Ε ι σ α γ ω γ ι κ ά Μ α θ η µ α τ ι κ ά. γ ι α Γ Ε Π Α. Λ.

Σχετικά έγγραφα
4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+β=0. Μοναδική λύση. α=0 και β 0 Αδύνατη. α=0 και β=0 Αληθεύει για κάθε τιμή του x Ταυτότητα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

ρ= ρ= ρ= P x με παραγοντοποίηση κατά ομάδες οπότε θα προσπαθήσουμε να το

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016

Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)

1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

5. Να λυθεί η εξίσωση. 6. Δίνεται η συνάρτηση. 2f x ΛΥΣΗ: Τα x για τα οποία 2 x 0 x 0 x, δεν είναι λύσεις της εξίσωσης γιατί για

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β4 Έστω η συνάρτηση f ( ) = A( ) B( ) Βρείτε τη µέγιστη

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Β' Γενικού Λυκείου. Γενικής Παιδείας. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

( e ) 2. 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31.

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

Επαναληπτικές Ασκήσεις Φάκελος : Άλγεβρα Β-Λυκείου Επιµέλεια : Φωτεινή Καλδή

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ÊåöÜëáéï 1 ï. ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò. ÂéâëéïìÜèçìá 2 ï Ñßæåò ÄéÜôáîç

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΑΛΓΕΒΡΑΣ... ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑ 1 Ο

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

x 1 δίνει υπόλοιπο 24

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος 31. e 3 = 0. e + e 3, x R.

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

3.""Πώς"θα"λύσω"μια"εξίσωση"δευτέρου"βαθμού;

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x)

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων

Επαναληπτικές Ασκήσεις

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Η παραπάνω ιδιότητα γενικεύεται και για περισσότερους από δύο πραγµατικούς αριθµούς. Έτσι έχουµε: αβγ α β γ = β β. d a β = α

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΜΟΥ

Α. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

i Είναι εξίσωση δευτερου βαθµού µε τη διαφορά ότι της λείπει ο σταθερός όρος ( ) ( ) ( ) ( )

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ

Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η Δίνεται η συνάρτηση:

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Transcript:

Ε ι σ α ω ι κ ά Μ α θ η µ α τ ι κ ά ι α Γ Ε Π Α. Λ. ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ a b a ab b. Τετράωνο αθροίσµατος. Τετράωνο διαφοράς. ιαφορά τετραώνων a b a ab b a b a b a b ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α' ΒΑΘΜΟΥ Εξίσωση α αθµού είναι µια ισότητα που περιέχει µία µεταλητή (άνωστος και ο µεαλύτερος εκθέτης της µεταλητής που εµφανίζεται είναι το. a a, είναι νωστοί αριθµοί Επίλυση Για να επιλύσουµε µία εξίσωση α αθµού την ράφουµε στην ενική µορφή: α Αν υπάρχουν κλάσµατα, κάνουµε απαλοιφή των παρανοµαστών µε το Ε.Κ.Π. (Πολλαπλασιάζουµε κάθε κλάσµα ή αριθµό µε το Ε.Κ.Π. Κάνουµε πράξεις Μεταφέρουµε τους νωστούς όρους από του α µέλος στο µέλος, αλλά αλλάζουµε το πρόσηµό τους δ Μεταφέρουµε τους άνωστους όρους (όταν περιέχει τον άνωστο από το µέλος στο α µέλος, αλλά αλλάζουµε το πρόσηµό τους ε Κάνουµε πράξεις (προσθέσεις ζ ιαιρούµε και τα δύο µέλη µε τον συντελεστή του ανώστου. Παρατηρήσεις α Αν έχουµε τότε η εξίσωση είναι αδύνατη (δεν έχει λύσεις Αν έχουµε τότε η εξίσωση είναι αόριστη (κάθε αριθµός είναι λύση

Παραδείµατα i 9 9 7 7 ii a 9a a a 9a 9a 6a a 9a 9a 6a a a iii 7 7 ( ΑΥΝΑΤΗ iv 6 6 6 ( 6 6 6 v ΑΟΡΙΣΤΗ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β' ΒΑΘΜΟΥ (ΤΡΙΩΝΥΜΟ Εξίσωση αθµού είναι µια ισότητα που περιέχει µία µεταλητή (άνωστος και ο µεαλύτερος εκθέτης της µεταλητής που εµφανίζεται είναι το. a a,, είναι νωστοί αριθµοί και α Επίλυση a a a a i θετικός θετικός δύο λύσεις ii αρνητικός αδύνατη δεν έχει λύσεις iii µία λύση, η λύση αυτή λέεται διπλή a a c O αριθµός - α λέεται ιακρίνουσα του τριωνύµου b a a δύο λύσεις - α Πλήθος λύσεων Λύσεις >, α (διπλή α <

Παραδείµατα 7 7, > > α εξίσωση έχει δύο λύσεις η Αφού α d c δεν έχει λύσεις αδύνατη b a 9. 9, > > < < α έχει δύο λύσεις Αφού α f αδύνατη εξίσωση δεν έχει λύσεις η Αφού α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β' ΒΑΘΜΟΥ (ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ α, α > >,, α α (ύο πραµατικές ρίζες - α οµόσηµο του α ετερόσηµο του α οµόσηµο του α α (Μία πραµατική ρίζα - α οµόσηµο του α οµόσηµο του α < (εν έχει πραµατικές ρίζες - α οµόσηµο του α

Παραδείµατα Σχήµα Hornr (Τρόπος παραοντοποίησης πολυωνύµου αν νωρίζουµε µία ρίζα (Τρόπος διαίρεσης πολυωνύµου µε το πολυώνυµο -ρ α Να κάνετε τη διαίρεση ( :( - - Συντελεστές του πηλίκου υπόλοιπο ( ( υ( και π( Να παραοντοποιήσετε το πολυώνυµο P Το πολυώνυµο αυτό έχει ρίζα τον αριθµό ( P - Άρα P ( Παρατήρηση Για να ελέξουµε αν ένας αριθµός α είναι ρίζα του P( έχουµε δύο τρόπους: α Υπολοίζουµε το P(α µε αντικατάσταση α. Αν P(α τότε είναι ρίζα Κάνουµε το σχήµα του Hornr ια ρ. Αν υ τότε είναι ρίζα. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Αν P( είναι πολυώνυµο ν αθµού τότε η εξίσωση P( λέεται πολυωνυµική εξίσωση ν αθµού. Ρίζα της πολυωνυµικής εξίσωσης P( είναι ένας πραµατικός αριθµός ρ ώστε P(ρ. Θεώρηµα P P P ή P ή Pk ή Pk

Παρατήρηση α Για να λύσουµε µια εξίσωση µεαλύτερου αθµού, πρέπει οπωσδήποτε να µεταφέρουµε όλους τους όρους στο πρώτο µέλος και να το παραοντοποιήσουµε. Μετά µηδενίζουµε τον κάθε παράοντα και ρίσκουµε όλες τις λύσεις της εξίσωσης. Αν έχουµε δυνάµεις µηδενίζουµε τις άσεις. Σε µια εξίσωση επιτρέπεται να αλλάζουµε όλα τα πρόσηµα. Σε µια εξίσωση επιτρέπεται να διαιρούµε όλους τους όρους µε ένα αριθµό. a b a ή b Παραδείµατα a ( ( ( H εξίσωση έχει τρεις λύσεις :,, b ( ( H εξίσωση έχει τρεις λύσεις :, (διπλή, (τριπλή c 6 6 ( ( < αδύνατη H εξίσωση έχει µία λύση d < ( αδύνατη H εξίσωση έχει µία λύση ( H εξίσωση έχει τρεις λύσεις ( διπλή,,

( αδ νατη ( ( ύ f H εξίσωση έχει δύο λύσεις, ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. Βρίσκουµε τις λύσεις της εξίσωσης P( και παραοντοποιούµε το P(, ώστε κάθε παράοντας να είναι µέχρι ου αθµού.. Κάνουµε τον πίνακα των πρόσηµων κάθε παράοντα.. Πολλαπλασιάζουµε τα πρόσηµα κάθετα και ρίσκουµε το πρόσηµο του P(.. Η λύση είναι η ένωση των διαστηµάτων στα οποία ισχύει η ανίσωση (το πρόσηµο είναι το κατάλληλο. Παράδειµα Να λυθεί η ανίσωση: 7 Αφού 7 ( η ανίσωση ίνεται: ( ( Οι λύσεις είναι: και ή. -. 7 Η λύση είναι η : ή, αφού το πολυώνυµο πρέπει να είναι θετικό ή µηδέν. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι µια αντιστοιχία που συνδέει δύο µεταλητές, ώστε κάθε αριθµός που συµολίζεται µε την µεταλητή να αντιστοιχίζεται σε ένα µόνο αριθµό που συµολίζεται µε την µεταλητή. Παραδείµατα i ( ενικά 6

ii ( ενικά Παρατηρήσεις α Το ή f ( λέεται τιµή της συνάρτησης. Όταν θέλουµε να ρούµε την τιµή µιας συνάρτησης αντικαθιστούµε την τιµή της µεταλητής στον τύπο της συνάρτησης, κάνουµε πράξεις και ρίσκουµε την τιµή της συνάρτησης ια την συκεκριµένη τιµή της. Οι συναρτήσεις συµολίζονται µε δύο τρόπους : α f Παραδείµατα a f b ( 9 f Άρα η τιµή της συνάρτησης f όταν - είναι -9 g g( Άρα η τιµή της συνάρτησης g όταν είναι ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο ανώστους είναι δύο ισότητες που η κάθε µια παριστάνει ευθεία. α α Επίλυση µε την µάθοδο των αντίθετων συντελεστών α Πρώτα κάνουµε πράξεις και χωρίζουµε τους νωστούς όρους από τους ανώστους Πολλαπλασιάζουµε και τις δύο εξισώσεις µε κατάλληλους αριθµούς ώστε µετά οι εξισώσεις να αποκτήσουν αντίθετους συντελεστές ια ένα άνωστο ( ή. Μετά προσθέτουµε κατά µέλη τις δύο εξισώσεις και λύνουµε την απλή εξίσωση µε ένα άνωστο που προκύπτει. Τον άλλο άνωστο τον ρίσκουµε ως εξής: i Με αντικατάσταση σε µια από τις δύο εξισώσεις ή ii Επαναλαµάνουµε την ίδια µέθοδο µε τον άλλο άνωστο. 7

Παράδειµα 6 6 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η συνάρτηση f, R λέεται εκθετική συνάρτηση ΙΙΟΤΗΤΕΣ a b c d ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η συνάρτηση f ln, > λέεται απλά λοαριθµική. Έχει άση τον αριθµό. 7. Ο λοάριθµος log µε άση το λέεται δεκαδικός λοάριθµος. Ο λοάριθµος ln µε άση το λέεται φυσικός λοάριθµος. ΙΙΟΤΗΤΕΣ a log ln log ln b log, ln, c log, log ln, ln d a ln a log log log ln ln ln f log log log ln ln ln g k log k log k ln kln h lnθ logθ ln ln ln ln ln