SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care multime are mai multe elemente. SUBIECTUL II Fie x = 005 3... 004 y= 004 3... 005 Stabiliti care dintre ele este mai mic. SUBIECTUL III Fie numerele a si b cu proprietatea ca 3 n a 9 = 8 9 9 9...9 ( ) 3 ( 5 5... 5 n ), n N b = 4 5 Demonstrati ca a este patrat perfect iar b nu este patrat perfect. Nota:Toate subietele sunt obligatorii. Timp de lucru ore.
SUBIECTUL I Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a VI-a Determinati numerele rationale a,b,c, numarul natural par k si numarul natural n stiind ca abc= si ak a bk = k b k ck 3 = = n c k SUBIECTUL II Determinati numerele naturale a si b pentru care numerele simultan numere prime. a b, b a, a b sunt SUBIECTUL III Fie triunghiul ABC in care AD BC, D ( BC ). Mediatoarea laturii AC intersecteaza pe AB in E, pe BC in T si pe AD in S. Aratati ca : a)δtec ΔTEA b) TAS TCS c) CS AT Nota :Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru ore
Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a VII-a SUBIECTUL I Rezolvati ecuatia : ( x ) ( x 3) ( x 5)... ( x n ) = ( x ) ( x 4) ( x 6)... ( x n) unde n N, x R. SUBIECTUL II x a) Daca x R, x > aratati ca > x x b) Pentru a, b, c numere reale si a>,b>,c> aratati ca a a b b c c 6 SUBIECTUL III Fie triunghiul ABC cu C =5 0 si B=55 0. Aratati ca BC =AC(ABAC). Nota : Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru ore.
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a VIII-a Subiectul I Determinati numerele reale a si b stiind ca exista numerele reale x si y astfel incat x y ax y a 5 x y 4x by b 5 = 3. Subiectul II Daca laturile a,b,c,d ale unui patrulater verifica egalitatea a b c d atunci patrulaterul este patrat sau romb. ( a b c d ) = ( a b c d ) Subiectul III Dintr-un punct A exterior unui plan α se duce perpendiculara AO pe plan si se iau B, C α astfel ca punctele O, B, C sa nu fie coliniare. Fie H si H respectiv ortocentrele triunghiurilor ABC si OBC, AD si BE inaltimi in ABC ( D BC si E AC ), iar BE inaltime in OBC ( E OC ). Sa se demonstreze ca: a) H H (ABC); b) OA AD DH BE =. H B EE
NOTA: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru : doua ore. COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a IX-a.La o reuniune internationala se vorbesc trei limbi pe care le notam cu L, L si L 3.Limba L i este vorbita de i persoane (i=,,3). Limbile L i si L j sunt vorbite de ij persoane ( i < j 3 ) si o singura persoana vorbeste cele trei limbi. Cate persoane sunt prezente la reuniune?.daca sirul ( a n ) n este progresia aritmetica cu toti termenii nenuli sa se calculeze suma : a S = a aa a a 3 4 aa3a a a a 4 5 6 aa3... a... a a... a 4 n n 3. Hexagonul ABCDEF are proprietatea ca AD=BCEF iar dreptele BC, AD si EF sunt paralele. Sa se arate ca triunghiurile ACE si BDF au acelasi centru de greutate.
Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA A X-A I. Fie (a n ) n si (b n ) n siruri de numere reale astfel incat pentru orice a a... ak k, b k =. k Sa se arate ca daca unul din siruri este progresie aritmetica, atunci si celalalt este o progresie aritmetica. I) Fie a> si b>. Sa se rezolve ecuatiile: ) b x a x = b a ) (x a) log a b (x b) log b a = b a Fie z, z, z 3 ЄC cu z = z = z 3 = si z z z 3 =0 Sa se arate ca : ) z - z z - z z z 3 = 3 ( z ), z ЄC II) ) z z z z z z 3 3, z ЄC
Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA A XI-A x n III) Fie un sir (x n ) n 0 astfel incat x n = 4 x 0 >0., nєn, unde ) Sa se arate ca (x n ) n 0 este sir convergent si lim x n = 0 n ) Sa se calculeze lim n x n n IV) Fie AЄM (R) si =deta astfel incat det(a A*)=0. Aratati ca det(a - A*)Є {0,4}, unde A* reprezinta adjuncta matricei A. an V) a) Demonstrati ca sirul a n =, cu 0 ] a [0,, este convergent catre. b) Determinati functiile f :[0,] R continue in punctul x= si cu x proprietatea ca f ( x) = f, [0,]. x COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE
Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a XII-a.Sa se arate ca nu exista nici o functie astfel ca f ( F ( x) ) = x, ( ) x R. f : R R care sa admita o primitiva F f.se dau functiile f,g:[0, ) (0, ) continue si cu proprietatea ca functia g fie crescatoare pe [0, ). Sa se arate ca functia h: [0, ) R, h(x)= este crescatoare. x 0 x 0 f ( t) dt g( t) dt sa 3 3 3.Fie ( G, ) grup si a G. Sa se arate ca daca x a = ax, ( ) x G este comutativ. atunci grupul