. ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΜΕ ΙΣΟΤΟΠΑ
. Αναπαράσταση ψηφιακής εικόνας y Μονόχρωµη εικόνα ή απλά εικόνα : διδιάστατη συνάρτηση φωτεινότητας f (x, y, όπου x, y είναι οι συντεταγµένες στο επίπεδο και η τιµή f, σε οποιοδήποτε σηµείο είναι ανάλογη της φωτεινότητας (ή αλλιώς του επιπέδου γκρι της εικόνας σε αυτό το σηµείο f(x,y x Μπορούµε νααναπαραστήσουµε την συνάρτηση f γραφικά χρησιµοποιώντας και τρίτο άονα για την τιµήτηςφωτεινότητας. Με αυτό τον τρόπο παρατηρούµε περιοχές µε έντονη διακύµανση (κορυφές και οµαλές περιοχές (οροπέδια όπου η φωτεινότητα είναι περίπου σταθερή.
. Ψηφιακή Εικόνα Η ψηφιακή εικόνα είναι µια κβαντισµένη εικόνα, µε κβάντωση : χωρικές συντεταγµένες (sampling επίπεδα φωτεινότητας (quantisation. Η ψηφιακή εικόνα µπορεί να θεωρηθεί σαν ένας πίνακας στοιχείων (pixels( pixels, picture elements : δείκτες στήλης δείκτες γραµµής
Ιατρική Ψηφιακή Εικόνα Οι τιµές των pixels αντιπροσωπεύουν παραµέτρους : Computed Tomography (ακτινογραφία εασθένηση των ακτίνων-χ Magnetic Resonance Imaging πυκνότητα πρωτονίων Υπέρηχοι ακουστική εµπέδηση Πυρηνική Ιατρική κατανοµήενόςραδιοφαρµάκου Το µέγεθος της ψηφιακής εικόνας ποικίλει ανάλογα µε την εφαρµογή, χρησιµοποιούνται ακέραιες δυνάµεις του. Ένα τυπικό µέγεθος που αντιστοιχεί σε ποιότητα εικόνας τηλεόρασης είναι πίνακας 5x5 µε 8 επίπεδα του γκρι.
Έγχρωµη Ψηφιακή Εικόνα Ησυνάρτηση f µπορεί να θεωρηθεί σαν ένα διάνυσµα µε τρεις συνιστώσες όπου η καθεµιά αντιστοιχεί σε ένα βασικό χρώµα. Οσυνδυασµός των τριών συνιστωσών δίνει το ακριβές χρώµα ενός σηµείου. Για την επιλογή των τριών βασικών χρωµάτων υπάρχουν πολλά πρότυπα µε πιοδιαδεδοµένο το RGB (Red Green Blue.
Ψηφιακή επεεργασία εικόνας ΑΠΟΣΚΟΠΕΙ : βελτίωση της εµφάνισής τους καλύτερη παρατήρησή τους από τον άνθρωπο προετοιµασία τους για αυτόµατη αναγνώριση µέτρησητωνχαρακτηριστικώνδοµών που υπάρχουν σε αυτές. Ηδιαδικασίατης επεεργασίας είναι ηµιαυτοµατοποιηµένη (συνεργασία ανθρώπου και υπολογιστή, είτε πλήρως αυτοµατο- ποιηµένη.
Προτυποποίηση Ψηφιακής επεεργασίας Για την προτυποποίηση της διαδικασίας επεεργασίας εικόνας µελετούνται θέµατα : ισχύς του υπολογιστικού συστήµατος που αναλαµβάνει την επεεργασία χρόνος επεεργασίας συµµετοχή του χρήστη στην διαδικασία είδος του αρχείου στο οποίο αποθηκεύεται η εικόνα τρόπος πρόσβασης σε αυτά τα αρχεία
Βελτίωση Ψηφιακής Εικόνας Ανάπτυη µεθόδων για : ενίσχυση ή ελάττωση των χαρακτηριστικών µιας εικόνας εγκυρότερες οι εαγόµενες πληροφορίες ευκολότερη εφαρµογή άλλων τεχνικών (image enhancement. Ενίσχυση αντίθεσης (contrast enha- ncement Εοµάλυνση (Smoothing
ιαδικασία Ψηφιακής Επεεργασίας Οι διαδικασίες εφαρµόζονται στο πεδίο του χώρου (spatial domain filtering στο πεδίο της συχνότητας (frequency domain filtering Η µετάβαση από το πεδίο του χώρου στο πεδίο της συχνότητας υλοποιείται µε τηβοήθειατουδιδιάστατουµετασχηµατισµού Fourier Πραγµατοποιούνται µετρήσεις σε χαρακτηριστικά της εικόνας : Φωτεινότητα Θέση Μέγεθος Σχήµα γίνεται στατιστική επεεργασία των αποτελεσµάτων
. Συνεχής Μετασχηµατισµός Fourier Ο µετασχηµατισµός Fourier (FT µιας συνάρτησης f που είναι συνεχής και ολοκληρώσιµη, δίνεται από τη σχέση: F (ω f ( xexp( jωx dx Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier (IFT δίνεται από τη σχέση: f ( x F(ωexp( jωx dω Φάσµα της συχνότητας ορίζεται το µέτρο της συνάρτησης F(k, ηοποία είναι συχνά µιγαδική συνάρτηση: F(k R(k +j + j I(k I Η φάση ορίζεται ως: F (ω R (ω + φ(ω tan I I(ω R(ω (ω
Σην επεεργασία εικόνας χρησιµοποιείται ο διδιάστατος D-FT FT, που ορίζεται : F(ω f ( xexp( jωx dx f ( x, x exp[ j(ωx + ωx ] dx Όπου: (ω,ω και f x f ( x, x ω ( dx f ( x F(ωexp( jωx dω F(ω + ω,ω exp[ j(ωx x ] dωdω
Παρατηρείται ότι µε τονft µια συνάρτηση f(x αναλύεται σε ένα άπειρο άθροισµα ηµιτόνων και συνηµιτόνων εφόσον: exp( j ωx cos(ωx + j sin(ωx και κάθε τιµήτου ω καθορίζει τη συχνότητα του ζεύγους ηµιτόνου-συνηµιτόνου στο οποίο αντιστοιχεί. Τα αποτελέσµατα της ανάλυσης µιας συνάρτησης µε τη βοήθεια του FT αναφέρονται ως το πεδίο των συχνοτήτων.
Ιδιότητες του Μετασχηµατισµού Fourier Ιδιότητα Περιστροφή Συνάρτηση f(x,, x x Μετασχηµατισµός F(k,k,k f ± x, ± x F ± k, ± k ( ( Γραµµικότητα ιαχωρισιµότητα Αλλαγή Κλίµακας Μετατόπιση a f ( x, x + b g( x, x (, G(, f f ( x g( x ( ax, bx f ( x ± x0, x ± x0 F k k b k k a + F( k G( k F k / a, k / b ( ab exp[ ± j π ( x0k + x0k ] F( k, k ιαµόρφωση Συνέλιη Πολλαπλ/µός exp[ ± j π ( ax + bx ] f ( x, x g( x, x h( x, x f( x, x g ( x, x h( x, x f ( x, x F( x a, x b G ( k, k H( k, k F( k, k G( k, k H( k, k F( k, k
.3 ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Αν συµβολιστεί µε f [i] το i- οστό δείγµα µιας συνεχούς συνάρτησης f(x, στο σηµείο: τότε η ακολουθία: x xo + i x { f [0], f [],..., f [Ν-]} αντιπροσωπεύει τα δείγµατα:{f [xo], f [xo+ x],..., f [xo+(n- x]} Αυτά είναι Ν δείγµατα της συνάρτησης f µε κοινό βήµα δειγµατοληψίας x. Με αυτή τη διαδικασία ΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΟΥΜΕ την συνεχή συνάρτηση f.
Μπορούµε ναυπολογίσουµε τον ιακριτό Μετασχηµατισµό Fourier (.M.F.. από τα δείγµατα αυτά ως εής: F[ u] N N i 0 f [ i]exp[ jπiu / N] µε u 0,,..., Ν-, το διακριτό φάσµα συχνοτήτων Οι τιµές των συχνοτήτων: u 0,,..., Ν- αντιστοιχούν: στις τιµές: 0, u,, u,,..., (N-( u δείγµατα του συνεχούς µετασχηµατισµού Συµβολισµός παρόµοιος µε αυτόνπουχρησιµοποιήθηκε για την f [i], µε τη διαφορά ότι τα δείγµατα της F[u] εκινούν από την αρχή του άονα της συχνότητας.
Παρατήρηση Οι ιδιότητες του συνεχούς µετασχηµατισµού Fourier εφαρµόζονται για διακριτά σήµατα άπειρης διάρκειας (σειρές Fourier. Για τον µετασχηµατισµό Fourier διακριτών σηµάτων πεπερα- σµένης διάρκειας ισχύουν ανάλογες ιδιότητες ΕΚΤΟΣ από αυτή της συνέλιης ηοποίαµπορεί να εφαρµοστεί µόνο µετά από κατάλληλη επέκταση των διακριτών σηµάτων µε µηδενικά (zero padding
Ο αντίστροφος.m.f. δίνεται από τη σχέση: για i 0,,..., Ν- Οι ποσότητες x και u συνδέονται µε τησχέση: 0 ] / ]exp[ [ ] [ N i N iu j k F i f π x N u
Εντελώς ανάλογα, το ζεύγος του διδιάστατου διδιάστατου διακριτού διακριτού µετασχη- µατισµού Fourier δίνεται από τις σχέσεις: + 0 0 ] / ( ]exp[, [ ], [ N l N m N v m u l j m l f N v u F + 0 0 ] / ( ]exp[, [ ], [ N u N v N v m u l j v u F N m l f
.4 ειγµατοληψία Απεικόνισης Εικόνες µε περιορισµένο εύρος φάσµατος Η διαδικασία της διακριτοποίησης στην περίπτωση µιας εικόνας, γίνεται ευκολότερα κατανοητή αν θεωρηθούν σήµατα περιορισµέ- νου εύρους φάσµατος (band limited signals. Στην πραγµατικότητα, τα σήµατα όµως προσεγγίζονται µε συναρτήσεις µε περιορισµένο φασµατικό περιεχόµενο. Μια συνάρτηση f(x, y καλείται περιορισµένου εύρους φάσµατος αν ο µετασχηµατισµός Fourier F(,, µηδενίζεται οπουδήποτε αλλού ΕΚΤΟΣ από µια φραγµένη περιοχή στο επίπεδο των συχνοτήτων.
Ο µετασχηµατισµός Fourier µιας συνάρτησης περιορισµένου εύρους φάσµατος και το πεδίο ορισµού του Οι ποσότητες xo,, yo yo και είναι τα αντίστοιχα x και y όρια του φάσµατος (bandwidths στο χώρο των συχνοτήτων.
Μετασχηµατισµός Fourier δειγµατοληπτηµένης εικόνας Έστω µια ιδανική συνάρτηση δειγµατοληψίας: ένας διδιάστατος πίνακας από συναρτήσεις Dirac απείρων διαστάσεων, τοποθετηµένες σε ένα διδιάστατο πλέγµα µε αποστάσεις x, y:
ιδιάστατη συνάρτηση δειγµατοληψίας : n m y y x m x y x y x comb,, (, :, ( δ Ηδειγµατοληπτηµένη εικόνα ορίζεται ως:, :, (, (, ( y x y x comb y x f y x f s
Ο µετασχηµατισµός Fourier της συνάρτησης δειγµατοληψίας είναι µια συνάρτηση της ίδιας µορφής όπου οι αποστάσεις του πλέγµατος είναι αντίστοιχα / x και / y. COMB(, F{ comb( x, y : x, y} xs ys k, l δ ( k xs, l ys όπου xs / x και ys / y
Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα του πολλαπλασιασµού προκύπτει: F s (, F(, COMB(, xs ys k, l F(, * δ ( k xs, l ys xs ys k, l F( k xs, l ys Είναι φανερό ότι ο µετασχηµατισµός Fourier της δειγµατοληπτη- µένης εικόνας είναι, µε τηνεαίρεσηµιας πολλαπλασιαστικής σταθεράς, ένα αντίγραφο του µετασχηµατισµού Fourier της αρχι- κής εικόνας, που επαναλαµβάνεται περιοδικά πάνω σε ένα πλέγµα µε αποστάσεις/ x, / y.
Πλέγµα ειγµατοληψίας Το φάσµα τηςδειγµατοληπτηµένης εικόνας όπου R είναι µια περιοχή της οποίας το σύνορο θr βρίσκεται στην περιοχή µεταύ των δύο παραλληλογράµµων R και R
Ανακατασκευή εικόνας από ένα δειγµατοληπτηµένο αντίγραφό της Η ανακατασκευή του φάσµατος της αρχικής εικόνας F (, από το φάσµα της F (, s δίδεται µε αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier και παρεµβολή, την αρχική εικόνα. Σηµασία έχει η επιλογή του κατάλληλου διαστήµατος δειγµατοληψίας x, όπως φαίνεται και στο σχήµα. Για τις συναρτήσεις από (a έως (f η επιλογή του διαστήµατος δειγµατοληψίας οδήγησε σε αναδίπλωση του φάσµατος. Για τις συναρτήσεις από (g έως (k, ησωστήεπιλογήτου x οδηγεί σε πλήρη ανάκτηση του φάσµατος µετά από το φιλτράρισµα
Αναδίπλωση Είναι προφανές ότι η επιλογή σχετικά µεγάλου διαστήµατος x, έχει ως αποτέλεσµα την αλλοίωση του φάσµατος F s ( u F( u* S( u από την αλληλοεπικάλυψη των κορυφών F(u. Φαινόµενο Αναδίπλω- σης (aliasing
Οταν το διάστηµα δειγµατοληψίας ικανοποιεί τη συνθήκη x w δεν υπάρχει αλληλοεπικάλυψη και το φάσµα της προκύπτει από το F s (u, πολλαπλασιάζοντας µε τησυνάρτησηµοναδιαίου παραθύρου. / x συχνότητα δειγµατοληψίας Στις δύο διαστάσεις ορίζονται οι συχνότητες δειγµατοληψίας xs / x ys / y στον x και y άονα αντίστοιχα. Για την αποφυγή του φαινοµένου της αναδίπλωσης απαιτείται η ικανοποίηση της συνθήκης: xs ys > > x0 y0
Οι ποσότητες x 0, y 0 καλούνται συχνότητες Nyquist Οι ποσότητες µε τα αντίστροφα των συχνοτήτων καλούνται διαστήµατα Nyquist. Όταν ικανοποιούνται οι συνθήκες ΜΗ ΑΝΑ ΙΠΛΩΣΗΣ τότε, εφαρµόζοντας ένα βαθυπερατό φίλτρο (low pass filter µε συνάρτηση απόκρισης συχνότητας που δίνεται από τη σχέση: H (, ανακατασκευάζεται το φάσµα xs 0 ys F(,,(, R, αλλού ωςεής: ορ. ~ F(, Η(, Fs (, F(,
Για συχνότητες δειγµατοληψίας µικρότερες από τις συχνότητες Nyquist σηµειώνεται το φαινόµενο της αναδίπλωσης. Έχει ως αποτέλεσµα την αλλοίωση του φάσµατος F (, s η οποία είναι µη αναστρέψιµη οπότε και δεν είναι δυνατή η ανακατασκευή του φάσµατος της αρχικής εικόνας µε βαθυπερατό φιλτράρισµα. Όπως φαίνεται στο σχήµα, οι συχνότητες πάνω από s / προκαλούν ενίσχυση των συχνοτήτων κάτω από s / εαιτίας τηςυπέρθεσηςτωνφασµάτων στην περιοχή αλληλοκάλυψης. s<x s/ x
Εφαρµόζουµε στην εικόνα πριν από τη δειγµατοληψία, ένα βαθυ- περατό φίλτρο να µειωθεί το εύρος του φάσµατός της εικόνας στο µισό της συχνότητας δειγµατοληψίας, προκειµένου να αποφευχθεί το φαινόµενο της αναδίπλωσης. Αν το πεδίο ορισµού του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου της σχέσης είναι το τετράγωνο : R [ xs, xs]x[ ys, ys] µε κέντροτηναρχήτωναόνων, τότε ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier της συνάρτησης H, δίνεται από τη σχέση: ( h( x, y sinc( x xssinc( y ys
Με εφαρµογή του αντίστροφου µετασχηµατισµού Fourier, όπως προηγούµενα, προκύπτει: ~ f ( x, y h( x, y* f ( x, y s f s m, n ( m x, n ysinc( x xs msinc( y ys n Ισχύει: ~ f ( x, y f ( x, y αν ικανοποιούνται οι συνθήκες Nyquist γιατα x και y.
Μεθοδολογία στην δειγµατοληψία και στην ανακατασκευή Στην πράη, οι εικόνες δεν έχουν περιορισµένο φασµατικό περιεχόµενο, στην αναπαραγωγή της εικόνας συµβαίνουν σφάλµατα λόγω του φαινοµένου της αναδίπλωσης. Ηπαραµόρφωση της εικόνας εαιτίας του φαινοµένου της αναδίπλωσης µπορεί να αποφευχθεί µε βαθυπερατό φιλτράρισµα. Αυτό, όµως, σηµαίνει απώλεια πληροφορίας στις υψηλές συχνότητες που ισοδυναµεί µε θόλωµα της εικόνας (image blur. Τέτοιο θόλωµα µπορεί επίσης να παρατηρηθεί εαιτίας των χαρακτηριστικών των διατάεων λήψης της εικόνας και των συστηµάτων απεικόνισης.
Η διαδικασία απεικόνισης σε ένα πραγµατικό σύστηµα (scanner µπορεί να παρασταθεί διαγραµµατικά ως εής: Εικόνα ιάφραγµα ανιχνευτικού συστήµατος p(-x,-y s g(x,y Ιδανική δειγµατοληψία x, y g(x,y s ιάταη απεικόνισης s p(-x,-y d g(x,y ~ s Μοντέλο ανιχνευτικής διάταης Ιδανικά: p ( x, y p ( x, y δ( x, y s d ιάφραγµα (aperture g(x,y g(x,y s comb x
Η προτεινόµενη µεθοδολογία απεικόνισης περιγράφεται από τις σχέσεις: g( x, y ps ( x, y * f ( x, y (α g s ( x, y comb( x, y, x, y g( x, y (β όπου p s ( x, y η συνάρτηση κατανοµής φωτεινότητας του διαφράγµατος (aperture του απεικονιστικού συστήµατος. Γενικά η σχέση (α ισοδυναµεί µε βαθυπερατό φιλτράρισµα όπου ησυνάρτησηµεταφοράς του φίλτρου αυτού καθορίζεται από την κατανοµή φωτεινότητας του ανοίγµατος p s ( x, y