DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.

Σχετικά έγγραφα
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.

Analüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.

,millest avaldub 21) 23)

Kompleksarvu algebraline kuju

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA

Geomeetrilised vektorid

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =

; y ) vektori lõpppunkt, siis

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA

Ehitusmehaanika harjutus

Funktsiooni diferentsiaal

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule

Lokaalsed ekstreemumid

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva

Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül.

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks

REAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA

9. AM ja FM detektorid

Kontekstivabad keeled

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2

Vektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

Prisma. Lõik, mis ühendab kahte mitte kuuluvat tippu on prisma diagonaal d. Tasand, mis. prisma diagonaal d ja diagonaaltasand (roheline).

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Vektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias

HULGATEOORIA ELEMENTE

Staatika ja kinemaatika

Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool. Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Astronoomia termineid (mis ei tarvitse tuttavad olla)

Fotomeetria. Laineoptika

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan

2. HULGATEOORIA ELEMENTE

MATEMAATIKA KITSA JA LAIA KURSUSE RIIGIEKSAM

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus

Smith i diagramm. Peegeldustegur

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria.

Sissejuhatus. Kinemaatika

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad

3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE

Compress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013

Sõiduki tehnonõuded ja varustus peavad vastama järgmistele nõuetele: Grupp 1 Varustus

6 Mitme muutuja funktsioonid

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika

PLASTSED DEFORMATSIOONID

Tehniline Mehaanika. I. Staatika II. Tugevusõpetus III. Kinemaatika IV. Dünaamika V. Masinaelemendid /aparaatide detailid/ I STAATIKA

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise

Andmeanalüüs molekulaarbioloogias

Eesti koolinoorte 22. füüsika lahtine võistlus

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

T~oestatavalt korrektne transleerimine

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 15. november a.

Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Ainevaldkond Matemaatika gümnaasiumi ainekava

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010

VFR navigatsioon I (Mõisted ja elemendid I)

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a.

NORDrect Ventilatsiooni kandiline torustik

I. Keemiline termodünaamika. II. Keemiline kineetika ja tasakaal

Ecophon Line LED. Süsteemi info. Mõõdud, mm 1200x x x600 T24 Paksus (t) M329, M330, M331. Paigaldusjoonis M397 M397

Skalaar, vektor, tensor

8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm.

Kandvad profiilplekid

HSM TT 1578 EST EE (04.08) RBLV /G

ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ

STM A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD

Sheet H d-2 3D Pythagoras - Answers

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD

Kineetiline ja potentsiaalne energia

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus

Lisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus

RF võimendite parameetrid

Kitsas matemaatika-3 tundi nädalas

Eesti koolinoorte 51. täppisteaduste olümpiaad

Transcript:

Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka suurtähtedega. Kirjutatakse nt. kas kolmnurk ABC või ABC. Kirjapilt kolmnurk ABC on vale. Kolmnurga sisenurki tähistatakse tavaliselt kreeka tähtede α, β ja γ abil (vastavalt A, B ja C juures), mille vastasküljed on vastavalt a, b ja c. Kolmnurga iga kahe külje summa on suurem kui kolmas külg./ Suvalise kolmnurga külgede pikkused a, b ja c, rahuldavad alati võrratusi: a + b > c, a + c > b ja b + c > a. ÜL. 1. Selgita, kas järgmised lõigud võivad olla kolmnurga külgedeks: 1) 4 dm, 4 dm, 4 dm; ) 3 m, 9 m, 1 m; 3) 5 cm, 8 cm, 1 cm; 4) 0,6 dm, 1,4 dm,,3 dm. Kolmnurga kõigi külgede summa on kolmnurga ümbermõõt. Tähis on P. ÜL.. Kolmnurga üks külg on 5,4 dm, teine 6,8 dm ja kolmas teisest,3 dm võrra lühem. Arvuta kolmnurga ümbermõõt. ÜL. 3. Kolmnurga ümbermõõt on 4,8 m. Üks külg on 1, m ja teine 3 1 ümbermõõdust. Arvuta kolmnurga puuduvad küljed. ÜL. 4. Kolmnurga üks külg on 6 dm ja see moodustab 30% ümbermõõdust. Ülejäänud kaks külge on võrdse pikkusega. Arvuta kolmnurga teised küljed. 1 ÜL. 5. Kolmnurga üks külg on 1 cm, teine külg sellest 1 korda lühem ja kolmas moodustab 90% teisest küljest. Tee võimalikud arvutused. TEOR. Kolmnurga sisenurkade summa on 180 o. ÜL. 6. Leia kolmnurga puuduv nurk, kui kaks sisenurka on: 1) 56 o ja 57 o ; ) 10 o ja 130 o ; 3) 13 o ja 1 o. ÜL. 7. Leia täisnurkse kolmnurga teine teravnurk, kui üks teravnurk on 5 o ; 87 o ; 33 o ; 66 o. ÜL. 8. Leia võrdhaarse kolmnurga alusnurk, kui tipunurk on 45 o ; 87 o ; 90 o ; 10 o. ÜL. 9. Leia võrdhaarse kolmnurga tipunurk, kui alusnurk on 1 o ; 77 o ; 44 o ; 60 o. ÜL. 10. Kui suur nurga moodustab võrdhaarses kolmnurgas haarale tõmmatud kõrgus alusega, kui tipunurk on 40 o ; 100 o ; 140 o ; 5 o? ÜL. 11. Kolmnurga nurkade suurused on väljendatud kolme järjestikuse täisarvuga. Leia need nurgad. ÜL. 1. Kolmnurga üks nurk on teisest 44 o võrra suurem, kolmas nurk on aga teisest korda suurem. Leia kolmnurga nurgad. DEF. Kolmnurga sisenurga kõrvunurka nim. kolmnurga välisnurgaks. Välisnurga OMADUS. Kolmnurga iga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. ÜL. 13. Kolmnurga välisnurk on 4 korda suurem ühest temaga mitte kõrvu olevast sisenurgast. Teine mitte kõrvu olev sisenurk on 75 o. Leia välisnurk. Kordamine. Koostas M. Kikas. Kasutatud materjalid: A. Telgmaa, E. Nurk, Matemaatika VI klassile. osa;. M. Lepik, E. Nurk,

Kolmnurk ÜL. 14. Kolmnurga kaks nurka erinevad teineteisest 30 o võrra. Nende nurkadega mitte kõrvu olev välisnurk on väiksemast nurgast 3 korda suurem. Leia kolmnurga nurgad. ÜL. 15. Leia kolmnurga ülejäänud nurgad, kui üks nurk on 40 o ja sellega mitte kõrvu olev välisnurk on 100 o ; 15 o ; 48 o ; 10 o. DEF. Kolmnurka, mille kõik nurgad on teravnurgad nim. teravnurkseks. DEF. Kolmnurka, mille üks nurk on nürinurk nim. nürinurkseks. DEF. Kolmnurka, mille üks nurk on täisnurk nim. täisnurkseks. DEF. Kolmnurka, mille kõik küljed on erineva pikkusega nim. erikülgseks (või isekülgseks). DEF. Kolmnurka, mille kaks külge on võrdsed nim. võrdhaarseks. Võrdsed küljed on haarad ja kolmas külg on alus. Aluse lähisnurki nim. alusnurkadeks, aluse vastasnurka nim. tipunurgaks. DEF. Kolmnurka, mille kõik küljed on võrdsed nim. võrdkülgseks ehk korrapäraseks kolmnurgaks. Korrapärane kolmnurk on võrdhaarse kolmnurga erijuht. Iga võrdkülgne kolmnurk on võrdhaarne. ÜL. 16. Arvuta võrdhaarse kolmnurga alusnurk, kui tipunurk on 100 o ; 36 o ; 84 o ; 16 o. ÜL. 17. Arvuta võrdhaarse kolmnurga tipunurk, kui alusnurk on 7 o ; 35 o ; 57 o ; 88 o. ÜL. 18. Arvuta teravnurkse võrdhaarse kolmnurga nurgad, kui haarale tõmmatud kõrgus moodustab alusega nurga 0 o ; 16 o ; 58 o ; 36 o. ÜL. 19. Arvuta nürinurkse võrdhaarse kolmnurga nurgad, kui haarale tõmmatud kõrgus moodustab teise haaraga nurga 10 o ; 60 o ; 38 o ; 74 o. DEF. Kolmnurga tipust vastaskülje või selle pikendusele tõmmatud ristlõiku nim. kolmnurga kõrguseks. Tähis h. DEF. Külge, mille tipust on kõrgus tõmmatud nim. kolmnurga aluseks. Tähis a. a h Kolmnurga pindala võrdub aluse ja kõrguse poole korrutisega. Tähis S. S = a b Täisnurkse kolmnurga pindala võrdub kaatetite poole korrutisega. S = ÜL. 0. Kolmnurkse maatüki küljed on 40 m, 60 m ja 70 m. Valmista selle maatüki plaan mõõdus 1 : 1000, tee plaanilt vajalikud mõõtmised ja arvuta maatüki pindala. ÜL. 1. Arvuta kolmnurga külg a, kui 1) ÜL.. Arvuta kolmnurga külg h, kui 1) h = 65 dm ja a = 4,5 m ja S = 3,4 m ; ) h = 0,8 dm ja S =180dm ; ) a = 6,8 dm ja S =,55 cm. S = 357 cm. ÜL. 3. Kolmnurga kaks külge on 4 cm ja 3 dm. Esimesele küljele joonestatud kõrgus on 15 cm. Kui pikk on teisele küljele joonestatud kõrgus? ÜL. 4. Kolmnurga ABC külg AC = 4 d, küljele AC joonestatud kõrgus on 6 dm ja küljele BC joonestatud kõrgus 3 dm. Arvuta külg BC. TEOR. Kolmnurga kõrgused lõikuvad kõik ühes ja samas punktis. DEF. Kolmnurga kõrguste lõikepunkti nim. ortotsentriks. ÜL. 5. Joonesta 3 kolmnurka teravnurkne, nürinurkne ja täisnurkne. Joonesta igale kolmnurgale kõik kolm kõrgust. ÜL. 6. Mis liiki on kolmnurk, kui 1) kolmnurga kaks kõrgust on võrdsed ja asuvad väljaspool kolmnurka; ) kolmnurga kõik kõrgused poolitavad alused; 3) kolmnurga kaks kõrgust on teineteisega risti? Kordamine. Koostas M. Kikas. Kasutatud materjalid: A. Telgmaa, E. Nurk, Matemaatika VI klassile. osa;. M. Lepik, E. Nurk,

Kolmnurk 3 DEF. Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte nim. kolmnurga kesklõiguks. TEOR. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. Kolmnurga kesklõigud jaotavad nelinurga neljaks võrdseks kolmnurgaks. ÜL. 7. Kolmnurga küljed on 4,9 m, 56 dm ja 350 cm. Arvuta kesklõikude poolt moodustunud kolmnurga ümbermõõt. ÜL 8. Võrdkülgse kolmnurga ümbermõõt on 3,6 dm. Arvuta kesklõigu pikkus. ÜL. 9. Võrdhaarse kolmnurga haar on kaks korda pikem alusest ja kolmnurga ümbermõõt on 75 cm. Leia kolmnurga kesklõikude pikkused. ÜL. 30. Kolmnurga üks kesklõik on teisest 4 cm lühem, kolmas aga teisest cm pikem. Leia antud kolmnurga küljed, kui kesklõikudest moodustunud kolmnurga ümbermõõt on cm. ÜL. 31. Kolmnurga ümbermõõt on 68 cm. Üks kesklõik on 5 cm võrra pikem teisest, kuid 3 cm lühem kolmandast kesklõigust. Arvuta antud kolmnurga küljed. ÜL. 3. Võrdhaarse kolmnurga pindala on 56 cm ja alusega paralleelne kesklõik 7 cm. Arvuta kolmnurga tipu kaugus alusest. DEF. Lõiku, mis ühendab kolmnurga tipu vastaskülje keskpunktiga nim. kolmnurga mediaaniks. Kolmnurga mediaanide lõikepunkt on kolmnurga raskuskese. Kolmnurga mediaanid jaotavad kolmnurga kuueks pindvõrdseks kolmnurgaks. TEOR. Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. ÜL. 33. Kolmnurga kahe mediaani pikkused on 3 dm ja 1,8 dm. Kui pikkadeks lõikudeks jaotab mediaanide lõikepunkt need mediaanid? ÜL. 34. Kui suured nurgad on võrdkülgse kolmnurga kahe mediaani vahel? ÜL. 35. Täisnurkse kolmnurga ABC kaatetid on AC = 6 cm ja BC = 9 cm. Lõik BD on kaatetile AC tõmmatud mediaan. Arvuta kolmnurga ABD pindala. ÜL. 36. Kolmnurk ABC on võrdhaarne. Lõik AD on mediaan ning ADC = 14 ja BC = AB. Leia kolmnurga ABC nurgad. ÜL. 37. Kolmnurkadele on joonestatud mediaan. Märgi raskuskese ilma teisi mediaane joonestamata. Kordamine. Koostas M. Kikas. Kasutatud materjalid: A. Telgmaa, E. Nurk, Matemaatika VI klassile. osa;. M. Lepik, E. Nurk,

Kolmnurk 4 ÜL. 38. Võrdhaarse kolmnurga ümbermõõt on 0 cm. Tipust tõmmatud nurgapoolitaja jaotab kolmnurga kaheks osaks nii, et kummagi osa ümbermõõt on 16 cm. Leia nurgapoolitaja pikkus. Kordamine. Koostas M. Kikas. Kasutatud materjalid: A. Telgmaa, E. Nurk, Matemaatika VI klassile. osa;. M. Lepik, E. Nurk,

Kolmnurk 5 Kolmnurga kõigi külgede keskristsirged lõikuvad ühes ja samas punktis, mis asub kolmnurga igast tipust ühel ja samal kaugusel. Kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks on kolmnurga külgede keskristsirgete lõikepunkt. DEF. Kolmnurka, millele on joonestatud ümberringjoon nim. kõõlkolmnurgaks. ÜL. 39. Joonesta teravnurkne, täisnurkne ja nürinurkne kolmnurk. Joonesta igale kolmnurgale ümberringjoon. Kus asub ümberringjoone keskpunkt, kui kolmnurk on a) teravnurkne; b) täisnurkne; c) nürinurkne? ÜL. 40. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 7 cm ja 4 cm. Arvuta hüpotenuusile joonestatud mediaani pikkus. Kolmnurga kõik nurgapoolitajad lõikuvad ühes ja samas punktis, mis asub kolmnurga igast küljest ühel ja samal kaugusel. Kolmnurga nurgapoolitajate lõikepunkt on kolmnurga siseringjoone keskpunkt. DEF. Kolmnurka, millele on joonestatud siseringjoon nimetatakse puutujakolmnurgaks. Kolmnurga pindala võrdub kolmnurga ümbermõõdu ja siseringjoone raadiuse poole korrutisega. Pr S = = pr, kus p on pool kolmnurga ümbermõõdust. ÜL. 41. Joonesta teravnurkne, täisnurkne ja nürinurkne kolmnurk. Joonesta igale kolmnurgale siseringjoon. Tee vajalikud mõõtmised. Arvuta iga kolmnurga pindala ümbermõõdu ja raadiuse kaudu. ÜL. 4. Missugune lause on tõene, missugune väär? a) Kolmnurgal leidub ainult üks siseringjoon. b) Kolmnurga siseringjoone keskpunkt võib asuda kolmnurga küljel. c) Kolmnurga siseringjoone keskpunkt võib asuda kolmnurgast väljas. d) Kolmnurga siseringjoone keskpunkt on tema külgedest võrdsel kaugusel. e) Kolmnurga siseringjoone keskpunkt on kolmnurga tippudest võrdsel kaugusel. f) Kolmnurga siseringjoone keskpunktiks on külgede keskristsirgete lõikepunkt. g) Kolmnurgal leidub mitu ümberringjoont. h) Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt on tema külgedest võrdsel kaugusel. i) Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt on tema tippudest võrdsel kaugusel. j) Kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks on tema külgede keskristsirgete lõikepunkt. k) Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt võib asuda kolmnurgast väljas. Kordamine. Koostas M. Kikas. Kasutatud materjalid: A. Telgmaa, E. Nurk, Matemaatika VI klassile. osa;. M. Lepik, E. Nurk,