ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων, των οποίων η λύση στηρίζεται σε τεχνικές μη άμεσης αλγεβρικής επίλυσης. Να αναφέρουμε ότι ανάλογες σκέψεις, μπορούν να προκύψουν και στην περίπτωση εξισώσεων και ανισώσεων, οι οποίες παρουσιάζουν στον τύπο τους την αντίστροφη μίας συνάρτησης. Προφανώς, οι παρακάτω δεν είναι οι μοναδικές μορφές που μπορεί κάποιος να συναντήσει, ούτε και ο τρόπος επίλυσης τους μοναδικός. Γίνεται όμως μία προσπάθεια, να δοθούν στο μαθητή κάποια εργαλεία σκέψης, για μία πιο άνετη προσέγγιση τέτοιων θεμάτων. Ο προσδιορισμός της μονοτονίας της συνάρτησης, σε όποιες ασκήσεις αυτός χρειάστηκε, έγινε είτε με τον ορισμό και τις ιδιότητες της διάταξης, είτε με τη βοήθεια του αντίστοιχου θεωρήματος των παραγώγων, για μεγαλύτερη << πολυφωνία >>, στην εύρεσή της. 1 η ΜΟΡΦΗ: f() = k. f(g()) = k όπου κεf(a) και g()εα f f(g()) = f(h()) με g()εaf, h()εaf f( )+f(.)=α, αεr f( )=g( ) στο f gαa 1 ος τρόπος Mορφοποιούμε, μέσω παρατήρησης την σχέση f () k ή f(g())=k όπου κεf(a) σε f( )=f(.), όπου το κ=f(0) με το 0εΑ, και <<απολείφουμε>> τα f: είτε μέσω μονοτονίας είτε μέσω της 1-1 είτε μέσω θέσης ακροτάτου ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 1

είτε κάνοντας χρήση των επιμέρους πεδίων ορισμού, σε συναρτήσεις πολλαπλού τύπου, ανάλογα με το 0 στο οποίο και ορίζονται. Προφανώς, δείχνοντας ότι το κεf(α), απλώς δικαιολογούμε την ύπαρξη ρίζας, αλλά δεν την προσδιορίζουμε. Παράδειγμα 1 Δίνεται η συνάρτηση f με f()=e +-1. i. Nα δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Nα λύσετε την εξίσωση f()=e iii. Να βρείτε το ώστε να είναι f(ln+)=e Λύση i. Για κάθε 1, R με 1 με τη βοήθεια των ιδιοτήτων της διάταξης αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Είναι f () e f () f (1) και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα προκύπτει ότι η =1, είναι η μοναδική λύση της εξίσωση (κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση, ορίζει εξίσωση μορφής f()=α, αεr με το πολύ μία ρίζα). iii. Αρχικά να προσέξουμε ότι πρέπει (ln+)εaf =R και >0 επομένως αναζητώ λύσεις για >0. Είναι : f(ln+)=e f(ln+)=f(1) ln+=1 ln+-1=0. Aν είναι g()=ln+-1 με >0 η ισοδύναμη εξίσωση είναι g()=0 g() g(1) 1 αφού εύκολα αποδεικνύεται ότι η g είναι γνησίως αύξουσα. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f()=, -5<<-. Βρείτε τα ε(-5,6] για τα 1, - 6 οποία είναι: f( 4) f( 1). Λύση Επειδή 1 1 προκύπτει +4ημε[-,6] και έτσι f( 4) 4 1 Ακόμη 5 1 και έτσι προκύπτει f(- 1)... 1. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ

Επομένως έχουμε ισοδύναμα: f( ) f( 1) 4 11 4 4 ή +4ημ=- από τις οποίες προκύπτει =kp ή =kp-, κεz. 0ς τρόπος Χρήση συναρτησιακής σχέσης δύο μεταβλητών από την υπόθεση, είτε ιδιότητες άρτιας ή περιττής συνάρτησης, μορφοποιούν εξισώσεις μορφής, f( )+f(.)=α, αεr σε μορφή f () k ή f(g())=k όπου κεf(a) και g()εα f, άρα επιλύονται ανάλογα. Παράδειγμα 1 Αν f: R R με f()-f(y)=f(-y), για κάθε,yεr i. Να βρείτε το f(0). ii. Nα λύσετε την εξίσωση f( -4)-f(-6)=0 εr, αν γνωρίζεται ότι η f έχει μοναδική ρίζα. i. H υπόθεση για =y=0 μας δίνει f(0)-f(0)=f(0) άρα f(0)=0. ii. H εξίσωση f( -4)-f(-6)=0 είναι ισοδύναμη με την f( -5+6)=0 (1), βάση της συναρτησιακής σχέσης της υπόθεσης, αν θέσουμε όπου το -4 και y το -6. Άρα η (1) δίνει με τη βοήθεια και του (i) ερωτήματος, την εξίσωση f( -5+6)=f(0) από την οποία προκύπτει, η ισοδύναμη εξίσωση -5+6=0, αφού η f έχει μοναδική ρίζα, η οποία είναι το μηδέν όπως προκύπτει από το (i). ερώτημα. Η λύση της τελευταίας δίνει = ή =3. Παράδειγμα Αν f: R R μία περιττή συνάρτηση, να βρείτε >0 για τα οποία ισχύει: f(ln)+f(-+1)=0, αν γνωρίζεται ότι η f είναι γνησίως μονότονη Για >0 έχουμε f(ln)+f(-+1)=0 f (ln) f( 1). (1) Γνωρίζουμε ότι σύμφωνα με τον ορισμό της περιττής είναι g(-)=-g() με, -εag. Επομένως η (1) μας δίνει ισοδύναμα f (ln) f(1) από την οποία και παίρνουμε μοναδική λύση την =1. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 3

3 0ς τρόπος Ενδεχομένως μορφοποίηση σε f( )=g( ) στο f Ag να δίνει λύση: είτε μέσω μοναδικού κοινού σημείου των γραφικών παραστάσεων είτε κάποιο 0. στο οποίο η μία συνάρτηση να παρουσιάζει ελάχιστο και η άλλη μέγιστο Παράδειγμα Δίνεται η f () 5 5 και η g()= 5 i. Να βρείτε τα ακρότατα των f και g. ii. Να λύσετε την εξίσωση f()=g() i. Η f ορίζεται για τους πραγματικούς για τους οποίους 5 0 5 5 5 και ισχύει 5 0 5 0 5 5 5 f () 5 με το ίσον να ισχύει για =5 και =-5. Επομένως η μέγιστη τιμή της f είναι το 5. Επίσης για την g για κάθε εr ισχύει 0 5 5 g() 5 δηλαδή η ελάχιστη τιμή της g είναι το 5 για =0. ii. Eίναι f () 5 και g() 5. Eπειδή η τιμή 5 για την οποία ισχύουν συγχρόνως οι προηγούμενες ανισοισότητες, δεν επιτυγχάνεται για κοινή τιμή του (για την f ισχύει για =5 και =-5, ενώ για την g για =0) η αντίστοιχη εξίσωση είναι αδύνατη. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1 1 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ f (), f () f () Γνωρίζουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f -1 έχουν άξονα συμμετρίας την ευθεία y=. Επομένως προκύπτει ότι: 1 1 f () f (). Έτσι οι εξισώσεις f () και f (), είναι ισοδύναμες, άρα επιλύουμε την απλούστερη. 1 Η επίλυση της εξίσωσης f () f (), ερμηνεύει αλγεβρικά, την εύρεση των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης των συναρτήσεων f και f -1 δηλαδή του συστήματος που ορίζουν οι εξισώσεις y=f() και =f(y). ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 4

ΜΟΝΟ στην περίπτωση που η f είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση 1 1 f () f () είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις f () ή f (). ΑΠΟΔΕΙΞΗ 1 Έστω α μία λύση της εξίσωσης f () f (). Τούτο σημαίνει ότι το Ν(α,β) είναι κοινό σημείο των Cf και C 1 f, οπότε είναι: 1 f ( ) και f ( ) f( ). Αρκεί να δείξουμε ότι το α είναι λύση της εξίσωσης f()=, δηλαδή θα αποδείξουμε ότι f(α)=α β=α. Πράγματι έχουμε: Αν α<β και αφού f γνησίως αύξουσα παίρνω f(α)<f(β) άρα β<α, άτοπο. Ανάλογα αν α>β καταλήγουμε σε άτοπο. Επομένως κατανάγκην θα είναι α=β Αλλά και αντίστροφα, αν το α ήταν μία λύση της εξίσωσης f()=, τότε ισχύει f(α)=α f -1 1 (α)=α, επομένως f ( ) f ( ), δηλαδή το α είναι λύση της εξίσωσης f()=f -1 (). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται η συνάρτηση. i. Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii. Να αποδείξετε ότι οι και έχουν ένα κοινό σημείο, το οποίο και να προσδιορίσετε. i. Η παραγωγίσιμη στο με για κάθε άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο,συνεπώς είναι και 1-1,οπότε αντιστρέφεται. Η συνεχής και γνησίως αύξουσα στο, άρα Είναι άρα άρα και Επομένως. ii. Τα κοινά σημεία των και προκύπτουν από την λύση του ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 5 και και

συστήματος: με. Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1),() έχουμε: όπου με. Η παραγωγίσιμη στο με (αφού. Συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε και 1-1. Επομένως η (4) Άρα η (1) Οπότε για η (4) δίνει.επομένως οι και έχουν μοναδικό κοινό σημείο το Μ(,), το οποίο επαληθεύει τις αρχικές εξισώσεις του συστήματος. ΠΡΟΣΟΧΗ Τα κοινά σημεία των και προκύπτουν από την λύση του συστήματος f()=y και f(y)=. Tονίζουμε ότι κατά τη λύση του συστήματος, με την παραπάνω διαδικασία, δεν ισχύει η ισοδυναμία λόγω της αφαίρεσης κατά μέλη, οπότε κάνουμε επαλήθευση των λύσεων που προέκυψαν. Μία άλλη διαδικασία, επίλυσης του παραπάνω συστήματος, παρουσιάζεται σαν εναλλακτική λύση για το ii. ερώτημα του παραπάνω παραδείγματος: Τα κοινά σημεία των και προκύπτουν από την λύση του συστήματος : y f f :1 1 f ( y ) f ( f ( )) f ( y ) f ( f ( )) f ( f ( )) f ( f ( )) f ( ) f ( ) 1 1 y f f y f ( f ( ) ) f y f ( y ) f ( y ) με, y (1, ) (1) Έστω η συνάρτηση g( ) f ( ), 1 η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (1, ) με g ( ) f ( ) 1 0 για κάθε 1 (αφού f ( ) 0 για κάθε 1). Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο (1, ) οπότε και 1 1. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 6

g( f ( )) g( ) g:1 1 ( ) Επομένως η (1) f ( y ) f ln( 1) f :1 1ln( 1) 0 f ( y ) f ( y ) f ( ) y ln( 1) ln1 1 1 y y y Συνεπώς το κοινό σημείο των C f, C 1 είναι το Α(,). f Ασκήσεις 3 1. Έστω f (). 1 i. Nα δείξετε ότι η f έχει μέγιστο μόνο στο 0. ii. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. f()=3 β. f( -1)=3 γ. f(3f(-1))=3. Δίνεται η συνάρτηση f()= ( 1) ( 3) 1. i. Nα δείξετε ότι η f έχει ελάχιστο σε διαφορετικές θέσεις. ii. Να λύσετε την εξίσωση f ( 3 1) 1 1 3. Έστω f () και g()=ln 1 1 1 1 1 i. Να δείξετε ότι το 1 είναι η μέγιστη τιμή της f και η ελάχιστη τιμή της g. 1 ii. Nα λύσετε την εξίσωση: -1=ln 1 1 1 1 4. Αν f: R R μία περιττή και γνησίως μονότονη συνάρτηση, να βρείτε εr για τα οποία ισχύει: f(e )+f(-1)=0. 5. Έστω η συνάρτηση : f()= i. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία. ii. Να λυθεί η εξίσωση: iii. Αν α,β και ισχύει: να αποδείξετε ότι α=β iv. Να λύσετε την εξίσωση: ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 7

6. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: με : f()= και g()= i. Να μελετήσετε τις συναρτήσεις f,g ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. 1 ii. Να λυθεί στο η ανίσωση : e 1 7. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: με : f()= και g()= i. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία. ii. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της g. iii. Να λύσετε την εξίσωση:f(g())=1 8. Δίνονται οι συναρτήσεις f()= και g()= i. Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το. ii. Να αποδείξετε ότι η g έχει μέγιστο το και ελάχιστο το -. iii. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g. 9. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : R R με τύπους f (), εr και g() για κάθε εr. 1 i. Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. ii. Να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 0=1. iii. Nα βρείτε τα κοινά σημεία των Cf και Cg. 10. Δίνεται η συνάρτηση f()=, >. Nα λυθεί η εξίσωση 1, 1 f( 1). 11. Δίνεται η συνάρτηση f()=+ i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Να εξετάσετε αν η f αντιστρέφεται. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 8

iii. Να αποδείξετε ότι η f έχει σύνολο τιμών το [0, ) 1 iv. Να λύσετε την εξίσωση f () 1 v. Βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης των f και f. 1. Δίνεται η συνάρτηση f () e 1 i. Nα βρείτε τη μονοτονία της f. ii. Nα εξετάσετε αν ορίζεται η αντίστροφη της f, και αν ναι. να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. 1 iii. Να λύσετε την εξίσωση f (e ) 1 iv. Βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης των f και f. η ΜΟΡΦΗ: f(...) f(...)... vf(...) γ (... v) με γ=ακρότατη τιμή της f O ορισμός του ακροτάτου της f, με τη βοήθεια των ιδιοτήτων της διάταξης, μας δίνει άμεση λύση της εξίσωσης, το 0 στο οποίο η f παρουσιάζει ακρότατο. Παράδειγμα Έστω f : R R με f()=3 και f() 3 για κάθε εr. Nα λυθεί η εξίσωση f( +1)+f()=9. Αφού f() 3 για κάθε εr θα έχουμει: θέτοντας όπου το +1 άρα f( +1) 3, με το ίσον να ισχύει μόνο αν +1=..(Α) δηλαδή =1 ή =-1. θέτοντας όπου το άρα f() 3 με το ίσον να ισχύει μόνο αν = δηλαδή =1 άρα και f() 6 (B) Επομένως από (Α)+(Β) : f( +1)+f() 9 με το = μόνο αν +1== από την οποία προκύπτει ότι =1. Ασκήσεις 1. Δίνεται η συνάρτηση f()= 1. i. Nα δείξετε ότι η f έχει ελάχιστο ίσο με 1. 3 ii. Να λυθεί η εξίσωση f ( 1) f ( 7) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 9

iii. Βρείτε τα,yεr ώστε 3f ( y) f ( 3y) 5 0. Δίνεται η συνάρτηση f()=. 1 i. Nα αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το -3. 4 ii. Να λυθεί η εξίσωση f 3 f 3 ( ) ( 3 ) 6 0 iii. Βρείτε τους α,βεr ώστε να ισχύει f ( a 1) 3 f (a 1) 15 0 3. Αν f :[0, ) R γνησίως μονότονη με f() +1 για κάθε 0 και f(0)=1. Βρείτε τα κ,λε[0,) για τα οποία είναι 3f(κ)+f(λ)=5. 4. Δίνεται η συνάρτηση f()= --συν. i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ= 0,. ii. Nα λύσετε στο Δ την εξίσωση f()+f( 3 )+f( 017 )=-9 6. Δίνεται η συνάρτηση f()=+, i. Να αποδείξετε ότι f() ii. Να λύσετε την εξίσωση: f()+f( )+f( )+f( )=4 7. Δίνεται συνάρτηση f()= με >0 i. Να μελετηθεί η fως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, τα κοίλα και τα σημεία καμπής. 1 ii. Να αποδείξετε ότι f(),για κάθε >0. e iii. Να λύσετε την εξίσωση: ef( iv. Να λύσετε την εξίσωση : f()+f( =. 8. Δίνεται η συνάρτηση f()=,με >0 i. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να βρεθούν τα α,β>0 και γ τέτοιοι ώστε να ισχύει: (α- =1 iii.να λύσετε την εξίσωση: f( ) 9 Δίνεται η συνάρτηση: f()=, i. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία. ii. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f. iii. Να λύσετε την εξίσωση :f(y ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 10

10. Aν η συνάρτηση f : R R παρουσιάζει ελάχιστο μόνο στο 1 το 5και ισχύει f(α)+f(lnβ)=10 να βρείτε τα αεr και β>0. 3 η ΜΟΡΦΗ: f (...) f (...) f (...) f (...) 1 0ς τρόπος: Προφανείς ρίζες και χρήση μονοτονίας Αφού βρώ την ή τις τιμές για την ή τις οποία-ες ισχύει η ισότητα, στη συνέχεια δείχνω ότι f(α)>f(γ) και f(β)>f(δ) (αν f γνησίως αύξουσα, αλλιώς θα ισχύει η αντίστροφη φορά) και προσθέτω τις σχέσεις κατά μέλη, αποδεικνύοντας έτσι ότι η ή οι ρίζα-ες που βρήκαμε με παρατήρηση, είναι μοναδική-κες. Παράδειγμα Αν εr και f γνησίως φθίνουσα, να λύσετε την εξίσωση: f () f (5) f (3) f (1). Παρατηρώ ότι για =0 ισχύει η ισότητα. Αν <0 είναι: 3 και f άρα f(3)>f() f () f (5) f (3) f (1) 1<5 και f άρα f(1)>f(5) Aν >0 είναι: 3 και f άρα f(3)<f() f () f (5) f (3) f (1) 1>5 και f άρα f(1)<f(5) Επομένως η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η =0. Ασκήσεις 1. Αν >0 και f γνησίως αύξουσα, να λύσετε την εξίσωση: 3 5 7 f () f ( ) f ( ) f ( ).. Αν εr και f γνησίως αύξουσα, να λύσετε την εξίσωση: f ( ) f (3 ) f (e ) f ( ). 3. Δίνεται η συνάρτηση f()= +1) i. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, τα κοίλα και τα σημεία καμπής. ii. Να λύσετε την εξίσωση: f( )+f( )=f()+f(0) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 11

4. Δίνεται η συνάρτηση f()= i. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία ii. Να λυθεί η εξίσωση: f( )+f( )=f( )+f( ) 5. Δίνεται η συνάρτηση f()= +-1 i. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα και στη συνέχεια να βρεθούν οι ρίζες και το πρόσημο της f. ii. Να λύσετε την εξίσωση: f()=f( )+ 6. i. Να λυθεί η εξίσωση : =+1 ii. Να αποδείξετε ότι για κάθε >0 ισχύει: συν>1- iii. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο f( +f(συν)=f(1+)+f(1- ) στο [0,+. 7. i. Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: α. ημ β. (1 να λυθεί η εξίσωση: ii. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο να λυθεί η εξίσωση: f(ημ)+f( )=f(1 )+f( ) στο [0,+. 8. Έστω η συνάρτηση f: R R η οποία είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε 0 και γνησίως αύξουσα για κάθε 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. f()+f(5)=f(3)+f(7) ii. f()+f( 5 )=f( 3 )+f( 10 ), >0 iii. f(e )+f(e 5 )= f(e 3 )+f(e 7 ) iv. f(ln)-f(ln)=f(7ln)-f(5ln), >0 3 v. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), >0 ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 1

0ς τρόπος: Μορφοποίηση και χρήση βοηθητικής συνάρτησης Μετασχηματίζω την προς απόδειξη στη μορφή βοηθητικής συνάρτησης η οποία: είτε δίνεται είτε την κατασκευάζουμε <<εμπειρικά>> μέσω της μορφής που παίρνουν τα δύο μέλη της εξίσωσης είτε με τη βοήθεια κάποιας συναρτησιακής σχέσης δύο μεταβλητών, από την υπόθεση. Παράδειγμα1 Έστω f,g : R R με g()=f(+4)-f(+1) η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο R. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i. f(+4)=f(+1) αν g()=0 ii. f( +3+4)=f( +3+1)-3 αν f(4)=f(1)-3 iii. f( 4 +4)-f( +4)=f( 4 +1)-f( +1) i. Είναι f(+4)=f(+1) f(+4)-f(+1)=0 g()=0 g()=g() αρα = δηλαδή =1, αφού η g είναι γνησίως μονότονη. ii. Eίναι f( +3+4)=f( +3+1)-3 f( +3+4)-f( +3+1)=-3 g( +3)=g(0) άρα αφού η g είναι γνησίως μονότονη, +3 =0 δηλαδή =0 ή =-3. iii. Είναι f( 4 +4)-f( +4)=f( 4 +1)-f( +1) f( 4 +4)- f( 4 +1)= f( +4)- f( +1) g( 4 )=g( ) άρα αφού η g είναι γνησίως μονότονη, προκύπτει 4 = =0 ή =1 ή =-1. Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση: 4 4 e e Είναι 4 4 e e e e 4 4 (1) Θεωρούμε την συνάρτηση f()=+e,με εr, η οποία εύκολα αποδεικνύουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα. Παρατηρώντας την (1) αυτή μετασχηματίζεται στην εξίσωση f ( ) f ( 4 ) (Α). Η τελευταία ορίζεται όταν: ( εr και ) και ( 4 εr και 4 0 ) επομένως όταν [,4]. Έτσι η (Α) δίνει 4 από την οποία προκύπτει ότι =1. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 13

Παράδειγμα 3 Aν για την συνάρτηση f : R R ισχύει f()-f(y)=f(-y),,yεr με την συνάρτηση f να είναι γνησίως μονότονη, να λυθεί η εξίσωση: f(3-)+f( -3)=f(-1)+f(3-4). Η εξίσωση της υπόθεσης δίνει: f(3-)+f( -3)=f(-1)+f(3-4) f(3-)- f(-1)=f(3-4)- f( -3) (Α). Το πρώτο μέλος της εξίσωσης αν θεωρήσουμε το 3- και y το -1 γράφεται με τη βοήθεια της υπόθεσης ως f(3--+1)=f(-1), ενώ το δεύτερο μέλος θεωρήσουμε το 3-4 και y το -3 μετασχηματίζεται σε f(3-4- +3)=f( -1). Άρα πλέον έχουμε από την (Α) να λύσουμε την f(-1)= f( -1). Αφού η f είναι γνησίως μονότονη, λύνουμε ισοδύναμα την εξίσωση -1= -1 από την οποία παίρνουμε =0 ή =1. Ασκήσεις 1. Έστω f,g : R R με g()=f(+3)-f(+1) η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο R. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i. f(+3)=f(+1) αν g()=0 ii. f( +3+4)=f( +3+)-3 αν f(3)=f(1)-3 iii. f( 4 +3)-f( +3)=f( 4 +1)-f( +1). Έστω f,g : R R με g()=f(+)-f(-) και f γνησίως αύξουσα στο R. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση: i. f ( 4) f ( 5) f (4 ) f( 3) ii. f (e ) f ( 1) f ( 3) f ( e ) iii.f(ln+)+f(-+1)=f(-ln)+f(+1) με >0 3. Δίνεται η γνησίως φθίνουσα f: R R. Nα δείξετε ότι η συνάρτηση g()=f()- είναι γνησίως φθίνουσα και στη συνέχεια να βρεθούν οι τιμές του λεr, ώστε να ισχύει: f ( 3 ) f ( 6) 5 6. 4. Έστω f: μια συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη και η f ειναι γνησιως φθινουσα. Αν f()=f(3), να λύσετε τις εξισώσεις: i. f(+1)-f()=0 ii. f( +3)=f( +) iii. f( )+f( )=f( )+f( ) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 14

5. Δίνεται η συνάρτηση f()=(-) + -1 με >0 i. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή ii. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση: g()=f(+)-f() με >0. iii. Να λύσετε την εξίσωση :f( +)+f( )=f( +)+f( ) iv. Να λύσετε την εξίσωση : f( +3)+f(+)=f( +1)+f(+4) 6. Δίνεται η συνάρτηση f()= ( +3) i. Να μελετηθεί η f ως προς την κυρτότητα. ii. Να λύσετε την εξίσωση : f( +6)+f( +3)=f( +6)+f( +3). iii. Να λύσετε την εξίσωση : f( )-f(-)= 7. Αν f()= f () e 1, R, να αποδειχθεί ότι η είναι κυρτή και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση f 3 f f ( 3) f () όταν [0, ). 8. Δίνεται η συνάρτηση f: για την οποία ισχύει: f(α)+f(β)=f(αβ) για κάθε α,β. Επίσης η εξίσωση f()=0 έχει μοναδική ρίζα. i. Να βρείτε την τιμή f(1) ii. Να αποδείξετε ότι f(α)-f(β)=f( για κάθε α,β iii. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1. iv. Να λύσετε την εξίσωση: f(+1)+f(+5)=f(+)+f(+3) 9. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 3 i. 3 3 3 ii. (συν ) ημ (ημ ) συν 1 3 iii. ln 3 1 iv. ln (1 ln ) ln ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 15

3 0ς τρόπος: Μορφοποίηση και χρήση Θεωρήματος Μέσης Τιμής Η προφανής ρίζα της εξίσωσης, σε συνάρτηση με τη χρήση Θεωρήματος μέσης τιμής, ενδεχομένως και με χρήση διερεύνησης όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα, επιλύει την εξίσωση. Παραδείγματα 1 Αν f () e 1, R, να αποδειχθεί ότι η f είναι κυρτή και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση f ( 3) f ( ) f ( 3) f () όταν [0, ) (ΘΕΜΑ Γ Πανελληνίων 016) Η παραπάνω άσκηση μπορεί να αντιμετωπιστεί και με την τεχνική της μορφοποίησης και τη χρήση βοηθητικής συνάρτησης. Ας δούμε μια εναλλακτική λύση, με τη βοήθεια του Θεωρήματος Μέσης τιμής. Προφανής λύση το μηδέν. Υποθέτουμε λοιπόν, αντίθετα, ότι υπάρει 0 0 όπου να είναι λύση της εξίσωσης. Ισύει 0 0 (από τη γνωστή ανισότητα 0 0 με ισότητα μόνο για 0) καθώς επίσης 0 0 3και 0 0 3. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν 0 3 0 τότε 0 0 3 0 0 3 και επειδή ισύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα [ 0, 0 3], [ 0,0 3] άρα υπάρουν 1( 0, 0 3), ξε ( 0,0 3) ώστε η εξίσωση να γράφεται: 3f ( 1) 3f ( ) απ οπου f ( 1) f ( ) και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και1-1 κι έτσι παίρνουμε 1, πράγμα άτοπο αφού τα 1, ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα. Αν 0 0 3 τότε 0 0 0 3 0 3. Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή: f f ( 0) f ( 0 ) f (0 3) f ( 0 3) Επειδή ισύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα[ 0, 0], [ 0 3, 0 3] άρα υπάρουν ξ1ε( 0, 0), ξε ( 0 3, 0 3) ώστε η εξίσωση να γράφεται: (0 0 )f ( 1) (0 0 )f ( ) και αφού 0 0 0 άρα f ( ) f ( ) και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα 1 ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 16

είναι και 1-1, κι έτσι παίρνουμε 1, πράγμα άτοπο αφού τα 1, ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα. Aσκήσεις 1. Για την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:r R ισχύει: 3f ( h) f( h) hf () 4f() f () lim e. h0 h 3f ( h) f( h) hf () 4f() i. Nα δείξετε ότι: lim f () h0 h ii. Nα δείξετε ότι η f είναι κυρτή στο R. iii. Nα λυθεί η εξίσωση f(+1)-(-1)f (3)=f(+), εr.. Αν g μια γνησιως αυξουσα συναρτηση να λυσετε την εξισωση 3 3 g(1 ) g(1) g() g( ), >0 (ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ ΟΕΦΕ 014) 3. Αν f είναι μια γνησίως αύξουσα στο Δ συνάρτηση να λύσετε τις εξισώσεις σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: i. f (3 1) (1) f ( 3) f ( ), R 3 4 3 4 ii. f f f f 3 4 3 3 4 iii. f f f ( ) ( ) (1) ( 1), (0, ) ( ) ( ) (1 ) ( 1), (0, ) 4. Αν f είναι μια γνησίως φθίνουσα στο Δ συνάρτηση να λύσετε τις εξισώσεις σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: i. f f f ( 1) ( 1) (1 ) (3 ), (0, ) ii. iii. f ( 4) ( ) f ( 6) f (3 ), R 5. i. Να αποδείξετε ότι e 1 f ( 1) f (3) f ( 1) f (3 ), (0, ) * για κάθε R Έστω η συνάρτηση f ( ) ln( e 1), R ii. Nα μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα. iii. Nα λυθεί η εξίσωση ( f e ) ( 1 e ) f ( ) f ( 1),. 6. i. Να αποδείξετε ότι ln για κάθε (0,1) (1, ) Έστω η συνάρτηση f ( ), R ii.nα μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα. iii.nα λυθεί η εξίσωση f ( ) ( 1 ln ) f ( ) f (ln ), (0, ) 7. Έστω η συνάρτηση f ( ) ln( 1), R i. Bρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii. Nα μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα.. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 17

iii. Nα λυθεί η εξίσωση f ( ) ( ) f ( e ) f ( ), 0 Ενδέχεται ο μετασχηματισμός της εξίσωσης, σε συνδυασμό με το Θεώρημα Μέσης τιμής, να μας δίνει ισοδύναμη, αλγεβρικά, επιλύσιμη εξίσωση Παράδειγμα Αν f(t)=t, t>0, να λύσετε την εξίσωση: f(3)+f(4)=f()+f(5). 3 5 4 Έχουμε 3 4 5. H συνάρτηση f ικανοποιεί τις 3 5 4 υποθέσεις του Θεωρήματος μέσης τιμής σε καθένα από τα διαστήματα[,3] και [4,5]. Επομένως θα υπάρχουν κ,λ αντίστοιχα στο 1 1 1 1 f ( ) f ( ) 0 από (,3) και (4,5) ώστε την οποία προκύπτει =0 ή Ασκήσεις 1.Δίνεται συνάρτηση f : (0, ) R εξισώσεις: i. f(3)+f(4)=f()+f(5) ii.f(6)+f(3)=f(4)+f(5) 1 1 1 0 1δηλαδή =1. με f()= α, >0. Nα λύσετε τις 4 η ΜΟΡΦΗ: f(...)+ f(...) = f(...) Η χρήση συναρτησιακών σχέσων δύο μεταβλητών, σαν δεδομένο από την άσκηση, μορφοποιεί την εξίσωση σε μορφή: f (g()) f (h()) της οποίας η g() h() επίλυση έχει λύση τα για τα οποία είναι: g(), άρα μας h() οδηγεί σε απλούστερη προς επίλυση εξίσωση. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 18

Παράδειγμα Aν για την συνάρτηση f : R R ισχύει f()-f(y)=f(+y),,yεr με την συνάρτηση f να είναι γνησίως μονότονη, να λυθεί η εξίσωση: f(3-)=f(-1)+f(3-4). Η εξίσωση της υπόθεσης δίνει: f(3-)=f(-1)+f(3-4) f(3-)- f(-1)=f(3-4) (Α). Το πρώτο μέλος της εξίσωσης αν θεωρήσουμε το3- και y το -1 γράφεται με τη βοήθεια της υπόθεσης ως f(3-+-1)=f(5-3), Άρα πλέον έχουμε από την (Α) να λύσουμε την f(5-3)= f(3-4). Αφού η f είναι γνησίως μονότονη, λύνουμε ισοδύναμα την εξίσωση 5-3= 3 5 37-4 από την οποία και προκύπτουν: 1,. 6 Ασκήσεις 1. Έστω η συνάρτηση f : που ικανοποιεί τη σχέση f()-f(y)=f(-y) για κάθε, y και η εξίσωση f()=0 που έχει μοναδική ρίζα. i. Να βρείτε την f(0) ii. Να δείξετε ότι η f είναι 1-1. iii. Αν f()<0 για κάθε <0, α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β. Να λύσετε την εξίσωση f(e +1)+f(3-1)=f(e -).. Έστω η συνάρτηση f : ( 0,) για την οποία ισχύει f () f (y) f για κάθε, y>0 και η εξίσωση f()=0 έχει μοναδική ρίζα. i. Να βρείτε το f(1). ii. Να δείξετε ότι η f είναι 1-1. iii. Να λύσετε την εξίσωση f( -)+f()=f(5-6). iv. Αν f()<0 για κάθε >1, α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. β. Nα λύσετε την ανίσωση f()+f( +3)=f( +1)+f(+1) 3. Έστω συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει ότι: f(+y)=f()+f(y) για κάθε, yεr. i. Να αποδείξετε ότι f(0)=0 ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 19 y

ii. Nα δείξετε ότι η f είναι περιττή iii. Αν f()>0 για κάθε <0 να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. iv. Αν η εξίσωση f()=0 έχει μοναδική ρίζα, να λύσετε την εξίσωση: 3 3 f 1 e f 1 f ( 1) Ενδέχεται, η χρήση αριθμητικής τιμής από την υπόθεση, να μετασχηματίζει την εξίσωση, και να μας οδηγεί σε τεχνικές επίλυσης, με βάση την 3 η Μορφή. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f:(0, ) R, γνησίως φθίνουσα για την οποία 017 3 f(1)=0. Να λύσετε την εξίσωση f () f ( ) f ( ) Η εξίσωση επαληθεύεται για =1 και παίρνει την μορφή 017 3 f () f ( ) f ( ) +f(1). 1 και f άρα f()>f(1) 017 3 Aν 0<<1 τότε f () f ( ) f ( ) f (1) 017 3 017 3. < και f άρα f( )>f( ) 1 και f άρα f()<f(1) 017 3 Αν >1 τότε f () f ( ) f ( ) f (1) 017 3 017 3 > και f άρα f( )<f( ) Τελικά η =1 είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης. Ασκήσεις 1. Δίνεται η συνάρτηση f:(0, ) R, γνησίως αύξουσα για την οποία 017 3 f(1)=0. Να λύσετε την εξίσωση: f () f ( ) f ( ). Δίνεται η συνάρτηση f: R R, γνησίως φθίνουσα για την οποία f(0)=0. Να λύσετε την εξίσωση: f ( ) f (ln) f (). 3. Δίνεται η συνάρτηση f: R R, γνησίως φθίνουσα για την οποία f(1)=0. Nα λύσετε την εξίσωση f()=f()+f(e ). Σε μορφές οι οποίες βασίζονται σε συναρτήσεις τύπου f()=α με α>1 η προφανής ρίζα τους και ο μετασχηματισμός τους, με διαίρεση με τη δύναμη με τη μεγαλύτερη βάση, μας οδηγεί με τη βοήθεια της μονοτονίας, στην επίλυσή τους. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 0

Παραδείγματα Αν f(t)=t t>0, να λύσετε την εξίσωση: f(6)+f(8)=f(10). Η εξίσωση f(6)+f(8)=f(10) γράφεται ισοδύναμα 6 +8 =10 της οποίας η προφανής ρίζα είναι το. Διαιρώντας με το 10 η εξίσωση γράφεται στη 6 8 μορφή 1 0 g() 0 g() g(). 10 10 Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η g είναι μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, άρα η προφανής ρίζα της είναι και μοναδική. ( Θυμίζουμε ότι κάθε γνησίως μονότονης συνάρτησης η γραφική παράσταση τέμνει οποιαδήποτε ευθεία της μορφής y=α, άρα και την y=0, σε ένα το πολύ σημείο). Ασκήσεις 1. Δίνεται η συνάρτηση f(t)=t, με t>0. Nα λυθεί η εξίσωση i. f(3)+f(4)=f(5). ii. f(5)+f(1)=f(13) iii. f(9)+f(1)=f(15) iv. f()+f(3)=f(5) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 1

R καf ιγνησίωςμονότονημαθηματικα ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙ - AΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Οι τεχνικές τις οποίες ακολουθούμε για την επίλυσή τους, είναι ανάλογες με αυτές των εξισώσεων. Για να τονιστεί το προηγούμενο, τα περισσότερα από τα παραδείγματα είναι τα ίδια με αυτά των εξισώσεων, σε ανισοτική μορφή. Όλα τα παρακάτω προφανώς εφαρμόζονται ανάλογα και σε ανισώσεις αντίστροφης ανισοτικής φοράς. 1 η ΜΟΡΦΗ: f() < k, f(g()) < k όπου κεf(a) f( )+f(.)<α, αεr f( )<g( ) στο f Ag f( g( ) )< f( h( ) ) μεf : Α1 ος τρόπος Mορφοποιούμε, μέσω παρατήρησης την σχέση f () k ή f(g())>k όπου κεf(a) σε f( )>f(.), όπου το κ=f(0) με το 0εΑ, και <<απολοίφουμε>> τα f Παράδειγμα 1 Δίνεται η συνάρτηση f με f()=e +-1. i. Nα δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Nα λύσετε την ανίσωση f()>e Λύση i. Για κάθε 1, R με 1 με τη βοήθεια των ιδιοτήτων της διάταξης αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Είναι f () e f () f (1) και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα προκύπτει ότι η >1 Παράδειγμα 1 Δίνεται η συνάρτηση f()= ln 1 i. Nα μελετηθεί ως προς τη μονοτονία. ii. Nα λυθεί η ανίσωση f()>00. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ

iii. Nα λυθεί η ανίσωση f()<- 1 e iv. Για κάθε 0<<1 να δείξετε ότι ln 1 (i) Η f ορίζεται στο (0, ). Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) με (0, ). για κάθε >0. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (ii) Προφανώς f(1)=ln1-1+1=0. Για κάθε >0 είναι f()>0 >1 (iii) Προφανώς f(e)= lne- +1=- Για κάθε >0 είναι f()< - f()<f(e) <e f()>f(1) (iv) Προφανώς το τελευταίο ερώτημα, της παραπάνω άσκησης, δεν χρειάζεται απόδειξη γιατί είναι εφαρμογή στη σελίδα 66 του βιβλίου. Ας παρουσιάσουμε όμως και κάποιες εναλλακτικές προσεγγίσεις στην επίλυσή του. Για κάθε 0<<1 είναι <1 ln<ln1 ln<0 (1) Είναι <1 1->0 (). Από (1),() ln<0<1- ln<1- β τρόπος: από (ii) θέτοντας όπου το 1 αφού αν ε(0,1)τότε 1 1 1 1 1 άρα f( ) 0 ln 1 0 ln 1 0 ln 1 ) 1 0ς τρόπος Χρήση συναρτησιακής σχέσης δύο μεταβλητών από την υπόθεση, είτε ιδιότητες άρτιας ή περιττής συνάρτησης, μορφοποιούν ανισώσεις μορφής, f( )+f(.)>α, αεr σε μορφή f () k ή f(g())>k όπου κεf(a), άρα επιλύονται ανάλογα. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 3

Παράδειγμα 1 Αν f: R R με f()-f(y)=f( y), για κάθε,yεr i. Να βρείτε το f(0). ii. Nα λύσετε την ανίσωση f( -4)-f(-6)>0 εr, αν γνωρίζεται ότι η f είναι γνησίως αύξουσα i. H υπόθεση για =y=0 μας δίνει f(0)-f(0)=f(0) άρα f(0)=0. ii. H ανίσωση f( -4)-f(-6)>0 είναι ισοδύναμη με την f( 4 6)>0 (1), βάση της συναρτησιακής σχέσης της υπόθεσης, θέτοντας όπου το το -4 και y το -6. Άρα η (1) δίνει με τη βοήθεια και του i ερωτήματος, την ανίσωση f( 4 6)> f(0) από την οποία προκύπτει, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα, η ισοδύναμη ανίσωση 4 6 0. Η λύση της τελευταίας μας δίνει ε(0,4) (6,+ ) Παράδειγμα Αν f: R R μία περιττή συνάρτηση, να βρείτε εr για τα οποία ισχύει: f(ln)+f(-+1)>0, αν γνωρίζεται ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. Έχουμε f(ln)+f(-+1)>0 f (ln) f( 1). (1) Γνωρίζουμε ότι σύμφωνα με τον ορισμό της περιττής είναι g(-)=-g() με, -εag. Επομένως η (1) μας δίνει ισοδύναμα f (ln) f(1) από την οποία f(ln)>f(-1) ln<-1 ln-+1<0. Aν είναι g()=ln-+1 με >0 η ισοδύναμη ανίσωση είναι g()<0 για την οποία γνωρίζουμε, ότι η g έχει μέγιστο το 0 για =1, άρα g()<0 σημαίνει 0<<1 ή >1. (Δες την αντίστοιχη εφαρμογή στη σελίδα 66 του σχολικού βιβλίου) 3 0ς τρόπος Ενδεχομένως μορφοποίηση σε f( )>g( ) στο f Ag να δίνει λύση με τη βοήθεια κάποιου 0. στο οποίο η μία συνάρτηση να παρουσιάζει ελάχιστο και η άλλη μέγιστο ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 4

Παράδειγμα Δίνεται η f () 5 5 και η g()= 5 i. Να βρείτε τα ακρότατα των f και g. ii. Να λύσετε την ανίσωση f()<g() i. Η f ορίζεται για τους πραγματικούς για τους οποίους 5 0 5 5 5 και ισχύει 5 0 5 0 5 5 5 f () 5 με το ίσον να ισχύει για =5 και =-5. Επομένως η μέγιστη τιμή της f είναι το 5. Επίσης για την g για κάθε εr ισχύει 0 5 5 g() 5 δηλαδή η ελάχιστη τιμή της g είναι το 5 για =0. ii. Eίναι f () 5 και g() 5. Αλλά επειδή η τιμή 5 για την οποία ισχύουν συγχρόνως οι προηγούμενες ανισοισότητες, δεν επιτυγχάνεται για κοινή τιμή του (για την f ισχύει για =5 και =-5, ενώ για την g για =0) η αντίστοιχη ανίσωση ισχύει για κάθε τιμή του εαf Ag. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1 1 Η ΑΝΙΣΩΣΗ f (g()) t() ή f (g()) t() 1 1 Σε επίλυση ανισώσεων μορφής f (g()) t() ή f (g()) t() (1) πρέπει να είμαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί. Αρχικά βρίσκουμε το πεδίο 1 ορισμού της f og έστω Α καθώς της t έστω Β. Αν t() A εξετάζουμε αν η ανίσωση (1) έχει λύση ενώ αν t()εα <<φοράμε f>> στην (1), προσέχοντας τη μονοτονία, και λύνουμε τη νέα ανίσωση που δεν περιέχει την f -1. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f()=+ln, >0. i. Nα δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. iii. 1 Να λύσετε την ανίσωση f () ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 5

i. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη ως πράξη παραγωγίσιμων 1 συναρτήσεων, με f () 1 0 για κάθε >0. Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Έχουμε f συνεχή, ως πράξη συνεχών για κάθε >0 και γνησίως αύξουσα. Επομένως είναι f(a)=limf (), lim f () (, ). 0 iii. Έχουμε Α=(0,) και f(a)= A 1 f =R. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1 1 Αν 0 τότε f () (0, ) επομένως f () 0, άρα η Ασκήσεις ανίσωση αληθεύει. 1 1 ανίσωση δίνει ισοδύναμα f () f f () f () Αν >0 τότε ln ln 0 1. Άρα τελικά 0<<1. Eπομένως η αρχική ανίσωση έχει τελικά λύση (,1) 1. Δίνονται οι συναρτήσεις f : R R με f(0)=1 γνησίως αύξουσα και g : R R με g(1)=0 γνησίως φθίνουσα. Να δείξετε ότι: i. f ( 1) 1 ii. f ( y y) 1 για κάθε y 1 iii. g 1 0 για κάθε >0 και 1 iv. g 1 1 0 για κάθε εr ln( 1) ln. Εστω f : R με Α=(0,+ ) και f()=. i. Nα δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Α ii. Για κάθε α,βεν * 1 1 με α<β να δείξετε ότι 1 1 3. Έστω f : R R μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση με f(0)=1. Nα λυθούν οι ανισώσεις: i. f ( 3) 1 ii. f(f()-)>1 ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 6

f () iii. f (e e) 1 iv. f(ln-)<1 v. f(3f()-)<f(f()-1) 4. Έστω f (). i. Nα μελετηθεί ως προς τη μονοτονία. ii. Να λυθούν οι ανισώσεις: α. f()>1 β. f(-)<3 γ. f(f()-)<3 1 1 δ. ε. ( 3) 1 στ. 1 ( 6) 5. Aν f μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση να λυθούν oι ανισώσεις: i. f ( ) f () ii. f(ln)>f(0) iii. f(f(3-))<f(f(+)) iv. f (e 1) f () 6. Δίνεται η συνάρτηση f()=+ln(+) i. Nα μελετηθεί ως προς τη μονοτονία. 4 ii. Να λυθεί η ανίσωσηf ( 1) f ( 1) 3 iii. Nα λυθεί η ανίσωση ln 3 7. Αν f()= ln e. i. Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. 3 ii. Να λυθεί η ανίσωση: ln( ) e ln( 3) e iii. Nα λυθεί η ανίσωση: 1 4 ln( 1) e f ( ) 8. Δίνεται η f : R με Α=(0, ) και f (). e f ( 1) i. Να δείξετε ότι η g() είναι γνησίως φθίνουσα στο Α. f () ii. Να λύσετε την ανίσωση f ()f ( 1) f ( 1)f ( ), >0 4 4 iii. Nα λύσετε την lnf ( 1) ln f ( ) lnf ( 1) ln f ( ), 0 9. Έστω f (). Nα λύσετε την ανίσωση: f ( 1) f ( ) f ( ) f ( 3) 10. Δίνεται η f()=. i. Nα δείξετε τι η συνάρτηση g()=f(+1)-f() είναι γνησίως αύξουσα. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 7

ii. Να λύσετε την ανίσωση f ( 1) f ( ) f ( 3) f ( ) 11. Έστω f,g : R R για τις οποίες η f είναι γνησίως φθίνουσα και g()=f(-1)-f(1-). i. Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης g. ii. Nα βρείτε τα διαστήματα όπου η Cg βρίσκεται πάνω από τον. iii. Να λύσετε την ανίσωση: f ( 1) f (1 ) f ( 1) f (1 ). 1. Δίνεται η f (). i. Nα δείξετε ότι η συνάρτηση g()=f(+1)-f() είναι γνησίως φθίνουσα. ii. Να λύσετε την ανίσωση: f ( ) f( 3) f( 1) f ( 4) 13. Δίνεται η f () 3 3 και η h()=f(+1)-f(). i. Να δείξετε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα. 4 4 ii. Να λύσετε την ανίσωση f ( 1) f ( ) f ( 1) f ( ) iii. Να λύσετε την ανίσωση f ( 1) f ( ) f ( ) f ( 3) 14. Έστω f : R R μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση. Να λυθούν οι ανισώσεις: i. f ( ) f ( ) f ( ) f () ii. f ( 4) f ( ) f ( 3) f ( 1) iii. 1 f ( 1) f ( ) ln 15. Δίνεται η συνάρτηση f()=, με i. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α. f( 1 β. γ. 10 16.Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : R R με τύπους f (), εr και 5 g() 1 5, εr i. Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο για =5. ii. Να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. iii. Να λύσετε την ανίσωση f () g() 17. Έστω f: R με Α=(0,+ ) και f()=ln+-1 ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 8

i. Να δείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη της f. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. 1 iii. Nα λύσετε την ανίσωση f () 3 3 18. Έστω f : R R με f ( R)=R και f () f (), εr. i. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη. ii. Να βρείτε τα ώστε η γραφική παράσταση της f -1 να βρίσκεται κάτω από την y= η ΜΟΡΦΗ: f (....) f (....) f (...) f (....) 1 0ς τρόπος: Προφανείς ρίζες και χρήση μονοτονίας Αφού βρώ την τιμή για την οποία ισχύει η ισότητα, στη συνέχεια δείχνω ότι f(α)>f(γ) και f(β)>f(δ) (αν f γνησίως αύξουσα, αλλιώς θα ισχύει η αντίστροφη φορά) και προσθέτω τις σχέσεις κατά μέλη. Παραδείγματα Δίνεται η συνάρτηση f () 1 1 i. Να δείξετε ότι η f είναι άρτια. ii. Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. iii. Να δείξετε ότι για κάθε 0 ισχύει f()+f(3)>f()+f(4) 3 4 iv. Να δείξετε για κάθε >0 ότι f (e ) f (e ) f (e ) f (e ) v. Να δείξετε ότι ότι για κάθε 0 ισχύει f()+f(-3)>f()+f(-4) (i) Η f ορίζεται στο διότι για κάθε. Για κάθε έχουμε ότι: - και f(-)= = f() Συνεπώς η f είναι άρτια. (ii) Η f είναι παραγωγίσιμη στο ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f () = άραf ()=0 f ()>0 <0 Συνεπώς f ()>0 για κάθε και f συνεχής στο 0=0 ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 9

άρα η f γνησίως αύξουσα στο γνησίως φθίνουσα στο [0,+ (iii) Για κάθε <0 έχουμε: <0 < f()<f() (1) και όμοια ακριβώς η f <0 4<3 f(4)<f(3) () Προσθέτοντας τις (1),() έχουμε: f()+f(4)<f()+f(3) (3) Για κάθε >0 έχουμε: >0 > f()<f() (4) >0 4>3 f(4)<f(3) (5) Προσθέτοντας τις (4),(5) έχουμε: f()+f(4)<f()+f(3) (6) Από (3),(6) f()+f(4)<f()+f(3). (iv) 1<3 <3 f( f( (7) <4 <4 f( f( (8) Προσθέτοντας τις (7),(8) έχουμε: f( f( f( + f( (v) Για κάθε <0 έχουμε: <0 > f()>f() (9) <0 3 < 4 f(-3)>f(-4) (10) Προσθέτοντας τις (9),(10) έχουμε: f()+f(-3)>f()+f(-4) και όμοια f()+f(-3)>f()+f(-4) Επομένως f()+f(-3)>f()+f(-4). Ασκήσεις 1. Δίνεται η f()= 1 ln i. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. ii. Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει: v v v v f (5 ) f (7 ) f (6 ) f (8 ) iii. Να δείξετε ότι για κάθε >0 ισχύει f()+1>f(3)+f(e ) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 30

. Δίνεται η συνάρτηση f()= 3 8 i. Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. 3 ii. Να δείξετε ότι για κάθε >1 ισχύει: f ( ) f ( ) f ( ) f () iii. Nα δείξετε ότι για κάθε <0 ισχύει: f (3 ) f (5 ) f( ) f(4 ) 0ς τρόπος: Μορφοποίηση και χρήση βοηθητικής συνάρτησης Μετασχηματίζω την προς απόδειξη στη μορφή βοηθητικής συνάρτησης η οποία είτε δίνεται είτε την κατασκευάζουμε <<εμπειρικά>> μέσω της μορφής που παίρνουν τα δύο μέλη της ανίσωσης, είτε με τη βοήθεια κάποιας συναρτησιακής σχέσης δύο μεταβλητών, από την υπόθεση Παράδειγμα 1 Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : (0, ) R. Nα λυθεί η 1 1 ανίσωση: f ( 1) f () f f 1 Η ανίσωση ορίζεται όταν και >0 που ισχύουν για κάθε.επομένως για κάθε έχουμε: (1) Θεωρούμε την συνάρτηση με >0. Έστω 1, με 1<. Έχουμε: 1< f(1)>f() () 0<1< f( f( f( f( (3) Προσθέτοντας τις (),(3) έχουμε: f(1) f( f( Συνεπώς η είναι γνησίως φθίνουσα στο Η (1) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 31

Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f: η οποία είναι γνησίως μονότονη, περιττή στο με f(. Επίσης η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το 3 Α(1, -1).(Παράδειγμα μίας τέτοιας συνάρτησης είναι η f (), εr ) i. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι ορίζεται η. ii. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο και η fof είναι γνησίως αύξουσα στο iii. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α. f(f(5+4))-f(f(3+))<0 β. f( γ. f(f( δ. για >0 (i) Η f είναι περιττή άρα για κάθε εr ισχύει -εr και f(-)= - f() (1) Επίσης το Α(1,-1)ανήκει στη γραφική παράσταση της f συνεπώς f(1)= -1. Η (1) για =1 δίνει f(0)= -f(0) f(0)=0 f(0)=0. H f είναι γνησίως μονότονη στο R άρα η f είτε είναι γνησίως αύξουσα στο R είτε γνησίως φθίνουσα στο R. Έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R τότε: 0<1 f(0)<f(1) 0< -1 άτοπο. Συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R είναι «1-1» οπότε ορίζεται η f -1 με D 1 f (R) R (ii) Ισχύει ότι f(f -1 (y))=y για κάθε yεr () f 1 1 1 1 Έστω 1 1 1 y y f (f (y )) f (f (y )) f (y ) f (y ) είναι γνησίως φθίνουσα στο f( R)=R Eίναι. Επομένως η f -1 ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 3

1 f ( 1) f ( ) f (f ( 1)) f (f ( )) (fof)( 1) (fof)( ). Επομένως η fof είναι γνησίως αύξουσα στο R. (iii) (α) Για κάθε εr έχουμε: f(f(5+4))-f(f(3+))<0 f(f(5+4))<f(f(3+)) (fof)(5+4))<(fof)(3+)) 5+4<3+ < - <-1 (β) Για =1 η (1) δίνει f(-1)= - f(1)= -(-1)=1. Συνεπώς για κάθε εr έχουμε:f( f( e ) >f(-1) e 1 e 1 0 (3). Θεωρούμε την συνάρτηση g()= e 1, εr. Η g είναι παραγωγίσιμη στο R με g ()=-e - -1<0 για κάθε εr άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R. Προφανώς g(0)=0. Συνεπώς η (3) g()<0 g()<g(0) >0 (γ) Για κάθε έχουμε: 1 1 f (f (f ( ) 1) 1) 1 f (f (f ( ) 1) 1) f (1) 1 f (f ( 1) 1 1 1 <-1 f (f ( ) 1) 0 f (f ( ) 1) f (0) 1 f ( ) 1 >0 f 1 ( ) 1 f 1 ( ) f 1 (1) 1 (δ) Για =1 η σχέση ισχύει ως ισότητα. Αν ε(0,1) τότε: 4 3 9 6 <1 1 άρα και 1 άρα οπότε: 4 1 1 4 f ( ) f ( ) 6 9 1 6 1 9 (4) και f ( ) f ( ) (5) Προσθέτοντας τις (4),(5) προκύπτει ότι 1 1 6 1 4 1 9 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 4 1 1 4 Αν >1 τότε: >1 1 άρα f ( ) f ( ) (6) και 6 9 1 6 1 9 f ( ) f ( ) (7) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 33

Προσθέτοντας τις (6),(7) προκύπτει 1 1 6 1 4 1 9 ότι: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 1 1 6 1 4 1 9 Επομένως f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) για κάθε >1 Ασκήσεις 1. Έστω f,g : R R με g()=f(+3)-f(+1) η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο R. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i. f(+3)<f(+1) αν g()=0 ii. f( +3+4)>f( +3+)-3 αν f(3)=f(1)-3 iii. f( 4 +3)-f( +3)<f( 4 +1)-f( +1). Έστω f,g : R R με g()=f(+)-f(-) και f γνησίως αύξουσα στο R. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα και στη συνέχεια να λύσετε τις ανισώσεις: i. f ( 4) f ( 5) f (4 ) f( 3) ii. f (e ) f ( 1) f ( 3) f ( e ) iii.f(ln+)+f(-+1)>f(-ln)+f(+1) με >0 3. Έστω f: μια συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη και η f είναι γνησίως φθίνουσα. Αν f()=f(3), να λύσετε τις ανισώσεις: i. f(+1)-f()>0 ii. f( +3)<f( +) iii. f( )+f( )<f( )+f( ) 4. Δίνεται η συνάρτηση f()= i. Να μελετηθεί η f ως προς την κυρτότητα. ii. Έστω η συνάρτηση g()=f(+3)-f(), α. Nα μελετηθεί η g ως προς την μονοτονία β. Να λύσετε την ανίσωση: f(3(+1))<f(3)+ + γ. Να λύσετε την ανίσωση f( )+f( )>f( )+f( ) δ. Να λύσετε την ανίσωση f( +f(+1)>f( )+f(+4) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 34

5. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: για τις οποίες ισχύει: g()=f(-5)-f(4-) για κάθε. Επίσης η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. i. Να μελετήσετε την g ως προς την μονοτονία ii. Να λύσετε την ανίσωση: g( )>0 iii. Αν για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει ότι : g( )+g( )>g( )+g( ) να αποδείξετε ότι α>0. 3 0ς τρόπος: Μορφοποίηση και χρήση Θεωρήματος Μέσης Τιμής Η μορφοποίηση της αντίστοιχης ανίσωσης, σε συνάρτηση με τη χρήση Θεωρήματος μέσης τιμής, όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα, επιλύει ή δικαιολογεί την ανίσωση. Παραδείγματα Δίνεται η συνάρτηση f, με f()=ln. i. Να προσδιορίσετε την μονοτονία της f και της f. ii. Να δείξετε ότι για κάθε >0 είναι f(3)+f(5)>f(7)+f(). 1 1 i. Είναι f () 0 (1) και f ()=- 0 (), άρα έχω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα, για κάθε >0 και η f γνησίως φθίνουσα για >0. ii. ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΗ Λόγω της ευκολίας της συνάρτησης, η εξίσωση αυτή μπορεί να λυθεί και με όσα έχουν διδαχθεί οι μαθητές στην Β Λυκείου. Η παρακάτω επίλυση επιδιώκει να τονίσει την ικανότητα λύσης με βάση την τεχνική που έχει προαναφέρθει, κυρίως, σε θέματα τα οποία δεν αντιμετωπίζονται με εφαρμογή, άμεσων αλγεβρικών τεχνικών. H ανίσωση f(3)+f(5)>f(7)+f() γράφεται ισοδύναμα: f(3)-f()>(7)-f(5) (A). Είναι >0 και επομένως <3<5<7. Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μέσης τιμής σε καθένα από τα διαστήματα [,3] και [5,7] η (Α) μετασχηματίζεται στην ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 35

f ( 1) f ( ). Από το i γνωρίζουμε ότι η f ειναι γνησιως αρα η (Β) μας δίνει ξ1<ξ το οποίο ισχύει αφού < ξ1<3<5 <ξ <7. 3 η ΜΟΡΦΗ: f (...) f (...) f (...) Η χρήση συναρτησιακών σχέσων δύο μεταβλητών, σαν δεδομένο από την άσκηση, μορφοποιεί την ανίσωση σε μορφή: f (g()) f (h()) της οποίας η g() h() αν f1 επίλυση έχει λύση τα για τα οποία είναι: g() h() g() h() αν f g(), άρα μας οδηγεί σε απλούστερη προς επίλυση h() ανίσωση. Παράδειγμα 1 Aν για την συνάρτηση f : R R ισχύει f()-f(y)=f(-y),,yεr με την συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα, να λυθεί η ανίσωση: f(3-)>f(-1)+f(3-4). Η ανίσωση της υπόθεσης δίνει: f(3-)>f(-1)+f(3-4) f(3-)- f(-1)>f(3-4) (Α). Το πρώτο μέλος της ανίσωσης αν θεωρήσουμε το3- και y το -1 γράφεται με τη βοήθεια της υπόθεσης ως f(3--+1)>f(-1), Άρα πλέον έχουμε από την (Α) να λύσουμε την f(-1)> f(3-4). Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα, λύνουμε ισοδύναμα την ανίσωση -1>3 1 37 1 37-4 από την οποία ε, 6 6. Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f : που ικανοποιεί τη σχέση f()-f(y)=f(-y) για κάθε, y και η εξίσωση f()=0 που έχει μοναδική ρίζα. i. Να βρείτε την f(0) ii. Να δείξετε ότι η f είναι 1-1. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 36

iii. Αν f()<0 για κάθε <0, α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β. Να λύσετε την ανίσωση f(e +1)+f(3-1)<f(e -). (i) Για κάθε,y ισχύει: f()-f(y)=f(-y) (1) H (1) για =y=0 έχουμε: f(0) f(0)=f(0) f(0)=0. (ii) Επειδή f(0)=0 και η f()=0 έχει μοναδική ρίζα, τότε ότι η =0 μοναδική ρίζα της f()=0 () Έστω 1, εr με f ( 1) f ( ). Έχουμε: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 f( ) 0 άρα λόγω της παίρνουμε 1 1 1 0 1 1 Επομένως η f είναι «1-1». (iii) (α) Έστω 1, εr με 1 Έχουμε: και επειδή f()<0 για κάθε <0 θα είναι: 1 f (1 ) 0 f ( 1) f ( ) 0 f ( 1) f ( ) Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο. (β) Για κάθε έχουμε: f(e +1)+f(3-1)<f(e -) f(3-1)< f(e -)- f(e +1) f(3-1)<f(e -- e -1) f(3-1)<f(--1) 1 3-1< --1 4<0 <0 Ενδέχεται, η χρήση αριθμητικής τιμής από την υπόθεση, να μετασχηματίζει την ανίσωση, και να μας οδηγεί σε τεχνικές επίλυσης, με βάση την 3 η Μορφή. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f:(0, ) R, γνησίως φθίνουσα για την οποία 017 3 f(1)=0. Να λύσετε την ανίσωση f () f ( ) f ( ) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 37

Η ανίσωση επαληθεύεται για =1 και παίρνει την μορφή 017 3 f () f ( ) f ( ) +f(1). 1 και f άρα f()>f(1) 017 3 Aν 0<<1 τότε f () f ( ) f ( ) f (1) 017 3 017 3. < και f άρα f( )>f( ) 1 και f άρα f()<f(1) 017 3 Αν >1 τότε f () f ( ) f ( ) f (1) 017 3 017 3 > και f άρα f( )<f( ) Τελικά τα >1 είναι λύση της ανίσωσης Σε μορφές οι οποίες βασίζονται σε συναρτήσεις τύπου f()=α με α>1 η προφανής ρίζα τους και ο μετασχηματισμός τους, με διαίρεση με τη δύναμη με τη μεγαλύτερη βάση, μας οδηγεί με τη βοήθεια της μονοτονίας, στην επίλυσή τους. Παράδειγμα Αν f(t)=t, t>0, να λύσετε την ανίσωση: f(6)+f(8)>f(10). Η ανίσωση f(6)+f(8)>f(10) γράφεται ισοδύναμα 6 +8 >10 η οποία ισχύει σαν ισότητα για =. Διαιρώντας με το 10 η ανίσωση γράφεται στη μορφή 6 8 1 0 g() 0 g() g(). 10 10 Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η g είναι μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, άρα παίρνουμε <. Ασκήσεις 1. Έστω η συνάρτηση f : ( 0,) για την οποία ισχύει f () f (y) f για κάθε, y>0 και η εξίσωση f()=0 έχει μοναδική ρίζα. v.να βρείτε το f(1). vi. Να δείξετε ότι η f είναι 1-1. vii. Να λύσετε την ανίσωση f( -)+f()>f(5-6). viii. Αν f()<0 για κάθε >1, α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. β. Nα λύσετε την ανίσωση f()+f( +3)>f( +1)+f(+1). Έστω συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει ότι: f(+y)=f()+f(y) για κάθε, yεr. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 38 y

iii. Να αποδείξετε ότι f(0)=0 iv. Nα δείξετε ότι η f είναι περιττή v. Αν f()>0 για κάθε <0 να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. vi. Αν η εξίσωση f()=0 έχει μοναδική ρίζα, να λύσετε την ανίσωση: 3 3 f 1 e f 1 f ( 1) 3. Δίνεται η συνάρτηση f: (0, ) R, γνησίως αύξουσα για την οποία 017 3 f(1)=0. Να λύσετε την ανίσωση f () f ( ) f ( ). 4. Δίνεται η συνάρτηση f(t)=t, με t>0. Nα λυθούν οι ανισώσεις: i. f(3)+f(4)<f(5). ii. f(5)+f(1)>f(13) iii.f(9)+f(1)f(15) iv.f()+f(3)<f(5) 5. Δίνεται η συνάρτηση f : R R, γνησίως φθίνουσα για την οποία f(0)=0. Να λυθεί η ανίσωση f f ln f ( )..Ευχαριστούμε θερμά το φίλο και συγγραφέα Στέλιο Μιχαήλογλου, ο οποίος με τις εύστοχες παρατηρήσεις, αλλά και τις διορθώσεις του, συντέλεσε στην ολοκλήρωση του παρόντος άρθρου. ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΗΣ 016 ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 39