c) 9 6 0 d) 6 0
0 Culegere de robleme e) 9 6 0 f) 0 9 6 9 GA XI. Pentru hierbola ( H ): să se calculee aria triunghiului format de asimtotele hierbolei (H) şi dreata ( d ): 9. a) b) 6 c) d) e) f) GA XI. Să se calculee rodusul distanţelor unui unct oarecare al hierbolei : la cele două asimtote. b a a b a) ; a b a b b) ; a b a b c) ; a b a b d) ; a b a b e) ; a b f). GA XI. 9 Se consideră hierbola de ecuaţie. O secantă aralelă cu b a aa (O) taie curba în unctele M şi N M fiind e aceeaşi ramură a curbei ca şi vârful A. Fie T intersecţia dretei (MN) cu tangenta în A la hierbolă. Să se determine m R astfel ca să aibe loc relaţia : b TM TN ma AT 0 a) m - b) m c) m - d) m e) m f) m GA - XI. 0 Se consideră hierbola de ecuaţie: 0şi dreata (d) de ecuaţie: - - 0. Să se scrie ecuaţiile tangentelor la hierbolă aralele cu dreata (d). a) - - 0 şi - 0 b) - - 0 şi - 0 c) - - 0 şi - 0 d) - - 0 şi - 0
Geometrie analitică XI e) - - 0 şi - 0 f) - 0 şi 0 GA - XI. Fie hierbola echilateră a cu vârfurile A şi A'. Să se afle locul geometric al intersecţiei dretei ( MA' ) cu simetrica dretei (MA) faţă de aa ( AA' ) M fiind un unct mobil e hierbolă. a) hierbola echilaterală c) elisa a a e) hierbola a a a b) cercul d) cercul a a f) elisa a a GA - XI. Să se scrie ecuaţiile tangentelor la hierbola unctul (0). rin 9 a) - 0 b) - 0 c) - 6 0-0 - 0-6 0 d) ± - 6 0 e) - ± 0 f) - 0-0 0 GA - XI. Se consideră hierbola de vârfuri A( a 0) A'(-a0) şi focare F( c0) şi F'( c0). Perendiculara în A e aa (AA') taie o asimtotă în G. Să se determine mărimea unghiului FGF'. π π π π a) b) c) d) e) arctg f) arctg GA - XI. Să se determine unghiul ascuţit dintre asimtotele hierbolei c având raortul c - fiind abscisa unui focar al hierbolei. a b a a) 0 b) c) 90 d) e) f) 60 GA - XI. Un cerc de centru C(0) este tangent ramurilor hierbolei
Culegere de robleme 0. Să se determine coordonatele unctelor de contact. şi b) şi a) ( ) ( ) d) şi c) şi e) (0) şi (-0) f) ( ) şi ( ) A ( a 0) GA XI. 6 O hierbolă de centru O şi semiae a şi b are vârfurile şi situate e aa transversală (O). Un unct mobil M al hierbolei se A ( a 0) roiecteaă în N e aa (O) iar P este mijlocul segmentului MN. Să se afle locul geometric al unctului G centrul de greutate al triunghiului AP A. Ce este acesta? a b a) cerc de raă r ab b) elisă de semiae şi. 6 c) hierbolă de semiae 6 a şi b e) hierbolă de semiae a şi 6 b d) arabolă de arametru ab f) elisa de semiae a şi 6 b GA XI. Ce este locul geometric al unctelor de unde se ot duce tangente ortogonale la hierbola 0 ( a > b)? a b a) dreată; b) cerc; c) elisă; d) arabolă; e) hierbolă; f) segment de dreată GA - XI. Pe aa (O) a reerului carteian (O) se iau unctele M şi N astfel încât rodusul absciselor lor să fie constanta a. Prin M şi N se duc două drete (MP)
Geometrie analitică XI şi (NP) având coeficienţii unghiulari egali resectiv cu b a şi b a ab (0 se afle locul geometric al unctului P. a) elisă b) hierbolă c) arabolă d) cerc e) dreată f) ătrat ). Să GA - XI. 9 Se dă hierbola. Prin unctul A( -) să se ducă o coardă la hierbolă astfel încât acest unct s-o îmartă în două ărţi egale. a) - 0 b) - 0 c) - 0 d) - 0 e) - 0 f) - 0 0 GA - XI. 0 Să se determine coordonatele focarului F al arabolei a) F 0 b) ( 0) d) F 0 e) 0 F c) F ( 0) F f) F ( 0) GA - XI. Prin focarul arabolei se duce o coardă AB care face unghiul α cu aa (O). Dacă rin focar se mai duce şi corda CD care este erendiculară e AB să se calculee suma S AB CD a) b) c) d) e) f) GA - XI. Să se determine ecuaţia unei arabole raortată la aa de simetrie şi tangenta în vârf ştiind că trece rin unctul A() aoi să se scrie ecuaţia normalei în unctul A.
Culegere de robleme a) - 0 b) - 9 0 c) 9-9 0 d) 6-0 e) - 0 f) 6-0 GA - XI. Fiind dată arabola de ecuaţie să se scrie ecuaţia normalei la arabolă în unctul A(). a) - b) c) - d) e) - f) - - GA XI. Să se calculee aria triunghiului format de dreata 0 şi normalele la arabola în unctele sale de intersecţie cu dreata dată. a) 0 b) c) d) e) f) GA - XI. Se dă arabola de ecuaţie şi unctul A ( 0). Dreata (d) 0 este tangentă arabolei în unctul B iar dreata (AB) taie a doua oară arabola în C. Să se determine m astfel ca AC mab. a) m b) m c) m d) m e) m f) m GA - XI. 6 Să se scrie ecuaţia unei drete care trece rin unctul P( -) şi este tangentă la arabola. a) - 0 b) - 0 c) - 0 0-0 - 0 d) 0 e) - 0 f) - 0 0-0 - 0
Geometrie analitică XI GA - XI. Fie arabola de ecuaţie şi M un unct mobil e aceasta. Tangenta în M la arabolă taie aa arabolei în unctul T iar normala în M la arabolă taie aa arabolei în N. Să se afle locul geometric al centrului de greutate al triunghiului TMN. a) b) c) 9 9 9 9 d) e) f) 9 9 GA XI. La ce distanţă de vârf trebuie lasată o sursă luminoasă e aa unui reflector arabolic de înălţime 0 cm şi diametrul baei 0 cm entru a roduce rin refleie un fascicol de rae aralele. a) 0 cm; b) cm; c) cm; d) cm; e) cm; f) cm. GA - XI. 9 Să se determine un unct M situat e arabola 6 cât mai aroae osibil de dreata 0 şi să se calculee distanţa de la unctul M la această dreată. a) M(9 -) d b) M(9 -) d d) M(9) d e) M( -) d c) M() d f) M() d GA XI. 60 Fie AB o coardă a arabolei (>0) erendiculară e aa de simetrie (O). Se consideră un cerc de diametru AB care mai intersecteaă arabola în unctele C şi D. Să se calculee distanţa dintre coardele AB şi CD. a) b) c) d) e) f)
6 Culegere de robleme GA XI. 6 Pe arabola se consideră unctele A şi B de ordonate a şi b astfel încât dreata (AB) să treacă rin focarul arabolei. Tangentele în A şi B se intersecteaă într-un unct C. Fie P unctul de intersecţie al normalelor la arabolă duse în A şi B iar D unctul de intersecţie al dretei (CP) cu arabola. Să se determine astfel ca R m CD m CP. a) m b) m c) m d) m e) m f) m GA XI. 6 Fie ( ) ( ) i M i i i trei uncte distincte situate e arabola ( ). Ştiind că centrul de greutate al triunghiului P : M M M aarţine aei (O) în funcţie de coordonatele unctelor M şi M să se determine coordonatele unctului de concurenţă al celor trei normale la arabolă duse în unctele M M şi M. a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) f) ( ) ( ) GA - XI. 6 În lanul raortat la un reer carteian se consideră arabola P:. Fie M un unct e arabolă. Să se determine în funcţie de abscisa m a lui M coordonatele unctului T unde tangenta în M la P taie aa (O). Să se calculee aria triunghiului OTM şi coordonatele centrului de greutate G al aceluiaşi triunghi. a) T [ ] m m m 0 6 σ OTM G m b) T [ ] 6 G OTM 0 m m m m σ
Geometrie analitică XI m c) T ( m 0) σ [ OTM] G( m m ) d) T ( m 0) σ[ OTM] e) T [ ] m m m G m m m m 0 σ OTM G f) T ( m 0) σ[ OTM] m G( m m ) GA XI. 6 Pe arabola se consideră unctul M şi simetricul său M faţă de aa de simetrie. Să se găsească locul geometric al intersecţiei tangentei în M la arabolă cu aralela dusă rin M la aa de simetrie. a) 0 b) 0 c) 0 d) e) f) GA - XI. 6 Să se determine locul geometric al unctelor de unde se ot duce tangente erendiculare la o arabolă a) dreată; b) cerc; c) elisă; d) arabolă; e) hierbolă oarecare f) hierbolă echilaterală. GA - XI. 66 Fie în lanul (O) unctul fi A(0) e aa (O) şi unctele M şi N mobile e aa (O) astfel încât lungimea segmentului MN este. Să se afle locul geometric al unctului de intersecţie al erendicularelor ridicate în M şi N resectiv e (AM) şi (AN). a) cercul b) dreata erendiculară e c) elisa cu centru în O aa O în unctul (-0) şi semiae şi d) arabola e) cercul de ecuaţie f) arabola - - 0 GA - XI. 6 Fie în lanul (O) elisa şi hierbola. Să b a a b se determine dretele ce trec rin centrul comun al celor două curbe şi le taie e
Culegere de robleme acestea în unctele în care tangentele la curbele resective sunt erendiculare între ele. b b b a) ± b) ± c) ± a a a b b a d) ± e) ± f) a a b GA - XI. 6 Punctele A(-) B(0-) C(--) şi D(-) sunt vârfurile unui tetraedru. Să se calculee înălţimea coborâtă din vârful A. a) b) c) d) e) f) GA - XI. 69 Fie unctele A(00) B(0) C(0) şi D(). Să se calculee volumul tetraedrului ABCD. a) 6 b) c) d) 6 e) f) GA - XI. 0 Să se determine mulţimea valorilor arametrului α R astfel încât unctele A(-0) B(0) C(0-) şi D(α) să determine un tetraedru ce are volumul egal cu / unităţi de volum. } { } c) { } } { } f) { } a) { b) d) { e) GA - XI. Se dau vectorii a i j b j k c i k. Să se calculee volumul araleliiedului construit e cei trei vectori şi înălţimea araleliiedului coresunătoare baei construite e vectorii a şi b
Geometrie analitică XI 9 a) V ; h b) V ; h c) V h d) V h e) V ; h f) V h GA - XI. Să se scrie ecuaţiile dretei D ce trece rin originea aelor de coordonate în saţiu şi este aralelă cu dreata (AB) determinată de unctele A(- 0) şi B(-). a) D : b) D : c) D : d) D : e) D : f) D : GA - XI. Determinaţi unctul M(q) din saţiu ce se află e dreata ce trece rin unctele (0) şi (). a) ( ) b) c) d) f) e) ( ) GA - XI. Să se determine ecuaţiile dretei care este aralelă cu segmentul MN şi trece rin P unde M() N(0) şi P(00). a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f)
0 Culegere de robleme GA - XI. Să se scrie ecuaţiile canonice ale medianelor triunghiuluilui cu vârfurile A(-) B(-6) C(). a) 6 b) 0 c) d) 6 0 e) 0 6 0 f) GA - XI. 6 Să se determine unctele de intersecţie cu lanele de coordonate (O O O) ale dretei ce trece rin unctele M (-66-) şi M (-6). a) (-90) (0-) (0-) b) (9-0) (0-) (0-) c) (0) (0-) (0) d) (-90) (0) (0-) e) (9) ()(0) f) (6) (0) (0) GA - XI. Să se verifice dacă următoarele drete (d ) şi (d ) definite rin:
Geometrie analitică XI ( d ): t t 9 t ( t R) ( d ): s s s ( s R) sunt colanare şi în ca afirmativ să se scrie ecuaţiile erendicularei e lanul determinat de (d ) (d ) ştiind că aceasta trece rin unctul P 0 (6) a) Nu sunt colanare b) Da; 6 c) Da; 6 d) Da; 6 6 0 e) Da f) Da 0 6 0 0 GA - XI. Să se scrie ecuaţia lanului care conţine unctul A(0-) şi dreata (d) t t t ( t R). a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0 GA - XI. 9 În R se consideră unctele A(-0) B() C(0-). Să se scrie ecuaţia lanului determinat de cele trei uncte. a) b) c) 0 d) 0 e) 0 f) GA - XI. 0 Determinaţi valoarea numărului real α astfel ca unctele A(0-) B(0) C(-) şi D(α) să fie colanare. a) α0 b) α- c) α d) α e) α- f) α
Culegere de robleme GA - XI. Să se determine α R astfel încât unctele A( α-) B(-- α) C(--) D(0-0) să fie colanare a) { } d) { } α b) α { } c) α { } α e) α { 0} f) α { 0} GA - XI. Să se calculee volumul tetraedrului OABC unde O este originea sistemului saţial de ae ( O) A ( O) P B ( O) P C ( O) P iar P este lanul de ecuaţie P : 6 0 a) 6 b) c) d) 6 e) f) GA - XI. Să se scrie ecuaţia lanului P care conţine unctul A(-0) şi este aralel cu lanul Q ce intersecteaă aele de coordonate în unctele A(00) B(0-0) şi C(00). a) 6 0 b) 0 c) 0 d) 6 0 e) 9 0 f) 6 0 GA - XI. Să se scrie ecuaţia unui lan ce conţine unctul M 0 (-) şi este erendicular e dreata de intersecţie a lanelor 0 şi 0 a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0
Geometrie analitică XI GA - XI. Determinaţi ecuaţia lanului ce are fiecare unct echidistant de unctele A(-) şi B(). a) 9 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0 GA - XI. 6 Să se determine valorile lui c şi d astfel încât dreata să fie inclusă în lanul c d 0. a) c d -; b) c - d -; c) c d d) c - d -; e) c - d; f) c - d - GA - XI. Determinaţi roiecţia ortogonală a unctului A(0) e lanul 0 a) (-) b) ( - ) c) d) e) f) (0) GA - XI. Să se determine simetricul originii O(000) faţă de lanul π : 0 a) O ' b) O ' c) O ' d) O ' e) O ' f) O '( )
Culegere de robleme GA - XI. 9 Să se afle simetricul M al unctului M() faţă de dreata de ecuaţii: 6 6 a) M ' b) M ' c) 6 M ' 6 6 6 d) M ' e) M ' f) M ' GA - XI. 90 Să se determine ecuaţia lanului care conţine erendicularele duse din unctul P(-) e lanele π : 0 ; π : 0 a) 9 6 0 ; b) 9 6 0 c) 9 6 0 d) 9 6 0 e) 9 6 0 f) 9 6 0 GA - XI. 9 Pentru ce valori ale arametrului a lanul a 0 este aralel cu dreata 0 a) a b) a c) a0 d) a- e) a- f) a GA - XI. 9 Să se scrie ecuaţia unei drete (d) care trece rin unctul A(- -) şi se srijină e dretele (d ): şi (d ): a) b)
Geometrie analitică XI c) e) 0 d) 0 f) Nu eistă o astfel de dreată GA - XI. 9 Să se determine distanţa de la unctul M 0 () la lanul π : 0 a) b) c) d) e) f) GA - XI. 9 Să se scrie ecuaţiile dretei ce se obţine roiectând dreata (d) : e lanul P: 0. 0 a) b) c) 0 d) e) f) 0 0 0 GA - XI. 9 Dreata (d): 0 α 0 este aralelă cu lanul P dacă: a) P : ; α b) P : ; α 0 c) P : 0; α d) P : 0; α e) P : 0; α f) P : 0; α 0 GA - XI. 96 Să se determine ecuaţia lanului ce conţine dreata
6 Culegere de robleme (d): 0 0 şi este erendicular e lanul P :. a) 0 b) -0 c) 0 d) e) - f) 0 GA - XI. 9 Distanţa dintre dretele (d ): şi (d): 0 este: 0 a) b) c) d) e) f) GA - XI. 9 Să se determine arametrii α β R astfel încât dretele β (d ): şi (d): să determine un lan. α β a) α R β R b) α β c) α R β sau α β R d) α β R sau α β e) α β φ f) α β 0 α GA - XI. 99 Se dau : dreata (D) β şi lanul (P) 0. Să se determine valorile reale ale lui α ş i β entru care dreata (D) se află în lanul (P). a) α β b) α β c) α β d) α β e) α β f) α β
Geometrie analitică XI GA - XI. 00 Se dau unctele A(); B(--); C(-). Să se scrie ecuaţiile medianei duse din vârful A în triunghiul ABC. a) b) c) d) e) f) GA - XI. 0 Să se scrie ecuaţia lanului ce trece rin unctul A(ab) situat e dreata (d ): şi este erendicular e dreata (d ):. a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0 GA - XI. 0 Se consideră unctele A(-0) B(0-) C(--). Să se determine 9 0 arametrul α astfel ca dreata (D) să fie aralelă cu lanul α 0 determinat de unctele A B şi C. a) α b) α c) α d) α e) α0 f) α- 0 0 GA - XI. 0 Fie dretele (D ) (D) şi unctul 0 0 A(-). Să se scrie ecuaţia lanului care trece rin unctul A şi este aralel cu dretele (D ) şi (D ). a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0
Culegere de robleme GA - XI. 0 Se consideră dreata în saţiu (D) şi unctul A(0). Să se calculee distanţa de la unctul A(0) la dreata (D). a) b) c) 6 d) e) f) 0 GA - XI. 0 Să se scrie ecuaţia lanului ce trece rin unctul A(0-) şi conţine dreata D: 0 0 a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0 GA - XI. 06 Se dau lanul P: 0 şi unctele A(-) B(). Să se scrie ecuaţiile dretei ce trece rin simetricele unctelor A şi B în raort cu lanul P. a) b) c) d) e) f) GA - XI. 0 Să se determine ecuaţiile unei drete care trece rin unctul A(-) şi este aralelă cu dreata D
Geometrie analitică XI 9 D: 0 0 a) b) c) e) d) f) GA - XI. 0 Fiind dată dreata D: 0 să se determine o dreată D aralelă cu D care intersecteaă aa (O) într-un unct de abscisă. a) D ': 0 b) D ': 0 c) D' : 0 d) D' : 0 e) D ': 0 f) D' : 0 GA - XI. 09 Să se găsească dreata D care în lanul (O) este aralelă şi echidistantă în raort cu dretele: D : 0 şi D: 0 a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0 GA - XI. 0 Determinaţi deendenţa liniară între gradele Celsius C şi gradele Fahrenheit F ştiind că aa îngheaţă la 0 0 Celsius şi 0 Fahrenheit şi fierbe la 00 0 Celsius şi 0 Fahrenheit. 9 a) F C b) F C c) F C 9 d) F C e) F C 0 f) F C 00