ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ + 5 d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) d Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( ηµ + συν ) (Θέμ Β) Άσκηση 4 (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d e (Θέμ Β)
Άσκηση 5 (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) 5 d Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) (Θέμ Β) Άσκηση 6 (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d + (Θέμ Β) Άσκηση 7 (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d + 8 (Θέμ Β) Άσκηση 8 (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ συν + d 6 (Θέμ Β)
Άσκηση 9 (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ + e d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ 4 d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ηµ συν d (Θέμ Β) Άσκηση (Ολοκλήρωση κτά Πράγοντες) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ e d (Θέμ Β) Άσκηση (Ολοκλήρωση κτά Πράγοντες) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ συν d (Θέμ Β)
Άσκηση 4 (Ολοκλήρωση κτά Πράγοντες) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ συν e d (Θέμ Β) Άσκηση 5 (Ολοκλήρωση κτά Πράγοντες) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ e d (Θέμ Β) Άσκηση 6 (Ολοκλήρωση κτά Πράγοντες) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ e ln d (Θέμ Β) Άσκηση 7 (Ολοκλήρωση με Αντικτάστση) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ 4 + d (Θέμ Β) Άσκηση 8 (Ολοκλήρωση με Αντικτάστση) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) + d (Θέμ Β)
Άσκηση 9 (Ολοκλήρωση με Αντικτάστση) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d (Θέμ Γ) Άσκηση (Ολοκλήρωση με Αντικτάστση) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ + e d (Θέμ Γ) Άσκηση (Υολογισμός Ολοκληρώμτος Συνάρτησης Διλού Τύου) Δίνετι η συνάρτηση + < f() = +,, i Ν δείξετε ότι η f είνι συνεχής ii Ν υολογίσετε το 6 f ()d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός Ολοκληρώμτος Συνάρτησης Διλού Τύου) Δίνετι η συνάρτηση, < f() = ln(+ ), i Ν δείξετε ότι η f είνι συνεχής ii Ν υολογίσετε το f ()d (Θέμ Β)
Άσκηση (Υολογισμός Ολοκληρώμτος Συνάρτησης Διλού Τύου) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ γεωμετρικά το οτέλεσμ 4 f ()d, όου f() = + κι ν εξηγήσετε (Θέμ Β) Άσκηση 4 (Υολογισμός του f ()d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ + + + 8 d (Θέμ Β) Άσκηση 5 (Συνδυστική) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d + + (Θέμ Β) Άσκηση 6 (Συνδυστική) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ 4 d (Θέμ Β) Άσκηση 7 (Ολοκλήρωση με Αντικτάστση) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ e ln d (Θέμ Γ)
Άσκηση 8 (Συνδυστική) A Ν υολογίσετε την ράγωγο της f () ln ( ) = + + B Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ I = + d (Θέμ Δ) Άσκηση 9 (Συνδυστική) e Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ I = ηµ ln d (Θέμ Δ) Άσκηση (Συνδυστική) Α Αν f είνι μι συνεχής συνάρτηση στο, ν δείξετε ότι f ()d = f ( )d ηµ Β Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ I = d ηµ + συν (Θέμ Γ) Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, 5 ] κι ισχύει f() + f(6 ) = c γι κάθε [, 5], όου c στθερός ργμτικός ριθμός 5 i Ν δείξετε ότι f()d = ( f() + f(5) ) ii Ν δείξετε ότι 5 f ()d = 4f () (Θέμ Δ)
Άσκηση (Συνδυστική) Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι ισχύει f( + ) = f(),, ν + οδείξετε ότι f () d = f () d (Θέμ Γ) Άσκηση (Συνδυστική) Α Μι συνάρτηση f είνι ργωγίσιμη στο κι γνησίως ύξουσ στο Ειλέον η f κι f είνι συνεχής στο Ν οδείξετε ότι: f( ) f()d+ f ()d= f( ) f f Β Δίνετι η συνάρτηση f() = + + 5 Ν οδείξετε ότι η f ντιστρέφετι κι ν 5 υολογίσετε το ολοκλήρωμ f ()d 7 (Θέμ Δ) Άσκηση 4 (Συνδυστική) Α Αν f κι g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] κι γι κάθε [, ] f() g(), ν δείξετε ότι: f ()d g()d ισχύει Β Υοθέτουμε ότι μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, ] Ν δείξετε ότι υάρχει ξ [,], τέτοιο ώστε f()d= f( ξ) (Θέμ Δ)
Άσκηση 5 (Συνδυστική) Υοθέτουμε ότι μι συνάρτηση f είνι ργωγίσιμη στο με f (4) = κι f () = + 9 Ν υολογίσετε το 4 f ()d (Θέμ Γ) Άσκηση 6 (Συνδυστική) Μι συνάρτηση f είνι δυο φορές ργωγίσιμη στο κι έχει συνεχή κι θετική δεύτερη ράγωγο στο διάστημ [, ] Ν οδείξετε ότι f () συν d > (Θέμ Δ) Άσκηση 7 (Συνδυστική) κ Έστω το ολοκλήρωμ I( κ ) = d, κ> + i Ν ρείτε το ολοκλήρωμ συνρτήσει του κ ii Ν ρείτε το lim I( κ ) κ + (Θέμ Γ) Άσκηση 8 (Συνδυστική) Έστω f : μι συνεχής συνάρτηση με συνεχή ράγωγο κι τέτοι ώστε f() f ()d = κι 4 f() f ()d f () f ()d = 8 Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ (Θέμ Γ)
Άσκηση 9 (Συνδυστική) Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι εριοδική με ερίοδο Τ>, ν οδείξετε ότι γι κάθε ριθμό ισχύει: +Τ f ()d = Τ f ()d (Θέμ Γ) Άσκηση 4 (Συνδυστική) Μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [,8] κι τέτοι ώστε κάθε [,8] Αν 8 f ()d =, ν υολογίσετε το 8 I = f ()d f 6 = f(), γι (Θέμ Γ) Άσκηση 4 (Συνδυστική) Μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι τέτοι ώστε f() + f( ) = γ, γι κάθε κι + Ν οδείξετε ότι λ λγ f ()d = λ + (Θέμ Γ) Άσκηση 4 (Συνδυστική) f() + f( + ) d = f()d Έστω f συνεχής συνάρτηση στο Ν οδείξετε ότι (Θέμ Γ)
Άσκηση 4 (Συνδυστική) Η συνάρτηση f είνι δυο φορές ργωγίσιμη κι με συνεχή δεύτερη ράγωγο στο = κι f () ηµ d = Ν υολογίσετε το [, ] Ειλέον ισχύουν f () =, f ολοκλήρωμ f () ηµ d (Θέμ Γ) Άσκηση 44 (Συνδυστική) ( ) Δίνετι η συνάρτηση f () =, (, + ) 4 i Ν ρείτε δυο ργμτικούς ριθμούς κ κι λ ώστε ν ισχύει κ λ f () = +,, + 4 ( ) ( ) ii Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ f ()d (Θέμ Γ) Άσκηση 45 (Συνδυστική) e Έστω το ολοκλήρωμ = ν * ν ν Ν I ln d, i Ν οδείξετε ότι Iν = e ν Iν, ν e ii Ν υολογίσετε το I = ln d (Θέμ Β)
Άσκηση 46 (Συνδυστική) ν ν ηµ συν Αν A = d κι B = d ν ν ηµ + συν, ν ν ηµ + συν * ν Ν, τότε: i Ν οδείξετε ότι Α=Β ii Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ Α+Β, Α, Β (Θέμ Δ) Άσκηση 47 (Συνδυστική) Ν οδείξετε ότι e d + εϕ d e εϕ d 4 4 4 (Θέμ Γ) Άσκηση 48 (Συνδυστική) i Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής κι άρτι στο, ν οδείξετε ότι f ()d = f ()d ii Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής κι εριττή στο, ν οδείξετε ότι f ()d = (Θέμ Γ)
ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Λύση άσκησης Εειδή ( ) ( + ) = ( + ) + = +, έχουμε d d = + ( ) ( ) = + + = 6 = 5 Λύση άσκησης Εειδή + = + =, έχουμε 5 5 5 + 5 5 5 d = d = = = 5 5 Λύση άσκησης Έχουμε ( ηµ + συν ) d = ( ) ηµ + ( ηµ ) d = ( ) ηµ d = ηµ =
Λύση άσκησης 4 Έχουμε e e e d = d = d e e e d ( e ) e e = = d e = = e e Λύση άσκησης 5 Έχουμε d d 6 5 6 ( + ) = ( + ) 6 = ( ) d + 6 6 ( ) = + = = Λύση άσκησης 6 Έχουμε ( + ) = = ( ln + ) + + Εομένως 7 d = ln ( ln7 ln) ln + = = +
Λύση άσκησης 7 Εειδή ( 8) + = 8 +, έχουμε = ( + 8) + 8 d 8 d 8 = + = + + 8 = ( 4 ) = Εομένως Λύση άσκησης 8 Έχουμε συν + d = ηµ + d 6 6 = ηµ + = 6 = ηµ + ηµ 6 6 = = Λύση άσκησης 9 Έχουμε e d = e d + + = = + e e e
Λύση άσκησης Εειδή ( 4 ) = 4 ln4, έχουμε 4 4 4 d = 4 d ln4 = Εομένως ln4 = 4 = 4 ln4 ln4 = ln4 = ln Λύση άσκησης Εειδή ηµ = ηµ συν, έχουμε ηµ συν d = ( ηµ ) d = ( ) ηµ = = Λύση άσκησης Έχουμε e d = e d = e e d e e d = e e = = ( e ) ( e ) =
Λύση άσκησης Έχουμε συν d = ηµ d ( ) d = ηµ ηµ d = ηµ ηµ = ηµ + συν = + ( ) = Λύση άσκησης 4 Έστω I = συν e d Έχουμε: I = συν e d = συν e d = συν e συν e d = συν e + ηµ e d = + ηµ e d = + ηµ e ηµ e d = + e συν e d = e I Εομένως I= e I I= e Άρ I= e
Λύση άσκησης 5 Έχουμε e d = e d = e + e d ( e ) d = e e e d = + e = e e e 5 = = e e e Λύση άσκησης 6 Έχουμε e e ln d = ln ( ) d e e = ln ( ln) d = lne e ln d e e = e d + e = = = e e e e 4 4 4
Λύση άσκησης 7 Θέτουμε u = +, οότε u u u = + = κι d = du = u du Είσης γι = είνι u = κι γι = 4 είνι u = Εομένως το ολοκλήρωμ γίνετι: 4 u + d = u u du 4 5 ( u u ) du u u 5 = = 4 7 98 = = 5 5 5 Λύση άσκησης 8 Θέτουμε u = +, οότε = είνι u 5 ( + ) u = κι d = du Είσης γι = είνι u = κι γι = Εομένως το ολοκλήρωμ γίνετι: 5 5 = = u + + u u + 5 d du du u 8 u 5 5 5 5 du u lnu 8 u u 8 u = + = 5 4 = ( 5 ln5 ) ln ( 4 ln5) ln 8 = 8 8 = ln5 + ln = + ln 6 4 4 4 5
Λύση άσκησης 9 Έχουμε Εομένως το μορεί ν είνι το ημίτονο μις μόνο γωνίς θ με θ Έτσι μορούμε ν θέσουμε = ηµθ Τότε d = ( ηµθ) dθ = συνθdθ κι γι = είνι θ=, ενώ γι = είνι θ= Εομένως d = ηµ θ συνθdθ= συνθ συνθdθ + συνθ = συν θdθ = d θ = d d θ + συν θ θ= + ηµ θ = 4 4 Λύση άσκησης Θέτουμε u = τότε u e du du = e d d = du e = u Είσης, ότν = τότε u =, ότν = κι το ολοκλήρωμ γίνετι: = e Τότε d du = = du + e + u u u + u e e = u = + + u [ ] [ ] e e e e du du lnu ln( u) = [ lne ln] [ ln( + e) ln] = + ln ln( + e)
Λύση άσκησης i Γι < έχουμε f() = + ου είνι συνεχής ως ολυωνυμική συνάρτηση Είσης, γι > έχουμε f() = + ου είνι συνεχής ως σύνθεση της συνεχούς συνάρτησης g() = + με την είσης συνεχή συνάρτηση h() = Θ εξετάσουμε τη συνέχει της f στο σημείο = Έχουμε f () = + = κι lim f () = lim + = lim f () = lim + = + + Οότε η f είνι συνεχής στο = Άρ η f είνι συνεχής στο ii Έχουμε 6 6 f ()d = f ()d + f ()d f ()d d Είνι 4 = + = + = 6 6 κι f ()d = + d = ( + ) 8 = ( 7 8) = 6 6 4 8 4 Άρ f ()d = + = = 4
Λύση άσκησης i Γι < έχουμε f() = ου είνι συνεχής ως ολυωνυμική συνάρτηση Είσης, γι > έχουμε f() = ln(+ ) ου είνι συνεχής ως σύνθεση της συνεχούς συνάρτησης g() = + με την είσης συνεχή συνάρτηση h() = ln Θ εξετάσουμε τη συνέχει της f στο σημείο = Έχουμε f () = ln = κι lim f () = lim f () = Άρ η f είνι συνεχής στο + ii Έχουμε f ()d = f ()d + f ()d Είνι f ()d = d = = κι f()d = ln(+ )d = ln(+ ) + d = + ln(+ ) d = ln Άρ f () d = + ln = ln 4 Λύση άσκησης Η f είνι συνεχής κι γράφετι ως εξής: + 4, < f () =, < 4, Εομένως 4 4 f ()d = ( + 4)d + d + ( 4)d [ ] 4 = + 4 + + 4 =
Εειδή f() = + γι κάθε, το f ()d ριστάνει το εμδόν του ρκάτω σκισμένου χωρίου, ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της 4 συνάρτησης + 4, < f () =, <, τον άξον κι τις ευθείες = κι = 4 4, Το εμδόν υτό, ν το υολογίσουμε γεωμετρικά κτά τ γνωστά είνι ίσο με 4+ 4 4 = 6 6 = (οτέλεσμ ου συμφωνεί φυσικά με υτό ου ρήκμε με τη οήθει του ολοκληρώμτος) Λύση άσκησης 4 Έχουμε: + d = + d + + 8 + + 8 ( ) = ln 8 d + + = ln 8 + + = ( ln ln8) = ln
Λύση άσκησης 5 Ο ρονομστής της ράστσης + + γράφετι + + = ( + )( + ) Εομένως = + + ( + )( + ) A B,, ( + )( + ) + + Ανζητούμε ριθμούς Α κι Β ώστε ν ισχύει = + { } Ισοδύνμ κι γι {, }, έχουμε = A( + ) + B( + ) ( A+ B) + ( A+ B) = A+ B= A= A + B = B = Εομένως d = d + d + + + + [ ] [ ] = ln( + ) + ln( + ) = ln + ln ln = ln 5ln Λύση άσκησης 6 Αό τη διίρεση του με το ολυώνυμο + + = + + = + + + Εομένως 4 4 + d = + + d ( + )( ) 4 4 + = + d + d ( + )( ) έχουμε
4 Είνι 4 9 9 + d = 8 4 + = + + = Γι τον υολογισμό του ολοκληρώμτος ριθμούς Α κι Β τέτοιους ώστε 4 + d νζητούμε στην ρχή δυο ( + )( ) + A B = +, {, } + + Έχουμε + A B = + + + + = A( ) + B( + ) (A + B) + ( A + B) = + A = A+ B= A + B = 8 B = Εομένως + 8 d = d + d + + 4 4 4 8 = + + [ ln( ) ] [ ln( ) ] 4 4 8 = + ( ln5 ln4) ( ln ln) = ln5 + ln 4 9 Άρ d = + ln5 + ln
Λύση άσκησης 7 Θέτουμε u = ln Τότε du = d κι τ άκρ ολοκλήρωσης γίνοντι ντίστοιχ κι Εομένως: ln d = u du = u = e Λύση άσκησης 8 Α Έχουμε ( ) f () = ln + + = + + + + + + = + = + + + + + + = + Β Έχουμε Ι= + d + d = + d= + + d + = d = d + + + = d + d + + ( ) = + d + ln + + d (A)
= + + + + ln d = + ln ( + ) Ι Εομένως Ι= + ln ( + ) Άρ + ln + + d = Λύση άσκησης 9 Θέτουμε u u = ln = e, οότε du = (ln) d = d = d κι εομένως u e d u = e du Είσης ότν = είνι u = κι ότν = e είνι u = Έτσι έχουμε: e u = ηµ = ηµ = ηµ u I ln d u e du u (e ) du u u e = ηµ συν u u e du u e u (e ) du = ηµ συν u u e e u u e du = ηµ συν ηµ = ηµ e ( e συν ) I Άρ + ηµ e e συν I = + ηµ e e συν Ι =
Λύση άσκησης Α Θ δείξουμε ότι το δεύτερο μέλος της ζητούμενης ισότητς είνι ίσο με το ρώτο Θέτουμε u = Εομένως du = d κι ότν = τότε u =, ενώ ότν = τότε u = Έτσι έχουμε: f( )d = f(u) ( du) = f (u) du = f (u)du = f ()d Β Αν ηµ f() =, τότε ηµ + συν ηµ f = ηµ + συν Εφρμόζοντς το (Α) ερώτημ, έχουμε: ηµ ηµ συν ηµ + συν συν + ηµ ηµ + συν I = d = d d = Εομένως ηµ συν ηµ + συν ηµ + συν συν + ηµ ηµ + συν I = d + d d = = d = = ηµ Άρ I = d = ηµ + συν 4
Λύση άσκησης i Αν στην ισότητ f() + f(6 ) = c θέσουμε = ίρνουμε: f() + f(6 ) = c f() + f(5) = c Εομένως f() + f(6 ) = f() + f(5) Έτσι έχουμε 5 5 (f() + f(6 ))d= f() + f(5) d 5 5 5 ή + = ( + ) f()d f(6 )d f() f(5) d 5 5 ή f()d+ f(6 )d= 4( f() + f(5) ) () 5 Όμως, ν στο f (6 )d θέσουμε u = 6, τότε du = d κι γι = είνι u = 5, ενώ γι = 5 είνι u = Έτσι έχουμε: 5 5 5 f (6 )d = f (u) du = f (u)du = f ()d 5 Έτσι η () γίνετι: 5 5 f()d= f() + f(5) d 5 5 f()d= f() + f(5) d 5 f()d= 4 f() + f(5) 5 f()d = f() + f(5)
ii Αν στην ισότητ f() + f(6 ) = c θέσουμε f () + f () = c f () = c Εομένως f() + f(6 ) = f() Έτσι έχουμε 5 5 [ ] f () + f (6 ) d = f ()d + 5 = = ίρνουμε: 5 5 5 f ()d + f (6 )d = f ()d κι εργζόμενοι όως ροηγουμένως έχουμε: 5 5 5 f ()d = f ()d f ()d = f () d 5 Άρ 5 f ()d = 4f () Λύση άσκησης Θ δείξουμε ότι το ρώτο μέλος της ζητούμενης ισότητς είνι ίσο με το δεύτερο Θέτουμε u =+ Εομένως du = d κι ότν = τότε u =, ενώ ότν = τότε u = Έτσι έχουμε: I = f()d = ( + u) f(u)( du) = ( + u) f(u)du = = ( + ) f (u)du u f (u)du = ( + ) f (u)du u f (u)du = ( + ) f ()d f ()d + Εομένως I = ( +) f () d, άρ I f ()d =
Λύση άσκησης Α Μι γεωμετρική ερμηνεί του ρολήμτος κι της λύσης του στην ερίτωση ου έχουμε f(), (ν f(), τότε το σχήμ είνι συμμετρικό ως ρος τον άξον ) είνι η εξής: Το ολοκλήρωμ f( ) f( ) = f f f ()d ριστάνει το εμδόν Ε, το ολοκλήρωμ f () d f (y) dy ριστάνει το εμδόν Ε, ενώ το εμδόν των δυο σχημτιζόμενων ορθογωνίων είνι ντιστοίχως f( ) του μεγλύτερου κι f( ) του μικρότερου Προφνώς η διφορά των εμδών των δυο ορθογωνίων είνι ίση με το άθροισμ Ε +Ε Δηλδή ισχύει: f( ) f()d+ f ()d= f( ) f f Γενικότερ έχουμε: f ()d = [ f() ] f()d, δηλδή f ()d = f( ) f f()d () Εειδή η f είνι συνεχής (φού είνι ργωγίσιμη) κι μονότονη, έετι ότι υάρχει η f f() f ()d = f f() f ()d f, οότε ό τη σχέση =, έχουμε Θέτουμε u = f(), οότε du = f ()d κι ότν =, τότε u= f( ), ενώ ότν =, τότε u= f( )
Εομένως f ()d = f f() f ()d f( ) f = f u du = f d f f f( ) Δηλδή = f () d f d () f f( ) Αό τις () κι () ροκύτει ότι f d= f( ) f f()d, άρ f f( ) f()d+ f ()d= f( ) f f Β Η συνάρτηση f() = + + 5 έχει f () = + >, εομένως είνι γνησίως ύξουσ, άρ είνι κι κι ντιστρέφετι Έχουμε = Είσης έχουμε f () = + + 5 = 5 + = Η μονδική λύση της εξίσωσης υτής είνι η f() = + + 5= 7 + = Η μονδική λύση της εξίσωσης υτής είνι η = Εομένως με άση την ισότητ έχουμε f( ) f()d+ f ()d= f( ) f f 5 f ()d + f ()d = f () f () 7 = 5 7 = Άρ 5 = 7 f ()d f ()d = + + 5 d 4 = + + 5 4 5 = 6 = 4 4
Λύση άσκησης 4 Α Έχουμε f() g() g() f(), [, ] Εομένως: g() f() d g()d f()d g()d f ()d f ()d g()d Β Εειδή η f είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ [, ], ίρνει στο διάστημ υτό ελάχιστη τιμή έστω ε κι μέγιστη τιμή έστω M Εομένως γι κάθε [,] έχουμε: ε f() M ε f() M ε d f () d M d ε M f ()d f ()d M ε Πρτηρούμε ότι ο ριθμός f ()d συνάρτησης f Άρ υάρχει [ ] f()d= f( ξ) f()d= f( ξ) νήκει στο σύνολο τιμών της συνεχούς ξ,, τέτοιο ώστε
Λύση άσκησης 5 Έχουμε 4 [ ] 4 4 4 f()d = f() () d = f() f () d 4 4 = 4 f (4) + 9 d = 4 + 9 d 4 + 9 d Γι τον υολογισμό του θέτουμε du = d = d + 9 u είνι u = 5 Εομένως: u = + 9 Τότε, δηλδή d = u du Είσης ότν = είνι u = κι ότν = 4 4 5 5 + 9 d = u u du = u du 5 5 7 98 u = = = Άρ 4 98 f ()d = 4 = Λύση άσκησης 6 Έχουμε f () συν d = f () ηµ d [ ] = f() ηµ f () ηµ d = f () συν d [ ] = f () συν f () συν d = f f () f () συν d = f ()d f () συν d = f () συν d
> στο [, ] κι συν, φού στ άκρ του διστήμτος [, ] Εομένως γι κάθε [, ] Όμως f () χωρίς ν είνι ντού f ()( συν ) = Άρ συν κι με το ίσον ν ισχύει μόνο είνι f ()( συν), f () συν d > Λύση άσκησης 7 i Έχουμε κ κ κ I( κ ) = d = d = d + ( + ) ( + ) = d d = ln ln( + ) + [ ] [ ] κ κ κ κ = κ κ+ ( ln ln) ( ln ln4) κ = ln + ln κ+ ii Έχουμε κ lim I( κ ) = lim ln + ln κ + κ + κ+ κ = ln + lim ln κ + κ+ = ln + ln = ln
Λύση άσκησης 8 Έχουμε f() f ()d ( f () = ) d Κι εειδή f() f ()d ( f () = ) d = Άρ f () f () = f () = f () () Είσης: ( f ()) f () d 8 ( f () = ) d = 8 Άρ f () f () = 54 () Η ισότητ () συνεάγετι ότι f() = f() ή f() = f() Αν όμως ήτν f() = f(), τότε ό τη () θ είχμε = 54, άτοο Άρ f() = f() κι η () γίνετι: Ακόμ Έχουμε f () = 54 f () = 7 f () =, οότε f () = f() f ()d f () d 5 4 5 = f 5 () f 5 () = 5 5 5 5 = ( + ) = 5 5
Λύση άσκησης 9 Είνι +Τ Τ +Τ f ()d = f ()d + f ()d + f ()d () T +Τ Είσης ν στο ολοκλήρωμ f () d θέσουμε = u+ T τότε u = T κι du = d ενώ Τ γι = T έχουμε u = κι γι =+ T έχουμε u = οότε +Τ f ()d = f (u)du = f ()d κι η σχέση () γίνετι Τ +Τ Τ f ()d = f ()d + f ()d + f ()d = f ()d + Τ f ()d Τ = f ()d Λύση άσκησης 4 8 Στο ολοκλήρωμ I = f ()d, θέτουμε u = 6 Τότε du = d κι γι = είνι u = 8, ενώ γι = 8 είνι u = 8 I = f()d = (6 u) f(6 u)( du) 8 8 = (6 u) f (u)du 8 8 = 6 f (u)du u f (u)du 8 8 = 6 f ()d f ()d = 6 I Εομένως I = 6 I, άρ I =
Λύση άσκησης 4 Έχουμε f() + f( ) = γ λ λ λ f ()d + f ( )d = γd λ λ λ λ f ()d + f ( )d = λγ λ λ () λ λ Αν στο ολοκλήρωμ f ( )d θέσουμε = u, τότε d = du κι γι = λ, τότε λ u = λ κι γι = λ, τότε u = λ, έχουμε: λ λ f( )d = f(u)( du) = f (u)du = f ()d λ Εομένως η () γίνετι: λ λ f ()d + f ()d = λγ λ λ λ λ ( + ) f ()d λ λ λ λγ f ()d = + = λγ λ λ λ λ Λύση άσκησης 4 Έχουμε f ()d = f ()d + f ()d Αν στο ολοκλήρωμ f ()d θέσουμε u =, έχουμε du = d κι γι = είνι u =, ενώ γι = είνι u = Εομένως f ()d = f (u + )du = f ( + )d Άρ f ()d = f ()d + f ( + )d ή = ( + + ) f()d f() f( ) d
Λύση άσκησης 4 Έχουμε f () ηµ d = f () συν d [ ] = f() συν + f () συνd = f () συν f ( ) συν + f () συν d = f () + f ( ) + f () συν d = 4 + f () ( ηµ ) d [ ] = 4+ f () ηµ f () ηµ d = 4 Λύση άσκησης 44 i Έχουμε κ λ = + ( ) ( ) ( ) 4 4 =κ( ) +λ =κ + ( λ κ ) κ= κι λ κ= Άρ κ=, λ= ( ) ( ) ii Έχουμε f () = +, (, + ) Εομένως 4 f ()d = + ( ) ( ) = d + ( ) ( ) 4 4 d d
= ( ) ( ) = = 4 8 Λύση άσκησης 45 i Έχουμε ν e e ν ν = = I ln d ln () d ν e e ν = ( ln) ν ( ln) d e ν = e ν ln d Άρ Iν = e ν Iν ii Έχουμε I = e I I = e I I = e e I = e + 6I Όμως εομένως e e I = ln d = ln d = [ ] e e = ln d = e (e ) = Άρ I = e + 6 = 6 e
Λύση άσκησης 46 ν ηµ i Στο ολοκλήρωμ A = d θέτουμε u =, οότε d = du, ενώ τ ν ν ηµ + συν άκρ ολοκλήρωσης γίνοντι κι ντίστοιχ Εομένως ηµ u ν ν ηµ A = d = du ν ν ηµ + συν ν ν ν συν u = du = Β ν ν συν u+ ηµ u ηµ u + συν u ii Έχουμε ν ν ηµ συν Α+Β= d + d ν ν ν ν ηµ + συν ηµ + συν ν ν ηµ + συν d = = d = ν ν ηµ + συν Εειδή Α=Β κι Α+Β=, έχουμε Α=Β= 4 Λύση άσκησης 47 Έχουμε e d + εϕ d e εϕ d 4 4 4 4 4 4 e d + εϕ d e εϕ d 4 4 4 e d + εϕ d e εϕ d 4 4 e + εϕ e εϕ d ( εϕ ) e d Η τελευτί νισότητ ισχύει, φού e εϕ, γι κάθε
Λύση άσκησης 48 i Έχουμε f ()d = f ()d + f ()d Στο f ()d, θέτουμε u =, οότε du = d, ενώ τ άκρ ολοκλήρωσης γίνοντι κι ντίστοιχ Εομένως f ()d = f ( u)du = f (u)du = f ()d Άρ f ()d = f ()d + f ()d = f ()d ii Έχουμε f ()d = f ()d + f ()d Στο f ()d, θέτουμε u =, οότε du = d, ενώ τ άκρ ολοκλήρωσης γίνοντι κι ντίστοιχ Εομένως f ()d = f ( u)du = f ( u)du = f (u)du = f ()d Άρ f ()d = f ()d + f ()d = f ()d + f ()d =
Thank you for evaluating AnyBizSoft PDF Merger! To remove this page, please register your program! Go to Purchase Now>> AnyBizSoft PDF Merger Merge multiple PDF files into one Select page range of PDF to merge Select specific page(s) to merge Etract page(s) from different PDF files and merge into one