καθως και σχετικες εφαρµογες. Επισης σηµαντικη ειναι η µελετη της αναπτυξης συναρτησεων σε δυναµοσειρες. Θα χρησιµοποιησουµε τον τυπικο µαθηµατικο συµβολισµο, ο οποοιος σας ειναι γνωστος απο το Λυκειο. Σηµειωνουµε ιδιατερα τα εξης.. Η τετραγωνικη ϱιζα του συµβολιζεται µε i: = i, i =.. Το συνολο των πραγµατικων αριθµων συµβολιζεται µε R και αυτο των µιγαδικων αριθµων µε C. 3. Ο συµβολισµος αθροισµατος ειναι : N n= a n = a + a +... + a N. Και η δευτερη πιο συνηθισµενη στην εκφραση Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων. 3 Π.χ. την εχει χρησιµοποιησει ο Αρχιµηδης. v
ΕΙΣΑΓΩΓΗ 4. Η λεξη ανν σηµαινει αν και µονο αν. vi
Κεφάλαιο Βασικες Συναρτησεις Η εκθετικη συναρτηση e x ειναι ισως η πιο ϐασικη συναρτηση των µαθηµατικων. Η λογα- ϱιθµικη συναρτηση ln x ειναι η αντιστροφη της εκθετικης. Οι τριγωνοµετρικες συναρτησεις ειναι το ηµιτονο (συµβολιζεται sin x), το συνηµιτονο (συµβολιζεται cos x), η εφαπτοµενη (tan x = sin x cos x ), η συνεφαπτοµενη (cot x = cos x sin x ), η τεµνουσα (sec x = ) και η συντεµνουσα (csc x = cos x sin x ). Οι ορισµοι και οι ιδιοτητες αυτων των συναρτησεων µας ειναι γνωστες απο το λυκειο. Οµως τωρα ϑα δωσουµε νεους (ισοδυναµους µε τους ηδη γνωστους) ορισµους αυτων των συναρτησεων. Οι υπερβολικες συναρτησεις οριζονται παροµοια µε τις τριγωνοµετρικες και εχουν πολλες αναλογες ιδιοτητες.. Θεωρια... Θεωρουµε τις ϐασικες ιδιοτητες της εκθετικης συναρτησης e x γνωστες.... Λαµβανουµε τυχοντα πραγµατικο αριθµο x και σχηµατιζουµε την ακολουθια ( f n (x) = + x ) ( + x ) (... + x ). } n {{ n n } n ϕορες Για καθε x R οι f (x), f (x),... ικανοποιουν f (x) f (x)... f n (x) f n+ (x)... e x και, καθως το n τεινει στο απειρο, η f n (x) τεινει στο e x, το οποιο γραφεται ως εξης : ( + n) x n e x. n..3. Η λογαριθµικη συναρτηση ln x ειναι η αντιστροφη της εκθετικης : y = ln x x = e y. Θεωρουµε τις ϐασικες ιδιοτητες της λογαριθµικης συναρτησης γνωστες. Οι ακολουθιες ϑα µελετηθουν στο Κεφαλαιο.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ..4. Ολες οι ιδιοτητες των τριγωνοµετρικων συναρτησεων µπορουν να αποδειχτουν απο τον παρακατω τυπο e ix = cos x + i sin x (.) και τις ιδιοτητες Οι (.), (.) ϑα αποδειχτουν στο Κεφ....5. Απο τις (.), (.) αποδεικνυεται οτι..6. Ισχυουν οι σχεσεις cos ( x) = cos x, sin ( x) = sin x. (.) cos x = eix + e ix, sin x = eix e ix. (.3) i sinh (ix) = i sin x, sin (ix) = i sinh x, cosh (ix) = cos x, cos (ix) = cosh x...7. Οι αντιστροφες τριγωνοµετρικες συναρτησεις οριζονται ως εξης. arcsin(x) = y x = sin(y) arccos(x) = y x = cos(y) arccos(x) = y x = tan(y) arccot(x) = y x = cot(y) arcsec(x) = y x = sec(y) arccsc(x) = y x = csc(y)...8. Οι υπερβολικες συναρτησεις οριζονται κατ αντιστοιχια των τριγωνοµετρικων, οπως ϕαινεται απο τους παρακατω τυπους, και εχουν παροµοιες ιδιοτητες. υπερβολικο ηµιτονο : sinh(x) = ex e x υπερβολικο συνηµιτονο : cosh(x) = ex + e x υπερβολικη εφαπτοµενη : tanh(x) = ex e x e x + e x υπερβολικη συνεφαπτοµενη : coth(x) = ex + e x e x e x υπερβολικη τεµνουσα : sec h(x) = e x + e x υπερβολικη συντεµνουσα : csc h(x) = e x e. x
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 3..9. Οι αντιστροφες υπερβολικες συναρτησεις οριζονται ως εξης. arc sinh (x) = y x = sinh(y) arc cosh (x) = y x = cosh(y) arc tanh(x) = y x = tanh(y) arc coth(x) = y x = coth(y) arc sec h(x) = y x = sec h(y) arc csc h(x) = y x = csc h(y).... Ισχυουν και τα εξης ( arc sinh (x) = ln x + ) x +, < x < (.4) ( arc cosh (x) = ln x + ) x, x (.5) arc tanh(x) = ( ) + x ln, < x < (.6) x arc coth(x) = ( ) x + ln, x > η x < (.7) x ( ) x arc sec h(x) = ln x +, < x (.8) x ( ) + x arc csc h(x) = ln x +, x. (.9) x. Λυµενα Προβληµατα... Αποδειξτε την (.3) Λυση Στον ορισµο (.) ϑετουµε στην ϑεση του x το x και εχουµε e ix = cos ( x) + i sin ( x) = cos x i sin x (.) (οπου χρησιµοποιησαµε τις (.) ). Προσθετοντας κατα µελη τις (.) και (.) παιρνουµε την cos x = eix + e ix. Αφαιρωντας κατα µελη παιρνουµε την sin x = eix e ix. i... Αποδειξτε οτι cos x + sin x =. Λυση ( ) e cos x + sin ix + e ix ( e ix + e ix x = + i = eix + e ix + 4 ) eix + e ix 4 = 4 4 =.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4..3. Αποδειξτε οτι sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b Λυση Εχουµε sin a cos b + cos a sin b = eia e ia eib + e ib + eia + e ia eib e ib i i = ei(a+b) e i( a+b) + e i(a b) e i(a+b) 4i + ei(a+b) + e i( a+b) e i(a b) e i(a+b) 4i = ei(a+b) e i(a+b) = sin (a + b). 4i..4. Αποδειξτε οτι sin a = tan a Λυση tan a + tan a = +tan a sin a/ cos a + sin a/ cos a =..5. Αποδειξτε οτι sin(a) = sin a cos a Λυση sin a/ cos a (cos a + sin a ) = sin a. / cos a sin a cos a = eia e ia eia + e ia i = eia+ia e ia e ia + e ia ia e a ia i = eia e ia = sin (a). i..6. Αποδειξτε οτι sin a cos b = sin(a b)+sin(a+b) Λυση sin(a b) + sin(a + b) sin a cos b cos a sin b + (sin a cos b + cos a sin b) = = sin a cos b...7. Αποδειξτε οτι sin a + sin b = sin ( ) ( a+b cos a b ) Λυση Εχουµε απο την..6 οτι sin A cos B = sin(a B) + sin(a + B). Θετοντας A = a+b, B = a b, εχουµε A B = b, A + B = a, οποτε ( ) ( ) a + b a b sin(a) + sin(b) sin cos = απο το οποιο προκυπτει το Ϲητουµενο.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Σχήµα.: Η γραφικη παρασταση της cosh x...8. Σχεδιαστε την συναρτηση cosh x. Λυση Θυµηθειτε οτι cosh x = ex +e x. ειτε τωρα το σχηµα.. Με διακεκοµµενες γραµµες απεικονιζονται οι e x, e x. Με συνεχη γραµµη απεικονιζεται η cosh x, η οποια ειναι ο µεσος ορος των δυο εκθετικων. Ετσι ϕαινεται καθαρα οτι lim x ± cosh x =. Επισης ϐλεπουµε στο σχηµα οτι η ελαχιστη τιµη της cosh x ειναι το cosh =. Αυτο µπορει να αποδεχιτει ϐρισκοντας µε χρηση παραγωγων τις µεγιστες και ελαχιστες τιµες της cosh x (καντε το!) η, πιο απλα, ως εξησ: ( cosh x = ex + e x = ex + e x e x/ e x/) = και η ελαχιστη τιµη cosh x = (δηλαδη cosh x = ) επιτυγχανεται οταν e x/ e x/ = e x/ = e x/ e x = x =...9. Σχεδιαστε την συναρτηση sinh x. Λυση Θυµηθειτε οτι sinh x = ex e x. ειτε τωρα το σχηµα.. Με διακεκοµµενες γραµµες απεικονιζονται οι e x, e x. Με συνεχη γραµµη απιεκονιζεται η sinh x, η οποια ειναι το µισο της διαφορας των δυο εκθετικων. Ετσι ϕαινεται καθαρα οτι lim x sinh x = και lim x sinh x =. Επισης ϕαινεται και οτι = sinh x = ex e x e x = e x x = δηλ. η µοναδικη ϱιζα της sinh x = ειναι η x =.... Σχεδιαστε την συναρτηση tanh x.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6 Οποτε Λυση Εχουµε lim x tanh x = lim Σχήµα.: Η γραφικη παρασταση της sinh x. x tanh x = sinh x cosh x = ex e x e x + e. x e x e x e x tanh x = lim = lim x e x + e x x + e = x + =. Με αντιστοιχο τροπο ϐρισκουµε lim x tanh x = και ευκολα ϕαινεται επισης οτι η µονη ϱιζα της tanh x = ειναι η x =. Αυτες οι παρατηρησεις συνοψιζονται στην γραφικη παρασταση του σχηµατος.3.... Αποδειξτε οτι Λυση Εχουµε sinh ( x) = sinh x, cosh ( x) = cosh x. (.) sinh ( x) = e x e ( x) = ex e x = sinh x. Το cosh ( x) = cosh x αποδεικνυεται παροµοια.... Αποδειξτε οτι cosh x sinh x =. Λυση ( ) e cosh x sinh x + e x ( ) e x e x x = = ex + e x + ex + e x 4 4 = 4 4 =.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Σχήµα.3: Η γραφικη παρασταση της tanh x...3. Αποδειξτε οτι sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y Λυση Εχουµε sinh x cosh y + cosh x sinh y = ex e x ey + e y + ex + e x ey e y = ex+y e x+y + e x y e (x+y) 4 + ex+y + e x+y e x y e (x+y) 4 = ex+y e (x+y) = sinh (x + y). 4..4. Αποδειξτε οτι sinh(x) = sinh x cosh x Λυση Στον τυπο του..3 ϑετουµε y = x και εχουµε sinh (x) = sinh(x + x) = sinh x cosh x + cosh x sinh x = sinh x cosh x...5. Αποδειξτε οτι sinh x + sinh y = sinh ( ) ( x+y cosh x y ) Λυση Εχουµε ( ) ( ) x + y x y sinh cosh = e x+y e x+y e x y + e x y = e x+y+x y e x y+x y + e x+y x+y e x y x+y = ex e x + e y e y = sinh x + sinh y.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8..6. Αποδειξτε οτι Λυση Εστω z = arc sinh(x). Τοτε ( arc sinh(x) = ln x + ) x + x = sinh z = ez e z e z x e z =. Θετουµε a = e z, οποτε εχουµε a x a = και πολλαπλασιαζουµε µε a, οποτε παιρνουµε a xa =. Λυνουµε ως προς a και παιρνουµε e z = a = x ± x +. Αλλα η ϱιζα a = x x + ειναι αρνητικη και απορριπτεται (αφου a = e z > ). Οποτε a = e z = x + ( x + z = ln x + ) x +...7. Εξηγειστε γιατι το πεδιο ορισµου της arc sinh (x) ειναι το R. Λυση Θυµηθειτε οτι arc sinh (x) = ln ( x + x + ). Ενας τροπος για να εξηγηθει το Ϲητουµενο ειναι να παρατηρησουµε οτι x + > x, οποτε x + x + > και αρα στην ln ( x + x + ) µπορουµε να ϐαλουµε οποιοδηποτε x R (ϑυµηθειτε οτι το ορισµα της λογαριθµικης συναρτησης πρεπει να ειναι ϑετικο). Ενας αλλος τροπος ειναι να δουµε στο σχηµα.4 την γραφικη παρασταση της arc sinh (x), η οποια ειναι η συµµετρικη της sinh x ως προς την ευθεια x = y (γιατι ;). Στην γραφικη παρασταση ϐλεπουµε οτι για καθε x R υπαρχει η αντιστοιχη τιµη arc sinh x.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9 Σχήµα.4: Η γραφικη παρασταση της arc sinh x...8. Εξηγειστε γιατι το πεδιο ορισµου της arc cosh (x) ειναι το [, ). Λυση Εχουµε arc cosh (x) = ln ( x + x ). Αρα λοιπον, αποδεκτες τιµες του x ειναι αυτες που ικανοποιουν x και x + x >. Για να ικανοποιηθει η πρωτη συνθηκη, πρεπει x. Επειδη δε x > x, για να ικανοποηθει η δευτερη συνθηκη πρεπει να εχουµε x >. Απο τις x > και x προκυπτει x, δηλ. το Ϲητουµενο, το οποιο µπορουµε επισης να καταλαβουµε απο την γραφικη παρασταση της arc cosh x, η οποια δινεται στο σχηµα.5. Σχήµα.5: Η γραφικη παρασταση της arc cosh x...9. Εξηγειστε γιατι arc tanh(x) = ln ( +x x), < x <. Λυση Αυτο µπορουµε να το δουµε απο την γραφικη παρασταση της arc tanh x, η οποια δινεται στο σχηµα.6 (απο την συµµετρικη της tanh x ως προς την ευθεια x = y).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σχήµα.6: Η γραφικη παρασταση της arc tanh x. Επισης το Ϲητουµενο µπορει να αποδειχτει και εξταζοντας για ποιες τιµες του x ισχυει +x > (καντε το!). x.3 Αλυτα Προβληµατα.3.. Αποδειξτε τους παρακατω τυπους.. sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b. cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b 3. tan(a ± b) = tan a±tan b tan a tan b.3.. Αποδειξτε οτι cos a = +tan a..3.3. Αποδειξτε τους παρακατω τυπους.. cos(a) = cos a sin a = cos a. tan(a) = tan a tan a..3.4. Αποδειξτε τους παρακατω τυπους.. sin(3a) = 3 sin a 4 sin 3 a. cos(3a) = 4 cos 3 a 3 cos a 3. tan(3a) = 3 tan a tan3 a 3 tan a..3.5. Αποδειξτε τους παρακατω τυπους.. sin a sin b = cos(a b) cos(a+b)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. cos a cos b = cos(a b)+cos(a+b).3.6. Αποδειξτε τους παρακατω τυπους.. sin a + sin b = sin ( ) ( a+b cos a b ). cos a + cos b = cos ( ) ( a+b cos a b ) 3. cos a cos b = sin ( ) ( a+b sin b a ).3.7. Αποδειξτε οτι tanh (x) =.3.8. Αποδειξτε οτι cosh (x).. sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y. cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y 3. tanh(x ± y) =.3.9. Αποδειξτε οτι tanh x±tanh y ±tanh x tanh y. cosh(x) = cosh x + sinh x = cosh x. tanh(x) = tanh x +tanh x..3.. Αποδειξτε οτι. sinh x sinh y = cosh ( ) ( x+y sinh x y ). cosh x + cosh y = cosh ( ) ( x+y cosh x y ) 3. cosh x cosh y = sinh ( ) ( x+y sinh x y )..3.. Αποδειξτε οτι. sinh (ix) = i sin x. sin (ix) = i sinh x 3. cosh (ix) = i cos x 4. cos (ix) = i cosh x.3.. Αποδειξτε οτι. arc sinh(x) = ln ( x + x + ) ( < x < ),. arc cosh(x) = ln ( x + x ) ( x), 3. arc tanh(x) = ln ( +x x) ( < x < ),
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4. arc coth(x) = ln ( x+ x ) (x > η x < ), ( ) 5. arc sec h(x) = ln, < x ( 6. arc csc h(x) = ln.3.3. Αποδειξτε οτι + x x x + +x x x. arcsin(x) = i ln ( ix + x ),. arccos(x) = i ln ( x + x ), 3. arctan(x) = i ln ( ix +ix). ), x.
Κεφάλαιο Ορια και Συνεχεια Το παρον κεφαλαιο ειναι µια συντιοµη υπενθυµιση των εννοιων του οριου και της συνεχειας, τις οποιες οι ϕοιτητες εχουν ηδη διδαχτει στο Λυκειο.. Θεωρια... Λεµε οτι η συναρτηση f (x) εχει οριο τον αριθµο f (ή τεινει στο f ) καθως το x τεινει στο x ανν ισχυει η εξης συνθηκη : Γραφουµε δε ε > : δ > : < x x < δ f (x) f < ε. (.) lim f (x) = f. x x... Η σηµασια της (.) ειναι η εξης : αν ϑελουµε να εξασφαλισουµε οτι η διαφορα των f (x) και f ειναι οσο µικρη ϑελουµε (µικροτερη του ε), αρκει να εξασφαλισουµε οτι το x ϑα ειναι πολυ κοντα στο x (συγκεκριµενα < x x < δ). Προσεξτε οτι στην (.) δεν εξεταζουµε την περιπτωση x = x ( < x x )...3. Λεµε οτι η συναρτηση f (x) εχει οριο το (ή τεινει στο ) καθως το x τεινει στο x ανν ισχυει η εξης συνθηκη : M > : δ > : < x x < δ f (x) > M. (.) Αντιστοιχα λεµε οτι η συναρτηση f (x) εχει οριο το (ή τεινει τεινει στο x ανν ισχυει η εξης συνθηκη : Γραφουµε δε στο ) καθως το x M < : δ > : < x x < δ f (x) < M. (.3) lim f (x) =, x x lim f (x) =. x x 3
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 4..4. Λεµε οτι η συναρτηση f (x) εχει οριο το f (ή τεινει στο f ) καθως το x τεινει στο ανν ισχυει η εξης συνθηκη : ε > : M > : M < x f (x) f < ε. (.4) Αντιστοιχα λεµε οτι η συναρτηση f (x) εχει οριο το f (ή τεινει στο f ) καθως το x τεινει στο ανν ισχυει η εξης συνθηκη : Γραφουµε δε ε > : M < : x < M f (x) f < ε. (.5) lim f (x) = f, x..5. Παροµοια µπορουµε να ορισουµε τα ορια lim x f (x) =, lim x f (x) =, lim lim f (x) = f. x x f (x) =, lim x f (x) =...6. Λεµε οτι η συναρτηση f (x) εχει εξ αριστερων οριο το f καθως το x τεινει στο x ανν ισχυει η εξης συνθηκη : ε > : δ > : < x x < δ f (x) f < ε. (.6) Αντιστοιχα λεµε οτι η συναρτηση f (x) εχει εκ δεξιων οριο το f καθως το x τεινει στο x ανν ισχυει η εξης συνθηκη : Γραφουµε δε ε > : δ > : < x x < δ f (x) f < ε. (.7) lim x x f (x) = f, lim x x + f (x) = f. Τα εξ αριστερων και εκ δεξιων ορια λεγονται και πλευρικα ορια...7. Αντιστοιχα µπορουµε να ορισουµε τα ορια lim x x f (x) =, lim x x + f (x) =, lim x x f (x) =,..8. Αν για µια συναρτηση f (x) υπαρχει το lim x x f (x) τοτε lim f (x) = lim f (x) = lim f (x). x x x x x x + lim x x + f (x) =. Αντιστροφα, αν υπαρχουν τα πλευρικα ορια και ισχυει lim x x f (x) = lim x x + f (x) τοτε υπαρχει και το οριο lim x x f (x) και ειναι ισο µε τα πλευρικα...9. Συνηθως δεν υπολογιζουµε τα ορια ϐασει των παραπανω ορισµων, αλλα χρησι- µοποιωντας τις παρακατω ιδιοτητες για καθε n R : lim x x x n = x n (αν x n ειναι καλως ορισµενο)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 5 και lim x x (kf (x)) = kf } lim x x (f (x) ± g (x)) = f ± g lim x x f (x) = f lim x x (f lim x x g (x) = g ( (x) ) g (x)) = f g lim f(x) x x = f g(x) g (αν g ) lim x x (f (x)) n = f n (αν το f n ειναι καλως ορισµενο)... Αν lim x x f (x) = f και lim x f g (x) = g, τοτε lim x x (g (f (x))) = g.... Αν lim x x f (x) = f, lim x x g (x) = g, lim x x h (x) = h και f (x) g (x) h (x), τοτε f g h.... Αν lim x x f (x) = και lim x x g (x) =, τοτε lim x x (f (x) + g (x)) =, lim x x (f (x) g (x)) =...3. Αν lim x x f (x) = και lim x x g (x) =, τοτε lim x x (f (x) + g (x)) =, lim x x (f (x) g (x)) =...4. Μια συναρτηση f (x) λεγεται συνεχης στο x ανν lim f (x) = f (x ). (.8) x x Σε αυτο τον ορισµο προυποτιθεται οτι υπαρχουν τα lim x x f (x) και f (x )...5. Αν η (.8) δεν ισχυει, τοτε λεµε οτι η f (x) ειναι ασυνεχης στο x. Αυτο µπορει να συµβαινει επειδη δεν υπαρχει το lim x x f (x), ή επειδη δεν οριζεται το f (x ), ή επειδη lim x x f (x) f (x )...6. Η f (x) λεγεται συνεχης στο συνολο A R αν ειναι συνεχης σε καθε x A. Οταν απλα λεµε οτι η f (x) ειναι συνεχης (χωρις να προσδιοριζουµε το συνολο A), εννοουµε οτι η f (x) ειναι συνεχης σε καθε σηµειο του πεδιου ορισµου της...7. Αν οι f (x), ( g (x) ) ειναι συνεχεις στο x, το ιδιο ισχυει και για τις kf (x), f (x) ± g (x), f (x) g f(x) (x), (αν f (x ) ). g(x)..8. Καθε πολυωνυµικη συναρτηση ειναι συνεχης...9. Οι συναρτησεις e x, sin (x), cos (x) ειναι συνεχεις. Το ιδιο ισχυει και για καθε πολυωνυµικη συναρτηση.... Εστω κλειστο διαστηµα [a, b] R και f (x) συνεχης στο [a, b], για την οποια ισχυει f (a) < f (b). Για καθε f [f (a), f (b)] υπαρχει x [a, b] τετοιο ωστε f = f (x ).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 6. Λυµενα Προβληµατα... ειξτε οτι lim x (x ) = 3. Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι ε > : δ ε > : < x < δ ε x 3 < ε. Εστω λοιπον τυχον ε >. Παιρνουµε δ ε = ε και για καθε x τετοιο ωστε x < δ ε = ε εχουµε x 3 = x 4 = x < δ ε = ε = ε και ετσι εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο.... ειξτε οτι lim x (x + ) =. Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι ε > : δ ε > : < x < δ ε x + < ε. Εστω λοιπον τυχον ε >. Παιρνουµε δ ε = ε οποτε για καθε x τετοιο ωστε x = x < δ ε = ε εχουµε x + = x = x < δε = ( ε ) = ε και ετσι εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο. x..3. ειξτε οτι lim 3x+ x =. (x ) Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι ε > : δ ε > : < x < δ ε x 3x + (x ) < ε. Εστω λοιπον τυχον ε >. Παιρνουµε δ ε = ε ε +ε και για καθε x τετοιο ωστε x < δ ε = +ε εχουµε x 3x + (x ) = (x ) (x ) (x ) = x x. Τωρα, εχουµε x < δ και x > x = x > δ ε (αφου x < δ ε ) οποτε x x < δ ε. δ ε Αρκει, για να δειξουµε το Ϲητουµενο οριο, να δειξουµε οτι δ ε δ ε δ ε δ ε < ε δ ε < ε ( δ ε ) δ ε < ε εδ ε δ ε + εδ ε < ε δ ε ( + ε) < ε δ ε < Η τελευταια ανισοτητα οµως ισχυει εξ υποθεσεως. < ε. Αλλα ε + ε.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 7..4. Ποια ειναι η σηµασια των (.) και.3); Λυση. Υπενθυµιζουµε οτι lim x x f (x) = ανν ισχυει η (.) δηλ. M > : δ M > : < x x < δ M f (x) > M. Με αλλα λογια, lim x x f (x) = ανν για καθε M (οσο µεγαλο ϑελουµε) µπορουµε να ϐρουµε ενα δ M τετοιο ωστε, οταν το x ειναι αρκετα κοντα στο x (δηλ. οταν x x < δ M ) τοτε η f (x) ειναι µεγαλυτερη του M. ηλ., ακοµη πιο συντοµα, µπορουµ ενα κανουµε την f (x) οσο µεγαλη ϑελουµε, αρκει να παρουµε x αρκετα κοντα στο x. Η σηµασια της (.3) εξηγειται παροµοια...5. ειξτε οτι lim x =. x Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι M > : δ M > : < x < δ M x > M. Εστω λοιπον τυχον M >. Παιρνουµε δ M = M οποτε εχουµε x = x < δ M = x < M M = x > = M x και ετσι εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο...6. Ποια ειναι η σηµασια των (.4) και (.5); Λυση. Υπενθυµιζουµε οτι lim x f (x) = f ανν ισχυει η (.4) δηλ. ε > : M ε > : M ε < x f (x) f < ε. Με αλλα λογια, lim x f (x) = f ανν για καθε ε (οσο µικρο ϑελουµε) µπορουµε να ϐρουµε ενα M ε τετοιο ωστε, οταν το x ειναι µεγαλυτερο του M ε τοτε η διαφορα f (x) και f ειναι (κατ απολυτη τιµη) µικροτερη του ε. ηλ., ακοµη πιο συντοµα, µπορουµε να ϕερουµε την f (x) οσο κοντα στο f ϑελουµε, αρκει να παρουµε το x αρκετα µεγαλο. Η σηµασια της (.5) εξηγειται παροµοια...7. ειξτε οτι lim x = x και οτι lim x = x. Λυση. Για το πρωτο οριο πρεπει να δειξουµε οτι ε < : M ε > : M ε < x x < ε. M Εστω λοιπον τυχον ε >. Παιρνουµε M ε = ε και για καθε x τετοιο ωστε x > M ε = > ε εχουµε x = x < = = ε M ε ε και ετσι εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο. Το δευτερο οριο αποδεικνυεται παροµοια.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 8..8. ειξτε οτι lim x x =. Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι M > : N M > : N M < x x > M. Ευκολα ϕαινεται οτι για τυχον M αρκει να παρουµε N M = M...9. ειξτε οτι lim x x 3 =. Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι M < : N M < : x < N M x 3 < N M. Ευκολα ϕαινεται οτι για τυχον M < αρκει να παρουµε N M = M /3.... ειξτε οτι lim x = x. Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι M < : δ M > : < x < δ M x < M. Εστω λοιπον τυχον M <. Παιρνουµε δ M = και για καθε x τετοιο ωστε < x < M δ M M, ή ισοδυναµα, M < x < εχουµε x < M (η ανισοτητα αντιστραφηκε επειδη τα x, M ειναι αρνητικα) και ετσι εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο.... ειξτε οτι lim x+ x + = x. Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι M > : δ M > : < x < δ M x + x > M. Εστω λοιπον τυχον M >. Παιρνουµε δ M = και για καθε x τετοιο ωστε < x < M δ M = M εχουµε x + x = x + (x ) (x + ) = x > = M και ετσι εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο.... ειξτε οτι, για οποιαδηποτε πολυωνυµα π (x), ρ (x), εχουµε lim x x π (x) = π (x ) και lim x x (π (x) + ρ (x)) = π (x ) + ρ (x ). Λυση. Εστω π (x) = a + a x +... + a N x N. Τοτε ( lim π (x) = lim a + a x +... + a N x N) x x x x = lim x x (a ) + lim x x (a x) +... + lim x x ( an x N) = a + a lim x +... + a N lim x N x x x x = a + a x +... + a N x N = π (x ). M
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 9 Οπου χρησιµοποιησαµε τα αποτελεσµατα της..9. Παροµοια δειχνουµε οτι lim x x ρ (x) = ρ (x ). Οποτε, συµφωνα µε την τριτη σχεση της..9 εχουµε ( ) ( ) lim (π (x) ρ (x)) = lim π (x) lim ρ (x) = π (x ) ρ (x ). x x x x x x..3. Υπολογιστε τα παρακατω ορια. lim x (5x + 3x 4).. lim x x x 4x+ 3. lim x 4 x 4. 4. lim x 5x + 3x 4. Λυση. Για το () εχουµε, συµφωνα µε την.., ( lim 5x + 3x 4 ) = 5 ( ) + 3 ( ) 4 =. Για το () εχουµε x x lim x x 4x + = lim x (x ) lim x (x 4x + ) = 4 + = = οπου χρησιµοποιησαµε την τεταρτη σχεση της..9, αφου ο παρονοµαστης ειναι διαφορος του µηδενος. Για το (3) εχουµε, χρησιµοποιωντας την πεµπτη σχεση της..9 µε n = /4, lim x 4 x4 = 4 4 = 6. Για το (4) ϑετουµε g (x) = x, f (x) = 5x + 3x 4 και, συµφωνα µε την.., εχουµε lim 5x + 3x 4 = lim (5x + 3x 4) = 4 =. x x..4. ειξτε οτι, αν lim x x f (x) = f και lim x x g (x) = g, τοτε Λυση. Απο την υποθεση εχουµε οτι lim (f (x) + g (x)) = f + g. x x ε > : δ > : < x x < δ f (x) f < ε, (.9) ε > : δ > : < x x < δ g (x) g < ε. (.) Εστω τωρα τυχον ε. Στις (.9)-(.) παιρνουµε ε = ε = ε και κατοπιν επιλεγουµε δ = min (δ, δ ). Τοτε λοιπον { } f (x) f < ε < x x < δ < min (δ, δ ) = ε g (x) g < ε = ε f (x) + g (x) (f + g ) f (x) f + g (x) g < ε + ε = ε και εχουµε το Ϲητουµενο.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ..5. Υπολογιστε τα παρακατω ορια. lim x x. lim x x x 3x+. x 4. 3. lim x x x +3. 4. lim h (x+h) x h. Λυση. Για το () εχουµε Για το () εχουµε x lim x x 3x + = lim x x (x ) (x ) = lim x x = =. x lim x x 4 = lim (x ) (x + ) x (x ) (x + ) (x + ) = lim x x + =. Για το (3) εχουµε ( x lim x x + 3 = lim x x x + 3 + ) x + 3 + x + 3 ( ( x ) + ) x = lim + 3 x x 3 Για το (4) εχουµε (x + h) x (x + xh + h ) x lim = lim h h h h xh + h = lim = lim (x + h) = x. h h h..6. Υπολογιστε τα παρακατω ορια. lim x x+3 x+4.. lim x x+4 5x. 3. lim x x 4 x. 4. lim x x 4 x.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Λυση. Για το () εχουµε lim x x + 3 x + 4 = lim x + 3 x x x x + 4 x x = lim x x x + lim x 3 x lim x x x + lim x 4 x = + + = x επειδη : lim x = lim 3 x x = lim x = 3 lim x x = 3 (εχουµε ηδη δει σε x προηγουµενη ασκηση οτι lim x = x ) και, παροµοια, lim x 4 =. x Παροµοια, για το () εχουµε Για το (3) εχουµε Για το (4) εχουµε lim x lim x x + 4 5x = lim x 4 x = lim x + 4 x x x 5x x x x 4 x x x x = + 5 = 5. = =. x x ( x 4 lim = lim x 4 ) = =. x x x x..7. ειξτε οτι η συναρτηση f (x) = x + x ειναι συνεχης στο x = 3. Λυση. Αφου η f (x) ειναι πωλυωνυµικη, απο την.. εχουµε (µε x = 3) lim f (x) = f (x ) x 3 δηλ. ειναι συνεχης στο x = 3. Φυσικα το ιδιο ισχυει για καθε x R...8. ειξτε οτι η συναρτηση f (x) = x3 +x ειναι συνεχης στο R. x + Λυση. Για καθε x R εχουµε (απο την τεταρτη σχεση της..9) οτι lim x x = f (x ) η µονη πιθανη εξαιρεση ειναι σηµεια στα οποια µηδενιζεται ο παρονοµαστης της f (x). Αλλα αφου αυτος ειναι x + τετοια σηµεια δεν υπαρχουν στο R, δηλ. η f (x) ειναι συνεχης παντου στο R...9. ειξτε οτι η συναρτηση f (x) = x ειναι συνεχης στο R. Λυση. Η συναρτηση µπορει να γραφτει και ως { x οταν x < f (x) = x = x οταν x. Αρα για καθε x (, ) εχουµε lim f (x) = x = f (x ) x x και για καθε x (, ) εχουµε lim f (x) = x = f (x ) x x
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Αρα η f (x) ειναι σιγουρα συνεχης στο R {}. Τι γινεται στο x = ; Ευκολα ϐλεπουµε οτι εχουµε lim f (x) =, lim f (x) = x x + και αρα lim f (x) = = f (). x Αρα η f (x) = x ειναι συνεχση σε ολο το R.... Βρειτε τα σηµεια ασυνεχειας της f (x) = x x 4. Λυση. Η f (x) ειναι πηλικο δυο πολυωνυµικων και αρα συνεχων συναρτησεων. Αρα και η f (x) ειναι συνεχης παντου εκτος των σηµειων στα οποια µηδενιζεται ο παρονο- µαστης, δηλ. των,. Σε αυτα τα σηµεια η συναρτηση δεν οριζεται, αρα και δεν µπορει να ειναι συνεχης..3 Αλυτα Προβληµατα.3.. ειξτε οτι lim x (x ) = 3..3.. ειξτε οτι lim x x =. x.3.3. ειξτε οτι lim x = x..3.4. Ποια ειναι η σηµασια των (.) και ;;);.3.5. ειξτε οτι lim x = x και οτι lim x = x..3.6. Ποια ειναι η σηµασια των (.4) και (.5);.3.7. ειξτε οτι lim x x =..3.8. ειξτε οτι lim x x 3 =..3.9. ειξτε οτι lim x x =..3.. ειξτε οτι lim x+ x + = x..3.. Υπολογιστε τα παρακατω ορια. lim x (5x + 3x 4).. lim x 4 x 4. 3. lim x 5x + 3x 4. 4. lim x 3 x 5x+6 x 8x+6. Απ., 6,,..3.. ειξτε οτι, για οποιαδηποτε πολυωνυµα π (x), ρ (x), εχουµε lim x x (π (x) ρ (x)) = π (x ) ρ (x ).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 3.3.3. ειξτε οτι, αν lim x x f (x) = f και lim x x g (x) = g, τοτε.3.4. Υπολογιστε τα παρακατω ορια. lim x x. lim x x x 5x+6. x 3. 3. lim h (x+h) 3 x 3 4. lim x 4 x h. 3 x +5. Απ. /, /3, 3x,..3.5. Υπολογιστε τα παρακατω ορια. lim x x x.. lim x + x 3. lim x + x. 7x. 4. lim x 3x 4 x. Απ.,,,,..3.6. Υπολογιστε τα παρακατω ορια. lim x x x+.. lim x 3x 4 7x. 3. lim x 3x 4 7x. 4. lim x 3x 4 7x. 5. lim x 3x 4 7x. Απ., 3/7,,,. lim (f (x) g (x)) = f (x ) g (x ). x x sin x.3.7. ειξτε οτι lim x =. x.3.8. ειξτε οτι η συναρτηση f (x) = x + x ειναι συνεχης στο x = 3..3.9. ειξτε οτι η συναρτηση f (x) = x3 +x x + ειναι συνεχης στο R..3.. ειξτε οτι η συναρτηση f (x) = x ειναι συνεχης στο R..3.. Αν f (x), g (x) ειναι συνεχεις στο x, δειξτε οτι η f (x g (x)) ειναι επισης συνεχης το x..3.. Βρειτε τα σηµεια ασυνεχειας της f (x) = x x. Απ. Ειναι τα,.
Κεφάλαιο 3 Παραγωγοι και ιαφορικα Η παραγωγος f (x) της συναρτησης f (x) ειναι ο ϱυθµος µεταβολης της f (x). Στο παρον κεφαλαιο παρουσιαζουµε µονο τον ορισµο και τις ϐασικες ιδιοτητες της παραγωγου. Οι διαφορες εφαρµογες της παραγωγου ϑεωρουνται γνωστες. 3. Θεωρια 3... Η παραγωγος µιας συναρτησης f (x) συµβολιζεται µε f (x) και οριζεται ως εξης f (x) = lim x f (x + x) f (x). x 3... Τα παρακατω Ϲευγη f (x) /f (x) ειναι ϐασικα και καλο ϑα ειναι να τα αποµνηµονευσετε. f (x) f (x) x x x x n nx n sin x cos x cos x sin x tan x cos x sinh x cosh x cosh x sinh x e x e x ln x 3..3. Στον παρακατω πινακα συνοψιζονται µερικες ϐασικες ιδιοτητες της παραγωγου. Η τυπικη συναρτηση F (x) δινεται στην πρωτη στηλη και η παραγωγος αυτης F (x) στην x 4
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΑ 5 δευτερη. F (x) F (x) f (x) f (x) f (x) + g (x) f (x) + g (x) c f (x) c f (x) (οπου c µια σταθερα) f (x) g (x) f (x) g (x) + f (x) g (x) f(x) g(x) f (h (x)) f(x) g (x)+f (x) g(x) 3..4. Η παραγωγος της f (x) συµβολιζεται και ως οπου (οταν g (x) ) g (x) f (h (x)) h (x) df dx = lim x f x = f (x) f = f (x + x) f (x) ειναι η µεταβολη της f οταν το x µεταβαλλεται κατα x. 3..5. Ισχυει προσεγγιστικα οτι f (x) f x και f f (x) x. (3.) Η προσεγγιση ειναι τοσο καλυτερη οσο µικροτερο ειναι το x. 3..6. Ο συµβολισµος df τονιζει οτι η παραγωγος ειναι ο λογος της µεταβολης f ως dx προς την µεταβολη x οταν τα x και f γινονται πολυ µικρα. 3..7. Αν και το συµβολο df δεν ειναι κλασµα, πολλες ϕορες το µεταχειριζοµαστε ως dx κλασµα, π.χ. γραφουµε df = f (x) dx. (3.) Η ποσοτητα df στην (3.) ονοµαζεται διαφορικο της f (x). Στην ουσια η (3.) ειναι µια συντοµογραφια της εκφρασης η f ειναι περιπου ιση µε την f (x) x οταν το x ειναι αρκετα µικρο. Οπως ϑα δουµε στα εποµενα κεφαλαια, ο συµβολισµος df = f (x) dx ειναι πολυ χρησιµος (π.χ. στον υπολογισµο ολοκληρωµατων) και γενικα µπορουµε να χειριζοµαστε το df ως κλασµα (αν και αυτο δεν ειναι αυστηρα σωστο). dx 3..8. Μερικες ϕορες µια συναρτηση y (x) οριζεται σε πλεγµενη µορφη, απο µια εκφραση P (x, y) =. Η εκφραση αυτη καθοριζει οτι οι x και y ϐρισκονται σε καποια (συναρτησιακη) σχεση, αλλα ισως δεν µπορουµε να λυσουµε P (x, y) = και να ϐρουµε την y (x) ως συναρρτηση του x. Παρολα αυτα, πολλες ϕορες ειναι δυνατο να υπολογισουµε την y (x) ως συναρτηση των x και y (δειτε και τα παραδειγµατα 3..9 3..). 3. Λυµενα Προβληµατα 3... Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = x ϐασει του ορισµου. Λυση f f (x + x) f (x) (x) = lim x x x + x x = lim x x x = lim x x = lim =. x
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΑ 6 3... Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = x ϐασει του ορισµου. Λυση f f (x + x) f (x) (x + x) x (x) = lim = lim x x x x x + x x + ( x) x = lim x x (x + x) x = lim = lim (x + x) = x. x x x 3..3. Αποδειξτε οτι (c f (x)) = c f (x). Λυση (c f (x)) = lim x c f (x + x) c f (x) = c lim x x f (x + x) f (x) = c f (x). x 3..4. Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = x 4x + 5. Λυση ( x 4x + 5 ) ( ) = x 4 (x) + (5) = x 4 + = x 4. 3..5. Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = x 4x+5. x + Λυση ( ) x 4x + 5 = (x 4x + 5) (x + ) (x 4x + 5) (x + ) x + (x + ) = (x 4) (x + ) (x 4x + 5) x (x + ) = 4x 8x 4 (x + ). 3..6. Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = e x (x + ). Λυση ( ex (x + )) = ex (x + ) + e x x = e x (x + x + ). 3..7. Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = e x 4x+5. Λυση ( e 4x+5) x = (x 4) e x 4x+5. 3..8. Υπολογιστε την παραγωγο της f (x) = ln (x sin x). Λυση [ ( ln x sin x )] = x sin x (x sin x + x cos x ). 3..9. Υπολογιστε την παραγωγο της y (x) = arcsin x. Λυση Εχουµε y = arcsin x x = sin y, Απο το οποιο εχουµε επισης cos y = x. Τωρα dx dy = cos y dy dx = dx dy = cos y = x.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΑ 7 3... Υπολογιστε την παραγωγο της y (x) = arctan x. Λυση Εχουµε y = arctan x x = tan y, Απο το οποιο εχουµε επισης cos y = + x. Τωρα dx dy = tan y dy dx = = dx dy cos y = + x. 3... Αποδειξτε οτι (sin(x)) = cos(x). Λυση ( ) e (sin x) ix e ix = = ieix ( i) e ix = eix + e ix = cos x. i i 3... Αποδειξτε οτι (sinh(x)) = cosh(x). Λυση ( ) e (sinh x) x e x = = ex + e x = cosh x. 3..3. Αποδειξτε οτι (arcsin x) =. x Λυση Θετουµε z = arcsin x. Τοτε x = sin z και οποτε dx dz = cos z = sin z = x (arcsin x) = dz dx =. x 3..4. Αποδειξτε οτι (arc sinh(x)) = x +. Λυση Θετουµε z = arc sinh x. Τοτε x = sinh z και οποτε dx dz = cosh z = + sinh z = + x (arc sinh x) = dz dx =. + x 3..5. Υπολογιστε το διαφορικο της f (x) = x ϐασει του ορισµου και δωστε µια γεωµετρικη ερµηνεια. Λυση df = f (x) dx = xdx. Μια γεωµετρικη ερµηνεια ειναι η εξης. Θεωρειστε ενα τετραγωνο µε πλευρα x. Τοτε f (x) = x ειναι το εµβαδον του τετραγωνου. Εστω τωρα οτι η πλευρα αυξανεται απο x σε x + x. Το εµβαδον αυξανεται οπως ϕαινεται στο σχηµα 3.. Αν το x ειναι σχετικα µικρο, η µεγαλυτερη µεταβολη του εµβαδου δινεται απο τα δυο παραλληλογραµα µε πλευρες x και x και ειναι x x. Υπαρχει µια επιπλεον αυξηση του εµβαδου κατα ( x) απο το τετραγωνο µε πλευρα x, αλλα αν το x ειναι µικρο, τοτε το ( x) ειναι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΑ 8 x x x Σχήµα 3.: Μια γεωµετρικη ερµηνεια του διαφορικου. πολυ µικρο σε σχεση µε το x x και µπορουµε να το αγνοησουµε. Π.χ., αν x = και x =., τοτε (x + x) =. = 4. 4, x = = 4, (x + x) x = 4.4 4 =.4, x x =. =.4, ( x) = (.) =., δηλ. το µεγαλυτερο µερος της µεταβολης f =.4 προκυπτει απο τον ορο x x =.4. 3..6. Βρειτε προσεγγιστικα την τιµη της 4. χρησιµοποιωντας το διαφορικο. Λυση Θετουµε f (x) = x. Τοτε x + x = f (x + x) f (x) + f (x) x = x + x x. Αν παρουµε τωρα x = 4, x + x = 4. και αρα x =., η παραπανω σχεση δινει 4. = 4 +. 4 +.. = + =. 5. 4 4 Η πραγµατικη τιµη ειναι 4. =. 4 8. Το σχετικο σφαλµα ειναι.48.5.48 Αρα η προσεγγιση ειναι αρκετα καλη. x x x = 9. 765 6 5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΑ 9 3..7. Βρειτε προσεγγιστικα την τιµη της 4. χρησιµοποιωντας το διαφορικο. Λυση Με το ιδιο σκεπτικο οοπως και στην προηγουµενη ασκηση, παιρνουµε τωρα x = 4, x + x = 4. και αρα x =., οποτε 4. = 4 +. 4 +.. = + =. 5. 4 4 Η πραγµατικη τιµη ειναι 4. =.498439. Το σχετικο σφαλµα ειναι.498439.5 = 7. 795 3 7.498439 δηλ. δυο ταξεις µεγεθους µικροτερο απο το σφαλµα στον υπολογισµο της 4.. Αυτο δειχνει (µε ενα παραδειγµα) οτι οσο µικροτερο γινεται το x, τοσο καλυτερη ειναι η προσεγγιση µε διαφορικο. 3..8. Βρειτε προσεγγιστικα την τιµη του sin ( ) χρησιµοποιωντας το διαφορικο. Το ιδιο και για την τιµη του cos (6 ) και του cos (44 ). Λυση Καταρχην τονιζουµε οτι στις τριγωνοµετρικες συναρτησεις το ορισµα x µετραται σε ακτινια. Αρα πρεπει να µετατρεψουµε την σε ακτινια. Εχουµε Οποτε x π = 8 x =. 745 3. sin ( ) = sin (. 745 3 ) sin () + sin (). 745 3 = sin () + cos (). 745 3. 745 3. Αντιστοιχα cos ( 6 ) ( π ) = cos 3 +. 745 3 cos (π/3) sin (π/3). 745 3 = 3. 745 3.484 89. Τελος cos ( 44 ) ( π ) = cos 4 +. 745 3 cos (π/4) sin (π/4). 745 3 =. 745 3.694 77. 3..9. Βρειτε την y αν y 3 + y 5y x + 4 =. Λυση Θεωρειστε την συνθετη συναρτηση g (x) = g (y (x)) = (y (x)) 3, δηλ. g (y) = y 3. Τοτε dg dx = dg dy dy dx = 3y y. (3.3) Αντιστοιχα, d dx y = yy. (3.4)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΑ 3 Χρησιµοποιωντας τις (3.3) και (3.4) εχουµε d ( y 3 + y 5y x + 4 ) = d dx dx () 3y y + yy 5y x + = y (3y + y 5 ) = x y x = 3y + y 5. 3... Βρειτε την y αν (x + y ) x = y. Λυση Παροµοια µε την προηγουµενη εχουµε (x + yy ) x + ( x + y ) x = yy y (yx y ) = x 3 ( x + y ) x y = x3 + x (x + y ) = x (x + y ) y (x ) y (x ). 3... Βρειτε την y (3) αν 3 (x + y ) = xy. Λυση Λυνοντας οπως και στις προηγουµενες παιρνουµε y = 5y 3x (x + y ) 5x + 3y (x + y ). (3.5) Εδω Ϲητειται η τιµη y (3). ηλ. στην (3.5) ϑα ϑεσουµε x = 3. Ποια ειναι οµως η τιµη y (3); Στην αρχικη 3 (x + y ) = xy ϑετουµε x = 3 και παιρνουµε 3 (3 + y ) = 3 y και λυνουµε ως προς y. Μια λυση ειναι y =. Οποτε στο σηµειο (3, ) εχουµε y (3) = 5 3 3 (3 + ) 5 3 + 3 (3 + ) = 3 9. (3.6) 3... Βρειτε την y αν x + y = 5. Λυση Οπως και στις προηγουµενες ασκησεις, εδω εχουµε Παραγωγιζουµε και παλι και παιρνουµε y = d dx ( ) x = (x) y xy y y x + yy = y = x y. = y xy y = y x ( x y ) y = x + y y 3.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΑ 3 3.3 Αλυτα Προβληµατα 3.3.. Αποδειξτε ϐασει του ορισµου οτι η σταθερη συναρτηση f (x) = c εχει f (x) =. 3.3.. Αποδειξτε ϐασει του ορισµου οτι (x 3 ) = 3x. ( ). x 3.3.3. Υπολογιστε την + (Απ. x 7x x 7 (x 7).) ( 3.3.4. Υπολογιστε την e x x). (Απ. e x + x e x.) 3.3.5. Υπολογιστε την (sin (x 3 + 7e x )). (Απ. (7e x + 3x ) cos (7e x + x 3 ).) 3.3.6. Υπολογιστε την (cot x). (Απ. 3.3.7. Αποδειξτε οτι. (cos(x)) = sin x. (tan(x)) = tan x + 3. (sec(x)) = sin x cos x 3.3.8. Αποδειξτε οτι. (cosh(x)) = sinh(x),. (tanh(x)) = sec h (x), 3. (coth(x)) = csc h (x), 4. (sec h(x)) = sec h(x) tanh(x), 5. (csc h(x)) = csc h(x) coth(x) 3.3.9. Αποδειξτε οτι. (arccos x) = x, sin x.). (arctan x) = 3.3.. Αποδειξτε οτι +x.. (arc cosh(x)) =. (arc tanh(x)) = x, x, 3. (arc coth(x)) = x, 4. (arc sec h(x)) = x x,
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΑ 3 5. (arc csc h(x)) = x +x. 3.3.. Υπολογιστε προσεγγιστικα (µε χρηση του διαφορικου) την tan (46 ) και την tan (44 ). (Απ.. 35 4 και.965 67.) 3.3.. Υπολογιστε προσεγγιστικα (µε χρηση του διαφορικου) την e.9. (Απ.. 435.) 3.3.3. Βρειτε την y για τις παρακατω πεπλεγµενες συναρτησεις. x + y = 6. (Απ. x/y.). x / + y / = 9. (Απ. y/x.) 3. x 3 xy + y = 4. (Απ. 4. x 3 y 3 y = x. (Απ. y 3x y x.) 3x y 3 3x 3 y.) 5. x 3 x y + 3xy = 38. (Απ. 4xy 3x 3y x (3y x).) 3.3.4. Βρειτε την y για τις παρακατω πεπλεγµενες συναρτησεις. x + xy = 5 (Απ. /x 3.). x y = 6 (Απ. 6/y 3.) 3. y = x 3 (Απ. 3x/4y.)
Κεφάλαιο 4 Αοριστα Ολοκληρωµατα Η ολοκληρωση ειναι η αντιστροφη διαδικασια της παραγωγισης. Στο παρον κεφαλαιο παρουσιαζουµε µονο τον ορισµο και τις ϐασικες ιδιοτητες του αοριστου ολοκληρωµατος. 4. Θεωρια 4... Εστω δυο συναρτησεις f(x) και F (x). Λεµε οτι η συναρτηση F (x) ειναι ενα αοριστο ολοκληρωµα της συναρτησης f(x) ανν ισχυει και τοτε γραφουµε ισοδυναµα F (x) = f(x) (4.) F (x) = f(x)dx. (4.) 4... Ισοδυναµα προς την η F (x) ειναι το αοριστο ολοκληρωµα της f (x) χρησι- µοποιουµε τις εκφρασεις η F (x) ειναι παραγουσα της f(x) και η F (x) ειναι αντιπαραγωγος της f(x). 4..3. Το αοριστο ολοκληρωµα εχει τις εξης ιδιοτητες c f(x)dx = c f(x)dx (f(x) + g(x)) dx = f(x)dx + g(x)dx f(u(x))u (x)dx = f(u)du. (4.3) Η (4.3) ειναι στην ουσια µια εναλλακτικη διατυπωση του κανονα της αλυσσωτης παραγωγισησ: [f (u (x))] = f (u) u (x). 33
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 34 4..4. Τα παρακατω ειναι βασικα αοριστα ολοκληρωµατα. dx = x + c x m dx = xm+ + c (m ) m+ dx = ln x + c x e x dx = e x + c sin xdx = cos x + c cos x)dx = sin x + c tan x)dx = ln cos x) + c sinh x)dx = cosh x + c cosh(xdx = sinh x + c tanh x)dx = = ln cosh(x + c 4..5. Το c σε ολες τις παραπανω εκφρασεις ειναι µια αυθαιρετη σταθερα. Πραγµατι, αν F (x) = f (x) dx, ισοδυναµα F (x) = f (x). Αλλα τοτε και (F (x) + c) = F (x)+(c) = f (x) +, δηλ. και η F (x) + c ειναι ενα αοριστο ολοκληρωµα της f (x) (γι αυτο και χρησιµοποιουµε τον ορο αοριστο ολοκληρωµα). 4..6. Αλλα σηµαντικα αοριστα ολοκληρωµατα ειναι τα εξης. dx = ln +sin x cos(x) cos x + c dx = ln cos x sin(x) sin x + c a dx = arcsin( x) + c x a dx = arctan( x) + c a +x a a dx = ln x a + c x a a x+a dx = ln a+x a x a a x + c x dx = arccos h( x) + c = ln a a x + x a + c a dx = arcsin h( x) + c = ln +x a x + x + a + c a x dx = x a x + a arcsin ( x a) + c a + x dx = x a + x + a arcsin h ( x a) + c x a dx = x x a a arccos h ( x a) + c a + x dx = x a + x + a ln x + x + a + c x a dx = x x a a ln x + x a + c 4. Λυµενα Προβληµατα 4... Αποδειξτε οτι ( xdx = x + c. Λυση Πραγµατι x + c ) = x + = x. 4... Αποδειξτε οτι cos xdx = sin x + c. Λυση Πραγµατι (sin x + c) = cos x + = cos x. 4..3. Αποδειξτε οτι c f(x)dx = c f(x)dx. Λυση Εστω οτι, F (x) = f(x)dx, δηλ. ισοδυναµα F (x) = f (x). Τοτε (c F (x)) = c F (x) = c f (x), δηλ. η c F (x) ειναι το ολοκληρωµα της c f (x).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 35 4..4. Υπολογιστε το x 4 dx. Λυση x 4 dx = 5 x5 + c. 4..5. Υπολογιστε το ( 5 sin x + e x ) dx Λυση ( 5 sin x + e x ) dx = dx 5 sin xdx + e x dx = x + 5 cos x + e x + c. x+ x+ 4..6. Υπολογιστε το x dx Λυση x + x + dx = x 4..7. Υπολογιστε το x x xdx. Λυση Εχουµε x / dx + dx + x / dx = x3/ 3/ + x + x/ / = 4 3 x3/ + x + x / + c. x x xdx = x x x / dx = x x 3/ dx x = x 3/4 dx = x 7/8 dx = 8 5 x5/8 + c. x x+ 4..8. Υπολογιστε το 3 5 3 3 dx. x Λυση Εχουµε x + 3 5 x 3 3 dx = x x 3 x dx + x / /3 5 x dx = /3 3 3 4 x4/3 + 5 6 5 x5/6 = x4/3 + 6 5 x5/6 + c. 4..9. Υπολογιστε το ( x ) 3 xdx. Λυση Εχουµε ( x ) 3 (x xdx = x / + ) x /3 dx (x = 4/3 x /3 + x /3) dx = 3 7 x7/3 6 5 x5/3 + 3 4 x4/3 + c. 4... Υπολογιστε το cot xdx. Λυση cos cot x sin xdx = sin x dx = x sin x dx = sin x dx dx = cot x x + c. 3 4... Υπολογιστε το xdx. Λυση Θετοντας u = x, du = dx, εχουµε 3 xdx = u /3 du = 3 8 u4/3 = 3 8 ( x)4/3 + c.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 36 x 4... Υπολογιστε το (x +) x + dx. Λυση Θετοντας u = x +, du = xdx, εχουµε x (x + ) x + dx = du u = u 3/ du = ( 3/ ) u / = x + + c. 4..3. Υπολογιστε το e 3x+ dx Λυση Θετοντας u = 3x +, du = 3dx, εχουµε e 3x+ dx = e u du = 3 3 eu = 3 e3x+ + c. 4..4. Υπολογιστε το x (x+5) dx. Λυση Θετοντας u = x + 5, du = dx, εχουµε x (x + 5) dx = (u 5) / du = u 5 du = du u 4 u 4 u 5 du 4 u = 4 ln u 5 4 u = 4 ln x + 5 + 5 4 x + 5 + c. 4..5. Υπολογιστε το x x 3dx. Λυση Θετοντας u = x 3, du = dx, εχουµε x (u x 3dx = (u + 3) u / du = 3/ + 3u /) du = 5 u5/ + 3 3 u3/ = 5 (x 3)5/ + (x 3) 3/ + c. 4..6. Υπολογιστε το cos 5 x sin xdx. Λυση Θετουµε u = cos x, du = sin xdx, οποτε cos 5 x sin xdx = u 5 du = 6 u6 = 6 cos6 x. ln x 4..7. Υπολογιστε το x dx. Λυση Θετουµε u = ln x, du = dx/x, οποτε ln x x dx = udu = u = (ln x) + c. x+/ 4..8. Υπολογιστε το dx. x +x+3 Λυση Θετουµε u = x + x + 3, οποτε du = (x + ) dx. Ετσι x + / x + x + 3 dx = du u = ln u = ln x + x + 3 + c.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 37 dx 4..9. Υπολογιστε το Λυση Εχουµε, µε συµπληρωση τετραγωνου, οτι Οποτε x +4x+5. x + 4x + 5 = x + x + + = (x + ) +. dx x + 4x + 5 = d (x + ) (x + ) + = arctan (x + ) + c. x 4... Υπολογιστε το 3 5x x+5 Λυση Εδω απαιτειται η χρηση πολυωνυµικης διαιρεσης του x 3 5x x + 5 µε το x + 3. Εχουµε x 3 5x x +5 x + 3 x 3 +3x x 4x 8x x +5 8x x +5 x+3 dx. που δινει πηλικο x 4x και υπολοιπο 5, δηλ. x 3 5x x + 5 = x 4x + 5 x + 3 x + 3. Οποτε εχουµε x 3 5x ( x + 5 dx = x 4x + 5 ) dx = x3 x + 3 x + 3 3 x + 5 ln x + 3 + c. 4.3 Αλυτα Προβληµατα 4.3.. Αποδειξτε οτι x dx = 3 x3 + c. 4.3.. Αποδειξτε οτι dx = x + c. 4.3.3. Αποδειξτε οτι xdx = 3 x3/ + c. 4.3.4. Αποδειξτε οτι sin dx = cos x + c. 4.3.5. Αποδειξτε οτι dx = ln x + c. x 4.3.6. Αποδειξτε οτι (f(x) + g (x)) dx = f(x)dx + g(x)dx. 4.3.7. Υπολογιστε το x 3 dx. (Απ. 4 x4 + c.) 4.3.8. Υπολογιστε το (x + 4)dx. (Απ. x + 4x, µε u = x + 4, du = dx). 4.3.9. Υπολογιστε το x 3 x 4 +5 dx. (Απ. (x4 + 5), µε u = x 4 du = 4x 3 dx). 4.3.. Υπολογιστε το x + (x 3 +6x+) dx. (Απ. 3 ln (x3 + 6x + ), µε u = x 3 + 6x +, du = (3x + 6)dx).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 38 dx 4.3.. Υπολογιστε το. 4x (Απ. ln (4x ), µε u = 4x, du = 4dx). 4 4.3.. Υπολογιστε το (e x + ) e x dx. (Απ. 3 (ex + ) 3, µε u = e x, du = e x dx). sin(x)+cos(x) 4.3.3. Υπολογιστε το dx.. sin(x) (Απ. dx + cos(x) dx = ln (cos x) + cos(x) cos(x) cos(x) x, µε u = cos(x), du = sin(x)dx στο ο ολοκλρωµα). 4.3.4. Υπολογιστε το 9 x dx. (Απ. arcsin 3 x, µε u = x 3, du = 3 dx). 4.3.5. Υπολογιστε το 9 4x dx. (Απ. arcsin 3 x, µε u = 3 x, du = 3 dx). 4.3.6. Υπολογιστε το dx. 4x +5 (Απ. arctan 5 x, µε u = 5 x, du = 5 dx). 4.3.7. Υπολογιστε το +4x x dx. (Απ. arcsin 4 4 (x ), µε συµπληρωση του τετραγωνου). x+4 4.3.8. Υπολογιστε το 5 4x x dx. (Απ. (5 4x x ) + arcsin ( x + 3 3), µε u = x + 3, συµπληρωση του τετραγωνου και διασπαση του ολοκληρωµατος σε δυο µερη).
Κεφάλαιο 5 Τεχνικες Ολοκληρωσης Στο παρον κεφαλαιο παρουσιαζουµε διαφορες τεχνικες για τον υπολογισµο αοριστων ολοκληρωµατων. 5. Θεωρια 5... Πολλα ολοκληρωµατα υπολογιζονται χρησιµοποιωντας την f(u(x))u (x)dx = f(u)du. Αυτη η µεθοδος λεγεται ολοκληρωση µε αντικατασταση. 5... Μερικες χρησιµες αντικαταστασεις ειναι οι εξης.. Για µορφη a + b x χρησιµοποιω x = a b tan(u) και παιρνω a + tan (u) = a cos(u).. Για µορφη a b x χρησιµοποιω x = a sin(u) b και παιρνω a sin (z) = a cos(u). 3. Για µορφη b x a χρησιµοποιω x = a b cos(u) και παιρνω a = sin (u) a tan(u). 4. Για µορφη b x a χρησιµοποιω x = cosh a cosh(u) b και παιρνω a (u) = a sinh(u). 5..3. Η ολοκληρωση κατα παραγοντες ϐασιζεται στην εξης παρατηρηση : αν f(x) και g(x) ειναι συναρτησεις, τοτε (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) (f(x)g(x)) dx = f (x)g(x)dx + f(x)g (x)dx f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx. 39
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 4 5..4. Ενας αλλος τροπος να γραψουµε τα παραπανω ειναι ο εξης : (fdg + gdf) = d (fg) = fg. 5..5. Μερικα ϐασικα ολοκληρωµατα που υπολογιζονται µε ολοκληρωση κατα παραγοντες ειναι τα εξης.. x cos xdx = cos x + x sin x + c.. x sin xdx = sin x x cos x + c. 3. xe x dx = xe x e x + c. 5..6. Με τον ορο στοιχειωδες κλασµα εννοουµε οποιοδηποτε απο τα παρακατω A A,, x x (x x )... (5.) A ax + bx + c, A (ax, + bx + c)... (5.) Ax + b ax + bx + c, Ax + b (ax, + bx + c)... (5.3) 5..7. Προσοχη: Οταν στις (5.) και (5.3) b 4ac αναγοµαστε στην (5.). Αρα µας ενδιαφερει η περιπτωση b 4ac <. 5..8. Μπορουµε να υπολογισουµε το ολοκληρωµα καθε στοιχειωδους κλασµατος. ινουµε µερικα παραδειγµατα (παρακατω ϑετουµε E = 4ac b ): A dx = A ln x x x x A (x x ) dx = A x x A ax + bx + c dx = A ax + b arctan E E A (ax + bx + c) dx = A (ax + b) E (ax + bx + c) + 4Aa ax + b arctan E 3 E Ax + B ax + bx + c dx = A a ln ( ax + bx + c ) + B ( arctan ax + b ) A E E E b ( arctan ax + b ) a E 5..9. Αν τα P (x) και Q(x) ειναι πολυωνυµα, η συναρτηση f(x) = P (x) Q(x) λεγεται ϱητη. 5... Οπως ϑα δουµε στο εποµενο εδαφιο, µπορουµε να υπολογισουµε το ολοκληρωµα καθε ϱητης συναρτησης µε αναγωγη αυτης σε αθροισµα στοιχειωδων κλασµατων. 5... Ας υποθεσουµε οτι στην ϱητη συναρτηση P (x)/q(x) ο ϐαθµος του P (x) ειναι µικροτερος απο τον ϐαθµο του Q(x). Εστω µια ϱιζα x του Q(x). ιακρινουµε τις εξης περιπτωσεις.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 4. Αν η ϱιζα ειναι πραγµατικη και απλη, τοτε στην αναπτυξη της P (x)/q(x) ϑα εµ- ϕανιζεται ενα κλασµα της µορφης A. x x. Αν η ϱιζα ειναι πραγµατικη και πολλαπλοτητας n, τοτε στην αναπτυξη της P (x)/q(x) ϑα εµφανιζονται n κλασµατα της µορφης A x x, A (x x ),..., A n (x x ) n. 3. Αν η ϱιζα x ειναι µιγαδικη και απλη, τοτε η συζυγης x ειναι επισης ϱιζα του Q(x) και το γινοµενο (x x )(x x ) ϑα ισουται µε ax + bx + c οπου τα a, b, c ϑα ειναι πραγµατικοι αριθµοι. Στην αναπτυξη της P (x)/q(x) ϑα εµφανιζεται ενα κλασµα της µορφης Ax + B ax + bx + c. 4. Τελος, αν η ϱιζα x ειναι µιγαδικη και πολλαπλοτητας n, στην αναπτυξη της P (x)/q(x) ϑα εµφανιζεται n κλασµατα της µορφης Ax + B ax + bx + c, Ax + B (ax + bx + c),..., Ax + B (ax + bx + c) n 5... Εχουµε δωσει στο προηγουµενο εδαφιο τα ολοκληρωµατα των παραπανω στοιχειωδων κλασµατων. Ετσι, οποιαδηποτε ϱητη συναρτηση f (x) µε ϐαθµο του P (x) µικροτερο απο αυτο του Q (x) µπορει να ολοκληρωθει µε αναπτυξη σε στοιχειωδη κλασµατα. 5..3. Αν ο ϐαθµος του P (x) ειναι µεγαλυτερος του ϐαθµου του Q(x), µε πολυωνυµικη διαιρεση παιρνουµε f(x) = P (x) + P (x) Q(x) οπου τα P (x), P (x) ειναι πολυωνυµα και ο ϐαθµος του P (x) µικροτερος απο αυτο του Q (x). Ετσι µπορουµε και παλι να ολοκληρωσουµε την f (x). 5. Λυµενα Προβληµατα 5... Υπολογιστε το ( x) dx. Λυση Θετοντας u = x, du = dx εχουµε ( x) dx = ( x) d ( x) = u + c = ( x) + c.