Κατανομές Πιθανοτήτων. Γεωργία Φουτσιτζή, Καθηγήτρια, Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ακαδ.

Κατανομές Πιθανοτήτων Γεωργία Φουτσιτζή, Καθηγήτρια, Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ακαδ. Έτος 2018-2019 1

Περιεχόμενα Ενότητας Βασικές έννοιες από τη θεωρία Πιθανοτήτων Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανοτήτων o Διακριτή τ.μ. o Συνεχής τ.μ. Συνάρτηση Κατανομής Χαρακτηριστικές Τιμές Θεωρητικές Κατανομές Κατανομές στην R Γραφικός Έλεγχος Καταλληλόλητας Κατανομής 2

Βασικές έννοιες από τη θεωρία Πιθανοτήτων Πείραµα Τύχης: µια διαδικασία της οποίας το αποτέλεσµα δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων (π.χ ρίξιµο ζαριού, στρίψιµο νοµίσµατος, γέννηση παιδιού κ.λ.π.). Δειγµατικός Χώρος είναι το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσµάτων ενός τυχαίου πειράµατος. Ο δειγµατικός χώρος συµβολίζεται συνήθως µε το γράµµα Ω ή S. Ενδεχόµενο: κάθε υποσύνολο του δειγµατικού χώρου. 3

Βασικές έννοιες από τη θεωρία Πιθανοτήτων Λέμε ότι ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται, εάν το αποτέλεσμα του πειράματος ανήκει στο ενδεχόµενο. Τότε το αποτέλεσμα αυτό ονομάζεται Ευνοϊκό για το ενδεχόµενο. Αν τα Ν στοιχεία του δειγματικού χώρου Ω έχουν την ίδια δυνατότητα να πραγματοποιούνται, τότε για το ενδεχόμενο Α με n στοιχεία, η πιθανότητα του Α ή P(A) είναι το πηλίκο P A = n N 4

Βασικές έννοιες από τη θεωρία Πιθανοτήτων Βασικές ιδιότητες της πιθανότητας είναι: Η πιθανότητα είναι μη αρνητική, δηλαδή για ένα ενδεχόμενο Α: P(A) 0 Η πιθανότητα για όλα τα ενδεχόμενα ισούται με τη μονάδα: P(Ω)=1 Η πιθανότητα είναι προσθετική: P A B P A P B για τα ενδεχόμενα Α και Β με A B. 5

Τυχαίες Μεταβλητές Tυχαία Mεταβλητή (X) είναι μια μεταβλητή της οποίας η τιμή είναι αποτέλεσμα τυχαίου γεγονότος. Τυχαία μεταβλητή (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν αριθμό. Ω ω x R 6

Τυχαίες Μεταβλητές Μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να περιγράφει: Με το σύμβολο της, π.χ. το Χ (παντοτε κεφαλαίο) Με την περιοχή τιμών της: π.χ. Χ Με την περιγραφή της κατανομής των τιμών της x (οι τιμές που παίρνει η μεταβλητή συμβολίζονται με μικρό γράμμα) Η σχέση Χ=x συμβολίζει το ότι η τυχαία μεταβλητή Χ πήρε την τιμή x 7

Τυχαίες Μεταβλητές Η Χ είναι διακριτή εάν παίρνει τιμές από ένα πεπερασμένο σύνολο διακεκριμένων τιμών, π.χ. στο παράδειγμα του ζαριού από το σύνολο {1,2,3,4,5,6}, είτε από ένα σύνολο άπειρο μεν αλλά αριθμήσιμο (το λέμε αριθμήσιμο) π.χ. από το σύνολο των θετικών φυσικών {1,2,3,4,5,...} Η Χ είναι συνεχής εάν παίρνει (άπειρες) τιμές σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών π.χ. αν Χ εκφράζει το ύψος σε μέτρα των δέντρων ενός δάσους που παίρνει τιμές στο διάστημα (1,30) ή αν Χ εκφράζει το χρόνο που μεσολαβεί μεταξύ δύο τηλεφωνικών κλήσεων σε ένα τηλεφωνικό κέντρο, που παίρνει τιμές στο διάστημα (0,+ ) 8

Κατανομές Πιθανοτήτων - Διακριτή τ.μ. Έστω X μια διακριτή τυχαία μεταβλητή με σύνολο x, x,, x,. Η συνάρτηση που δυνατών τιμών ορίζεται από τον τύπο X 1 2 f : 0,1, f x P X x X i n, i 1,2,, n, ονομάζεται Συνάρτηση (Μάζας) Πιθανότητας της τ.μ. X. Ιδιότητες i) P X x 0 για κάθε x ii) P X x 1 Οι ιδιότητες αυτές δίνουν τις ικανές και αναγκαίες συνθήκες που πρέπει να πληροί µία συνάρτηση για να είναι συνάρτηση πιθανότητας. i 9

Κατανομές Πιθανοτήτων-Συνεχής τ.μ. Η μεταβλητή Χ ακολουθεί συνεχή κατανομή (είναι δηλαδή συνεχής τυχαία μεταβλητή) εάν υπάρχει συνάρτηση f, την οποία θα καλούμε συνάρτηση πυκνότητα πιθανότητας (pdf), που μας δίνει την πιθανότητα για οποιοδήποτε διάστημα ( a, b) σύμφωνα με τον τύπο Η f(x) πληροί τις προϋποθέσεις α) f ( x) 0 για κάθε x P ( a X b) f ( x) dx b a b) f ( x) dx 1 10

(Αθροιστική) Συνάρτηση Κατανομής (cdf ) Έστω Χ τυχαία μεταβλητή, διακριτή ή συνεχής. Ορίζουμε την συνάρτηση κατανομής (cumulative distribution function) F της Χ ως F( y) P( X y) δηλαδή η F(y) είναι η πιθανότητα η μεταβλητή να παίρνει τιμή μέχρι και y. Aν Χ διακριτή, F( y) p( x j ) x j y Aν Χ συνεχής, F ( y) y f ( x) dx 11

Χαρακτηριστικές τιμές κατανομής Μέση Τιμή (Αναμενόμενη Τιμή) α) Αν Χ διακριτή μεταβλητή που παίρνει τις τιμές x,, 2 με αντίστοιχες πιθανότητες p ( x1 ), p( x2 ), E( X ) x p( x ) i i i 1 x β) Αν Χ συνεχής μεταβλητή με σ.π.π. f(x). E( X ) xf ( x) dx 12

Γενικότερα αποδεικνύεται ότι η μέση τιμή μιας τ.μ. Υ = g(x) θα είναι E( Y ) g xi p( xi) ( X ή..) i E( Y ) g x f ( x) dx ( X ή..) 13

Διασπορά Έστω Χ τυχαία μεταβλητή (διακριτή ή συνεχής). Η διασπορά της Χ συμβολίζεται με V(X) (είτε με σ 2 ) και ορίζεται ως η μέση τιμή της (Χ-μ) 2, δηλαδή V ( X ) E [ X ] 2 Η τιμή V (X ) είναι γνωστή ως τυπική απόκλιση της Χ. Ισοδύναμος τύπος V 2 2 ( X ) E( X ) 14

Παράδειγμα 1 Πείραμα τύχης : Ρίψη 2 νομισμάτων Δειγματικός χώρος Ω ={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ} Τυχαία μεταβλητή Χ: αριθμός εμφάνισης όψης "Γ Η τυχαία μεταβλητή Χ λαμβάνει τις τιμές 0,1,2 με αντίστοιχες πιθανότητες Ρ(Χ=0)=1/4 Ρ(Χ=1)=2/4 Ρ(Χ=2)=1/4 15

Παράδειγμα 1 (συνέχεια) Κατανομή πιθανότητας xi pi 0 ¼ 1 2/4 2 1/4 1 Μέση τιμή Ε(Χ)=0*1/4+1*2/4+2*1/4=1 Διακύμανση V(Χ)=1/4*(0-1) 2 +2/4*(1-1) 2 +1/4*(2-1) 2 =2/4 16

Παράδειγμα 2 Έστω Χ συνεχής τυχαία μεταβλητή με pdf Η μέση τιμή της Χ είναι f ( x) 1 1 x, x, 1 0 x x 0 1 E( X ) xf ( x) dx 1 1 xf ( x) dx x( 1 x) dx x ( 1 x) dx 0 1 1 0 0 1 ( x x 2 ) dx ( x x 2 ) dx 1 0 2 x 2 3 x 3 0 1 x 2 2 3 x 3 1 0 0 17

Παράδειγμα 2 (συνέχεια) 18 Για τη διασπορά, βρίσκουμε πρώτα dx x f x X E ) ( ) ( 2 2 0 1 2 ) 1 ( dx x x 1 0 2 ) 1 ( dx x x 0 1 3 2 ) ( dx x x 1 0 3 2 ) ( dx x x 0 1 4 3 4 3 x x 6 1 4 3 1 0 4 3 x x οπότε, 6 1 0 6 1 ) ( ) ( 2 2 2 X E X V

Θεωρητικές Κατανομές Διακριτές Κατανομές Διωνυμική κατανομή Κατανομή Poisson Συνεχείς Κατανομές Ομοιόμορφη Κατανομή Κανονική κατανομή Εκθετική κατανομή 19

Διακριτές κατανομές Διωνυμική κατανομή Έστω μία τυχαία διαδικασία στην οποία διακρίνουμε δύο αποτελέσματα(ενδεχόμενα). Σε κάθε επανάληψη («δοκιμή») της τυχαίας διαδικασίας, πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Ε(«επιτυχία») ή το συμπληρωματικό του E ', με πιθανότητες P( E) p P( E ') 1 p q και 20

Η τυχαία μεταβλητή Χ: αριθμός εμφάνισης του ενδεχομένου E σε n δοκιμές ή Χ: αριθμός «επιτυχιών» σε n δοκιμές, ακολουθεί την διωνυμική κατανομή με πεδίο ορισμού {0,1,2,. n} Συνάρτηση πιθανότητας όπου n P X x p p x n n! x x! n x! x 1, 0 p 1 και q1 p. nx Μέση τιμή Διακύμανση E( X ) n* p V ( X ) n* p* q 21

Διωνυμική Κατανομή Μορφή της κατανομής 22

Πεδία εφαρμογής Ρίψη ενός νομίσματος Επιλογή αντικειμένων σε ελαττωματικά ή μη Αποτελέσματα εξετάσεων (αποτυχία ή επιτυχία) 23

Παράδειγμα: Το χαρτοφυλάκιο μετοχών, που προτείνεται από έναν επενδυτή αποτελείται από 8 μετοχές διαφόρων κλάδων. Οι διακυμάνσεις στην τιμή των μετοχών είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Η πιθανότητα να μειωθεί η τιμή μιας μετοχής είναι 0.6. Έστω η τυχαία μεταβλητή Χ: αριθμός μετοχών που παρουσιάζουν μείωση στην τιμή τους. Η τ.μ Χ ακολουθεί διωνυμική κατανομή με n=8, p=0.6 Μέση τιμή Ε(Χ)=8*0.6=4.8 Διακύμανση Δ(Χ)=8*0.6*0.4=1.92 Η πιθανότητα να μειωθεί η τιμή 5 μετοχών είναι PX 8 5 5 3 ( 5) 0.6 *0.4 0.2787 24

Κατανομή πιθανότητας x i p 0 0.0007 1 0.0079 2 0.0413 3 0.1239 4 0.2322 5 0.2787 6 0.2090 7 0.0896 8 0.0168 i 0,3 Pi 0,2 0,1 0,0 Διωνυμική n=8 p=0.6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Xi 25

Κατανομή Poisson Έστω ότι 1) Σε κάθε διάστημα χρόνου ή χώρου ένα ενδεχόμενο μπορεί να συμβεί ή να μη συμβεί. Η εμφάνιση του ενδεχομένου καλείται συνήθως επιτυχία ενώ η μη εμφάνιση του αποτυχία. 2) Ο αριθμός των τυχαίων ενδεχομένων που πραγματοποιούνται σε ένα διάστημα χρόνου ή χώρου, δεν έχει καμιά επίδραση στον αριθμό των τυχαίων ενδεχομένων που πραγματοποιούνται σε ένα οποιοδήποτε άλλο διάστημα χρόνου ή χώρου. 3) Η πιθανότητα εμφάνισης (ή μη εμφάνισης ) ενός ενδεχομένου σε ένα διάστημα χρόνου ή χώρου παραμένει σταθερή για όλη τη διάρκεια του φαινομένου. 26

Κατανομή Poisson Εάν για μια διαδικασία που εξελίσσεται με το χρόνο ισχύουν οι προϋποθέσεις 1)-3) και Χ είναι η τ.μ.: ο αριθμός των τυχαίων ενδεχομένων που πραγματοποιούνται σε ένα χρονικό διάστημα τότε η Χ ακολουθεί την κατανομή Poisson P(λ) με παράμετρο λ, το μέσο αριθμό επιτυχιών σε ένα διάστημα χώρου ή χρόνου και η συνάρτηση πιθανότητάς είναι x, 0,1,2, P X x e x x! με 0 και e = 2,7183 είναι η βάση των νεπέρειων λογαρίθμων. 27

Κατανομή Poisson Χαρακτηριστικές τιμές Μέση Τιμή: E X Διακύμανση: V X 28

Κατανομή Poisson Μορφή της κατανομής 29

Πεδία εφαρμογής Η κατανομή Poisson περιγράφει την μεταβλητότητα σε τυχαίες διαδικασίες, όπως αριθμός ατυχημάτων, αριθμός αφίξεων, ζήτηση προϊόντος, σε ορισμένο χρονικό διάστημα X μετράει το πλήθος των πελατών που ϕτάνουν σε ένα κατάστημα.(λ: είναι το πλήθος των πελατών που ϕτάνουν στην μονάδα του χρόνου.) X μετράει το πλήθος των τηλεφωνημάτων που ϕτάνουν σε ένα τηλεφωνικό κέντρο. (λ: είναι το πλήθος των τηλεφωνημάτων που ϕτάνουν στην μονάδα του χρόνου.) 30

Παράδειγμα: Από ένα σηματοδότη διέρχονται κατά μέσον όρο, 3 οχήματα ανά 10 δευτερόλεπτα. Η τυχαία μεταβλητή Χ: Αριθμός οχημάτων που διέρχονται ανά 10 δευτερόλεπτα, ακολουθεί κατανομή Poisson με παράμετρο λ=3. Η πιθανότητα να διέλθουν 5 οχήματα σε 10 δευτερόλεπτα είναι Κατανομή πιθανότητας λ=3 5 3 3 e P( X 5) 0.1008 5! 0,2 Pi 0,1 0,0 0 1 2 3 4 Xi 5 6 7 8 9 31

Συνεχείς Κατανομές Ομοιόμορφη Κατανομή Κανονική Κατανομή Εκθετική Κατανομή 32

Ομοιόμορφη Κατανομή Η τ.μ. Χ λέμε ότι ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [α, b] όταν το Χ είναι το ίδιο πιθανό να πάρει τιμές σε οποιαδήποτε υποδιάστημα μεταξύ του α και του b. Γράφουμε X~U[a, b] Με σ.π.π. f x = ቐ 1 b a, a x b 0, αλλού 33

Ομοιόμορφη Κατανομή Αν X~U[a, b] Μέση Τιμή Διακύμανση E X = a+b 2 Var X = (b a)2 12 34

Ομοιόμορφη Κατανομή Πεδίο εφαρμογής Για συνεχείς μεταβλητές που κατανέμονται ομοιόμορφα σε ένα ορισμένο διάστημα [a,b] Η δημιουργία τυχαίων αριθμών. Οι τυχαίοι αριθμοί είναι τιμές της ομοιόμορφης κατανομής σ ένα διάστημα [a,b] 35

Συνεχείς κατανομές Κανονική κατανομή Θεωρητικό υπόδειγμα πιθανότητας, που αποτελεί πολύ καλή προσέγγιση για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές με συμμετρική κατανομή. Περιγράφει την μεταβλητότητα πολλών συνεχών τυχαίων μεταβλητών, όπως ύψος, βάρος, διάρκεια λειτουργίας. Αποτελεί ικανοποιητική προσέγγιση ασυνεχών κατανομών πιθανότητας (Διωνυμικής, Poisson). Αποτελεί την βάση της στατιστικής επαγωγής, διότι ο μέσος όρος μεγάλου αριθμού παρατηρήσεων ακολουθεί προσεγγιστικά κανονική κατανομή με βάση το κεντρικό οριακό θεώρημα. 36

Κανονική κατανομή Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας 1 f( x) 2 1x 2 μ: μέση τιμή της κατανομής σ: τυπική απόκλιση της κατανομής e 2 37

Ιδιότητες Κανονικής Κατανομής Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x) είναι κωδωνοειδής καμπύλη, συμμετρική ως προς την ευθεία x=μ, η οποία καθορίζει το μέσον της κατανομής. Αν η τ.μ Χ ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και τυπική απόκλιση σ, συμβολίζεται με Χ~ Ν (μ, σ). Μία κανονική κατανομή με μέση τιμή μ=0 και τυπική απόκλιση σ=1, καλείται τυποποιημένη κανονική κατανομή και συμβολίζεται ως Ν(0,1). Αν Χ~ Ν (μ, σ), η μεταβλητή Z X N(0,1) 38

Άλλες Ιδιότητες της κανονικής κατανομής P X 0.683 P P 2 X 2 0.95 3 X 3 0.997 39

Περιπτώσεις εφαρμογής Μέτρηση ύψους, ϐάρους, ϐαθμολογίας κ.λ.π. 40

Παράδειγμα: Ο χρόνος ζωής ηλεκτρονικών συσκευών προσεγγίζει κανονική κατανομή με μέση τιμή 12 έτη και τυπική απόκλιση 4.2 έτη. Αν οι συσκευές έχουν εγγύηση για 2 έτη, να υπολογισθεί το ποσοστό των συσκευών που θα έχουν χρόνο ζωής μικρότερο από την εγγύηση. Η τυχαία μεταβλητή Χ: χρόνος ζωής, ακολουθεί προσεγγιστικά κανονική κατανομή δηλαδή Χ ~ Ν(12, 4.2) Η μεταβλητή Z X 12 4,2 N(0,1) 2 12 P( X 2) P( Z ) P( Z 2.38) F( 2.38) 1 F(2.38) 1 0.99134 0.00866 4.2 Το ποσοστό των συσκευών είναι 0,866% Ισχύει λόγω συμμετρίας της κανονικής κατανομής F(-α) =1-F(α) Από τους πίνακες της τυποποιημένης κανονικής κατανομής, η τιμή της συνάρτησης κατανομής, είναι F(2.38) =0.99134 41

Η πιθανότητα PX ( 2) είναι το εμβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη f( x) της κατανομής και την κάθετη ευθεία στο σημείο x=2. 0,10 Κανονική κατανομή μ=12 σ=3.4 0,08 f(x) 0,06 0,04 0,02 0,0887 0,00 12 42

Εκθετική κατανομή Η εκθετική κατανομή προσεγγίζει την κατανομή σχετικών συχνοτήτων του χρόνου μεταξύ δύο τυχαίων γεγονότων π.χ ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ των αφίξεων σε σημείο εξυπηρέτησης, χρόνος μεταξύ διαδοχικών βλαβών. Το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί μέχρι την εμφάνιση του πρώτου τυχαίου γεγονότος, ακολουθεί επίσης εκθετική κατανομή. Μέση τιμή Διακύμανση EX ( ) Var( x) Συνάρτηση κατανομής 1 1 1 2 Τυπική απόκλιση t F( x) P( X x) e 1e x 0 x 43

Παράδειγμα: Ο χρόνος αναμονής των ασθενών στα εξωτερικά ιατρεία ενός νοσηλευτικού ιδρύματος ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή μ=50 λεπτά. Να υπολογισθεί η πιθανότητα, ο χρόνος αναμονής να είναι α) μικρότερος από 40 λεπτά β) μεγαλύτερος από μία ώρα. Η τ.μ Χ: χρόνος αναμονής ακολουθεί εκθετική κατανομή. Η παράμετρος λ=1/μ=1/50. α) 1 40 50 0.8 e e P( X 40) 1 1 1 0.4493 0.5507 β) 60 50 1.2 P( X 60) e e 0.3011 44

Η παράμετρος λ καθορίζει την καμπύλη της εκθετικής κατανομής. Στο διάγραμμα απεικονίζονται καμπύλες της εκθετικής κατανομής για διάφορες τιμές του λ. 2,0 1,5 1,0 λ=0.5 0,5 λ=1 λ=2 0,0 0 2 4 X 6 8 10 45

Άλλες Συνεχείς Κατανομές Άλλες τρεις σημαντικές συνεχείς κατανομές οι οποίες προκύπτουν από μετασχηματισμούς κανονικών μεταβλητών και έχουν μεγάλη εφαρμογή στην επαγωγική στατιστική: Η t κατανομή (ή student), η χ 2 Κατανομή, και η F Κατανομή. 46

Η t κατανομή (ή student) Εδώ το γράμμα t χρησιμοποιείται για να παραστήσει την τυχαία μεταβλητή, από το όνομα. Η συνάρτηση της πυκνότητας για την t κατανομή είναι η ακόλουθη ν είναι οι βαθμοί ελευθερίας, και a1 y a y e dy 0 Γ(k)=(k-1)(k-2) (2)(1) (η γάμμα συνάρτηση) 8.47

Η t κατανομή (ή student) Όπως και στην τυπική κανονική κατανομή, η t κατανομή έχει το σχήμα του «βουνού» και είναι συμμετρική ως προς το μηδέν: Η μέση τιμή και η διακύμανση της t τυχαίας μεταβλητής είναι E(t) = 0 και V(t) = για > 2. 48

Η t κατανομή (ή student) Με τον ίδιο τρόπο όπως μ και σ καθορίζουν την κανονική κατανομή, ν, οι βαθμοί ελευθερίας, καθορίζουν την t κατανομή: Καθώς ο αριθμός των βαθμών ελευθεριών αυξάνει, η t κατανομή προσεγγίζει την τυπική κανονική κατανομή. 49

Η Κατανομή χ 2 Η συνάρτηση πυκνότητας χ 2 δίνεται από τον τύπο: Όπως πριν, η παράμετρος ν είναι ο αριθμός των βαθμών ελευθεριών. 50

Η Κατανομή χ 2 Παρατηρήσεις: Η χ 2 κατανομή δεν είναι συμμετρική Το τετράγωνο, χ 2, επιβάλει μη-αρνητικές τιμές (δηλαδή ο υπολογισμός P(χ 2 < 0) δεν έχει νόημα). Πίνακες με τιμές της χ 2 είναι βολικοί για να υπολογίσουμε πιθανότητες της μορφής: A P(χ 2 2 > ) = A: 51

Η Κατανομή χ 2 52

Η F Κατανομή Η συνάρτηση πυκνότητας της F κατανομής δίνεται από τον τύπο: F > 0. Δυο παράμετροι καθορίζουν την κατανομή, και όπως ήδη έχουμε δει αυτοί είναι ξανά οι βαθμοί ελευθερίας. ν 1 είναι οι βαθμοί ελευθερίας του αριθμητή και ν 2 είναι οι βαθμοί ελευθερίας του παρανομαστή 53

Η F Κατανομή Η μέση τιμή και η διακύμανση της F τυχαίας μεταβλητής δίνεται από τον τύπο: και Η F κατανομή, όπως και η χ 2, αρχίζει από το 0 (είναι μη-αρνητική) και δεν είναι συμμετρική. 54

Κατανομές στην R Στην R υπάρχουν πολλές συναρτήσεις που σχετίζονται με γνωστές κατανομές και υπολογισμό ποσοτήτων από αυτές. Κάθε συνάρτηση έχει ένα όνομα που αρχίζει με ένα από τα ακόλουθα γράμματα, τα οποία καθορίζουν το είδος της συνάρτησης: r: Γεννήτρια τυχαίων αριθμών. p: Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας (σ.κ.π.) F(x). d: Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (σ.π.π.) ή Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας (σ.μ.π.), f(x). q: Υπολογισμός Ποσοστιαίων σημείων ή ισοδύναμα αντίστροφη Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας F -1 (x) (δηλαδή το σημείο x: P(X x)>q για καθορισμένο q). 55

Κατανομές στην R Εντολή Κατανομή Εντολή Κατανομή beta Βήτα hyper Υπεργεωμετρική norm Κανονική unif Ομοιόμορφη pois Poisson cauchy Cauchy nbinom Αρνητική Διωνυμική weibull Weibull gamma Γάμμα chisq X 2 t Student exp Εκθετική binom Διωνυμική geom Γεωμετρική f Snedecor mvnorm Πολυμεταβλητή Κανονική Με την βοήθεια του help μπορείτε να δείτε τι παραμέτρους παίρνουν οι εν λόγω συναρτήσεις, π.χ. > help("dnorm") 56

Κατανομές στηνr Παραδείγματα: > pnorm(3,2,2) Υπολογίζει την σ.κ.π. της Κανονικής κατανομής με [1] 0.6914625 μέσο 2 και τυπική απόκλιση (ΟΧΙ διασπορά) 2 στο > qgamma(0.3,1,1) σημείο 3. [1] 0.3566749 Βρίσκει το 0.3 ποσοστιαίο σημείο της Γάμμα > dt(2,3) κατανομής με παραμέτρους 1 και 1. [1] 0.06750966 Υπολογίζει την σ.π.π. της Student κατανομής με > runif(5,-2,2) 3 βαθμούς ελευθερίας στο σημείο 2. [1] 1.3448055-0.4691324 1.2517269 1.5576504 0.9563447 Δημιουργεί 5 τυχαίους αριθμούς από την ομοιόμορφη στο (-2,2). 57

Κατανομές στην R Τα ορίσματα των συναρτήσεων μπορεί να είναι και διανύσματα, π.χ. > dexp(1:5,2) [1] 2.706706e-01 3.663128e-02 4.957504e-03 6.709253e-04 9.079986e-05 Υπολογίζει την σ.π.π. της Εκθετικής κατανομής με παράμετρο 2 στα σημεία 1,2,3,4 και 5. Υπάρχουν για πολλές κατανομές προκαθορισμένες τιμές στις παραμέτρους, π.χ. η εντολή rnorm(50) (λείπουν οι τιμές για τις 2 παραμέτρους) γεννάει 50 τιμές από την Κανονική κατανομή με μέσο 0 και τυπική απόκλιση 1 (0 και 1 αντίστοιχα οι προκαθορισμένες τιμές). 58

Κατανομές στην R Μπορούμε να βρούμε και την 1-F. Π.χ. αν Χ~Student(10) τότε για να βρούμε την P(X 2) πληκτρολογούμε > pt(2,10) [1] 0.963306 ενώ για να βρούμε την P(X>2) πληκτρολογούμε > pt(2,10, lower.tail=false) [1] 0.03669402 59

Κατανομές στην R Υπάρχει η δυνατότητα οι προηγούμενες συναρτήσεις (με αρχικά p και d) να είναι σε λογαριθμική κλίμακα > pnorm(3,2,2) [1] 0.6914625 > pnorm(3,2,2, log=t) [1] -0.3689464 > dt(2,3) [1] 0.06750966 > dt(2,3, log=t) [1] - 2.695485 60

Γραφικές Παραστάσεις Κατανομών Για να δούμε την γραφική παράσταση μιας σ.π.π. ή σ.μ.π. δημιουργούμε μια ακολουθία τιμών και παίρνουμε το γράφημα της σ.π.π. ή σ.μ.π. υπολογισμένης στην ακολουθία τιμών. 61

Γραφικές Παραστάσεις Κατανομών Παράδειγμα x<- seq(0,10,0.01) plot(x, dgamma(x,1,1), type="l") Γάμμα Κατανομή με παραμέτρους (1,1) 62

Γραφικές Παραστάσεις Κατανομών Διωνυμική Κατανομή με Παραμέτρους n=6 και p=0.1 > n<- 6 > p<- 0.1 > x<- 0:6 > pr<- dbinom(x,n,p) > plot(x, pr, type="h, xlim=c(0,6), ylim=c(0,1),col="blue",ylab="p") > points(x,pr,pch=20,col="dark red") 63

Γραφικός Έλεγχος Καταλληλόλητας Κατανομής Όπως αναφέραμε και στην εισαγωγή στην παραμετρική στατιστική υποθέτουμε ότι γνωρίζουμε την κατανομή του υπό μελέτη χαρακτηριστικού του πληθυσμού. Μπορούμε να ελέγξουμε γραφικά αυτήν την υπόθεση Ο πιο απλός τρόπος είναι να κάνουμε το ιστόγραμμα των τιμών του δείγματός μας και να το συγκρίνουμε με την γραφική παράσταση της υποτιθέμενης κατανομής 64

Γραφικός Έλεγχος Καταλληλόλητας Κατανομής Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε τα δεδομένα: 1.2126793, 0.1811545, 12.6740008, 12.1543243, 18.2933201, 8.3776755, 11.7624305, 14.6615550, 21.375643, 3.1409630, 8.7359266, 13.5479024, 10.9576792, 17.420468, -6.7201282, 7.3268606, 13.8451238, 8.7802663, 34.4452373, - 5.2785726 Το ιστόγραμμα μας λέει ότι η υπόθεση της κανονικότητας των εν λόγω δεδομένων δεν είναι παράλογη 65

Γραφικός Έλεγχος Καταλληλόλητας Κατανομής 66

Γραφικός Έλεγχος Καταλληλόλητας Κατανομής Αντί για ιστόγραμμα μπορούμε να απεικονίσουμε την μη παραμετρική εκτιμήτρια της σ.π.π., με βάση τις παρατηρήσεις και με την βοήθεια της εντολής density στην R plot(density(x)) 67

Γραφικός Έλεγχος Καταλληλόλητας Κατανομής 68

Γραφικός Έλεγχος Καταλληλόλητας Κατανομής Ειδικά για να ελέγξουμε αν τα δεδομένα προέρχονται από την Κανονική κατανομή κάνουμε μια γραφική παράσταση των δειγματικών ποσοστημορίων ως προς τα θεωρητικά ποσοστημόρια της Κανονικής Κατανομής (QQ- PLOT). Όσο πιο κοντά στην γραμμή που αναπαριστά τα θεωρητικά ποσοστημόρια είναι τα σημεία, που με την σειρά τους αναπαριστούν τα δειγματικά ποσοστημόρια, τόσο καλύτερη προσαρμογή έχουμε. > qqnorm(x) > qqline(x) 69

Γραφικός Έλεγχος Καταλληλόλητας Κατανομής Στην R η εντολή qqnorm(x) απεικονίζει τα στοιχεία (zi,yi), i=1,2,,n όπου yi τα ποσοστιαία σημεία των δεδομένων (κατά αύξουσα σειρά), ενώ zi= τα αντίστοιχα ποσοστιαία σημεία της Τυποποιημένης Κανονικής Κατανομής Αν τα σημεία του εν λόγω διαγράμματος βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία τότε η υπόθεση της κανονικότητας ικανοποιείται Με την εντολή qqline(x) δημιουργούμε την ευθεία που διέρχεται από το 1 ο και το 3 ο τεταρτημόριο 70

Γραφικός Έλεγχος Καταλληλόλητας Κατανομής 71