Κµατική Η κατανόηση της φύσης το φτός αποτεεί µια από τις πιο ενδιαφέροσες προσπάθειες στην ιστορία της επιστήµης. Από τον 6 ο και 7 ο αιώνα η εικόνα το φτός δίνεται µε µοντέα σµατιδίν ή κµάτν τεείς αντίθετα µεταξύ τος, και µόνο στην αρχή το ο αιώνα η εικόνα ξεκαθαρίζει, όταν το φς παίρνει χαρακτήρα σµατιδίν και κύµατος, και τατόχρονα να µην είναι κανένα από τα δύο. Η δισπόστατη φύση ατή εδραιώθηκε µε τη θερία της κβαντικής ηεκτροδναµικής (quanu eleodynas. Κµατική θεώρηση O Chsan Huygens, σύγχρονος το Newon, ποστήριξε την άποη ότι το φς είναι µια κµατική κίνηση, πο απώνεται προς όες τις διεθύνσεις από µια σηµειακή πηγή και διαδίδεται µέσα από ένα µέσο, τον αιθέρα. ιατύπσε έτσι τος νόµος της ανάκασης και της διάθασης και της διποθαστικότητας (befngene ή double efaon στο ale. Ο hoas Young µε το πείραµα της διπής σχισµής καθιέρσε ακόµα πιο ισχρά την άποη της κµατικής φύσης το φτός. Οι επιτχίες της κµατικής θεώρησης σνεχίστηκαν µε την σνεισφορά το Augusn Fesnel, πο απέδειξε τον εγκάρσιο χαρακτήρα το φτός και εξήγησε την ιδιότητα και σµπεριφορά της πόσης το. Έδσε επίσης και τις σχέσεις για τα πάτη της ανακώµενης και διαδιδόµενης ακτινοβοίας µέσα από διεπιφάνειες δύο ικών. Ο Jaes Clak Maxwell σύνδεσε τις ήδη πάρχοσες θερήσεις για την κµατική φύση το φτός σε τέσσερις εξισώσεις, πο σνδέσανε και την ταχύτητα το φτός µε ατή το η/µ κύµατος. Οι πειραµατικές παρατηρήσεις το Albe Mhelson και Edwad Moley κατέρριαν την ανάγκη το αιθέρα για την διάδοση το φτός. Σµατιδιακή θεώρηση Οι δσκοίες στην εξήγηση τν φαινοµένν της αηεπίδρασης της ύης µε το φς, οδήγησαν τον Max Plank στην χρήση τν κβάντα για να εξηγήσει την ενέργεια το η/µ κύµατος και την απορρόφηση το από την ύη. Η σχέση E hν δίνει την ενέργεια το σµατιδίο το φτονίο η/µ κύµατος σχνότητας ν µε το h σαν την σταθερά µετατροπής. Ο Albe Ensen εξήγησε ίγο αργότερα το φτοηεκτρικό φαινόµενο και ο Nels Boh χρησιµοποίησε το φτόνιο για τη διαδικασία απορρόφησης και εκποµπής στο Υδρογόνο. Ο Ahu Copon επίσης εξήγησε το φαινόµενο της σκέδασης ακτίνν Χ από ηεκτρόνια και ο Lus de Bogle σύνδεσε τις δύο προσεγγίσεις, όταν έδσε τη σχέση hp, πο δίνει το µήκος κύµατος ενός σµατιδίο σε σχέση µε την ορµή το. Μονοδιάστατα κύµατα Ένα κύµα πο διαδίδεται µέσα σε κάποιο µέσο είναι µια ατοδιατηρούµενη διαταραχή στο χώρο και στο χρόνο. Το κύµα ατό µπορεί να είναι κάποιο διαµήκες κύµα (longudnal wave όπο το µέσο µετατοπίζεται στη διεύθνση της διάδοσης της διαταραχής. Μπορούµε επίσης να έχοµε και εγκάρσια κύµατα (ansvese wave όπο η µετατόπιση το µέσο είναι στη κάθετη διεύθνση ς προς την κατεύθνση της διάδοσης. Το η/µ κύµα είναι ένα εγκάρσιο κύµα. Όπς η διαταραχή ατή κινείται µέσα στο µέσο και µεταφέρει κάποια ενέργεια, τα άτοµα το ικού κινούνται γύρ από τη θέση ισορροπίας τος µόνο. Έχοντας µια διαταραχή πο κινείται σε κάποια διεύθνση στο χώρο και όταν το µέτρο της κίνησης ατής εξαρτάται από το χρόνο και το χώρο, τότε µπορούµε να γράοµε f( x, και το προφί της διαταραχής ατής να δίνεται σε κάποια χρονική στιγµή από x, f x, f x Για κύµατα πο δεν αάζον τη µορφή τος στο χρόνο, µπορούµε να ορίσοµε µια σντεταγµένη x, πο κινείται µαζί µε το κύµα µε ταχύτητα σε σχέση µε την x,
ώστε η x x ( x, f ( x να είναι η πιο γενική µορφή κύµατος πο δεν αάζει µορφή στο χρόνο αά µπορεί και να διαδίδεται. Γνρίζοντας το χρικό µέρος f ( x το κύµατος σε κάποια χρονική στιγµή, µπορούµε να κάνοµε την αντικατάσταση x x πο θα περιγράφει ατή τη κµατοµορφή πο δεν θα αάζει µορφή στο χρόνο και κινείται προς τη θετική διεύθνση το x-άξονα µε ταχύτητα. Αν εέγξοµε τη κµατοµορφή µετά από χρόνο και απόσταση, έχοµε τη σχέση f( [ x+ ] [ + ] f( x και βέποµε ότι το προφί το κύµατος διατηρείται. Για διάδοση στην αντίθετη κατεύθνση διάδοσης, την x, ( x, f ( x + > έτσι ώστε οι σντεταγµένες πρέπει να είναι πάντα της µορφής x. Την ίδια κµατοµορφή µπορούµε επίσης να γράοµε και σαν σνάρτηση της x x x f( x g ± ± g Μπορούµε να πάροµε τη µερική παράγγο της ς προς το x µε σταθερό, µέσα από τη σχέση x x x x f xx x f xx και για τη µερική παράγγο ς προς το µε σταθερό x x f x x f ώστε ± x πο µας έει ότι ο ρθµός ααγής το κύµατος µε το χρόνο είναι ο ίδιος µε την ααγή ς προς τη θέση x, εκτός από ένα σταθερό παράγοντα, ατό της ταχύτητας. Θα χρειασθούµε και τη δεύτερη µερική παράγγο, εφόσον κάθε κύµα ορίζεται από δύο παραµέτρος, δηαδή την f x x και ( xf x f Από τη σχέση f, ( xf x x ( xf f x παίρνοµε την µονοδιάστατη διαφορική κµατική σνάρτηση (dffeenal wave equaon x Μερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφον σνήθς σνεχή σστήµατα. Μια θερία πεδίν περιγράφει σνήθς µια σνεχή κατανοµή µιας φσικής ιδιότητας στο χώρο και στο χρόνο, πο δίνεται µέσα από τις µερικές διαφορικές εξισώσεις. Εάν η και η είναι ύσεις της παραπάν εξίσσης, τότε x x και προσθέτοντας
+ + x x ( + ( + x ώστε η + να είναι επίσης ύση της κµατικής εξίσσης. Ατή είναι η αρχή της πέρθεσης (supeposon pnple και η γενική σνάρτηση το κύµατος γράφεται από τα παραπάν σαν Cf ( x + Cg ( x+ όπο C, C είναι σταθερές και οι σναρτήσεις f, g πρέπει να έχον δεύτερη παράγγο. Για να ορίσοµε πήρς το κύµα, πρέπει να δώσοµε και τις σνοριακές σνθήκες της παραπάν σχέσης, όπς για παράδειγµα και τις αρχικές σνθήκες (, ( L, ( x, f ( x ( x, g( x Η κµατική εξίσση µπορεί να θεί µε: τη µέθοδο d Alebe, µε τη µέθοδο µετασχηµατισµού Foue ή µε το διαχρισµό τν µεταβητών. Ο d Alebe πρότεινε τη ύση πο ο Eule ανέπτξε πήρς, όπο γράφοµε ξ x a η x+ a ώστε οι παράγγοι να δίνονται από + + x ξ ξη η πο µας δίνει για τη κµατική εξίσση ξη Λύσεις τις παραπάν διαφορική εξίσσης έχον τη µορφή ( ξ, η f ( η + g( ξ f ( x+ + g( x µε f,g τχαίες. ίνον κύµατα πο διαδίδονται σε αντίθετες κατεθύνσεις, µε την f στην αρνητική x- κατεύθνση και την g στην θετική. Η µονοδιάστατη κµατική εξίσση µπορεί επίσης να θεί εφαρµόζοντας ένα µετασχηµατισµό Foue σε κάθε περά, ώστε πkx πkx ( x, e dx ( x, e dx x πο δίνει πk Ψ ( k, Ψ( k, µε Ψ ( k, F k ( x,. Η παραπάν έχει ύση πk πk Ψ ( k, A( k e + B( k e και µε τος ανάστροφος µετασχηµατισµούς Foue, παίρνοµε x, πkx πk πk πkx k, e dx A k e B k e e dk πk x π k x+ Ψ + 3 A k e dk+ B k e dk f x + f x+ µε f u A k f u B k και οι σνοριακές και αρχικές σνθήκες ισχύον. - - F { } F { }
Η κµατική εξίσση µπορεί επίσης να θεί µε το διαχρισµό τν µεταβητών, χρησιµοποιώντας τη δοκιµαστική ύση ( x, X( x ώστε dx d X dx d dx d k Xdx d dx Από k και από Xdx έχοµε ύση X( x Cos( kx + Dsn ( kx d d k έχοµε τη ύση ( Eos( + Fsn(. Με τις σνοριακές σνθήκες (, ( L, µε k έχοµε C kl π µε ακέραιο. Αντικαθιστώντας, παίρνοµε πx ( x, E sn ( + Fos( D sn L πx A os( + Bsn ( sn L Με τις αρχικές σνθήκες ( x,, έχοµε B, ώστε πx ( x, Aos( sn L Η γενική ύση είναι το άθροισµα µε όες τις πιθανές τιµές το πx ( x, Aos( sn L Με την ορθοκανονικότητα τν ηµίτονν L nπx πx L sn sn dx δn L L παίρνοµε L L πx nπx πx ( x, sn dx An sn sn dx L n L L L LA An δ n ώστε n L πx A ( x, sn dx L L Αρµονικά κύµατα Αν το χρικό προφί ενός κύµατος περιγράφεται µε κάποιο ηµίτονο ή σνηµίτονο τότε έχοµε το αρµονικό κύµα. Οι πιο γενικές και σύνθετες περιγραφές κµάτν µπορούν να αναθούν µε µια πέρθεση τν απών ατών αρµονικών κµάτν. Σε απή µορφή γράφοµε για το αρµονικό κύµα 4
( x, f ( x Asn( kx όπο k είναι η σταθερά διάδοσης (popagaon onsan, οι µονάδες το kx είναι σε ακτίνια, και η A είναι το πάτος της ταάντσης (aplude. Για να έχοµε διαδιδόµενο κύµα, κάνοµε την αντικατάσταση x x, ώστε x, Asn k x Asn kx k ( µια περιοδική σνάρτηση στο χώρο και στο χρόνο. Η χρική περίοδος είναι το µήκος κύµατος (wavelengh, ώστε οποιαδήποτε ααγή στο x από ποαπάσια της τιµής το αφήνει την εξίσση αναοίτη ( x, ( x ±, όπο και το ηµίτονο αάζει κατά ± π, δηαδή sn k ( x sn k ({ x ±} sn k ( x ± π π k π k Με ανάογη ανάση στο χρόνο, η χρονική περίοδος τ (peod ορίζεται από ( x, ( x, ±τ και έχοµε sn k ( x sn k ( x { ±τ } sn k ( x ± π π kτ π τ π τ Η σχνότητα το κύµατος (fequeny δίνεται από τη σχέση ν τ, ώστε η ταχύτητα διάδοσης το κύµατος να είναι ν. Ορίζοµε επίσης την γνιακή σχνότητα (angula fequeny π τ και τον κµατάριθµο κ (wave nube κ ώστε για ένα αρµονικό κύµα να προκύπτον οι σχέσεις x Asn k ( x Asn π τ Asn π( κx ν Asn[ kx ] για κύµατα µε άπειρη έκταση και πο είναι µονοχρµατικά. Πιο σηµαντικά, οι σναρτήσεις τν ηµίτονν και σνηµίτονν µας δίνον µια ορθοκανονική βάση µε την οποία µπορούµε να αναπτύξοµε µια οποιαδήποτε άη περιοδική σνάρτηση στο χώρο και χρόνο. Η ανάπτξη ατή γίνεται µε τις σειρές Foue. ιάδοση ενέργειας Η διάδοση µιας διαταραχής στο χώρο και χρόνο σνεπάγεται και µια µεταφορά ενέργειας, µέσα από τη κίνηση το κύµατος. Αν και η εγκάρσια κίνηση δεν µεταφέρει ύη στην διεύθνση διάδοσης το κύµατος, µεταφέρει ενέργεια. Αν δούµε την διάδοση ενός κύµατος προς τα δεξιά, σε κάθε σηµείο το κύµατος παράγεται έργο πάν στο σηµείο ατό από το σηµείο στα αριστερά το, και παράγει έργο στο σηµείο στη δεξιά το περά. Το έργο πο παράγεται στο σηµείο είναι dw Fd sn θ d όπο είναι η δύναµη τάσης όγ της παροσίας της διαταραχής. 5 θ snθ ϕ
Το έργο ατό είναι ίσο µε την ααγή στην ενέργεια, πο µας επιτρέπει να γράοµε για τη στιγµιαία ισχύ πο διαδίδεται de P snθ d ώστε de d sn θ Asn θ( sn ( kx d dx Για µικρά πάτη ταάντσης, ώστε η τάση να είναι παράηη στη κίση το κύµατος, έχοµε d sn θ an θ an ϕ kasn ( kx dx πο µας δίνει de ( kasn ( kx sn θ( Asn ( kx k A sn ( kx d Η µέση ισχύ πο µεταφέρεται ανά περίοδο π είναι π π ka Pave E Pd sn ( kx d π π k A A ιάδοση ορµής Ένα κύµα µεταφέρει και ορµή. Η µεταφορά ατή φαίνεται από την ανάση το Lao. Σε µια τέεια Aoskx, και το ανακώµενο στην ανακαστική επιφάνεια προσπίπτει ένα κύµα της µορφής ( αντίθετη διεύθνση είναι Aos ( kx Aoskx ( Aos( kx. Εφόσον η επιφάνεια είναι τέεια ανακαστική για όος τος χρόνος. Τότε για κάποια στιγµή, έχοµε από τις φάσεις k + k k k όπο στο χρόνο, η θέση το κύµατος είναι x, και την ταχύτητα το κύµατος. Γνρίζοµε ότι k k ώστε ( + ( Η µέση τιµή ισχύος, η ενέργεια ανά µονάδα χρόνο, είναι ανάογη το. Έτσι ο όγος της ενέργειας στο κύµα ανάκασης E προς ατής το κύµατος της πρόσπτσης E είναι Άρα και για 6 E + + E + ( + E E E E E + E E E E
Βέποµε ότι το ανακώµενο κύµα έχει περισσότερη ενέργεια όγ το έργο πο εκτεείται στο κύµα από την ανακαστική επιφάνεια πο κινείται dw ds E F F d d E dp F d Μιγαδική σνάρτηση Η µιγαδική απεικόνιση µιας κµατοµορφής µας δίνει µια πιο σνοπτική εικόνα πο είναι πού πιο χρήσιµη στην επεξεργασία και ανάση τν κµάτν. Ένας τχαίος µιγαδικός αριθµός z ορίζεται από z x+ y και σε ποικές σντεταγµένες x ρosθ yρsnθ έτσι ώστε z x+ yρ( osθ+ snθ Τώρα από τη παραπάν σχέση z ( osθ+ snθ ώστε dz ( sn θ+ os θ dθ ( osθ+ sn θ dθ και dz d z θ µε ύση z e θ θ Γενικά έχοµε zρ e ρosθ+ ρsnθ, όπο ρ το πάτος το z, και θ η φάση το. * Το µιγαδικό σζγές (αντικατάσταση µας δίνει z ρosθ ρsnθρ e θ Επίσης από τις γενικές ιδιότητες τν µιγαδικών αριθµών ( θ +θ z ± z x ± x + y ± y z z ρρ e * ( ρ ρ π π π ± π e e e e ± θ θ θ e + e ( θ θ z z e z z z e osθ+ snθ osθ θ θ θ e e e osθ snθ snθ Για το αρµονικό κύµα χρησιµοποιούµε το πραγµατικό µέρος το µιγαδικού, ώστε kx ( +ε ( x, Re Ae Aos( kx +ε και γράφοµε τη σνάρτηση ενός αρµονικού κύµατος σαν kx ( +ε ϕ x, Ae Ae Φάση και φασική ταχύτητα Για το κύµα y φανταστικός άξονας θ osθ z ( x + y snθ x πραγµατικός άξονας 7
Asn kx η φάση το κύµατος (phase ορίζεται από ϕ kx Στη θέση όπο το x, x, A sn k µια ειδική περίπτση όπο η φάση είναι µηδέν, ενώ η πιο γενική περίπτση δίνεται από Asn( kx +ε όπο ε είναι η αρχική φάση, ή η γνία της πηγής (epoh angle, soue angle, έτσι ώστε η φάση της διαταραχής να δίνεται από ϕ ( x, ( kx +ε Οι µερικές παράγγοι της παραπάν σε σχέση µε το χώρο και το χρόνο δίνονται από ϕ x xϕ k Με βάση τη σχέση dϕ ( xϕ dx + ( ϕ x d ϕ x x ± ± ϕ ϕ k 8 x πο είναι η ταχύτητα το κύµατος ή η φασική το ταχύτητα (phase veloy. Είναι θετική για διάδοση προς αξανόµενες τιµές το x και αρνητική για µειούµενες. Για παράδειγµα, στη περίπτση πο Asn( k( x, έχοµε ϕ k( x σταθερα, και όπς το αξάνεται το x αξάνεται. Ακόµα και για x <, ώστε το ϕ <, το x πρέπει να αξάνεται (να γίνεται ιγότερο αρνητικό. Έτσι το µέτπο σταθερής φάσης κινείται στην αξανόµενη διεύθνση το x Asn k x ϕ k x+ σταθερά, µε την αύξηση το το προς τα δεξιά. Ανάογα, για ( + και x µειώνεται, ώστε έχοµε κίνηση προς την αρνητική διεύθνση. Περιοδική κίνηση Απή αρµονική κίνηση Περιγράφοµε τη θέση ενός σµατιδίο µε την x Asn( +ϕ, όπο ϕ είναι η φάση της κίνησης στη χρονική στιγµή και A το πάτος της ταάντσης. Η περίοδος της κίνησης είναι τ π και η σχνότητα dx d os +ϕ ν τ π. Η ταχύτητα δίνεται από τη παράγγο της θέσης και η επιτάχνση από τη δεύτερη παράγγο της θέσης a d d d x d sn ( x +ϕ. Η δύναµη στο σµάτιο δίνεται από τη σχέση F a x kx πο µας δίνει και την εξίσση κίνησης το σµατιδίο dx dx k kx + x d d πο ορίζει την εαστική σταθερά k k και τ π k και ν k π. Η κινητική ενέργεια είναι KE A os ( +ϕ ( A x V και η δναµική ενέργεια PE V, πο µε τη σχέση F kx γίνεται x
V kx x Η οική ενέργεια το σστήµατος είναι E PE+ KE ( A x + x A Φθίνοσα κίνηση Αν στην εξίσση κίνησης προσθέσοµε και ένα όρο απόσβεσης όγ τριβής, ανάογο το εξίσση κίνησης παίρνει τη µορφή dx dx a + b + x d d Η χαρακτηριστική εξίσση από την παραπάν είναι a + b + µε ύσεις b ± b 4a, a b Θέτοντας h a a, τότε, h± h Για την απή αρµονική κίνηση, χρίς απόσβεση, b h, ώστε x Asn( 9 dx b d, τότε η +α, όπο είναι η φσική σχνότητα το σστήµατος. Όταν h, τότε, h, h, δηαδή την κρίσιµη απόσβεση (al dapng h h x e + e και για h >, έχοµε, h± h την περ-κρίσιµη απόσβεση (ove dapng, όπο η σχνότητα είναι µεγαύτερη της φσικής σχνότητας a a x e + e a h+ h a h h και για < h <, έχοµε, h± h την πο-κρίσιµη απόσβεση (unde dapng, όπο η σχνότητα ταάντσης είναι χαµηότερη της φσικής σχνότητας σντονισµού x ae sn β +α β h h Εξαναγκασµένη κίνηση (α ηµιτονοειδής δύναµη οδήγησης Για την εξίσση κίνησης, όπς παραπάν, αά και µε ένα όρο µιας δύναµης πο τααντώνει το σύστηµα dx dx a + b + x F os d d γράφοµε για την οική δύναµη dx F kx b + F os d όπο kx είναι η γραµµική δύναµη επαναφοράς, b dx d η δύναµη απόσβεσης όγ τριβής, και έχοµε dx dx F k b + β + x Aos A β d d Η σµπηρµατική ύση (opleenay soluon, όταν Fos, δίνεται από
( { β } + { β } β x e Aexp Aexp ενώ για την γενική ύση παίρνοµε τη δοκιµαστική σχέση xp ( Dos( δ Με αντικατάσταση, και χρησιµοποιώντας την ανάπτξη το os( δ os osδ+ sn sn δ sn ( δ sn osδ os sn δ έχοµε { A D os sn δ+ β δ } os { D sn os δ β δ } sn Εφόσον το os και το sn είναι ανεξάρτητες σναρτήσεις, η παραπάν ύση θα ισχύει όταν οι σντεεστές τος είναι µηδενικοί, ώστε από τον όρο το sn έχοµε D ( sn os δ β δ β an δ ( ( β sn δ osδ ( + 4 β + 4 β και από τον όρο το os έχοµε A D ( os sn δ+ β δ A A D ( os sn δ+ β δ ( + 4 β ώστε τα A xp ( os( δ + 4 β ( β δ an ( Η γενική ύση τότε είναι x( x + xp µε τη σµπηρµατική ύση x ( να περιέχει την χρονική εξέιξη το σστήµατος και να εξαρτάται από τις αρχικές σνθήκες και να φθίνει σαν e β, ενώ η ειδική ύση (paula soluon xp ( είναι το τµήµα seady sae και περιέχει πηροφορίες για >> β ώστε >> β x xp ( µε δ τη διαφορά φάσης µεταξύ της δύναµης πο οδηγεί το σύστηµα και της κίνησης πο παράγεται. Για σγκεκριµένη, όπς η αξάνεται από το µηδέν, η φασική διαφορά δ µεγαώνει από το δ για στη τιµή δπ για και δπ για. dd Η σχνότητα R όταν το D είναι µέγιστο, βρίσκεται µε το όριο δηαδή R β και d το R µειώνεται όπς το β µεγαώνει. εν θα έχοµε σντονισµό όταν φανταστικό. Οι σχνότητες ταάντσης στις τρεις περιπτώσεις θα είναι R β > και το R θα είναι
Εεύθερη ταάντση k Εεύθερη ταάντση µε απόσβεση Οδηγούµενη ταάντση µε απόσβεση β R β µε > > R. Μπορούµε να περιγράοµε το βαθµό απόσβεσης, µέσα από τον παράγοντα ποιότητας Q R β. Για µικρή απόσβεση το Q είναι µεγάο και ο σντονισµός πησιάζει τη σµπεριφορά το εεύθερο ταανττή. Ο σντονισµός µπορεί να καταστραφεί, για µεγάη απόσβεση και χαµηό Q. Σε σντονισµό, η κινητική ενέργεια είναι dx KE d dx A sn ( δ d + 4β ( ώστε A sn ( δ KE ( + 4β Ο µέσος όρος της κινητικής ενέργειας για µια περίοδο είναι A sn ( δ KE + 4β και µε τη σχέση sn ( δ, έχοµε KE ( A 4 + 4β ( dke και τη µέγιστη τιµή της όταν E. d E Σντονισµός στο πάτος ταάντσης σµβαίνει στην τιµή της β, καθώς επίσης και για την δναµική ενέργεια εφόσον είναι ανάογη το πάτος. Έτσι η δναµική και η κινητική ενέργεια έχον τον σντονισµό τος σε διαφορετικές σχνότητες, µια και ο ταανττής µε απόσβεση δεν είναι ένα σύστηµα πο διατηρεί την ενέργεια. (β οδήγηση µε σνάρτηση pulse Από τα παραπάν, η κίνηση το ταανττή µε απόσβεση, ακοοθεί τη εξίσση κίνησης dx dx F + β + x d d µε γενική ύση x x + xp όπο η σµπηρµατική ύση δίνεται από β x( e [ Aos + Aos] β και για το µέρος xp ( πρέπει να γνρίζοµε τη δύναµη πο F( οδηγεί το σύστηµα. < ιακρίνοµε δύο σηµαντικές περιπτώσεις δνάµεν H( (α Σνάρτηση βάθρο Heavsde a a > Η εξίσση ταάντσης είναι dx dx + β + x a d d
για > µε αρχικές σνθήκες ( x και ( dx d, ώστε να έχοµε ( β x e Aos + Aos + > a βa µε σταθερές A A Τότε οι ύσεις είναι β( a β( βe x( > e os( ( sn( ( και x( < < F( I(, a < < < H για τις δύο περιοχές. (β Σνάρτηση τετραγνικού παµού Τη δύναµη πο οδηγεί το σύστηµα στη περίπτση ενός τετραγνικού παµού, µπορούµε να την δούµε σαν την διαφορά δύο σναρτήσεν βάθρο, ώστε να χρησιµοποιήσοµε τις ύσεις από την προηγούµενη περίπτση και να πάροµε για τ ( a βe ( β( τ a β( τ βe e os( ( τ sn τ βτ e os( ( τ os( ( a β( e βτ βe β + sn ( ( τ sn ( ( β β( x( e os( ( sn ( Εάν η διάρκεια της δύναµης τείνει στο µηδέν, και το πάτος στο άπειρο, µε το γινόµενο aτ σταθερό, τότε η απόκριση είναι πεπερασµένη. Αναπτύσσοµε τη ύση για τ,aτ b b β( x( e sn( ( > Η µέθοδος Geen για την απόκριση ενός σστήµατος σε τχαία δύναµη οδήγησης, εξαρτάται από την ανάπτξη της δύναµης ατής σε µια σειρά από sep pulse funons, όπς dx dx Fn + β + x In( d d και για τ n+ nκαθώς επίσης και για ( π <<, η ύση για την ( n β( n ( n n n n n n h n σνιστώσα θα είναι a x τe sn > +τ ενώ το άθροισµα µέχρι την N έχοµε a ( n β( x x e sn < < ( ( n N n n n ( ( n N N+ an ( β( ( e sn d Ορίζοµε την σνάρτηση το Geen a a H(
ώστε G, β( e sn ( ( < x F G, d γ Παράδειγµα: Για µια F( Fe >, από τα παραπάν έχοµε ( F γ β( x e e sn d z γ β z γ e e snzdz ( ( ( F F γ β γ β + γ β e e os sn Υπέρθεση κµάτν Η εξίσση κίνησης ενός κύµατος είναι γραµµική, εφόσον όες οι σνιστώσες το πεδίο και οι παράγγοι τος εµφανίζονται στην πρώτη είναι ύσεις της εξίσσης ατής, τότε η πέρθεση τος τος δύναµη. Εάν σναρτήσεις, (, (, είναι επίσης ύση της διαφορικής εξίσσης µε σταθερές. Η παραπάν σχέση είναι µια µορφή της αρχής της πέρθεσης (supeposon pnple µερικών κµάτν. Κύµατα ίδιας σχνότητας Αγεβρική µέθοδος Έχοντας µια ύση το είδος ( x, sn ( kx ( x, sn( α ( x, ε +ε γράφοµε χρίζοντας έτσι τη φάση το κύµατος στο χρονικό και χρικό µέρος. Παίρνοντας δύο κύµατα ίδιας σχνότητας ( x, sn( α ( x, sn( α το σνοικό κύµα είναι + sn ( os( α + os( sn ( α + sn ( os( α + os( sn ( α ή os( α + os( α sn ( + sn ( α + sn ( α os( Ορίζοντας τις σταθερές 3
os α + os α os α sn α + sn α sn α παίρνοµε προσθέτοντας os α os α + os α os α + os α και διαιρώντας ( ( ( ( ( ( sn ( α sn ( α + sn ( α sn ( α + sn ( α os ( α +sn ( α os ( α + sn ( α + os ( α + sn ( α + os( α os( α + sn( α sn( α + + os( α α sn sn α + α sn α an α os α os α +os α Το σνοικό κύµα είναι os( α sn ( +sn ( α os( sn ( +α ένα κύµα πο ορίζεται από την πέρθεση τν δύο, είναι αρµονικό και της ίδιας σχνότητας αά διαφέρει στο πάτος ταάντσης και στην χρική το φάση. Στη περίπτση πο >>, τότε sn ( α + sn ( α sn ( α an α an α os( α + os( α os( α α α και για >> an sn α + sn α sn α α an α os α + os α os α α α πο µας δείχνει ότι το σνοικό κύµα βρίσκεται σε φάση µε τη σηµαντικότερη σνιστώσα το. Η πκνότητα ροής ενέργειας το όο κύµατος είναι ανάογο το τετραγώνο το πάτος το πεδίο ε I S ώστε να µην είναι απά το άθροισµα τ επιµέρος ροών από τις σνιστώσες το. Υπάρχει ο πρόσθετος όρος os( α α, ο όρος της σµβοής (nefeene e. Ο σηµαντικός παράγοντας είναι ο όρος της διαφοράς φάσης δα α. Όταν το δ, ± π, ± 4π το πάτος πο προκύπτει είναι µέγιστο και για δ, ±π, ± 3π είναι εάχιστο. Στη πρώτη περίπτση τα κύµατα βρίσκονται σε φάση (n phase και στη δεύτερη εκτός φάσης (ou of phase. Μια τέτοια διαφορά µπορεί να πηγάζει από διαφορά στο µήκος διαδροµής τν δύο κµάτν ή από διαφορά στην αρχική φάση της κάθε πηγής π δα α ( kx+ε ( kx +ε ( x x + ( ε ε όπο x,x είναι οι αποστάσεις τν πηγών από το σηµείο παρατήρησης και ε, ε οι φάσεις τν πηγών. Εάν δύο κύµατα έχον αρχική φάση πηγής ε ε, τότε π π δ ( x x n( x x 4
θα είναι η διαφορά φάσης στο σηµείο παρατήρησης µέσα από διάδοση από διαφορετικούς δρόµος. Η διαφορά ατή το οπτικού δρόµο είναι η n( x x. Μπορούµε επίσης να δούµε και την ειδική περίπτση µε ( x, sn( k( x + x ( x, sn( kx µε α α k x. Έτσι k x x os sn k x + πο µας δίνει καθαρά τη διαφορά οπτικού δρόµο για σύµφνα κύµατα ε ε. Η πέρθεση ποών αρµονικών σύµφνν κµάτν µε ίδια σχνότητα πο διαδίδονται στην ίδια διεύθνση θα µας δώσει ένα αρµονικό κύµα µε την ίδια επίσης σχνότητα. Μπορούµε επίσης να πάροµε το ηµίτονο για το αρµονικό κύµα και να έχοµε os( ±α os ±α µε αντιστοιχία µε 5 + os α α j j j> sn α an α os α Όταν οι πηγές είναι τεείς τχαίες στην αρχική φάση της πηγής τότε ( j os α α και παραµένει µόνο ο πρώτος όρος, ώστε N και η οική πκνότητα ροής ενέργειας από Ν πηγές µε τχαίες φάσεις θα είναι ίση µε Ν φορές τη ροή της µιας πηγής, δηαδή το άθροισµα τν επιµέρος πηγών. εν περιµένοµε να δούµε φαινόµενα σµβοής από ασύµφνες πηγές. Στην άη περίπτση, όταν οι πηγές είναι σύµφνες α α j και τότε j ( N N j> + Η πέρθεση σύµφνν κµάτν επηρεάζει τη χρική κατανοµή της ενέργειας και όχι την οική της τιµή. Υπάρχον περιοχές µε περισσότερη ένταση και άες µε µικρότερη από ατές της παραπάν ασύµφνης περίπτσης. Μιγαδική µέθοδος Το αρµονικό κύµα µπορεί να γραφεί και σαν ( e +α αν πάροµε το πραγµατικό µέρος για το τεικό αποτέεσµα. Έτσι για Ν κύµατα στην έχοµε N ( +α α j α e je e e e j όπο e α είναι το µιγαδικό πάτος. Εφόσον α α * e e + x διεύθνση το µιγαδικό πάτος είναι το φασικό άνσµα (phaso και δίνεται από το µέγεθος και τη γνία σαν α. Στάσιµα κύµατα Εφόσον το άθροισµα δύο κµάτν πο επαηθεύον την κµατική εξίσση είναι επίσης ύση της, τότε µπορούµε να πάροµε ( x, f ( x + g( x + Για δύο αρµονικά µονοχρµατικά κύµατα πο διαδίδονται σε αντίθετη κατεύθνση, έχοµε
sn + kx +ε sn kx ε ώστε να έχοµε + Εάν ποθέσοµε ότι για το κύµα πο κινείται προς τα αριστερά ανακάται από µια τέεια επιφάνεια πο βρίσκεται στη θέση x και έπειτα ταξιδεύει προς τα δεξιά για να µας δώσει το, θέτοντας την αρχική φάση ε έχοµε για το χρονικό σηµείο, sn ( kx. Το σηµαντικό ατής της ανάκασης είναι ο περιορισµός από την σνοριακή σνθήκη (bounday ondon ώστε το κύµα πο ανακάται από την επιφάνεια να έχει µηδενικό πάτος πεδίο παράηα προς την επιφάνεια. Έτσι εάν, τότε στη θέση το κατόπτρο x το, και εφόσον ε, τότε ε, και sn ( + kx + sn ( kx ( x, sn( kx os( µια σχέση πο περιγράφει το στάσιµο κύµα (sandng wave πο δεν κινείται στο χώρο και δεν παίρνει τη f x±. Σε όα τα σηµεία x το πάτος το κύµατος µένει σταθερό και ίσο µε µορφή το a f και µεταβάεται στο χρόνο σαν 3 sn kx os.σε κάποια σηµεία στην άξονα x,,,, η διακύµανση θα είναι µηδέν για όος τος χρόνος. Τα σηµεία ατά είναι τα κοµβικά σηµεία (nodes 3 το κύµατος και στα ενδιάµεσα σηµεία x,, τα πάτη θα είναι µέγιστα, αντικοµβικά 4 4 (annodes. ιαφορετικές σχνότητες Για τααντώσεις από δύο κύµατα µε διαφορετικά µήκη κύµατος αά ίδιο πάτος και µηδενική αρχική φάση ( ( os k x os k x η πέρθεση τος είναι os( kx + os( kx os ( k k x ( + + os ( k k x ( από όπο µπορούµε να ορίσοµε τα µεγέθη Μέση τιµή γνιακής σχνότητας ( + Μέση τιµή κµατάριθµο k ( k+ k Σχνότητα διαµόρφσης ( 6 I α α α α Re
Κµατάριθµος διαµόρφσης k ( k k Έχοµε έτσι os( kx os( kx ώστε να µπορούµε να δούµε την οική διακύµανση σαν ένα κύµα πο διαδίδεται µε σχνότητα ( x, ( x, os( kx µε ax, f osbkx g Στη περιοχή τν οπτικών σχνοτήτν, οι, είναι µεγάες και σνήθς σγκρίσιµες µεταξύ τος, άρα >> και το ( x, να µεταβάεται αργά σε σχέση µε το ( x,. Η ένταση το κύµατος είναι ανάογη το x, 4os k x + os( k x πο µας δείχνει ότι το ( x, τααντώνεται γύρ από την τιµή το µε γνιακή ταχύτητα τη σχνότητα το διακροτήµατος (bea fequeny. Σύµφνη ακτινοβοία Από τα παραπάν, έχοµε για ένα κύµα πο αποτεείται από ένα ίσχνο φέρον κύµα (ae wave πο διαµορφώνεται από µια σνάρτηση ηµιτονίν. Έχοµε τότε τη κάθε σνιστώσα σχνότητα να κινείται µε τη δική της φασική ταχύτητα ϕ x x ϕ όπο όταν ϕ kx παίρνοµε p k για τη φασική ταχύτητα (phase veloy το κύµατος. Για το διαµορφµένο πάτος, έχοµε µια διαφορετική ταχύτητα g την οµαδική ταχύτητα (goup veloy της διαταραχής. Στις πιο ποές περιπτώσεις, η σχνότητα εξαρτάται από το µήκος κύµατος ή τον κµατάριθµο k. Η σχέση ατή ( k είναι γνστή σαν σχέση διασποράς (dspeson elaon. Έτσι d d g + k k dk dk όπο k. Για να ποογίσοµε την ένταση µιας πέρθεσης δύο κµάτν, θερούµε δύο κύµατα µε κµατάριθµος k και k µε σχνότητα και ώστε Aexp kx ( και Aexp kx. Με τα παραπάν η ένταση της διαταραχής θα είναι * * * * I + + + + 7 k o (( ( (( ( exp k k x + + + AA exp k k x + + I+ I + AAosθ θ k k x+ Όταν τα δύο κύµατα έχον την ίδια ένταση ταάντσης, τότε A A A και η παραπάν σχέση µας δίνει
ώστε για θ, π,4 π,...nπ, έχοµε Io o I I + I + Iosθ I + os θ 4I, δηαδή η ένταση να είναι φορές της τιµής τν δύο κµάτν ξεχριστά, και για θπ,3 π,...( n + π η ένταση να είναι µηδέν. Όταν τα δύο κύµατα έχον σχεδόν τις ίδιες ιδιότητες, k και, τότε περιµένοµε φαινόµενα σµβοής και τα κύµατα να είναι σύµφνα. Όταν τα δύο κύµατα έχον τεείς διαφορετικές ιδιότητες ή πάρχον ποά κύµατα µε διαφορετικές φάσεις ή πηγάζον από διαφορετικά σηµεία, έχοµε ασµφνία και δεν παρατηρούµε φαινόµενα σµβοής. Μπορούµε να ξεχρίσοµε τη σµφνία σε χρονική όταν έχοµε µικρές διαφορές στη σχνότητα, και σε χρική πο βασίζεται στη σχετική χρική θέση τν κµάτν. Χρονική σµφνία Γνστή και σαν διαµήκης σµφνία, χαρακτηρίζει τη σµφνία φάσης µεταξύ δύο κµάτν σε δύο διαφορετικές θέσεις στον άξονα διάδοσης. Από το σχήµα βέποµε ότι όταν δύο κύµατα είναι σύµφνα σε κάποια θέση, θα διατηρήσον κάποια σµφνία για µήκος διάδοσης, µέχρι το δεύτερο σηµείο, όπο και οι φάσεις τος διαφέρον κατά π. Από τα παραπάν και από τη σχέση k π, ο όρος os θ Plo[{Sn[x], Sn[.3*x]}, {x,, 4\[P]}, PloSyle -> {{RGBColo[,, ], µεταβάεται κατά π µεταξύ µεγίστν ώστε Absoluehkness[3]}, {RGBColo[,, ], π π Absoluehkness[3]}}, PloRange -> {-., π ( k+ k x.}, ks -> None] όπο είναι ο µέσος όρος τν µηκών κύµατος. Το µήκος σµφνίας είναι σηµαντικό όταν <<, δηαδή όταν τα µήκη κύµατος είναι σχεδόν ίδια. Σε σχέση µε τη σχνότητα, από τη σχέση ν ν ώστε ν ν. 4 Παράδειγµα: Για µια άµπα Hg έχοµε ν 5,96x [ n] και για το He-Ne 6,33x [ n] ώστε για το µήκος σµφνίας για την άµπα έχοµε,5[ ] και για το He-Ne 3[ ]. Χρική σµφνία Γνστή και σαν εγκάρσια σµφνία, χαρακτηρίζει πόσο σχετικά µετατοπισµένες µπορεί να είναι δύο πηγές ή δύο µέρη µιας πηγής σε ένα επίπεδο κάθετο προς την διάδοση παρατήρησης και να παρατηρούµε ακόµα φαινόµενα σµφνίας. Εάν τα δύο σηµεία της πηγής απέχον κατά s και παρατηρούµε σε απόσταση φαινόµενα σµφνίας στο σηµείο a, τότε το εγκάρσιο µήκος σµφνίας είναι η απόσταση µέχρι το σηµείο b όπο δεν παρατηρούµε πέον φαινόµενα σµφνίας, και s µε την προσέγγιση θ. s θ s b l a 8
Οµαδική ταχύτητα Μια κµατοµορφή πο επεκτείνεται χρονικά στο άπειρο δεν έχει αρχή και τέος, και δεν µπορεί να kz ( διαµορφθεί. Περιγράφεται µε την σχέση E Ee Asn( kz. Οποιαδήποτε προσπάθεια να διαµορφώσοµε, να ξεκινήσοµε ή να σταµατήσοµε τη παραπάν κµατοµορφή χρειάζεται επιπέον σχνότητες. Όταν η κµατοµορφή περιέχει παραπάν από µία σχνότητα, η περιβάοσα τν δύο κµάτν κινείται και ατή σαν µια κµατοµορφή µε µια ταχύτητα, την οµαδική ταχύτητα g d g dk Μια πεπερασµένη οµαδική ταχύτητα σηµαίνει και µια ααγή στην ταχύτητα σε σχέση µε το µήκος κύµατος. Ένα ικό µε τέτοια χαρακτηριστικά έµε ότι παροσιάζει φαινόµενα διασποράς και η φασική και οµαδική ταχύτητα είναι διαφορετικές. Αντίθετα δεν έχοµε διασπορά, όταν η φασική και οµαδική ταχύτητα είναι ίδιες. Η οµαδική ταχύτητα είναι η ταχύτητα µετάδοσης πηροφορίας, εφόσον η πηροφορία απαιτεί και διαµόρφση. Σειρές Foue Τα παραπάν κύµατα είναι κύµατα αρµονικών σναρτήσεν. Για γενικές µορφές κµάτν (µηαρµονικά αά µε κάποια περιοδικότητα, µπορούµε να κάνοµε µια σύνθεση από άθροισµα αρµονικών σναρτήσεν µε µήκη κύµατος ακέραια ποποαπάσια της περιόδο. Έτσι η σνάρτηση το µη-αρµονικού κύµατος δίνεται από π π f ( x C + Cos x+ε + Cos x+ε + C os kx+ε Από τη σχέση έχοµε ( +ε + C os kx A os kx B sn kx A f x A os kx B sn kx + + Η διαδικασία της ανάσης Foue µας δίνει τος σντεεστές Για να ποογίσοµε τον A, οοκηρώνοµε την f ( x για µια περίοδο, πο µας δίνει όπο + + A,A,B για κάθε σνάρτηση A f x dx dx A os kx dx B os kx dx os kx dx sn kx dx, ώστε A A f ( x dx dx και έχοµε A f ( x dx Με τον ίδιο τρόπο βρίσκοµε και τος άος σντεεστές. Από τις σχέσεις f x. 9
και A B n f x os nkx dx n A os nkx dx + A n + f x os nkx dx f x sn nkx dx A sn nkx dx A os nkx os kx dx B os nkx os kx dx + A n + f x sn nkx dx A sn nkx os kx dx B sn nkx os kx dx Τρισδιάστατα κύµατα Επίπεδα κύµατα Το επίπεδο κύµα είναι το πιο από τρισδιάστατο κύµα. Σε κάποια χρονική στιγµή, τα επίπεδα της ταάντσης µε σταθερή φάση δηµιοργούν µια σειρά από επίπεδα παράηα µεταξύ τος και κάθετα προς την διεύθνση διάδοσης. Όταν το άνσµα διάδοσης είναι k, η µαθηµατική περιγραφή το επίπεδο κύµατος κάθετο στο k και το οποίο περνά από κάποιο σηµείο στο x,y,z και θέτοντας χώρο ( επίσης x,y,z έχει ς εξής: γράφοντας για το k, αναγκάζοµε το διάνσµα ( επίπεδο κάθετο στο k, καθώς το k ( x x + k ( y y + k ( z z να ορίσει ένα x, y,z παίρνει όες τι τιµές. Εάν k ( k,k,k x y z x y z k xx + k xy + k zz k xx + k xy + kzz ons Για µια σειρά από τέτοια επίπεδα όπο το µεταβάεται στο χώρο αρµονικά, έχοµε Asn( k Aos( k ή Aexp k, τότε έχοµε k k k
πο επανααµβάνεται για κάθε µετατόπιση στην διεύθνση k, και η χρική ατή επανάηη µπορεί να αποδοθεί σαν k + k ή στην µιγαδική της µορφή k k + k k k k Ae Ae Ae e k π ώστε πρέπει να έχοµε e e δηαδή π k όπο k είναι το άνσµα διάδοσης. Μαζί µε την χρονική εξάρτηση, τα κύµατα µπορούν να διαδίδονται σαν Aexp k Για να βρούµε τη φασική ταχύτητα, παίρνοµε για το k την προβοή το στο k, ώστε για χρόνο d το κύµα κινείται κατά µήκος το k µια απόσταση d k και πρέπει να έχοµε (, ( + d k,+ d ( k, ή στη µιγαδική µορφή A exp( k A exp( kk + kdk d Aexp k k dk ώστε kdk ± d και το µέγεθος της ταχύτητας το κύµατος να είναι ± ± d Το παραπάν αποτέεσµα µπορούσαµε να το πάροµε αν στρέφαµε το σύστηµα αναφοράς ώστε το διάνσµα διάδοσης k να βρίσκεται κατά µήκος το άξονα x για παράδειγµα, έτσι ώστε k kx x kx, πο αποποιεί τα παραπάν, σε κύµα µιας διάστασης. Σε Καρτεσιανές σντεταγµένες, το επίπεδο κύµα είναι ( x, y, z, A exp ( k xx k yy kzz + + A exp k ( α x +β y +γz όπο αβγ,, είναι τα ηµίτονα διεύθνσης το k και k k k + k + k ώστε α +β +γ x y z Τρισδιάστατη διαφορική σνάρτηση Το επίπεδο κύµα είναι η µόνη διαταραχή σε τρεις διαστάσεις πο δεν αάζει όπς κινείται στο χώρο. Ο περιορισµός ατός δεν πάρχει αν ορίσοµε σαν κύµα µια οποιαδήποτε ύση της κµατικής διαφορικής εξίσσης. Με βάση τα παραπάν θέοµε να βρούµε τη πιο γενική µορφή της κµατικής διαφορικής εξίσσης σε τρεις διαστάσεις. Μπορούµε από τα παραπάν να ποθέσοµε τη µορφή της, και ειδικότερα από τη σχέση της ( x,y,z, για το επίπεδο κύµα, µε την προϋπόθεση ότι οι σντεταγµένες x,y,z εµφανίζονται σµµετρικά (µπορούµε να αάξοµε τη σειρά τος χρίς καµιά ααγή. Οι µερικές παράγγοι είναι α x k β y k γ z k ώστε x+ y+ z ( α +β +γ k k και από τη σχέση k παίρνοµε ( x + y + z
την τρισδιάστατη διαφορική κµατική εξίσση, πο µε την Laplaan αποποιείται σε Επίπεδα κύµατα Η παραπάν έχει σαν ύση το επίπεδο κύµα Aexp k( α x+β y+γ z± ( x,y,z, f ( α x +β y +γz g( α x +β y +γ z +, ώστε η είναι επίσης ύσεις επίπεδν κµάτν. Οι γραµµικοί σνδασµοί τος είναι επίσης ύσεις k k ( x, y,z, Cf + Cg + k k Η γενικεµένη ύση της κµατικής σνάρτησης είναι, A os S όπο σε χρονικές στιγµές η S ( σταθερά αντιπροσπεύει τα κµατικά µέτπα. Αν το πάτος A ( είναι σταθερό στο µέτπο ατό, το κύµα είναι οµογενές, αν όχι είναι ανοµοιογενές. Η µέση τιµή ισχύος για την τρισδιάστατη περίπτση είναι η µέση τιµή ισχύος ανά µονάδα επιφάνειας, και είναι η ένταση το κύµατος. Στη µιγαδική µορφή, έχοµε, E e µε S +δ E A e, όπο δ είναι µια αρχική φάση. Αντικαθιστώντας στη κµατική εξίσση κίνησης E e e E και µε k, έχοµε ( + k E την εξίσση Helholz, πο δείχνει καθαρά τις χρικές ιδιότητες ενός κύµατος. Η φασική ταχύτητα ενός τχαίο τρισδιάστατο κύµατος είναι αρκετά περίποκη. Πρέπει να, είναι ίδια µε ατή στο ακοοθήσοµε ένα σηµείο στο χώρο και χρόνο. Αν η φάση στο ( +,+, τότε S S( + ( + S( + S και στο όριο, η αγκύη [ ] παραπάν µας δίνει την κίση της S d S, ώστε Αν ορίσοµε ένα άνσµα ˆn κάθετο στην επιφάνεια το d, τότε d nds ˆ, όπο ds η απόσταση τν S + d S είναι S( και (. Η ταχύτητα κίνησης της επιφάνειας ds d nˆ S( Η παράγγος παίρνει την εάχιστη τιµή της όταν το ˆn είναι κάθετο στην επιφάνεια το µετώπο S ˆn S ώστε
ds d S( Να σηµειθεί ότι η φασική ταχύτητα δεν είναι άνσµα, και χρειάζεται προσοχή για την φσική σηµασία πο της αποδίδοµε. Σφαιρικά κύµατα Από µια σηµειακή πηγή, η ακτινοβοία διαδίδεται ακτινικά προς όες τις διεθύνσεις ισοτροπικά, ώστε τα κµατικά µέτπα να είναι σφαιρικά µε αξανόµενη διάµετρο. Η σµµετρία ατή προτρέπει τη µαθηµατική περιγραφή σε σφαιρικές σντεταγµένες, όπο ( + θ( snθ θ + ϕ sn θ sn θ µε x snθosϕ y snθsnϕ z osθ Εφόσον περιµένοµε σφαιρική σµµετρία, οι σναρτήσεις δεν πρέπει να εξαρτώνται από το, θϕ, ώστε η Laplaan γίνεται ( Ξεκινώντας από την Καρτεσιανή Laplae x x Από τη σχέση πο µας δίνει x + y + z έχοµε 3 + ( x x x x x x x + x x x + x x x x x x x x x + x x + x x x x x + y y z z y + και z + Προσθέτοντας παίρνοµε x + y + z 3 x + y + z + + x y z + 3 + ( Μπορούµε επίσης να γράοµε ( ώστε ( ( ( x z ϕ θ sn θosϕ P(,θ,ϕ os θ y sn θsn ϕ
µια µονοδιάστατη διαφορική στην µε ύση (, f( (, f( ένα σφαιρικό κύµα πο διαδίδεται προς την θετική διεύθνση, µε ταχύτητα καθώς επίσης και την (, g( + πο διαδίδεται προς την αρχή τν αξόνν Η γενική ύση είναι τότε (, C f ( C g( + + πο έχει σαν ειδική περίπτση το αρµονικό σφαιρικό κύµα A A (, os( k ( exp( k ( όπο A µας δίνει το µέτρο της έντασης της πηγής. Για κάθε τιµή το χρόνο, έχοµε σφαίρες στο χώρο, όπο για κάθε µέτπο η επιφάνεια σταθερής φάσης δίνεται από k ons. Το σφαιρικό κύµα επίσης εξασθενεί µε την απόσταση όπς µεγαώνει και αποµακρύνεται. Ο παράγοντας ατός της µείσης πηγάζει από την διατήρηση της ενέργειας. Σε µεγάες αποστάσεις από τη πηγή, η ακτίνα της σφαίρας είναι πού µεγάη και για µικρές εγκάρσιες διατοµές η σφαιρική επιφάνεια φαίνεται επίπεδη και παίρνοµε τα επίπεδα κύµατα. Κινδρικά κύµατα Μια άη ιδανική κµατοµορφή είναι η κινδρική πο περιγράφει διάδοση κµάτν πο πηγάζον από µια γραµµική πηγή άπειρης έκτασης.. Σε κινδρικές σντεταγµένες ρ( ρ ρ + + ϕ z ρ ρ µε x ρosϕ yρsnϕ z z ώστε ένα κύµα µε κινδρική σµµετρία να έχει τη µορφή ( ρ, ϕ,z ( ρ x. Ένα επίπεδο κάθετο στον z-άξονα τέµνει το κύµα σε κύκο, πο µεταβάεται για διαφορετικές τιµές το z. Η διαφορική εξίσση δίνει ρ( ρ ρ ρ Η µορφή της παραπάν µοιάζει µε εξίσση Bessel, πο για µεγάες τιµές το, τείνει στις ασµπττικές τριγνοµετρικές ύσεις A ( ρ, exp( k( ρ πο απεικονίζει ένα σετ οµοαξονικών κίνδρν µε κέντρο τη γραµµική πηγή τος. Γενικές ύσεις δεν πάρχον. 4