Επαναληπτικές ασκήσις
Έστω απομονωμένο μακροσκοπικό σύστημα το οποίο αποτλίται από mol όμοιων και διακριτών μονοατομικών μορίων τα οποία δν αλληλπιδρούν μταξύ τους. Τα μόρια αυτά μπορούν να βρθούν ίτ σ μια μη κφυλισμένη βασική νργιακή στάθμη μ, ίτ σ δύο κφυλισμένς διγρμένς νργιακές στάθμς μ, 9,336 - J, και 7. a a Τ (A) (B) (Γ) Στο σχήμα παρουσιάζται η μταβολή του πληθυσμού ισορροπίας των τριών αυτών νργιακών σταθμών καθώς η θρμοκρασία του συστήματος μταβάλλται από τους Κ έως το άπιρο. Στον άξονα Υ του σχήματος έχουν σημιωθί οι πληθυσμοί a, a,, και. ) Σ ποια νργιακή στάθμη αναφέρται η κάθ καμπύλη; ) Να υπολογιστούν: α) οι αριθμητικές τιμές των a, a,, και β) η αριθμητική τιμή της Τ. γ) η μέση νέργια των μορίων όταν το σύστημα βρίσκται στην θρμοκρασία Τ. δ) το μοριακό άθροισμα καταστάσων όταν το σύστημα βρίσκται στην θρμοκρασία.
) Σ ποια νργιακή στάθμη αναφέρται η κάθ καμπύλη; Επιδή όταν Τ μόνο η βασική θμλιώδης στάθμη ίναι κατιλημμένη, έπται ότι η καμπύλη (Γ) παριστάνι την μταβολή του πληθυσμού n μ την θρμοκρασία. a a Τ (A) (B) (Γ)
) Σ ποια νργιακή στάθμη αναφέρται η κάθ καμπύλη; Αυξανομένης της θρμοκρασίας, μόρια μταβαίνουν καταρχήν στην πρώτη διγρμένη, άρα η (Β) παριστάνι την μταβολή του πληθυσμού n μ την θρμοκρασία και η (Α) του πληθυσμού n. a a Τ (A) (B) (n )
α) Να υπολογιστούν οι αριθμητικές τιμές των a, a,, και Είναι προφανές ότι: a και α 5 Ν nn A ( mol) (6, 3 mol - ) 4, 4 a a Τ (n ) (n ) (n )
α) Να υπολογιστούν οι αριθμητικές τιμές των a, a,, και a και α 5 Ν 4, 4 a a Τ a (n ) (n ) (n ) N 4 n n n Για το σύστημά μας ισχύι ότι: N N N k k 3 n a 3,44 k 676 N 676 N 676 N 676 49 49 49 49 Τα a,,, ίναι οι πληθυσμοί των τριών νργιακών σταθμών όταν η θρμοκρασία τίνι στο άπιρο. Αλλά όταν τότ όλοι οι κθτικοί όροι τίνουν στην μονάδα, οπότ: a N 4 3 3 n a3 6, a N 4 4 4 n a4 3,79
β) Να υπολογιστί η αριθμητική τιμή της Τ Όταν το σύστημα ίναι σ θρμοκρασία Τ, τότ: a a Τ (n ) (n ) (n ) n n 676 676 N ( 49 676) 49 6 ln 6345 K N 676 49 49
γ) Να υπολογιστί η μέση νέργια των μορίων όταν το σύστημα ίναι στην θρμοκρασία Τ Όταν το σύστημα ίναι σ θρμοκρασία Τ, τότ η νέργιά του θα ίναι: a a Τ (n ) (n ) (n ) N n N Η μέση νέργια των μορίων θα ίναι: N 6,57 J
γ) Να υπολογιστί η μέση νέργια των μορίων όταν το σύστημα ίναι στην θρμοκρασία Τ Όταν το σύστημα ίναι σ θρμοκρασία Τ, τότ η νέργιά του θα ίναι: a a Τ (n ) (n ) (n )? N N n Να υπολογιστί η μέγιστη τιμή της νέργιας που μπορί να έχι αυτό το σύστημα.
γ) Να υπολογιστί η μέση νέργια των μορίων όταν το σύστημα ίναι στην θρμοκρασία Τ Όταν το σύστημα ίναι σ θρμοκρασία Τ, τότ η νέργιά του θα ίναι: a a Τ (n ) (n ) (n ) N n? N Να υπολογιστί η μέγιστη τιμή της νέργιας που μπορί να έχι αυτό το σύστημα. Η μέγιστη τιμή της νέργιας αντιστοιχί σ άπιρη θρμοκρασία του συστήματος. Αλλά όταν η θρμοκρασία τίνι στο άπιρο, τότ όλοι οι κθτικοί όροι στην παραπάνω σχέση θα τίνουν στην μονάδα. Άρα: max ) N ( max ( ) 6,7 5 J
γ) Να υπολογιστί η μέση νέργια των μορίων όταν το σύστημα ίναι στην θρμοκρασία Τ Όταν το σύστημα ίναι σ θρμοκρασία Τ, τότ η νέργιά του θα ίναι: a a Τ (n ) (n ) (n )? N N n Να υπολογιστί η μέγιστη τιμή του αθροίσματος καταστάσων σ αυτό το σύστημα.
γ) Να υπολογιστί η μέση νέργια των μορίων όταν το σύστημα ίναι στην θρμοκρασία Τ Όταν το σύστημα ίναι σ θρμοκρασία Τ, τότ η νέργιά του θα ίναι: a a Τ (n ) (n ) (n ) N n? N Να υπολογιστί η μέγιστη τιμή του αθροίσματος καταστάσων σ αυτό το σύστημα. Η μέγιστη τιμή του αθροίσματος καταστάσων αντιστοιχί σ άπιρη θρμοκρασία του συστήματος. Αλλά όταν η θρμοκρασία τίνι στο άπιρο, τότ όλοι οι κθτικοί όροι στην παραπάνω σχέση θα τίνουν στην μονάδα. Άρα: max ( ) max ( ) 4
δ) Να υπολογιστί το μοριακό άθροισμα καταστάσων όταν το σύστημα βρίσκται στην θρμοκρασία. Εδώ ίναι σημαντικό να συνιδητοποιήσουμ ότι: n n x a a Τ Άρα γνωρίζουμ τον πληθυσμό n όταν η θρμοκρασία ίναι x : n x N ( x ) (n ) (n ) (n ), 4 Συγκκριμένα, ότι όταν η θρμοκρασία ίναι x, τότ ο πληθυσμός της βασικής στάθμης θα ίναι αριθμητικά ίσος μ τον πληθυσμό που θα έχι η πρώτη διγρμένη στάθμη όταν η θρμοκρασία ίναι. Έτσι, όταν η θρμοκρασία ίναι : k N n k ( x ) n, N, 4 4 ( x ),556