Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka suurtähtedega. Kirjutatakse nt. kas kolmnurk ABC või ABC. Kirjapilt kolmnurk ABC on vale. Kolmnurga sisenurki tähistatakse tavaliselt kreeka tähtede α, β ja γ abil (vastavalt A, B ja C juures), mille vastasküljed on vastavalt a, b ja c. Kolmnurga iga kahe külje summa on suurem kui kolmas külg./ Suvalise kolmnurga külgede pikkused a, b ja c, rahuldavad alati võrratusi: a + b > c, a + c > b ja b + c > a. ÜL. 1. Selgita, kas järgmised lõigud võivad olla kolmnurga külgedeks: 1) 4 dm, 4 dm, 4 dm; ) 3 m, 9 m, 1 m; 3) 5 cm, 8 cm, 1 cm; 4) 0,6 dm, 1,4 dm,,3 dm. Kolmnurga kõigi külgede summa on kolmnurga ümbermõõt. Tähis on P. ÜL.. Kolmnurga üks külg on 5,4 dm, teine 6,8 dm ja kolmas teisest,3 dm võrra lühem. Arvuta kolmnurga ümbermõõt. ÜL. 3. Kolmnurga ümbermõõt on 4,8 m. Üks külg on 1, m ja teine 3 1 ümbermõõdust. Arvuta kolmnurga puuduvad küljed. ÜL. 4. Kolmnurga üks külg on 6 dm ja see moodustab 30% ümbermõõdust. Ülejäänud kaks külge on võrdse pikkusega. Arvuta kolmnurga teised küljed. 1 ÜL. 5. Kolmnurga üks külg on 1 cm, teine külg sellest 1 korda lühem ja kolmas moodustab 90% teisest küljest. Tee võimalikud arvutused. TEOR. Kolmnurga sisenurkade summa on 180 o. ÜL. 6. Leia kolmnurga puuduv nurk, kui kaks sisenurka on: 1) 56 o ja 57 o ; ) 10 o ja 130 o ; 3) 13 o ja 1 o. ÜL. 7. Leia täisnurkse kolmnurga teine teravnurk, kui üks teravnurk on 5 o ; 87 o ; 33 o ; 66 o. ÜL. 8. Leia võrdhaarse kolmnurga alusnurk, kui tipunurk on 45 o ; 87 o ; 90 o ; 10 o. ÜL. 9. Leia võrdhaarse kolmnurga tipunurk, kui alusnurk on 1 o ; 77 o ; 44 o ; 60 o. ÜL. 10. Kui suur nurga moodustab võrdhaarses kolmnurgas haarale tõmmatud kõrgus alusega, kui tipunurk on 40 o ; 100 o ; 140 o ; 5 o? ÜL. 11. Kolmnurga nurkade suurused on väljendatud kolme järjestikuse täisarvuga. Leia need nurgad. ÜL. 1. Kolmnurga üks nurk on teisest 44 o võrra suurem, kolmas nurk on aga teisest korda suurem. Leia kolmnurga nurgad. DEF. Kolmnurga sisenurga kõrvunurka nim. kolmnurga välisnurgaks. Välisnurga OMADUS. Kolmnurga iga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. ÜL. 13. Kolmnurga välisnurk on 4 korda suurem ühest temaga mitte kõrvu olevast sisenurgast. Teine mitte kõrvu olev sisenurk on 75 o. Leia välisnurk. Kordamine. Koostas M. Kikas. Kasutatud materjalid: A. Telgmaa, E. Nurk, Matemaatika VI klassile. osa;. M. Lepik, E. Nurk,
Kolmnurk ÜL. 14. Kolmnurga kaks nurka erinevad teineteisest 30 o võrra. Nende nurkadega mitte kõrvu olev välisnurk on väiksemast nurgast 3 korda suurem. Leia kolmnurga nurgad. ÜL. 15. Leia kolmnurga ülejäänud nurgad, kui üks nurk on 40 o ja sellega mitte kõrvu olev välisnurk on 100 o ; 15 o ; 48 o ; 10 o. DEF. Kolmnurka, mille kõik nurgad on teravnurgad nim. teravnurkseks. DEF. Kolmnurka, mille üks nurk on nürinurk nim. nürinurkseks. DEF. Kolmnurka, mille üks nurk on täisnurk nim. täisnurkseks. DEF. Kolmnurka, mille kõik küljed on erineva pikkusega nim. erikülgseks (või isekülgseks). DEF. Kolmnurka, mille kaks külge on võrdsed nim. võrdhaarseks. Võrdsed küljed on haarad ja kolmas külg on alus. Aluse lähisnurki nim. alusnurkadeks, aluse vastasnurka nim. tipunurgaks. DEF. Kolmnurka, mille kõik küljed on võrdsed nim. võrdkülgseks ehk korrapäraseks kolmnurgaks. Korrapärane kolmnurk on võrdhaarse kolmnurga erijuht. Iga võrdkülgne kolmnurk on võrdhaarne. ÜL. 16. Arvuta võrdhaarse kolmnurga alusnurk, kui tipunurk on 100 o ; 36 o ; 84 o ; 16 o. ÜL. 17. Arvuta võrdhaarse kolmnurga tipunurk, kui alusnurk on 7 o ; 35 o ; 57 o ; 88 o. ÜL. 18. Arvuta teravnurkse võrdhaarse kolmnurga nurgad, kui haarale tõmmatud kõrgus moodustab alusega nurga 0 o ; 16 o ; 58 o ; 36 o. ÜL. 19. Arvuta nürinurkse võrdhaarse kolmnurga nurgad, kui haarale tõmmatud kõrgus moodustab teise haaraga nurga 10 o ; 60 o ; 38 o ; 74 o. DEF. Kolmnurga tipust vastaskülje või selle pikendusele tõmmatud ristlõiku nim. kolmnurga kõrguseks. Tähis h. DEF. Külge, mille tipust on kõrgus tõmmatud nim. kolmnurga aluseks. Tähis a. a h Kolmnurga pindala võrdub aluse ja kõrguse poole korrutisega. Tähis S. S = a b Täisnurkse kolmnurga pindala võrdub kaatetite poole korrutisega. S = ÜL. 0. Kolmnurkse maatüki küljed on 40 m, 60 m ja 70 m. Valmista selle maatüki plaan mõõdus 1 : 1000, tee plaanilt vajalikud mõõtmised ja arvuta maatüki pindala. ÜL. 1. Arvuta kolmnurga külg a, kui 1) ÜL.. Arvuta kolmnurga külg h, kui 1) h = 65 dm ja a = 4,5 m ja S = 3,4 m ; ) h = 0,8 dm ja S =180dm ; ) a = 6,8 dm ja S =,55 cm. S = 357 cm. ÜL. 3. Kolmnurga kaks külge on 4 cm ja 3 dm. Esimesele küljele joonestatud kõrgus on 15 cm. Kui pikk on teisele küljele joonestatud kõrgus? ÜL. 4. Kolmnurga ABC külg AC = 4 d, küljele AC joonestatud kõrgus on 6 dm ja küljele BC joonestatud kõrgus 3 dm. Arvuta külg BC. TEOR. Kolmnurga kõrgused lõikuvad kõik ühes ja samas punktis. DEF. Kolmnurga kõrguste lõikepunkti nim. ortotsentriks. ÜL. 5. Joonesta 3 kolmnurka teravnurkne, nürinurkne ja täisnurkne. Joonesta igale kolmnurgale kõik kolm kõrgust. ÜL. 6. Mis liiki on kolmnurk, kui 1) kolmnurga kaks kõrgust on võrdsed ja asuvad väljaspool kolmnurka; ) kolmnurga kõik kõrgused poolitavad alused; 3) kolmnurga kaks kõrgust on teineteisega risti? Kordamine. Koostas M. Kikas. Kasutatud materjalid: A. Telgmaa, E. Nurk, Matemaatika VI klassile. osa;. M. Lepik, E. Nurk,
Kolmnurk 3 DEF. Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte nim. kolmnurga kesklõiguks. TEOR. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. Kolmnurga kesklõigud jaotavad nelinurga neljaks võrdseks kolmnurgaks. ÜL. 7. Kolmnurga küljed on 4,9 m, 56 dm ja 350 cm. Arvuta kesklõikude poolt moodustunud kolmnurga ümbermõõt. ÜL 8. Võrdkülgse kolmnurga ümbermõõt on 3,6 dm. Arvuta kesklõigu pikkus. ÜL. 9. Võrdhaarse kolmnurga haar on kaks korda pikem alusest ja kolmnurga ümbermõõt on 75 cm. Leia kolmnurga kesklõikude pikkused. ÜL. 30. Kolmnurga üks kesklõik on teisest 4 cm lühem, kolmas aga teisest cm pikem. Leia antud kolmnurga küljed, kui kesklõikudest moodustunud kolmnurga ümbermõõt on cm. ÜL. 31. Kolmnurga ümbermõõt on 68 cm. Üks kesklõik on 5 cm võrra pikem teisest, kuid 3 cm lühem kolmandast kesklõigust. Arvuta antud kolmnurga küljed. ÜL. 3. Võrdhaarse kolmnurga pindala on 56 cm ja alusega paralleelne kesklõik 7 cm. Arvuta kolmnurga tipu kaugus alusest. DEF. Lõiku, mis ühendab kolmnurga tipu vastaskülje keskpunktiga nim. kolmnurga mediaaniks. Kolmnurga mediaanide lõikepunkt on kolmnurga raskuskese. Kolmnurga mediaanid jaotavad kolmnurga kuueks pindvõrdseks kolmnurgaks. TEOR. Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. ÜL. 33. Kolmnurga kahe mediaani pikkused on 3 dm ja 1,8 dm. Kui pikkadeks lõikudeks jaotab mediaanide lõikepunkt need mediaanid? ÜL. 34. Kui suured nurgad on võrdkülgse kolmnurga kahe mediaani vahel? ÜL. 35. Täisnurkse kolmnurga ABC kaatetid on AC = 6 cm ja BC = 9 cm. Lõik BD on kaatetile AC tõmmatud mediaan. Arvuta kolmnurga ABD pindala. ÜL. 36. Kolmnurk ABC on võrdhaarne. Lõik AD on mediaan ning ADC = 14 ja BC = AB. Leia kolmnurga ABC nurgad. ÜL. 37. Kolmnurkadele on joonestatud mediaan. Märgi raskuskese ilma teisi mediaane joonestamata. Kordamine. Koostas M. Kikas. Kasutatud materjalid: A. Telgmaa, E. Nurk, Matemaatika VI klassile. osa;. M. Lepik, E. Nurk,
Kolmnurk 4 ÜL. 38. Võrdhaarse kolmnurga ümbermõõt on 0 cm. Tipust tõmmatud nurgapoolitaja jaotab kolmnurga kaheks osaks nii, et kummagi osa ümbermõõt on 16 cm. Leia nurgapoolitaja pikkus. Kordamine. Koostas M. Kikas. Kasutatud materjalid: A. Telgmaa, E. Nurk, Matemaatika VI klassile. osa;. M. Lepik, E. Nurk,
Kolmnurk 5 Kolmnurga kõigi külgede keskristsirged lõikuvad ühes ja samas punktis, mis asub kolmnurga igast tipust ühel ja samal kaugusel. Kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks on kolmnurga külgede keskristsirgete lõikepunkt. DEF. Kolmnurka, millele on joonestatud ümberringjoon nim. kõõlkolmnurgaks. ÜL. 39. Joonesta teravnurkne, täisnurkne ja nürinurkne kolmnurk. Joonesta igale kolmnurgale ümberringjoon. Kus asub ümberringjoone keskpunkt, kui kolmnurk on a) teravnurkne; b) täisnurkne; c) nürinurkne? ÜL. 40. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 7 cm ja 4 cm. Arvuta hüpotenuusile joonestatud mediaani pikkus. Kolmnurga kõik nurgapoolitajad lõikuvad ühes ja samas punktis, mis asub kolmnurga igast küljest ühel ja samal kaugusel. Kolmnurga nurgapoolitajate lõikepunkt on kolmnurga siseringjoone keskpunkt. DEF. Kolmnurka, millele on joonestatud siseringjoon nimetatakse puutujakolmnurgaks. Kolmnurga pindala võrdub kolmnurga ümbermõõdu ja siseringjoone raadiuse poole korrutisega. Pr S = = pr, kus p on pool kolmnurga ümbermõõdust. ÜL. 41. Joonesta teravnurkne, täisnurkne ja nürinurkne kolmnurk. Joonesta igale kolmnurgale siseringjoon. Tee vajalikud mõõtmised. Arvuta iga kolmnurga pindala ümbermõõdu ja raadiuse kaudu. ÜL. 4. Missugune lause on tõene, missugune väär? a) Kolmnurgal leidub ainult üks siseringjoon. b) Kolmnurga siseringjoone keskpunkt võib asuda kolmnurga küljel. c) Kolmnurga siseringjoone keskpunkt võib asuda kolmnurgast väljas. d) Kolmnurga siseringjoone keskpunkt on tema külgedest võrdsel kaugusel. e) Kolmnurga siseringjoone keskpunkt on kolmnurga tippudest võrdsel kaugusel. f) Kolmnurga siseringjoone keskpunktiks on külgede keskristsirgete lõikepunkt. g) Kolmnurgal leidub mitu ümberringjoont. h) Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt on tema külgedest võrdsel kaugusel. i) Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt on tema tippudest võrdsel kaugusel. j) Kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks on tema külgede keskristsirgete lõikepunkt. k) Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt võib asuda kolmnurgast väljas. Kordamine. Koostas M. Kikas. Kasutatud materjalid: A. Telgmaa, E. Nurk, Matemaatika VI klassile. osa;. M. Lepik, E. Nurk,