MATEMATICKÉ ZÁKLADY ANALYTICKEJ FOTOGRAMETRIE Fotogrametricú sním yhotoenú fotogrametricým objetíom (so anedbateným sreslením s dobrým priblížením poažjeme a perspetíny obra objet Body objet a im odpoedajúce snímoé body sú oamih yhotoenia snímy perspetínom ah torý je možné yjadri aj matematicy Perspetíny ah formljeme matematicy poda poie analyticej geometrie priestore hadom na definoaný súradnicoý systém Aplijeme ho analyticej a digitálnej fotogrametrii Priestoroý súradnicoý systém Súradnicoý systém analyticej fotogrametrii je praohlý a praotoiý Praotoios praohlého súradnicoého systém je daná trojico sporiadaných jednotoých etoro i j daných ich poradím Jednotoé etory i j pritom definjú smery priestoroých súradnicoých osí X Y Z (obr Pre jednotoé etory i j definície salárneho súin etoro platí: i i = j i = 0 i = 0 i j = 0 j j = j = 0 ( i = 0 j = 0 = Obr Priestoroý súradnicoý systém A yjadríme poloh bod P pomoco etora r systéme jednotoých etoro i j s poiatom bode O potom pre etor r (obr platí: x i + y j + ( de x y sú ortogonálne ložy etora r resp priestoroé súradnice bod P Vah ( možno formálne apísa ao súin riadoého etora x y a stpcoého etora i j tato: i j (3 ( x y Pre jednodšenie etoroého yjadroania bdeme pre etor r požía najmä jednodchší stpcoý ápis: x y (4 Matematicá formlácia podmieny olinearity analyticej fotogrametrii Vah medi súradnicami geodeticom a snímoom súradnicoom systéme ritého bod je definoaný podmieno olinearity (projené centrm snímoý bod a odpoedajúci bod na teréne ležia na jednej priame (obr 40
de je r0 + rp = r0 + λ A r (5 r 0 ( 3 - etor priestoroých súradníc projeného centra O(x 0 y 0 0 r ( 3 - etor priestoroých súradníc bod P(x y λ r 3 - mieroý oeficient (salár ( - obraoý etor súradníc bod hadom na hlaný snímoý bod P ( = c A ( 3 3 - matica smeroých osínso (rotaných oeficiento torá rje hloú orientáci medi geodeticým a snímoým súradnicoým systémom poda schémy edenej tab Predpoladáme súasne že S a = = 0 Obr Kolineárny ah ritého bod geodeticom a snímoom súradnicoom systéme Matica smeroých osínso Taba x y x y x cosα x cosα y cosα a a a 3 y cosβ x cosβ y cosβ a a a 3 cosγ x cosγ y cosγ a 3 a 3 a 33 Prijatím - = c nine hodne orientoaný fotogrametricý systém s geodeticým súradnicoým systémom Zmena oplyje namiena fncií troch rotaných hlo ϕ ω κ torých ypoítame smeroé osínsy [9]: cosα x = - cosκ cosϕ - sinκ sinϕ cosν cosα y = sinκ cosϕ - cosκ sinϕ cosν 4
cosα = - sinϕ sinκ cosβ x = cosκ sinϕ - sinκ cosϕ cosν cosβ y = - sinκ sinϕ - cosκ cosϕ cosν (6 cosβ = - cosϕ sinν cosγ x = - sinκ sinν cosγ y = - cosκ sinν cosγ = cosν de ν = 00 g - ω Obraoý etor explicitnom yjadrení má tar: r = i + j + = A r r λ 0 (7 A ynásobíme ronic (7 salárne jednotoým etorom snímoom súradnicoom systéme a mysle ronice ( dosadíme a r = dostaneme: = A r r0 (8 λ Pre mieroý oeficient λ platí: λ = A r r (9 0 Ronic (9 dosadíme do ronice (7 a dostaneme: r = ( A r r A r r 0 (0 0 Ronic (7 prepíšeme na tar A r r0 = λ r ( Praá strana ronice λ r je etor torý dostaneme ta že snímoý etor r ynásobíme mieroým oeficientom λ be ohad na tar matice smeroých osínso A Vetor λ r onaíme symbolom r λ r Vetor r je pomocný etor yjadrený hadom na snímoý súradnicoý systém X Y Z prao na obr A onaíme súradnice etora r symbolmi etor r môžeme yjadri systéme jednotoých etoro i j a hadom na ah (3 tato: i j ( ( Poda ronice ( platí: i + j + (3 Ronic (3 jednodšene apíšeme poda (4 tare: 4
(4 Inernú matic A - matice smeroých osínso dostaneme transponoaním matice A [0] κ ω ϕ A = A A A = A = T 3 3 3 3 33 aá strana ronice ( bde: A ( r r0 = 3 3 3 3 33 x x0 y y0 (5 0 Dosadením roníc (4 a (5 do ronice ( a ropísaním ronice (5 dostaneme: a x x0 a y y0 a3 0 a x x a y y a = 0 0 3 0 (6 a x x a y y a 3 0 3 0 33 0 Vah (5 môžeme jednodšene apísa: A ( r r0 = i j = + + (7 A salárne ynásobíme ýra (7 jednotoým etorom menoate ýra (0 dostaneme ah pre A r r0 = i + j + (8 Po ynásobení a úprae je: A r r0 = (9 Do ronice (0 a ýra A ( r r0 dosadíme ah (7 a a ýra ( 0 ah (9: A r r r = (0 Súradnic nahradíme hodnoto onštanty fotoomory c poda ah = - c Po úprae ronice (0 dostaneme r = c ( 43
Vetor r ropíšeme na ložy a praíme praú stran ronice: = c ( 44 Vah ( ropíšeme na de ronice a a dosadíme hodnoty o ah (6 0 0 3 0 = c = c a x x a y y a a x x a y y a 3 0 3 0 33 0 = c = c a x x a y y a a x x a y y a 0 0 3 0 3 0 3 0 33 0 (3 Ronice (3 yjadrjú olineárny ah ritého bod geodeticom a snímoom súradnicoom systéme jednosnímoej fotogrametrie Snímoé súradnice x y sú fncio pro onajšej orientácie snímy a to súradníc projeného centra x 0 y 0 0 rotaných hlo ϕ ω κ geodeticých (modeloých súradníc x y a onštanty fofoomery c : ( = f x y ϕ ω κ x y c 0 0 0 ( = f x y ϕ ω κ x y c (4 0 0 0 Uhly rotácie snímy ϕ ω κ sú sryté oeficientoch matice (6 A a i j (tab ronice Na obr sme predpoladali nloé hodnoty súradníc hlaného snímoého bod A 0 a 0 roniciach (3 aé strany roníc sú a x = a y = (5 Zložy obraoého etora r potom majú tar: = c = c ( x x0 + ( y y0 + ( 0 ( x x0 + ( y y0 + ( 0 ( x x0 + ( y y0 + ( 0 ( x x + ( y y + ( x x x y y y 0 0 0 (6 Na yjadrenie priestoroých aho sú potrebné analogicé ahy aj pre drhý merasý snímo so snímoými súradnicami x a Ronice (6 praíme alej ta že ich edieme na spoloného menoateždý len itatea a menoatea ydelíme ýraom d = x cosα + y cosβ + cosγ 0 0 0 Ronice (6 nadobdnú tar: = = A x + B y + C A x + B y + C + D A x + B y + C A x + B y + C + D (7 (8
de D D A x0 + B y0 + C 0 = A x + B y + C + 3 0 3 0 3 0 A x0 + B y0 + C 0 = A x + B y + C + 3 0 3 0 3 0 Za onštanty A B C A B C A 3 B 3 C 3 sme položili ýray: A = ( x cosα + c cosα x d (9 B = ( x cosβ + c cosβ x d C = ( x cosγ + c cosγ x d A = ( y cosα + c cosα y d B = ( y cosβ + c cosβ y d (30 C = ( y cosγ + c cosγ y d A 3 = d cosα B 3 = d cosβ C 3 = d cosγ A ložíme poiato geodeticého súradnicoého systém do jedného lícoacích bodo (P a poiato snímoého súradnicoého systém do jeho obra (P potom pre body P(x p y p p a P (x p y p platí y p = x p = p = 0 a x p = y p =0 tedy ronice (9 D = 0 D = 0 (3 a ronice (8 pre aú sním bdú ma tar = = pre praú sním = = A x + B y + C A x + B y + C + A x + B y + C A x + B y + C + A x + B y + C A x + B y + C + A x + B y + C A x + B y + C + (3 (33 V prípade že sa jedná o olineárne ahy len medi snímoo a obraoo roino roniciach (3 x-oá geodeticá súradnica je roná nle a tým sa nám príslšne menší poet transformaných onštánt: 45
= = A y + B A y + B + 3 3 A y + B A y + B + 3 3 (34 Vah medi súradnicami geodeticom a fotogrametricom súradnicoom systéme sa môže ododi doma spôsobmi: - rením úplnej orientácie aej a praej snímy yíslením 9-ich nenámych pro x 0 y 0 0 x y c ϕ ω κ pre aú a praú sním [4] - rením 8-tich transformaných onštánt: A B C až A B C Obida spôsoby riešenia yžadjú minimálne 6 hodne priestoroo roložených lícoacích bodo torých ponáme ich geodeticé a fotogrametricé súradnice Väší poet lícoacích bodo možje apliáci s yronaním MNŠ Pri roinnej olineárnej transformácii je neyhntný poet lícoacích bodo roný 4 3 Analýa nmericého riešenia analyticej fotogrametrie Nmericé riešenie olineárnej priestoroej (podobne i roinnej transformácie je aložené na riešení 9-ich transformaných onštánt A B a C3 pre aý snímo a A B až C 3 pre praý snímo Za týmto úelom praíme ronice pre aú sním (3: A x + B y + C A x B y C = 0 + A x + B y + C A x B y C = 0 (35 Do roníc (35 dosadíme redoané geodeticé a fotogrametricé súradnice 5-tich lícoacích bodo redoaných poiat 6 bode Dostaneme ta 0 roníc o 9-tich nenámych Sústa roníc riešime napr Gassoo eliminano metódo s ýberom hlaného pr a spresnením nenámych metódo reídí Týmto riešením ytárame hornotrojholníoú matic obsahjúc na mieste piota najäší pro matice Do desiatej ronice sa ta aradí a na ýpote sa neúastní najmenej hodnotná ronica hadisa definície transformaných onštánt Ronaým spôsobom sa ypoíta etor transformaných oeficiento A B a C3 pre praú sním Geodeticé súradnice lícoacích a pooroaných bodo x y poítame praených roníc (3 a (33: ( A A3 x + ( B B3 y + ( C C3 = 0 ( A A3 x + ( B B3 y + ( C C3 = 0 ( A A3 x x + ( B B3 x y + ( C C3 x = 0 ( A A x + ( B B y + ( C C y = 0 3 3 3 (36 V prípade že je dispoícii iac ao 6 lícoacích bodo transformané oeficienty pre aý a praý snímo sa ypoítajú s yronaním MNŠ Vtedy linearijeme ronice (6 roojom do Tayloroho rad Pretorené podmienoé ronice majú tar (35 46