Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta Oddelek za matematiko in računalništvo Katedra za algebro in analizo Marko Razpet INDIJSKA MATEMATIKA Študijsko gradivo Zgodovina matematike Ljubljana, marec 2015
Vsebina Predgovor 3 1 Sanskrt in devanagari 7 2 Sanskrtska abeceda 12 3 Števke in glavni števniki 13 4 Začetki indijske matematike 14 5 Doktrine 16 6 Indijski Elementi 18 7 Kako se je godilo sinusu in kosinusu 22 8 Ne gre brez skrivnosti 27 9 Običajno računanje 30 10 Težave s štirikotniki 31 11 Neporočena hči je dala delu ime 38 12 Jugozahod Indije se prebuja 40 Za konec 42 Literatura in spletni viri 44
Predgovor Ko omenjamo indijsko matematiko, se po navadi najprej spomnimo na številke. Običajno uporabljamo arabske številke, redko rimske. Slednje imajo pravilno ime, saj so se pred dva tisoč leti razširile hkrati s širjenjem rimske države. Pri arabskih številkah, ki so se uveljavile veliko kasneje, pa pripomnimo, da pravzaprav niso arabske in da so nastale v Indiji. Pravijo, da so jih arabski trgovci spoznali v Indiji, odkrili njihovo praktičnost v zapisu in računanju z njimi ter jih postopoma s širjenjem islama posredovali vse do Maroka in Pirenejskega polotoka. Zato bi upravičeno morali govoriti o indijskih ali pa vsaj o indijsko-arabskih ali arabsko-indijskih številkah. Oblike desetih znakov, to je števk ali cifer, s katerimi zapisujemo številke, so se s časom spreminjale. Ponekod še dandanes uporabljajo drugačne zapise števk kot mi. Nekaj primerov je zbranih v spodnji tabeli. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 običajno arabsko urdu 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 sanskrt 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kakorkoli že je, sama oblika števk niti ni tako pomembna kot dejstvo, da lahko vsako naravno število zapišemo zgolj z desetimi števkami, kar so ugotovili v Indiji, kjer so vpeljali tudi mestni zapis števil. Prav tako je pomembno, da so v Indiji vpeljali ničlo, v sanskrtu śūnya, kar izgovarjamo šunja, v pisavi devanagari, s katero pišemo sanskrt, pa ш. Pomeni pa prazen. Naš znak za ničlo je 0, sanskrtski 0, arabski pa. Dolgo časa je trajalo, da so matematiki spoznali, da je nič sploh število. Razlogi, da nič 3
ne more biti število, so bili filozofske in religiozne narave. Sklepali so nekako takole: čim zapišemo neki znak za nič, to nekaj je, torej ni nič. Ravno v Indiji se je najbolj utrdilo mnenje, da je treba uvesti znak za nič. Prav tako so indijski matematiki prvi uvideli, da nič je število. Vpeljali so tudi negativna števila. Slika 1: Indijska podcelina. Ne smemo pa trditi, da so samo v Indiji poznali mestni zapis števil. Babilonci so ga tudi uporabljali. Namesto 10 števk kot Indijci so jih uporabljali kar 59: za vsako število od 1 do 59 po enega, in to v klinopisni pisavi. Vsaka babilonska števka je bila logično zapisana z manjšimi znaki za ena in deset. Namesto ničle pa so uporabljali prazen prostor, kar je lahko prinašalo nesporazume ali celo zlorabe. Že v času zatona babilonske civilizacije so uvedli znak za nič, tako da so števila lahko zapisovali s šestdesetimi znaki. Babilonski znak za nič ni bil niti malo podoben indijskemu oziroma arabskemu. Sestavljale so ga tri vzporedne poševne črtice, zgoraj krepkeje zaključene. Predvsem pa je igral vlogo zapolnjevalca prostora in ga niso imeli za število. 4
Pomembno pa je, da so Babilonci poznali šestdesetiške ulomke, podobno kot mi desetiške, da lahko pišemo decimalna števila. Stari Grki so števila zapisovali s črkami svojega alfabeta. Aleksandrijski učenjak Klavdij Ptolemaj (90 168), Κλαύδιος Πτολεμαῖος, je v svojem znamenitem Almagestu uporablja babilonski sistem, samo namesto klinopisnih števk, ki označujejo števila od 1 do 59, je uporabljal ustrezni grški črkovni zapis števil: α, β, γ,..., νζ, νη, νθ. Navadno tem znakom dodajamo zgoraj še črtico, da se razločujejo od običajnih črk, na primer νθʹ za 59. Ptolemaj teh črtic v tabelah ne uporablja, ker so nepotrebne, saj se ve, da gre za števila. Ustrezno babilonskemu simbolu za nič je Ptolemaj uporabljal črko omikron (O), kar je prva črka grške besede οὐδέν, kar pomeni nič. Ko se je indijsko-arabski mestni desetiški sistem že krepko uveljavil, so ga sprejeli tudi bizantinski trgovci, le za števke 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 so uporabljali stare grške črkovne številke α, β, γ, δ, ε, ϛ, ζ, η, θ. Namesto οὐδέν, nič, niso uporabljali omikrona ο, ki je nekoč označeval število 70, ampak poseben znak, podoben. Število 2015 so zapisali v obliki β αε. h Prej omenjena beseda cifra je arabskega izvora, ki je prišla v Evropo skupaj z arabskimi številkami, med katerimi je tudi znak za nič, po arabsko, kar izgovarjamo as-sifr. Tako je arabska beseda za nič postala izraz za vse števke pri Nemcih, ki so začeli v tem smislu uporabljati besedo Ziffer in od njih je k nam prišla beseda cifra. Iz iste arabske besede je nastala še šifra, v francoščini chiffre, v angleščini cipher, v ruščini xifr, kar uporabljamo v zvezi s tajnimi pisavami. Iz njih se je razvila nova znanost, kriptografija, ki se ukvarja s tem, kako zapisati informacijo, da je ne more ravno vsakdo prebrati, ampak samo tisti, kateremu je namenjena. Tako se eni trudijo, kako informacijo čim bolj učinkovito šifrirati, drugi pa, kako jo dešifrirati. Beseda kriptografija je sestavljena iz dveh grških elementov: κρυπτός pomeni skrit, tajen, skriven, γράφω pa med drugim pišem, zapišem. Nemci so razvili slavni šifrirni stroj Enigma. Ime izhaja iz grške besede αἴνιγμα, kar pomeni uganka, zagonetka. Kljub zagonetnosti Enigme je le-ta med drugo svetovno vojno padla zahvaljujoč poljskim in angleškim matematikom ter napaki nekega nemškega operaterja. Morda se je vojna v Evropi tudi zato prej končala. h 5
Iznajdba desetiškega sistema in mestnega zapisa na tleh Indije se nam ne zdi nič čudnega. Enostavno rečeno, potreba po zapisu velikanskih števil, ki se pojavljajo v indijskih svetih spisih, Vedah, kar pomeni znanje, veda, je narekovala uvedbo mestnega zapisa. V starodavnih Vedah se omenja na primer časovni cikel satja juga, v sanskrtu, ki traja 1 728 000 let. V šoli smo se učili o indijskih epih Mahabharata, ki jo sestavlja okoli 100 000 dvojnih verzov, tako da sta Iliada in Odiseja pravi pritlikavki v primerjavi z njo, in Ramajana, ki je približno štirikrat manj obsežna. Težko bi zapisali taka števila brez desetiškega sistema. Osnova deset se je uveljavila v številskem sistemu zaradi desetih prstov, ki jih imamo ljudje na obeh rokah. V Mezopotamiji so za osnovo vzeli število šestdeset, verjetno zato, ker ima veliko več deliteljev kot deset. Sicer pa vemo, da je osnova številskega sistema lahko katerokoli naravno število b > 1. Vsako realno število x lahko zapišemo v obliki x = ±a n b n +... + a 1 b + a 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 +..., pri čemer je n naravno število, a k naravna števila, števke, med vključno 0 in vključno b 1 in a n > 0. Vseh števk je točno b. Na indijski podcelini od nekdaj živi veliko število ljudstev, ki govorijo različne jezike in uporabljajo različne pisave. Tako kot v Mezopotamiji in Egiptu se je tudi tu, ob velikih rekah, na primer Indu, Gangesu in Brahmaputri, civilizacija že zelo zgodaj lepo razvijala, kar kažejo okoli štiri tisoč let stari ostanki mest Mohendžo-daro in Harappa v sedanjem Pakistanu ter Delhi in Pataliputra v današnji Indiji. Med izkopaninami ni sicer predmetov, ki bi neposredno dokazovali prisotnost matematike v tistih davnih časih, toda posredno lahko sklepamo, da so dobro obvladali geometrijo, števila, tehtanje in merjenje, sicer ne bi mogli narediti tako popolnih objektov: stavb, ulic, kanalizacije in namakalnih sistemov. Nekaj matematike se je ohranilo v vedskih besedilih. Od nekdaj so v Indiji gradili sakralne objekte, pri čemer je bilo treba dobro poznati geometrijo in računstvo. Prav tako kot druga kulturna stara ljudstva pa so postavili tudi astronomijo na zavidljivo raven. Ljubljana, marca 2015 6 Dr. Marko Razpet
1 Sanskrt in devanagari Sanskrt je starodavni jezik indijske podceline. Uvrščajo ga med klasične jezike, podobno kot latinščino in grščino. Govori ga zelo malo ljudi glede na več kot milijardo ljudi, ki žive v tistem delu sveta, je pa neobhodno potreben za razumevanje, na primer Ved, epov Ramajana in Mahabharata ter zgodnjih matematičnih spisov. Dandanes se sanskrt največ uporablja v hindijskih verskih obredih, ceremonijah, himnah in mantrah. Za zapis sanskrtskih besedil so nekoč uporabljali različne pisave, od katerih se je še najbolj ustalil devanagari, tudi samo nagari, ki ga nekateri živi jeziki na indijski podcelini uporabljajo še danes, na primer hindijski jezik. Devanagari pozna samo eno vrsto črk, medtem ko moderni evropski jeziki poznajo velike in male črke. Bere se ga z leve proti desni in od zgoraj navzdol. Sanskrt pa ima ednino, dvojino in množino. Seveda so na različne načine poskušali devanagari prečrkovati v latinico. Obstaja več sistemov, na primer IAST International Alphabet of Sanskrit Transliteration, kar pomeni mednarodna abeceda za prečrkovanje sanskrta. Pisanje sanskrtskih in hindijskih besed v slovenščini narekuje slovenski pravopis (SP). Njegova slabost je v tem, da nekatere črke, ki označujejo podobne, toda različne glasove, meče v en koš. Zato bomo v zapisih pogosto uporabljali standard IAST. Za ponazoritev si oglejmo nekaj znanih besed iz sanskrta. Po vrsti si sledijo slovenščina, IAST (namerno pišemo z malimi črkami, ker velike lahko pomenijo nekaj drugega) in devanagari: Veda veda Sanskrt saṃskṛtam к Ramajana rāmāya.na Mahabharata mahābhārata Ganges Ganga gaṃgā Brahmaputra brahmaputra hm Ind sindhu L A TEX je računalniški sistem za stavljenje besedil, zlasti matematičnih. Včasih želimo zapisati kakšno grško, arabsko ali rusko besedo. Zadnje čase s tem ni 7
težav, ker L A TEX in druge sorodnike TEX-a podpirajo paketi, ki to omogočajo. Običajno so ti paketi opremljeni tudi s priročniki za uporabo. Za pisanje v devanagariju zadošča polna verzija MikTeX-a, ki vsebuje vse potrebne fonte in paket devanagari.sty. Besede v devanagariju pripravimo v datoteki s končnico dn, na primer vaja.dn, nakar jo predprocesiramo s programom devnag.exe, ki ga poiščemo na medmrežju in namestimo na svoj računalnik. Kot rezultat dobimo datoteko s končnico tex, v našem primeru vaja.tex. V njej so zapisane besede tako, da jih razumejo ukazi v paketu devanagari.sty, ki ga v glavni datoteki pokličemo z ukazom \usepackage{devanagari}. V datoteki vaja.dn moramo prečrkovati sanskrtske besede po sistemu Velthuis, ki je podoben sistemu IAST. Frans Velthuis je avtor svojega prečrkovanja, ki je opisano v priročniku [9]. Na levi strani spodaj je primer vsebine datoteke vaja.dn, na desni pa vaja.tex, iz katere besede prenesemo v glavno datoteko. Ta mora na začetku, pred klicem paketa devanagari.sty, imeti zapisan ukaz \def\devnagversion{2.15}. vaja.dn vaja.tex \def\devnagversion{2.15} {\dn devanaagarii} {\dn sa.msk.rtam} \def\devnagversion{2.15} {\dn d\?vnagrf} {\dn s\2-\9{k}t\qq{m}} Druga dva ukaza v vaja.tex nam oblikujeta besedi in к. V nadaljevanju bomo na primerih sanskrtskih črk videli, kaj je treba napisati v datoteko s končnico dn, da dobimo pravilen izpis. Obstajajo še nekatere podrobnosti, ki jih poznajo sanskrt in drugi indijski jeziki. Opisane so v [9]. Še najmanj zapleten je izpis sanskrtskih števil. Primer. Ukaza {\dn\dnnum{2015}} in {\dnbombay\dnnum{2015}} nam izpišeta 2015, oziroma 2015, to je obakrat 2015. Devanagari pozna veliko ligatur, spojenih črk, zlasti soglasnikov. Imamo jih tudi v latinščini: æ, œ, Æ, Œ. Če napišemo {\dn ga"ngaa}, dobimo g, 8
z {\dn ga"n{}gaa} pa, druga pisava za Ganges. V devanagariju so ligature zelo pogoste. Separatorja {} in + prideta sem ter tja v L A TEX-u v poštev, ko je treba ločiti dve črki. Na primer med samoglasnikoma, ki bi sicer označevala dvoglasnik: {\dn pra{}uga} da pru, {\dn prauga} pa pr. Samoglasniki Samoglasniki v sanskrtu so kratki in dolgi, kar označujejo različne črke. Kjerkoli se v nadaljevanju omenja ukaz za L A TEX, pomeni, da ga je treba vpisati v datoteko dn, ki jo obdela predprocesor devnag.exe. Včasih je za dolge samoglasnike ugodneje uporabiti velike črke. Primer {\dn kaii} nam da к i, {\dn kai} oziroma {\dn ka{}ii} pa ки. Enostavni samoglasniki Sansk. a a i и u ll IAST a ā i ī u ū ṛ ṛ ḷ L A TEX a aa i ii u uu.r.r.l SP a a i i u u r r l Dvoglasniki Sansk. e e a a IAST e ai o au L A TEX e ai o au SP e aj o av Samoglasniški modifikaciji Sansk. a a IAST aṃ aḥ L A TEX a.m a.h SP Soglasniki Soglasnike v sanskrtu delimo glede na tehniko njihove izgovorjave na velare, palatale, retroflekse, dentale, labiale, polvokale in sibilante. Tem se pridružuje še aspirant. Predstavljamo jih v ločenih tabelah. 9
Velari Sansk. к х IAST ka kha ga gha ṅa L A TEX ka kha ga gha "na SP ka kha ga gha na Retrofleksi Sansk. a IAST ṭa ṭha ḍa ḍha ṇa L A TEX.ta.tha.da.dha.na SP ta tha da dha na Labiali Sansk. IAST pa pha ba bha ma L A TEX pa pha ba bha ma SP pa pha ba bha ma Palatali Sansk. IAST ca cha ja jha ña L A TEX ca cha ja jha ~na SP ča ča dža džha nja Dentali Sansk. IAST ta tha da dha na L A TEX ta tha da dha na SP ta tha da dha na Polvokali Sansk. IAST ya ra la va L A TEX ya ra la va SP ja ra la va Sibilanti Aspirant Retrofleks Vede Sansk. ш Sansk. Sansk. IAST śa ṣa sa IAST ha IAST L A TEX "sa.sa sa L A TEX ha L A TEX La SP ša ša sa SP ha SP la Sanskrtske črke lahko razvrstimo v tem vrstnem redu še v abecedo, ki pa pravzaprav ni ustrezna beseda, ker se ne začne s črkami a, b, c, d kot latin- 10
ska. Tudi beseda alfabet ni ustrezna, še najbolje bi bilo reči varnamala varṇamālā. Nekateri dodajajo med samoglasnike tudi črko, v IAST ḷ, ki jo v L A TEXu dosežemo z.l. Ustreza daljši varianti predhodne črke ll. Devanagari pozna še nekaj ločil in bralnih znamenj. Znak, danda, označuje zarezo v stavku, navadno na koncu polkitice, znak, dvojna danda, pa veliko zarezo oziroma konec kitice. V L A TEX-u ju dosežemo z oziroma. Izpust začetnega a dosežemo z avagraho, v L A TEX-u.a. Včasih srečamo anunasiko ali čandrabindu, v LaTeX-u / in še nekatere druge potrebne znake:,,,,. Nekatere črke devanagarija so različne. Namesto a vidimo tudi a, namesto tudi in, črko nadomesti tudi, črko pišejo nekateri kot. Prav tako sta dve obliki številke 5, to sta 5 in 5, pa tudi dve obliki številke 8, in sicer 8 in 8. Zapisani samoglasniki lahko stojijo na začetku besed. Če samoglasnik slišimo za soglasnikom, ga ne pišemo, ker je že zapopaden v le-tem. Posebni dodatki povedo, kateri samoglasnik je za soglasnikom. Vzemimo primer к, ki se bere kot ka s kratkim a. Zapis к se bere kot kā z dolgim a. Sledijo к ki, к kī, к ku, к kū, к kṛ, к k ṛ, к kḷ, к ke, к kai, к ko, к kau. Črtica nad samoglasnikom pomeni, da je le-ta dolg. Vedno so dolgi e, o, ai, au. Vse pa ne gre po tem kopitu, ker devanagari pozna ligature, tako da se črke malo zlijejo. Tako imamo na primer: ra, ru, rū. Nekaj besed: tri tri, trita tretji, trapā sram. Znak virama na koncu besede pove, da se samoglasnik a, ki je sicer del soglasnika, ne izgovarja, na primer к vāk glas. Brez virame bi namreč brali vāka. Beseda eк к ekākin pomeni sam. Anunasika (iz к nāsikā nos) ali čandrabindu označuje nosno izgovorjavo, kakršno poznajo Francozi. Primera: kl, a. Če nekaj sanskrtskih besed, ki so po izgovorjavi ali pomenu podobne našim: a, hn agni, vahni ogenj, smayate smejati, sīdati sedeti, ш deśa dežela, patati padati, pl plavate plavati, dadāti dati, bravīti praviti. 11
2 Sanskrtska abeceda Sanskrtska abeceda je urejen sestav simbolov črk. Služi tudi za leksikografsko ureditev sanskrtskih besed, na primer v slovarjih. Gre pa takole: a a a ā i i и ī u u ū ṛ ṛ ll ḷ e e e ai a o a au a ṃ a ḥ к ka х kha ga gha ṅa ca cha ja jha ña a ṭa ṭha ḍa ḍha ṇa ta tha da dha na pa pha ba bha ma ya ra la va ш śa ṣa sa ha Črke, ki spadajo skupaj, so v tej abecedi v isti vrstici. Najprej je zapisana v devanagariju, nato pa v sistemu IAST. Ligature soglasnikov so pogoste. Primer: s spajanjem črk к in nastane, črki in pa dasta. Seveda so tule črke samo ene oblike. Obstajajo tudi drugačne. Besedo sanskrt lahko pišemo na primer kot к, к, к, к. Lahko spreminjamo tudi velikost črk: к, к, к, к. 12
3 Števke in glavni števniki Za matematike so zanimive sanskrtske števke in besede za glavne števnike. Nekateri so kar podobne našim. Kot je razvidno iz tabele, obstajata dve varianti zapisa števk za 5 in 8. V petem stolpcu je zapis IAST, v šestem pa izgovorjava. Številke Števniki 0 0 0 ш śūnya šunja 1 1 1 eк eka eka 2 2 2 dv dvi dvi 3 3 3 tri tri 4 4 4 catur čatur 5 5 5 c pañcan panjčan 6 6 6 ṣaṣ šaš 7 7 7 pt saptan saptan 8 8 8 aßtt aṣṭan aštan 9 9 9 navan navan 10 10 10 ш daśan dašan Besede za zgornje glavne števnike so vzete iz [11]. Najdemo pa tudi nekoliko drugačne zapise le-teh. Večmestna števila se v sanskrtu pišejo v običajnem vrstnem redu. Od desne proti levi si sledijo enice, desetice, stotice, tisočice itd. Števnik dvajset je v sanskrtu viṃśati, ш. Tako kot v romanskih jezikih, na primer v latinščini, italijanščini, francoščini, je beseda za dvajset izjema glede na desetkratnike, ki sledijo. Tako kot v slovenščini in nemščini se tudi v sanskrtu v dvomestnih številih postavlja enice pred desetice: fünfundzwanzig, petindvajset je pañcaviṃśati, c ш. Števnik sto je v sanskrtu śata, ш. 13
4 Začetki indijske matematike V časih, ko so v Egiptu gradili velike piramide (okoli 2650 pne.), se je v dolini Inda razvila civilizacija z visoko kulturo, kot pričajo izkopanine v Mohendžodaru in Harappi. Niso pa našli neposrednih dokazov, kako je bilo tam z matematiko. Imeli pa so sistem mer in uteži ter neke vrste desetiški številski sistem. Gospodarji in ljudstva so se menjavali, uporabljali so se različni jeziki in dialekti, zaradi česar je težko slediti razvoju matematike. Znanje se je prenašalo z ustnim izročilom. Šele Vede, pisane v sanskrtu, nam dajejo nekaj podatkov o najzgodnejši stari indijski matematiki. Vede so v glavnem religiozna besedila, ki omenjajo velika števila in desetiški številski sistem. Veliko pozornosti posvečajo razsežnostim, oblikam in razmerjem zidakov, ki so jih uporabljali za zidanje oltarjev. Tudi Indijci so poznali harpedonapte, napenjalce vrvi, ki so izvajali geometrijske meritve, ki so potekale po določenih pravilih, lahko bi rekli po obredih. Zato ima zgodnja indijska matematika pravi obredni značaj. Težko je reči, koliko sta v tistih časih na indijsko vplivali egipčanska in kitajska matematika. Vsako zbirko pravil za delo z merilno vrvjo so imenovali šulba-sutra. Sanskrta beseda šulba ali šulva pomeni merilna vrv, beseda sutra pa zbirka pravil, splošnih resnic ali načel. Morda je bolj znana kama-sutra, ki obravnava ljubezenske zadeve, in kot beseda tudi vsebuje izraz sutra. Beseda kama pomeni ljubezen. Besede zapišimo še v standardu IAST in devanagari: šulba śulba ш, šulva śulva ш, sutra sūtra, šulba-sutra śulbasūtra ш, kama kāma к, kama-sutra kāmasūtra к. Šulba-sutre so napisane v verzih. V njih se omenjajo osebe Baudhajana baudhāyana, Manava mānava, Katjajana kātyāyana к in Apastamba āpastaṃba a. Slednji je od vseh teh najbolj znan. Živeli naj bi v prvi polovici prvega tisočletja pred našim štetjem. Poznali so konstrukcijo pravega kota z uporabo pitagorejskih trojic (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) in (12, 35, 37). Morda je imela tu svoj vpliv matematika Mezopotamije. Apastamba je v bistvu poznal Pitagorov izrek, saj je vedel, da je kvadrat diagonale pravokotnika enak vsoti kvadra- 14
tov njegovih stranic. Znali so tudi pretvoriti pravokotnik v ploščinsko enak kvadrat. Oblikovali so tudi pravila za pretvarjanje ravnih črt v krive in obratno. Samo ugibamo lahko, koliko časa so nastajale šulba-sutre in če so imele kako povezavo z egipčanskim zemljemerstvom in grškim problemom podvojitve podstavka oltarja v obliki kocke. Pretvorba pravokotnika s stranicama a in b, kjer je a > b, v ploščinsko enak kvadrat je pri Indijcih dejansko temeljil na enakosti ( ) 2 ( ) 2 a + b a b = ab. 2 2 Brez težav se namreč da konstruirati tak pravokoten trikotnik, ki ima eno kateto enako (a b)/2 in hipotenuzo enako (a + b)/2. Kvadrat druge katete c je potem ravno leva stran zgornje enakosti, tako da je c 2 = ab. Kvadrat s stranico c ima potem enako ploščino kot pravokotnik s stranicama a in b. Kot približek števila 2 so uporabljali 1 + 1 3 + 1 3 4 1 3 4 34 = 577 408 1.4142, za število π pa slabe približke: 3, 3.004, 3.08831, 3.08833, 3.125. Davno, v 4. stoletju pred našim štetjem, je živel v Indiji jezikoslovec Panini pāṇini, ki se je ukvarjal, kot bi danes rekli, s formalno logiko. Napisal je eno prvih slovnic v osmih poglavjih za sanskrt. Vsebuje skoraj 4000 pravil. Imenuje se Aštadhjaji aṣṭādhyāyī aßtt. Njegova slovnica je postala zanimiva za moderno računalniško jezikoslovje, ker je uvedel simbole in z njimi operiral. Imajo ga za utemeljitelja klasičnega sanskrta. Indijski strokovnjak za metriko v poeziji Pingala piṅgala, ki se je tudi ukvarjal z matematiko, podobno kot Giuseppe Tartini (1692 1770), naj bi v 3. stoletju pred našim štetjem odkril binomske koeficiente in Pascalov trikotnik. Kdaj točno je živel Pingala, ni znano. Binomskim koeficientom je dal današnjo obliko ( ) n k šele Andreas von Ettingshausen (1796 1878). Ettingshausen je bil doktorski mentor Jožefu Stefanu (1835 1893). Pascalov trikotnik je dobil ime po Blaisu Pascalu (1623 1662). Pingala se je zanimal 15
za zaporedja dolgih in kratkih zlogov v besedilu z danim številom zlogov. Če je enim priredil vrednost 1, drugim pa 0, pomeni, da je dejansko delal z binarnim številskim sistemom. Njegovo glavno delo je Čhandahšastra chandaḥśāstra ш, ena najzgodnejših razprav o metriki v poeziji. V 10. stoletju je namreč Halajudha halāyudha komentiral Pingalovo delo in prišel do sklepa, da je Pingala poznal Pascalov trikotnik, meru prastara meru prastāra pr, in celo Fibonaccijeva števila, matrameru mātrāmeru. Vsi zgodovinarji pa se s Halajudho popolnoma ne strinjajo. 5 Doktrine Vede sicer omenjajo aritmetična in geometrijska zaporedja, s katerimi naj bi se v Indiji ukvarjali že okoli leta 2000 pne., vendar pisnih virov o tem ne poznamo. Pravijo, da je že v šulba-sutrah zaznati elemente neizmerljivosti dolžin daljic. Težko pa je za staro indijsko matematiko reči, katere teme v njej prevladujejo, kot lahko na primer za staro grško trdimo, da je zelo geometrijska. Stara indijska matematika je zelo prepletena z religijo, folkloro in filozofijo. Zagotovo pa je v Indiji obdobju šulba-sutr sledilo obdobje, v katerem so prevladovale siddhante. Beseda siddhanta siddhānta dð je težko prevedljiva. Lahko bi bila to doktrina, tradicija, princip, pravilo, teorija, dogma, aksiom, učenje, končni sklep, rešitev ali razprava. Ne motimo se, da gre konkretno za astronomske razprave, pisane v verzih. Indijski matematik, astronom in astrolog Varahamihira (505 587) varāhamihira - je siddhante zbral in uredil. Pet siddhant je zbral v delu z naslovom Panča-siddhantika pañcasiddhāntikā c dð к. Seveda veliko indijskih učenjakov zagovarja njihovo originalnost. Pauliša-siddhanta pauliśasiddhānta ш dð je nastala okoli leta 380, ime pa je dobila po astrologu Pavlu iz Aleksandrije. Tako trdi perzijski matematik Al Biruni (973 1048), v arabščini. Vsestranski Al Biruni je poleg matematike, fizike, naravoslovja in astronomije obvladal 16
še zgodovino, kronologijo in več jezikov, tudi sanskrt in grščino. Al Biruni opozarja na grški izvor ali pa vsaj na velik grški vpliv na to delo. Najdejo se namreč v podrobnostih podobnosti s Ptolemajevimi deli. Za število π navajajo nepravi ulomek 3 177/1250, Ptolemaj pa v šestdesetiškem sistemu 3; 8 30, kar je 3 17/120. Navedimo še preostale štiri siddhante. Surja-siddhanta sūryasiddhānta dð je nastala okoli leta 400 in je v celoti ohranjena. Po navadi Surja-siddhanta prevajajo kot Sončev sistem. Beseda Surja sūrya v sanskrtu namreč pomeni sonce, pa tudi bog sonca, v Vedah včasih hči sonca. Paitamaha-siddhanta paitāmahasiddhānta dð je zelo stara in zaradi nizke tehnične razvitosti v času njenega nastajanja še zelo nenatančna. Obravnava astronomska vprašanja, na primer pojavljanje letnih časov. Vasištha-siddhanta vāsiṣṭhasiddhānta ßh dð je dobila ime po enem od sedmih indijskih svetih modrecev saptarṣi pt. Ta beseda se uporablja tudi za sedem zvezd v ozvezdju Velikega voza. Vasištha-siddhanta je ena najstarejših indijskih astronomskih razprav. Vsebuje tudi algoritme za računanje koledarjev. Al Biruni jo pripisuje astronomu Višnu Čandri viṣṇucandra. Romaka-siddhanta romakasiddhānta к dð je dobesedno Rimska siddhanta. Pri tem je mišljeno Vzhodno rimsko cesarstvo, Bizantinsko cesarstvo, kjer so uporabljali grški jezik, skratka Zahod z indijskega vidika. Rimska siddhanta vključuje nekatera znanja s področja matematike, astronomije in astrologije, ki jih je poznal vzhodni del nekdaj mogočnega Rimskega cesarstva. Računati je treba tudi na to, da so siddhantam v toku zgodovine tudi marsikaj dodali ali da se je kaj izgubilo. Bistveni napredek v siddhantah, zaradi česar Indijci zagovarjajo njihovo originalnost, je zamenjava Ptolemajeve tetive, ki v krogu pripada središčnemu kotu, s poltetivo, ki ustreza polovici središčnega kota ali kar obodnemu kotu. S tem so Indijci vpeljali skoraj tako funkcijo sinus, kot jo poznamo danes. Bil pa je odvisen od polmera r kroga, v katerem so risali tetivo oziroma poltetivo. Koliko nekih 17
dolžinskih enot so vzeli za polmer r? Več o tem bo povedanega v nadaljevanju. Težava je bila v tem, da so kote merili v nedolžinskih enotah, stopinjah in njihovih delih. Namesto kota so začeli uporabljati ustrezen krožni lok pri danem polmeru r kroga. Zato je bilo potrebno celoten krožni lok razdeliti na primerno število enako dolgih delov. To pa gre tem natančneje, čim bolj natančno poznamo število π. V obdobju siddhant so izboljšali približek števila π na 10 3.1622. 6 Indijski Elementi Okoli leta 500 je v Indiji nastalo znano, v verzih pisano delo Arjabhatija āryabhaṭīya a a. Pokriva matematiko in astronomijo. Delo je napisal eden najbolj znanih indijskih matematikov Arjabhata (476 550) āryabhaṭa a a. Tako kot je Evklid (365 275 pne.) Εὐκλείδης nekoč zbral vse znanje matematike na grškem področju v svojih Elementih Στοιχεῖα, je Arjabhata zbral dotakratno indijsko znanje matematike in astronomije v Arjabhatiji. Morda so Indijci zaradi nje nekoliko zanemarili nekatere starejše matematike in njihova dela, ki so se povečini izgubila. Glavna razlika med Evklidovimi Elementi in Arjabhatijo je v strukturi dela. Evklidov pristop je sistematičen in metodičen, vsebuje aksiome, definicije, izreke, leme z dokazi, Arjabhatija pa je večinoma opisno delo, zbirka pravil za računanje in določanje ploščin ter prostornin, brez sledi deduktivne metode. Približno tretjino Arjabhatije pokriva matematika v verzih, ganitapada gaṇitapāda. Na začetku so navedena nekatera imena potenc števila 10 in navodila za računanje kvadratnih ter kubičnih korenov naravnih števil. Sledijo navodila za izračun ploščin in prostornin. V starih časih niso poznali formul in matematičnih znakov, zato so vsa navodila izrazili z besedami naravnega jezika. Za ploščino trikotnika je v Arjabhatiji naveden pravilen postopek, presenetljivo pa ne za prostornino piramide. Za slednjo pravi navodilo, da je treba pomnožiti ploščino osnovne ploskve s polovično dolžino višine. Za primerjavo: Egipčani so poznali pravilen postopek. Tudi za prostornino krogle je naveden napačen postopek. Po teh navodilih je pros- 18
tornina krogle enaka produktu ploščine glavnega krogelnega kroga in kvadratnega korena te ploščine, to se pravi, da je prostornina krogle s polmerom r enaka πr 2 πr 2 = π πr 3, kar pa je daleč od pravilnega rezultata. Za računanje ploščine štirikotnikov je navedenih nekaj pravilnih, pa tudi precej nepravilnih postopkov. Pač pa je primer za obseg kroga kar natančen. Obseg kroga s premerom 20 000 je približno 104 8 + 62 000. Iz tega dobimo π 62 832/20 000 = 31 416/10 000 = 3.1416. Arjabhatija obravnava tudi aritmetično zaporedje s pravilom za izračun vsote prvih nekaj njenih členov in pravilom za izračun števila členov aritmetičnega zaporedja pri njeni znani vsoti, razliki in prvem členu. Problem zahteva reševanje kvadratne enačbe. Pri znani razliki d in prvem členu a 1 je namreč n-ti člen aritmetičnega zaporedja: a n = a 1 + (n 1)d. Vsota prvih n členov je potem S n = a 1 + (a 1 + d) + (a 1 + 2d) +... + (a 1 + (n 1)d) = na 1 + Sledi kvadratna enačba za n: dn 2 + (2a 1 d)n 2S n = 0. n(n 1)d. 2 Njena rešitev je n = d 2a 1 + (2a 1 d) 2 + 8dS n 2d = 8dS n + (2a 1 d) 2 2a 1 d 2 + 1, kar je v Arjabhatiji pravilno opisano z besedami. Za ponazoritev, kako je to šlo, navedimo prevod besedila. Pomnoži vsoto členov zaporedja z osemkratno razliko, prištej kvadrat razlike dvakratnika prvega člena in razlike, povleci iz tega kvadratni koren, odštej dvakratnik prvega člena, deli z razliko, prištej ena in deli z dve. Rezultat je število členov. V zvezi z obrestno-obrestnim računom najdemo v Arjabhatiji tudi primere geometrijskega zaporedja. Na slikovit način obravnava tudi sklepni račun 19
oziroma po naše reševanje enačbe a/b = c/x. Zaradi dobrih in slabih strani Arjabhatije jo je Al Biruni označil kot mešanico prodnikov in dragocenih kristalov. Tematika druge polovice Arjabhatije sta čas in sferna trigonometrija. Tukaj mrgoli desetiško zapisanih števil. Mestni zapis števil so poznali že v Mezopotamiji, kjer so se mučili s šestdesetiškim številskim sistemom in 59 simbolom proti koncu babilonskega obdobja, ko je Aleksander Makedonski (356 323 pne.) sesul tamkajšnje vladavine, dodali še znak za ničlo. Aleksander je prodrl leta 326 pne. s svojo vojsko do Inda, kjer je imel nemalo težav z Indijci in svojimi, nakar se je nekako vrnil v Mezopotamijo in umrl v Babilonu. Najstarejši zapisi števil s črticami so bili znani tudi Indijcem, kar izpričujejo zapisi v Mohendžo-daru. Pojavljali so se tudi zapisi števil s črkami, kar nas spominja na atiški, akrofonični številski sistem na Grškem. V času indijskega kralja Ašoke (304 232 pne.) so uporabljali tak črkoven zapis števil. Ašoka aśoka aш к je vladal obsežnemu imperiju, ki je segal od Afganistana do Asama, na severu do Himalaje, na jugu pa do Kerale. Ašoka je dal postaviti po vseh večjih mestih stebre z vklesanimi števkami. Atiški akrofonični številski sistem je uporabljal črke za nekaj glavnih števil: Ι 1, Π 5 πέντε, Δ 10 δέκα, Η 100 ἑκατόν, Χ 1000 χίλιοι, Μ 10000 μύριον. Indijci so pisali številke podobno. Njihove so znane v pisavi kharošthi kharoṣṭhī х ßh, ki ima posebne znake za 4, 10, 20 in 100. Postopoma so uvedli črkovni zapis števil, podobno kot Grki, verjetno pod njihovim vplivom. Uporabljali so pisavo Brahmi brāhmī hm. Pisava je nastala v 3. stoletju pred našim štetjem in so jo uporabljali vse do 5. stoletja našega štetja. Za prehod na mestni desetiški sistem sta bila potrebna dva koraka. Najprej spoznanje, da devet števk zadošča tudi za zapis deset, sto, tisoč,... kratnikov. Ni znano, kdaj točno se je to zares zgodilo in zakaj. Znano pa je, da se je to zgodilo v Indiji. Tako imenovane indijske številke so morda nastale pod vplivom babilonskega mestnega zapisa. Možno pa je, da so na Indijce pri tem vplivali Kitajci, ki so tiste čase že poznali nekakšen mestni zapis. Obstaja celo domneva, da so mestni desetiški zapis odkrili aleksandrijski 20
učenjaki in da se je potem razširil proti Indiji. Podobno kot Grki so pisali tudi ulomke, niso pa uvedli desetiških ulomkov po zgledu Babiloncev, ki so poznali šestdesetiške ulomke. Prvi je indijske številke omenjal leta 662 sirijski škof Severus Sebokht (575 667). Bizantinski cesar Justinjan (482 565) je leta 529 ukinil Platonovo akademijo v Atenah, ustanovljeno leta 387 pred našim štetjem. Nekateri učenjaki so se zato preselili v Sirijo, kjer so ustanovili grške šole. V Siriji je Sebokht srečal Indijce, ki so ga seznanili z njihovimi natančnimi astronomskimi raziskavami in računskimi metodami, ki so bile nekaj več kot le opisovanje. Računanje pa je bilo izvedeno z devetimi indijskimi števkami. Te so bile tisti čas že kar stare, saj so na neki plošči iz leta 595 odkrili z indijskimi števkami zapisano leto 346. Drugi korak do popolnosti indijskega mestnega desetiškega številskega sistema pa je bila vpeljava znaka za nič. Dolgo časa so namesto zapisa ničle puščali kar prazen prostor. Nedvomno uporabo znaka za nič izpričuje neki napis šele iz leta 876. Morda uporaba ničle izvira iz grškega sveta, saj je Klavdij Ptolemaj v svojem Almagestu v tabelah uporabljal znak za nič. Skratka, število indijskih števk so zaokrožili na deset in z njimi so lahko zapisali vsako naravno število in ulomke. Indijske števke se po obliki razlikujejo od črk. So pa spreminjale obliko v času in prostoru. Indijski način zapisovanja števil je nedvomno velik napredek v razvoju matematike. Z njimi z lahkoto zapišemo vsako število, hitro se jih naučimo seštevati, odštevati in množiti. Deljenje in korenjenje je nekoliko težje, a pravi mojstri so nekoč tudi to znali. V Bizantinskem cesarstvu pa so do propada Konstantinopla leta 1453 uporabljali za desetiške števke kar nekdanje črkovne simbole α, β, γ, δ, ε, ϛ, ζ, η, θ za 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, za ničlo pa so uporabljali znak, podoben. Naslednji velik indijski prispevek v matematiki je uvedba sinusne funkcije namesto grških tetiv v krogu. Prve znane tabele za sinus zasledimo v siddhantah in Arjabhatiji. Tabele so izračunane za kote, pravzaprav loke od 3 3/4 do 90 s korakom 3 3/4, to je 24 lokov. Pri tem je uporabljena tudi neka rekurzijska formula. Za polmer r kroga je izbrano število 3 438, za obseg h 21
pa 360 60 = 21 600. Vsaki kotni stopinji ustreza s tem lok, ki ima dolžino 60 enot. S tem naj bi bila lok in sinus izražena v istih enotah. Približek za število π je potemtakem 21 600/6 876 = 600/191 = 3.1414. V neki drugi situaciji Arjabhata uporablja za π približek 10. Lok, ki ustreza kotu 3 3/4, je pri zgornjih podatkih enak 60 3.75 = 225. Tetiva pa meri po našem tedaj r sin 3.75 = 3 438 sin(3.75π/180) = 224.855958, kar je približno 225. Arjabhata je vedel, da je sinus majhnega loka kar ta lok. Če Arjabhatov sinus označimo s Sin, kar pomeni Sin α = r sin α, in s n = Sin(n 3.75 ) za 1 n 24, potem je njegov rezultat okroglo s 1 = Sin 3.75 = 225. Če označimo še S n = Sin(1 3.75 ) + Sin(1 3.75 ) +... + Sin(n 3.75 ), potem lahko omenjeno rekurzijsko formulo v Aryabhatiji zapišemo kot s n+1 = s 1 + s n S n /s 1. Ni znano, kako so jo dobili. Preizkusimo: s 2 = 2s 1 1 = 2 225 1 = 449. Točna vrednost je s 2 = Sin(7.5 ) = 3438 sin(2 3.75π/180) = 448.7490488. Podobno dobimo s 3 = s 2 + s 1 S 2 /s 1 = 449 + 225 (449 + 225)/225 671, točna vrednost pa je s 3 = Sin(11.25 ) = 3438 sin(3 3.75π/180) = 670.7205270. Tako si lahko ustvarimo vtis o natančnosti tabel v Arjabhatiji. 7 Kako se je godilo sinusu in kosinusu Šestdesetiški številski sistem je veliko uporabljal Klavdij Ptolemaj, aleksandrijski matematik, astronom, astrolog in geograf. Napisal je za tiste čase veliko del, ki so bila še več stoletij pomembna za islamsko in evropsko znanost. Njegovo najpomembnejše delo je Matematična razprava, po grško Μαθηματικὴ σύνταξις, ki je postalo zaradi svoje popolnosti znano tudi kot Velika razprava, v grščini Η μεγάλη σύνταξις, in celo Največja razprava, Η 22
μεγίστη σύνταξις. Arabski prevod ima zato naslov, kar beremo al-madžisti, iz grškega ženskega superlativa μεγίστη, kar pomeni največja, prevod iz arabščine v latinščino pa Almagest. Ptolemaju gre velika zasluga, da je za več kot tisoč let postavil geocentrični svetovni sistem, vse do časov Nikolaja Kopernika (1473 1543). Almagest med drugim vsebuje tabele dolžin tetiv, ki ustrezajo v krogu s polmerom r = 60 enot, imenovanih delov, v grščini τμήματα, izbranim lokom, ki ustrezajo središčnim kotom α. Pri središčnem kotu α je tedaj tetiva AB dolga 2r sin α/2. Loki so v tabelah zapisani z grškimi črkovnimi številkami, ustrezne tetive pa v šestdesetiškem številskem sistemu, tudi z grškimi številkami. Za polovico je uporabljen znak. Tabele vsebujejo tetive za vse krožne loke v stopinjah, od 1/2 do 180 s korakom 1/2. Tetive so izračunane s celim delom ter dvema seksagezimalama natančno. Dodani so še stolpci za interpolacijo tetiv vmesnih lokov. Za ničlo služi črka omikron (O), kar je prva črka grške besede οὐδέν, ki pomeni nič. Nad stolpcem za loke piše περιφερειῶν, nad tetivami εὐθειῶν, nad interpolacijskim pomagalom pa ἑξηκοστῶν. To so množinski rodilniki besed περιφέρεια, obod, krog, εὐθεῖα, ravna črta, ἑξηκοστά, šestdesetinka, minuta. Slika 2: Tetiva, lok in ustrezni središčni kot. Z vpeljavo funkcije crd, ki središčnemu kotu α oziroma krožnemu loku AB v krogu s polmerom r priredi tetivo AB (slika 2), lahko zapišemo AB = 23
crd α = 2r sin α/2. Potem je crd(180 α) = 2r cos α/2 in enakost, analogna enakosti sin 2 α + cos 2 α = 1, se glasi: crd 2 α + crd 2 (180 α) = 4r 2. Enakost lahko vidimo tudi kot posledico Pitagorovega in Talesovega izreka (slika 3). Pitagora s Samosa (570 495 pne.) Πυθαγόρας ὁ Σάμιος in Tales iz Mileta (624 546 pne.) Θαλῆς ὁ Μιλήσιος sta bila znana starogrška matematika in filozofa. Ime funkcije crd izhaja iz grške besede χορδή, kar je Slika 3: Tetivi suplementarnih središčnih kotov. črevo oziroma struna iz črev. Tetiva je namreč videti kot struna, napeta na krožni lok. Funkcija crd je dolgo služila namesto sinusa, ki je prišel, kot bomo videli, iz Indije. V Indiji in tudi drugje še dolgo niso delali z enotskim krogom. Za polmer r so v zgodovini jemali različno število nekih dolžinskih enot. Arjabhata je na primer vzel r = 3 438, Ptolemaj pa r = 60. V Pančasiddhantiki je r = 120. Sinus kota je v sodobni matematiki v enotskem krogu dolžina polovične tetive, ki ustreza polovičnemu središčnemu kotu cele tetive. V Indiji so prišli do zaključka, da je bolje vpeljati funkcijo, ki polovici središčnega kota priredi polovico tetive, poltetivo. Arjabhata imenuje poltetivo v sanskrtu ardha-džja ardha-jyā, v pisavi devanagari a. Postopoma so besedo skrajšali kar v džja jyā, pa tudi v dživa jīvā, kar je nekdo zamešal z džiba jībā. Oboje se piše zelo podobno. Arabci, ki ne pišejo samoglasnikov razen morda neke dodatne znake pod in 24
nad soglasniki, so prevzeli oznako džb in zapisali. Evropejci preberejo to kot džaib,, kar pomeni žep, zaliv, in prevedejo v sinus (Gerardo iz Cremone (1104 1187)). Ta izraz za trigonometrično funkcijo sinus je v veljavi še danes. Nekateri narodi uporabljajo svoje izraze, na primer sine Angleži, seno Italijani, Španci in Portugalci, sinüs Turki.. polmer vyāsārdha lok cāpa jyā ϑ kojyā, koṭi-jyā. utkrama-jyā, śara. Slika 4: Trigonometrične funkcije. Polmer r kroga je v sanskrtu vjasardha vyāsārdha, krožni lok pa čapa cāpa. Če je indijski sinus džja jyā, je indijski kosinus koti-džja koṭi-jyā ali kodžja kojyā, к a ali к. Radij, zmanjšan za kosinus kota, so imenovali utrakrama-džja utkrama-jyā ali šara śara, u ali ш. Če indijski sinus in kosinus spet označimo s Sin in Cos, potem lahko zapišemo Sin ϑ = r sin ϑ, Cos ϑ = r cos ϑ. Osnovna zveza med njima pa je Sin 2 ϑ + Cos 2 ϑ = r 2. Kotna funkcija sinus versus, obrnjeni sinus, v oznakah vers, ki se pa zelo redko uporablja, je definirana s formulo vers ϑ = 1 cos ϑ. Če analogno Sin ϑ in Cos ϑ vpeljemo Vers ϑ = r vers ϑ, potem je indijska utkrama-džja kota ϑ preprosto kar Vers ϑ. 25
Pri indijski trigonometriji ne moremo kar tako mimo matematika in astronoma Bhaskare Starejšega (600 680). Komentiral je Arjabhatijo in v zvezi z njo napisal dve siddhanti: Maha-bhaskarija mahābhāskarīya к in Laghu-bhaskarija laghubhāskarīya к. V prvi je z besedami opisal zelo dober racionalni približek za sinusno funkcijo, ki bi ga danes zapisali v obliki sin(πx) 16x(1 x) 5 4x(1 x), 0 x 1. Ni znano, kako je avtor prišel do te formule. S sodobnimi pripomočki lahko ugotovimo, da je največje odstopanje desne strani v zgornji aproksimaciji od funkcije sin(πx) pri x = 0.064 in x = 0.936, in sicer za 0.0016, kar je izredno malo. Pri x = 0, 1/6, 1/2, 5/6, 1 pa se leva in desna stran celo ujemata (slika 5). Slika 5: Odstopanja Bhaskarove aproksimacije. Bhaskara Starejši je postavil tudi vprašanje, ki vodi do Pellove enačbe. Povej, matematik, kateri kvadrat, pomnožen z osem in povečan za ena, da nov kvadrat. Če je stari kvadrat y 2, novi pa x 2, potem iščemo taki naravni števili x in y, da velja 8y 2 + 1 = x 2, kar je Pellova enačba x 2 8y 2 = 1. Eno rešitev hitro uganemo: (x, y) = (3, 1). Ni pa to edina rešitev. Tudi (x, y) = (17, 6) je rešitev, pa tudi (x, y) = (99, 35). Rešitev je nešteto. Kako se jih dobi, bomo spoznali v nadaljevanju. 26
8 Ne gre brez skrivnosti Leta 1881 so v bližini vasi Bakhšali bakhśālī ш blizu Pešavarja (v paštanskem jeziku, v jeziku urdu, v sanskrtu Purušapura puruṣapura ) v današnjem Pakistanu našli matematično besedilo, napisano na brezovem lubju. Precej listov je vzel zob časa, 70 pa je dobro ohranjenih in znanstveniki so se jih lotili preučevati z veliko vnemo. Napisani so v neki mešanici prakrta in sanskrta. Dokumentu se je prijelo ime Bakhšalijski rokopis. Hitro se je izkazalo, da je to pravzaprav priročnik matematičnih pravil in primerov nazornih nalog z rešitvami. V glavnem pokriva aritmetiko in algebro, vsebuje pa tudi naloge iz geometrije vključno z računanjem ploščin in prostornin. Nikakor pa še niso uspeli ugotoviti, kdaj je rokopis nastal. Verjetno je bil napisan v času od 3. do 11. stoletja na podlagi še starejših rokopisov. V Bakhšalijskem rokopisu je uporabljenih 10 števk, vključno z ničlo, števila, tudi števci in imenovalci ulomkov, so zapisana v desetiškem sistemu. Uporabljeni so posebni znaki oziroma okrajšave za nekatere računske operacije. Bakhšalijski rokopis so začeli študirati takoj po odkritju, ga obravnavali po matematičnih konferencah in objavljali članke v zvezi z njim. Danes ga hrani knjižnica Bodleian Library v Oxfordu. Posebno je zanimiv postopek korenjenja števil. Sicer rokopis govori samo o postopku korenjenja naravnih števil, ki pripelje do zaporednih racionalnih približkov. Je pa pravilen za vsa pozitivna realna števila, njegova odlika pa je hitrost konvergence zaporedja približkov. Denimo, da bi radi izračunali a za pozitivno število a. Za prvi približek x 0 vzamemo število, katerega kvadrat je zelo blizu a. Nato izračunamo pomožno število y 0 = (a x 2 0)/(2x 0 ) in naslednji približek x 1 za a po formuli: x 1 = x 0 +y 0 y0/(2(x 2 0 +y 0 )). Potem postopek ponovimo tako, da za nov približek vzamemo x 1. Postopek ponavljamo toliko časa, kolikor je potrebno za predpisano natančnost. Delamo skratka s sistemom rekurzij: y n = a x2 n yn 2, x n+1 = x n + y n 2x n 2(x n + y n ). 27
Izkaže se, da je lim x n = a, lim n n y n = 0. Iz besedila ni razvidno, kako so do rekurzij prišli. Za ilustracijo izračunajmo 2 po tem postopku, tako da vzamemo a = 2. Naj bo x0 = 1. Dobimo: y 0 = 1 2, x 1 = 17 12, y 1 = 1 408, x 2 = 665857 470832, 1 y 2 = 627013566048, x 3 = 1572584048032918633353217 1111984844349868137938112. Da bi laže kontrolirali točnost, zapišimo približke in 2 na 50 decimalk: x 1 = 1.41666666666666666666666666666666666666666666666666, x 2 = 1.41421356237468991062629557889013491011655962211574, x 3 = 1.41421356237309504880168872420969807856967187537723, 2 = 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694. Opazimo, da se x 1 ujema s pravo vrednostjo na 2, x 2 na 11 in x 3 na 47 decimalkah. Na vsakem koraku iteracije dobimo približno 4-krat več točnih decimalk. Bakhšalijski rokopis navaja zanimive naloge, ki vodijo do linearnih enačb. Te imajo eno samo rešitev ali pa tudi več. Oglejmo si primer. Oseba A ima sedem žrebcev, oseba B devet kobil, oseba C pa deset kamel. Vsak da dve živali ostalima dvema, tako da so potem vsi enako bogati. Najdi vrednost vsake živali posebej in vrednosti vseh živali skupaj za vsakega lastnika posebej. Rešimo to nalogo! Vsak žrebec naj stane x 1, vsaka kobila x 2 in vsaka kamela x 3 dinarjev. Po predaji živali je oseba A imela 5 žrebcev, eno kobilo in eno kamelo, vse skupaj v vrednosti 5x 1 + x 2 + x 3 dinarjev. Oseba B je imela 7 kobil, enega žrebca in eno kamelo, kar je bilo vredno x 1 + 7x 2 + x 3 dinarjev, oseba C pa je na koncu imela 8 kamel, enega žrebca in eno kobilo v skupni vrednosti x 1 + x 2 + 8x 3 dinarjev. Ker vemo, da so bili potem vsi 28
enako bogati, denimo da je bilo premoženje v teh živalih za vsako omenjeno osebo vredno v celih številih c dinarjev, velja sistem diofantskih enačb: 5x 1 + x 2 + x 3 = c, x 1 + 7x 2 + x 3 = c, x 1 + x 2 + 8x 3 = c. Z odštevanjem prve in druge, prve in tretje ter druge in tretje enačbe tega sistema, krajšanjem in preurejanjem dobimo nove enačbe: 2x 1 = 3x 2, 4x 2 = 7x 3, 6x 2 = 7x 3. Leva stran nove prve enačbe je deljiva s številom 2, ki je tuje 3, zato mora x 2 biti deljivo z 2. To pomeni, da lahko zapišemo x 2 = 2l, kjer je l celo število. Zato je x 1 = 3l. Nato dobimo iz nove druge enačbe 7x 3 = 12l, kar pa pomeni, da je l deljiv s 7 in ga lahko zapišemo kot l = 7m, kjer je m celo število. Tako imamo x 1 = 21m, x 2 = 14m in x 3 = 12m. Ker je 6x 2 7x 3 = 6 14m 7 12m = 0, je izpolnjena tudi nova tretja enačba. Vsaka oseba ima torej živalsko premoženje v vrednosti c = 131m dinarjev. Žrebci so po 21m dinarjev, kobile po 14m dinarjev in kamele po 12m dinarjev. Pri tem je m naravno število. Rešitev je torej nešteto. Rokopis navaja samo eno: x 1 = 42, x 2 = 28, x 3 = 24, c = 262. Dobimo jo iz našega rezultata za m = 2. Naslednja naloga v Bakhšalijskem rokopisu se glasi: Paža sta kraljeva strežnika. Prvi od njiju zasluži 13/6 dinarjev na dan, drugi pa 3/2 dinarjev na dan. Prvi dolguje drugemu 10 dinarjev. Kdaj bosta imela enako vsoto denarja? Kako rešimo to nalogo? Naj bo x število dni, po katerih bosta oba paža imela enako vsoto denarja. Potem mora veljati enačba 13 6 x 10 = 3 2 x + 10. Če jo na obeh straneh pomnožimo s 6, dobimo: 13x 60 = 9x + 60 = 4x = 120 = x = 30. Po 30 dneh bosta paža imela enaki vsoti denarja. 29
9 Običajno računanje Indijska trigonometrija je bila pod vplivom grške, običajna geometrija pa se v Indiji ni razvijala tako kot na Grškem. Tudi s krivuljami se niso ukvarjali razen s krožnico. Kitajci in Indijci so stožnice kar nekako spregledali. Najbolj so se posvetili številom, aritmetičnim operacijam in enačbam. Mestni zapis pa je lahko nevaren, saj se hitro najde goljuf, ki zapiše kako števko pred ali za številom in ga s tem poveča. Zato so dodali kakšen dodaten znak, ki je označeval začetek in konec zapisanega števila. To velja še danes. Ni odveč, da včasih števila zapisujemo še z besedami. Pri računanju so v starih časih pisali po ploščah, enakomerno potresenih z drobnim peskom ali moko. V bistvu števila še danes seštevamo in množimo tako kot nekoč Indijci. Seštevanje ni delalo težav, za množenje pa so uporabili tabelo, v katero so vpisovali delne produkte in jih v predpisanem zaporedju sešteli s prehodom čez desetice. 365 3 6 5... 2 3 1 8 3 6 3 0 1 5 3 0 2 5. 6 5 65 7 2 5 Slika 6: Množenje. Za zmnožek trimestnega in dvomestnega število narišemo kvadratno mrežo 3 2, vsak kvadrat pa razdelimo po diagonali v smeri. Trimestno število zapišemo nad tabelo, dvomestno pa na desni strani tabele (slika 6). Nato vpišemo v vsak kvadrat delni produkt števila zgoraj in na desni strani. Enice vpišemo pod diagonalo, desetice pa nad njo. Nato v smeri seštejemo vsa 30
dobljena števila v tabeli, in sicer od desne proti levi. Upoštevamo prehod čez deset, če je treba. Delne vsote pišemo pod tabelo in ob njeni levi strani s tem dobimo vse števke iskanega produkta. S tem smo izračunali: 365 65 = 23 725. Tako lahko zmnožimo poljubni števili, le tabela je lahko drugih dimenzij. Organizacija množenja je lahko tudi drugačna od opisane. Pisno deljenje dolgih števil je bilo vedno mukotrpno, tako kot danes. So pa vsi, Grki, Indijci in Kitajci, poznali pravilo devetice pri preverjanju pravilnosti rezultata. Ni znano, kdo je to pravilo prvi odkril. Ve pa se, da je prek Arabcev v 11. stoletju prišlo v splošno rabo. Preverimo račun 365 65 = 23 725. Številska vsota prvega faktorja je 3 + 6 + 5 = 14, ki po deljenju z 9 da ostanek 5. Številska vsota drugega faktorja je 6 + 5 = 11, ki po deljenju z 9 da ostanek 2. Številska vsota produkta je 2 + 3 + 7 + 2 + 5 = 19, ki po deljenju z 9 da ostanek 1. Produkt ostankov faktorjev je 5 2 = 10, ki po deljenju z 9 tudi da ostanek 1. Torej je produkt danih števil pravilen. 10 Težave s štirikotniki Težave z indijsko matematiko so kronološke narave. Tako kot je težko datirati nastanek neke fotografije in določiti osebe na njej, če nanjo nihče ni dodal datuma in imena ljudi, je tudi težko ugotavljanje nastanka indijskih matematičnih rokopisov. Tako je tudi težko ugotoviti, kdo je nekaj prvi odkril. Pri Arjabhati, na primer, je treba biti previden, ker se je v 10. stoletju pojavil še en Arjabhata (Mlajši) (920 1000). Indijski avtorji le redko citirajo svoje predhodnike. Včasih se delajo presenečene, da so odkrili nekaj novega, čeprav je bilo že znano sto let prej. Brahmagupta (598 668) brahmagupta hm pt, ki je živel v osrednji Indiji, ima nekaj skupnega z Arjabhato, ki je živel v vzhodni Indiji. Brahmagupta omenja za število π dva približka, 3 in 10, ki sta slabša kot Arjabhatova. Najboljše Brahmaguptovo delo v trigonometriji je Brahmasphuta siddhanta brāhmasphuṭasiddhānta hm a dð iz leta 628. Pisana je šlokah, indijskih verzih (šloka śloka l к). Za polmer trigonometričnega kroga vzame r = 3270 enot. Knjiga vsebuje še dele z arit- 31
metiko, algebro, geometrijo in teorijo števil. Brahmagupta je bil prvi, ki je priznal, da je nič število. Knjiga je bila okoli leta 770 prevedena v arabščino z naslovom Zidž as sinhind al kabir, na kratko Sindhind. S tem je bil Zahod še bolj seznanjen z indijsko trigonometrijo, desetiškim sistemom in matematiko sploh. Brahmagupta je poznal parametrizacijo pitagorejskih trojic (a, b, c), kar danes zapišemo s formulami a = 2mn, b = m 2 n 2, c = m 2 + n 2, kjer sta m in n naravni števili in m > n. Vedel je tudi, da pri znani kateti a pravokotnega trikotnika lahko racionalno izrazimo s parametrom m drugo kateto in hipotenuzo. Z našimi oznakami: b = 1 ( ) a 2 2 m m, c = 1 ( ) a 2 2 m + m. S tema formulama dobimo pravokotne trikotnike z racionalnimi stranicami, če izbiramo a in m med pozitivnimi racionalnimi števili in je a > m. Nista pa nič novega, ker sta samo modifikaciji prejšnjih (v slednjih pomnožimo vse tri stranice z 2m in a zamenjamo z n). Prav tako je našel postopek, kako pri znani hipotenuzi c pravokotnega trikotnika najdemo racionalna izraza za kateti. V naši pisavi: a = 2mnc m 2 + n, b = c(m2 n 2 ). 2 m 2 + n 2 Raznostranične trikotnike z racionalnimi stranicami a, b, c, racionalnim obsegom o, racionalno ploščino p, racionalnimi višinami v a, v b, v c in racionalnimi polmeri očrtanih in včrtanih krogov, r in ϱ, po Brahmagupti dobimo, če izrazimo stranice s formulami a = 1 2 ( x 2 p p + x2 q q ), b = 1 2 ( x 2 p + p ), c = 1 2 ( x 2 q + q pri čemer so x, p, q pozitivna racionalna števila in x > pq. Skrben račun nam res da same racionalne izraze v spremenljivkah p, q, x: o = x2 (p + q) pq, p = x(x2 pq)(p + q), 4pq 32 ),
v a = x, v b = x(x2 pq)(p + q), v q(x 2 + p 2 c = x(x2 pq)(p + q), ) p(x 2 + q 2 ) r = (x2 + p 2 )(x 2 + q 2 ) 8pqx, ϱ = x2 pq. 2x Faktor 1/2 v formulah za stranice je samo zato, da je ena od višin enaka parametru x. Preverimo lahko tudi, da trikotnik s tako izračunanimi stranicami vedno obstaja. Vse to so uporabne stvari za tiste, ki sestavljajo naloge. Brahmagupta je tudi spoznal, da je v trikotniku produkt dveh stranic enak produktu premera trikotniku očrtanega kroga in višine na preostalo stranico, to se pravi: ab = 2rv c, bc = 2rv a, ac = 2rv b. Ker je ploščina trikotnika p = cv c /2, takoj dobimo iz tega p = abc/(4r), tako da je r = abc/(4p). To bi danes moral razumeti vsak učenec. Spoznanje temelji na podobnosti dveh pravokotnih trikotnikov (slika 7). Trikotniku ABC očrtamo krog, iz oglišča c konstruiramo njegov premer 2r = CD. Po Talesovem izreku je trikotnik DBC pravokoten. Nato konstruiramo višino v c = CE. Trikotnik AEC je tudi pravokoten. Notranja kota trikotnikov AEC in DBC ob ogliščih A oziroma D pa sta enaka, ker sta to obodna kota tetive BC trikotniku ABC očrtanega kroga. Ker se trikotnika AEC in DBC ujemata v dveh kotih, sta si podobna. Zato velja sorazmerje stranic: 2r/a = b/v c. Iz tega sledi: ab = 2rv c. Analogni relaciji dobimo za drug par stranic. Brahmagupta je našel tudi način za izračun ploščine konveksnega tetivnega štirikotnika. Če ima ta stranice a, b, c, d in je s = (a + b + c + d)/2, potem je njegova ploščina: p = (s a)(s b)(s c)(s d). Formula spominja na Heronovo formulo za ploščino trikotnika z danimi stranicami. Heron iz Aleksandrije (1. stoletje) Ηρων ὁ Ἀλεξανδρεύς je bil vsestranski grški učenjak. Sicer pa Brahmagupta ni povedal, da velja zgornja formula za tetivni štirikotnik. Ali je to bila napaka ali površnost? Za poljuben konveksen štirikotnik je formula podobna: p = (s a)(s b)(s c)(s d) abcd cos 2 ε. 33
Slika 7: Premer trikotniku očrtanega kroga. Pri tem je ε polovična vsota dveh nasprotnih kotov tega štirikotnika. To formulo je izpeljal šele leta 1842 Carl Anton Bretschneider (1808 1878). Vseeno je, katera dva nasprotna kota pri tem vzamemo, saj je vsota notranjih kotov v konveksnem štirikotniku enaka 360. V tetivnem konveksnem štirikotniku je vsota dveh nasprotnih kotov enaka 180, polovična vsota 90 in zato zgornja formula tedaj preide v Brahmaguptovo. Brahmagupta je sicer za poljuben konveksen štirikotnik navedel, da je njegova ploščina enaka kar produktu povprečij po dveh in dveh nasprotnih stranic. Ploščinam očitno niso posvečali takrat hude pozornosti. Zadovoljili so se z grobimi ocenami. Očitno so tetivni štirikotniki Brahmagupti bili zelo všeč. Iz znanih stranic a, b, c, d konveksnega tetivnega štirikotnika ABCD je znal izračunati diagonali e in f, kar bi dandanes zapisali takole: (ad + bc)(ac + bd) (ab + cd)(ac + bd) e =, f =. ab + cd ad + bc Če obe diagonali med seboj pomnožimo, dobimo ac + bd = ef, kar je vsebina Ptolemajevega izreka. Pri tem pomenijo a = AB, b = BC, c = CD, d = DA, e = AC, f = BD 34
v standardno označenem konveksnem tetivnem štirikotniku. Slika 8: Tetivni štirikotnik. Brahmagupto so zanimali tudi tetivni štirikotniki s celoštevilskimi stranicami, diagonalama in ploščino. Sicer ni našel splošne rešitve. Napredek v tej smeri je naredil šele Ernst Eduard Kummer (1810 1893). Brahmagupta začne z dvema nepodobnima pitagorejskima trikotnikoma (a, b, c) in (x, y, z). Prvega pomnoži enkrat z x, drugič z y, drugega pa enkrat z a, drugič z b in dobi pitagorejske trikotnike (ax, bx, cx), (ay, by, cy), (ax, ay, az), (bx, by, bz). Nato le-te zloži v tetivni štirikotnik, v katerem se diagonali med seboj sekata pravokotno. Njegove stranice so bz, cy, az, cx, diagonali pa ay +bx in ax+by, sama naravna števila. Ploščina štirikotnika je p = (ax+by)(ay+bx)/2, kar je tudi naravno število. Zakaj? Če začetna pitagorejska trikotnika nista primitivna, lahko iz vseh stranic izpostavimo skupna faktorja, enega iz prvega, enega iz drugega trikotnika, v ploščini pa produkt teh faktorjev. Zato lahko privzamemo, da sta prvotna pitagorejska trikotnika primitivna. V takem pa je ena kateta vedno deljiva s 4. Če sta števili a in x (ali a in y, b in x, b in y) deljivi s 4, je produkt (ax + by)(ay + bx) deljiv s 4, torej tudi z 2. Za boljšo predstavo navedimo, kako je v sanskrtu zapisana v 12. poglavju 38. šloka, ki obravnava tak tetiven štirikotnik. 35
dv к a к a к х dv 38 Brahmagupta je reševal linearno diofantsko enačbo ax + by = c, kjer so a, b, c cela števila brez skupnega faktorja. Diofantska je taka polinomska enačba, ki ima same cele koeficiente, rešitve pa iščemo prav tako med celimi števili. Ime je diofantskim enačbam dal Diofant iz Aleksandrije (3. stoletje pne.) Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς, ki se je že ukvarjal s celoštevilskimi rešitvami enačb. Brahmagupta je ugotovil, da je taka enačba rešljiva v celih številih le takrat, ko največji skupni delitelj števil a, b deli c. Če sta si a in b tuji števili, to se pravi, da je njun največji skupni delitelj enak 1, potem je enačba rešljiva v celih številih in rešitev je (x, y) = (p+mb, q ma), kjer je m poljubno celo število, (p, q) pa ena od rešitev dane enačbe. Rešljivo enačbo te vrste lahko prevedemo na ta primer. Brahmagupta se je spopadel tudi z diofantsko enačbo x 2 Dy 2 = 1, kjer D ni kvadrat nobenega naravnega števila. Trivialna rešitev je (x, y) = (1, 0). Enačbo imenujejo po Johnu Pellu (1611 1685) Pellova enačba, ker jo je Leonhard Euler (1707 1783) pomotoma pripisal njemu. Bolj prav bi bilo, da bi jo imenovali po Pierru de Fermatu (1601 1665), še bolj prav pa po Brahmagupti. Zaresno je Pellovo enačbo študiral šele Joseph-Louis de Lagrange (1736 1813). Sicer pa znameniti Arhimedov problem o govedu Πρόβλημα βοεικόν vodi do Pellove enačbe. Arhimed iz Sirakuz (287 212) Ἀρχιμήδης ὁ Συρακόσιος je bil prav tako vsestranski grški učenjak, tudi znan po približku števila π, in sicer 22/7. Vse to kaže, da so Grki, Babilonci in Indijci bili že v starih časih v stikih tudi na znanstvenem področju. Brahmagupta je ugotovil, da iz dveh rešitev Pellove enačbe lahko konstruira tretjo. Če para (x, y ) in (x, y ) rešita Pellovo enačbo x 2 Dy 2 = 1, potem jo reši tudi tretji par (x, y) = (x x + Dy y, x y + x y ). Tega ni težko preveriti. Če namreč para (x, y ) in (x, y ) rešita Pellovo enačbo x 2 Dy 2 = 1, veljata relaciji x 2 Dy 2 = 1 in x 2 Dy 2 = 1. Potem za tretji par dobimo x 2 Dy 2 = (x x + Dy y ) 2 D(x y + x y ) 2 = = x 2 x 2 + D 2 y 2 y 2 Dx 2 y 2 Dx 2 y 2 = 36
= x 2 (x 2 Dy 2 ) Dy 2 (x 2 Dy 2 ) = x 2 Dy 2 = 1. Tretji par res reši dano Pellovo enačbo. Pri tem so vsa števila cela. V posebnem primeru (x, y ) = (x, y ) = (a, b) je rešitev tudi (x, y) = (a 2 +Db 2, 2ab). Za (a, b) = (1, 0) s tem ne dobimo nič novega. Zato je glavni problem najti najmanjšo netrivialno rešitev Pellove enačbe. V ta namen je zrasla posebna teorija, ki temelji na verižnih ulomkih. Če smo najmanjšo netrivialno rešitev (x 1, y 1 ) Pellove enačbe našli, gre naprej po preprostem postopku. Naslednja rešitev je, kot smo videli, (x 2, y 2 ) = (x 2 1 + Dy1, 2 2x 1 y 1 ). Do istega rezultata pa pridemo, če postavimo x 2 + Dy 2 = (x 1 + Dy 1 ) 2, desno stran kvadriramo in primerjamo na obeh straneh prosta člena in koeficienta pri D. Samo takrat so x 1, x 2, y 1, y 2 lahko cela, od 0 različna števila. Korak za korakom ugotovimo, da lahko najdemo rešitev (x n, y n ) z nastavkom x n + Dy n = (x 1 + Dy 1 ) n oziroma z rekurzijo (x n+1, y n+1 ) = (x n x 1 + Dy n y 1, x 1 y n + x n y 1 ). Za D = 2 imamo Pellovo enačbo x 2 2y 2 = 1. Opazimo, da ima netrivialno rešitev (x 1, y 1 ) = (3, 2). Naslednja rešitev je (x 2, y 2 ) = (9+2 4, 2 3 2 = (17, 12). Prav tako dobimo (x 3, y 3 ) = (17 3+2 12 2, 3 12+17 2) = (99, 70), (x 4, y 4 ) = (577, 408). Zaporedje rešitev lahko po mili volji nadaljujemo v nedogled. Bhaskara Mlajši je reševal Pellovo enačbo x 2 61y 2 = 1 in našel najmanjšo rešitev (x 1, y 1 ) = (1 766 319 049, 226 153 980). To je vsekakor omembe vreden rezultat, če upoštevamo takratno splošno stanje matematike in računskih pripomočkov. Brahmagupta je razvil tudi formuli za vsoto kvadratov in kubov prvih n naravnih števil in rešil splošno kvadratno enačbo. Navedel je pravilne postopke za računanje z ulomki, delal je s pozitivnimi in negativnimi števili, našel pravilne postopke za računanje s številom 0 razen za deljenje z 0. Imel je težave pri deljenju z 0. Trdil je, da je 0/0 = 0, še hujši spodrsljaj pa si je privoščil, ko je zapisal, da je a/0 = 0 tudi za a 0. Druga Brahmaguptova znana knjiga je Khandakhadjaka khaṇḍakhādyaka х х dyк. To je astronomska razprava v osmih poglavjih. Obravnava navidezno gibanje planetov, Lunine in Sončeve mrke, Lunine mene, konjunkcije planetov in drugo. To delo je v sanskrtu poznal Al Biruni. 37
11 Neporočena hči je dala delu ime V Indiji sta poleg Brahmagupte Pellovo enačbo študirala še Bhaskara (Mlajši) (1114 1185), Bhaskara učitelj bhāskarācārya к in Narajana Pandita nārāyaṇa paṇḍita v 14. stoletju in drugi. V srednjem veku je v Indiji delovalo veliko dobrih matematikov, ki so nadaljevali delo Arjabhate in Brahmagupte. Bhaskara predstavlja vrh indijske srednjeveške matematike. V marsičem je bil nekaj stoletij pred Newtonom in Leibnizem. Prvo pomembno Bhaskarovo delo je Siddhanta širomani siddhānta śiromaṇi dð ш. Razdeljeno je na štiri dele, ki jih nekateri obravnavajo kot ločene knjige. Te so: Lilavati līlāvatī, Vidžaganita ali tudi Bidžaganita vījagaṇita ali bījagaṇita ali, Grahaganita grahagaṇita in Goladhjaja golādhyāya. Lilavati vsebuje aritmetiko, ploščine in prostornine, Vidžaganita pa je posvečena algebri. Tu je Bhaskara nekoliko popravil Brahmaguptove napake v zvezi z deljenjem z 0. Prišel je do sklepa, da neničelno število deljeno z 0 da neskončno. S tem je imel v mislih tisto, kar bi danes zapisali kot lim x +0 1/x =. Preostala dela Siddhante širomani se ukvarjata z astronomijo in s sferno trigonometrijo. Njegovo delo je tudi Karana kutuhala karaṇa kutūhala к к, nekakšen astronomski priročnik. Pripovedujejo, da je delo Lilavati dobilo ime po Bhaskarjevi hčerki z istim imenom. Revica je izgubila možnost, da bi se poročila. Temu je bilo krivo očetovo zaupanje v astrološke napovedi. Izračunal je namreč, da se Lilavati lahko poroči ob natančno določeni uri na natančno določen dan. Oče je pripravil vodno uro in čas poroke naj bi bil, ko bo zadnja kaplja vode stekla iz posode skozi drobno luknjico. Željna čimprejšnje poroke se je sklonila nad vodno uro in tedaj se je zgodila nesreča: biser z njenega okrasja za lase ji je padel v posodo in zamašil luknjico, prava ura za poroko je žal minila in v tolažbo je oče poimenoval eno od svojih del po svoji hčerki Lilavati. Ime sicer pomeni lepa, igriva. Lilavati in Vidžaganita vsebujeta številne naloge v zvezi z linearnimi in 38
kvadratnimi enačbami, ploščine in prostornine, aritmetiko, geometrijska zaporedja, korene, pitagorejske trojice in drugo. Nekatere naloge so bile znane tudi Kitajcem. Navedimo dve. Pri njunem reševanju uporabimo Pitagorov izrek, ki vodi do preprostih linearnih enačb. Slika 9: Prelomljen bambus. Pav ulovi kačo. Primer 1. Bambus, visok 32 komolcev, se je zlomil v vetru in vrh se je dotaknil tal 16 komolcev stran od stebla. Na kateri višini se je prelomil? Primer 2. Pav sedi na vrhu stolpa, tik ob njegovih temeljih pa ima kača svojo luknjo v zemlji. V oddaljenosti, ki je trikratna višina stolpa, zagleda na tleh kačo. Proti njej poleti v ravni črti in ujame kačo, hitečo v svojo luknjo, pri čemer sta bežeča kača in leteči pav opravila enako dolgo pot. Na kateri razdalji od luknje je pav zgrabil kačo? Lilavati vsebuje različne vrste nalog. Nekatere imajo tudi več rešitev. Ni pa povsem razvidno, kaj je točno in kaj približno. Ploščina kroga je pravilno navedena: enaka je produktu četrtine njegovega obsega in premera. Toda za količnik obsega in premera priporoča število 3927/1250 = 3.1416, kar je približek števila π. Priporoča tudi grobi približek 22/7. Zavrača pa formule svojih predhodnikov za ploščine in diagonale štirikotnikov. Samo s stranicami štirikotnik ni natančno določen. Ni pa opazil, da so nekatere formule pravilne za tetivne štirikotnike. Mnoge naloge v Lilavati in Vidžaganiti izvirajo iz zgodnejših indijskih nalog. Zato ni čudno, če je odlično obvladal Pellove enačbe. Enačbi x 2 Dy 2 = 1 je za D = 8, 11, 32, 61, 67 našel delne rešitve, kar je občudovanja vredno. Delna rešitev omogoča najti druge, kot smo videli. 39