KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός

KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις. Ορισμός : Εστω ΑR. Ονομάζουμε (πραγματική) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, μια διαδικασία f Παραδείγματα i) με την οποία στοιχείο xα yβr. ii) Ανεξάρτητη μεταβλητή : Εξαρτημένη μεταβλητή : Τύπος της συνάρτησης : f(x) : Πεδίο ορισμού ΑR : f : ΑR : Σχόλια. i) Αν f : ΑR έχει την ίδια τιμή xα, τότε ονομάζεται συνάρτηση. π.χ. ii) Μια συνάρτηση είναι πλήρως καθορισμένη αν iii) Yπάρχουν συναρτήσεις που δεν έχουν τον ίδιο τύπο σε όλο το Π.Ο. τους. 1

Πράξεις με συναρτήσεις. Αν δύο συναρτήσεις f, g έχουν το ίδιο Π.Ο. Α, τότε ορίζονται και οι συναρτήσεις : Άθροισμα S=f+g με S(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x), xa Διαφορά D=f-g με D(x)=(f-g)(x)=f(x)-g(x), xa Γινόμενο P= fg με P(x)=(fg)(x)=f(x)g(x), xa Πηλίκο R=f/g με R(x)=(f/g)(x)=f(x)/g(x), xa Εστω f : ΑR και g : BR. i) Αν δεν ορίζεται καμία πράξη. ii) Aν τότε το Π.Ο. των S, D, P είναι το και του R το Γενικά : Στις πράξεις με συναρτήσεις πρώτα βρίσκουμε το πεδίο ορισμού και μετά τον τύπο. Γραφική παράσταση συνάρτησης : Ορισμός : Εστω f : ΑR. Τότε κάθε xa μαζί με την τιμή του y=f(x) σχηματίζουν ένα διατεταγμένο ζεύγος (x, f(x)) που παριστάνεται ως σημείο στο επίπεδο. Σχόλια. Το σύνολο των σημείων Μ(x, f(x)) για όλα τα xα λέγεται γραφική παράσταση ή καμπύλη της f. i) Eνα σημείο Κ(x, y) του επιπέδου των αξόνων, ανήκει στην καμπύλη f μόνο όταν H επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της καμπύλης της f. Αρα : ii) Δεν υπάρχουν σημεία της C f με την ίδια iii) Σχετική θέση γραφικών παραστάσεων. 1. Σημεία τομής της C f με τους άξονες : Mε τον x x : Mε τον y y : 2

2. Σχετική θέση της C f με τον άξονα x x : H C f βρίσκεται "πάνω" από τον x x για τα xa f με H C f βρίσκεται "κάτω" από τον x x για τα xa f με 3. Σχετική θέση δύο γραφικών παραστάσεων C f και C g. Τα σημεία τομής των C f και C g H C f βρίσκεται "πάνω" από τη C g H C f βρίσκεται "κάτω" από τη C g iv) Oι γραφικές παραστάσεις παρουσιάζουν συνοπτικά όλα τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες της f. Παραδείγματα. 1) Πεδίο ορισμού της f : Σύνολο τιμών της f : f(x 0 ) : 2) Γ Ρ Α Φ Ι Κ Ε Σ Π Α Ρ Α Σ Τ Α Σ Ε Ι Σ Β Α Σ Ι Κ Ω Ν Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ω Ν ( i) Πολυων υμικές συναρτήσ ει ς. f(x)=αx+β 3

f(x)=αx 2, α 0 f(x)=αx 3, α 0 ( ii) Ρητ έ ς σ υναρτήσεις. α f(x), α 0 x ( iii) Αρ ρητες συναρτήσ ει ς. f(x) x, x 0 f(x) x 4

( iv) Τριγωνομετρ ικές σ υναρτήσ ει ς. f(x)=ημx f(x)=συνx f(x)=εφx (v) Εκθετική / Λο γαριθμική συνάρτηση. f(x)=α x H y=α x έχει πεδίο ορισμού το Eίναι f(x) xr. και σύνολο τιμών το x 2 Aν α>1, τότε 1 x α α x 2 Aν 0<α<1, τότε 1 x α α f(x)=log α x H y= log α x έχει πεδίο ορισμού το και σύνολο τιμών το log α x=y log α α x = α log α x = log(x 1 x 2 )= log α x κ x1 = log x log α α= lne= log α 1= log α x=0 log α x=1 lnx=1 α x =e (f(x)) g(x) =e Aν α>1, τότε logαx1 logαx 2 Aν 0<α<1, τότε logαx1 logαx 2 2 5

Ε π ί σ η ς.. 1) Εστω μιά συνάρτηση f:ar. Αν i. και ii. τότε η f λέγεται άρτια και η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς i. και ii. τότε η f λέγεται περιττή και η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς 2) Εστω μιά συνάρτηση f:rr με γραφική παράσταση C f. Tότε : i. η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική με τη C f ως προς ii. η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τα τμήματα της C f iii. η γραφική παράσταση της g(x)=f(x-α), α>0 προκύπτει με μεταφορά της C f ενώ της h(x)=f(x+α), α>0 προκύπτει με μεταφορά της C f iv. η γραφική παράσταση της φ(x)=f(x)+c προκύπτει από μεταφορά της C f κατά μονάδες. (Προς τα ή προς τα 6

Μ Ο Ν Ο Τ Ο Ν Ι Α Α Κ Ρ Ο Τ Α Τ Α Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η Σ Ο ρ ι σ μ ό ς : Mια συνάρτηση f, λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα ΔΑ f αν : Mια συνάρτηση f, λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα ΔΑ f αν : Από τη γραφική παράσταση μιάς συνάρτησης είναι φανερή η μονοτονία της. π.χ. Η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, όταν Η γραφική παράσταση κάθε γνησίως μονότονης συνάρτησης έχει με τον x x. Αν μια συνάρτηση f είναι (ή ) σε δύο διαστήματα Α, Β δεν σημαίνει ότι η f είναι (ή ) στην ένωσή τους. π.χ. f(x)= x 1 f(x)=εφx Ο ρ ι σ μ ό ς : f:a f R. H f παρουσιάζει στο x 1 єa f τοπικό μέγιστο, το f(x 1 ), όταν : H f παρουσιάζει στο x 2 єa f τοπικό ελάχιστο, το f(x 2 ), όταν : H f παρουσιάζει στο x 1 єa f ολικό μέγιστο, το f(x 1 ), όταν : 7

Ενα τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο. Το ολικό μέγιστο είναι και τοπικό, όχι πάντα το αντίθετο. Τα ακρότατα μιάς συνάρτησης εμφανίζονται στα σημέια που αλλάζει η μονοτονία της συνάρτησης ή σε άκρα του διαστήματος του πεδίου ορισμού. Δεν έχουν όλες οι συναρτήσεις ολικά ακρότατα. π. χ. Ο Ρ Ι Ο Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η Σ π.χ. Εστω η συνάρτηση fx 3 2 x 2x. x 2 Μπορώ να υπολογίσω το όριο της f και σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού της. 8

Γενικά έχει νόημα να υπολογίζω το όριο κάποιας συνάρτησης f μόνο στα σημεία x 0 του πεδίου ορισμού της ή σε σημεία που "γειτονεύουν" με σημεία του Α f. π.χ. Υπολογισμός ορίων. i) Αν x 0 A f τότε lim fx x x 0 Εφαρμόζεται πάντα, εφ όσον δεν εμφανίζονται μη επιτρεπτές πράξεις και εφ όσον η f δεν είναι εκφρασμένη σε κλάδους. Στην περίπτωση που lim fx x (Δηλαδή η C f είναι μιά συνεχής γραμμή) x 0 x 0 A f, η f λέγεται ii) Αν x 0 A f τότε χρησιμοποιούμε παραγοντοποίηση. π.χ. Πράξεις ορίων. lim f x l Αν 1, 2 xx 0 lim g x l xx 0 τότε : lim x x 0 fx gx lim x x 0 κ f x lim x x 0 fx gx lim xx 0 fx ν lim xx 0 ν f x f lim xx 0 g x x Eιδικά όρια.. ημx συνx -1 εφx lim 1, lim 0, lim 1 x0 x x0 x x0 x 9

Εφαπτομένες γραφικών παραστάσεων. 1.2. Η Ε Ν Ν Ο Ι Α Τ Η Σ Π Α Ρ Α Γ Ω Γ Ο Υ. Στιγμιαία ταχύτητα. π.χ. Κίνηση αθλητή σε στάδιο. y y : o διάδρομος στον οποίο τρέχει. Η καμπύλη δείχνει σε ποιό σημείο του διαδρόμου βρίσκεται ο αθλητής κάθε χρονική στιγμή. Μέση ταχύτητα του αθλητή στο χρονικό διάστημα [t 0, t 0 +h] : διάστημα που διανύθηκε μέση ταχύτητα χρόνος που απαιτήθηκε Γενικά : Aν f συνάρτηση και x 0 єa f, τότε ο αριθμός παράγωγος της f στο σημείο x 0. f(x 0 f(x ) lim h0 0 h) f(x h 0 ) ονομάζεται Παριστάνει το ρυθμό μεταβολής της f ως προς το x, όταν x=x 0, δηλαδή την κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης y=f(x) στο σημείο x 0. 10

Παραδείγματα. 1 1 1. Αξία Η/Υ μετά από t1 χρόνια χρήσης : α(t) χιλιάδες ευρώ. 10 t i) Ποιά η αξία του μετά από 5 χρόνια; ii) Ποιός θα είναι τότε ο ρυθμός μεταβολής της αξίας του ως προς το χρόνο ; 2. Σώμα αφήνεται να πέσει τη χρονική στιγμή t=0 από ύψος 125m. Σε χρόνο t sec το σώμα διανύει διάστημα S=½gt 2. Nα βρεθεί η χρονική στιγμή κατά την οποία το σώμα θα πέσει στο έδαφος καθώς και η ταχύτητά του τη στιγμή αυτή. Δεν έχουν όλες οι συναρτήσεις παράγωγο σ' ένα σημείο τους. π.χ. η f(x) x δεν έχει στο x 0 =0. Γεωμετρική έννοια της παραγώγου. f (x 0 ) : ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που εφάπτεται στη C f στο σημείο (x 0, f(x 0 )). Eξίσωση εφαπτομένης σε σημείο της C f. Eξίσωση εφαπτομένης στο σημείο Α(x 0, f(x 0 )). (ε) : y-f(x 0 )=f (x 0 )(x-x 0 ). Ρυθμός μεταβολής της f. Ρυθμός μεταβολής της f ως προς x στο x 0 : f (x 0 ). 11

1. 3. Π Α Ρ Α ΓΩ Γ Ο Σ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η Σ. π.χ. i) Να βρεθεί η παράγωγος της f(x)=x 3 στο σημείο x 0 =2. ii) Να βρεθεί η παράγωγος της f(x)=x 3 στο σημείο x 0 =κ, κєr. Ορισμός : Εστω f με πεδίο ορισμού Α και Β={xєA / f παραγωγίσιμη}. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, η f, που λέγεται πρώτη παράγωγος της f όπου : f(x h) f(x) f :B R με f(x) lim h0 h Η γνώση της παραγώγου συνάρτησης μας απαλάσσει από τον υπολογισμό ενός ορίου κάθε φορά που θέλουμε να βρούμε την παράγωγο της f σε κάποιο σημείο. Η παράγωγος της f λέγεται δεύτερη παράγωγος της f. Συμβολίζεται με f. Στη φυσική : Αν S(t) παριστάνει τη θέση ως προς το χρόνο ενός σώματος που κινείται σε ευθεία γραμμή, τότε η ταχύτητα του είναι v(t)=s (t), οπότε η S (t)=v (t) παριστάνει το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας, δηλαδή την επιτάχυνση του σώματος : α(t)= v (t)= S (t). 12

Π Α Ρ Α Γ Ω Γ Ο Ι Β Α Σ Ι Κ Ω Ν Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ ΕΩ Ν. f(x) 1. c 0 2. x 1 f (x) 3. x α αx α-1 4. ημx συνx 5. συνx -ημx 6. e x e x 1 7. lnx x 1 8. x 2 x 1 9. εφx 2 συν x 1 2 10. σφx ημ x Κ Α Ν Ο Ν Ε Σ Π Α Ρ Α ΓΩ ΓΙ Σ Η Σ. 1. (cf(x)) =cf (x) 2. (f(x)±g(x)) =f (x)±g (x) 3. (f(x)g(x)) = f (x)g(x)+f(x) g (x) 4. f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) g (x) 2 g (x) Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης : [f(g(x))] =f (g(x))g (x) 13

1. 4. Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ε Σ Τ Ω Ν Π Α Ρ Α ΓΩ ΓΩΝ. Μέθοδος προσδιορισμού της μέγιστης ή ελάχιστης τιμής ενός μεταβαλλόμενου μεγέθους. π.χ. Σχήμα : Παρατήρηση : Aρα : To πρόσημο της παραγώγου φανερώνει τη μονοτονία μιάς συνάρτησης. Επίσης, στα σημεία Α και Β όπου η μονοτονία της f και η εφαπτομένη είναι οπότε f =, η f παρουσιάζει Αρα : ο μηδενισμός της παραγώγου σ ένα σημείο μαζί με αλλαγή της μονοτονίας της f γύρω απ αυτό, φανερώνει την ύπαρξη ακρότατου. ΓΕΝΙΚΑ : Εστω f συνάρτηση που έχει παράγωγο σ ένα διάστημα Δ. i) Aν f (x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε f στο Δ. ii) Aν f (x)<0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε f στο Δ. KΡΙΤΗΡΙΟ 1ης ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. i) Aν f (x 0 )=0 και f (x)>0 στο (α, x 0 ) και f (x)<0 στο (x 0, β) τότε η f παρουσιάζει στο (α, β) για x=x 0 μέ γιστο, το f(x 0 ). ii) Aν f (x 0 )=0 και f (x)<0 στο (α, x 0 ) και f (x)>0 στο (x 0, β) τότε η f παρουσιάζει στο (α, β) για x=x 0 ελάχιστο, το f(x 0 ). Βήματα : 1. Προσδιορίζω τα σημεία στα οποία f (x)=0. 2. Eλέγχω αν στα σημεία αυτά αλλάζει πρόσημο η συνάρτηση f, και φτιάχνω πίνακα μεταβολών. 14